A linguagem da Lógica de Predicados - · A linguagem

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Text of A linguagem da Lógica de Predicados - · A linguagem

  • Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto

    A linguagem da Lgica de Predicados

    (Captulo 8)

    LGICA APLICADA A COMPUTAO

  • Estrutura

    1. Contextualizao

    2. Definies

    3. Exemplos

    4. Lista

    Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto 3

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Contextualizao Definies Exemplos Lista

    Todo tricolor um campeo. Roberto tricolor. Logo Roberto um campeo.

    A adio de dois nmeros mpares quaisquer um nmero par.

    Acesso a esse recinto permitido somente para as pessoas autorizadas ou conhecidas de pessoas autorizadas.

    Por qu?

    O que no possvel expressar em Lgica Proposicional?

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

    Ausncias da Lgica Proposicional

    Quantificadores

    todo, qualquer, existe, alguns, nenhum, ...

    Sempre esto ligados a variveis

    Objetos

    Indivduos do universo de discurso, sobre o qual quantificadores podem ser aplicados

    Todo tricolor um campeo. Roberto tricolor.

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

    Roteiro desta parte do curso

    Sintaxe

    Semntica

    Programao em lgica

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

    Lgica de Predicados

    Tambm chamada de

    Lgica de 1. Ordem

    FOL (First-Order Logic)

    Extenso da Lgica Proposicional

    Novos conectivos (quantificadores)

    Novos smbolos para funes, variveis, predicados, etc

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  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Alfabeto

    Definio 8.1 (alfabeto)

    O alfabeto da Lgica de Predicados constitudo por:

    smbolos de pontuao: ( , );

    smbolo de verdade: false;

    um conjunto enumervel de smbolos para variveis:

    x, y, z, w, x1,y1,... ;

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Alfabeto

    Definio 8.1 (alfabeto)

    um conjunto enumervel de smbolos para funes:

    f, g, h, f1, g1, h1, f2, g2, ... ;

    um conjunto enumervel de smbolos para predicados:

    p, q, r, p1, q1, r1, p2, q2, ... ;

    Conectivos:

    , , , . Associado a cada smbolo para funo ou predicado, temos um nmero inteiro no-negativo k.

    Esse nmero indica a aridade, ou seja, o nmero de argumentos da funo ou predicado.

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

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    Alfabeto

    Constantes

    Variveis

    Funes

    Predicados

    Conectivos

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Constantes

    Do nomes a coisas particulares

    Exemplo: Rosalvo, Brasil, Petrolina

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Variveis

    Sintaticamente iguais s constantes

    Anlogo a linguagens de programao

    Exemplo: x, y, z

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Funes

    Semelhante a funo em programao, recebe um ou mais argumentos e produz uma resposta um elemento do domnio como um nmero ou um objeto

    Exemplo: soma(x, y)

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Predicados

    Semelhante a uma funo em programao com resposta booleana, a resposta ser sempre verdadeiro ou falso. Utilizado para representar relaes.

    Exemplo: irmao(x, y), pai(x,y), vizinho(x,y)

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Conectivos

    Quantificadores

    Universal: (para todo ) Existencial: (existe )

    Os conectivos , e ^ so definidos em funo do conjunto completo {,v}

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    E as frmulas da lgica de predicados?

    Para definir as regras para formao das frmulas bem formadas preciso estabelecer dois conceitos importantes:

    -tomos

    - Termos

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    Tipos de perguntas (consultas)

    A capital de Pernambuco Petrolina?

    Deve retornar um smbolo de verdade

    Sentenas que representam smbolos de verdade, em Lgica de Predicados, so chamados de tomos

    Qual a capital do Brasil?

    Deve retornar um objeto

    Sentenas que representam objetos so chamados de termos

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Termos

    So construdos a partir destas regras:

    Variveis so termos (representam objetos)

    Se t1, t2, ..., tn so termos

    f um smbolo de funo n-ria,

    ento f(t1, t2, ..., tn) tambm um termo

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Exemplos de termos

    x, a (constante, funo zero-ria)

    f(x,a) se e somente se f binria

    g(y, f(x,a), c) se e somente se g ternria

    +(9,10), -(9,5)

    interpretados como 10+9, 9-5

    Notao polonesa

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    tomos

    So construdos a partir destas regras:

    O smbolo de verdade false um tomo

    Se t1, t2, ..., tn so termos

    p um smbolo de predicado n-ria,

    ento p(t1, t2, ..., tn) um tomo

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Exemplos de tomos

    p(f(x,a),x) se e somente se p binrio

    q(x,y,z) considerado implicitamente como ternrio

    Ex: maior(9,10), igual(9,+(5,4))

    interpretados como 10>9, 9=5+4

    Interpretados como T

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

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    Frmulas

    So construdos a partir destas regras:

    Todo tomo uma frmula da Lgica de Predicados

    Se H frmula ento (H) tambm

    Se H e G so frmulas, ento (HvG) tambm

    Se H frmula e x varivel, ento

    ((x)H) e ((x)H) so frmulas

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Subfrmula

    Se H frmula

    H uma sub-frmula

    Se H=(G), ento G sub-frmula de H

    Se H do tipo (EvG), (E^G), (EG) ou (EG), ento E e G so sub-frmulas de H

    Se x uma varivel e Q um quantificador, H=((Qx)G) ento G e ((Qx)G) so sub-frmulas de H

    Se G sub-frmula de H, ento toda sub-frmula de G tambm sub-frmula de H

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Literais e formas normais

    Literal em lgica de predicados um tomo ou sua negao

    Uma frmula est na forma normal disjuntiva se uma disjuno de conjunes de literais

    Uma frmula est na forma normal conjuntiva se uma conjuno de disjunes de literais

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Ordem de precedncia da Lgica de Predicados

    ,

    ,

    ^,v

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Correspondncia entre quantificadores

    Todo piloto rpido

    Equivale

    falso que existe piloto que no rpido

    Existe treinador inteligente

    Equivale

    falso que todo treinador no seja inteligente

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Correspondncia entre quantificadores

    ((x)H)= ((x)(H))

    ((x)H)= ((x)(H))

    Qualquer quantificador pode ser definido a partir do outro!

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Escopo de um quantificador

    Abrangncia de seu uso nas sub-frmulas

    Se E uma frmula na Lgica de Predicados

    Se ((x)H) subfrmula de E

    o escopo de (x) H

    Se ((x)H) subfrmula de E

    o escopo de (x) H

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    Contextualizao Definies Exemplos Lista

  • Univasf Engenharia de Computao - LGICA APLICADA A COMPUTAO - Prof.: Rosalvo Neto

    Exemplo de escopo de um