Competenţa de Rezolvare a Problemelor

8/15/2019 Competenţa de Rezolvare a Problemelor

1/45

. Competenţa de rezolvare a problemelor„Activitatea de rezolvare şi compunere a problemelor oferă terenul cel mai fertil din domeniu

activităţilor matematice pentru cultivarea şi educarea creativităţii şi inventivităţii” (Săvulescu, D2 !, p. "# $. Diferenţa dintre a %nvăţa „rezolvarea unei probleme” şi „a şti” (a putea$ să rezolvi o problemă nouă %nseamnă, %n esenţă, creativitate, dar de niveluri diferite.

&ezolvarea unei probleme „%nvăţate” oferă mai puţin teren pentru creativitate dec%t rezolvunei probleme noi care, la r%ndul ei, este depăşită de alcătuirea (compunerea$ unor probleme noi.

'n scopul cultivării creativităţii elevilor, %n activitatea de rezolvare a problemelor se foloses procedee variate, cum ar fi

• complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea %ntrebării)• rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee)• scrierea rezolvării problemei %ntr*o sin+ură e presie)• ale+erea celei mai scurte şi mai economicoase căi de rezolvare)• determinarea sc-emei +enerale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr*o anumită

cate+orie şi %ncadrarea sau nu a unei probleme %ntr*o anumită cate+orie de probleme)• transformarea problemelor compuse %n e erciţii astfel %nc%t ordinea operaţiilor să fie

succesiunea udecăţilor şi a relaţiilor corespunzătoare conţinutului problemei)• transformarea problemei compuse %n e erciţii cu paranteze care să indice ordinea operaţiilor)•

transformarea şi compunerea din 2*/ probleme simple a uneia compuse) etc.0i %n activitatea de compunere a problemelor se pot folosi mai multe procedee

• compuneri de probleme după o acţiune, o poveste)• compuneri de probleme după tablouri şi ima+ini)• compuneri de probleme după modelul unor probleme rezolvate anterior)• compuneri de probleme după o formulă numerică dată)• compuneri de probleme cu mai multe %ntrebări posibile)• completarea de către elevi a datelor care lipsesc)• compuneri de probleme după %ntrebări date)• completarea (formularea$ %ntrebării unei probleme)• compuneri de probleme după formulă literală)• compuneri de probleme după sc-eme)• complicarea treptată a unei probleme)• crearea liberă de probleme etc.

Studiul matematicii %n %nvăţăm%ntul primar are ca scop „să contribuie la formarea şi dezvoltareacapacităţii elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula şi rezolva probleme pe bazarelaţionării cunoştinţelor din diferite domenii, precum şi la înzestrarea cu un set de competenţe,valori şi atitudini menite să asigure o cultură generală optimă”(Săvulescu, D.,2 !, p. 1$.

A şti să rezolvi o problemă presupune a %nţele+e datele şi ordinea lor, condiţiile problemerelaţiile dintre datele problemei, precum şi a elabora şirul de udecăţi pentru a construi raţionamentelde rezolvare.

istă două situaţii în rezolvarea problemelor, situaţii care solicită %n mod diferitmecanismele intelectuale ale elevilor

• cînd elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă– tip 3 %n acest caz elevul e solicitat să recunoască tipul de problemă căruia %i aparţi problemadată. 4rin rezolvarea unor probleme care se %ncadrează %n aceeaşi cate+orie, avacelaşi mod de or+anizare a udecăţilor, acelaşi raţionament, %n mintea elevilor se fi ează principiul de rezolvare a problemei, sc-ema mintală de rezolvare. Acestă sc-emă se fi ează caun al+oritm sau semial+oritm de lucru, care se %nvaţă, se transferă şi se aplică la fel ca re+ulilede calcul.

• cînd elevul întîlneşte probleme noi, necunoscute,unde nu mai poate aplica o sc-emă mintalăcunoscută, +%ndirea sa este solicitată %n +ăsirea căii de rezolvare) e perienţa şi cunoştinţelerezolvare, deşi prezente, nu mai sunt orientate şi mobilizate spre determinarea cate+oriei de probleme şi spre aplicarea al+oritmului de rezolvare şi elevul trebuie ca, pe baza datelor şi a


2/45

condiţiei problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. Etapele rezolvării problemelor de aritmetică

• În orice problemă de matematică sunt evidenţiate trei elemente:• *datele, ceea ce este cunoscut şi dat sub formă de valori numerice şi relaţii;• *cerinţele , care indică ce anume trebuie determinat utilizînd datele problemei;• *condiţiile , care arată în ce fel cerinţele sunt legate de date.•

• Pe baza înţelegerii datelor şi a condiţiei problemei, raportînd datele cunoscute

la cerinţe şi condiţii, elevul trebuie să construiască şirul de judecăţi careconduce la a area soluţiei problemei.• !inînd cont de particularităţile de vîrstă ale elevilor, în rezolvarea problemelor

se parcurg• următoarele etape:• a) Expunerea enunţului problemei "comunicarea enunţului problemei# 3 se

realizează prin citire sau enunţare orală de către învăţător sau de elevi. $e vaavea în vedere citirea şi enunţarea e%presivă a te%tului, scoţîndu *se în evidenţăanumite date şi legăturile dintre ele, precum şi întrebarea problemei. $e vorscrie pe tablă şi pe caiete datele problemei.

• b) Însuşirea conţinutului problemei (înţelegerea enunţului problemei)

este etapa căreia trebuie să i se acorde importanţa cuvenită, pentru că deaceasta depinde înţelegerea corectă, asigurarea participării active şi conştientea elevilor la rezolvare. Prin discuţii cu elevii trebuie reţinute elementelematematice importante: datele problemei, relaţiile dintre date, întrebareaproblemei. $ă se insiste asupra fondului, nu a formei, dînd libertate elevului săse e%prime liber, aceasta convin+%ndu*ne că a înţeles problema. &ste binevenităilustrarea problemei cu ajutorului materialului didactic, la clasa 5, iar la clasele mai mari cusc-eme +rafice sau alte semen convenţionale.

• c) Analiza problemei (examinarea problemei)este etapa cea mai importantă înrezolvarea pr oblemei. 'cestei etape trebuie să i se acorde timp su(cient, să nuse efectueze în grabă, super(cial, ci cu multă răbdare, cu efort de gîndirepentru descoperirea căii de rezolvare a problemei. &%aminarea problemei înseamnă un şir de raţionamente orientate către întrebarea problemei princare se găsesc relaţii între perec)i de valori numerice şi se împarte problemadată în probleme simple. $uccesiunea problemelor simple ce alcătuiescproblema compusă se face astfel încît întrebarea ultimei probleme să coincidăcu întrebarea problemei date. 'cest lucru se face prin două metode: metodaanalitică şi metoda sintetică .

• 'naliza profundă a datelor problemei trebuie sa *l conducă pe elev ladesprinderea de concret, la transpunerea situaţiei concrete pe care o prezintăproblema în relaţii matematice.

• *enunţarea la elementele concrete şi înlocuirea acestora cu e%presii potrivite,fac posibilă sc-ematizarea problemei 3 deci pasul necesar spre +eneralizare.

• d) ntocmirea planului de rezolvareeste etapa care urmează e%aminării problemei.'cest plan este, de fapt, o ordonare sintetică a întrebărilor problemelor simple,reieşite din problema compusă, în timpul e%aminării. Planul de rezolvare nueste un scop în sine, ci un mijloc prin care ajutăm elevii să înţeleagă cum sedesfăşoară procesul de e%aminare şi cum se formulează concluziile acesteie%aminări. Pentru alcătuirea planului se folosesc în e%primare numai mărimisau cantităţi fără numere "sau cu cît mai puţine numere# şi fără calcule, întrucîtacum se stabilesc numai raporturile cantitative dintre mărimi sau relaţii decalcul. Planul de rezolvare se poate formula (e prin propoziţii interogative "maiales la clasele mici#, (e prin propoziţii a(rmative.

• e) !ezolvarea propriu"zisă a problemei constă în stabilirea operaţieicorespunzătoare (ecărui punct din plan şi efectuarea calculelor ce conduc laobţinerea rezultatului (nal.

f) Activităţi suplimentare după rezolvarea problemei:• * veri(carea rezultatului obţinut prin rezolvarea problemei 3 prile de convin+ere

privind usteţea rezolvării;


3/45

• *scrierea sub formă de e% erciţiu a rezolvării problemei 3 cu rol %n fi area al+oritmuluide rezolvare, dar şi în antrenarea sistematică a intelectului elevilor;

• * căutarea şi aplicarea unui alt mod de rezolvare 3 ceea ce contribuie la dezvoltarea+%ndirii creatoare)

• *formularea de alte probleme ce se rezolvă după acelaşi e%erciţiu etc.

#azele psi$opedagogice şi metodologice ale rezolvării problemelorGândirea ca proces de rezolvare a problemelorA +6ndi %nseamnă a răspunde la diferite %ntrebări , a opera cu noţiunil

principiile şi le+ile , darmai ales a rezolva probleme %4roblema este domeniul predilect al al probării şi afirmării +6ndirii . 'n sens +eneral , problema se defineşte cobstacol de ordin informaţional & cognitiv pe care +6ndirea %l %nt6lneşte pe traiectoriasa de la osituaţie iniţială(A$ cătresituaţia finală(7$.'n plan subiectiv , acest obstacol se conştientizează şi se trăieşte %n forma unei tensiuna unei disonanţe , cu at6t mai puternice cu c6t disponibilităţile imediate de rezolvarsunt mai reduse . 'n definirea şi evaluarea unei probleme , trebuie să ţinem seama at6de latura obiectivă ( cum este formulată şi structurată sarcina $ , c6t şi de cea subiectivă+radul de pre+ătire internă anterioară a subiectului %n raport cu tipul dat de sarcini4entru ca o situaţie , considerată problemă %n plan obiectiv , să devină o problemă şi d punct de vedere psi-olo+ic , este necesar ca subiectul să nu dispună imediat de soluţieci să fie nevoit să desfăşoare o activitate intelectuală specială , prin %ncercări şi eror pentru aflarea rezultatului . 8 problemă poate fi considerată cu at6t mai dificilă şi macomple ă , cu c6t subiectul trebuie să efectueze un număr mai mare de e plorări de%ncercări şi de operaţii pentru +ăsirea rezultatului , şi invers .

După +radul de structurare a modalităţii de abordare 3 rezolvare , problemele aufost %mpărţite %n două mari clase

a$ probleme bine definite ) b$ probleme slab definite .

7ine definite sunt considerate problemele a căror rezolvare poate fi fi ată %ntr*o sc-emoperaţională de tip al+oritmic ( probleme de matematică $. Slab definite sunt problemea căror rezolvare nu se pretează la al+oritmizare ( e . 9ocul de şa- , elaborarea uneiinvenţii , crearea unei opere literare $ .&ezolvarea oricărei probleme autentice are un caracter procesual , etapizat8rientativ , desprindem următoarele etape sau faze mai importante

a$ perceperea problemei , care poate fi corectă sau alterată , completă saulacunară , aceasta condiţion6nd orientarea procesului rezolutiv %ntr*o direccorectă sau %ntr*una +reşită )

b$ formarea reprezentării sau modelului intern , care devine premisă pentruor+anizarea şi desfăşurarea operaţiilor rezolutive )

c$ reformularea problemei , pentru aducerea ei %ntr*o formă mai inteli+ibilă şi

mai coerentă ) aceasta permite identificarea tipolo+ică şi facilitează ale+eremetodei de rezolvare )d$ alegerea şi aplicarea metodei , metodă care poate fi al+oritmică sau euristică )

problema este supusă efectiv transformărilor %n vederea +ăsirii soluţiei )


4/45

e$ verificarea rezultatului : dacă este corect , procesul se stopează , dacă sedovedeşte eronat , se trece la descoperirea erorilor sau la ale+erea altei metodede rezolvare .

'tapele rezolvării problemelor

5ntroducerea elevilor %n activitatea de rezolvare a problemelor se face pro+resantren6ndu*i %n depunerea de eforturi mărite pe măsură ce %naintează %n studiumăsură ce e perienţa lor rezolutivă se %mbo+ăţeşte. Astfel , odată cu %nvăţarea primoperaţii aritmetice (de adunare şi scădere $ se %ncepe rezolvarea pe cale orală şi pe bde intuiţie , a primelor probleme simple . :reptat , elevii a un+ să rezolve aceste probleme şi %n formă scrisă. ;n moment de salt %l costituie trecerea de la rezolvar problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse.


5/45

4rocesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea şi formularea unoripoteze şi verificarea lor . Dar formularea acestor ipoteze nu este rezultatul unei simpinspiraţii , ci presupune at6t un fond de cunoştinţe pe care elevul le aplică %n rezolva problemelor , c6t şi o +amă variată de deprinderi şi abilităţi intelectuale necesare % procesul rezolvării problemelor . Diferitele ipoteze ( enunţuri ipotetice care ne vi%n minte %n le+ătură cu problema pusă $ nu apar la %nt6mplare . le iau naştere pe asociaţiilor , pe baza cunoştinţelor asimilate anterior . =u c6t cunoştinţele sunt ma profunde , cu at6t şansele ca ipotezele care se nasc %n mintea rezolvitorului %l conmai repede la o soluţie , cu c6t fondul din care sunt alese ipotezele este mai bo+at cu atsoluţia este mai bună . De aceea , %n orice domeniu , capacitatea de a rezolva problemcomple e este condiţionată de o solidă pre+ătire de specialitate , dar şi de cultura+enerală.

'n rezolvarea problemelor intervin o serie de te-nici , procedee , moduri deacţiune , deprinderi şi abilităţi de muncă intelectuală independentă . Astfel sunt necesaunele deprinderi şi abilităţi cu caracter mai +eneral cum sunt orientarea activităţimintale asupra datelor problemei , punerea %n le+ătură lo+ică a datelor , capacitatea dizola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut , e tra+erea acelor cunoştinţecare ar putea servi la rezolvarea problemei precum şi unele deprinderi specificreferitoare la detaliile acţiunii (cum sunt cele de +enul deprinderilor de calcul$.

=u toată varietatea lor , problemele de matematică nu sunt independente , izolate ci fiecare problemă se %ncadrează %ntr*o anumită cate+orie . 4rin rezolvarea u probleme care se %ncadrează %n aceeaşi cate+orie , av6nd acelaşi mod de or+aniza udecăţilor , deci acelaşi raţionament , %n mintea copiilor se conturează sc-ema drezolvare , ce se fi ează ca un al+oritm sau un semial+oritm de lucru , care se %nvaţă , transferă şi se aplică la fel ca re+ulile de calcul . Aflarea căii de rezolvare a une probleme este mult mai uşurată %n cazul %n care elevul poate subsuma problema n

unei cate+orii , unui tip determinat de probleme , de a cunoscute . Dar aceastăsubsumare se poate face corect numai dacă elevul a %nţeles particularităţile tipice acate+oriei respective, raţionamentul rezolvării ei , dacă o poate descoperi şi recunoaş%n orice condiţii concrete s*ar prezenta problema ( domenuil la care se referă , mărimşi natura datelor etc.$.

De o mare importanţă %n rezolvarea problemelor este %nţele+erea struct problemei şi a lo+icii rezolvării ei .

levul trebuie să cuprindă %n sfera +6ndirii sale %ntre+ul ,, film” al desfăşurăraţionamentului şi să*l reţină drept element esenţial , pe care apoi să*l +eneralizeze %ntrea+a cate+orie de probleme . 4entru a a un+e la +eneralizarea raţionamentului comal unei cate+orii de probleme , elevii trebuie să aibă formate capacităţile de a analiza de a %nţele+e datele problemei, de a sesiza condiţia problemei şi de orienta lo+ic şirul udecăţi către %ntrebarea problemei .

=6nd se rezolvă o problemă compusă , aparent elevul rezolvă pe r6nd mai multe probleme simple . 'n esenţă , nu este vorba de probleme simple care se rezolvă izolat Acestea fac parte din structura problemei compuse , rezolvarea fiecăreia dintre elfăc6ndu*se %n direcţia aflării necunoscutei , fiecare problemă simplă rezolvareprezent6nd un pas %nainte , o veri+ă pe calea raţionamentului problemei compuse ,natură să reducă treptat numărul datelor necunoscute .

'n activitatea de rezolvare a unei probleme se parcur+ mai multe etape . 'n fiecareetapă are loc un proces de reor+anizare a datelor şi de reformulare a problemei , pe bazactivităţii de orientare a rezolvitorului pe drumul şi %n direcţia soluţiei problemei .

Aceste etape sunt


6/45

A. 3 =unoaşterea enunţului problemei7. 3 'nţele+erea enunţului problemei=. 3 Analiza problemei şi %ntocmirea planului lo+icD. 3 Ale+erea şi efectuarea operaţiilor corespunzătoare succesiunii

udecăţilor din plan lo+ic. 3 Activităţi suplimentare

* verificarea rezultatului* scrierea sub formă de e erciţiu* +ăsirea altei căi sau metode de rezolvare* +eneralizare* compunere de probleme după o sc-emă asemănătoare

A.=unoaşterea enunţului problemei,,8 problemă bine %nţeleasă este pe umătate rezolvată” u+en &usu

ste etapa de %nceput %n rezolvarea oricărei probleme . =unoaşterea enunţului problese realizează prin citire de către %nvăţător sau de elevi sau prin enunţare orală . Se repeta problema de mai multe ori , p6nă la %nsuşirea de către toţi elevii . Se vor scoateevidenţă anumite date şi le+ăturile dintre ele , precum şi %ntrebarea problemei . Se vscrie pe tablă şi pe caiete datele problemei ( folosindu*se scrierea pe orizontală sau pverticală $ .

7. 'nţele+erea enunţului problemei >u este posibil ca elevul să formuleze ipoteze şi să construiască raţionamentulrezolvării problemei dec6t %n măsura %n care cunoaşte termenii %n care se problema . nunţul problemei conţine un minim necesar de informaţii .Datele şi condiţia

problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor , a analizei şi sintezei , precum şi +eneralizărilor ce se fac treptat pe măsură ce se %naintează spre soluţie . 'ntrebar problemei indică direcţia %n care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor . Acminimum de informaţii trebuie recepţionat %n mod optimal de către elevi prin citirte tului problemei , prin ilustrarea cu ima+ini sau c-iar cu acţiuni c6nd este cazul .

=. Analiza problemei şi %ntocmirea planului lo+icste etapa %n care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificaţie matematică se elaborează reprezentarea matematică a enunţului problemei .

Aceasta este etapa %n care se ,, construieşte” raţionamentul prin care se rezolv problema , adică drumul de le+ătură dintre datele problemei şi necunoscută . 4rine erciţiile de analiză a datelor , a semnificaţiei lor , a relaţiilor dintre ele şi a celor dintrdate şi necunoscute se a un+e să ne ridicăm de la situaţiile concrete pe care le prezint problema la nivelul abstract care vizează relaţiile dintre parte şi %ntre+ .

:ranspun6nd problema %ntr*un desen , %ntr*o ima+ine sau %ntr*o sc-evidenţiem esenţa matematică a problemei , adică reprezentarea matematică aconţinutului ei . 'n momentul %n care elevii au transpus problema %n relaţii matematsoluţia este ca şi descoperită .

D. Ale+erea şi efectuarea operaţiilor corespunzătoare succesiunii din planul lo+icAceastă etapă constă %n ale+erea şi efectuarea calculelor din planul de rezolvare ,conştientizarea semnificaţiei rezultatelor parţiale ce se obţin prin calculele respective şevident , a rezultatului final .


7/45

. Activităţi suplimentare după rezolvarea problemeia constă %n verificarea soluţiei problemei , %n +ăsirea şi a altor metode de rezolvarede ale+ere ustificată a celei mai bune . ste etapa prin care se realizează şiautocontrolul asupra felului %n care s*a %nsuşit enunţul problemei , asuraţionamentului realizat şi a demersului de rezolvare parcurs .

După rezolvarea unei probleme se recomandă 3 pentru a se scoate %n evidencate+oria din care face parte problema 3 fi area al+oritmului ei de rezolvare , scriere( transpunerea $ datelor problemei şi a relaţiilor dintre ele %ntr*un e erciţiu sau , ducaz , %n fra+mente de e erciţiu . 4rin rezolvarea de probleme asemănătoare , pricompunerea de probleme , cu aceleaşi date sau sc-imbate dar rezolvabile după acelaşe erciţiu , %nvăţătorul descoperă cu elevii sc-ema +enerală de rezolvare a unei cate+ode probleme . ste o cerinţă care nu duce la sc-ematizarea , la fi itatea sau ri+iditatea+6ndirii , ci , din contră , la cultivarea şi educarea creativităţii , la antrenarea sistematica intelectului elevilor .

4rocesul de rezolvare a problemelor antrenează %n sistem elementele a unse automatizare , dar mai ales corelează elemente a căror acţiune trebuie să răm6nă % permanenţă sub controlul conştiinţei . Abilităţile matematice de care depinde rezolvare problemelor sunt fie cu caracter +eneral , adică intră %n acţiune la rezolvarea orică probleme , fie specifice şi se aplică la probleme tipice , ori la detaliile acţiunilo( procedee de calcul $ şi , %n acest caz , au statut de deprinderi .

Sarcina principală a %nvăţătorului c6nd pune %n faţa elevilor o problemă este conducă pe aceştia la o analiză profundă a datelor , analiză care să le permită o serie dreformulări care să*i apropie de soluţie . necesară analiza datelor %n special datorilipsei unei vederi de ansamblu ( a perspectivei $ asupra problemei şi conştientizăr%ntre+ului raţionament de rezolvare a acesteia .

8 problemă este cu at6t mai dificilă cu c6t ea diferă mai mult de problemele

rezolvate anterior , deci cu c6t situaţia nouă cere o restructurare mai profundă ae perienţei anterioare .

Retorica etapelor rezolvării unei probleme :

% nţelegerea problemeia$ 'nţele+erea enunţului problemei %n ansamblul său , fără a avea %n vedere detaliile b$ Separarea părţilor principale ale problemei şi reprezentarea lor (dacă este posibi printr*un desen convenţional .După ? . 4ol@a , părţile principale ale unei ,,probleme de aflat” sunt datele necunoscuta şi condiţia ) ale unei ,,probleme de demonstrat” sunt ipoteza ( ceea ce se d$şi concluzia ( ceea ce trebuie demonstrat$ .c$ aminarea fiecărei date , fiecărei componente a necunoscutei , fiecărei clauze acondiţiei .

Avansarea unor ipoteze asupra soluţiei * 4oate fi satisfăcută condiţia * ste condiţia suficientă pentru a determina necunoscuta * Sau este insuficientă * Sau redundantă * Sau contradictorie

4uneţi*vă aceste %ntrebări pentru problemele " . ,,=6t costă " B+ de orez şi c6t costă " B+ de făină , dacă 2 B+ de orez şi / B+ de făicostă "1C lei , iar / B+ de orez şi 2 B+ de făină costă "1/ le ”


8/45

2 . ,,2 B+ de orez şi / B+ de făină costă "1C lei . S*a cumpărat orez şi făină %n valoade "1/ lei . =6t costă " B+ din fiecare produs ”/ . ,, =6t costă " B+ de orez şi c6t costă " B+ de făină dacă 2 B+ de orez şi / B+ de făincostă "1C lei , iar C B+ de orez şi ! B+ de făină costă 2EC lei ”C . ,, 4reţul unui B+ de orez este cu lei mai mic dec6t al unui B+ de făină . 4entru 2 Bde orez şi / B+ de făină s*au plătit "1C lei . =6t costă " B+ din fiecare produs , dacă altdată pentru / B+ de orez şi 2 B+ de făină s*au plătit "1/ lei ”

'n prima problemă condiţia este suficientă pentru determinarea soluţiei ) %n a dou problemă condiţia este insuficientă pentru determinarea soluţiei (problema are infinitate de soluţii , este nedeterminată$ ) %n a treia problemă condiţia escontradictorie , iar %n a patra , condiţia este redundantă(conţine date de prisos$ .

% ntocmirea unui plan* 4roblema se %ncadrează %ntr*unul din tipurile studiate

Dacă da , trebuie să ne amintim metoda prin care se rezolvă problemele de tipulrespectiv .Dacă nu , recur+em la metodele +enerale de raţionament analiza şi sinteza .a$Fetoda analizei constă %n a face raţionamentul problemei pornind de lnecunoscută la date .

* Să cercetăm necunoscuta G* Din ce mărimi rezultă ea * =um pot fi deduse aceste mărimi ( 0i aşa mai departe p6nă a un+em la datele

problemei$. b$ Fetoda sintezei constă %n a face raţionamentul problemei pornind de la da

spre necunoscută .

* Am putea deduce ceva util din datele problemei * putem folosi rezultatul obţinut pentru a afla noi mărimi utile %n rezolvar problemei ( 0i aşa mai departe p6nă a un+em la necunoscută$.

5ndiferent prin ce metodă facem raţionamentul problemei , planul rezolvării sface de la date spre necunoscută G

4lanul rezolvării unei probleme de aritmetică trebuie să constituie o %nlănţuire probleme simple , astfel %nc6t soluţia ultimei dintre ele să fie soluţia problemei date G

* % !ealizarea planuluiSe efectuează succesiv operaţiile care conduc la soluţiile problemelor simple

cuprinse %n planul de rezolvare .* Au fost utilizate toate datele + % rivire reptrospectivăa$ Apreciere +enerală asupra rezultatului .* 4oate constitui aceasta soluţia problemei b$


9/45

* 4ot face +eneralizări * Sunt particularizări

--% % Criterii de clasificare a problemelor de aritmetică

Adoptăm , după ?.4ol@a , o primă clasificare a problemelor %n probleme ,,daflat” şi probleme ,,de demonstrat”. Această clasificare este inspirată dintr*o tradiţie cadurează %ncă de la uclid , termenul de problemă ,, de aflat” corespunz6nd celui d problemă , iar cel de problemă ,,de demonstrat” corespunz6nd termenul de t-eorema.

Scopul unei probleme ,,de aflat” este de a +ăsi necunoscuta problemei . Scopuunei probleme ,,de demonstrat” este de a arăta că o anumită aserţiune este adevărată safalsă . ;neori , cele două operaţii 3 de aflare şi de demonstrare 3 se pot %nt6lni %n acee problemă . 'n matematicile elementare predomină ,,problemele de aflat” .

După numărul operaţiilor necesare aflării soluţiei , problemele de aritmetică seclasifică %n două mari +rupe probleme simple şi probleme compuse . Se numesc simp

problemele %n care soluţia se obţine printr*o sin+ură operaţie aritmetică , iar compus problemele a căror rezolvare se face cu două sau mai multe operaţii aritmetice .După scopul imediat pe care %l urmăresc ( aplicarea unei re+uli sau teoreme

dezvoltarea udecăţii , formarea deprinderilor de calcul $ problemele se clasifică %n " . erciţii )2 . 4robleme teoretice )/ . 4robleme practice )C . 4robleme artificiale ) . 4robleme recreative .

erciţiile sunt probleme uşoare , formulate de obicei cu date mici , care servesc pentru aplicarea unei re+uli , a unei teoreme demonstrate la ora de curs , sau pentru pune %n evidenţă unele proprietăţi ale numerelor şi operaţiilor”. De fapt , dacă ţineseama că rezolvarea unei probleme implică o dificultate , e erciţiile n*ar trebui să fi%ncadrate printre probleme .

4robleme teoretice . ,,4roblemele care sunt mai +rele dec6t e erciţiile şi careurmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de udecată , asimilarea temeinică cunoştinţelor teoretice din aritmetică , aflarea diferitelor proprietăţi ale numerelor şformarea +ustului pentru studiul matematicilor , se numesc probleme teoretice” .

4robleme practice . ,,4roblemele care conţin date luate din lumea %ncon urătoale+ate de procesul de producţie , aşa cum se desfăşoară el %n realitate %n uzine o+oare , %n laboratoare , aplicaţii te-nice , din calcule financiare , din comerţ etc...., numesc probleme practice”.

4robleme artificiale . Aceste probleme sunt compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor să aplice o metodă , să folosească anumite re+uli sau procedee d


10/45

calcul . Autorul unei asemenea probleme se străduieşte ca datele şi problema %nsăşifie c6t mai aproape de realitate .

=itez din lucrarea lui ?-.A.=-iţei o problemă artificială ,,8 vulpe urmărită deun o+ar are un avans de CE sărituri %naintea lui . După c6te sărituri o+arul va a unvulpea , ştiind că el face şase sărituri %n timp ce vulpea face şapte sărituri , iar trsărituri ale o+arului fac c6t patru ale vulpii ”

De ce este artificială această problemă 4entru că o persoană nu poate număra %acelaşi timp numărul săriturilor făcute de vulpe şi o+ar , iar pe de altă parte acestea nau o mărime constantă . :otuşi , problema este instructivă , prin raţionamentul careconduce la rezolvare .

4robleme recreative . ,,4roblemele care conţin c-estiuni distractive, cu toate că %rezolvare a lor cer raţionamente ri+uroase din punct de vedere matematic , se numes probleme recreative”.

=&5: &55

a$ după numărul de operaţii * simple* compuse b$ după +radul de +eneralitate * +enerale

* tipice* recreative

c$ după sfera de aplicabilitate * teoretice* practice

d$ după conţinut * de mişcare* amestec şi alia

* +eomatrie* al+ebrăe$ după modul de implicare al creativităţii * demonstrativ*aplicative

* reproductiv creative* euristic creative* de optimizare

f$ după rolul de implicare %n procesul didactic * formativ* informativ


11/45

'.A '/' 0'.12-C' 2' !'31/4A!' A 56'- !1#/'0'4roblemele de aritmetică se pot clasifica %n

!1#/'0' 7-0 /': probleme care se rezolvă printr*o sin+ură operaţie din cele %nvăţateadunare, scădere, %nmulţire sau %mpărţire.

1bservaţii: 3 Aceste probleme sunt primele probleme cu care se %nt%lnesc copii) 3 4rezentarea acestor probleme se face +radat trec%nd prin etapele probleme după ima+ini, problecu ima+ini şi te t, probleme după te t)

'tape metodice în rezolvarea unei probleme simple oral prin descrierea unei acţiunie ecutate %n faţa sa de un alt copil sau educatoare*%nvăţătoare, „traducere” %n desen, „traducutiliz%nd simbolismul elementar, rezolvarea utiliz%nd simboluri matematice. tapele se ale+ %n fude v%rsta copilului şi de e perienţa sa.'xemple:". 4e o ramură sunt păsărele, iar pe alta 2 păsărele. =%te păsări sunt %n total %n copac2. Fi-ai are 1 bomboane. După ce măn%ncă 2 bomboane, ce bomboane %i răm%n/. Dana are 2 lei, Faria de / ori mai mulţi lei. Aflaţi c%ţi lei are Faria.

!1#/'0' C10 57': probleme care sunt compuse din mai multe probleme simple.Dificultatea constă %n +ăsirea le+ăturilor care e istă %ntre subprobleme şi problema %n ansambluldeci construirea şi %nţele+erea raţionamentului de rezolvare.

'tape în rezolvarea problemelor compuse:". nsuşirea enunţului problemei e punereaHcitirea te tului, e plicarea cuvintelor, e presiilor

necunoscute.2. 8udecata (examinarea problemei) discuţii privitoare la conţinutul problemei (se +ăsesc

le+ături %ntre datele problemei şi necunoscute, se fac le+ături cu probleme rezolvate anterio

concretizarea enunţului problemei prin diferite mi loace intuitive, scrierea datelor problemei (ce se dşi ce se cere$, sc-ematizarea problemei, repetarea problemei de către elevi.Iinalitatea etapei de analiză a problemei o constituie sc-ematizarea problemei, deci

concretizarea enunţului %ntr*unmodel al problemei pe baza căruia să se poată face rezolvarea acesteia.Scrierea datelor problemei poate fi făcută simultan cu repetarea problemei de către elevi sau cu etapde discuţii. Datele problemei sepot scrie %ntr*o formă iniţială şi apoi se trec pe modelul realizat, dar pot trece direct pe acesta. Această variantă este o alternativă la copierea datelor problemei şi are un roimportant %n analiza acesteia. Ale+erea modelului adecvat reprezintă de cele mai multe ori c-eia identificarea modului de rezolvare şi %n rezolvarea propriu*zisă a problemei. Aşadar considerămaceasta este etapa cea mai importantă pentru rezolvarea problemei.

/. Alcătuirea planului de rezolvare:se descompune problema %n probleme simple, se discutămodul de rezolvare al fiecărei probleme simple %n parte (se pun oral %ntrebările care conducrezolvarea fiecărei probleme simple$, se discută modul de obţinere a rezultatului.

C.!ezolvarea propriu"zisă:se scriu %ntrebările, se fac calculele şi se obţine rezultatul.. 'xtinderi (Activitatea suplimentară după rezolvare) revederea planului de rezolvare,

verificarea soluţiei, alte căi de rezolvare, scrierea e presiei matematice %n care constă rezolvarea (da


12/45

este cazul$, rezolvarea de probleme asemănătoare, complicarea problemei, +eneralizarea problemei sa metodei de rezolvare, compuneri de probleme de acelaşi tip etc.

0'.12' 7 'C-9-C' 2' !'31/4A!' A 561! .- 5!- 2' !1#/'0' 2'A!-.0'.-C

0'.12A 2-!'C..ipuri de probleme: probleme a căror soluţie se obţine prin efectuarea unei sin+ure operaţii(e ecutată o dată sau de mai multe ori$ sau probleme a căror rezolvare se face %n ordinea %n care daapar %n enunţ.

1bservaţie%&aţionamentul acestor probleme este unul inductiv.'xerciţii%". 8 bucată de stofă lun+ă de #2 m se taie %n bucăţi de / m fiecare. =%te tăieturi se vor face2. 8 persoană vrea să facă un +ard lun+ de C2 m. 4entru acest lucru %i trebuie st%lpi pe care să*i aşedistanţa de 2 m unul de altul. De c%ţi st%lpi este nevoie

/. Dan,


13/45


14/45

* lucrări practice (şi pe calculator$)* ocuri didactice,

nvăţarea asistată de calculator (-AC)

sisteme de ecuaţii, al+oritmi de rezolvare ai uno probleme etc.

--% '.A '/' !'31/4A!-- !1#/'0'/1! 5ntroducerea elevilor in activitatea de rezolvare a

problemelor se face pro+resiv, antrenandu*i in depunerea de eforturimarite pe masura ce inainteaza in studiu si pe masura ce e perientalor rezolutiva se imbo+ateste.


15/45

cu sinteza, caracterizata prin aceea ca diferitele elemente luate inconsideratie isi dezvaluie mereu noi aspecte (analiza$ in functie decombinatiile in care sunt plasate (sinteza $.

4rocesul de rezolvare a unei probleme presupunededucerea si formularea unor ipoteze si verificarea lor. Dar formulareaacestor ipoteze nu este rezultatul unei simple inspiratii, ci presupuneatat un fond de cunostinte in rezolvarea problemelor, cat si o +amavariata de deprinderi si abilitati intelectuale necesare in procesulrezolvarii problemelor.Diferitele ipoteze (enunturi ipotetice care ne vinin minte in le+atura cu problema pusa$nu apare la intamplare. leiau nastere pe baza asociatiilor, pe baza cunostintelor asimilateanterior.=u cat aceste cunostinte sunt mai lar+i si mai profunde, cu atatsunt mai mari sansele ca ipotezele care se nasc in mintearezolvitorului sa il conduca mai repede la o solutie, cu cat fonduldin care sunt alese ipotezele este mai bo+at, cu atat ale+erea este mai buna.De aceea in ori*ce domeniu, capacitatea de a rezolva probleme comple e esteconditionata de o solida pre+atire de specialitate, dar si de cultura+enerala.

5n rezolvarea problemelor intervin o serie de te-nici, proce* dee, moduri de actiune, deprinderi si abilitati de muncaintelectuala independenta. Astfel sunt necesare unele deprinderi siabilitati cu caracter mai +eneral cum sunt orientarea activitatiimintale asupra datelor problemei,punerea in le+atura lo+ica a datelor,capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce estenecunoscut, e tra+erea acelor cunostinte care ar putea servi la

rezolvarea problemei pre* cum si unele deprinderi specificereferitoare la detaliilor actiunii (cum sant cele de +enuldeprinderilor de calcul$.

=u toata varietatea lor, problemele de matematica nu suntindependente, izolate,ci fiecare problema se incadreaza intr*o anumitacate+orie. 4rin rezolvarea unor probleme care se incadreaza in aceeasicate+orie,avand acelasi mod de or+anizare a udecatilor,deci acelasirationament,in mintea copiilor se contureaza sc-ema mintala derezolvare, ce se fi eaza ca un al+oritm sau semial+oritm de lucru,care se invata, se transfera si se aplica la fel ca re+ulile de calcul.

Aflarea caii de rezolvare a unei probleme este mult maiusurata in cazul in care se poate subsuma problema noua uneicate+orii, unui tip determinat de probleme, de a cunoscute.Dar aceastasub* sumare se poate face corect numai daca au fost intelese particularitatile tipice ale cate+oriei respective, rationamentulrezolvarii ei, daca se descopera si recunoaste in orice conditiiconcrete s*ar prezenta problema (domeniul la care se refera, marimeasi natura datelor etc.$.

De o mare importanta in rezolvarea problemelor esteintele+erea structurii problemei si a lo+icii rezolvarii ei.4entru aa un+e la +eneralizarea rationamentului comun unei cate+orii de probleme, trebuie sa fie formate capacitatile de a analiza si de a


16/45

intele+e datele problemei, de a sesiza conditia problemei si de aorienta lo+ic sirul de udecati catre intrebarea problemei.

=and se rezolva o problema compusa, aparent se rezolva perand mai multe probleme simple. 5n esenta, nu este vorba de proble* me simple care se rezolva izolat. Acestea fac parte dinstructura problemei compuse, rezolvarea fiecareia dintre ele facandu*se in directia aflarii necunoscutei, fiecare problema simpla rezolvatareprezentand un pas inainte, o veri+a pe calea rationamentului proble*mei compuse, de natura sa reduca treptat numarul datelor necunoscute.

!a luam drept e"emplu problema : # $ gospodina a cumparat %&g de za'ar a *** lei &ilogramul si +l de ulei a *** lei litrul- .e rest a primit de la ** ***lei / 0

%&g11 ***lei2&g11-+l11- ***lei2l11- ** ***lei1- /

3upa rezolvarea primei probleme simple ( a cumparat %&g de za'ar a *** lei &g, cat costa za'arul /), problema se reformuleaza astfel:# $ gospodina a cumparat za'ar de + *** lei si +l de ulei a *** lei litrul-.e rest

a primit de la ** *** lei / 0

+ *** lei11+l11-- ***lei2 l11-- ** *** lei11 /

3upa rezolvarea celei de a doua probleme simple ( a cumparat + litri de ulei a *** lei litrul, cat costa uleiul / ), problema se reformuleaza astfel :

# $ gospodina a cumparat za'ar de + *** lei si ulei de %4 *** lei- .e rest a primit dela ** *** lei / # ,problema se reformuleaza, in final, ca o problema simpla :5$

gospodina a cumparat za'ar si ulei de 6 *** lei-.e rest a primit de la ** *** lei / 0

6 *** lei1111- ** *** lei11-- /

!c'ematic, procesul de reformulare a problemei si de reducere treptata a datelor necunoscute s7ar prezenta astfel :

%&g111 ***lei2&g11--+l11 ***lei2l1--11 *****lei /

+ ***lei1111111--+l111- ***lei2l11 ** ***lei /

+ ***lei111111111-%4 ***lei11111 ** ***lei/

6 *** lei111111111-- ** ***lei /

5n activitatea de rezolvarea a unei probleme se parcur+ maimulte etape.5n fiecare etapa are loc un proces de reor+anizare adatelor si de reformulare a problemei, pe baza activitatii de orientare a

rezolvitorului pe drumul si in directia solutiei problemei. Aceste etape sunt A*=unoasterea enuntului problemei7*5ntele+erea enuntului problemei=*Analiza problemei si intocmirea planului lo+ic


17/45

D*Ale+erea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii udecatilor din planul lo+ic

*Activitati suplimentare * verificarea rezultatului* scrierea sub forma de e ercitiu* +asirea altei cai sau metode de rezolvare* compunerea de probleme dupa o sc-ema asemanatoare etc.

A"Cunoasterea enuntului problemei

ste etapa de inceput in rezolvarea oricarei probleme.&ezolvitorul

trebuie sa afle care sunt datele problemei, cum se lea+a intre careeste

necunoscuta problemei.

#"-ntelegerea enuntului problemei >u este posibil ca elevul sa formuleze ipoteze si sa

construiasca rationamentul rezolvarii problemei decat in masura incare cunoaste termenii in care se pune problema. nuntul problemeicontine un minim necesar de informatii.Datele si conditia problemeireprezinta termenii de orientare a ideilor, a analizei si sintezei, precum si a +eneralizarilor ce se fac treptat pe masura ce seinainteaza spre solutie.5ntrebarea problemei indica directia in care

trebuie sa se orienteze formularea ipotezelor.Acest minim deinformatii trebuie receptionat in mod optimal de catre elevi princitirea te tului problemei, prin ilustrarea cu ima+ini sau c-iar cuactiuni cand este cazul.

De e emplu, problema L 5ntr*o tabara au fost in primaserie 2 1 elevi iar in seria a doua cu 2 de elevi mai multi decatin prima serie. =ati copii au fost in ambele serii4rin discutii cu elevii,trebuie retinute elementele matematiceimportante datele problemei, relatiile dintre date, intrebarea

problemei.>ereceptionarea corecta a enuntului problemei +enereazamulte dificultati in activitatea de rezolvare,cum ar fi sc-imbareasensului unor date(in loc de L mai mult cu 2 de copii M in seria adoua unii elevi retin ca L au fost 2 de elevi M$, ne+li area unor date,luarea in consideratie a unor numere care nu au functie de L date Male problemei etc.

C"Analiza problemei si intocmirea planului logicste etapa in care se produce eliminarea aspectelor ce nu au

semnificatie matematica si se elaboreaza reprezentarea matematica aenuntului problemei.Aceasta este faza in care se L construieste Mrationamentul prin care serezolva problema, adica drumul de le+atura intre datele problemeisi necunoscuta.


18/45

4rin e ercitiile de analiza a datelor, a semnificatiei lor, a relatiilor dintre ele si a celor dintre date si necunoscute se a un+e sa neridicam de la situatiile concrete pe care le prezinta problema (L a parcursJJ. Bilometri M, L a cumparatJBilo+rame M,aJ lei Bilo+rames.a.$ la nivelul abstract care vizeaza relatiile dintre parte si intre+ )viteza, distanta si timp ) cantitate, pret, valoare etc.

:ranspunand problema intr*un desen, intr*o ima+ine sau intr*osc-ema scriind datele cu relatiile dintre ele intr*o coloana s.a.,evidentiem esenta matematica a problemei, adica reprezentareamatematica a continutului ei. Se sesizeaza cum este cazul problemeicu cumparaturile mai inainte prezentata, ca este vorba de suma adoua produse .

5n cazul celei de a doua probleme ( cu elevii$ mai sus amintita,este vorba de o suma de doi termeni in care al doilea termen nueste e primat numeric, ci reprezinta suma a doua numere.5n momentul in care este transpusa problema in relatii matematice,solutia este ca si descoperita.

2"Alegerea si efectuarea operatiilorcorespunzatoare succesiunii din planul logic%

Aceasta etapa consta in ale+erea si efectuarea calculelor din planul de rezolvare, in constientizarea semnificatiei rezultatelor partiale ce se obtin prin calcule respective si, evident, a rezultatuluifinal.

De o importanta ma ora in formarea abilitatilor, a priceperilor sideprinderilor de a rezolva probleme il are etapa urmatoare.

'"Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemeia consta in verificarea solutiei problemei, in +asirea si a

altor metode de rezolvare si de ale+ere ustificata a celei mai bune. ste etapa prin care se realizeaza si autocontrolul asupra feluluiin care s*ainsusit enuntul problemei, asupra rationamentului realizat si a demer*sului de rezolvare parcurs.

---% C/A7-9-CA!'A !1#/'0'/1! 2' A!-.0'.-CA

4roblemele de aritmetica ar putea fi clasificate dupa mai multecriterii

".Dupa continut, ele se clasifica in practice (probleme referi* toarenumere$ si teoretice (probleme referitoare la numere, operatii si proprietaoperatiilor$.


19/45

2.Dupa comple itate, ele se clasifica in probleme simple (in+eneral cu o sin+ura operatie sau cu un +rup dat de operatii$ si problemecomple e, cu doua sau mai multe operatii le+ate intre ele.

/.Dupa +radul de +eneralitate, ele se clasifica in probleme tipice

si probleme compuse obisnuite.

C.Dupa metoda de rezolvare, ele se clasifica in probleme cuaplicare directa a operatiilor si probleme reductibile la o metoda ( falsaipoteza mersul invers,metoda +rafica, etc. $.

-4% 0'.121/1;-A AC.-4-.A.--2' !'31/4A!' A !1#/'0'/1!

8r+anizarea activitatii de rezolvare aproblemelor sefundamenteaza pe cele cinci principale etape si momentul de efortmintal pe care il parcur+ elevii, si anume

cunoasterea enuntului problemeiintele+erea enuntului problemeianaliza si sc-ematizarea problemeirezolvarea propriu*zisa a problemeiverificarea rezolvarii problemei si punerea rezolvarii sub forma dee ercitiu, formularea de alte probleme ce se rezolva dupa acelasie ercitiu, +eneralizarea etc.

-4 % %!ezolvarea problemelor simple

4rimele probleme simple sunt acelea pe care si le punecopilul zilnic in scoala, in familie, in timpul ocului si care suntilustrate cu e emple familiare lui. 4entru ai face sa vada inca dinclasa intai utilitatea activitatii de rezolvare a problemelor este necesar ca micii scolari sa intelea+a faptul ca in viata de toate zilele suntsituatii cand trebuie +asit un raspuns la diferite intrebari. &ezolvarea primelor probleme se realizeaza la un nivelconcret, ca actiuni de viata ( au mai venitJfetite, s*auspartJ.baloane, au plecatJratuste, i*a dat creioane colorate, aumancatJ bomboane$, ilustrate prin ima+ini sau c-iar prin actiunie ecutate de copii( elevul vine la ma+azin, cumpara, plateste sau elevuleste la scoala si primeste carti sau creioane $ . 5n aceasta faza,activitatea de rezolvare a problemelor se afla foarte aproape de aceeade calcul. 5ntroducerea in rezolvarea problemelor simple se face incadin perioada pre+atitoare primelor operatii.


20/45

&ezolvarea problemei simple reprezinta un proces deanali* za si sinteza in cea mai simpla forma. 4roblema cuprinde valorilenumerice (datele cunoscute si intrebarea $. Na cea mai simpla analizaa intrebarii problemei se a un+e la valorile numerice, si la cea maisimpla sin*teza a valorilor numerice se a un+e la intrebarea problemei. levul trebuie sa transpuna relatia dintre valorilenumerice(Odin# pasarele au zburat 2O$ intr*o operatie de scadere. l nu va putea sa sesizeze relatia usta care duce larezolvarea problemei, nu va putea descoperi solutia problemei, decatin masura in care va fi constient de semnificatia valorilor numericesi de rezolvarea problemei.

A rezolva in mod constient o problema simpla, inseammnaa cunoaste bine punctul de plecare ( valorile numerice si relatia dintreele$ si punctul la care trebuie sa se a un+a (intrebarea problemei$,inseamna a stabili intre acestea o relatie usta, adica a ale+e operatiaaritmetica pentru rezolvarea problemei.

Desi rezolvarile de probleme simple par usoare, trebuiesa se aduca in atentia copiilor toate +enurile de probleme care serezolva printr*o sin+ura operatie aritmetica. Aceste tipuri sunt

robleme simple bazate pe adunare* de aflare a sumei a doi termeni)

* de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitatidecat un numar dat ) * probleme de +enul L cu atat mai mult M.

robleme simple bazate pe scadere * de aflare a restului ) * de aflare a unui numar care sa aiba cu un numar de unitatimai putine decat un numar dat ) * de aflare a unui termen atunci cand se cunosc suma siun termen al sumei ) * probleme de +enul L cu atat mai putin M

robleme simple bazate pe inmultire * de repetare de un numar de ori a unui numar dat ) * de aflare a produsui ) * de aflare a unui numar care sa fie de un numar de orimai mare decat un numar dat )

robleme simple bazate pe impartire * de impartire a unui numar dat in parti e+ale ) * de impartire prin cuprindere a unui numar prin altul )

A /-CA.--- 3aniela a cules 8 ciuperci, iar 9rina a cules * ciuperci-

.ate ciuperci au cules impreuna /

Rezolvare :.ate ciuperci au cules impreuna / 8 *; 8(ciuperci) Raspuns : 8ciuperci

+-


21/45

Raspuns : 86, 68 si +6 %- 9ntr7un cos sunt % mere, iar in alt cos sunt cu + mai multe mere decat in primul-.ate mere sunt in al doilea cos /

Rezolvare: .ate mere sunt in al doilea cos / *< =**( mere) Raspuns:%%mere

- 9onel avea o cutie cu +* bomboane-=l a mancat * bomboane- .ate bomboane i7au mai ramas /

Rezolvare : .ate bomboane i7au mai ramas / +*7 *; *(bomboane) Raspuns : * bomboane

8- *, *-

Rezolvare : 6*7%*; * >*7%*;4* *7%*;8* Raspuns : *, 4*, 8*-

4-.e numar trebuie adunat cu * ca sa obtinem >* / Rezolvare :

a *;>* a;>*7 *

a;8* Raspuns:8* >% ?@ =*@

Raspuns :%8 *** lei >- 9ntr7un parc trebuie saditi 4% de trandafiri asezati pe 6 randuri-

.ati trandafiri vor fi saditi pe fiecare rand / Rezolvare : .ati trandafiri vor fi saditi pe fiecare rand / 4% :6;> (trandafiri) Raspuns : > trandafiri

*- ?n calator are de parcurs o distanta de + &ilometri- =l a parcurs @ din aceasta distanta - .ati &ilometri a parcurs calatorul /

Rezolvare : .ati &ilometri a parcurs calatorul / %A + : ; %4 : ;>(&m) Raspuns :> &m

-4% %!'31/4A!'A !1#/'0'/1! C10 57'

Spre deosebire de rezolvarea problemelor simple, rezolvarea problemelor compuse reprezinta un fenomen psi-ic mai comple . 4roblema compusa fiind alcatuita din mai multe problemesimple, cuprinde un comple de situatii concrete, de relatii in care secere sa se determine o valoare numerica necunoscuta pe baza unor


22/45

valori numerice date, care se +asesc intr*o anumita dependenta una dealta si toate fata de marimea cautata.

4roblema compusa este alcatuita din mai multe probleme simple,care se

succed intr*o inlantuire lo+ica. =ontinutul problemei compuse are nunumai

doua valori numerice, ci mai multe. 4entru rezolvarea problemelor trebuie sa se alea+a din toatevalorile numerice perec-i de valori care se lea+a intre ele printr*orelatie determinata.

Aceasta e o activitate dificila, care cere un anumit efort al+andirii si o anumita e perienta. De altfel, aceasta ale+ere a valorilor numerice nu se face numai in scopul sistematizarii lor,ci constituiedeprinderea problemelor simple din cadrul problemei compuse. vorba de un proces de analiza, care trebuie orientat catre sinteza ceurmeaza, catre intrebarea problemei.

=itam o problema compusa cu / operatii, pentru ailustra problemele simple componente, precum si intrebarileitermediare.

Fama a cumparat /m de pan+lica cu 2 lei metrul siCm de elastic cu / lei metrul. =ati lei a c-eltuit mama

=ati lei costa pan+lica =ati lei costa elasticul

tapele metodice in rezolvarea problemelor compuse sunt ". 5nsusirea enuntului problemei) 2. aminarea problemei) /. Alcatuirea planului de rezolvarea problemei C. &ezolvarea propriu*zisa )

5ntre aceste etape e ista o strinsa le+atura.

".5nsusirea enuntului problemei inseamna cunoastereacontinutului problemei, a tematicii, sau a domeniului din realitateaobiectiva la care se refera datele problemei, precum si cunoastereaacestor date si a intrebarii problemei.

Asadar, insusirea enuntului problemei nu inseamnacunoasterea si reproducerea te tului ei, ci inseamna patrundereatreptata in continutul problemei. Aceasta se realizeaza prin

*e punerea sau citirea problemei ) *discutii in le+atura cu continutul problemei) *concretizarea ei prin diferite mi loace intuitive)

2 lei / lei Cm /m

=ati lei a c-eltuit mama


23/45

*e plicarea cuvintelor si a e presiilor necunoscute) *sc-ematizarea problemei prin discutii, sc-eme) *scrierea enuntului problemei)

2. aminarea problemei constituie activitatea cea maiimportanta in rezolvarea problemelor.aminarea problemei se face pe cale analitica sau sintetica.

=alea sintetica, reprezentand drumul de la valorilenumerice cunoscute catre intrebarile problemei, de la cunoscut lanecunoscut este mai usoara decat calea analitica.

aminarea analitica a problemei, pornind de laintrebare catre valorile numerice cunoscute, deductia, de la necunos*cut la cunoscut este mai +rea, obli+a elevul la un efort mai mare.

5n practica, s*a demonstrat ca metoda sintezei este maiaccesibila, dar nu solicita prea mult +andirea elevilor. Fai mult, seconstata ca unii elevi pierd din vedere intrebarea problemei si sunttentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt necesare in +asireasolutiei problemei.Fetoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult +andireaelevilor .

A /-CA.-- roblema% $ ferma agricola a contractat predarea a +28 din productia sa de

grau, restul distribuindu7se asociatilor sai--!a se calculeze cantitatea de grau ce revineunui asociat pentru un 'ectar, daca suprafata totala insamantata a fost de 4 'a,

productia medie la 'ectar fiind de % ** &g -

Rezolvare :0etoda sintactica a).unoscand suprafata insamantata si productie medie la 'ectar se poate afla

productia totala -4 A% **;+ 4+ ** ( &g)

b).unoscand productia totala si ce parte din ea a fost con tractata se poate afla cantitatea de grau ce trebuie predata conformcontractului - + 4+ **A+ :8; ; >+ ** :8 ; > >4* ( &g) c).unoscand productia totala si cantitatea de grau ce tre7 buie predata se

poate afla cantitatea de grau ce se repartizeaza asociatilor-

+ 4+ **7> >4*; 66 * (&g) d).unoscand intreaga cantitate de grau ce se repartizea7 za asociatilor se poate afla cantitatea de grau ce revine unui asociat pentru un 'ectar - 66 * :4 ;++ * (&g)

0etoda analitica a)Bentru a afla ce cantitate de grau revine unui asociat pen7 tru un 'ectar, ar trebui sa stim intreaga cantitate ce se repartizeaza asociatilor- Cie # . 0 cantitatea de grau ce se repartizeaza asociatilor si # D 0 cantitatea de

grau ce revine unui asociat pentru un 'ectar- D;. :4 b)Bentru a afla cantitatea de grau ce se repartizeaza asociati7 lor, ar trebui sa

facem o operatie de scadere- Cie # E 0 cantitatea totala - .;E7+28E c)Bentru a face aceasta operatie ar trebui sa stim ce can7 titate de grau selivreaza conform contractului, adica sa aflam +28din cantitatea totala- d)Bentru a afla ce cantitate de grau se livreaza conform con7 tractului ar trebui sa cunoastem productia totala-


24/45

E;% **A4 E;+ 4+ ** (&g)

9n continuare aflam +28E +28E;+A+ 4+ **:8 ; >+ **:8 ;> >4* (&g)

Brin inlocuiri succesive obtinem # . 0si in final # D 0 .;E7+28E .;+ 4+ **7> >4* .; 66 * (&g)

D;.:4 D; 66 *:4 D;+ + * (&g)

Raspuns:+ + * (&g)

Fetoda analitico*sintactica

A rezolva o problema prin metoda analitico*sintactica in*

seamna a o e amina partial analitic si partial sintactic fara ca sa e is*te reteta de prioritate la inceperea e aminarii pentru o metoda saualta.

emplu roblema% 3e la un magazin s7au cumparat pentru o cantina 8&g orez de calitatea 9 cu * 8** &g, + &g de calitatea a 997a cu > *** lei2&g si +% &g decalitatea a 9997a- .at a costat un &ilogram de orez de calitatea a 9997a daca transportul acostat *** lei, revenind in medie pentruun &ilo7 gram de orez > +** lei /

Rezolvare :

Fom aplica la inceput metoda sintactica- a).unoscand cat costa &g de orez de calitatea 9 si cat orez de aceastacalitate s7a cumparat, putem afla cat a costat orezul- * 8**A 8; 6+ 8**( lei) b).unoscand cat costa &g de orez de calitatea a 997a si cat orez de aceastacalitate s7a cumparat, putem afla cat a costat orezul- > ***A +;6% *** (lei) .ontinuam cu metoda analitica- c).a sa aflam cat costa &g de orez de calitatea a 9997a tre7 bui sa cunoastemcat s7a platit pe +% &g de orez de aceasta calitate- Cie #3 0 costul celor +% &g de orez atunc &g va costa : D;3 : +% d).a sa gasim costul a +% &g de orez de calitatea a 9997a ,adi7 ca 3, va trebui sascadem banii dati pe primele doua calitati din suma totala-Cie .5 suma platita pentru tot orezul- +**A+8*;+ %** *** (lei) f).at costa cel +8* &g de orez fara transport/(sintactic) + %** ***7 ***;+ +84 ***(lei) .;+ +84 *** lei

g).at costa +% &g de orez de calitatea a 9997a /

3;.7 + * 8** 3;+ +84 ***7 + * 8** 3; * 8 8** (lei) ').at costa un &g de orez de calitatea a 9997a / D; * 8 8** : +% D; 8** (lei)


25/45

Raspuns : 8**lei

-4%* !'31/4A!'A !1#/'0'/1!".-

4rin problema tipica intele+em acea constructiematema* tica a carei rezolvare se realizeaza pe baza unui anumital+oritm specific fiecarui tip. 8 asemenea problema se considerateoretic rezolvata in momentul in care i*am stabilit tipul si suntemin posesia al+oritmului de rezolvare.

-4%*% robleme care se rezolva prinmetoda figurativa(metoda grafica)

Fetoda fi+urativa este o metoda ce consta in reprezenta* rea printr*o fi+ura a marimilor necunoscute si fi area in acestdesen a relatiilor intre ele si marimile date in problema. Ii+ura reprezinta o sc-ematizare a enuntului, pentru a se pastra in atentie relatiile matematice si nu toate aspectele concret.&ezolvitorul de probleme de aritmetica simte nevoia sa*siL apropie Mdatele problemei, precum si relatiile dintre acestea din te tul enuntului.4entru aceasta realizeaza un desen, o fi+ura, un model, care sao+lindeasca datele problemei.Daca rezolvitorul este L la inceput dedrum M desenul sau este cat mai detaliat, iar pe masura ce el isiformeaza unele priceperi si deprinderi, fi+ura devine cat mai abstracta,cat mai sc-ematica, ea L prinzand M in cadrul modelului numaiesentialul.

4roblemele care se rezolva prin metoda fi+urativa le putem impartiin doua mari cate+orii si anume A%=u date sau marimi L discrete M intele+and prin aceastaca marimile pot fi numarate cate una si ca se pot pune in corespondentadupa anumite criterii. 5n acest caz marimile le Pfi+uram” prinsimboluri. #%=u date sau marimi L continui M,caz in care, lefi+uram prin se+mente.

A /-CA.-- roblema % 3aca se asaza cate un elev intr7o banca raman elevi in

picioare- 3aca asezam cate + elevi intr7o banca ra 7man % banci libere- .ati elevi si cate banci sunt / !criem datele :elev-1111 banca11--- elevi1---+elevi11 banca1--%banci1- 11--/elevi1/banci- $bservam ca datele problemei sunt marimi carora le7am zis # discrete 0(banci si elevi),marim care se pot pune in coresponden7 ta dupa criterii desprinse din analizate"tului- 3eci din analiza primei parti a enuntului desprindem ca multimea elevilor si multi7 mea bancilor pot fi in asa fel # privite 0 incat elementele lor sa fie


26/45

organizate astfel: fiecarui elev ii corespunde o banca, situatie in care elevi ramanin picioare, deci nu au loc-

Ciguram banca cu # si elevul cu e%


27/45

*


28/45

Brin sageata indicam sensul de deplasare- Bunctul * sa fie &ilometrul *(zero) de unde incepe deplasarea tractorului-Ku stim unde trebuie plasat cantonul-

Broblema ne spune ca dupa + ore de mers,tractorul nu aHunsese la canton-

.onvenind ca spatiul parcurs intr7o ora sa7l figuram prin segmentul LLLLLLLLLLLLL ,asezam doua asemenea segmente cap la cap incepand cu punctul *-Cigura devine :

m

1 A C #

3eci dupa + ore tractorul aHunge la punctul


29/45

78 9 8

3iferenta dintre lungimile celor doua segmente este c'iar diferentadintre cele doua numere, iar suma celor doua numere este reprezentata de douasegmente de aceeasi lungime si inca un segment ce reprezinta tocmai diferenta de4*- *,iar numarul mare va fi: >* 4*;48*

Raspuns :numarul mic este >* iar numarul mare este 48*-

robleme de aflare a doua numere cunoscandsuma sau diferenta lor si raportul lor

4rin raportul a doua numere, in ipoteza ca ele se

impart e act, intele+em catul lor. Acesta (catul$ ne arata de cate oriun numar este mai mare decat celalalt. 4roblemele de aflare a douanumere cand cunoscand suma sau diferenta lor si raportul lor, serezolva tot prin metoda fi+urativa.

Sa analizam problema urmatoare

roblema%


30/45

-4%*% % robleme de egalare a datelor%0etoda aducerii la acelasi termen de comparatie%

4roblemele care se rezolva folosind aceasta metoda secaracterizeaza prin faptul ca se dau doua marimi ( care suntcomparate (L in acelasi mod M $ si le+atura care e ista intre ele.Aceste doua marimi sunt caracterizate prin cate doua valori fiecaresi de fiecare data se cunoaste le+atura dintre ele. Fetoda consta in aface ca una din cele doua marimi sa aiba aceeasi valoaresi astfel pro* blema devine mai simpla, avand o sin+ura necunoscuta. Din aceastacauza se si numeste aducerea la acelasi termen de comparatie.

A /-CA.-- roblema % !tiind ca > carti si 4 caiete costa %+ *** lei, respectiv carti si % caiete costa 4 *** lei, aflati care este pretul unei carti si al unui caiet-

Rezolvare : !c'ematic, enuntul problemei este:

> carti11111-4 caiete111111-%+ *** lei carti11111-% caiete111111- 4 *** lei !e observa ca, daca a doua oara s7ar fi cumparat dedoua ori mai mult, cantitatea de caiete cumparate de fiecare data ar fi fost aceeasi, adicasc'ematic am avea:

> carti111114 caiete11111-%+ *** lei carti11111--4 caiete11111+>+ *** lei

Blanul de rezolvare : %.ate carti a cumparat mai mult prima data / >7 ; (carti) %.at costa o carte/( cu cat a platit mai mult prima data /) %+ ***7+>+ ***;%+ *** (lei)*%.at costa > carti / %+ ***A>;+ *** (lei) +%.at costa 4 caiete / %+ ***7+ ***; %4 *** (lei) @%.at costa caiet / %4 *** :4; 4 ***(lei) Raspuns :o carte costa %4 *** lei, iar un caiet 4 *** lei

roblema % + pa'are si * farfurii au costat *4 *** lei- 8 pa'are si +8 farfurii au costat ++* *** lei- .at costa un pa'ar si cat costa o farfurie /

Rezolvare: !criem datele: + pa'are111111 * farfurii1111111 *4 *** lei

@ pa$areBBBBBB @ farfuriiBBBBBBB lei

=galam numarul de farfurii- $bservam ca acest lucru se poate face impartind datele de pe primul sir la +, iar cel de pe al doileasir la 8- $btinem : 4 pa'are111111-8 farfurii111111118% *** lei % pa'are111111-8 farfurii11111111- ***lei

Broblema a devenit : si prima data si a doua oara s7a cumparat un acelasi numar de farfurii(8)-Ku am platit aceeasi suma de bani deoarece prima data s7au luat mai multe pa'are- Rezolvarea urmeaza simplu conform rationamentului si operatiilor de mai Hos- %.ate pa'are s7au cumparat mai mult prima oara / 47%;% (pa'are) %.at costa % pa'are(cu cat s7a platit mai mult prima oara)/


31/45

8% ***7 ***;> *** (lei) *%.at costa un pa'ar / > *** :%;% *** (lei) +%.at costa 8 farfurii / ***7> ***;%8 *** (lei) @%.at costa o farfurie /

%8 ***:8;6 *** (lei) Raspuns:un pa'ar costa % *** lei, iar o farfurie costa 6 *** lei-

-4%*%*% robleme de presupunere%Fetoda falsei ipoteze 4roblemele din aceasta cate+orie sunt foarte numeroase. 8rice

problema ale carei date sunt marimi proportionale poate fi rezolvata prin metoda falsei ipoteze. De re+ula, se pleaca de la intrebarea problemei, in sensul ca asupra marimii ce o cautam facem o presupu*nere complet arbitrara. Dupa aceea, refacem problema pe baza presupunerii facute. Deoarece marimile sunt proportionale, rezultateleobtinute pe baza presupunerii se L translateaza M in plus sau in minus,dupa cum presupunerea facuta este mai mare, respectiv mai mica,decat rezultatul real. &efacand problema, a un+em la un rezultat carenu concorda cu cel real din problema. ste, fie mai mare, fie maimic decat acesta.

5n acest moment se compara rezultatul pe baza presupuneriicu cel real, din punct de vedere al catului si observam de cate ori am+resit cand am facut presupunerea .8btinem, asadar, un numar cua utorul caruia Pcorectam” presupunerea facuta in sensul ca omicsoram sau o marim de acest numar de ori.

A -CA.--roblema % Be un vapor s7au vandut + bilete pentru clasele 9 si a 997a I

biletul de clasa 9 costa 84 *** lei, iar biletul de clasa a 997a %4 *** lei, incasandu7se intotal suma de >> *** lei- .ate bilete de fiecare clasa s7au vandut /

Rezolvare Bresupunem ca toate cele + de bilete au fost de clasa 9-

=vident ca aceasta ipoteza este falsa, deoarece in numarul total debilete( + ) intrau si celede clasa 9 si cele de clasa a 997a-3eci, presupunem ca toate cele + bilete ar fi de clasa 9-

Blanul de rezolvare este urmatorul :- *** (lei) C-

9n realitate biletele au costat numai > *** lei-

% ***7 > ***;+ *** *** (lei)


32/45

+* *** lei /Bentru atatea bilete, de cate ori +* *** lei se cuprinde in diferenta totala de +*** *** lei-+%.ate bilete de clasa a 997a s7au vandut / + *** *** :+* ***; ** (bilete de clasa a 997a)@% .ate bilete de clasa 9 s7au vandut /

+ 7 **;+ (bilete de clasa 9 )

Raspuns :s7au vandut + bilete de clasa 9 si ** bilete de clasa a 997a roblema % Bentru fiecare problema rezolvata bine un elev primeste %

puncte si i se scad + puncte pentru fiecare problema gresita- 9n total, un elev arezolvat 8 de probleme si a primit >+ de puncte- .ate probleme a rezolvat bine si cate nu /

Rezolvare:% resupunem ca elevul a rezolvat bine toate cele @+ probleme si primeste :

8 A%; 4+ (puncte) 9 9n realitate el a primit >+ de puncte-

+-.u cate puncte a obtinut elevul mai mult decat in realitate /

4+7>+;6*(puncte) Be baza ipotezei facute ne7a dat o diferenta de punctaH de 6* puncte-


33/45

roblema - M7am gandit la un numar- 9l impart la 6, catului obtinut ii adun , suma gasita o inmultim cu , iar din produsul obtinut scad +, obtinand 4*-Ja ce numar m7am gandit /

Rezolvare : Kotand cu " numarul cautat, enuntul se scrie prescurtat astfel : (" :6 )A 7 +;4* .autarile continua in acelasi mod-

%-.are este ultima operatie facuta pentru a obtine pe > / 7 ;8

Broblema devine :" :6;8 ?@=*@

!aspuns :*@

-4%*%@% robleme de impartire a unui numar inparti proportionale

4robleme de acest +en, la randul lor, sunt de impartire in parti direct proportinale cu numerele date )

in parti invers proportionale cu numerele date .


34/45

7aze teoretice 2efinitie"Fai multe rapoarte care au aceeasi valoare formeaza unsir de rapoarte e+ale.

)e e emplu+ daca

) ;;;;;atunci!1"

;;;;.4roprietatea fundamentala a unui sir de rapoarte e+ale

5ntr*un sir de rapoarte e+ale suma numaratorilor pe sumanumitorilor ne da un raport e+al cu fiecare din rapoartele date(avand aceeasi valoare $

a1


35/45

C) "2) si 21 sau numarului " ii corespund C>p parti, lui / , iicorespund 12>p parti, lui ii corespund 2>p parti si lui # iicorespund 21>p parti.

emplul 2*Sa se +aseasca toate numerele proportionale cunumerele 2 )# )/ ) .

&ezolvare *pentru aceasta le inmultim pe toate cu p siobtinem numerele 2p, ?p, 3p, @p dand lui p orice valoare dorim. 5n anumite probleme formularea unei conditii suplimentare permite determinarea lui p in mod unic. emplul /*Sa se afle C numere proportionale cu numerele2 ) # ) / si stiind ca al treilea numar este 2#.

&ezolvare*:oate numerele proportionale cu 2) #) / si suntde forma 2p ) #p ) /p ) p(cu p oarecare$.=onditia suplimentara dinenunt permite calcularea in mod unic a lui p

/pK2# pK2#H/KE Deci numerele cautate sunt 2QEK"1) #QEK!/) 2# si QEKC .

-mpartirea unui numar in parti invers proportionalecu mai multe numere date

Definitie >umerele a" , a2,J..,an sunt invers proportionalecu numerele date b",b2,JJbn, daca ele sunt direct proportionale cuinversele numerelor date, adica a" a2 an

"Hb" "Hb2 J.. "Hbn sau

a"Qb"Ka2Qb2KJJJJanQbn emplu >umerele /,2 si ! sunt invers proportionale cu

numere le 1, "2 si C si se scrie / 2 ! "H1 "H"2 "HC deoarece /Q1K2Q"2KCQ!. &e+ula. 5mpartirea unui numar in parti invers proportionale cunumere date revine la impartirea acelui numar in parti direct proportionale cu inversul numerelor date.

Broblema -!a se imparta numarul +*4 in patru parti invers proportionale cu numerele : %2+ I + I *2% I -

9nversele acestor numere sunt :+2%I 2+I %2 *I 2 - Cie a,b,c,d numerele cautate, parti ale numarului +*4- !criem ca ele sunt direct proportionale cu numerele +2%I 2+I * si 2 aducand totodata aceste

fractii la acelasi numitor-


36/45

a b c d+2% 2+ %2 * 2 sau

a2 *;b2%*;c2 ;d2 8;p

a b c d;p( * %* 8)

+*4;pA *% p;+ 3eci: a; *A+; * b;%*A+;4*

c; A+;%4d; 8A+;%*

-4%*%D% robleme rezolvabile cu regulade trei simpla%0etoda proportiilor

7aze teoretice Definitia " )oua marimi care depind una de alta senumesc direct proportionale daca indeplinesc conditiile :

Daca una creste si cealalta cresteDaca una creste de n ori, atunci cealalta creste de

acelasi numar de ori. $eorema 1 : &aportul a doua valori ale uneia din marimi

este e+al cu raportul valorilor corespunzatoare ale celeilalte marimi

)efinitia 2 :)oua marimi care depind una de alta se

numesc invers proportionale daca indeplinesc conditiile:Daca una creste, cealalta descreste)

Daca una creste de n ori, atunci cealalta descreste de n ori.

$eorema 2 : Iiind date doua marimi invers proportionaleraportul a doua valori ale uneia din marimi este e+al cu inversulraportului dintre valorile corespunzaroare ale celeilalte marimi.

roblema%$ cantitate de +8* &g cartofi a fost ambalata in

lazi- 3ar %68 &g de cartofi in cate lazi se vor ambala /


37/45

9n aceasta problema cele doua marimi, cantitatea de cartofi si numarul de lazi,sunt direct proportionale-

Be primul sir se scriu cele doua valori corespunzatoare date- Be al doilea sir (rand) se scrie o valoare data a uneia din marimi si

valoarea corespunzatoare ,necunoscuta, a celeilalte marimi- 3eoarece cele doua marimi sunt direct proportionale, conform teoremei putemscrie: +8* &g * lazi %68&g " lazi 3eoarece raportul a doua valori ale unei marimi este egal cu raportul numerelor care le masoara, avem: +8* * %68 " ";%68A *:+8*; 8(lazi)

4%C5/.-4A!'A C!'A.-4-.A.-- '/'4-/1! -6 AC.-4-.A.'A 2' !'31/4A!' 7-

C10 56'!' A !1#/'0'/1!

Activitatea de rezolvare si compunere a problemelor oferaterenul cel mai fertil din domeniul activitatilor matematice pentrucultivarea si educarea creativitatii si a invetivitatii. Diferenta dintre ainvata Prezolvarea unei probleme” si Pa sti” (a putea$ sa rezolvi o problema noua inseamna,in esenta, creativitate, dar de niveluri

diferite. &ezolvarea unei probleme L invatate M ofera mai putin teren pentru creativitate decat rezolvarea unei probleme noi care, la randulei, este depasita de alcatuirea unor probleme noi.

Aceasta nu inseamna ca in activitatea de rezolvare de problemeavem de*a face numai cu probleme creative, renuntand in totalitate lacele reproductive. 8pozitia dintre al+oritm si euristic, dintre deprinderesi abilitatea de rationament este numai aparenta. =reativitatea +andirii,miscarea ei libera, nu se poate produce decat pe baza unor deprinderi

corect formate, stabilizate si eficient transferate. 5n rezolvarea problemelor, deprinderile si abilitatile se refera inspecial la analiza datelor, a conditiei, la capacitatea de a intele+eintrebarea problemei si a orienta intrea+a desfasurare a rationamentuluiin directia descoperirii solutiei problemei. 5n scopul cultivarii creativitatii, adica a +andirii, inteli+entei siima+inatiei elevilor in activitatea de rezolvare a problemelor se folosescvariate procedee, cum ar fi

=omplicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificareaintrebarii.&ezolvarea problemei prin doua sau mai multe procedee


38/45

F de aflare a sumei a doi termeniGF de aflare a unui număr mai mare cu un

număr de unităţi decHt un alt număr datGF probleme generate de expresia Icu atHt

mai multJG

probleme simplebazate pe

adunare:F de aflare a restuluiGF de aflare a unui număr care să aibă cu un

anumit număr de unităţi mai puţin decHt unF număr datG

F de aflare a unui termen cHnd se cunoaştesuma şi un termen al sumeiG

F probleme generate de expresia Icu atHt maipuţinJG

probleme simplebazate pescădere:

F de aflare a produsuluiGF de repetare de un număr de ori a unui număr

datGF de aflare a unui număr care să fie de un

număr de ori mai mare decHt un număr datF probleme generate de expresia Ide atHtea ori

mai multJG


înmulţire:

F de împărţire a unui număr dat în părţiegaleG

F de împărţire prin cuprindere a unuinumăr prin altulG

F de aflare a unui număr care să fie de unnumăr de ori mai mic decHt altulG

F de aflare a unei părţi dintr"un întregGF de aflarea a raportului dintre două

numere date%


împărţire:

romovarea metodelor activ"participative în însuşirea cunoştinţelor matematice

Fetodele activ*participative utilizate %n %nsusirea cunoştinţelor matematice sunt e erciţiu problematizarea, %nvăţarea prin descoperire, conversaţia euristică, munca independentă, demonstra ocurile matematice.

0etoda exerciţiului constă %n a e ecuta o acţiune %n mod repetat şi conştient, %n a face un lucde mai multe ori, %n vederea formării unor deprinderi. erciţiul nu trebuie %nţeles %n sensul de repe


39/45

mecanică, ci de refolosire intensivă şi e tensivă a unor elemente şi structuri +lobale, proprii sarcinii d%nvăţare.

nvatarea prin descoperire urmăreşte activizarea co+nitivă a elevilor. a constă %n punereaelevului %n faţa unei situaţii care să*i permită ca, folosind o anumită strate+ie, să a un+ă sin+ur larăspuns care nu mai constituie o simplă %nsumare a cunoştinţelor anterioare, ci o depăşire sau măcareor+anizare a lor. =unoştinţele astfel %nvăţate prin efort personal, se fi ează mai bine %n memoelevului, devin mai operaţionale. 'n cazul utilizării acestei metode, rolul dascălului este de a planificsituaţiile de %nvăţare şi de a diri a drumul elevului spre rezolvarea acestor situatii.

Conversaţia euristică este o modalitate aparte de %nvăţare prin descoperire. Specificul ei

rezultă din faptul că %nvăţătorul instruieşte nu prin ,,a transmite” sau ,, a prezenta” noi cunoştinţe, prin %ntrebări, elevii sunt a utaţi să prelucreze propriile cunoştinţe pe care le posedă şi să a un+ă la nasociaţii, să propună soluţii variate şi ori+inale de rezolvare a problemei teoretice şi practice.

roblematizarea este cunoscută ca o modalitate de instruire prin crearea unor situaţii* problemă, care solicită elevilor utilizarea, restructurarea si completarea unor cunoştinţe anterioare %vederea soluţionării acestor situaţii, pe baza e perienţei şi a efortului personal.

Fetoda care corespunde cel mai adecvat principiului caracterului activ al instrucţiei şieducaţiei, precum şi cerinţelor unui %nvăţăm6nt formativ estemetoda muncii independente. Aceasta presupune mai frecvent folosirea fişelor de muncş independentă. Av6nd %n vedere obiectivele urmărse distin+ următoarele tipuri de fişe fişe folosite pentru %nsuşirea cunoştinţelor, pentru fi area consolidarea lor, pentru verificare şi fişe de corectare a +reşelilor.

0etoda demonstraţiei contribuie la uşurarea %nţele+erii unor cunoştinţe noi, prin observarea şanaliza unui material intuitiv, precum şi la e ecutarea corectă a unor activităţi.0etoda Kocurilor ofera un cadru propice pentru %nvăţarea activă, participativă, stimul6nd %

acelaşi timp iniţiativa şi creativitatea elevilor. 9ocurile didactice reprezintă o formă de %nvătare placsi atractivă, ce corespunde particularităţilor psi-ice ale acestei v6rste. Necţiile %nviorate cu ocudidactice susţin efortul elevilor, menţin6ndu*i mereu interesaţi, %i determină să lucreze efectiv şiacelaşi timp să +6ndească %n mod creator si ori+inal.

ficienţa acestor metode constă %n capacitatea fiecărui %nvăţător de a le utiliza %n procesu%nsuşire a cunoştinţelor matematice, constă %n modul %n care fiecare cadru ştie să*i antreneze pe pe parcursul acestor ore.

#rainstorming*ul, „furtuna %n creier”, este prezent c-iar %n activitatea de compunere d probleme. 'n momentul c6nd %n faţa copilului aşezăm două numere şi %i cerem să formulez problemă %n care să le inte+reze %n mintea copilului apar o avalanşă de idei, de operaţii matemacărora le*ar putea asocia enunţul unei probleme. 'n scopul stimulării creativităţii, %nvăţătorul trebuieaprecieze efortul fiecărui copil şi să nu %nlăture nici o variantă propusă de elevi.

emplu =ompuneţi o problemă folosind numerele C şi .0etoda ciorc$inelui am folosit*o cu succes c6nd a trebuit să formăm numere prin operaţii

diverse.Fetoda ciorc-inelui dă rezultate deosebite %n folosirea muncii pe ec-ipe. Iiecare membru al

ec-ipei va +ăsi cel puţin două feluri de a compune numărul 2 . 8bserv6nd şi aprob6nd variantelecole+ilor, copilul %şi dezvoltă ima+inaţia şi creativitatea.

2iagrama Lenn are rolul de a reprezenta sistematic, %ntr*un mod c6t mai creativ, asemănărilşi deosebirile evidente dintre două cate+orii de operaţii matematice. Dă rezultate deosebite lactivitatea %n ec-ipă.

0etoda cadranelor am folosit*o frontal şi individual, %n rezolvarea problemelor prin metodafi+urativă, la clasa a 555*a. Iişa de lucru este %mpărţită %n patru cadrane destinate te tului problereprezentării +rafice, rezolvării şi, respectiv, răspunsului problemei. Am considerat această metodeficientă deoarece a delimitat clar %n mintea copilului etapele pe care trebuie să le parcur+ă pentruobţine rezultatul problemei. Apoi acoperind celelalte cadrane şi descoperind doar pe cele cu nr. 55, 5sau 5< am cerut elevilor să creeze probleme asemănătoare (asemănătoare reprezentării +rafice, sa planului de rezolvare sau al cărui răspuns să fie identic cu cel obţinut %n problemă$.


40/45

P+nză roşie

P+nză albă

5

7unica are ! m de p6nză roşie şialbă. 46nza albă este de # ori maimare dec6t cea roşie. =are estelun+imea fiecărei bucăţi

55

555

". =are este lun+imea p6nzeiroşii! (m$ 1 (m$ K # (m$2. =are este lun+imea p6nzei albe# (m$ R # (m$ K CE (m$sau !*#KCE (m$

&ăspuns# m p6nză roşieCE m p6nză albă

5<

Cubul este o metodă activă aplicată unei clase de elevi %mpărţită %n şase +rupe. Iiecare +ruare o sarcină de lucru diferită ca +rad de dificultate faţă de celelalte cinci +rupe. levii dau cu zarulIiecărei feţe a cubului, %nvăţătorul %i asociază o cerinţă, care trebuie neapărat să %nceapă cu cuvin„descrie”, „compară”, „e plică”, „ar+umentează”, „analizează”, respectiv „aplică”.

emplu (clasa a 55*a$" Descrie importanţa cifrei 2 %n fiecare din numerele 2#", /2", C 2, 222.2 =ompară numerele C2 cu 2"E) !# cu #!) /C1 cu C1// plică proprietatea adunării numită comutativitate prin două e emple date de tine.C Ar+umentează valoarea de adevăr a următorului calcul matematic, efectu6nd proba %

două moduriE!/ 3 C2 K /1Analizează propoziţiile de mai os şi anuleaz*o pe aceea care nu prezintă un adevăra termenul necunoscut al adunării se află prin adunare b primul termen al scăderii, descăzutul, se află prin adunarec al doilea termen al scăderii, scăzătorul, se află prin scădere

! Aplică proprietăţile cunoscute ale adunării pentru a rezolva e erciţiul rapid." 2 / C ! # 1 E K

8ricare formă a muncii independente stimulează activitatea creatoare a elevilor, asi+ur6ndantrenarea tuturor elevilor la muncă, %ndeplinirea problemelor date şi inte+rarea cu succes a elevilorsocietate.

8ocul didactic matematic reprezintă un ansamblu de acţiuni şi operaţii care urmăresc obiectivede pre+ătire intelectuală a elevilor, +ener6nd o motivaţie stimulatorie şi constituind o prezenţindispensabilă %n ritmul accentuat al muncii şcolare. Iolosit %n procesul de %nvăţăm6nt, ocul didasi+ură participarea activă a elevului la lecţii, sporind interesul de cunoaştere faţă de conţinutulecţiilor. ;n e erciţiu sau o problemă de matematică devine oc didactic matematic dacă realizează unscop şi o sarcină didactică din punct de vedere matematic, foloseşte elemente de oc %n vedererealizării sarcinii propuse) foloseşte un conţinut matematic accesibil şi atractiv) utilizează re+uli de ocunoscute anticipat şi respectate de elevi.

5ntrodus inteli+ent %n structura lecţiei, ocul didactic matematic poate să satisfacă nevoia de a copilului, dar poate %n acelaşi timp să uşureze %nţele+erea, asimilarea cunoştinţelor matematic

formarea unor deprinderi de calcul matematic, realiz6nd o %mbinare %ntre %nvăţare şi oc.emple de ocuri didactice1 )escifrează mesa ul e aminatorului:

a efectuează calculele b scrie litera corespunzătoare fiecărui rezultat


41/45

--

/0-

1-

-

2 /-

2 3-

2 4-

2 3

2 0/

2 1/

12/*C!E

2E"*2 #

#*2!1

! *2C!

C 2*"#

# 1*C!E

/ C=

#/2*/#1

2 !*#E

C/ */##

E */#

!//*2#E

/2/*"2C

&ezultat / C 2/E 1C 2## "2# 2 "EE 1

Nitera = N A ; 8 : &

2 ine calculează mai rapidB


42/45

/5 14- 6/1 /60

7 28

27

2

5 1 6/ 51 /31 4

/1 / 0/-65- 6--

C ompletaţi căsuţele libere :

5bservă reDula şi completează casetele libere

"!

2#

"

/

C" 2!

/

//

E

"CC

1C


43/45

!'31/4A!'A !1#/'0'/1!

A / ; 1 ! - . 0 5 / 2 ' ! ' 3 1 / 4 A ! ' A , ! 1 # / ' 0 ' / 1 !

1bserv şi înţeleg:

lanific şicalculez:

1rganizez şiredactez: 4erific şi dezvolt:

=itesc problema)

?%ndesc un plan deacţiune)

?ăsesc calea prin care sea un+e de ladatele problemei la

rezultatulfinal)

valuez soluţia,formul%nd

răspunsuri la%ntrebările+ %ezultatul

obţinut este posibilB

Fă+%ndesc şirăspund la

%ntrebările+ are

suntdatele problemeiB

=autrăspunsuri la%ntrebările+ um se

leaDăceea ce sedă deceea ce secereB

* Am folosittoate dateleB

+ erifică

rezultatulobţinutcondiţiile dinenunţB

+ ntrebările puse au fostutileB

+ e secere săaflamB

+ e mai

trebuieaflat pentru aa unDe larezultatul finalB

4rezintsoluţia+ăsită, astfel%nc%t să se%nţelea+ă

clar cum am+%ndit.

+ *ot Dăsi şi unalt mod derezolvareB

=aut unmod mai

scurt şimai clarde aformuladatele sau%ntrebarea.

fectuezcalculele pentru aobţinerezultate parţiale şifinale.

+ & istă o soluţie mai

bunăBDescopăr probleme noicare se rezolvă prin metodeasemănătoare.


44/45

!'31/4A!'A 56'- !1#/'0'?-% Citim cu atenţieenun ul :Feronica are +% de be işoare- Eraian are cu 4 mai multe-

.âte be işoare are Eraian/ 3ar cei doi copii împreună/ ?--% 7criemdatele problemei şi întrebările:

Feronica are --------- +% be işoareEraian are ---------- cu 4 mai mult decât Feronica-

- .âte be işoare are Eraian/+- .âte be işoare au împreună/

A999- 3escoperim operaţiile prin care se rezolvă problema şi scriemrezolvarea :

!'31/4A!' :%CHte beţişoare are .raianM

* < D = E (beţişoare)% CHte beţişoare au împreună cei doi copiiM

* < E = @ (beţişoare)?-4% 4erificăm: ( Ke verificăm )

8+ P +> ; / 8+ 7 +> 7 +> 4

+> P 4 ; / (Feronica) +% +%

!'31/4A!'A 56'- !1#/'0'?-% Citim cu atenţieenun ul :Feronica are +% de be işoare- Eraian are cu 4 mai multe-

.âte be işoare are Eraian/ 3ar cei doi copii împreună/ ?--% 7criemdatele problemei şi întrebările:

Feronica are --------- +% be işoareEraian are ---------- cu 4 mai mult decât Feronica-

%- .âte be işoare are Eraian/- .âte be işoare au împreună/A999- 3escoperim operaţiile prin care se rezolvă problema şi scriem

rezolvarea :!'31/4A!' :

%CHte beţişoare are .raianM* < D = E (beţişoare)

% CHte beţişoare au împreună cei doi copiiM

* < E = @ (beţişoare)?-4% 4erificăm: ( Ke verificăm )8+ P +> ; / 8+ 7 +> 7

+> 4+> P 4 ; / (Feronica) +% +%


45/45

Documents

Competenţa de Rezolvare a Problemelor