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kanolete-vargas-tapia
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Completitud en Lógica de Predicados
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1Predicados - Completitud 1Lgica
Completitud en Lgica de Predicados
Predicados - Completitud 2Lgica
Correccin
.
Significa que las derivaciones expresan una consecuencia lgica.
Establece una correspondencia tal que partiendo de nociones sintcticas (derivaciones) se llega a nociones semnticas (los modelos de son modelos de )
Se demuestra por induccin sobre Der.
2Predicados - Completitud 3Lgica
Corolario de Correccin: Condicin Suficiente de Consistencia.
H) tiene modelo ( )T) es consistente.Dem.
Si en el teorema de correccin se considera , obtenemos:
Lo que se puede leer como: Si es inconsistente, entonces no tiene modelo.
El contrarecproco de esto es lo que se quera demostrar.LQQD
Predicados - Completitud 4Lgica
Completitud
Significa que si una frmula es consecuencia lgica de un conjunto de frmulas, entonces hay una derivacin con hiptesis en el conjunto y cuya conclusin es la frmula.
Establece una correspondencia que partiendo de nociones semnticas permite llegar a nociones sintcticas.
3Predicados - Completitud 5Lgica
1. consistente existe * consistente maximal tal que *Resultados Auxilares:
CM para toda PROP: o bien CM para toda , PROP: ssi (si
entonces )
2. consistente existe v tal que v() =1
Completitud para PROP
4. Teorema de Completitud: |= |- 3. Corolario: |- |=
Predicados - Completitud 6Lgica
Prueba para PROP
consistente existe * consistente maximal tal que *
consistente existe v tal que v() =1
Enumeramos PROP: 1,... n,0 =
n {n} si n {n} consistenten si no
= n
{n+1 ====- Tomamos CM tal que
- Definimos 1 si pi 0 si no
- Probamos v() =1- Como luego v( ) =1
{v(pi) ====
4Predicados - Completitud 7Lgica
Completitud para Predicados
|= |- |= (M : M|= : M|=) |- ( D : DDerp : H(D) y C(D)=)
El lema bsico en esto es: consistente existe M tal que M |= Para demostrarlo se construye un modelo. Para construir el modelo se necesita trabajar sobre una
teora Consistente Maximal que incluya a
Predicados - Completitud 8Lgica
Pero antes, deduccin natural
x ( (x) ) (x) [ (x)]2
x (x)
x (x) (I1)
x FV ()
(E)(E*)
(E2**)[x (x)]1
* Correcta, porque x est libre para x en (x) ** Correcta, porque x FV (x ( (x) )) y x FV ()
(x)
5Predicados - Completitud 9Lgica
Otra derivacin
x (x)
[ (x)](x)
x FV ()
x ( (x))
Ejercicio: indique las reglas y realice lasjustificaciones correspondientes.
[]
x (x)
x (x)
Predicados - Completitud 10Lgica
Armando derivaciones
Ejercicio: indique lasreglas, marque lascancelacionesfaltantes, y realice lasjustificacionescorrespondientes.
(x)
[]
(x)x ( (x))
x (x)[ (x)]
x (x) (x)
x ( (x))x ( (x))
x ( (x))
x ( (x))
x ( (x))
6Predicados - Completitud 11Lgica
Armando derivacionesy FV ()
Ejercicio: indique lasreglas, marque lascancelacionesfaltantes, realice lasjustificacionescorrespondientes, ycomplete la pruebacon las reglas quefaltan.
(y)
[x (x)]x (x)
x (x) (y)y (x (x) (y))
[ (x)]
x (x)x (x) (x)
y (x (x) (y))y (x (x) (y))
Predicados - Completitud 12Lgica
Lemas sobre derivaciones (1) Lema 2.8.4 [variables libres y constantes] Sea y una variable que no ocurre en ni en .
Si |- entonces [y/c] |- [y/c]
Cuidado! [y/c] no es la funcin de sustitucin que conocemos.
El lema se demuestra mediante induccion en las derivaciones
7Predicados - Completitud 13Lgica
Lemas sobre derivaciones (2) Lema Sea c una constante que no aparece en ni en
ni en . Si , x (x) -> (c) |- entonces |-
Dem.1. |- (x (x) -> (c)) -> 2. |- (x (x) -> (y)) -> , con y que no aparece en
ni en ni en (Lema 2.8.4)3. ...
Predicados - Completitud 14Lgica
Lemas sobre derivaciones (2)
(x (x) -> (y)) ->
y ((x (x) -> (y)) -> )
y (x (x) -> (y)) -> (x (x) -> y (y)) -> y (x (x) -> (y))
x (x) -> y (y)
2. pruebe que es teorema
1. pruebe que es unaderivacin correcta
3. verifique que ya vimosesto
4. arme todo
8Predicados - Completitud 15Lgica
Lemas sobre derivaciones (2)Version 1.2b
(x (x) -> (y)) ->
y ((x (x) -> (y)) -> )
y (x (x) -> (y)) -> y (x (x) -> (y))
1. pruebe que es unaderivacin correcta2. verifique que ya vimosesto
3. arme todo
Predicados - Completitud 16Lgica
1. consistente existe * consistentemaximal tal que *
2. consistente existe v tal que v() =1
3. Corolario: |- |= 4. Teorema de Completitud: |= |-
Completitud para PROP
9Predicados - Completitud 17Lgica
1. T teoria consistente existe Tm consistentemaximal tal que T Tm (extension conservativa)
2. consistente existe M tal que M |= 3. Corolario: 4. Teorema de Completitud: |= |-
Completitud para Predicados
Predicados - Completitud 18Lgica
TeorasNotacin: Cons() = { | |- }Def 3.1.2 [teoria, conjunto de axiomas] Un conjunto T SENT es una teora si es cerrado bajo
derivacin (es decir, T |- T) Dada una teora T, decimos que es un conjunto de
axiomas para T si T= Cons()Def 3.1.3 [extensin, extensin conservativa]Sean T una teora en el lenguaje L y T una teora en L.T es una extensin de T si T TT es una extensin conservativa de T si TL=T
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Predicados - Completitud 19Lgica
Teoras de Henkin
Def 3.1.2 (iii) [teora de Henkin] Una teora T es de Henkin si para toda sentencia
xSENT existe un smbolo de constante c tal que x [c/x] T. c se llama testigo de x.
Lema 3.1.8 [ser de Henkin se preserva en extensiones] Si T es una teora de Henkin y T es una extensin de T,
en el mismo lenguaje, entonces T es de Henkin. Como no se cambia el lenguaje, no aparecen nuevos
existenciales, y no preciso incorporar nuevos testigos
Predicados - Completitud 20Lgica
Operador *
Def 3.1.4 [L*, T*] Sea T una teora con lenguaje L. L* es la extensin de L que se obtiene agregando un
smbolo c para cada sentencia x (x) L. T* = Cons(T
{x(x) (c) | x(x)SENT con testigo c })
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Predicados - Completitud 21Lgica
Completitud: Paso 1
T teora consistente existe Tm consistentemaximal tal que T Tm (extensin conservativa) T* conservativa con respecto a T con idea de ser de
Henkin (pero no se sabe si llega a serlo). Tw conservativa con respecto a T y de Henkin Tm De Henkin, Conservativa respecto a T y CM.
T T* Tw Tm
Predicados - Completitud 22Lgica
Teoras de Henkin II
Lema 3.1.5 T* es conservativo con respecto a T (T*L=T).
La idea es probar que: , x [c/x] |- T|-
Qu bueno, ya lo probamos!
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Predicados - Completitud 23Lgica
Teoras de Henkin IIILema 3.1.6 [Tw] Definimos:
T0 = T Tn+1 = (Tn)* Tw = Tn
Luego Tw es una teoria de Henkin y es conservativa con respecto a T.
Predicados - Completitud 24Lgica
Demostracion
1. Cada Tn es conservativa sobre T2. Tw es teoria3. Tw es de Henkin4. Tw es conservativa sobre T
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Predicados - Completitud 25Lgica
Demostracion
L y Tw |-
L y ( k :: Tk |- )
L y T |- Parte 4
x Lw
( k :: x Lk)
( k,c :: x -> (c) Tk+1)
(c :: x -> (c) Tw)
Parte 3
Tw |- (Def. |-)(1,...n Tw:: 1,...n |- ) (Def. Tw, y encajonamiento)( k, 1,...n : 1,...n Tk : 1,...n |- ) (Teoria)( k :: Tk) (Def. Tw) Tw.
Parte 2
InduccionT0 = TTn+1 = Tn*, que es conservativa sobre TSer conservativa sobre T es unaequivalencia
Parte 1
Predicados - Completitud 26Lgica
Un poco de orden (1) Un conjunto parcialmente ordenado (poset) es
una estructura (U, ) tal que ( a :: a a) ( a, b : a b, b a : a = b) ( a, b, c : a b, b c : a c) por ejemplo, (Pot (Nat), )
Un subconjunto C U es una cadena si C y ( a, b :: a b b a) por ejemplo, {{}, {1}, {1,2}, {1,2,3}}
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Predicados - Completitud 27Lgica
Un poco de orden (2) Un elemento a U es una cota superior de C
U si ( c C :: c a) por ejemplo, {1,2,3,4,5} es cota superior de {{}, {1},
{1,2}, {1,2,3}} la union tambien es una cota superior
Un elemento m U es maximal si ( a U : m a : a = m) por ejemplo, Nat
Predicados - Completitud 28Lgica
Un poco de orden (3) Lema de Zorn
Sea U un poset. Luego, si toda cadena de U tiene una cota superior en U entonces U tiene un elemento maximal.
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Predicados - Completitud 29Lgica
Completitud: Parte I (cont.)Lema 3.1.7 [ Lindenbaum ] Si T es una teora consistente, entonces existe
Tm consistente maximal tal que T Tm1. Sea A := {T : T es extension consistente de T}2. Toda cadena {Ti : i I} tiene una cota superior:
{Ti : i I}3. Existe una extension consistente maximal que
llamamos Tm (Lema de Zorn)
Predicados - Completitud 30Lgica
Qu tenemos hasta ahora? Partimos de consistente. Tomamos T = Cons(), que tambin es consistente Definimos Tw que es una extensin conservativa (luego
consistente) de T y es de Henkin (lema 3.1.6) Tw puede extenderse a una teora maximal Tm (lema
3.1.7) Tm es de Henkin (lema 3.1.8: no cambiamos el lenguaje)
y tambin una extensin conservativa maximal de T
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Predicados - Completitud 31Lgica
Lema 3.1.1 [consistencia existencia de modelo]Si es consistente,
entonces existe M tal que M |= Esquema de la prueba:
Sea T= Cons() Consideramos Tm una teora de Henkin tal que es
extensin consistente maximal de Tw. (Lm es el lenguaje de Tm) Construimos un modelo.
Completitud: Paso 2
Predicados - Completitud 32Lgica
A := { t Lm | t es cerrado} Para cada smbolo de constante cLm se define la
constante c^ :=c Para cada smbolo de funcin n-ario fLm se define la
funcin f^: An A como: f^(t1..tn) = f(t1,..tn) Para cada smbolo de predicado p-ario PLm se define
la relacin P^ Ap comoP^ = { | Tm |- P(t1tp) }
~ := { (t,s) A2 | Tm |- t=s }~ es de equivalencia ([t] denota la clase de t)
Construccin del modelo sintctico
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Predicados - Completitud 33Lgica
Construccin del modelo sintctico (II)
Se construye M :M =< A/~, P1Pn, f1, fm, {ci | iI}> (modelo sintctico)ci := [ci^]fj ([t1],..[taj]) = [fj^ (t1,taj)] Pi := { | Pi^ }
est bien definido pues = es una conguencia!
~ ~ ~ ~
~
~
~
Se prueba : ( Tm :: M |= ). O sea, M |= Tm
Predicados - Completitud 34Lgica
Modelos y TeorasDef [Mod]Mod() = {M | M|= para toda }
tambin escribimos M|= por M od() Sea K una clase de estructuras para un tipo de similaridad:Def [Th]Th(K) = { | M|= para todo M K}Propiedades: Th(Mod()) K Mod(Th(K)) Cons() = Th(Mod())
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Predicados - Completitud 35Lgica
Fin
Predicados - Completitud 36Lgica
Prueba para Predicados
T teora consistente existe Tm consistente maximal tal que T Tm (extensin conservativa)
consistente existe M tal que M |=
Aplica el lema de Zorn para obtener Tm(El lenguaje puede no ser numerable debido a lossmbolos de constante a)
(1) Definimos _ (2) T0 = Cons() (3) Tm CM Tm es de T n+1 = (Tn)* Tw Tm HenkinTw = Tn
(i) Tomamos Tm CM tal que T Tw Tm (donde T=Cons()) (ii) Definimos la estructura M (se utiliza la definicin de Tm)(iii) Probamos M |= TmComo Tm luego M |=
}