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COCIENTES NOTABLES

Son divisiones exactas de la forma:

Caso 1

Caso 2

n número imparCaso 3

n número parObservación:

xn+an

x−a= xn-1+ xn-2 a +. .. .. . .. .+xa + an-2+ a n-1+ 2an

x−ano es cociente notable .

TÉRMINO DE LUGAR GENERAL

xn-k ak-1

En el caso 1 todos los términos son positivos.

En los casos 2 y 3 los términos de lugar par son negativos y los de lugar impar son

positivos.

CONDICION DE UN COCIENTE NOTABLE

Si:

xα± yβ

xm± yn es un cociente notable si y solo si

αm

= βn=

número de términos del cociente notable

1

axax nn

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PROBLEMAS PROPUESTOS1) Calcular el número de términos del cociente notable

x4 n+12− y an−3

xx−8−ax−9

2) Calcular el grado del término del lugar 11 en la expansión del CN

xn− y507

x2− yn

3) Simplificar:

2

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4) Qué lugar ocupa el término del grado 34 en la expansión del cociente notable

x40− y20

x2− y

5) En el cociente notable:

x5m− y20

x2− y ; uno de sus términos es:

x8 y10, hallar m + n2

FACTORIZACIÓNCONCEPTOS PREVIOSCampo numérico

Sea .Un conjunto numérico con dos operaciones adicion(+) y multiplicación(x)

definidos sobre K,se dice que es un campo numérico si se cumple los axiomas de la

adicion,los axiomas de la multiplicación y además los axiomas de la distributividad de la

multiplicación con respecto a la adición.

De acuerdo a esta definición se puede concluir que los conjuntos numéricos

considerados como campos son lo conjuntos:

1)Conjunto de los números racionales

2)Conjunto de los números reales

3)Conjunto de los números complejos .

POLINOMIO SOBRE UN CAMPO

Se denomina asi cuando sus coeficientes pertenecen a ese campo.

Asi tenemos es un polinomio sobre

Asi tenemos es un polinomio sobre

FACTOR DE UN POLINOMIO

Un polinomio d(x) de grado de grado no nulo es factor de otro polinomio P(x) si existe

otro polinomio q(x) tal que P(x)=d(x)q(x).

Ejemplo: d(x)=(x-3) es factor de P(x)=

POLINOMIO IRREDUCTIBLE

Un polinomio es irreductible sobre un determinado campo numérico, si no permite ser

expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo.

3

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Ejemplo: es irreductible en , pero no en ya que

.

Observación: Todo polinomio de primer grado es irreductible en cualquier campo

numérico.

FACTOR PRIMO

Es un factor irreductible de un polinomio sobre un determinado campo.

Ejemplo Si sus factores primos en son y

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.Observación

Antes de factorizar un polinomio, es indispensable especificar el conjunto al cual han de

pertenecer los coeficientes de los factores, si se factoriza un polinomio con coeficientes

racionales entonces los factores deberán tener coeficientes racionales, si factorizamos

un polinomio con coeficientes reales entonces los factores deberán tener coeficientes

reales.

Ejemplos

2x2 – x – 6 = (2x + 3) (x – 2) factorización en

9 x2− 425

=(3 x+ 25 )¿ (3 x−2

5 ) ¿factorización en

P(x)=3x2 –5 no esfactorizable en , pero si en

Pues 3 x2−5=( √3 x+√5 )(√3x−√5 )

t(x)=x2 + 2, no es factorizable en , pero si en ,pues:

x2 + 2 = (x + i√2)( x−i √2 ); i=√−1

q(x)=x2 – 7 es primo en pero no en porque:

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METODOS DE FACTORIZACIONMétodo del factor común:

Factor comun: Es la expresión numérico o literal que se repite en todos los términos.

1)Factorcomún monomio:Cuando se factoriza un monomio

Factorice:

2)Factorcomún polinomio:Cuando se factoriza un polinomio

Factorice:(

3)FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOSSe agrupa los términos de 2 en 2; 3 en 3; etc, tratando de conseguir un factor común

binomio, trinomio, etc.

Ejemplo:Factorizar: E = 3x3 -12x + 2x2– 8

Solución: Agrupando de 2 en 2.

E = 3x3 + 2x2 - 12x – 8

E = x2 (3x+2) –4 (3x + 2)

E = (3x +2) (x2 –4)

E = (3x+2) (x +2) (x –2)

PROBLEMAS DE APLICACIÓNFactorizar:

1. a3 + a2 + a2b – b3 – ab2 – b2

2. a(x-1) – b(1-x) + cx – c

3. x3y2 + y3z2 – x3z2 – y5

4. ab4 – 5a2b3 + 4a3b2 – 20a4b

5. a2b + b2c – b2a – a2c – bc2 + c2a

4)FACTORIZACIÓN POR ASPA SIMPLEForma General:

Ax2m + Bxmyn + cy2n

x, y Variables del método

A, B, C, m, n Constantes del método

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ProcedimientoSe descomponen los extremos de tal manera que la suma de productos en aspa sea

igual al término central, los factores son los términos ubicados en horizontal.

Ejemplo: Factorizar: E = 6x4 – 23x2y3 + 20y6

SoluciónP(x;y)=6x4 – 23x2y3 + 20y6

2x2 - 5y3

3x2 - 4y3

P(x;y)=(2x2-5y3) (3x2 – 4y3)

PROBLEMAS DE APLICACIÓNFactorizar:

1. 6x4 + 19x2y3 + 10y6

2. 21x8 + 32x4y3 - 5y6

3. 6x4y3 –x3y4 – 15x2y5

4. (x+y+3)2 + 7x + 7y + 31

5. x2 (x-y)2 – 14xy2 (x-y) + 24y4

FACTORIZACIÓN POR ASPA DOBLEForma General:

Ax2m + Bxmyn + Cy2n + Dxm + Eyn + F

x, y Variable del método

A, B, C, D, E, F, m, n Constantes del método

Procedimiento:1) Aspa simple al 1er, 2do y 3er. término

2) Aspa simple del 1er, 4to y 6to término

3) Aspa de comprobación al 3er, 5to y 6to término

Ejemplo: factorizar:

E = 10x2 – 13xy + 4y2 + 29x – 19y + 21

Solución P(x;y)= 10 x2 – 13xy + 4y2 + 29x – 19y + 21

2x -y 3

5x -4y 7

P(x;y) =(2x-y+3)(5x+4y+7)

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PROBLEMAS DE APLICACIÓNFactoriza:

1. 2x2 + 7xy – 15y2 – 6x + 22y – 8

2. 2x2 + 7xy + 3y2 + x + 13y + 10

3. 6x2 - 7xy – 3y2 + 25x + y + 14

4. 28x2 -69xy + 22y2 –36x –71y – 40

5. 6x2 –20 y2 – 14z2 + 7xy + 38yz – 17 xz

FACTORIZACIÓN POR ASPA O DOBLE ESPECIALForma general:

Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E

x Variable del método

A, B, C, D, E, n Constantes del Método

Procedimiento:

1. Aspa simple al 1er y 5to término obtenemos un término de la forma: px2n

2. Formamos el término: qx2n = Cx2n – px2n que se descompone debajo del tercer

término

3. Primera aspa de comprobación al 1er término y qx2n; debe obtenerse el segundo

término (Bx3n)

4. Segunda aspa de comprobación a: qx2n y el quinto término, debe obtenerse el

cuarto término (Dxn)

5. Si las aspas de comprobación se cumplen, los factores se toman en forma

horizontal.

Ejemplo: Factorizar: E = 6x4 – 5x3 – 4x2 + 23x – 20

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SoluciónE = 6 x4 – 5x3 – 4x2 + 23x – 20

3x2 2x -5 -10x2

2x2 -3x 4 12x 2

-6x2 2x2

Al centro se descompone: -4x2 – 2x2 = -6x2 los factores serían:

(3x2 + 2x – 5) (2x2 – 3x + 4)

= (3x + 5) (x -1) (2x2 – 3x + 4)

PROBLEMAS DE APLICACIÓNFactorizar:

1. x4 + 4x3 + 8x2 + 9x + 6

2. x4 + x3 + 4x2 + 3x + 6

3. x4 + 4x3 – 7x2 – 34x – 24

4. x4 + 4x3 + 11x2 – 14x + 10

5. x4 – 10x3 + 19x2 – 18x + 9

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado

que tiene como factores a los polinomios dados inicialmente.

Para calcular el MCM de polinomios se factorizan estas expresiones en sus factores

primos, el MCM se forma como el producto de los factores comunes y no comunes con

su mayor exponente.

MAXIMO COMÚN DIVISOR El Máximo común divisor de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado que

asimismo es factor de cada uno de los polinomios dados inicialmente.

Para calcular el MCD de polinomios, se factorizan estos en sus factores primos, el

MCD se forma con el producto solamente de los factores comunes con su menor

exponente.

PROPIEDAD

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PROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar el MCD de:

A = (a4 – 2a2b2 + b4)2

B = (a4 – b4)3 ; c = (a3 - b3)3

2. Hallar el MCD de:

A = x3 + 5x2 + 8x + 4

B = x3 + 3x2 – 4

C = x3 + 6x2 + 12 x + 8

3)Hallar el grado del MCD de los polinomios:

A = x5 – xy4

B = (x2 + y2) (x4 + y4)

4)Hallar el MCD de:

A = 5x3 – 5x2 + 2x – 2;

B = 2x3 + 2x2 – 2x – 2

C = x4 + x3 – x2 – x

5)Si el producto de dos expresiones es (x + 1)2 (x + 2) (x + 5) y su MCD es (x + 2).

Hallar el término independiente del MCM.

RADICACIÓNLa radicación es la operación inversa de la potenciación que consiste en hallar una

expresión algebraica llamada raíz, que elevada a un cierto índice nos reproduzca una

cantidad llamada radicando o sub radical.

Diremos que y es la raíz enésima de x si:

Elementos:

Índice n√ x= y raíz enésima

La cantidad subradical o radicando

Ejemplo:3√8=2→23=84√81=±3→(±3)4=81

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RAÍZ CUADRADA DE POLINOMIOSSi P(x) es un polinomio de grado par, con coeficientes principal positivo, extraer su raíz

cuadrada consiste en hallar otros dos polinomios Q(x) y R(x) tal que: P(x) = Q2(x) + R(x)√P( x )

R(x)

P(x) = polinomio radicando

Q(x) = polinomio raíz

R(x) = polinomio residuo

Si R(x) = 0 P(x) es cuadrado perfecto

GR(Q(x)) = ½ GR (P(x))

GR (R(x)) < GR (Q(x))

PROCEDIMIENTO PARA EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO1. Se ordena, completa y se agrupan de dos en dos los términos, empezando por el

último término del polinomio dado.

2. Se halla la raíz cuadrada del primer término, que será el primer término de la raíz

cuadrada del polinomio, se multiplica esta raíz por sí misma y se resta al polinomio

dado.

3. Se bajan los dos siguientes términos, que forman el siguiente grupo, se duplica la

raíz hallada y se divide el primer término de los bajados entre el doble del primer

término de la raíz. El cociente es el segundo término de la raíz. Este 2do término

de la raíz con su propio signo se escribe al lado del doble del primer término de la

raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho 2do, término

restándose el producto a los dos términos que se habían bajado.

4. Se bajan los dos términos siguientes y se repite el paso anterior tantas veces hasta

que el residuo sea de grado menor que la raíz ó sea un polinomio idénticamente

nulo.

Ejemplo:Extraer la raíz cuadrada de:

P(x) = 4x6 – 12x5 + 25x4 – 44x3 + 5x2 – 3

Solución:

10

Q(x)

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√4 x6−12 x5+25 x4−44 x3+5 x2−3 2x3 – 3x2 + 4x – 5

- 4x 6 (2x 3 )(2x 3 ) = 4x 6

-12x5 + 25x4 (4x3 – 3x2) (3x2)

12x 5 + 9 x 4 =12x 5 – 9x 4

16x4 – 44x3 + 5x2 (4x3-6x2+4x)(4x)

-16x 4 – 24x 3 + 16x 2 =16x 4 – 24x 3 + 16x 2

-20x3 – 11x2 + 0x – 3 (4x3 – 6x2 +8x-5)(-5)

20x 3 – 30x 2 +40x-25 =20x 3 +30x 2 –40x+25

-41x2 +40x-28

Raíz = Q(x) = 2x3 – 3x2 + 4x – 5

Resto = R(x) = -41 x2 + 40x – 28

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Extraer la raíz cuadrada de:

a) P(x) = x4 + 6x3 + x2 – 32x + 18

b) F(x) = 9x6 – 6x5 – 13x4 – 34x3 – 19x2 + 23

2. Calcular a + b; si: 9x4 – 12x3 + ax2 + (b – 5) x + 25

Tiene raíz cuadrada exacta.

3. Que valor deben tener a y b para que sea exacta la raíz cuadrada de:

P(x) = 4x6 – 4x5 + 13x4 – 10x3 + 11x2 + ax + b

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RADICALES DOBLESSon aquellos radicales que contienen otras radicales relacionados por las operaciones

de adición o sustracción.

TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES

RADICALES DE LA FORMA: √A±√B

Ejemplo:

Expresar: √5+√24 en radicales simples

Solución

√5+√24=√ 5+c2

+√ 5−c2

c=√52−24=1

√5+√24=√ 5+12

+√ 5−12

=√3+√2

FORMA PRÁCTICA

Debemos buscar x, y / x + y = A xy = B

Ejemplo:

√5+√24=√5+2√6=√ x+√ y x + y = 5 x = 3

xy = 6 y = 2

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PROBLEMAS PROPUESTOS1. Reducir

E=2√3+√5−√13+2√12−√6

2. Calcular a y b

√7+4√5+2√9+2√7−2¿√6=√a+√b ¿

3. Reducir

E=√2+2√2+.. . .. .2√2+2√4+2√3

4. Reducir

√2+√3+√9+5√3−√3(√3+2)+√4+2√3

RACIONALIZACIÓNRacionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo

denominador sea irracional en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga

radicales

Generalmente se racionaliza el denominador de una fracción, pero a veces es también

necesario racionalizar su numerador.

FACTOR RACIONALIZANTEEl factor racionalizante de una expresión irracional, es también otra expresión irracional

que multiplicada por la primera la convierte en una expresión racional.

√5+√2es el F.R. de √5−√2 porque (√5+√2)(√5−√2)=3

√5−√2es el F.R. de √5+√2 porque (√5−√2)( √5+√2)=3

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CASOS QUE SE PRESENTAN

DENOMINADOR FACTOR RACIONALIZANTENUEVO

DENOMINADORn√ xm;n>m n√ xn−m x

√ x±√ y √ x∓√ y x – y

3√ x−3√ y 3√ x2+ 3√ xy−3√ y2 x – y

3√ x+ 3√ y 3√ x2−3√xy+ 3√ y2 x + y

n√ x−n√ y Cociente notable x – y

n√ x+ n√ y n = par, cocientes notables

n = impar, cocientes notables

x – y

x + y

Ejemplo (1)

Racionalizar: E= 1

9√a5b2

Solucionar:

F.R. = 9√a4b7

E= 19√a5b2

.9√a4b7

9√a4b7=

9√a4 b7

ab

Ejemplo (2)

Racionalizar: E= 1+√3

√6+√15+√2+√5

Solución: Agrupando convenientemente

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Ejemplo (3)

Racionalizar: E= 1

(√2+ 4√2+1 )

Solucionar: Agrupamiento conveniente

Sea 4√2=x⇒√2=x2

E=1

x2+x+1⋅x−1x−1=

x−1x3−1

=4√2−14√8−1

E=FRT8−1

=FRT

7

Ejemplo (4)

Racionalizar: E= 1

2+ 6√7−3√7

Solución

Sea: 6√7=x⇒ 3√7=x2

E= 12+x−x2

= 1(2−x )(1+x )

= 1(2−6√7 )(1+6√7 )

2 − x1 x

=FRT

(26−7 )(1−7 )=

FRT(57 )(6)

=FRT342

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. RacionalizarE= 1

√10−√6+√5−√3

2. RacionalizarE= 1

3√x+3√ y+ 3√´ x+ y

3. RacionalizarE= 1

5√16+ 5√8+ 5√4+ 5√2+2

4. RacionalizarE= 1

√2¿ 3√3−3√¿3√2

¿¿

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TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

Todo polinomio de grado n, positivo, admite una única descomposición en factores de la

forma (x - ri ), donde ri es una raíz o cero del polinomio, resultando:

P(x) = an(x - r1 ). (x - r2 )……… (x - rn ), donde an es el coeficiente principal de P(x) y

r1 ,r2,...,rn son n raíces, no necesariamente distintas.

Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que tiene la misma raíz, a

ésta se la llama raíz múltiple, y a la cantidad de veces con que aparece se la llama “grado

de multiplicidad”.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Un polinomio de grado n positivo tiene exactamente n raíces, considerando las reales y las

complejas. Una consecuencia de este teorema es que un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.

En los polinomios a coeficientes reales, las raíces complejas vienen siempre de a pares de

allí que un polinomio a coeficientes reales de grado impar admite por lo menos una raíz real.

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