Embed Size (px)
Citation preview
UNIvpRSITATS,A TEHNICA A MOLDOVUI
cfNEMATtCAgt DfNAM|CA
Indrumar merodicpcntru rezalvarca problemelor
de mecanlcll
f998
MTgslFAqp lmvAlAueNruLr[rrNEREruLUr, $r spoxruLur AL REpueLtCii ilobova
uNrypasmATTA TErrNrcA A MOLDOVET
Catedra de fizicf nr. I
' l
ctf{EffiATf CA $ r Dr NArurcA
Indrumar metodicpentru rezolvarea pro blemelor
ae mecanied
Deparramentul Editorial-poligrafic at U.T.M.Chigin6u
1998
Pyenla lucrare este destinag studenflor de la toate faculttr$leUriversitdfii rehnice a Moldovei, in special pentm studengide h b.aeultEtilcde R.adioslectronictr gi de caleulatoare, Infomratici gi Microclectroni"t--
Alcituitori: co,nf. univ, dr. Profu Bardelchiprof. univ. dr: hab, Mihail Vledimir
Eraboraro din rimba rus' ff:#l: *f;ffftf*doctorand Tamara Rusu
Coordonator de edi;ie: prof. univ. dr. h&b. Milrail Vladimir
.OUniveruiurer lehnicl n Motrlovei. lggg
PREFATA
Aceastd rucrare a fost conceputa in ajutorur studentilor universittrtirortehnice,dar sperinr s6 fie de un foros r.ur si .uarrroi;rd;;,;;.";;;;ili;;.seminareror. confinurut ei acoper' *'u r"toa.ior rezorvf,rii probremelor rasinemarica gi dinarnicapuncturui *ut"riuriirnis.arii oe transLlie u ,oiii,,rui'giafu timira programelor. yt1lria a" "*punere " oirzata in *ojHilil;,capitole Ei terne. in eadrur l"^.ryi 6idi;p*rnra o varianta de crasificare aproblernelor gi sunt eraborali in-detariiatlorit iiir.roruariror cu o serie deexemple de aplicare concrer{; Lucrareaiferi rezorvari comprete,astfer incdtstrdenrii sa poata urm.ri deosebirile di'tre iiversere aspeite "rli.r"i.""lip,robleme. Pen*u un tu3y.creativ stuOengloi li ," prop*" o serie de problemeurmate^d€ scurte indicafii gi rdspunsuri.,. ln afard de probrim.r" origi,i"r"rlo rucrare sunt utirizate probleme dindircrse surse, rezolvdrile carora ipa4in uutoriioi.penhu rezotvarea oricirei ir;dd;;;;;;punem sa:l) examinari scurta introducere care "onti* noriunile gi rerafi'e de baza;zl ',tari,,F rezorvdr'e probremeror tipice ra capitolul corespunzator $i s,. examinali metoda folosirii algoriunului:
a rept{tr nro_blenra 11 modut}neraiJ*ir"ranc m6rimea necmoscurflprin cele ce figureazi in enun-tul ei :'4) ef€ctuari calc'rul numericrumiano rlg,rtir" calcururui aproximativ.
ilTECANICAMecanica aproximeazi migcarea corpurilor reae cu migcarea u.,uitoarcrormodelc:
r) .puncr maroial (mobit);2) sotid rigid j 3) fichid perfect (ideat).
Pwct materior poate fi n'rmit orice corp are c'rui dimensiuni pot fi negrijate inmnditiils date .alc nrigcdrii. Un anililbT(;id;,) de puncre materiate conrinuridisrrtuite tnn-o regiune gq g rp.F".ri;i:-i*ft qd;Fi;;'o*l*rnomecre r6m6ne constanti rn timput migcarii atciuricgc m sa/id sau * iorprigid. ,
In ftmctie de caractcrur probremekrr abordatc, mecanisa crasict cuprindetci pfli: datic4 cirrcmatica 9f Onamica-
ciocmati'ca shrdiazt evorufia nigcan'i co,rp'riror ftr spaFu gi in timp f&r aconddcra cauzet! ry nrod.c mi$area,'diiz&;';nabarcte nofiuni gi legitafi:Yeaontl deplasare al mobilului tn intenalut a" tirp at,
' '- - -e--l
undc r0) csrc wctorur or,or,fr-';ltfirffi ;ll"J; ; r*,Viteza medie amobihrluiin intervalul de timp At:
3
tf\=gr ' t Lt 'unde Ai - vectorul deplasare.
Yiteza instantanee (rnomcntani) - viteza rnobilului tn nromcntul dc fimp r,f = t ^ { = t i m ( f \ = t ,
0,{ A, ar}, d
Po4iu*a de &'rn dsparc'rst de mobil rtr intcnntut dc tinp d csb cg,hcu modulul vectorului dcplasare:
6=W|=VA,iar &umul0otal va fis =lra, undc v =Vl,vcctorul de pozific i ln sistcmul cartczim (sc) o*ogmal postc fi rcprezeonrasfel:
| =h+Jy+Ez,m& I,t,f . - nersorii axelor r, /, z corcspuoz[toarc.
Descompunerca vectorului i h SC ortogonal:f =iv,+jrr+h,.
Componcntcle vitczei mobilului pc axcl€ de coordonilc:
Modulul vec0onrlui nia"rlrY'
=*'' " =*'' ' -#'
t/=ll*
Accelerrlir medic: (fl= fr
.Accelcralia momentanl:
a=lg*=mk) =*_#.
Descomp'nerua vccromlui , * llll"$#O,
Componentele accelcraliei pe axcle dc coordomtc: .il d, dVt dr.y &, drzo,=T T i o r=-a=f r r o , - i=F '
Modntuf acccleragci : s-fi= JAW7.Dacl hiectoria mobilului apufine tn tntegime unui ptan (planut
osculator), atunci accelera;ia,ponti fi ieprezcntati ru su*, a aotir componsnropcrpendiculare a" gi a,,astfetftrclt rl=4+4.Aici d, este accelerafia tangenfialldirecfia c[reia coincide cu tangcnla ta cubl gl
este egal{ cu: a, =ffi,
.'dc ; este rrcc{onrr .'ftar ar rangentci, orientat din punchrr dat rn scnsurrcoonrhri F.Vcctfltt 4 rtprcdn|f, accelenr;ia nonnrah g prin definilie
,t fiind racworur n *urri, *#J.t"*l, cuhri a haicctorici ftlpmctd dat.Prin dcftri$c, curbura
c = n ^ & = ! t b l = r d o l d s- i : : i a S - A S ' t t ' l = ; ' o = A = m '
$ j1_:i T sunt resqcctiv:. unghiul dhbe vccrqii /trf ii fQ + u\ ei arcul(rc curoure cc corcspunde unghinlui.
lvligceile prure pot fi clasificate forosind mlimile de accerera;ie non'arl$tangaliah.
C.zrl l. DacI a -v] =o,(t, *or?+o), ahmci nigcor€E c rectitinie.' :l) Dscf $ o, =T =o=0, ori V =Vo =consl, ahmci mircarea e rcctilinie
uodformd"2) h qacl a, =a o sonst.*o , anrnci,ieiqrnd dh defini$a accctcn$ci
Uqgicotialc, dV o d . htcgrfud rccasti rcla1i.c, irtilin'eifrI t '
t*=l*, v=yo+a.4 e
)<I\dai dcporte, 7 =ft =Uo+a . Intcgrlnd r{tima relagic oblincm:
i,* =!V" *rb, s =vs +!.Acca$acstclcgpsnigcirii rairte.
O Pcoru a. *@r&,=o(d), h caail dc fa$
rarid"["'=f .')mtcafea cste
r)
5J
3i
Craf It. o,=|no V *o,n=cns)arcmmigcarea circutarf
fue ", .fi = o, (y =@rrsr), ahmci mircErca pc cafcc uniforml.
furA a, = *
= *., o, abmci migcarea pe cers e uniform vriati.g,in ftptul eA d, * wtn. rczultf, o mircre circular[ varia6.
Cazul III. MiScarea e curbilinieratunci cdnd,a2, ,
a, = V
*0 (t. ' *0,R = cour).
l) DacA a, = 0,(1, = -n"d, atunci migcarea este curbilinie uniformd.2) Din a, = a = co,tst.=O inrplicd migcarea curbilinie uifomi variatl.3) Evident, c[ pentru a * const. migcarea curbilinie va fi variat[.
Defnilie:Migcarea solidului rigid, in carc toate purctele sale descriu cei.curi
concentrice, centrele cdrora aparfin uneia gi aceleiagi drepte,nuniid ax{ de rotafie,se [urlegte rnigcare de rotalie,
lx rnigcarea mobilului pe cerc (cazul migctuii de rqtagie a colpului rigid)'viteza
rmghiulari este d =#, iar cea lfuriari
f =6xf = 6" R, V =atrsina=afr, rulde i-vectorul de pozipe amobilului, rt -rnza cercului,a = z(r,al.
Accclerafia urghiularE; a =ff.
Relalia dintre accelerafia unghiular[ 6i accelera;ia liniarI {Langenlialn}:d , = E x F = d * f r ; a = s s i n a = e R ,
Acceleralia normala; d, = d xF = -rozR.'= -'*n r, = r,R=V*
Legile ntigcirii 9i legea viteeei la migcarca d6 rotalie pot fi obfimrte prinanalogie cu legile migcirii gi vitezei pentru mi$carea rectilinierefectududsubstitufiile: S -> p,v -+ @,a -+ a.
Deexemplu,nigcarii cu d* c on s t. i icorespunde I a e orst.ecualieiV = l ' q + a l : @ = @ o + d :
tesii ndscarii S = t'^t +4 61- z- : Q = ao ' + ' f '
' Valoarea medie a filrcfiel (6) ln intervalul de la 6 p6nd la 6 se afin dup6
fnrmrild:, &
fi ')= , -vtr(apEt ! t 6
tn cinematica toate problemelc pOt fi clasificrte ln felul urn6tor:
t hoblerna direct[ a cinematicii. [n acest tip de probleme dilp[ faiectorle tilegea rnigcfirii (dependenga coordonatelor mobilutui de timp) trcbuie sf #iamdtezele gi accelerafiile corpului.
Solrrfionarea problemei directe a *inematicii ge reduce la derivnreafunr"(iilnt care errprinl dependenfa ccordonateleq mobilrrlui de timp.
II. Problema inversd a cinematicii. D,p6 dependenta componenteror vitezei gi- ncceleraliei de timp se determini r.dfi;ariiii t "i."t*ru. -'-' ""';
Rezolvarea acestei probreme se ieduce'lu inr.gr*"u "t,nionenteror vrtezeigi acceleraliei. .
IIL Probreme ce se referd la examinarea rnigc'rii compuse a mobilului, care suntsolulionate apticdnd principiul independinpi rigririfou.
IV. Proble*e refbritoare la caracterur relativ ar migc{rii a cdtorva mobile. Astfelde prob-leme se solufioneazi utilizaro tansformane lui Galilei perrtruco.rdonate gi timp gi legea clasica de compunere a vitezelor, care rezult' rihraceste transfonntrri.v' Probleme -cgmpuse, care pot fi rezolvate utiliz6nd metodele in tipurire deprobleme I-lV.
Probleme cinematics enumerate mai sus,pot fi rezorvate dup6 urm.torulalgoritrn:1) se dese'eaza figura schematici rnhuchipdnd corpur (mobirur) intr-o stareintermediari a nrisc{rii sale.2) Se alege sisremul(sistemele) de referintd:a) ln cazul.migcdrii rectirinii a mobirurui se indreapttr o axd de coordonate de_alungul direcfiei migcdrii;b) itt cazul nigcfirii compuse se. indreapta o axi de coordonate de-a rungut ulrei. viteze componente a migclrii particulei;
c, m lazur migcarii curbilinii o u,d se fudreapt{ de+r luugur tangc'tei iatrai-eerorie, iar a doua - de* ru*gur normaiei iii pun.r,ia. poiiii-e a i,obituh,i- Y.as,tryta tirnp.Iui pentru diferite migctrri si efectuea:* on ,n"**"t rittceperii examitr{rii lor.3) Reie5i'd din co'difiile.probtenylse aneJrz*aztcaiactenrr miqc'iii gi se,,, g:,:T1r{jiput ei (rectilinie unifoim4 uniform variatd etc.).1l )e repr€zrntr tegea migcirii corespunzEtoare in forma veciorate.ll l: ptyt".rg4 vectorii din legea,iriS.arii p. a*rf, a, .oorJonut.,6) Din sistemur de ecua$i oblinut s. aria maririG necunoscute (In cazulproblemei direcrc marimite c'uralc so una p*in air.r*"6;, ilft;.rr"l_- problemei inverse - prin integnre)7) 'se cerccteaza T[trtq oftinrite cxamhfurd diren..te sihrafii fizice posibite gi se," yditg{ condi;iile_ de ftccr€ ta rezultatele,-**t, anrerior.o, De vennco realtahrl rezolv5rii.P) $e ofecrucarf cabule nrmcrice.
I.1" EXEMPLI DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DIRECTE DINCINEIVIATICA
Problema l. l tU {1.2.)
Un mobil parcurge o jumade din drunr avind viteza Zo. Pe drumut rdmas el seva migca in prima jurn[tate din timp cu viteza l\, iar in doua jum6tate din timp-cuiteza V2. Sd se afle viteza medie a mobilului.
RezolvareDivizam traiectoria hr sectoare elementare, at6t de mici incet migcarea pe
fiecare din ele s-o putem admite uniformi cu o precizie mare, iar sectoarele
elementare*segmeute rectilinii. Atunci drumul total parcurs s = ,i os, , iar timpul' j = l ' '
1=1N,, unde ar, este durata miScfii pe fiecare sector aSi. Conform definiliei:
s"AS,,/ .q' /v t= | /Zu,=zt/ i
in problema datd figur{rn portiunile de dnun a Si prin segmente de dreapt6,depun&nduJe consecutiv de-a lungul un€i dregte arbihare. Vont enumera timpuldin momenfirl lnceperii rnlgcf,rii.
Fiindcfi pe fieczue sector mobilttl
Din condifiile problemei(vezi fig. l) rezult6 cd
ro'r= sr *l?*ll, r (l)" t -
, rn r f ; l * rP l '
J, =5i - X.,tu -,1" =?. (2)se migcd unif-orm rectiliniu, legile migc{rii se
(3)(4)
\ (5)
(6)
zvo(v, +rr)!)iil ristexn"rl de ecuatii (l)-(6) aflflm: 1Vl =
6i*,-ft
Ptoblema i^3 Ul (1.3 )I.h nrrtnrrrohil ar'€nd vileza initial6 nul0 se nrip6 reciiltniu cu accelera{ta
scrlu:pe primul sector ipe sectoml doi:
Fe sectontl trei:
F e,uident ch
S, = Izot;. Sl ' l = !z, l |r l
Sl' =v,t\";
Sl') + Sl') -.1 *;
t'{p'rt-1tx .r. i!ll{!i lr.rtifotu ;i,in sfirsif*incetinintl r:it *.cegtgi nco;gle:r'*tie c,se
:3,ftftff1tl$:tJjl",,t'tniecare este r. viteza medie h acest inrervar de timpcu urmtrtoarete Aate nume?f,Jutomobitut
s_a deptasat uniform? ffecnafi.Jcurciea= 5 mE, t : 25 s, (Vl = zoy'"
- . .,|utomobitul narticipr_!:p-*::Tffi*shfie. prin unnare,este suficienrsd studiem miqcarea unui punct al sau.
Ir lt t1Fig.2
31fo"n definigei (y) = E/u.
,t ,
* l.jlind din cond!1iili probtemeifepurcm
S, =%,r, .+-+,
F, r,consecltiv din originea axei decoordonate segmente de dreaptiirreprezentdndpo4iunile de dnrm parcurse.
Jom erymera timpul Oin momenhrlIncepenl migc{rii.
[n sistemul de coordonate alesj :
: t = s, + 4 * $r,.ro = i. at = t - 1;= rr + t, + rr.ro.= 0.Tinend searna de expresiile pentru
. Ar- gi_ At,vomavea:
rrr=ffi. e)Analizind caracterul miscfii,lomyrie legile.nrigcdrii pe fiecare portiune de#;1.
prima porfiune- a, = a= consl;i auromobitul se rnigia iect'iniu. in
( l )
(3)Y1 =Vs, +art, = 41r,,
deoarcce r,,= O pe porfyea a Ooua migcara e uniform. $ ,*tifinir,O. uJ"?,.t, =Vrl, =I/rrtr.v-ite?i y,r= p, gi este cgala cu vitcza la finele primei po4iuni de dnrnr ,::'V,, =Yu'Pe porliunea a treiq-spre deosebire de prima, a= const <0,
(6)
yt tj =-Y,r,**-v,r,-+ e)viteza ra inceput rl porFuoii a ftia po, este egarr cu viteza ta sfrrgitut porfiunii adura: rnr=v,r.
Ca urmare,
conform condiliei probremei, auio*ou'orr. optrlrc h finere po4iunii a tseia(l',, = o).Deci, din (S) oblinem tt = tt (e)
gi atnnci r = 2tr * tz'. (10)Substifuind (3), (5) - il0) ln (2)yom avea
(v)=ot,( t , . ,y (n)Solufia sisteinului de ecuatii (10) li (ll) este
1,, -4(v')/ (12)r r = ' V . / a .Vsrificand dinensiunile termenultti al doilea din expresia de sub radicalpe
convingem cd el are dimensiunea pitratului unitdfii de tirnp. Intr-adev6r
f (r) ' l - [r ' ] l ' l - Lr- 'r - 72L o l - t o l L r - 2
- ' t
ceea ce corespunde dimensiunii primului tennen din (12)'Efectudnd calculele nunerice,vom obline
^ 20.4.252s ' -1__s
Problema 1.3 [1](1.20)
Vectorul de pozifie al mobilului variazi in tirnp conform legii: i = 64t - a't) ,urde 5'este un veclor constant, a este o constantd pozitivd.
Sd se afle:a) vrteza I pi acceleralia d in frurclie de timp;b) intervalul de tirnp la finele clruia particula revine tn pozilia inifial6 9i drumul s
pe careJ parcuge in acest rtrstimP.
RezolvareDin expresia lui/reiese cd rnigcarea are loc in sensul vectoruluiE'. Alegan
tur sislem de coordonate,astfel incdt axa OX va fi paralel4 vectorului t' Phsamoriginea coordonatelor in punctul ln care se aIl6 mobilul ln momentul inilial( t = 0 )in sistenrul <le coordonate ales vectorul f(x,y,zl are urmdtoarele componente:
. r - D r ( l - a . f ) , y - Q , 2 = 0 ,
a) conform defuiihei0 6 x
- - -+ - ' . | v ,= f r= t * l t . t 2 \=b ( t - za . t \ . ( l )
Fts 3 dy, d, x
a , = i = i ; = * 2 b a . t ( 2 )
Din {!) 9i (2) reiese, cd migcarea mobihrlui este unifom tcceleratd,.b! iu mornetrtrrl de rerenire a mobihrlui in puncful inipal
' xQl - ft * a.r') = o,de unde determin{m ci aceasta are loc dup{ hecereatimpnlui , = Yo,Dnrmul total S sa va compune din dnunurile,sr gi 52 parcurse, respectiv, pend gidupf, oprire, adicd S = & + Sz, totodatd S, : S;-
-
In momenhrl opririi (intoarc eii) v, = 4t _ 2a . t) =0. . De aceea duratarnigcarii pdnA h oprire este I =
f . et *ri drumul total va fi egal cuS =25, =2bt ,h -a . t . l=J -, , \ , , 2 A .
o roatf, de raze R s€ ,*:|j'ff# *:lf-:?*r"rm tegii: e = btz.cneeste.accelerafia totard a puncturui r de pe obada rolii tn monerit'r i. ,irplr
Ilezolvare
. .. Dgrrar figura schematica gi regam sistemut de coordonate de punchrra$ibar I (fig.4). ftx6r6 de coordonate -uot
.oio"io" .u oi*"tii ru't"ngJ*;inormala la cerc fu punctul considerat ln acest sistem de coordonateA =d, +d,. (l)
Prin definife
u,=n5=To,u,=ff;. (2)Uilizdnd relafia dinhe vitezr unghiular{ 9i cea liniar{z = o .fiJom scrie ctr
o, - r' o = 4#)' = 4urtr,J,, = R* = ̂ # = r^0.Accelerafia totalf,
r--.....-a = {ai + ai - 2Rb,lt + 4brt. .
Ftg.1
I.2. EXEMPI,D DE REZOLVARE A PROBLEMELORIIWERSE DINCINEMATICA
probterna l.j [U (t.ll)
In monrentur r : 0 mobilut pornette din driginea coordonateror h sensul
ryzttlv nt axei oX viteza rui variaza tn timp conform ,Lgi,, )ili _' t *"
%este viteza inifialt, modulul c|lreiayo = 0,)0/ ,c * s,ls..$$ se afle:
eo;rr,C*1a!a. x a particulei in modele de timp t = 6,0 s, Ils, 20s.menrenrul de timp, c6nd qobitul se gisea la Aistanla * i,toiiiorigrne;&unul Sparcurs in prinrele 8 r. ,
l l
rc)h)*i
^ RezolvareIn sisternul de coordonate reprezentat in frg.5 viteza particulei
, t , / \ & t . / \,,, = r;tr - h]= a , de unde e =vo\r_ t/rFtt
Integrdnd expresia (l):17
t t o
t F - id* '=r " [ ( t - ,2Y, ,Fts'i obfinem -=rr(t-*). e)
anarizrmmiscarea'roblurui.rfi,""l5::',9ilJ,:TJ#ilt,l"o:"ffi :1",mobilul oprildu-se {Vx = O),hrcepe rnigcarea in sens opus (tr,x * 0). in momenhrlde timp t : 2r pulicula se afla in pozilia iniliald (x - 0). Ar'6nd rirteza Vx = -Voonentat6 spre st6nga {Vx < 0), mobilul : dupd momenttil t > 2rse va migca spresttnga.
a) Substihrind in (2) valorile lui t, avem pentru r - 6s, x : 0,24rtu: t =. lhs,x = 0 m : t : 2 0 s , x = - 2 m .
t:.r Din coudilia problemei r =. .ro : 0, ̂tnr. Arruci r" = t ,(,- f) . nezorvand
ecualia patlat& in rapofi cu r; t' - zt.t*$ro = 0 ob[inem:vfr
/ -I I 2 r ^ lr , ,= ' [ ' * i l ' -n .uJ
Arnbele solu;ii au sen$ fizic, deoarece expresia de sub senurul radicalului epozitivd (rre putem conviuge de aceasta sutrstituind valorile nurnerice penlru ro,9/n,rFel l tn - I . r , ,1 i , ,? .
I)acd r)2r, ahrncj mobilul trece prh ongine 9i se migc{ in sens opus. El ser.'a nfla la distantra "r" dupd timpul t = tr-r2rz = Zr t tt,Efhchtdnd calculele nunericervom avea t = 8,87 s, t = I,l 3 s, t * I I,l 3 s.ci Jirrfirrd seama cX pafiicula in rnomenhrt r : rigi schimbil sersul nrigcirii
(u" : (l), drunrul parcurs ln primele 8s se conrpune din dnrnrurile parcurseptrr{ 6i drrptr oprire, adici
- ( r \ ( t ' \t = ( , r ' S, - t l tU - -* )+t ' r r ' \ t - ; ) ,
rr;rde' -- t. r - 1r p"n611 .S6rfl irrem; S - 0,46 n.
(l)
12
pi-obtema 1.6 [l] (1.22)
Un mobil se migc6 in sensul pozitiv al axei ox,astfel inc6t viteza lui vanazaynform legli: v* = o,{tr fiind o constarrtE pozitivd. considerdnd c6 in rnomenturcle timp t : 0 el avea pozilia x = 0 sd se afle:a) dgpendenla de tinip avitezei gi a acceleraliei mobilului;tr) viteza medie a mobilului in intervalul de tinp in decuisul cdruia el parcurge
primii Smetri din drum.
ai Din datele probteme, ,*ro*,.n'li'iY* conform rrefinifieineei ff =oJi,caurmare
fr= *.Integrtrm in (l ) partea st6ngE dup{.r, pe intervalur de ra 0 ra8 iar partea dreapmdup6 I lnlimitele 0si t:
Expnmdm s din (2): s = f .atunci
b) fu (l)amobfinut cd l/este o funcfie de timpde aceea ra calcularea vitezeimedii utilizam formula:
. l ,(v) = uolv(tvt,'
in care r este timpul migclrii mobilului pe prirniiDeci,(r,) =ii*,
Timpul t se expri$A din (2)rasfel , = r*.
Substituind (6) in (5),ob1inem : lh =$.
r=#( l )
i e L Il - r=a ld t , 252 =a t .' ov r i (2)
,=#=*, "=#=+. (3)
. (4)
S mefi din drum.
(s)
(6)
Problema 1.7 [l] (1.38)
un-mobil se migcd incetinir pe cercur de raz6R in aga mod cd in oricemoment de timp acceleralia tangenfiali gi cea normala strni egare io,oai,l. inmomentul inifial de tftnp r = 0 itezamobilului este Vo,
a) iteza mobilului ca filrcfie de timp gi drunrul parcurs S.b) accelerafia unghiulard ca funcfie de timuc) acceleralia tohlI a nrobilutui ca frmcfie-de tirnp gi de dnun;
l 3
d) unghiul format de Oirecfia accelerafiei totale gi raza cercului trtr-rmmoment arbifar de timp.
RezolvareDesentrm figura schematicl" Estcetiut faptul cl lel= la,lDeoarece migcarea este lncetiniH"
accasttr egalitate ia torrrrr: -r; -#. (l)
F s,6
Separim tn (l) variabil "tet*$ - )a
gi integ$m expresia obfinutd:
!,#=*t:ln reanltat:l, = a.+-
lr* h",Prin definilie
s =la =yl#%,f v \adicr s- nmlt+frf .
Potenfind (a) 9i utiliz&rd (3),ob1inem:V =lto2-s/*
b) Prindeftnife ,=#,iu a-YF,de unde
ill"t\'r d y \ i N6'*nA' *nJ-F. (6)
lt+'i/p.t)Din expresia (6) observf,m ctr vectorul F si 6 nunt opus orientagi, ceci c0corespunde cazului migcdrii lncetinitc.c) accelerafla totall a o fin+ d,,a = J{GDeoruece a, = n,, dhmci
8)
(3)
(1)
(5)
,t.JV.a"=Jit;-{W, (:1',)
Expresia accelemfiei totale tr funcfie de drumul ,S ese:r/2 l;
" =JrT =ffvore ":id) Dinfigur{ se vede cd tangenta unghiurui dintre vectorur acceleraliei totare $i
_mza cercutui fuh-un punct arbitrar, ,r, =lrtu,l= l, deoarece
lp,l=ft"l,aeci o = l $rarnene constanr tot timpur migcdrii.
13. EXEMPLE DjlpSgLvARE A pRoBLf,MEr,oR DECERCETARE A MI$CARII COMPUSE
Problema l.g
Un inotitor haverseaf-r11l r6u de l.afime l. Sub ce unghi fata de directiacurgerii apei el aebuie sa rlloare ca sa fie ous oe*orenyr d;dfuil; o,i[", i"cc punct va iegi el la mal Si grg-este drumul p*urr, oaca raportul vitezeifuotitorului lavrtezaapei este K.
Fig.7
frr Agura 7, Y1 estevite,aapei,iar Vl yt:rylnoutorutui fap de api. Alegemsistcmrd & coordonate tedt ae ra"r ia,i*.rligmea m punctur de inhare in4p{,orient&rd axa OX ?nr"*1rl.ryr.* up.i,lr7r"pre celilalt mal. Vommdsuatimpul din momentul inifial; *is'raii -
rnoEtorul ,ia narte_f19ou6 miScari: dupt curs,l rd'lui gi perpendicular peel. Deomece vitezeli V1 gi V2r*t.onrt"r,tr,'"r,rn'a,,r=\t =(p'r-yrsinff)t,
y =Vrt *yrcosft
93i.*"Jap$.{un'e ta malut opus, coordonaa lui y der.ne egalfi ",, ,ll,rr",rdului L. Din (l) vom obfine;i 5
-- - r(-s inpX = rj*. {2)
cospt , r
a r c i x = n ,
lJacd inoldtorui nu ar fi dus de cursul apei, atunci r ar fi minim, adi'cilr - 0. Aceasta este posibil, cunt se vede dil (2), c6nd sinp = ff, de unde urmeaz{ca
4 = arcsinr(,a, = 1+ arcsinr(. (3)
Solrrfia(3)aresenspentru K-</,cecorespufide cazului: l/1 SV2.Esteevideltcdrlnunul parcurs de inotf,tor se egaleazd , cu l.
Dac6fi 2h 6> f, atturci x * 0. Valoareaninimdnlui"rsevaafla
egaldnd derivala expresiei in raport cu Bcu zerol
*= - \= t t - r s i np )=o (4 )dp cos'p'
Din (4) vorn avea ci si,rfl = |,trll),
(5i
/ t \ E . f l )Dc unde 4 = arcsin[*J 9i a, =
| + ucsin(f '
Substituind (5) in (2i oblinem: x = L,[# -t.
Conformdefiniliei S: I giprinurmare' s=,ff.n; f,,
ru',
Problema 1.9 ,
Un corp mic a fost aruRcat sub un unghi a" fap de orizont cu viteza inifialdlb Neglii6nd reeistenJa aerului, sd se afle:a) deplasarea corpului ca funcfie de timp;b) dependenta de timp a vectorilorvitezd, accelerafie 9i a modulutiloraceetor
nrdrimi:c) ecuafia lraiectoriei;di dependenla de timp a unghiurilor dinfe vectorii f qi d;i dinhe {9i orizortt;
e) lnal|inea 9i distan{a de zbor.
Rezolvare
Alegem sistemut de coordonate cu originea tn prutcttrl de aruncare gi cuaxele 0,Y ti of tndreptate de-a lungul orizontalei gi verticalei corespunzf,tor.Corpul rarlicipf, concomitent la doutr migctrri: rectilinie unifOnn[ dupi axa OXgirllrifi,rqu r,'atiattt dupd nxn.Ol' Din cele relatate rdiese:
gt t
i t l ' , , 1 . . t l ' = l t ' ' l - ' ;
Fig.8
Dqfig*aobserv{mc{ X =Vut ; t =yo;-{,
Dil desen Vo, =Vocosao i Vo = I/o sinao.
Substituind (2) in (t),ob[inenr
Xo =Vocosc'nt , Y =l los inaot -* .
Deoarece r=ix+jy,atrurci " 2
Fk) = i4cosoot +i(4sina"- gt),
b) Conform definitiei P = # = i yo *roo+7-(l; sin o, -6r),
dk-I0 r d=
a =_9 .
Modulii acestor vectori vor fi:
( l )
(2)
(3)
c) Elimindnd timpul din (3)roblinem ecuafia traiectoriei:* 2 /
Y = fi9ao-o-/zVf e,os2 an
d) Notim prin p ungliiul dinhe I gia. Se gtie cay .6 -lfllalcos4,de unde afllm cI
*o = r' Zflor.H) = ( %w,...',*=
-(%'ino6 - /i,rrr;i;;;,," u
Dac{ expioilni tg/, rlrin cosp, atwcivom gdsi o formd mai simpli pentr'expresi* solufiei:
oss*ffi=vm\eltia tlpeas€menea,poate fi obfinutd din figurd (vezi fig.8).-l y;"""T srrbili ?nalfimea de zbor,reieqi;rtdin fantut ci in punctut cet mai inatt
V, =O=Vr- Etu, , * =ro" 'no/ ,
Atunci din {3) rezult{ ci h =W"in'oo.
Deoarece in momentul c|deriiy : 0, ahrnci timptrl de zbor 4 =%$nao.
Din pnnra ecualie din (3) aflArn distanfa de zbor,substituind valoarea lui 1,6:
.S = 1 = ?7-t r;na^ cos6 =tsinza^.c " I
'
Problema l. l0 t2l(1.8)
O roatA de dlamefu d : 0,07 m,plantatl de o axd orizontaltrperostogole$te fdrd alunecare pe un plan orizontal. Centrul rolii se rnigc{ cu vitezaV : 0, I 68 ru,s 9i descrie un cerc de razd R= 0, I2 n. Calculagi mirimea vitcz€iunghiulare rczultante a rolii pi unghiul ce-l alcItuiegte vcctorul 6 cu verticala laaxl.
RezolvareFie cI roata sc rote$te ln aga fel ct dacd privim dq sus, atunci migoarea ei aresensul acelor de ceasomic {negativ).
Reprezentf,m irchematic condifiileproblernei prinho figur[ (fig.9).
Roatn pafiicipi in acela;i timp la dou{ lnigcdri: rotafia in juml axei orizontate(t'-|1.). cu viteza unghiular| rd,r9i in jurul arei verticale (OY), cuwtezadr. Reieqirrddirr plirlcipiut ilrdependenfei migcirilor pentnr viteza rezultanfl von scrie:ni -, ci. , r'1. lnr din fhptrrl cd .q $i d, sunt reciproc perpendicufari rearlt6 cil
,r, * \ff;;f.: 8
{r)
' r=* e)Allarea vitezei unghiulare @2 se reduce la utilizarea directi a relaliei dintre vitezaunghiulard gi liniara:
ya r = R ' ( 3 )
valoarea nrmerictr a vitezei unghiulare a', se va obline din condilia cd roata serostogolegte fdrf, alunecare, ce lnseannd ci viteza liniarr I a punctului ro;ii,care se atinge de plan este egaltr cu viteza punctelor planului, idi"a . nul6. vitezah numeric este egali cu viteza liniar{pe corespunde rotirii rotii in jumt a:rei oy
' 'minus" viteza liniartr ,,f;,Urotirea rolii in juml axei proprii de rotafie:, dl r = v _ a r ; = 0 .
^ t vIin rezultat: a, =
7. (4)
Substituind ln (1) Si (2) valorile penru a,,9i ar,din expresia (a) 9i (3),obtincm:V /::----= 2Ra : 7,,14R, + d' ,a = q,clgi .
, Verifictut dirnensiirnile inAriinif c6uhte:. ,_-r t,,l.lRl lvl L.rt E,' ra,f =rt i : iE=fr=-=t "
ln tnat aflam valorile lrrmsliss;
, = ffi Jo o,orf . ooors'# = t# t = *",rffi = 73044,.
1.4. EXEMPLE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DINCINEMATTCA Mr$CARTLOR RELATTVA $r ABSOLUTA
. Problema l.tl It I (1.6)
Un vapor se migcd de-a lungul ecuatorului spre Est cu vitezaVo * 8,33 m/s.El este supus aclirmii unui vtnt de viteztr V: 4,17 m/s,ce sufli ?nscnsul Nord-vcs1 sub un unghi p = 60o frfi de cc.rutor. si se calculezc vitezarelatird a v&rtului fagi de rapor gi nnghrirl 9'dintre ecuator gi scnsul vendui lnsisternul de rcfcrin;I legat de rapor.
RezolvarcDesenim figura schernatict (vczi fig,10). SistsrulXOf(K) este fix, iar
. x0'y'(|6..) e lcgat de mponrl in migcare.Fre ci ln nof,nentul de timp l firu1 de praf - o parte componenti a torentului departicule {vdntului) se afl6 inpoziliaM. Atunci Ofr - OO + hfrt,,(t = r, *rnl
19
Ftg. I0
In intervalul de tinp I originea coordonatelor a sisternului K' trece din 0 in O,.Conform condifiei problemei vaponrl se migci cu viteza lo, ca unnare66' =7o =tot.
Ahmci relafia de mai sus devine:F =f '+For( t = t ' \ . ( l )Formula (l) reprezintd transfonnarea Galilei. Derivdnd ultima relagie ln raport cutirnpul vorn scrie;f= f ,+ f , A)f fiind viteza v6ntului fala de sistemul K, iar F'-vite,avdnhrlui fap de sistenrutr('. Formula (2) reprezintd legea compunerii vitezelor ln mecanica clasic6.Din (2) obfinem c6,f' =f -t7r, iar din figura se vede cA modulul vectomlui l,:y'= Jvz +vi -zw"co{no'le) =,,lFTu}Tffi,e. (3)Pentru a afla ungliul I'este necesar sA exprimlm V pnn V' gip. Din formula(2) gi din figurd se vede cd t'2 =V'2 +V; -zVvocosp', de wde ob;inem:
^-^^ [(v" *t': -v"\,/ I@' = arccog h-_.-- | . l .71zvr',))
Efcctuarea calculelor numerice ne dA: V' = tt,o2f ,q' n t9o .
I.5. EXEMPLE DE REZOLVARE A PROBLEMNLOR COMPUSO'
Problema l . l2 t l l (1.53)O sfera de razi R - t 0,0 crfi se rostogoteqte fbrd ahurecare pe un plan
orizontal,astfbl incdt centrul ei se rrrigcd cU acceleralie constantil a" - 2,SA cm/s2Peste t " z0lj,t,dupd lnceprrtulrni;clniirpozilia sa corespunde pozifiei indicatein figrrrn t l t. 20.
Calculali: a) vitezele punctelorl, B qi 0;b) acceleraliile acestor puncte.
. Alegem un sisrem "noro"o,.otxtollfr;** cu axa oxorienrard in sensulmigcttrii sferei. Determinarea coordonatelor gi timpul se va efectua oi" "io*eor"rinilia! al migcfirii.
- I a rostogorirea sferei pe prar, toate punctere sale participtr ra dou6 migcdri:,*,T::lll* :1,9'X'1k l.3"lcta axei ox cu itezacentruiui,rrl"i r iiJr .oiuii,rrlJrrnu centrutlu (.'cu \ te,za tangenliala. Deci valorile vitezelor momentane alepurctelor de pe sferd pot li aflate adundnd f. gi tz,
O d "
o t ,g . t t . t o
Ftg. I 1.2
I
I'
::-il
d
" , . u ' l u , I
a) ln sistenrul de coordonate aies vitcza punchrlui C EStt V" =Vn + at,Vu, ftutdviteza ini1ial6, care confbrn condigiei e nul6. Fa!tr de plan punrtut
' o rarndne
nemiqcat(lipsegtealunecarea),sauf,=t,+f,=0,f,=d,r, (f)Ditt (l )reiese ctr in lipsa aluneclni
. y.=17*_,1=lt*l=t,,,Pentru vitezele punctelor. A Si B oblinem (vezifig.l l.l):
Y, + V, + V, = 2at,V, = A,tOO%,r; = tt! + V! - tiJit,V, = t,W. tO-, % .b) Deoarece cmtrul sferei se.deplaseaztr acceterat, accelerafiile fiecurui' punct !e compun din dccereralia miqcarii de ranslalie, egara cu acceterariucertrului sferei a-; = 4,9i din accelerafia migcarii de rJrage m jurui-ilirur*i,adic{
a =d,*+do=d.+d, + d,.Modu!* aeoelera$ei punctelorr, I9i o se carcureaz{ ugor,utiiizfintl diagxarnereveatoraie r€prezentate in figwa I t.2:
F--*At-; l" c't2 dI/.0, * {le, +ati +d: d^=?- = ]il,",
- t
= o",
- a.\' * alQ B = = ".J J, 4ll,o,' - z,so. tou /," .
I t \2 . a - l '
3- = 1/(r. - a,)' + al =
7,", = 2,5s- 1o-' yt
I.6. PROBI,EI\,IE PENTRU LUCRUL INDIVIDUAL
l.t5] (l.l ).in prima jrunatate din timpul rnigcdrii sale un automobil avea vitezede80 km,'h, iar in a doua junritate-vitezd de 40 km/h Care este viteza medie a
2.til (Tll.illlllll'1"0" parcurse o jurnatate din drum cu o virezl deB0 km,/h, cealaltd jurndtate{u o vitezl de 40 krn/h. Aflali viteza medie a
,. ttt?i3ll:f i l ,f i i l i l i i i , ,,,nu,i,,arernisc{ri iunuimoblsuni: 'x = 8 , v : p ( t - d )
(a, B - constante pozitiveJ. Sd se'a) deducd ecuafia traiectoriei y(x) gi sd se consffuiasctr graficul ei;b) expriure viteza tr/ gi acceleralia a in fimctie de tirnp;c) determine morugntul de tinrp /orin care vectorul vitezd gi vectod acceleralie
formeaztr uuglriul a = | *a
4. [U (1.46).Un co4r solid se rote$te in jurul urrei axe fixe conforru legii:e, qt - Bt3 , unde a =- 6,0 rad/s Si F: 2,0 rarl/s, Sdse detennine:
a) valorile nredii ale vilezei gi acceleraliei ungtriulare ?n intervnlul de tinrp de lat : 0 pfurd la oprire;
b) acceleratria ungbiulara in monentul opririi corpului.5. Viteza unui mobil vaiazd confotm legSr:f - -At + fr , unde ,? gi I sunt vectoriparaleli axei OX, rnodulii lor sunl A = 0,5 nnf Si B * 3 m/i, SS se afle:a) coordomta in rnomentul I = 3 slb) drumul palcurs cle ctrtre rnobil ln prinrele I s pi viteza medie pe acest dnun; sd
se constmiasc6 aproxirnativ graficul dependen{ei dnunuiui tle timp.6.ttl (l.23).0 pa$icul[ se migc:tr rectiliniu uniform incetinit. Modrrlul accelerafieidepinde de vitezd in confonnitatc cu legea: o = oJf , unde a este o cotstantipozitiv6.in momentul inifial viteza particulei era %. Cat fimp se va migca particnXa gi careva fi dnunul parcws?7 [] (1 3q),Un putct se rnigcd pe uu arc de cerc cu raza R. Dependenla vitezei cafunclie de drurnul parcurs se scrie astfel: P = avf,, unde d 6ste o coustant&. Aflaliunghitrl '0 dintTr vectorul acceleraliei t(taie gi vectorul vitezl ca firncgie de S.I [] (1.7) Doi inottrtori au scopul s6 ajungt din punchrl I in punctul diametml,rpus .B de fe celilalt nral aJ untd rfiu. t"lrrul din si a hotlr8t sfr ?no*te in dire*giadreptei 48. al dnilea.tot timpul sd tnoal+l grcrp*rttricular toreutrqNoi de npfi, iardislnnla ln i:ale ra f'r,Jrrs dr1 npft S.{} l:ri-!i,$'$t'nsere mergflnt{ ne lnrril Cu viteZa {y'.
Penbu.ce valoare a vitezei Uambii inotAtori vor atinge pulclul I in tirnpuri egalc,dactr viteza torentului vo - 2,0 hn/h, iar viteza liecdrui lnotdtor fafd de ap4este(' = 2,5 kmih?9 [u (1.31).0 biltr care se afl6 in repaus cade pe un plzur turclinat 9i netetl cealcdtuiegte unghiul a cu orizontul. cazend oe la tnat;imea h, in unira ciocniriielastice cu planul ea se reflectr. La ce distanp de laiocul cdderii bila se vareflecta a doua oard?l0 [5] (1.4).calculali viteza luntrei fa;d de marut urmi r6u, daca ea ra pluti:a) in sensul cursului apei;b) in sens opus cursului apai;c) sub unghiul: a: 9f fag de cursul apei.Torentul de aptr are wteza V = I mis,iar vilezalunfiei fafd de apiV=2m/s .I I tsl (1.?).o barc6 plutefte cu o vitezd rJe 7,2 knr,hperpendicular fattr de nralulry1ui rEu gi totodatd esre antrenata de torenhrl de ap6 parcurgdnd o distzur16 deI s0 m de-a ltngll direcliei de migoare. care este viteza apei 9i in cdt timp barcav& faversa rdul? [^6$mea rdului este de 0,5 hn.12.[6J (3,5.3).o sfeiace ryza r se rostogoregte cu vitezn v pe o suprafapnetedtrinjuml unei axe orizontale, descriind un cerc tlerazd li. sa se afle i,ilezaungldularA totald a sferei gi sensul ei.t3 [!] (1.52).Punctul I se gdsegte pe obada rolii de raza lt -- 0,50 nr, cr: serostogole$te frr4 aluecare pe ur plan orizontal cu vitez.a v : l.0l) rriq S{ seafle:a) modulul gi sensul acc-elerafiei punctuluil:
I b) drumul S parcurs de punc$l / lntre atingeri consecutive de supraf'a1a planrrlui.
--1.7- Inclica{ii gi rlspunsur:il . l r ty =\Li +vry = rc, ty/r . '
2. (Y) - z''v/t, _,, r M3,%./ / \ \ + v z l { s
3' a)1= ,-fr.t ' , I,n'=p{i*d;;) ' , a=2a0 =unsr; c)r,, = L' a
4. al (ro) = li r*, = lib -w,b, - 2 n = at,ad/ r--r { ' - - ' . { t " 'P r ' 3u - ' ' , / s , , = r l "Ap ,
r l{.a)=-!dt -- ,F;n = urryf et. *1.ffi = nrad/,,5 alX = lt,?im, 6)5 = t4rn, (y) = t,TS%
fi *r'"-,71 , ,r,.y,", 9!!1-- *r,,.,,
?:l
& .:yt = alv, I# =i,*, v, =r,n . *1 .2 ^-.
t - -./r ,,
r =ff-oJs, s=a't ' r / . t=#=+,Y ' do l ' an 2s
o ' - R
= M '
I g 9 = ; : = R
r l l '= l ' ,+v. = l / 2) l / =Vr-Y,
t l Y =0,6/ r . 2) t =250s.
,=,,!ii*.1 =rWW,
ot o=o.=v] , ' , = f f=0,
=r%, qr=,{f;lv; =2.4'2(
irrtre doutr atingeri consecutivc de suprafald punchrl efectueazi o rotritie:s = / v a t : s t t .
2. DTNAMTCA TIUNCTULUT rlrATBRI..rL $r A Mr$CAIUI DETRANSLATIE A SOLIDUI,UT RIGID
Dinamica,spre deosebire de cinematicl,cerceteazi cauzele ce provoacdrnigcarea corpurilor.^ Corpul fizic prezinti o totalitate de puncte materiale legate rigid intre ele.In migcarea de translafie toate punctele corpului.se miqcl identic. Decimigcarea urui singur puni.ct cwacteiueazl pe deplin miparea intregului corp,indiferent de dirnensirnile acesiuia. De aceea putem aplica modelul punctuluirnalerial.
Legea fundamentali a dinarnicii punctutui material (legea a doua a luiNewol) intr+n sistem ine4ial de referinld este:o d t , tt, =
Vlnv l.
Pentu rz = const, F, = ̂ { = ra .Prln Fse are ln vederel E,,'adicd6Il .. ,rl
rezultanta fortelor. in cazul migcerii curbilinii cste comod sI utilizlm ecualiamigc{rii pentru compon€nfa tangenliald gi nonnald a fo4ei, duse din puiletulde pozilie a particulei:^ d v ^ r "f t= ma l , r ,= mT.
Ecuafia migcArii intr-un sistenn neine$al de ref*rirg6" fr€ $# re$drnte su vilezaunghiularll a) constant& in j*rul axei, croe i$etiilipff lq c $x*r";:ir.s.ii$ cilacceierafia c'fo, cste:
: - t - J ' .Mr l ' i . i - r f iA . r . /8 / , i ^ ' . i : . s
I d : .
8.
9.10 .
I t .
12.
1 3 .
b)
@1 ft g a = Q = A .
unde l'gi d' sunt,!'espectiv,viteza gi acbelerafia pturctului material fbla desistemul neinertial de referinlit; /este veciorul de pozilie a particulei iala deaxa de roralie a sisfemului neine4ial; r =tr,esle rezulranra forlclor, careinfluenleaz{ corpul iu sistemul ine4ial Oe i*telula; nta2i; = - tud,, = ii"reprezinti io4a de ine4ie centrifugt,iar 2nF, " 6 J F*-forta de inerfie a lui Cariolis.
Nota. Forfele de ine4ie se rnai numesc colriplementare sau pseud.rtbrie.
Problemel0 dinamicii pot fi clasificate asrfel:
!. Probtemc directd. in acesi tip de probrerue se iitie le gea nrigcirii 9i trebuieaflate forfele ce ac{ioneazd asupracorpurilor din sistemul snrrliat.hoblema se rezolvd prin derivarea succesiv[ a ecualiilor cinernatice alemigctrriidetermin&rd accelerafiile fi ec{rui corp.
2. Problema im'ersd. cunosc6nd forlele exterioare aplicate corpurilor din' sistem,secerelegearniqcarii(dependenfacoordonatelorcorpurilor(punctelor materiale) de timp).Rezolvarea sc reduce la i'tegrarea ecuafiilor migcrrii corpuriror(ecualiilor legii a doua a lui Nswton).
' 3. La o a treia clasd se referi problemele, cale necesitd determinareacoldiliilor de echilibru (dezechilibru) 9i stabilitate (nesrabilirate) amigcarii sistemului de corpuri in cfunpul de fo4e dat.
J -. Rezolvarea problemelor tle acest tip se reduce ia derivarea ln raport cudireclia i a funcliei Fce caracterizeazd cdnrpul fo4elor.
La rezolvarea problemelor dinamicii ponte fi folosit urmtrtorul algoritm:
l. Se deseneazd figura schematicd.- 2. se alege sistemul (sistemele) de refering,lndreptand o axa io direcfiafo4ei ce imprim4 nd$care corpului.
3. Se analizeaza fo4ele aplicate tiscdrui corp din sistem gi se r.epieiiuta in figuri4. Se scriu ecuatiile_migcirii perrtru fiecare corp in for.nri let*oriald lrrrdncl. seama de sistcnrul de referinp ales,
, 5,. se scrie leg[tura dintre mlrimile cinematice ale corpurilor examinate infonn[ vectorald. Penhu aceasta e necesar si se scrie,lcgdtura dinhe vectorii deryile ; gi r-' ai corpului cercetat fn sistemele de referil4r ine4ial qi neinerlial,adiGdiF = t'+ r- . Aiciio este vectorul de pozifie, ce unegte originile sistcmelor de
*refe.rinli inerfial 9i neine4ial.ti. sd pofeilTiii-i itcroiii diiiam;;iemrii rtiii eirialiiii iiliiiurilor
cinerrratice pe arele de soordonale7 P.ezrtltffnd sislerntrl r.!e ecrrafii oblinnt se afl6 nfuitrrile lccrrnosr:utt:
8. Se cerceteaza soluliile aflate,examindnd diferite sit'uafli fizice. Se lnfdptuiesctreceri la lirnitn c6tre rezultatele fizice anterior cunoscute.
9. Se verifica dimensiunile rnirinrilor fizice cdpdtate.10. Se efectueazi calcule mrnrerice gi se estimeaz$ corectitudinea lor.'
tn probtemele de deternrinare a echilibrului ldezechilibrului) $i stabititigi-(instabilit[lii] rnigcfirii'sistemului de corpuri in cdmpul de fo4e dal pe l6ng{punctele de mai sus este necesar:a) s6 se scrie condilia de echilibru penhu fiecare corp din sistem, in formi
vectorald,gi sf, se proiecteze fo4ele pe axele de coordonate;b) sl se scrie condilia de stabilitate (instabilitate) pentru fiecare corp, in fonnf,
vectorala: $)o (#,t) 9i si se proiecteze pe axele de coordonate.
AI. EXEIVTPLE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DIN.ECTEDIN DINAIITICA
Problcma 2.1 {IU(8.7)
O barcl de mas{ m se migcl conform legii:
fiind o constanti Detenninati
fo4a de rezistenfl cxercitati de apd, dac6 se gtie cd ea depinde nrmlai de vitezab&cii.
.Fig. l2
Rezolvare. Desen[m o figurl schematic[ (fig.12), in care orientikn ora OXtr sensul
mifcerii btrcii. Forple aplicate btrrcii srmt 6 - greutatea ei, f - reac$uneanormald a apei, fr - fo4a dc rczistenp a apei, orientatl in sensul opus migcdrii.
Ccnponenp vitezei pe axa0X*te. m h - 1 , - 1 .
Y , = i = T Y o i " n = V o G ' I
cdnponenta accelerafiei pe axd se scrie:
(r)
h .t,a , - - *= - ; r * - ( 2 ,
Scriem ecuafia difcrenfiald a migcdrii in proiecfie pe axa OX:26
p6 = -4.Utiliz6nd formula (2),ob{inem:I
R' -= hVne-''f
Su$$Qindrelafia (l) tu (3)pvem:
&=*1 . (4 )
.Formula (4)rindicA c6 Rr este o ftrncfia liniara de vitezi. Aceasta lege semanifcstd la viteze mici. la vitez€ mariR-Z' .undc n > I .
Problema 2.2 [ll(1.60)
- ln instalalia reprezentiattr tn figura 13 masete corpurilor sunt: nd, m 1 Ji nt 2,masele scripetelui 9i firelor se negl{ieaz{. De asemenea,lipsegte frecarea inscripete. Aflafi acceleralia ao de coborfue a corpului m" gi tensiunea din firul careleagi corpurile m1 si m2, dac6 coeficientul de fiecare dfute acestea qi suprafafaoriiontali este r(. Cercetagi cazurile posibile.
Rezolvare
AI- ecgn sistemul de coordonate xoY ca axele ox gi oll orientate respectivp sensul migcfii oorpului,nl (rn i gi mo. Corpului cu masq nro srnt apticat-e"fu4ele: n;t ,gi t[-celui cu rtrrSt rrl;
&E'rt,,?o',t,Lo,
iar corpului eu tnaso mli
(3)
q8,frr,4,4r.Ecualiile migcArii, acestorcorpuri sunt:N+To=nodo1 '
nq|+ frr+fi, ' +f;,+Fro=r46ri (l)nq|+ f t t+i+F2o=ndr.Masa firului inextensibil este negliiabill fu comparafie cu masele corpurilor m n,lrr i $i ,r',,. Rezultl c[ tensiunea e constantl de-a lungul {ieclrui fir. Deci, 4, = r;$ Ir * l"r. hoiectdnd fo4ele din sistemul (l) pe axele 0,1 9i Ol'oblinemurnn|itoarele ecrm;ii :
Fig. 13
m6 - 7o.' t4tt,t;
Drg -' trr = 0;
mrg- Nr=0 i Q)gt Tn - 1, Fi, = n,E1,;
Tt - Fro = mrar '
Deoalece firele sunt inextensibile, atunci accelerafiile corpurilor sunt egale:ao = at = qz. (3)
AIl6n for{ele de fiecareptiliz6nd legea Amontons-Coulomb:Fir * *N,i
Fr, = kNr,
4) rz,((nr(no s8u
T o = \ .
(4)Rezolvdnd impreund ecua$ile din sistemele (2) gi (4), avdnd ?n vedere relalia (3),fald de no ,2"7 gi I, obfinem:
a- r f ta+m,) _ ( r+* ) r r "nao=;Jfr ;s ' r '=f f is '
-. {t+ t}(ot, *,r4),rro'o=--ilfiJd-8'
Cercetftn tnndloarele cazuri particulare:
\ k - A(frecarea lipseqte), atrurci
o ^ = L , T = m o m z g r - o . { n , : t ) - .- m o + n t + n 2 , r + r j - r '
1 o = A + m r + m r g '
Aceste_solulii pot fi obfinute ugor din sistemele de ecuafii (2) 9i {4),consider6ndlo - rer= o. \2) Din.expresia (5) se vede ca cre$terea lui K implicr micgorarea accefcraliei gi
mdrirea tensirurilor,
PenfuK : I , q=Wr,n t o + m t + n 2 " '
- ?snom, * zmo(m, +nr)rt = ]j{lfis' '" = iJiTt s'
3) nr((n,\noadicdn, = 0, m,(mo, o,=ff is, . t i =e ,"=.f f i r .
m,zo,mr(mo, o"*T#g, Tt"ff i t ,
Acest rezultat'u$or se obfine din (2) $ (+) perbu rr1 - f,5 ) m r + m " = m o , ( * * O ) . ' l
(5)
Problema2.3 ! l ( t .63)
In instalalia repreaentati, in figrua l4 este dat ungbiul* de incitralie a pliiriuluifalS de orizoritali.gi coeficienrul ds ftecare K dintre corpul ni; pi planul inr:linat.hlasele scripetelui 9i firului se considertr nule. Frecarea in scdpete lrpsr:gte I)acdobligim corpurile (mdrimea) s6 se afle in repaus ln nromenhrl iui;iid rle tirlp,alunci pentnr care nririne a raportului nr/m, corl)ul mi.
a) va incepe sf, se migte in sus;b) va incepe sI se nrigte injos;cJ rdmdne irnobil?
Rezolr areAlegen axele de coordoirard pcutr rrfiecare corp ln parte (fig.la)Reprezent[m in figrr{ ftr4eleaplicate corpurilor gi scriemecuafiile migc[iii:nrE + I, + f;n + ri, ". rn,d,
_ ( t )n 28 + 12 = m2a1.
Deoarece masa firului esie ruld gifi.ruI este,n."1*!l3itril r
(2)
v^F g,t4
concludem ca la,l = la,l = 6 ti ltil - l4l"Proiectdm.vectorii din (l) pe axele de coordonate:OrYr: Af, - n,gcosa = 0;
01X1: T, -mrgdna - F, = ntra, = mrai
Orf... frzg-4 =mxo2 2 mg,Ftr = kN, = Lvlrgsotn.
Din (3) obfinem a =!2g:!-'d'j^"!!g*lfrt +hlz
a) Dac[ corpul in2 se mipc6ln jos, atunci a)0, decim"; i )s ina+lcosa'
b) in acest caz din ecualiile sistemuhri {l ) arem:T, 'n l rg = f i rs ,
n,d.sina - *eosa) - T, =m,o,de unde crbtinem cfi
(3)
(4)
{5)
2t)
g lrin cr - ,t "oro . (6) .ml
c) corpul va rdmdne in repaus, dac6 el nu s€ va migca nici ftr susrceea ce are lobcdnd b<s ina+kcosa ,
m,
m.gi nici injos c6nd 3 > sina-&cosc.
mr
Din cele de mai sus reiese c{ sina - lcosc <h < sina + Lcry,a,
Problema 2.4 [9] (10.4)
ce acceleragie poseda copunle cu masele rar, n2si njate sistemului din figrrra15? Care sunt tensiunile fr Si f: in fire? lvfasele scripetelor, firelor gi fo4eloidcfrecare se considerd nule.
RezolvareAlegem sistemele de coordonate,astfel lnc6t originile lor s6 coincidl
permanent cu axele scripetelor. Axele OXgi O,x, le vom orienta in sersrrilemigcarilor presupuse ale corpurilor.
Evidenliem sistemul de coordonate legat de scripetele l.mrp+T, =mrd, . ,
n rE+ i r=m7d2,- a
m a g + t r = i l t Q t .
Proicctind fo4ele pe axa OX,ecualiile (l) dcvin:u:,g-Tr J mrar,
mzg - Tz = ttr2o2t Q\nrg - T, = mrar.
nAm admis ci masele firelor sunt nulgatunci tensiunea rdm&le constailAde-alungul firelor. Deci l4l= l4l, r (3)
sfrntT2= Tj, mri,hin urmare, fo4a cu care finrl trecutpeste scripetele ,l{ acfioneazi asuprascripetelui .8 este4=Tr+Tt=2Tr . (4 )
Scriind relafia dintre vectoriide pozilie ai corpruilor m1 $i mtinsistemul inertial,YOf gi neine4ialde referinfd,Y'O'I',respectiv,giconsider6nd inextensibilitatea fi relor,vom g{si a gasea ecuafie necesara.
30
(l)
Ftg. I 5
4'il0l = 7o11y *iJ"Q),rr"(tl = f'gQl +rrr(t), (5)
unde ir,(r),r1, (i,r*(4 strnt vectorii dc pozilie lntr-un moment arbitrar de tunp , alcorpnrilor doi, trei gi al scripetelui B fat6 de scripetele I (sistemul XOg;Fr"{t),Frr(t'1 sunt vectorii de poziFe ai corpwilor doi 9i trei faf6 de scripeiele d.Deriv6nd expresiile (5) de doutr ori raport cu timpul r obginem:dr, - do + 6rrdr^ = dat +d*.
Consider&rd c6, dr" = drds/ = d,,dr^ z d,rela$ile precedente se scriu:d, = d, +dr;d, = d, +d'
ln proieclii pe axa OX avem:lz - f,t +o2l,a' = -ar + arD
de unde detcrmindm legItura cinematictr dintre accelera$ile corpurilor:d ' z + a r + 2 a r = 4 . (6)
Rezolvares sistemrilui de ecuagii (2), (3),.(4) 9i (6) nq oferf, urmiroarete soiulii
d t -,r{^,+rrl-a^r,q
;6;;J.4^,,,8' o,=+P++:!)s,mttu'qz+mrl+4mzrn,
^ tnrn,m.I =-*r----9.
t\lrn2 + m1)+ 4mrmr-
problema2.5 [l] (1.29)
' cu ce acccleralic trebuie migcata ln direcf e orlzontall bara ,{ (vezi fig. l 6)pcnqca corlnlih I gi 2 s{ rrm&rn h glarea de repaus fap de ca. corpurilJposcd[rcrycctivnrascle A ti nr. Coefieiurlii de ftecarc lnte bara qi corpuri $mtrcspcctiv rr $i (:. l"{ass ftului e f,oste nisl, scripctele esta idcal tac mi*rrnoeliiabilf ti or $rri.ncgIrjabilc toilegftite sale).
RezolrarcVom rezolnr problcna ln sistemul dc coordonate ,y0'f'(sistemul
fitotfl r' ) legat dc bara A. orientlm ax€h ox' d o,r, fu sensurile migciriiqoqnrilor I gi 2 corespmltor. Deoarecc tura A sc dcplascaztr cu accelerafia a.,ftF de sistemul fix r(, atrnci sistcnnul ,f, estc neine4ial.Lufod h considcrati€ fortclc de inerfic acualrr principiului II in repcnrt (, sescrie:
rfr, = F -n d^ (l)Accclera$a corpului aflat h repaus (ln reperulK'), dcsigur c nultr. De aceeacondilin rqrausului ln sistemul neincrlial de referintl ,(; devine:
3 l
c l tt rtlt \ +mrr+4mzt\
F - m o , = q , (2)
- Fm r 9 ' 2 f
Condilia(2)inproiecfie pe axele O'x' si o'r'arc forma:T - F r r - m r a ^ = O ,
m z g - F z t , - I = 0 , ( 3 ) '
unOe ffinl= k.,mra^ deci fo4a de inerfie F = -mztit, apis6nd corpul 2 asupra
barei provoaca apariFa fo{ei de frecare 4n. Deoarece -,1V, +m,g = g avem c{
Frp = k,m,g . introducAnd expresiile g{site penfu calcularea modulilor fo4elor {"
gi 4r tu sistemul de ecualii (3) gi rezolvdnd acest sistem de ecualii se o$ine:t , \
o=NzJl!! (4)mt + trmz
Utilizind expresia (4) pot fi examinate cdteva caanri particulare:
l) daciinl- izr 9i Kt * Kz* 0, atunci avem a = 4#
2) dacAn l -n :$ i h* ( l -Qatunc i a=g;
pentru m1 i m 2 gi K 1 = K t - 0 expresia (4) conduce ta: o = s*'
Problema2.6 [91tI.32)
Pe rm plan orimntal este situata o panf, de masl M (frg.l7),pe fap ftrclinate acireia se Pune un corP de masi rr.
eflali acceleraiiile orizontale ate ambelor corpuri $i fo4ele,'V $i fr cu cupcorpul apasi asupra penei 9i respectiv, paha asupra planului'
t2
Rezolvare
Alegem sistemele de coordonate XO)'(reperul fil K) li X o,y, (reperul x,Iegat de pana mobil6) cu ilxete oy 9i oy' perperidiculare pi ptzurut oriioirtat qi cuaxele oxgi o x' orientate in sensul migchrii penei. originea reperllui K coincide
cu punctul inilial al deplasarii penei (fig.17).i
Fig.17
l. cum se rede.din figru'fi uurrrai cornpone'la fo4ei ,r7 poate inroru*aacceierafie peuei in direcfia axei ox. Notrm aceaiitr acceleralie iri'o,,componenfa orizontali a accelerafiei corpului ln prina, qi cea verificatdprina,. Ahrnci e cualiire principiului II ar dinarnicii pentru corp 9i pand rn
, migcarea pe axele de coordonate vor fi:' l lsina = Mar,mg- Nrcosa =mar,
.i r\y', sina = rnr,lfrl,=|1fr,1. (l)Incd o ecualie neceszud sistemului deicriafi se lioate ribline siriind leg6tuii*-*-cinematictr din{re accelera}iile a,,a'a,.ultirna ecualie rezultd dirr faptul lunecdriicorpului pe thla inclinat{ a penei, adic6 raportul coordonatelorY'{tl Ei x'(r)ale corpului in orice moment de timp rdlttdn€ constant:
r'(t)
Y'(t) = Y'1111ro (2)Din ligurd se vede cA x'0) = X(t) - XoQr,y,(t) = r(rx3),und€ x, (t) este distanladintreorigin,i;lereperelor(9iK,, x(t) suntcoordonatelecorpultri n fat{dereperele K $iK' coresptxtzitor.
Substituind (3) tn (2) gi deriv&nd expresia oblinuta cle rloul ori in raporr cutinrpul, se poate scrie:
/,1r1= (i14 _ )t,k)\so .Avflndhrredere sensurilevec.toriloracceleralie f'(r).,a,, li()*.tt",f"kl=o,,oblinenr cd a. - (a, +o,)rgo (4\Rnzr-rlv$rrd siclenrtf de ecrrafii (1) qi (4).wrn avea:
' , = 4 f f i ,#4 ,a ,
= 4 o , .N f f i ,R = Ms - N cos" = f f iProblemd2.T {U (1.86)
O bil{ suspendatd de un fir oscileazi intr-u*plan verlical"astfel ftrc6tacceleraliile ei in punctele extieme de sus 9i de jos sunt egale in modul. Calculali:a) unghiul de abatere a firului in pozifia extrem6 de sus;b) fo4a de tensiune in fir in pozi;iile extreme de sus gi de jos, consider&rd cd
masa bilei este z : 0,05 kg.
RezolvareReprezentdm conlinutul problemei prinf-o figur6 schematici (vezi figura
l8). Vom lega sistemul ortogonal de coordonate de bila ce oscileaz[ orientdndaxele OX Ei O-ll in sensul vitezei gi, respectiv, normalei interioare duse la cerc inacest punct. Analizdm fo4ele aplicate bilei inf-o poziFe arbifiarA de deviere cuun unghi oarecarea, Observ{m ci sistelnul de coordonate ales se migcS cuacceleralia 6 = d ̂ + d, deci, este neinerfial. Bila ln acest reper este ln repaus, decilegea a doua a lui Newton se scrie:
n a ' = F - f a , + a . ) = e .Proiectdrn vectorii din aceasti ecualie vectorald pe axele de coordonate, oblin6nddou{ ecuafii pe componente:7'-mgcosa-ma, =0 ( l) gi
mgs ina-ma, =0 . (2 )
a) Unghiul de abaterea pennu pozifia exfremi de sus se va afla utilizindcondifia de egalitate a modulilor accelerafiilor in cele doui pozilii extreme:
F,l= F,l, (3) iunde indicii I gi 2 desemneazipozifra bilei (fig. l8). In poziliaexbemt de jos (pozi;ia l)n =0, atunci expresia (2)devine: 2Fr, =mar, = mgdna =0,
dccifa,l =Jo,1J4 =o,..in pozilia 2 bila se opre$te adicd V : 0.
Vzdeci i iar, =T-=0.
De aCeea Ftg.tE
li,l = o r, = I'sin c (4). Expresia acceleragiei a,, vom gisi utilizAnd aernct€risticilecinematice ale migc[rii. Dc-a hmgu! dir*:*giei O rW bila ende tiher d* No indlfimea
bfdrdvitez*inigial&. Ahrnei &-:sj- gil. '=Ett,dc;rilde ;'r *;rpi fi.r ' '!6uraI
seobsewi lca* ' "n( t -ooset) . Pr i r r twt t , : t l * * " , l , . , ls ' t . , , . - . : . " : , ' : {1
.1v
Substituind relaliile (a) pi (5)in (3),putem scrie:20 - cosa) = sino. Apoi,ridicdnd ultima egalitate la p6h"t gi rezolvdnd ecuagiaObfinutn in raport cu cosa,vom avea:cosal.2=0,8*0,Z.PrimaSOlUfiecosa,=l,Sau dr=0,a,... ContraziCecOndifieiproblemei.
in adevdr, pentnr ar = O oscilafirle nu vor apdrea, iar pentru a, = zroscilaliile vor ftecs h rotalie. Prin unnarerrdrndne solulia:cosa2 = 0,6 sAUa2 = 5308' .
b) In pozitia oxtremfi de susor, = 0, iar ln cea dejosa = 0,de aceea din relaliile(l), (4) pi (5) rezult6:
ml/ztz = mS cosaz, I; = mC + -j{ = l,\mg
Calculul nurneric ne d6:Ts = 0,29 N, Tr:O,qS ry
2.2. llx[MpLE b,[ R[ZOtvAns A pnonLrMELOR
, INVERSE DIN DINAIIIICA
probtema 2.S I l ] (1. 100)
o galupd de mas6 rr haversa un lac cu ri,reza vo. tn nromentul de ti'rp lomotorul ei a fost deconeitat. consitlerdnd forfa de rezistenfd a apei propffinalacu viteza galupei:F = -rf ,sdse afle:3) durata dc timp a migcirti galupei cu motoml oprit;p) vile3 fluqei ca firncfie de dnrmul parcurs ftrra acfiunea motorului gi drumul' total, pdni la oprire;c) vitezamediea galupei.in intervalul de rirnp, in decursul cdruia vitez-a sa inifial6
se mic9oreaz6 de 4 ori.
Rezolvarepesen{d figuraschematic[, alegem sistemul de coordonaie cu axa oJ(, orientatdln sensul vitezei,ludnd cu griqry pozifia ce corespude momentnlui de iilrP incare a fost oprit motoml (fig.l9). caracteristicileiinematice ale nrigcirii galupeisclor=O{eytnarcicaitrd.din legea fundamentald a dinzunioii rrripclrii de tiarrslalie:F = p I'timpul nrigclrii gahrpei cu motomr oprit asupra ei acfioneazJ in9q*ff w<eloX o singuri fo4a de rezistenfi: b, = - i\,,,(tn viiior vom <ynireindicele,Xdeoarece migcuea are loc nwnai irr directia O,lJ.
I . t s l9
a) Accelera;ia gatupeia = *= *
=ff . separnd variabirere,vom scrie:d V r-; = --dt.Y m
y i - , - - - . . . . . . - * . - i -Dup6 integrare oblinem: ln^= -Lt.Potenfiind,putern scrie:f(l) =rr";? .-e\Din (l) se vede cd V : 0, cdnd I -+ o.b) Drumul parcurs de galupd cu motorul opritin timpul I este, - | / , \
s =!^vat =vol,'; 'a, =+(t-r-l '),
adic6,s = * -*ri' = TV, -v). caurmare
Y = V ^ - r s .- m
in momentul f.'al v * 0, anmci din (2) exprimdn drumur totar parcurs:" * ^vo" o -
r 'c) Viteza medie (Z)se va determina din fonnuld:
<vt = j'ivr,u, =ff(,-;i'),
(2)
(3)
(4)unde t' este durata de timp ln care viteza inilialr a galupei se micaoreaz[ do qori.
v t . ,
q ='-L = 2)' , de unde rezulti ctr
r = fnn.
Substituind (5) ln (a),obfine m: (vl =r,ffi.
RezolvareSistemul de refcrinfi legat
de disc este un sistem neine4ial,deoarece fiecarc punct al discului(cu exceplia celui de cenfiu) serotette cu accelerafie
Problema2.9 [U (t.ll2)
un disc orizontal sc rote$tc uniform cu viteza unghiularl o= 6,0radls tn irmrlaxei verticale ccnffalc. Fafi de.disc, de-a lungrd unui diame[iu se migcl - *rp
. ri: 0: masd m * 0,50 kg cu viteza relati'A constantd V, * O,SOrUs. Sf sccalculezc fo4a cxercitau de disc asupra acestui corp ln momcntut de timp cand clse afltr la distanp r = 0,J0 m de axa de rotatie.
(5)
36
' l
6.=-at 'r- , unde f
cste v€ctorul de pozifie ftfl deoriginea coordonatelor (centrul discului). vorn adtruga in legea a doua a lui .N€wton fo4ele,de irc4ic F{ = na,F $iCoriolis: fu = 2if , ̂ a,ahmci conform principiului d'Alembert vom avea:
m d , . = F + m a 2 f + z n f ' x ; ,
Tdr i este fo4a cge-acfioneaf asupra corpurui in sistemul inerlial de referi'ftr9i care ftr problema datd este nul* F = zrg + it = 0 .
Ahurci forfaexercitatl de disc asupra corpului va fiFd = md,+ rV, sauFn = -nE+mazF+zn f , x6 . ( l )
Proiectilm ecuafia vectorald (l) pe axele de coordonate:F! =fuaV'a,Fl =m@zr,Fd =-mg.
Atunci modulul forfei Fd este
F r =
_ c3lculqlpg1glgp!*{ _=rr2.3. EXBMPLE DE REZOLVARE A PROBLE]IIELOR
RETtrRITOARE LA STABTLTTATEA MI$CARU,
lema2. t0 [ l l (1 .109)
o particurr de mas6 m se migctr uniform pe un cerc eu viteza z sub acfiunea, fo4ei.q =/r, ,de unde a 9i n sunt consiante, r este modulul ,azei uectoar".
Pentru ce valori n migcareape cerc va fi stabiH? care va fi raea aceshri cerc?
RezolvareAlegern sistemul de coordonate regat de particurd gi orientf,m axere insensul vitezei gi de-a tungul razei vectoare $tg)D. io r.prn r n.i,,"rtiuiat., trg"aa doua a lui Newton fu proiecfii pe axa Of lsie
ma= Fn-or=+-# (r)Forfeler,gi {,sunt centrale,iar cdmpul acestor forfe este potenfial. pentnr cdmpulpotenfiil (ce se va demonsha pe parcurs) este adev6ratl relafia:
14 dt4r) -. = __E_n' (2)unde fieste rm vector unitar,!) (r) este cnergia potenfialt.h stmea de echilibru derivataenogiei potenfiale dupf, coordonatc
?7
du (gad (4 este nula:
- d t = f = O
Deci devine nuld gi rezultarlta tuturor fo4elor aplicate particulei:
, = 4 - 4 = or t '
( *Y'\ !1-^De Unde , =\;)
(3)
(4)
InsI starea particulei este stabild, dac{ la deplasarea ei din pozilia rje echilibruapar fo4e care readuc particula in ac€asti pozilie. Aceasta-i posibil dac6 hrpunctul dat energia potenfialS e minim6, adicf,
d7u--:;)o sa,taf-
dF. (0.
af
Dupi derivarea ecuafiei (3], finand seama de (4) cApatdm cIt r l--;;+-;; > o, (5)
t .
Deoarece r'd * 0 , ahrnci din (5) stabilim cI n < /.
Deci raza cercului ce corespunde migcdrii circulare stabile est€ ,, ={*)f ,
ude n </.
2.4.. PROBLEME PENTRU LUCRUL INDIVIDUAL
I fl I I (8.2).Traiectoria unui punct material este descrisi de ecualiile:X =acosr,t, Y =bsinox,, d,4ar*constante. Care este fo4aF, ce cauzeazi
ac€astd miqcare dac{ se gtie cd ea depinde numai de pozilia punctului.2 tl0] (19).Prinf-un fir lrecut peste un scripete imgondcrabit sunt legatc doufi
bare: una de mastr mt, cehmeclpe o suprafa;[ orizontald cu coeficientul defrecare K, cealaltd de masl m2. Ultima atliml sub ac$unea greuH|ii, S[ se afleacceleralia sistemului, tensiunea fu fir gi forp de presiune asupra oreiscripetelui.
3 tU (1.64).Un plan fuiclinat (fie.22) formcaza unghiul a = 300 cu orizontul.
- YponulTaselorcorptrilor my'm1 = 4 = 2/3. --\Coeficiennrl de frccare dinke ,/f * \corpul m1 9i planut inclinat d HAest€ K: 4J0. rVasele scnpetelui ,/ V i Igiafrutuisuntfoaste ( ,/ ' f! |mici. Sd se afle modulul gi t*, >'r'
[ p !
scnsu! aceelera$ei corputui n,, ,'" i i 'J ''
dacs eerpurile theep rrrigenrea ,-*1*.i,*- ,...=,, ...,... '*11-dful star 'ea de reparis. t t i ! ' ! ! ! i ) t : ' ! r : ' r , t . ' l ! l | !
Ji ilr ' -T
4 tU (1.?3).in sistemul reprezenbt in figrra 23, rnasele corpurilor suntms, m1 gi m2,,ftecarea lipsegte,masele scripetelor gi firelor suntneglijabile. Care este accelera{iacorpului nr? Csrcetati cazurileposibile.
Frecare existil numai iulre paudgf corp. Coeficientul tle frecareeste p Masele scripelilor gifirelor srut neglljabite. Detenninali .acceiera{ia corpulri faf6 rJe suprafa{aorizont:lf, pe car€ lunec{ pala.
' Fig.23
5 il] (1.7s).in sistemul mecanic reprezentat fir figura 24 sunt date: masa peneiMgi masa corpului rir.
, t t I I | | t I I | i l t t I I I t u t I t I i l , t I t I I | | t t I | | I I I I t t I t I t t | | u r
. Ftg.21
6 {ll (1.85).0 bil4 merBlic6mi$ ro fry rn suspendatd de un fir inextensibfl gideviaia cu un unghi de 90o de la verticala devine iibera,.Sd se afle:a) accelera$a total[ a bilei gi tensiunea in fir ?n dependent[ ded, unghiul de
abatere a firului de la verticala tb) tensiunea ln fir fu momentul, c6nd compon€nla verticah a vitezei est€ mudnaic) unghiul din momenhrl cdnd vectonrl acceleragie tohla e orientat orizontal
7 [u- (I'8?).un corp mic tncepe s[ lurece fhrr ftechre din punctur superior arunei sfere de razd R. sd se aflc unghiut 9 dintrc verticalf gi raza vectoare cecamcterizeazi pozilia corpului fap de centul sferei ln momentul desprinderii dela ea. Care este viteza corpului in acest moment?
I tl2l {13.4).Fe o suprafafd z.gnmfiroasfi" inclinatd un unghia fali de orizontaldcste re$nul prin intermediuf u:rni fir un corp. in momcnhll de timp'l = 0 finrl esteuisf. st se scrie legea migcflrii corpului,dacfi fo4a de ftecore a aa$ oetece;Amontons - (lcrrlcrmh.
ui lu i l i l i l i l
9.[2] (13.5).Suplimentar; in condigiilc problanci t sf, se coasidcf€ ot fo$ dGfrecare este frrnclie liniari d€ viteza cu cocficimtd de proporfionalitatc iar,,rmdc,?r este masa corpului.
10.[U (l.l l6),Un tren de masl n = 2AN) t,afldn&rse la htirMirrca p= 6d scmigc! cu uteza V = 54 In /h. Si se determine coqp@entr orizmtl a fortci dcpresiune exercicat{ de trcn asupra clii ferate, dact calea fcrUf cSc ktrcptdf deblurgul':a) mcridianutui; b) pralehr
I l.[U (l.l3l).Energia potenliati a unei particule aflalc lffi-rm c@ sc scrie:U = /r,
-t/r,vr* a gi 6 sunt constante, iarrcstc diseanp dc ta ccnfulcfunpului.l) St se determine pozilia de cchilibru ro gi str sc cercctczc SiliUtcr
cchilibrului.2) S[ se afle valoarea maxim{ a fortci & abacfi€.Rcprezentafi grafic dcpendenlch U (r) fl Fr(r), Fr fiind protocst forld pcvecto'ruI de pozifie r.
2.C Indlcrlit d rrrprnsrrl
l. F = -mo2i,unde r-este raza \/€ctod€ a trmchrlui.
2. o = !;-4- s,r =4+ s,e = fir.nr+i l t - ' , \+rr1
3. o= s(n- l i lnd- twal t (7+t)=Q0l .g.
, - llrr4^r*.oft,t,-.rll/ot' at=' A*r**n"(rr+^rll'
t t =tZG* r*g.r*dc
presirnrc aswra pmcr cauzd dc corpul dc nasl
n rsailtt din faptul cl sistenul de coordonatc leg{ de pol cstc ncincrfial.6. Q a=sJl*3ood;, T=kngrull@, bl T=,rgJi clwl= /.F, ,r=tr,rro,
7. P=.,"*{3).le", v*W.g. x =d%, a = g{rinc -tcocc), K - coeficient de &r'rarc,t >*ga.
9. Ecua$arni$clrii: x =it - frlt-.r-'1.
o= -q,{qii,.p i ta",trr'
lO o) f * Uaroriog - 3;tlW, ar . viteza:unghiularl do rotalic a Pfmintului trlSrril oci pnoprii;it f =r"or("ri Jlg*i/lAos, 4 . 33Hv, F- =2SkN, Rraza Pfinfunrlui.Scmul,.]lti corccpne ndgcffii &la Vcst cprc Est, isr semnul " - .. , invers.
ll. l)tl -f ,.*. stabik; z'yr* =fi;.
CTNEMATICE $I DTNAMICA
indrumar metodicpentru rezolvarea problemelor de mecanicd
Alcitultori: conf. univ. dr. Profir Bardelchiprof.univ. dr. hab. Mihail Vladimir
Elaborarc din limba rus!: conf. univ. dr. Profir Bardefchiasist. univ. Eduard Burdujandoctorand Tamara Rusu
Redactori : $tefan TironAla Cojocaru.Zavalchi
Bun de tipx 02.04.9E Fonnatul lr&tici 60x84. 1/16.H6rtie dc ziar. Tiparofset. * Coli do upa235.Tirajul 200 ex. Comanda nr. 3F.
U,T.M.,Chi$nfiu, bd. $tefan ccl Mare; 168.Departamentul &litorial-hligrafic al U.T.M.Chiginlu, sh. Studenlilor, I !.
