Commande numérique basée sur le placement de pôles des procédés linéaires à retard

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche

Scientifique

Université Abderrahmane MIRA-BEJAIA Faculté de la technologie

Département d’électronique

Spécialité : Master 1 en électronique

Présenté par: Promoteur: Mr ZADRI Samir Mr LECHOUCHE Hocine

Commande numérique basée sur le placement de pôles des procédés linéaires à retard

2009-2010

Au terme de mon travail je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon promoteur LECHOUCHE Hocine pour son aide, ses conseils et pour m’avoir assisté tout au long de ce travail.

Je remercie également mes deux amis Toufik et Atef pour leur aide et leur disponibilité continue ainsi que tous mes proches.

Je tiens aussi à exprimer au président et aux membres du jury mes remerciements les plus respectueux pour l’honneur qu’ils mon fait, d’avoir accepté de juger ce modeste travail.

ZADRI Samir

Je dédie notre travail à :

Mes parents

Mes frères : Nabil, Walid, Khaled

Tous mes amis

Sommaire

Introduction générale ................................................................................................................. 1

Chapitre I : Généralités sur la commande numérique

I.1 Introduction .............................................................................................................................. 2

I.2 Procédés et signaux .......................................................................................................................... 2

I.3 Structure des systèmes à commande numérique ............................................................. 2

I.4 Fonction de transfert de la boucle d’asservissement ...................................................... 3

I.4.1 En boucle ouverte ........................................................................................................................... 3

I.4.2 En boucle fermée ........................................................................................................................... 3

I.5 Transmittance en présence d’un bloqueur d’ordre zéro ............................................ 4

I.6 Système comportant un retard pur ........................................................................................ 4

I.7 Le système dans cas discret et continue ............................................................................... 4

I.7.1 Système du 1er ordre .................................................................................................................. 4

I.7.2 Système du 2ème ordre ................................................................................................................ 5

I.8 Stabile des systèmes numériques ............................................................................................... 5

I.9.1Critère du revers dans le plan de Nyquist .......................................................................... 5

I.9.2 Critère de Jury ................................................................................................................... 6

I.9 Précision des systèmes asservis échantillonnés ................................................................. 7

I.10 Conclusion .......................................................................................................................................... 8

Chapitre II : La commande numérique basée sur le placement des pôles

II.1 Introduction ...................................................................................................................................... 9

II.2 Le régulateur RST ......................................................................................................................... 9

II.2.1 Définition .................................................................................................................................... 9

II.2.2 Effet de l’intégrateur ................................................................................................................... 10

II.3 Synthèse du régulateur RST avec un retard ................................................................. 11

II.3.1 Principe de la synthèse ........................................................................................................... 11

II.3.2 Simplification de zéros du système à régler ................................................................... 13

II.1.3.3 Equation de Diophante ........................................................................................................ 13

II.1.3.4 Choix du modèle à poursuivre ............................................................................................ 15

II.1.3.5 Algorithme synthèse du régulateur RST ........................................................................... 15

II.4 Conclusion ......................................................................................................................................... 16

Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques

III.1 Introduction .................................................................................................................................. 17

III.2 Simulation des systèmes dynamiques par le régulateur RST ............................... 17

III .2.1 Système du 1er ordre sans et avec retard ............................................................................ 17

III.2.2 Système du 2ème ordre sans et avec retard ......................................................................... 20

III.2.3 Système du l’ordre supérieure à 2 avec retard (par exemple : 3ème ordre) .................................. 26

III.3 Conclusion ..................................................................................................................................... 28

Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique

IV.1 Introduction .................................................................................................................................... 29

IV.2 Structure et Principe de fonctionnement d’une colonne à distiller ................. 29

IV.3 Modèles dynamique de la colonne .................................................................................... 31

IV.3.1 Modèle de plateau ..................................................................................................................... 31

IV.3.2 Modèle de ballon de tète ....................................................................................................... 32

IV.3.3 Modèle de ballon de fond ...................................................................................................... 32

IV.4 Application numérique sur un procédé chimique ...................................................... 32

IV.5 Conclusion ....................................................................................................................................... 34

Conclusion générale ............................................................................................................................. 35

Annexe

Références bibliographique

Introduction générale

1

Introduction générale

L'automatique est la science qui traite de l'analyse et de la commande des systèmes

dynamiques évoluant avec le temps. En d'autres mots de l'automatisation de tâches par des

machines fonctionnant sans intervention humaine. Le système de la commande peut fonctionner en

boucle ouverte à partir d’un signal d’entrée. Cependant, uniquement en boucle fermée est capable

de stabiliser, d’améliorer les performances et de rejeter les perturbations externes des systèmes

dynamiques. La loi de commande est générée par un système de commande qu’on appelle

correcteur ou régulateur. Comme sa mise en œuvre est réalisée avec des systèmes concrets, qui

peuvent être analogiques ou numériques.

De nos jours, grâce aux développements de l’électronique et de l’informatique, la plupart des

lois de commande sont implémentées sur des micro-ordinateurs ou processus numériques.

L’implémentation d’un algorithme de commande sur l’ordinateur en comparaison à une réalisation

analogique, offre de nombreux atouts : coût faible, précision élevée, insensibilité au bruit et facilité

d’implémentation et souplesse par rapport aux modifications.

Parmi les algorithmes de placement de pôles utilisés dans la commande numérique, on trouve

les deux méthodes les plus répondues, la méthode polynomiale basée sur les polynômes RST et la

méthode de commande par retour d’état.

L’objectif de notre travail est d’implémenter une commande numérique basée sur le

placement des pôles pour la simulation des systèmes dynamiques et d’étudier l’influence du retard

sur la réponse de la commande de chaque système. Pour ce faire, on a programmé trois systèmes à

différents ordre (1er ordre, 2ème ordre, et supérieur à 2) sous Matlab. En fin, cette technique est

appliquée sur un procédé chimique nommé colonnes à distiller.

Notre mini projet comporte quatre chapitres :

• Chapitre I: Généralité sur la commande numérique ;

• Chapitre II : La commande numérique basée sur le placement des pôles ;

• Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques ;

• Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique.

Chapitre I : Généralité sur la commande numérique

2

I.1 Introduction

Dans ce chapitre, on va introduire les structures de base et le fonctionnement de la commande

numérique et les différentes classes de systèmes dynamiques.

I.2 Procédés et signaux [1]

Un procédé est décrit comme une boite noire qui introduit une relation entre deux catégories de

signaux :

� Les signaux d'entrée ou signal de commande du procédé.

� Les signaux de sortie ou sorties commandées.

Le cas le plus simple est celui des procédés mono-variables (SISO) qui est étudié dans un premier

temps, la généralisation se fait ensuite au procédés plus complexes. La représentation d'un procédé

mono-variable est donc la suivante :

Figure I.1 La représentation d'un procédé

Dans tout le manuscrit l’entrée ou commande de procédé est notée par u(t) et la sortie par y(t).

I.3 Structure des systèmes à commande numérique

Le pilotage par ordinateur des procèdes physiques, notamment leur asservissement, est de plus

en plus utilisé dans le milieu industriel pour des raisons de coût et de rapidité d’implémentation. La

commande numérique du procédé est illustrée par la figure I.2 [2].

Figure I.2 structure de la commande numérique

Procédé Correcteur y(t) u(t) Yc(k) e(k)

-

+ CNA

CAN Capteur

Mesure analogique Calculateur numérique

h

Consigne numérique

h

Procédé y (t) u (t)


3

Le principe d’un système à commande numérique est de remplacer la commande analogique

du système par des algorithmes mis en œuvre sur calculateur. Le calculateur numérique nécessitant

un certain temps pour effectuer ces opérations, on introduit alors un découpage temporel des

signaux au niveau du calculateur. Les systèmes à commande numérique considérés présentent donc

un caractère hybride, temps continu - temps discret [2].

Par conséquent, il est nécessaire de réaliser une interface entre le calculateur et le procédé et

cette interface est obtenue à l’aide :

� D’un convertisseur numérique-analogique (CNA) pour convertir les signaux numériques

issus du calculateur dans des signaux analogiques constituant l’entrée du procédé ;

� D’un convertisseur analogique-numérique (CAN) pour convertir les mesures effectuées sur

le procédé et les fournir au calculateur. Il peut arriver que le capteur soit lui-même discret et

qu’il n’y ait donc pas de conversion analogique-numérique à faire.

I.4 Fonction de transfert de la boucle d’asservissement

I.4.1 En boucle ouverte

La figure I.2, montre que la boucle ouverte est formée de deux systèmes numériques en cascade :

calculateur et le processus numérisé, donc la fonction de transfert en boucle ouverte est le produit

de fonction de transfert �� [3]. �� est la fonction de transfert du correcteur (calculateur). �� est la fonction de transfert du processus échantillonnée muni de son bloqueur d’ordre zéro.

I.4.2 En boucle fermée

Figure I.3 : le système de commande en boucle fermée

Tous les signaux ��, ��, �� ont une transformée en z données par les

fonctions ��, ��, �� ℇ�� respectivement. La figure I.3 exprime la structure de la fonction

de la boucle dans le domaine z, les fonctions de transfert sont :

• En boucle ouverte : ��ℇ�� = �� I. 1�

H(z) C(z) Y(z) U(z) Yc(z)

Bouclage

ℇ(z)

-

+


4

• En boucle fermée : �� = ��1 + �� I. 2�

I.5 Transmittance en présence d’un bloqueur d’ordre zéro

Si le système échantillonné en entrée est bloqué sur la période (cas le plus fréquent en commande

numérique), il vient (figure I .4) [4] :

Figure I.4 : Système avec échantillonnage -bloqueur

�� = �1 − �� ! �I. 3�

I.6 Système comportant un retard pur

Soit le processus comportant un retard pur �# = $ℎ + �# avec d entier et �# < ℎ (figure I.5).

Figure 1.5 : système avec retard pur

En notant �#�� = �'()�� , il vient ;

��#�� = ��* �� +(,�H �p�� Si h est choisi sous- multiple exacte de �# , on a : �# = 0 soit : ��0 �*1 ,��2 = ��*�� I. 4�

I.7 Le système dans le cas discret et continue

I.7.1 Système du 1er ordre

On prend un modèle qui correspond à une fonction de transfert sous forme canonique [5]:

H�p� = k 15p + 1 �I. 5�

H�p�: C’est la fonction du transfert en transformée de Laplace, telle que

K : le gain statique ; τ : La constante de temps.

�'(, ��

��


5

La fonction du transfert en transformé z est :

H�z� = k 81 − e�9τ:

8z − e�9τ: �I. 6�

I.7.2 Système du 2ème ordre

Système du second ordre est représenté par la fonction de transfert H(p) donnée par.

H�p� = w=>p> + 2ϛw=p + w=> �I. 7�

AB: La pulsation propre de système et ϛ : le coefficient d’amortissement. La fonction du transfert

équivalente en discret est ;

H�z� = b�z + b>z> + a�z + a> �I. 8�

telle que

G� = −2HI, G> = H>,J� = 1 − H�I + ϛABA* K� � J> = H> + H�ϛABA* K − I�

Avec A* = ABL1 − ϛ>, I = cos� A* ℎ�, K = sin � A* ℎ�,H = �ϛRS1

,

I.8 Stabile des systèmes numériques

I.8.1 Critère Nyquist

La fonction de transfert du système en boucle fermée est ;

TUV�� = ��1 + �� I. 9�

L’étude de la stabilité du système asservi revient à la position par rapport à un cercle unité centré au

point (0,0) des racines du polynôme caractéristique 1 + �� = 0, le contour de Nyquist est

défini comme étant le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique, donc le contour fermé C

s’écrit comme, � = X� = YR, AZ[−\, \]^


6

Figure. I. 6 : contour de Nyquist

I.8.2 Critère de Jury

Un système à temps discret est dit stable si chaque séquence d’entrée bornée produit une

séquence de sortie bornée [2].

Pour qu’un système à temps discret de la fonction de transfert H(z) soit stable il faut que

tous les pôles de H(z) soient situés à l’intérieur du cercle unité du plan z. Cette condition peut être

déduite de système continu et sachant que z=ehp et cette application transforme le demi plan ouvert

gauche au plan p à l’intérieur du cercle unité de plan z.

Dans le cas de système continu, on utilise le critère de Routh pour tester la stabilité. Pour le

cas de systèmes discrets on utilise le critère de jury. Pour une équation caractéristique de la forme : _�� = G��B + G��B�� + ⋯ + GB �I. 10�

Tableau I .1 : critère de Jury

Table de Jury Réglage de formation

G� G> Ga Gb Gb Ga G> G� G�

Les coefficients de D(z) selon les puissances

décroissante de z. avec D(z) arrangé pour que G� = 1 , c� = dedf

J� J> Ja 0 Ja J> J� J�

�1ère ligne a� −c� ∗ � 2ème ligne a�

c> = JaJ�

m� m> 0 m> m� m�

�1ère ligne b� −c> ∗ � 2ème ligne b�

ca = m>m�

$� 0 $� $�

�1ère ligne c� −ca ∗ � 2ème ligne c�

cb = $�$�

�1ère ligne d� −cb ∗ � 2ème ligne d�

G�

J�

m�

$�

�


7

Jury à démontrer que toutes les racines de l’équation (I.10) sont dans le cercle unité si et

seulement si tous les premiers éléments (b0 ; c0 ; d0 ;…) sont tous positives. Il faut au départ arranger

D(z) pour que a0=1 ensuite procéder. Dans ces conditions {(b0 ; c0 ; d0 ;…) positive}, la condition

e0>0 est équivalente aux conditions {(D(1)>0) et ((-1)n D(-1)>0)}. Ces deux conditions nécessaires

pour la stabilité et doivent être testées avant même de former la table. Il faut aussi noter qu’en cas

d’instabilité, le nombre de pôle en dehors du cercle unité est égal au nombre des a0, b0, c0, d0 et e0...

I.9 Précision des systèmes asservis échantillonnés

L’erreur d’asservissement est définie comme étant l´écart entre la consigne et la grandeur à

régler. L’analyse de l’erreur en régime permanent est très importante parce qu’elle nous donne une

mesure de la qualité de l’asservissement en termes de précision statique. Dans cette section nous

étudions l’erreur permanente d’asservissement en supposant que le système bouclé est stable [2]. Le

signal d’erreur est :

o�� = ��1 + �� p. 11�

D’après le théorème de la valeur finale pour les systèmes à temps discret, on peut calculer

l’expression de l’erreur en régime établi par ; ℇq = limr→�� − 1� o�� I. 12�

Dans le cas d’un système à temps discret, une intégration est caractérisée par la Présence d’un pôle

en � = � = 1. Ainsi, si la somme des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert du

système considérée est nulle alors le système comporte au moins un intégrateur. Mettons

maintenant en évidence le pole z = 1 de multiplicité m de la fonction de transfert en boucle ouverte :

TU�� = 1�� − 1�t u��_�� I. 13�

Avec N(z), D(z) des polynômes de degrés appropriés. Soit la constante K définie par N(1)/D(1).

L’entier m est appelée la classe du système en boucle ouverte.

• Entrée échelon : Dans ce cas l’erreur statique est également appelée écart permanent

d’ordre 0. Alors, l’entrée s’écrit comme :

�� = o�� − 1 �I. 14�

Et donc :

ℇq = limr→� o�1 + TUv�� = w o�1 + xy z = 00 xy z > 0 | �I. 15�


8

• Entrée rampe : l’entrée s’écrit comme :

�� = }�� − 1�> �I. 16� Et donc :

ℇq = limr→� }�� − 1�1 + TUv�� = ~ ∞ xy z = 0 }� xy z = 10 xy z > 1 | �I. 17�

I.10 Conclusion

Dans ce chapitre, on a présenté la commande numérique qui comporte un régulateur. Celle-

ci permet de commander plusieurs systèmes définis par leur fonction de transfert. Le teste de

stabilité peut être effectué par plusieurs méthodes, on peut citer les plus utilisées à savoir la

méthode graphique appelée Nyquist et la méthode algébrique nommée Jury.

Chapitre II : la commande numérique basée sur le placement de pôles

9

II.1 Introduction

Ce chapitre est entièrement dévolu au régulateur RST, ce nom prevenant des trois

polynômes qu’il fait intervenir. Le régulateur RST est défini dans le reste de chapitre, temps en

temps, il est obligatoire d’introduire un intégrateur pour assurer l’erreur statique nulle. La méthode

de synthèse du régulateur RST avec retard est mise en œuvre.

II.2 Régulateur RST

II.2.1 Définition

Un régulateur RST est un organe de contrôle permettant d’effectuer une régulation en boucle

fermée d’un système industriel. Autre mot dit, c’est un correcteur couramment utilisé dans les

systèmes de commande numérique. Le sigle RST vient du nom des 3 polynômes doivent être

déterminés afin d'obtenir une commande efficace. La synthèse de ce type de correcteur s'effectue

par placement de pôles. La résolution du système met en œuvre un polynôme de poursuite [6]. La

structure générale du régulateur de RST est représentée ci-dessous.

Figure II.1 schéma fonctionnel du montage en asservissement avec un régulateur RST [6]

�� , �� dénotent les grandeurs de consigne, de commande et de sortie à régler

respectivement, la fonction du procédé est donnée par cette forme rationnelle strictement propre

avec un retard d.

�� = �−� �� II. 1�

H�z�� RST ��

�� )

Bouclage


10

Le degré de polynôme A�z�� est strictement plus grand que celui de polynôme B�z��. A�z�� est

monique et A�z�� et B�z�� n’ont aucun facteur commun, l’algorithme de réglage complet est

décrit par l’équation polynomiale suivante :

�� = �� − �� II. 2�

et la fonction de transfert en boucle fermée est :

��−1��−1� = �−��−1� ��−1��−1� ��−1� + �−��−1� ��−1� �II. 3�

Le polynôme R�z��est choisi monique de degré p : = R�z�� = !�"�1 + r�z�� + ⋯ + r%z�%�

Dénotons σ le degré du polynôme S (z��) : = S �z�� =s( + s�z�� + ⋯ + sσz�σ

Et soit τ le dégrée de polynôme T�z�� : T�z�� =t( + t�z�� + ⋯ + tτt(z�τ

II.2.2 Effet de l’intégrateur

Considérons maintenant le montage régulateur, dans lequel la consigne yc(k)=0 tandis

qu’une addition analogique w(t) agit de manière additive en amont du processus à régler.

Figure II.2 : schéma fonctionnel du montage en intégrateur avec un régulateur RST [6]

On déduit l’influence de perturbation sur la grandeur à régler par :

�� = *�� + �� +− ��,�� - �II. 4�

�� 1��

��

��)

Bouclage

+

-

+

+ ��

*��) �� = 0


11

D’où, en posant

0�� = 1234567�845� �II. 5�

Alors

�� = *�� 1 + 0�� II. 6�

La nécessité pour rejeter des perturbations, de la présence de α effets intégrateurs, obtenus en

remplaçant dans tous les développements précédents et venir R ��) par �1 − ��;��, la

fonction de transfert 0�� = 1�345�7�345� , doit alors être échangée avec ;

0��−1� = ��−1��1 − �−1�<��−1� �II. 7�

et ��−1��−1� avec : >�345�

��345�?7�345�

II.3 Synthèse du régulateur RST avec un retard

II.3.1 Principe de la synthèse

La fonction de transfert du montage en asservissement avec retard d est citée dans l’équation (II.3).

Les polynômes��−1), S (��) et ��−1) du régulateur RST sont dimensionnées afin que cette

fonction de transfert en boucle fermée soit identique à la fonction de transfert @��−1� d’un

modèle à poursuivre (modèle de référence), donnée par l’utilisateur ;

@��−1� = �−� �@��−1��@��−1� �II. 8�

@�� est une fonction rationnelle propre ; de plus, le polynôme �@�� est monique et ses

zéros sont tous à l’intérieur du cercle unité. la figure II.3 illustre cette méthode.


12

=

Figure II.3 : principe de la synthèse du régulateur RST avec un retard

Les pôles du système en boucle fermée sont positionnés dans des endroits permettant de satisfaire

des spécifications sur l’amortissement du régime transitoire. De par la structure de l’architecture

classique, ce positionnement est limité à certaines régions du plan complexe et les spécifications ne

peuvent pas toujours être vérifiées. L’approche présente un aspect empirique, impossible à

transcrire sous une forme algébrique. Le dimensionnement du régulateur RST généralise

considérablement la synthèse dans le lieu des pôles. On désire toujours placer les pôles du système

en boucle fermée dans le but de maîtriser le régime transitoire. Toutefois, il est possible de

distribuer ces pôles, qui sont des zéros du polynôme �@��, arbitrairement dans le plan complexe.

De plus, le degré de �@�� n’est forcément égal à celui de A��R�� + ��BB��S��, en

fait, un modèle à poursuivre très simple, avec un polynôme �@�� de degré nettement inferieure à

celui de (A��−1�R��−1� + �−�B��−1�S��−1� . Le modèle à poursuivre @�� doit être choisi de sorte que l’erreur permanente d’asservissement

lim3→G�H��I� − H�I�� vérifier les spécifications. En fin, la synthèse provoque l’égalité :

@��−1 � = �−��−1��−1��−1��−1� + �−��−1��−1� �II. 9�

@�� = ��B�@��@��

��

��B ��

� ��

1��

��

��)

��

Bouclage

+

-


13

II.3.2 Simplification des zéros du système à régler

La synthèse d’un régulateur RST consiste à déterminer les polynômes R(��z), S(��) et T(z)

afin que :

�−��−1��−1��−1��−1� + �−��−1��−1� = �−��@��−1� �@��−1� �II. 10�

Le polynôme ��−1) est factorisé en un facteur BK��, qui sera également un facteur du

polynôme A��R�� + B��S�� pour obtenir des simplifications dans (II.10), et un facteur

B��z� , dont aucun zéro n’est racine de A�� R�� + ��BB�� S�� et

�� = ��K�� II. 11� Les zéros de ��−1� doivent êtres des zéros de BL��−1� donc ; �@�� = ��@M ��, les

zéros �K��−1� sont par conséquent, des zéros de ��−1) ce traduit par, �� = �K��M��). A

partir de ces simplifications, on obtient une équation sous la forme :

�−��−1��−1��M��−1� + �−��−1��−1� = �−� �′@��−1� �@��−1� �II. 12�

Il découle de cette égalité que le polynôme T��−1� est égale au polynôme B′L��−1� ; à un

polynôme A( ��−1� en facteur près, et que ��M�� + ��B�� est égal à AL��−1� au même facteur A( ��−1� près ;

��−1� = �M@��−1��(��−1� �II. 113�

��−1��M��−1� + �−��−1��−1� = �@��−1��(��−1� �II. 14�

II.3.3 Equation de Diophantine

Soient des polynômes��−1),��) et P��) dont les coefficients sont des nombres

réels Q��−1) et R��) inconnus. L’égalité polynomiale est appelée équation de Diophantine :

A��−1�X��−1� + B��−1�V��−1� = C��−1� �II. 15�

Théorème de Diophantine possède une solution Q��−1) et R��−1) si et seulement si le pus grand

commun diviseur de ��−1) et ��−1) est un facteur de P��−1).

Si Q(��−1) et R(��) est une solution de l’équation de Diophantine alors :


14

A��−1�X(��−1� + B��−1�V(��−1� = C��−1� �II. 16�

Dans ce cas,Q��) =Q(��) +Q (��) B (��) et, V (��) = V0(��) -Q (��) A (��), ou Q(��) est un

polynôme quelconque, constitue aussi une solution ; en effet ;

A��−1��X(��−1� + Q��−1�B��−1�� + B��−1��V(��−1� − Q��−1�A��−1��

= A��−1�X(��−1� + B��−1�V(��−1� = C��−1� �II. 17�

Les polynômes Q��−1� et R��−1� constituent une solution de l’équation Diophantine vérifiant

deg ��−1�� < deg ��−1��. Une façon de résoudre l’équation de Diophantine consiste à égaler les coefficients des

termes de même degré des polynômes A��−1�X��−1� + B��−1�V��−1� et C��−1�. Il en découle un

système d’équations algébriques linéaire donnant les coefficients inconnus des polynômes X��−1� et V��−1�. Dans le contexte de la synthèse du régulateur RST, le système linéaire associe à

l’équation Diophantine présente le plus souvent l’allure suivante :

[\\\\\\\\] 1̂�^_⋮⋮⋮âb0⋮0

01̂�^_⋮⋮⋮âb⋮0

…⋱⋱⋱⋱⋱⋱⋱⋱…

0⋮01̂�^_⋮⋮⋮âb

0⋮e(e�e_⋮eaf0⋮0

0⋮0e(e�e_⋮eaf⋮0

…⋱⋱⋱⋱⋱⋱⋱⋱⋱…

0⋮0⋮0e(e�e_⋮eafghhhhhhhhi

[\\\\\\\] j�j_⋮⋮jakl(l�⋮⋮lamgh

hhhhhhi

=

[\\\\\\\] n� − ^�n_ − ^_⋮⋮nab − âbnabK�nabK_⋮⋮nakKamK� gh

hhhhhhi

�II. 18�

Tel que

��−1� = 1 + ^1�−1 + ⋯ + ô��−o� , ��−1� = e0 + e1�−1 + ⋯ + eo��−o�

Q��−1� = j0 + j1�−1 + ⋯ + joQ�−oQ , R��−1� = l0 + l1�−1 + ⋯ + loR�−oR

P��−1� = n0 + n1�−1 + ⋯ + eoQ+oR�−�oQ+oR+1�

II. 3.4 Choix du modèle à poursuivre

Le modèle à poursuivre est généralement très simple, d’ordre peu élevé, garantissant

globalement les caractéristiques souhaitées en boucle fermée. Toutefois, le numérateur �@��−1� du

ce modèle vérifie �@��−1� = ��−1��@M ��−1� un choix possible est le suivant.

@��−1� =��−1�p�1��1��Bp��−1� �II. 19�


15

Dans ce cas : �@�� = f423456q��f4�� , �@ ′�� = q��

f4�� , �@�� = �Bp�� Le facteur �B dans �@��−1), provoquant un retard de d périodes d’échantillonnage. Le

nombre r��

s4�� assure Hm(1)=1. le polynôme p��) est monique et de degré 1 ou 2 selon que des

oscillations de la grandeur à régler sont bannies ou tolérées, respectivement :

p��−1� = 1 + n�� , p��−1� = 1 + n��−1 + n_��_ .

II.3.5 Algorithme synthèse du régulateur RST

Algorithme synthèse du régulateur RST est résumé sous la forme d’un tableau suivant ;

Tableau II.1 : synthèse du régulateur SRT avec un retard

Données

��−1� et ��−1�, d

Spécifications

�@��−1�, BL��−1� et �(��−1�

Conditions

��−1� et ��−1� n’ont aucun facteur commun

��−1� = ��−1��K��−1�

BL��−1� = ��−1�BLM ��−1�

deg2�@��−1�6 − deg2�@��−1�6 ≥ deg2��−1�6 − deg ��−1��

deg ��(��−1�� ≥ 2 deg2��−1�6 − deg2�@��−1�6 − 1

deg ��−1�� = deg ��@��−1� + deg ��(��−1� − deg ��−1��+d

deg ��−1�� = deg2��−1�6 − 1

Etape 1

Résoudre ��−1��−1� + �−��−1��−1� = �@��−1� �(��−1�

Etape 2

Calculer ��−1� = �′@��−1��(��−1�


16

II.4 Conclusion

La synthèse de régulateur RST offre une solution attractive pour l’implémentation d’une loi

de commande. L’intérêt de cette approche est de proposer une solution algorithmique au problème

de synthèse, permettant ainsi une mise en place aisée de procédure de calcul automatisée des

paramètres du régulateur. Le calcul des polynômes du régulateur s’effectue en deux étapes :

1. La résolution d’équation Diophantine principale conduisant aux polynômes R (��) et ��−1) ;

2. Calcul de polynôme ��−1) déterminé soit de manière à assurer un gain unitaire en boucle fermé

si la consigne de référence est un polynôme temporel d’ordre supérieur à 1.


17

III.1 Introduction

Dans ce chapitre, on va présenter l’application du régulateur RST sur différents systèmes dy-

namiques, à savoir, les systèmes du premier ordre avec et sans retard, les systèmes du deuxième

ordre avec et sans retard et celui de l’ordre supérieur à 2 avec retard.

III.2 Simulation des systèmes dynamiques par le régulateur RST

III.2.1 systèmes du 1er ordre sans et avec retard

Système du premier l’ordre est représenté par la fonction de transfert :

�� = �� 1�� + 1

La fonction transfert du système est donnée par :

�� = �� 1 − ��

� � ��

�1 − ��

Telle que d : c’est un retard du système. k : Gain global du système ; h : Période d'échantillon-

nage en seconde ; τ : Constante de temps du système ;

a) Sans retard (d=0)

Algorithme

Les données

k, h, τ et ka : Nombre de coups d'horloge, afin d'atteindre 95% de la valeur finale ;

�� = �� ; �� = �1 − ��

τ� �� et �� = �1 − ��τ��,

Le choix des polynômes P, A0 , Bm, Am et Hm

�� = 1 − �� !"#$ %&'(�� ; �� = �� , �)�� = 1

�*�� = �*′ �� ;�*′ �� = +��;�� = 1 − �� !"#$ %

&'( ��

�*�� = �*��*��

Résolution de l’équation de Diophantine

En choisi : R(��)=1 ; donc : S(��)=s0

,�� = �*′ ��) ��

Tracés de u(t) et y(t)

yc(t) = un échelon unitaire.


18

Résultats de simulation

k=1, τ=0.1, ka=5

Figure III.1 : influence de la période d’échantillonnage sur la réponse du système 1er ordre

Figure III.2 : influence de la période d’échantillonnage sur la commande du système 1er ordre

b) Avec retard (d)

Algorithme

Les données

Ce sont les mêmes données que dans l’algorithme du système du 1er ordre sans retard sauf ici, on

impose un retard(d).

�� = ��

�� = �1 − ��τ�� et �� = 1 − ��

τ��

0 50 100 1500

0.5

1

1.5la réponse de système Y

t

Y(t

)

h=0,1

h=0,5

h=1

0 50 100 150

0.5

1

1.5la commande de système u

t

u(t)

h=0,1

h=0,5h=1


19


�� = 1 − �� !"#$ %&'( ��, �)�� = 1

�*�� = �*′ �� ; �*′ �� = +�� ;�*�� = 1 − �� !"#$ %

&'(�� ;

�*�� = �� *��*��


en choisi : -��)= �� ; donc : .��)= s0�� ;,�� = �*′ ��)��

Tracés u(t) et y(t)



k=1, τ=0.1, ka=5, h=0.1

Figure III.3 : influence du retard sur la réponse du système 1er ordre

Figure III.4 : influence du retard la commande du 1er ordre

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

la réponse de système Y

t

Y(t)

d=1

d=2d=3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

la commande u

t

u(t)

d=1

d=2d=3


20

c) Interprétation des résultats

• A partir de la figure.III.1.et la figure.III.2, la réponse du système et la commande sont plus

rapides pour un temps d’échantillonnage plus petit.

• A partir de la figure.III.3.et la figure.III.4, la réponse du système et la commande sont plus

retardées pour une valeur de retard plus grande mais, pour un retard inférieur ou égal à la pé-

riode d’échantillonnage (d=1) le retard n’influence pas sur la réponse de la commande.

III.2.2 Systèmes du 2ème ordre sans et avec retard

Système du 2ème ordre est représenté par la fonction de transfert :

�� = �� /01

�1 + 2ϛ/0� + /01

La fonction transfert du système en temps discret est donnée par :

�� = �� 4�� + 41��1

1 + 5�� + 51��1

telle que :

wn : la pulsation propre ; ϛ : le coefficient d''amortissement.

/� = /061 − ϛ1 ,7 = cos� /� ℎ� ,< = sin � /� ℎ�, ? = ��ϛ@A, 5� = −2?7

51 = ?1,4� = 1 − ?�7 + ϛ/0/�

<� �B 41 = ?1 + ?�ϛ/0/�

< − 7�

a) sans retard

Algorithme

Les données : k, h, wn et ϛ

�� = 4�� + 41��1

1 + 5�� + 51��1

�� = 4�� + 41��1,�� = 1 + 5�� + 51��1

Le choix A0 ,P, Ac C, Bm Am et Hm

Soit :�)�� = �1 + 5)��1, �� = �C�� = 1 + 5*�� + 5*1��1, �� = �� D�� = �)��C�� = 1 + E�� + E1��1 + EF��F + EG ��G

telle que :

5) = �_I,5*� = −2��ϛ@A cos�/�ℎ�,5*1 = �_1ϛ@A

E� = 25) + 5*�,E1 = 25)5*� + 5*15)1,EF = 5*�5)1 + 25*15),EG = 5*15)1

�*�� = �*′ �� ; �*′ �� = +�� ;�*�� = 1 + 5*�� + 5*1��1 ;


21

�*�� = �*��*��


��−1�-��−1� + ��−1�.��−1� = D��−1�

-�� = 1 + J�� + J1��1

.�� = K) + K�� + K1��1

,�� = �*′ ��)��

Trace u(t) et y(t)

yc(t)= un échelon unitaire.


k=1, ϛ=0.707, h=0.1

Figure III.5 : influence de la pulsation propre sur la réponse du système du 2ème ordre

Figure III.6 : influence de la pulsation propre sur la commande du 2ème ordre

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1


t

Y(t

)

wn=0,1

wn=0,5wn=1

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

la commande u

t

u(t)

wn=0,1

wn=0,5wn=1


22

k=1, ϛ=0.707, wn=1

Figure III.7 : influence de la période d’echantionnage sur la réponse de système du 2ème ordre

Figure III.8 : influence de la période d’échantillonnage sur la commande du 2ème ordre

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1


t

Y(t

)

h=0,1

h=0,5h=1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

la commande u

t

u(t)

h=0,1

hi=0,5h=1


23

k=1, wn=1 h=0.1

Figure III.9 : influence de ϛ sur la réponse du système du 2ème ordre

Figure III.10 : influence de ϛ sur la commande du système du 2ème ordre

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6


t

Y(t

)

psi=0,1

psi=0,7psi=0,9

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

la commande u

t

u(t)

psi=0,1

psi=0,7psi=0,9


24

b) Avec retard

Algorithme

Les données

Ce sont les mêmes données que dans l’algorithme du système de 2ème ordre sans retard sauf ici, on

impose un retard (d).

�� = �� 4�� + 41��1

1 + 5�� + 51��1

�� = 4�� + 41��1, �� = 1 + 5�� + 51��1

Le choix : A0 ,P, Ac C, Bm , Am et Hm

Soit :�)�� = �1 + 5)��1, �� = �C�� = 1 + 5*�� + 5*1��1, �� = �� D�� = �)��C�� = 1 + E�� + E1��1 + EF��F + EG ��G

telle que :

5) = �_I,5*� = −2��ϛ@A ELK�/�ℎ�,5*1 = �_1ϛ@A

E� = 25) + 5*�, E1 = 25)5*� + 5*15)1, EF = 5*�5)1 + 25*15), EG = 5*15)1

�*�� = �*′ ��, �*M �� = +��, �*�� = 1 + 5*�� + 5*1��1

�*�� = �� *��*��


A��−1�R��−1� + ��B��−1�S��−1� = C��−1�

-�� = 11 + J�� + ⋯ + J�T1��T1�

.�� = K) + K�� + K1��1

,�� = �*′ ��)��

Trace u(t) et y(t)

yc(t)= un échelon unitaire.


25


k=1, h=1, wn=1, ϛ=0.707

Figure III.11 : influence du retard sur la réponse du système du 2ème ordre

Figure III.12 : influence du retard sur de la commande du système du 2ème ordre

c) Interprétations des résultats

• A partir de la figure.III.5, la réponse du système est plus rapide pour une pulsation propre

plus grande.

• La figure.III.7 montre que, la réponse du système est plus exacte pour un temps

d’échantillonnage plus petit.

• La réponse du système est plus rapide pour un facteur d’amortissement plus grand mais, le

dépassement est plus grand pour un facteur d’amortissement plus petit voir la figure III.9.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6


t

Y(t)

d=1

d=2d=3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8la commande u

t

u(t)

d=1

d=2d=3


26

• A partir de la figure.III.6, la figure.III.8 et la figure.III.10, la commande reste constante mal-

gré la variation de facteur d’amortissement, pulsation propre et temps d’échantillonnage.

• Les figure.III.11.et figure.III.12 montrent que, les réponses du système et les commandes

sont retardées et le dépassement augmente par rapport celui des systèmes sans retard.

III.2.3 Systèmes du l’ordre supérieure à 2 avec retard (par exemple : l’ordre 3)

La fonction transfert du système est donnée par :

�� = �� b�� + b1��1 + bF��F

1 + a�� + a1��1 + ��F

a) Algorithme

Les données

Ce sont les mêmes données que dans l’algorithme du système du 2ème ordre avec retard.

�� = �� b�� + b1��1 + bF��F

1 + a�� + a1��1 + ��F

��−1� = �b�� + b11�−2��1 − a)�−1�, �� = �1 + a�� + a11 ��1��1 + 5)��,

Soit : /� = /06��ϛW , 7 = cos� /� ℎ� ,< = sin � /� ℎ�, ? = ��ϛ@A, 5�� = −2?7 ,

511 = ?1, 4�� = 1 − ?�7 + ϛ@A@X

<� �B 411 = ?1 + ?�ϛ@A@X

< − 7� ; 5) = �_I. 5� = 5�� + 5) ,51 = 511 + 5��5) , 5F = 5115)

4� = 4��, 41 = 411 − 4��5), 4F = −4115)

Le choix : A0 ,P, Ac C, Bm , Am et Hm,

Soit : �)��−1� = �1 + 5)�−1�1 , ��−1� = �C��−1� = 1 + a��−1 + a1�−2 + aF�−3

��−1� = ��−1� D��−1� = �)��−1��C��−1� = 1 + E��−1 + E1�−2 + EF�−3 + EG�−4 + E\�−5 ;

Tel que :

�*��−1� = �*′ ��−1��−1� , �*′ ��−1� = +��

�*��−1� = �� *��−1��*��−1�


��−1�-��−1� + ��−1�.��−1� = D��−1�

-��−1� = 1 + J�� + J1��1 + ⋯ + J�T1��1T�� ;.��−1� = K) + K��−1 + K1�−2 ,��−1� = �*′ ��−1��)��−1�

Trace u(t) et y(t)



27

b) Résultats de simulation

k=1, h=1, wn=4, ϛ=0.707

Figure III.13 : influence du retard sur la réponse du système d’ordre supérieure à 2

Figure III.14 : influence du retard sur la commande du système d’ordre supérieure à 2

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

la réponse de système Y

t

Y(t)

d=1

d=2d=3

0 20 40 60 80 100 1200

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04 la commande u

t

u(t)

d=1

d=2d=3


28

c) Interprétations les résultats

• Selon de la figure.III.13, la réponse du système est très satisfaisante malgré pour un grand

retard.

III.3 Conclusion Si le système initial n’admet pas de zéro instable, sa réponse suit la consigne avec un retard de

d périodes d’échantillonnage. Le choix de P (z-1) de degré 1 permet un démarrage rapide mais en-

traine une forte sollicitation des actionneurs. Le choix P (z-1) de deux permet un démarrage plus

doux, si l’on souhaite diminuer le temps de montée (on risque d’abord d’augmenter le dépassement)

P (z-1) peut être choisi de façon à correspondre à la description échantillonnée d’un seconde ordre

amorti avec ϛ voisin de 0 ,7. De façon à éviter l’oscillation en réponse à un échelon, il est souhai-

table de munir le processus d’un système anti-emballement de l’intégrateur ou de prévoir un filtre

du premier ordre ou de second ordre de dynamique choisie.


29

IV.1 Introduction

Les colonnes à distiller sont des unités très fréquentes dans les industries chimique,

pétrochimique. De plus, elles consomment une grande partie de l’énergie totale d’une usine.

L’optimisation de leur conception et de leur fonctionnement est donc un objectif primordial. Les

contraintes opératoires de plus en plus sévères qui leur sont imposés rendent leur maîtrise plus

délicate et nécessitent des stratégies de commande performantes.

IV.2 Structure et Principe de fonctionnement d’une colonne à distiller

Figure IV.1 : colonne à distiller

La distillation est l’une des opérations unitaires utilisées pour le raffinage. Elle permet

d’isoler les divers constituants d’un mélange de composés chimiques .Elle a pour origine le résultat

d’expérience suivant .Quand un mélange d’hydrocarbures est placé dans une enceinte sous certaines

conditions de température et de pression, deux phases différentes apparaissent l’une liquide et

l’autre vapeur, et un équilibre thermodynamique s’établit entre elles .Une analyse de la

composition des deux phases révèle que la vapeur contient préférentiellement les composés dont la

mase molaire est petite. Cette opération de séparation, appelée flash, peut s’effectuer de façon

contenue. L’enceinte est alimentée par le mélange et deux flux en sortent, un flux de liquide, plus

riche en composés lourds que le mélange de départ, et un flux de vapeur, plus riche en composés

légers [8].


30

En pratique, la séparation ainsi obtenue n’est pas assez sélective et l’on procède par

séparations successives. Les opérations de flash ont physiquement lieu sur des plateaux, empilés à

l’intérieure d’une colonne chaque plateau est alimenté à la fois par la phase vapeur sortant du

plateau inferieure et par la phase liquide sortant du plateau supérieure .On parle d’opération à contre

–courant .Un plateau spéciale, le plateau d’alimentation, reçoit en plus le mélange à séparer. Un

équilibre thermodynamique tend à s’établir sur chaque plateau, autour de la surface de contact entre

les quantités de liquide et de vapeur qui y sont retenues.

On distingue traditionnellement deux zones dans une colonne :

� La zone de rectification est l’ensemble des plateaux situés au-dessus du plateau

d’alimentation ;

� La zone d’épuisement est l’ensemble des plateaux situés au-dessus du plateau d’alimentation ;

Dans le cas le plus simple, illustré sur la figure (IV.1) le flux de vapeur qui sorte en haut (ou

en tête) de la colonne est totalement condensé. Le liquide ainsi obtenue est devisé en deux parties :

le distillat, qui est un des produits de la séparation, et reflux, qui constitue l’alimentation de plateau

de tête. Le produit liquide soutiré en bas(ou en fond) de la colonne est un autre produit de

séparation, le résidu. Il est en partie vaporisé dans un rebouilleur pour générer le flux de vapeur au

fond de la colonne. La précision est pratiquement identique sur tous les plateaux (elle croit en fait

très faiblement d’un plateau au plateau inferieur), mais est plus faible dans le ballon de tête qu’en

fond de colonne, ce qui permet au flux de vapeur de monter par différence de précision. Les flux de

liquide, quant à eux, descendent par gravité.

Moyennant un nombre suffisant de ces flashs successifs, on réussit à obtenir un distillat contenant

essentiellement les composés légers et un résidu contenant essentiellement les composés lourds.

Comme une séparation totale n’est ni possible ni d’ailleurs systématiquement souhaitée, on

caractérise les produit de la distillation par leurs taux d’impureté :

� Pour le distillat, le taux d’impureté est la proportion de composés lourds qu’il

contient ;

� Pour le résidu, le taux d’impureté est la proportion de composés légers qu’il

contient.


31

IV.3 Modèles dynamique de la colonne

Nous détaillons dans ce paragraphe un modèle de colonne à distiller du type de la figure

(IV.1). Ce modèle capte la dynamique des grandeurs que l’on cherche à contrôler, les

compositions.il est, par rapport à d’autres incluant une hydrodynamique détaillée, de complexité

intermédiaire. A notre connaissance, c’est ici la première fois que se modèle est décrit

explicitement. Son étude qualitative reste un problème ouvert pour lequel nous n’avons pas de

résultat sans hypothèse supplémentaire sur la thermodynamique. [9]

IV.3.1 Modèle de plateau

Nous adaptons les hypothèses classiques suivantes :

� Le liquide et la vapeur sont à l’équilibre thermodynamique ;

� Le liquide, comme la vapeur, est hormogène ;

� Les parois du plateau sont adiabatique ;

� Les volumes des phases liquide et vapeur sont constants et la pression également.

Le modèle est algébro- différentiel :

� La partie différentielle consiste en les bilans de matière et d’énergie, pour lesquels la variation

des quantités accumulées est égale à la différence entre les flux entrant et sortant du plateau ;

� La partie algébrique comprend deux types d’équations :

• Le calcul des quantités accumulées ;

• Les équations d’équilibre thermodynamique.

En utilisent des notions inspirées du modèle de flash, le modèle s’écrit(les plateaux sont

numérotés de haut en bas, j=2 pour le plateau de tète, j=n-1 pour le plateau juste au-dessus du

fond) [8] :

��

�� = �� + �� − �� − ��

�� = ��(��, ��) �� + ��

��(��, ��) � ��, �� = ��, ��

(IV. 1)

�� (%&'(. �� ) Correspond au flux liquide (resp.vapeur) de sortie ;

�� Correspond aux rétentions dans le liquide et dans la vapeur ;

��(%&'(. ��) Sont les potentiels chimique du liquide (resp.de la vapeur) ;

�� (&'(. ��) est la fonction volumique (resp.vapeur), ��(��)(%&'(. ��(��) est le flux volumique de

liquide (resp.de vapeur) ;


32

��%&'(. �� Est le volume de liquide (rep.vapeur).

Les inconnues sont �� , �� , �� .les volumes ��, �� et la pression �� sont des constantes.

IV.3.2 Modèle de ballon de tète

Il s’agit du plateau j=1. Nous supposons pour simplifier que la condensation est partielle, i.e. le

distillat est vapeur. Le débit de reflux, disponible pour la commande en qualité, est ainsi fixé par la

puissance de condensation Qc. Les volumes des phases liquide et vapeur sont constants et la

pression également. Le modèle est algébro-différentiel. Sa structure est semblable à celle d’un

modèle de plateau. [8]

�� = )*�� + �+�� − �� − ��

�� = ��(��, �� ) �� + ��

��(��, ��) ��, �� = ��, ��

(IV. 2)

Les inconnues sont �� , �� , �� et )*�� = (0, … ,0, )*) ,ou )* est la puissance du condenseur.

IV.3.3 Modèle de ballon de fond

Il s’agit du plateau j=n. Nous supposons que le rebouillage est une source d’énergie Q qui permet

de vaporiser une partie du liquide présent dans le ballon. Le liquide et la vapeur sont à l’équilibre

thermodynamique. Les volumes des phases liquide et vapeur sont constants et la pression

également. Par rapport à un modèle de plateau, les bilans sont modifiés car le ballon, s’il n’est pas

alimenté en vapeur, bénéficie d’une source d’énergie extérieure. [8]

��/�� = )� + �/ �� − �/�� − �/��

�/�� = ��/��(�/��, �/ ��) �/�� + ��/�

��(�/��, �/��) �/��/��, �/� = ��/��, �/�

(IV. 3)

Les inconnues sont �/�� , �/�� , �/�� nous avons noté)� = (0, … . ,0, )).

IV.4 Application numérique sur un procédé chimique à colonne à distiller

La colonne de distillation est composée de nombre d’étages bien déterminé est munie de

deux boucles de régulation, qui contrôlent la pression de la colonne en agissant sur le

refroidissement du condenseur et la température de l’avant-dernier plateau par action sur la quantité

d’énergie fournie au rebouilleur. L’emplacement de ce capteur a été choisi après une analyse de


33

fonctionnement de la colonne en régime permanent qui a montré que la sensibilité de la température

à une variation de la quantité de chaleur fournie au bouilleur état la plus important à cet endroit.

Le but de cette application est d’appliquer un algorithme du contrôle RST et d’évaluer les

performances par simulation. Pour une colonne de distillation, on a proposé de manipuler le rapport

entre la pression de tête et le débit de reflux. Une augmentation de puissance de chauffage provoque

une augmentation de pression qui est contrecarrée par une augmentation de sa sortie.

Nous considérons un modèle du deuxième ordre qui est défini par la fonction de transfert [10]:

1(2 �) = 2 3 4(2 �)5(2 �)

d : c’est le retard du système.

5(2 �) = 1 − 0,5892 � − 0,0982 +

4(2 �) = 0,2022 � − 0,08072 +

a) Algorithme

Les données

h : période d'échantillonnage en seconde ;

a0 : un pôle de l’observateur A0 ;

d : le retard du système qui est égale à 2.

5(2 �) = 1 + :�2 � + :+2 +

B(z �) = b�z � + b+z +


Soit :5>(z �) = 1 + :>z � , �(z �) = 5?(z �) = 5*(z �) = 1 + :�z � + :+z +,

@(z �) = 1 + A�z � + A+z + + ABz B ;

4?(z �) = 4?′ (z �)4 (z �) ; 4?′ (z �) = C(�)(DE(�) ;

1?(z �) = 2 3 4?(z �)5?(z �)

Résolution équation de Diophantine

A(2−1)R(2−1) + 2 3B(2−1)S(2−1) = C(2−1)

�(2 �) = 1 + %�2 � + ⋯ + %3��2 (3��) K(2) = '> + '�2 �

L(2 �) = 4?′ (2 �)5>(2 �)

Tracement de u(t) et y(t)

yc(t) : la variation de la température rebouilleur avec retard.

y(t) : c’est la variation de la température de l’avants dernier étage.


34

b) Résultat de simulation

h=1, a0=0,2 et d=2

Figure IV.2 : la réponse indicielle du système

Figure IV.3:la commande

c) Interprétations des résultats

• La vitesse d’évaporation est plus rapide quand la puissance de chauffage du rebouilleur est

grande, c’est-à-dire la puissance de chauffage du rebouilleur est très importante.

• Le retard influe sur la pression de la vapeur, c’est-à-dire, si on augmente le nombre d’étages

donc la pression de la vapeur va retarder.

IV.5 Conclusion

Dans cette application, on conclu que, plus le nombre des plateaux (étages) est important plus la

pression de la vapeur dans le condenseur est plus grande, mais la vitesse d’équilibre démunie. La

distillation est reliée à la variation de la température et le nombre d’étages de la colonne à distiller.

Plus que le retard augmente plus que le nombre d’étages est grand, c’est–à-dire la distillation est

plus élevée.

0 100 200 300 400 500 6000

50

100

150

temps

tem

péra

ture

l'entrée de température

sortie de température

0 100 200 300 400 500 6000

20

40

60

80

100

120

140

160

temps

la commande

Conclusion générale

36

Conclusion

La commande numérique reste un outil très important dans l’étude des procédés ce qui

élargit son application dans plusieurs domaines à savoir l’électronique , la physique, la chimie et la

mécanique et d’autres disciplines.

A fin de montrer l’intérêt du placement de pôles, nous avons utilisé la méthode polynomiale

RST pour obtenir une régulation. L’avantage de cette méthode est de pouvoir facilement choisir un

compromis entre différents objectifs.

Le travail de ce mini projet s’articule autour de deux axes principaux. Le premier est

l’influence du retard sur la réponse des systèmes dynamiques et le second c’est le calcul de

commande basé l’aspect polynômial RST.

Une approche a été implémentée permettant le placement de pôles par la méthode

polynomiale RST. L’avantage que représente l’utilisation des pôles en boucle fermée comme

paramètres.

Ce qu’on peut conclure dans ce travail :

• Stabiliser les systèmes instable en boucles ouverte ;

• Commande d’un système qui représente un retard de d périodes d’échantillonnage ;

• le système est toujours affecté par des perturbations en pratique, ce qui reste à remédier par

des méthodes d’optimisation.

• On peut utiliser à la place de la méthode polynomiale RST, la méthode de retour d’état.

En fin, ce travail peut être suivi par d’autres travaux sur la commande adaptative robuste

basée sur les techniques de placement de pôles pour le réglage automatique de contrôleur et

l’amélioration des performances de ces systèmes.

Références bibliographique

[1] : Emmanuel Godoy et coll. Régulation industrielle (édition dunod, Paris, 2007)

[2]: Ludia BARA et Michel de MATHELIN, commande numérique des systèmes, Edition 2004-

2005.

[3] : Maurise Rivoire, Jean louis Ferrier, cours d’automatique, commande par calculateur

Identification.

[4] : ph Vantieghe, C Sueur, P Borme, Automatique des systèmes échantillonnés.

[5] : Hubert Egon, Michel Marie et Pascale Porée.Traitement de signale et automatique

(Asservissement linéaire, échantillonnée et représentation d’état).

[6] : ROLAND LONGCHAMP, Commande numérique de systèmes dynamiques, première édition,

presses polytechniques et universitaires romandes, 1995.

[7] : Automatique (de cahier des charges à la réalisation de systèmes), Dunod, paris, 2007.

[8] : Jean pierre. CORRIOU, Commande de procédés chimiques –Réacteurs et colonne de

distillation, Paris, Hermès Science Publications ,2001.

[9] : Jean pierre. CORRIOU, Commande des procédés, Technique et documentation 1996.

[10]: loond.D.Londau end Gianluca Zito, Digital control systems design, identification and

implementation.

Annexe

Programme d’application sur un procédé chimique à colonne à distiller

%****************************************************************************

%

% Synthèse d'un régulateur RST, pour un modèle de poursuite du

% deuxième ordre.

% Le régulateur RST avec un retard.

% clear all;

clc;

format long;

echo on;

%**************************************************************************

% une application sur un procédé chimique (colonne à

% distiller)

%****************************************************************************

echo off;

% Introduction de la période d'échantillonnage en seconde

h = input('Période d''échantillonnage en seconde : ')

% Introduction de la valeur de pole A0

a0 = input('la valeur de a0 :')

% Introduction du retard du système

d=input('le retard du système :')

% --- Fonction de transfert H(z) de notre système (système du deuxièmel'ordre)

l=zeros(1,d);

a1=-0.589;a2=-0.098;b1=0.202;b2=0.0807;

denH=[1 a1 a2 l];

numH=[b1 b2];

echo on;

% Fonction de transfert H(z)

H = tf(numH,denH,h)

echo off;

A = [1 a1 a2],B = numH

% --- Régulateur RST

% Polynôme C(z) de degré 4

c1=a0+a1;c2=a0*a1+a2;c3=a2*a0;

C =[1 c1 c2 c3];

Bplus = 1;

Bmoins = B;

% --- Modéle de référence Hm(z) en z

Bmp = (1+a1+a2)/(B(1)+B(2));Bm= Bmp*Bmoins;

Am1 = [1 a1 a2 l];

Am = [1 a1 a2]

echo on;

% Modéle de référence

Hm = tf(Bm,Am1,h)

echo off;

% --- Polynôme observateur A0(z)

% Degré du polynôme

dA0 = 2*(length(A)-1) - (length(Am)-1) - 1

% Initialisation de A0(z)

A0 =[1 a0];

% --- Degré des polynômes R(z) et S(z)

% Degré du polynôme R(z)

dRp = (length(Am)-1) + (length(A0)-1) - (length(A)-1)

% Degré du polynôme S(z)

dS = (length(A)-1) - 1

% Détermination de s0, s1, r1, r2…. d'après l'équation de Diophantine

sol=[1 0 0;a1 b1 0;a2 b1 b2]^-1*[c1-a1;c2-a2;c3];

% --- Mise en forme du polynôme T(z)

T =Bmp*A0;

% --- Affichage des valeurs trouvées sous MatLab

echo on;

% --- Coefficients du régulateur RST avec un retard ---

% Polynôme R(z)

R=[1 sol(1) l]

% Polynôme S(z)

S=[sol(2) sol(3)]

% Polynôme T(z)

T

echo off;

%La représentation graphique de la consigne température, la sortie de température et la commande

temps=(0:h:600);

G_uc_u=tf(conv(A,T),conv(A,R)+[0 l conv(B,S)],h);

G_yc_u=tf(conv(B,T),conv(A,R)+[0 l conv(B,S)],h);

yc1=0*temps;u1=lsim(G_uc_u,yc1,temps);y1=lsim(G_yc_u,yc1,temps);

yc2=80*(temps>=d*h),u2=lsim(G_uc_u,yc2,temps);y2=lsim(G_yc_u,yc2,temps);

yc3=-30*(temps>=280),u3=lsim(G_uc_u,yc3,temps);y3=lsim(G_yc_u,yc3,temps);

yc4=90*(temps>=300),u4=lsim(G_uc_u,yc4,temps);y4=lsim(G_yc_u,yc4,temps);

yc5=-40*(temps>=460),u5=lsim(G_uc_u,yc5,temps);y5=lsim(G_yc_u,yc5,temps);

Yc=yc1+yc2+yc3+yc4+yc5;U=u1+u2+u3+u4+u5;Y=y1+y2+y3+y4+y5;

plot(temps,Yc,temps,U,temps,Y);

%***********************************fin **********************************

Documents

Commande numérique basée sur le placement de pôles des procédés linéaires à retard