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Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto
A linguagem da Lgica de Predicados
(Captulo 8)
LGICA APLICADA A COMPUTAO
Estrutura
1. Contextualizao
2. Definies
3. Exemplos
4. Lista
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
Todo tricolor um campeo. Roberto tricolor. Logo Roberto um campeo.
A adio de dois nmeros mpares quaisquer um nmero par.
Acesso a esse recinto permitido somente para as pessoas autorizadas ou conhecidas de pessoas autorizadas.
Por qu?
O que no possvel expressar em Lgica Proposicional?
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
Ausncias da Lgica Proposicional
Quantificadores
todo, qualquer, existe, alguns, nenhum, ...
Sempre esto ligados a variveis
Objetos
Indivduos do universo de discurso, sobre o qual quantificadores podem ser aplicados
Todo tricolor um campeo. Roberto tricolor.
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
Roteiro desta parte do curso
Sintaxe
Semntica
Programao em lgica
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
Lgica de Predicados
Tambm chamada de
Lgica de 1. Ordem
FOL (First-Order Logic)
Extenso da Lgica Proposicional
Novos conectivos (quantificadores)
Novos smbolos para funes, variveis, predicados, etc
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Alfabeto
Definio 8.1 (alfabeto)
O alfabeto da Lgica de Predicados constitudo por:
smbolos de pontuao: ( , );
smbolo de verdade: false;
um conjunto enumervel de smbolos para variveis:
x, y, z, w, x1,y1,... ;
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Alfabeto
Definio 8.1 (alfabeto)
um conjunto enumervel de smbolos para funes:
f, g, h, f1, g1, h1, f2, g2, ... ;
um conjunto enumervel de smbolos para predicados:
p, q, r, p1, q1, r1, p2, q2, ... ;
Conectivos:
, , , . Associado a cada smbolo para funo ou predicado, temos um nmero inteiro no-negativo k.
Esse nmero indica a aridade, ou seja, o nmero de argumentos da funo ou predicado.
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Alfabeto
Constantes
Variveis
Funes
Predicados
Conectivos
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Constantes
Do nomes a coisas particulares
Exemplo: Rosalvo, Brasil, Petrolina
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Variveis
Sintaticamente iguais s constantes
Anlogo a linguagens de programao
Exemplo: x, y, z
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Funes
Semelhante a funo em programao, recebe um ou mais argumentos e produz uma resposta um elemento do domnio como um nmero ou um objeto
Exemplo: soma(x, y)
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Predicados
Semelhante a uma funo em programao com resposta booleana, a resposta ser sempre verdadeiro ou falso. Utilizado para representar relaes.
Exemplo: irmao(x, y), pai(x,y), vizinho(x,y)
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Conectivos
Quantificadores
Universal: (para todo ) Existencial: (existe )
Os conectivos , e ^ so definidos em funo do conjunto completo {,v}
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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E as frmulas da lgica de predicados?
Para definir as regras para formao das frmulas bem formadas preciso estabelecer dois conceitos importantes:
-tomos
- Termos
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Tipos de perguntas (consultas)
A capital de Pernambuco Petrolina?
Deve retornar um smbolo de verdade
Sentenas que representam smbolos de verdade, em Lgica de Predicados, so chamados de tomos
Qual a capital do Brasil?
Deve retornar um objeto
Sentenas que representam objetos so chamados de termos
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Termos
So construdos a partir destas regras:
Variveis so termos (representam objetos)
Se t1, t2, ..., tn so termos
f um smbolo de funo n-ria,
ento f(t1, t2, ..., tn) tambm um termo
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Exemplos de termos
x, a (constante, funo zero-ria)
f(x,a) se e somente se f binria
g(y, f(x,a), c) se e somente se g ternria
+(9,10), -(9,5)
interpretados como 10+9, 9-5
Notao polonesa
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tomos
So construdos a partir destas regras:
O smbolo de verdade false um tomo
Se t1, t2, ..., tn so termos
p um smbolo de predicado n-ria,
ento p(t1, t2, ..., tn) um tomo
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Exemplos de tomos
p(f(x,a),x) se e somente se p binrio
q(x,y,z) considerado implicitamente como ternrio
Ex: maior(9,10), igual(9,+(5,4))
interpretados como 10>9, 9=5+4
Interpretados como T
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Frmulas
So construdos a partir destas regras:
Todo tomo uma frmula da Lgica de Predicados
Se H frmula ento (H) tambm
Se H e G so frmulas, ento (HvG) tambm
Se H frmula e x varivel, ento
((x)H) e ((x)H) so frmulas
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Subfrmula
Se H frmula
H uma sub-frmula
Se H=(G), ento G sub-frmula de H
Se H do tipo (EvG), (E^G), (EG) ou (EG), ento E e G so sub-frmulas de H
Se x uma varivel e Q um quantificador, H=((Qx)G) ento G e ((Qx)G) so sub-frmulas de H
Se G sub-frmula de H, ento toda sub-frmula de G tambm sub-frmula de H
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Literais e formas normais
Literal em lgica de predicados um tomo ou sua negao
Uma frmula est na forma normal disjuntiva se uma disjuno de conjunes de literais
Uma frmula est na forma normal conjuntiva se uma conjuno de disjunes de literais
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Ordem de precedncia da Lgica de Predicados
,
,
^,v
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Correspondncia entre quantificadores
Todo piloto rpido
Equivale
falso que existe piloto que no rpido
Existe treinador inteligente
Equivale
falso que todo treinador no seja inteligente
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Correspondncia entre quantificadores
((x)H)= ((x)(H))
((x)H)= ((x)(H))
Qualquer quantificador pode ser definido a partir do outro!
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Contextualizao Definies Exemplos Lista
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Escopo de um quantificador
Abrangncia de seu uso nas sub-frmulas
Se E uma frmula na Lgica de Predicados
Se ((x)H) subfrmula de E
o escopo de (x) H
Se ((x)H) subfrmula de E
o escopo de (x) H
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Exemplo de escopo de um
