Probabilidad y Estadıstica

Coloquios agosto 2009

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Probabilidad y Estadıstica, 61.09. 5 de agosto de 2009.

1. Sea X una variable aleatoria con distribucion Bernoulli de parametro p = 4/5 y sea Yuna variable aleatoria tal que la distribucion condicional de Y dado que X = x es uniformesobre el intervalo [0, x + 1]. Usando los numeros aleatorios 0.2, 0.6 y 0.8 simular 3 valoresde Y .

2. Sean X e Y las variables aleatorias que representan los kg. de CO2 por kWh emitidos ala atmosfera por una central termoelectrica cuando el equipo depurador funciona y cuandono lo hace, respectivamente. Suponiendo que la densidad de probabilidad conjunta de lasvariables X,Y es

fX,Y (x, y) =

{

k cuando 1 ≤ y ≤ 2, y/2 ≤ x ≤ 1,0 en otro caso.

Hallar la funcion de distribucion de la esperanza condicional de Y dada X.

3. En las rutas argentinas ocurren accidentes de transito de acuerdo con un proceso dePoisson tal que la probabilidad de que no se produzcan accidentes en una hora es 0.15.Cada accidente tiene probabilidad 1/4 de producir vıctimas fatales; cuando hay vıctimasfatales, la cantidad es 1, 2 o 3 con la misma probabilidad. Hallar la media de la cantidadde vıctimas fatales en 15 dıas.

4. La duracion (en horas) de cierto tipo de componente electronico se rige por una distribu-cion Gamma Γ(2, λ). En una muestra aleatoria de 3 de ellos se observaron las duraciones120, 130 y 128 horas. Usando el metodo de maxima verosimilitud estimar la probabilidadde que la duracion de un componente supere las 135 horas.

5. Se desea determinar, con un nivel de confianza del 5 %, si la cantidad de disparos que sedeben realizar con un fusil hasta impactar en un blanco se rige por una ley geometrica. Serealizan 1000 experiencias de efectuar disparos con dicho fusil hasta impactar en el blancoy se obtiene la siguiente tabla de frecuencias:

cantidad de disparos hasta impactar en el blanco 1 2 3 4 5 6 7 8 9frecuencia 493 253 114 71 38 15 7 7 2

¿Cual es la conclusion?

Probabilidad y Estadıstica, 61.09. 13 de agosto de 2009.

1. Sean A,B variables aleatorias de Bernoulli, ambas de parametro p = 1/3, y cuyacovarianza es 1/9. Mostrar que A(1−B) y B(1−A) son variables de Bernoulli y calcularsu coeficiente de correlacion. (Sugerencia: Notar que si X es una variable de Bernoulli valeque X2 = X.)

2. En un juego de dados (con un dado equilibrado) gana el que obtiene menor puntaje.El jugador puede elegir entre dos estrategias. La primera es obtener puntaje 3 sin tirar; lasegunda es tirar dos veces y obtener como puntaje el mınimo de los resultados observados.Cual es la mejor estrategia?

3. En un puesto de atencion al cliente se sabe que los clientes llegan segun un procesode Poisson de tasa 10 por hora, y que el 30 por ciento de los clientes son mujeres. Cuales la probabilidad de que en el lapso hasta la llegada del sexto hombre hayan ingresadoexactamente 2 mujeres?

4. En una fabrica hay dos maquinas M1,M2. El 20 % de las piezas elaboradas por M1y el 40 % de las elaboradas por M2 presentan defectos de pintura. De un lote de 1000piezas cuya provenencia se ignora, aunque se sabe que son todas de la misma maquina, seextraen 10 piezas al azar y se encuentran 3 defectuosas. Estimar por maxima verosimilitudla media de la cantidad de piezas defectuosas en el lote.

5. El diametro X en cm. de ciertas piezas tiene distribucion uniforme sobre el intervalo(a, a + 1). Control de calidad quiere establecer un criterio para enviar una inspeccion alproveedor cuando a < 5. Disenar un criterio de decision, basado en el estadıstico X1 + X2,donde X1, X2 es una muestra del diametro de dos de las piezas mencionadas. Hallar laexpresion analıtica de la curva caracterıstica operativa en funcion del parametro.

Probabilidad y Estadıstica, 61.09. 20 de agosto de 2009.

1. Se cortan alambres de longitud aleatoria L con distribucion exponencial de media 60cm. y con ellos se construyen cırculos de perımetro L. Sea A = A(L) el area de los cırculos.Hallar E[A].

2. Juan Pizzero elige en una pizza circular de 6 porciones iguales la posicion de cadaaceituna puntual de modo independiente y uniformemente sobre la pizza. Si se ponen 3aceitunas puntuales en la pizza, cual es la probabilidad de que exactamente dos de ellas seencuentren en una misma porcion?

3. A una lınea de embalaje arriban en forma independiente piezas producidas por lasmaquinas A y B. Las piezas de la maquina A lo hacen segun un proceso Poisson de tasa2 por minuto, mientras que las de la maquina B tambien lo hacen en forma Poisson perocon tasa 3 por minuto. Las piezas de ambas maquinas llegan a la lınea de embalaje y pororden de arribo son embaladas de a pares. Hallar la media del tiempo transcurrido hastala aparicion de un par embalado formado por una pieza proveniente de cada maquina.

4. Una maquina produce objetos de diametro aleatorio con distribucion normal de media100 cm. y varianza σ2 desconocida. Los objetos de diametro inferior a 99 cm. o superi-or a 101 cm. se consideran defectuosos. Calcular el estimador de maxima verosimilitudpara la varianza σ2 sabiendo que en una muestra aleatoria de 10 objetos se encontraronexactamente 2 defectuosos.

5. Lucas debe decidir si acepta o rechaza una partida de bolsas de alimentos congelados.Para medir la temperatura dispone de un termometro que produce valores con distribucion

normal de media T y varianza(

T100

)2, donde T es el verdadero valor de la temperatura

medida. Si la temperatura de las bolsas no es inferior a los −18oC debe rechazarla porquepuede afectar gravemente la salud publica. Suponiendo que la temperatura de las bolsas esnegativa, disenar una regla de decision que satisfaga los requisitos siguientes (i) la probabil-idad de un error al afirmar que la temperatura es inferior a los −180C, cuando en realidadno lo es, debe ser menor o igual que 0.01; (ii) con una probabilidad de por lo menos 0.95debe reconocer como aceptable una partida cuya temperatura sea −20oC. Graficar la curvacaracterıstica operativa asociada.

Probabilidad y Estadıstica, 61.09. 27 de agosto de 2009

1. La longitud L de las piezas producidas por cierta maquina tiene distribucion exponencialcon media 5 (en metros). Si se toman dos pares de piezas al azar y se elige de cada parla mas corta, cual es la probabilidad de que la suma de las longitudes de las dos piezaselegidas supere los 10 metros?

2. Cada lote que llega a un control de recepcion tiene una proporcion p de unidadesdefectuosas que depende del lote. La proporcion p es una variable aleatoria con distribucionuniforme U(0, 1). El control de recepcion consiste en examinar 20 unidades del lote y aceptareste si se observan menos de 2 unidades defectuosas. Una vez aceptado un lote el costopor defectos c(p) = 3p. Calcular el costo medio por defectos de los lotes aceptados. (Si la

necesita puede usar la formula∫ 1

0pn(1 − p)mdp = n!m!

(n+m+1)!.)

3. Se deben recorrer 400 kilometros. En el camino hay paradas obligatorias a tiemposexponenciales independientes de media 50 minutos y en cada parada hay una probabilidad0.5 de fumar un cigarrillo. Si la densidad de probabilidades de la velocidad media V entreparadas es de la forma

fV (v) =

{

v/1800 cuando 80 ≤ v ≤ 100,0 en otro caso.

calcular la cantidad media de cigarrillos fumados.

4. Dado θ > 0, sea X una variable aleatoria continua que tiene densidad:

fθ(x) =

{

θe−θx cuando x > 0,0 en otro caso.

Dado que en una muestra aleatoria de volumen 100 se observo que∑100

i=1 Xi = 25 hallar unintervalo de confianza de nivel 0.90 para θ.

5. En un examen rindieron 100 alumnos del curso A y 80 del curso B. Del curso Aaprobaron 20 y del curso B aprobaron 5. Considera que los datos muestran, con un nivelde significacion del 10 %, que la probabilidad de aprobacion depende del curso?

Probabilidad y Estadıstica, 61.06. Industriales. 5 de agosto de 2009.

1. Sea X una variable aleatoria con distribucion Bernoulli de parametro p = 4/5 y sea Yuna variable aleatoria tal que la distribucion condicional de Y dado que X = x es uniformesobre el intervalo [0, x + 1]. Hallar la funcion de distribucion de Y .

2. Sean M y N la cantidad de tiros de un dado equilibrado hasta que aparezcan el primeras y el segundo as, respectivamente. Hallar la funcion de probabilidad de M dado queN = 5.

3. Sean X e Y los kg. de CO2 por kWh emitidos a la atmosfera por una central ter-moelectrica cuando el equipo depurador funciona y cuando no lo hace, respectivamente.Suponiendo que la densidad de probabilidad conjunta de las variables X,Y es

fX,Y (x, y) =

{

k cuando 1 ≤ y ≤ 2, y/2 ≤ x ≤ 1,0 en otro caso.

Calcular la probabilidad de que el equipo depurador reduzca la cantidad de CO2 a menosde dos terceras partes.

4. En las rutas argentinas ocurren accidentes de transito de acuerdo con un proceso dePoisson tal que la probabilidad de que no se produzcan accidentes en una hora es 0.15.Cada accidente tiene probabilidad 1/4 de producir vıctimas fatales; cuando hay vıctimasfatales, la cantidad es 1, 2 o 3 con la misma probabilidad. Hallar la media de la cantidadde vıctimas fatales en 15 dıas.

5. Por una estacion de peaje pasan automoviles de acuerdo con un proceso de Poisson deintensidad 30 por minuto. Cada automovil paga una tarifa de 2.80. Calcular aproximada-mente (usando el teorema central del lımite) la probabilidad de que en una hora la estacionde peaje facture mas de 5160 pesos.

Probabilidad y Estadıstica, 61.06. Industriales. 13 de agosto de 2009.

1. Sean A,B variables aleatorias de Bernoulli, ambas de parametro p = 1/3, y cuyacovarianza es 1/9. Calcular la esperanza de A(1 − B).

2. Sean X1, X2, X3 tres variables aleatorias independientes, cada una con distribucionuniforme sobre el intervalo [2, 3]. Sea Y = mın(X1, X2, X3). Hallar la probabilidad de queY sea menor que E[Y ].

3. En un proceso de produccion en serie las piezas tienen dos tipos de defectos: de forma ode color. La probabilidad de que una pieza tenga un defecto de forma es 0.1; la probabilidadde que tenga un defecto de color es de 0.72 si tiene defecto de forma, y de 0.08 cuando notiene defecto de forma. Cuando se detecta una pieza con ambos defectos se suspende laproduccion formando un lote con las piezas producidas hasta ese momento, incluyendo lapieza con ambos defectos. Cual es la cantidad media de piezas defectuosas por lote?

4. En un puesto de atencion al cliente se sabe que los clientes llegan segun un procesode Poisson de tasa 10 por hora, y que el 30 por ciento de los clientes son mujeres. Cuales la probabilidad de que en el lapso hasta la llegada del sexto hombre hayan ingresadoexactamente 2 mujeres?

5. Juan Gaboto navegara durante 60 dıas en una zona en la que no conseguira pilas para suGPS (que usa dos pilas). Para conocer bien su recorrido, don Juan llevara constantementeencendido el GPS. El par de pilas dura en promedio 30 horas, con un desvıo de 2 horas. Alextinguirse, se reemplazan ambas. Cuantas pilas debera llevar para tener una probabilidadde al menos 0.9 de que le alcancen las pilas para el crucero?

Probabilidad y Estadıstica, 61.06. Industriales. 20 de agosto de 2009.

1. Se cortan alambres de longitud aleatoria L con distribucion exponencial de media 60cm. y con ellos se construyen cırculos de perımetro L. Hallar la funcion de distribucion delarea de los cırculos A = A(L).

2. Juan Pizzero elige en una pizza circular de 6 porciones iguales la posicion de cadaaceituna puntual de modo independiente y uniformemente sobre la pizza. Si se ponen 3aceitunas puntuales en la pizza, cual es la probabilidad de que exactamente dos de ellas seencuentren en una misma porcion?

3. La variable aleatoria bidimensional (T, Y ) se describe mediante:

T es exponencial de intensidad λ = 0.05

Para cada t > 0, Y |T = t es una variable aleatoria uniforme entre t/2 y t.

Calcular cov(T, Y ).

4. A una lınea de embalaje arriban en forma independiente piezas producidas por lasmaquinas A y B. Las piezas de la maquina A lo hacen segun un proceso Poisson de tasa2 por minuto, mientras que las de la maquina B tambien lo hacen en forma Poisson perocon tasa 3 por minuto. Las piezas de ambas maquinas llegan a la lınea de embalaje y pororden de arribo son embaladas de a pares. Hallar la media del tiempo transcurrido hastala aparicion de un par embalado formado por una pieza proveniente de cada maquina.

5. Cada dıa entre el 1 de febrero y el 31 de diciembre, independientemente de los demas,Rolando Rivas recorre con su taxi una cantidad de kilometros con distribucion uniformeU(150, 250). En enero lo utiliza solamente para ir y volver de la costa recorriendo exacta-mente 1000 kilometros. Si al cabo de 4 anos de uso Rolando Rivas decide vender su taxi,cual es la probabilidad de que haya recorrido mas de 273500 kilometros?

Probabilidad y Estadıstica, 61.06, Industriales. 27 de agosto.

1. Se cortan chapas circulares de area aleatoria con distribucion exponencial de media 15cm2. Hallar la funcion de distribucion del perımetro de las chapas.

2. El peso X de las piezas producidas por cierta maquina tiene distribucion uniforme en[1, 3] (en kilogramos). Si se toman dos pares de piezas al azar y se elige de cada par la quemenos pesa, cual es la probabilidad de que la suma de los pesos de las dos piezas elegidassupere los 4 kilogramos?

3. A un control de recepcion llegan lotes de 1000 piezas. Cada pieza tiene una probabilidadp = 0.1 de ser defectuosa. El control de recepcion consiste en examinar 20 piezas del lote yaceptar este si se observan menos de 2 piezas defectuosas. Por cada lote rechazado se pagaun costo de 20 pesos y por cada pieza defectuosa de los lotes aceptados se paga un costode 1 pesos. Calcular el costo medio pagado por 20 lotes controlados.

4. Se deben recorrer 400 kilometros. En el camino hay paradas obligatorias a distanciasexponenciales independientes de media 80 kilometros que tienen duracion uniforme entre5 y 10 minutos. Si la densidad de probabilidades de la velocidad media V entre paradas esde la forma

fV (v) =

{

v/1800 cuando 80 ≤ v ≤ 100,0 en otro caso.

calcular la esperanza del tiempo que se tarda en realizar el recorrido.

5. Una fabrica de dulce de leche tiene 64 proveedores, cada uno de los cuales le entregadiariamente una cantidad aleatoria de litros de leche cuya media es 10000 y su varianzaes (500)2. La demanda de dulce de leche en el mes de agosto es una variable aleatoriacon distribucion normal de media 10000 toneladas y desvıo 400 toneladas. Para producirun kilo de dulce de leche se consumen 2 litros de leche. ¿Cual deberıa ser el stock inicialmınimo de dulce de leche, para que la probabilidad de no satisfacer la demanda mensualde agosto sea inferior a 0.05?

Probabilidad y Estadıstica, 61.06. No Industriales. 5 de agosto de 2009.

1. Sean M y N la cantidad de tiros de un dado equilibrado hasta que aparezcan el primeras y el segundo as, respectivamente. Hallar la funcion de probabilidad de M dado queN = 5.

2. Sean X e Y las variables aleatorias que representan los kg. de CO2 por kWh emitidos ala atmosfera por una central termoelectrica cuando el equipo depurador funciona y cuandono lo hace, respectivamente. Suponiendo que la densidad de probabilidad conjunta de lasvariables X,Y es

fX,Y (x, y) =

{

k cuando 1 ≤ y ≤ 2, y/2 ≤ x ≤ 1,0 en otro caso.

Calcular la covarianza entre X e Y .

3. En las rutas argentinas ocurren accidentes de transito de acuerdo con un proceso dePoisson tal que la probabilidad de que no se produzcan accidentes en una hora es 0.15.Cada accidente tiene probabilidad 1/4 de producir vıctimas fatales; cuando hay vıctimasfatales, la cantidad es 1, 2 o 3 con la misma probabilidad. Hallar la media de la cantidadde vıctimas fatales en 15 dıas.

4. La duracion (en horas) de cierto tipo de componente electronico se rige por una distribu-cion Gamma Γ(2, λ). En una muestra aleatoria de 3 de ellos se observaron las duraciones120, 130 y 128 horas. Usando el metodo de maxima verosimilitud estimar la probabilidadde que la duracion de un componente supere las 135 horas.

5. Sea X1, . . . , X10 una muestra aleatoria de una variable aleatoria X ∼ U(θ, θ + 1).

(a) Usando el estadıstico M = max(X1, X2, . . . , X10) construir un intervalo de confianzade nivel 0.9 para θ.

(b) ¿Aceptarıa que θ = 5, si se ha observado que M = 5.5? ¿Que riesgo involucra ladecision adoptada?

Probabilidad y Estadıstica, 61.06. No Industriales. 13 de agosto de 2009.

1. Sean A,B variables aleatorias de Bernoulli, ambas de parametro p = 1/3, y cuyacovarianza es 1/9. Mostrar que A(1−B) y B(1−A) son variables de Bernoulli y calcularsu covarianza. (Sugerencia: Notar que si X es una variable de Bernoulli vale que X2 = X.)

2. En un juego de dados (con un dado equilibrado) gana el que obtiene menor puntaje.El jugador puede elegir entre dos estrategias. La primera es obtener puntaje 3 sin tirar; lasegunda es tirar dos veces y obtener como puntaje el mınimo de los resultados observados.Cual es la mejor estrategia.

3. En un puesto de atencion al cliente se sabe que los clientes llegan segun un procesode Poisson de tasa 10 por hora, y que el 30 por ciento de los clientes son mujeres. Cuales la probabilidad de que en el lapso hasta la llegada del sexto hombre hayan ingresadoexactamente 2 mujeres?

4. En una fabrica hay dos maquinas M1,M2. El 20 % de las piezas elaboradas por M1y el 40 % de las elaboradas por M2 presentan defectos de pintura. De un lote de 1000piezas cuya provenencia se ignora, aunque se sabe que son todas de la misma maquina, seextraen 10 piezas al azar y se encuentran 3 defectuosas. Estimar por maxima verosimilitudla media de la cantidad de piezas defectuosas en el lote.

5. El diametro X en cm. de ciertas piezas tiene distribucion uniforme sobre el intervalo(a, a + 1). Control de calidad quiere establecer un criterio para enviar una inspeccion alproveedor cuando a < 5. Disenar un criterio de decision, basado en el estadıstico X1 + X2,donde X1, X2 es una muestra del diametro de dos de las piezas mencionadas. Hallar laexpresion analıtica de la curva caracterıstica operativa en funcion del parametro.

Probabilidad y Estadıstica, 61.06. No Industriales. 20 de agosto de 2009.

1. Se cortan alambres de longitud aleatoria L con distribucion exponencial de media 60cm. y con ellos se construyen cırculos de perımetro L. Sea A = A(L) el area de los cırculos.Calcular P(A > 250|L ≤ 60).

2. Juan Pizzero elige en una pizza circular de 6 porciones iguales la posicion de cadaaceituna puntual de modo independiente y uniformemente sobre la pizza. Si se ponen 3aceitunas puntuales en la pizza, cual es la probabilidad de que exactamente dos de ellas seencuentren en una misma porcion?

3. A una lınea de embalaje arriban en forma independiente piezas producidas por lasmaquinas A y B. Las piezas de la maquina A lo hacen segun un proceso Poisson de tasa2 por minuto, mientras que las de la maquina B tambien lo hacen en forma Poisson perocon tasa 3 por minuto. Las piezas de ambas maquinas llegan a la lınea de embalaje y pororden de arribo son embaladas de a pares. Hallar la media del tiempo transcurrido hastala aparicion de un par embalado formado por una pieza proveniente de cada maquina.

4. Una maquina produce objetos de diametro aleatorio con distribucion normal de media100 cm. y varianza σ2 desconocida. Los objetos de diametro inferior a 99 cm. o superi-or a 101 cm. se consideran defectuosos. Calcular el estimador de maxima verosimilitudpara la varianza σ2 sabiendo que en una muestra aleatoria de 10 objetos se encontraronexactamente 2 defectuosos.

5. Lucas debe decidir si acepta o rechaza una partida de bolsas de alimentos congelados.Para medir la temperatura dispone de un termometro que produce valores con distribucion

normal de media T y varianza(

T100

)2, donde T es el verdadero valor de la temperatura

medida. Si la temperatura de las bolsas no es inferior a los −18oC debe rechazarla porquepuede afectar gravemente la salud publica. Suponiendo que la temperatura de las bolsas esnegativa, disenar una regla de decision que satisfaga los requisitos siguientes (i) la probabil-idad de un error al afirmar que la temperatura es inferior a los −180C, cuando en realidadno lo es, debe ser menor o igual que 0.01; (ii) con una probabilidad de por lo menos 0.95debe reconocer como aceptable una partida cuya temperatura sea −20oC. Graficar la curvacaracterıstica operativa asociada.

Probabilidad y Estadıstica, 61.06, No Industriales. 27 de agosto de 2009.

1. El peso X de las piezas producidas por cierta maquina tiene distribucion uniforme en[1, 3] (en kilogramos). Si se toman dos pares de piezas al azar y se elige de cada par la quemenos pesa, cual es la probabilidad de que la suma de los pesos de las dos piezas elegidassupere los 4 kilogramos?

2. A un control de recepcion llegan lotes de 1000 piezas. Cada pieza tiene una probabilidadp = 0.1 de ser defectuosa. El control de recepcion consiste en examinar 20 piezas del lote yaceptar este si se observan menos de 2 piezas defectuosas. Por cada lote rechazado se pagaun costo de 20 pesos y por cada pieza defectuosa de los lotes aceptados se paga un costode 1 pesos. Calcular el costo medio pagado por 20 lotes controlados.

3. Se deben recorrer 400 kilometros. En el camino hay paradas obligatorias a distanciasexponenciales independientes de media 80 kilometros que tienen duracion uniforme entre5 y 10 minutos. Si la densidad de probabilidades de la velocidad media V entre paradas esde la forma

fV (v) =

{

v/1800 cuando 80 ≤ v ≤ 100,0 en otro caso.

calcular la esperanza del tiempo que se tarda en realizar el recorrido.

4. Dado θ > 0, sea X una variable aleatoria continua que tiene densidad:

fθ(x) =

{

θe−θx cuando x > 0,0 en otro caso.

Dado que en una muestra aleatoria de volumen 100 se observo que∑100

i=1 Xi = 25 hallar unintervalo de confianza de nivel 0.90 para θ.

5. En un examen rindieron 100 alumnos del curso A y 80 del curso B. Del curso Aaprobaron 20 y del curso B aprobaron 5. Considera que los datos muestran, con un nivelde significacion del 10 %, que la probabilidad de aprobacion depende del curso?