Colegio Universitario Boston TrigonometríaColegio Universitario Boston Trigonometría 268 13. Si el par ordenado (-5,3) pertenece al lado terminal de un ángulo en posición estándar,

Colegio Universitario Boston Trigonometría

262

Trigonometría


263

90

Trigonometría

Ángulos.

Ángulos en posición estándar o posición normal.

Son aquellos ángulo cuyo lado inicial esta sobre el semi-eje x positivo.

Podemos tener ángulos en posición estándar que sean:

Positivos: el lado terminal gira en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Lado inicial

Lado terminal

180 0

360

90

270


264

270

180 - 360

0

90

0

Negativos: el lado terminal gira en igual sentido que las manecillas del reloj.

Práctica

1. Considere los siguientes gráficos.

I- II- III-

¿Cuáles de ellas corresponden a un ángulo en posición estándar?

A. Solo III

B. Solo II

C. Solo II y III

D. Solo I y II


265

2. Considere los siguientes ángulos en posición estándar.

I- II- III-

De ellos son NEGATIVOS

A. Solo I

B. Solo II

C. Solo I y III

D. Solo III

3. Si el lado terminal de un ángulo en posición normal se ubica en el segundo

cuadrante, entonces la medida de ese ángulo es:

A. B. C. D.

4. Un ángulo cuya medida en radianes es 36

13se ubica en el cuadrante

A. I

B. II

C. III

D. IV

5. La medida de un ángulo ubicado en el segundo cuadrante corresponde a

A.

B.

C.

D.


266

6. ¿En cual cuadrante se ubica el lado terminal de un ángulo de medida -115º?

A. I

B. II

C. III

D. IV

7. ¿En cual cuadrante se ubica el lado terminal de un ángulo de medida 575º?

A. I

B. II

C. III

D. IV

8. El lado terminal de un ángulo en posición estándar se ubica en el segundo

cuadrante. Una posible medida de ese ángulo es

A. -315º

B. -195º

C. -105º

D. -85º

9. Analice las siguientes proposiciones

I. El lado Terminal de un ángulo cuya medida es 12

11se ubica en

el tercer cuadrante.

II. El lado Terminal de un ángulo cuya medida es 12

11 se

ubica en el segundo cuadrante.

De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?

A. Solo I

B. Solo II

C. Ambas

D. Ninguna


267

10. Considere la siguiente figura. Un posible valor del ángulo destacado es

A. -120º

B. -275º

C. 130º

D. 210º

11. De las figuras, ¿cuál corresponde a un ángulo en posición normal?

12. La medida en radianes de un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal se

ubica en el tercer cuadrante es

A. 120

B. 12

5

C. 12

11

D. 12

13

a)

c)

b)

d)


268

13. Si el par ordenado (-5,3) pertenece al lado terminal de un ángulo en posición

estándar, ese lado se ubica en el cuadrante

A. I

B. II

C. III

D. IV

14. Si el lado terminal de un ángulo estándar contiene el punto (-3,-2), entonces el

lado terminal pertenece al cuadrante

A. I

B. II

C. III

D. IV

15. Si el par ordenado pertenece al lado final de un angulo en posición

estándar, ese lado se ubica en el cuadrante:

A. I

B. II

C. III

D. IV

Ángulos Cuadrantales.

Un ángulo en posición estándar es cuadrantal si su lado terminal queda ubicado

sobre alguno de los semi-ejes coordenados. Por lo que cumple que:

o bien en radianes con un número entero.

Para determinar si un ángulo es cuadrantal realizaremos los siguientes pasos:

1. Si el ángulo esta dado en grados dividiremos este por 90º, si el resultado es

un número entero tenemos un ángulo cuadrantal.


269

2. Si el ángulo esta dado en radianes dividiremos este por , si el resultado es

un número entero tenemos un ángulo cuadrantal.

Práctica 16. ¿Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal?

A. B. C. D.

17. La medida de un ángulo cuadrantal corresponde a:

A.

B.

C.

D.

18. ¿Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal?

A. 405º

B. 510º

C. -490º

D. -540º

270 360 180


270


A. 45º

B. 135º

C. 270º

D. 300º

20. Analice las siguientes representaciones de ángulos.

I- II- III-

¿Cuáles de ellas representan ángulos en posición estándar y cuadrantales?

A. Todas

B. Solo I

C. Solo II

D. Ninguna

21. La medida, en radianes, de un ángulo cuadrantal corresponde a

A.

B.

C.

D.


271

22. ¿Cuál medida, en radianes, corresponde a un ángulo cuadrantal?

A.

B.

C.

D.


A. 45º

B. 135º

C. 270º

D. 300º


A. 405º

B. 510º

C. -490º

D. -540º

Ángulos Coterminales.

Dos ángulos en posición estándar son coterminales si tienen el mismo lado terminal.

Para determinar ángulos coterminales podemos aplicar la relación:

con un número entero.

Son dos ángulos en posición estándar, que tienen el mismo lado terminal.

250

110

135

225


272

Práctica

25. Si radianes, la medida de un ángulo en coterminal a corresponde a:

A.

B. °

C. °

D. °

26. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de es:

A.

B.

C.

D.

27. Si m =12º, entonces un ángulo coterminal con corresponde a:

A.

B.

C.

D.

28. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de -65 es:

A. 65º

B. 295º

C. -155º

D. -245º

29. Las medidas de un par de ángulos coterminales son:

A. 30º y -30º

B. 330º y 390º

C. 330º y -390º

D. -330º y -390º


273

30. ¿En cual sistema de coordenadas, se representan ángulos coterminales?

31. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 135º es

A. -405º

B. -135º

C. 855º

D. 45º

32. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de -165 es:

A. -525º

B. 165º

C. -15º

D. 15º

33. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de radianes es

A.

B.

C.

D.

A. B.

C. D.


274

34. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de º es:

A. 115º

B. 130º

C. 245º

D. 345º

35. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de corresponde a:

A.

B.

C.

D.

36. Un ángulo coterminal con un ángulo de medida -370º corresponde a:

A. 10º

B. 80º

C. -10º

D. -80º

37. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 65º es:

A. º

B. 425º

C. 605º

D. º

Ángulo de Referencia.

Un ángulo de referencia de un ángulo en posición estándar no cuadrantal, es aquel

ángulo cuyo lado inicial es el lado terminal del ángulo dado y su lado inicial está en

el semieje x positivo o negativo. El ángulo de referencia siempre es agudo y

positivo.


275

II CCUUAADDRRAANNTTEE IIII CCUUAADDRRAANNTTEE

IIIIII CCUUAADDRRAANNTTEE

IIVV CCUUAADDRRAANNTTEE

Práctica

38. El ángulo de referencia de un ángulo cuya medida es corresponde a

A. B. 2 C. D.

39. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del ángulo corresponde a:

A. -75º

B. -105º

C. -165º

D. -195º

y

x

360º

y

x

180º

y

x

180º

y

x


276

40. La medida del ángulo de referencia de un ángulo que mide 640° corresponde a:

A.

B.

C.

D.

41. Un ángulo negativo de medida en posición estándar y con el lado terminal en e

tercer cuadrante determina un ángulo de referencia de 70º, ¿cuál es el valor en

radianes de ?

A.

B.

C.

D.

42. El ángulo de referencia de un ángulo de medida 300º corresponde a

A. 30º

B. 60º

C. -30º

D. -60º

43. El ángulo de referencia de un ángulo cuya medida es -280º corresponde a

A. 10º

B. 80º

C. -10º

D. -80º


277

1

-1 1

-1

1

-1 1

-1

44. La medida de un ángulo de referencia de un ángulo de es

A. º

B. º

C. 30º

D. 60º

45. Un ángulo de medida en posición normal y con el lado Terminal en el segundo

cuadrante determina un ángulo de referencia de 30º entonces un valor de es

A. 330º

B. 300º

C. 150º

D. 120º

46. En la figura, es un ángulo en posición normal y determina un ángulo de

referencia de 60º, entonces la medida de corresponde a

A. -150º

B. -120º

C. 120º

D. 150º

47. En la figura, es un ángulo en posición normal y determina un ángulo de

referencia de 30º, entonces la medida de corresponde a

A. -150º

B. -120º

C. 120º

D. 150º


278

48. El ángulo de referencia de un ángulo cuya medida es 290º corresponde a

A. -70º

B. -20º

C. 70º

D. 20º

49. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de es:

A. -327º

B. -323º

C. 327º

D. 303º

Medidas de ángulos en radianes y en grados.

Para pasar de grados a radianes.

Para pasar de radianes a grados.

Práctica

50. Un ángulo mide . ¿Cuál es su medida en radianes?

A.

B.

C. 300

D. -


279

51. La medida en grados, de un ángulo cuya medida en radianes es , es

A. 15.71

B. 1800

C. 900

D. 450

52. Un ángulo mide 330º. ¿Cuál es su medida en radianes?

A. 6

11

B. 11

6

C. 30

D. 150

53. Un ángulo mide 2º. ¿Cuál es su medida en radianes?

A.

B.

C.

D.

54. La medida en grados, de un ángulo de 3

4, es

A. -60º

B. -120º

C. -240º

D. -480º


280

55. Analice las siguientes proposiciones

I- -160 equivale en radianes a 9

4

II- 150 equivale en radianes 6

5

De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?

A. Ninguna

B. Ambas

C. Solo II

D. Solo I

56. Un ángulo mide 9

radianes. ¿Cuál es su medida en grados?

A. 10º

B. 20º

C. 80º

D. 100º

57. La medida de un ángulo en radianes es 6

17 ¿Cuál es la medida en grados?

A. 510º

B. 255º

C. 162º

D. 63º

58. La medida de un ángulo en radianes es 3. ¿Cuál es la medida en grados?

A.

B.

C.

D.


281


15 ¿Cuál es la medida en grados de ese

ángulo?

A. 48º

B. 96º

C. 675º

D. 1350º

60. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 3

2es:

A.

B.

C.

D.

61. La medida en grados de un ángulo de medida 6

11 es

A. -150º

B. -210º

C. -330º

D. -240º

62. La medida en radianes de un ángulo que mide 144º es

A.

B.

C.

D.


282

63. La medida en grados de un ángulo que mide 3

4 radianes es:

A. 0º

B. 450

C. 0º

D.


17 ¿Cuál es la medida en grados?

A. 510º

B. 255º

C. -162º

D. 63º

65. La medida en grados de un ángulo que mide 9 radianes es:

A) 9

B) 20

C)

1620

D)

3240


283

Razones trigonométricas de .

SENO:: la denotamos como , y es la razón entre el cateto opuesto y la

hipotenusa de un triángulo rectángulo.

COSENO: la denotamos como cos , y es la razón entre el cateto adyacente y la

hipotenusa de un triángulo rectángulo.

TANGENTE:: la denotamos como tan , y es la razón entre el cateto opuesto y el

cateto adyacente de un triángulo rectángulo.

HIPOTENUSA CATETO

OPUESTO

CATETO ADYACENTE

A C


284

COSECANTE:: la denotamos como csc , y es la razón entre el la hipotenusa y cateto

opuesto de un triángulo rectángulo.

SECANTE:: la denotamos como sec , y es la razón entre la hipotenusa y el cateto

adyacente de un triángulo rectángulo.

COTANGENTE:: la denotamos como tan , y es la razón entre el cateto adyacente y el

cateto opuesto de un triángulo rectángulo.

Para recordar las razones trigonométricas se puede usar las razones trigonométricas

se puede usar la frase

SOHCAHTOA

Si trabajamos con la frase de izquierda a derecha obtendremos las razones básicas, y

si lo hacemos de derecha a izquierda obtendremos las razones inversas.


285

El círculo trigonométrico

El círculo

trigonométrico nos

sirve para encontrar el

valor de las funciones

trigonométricas de

cualquier ángulo

especial.

Vemos que es un

círculo cuyo radio es

uno. De ahí tenemos las

siguientes relaciones.

ysen

xcos

Además debemos saber

que se establece la

siguiente relación

cos

sentan

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Dependiendo del cuadrante podemos determinar el signo

de las razones trigonométricas.

SON POSITIVAS

I cuadrante II cuadrante III

cuadrante

IV

cuadrante

Todas las

razones

seno Tangente coseno

cosecante cotangente secante

x

),(, sencosyx

1

1 -1

-1

Todos Sentimos

Tantas Cosas

y


286

Práctica

66. Si entonces el lado final del angulo se ubica en

siguiente cuadrante:

A. I

B. II

C. III

D. IV

67. Si y entonces el lado Terminal de se localiza en el

A. I cuadrante

B. II cuadrante

C. III cuadrante

D. IV cuadrante

68. Si es positivo y es positivo, entonces el ángulo se encuentra en el:

A. IV cuadrante

B. III cuadrante

C. II cuadrante

D. I cuadrante

69. Si es negativo y es positivo, entonces el ángulo se encuentra en

el:

A. III cuadrante

B. IV cuadrante

C. II cuadrante

D. I cuadrante

70. la función tangente es negativa en los cuadrantes:

A) I y II

B) I y III

C) II y III

D) II y IV


287

71. Para un ángulo en el II cuadrante se cumple que:

A. es positivo y es negativo

B. es negativo y es positivo

C. es positivo y es negativo

D. es positivo y es negativo

72. Para un ángulo en el II cuadrante se cumple que:

A. >0 y >0

B. <0 y >0

C. <0 y <0

D. <0 y >0

73. Según los datos de la figura, el valor de corresponde a

A.

B.

C.

D.

74. De acuerdo con los datos de la figura, se cumpla con certeza que

A.

B. b

a

C. b

a

D. a


288

75. De acuerdo con los datos de la figura el valor de es

A.

B.

C.

D.

76. De acuerdo con los datos de la figura, si las coordenadas de P son

6

2,

6

2,

entonces el valor de es

A.

B.

C.

D.

77. En la figura, es la medida de un ángulo en posición normal, el cual determina

un ángulo de referencia de 60º, entonces el valor de sec corresponde a:

A)

B)

C)

D)


289

78. En la figura, es la medida de un ángulo en posición normal, el cual determina

un ángulo de referencia de 30º, entonces el valor de csc corresponde a:

A.

B.

C.

D.

79. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de cos es

A. -2

B.

C.

D.

80. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de cot es

A.

B.

C.

D.


290

81. En la figura, es un ángulo exposición normal y determina un ángulo de

referencia de 60º, entonces cos corresponde a

A.

B.

C.

D.

82. De acuerdo con los datos de la figura, si el ángulo cuya medida es determina

un ángulo de referencia de 60º entonces el valor de es

A.

B.

C.

D.

83. De acuerdo con los datos de la figura, en el círculo trigonométrico, la medida de

OC equivale a

A) B) C) D)


291

84. De acuerdo con los datos de la figura, en el círculo trigonométrico, la medida de

BC equivale a

A. B. C. D.

85. El lado final de un ángulo de medida colocado en posición estándar, interseca

a la circunferencia trigonométrica en , entonces el valor de es:

A.

B.

C.

D.

86. El lado final de un ángulo de medida colocado en posición estándar, interseca

a la circunferencia trigonométrica en , entonces el valor de es:

A.

B.

C.

D.


292

-1

-1

1

1

x

y

87. En la figura es un angulo en posición normal y determina un ángulo de

referencia de 20°, entonces el valor de es de:

A. 180°

B. 200°

C. 210°

D. 250°

88. Si está en el III cuadrante y =x

1 , entonces es igual a

A. 1

1

2

x

B. 1

12

2

x

x

C. 12 x

D. 1

1

2 x

89. Si se sabe que está en el segundo cuadrante y tan =x entonces cos = es igual

a

A. 21 x

x

B. x

1

C. 21

1

x

x

D. 21

1

x


293

90. La expresión cot (-248º) es equivalente a

A. t 22º

B. º

C. 2º

D. º

91. El valor de 3

8 corresponde a

A.

B.

C.

D. -

92. El valor de º es equivalente a

A. B. C. D.

93. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta?

A. B. C. D.

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