Inters simple, compuestoUPOFACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMASINGENIERIA ECONOMICA. Docente : Eco. Wadley Valencia CoralINTERES SIMPLEINVERSIONES EN UN PERIODOQUE CANTIDAD SE TENDRA DENTRO DE UN AO SI SE S/ 100 EN CTA AHORRO, QUE PAGA 10% INTERES ANUALCAPITAL ORIGINALINTERESES GANADOSVALOR FUTUR010010110VF = C + ( 1 + r)r = 10% = r = 0.1CADA 1 INVERTIDO CRECE EN 1.1(1 + 0.10)INTERS COMPUESTO. Inversiones en ms de un perodoCAPITALIZACION : PROCESO DE NO DISPONER DURANTE MS DE UN PERIODO DEL DINERO Y DE CUALESQUIER INTERES ACUMULADO POR UNA INVERSION, REINVIRTIENDO EL INTERESCAPITALIZACION = GANAR INTERESES SOBRE INTERESESDIFERENCIA I SIMPLE , I COMPUESTO : EN I SIMPLE EL INTERES NO ES REINVERTIDOINTERES COMPUESTO: S/ 100, AL 10% ANUAL0.11.1AOMONTO INICIALINTERES SIMPLEINTERES COMPUESTOTOTAL INTERES GANADOMONTO FINALFORMACION DE INTERES SOBRE INTERES1100.001010.00110.002110.00101.0011.00121.001103121.00102.1012.10133.102.121.004133.10103.3113.31146.413.3133.105146.41104.6414.64161.054.64146.41VALOR FUTURO = C * (1 + r) tTASAS DE INTERESNUMERO DE PERIODOS5%10%15%20%TABLA DE FACTORES DE INTERES(1 + r) t11.05001.10001.15001.200023451.27631.61112.01142.4883VALOR PRESENTEVALOR PRESENTE X 1.1 = 1VALOR PRESENTE Y DESCUENTOFACTOR DE VALOR PRESENTE1 / (1 + r) t(FVP)FACTOR DE VALOR FUTURO(1 + r) t(FVF)

Bonos, AccionesAMORTIZACIONES. ANUALIDADESFVFA = ( ( 1+r ) t - 1 ) / rVFA = (A ) FVFAFVPA = ( ( 1 - ( 1/ ( 1+ r ) t ) / r )VPA = (A ) FVPAVFAr = 0.1t= 5 aosA = 2000, Usdlaresvalor presente de los flujos de pagosVFA = (A ) FVFAFVFA = ( ( 1+r ) t - 1 ) / rVFAVFA = 20006.1112210.2VPAr= 0.01 mest= 4 aosA = 632 mest= 48 mesescuanto puede solicitar de prstamoVPA = (A ) FVPAFVPA = ( ( 1 - ( 1/ ( 1+ r ) t ) / r )VPAVPA = 63237.973959493524000VPAr = 0.67% mest= 30 aosA = 166.67 soles/mescuanto tendr en 30 aos a valor presenter ao :1.0834299161t meses :360VPA = (A ) FVPAFVPA = ( ( 1 - ( 1/ ( 1+ r ) t ) / r )VPAVPA = 166.67135.767192821622628.3VFAr = 0.67% mest= 30 aosA = 166.67 soles/mescuanto tendr dentro de 30 aost meses :360VFA = (A ) FVFAFVFA = ( ( 1+r ) t - 1 ) / rVFAVFA = 166.671502.52250424.59PERPETUIDADAnualidad en el que el flujo de efectivo contina para siempreVPp = Anualidad / intersAnualidad : pago perpetuoDefinir valor de inversin que con r = 8% anual genera pago de 500 dlaresVPp = 500/0.08VPp =6250Corporation F planea emitir acciones preferentes a US$ 100 /accin. Que dividendos tendra que ofrecer ?VPp = 100Dividendo : pago perpetuoConociendo que F tiene acciones en circulacin que se cotizan a US$ 40 por accin y paga un Dividendo de US$ 1 por trimestre.Circulan a 40; pagan 1 por trimestreVP = 40 = 1 ( 1/ r ) ; r = 0.025 por trimestreVPp = 40VPp= Pago /intersr = 1/400.025por trimestre40=1/rLuego, para nuevas acciones100 = anualidad o pago perpetuo / 0.025VP = 100 = P ( 1/r ) ; 100 = P / 0.025; P = $2.5/trimestreanualidad o pago perpetuo2.5por trimestreSi la accin se coloca US$ 5050=A / 0.02550 = P / 0.025; P = $ 1.25 / trimestreanualidad o pago perpetuo1.25por trimestreBONOS. (Instrumento financiero para captar prstamos)Prstamo pagando un inters y reembolsando el principal al fin del plazoGobierno y Corporaciones buscan financiamiento en el mercado (pblico), sobre una base de largo plazo, generalmente lo hace emitiendo valores de enduedamiento que reciben el nombre de Bonos : Prstamo a intereses.Colocar un Bono : obtener un prstamo del mercadoBonos : pagar intereses segn lo pactado y reembolso del capital al vencimiento del perodo pactado.Betel Corp solicita un prstamo de US$ 1000 durante 30 aos. (Tasa de rendimiento por deudas similares : 12%).Betel Corp. Pagar 1000 x 0.12 = 120 de intereses anuales x 30 aos. Al final de los 30 aos, pagar el valor del Bono y los intereses del caso.valor a la parvalor nominal ovalor facial1000120120120120120120cupn anualaos0123292930Definiciones1. Pago de intereses = Cupones. Bono de cupn constante : paga intereses constantes2. Cantidad que se reembolsa al final del perodo : Valor Facial, Valor Nominal o Valor a la Par3. Tasa Cupn : Cupn anual / valor nominal = 120 / 1000 = 0.12 = 12%4. Vencimiento : nro aos que deben transcurrir hasta que se pague el BonoRendimiento a Vencimiento = tasa de inters sobre un bono requerida en el mercador = varan en el mercado y Valor del Bono fluctaEl valor de un bono en un punto particular del tiempo se calcula conociendo : El nro perodos que faltan para el vencimiento Valor nominal Cupn r de mercado de los bonos con caractersticas similares. Rendimiento al vencimiento (RAV) = Rdito del BonoValor de un Bono = Valor Presente de Cupones + Valor presente del Valor FacialChiang Corp. Planea emitir un bono con plazo de 10 aos al vencimiento con un Cupn anual de US$ 80; bonos similares tienen un rendimiento al vencimiento de 8%. En cuanto se vender el Bono ?Valor a la par = 1000valor a la par1000cupn anual. US808080808080aos01238910Valor total del Bono = VP V a la Par + V P AnualidadVP Bono = 1000 (1/ (1+ 0.08)10 )+ 80 [ 1- (1 / (1+ 0.08) 10 ) ] / 0.08Valor nominal al vencimiento + Valor presente de la anualidad1000463.19536.81FVP = ( 1/ ( 1+ r ) tFVPA = ( ( 1 - ( 1/ ( 1+ r ) t ) / r )VPB = 1000;463.19536.81Qu tasa de inters tendr el bono? : 8 %observar :Luego de un ao, r mercado es 10%. Cuanto valdr el Bono?VP Bono = 1000 (1/ (1+ 0.1)9 )+ 80 [ 1- (1 / (1+ 0.1) 9 ) ] / 0.1Valor nominal al vencimiento + Valor presente de la anualidad884.82424.10460.72FVP = ( 1/ ( 1+ r ) tFVPA = ( ( 1 - ( 1/ ( 1+ r ) t ) / r )VPB = 884.82;424.10460.72Significa : el bono con cupn de 8% ha sido valuado de tal modo que redite 10%, lo que se traduce en US$ 885.Esto genera una situacin de Bono de Descuento (comparado con la situacin previa)Bono de Descuento : se vende por menos de su valor facial (nominal).r pas de 8% a 10%El bono paga 8%; el mercado paga 10%La tasa cupn paga menos que la tasa actual ( 10% ). Los inversionistas slo estn dispuestos a prestar una cantidad inferior al reembolso prometido de US$ 1000Al venderse el bono a una cantidad inferior al Valor Facial (Nominal), se llama Bono de Descuento.Esto equivale a decir : para que r ascienda a 10%, se debe disminuir el precio a menos de US$ 1000, de modo que el comprador tenga una ganancia interna en la operacin.Precio ( US$ 885) es inferior en US$ 115 al Valor Facial, as que el inversionista obtendr : US$ 80 por ao ms US$ 115 de ganancia al vencimiento. Estos 115 compensan al inversionista por la existencia de una tasa de cupn (8%), inferior al mercado(10%). (Se descuenta 115 dlares del bono)Explicando el descuento de 115 dlares. Si ahora se emite un bono con valor a la par de 1000 dlares, la tasa de mercado es de 10%, por tanto el cupn ser de .. Esto significa que el bono anterior (emitido a 8%), paga 20 dlares menos que el emitido a la tasa actual de mercado, es decir el inversionista que compre el bono emitido a 8% dejar de recibir durante 9 aos el valor del cupn ( ..... dlares).Si deja de percibir durante 9 aos el valor del cupn, se tiene :VP Anualidad = 20 (1-1/(1.10)9) / 0.1115.180VP Anualidad = 115.18Monto semejante al descuento en el precio del bono emitido al 8%Observar :Si el inters de mercado hubiere disminuido 2% (llegase a 6%, en vez de haber subido a 10%), el bono se vendera a ms de 1000 dlares. Calcular : 1136.03Entonces el inversionista recibira una prima (un plus de 136.03 dlares). El bono recibe el nombre de Bono con PrimaVP A = A (1-1/(1.06)9) / 0.06136.03 = A (1-1/(1.06)9) / 0.06Bono con Prima : Bono que se vende por ms de su valor a la par (facial, nominal)A = 2020.00i, sube ---- precio a la par, bajai, baja ---- precio a la par, subeValor de un Bono = Valor Presente de Cupones + Valor presente del Valor FacialC : cupn pagadero por perodoVN. Valor nominal (facial) pagadero al vencimientot, perodos de vencimientor, rendimiento por perodoVB = C [ 1 ( 1 / (1 + r ) t ) ] / r + VN / (1 + r ) tCupones semestrales (bonos emitidos en USA)Caso. Un bono tiene una tasa cupn de 14%, pagadero dos veces al ao. El rendimiento a vencimiento es de 16%, con pagos semestrales. El bono vencer dentro de 7 aos y tiene un Valor facial de US$ 1000. ( los rendimientos de los bonos se cotizan de manera semejante a los tasas pactadas o nominales).( Por condiciones de tasa de inters y precio de bono. Si el rendimiento a vencimiento es mayor que la tasa cupn del bono, el precio del bono ser : a) mayor que el valor facial; b) menor que el valor a la par). ( ? )a. Cual ser el precio del Bono?. Tasa cupn pagadero dos veces al ao (14/2 = 7); rendimiento a vencimiento : 8 semestral.tasa cupn = C / 1000tasa cupn : 7% semestralr = .. ; VB = VP vf + VP APrecio del Bono = 1000/1.08^14 + 70(1-1/1.08^14)/0.08PB =917.56340.46577.10b. Cual ser su rendimiento efectivo?TAE = ( 1 + r ) t - 1Mercado paga 8% semestralTAE = ( 1 + 0.08 ) 2 - 10.1664r = 16.64%pero tasa cupn de 14% pagadero dos veces al ao; .)Resumiendoi, sube ---- precio a la par, bajai, baja ---- precio a la par, subeValor de un bono con valor a la par de 1000 dlares y tasa cupn de 10%, considerando diferentes tasas de inters y vencimientosTasa de inters : %Valores en US dlares segn Plazos de Vencimiento01 ao30 aos51047.621768.62101000100015956.52671.720916.67502.11Bono libre de riesgo : cuando se asume que el prestatario podr hacer todos los pagos (cupones y valor facial)Pero an en el caso de Bono Libre de Riesgo, existe un riesgo derivado de la posesin del bono. Anlisis en Riesgo de BonosRiesgos de Bonos :CAPITALISMODAVID RICARDOCAPITALISTAADAM SMITHDerivados con fluctuaciones de r ( Riesgo de la tasa de inters)CAPITALKARL MARXRELACION ECONOMICASensibilidad del Bono a r es funcin del Plazo de Vencimiento y de la Tasa Cupn.CAPITALTRABAJOLos bonos, si todo se mantiene igual,SALARIOa)entre ms prolongado se el plazo de vencimiento, mayor ser el riesgo de la tasa de inters yPAGOb)entre ms baja sea la tasa cupn, mayor ser el riesgo de la tasa de intersDESTAJOAdicional a lo anterior existe el riesgo que el Prestatario no pueda hacer todos los pagos del cupn.Rendimiento de vencimiento. Un bono tiene un cupn de 8% y vence dentro de 6 aos. Una agencia de corredores de valores cotiza el bono a US$ 955.14. Cual ser el rendimiento del Bono?VF = 1000; cupn : 80VB = VP vf + VP A. Ensayo error (r), r = 10%, r = 9%Calificacin de Bonos.Mercado financiero, existe Evaluacin de Deudas y Evaluacin de RiesgosEvaluacin de deuda: realizado por agencias externas que clasifican deudas. Agencias externas lderes en calificacin de bonos . Moodys; Estndar & Poors ( S&P), FitchClasificacin de Deudas. Juicio u opinin emitida con relacin a capacidad de crdito de un emisor corporativo" (empresa, pas), que indica :a. Probabilidad que tiene la empresa de dejar de cumplir sus obligacionesb. Proteccin que dar a los acreedores en caso de incumplimientoLa clasificacin de bonos se relaciona nicamente con la posibilidad de Incumplimiento (Riesgo de no pagar = Riesgo de no cobrar ). Flucta :Alta calificacin . Deuda de mejor calidad por su Grado de Riesgo ms bajoGrado de Inversin : evaluacin que recibe un pas por parte de las clasificadoras de riesgo sobre la capacidad (buena) de honrar sus deudasBonos Chatarra o de muy baja calidad. Evaluados por debajo de calidad de inversin.Las clasificadores no siempre coinciden en sus calificaciones.La calificacin de crdito de un bono puede cambiar si mejora o se deteriora la fuerza o calidad financiera del emisor.Ms alta calificacin : ms alta capacidad de pago de capital e interesesCuanto ms baja la calidad, se incrementa el grado de especulacin.C : Bonos sobre ingresos que no generan ningn intersD: Deudas incumplimiento. Pagos de capital e intereses se efectan con retraso o se posterganLas caractersticas de los bonos estn limitados slo por la imaginacin de las partes involucradas, ejemplo de bonos :Bono sobre ingresos. Los cupones dependen del ingreso de la empresa. Se pagan si ingresos de la empresa son suficientes.Bono convertible. Pueden ser cambiado por un nmero fijo de acciones de la empresaBono a la Venta. Permite al tenedor obligar al emisor a recomprar el bono dentro de un precio estipulado.Bono con cupones cero. No pagan cupn y es vendido a un valor mucho ms bajo que su valor facialBonos a tasa flotante (Flotadores). Pago de cupones se ajustan de acuerdo con un ndice de la tasa de intersBonos a tasa flotante, indexado a la inflacin, TIPS (valores de Tesorera para la proteccin contra la inflacin). Bonos con cupones que se ajustan de acuerdo a la inflacin. USA, UK, Canad, Israel.Mercado de BonosEn USA y en general no existe un mercado particular donde se compra o venda Bonos. La mayor parte de la negociacin con bonos ocurre sobre el mostrador (MVM)La compra y venta de bonos se canaliza por lo general va electrnica.Mercado Bonos > Mercado AccionesNmero de emisiones de bonos son mayores que emisiones de acciones.Mercado de Bonos tiene poca transparencia. No es posible observar fcilmente los precios y los volmenes de negociacionesCmo leer un reporte de Bonos en mercado USA.Bonos corporativos de WSJ. Si Bono es de US$ 1,000BonosRendimiento ActualVolumenCierreCambio NetoATT 7S056.541108 -Tasa cupn 7%70/1082.5cambiaron de manos108.25 = Bono se vendi a US 1082.50 dlares0.065Cupn US$ 700.0746VencimientoSetiembre 2005AccionesAcciones comunes. Acciones preferentesAcciones comunes : Derechos sobre gestin de la empresa. Voz y VotoAcciones preferentes. Derechos sobre los resultados de la empresaDiferencias de valuacin entre Bonos y Acciones ComunesEn Acciones Comunes :a. No se conocen los flujos de efectivo prometidosb. Vida perpetua ( no tienen fecha de vencimiento)c. No es posible observar la tasa de rendimiento que requiere el mercado.Flujos de efectivoComprar acciones ahora para venderlas dentro de un aoSe estima que el precio dentro de un ao ser US$ 70 por accin. Adems se calcula que al final de un ao pagar en Dividendo US$ 10 por accin. Se requiere un rendimiento de 25% sobre la inversin.Cul es la mxima cantidad que pagar por cada accin?= VP ( D + VF ); = VP ( 10 +70 ) a 25%= VP ( 10 +70 ) / 1.25 = $ 64En general :Sea Po = precio actual de la accinP1 : precio en un perodoD1 : dividendo en efectivo pagado al final del perodoPo = ( D1 + P1) / ( 1 + r )Po = D1 / ( 1 + r ) 1 + D2 / ( 1 + r ) 2 + D3 / ( 1 + r ) 3 ..Observacin. Precio de acciones VP = 0 (valor tiende a cero), si la venta se establece en un perodo lejano.Po = P1 / ( 1 + r ) 1 ; Po = P / ( 1 + r ) 40Casos especiales1.Dividendos con crecimiento CeroD1 = D2 = D3= D = constantePo = D / ( 1 + r ) 1 + D / ( 1 + r ) 2 + D / ( 1 + r ) 3 .Po = D / R.Precio de una perpetuidad ordinariaR : rendimiento requerido.Ej. PC Corp, paga una D = $10 / ao. Si pagos continan indefinidamente y la tasa de rendimiento deseada es 20%, cual es el valor de la accin?Po = 10 / 0.5 = $502. Dividendo con crecimiento constanteDividendo crece a una tasa constante = g ;D1 = Do x ( 1 + g ) nSi empresa pag un dividendo se $ 3 que crece al 8% anual, cual ser el dividendo al quinto ao?D5 = 3 ( 1.08)5 = 4.41Perpetuidad creciente : Flujo de efectivo que crece a una tasa constante par siempre(Observacin : para algunas empresas crecer de manera constante es una meta )Precio de una accin en el momento tPt = ( Dt ) ( 1 + g ) / ( R g ) ; Pt = Dt+1 / ( R g )Modelo de crecimiento de Dividendos : Po = ( Do ) ( 1 + g ) / ( R g ) Po = D1 / ( R-g )SiD = 2.30R = 13%Po = 2.30 ( 1.05) / ( 0.13 0.05 ) = $30.19G = 5%Po =30.19Precio de accin. Cual ser el precio de la accin despus de 5 aos ( P5 ), si la tasa de crecimiento es de 5%Dividendo a 5 aosD5 = 2.30 ( 1.05)5 D5 = $2.935Dividendo a 5 aosPrecio a 5 aosP5 = 2.935 ( 1.05) / (0.13 0.05) 3.0822 / 0.8 P5 = $38.533. Dividendo de crecimiento no constanteOcurre cuando, por razones diversas, se generan tasas de crecimiento supernormales a lo largo de un perodo.Caso. Corporacin no paga Dividendo ahora. Se pronostica que pagar $ 0.50 por accin, dentro de 5 aos. Se espera que el Dividendo crezca 10% anual de manera indefinida. Rendimiento sobre empresas semejanes es de 20%. Cul es el precio de la accin hoy?Como el dividendo se paga a fin de ao (fin del ao 5)Dentro de cuatro aos el precio de la accin ser ( antes del pago del dividendo)P4 = D4 ( 1+g) / (R - g) D5 / (R - g) ; P4 = 0.5 / (0.2 0.1 )P=5.0$ 5 : precio por accin dentro de 4 aosPrecio actual Po = P4 / ( 1+ R )^ 4 = 5 / 1.20 4Po=2.41Precio HoyCaso., Si Dividendo no son cero en primer ao.Pronstico de Dividendo para tres aos1 = $12 = $23 = $2.5Luego el dividendo crece 5% constante cada ao. Si el rendimiento en empresas semejantes es de 10% m Cul es el valor actual de la accin?Precio = VP = D / (1+r)n1ero. Calcular el precio de las acciones al tercer ao y2do. Aadir VP de dividendos que se pagarn entre el da de hoy y el tercer ao1P3 = D3 ( 1 +g ) / ( R-g) = 2.50 (1.05) / ( 0.1- 0.05) = $ 52.5039.4442Po = D / (1+ R ) 1 + D / (1+ R ) 2 + D / (1+ R ) 3 + P3 / (1+ R ) 30.9091.6531.878Po=43.88Po = $43.88, Valor actual de las accionesCaso. Chain Corp ha crecido al 30% por ao. Se estima que la tasa se mantendr por tres aos ms y luego disminuir al 10%. Si luego la tasa de crecimiento permanece indefinidamente en10%Se han pagado dividendos por $5millones. Se busca un rendimiento de 20%A. Cul ser el valor total de las acciones?B. Si existen 20 millones de acciones, cuanto es el precio por accin?A.AoDividendos totales ( en millones)1) 5 x 1.3 = 65002) 6.5 x 1.3 = 84503) 8.45 x 1.3 = 10985P3 = D3 ( 1 + g ) / (R g ) = (10950) ( 1.1 ) / (0.20 0.1 ) = $120835Precio actual : Po = D / (1+ R ) 1 + D / (1+ R ) 2 + D / (1+ R ) 3 + P3 / (1+ R ) 3A) Po = 6.5 / 1.21 + 8.45 / 1.22 + 10.985 / 1.23 + 120.835 / 1.235.4175.8686.35769.92887.57Po = $87.57 millonesB) Con 20 millones de acciones : 87.57 / 20 = $4.38 por accinComponentes del Rendimiento RequeridoPo = D1 / (R - g);R = D1 / (Po + g) R = D1 / Po + D1 / gA : D1/ Po = Rendimiento por DividendosB : D1 / g = Rendimiento sobre ganancias del capital (tasa a la que crece la inversin de capital)Rendimiento agregado : A + B Rendimiento que ofrece la accinCaso. Cada accin se vende a $20. El prximo dividendo ser de $1 / accin y se estima que el dividendo crecer al 10% anual, de manera ms o menos constante. Qu rendimiento ofrece la accin, si los estimados son correctos?A + B : R = 1 / 20 + 10% = 5% + 10% = 15%R=0.050.1ABVerificando : calcular precio dentro de 1 ao ( P1); R = 15% (encontrado)P1 = D1 ( 1 + g) / (R g ) = 1 (1.1) / ( 0.15 0.1) = 1.1 / 0.5 = $2222 = 20 ( 1.1) = 22. El precio ha crecido 10% ( 22 20 = 2 ; luego : 2 / 20 = 0.1 )A. Rendimiento por Dividendo. D = $1 paga; $20 se vende (cuesta) cada accin : 1 / 20 = 0.05 = 5%B. Rendimiento por Ganancia : 2 / 20 = 10%Rendimiento total : 5% + 10% = 15%Rendimiento sobre ganancias del capital. Son iguales, superiores, inferiores a tasas de mercado? (costo alternativo?).Valuacin de acciones. Resumen.1. Caso general .Po = D1 / ( 1 + R ) 1 + D2 / ( 1 + R ) 2El precio de una accin el da de hoy ( Po), es el VP de sus dividendos futuros2. Crecimiento constanteP o = D1 / (R g)Si Dividendo crece a la tasa constante g, el precio de la accin ser ..3.Crecimiento SupernormalPo = D1 / (1+ R ) 1 + D2 / (1+ R ) 2 +.... Dt / (1+ R ) t + Pt / (1+ R )tDonde Pt = Dt ( 1 + g ) / ( R g )4. Rendimiento requeridoR = D1 / (Po + g) R = D1 / Po + D1 / gRendimiento de Dividendos + Rendimiento por ganancia de capital( = tasa de crecimiento de dividentos, para el caso de un crecimiento uniforme)

FlujosINGENIERIA ECONOMICA=Tomar decisionesTcnicas y modelos de IE, ayudan a tomar decisionesIngeniera Econmica = Anlisis de IE = Toma de decisiones econmicas = Estudio de Asignacin de Capital = Anlisis Econmico Enfoque de solucin de problemas Proceso de toma de decisiones1Entender el problema y la meta2Reunir informacin relevante3Definir soluciones alternativas4Evaluar cada alternativa: core IE . Tcnicas de Medidas de Valor (inherente : Valor de dinero en el tiempo)5Selecciona la mejor alternativa usando algunos criteriosValor Presente, VPRazn Beneficio/Costo, B/C6Implementar la solucin y hacer seguimiento de resultadosValor Futuro, VFCosto Capitalizado, CCValor Anual, VATasa de Retorno, TREstudio Ingeniera EconmicaIdentificacin de alternativasConstruir nueva plantaMejorar la antigua plantaDescripcin de alternativasFlujos de efectivo respecto a algn perodo de tiempoAnlisis mediante un modelo de ingeniera econmicaAlternativa evaluada (en funcin de una medida de valor)Factores no econmicos. Entorno. (culturales, sociales, tangibles, intangibles)Criterios de evaluacin o de seleccin.(combinacin de medidas de valor -criterios econmicos- y factores no econmicos e intangibles)(siempre existe una segunda alternativa : negacin de la primera = stau quo, como est)Valor de dinero en el tiempo. Clculo de intereses. Valores equivalentes.Inters : monto total ahora - monto originalInters : monto debido ahora - monto originalTasa porcentual de inters : (inters por unidad de tiempo / monto original ) x 100%Inters = principal x nro perodos x tasa de intersInters = (principal + todo el inters generado) x tasa de inters5%Inte15%1.05Fin de aoQ prstamor = iInters (S)SaldoInters (C)SaldoAOMONTO INICIALINTERES SIMPLEINTERES COMPUESTOTotal inters ganado aoMONTO FINALinters simple del perodointers del intersinters acumuladointers simple + inters del intersMONTO FINAL010005%1000100011000.005050.001050.0050501050.001050.001050.00150105050105021050.00502.5052.501102.50502.550102.51102.501102.501102.50250110052.51102.531102.50505.1355.131157.63505.13102.50157.631157.631157.631157.63350115055.1251157.6341157.63507.8857.881215.51507.88157.63215.511215.511215.511215.5151215.515010.7860.781276.285010.78215.51276.281276.281276.281276.28monto inicial x intersmonto inicial x intersmonto inicial ao + total inters ganado en el aomonto inicial + inters simple + inters del intersDiferentes esquemas de reembolos para prstamo de 5000 dlares; t=5 aos; 8% anualFin de aoInters a pagar por el aoTotal a pagar a fin de aoPago de final de aoTotal a pagar50.08Plan I. Inters simple; se paga todo al final05000equivalentes14005400-540024005800-580034006200-620044006600-6600540070007000Total7000Plan II. Inters compuesto; se paga todo al final050001400.005400.00-54002432.005832.00-58323466.566298.56-6298.564503.886802.44-6802.445544.207346.647346.64Total7346.64Plan III. Inters simple pagado a medida que se genera; el principal se paga al final05000140054004005000240054004005000340054004005000440054004005000540054005400Total7000Plan IV. Inters compuesto y la parte del principal se pagan anualmenteprincipal0500014005400140040001000232043201320300010003240324012402000100041602160116010001000580108010801000Total6200Plan V. Pagos anuales iguales de inters compuesto y principal05000.0054001400.005400.001252.284147.72852.282331.824479.541252.283227.26920.463258.183485.431252.282233.15994.104178.652411.801252.281159.521073.63592.761252.281252.280Total6261.4Plan 0. Pagos anuales iguales de inters compuesto y principal05000.007346.6451400.005400.001469.333930.6721469.332314.454479.541469.333010.2123240.823485.431469.332016.104161.292411.801469.33942.47575.401469.331469.330Total7346.64Flujos de Efectivo. Estimacin y diagramasIngresos (Entradas) ( + ) y Salidas (Desembolsos) ( - ), reales de dineroDifciles. Inexactos = Estimaciones sobre futuro InciertoPrimero : Definir flujo de Efectivo. Luego : Tomar decisionesEjemplos :Entradas de EfectivoIngresos ( generalmente Incrementales, atribuidos, asignados a una alternativa)Reducciones del costo de operaciones (atribuidas a la alternativa)Valor de salvamento de activosRecibir el principal de un prstamoAhorros sobre el Impuesto a la RentaIngresos provenientes de Venta de Bonos y AccionesAhorros en costos de construccin e instalacionesAhorros en rendimientos de los fondos de capital corporativosSalidas de EfectivoPrimer costo de activos ( con envo e instalacin)Costos de operacin ( anual e incremental)Costos de mantenimiento peridico y de reconstruccinPagos de inters y del principal de un prstamoAumento esperado de costos principalesImpuestos a la rentaPagos de Bonos y Dividendos de accionesGasto de fondos de capital corporativosFlujo de efectivo neto : Recibos - DesembolsosEntradas de efectivo - Salidas de EfectivoConvencin de final de perodoDiagramasASe obtiene prstamo de 5000 y se busca definir el valor a 6 aos, con una tasa de intrs de 7.5% anual+-0123456BSe desea despositar una suma X a dos aos a partir ahora, para hacer retiros anuales de 400 durante 5 aos, empezando en 3 aos a partir de hoy. Si la tasa de rendimiento es 15.5% anual. Cual es el diagrama de flujo de efectivo?+-01234567Estimaciones duplicando el tiempo y las tasas de inters. Regla 72En determinadas condiciones es importante estimar el nmero de aos (n), o la tasa de inters o retorno (i, r) que se requiere para duploicar una suma de flujo de efectivo nicaEl tiempo requerido para duplica una suma nica inicIal con inters compuesto es, aproximadamente, igual a 72, dividido por el valor de la tasa de retorno (en porcentaje)n estimado = 72 / r %r estimado = 72 / nSmbolosP, VPValor presenteF, VFValor futuroAAnualidadt,Tiempo en perodos : aos, meses,dasi, rtasa de inters por perodo de inters, porcentaje anual, porcentaje mensualnnmero de perodos de inters; aos, meses, dasFORMULAS DE INGENIERIA ECONOMICA. APLICACIONESFACTORES DE PAGO UNICO ( F/P ; P/FUN CONTRATISTA DE BALDOSAS REALIZO UNA AUDITORA DE REGISTROS VIEJOS Y ENCONTRO QUE EL COSTO DE LOS SUMINISTROS VARIABAN, SEGN GRAFICA. SI SE DESEA CONOCER EL VALOR EQUIVALENTE EN EL AO 10 DE LAS SUMAS MAS GRANDES SOLAMENTE. CUAL SERA EL TOTAL CON i = 0.05P = dado1)F= 1931.11 us dlares2)P = 1185.5 us dlares0123456F= 1931.06 us dlaresF= ?F1 = P + Pidiagramaao012345F1 = P(1+ i)us dlares600175300135250400Inters compuesto = Inters del intersF2 = F1 + F1iIDENTIFICAR VALOR DE DINERO EN EL TIEMPO REQUERIDOF / PF = P ( 1 + i ) nF2 = P(1+i) +P (1+ i )icondicin :sumas ms grandesi = 5%Suma futura F de una inversin inicial P despus de n aos, a la tasa de inters iforma 1 )F=600, 10 ; 300, 8 ; 400, 5F2 = P (1 + i )2forma 2)F3 = P (1 + i )3( 1 + i ) nFactor de cantidad compuesta, pago nico : FCCPUCUANTO DINERO SE ACUMULA EN UNA CUENTA AHORROS DURANTE 8 AOS, EMPEZANDO A FINES DEL PRESENTE AO, SE DEPOSITA 1,000 US DOLARES, AL 0.14 ANUALF= 13,232.8 us dlaresFactor F / Pobs : pagos empieza al final del ao 1P = ?F= 1000 (F / A, xx%, xx aos)0123456F= dadoCUANTO ESTARIA UNA PERSONA DISPUESTA A GASTAR AHORA CON EL FIN DE EVITAR EL GASTO DE 500 US DOLARES DENTRO DE SIETE AOS A PARTIR DE HOY SI LA i=0.18 AL AOP = F [ 1 / ( 1 + i ) n ]1)P= 156.95 us dlaresDetermina el valor presente P de una cantidad futura dada F, despus de n aos a una tasa de inters i[ 1 / ( 1 + i ) n ]Factor de valor presente, pago nico : FVPPUFactor P / FP= 500 (P / F , xx%, xx aos)CUANTO ESTARIA UNA PERSONA DISPUESTA A PAGAR AHORA POR UNA INVERSION CUYO RETORNO GARANTIZADO SERA DE 600 US DOLARES ANUALES DURANTE 9 AOS, EMEPZANDO EL AO PROXIMO, A UNA TASA DE INTERES DEL 16% ANUAL?FACTOR DE VALOR PRESENTE, SERIE UNIFORME ( P / A )1)P= 2763.90 us dlaresP = A [ (1+ i )n -1 / i (1+ i)n]; i diferente de 0Valor presente P de una serie anual uniforme (anualidad) equivalente A que empieza al final del ao 1 y se prolonga por n aos a una tasa de inters i[ (1+ i )n -1 / i (1+ i)n]Factor de Valor Presente, serie uniforme ( FVP SU)P= 600 (P / A , 16%, 9 aos)Factor P / AFACTOR DE RECUPERACION DE CAPITAL (A / P )CUANTO DINERO DEBE DEPOSITAR KATALINA CADA AO EMPEZANDO DENTRO DE 1 AO AL 5.5% ANUAL CON EL FIN DE ACUMULAR 6000 US DOLARES DENTRO DE SIETE AOS?A = P [ i(1+ i )n / (1+ i)n - 1]1)A= 725.76 us dlares anualesValor anual uniforme (anualidad) equivalente A durante n aos de una inversin dada P cuando la tasa de inters es i[ i(1+ i )n / (1+ i)n - 1]Factor de Recuperacin de Capital ( FRC)Factor A / PA= 6000 (A / F , 5.5%, 7 aos)AL AO 20, CON i = 0.15 ANUAL SE TIENE 7000 US DOLARES. CUAL ES EL VALOR EQUIVALENTE ACTUAL?FACTOR FONDO DE AMORTIZACION (A / F )P / FA = F [ i / (1+ i)n - 1]Determinar el valor anual uniforme (anualidad) que sera equivalente a un valor futuro determinado F, a una tasa de inters i[ i / (1+ i)n - 1]Factor de Fondo de Amortizacin ( A / F )Factor A / FCUANTO DINERO PODRIA UNA PERSONA ESTAR DISPUESTA A GASTAR AHORA EN LUGAR DE GASTAR 40,000 US DOLAREAS DENTRO DE CINCO AOS SI LA TASA DE INTERES ANUAL ES 0.121)P= 22,696 us dlares anualesFACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA, SERIE UNIFORME (F / A )P / FF = A [ (1+ i )n - 1 / i ]Determina el valor futuro de una serie uniforme (anualidad) cuando la tasa de inters es iPOR INTERNET SE VENDE UN DOCUMENTO POR PAGAR CON SEGUNDA HIPOTECA DE VENTA. EL DOCUMENTOS POR 25,000 US DOLARES VENCE EN 7 AOS A PARTIR DE AHORA. SI UNA PERSONA DESEA OBTENER UNA TASA DE RETORNO DE 20% EN CUALQUIER INVERSION, CUANTO PAGARIA POR EL DOCUMENTO?P / F[ (1+ i )n - 1 / i ]Factor de Cantidad compuesta, serie uniforme ( FCC SU)Factor F / ARESUMEN DE FORMULAS DE INGENIERIA ECONOMICA, SIN GRADIENTESUNA PAREJA DE DEPORTISTAS RECIEN CASADOS PALNEA COMPRAR UN VEHICULO PARA SU NEGOCIO DE DEPORTES DENTRO DE CINCO AOS. DESEAN QUE LA CUOTA INICIAL SEA LA MITAD DEL COSTO Y ESPERAN QUE EL VEHICULO CUESTE 32,000 US DOLARES EN EL MOMENTO DE LA COMPRA. CUANTO DEBEN AHORRAR CADA AO SI PUEDEN OBTENER 10) ANUAL SOBRE SUS AHORROS?EncontrarDadoFactorEcuacinFrmulaNombreEN EL PROBLEMA ANTERIOR (PAREJA DEPORTISTA). LA ESPOSA ESPERA HEREDAR UN DINERO DENTRO DDE DOS AOS. CUNTO DINERO DEBEN ELLOS TENER PARA RSERVAR UNA CANTIDAD GLOBAL EN ESE MOMENTO CON EL FIN DE ASEGURAR EL PAGO INICIAL?. ASUMA i = 10% ANUAL1FP(F/P, i,n)F = P (F/P, i,n)F = P ( 1 + i ) nFactor de cantidad compuesta, pago nico : FCCPU2PF(P/F, i,n)P = F (P/F, i,n)P = F [ 1 / ( 1 + i ) n ]Factor de valor presente, pago nico : FVPPU3PA(P/A, i,n)P = A (P/A, i,n)P = A [ (1+ i )n -1 / i (1+ i)n]FVP SUUSTED SE COMPRA UNA PIEZA DE EQUIPO QUE TIENE UN COSTO DE 23,000 DOLAREAS QU CANTIDAD DE DINERO TENDRA QUE PRODUCIR CADA AO PARA RECUPERAR SU INVERSION EN 6 AOS SI a) OBTIENE EL DINERO EN PRESTAMO A UNA TASA DE INTERES DE 0.15 ANUAL ; b) PAGA EL EQUIPO CON DINERO QUE HABIA AHORRADO Y QUE ESTABA GANANDO 10% ANUAL DE INTERES4AP(A/P, i,n)A = P (A/P, i,n)A = P [ i(1+ i )n / (1+ i)n - 1]Factor Recuperacin de capital. FRC5AF(A/F, i,n)A = F (A/F, i,n)A = F [ i / (1+ i)n - 1]Factor Fondo Amortizacin. F / A6FA(F/A, i,n)F = A (F/A, i,n)F = A [ (1+ i )n - 1 / i ]Factor cantidad compuesta, serie uniforme. FCC SUCUANTO DINERO TENDRIA AHORRADO MIGUEL DENTRO DE 12 AOS SI TOMA SU GRATIFICACION DE NAVIDAD DE 2,500 DOLARES QUE RECIBE CADA AO Y a) LA COLOCA DEBAJO DEL COLCHON; b) COMPORA ACCIONES EN UN FONDO MUTUO QUE LE OFRECE 16% ANUAL c) LA COLOCA EN UNA CUENTA CORRIENTE QUE LE PRODUCE INTERESES DEL 3% ANUAL?FORMULAS DE GRADIENTESGradiente uniforme : serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma uniforme.El flujo de efectivo, ingreso o desembolso, cambia por la misma cantida aritmtica cada perodo de intersLa cantidad de aumento o disminucin es la gradienteGradienteSe asume que el flujo de efectivo que ocurre al final del ao ( o perodo) 1 no hace partge de la serie del gradiente sino que es una cantidad baseEjemplo. Se compra un caro usado con garanta de un ao o 12,000 millas; se puede esperar que durante el primer de operacin slo se tenga que pagar la gasolina, con un costo de 900 / ao (cantidad base = 900). Despues del primer ao el costo de reparaciones o del reemplazo se esperara que aumetaran cada ao. Si se estima que los costos de operacin y reparacin aumentasen 50 cada ao, la cantidad que se pagara el segundo ao sera 950, el tercero 1000 y asa hasta el ao n cuando el costo total sera 900 + (n-1)50. Diagrama de flujo de efectivo01234n-1nGradiente aparece entre ao 1 y 2 (50)900Base = 900, no es la gradiente950G puede ser positivo o negativo1000G que empieza entre aos 1 y 2 "Gradiente convencional"900 + (n-2)50900 + (n-1)50G =050505001234n-1nG2G3G(n-2) G(n-1) GLa empresa Catalina espera obtener ingresos por 47,500 dlares el ao prximo a partir de una venta de una nueva laptop. Se espera que la ventas aumenten de manera uniforme con la introduccin de la nueva mquina hasta llegar a un nivel de 100,000 dlarees en 8 aos. Determinar la gradiente y construir el diagrama de flujo de efectivocantidad base = 47,500ganancia por incremento en 8 aos = 100,000 - 47,500 = 52,500grandiente = ganancia / n - 152,500 / 8-17500 al aoG = 7500diagrama de flujo475005500062500100000012348VALOR PRESENTE Y VALOR ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE DE GRADIENTES UNIFORMES CONVENCIONALESClculo del valor presente total PT de los Gradientes convencionalesPT = PA + PGPT = PA - PGCantidad Base es la "A" que empieza en el ao 1 y se prolonga al ao "n"Para G creciente debe sumarce la cantidad del gradiente a la cantidad de la serie uniformePar una G decreciente debe restarse la cantidad del gradiente de la cantidad de la serie uniforme0123910Valor presente de la Gradiente : P / GValor anual uniforme equivalente de la gradiente : A / G50060070013001400Flujo de efectivo que forma la base de la G, se trata por separado100100100100100200300800900Se deposita un ahorro de 500 dlares dentro de un ao. Se estima que los depsitos aumentarn 100 dlares cada ao, por 9 aos a partir del primer depsito. Cul sera el valor presente de las inversiones si i = 5% anual?PT = PA + PGPA; A = 500PG; G = 100PT = 7062.05PA = 500 (P/A, 5), 10)PG = 100 ( P / G, 5%, 10)Para los valores anuales uniformes equivalentesAT = A1 + AGAT = 500 + 100 ( A / G, 5%, 10)AT = 909.91 anualmente durante los aos 1 al 10Una secuencua de flujo de efectivo se incia en el ao 1 en 1,000 y aumenta en 100 cada ao hasta el ao 7. Se pide : a) Diagrama de flujo de efectivo ; b) cantidad de flujo de efectivo en el ao 7; c) valor presente del gradiente en el diagrama; d) determinar el valor de n para la gradienteb) F= 1,600; c) P = ao 0; d ) n = 7a)b )F = G / i [ ( 1 + i ) n - 1 / i - n ]1000110012001300140015001600c )P = G / i [ (1 + i ) n - 1 / i ( 1 + i ) n - n / ( 1 + i )n ]d )d ) G = ganancia / ( n -1 )01234567VALOR PRESENTE DE SERIES GEOMETRICASLa coporacin Ruedas Gigantes adquiere una camioneta que cuesta 8000 y se espera que dure 6 aos con un valor de salvamento de 1300. Se espera que el costo de mantenimiento sea de 1,700 el primer ao, con un aumento anual del 11% a partir de ese momento. Determinar el valor presente equivalente del costo de modificacin y del mantenimiento si la tasa de inters es del 8% anual. Al determinar P , utilice signos menos para los flujos de efectivo negativos y signos ms para indicar un flujo de efectivo positivo para el valor de salvamentoHOJA DE CALCULOincremento costo mantenimiento = 11% anual.E = 11 % anual ; i = 8% anual : SON DIFERENTESPTentoncesPEi = 8%PE = D [ ( 1 + E ) n / ( 1 + i ) n - 1 ] / E - i ; E dif i1300pero se requiere conocer el PT0123456PT = - costo inicial - PE + VP precio salvamentoPT = - 8000 - PE + 1300 (P/F, 8%, 6)17001700 (1.11)80001700 (1.11)2PE = 1700 [ (1+0.11)6 / (1+0.08)6 ] -1 / (0.11 - 0.08)1700 (1.11)5PE = -8000 - 1700 [5.9559] + 819.26PT = - 8000 - PE + (1300 (P/F,8%,6))PT = - 17305.85Valor anual uniforme equivalente puede determinarse multiplicando - 17,305.85 por (A / P, 8%, 6)Con miras a tener dinero disponible para reemplazar su vehculo, Pedro planea tener 38,000 disponibles en 6 aos invirtiendo en un fondo mutuo global. Si ellos planean aumentar sus ahorrros en 7% cada ao. cunto deben invertir en el ao 1 si esperan ganar 14% anual sobre su inversin?D = 3831.63FORMULAS DE GRADIENTESEncontrarDadoFactorEcuacinFrmulaNombrePG( P / G, i, n)P = G ( P/ G, i, n)P = G / i [ (1 + i ) n - 1 / i ( 1 + i ) n - n / ( 1 + i )n ]Valor presente de una Gradiente uniforme (sin incluir la cantidad base) para n aos en valor presente del ao 0= 1 / i [ (1 + i ) n - 1 / i ( 1 + i ) n - n / ( 1 + i )n ]Factor de valor presente, gradiente uniforme, factor P / G= (1 + i ) n - in - 1 / i 2 (1 + i ) nFactor de valor presente, gradiente uniforme, factor P / GAG(A / G, i,n)A = G ( A / G, i, n)A = G [ 1 / i - n / ( 1 + i ) n - 1 ]Valor anual uniforme equivalente de una gradiente uniforme G= [ 1 / i - n / ( 1 + i ) n - 1 ]Factor de valor anual de una gradiente uniforme es igual al valor A equivalente de la gradiente (sin incluir el ao base)FG( F / G, i, n)F = G ( F / G, i,n)F = G / i [ ( 1 + i ) n - 1 / i - n ]Valor Futuro de una gradiente uniforme= 1 / i [ ( 1 + i ) n - 1 / i - n ]Factor de valor futuro, gradiente uniformePED(PE / D , i,n)PE= D ( PE / D , i, n)PE = D [ ( 1 + E ) n / ( 1 + i ) n - 1 ] / E - i ; E dif iValor presente de una serie geomtrica escalonadaD = cantidad dinero en el ao 1PE = D [ n / 1 + E ] ; si E = iE = tasa de crecimiento geomtrico en forma decimalValor presente ocurre en el ao anterior al flujo de efectivo D. PE es para la cantidad total de la serie geomtricaCasosTiempoEn cuanto tiempo se duplicarn 1000 dlares si la tasa de inters es 5% anual?1000 = 2000 (1.05) n1.05 n0.5n log 1.05log 0.514.4n =log 0.5 / log 1.05log 0.5n=0.5-0.3010299957log 1.051.050.0211892991n =-14.2066990829aosIntersSi se puede hacer una inversin que requiere un gasto de 3000 dlares ahora, para recibir 5000 dlares dentro de cinco aos. Cual ser la tasa de retorno de la inversinP = F ( P / F, i ?, 5)3000 = 5000 / ( 1+ i ) 5( 1+ i ) 5 = 3000 / 5001.66666666671 / ( 1 + i ) 50.1075663432TASAS DE INTERES NOMINALES Y EFECTIVAS Y CAPITALIZACION COTINUA

inters nominal y efectivoTASAS DE INTERES NOMINALES Y EFECTIVAS Y CAPITALIZACION CONTINUATasas de inters nominales (TIN) y efectivas (TIE). Se puede afirmar que guardan la misma relacin que el inters simple y el compuestoTIE : se utilizan cuando el perodo de capitalizacin ( = perodo de inters), es menor de un aocuando una " i " se expresa en perodos de tiempo menors a un ao ( p.e. 1% mensual), existirn TIN y TIETIN= tasas que se nombran, nominan, indican, muestran,TIN deben convertirse en TIE para reflejar con precisin las consideraciones de "Valor de Dinero en el Tiempo" -VDTTIN no es una tasa correcta, real, efectiva, verdadera, genuinaTIN : tasa de inters del perodo por el nmero de perodosr = tasa de inters del perodo x nmero de perodosTINignora el valor de dinero en el tiempoTINignora, desconoce, no considera, la frecuencia con la que se capitaliza el intersCuando se considera el VDT al calcular las tasas de inters a partir de las tasas de inters del perodo, la tasa se denomina tasa TIETasas de inters y sus interpretacionesTasas de intersInterpretacinComentarioTasas efectivas con el perodo de capitalizacin igual al especificadoi = 12 % anuali = 12 % efectivo anual, compuesto anualmenteCuando no se especifica un perodo de capitalizacin, la tasa de inters es una TIE, asumiendo que el perodo de capitalizacin es igual al perodo de tiempo indicadoi = 1.5 % mensuali = 1.5 % efectivo mensual, compuesto mensualmentei = 3.5 % trimestrali = 3.5 % efectivo trimestral, compuesto trimestralmenteTIN con perodo de capitalizacin indicadoi = 12 % anual, compuesto mensualmentei = 12 % nominal anual, compuesto mensualmenteCuando se especifica el perodo de capitalizacin, sin determinar si la la tasa de inters es Nominal o Efectiva, se asume que es una TIN. El perodo de capitalizacin es el como el expresado en los ejemplosi = 1.5 % trimestral, compuesto mensualmentei = 1.5 % nominal trimestral, compuesto mensualmentei = 15 % anual, compuesto semestralmentei = 15 % nominal anual, compuesto semestralmenteTIE y perodos de capitalizacini = 12 % efectivo anual, compuesto mensualmentei = 12 % efectivo anual, compuesto mensualmenteSi la tasa de inters se enunica como una tasa efectiva, entonces es una TIE. Si el perodo de capitalizacin no est dado, se asume que este perodo de capitalizacin coincide con el perodo establecido.i = 1.5 % efectivo trimestral.i = 1.5 % efectivo tirmetral, compuesto trimestralmentei = 1 % efectivo mensual, compuesto diariamente.i = 1 % efectivo mensual, compuesto diariamente.Expresiones de intersInters N EPerodo de capitalizacin15% anual, compuesto mensualmenteNominalMes25% anualEfectivoAo20% efectivo anual, compuesto mensualmenteEfectivoMes18% anual, compuesto trimestralmenteNominalTrimestre1.5% nominal mensual, compuesto semanalmenteNominalSemana1.5% mensualEfectivoMes1.5% mensual, compuesto mensualmenteEfectivoMes6% efectivo trimestralEfectivoTrimestre2% efectivo mensual, compuesto diariamenteEfectivoDiario1.5% semanal, compuesto continuamenteNominalContinua0.1% diario, compuesto continuamenteNominalContinuaPERIODO DE CAPITALIZACION (PC)=Perodo de intersFRECUENCIA DE PAGOS=Perodo de pago (PP)Depositar dinero mensualmente en cuenta que pagatasa inters nominal de 14% anual compuesto semestralmentePP =. 01 mesP C = 06 mesesDepositar dinero cada ao en cuenta de ahorros que capitaliza el inters trimestralmetePP = 01 aoPC = 3 mesesPara casos : primero hacer el diagrama, luego definir la relacin entre el PC y PPTASA DE INTERES EFECTIVACuanto es el VF de un depsito de 100 dlares, dentro de un ao, siaUn banco paga el 12% de inters compuesto anualmente.bOtro banco paga un inters compuesto semestralmenteaF = P (1+ i ) n100*(1.12)^1112.0F =b01 semestre1 ao12perodos de intersP= 100primer perodo100*(1.06)^1106.0segundo perodo106*(1.06)^1112.36diferencia capitalizacin0.36TASA DE INTERES EFECTIVA APARTIR DE LA TASA INTERES NOMINALi = ( 1+ r / m ) m - 1i = tasa de inters efectiva por perodor = tasa de inters nominal por perodoecuacin de tasa de inters efectivam = nmero de perodos de capitalizacinobservacin : la relacin " r/m ", siempre es igual a la tasa de inters por perodo de capitalizacin (tasa de inters efectiva)Una card tiene un i=2% mensual sobre el saldo no pagadoaCalcular la tasa efectiva por perodo semestralbSi i = 5% por trimestre, encontrar las tasas efectivas por perodos semestrales y anualesaPC = mensualSi se desea obtener "i" efectiva por semestre, entonces "r" debe ser la tasa nominal por 6 mesesr = 2% mensual x 6 meses (semestre)r= 12%, por semestrem = 6por que el inters est compuesto 6 veces (meses) en el perodo de 6 meses"i" para perodos de 6 mesesi = ( 1+ r / m ) m - 1i 6m = (1+ 0.12/6)6 - 10.1261624193bSi "i" = 5% por trimestre, eontonces el perodo de capitalizacin es trimestralPor lo anterior. En un semestre : m=2 ; r = 10%i 6m = (1+ 0.10/2)2 - 10.1025tasa de inters efectiva anual: r = 20% ; m = 4ia = (1+ 0.20/4)4 - 10.21550625r / m = 0.20/40.05capitalizacin 5% por trimestreComentario : Eni = ( 1+ r / m ) m - 1Unidades de tiempo para "i" , "r" deben ser siempre las mismasp.e. si se desea " i " por perodo semestral ;; " r " debe ser la tasa nominal por semestre" m " ser siempre igual al `numero de veces que el inters estara compuesto durante el perodo de tiempo para definir "i"Un fondo de ahorros publicita que su tasa de inters sobre los prstamos e 1% mensual.aCalcular la tasa de inters efectiva anuali=(1+0.01)^12-10.1268250301bEncontrar el factor P/F para 8 aosFVP PU=(P/F, 12.68%, 8)0.3858TASA DE INTERES CONTINUA PARA CAPITALIZACION CONTINUAConsiderandoi = ( 1+ r / m ) m - 1m = nmero de perodos de capitalizacinSi los perodos de capitalizacin disminuyen, el nmero de perodos de capitalizacin por perodos de inters ( "m"),se incrementanSi el inters se capitaliza en forma continua, "m" se acerca al infinito y la tasa de inters efectiva en la ecuacin puede escribirsei = e r - 1e = 2.71828ecuacin para calcular la tasa de inters efectiva continuaLos perodos de tiempo de "i" y "r", deben ser los mismos.Cual ser la tasa efectiva continua para una tasa nominal anual de 15% anuali = e 0.15 - 10.16183aPara una tasa de inters anual de 18% compuesto en forma continua, calcular "i" efectiva anual y mensualTasa de inters mensual, r = 18/121.50.015tasa efectiva mensuali = e 0.015 - 10.01511tasa efectiva anuali = e 0.18 - 10.19722bSi se requiere un retorno efectivo de por lo menos 15% sobre una inversin, cul ser la tasa mnima anual nominal aceptable, en un escenario de capitalizacin continua?i = e r - 1i = 15%r = ?0.15 = e r - 1e r = 0.15 + 1ln e r = ln 1.15r = ln 1.15 / ln 2.71828ln 1.15ln 2.718281.152.718280.13976194240.99999932730.1397620364r =0.1397620364Frmula general para encontrar la tasa nominal cuando la tasa efectiva continua "i" est dada, esr = ln ( 1 + i)Clculos para perodos de pagos iguales o mayores que los perodos de capitalizacinSituaciones en las que el Perodo de Pago ( p.e. un ao), es igual o mayor que el perodo de capitalizacin (p.e. un mes)CasosF.Efectivo, con uso de factores de pago nicoF.Efectivo, con uso de series uniformes o factores de gradientesFactores de pago nicoRequisitos a atender :Utilizar una tasa efectiva para "i"Las unidades en "n" deben ser las mismas que las de "i"Ejemplos de requisitos satisfechosTasa de inters efectiva," i"Unidades para "n"1% mensualmeses3.03 % trimestraltrimestres6.15% semestralsemestres12.08 % aosaos26.97% cada 2 aosperodo de dos aosPara un negocio futuro, un abuelo deposita 1000 dlares ahora, 3000 dentro de cuatro aos a partir de la fecha del primer depsito y 1500 dlares dentro de seis aos. La tasa de inters es 12% anual compuesto semestralmente. Cunto dinero tendr al cuarto ao, despus del ltimo depsito?Primera forma. Con tasa efectiva y perodos anualesSe requiere encontrar una tasa efectiva anuali = ( 1 + 0.12 /2) 2 - 1i = 0.1236F = 1000 (F/P, 12.36%, 10) + 3000 ( F/P, 12.36, 6) + 1500 (F/P, 12.36%, 4)F = 11, 634.5Segunda forma. Perodos semestrales y tasa efectiva 6% por semestre.F = 1000 (F/P, 6%, 20) + 3000 ( F/P, 6%, 12) + 1500 (F/P, 6%, 8)F = 11, 634.5Factores de serie uniforme y gradientesAnte todo determinar la relacin entre el PC y el PP.Caso 1PP igual a PCCaso 2PP mayor que PCCaso 3PP menor que PC(estudio posterior)ProcederContar nmero de pagos y utilizar ese nmero como "n"Encontrar la "i" efectiva durante el mismo perodo de tiempo que el de pagos ( = n)Utilizar los valores de "n" e "i" encontrados en las frmulas de factoresSe deposita 500 dlares cada 6 meses durante 7 aos. Cunto dinero se acumula despus del ltimo depsito si la tasa de inters mensual es 20% anual compuesto trimestralmente?PC menor que PP.trimestre vs semestreSe decide usar n = 14 = semestres totales (PP)i semestrali = (1+ 0.1/2)2 -1i = 0.1025por semestreF = A (F/A, 10.25% semestral, 14)F = 14,244.5Flujo de EfectivoTasa intersQue encontrar. Que est dadoNotacin financiera500 dlares semestralmente durante 5 aos16% anual, compuesto semestralmenteP / AP = 500 ( P / A, 8%, 10)75 dlares mensualmente durante 3 aos24% anual, compuesto mensualmenteF / AF = 75 ( F / A, 2%, 36)180 dlares trimestralmente durante 15 aos5% trimestralF / AF = 180 ( F / A, 5%, 60)Incremento de 25 dlares mensualmente durante 4 aos1% mensualP / GP = 25 ( P / G,1%, 48)5000 trimestralmente durante 6 aos1% mensualA / PA = 5000(A / P,3.03%, 24)La seora Robinson va a comprar un auto de segunda mano por 8500 dlares. Gestiona un prstamo para reembolsarlos mensualmente por cuatro aos. Si la tasa de inters nominal es de 12% anual compuesto mensualmente, cules sern sus cuotas mensuales?PC = anualPP = mensualCuotas mensualesPC= mensual ; 12 / 12 = 1% mensualPP= mensual; 4 x 12 = 48 mesesSe pide : F, P, A, G ?Aplicacin excel, funciones financierasA = P (A /P, 1%, 48) = 223.84 dlaresPrstamo8500Nro pagos48Tasa inters12%Pago mensual$-223.84Caso 3PP menor que PCProcedimiento depende de condiciones (o asumidas) en relacin a la capitalizacin interperidica(manejo de los pagos efectuados entre los perodos de capitalizacin). Tres casosaNo hay inters pagado sobre el dinero depositado (o retirado) entre los perodos de capitalizacinbEl dinero depositado ( o retirado) entre los perodos de capitalizacin gana un inters simplecTodas las transaccioines entre los perodos ganan un inters compuestoLa mayora de transacciones comunes se encuentran en "a"; se trabaja con "a"En la condicin "a", se asumeCualquier cantidad de dinero depositado o retirado entre los perodos de capitalizacin ha sido depositado al final del perodo de capitalizacin o retirada al principio de dicho perodo (bancos e instituciones financieras,dixit)9012045ao0123456789101112mes1502007510050Si en el flujo, el PC = trimestral, las transacciones a considerar en los clculos, sern90165ao0123456789101112mes15020017550Si la tasa de inters 12%, compuesto trimestralmente, para los flujos de efectivo indicados, cual es el VP ?Si se desea VP del flujo de efectivoel "r" / 40.03P = -150 -200 (P/F, 3%, 1) -85 (P/F, 3%,2) + 165(P/F,3%,3) - 50 (P/F,3%,4)-317.73Cuanto dinero acumula una persona que deposita 1000 dlares ahora y 100 dlares cada mes y retira 100 dlares cada dos meses durante 3 aos. Le pagan una tasa de inters anual de 6% sin intereses pagados entre los perodosUPOFACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMASINGENIERIA ECONOMICA. Docente : Eco. Wadley Valencia CoralDocente : Eco. Wadley Valencia CoralEXAMEN 2da SECCION (CAPACIDAD). . 02 junio 20111Con miras a tener dinero disponible para reemplazar su vehculo, Pedro planea tener 38,000 disponibles en 6 aos invirtiendo en un fondo mutuo global. Si ellos planean aumentar sus ahorrros en 7% cada ao. cunto deben invertir en el ao 1 si esperan ganar 14% anual sobre su inversin?2Una secuencia de flujo de efectivo se incia en el ao 1 en 1,000 y aumenta en 100 cada ao hasta el ao 7. Se pide : a) Diagrama de flujo de efectivo ; b) cantidad de flujo de efectivo en el ao 7; c) valor presente del gradiente en el diagrama; d) determinar el valor de n para la gradiente3Cuanto dinero acumula una persona que deposita 1000 dlares ahora y 100 dlares cada mes y retira 100 dlares cada dos meses durante 3 aos. Le pagan una tasa de inters anual de 6% sin intereses pagados entre los perodos4El seor Adn y la seora Jimena planean invertir 5000 dlares durante 10 aos a un 10% anual. Calcular el valor futuro para ambos si el seor Adn obtiene un inters compuesto anualmente y la seora Jimena tiene una capitalizacin continua5Si se depositan 2000 dlares cada ao durante 10 aos a una tasa de inters de 10% anual, comparar el VP para capitalizacin a) anual y b) capitalizacin continua6Qu depsito mensual sera equivalente a un depsito de 600 dlares cada 3 meses durante 2 aos, si la tasa de inters es 6% anual compuesto semestralmente? Asuma que no hay inters entre perodos sobre todos los depsitos

VP y Costo capitalizadoSILABUS. SECCION TERCERA. (CAPACIDAD 3)6. Evaluacin de valor presente y costo capitalizadoUna Q de VF convertida a VP es siempre menor que el flujo de efectivo real, debido a que para cualquier tasa de inters mayor que cero, todos los factors P/F tienen un valor menor que 1.0Calcular VP o VPN se conocen tambin como Flujo de efectivo descontadoVP de alternativas de vidas iguales.Gua para seleccionar alternativas usando VP o VPNUna alternativa. Si VP mayor o igual 0. La tasa de retorno requerida es lograda o excedida y la alternativa es financieramenta viableDos o ms alternativas. Cuando se trata de alternativas mutuamente excluyentes (slo se puede escoger una de ellas), se debe seleccionar aquella con el VP que sea mayor en trminos numricos, es decir menos negativo o ms positivo, indicando un VP de costos ms bajo o un VP ms alto de un flujo de efectivo neto de ingresos y desembolsosSi las alternativas tienen capacidades idnticas para el mismo perodo de tiempo, reciben el nombre de "alternativas de servicio igual"Comparar el VP de dos mquinas de servicio igual, con los costos que se indican y "i" 10% anualMquinas tipoABCosto inicial, dlares25003500Costo anual de operacin, dlares900700Valor salvamento, dlares200350Aos de vida55Diagrama de flujoVPA = -2500 -900(P/A,10%,5) + 200 (P/F,10%,5)VPA = - 5788VPB = -3500 -700(P/A,10%,5) + 350 (P/F,10%,5)VPB = - 5936Un agente viajero desea comprar un auto usado el ao 2011. Dispone de la siguiente informacin : costo 10,000 soles; el valor comercial dentro de 4 aos ser el 5%; el mantenimiento anual y los costos de seguro que va a pagar son 1500 soles; tendr un ingreso anual adicional debido a la capacidad de viaje de 5000 soles. El agente comercial busca obtener una tasa de retorno del 20% anual sobre su compra. Lo obtendr?VP = -698No obtiene retorno de 20% debido a que VP es menor que ceroSi VP fuese mayor que cero, la tasa de retorno hubiese excedido al 20% buscadoDiagrama de flujoSi VP fuese igual a cero, la tasa de retorno hubiese sido igual al 20% buscadoVPA = -10,000 -1500(P/A,20%,4) + 500 (P/F,20%,4)+5000 (P/A,20%,4)7. Clculo de tasas de retorno de proyecto nico y alternativas mltiplesProceso semejante al anterior, teniendo presente : las alternativas deben compararse durante el mismo nmero de aos. (servicio igual). Mtodos :aComparar las alternativas durante un perodo de tiempo igual al mnimo comn mltiplo (MCM) de sus vidasbComparar las alternativas utilizando un perodo de estudos de longitud "n" aos, que no necesariamente considera las vidas de las alternativas. Esto se denomina "enfoque de horizonte de planeacin"aComparar las alternativas durante un perodo de tiempo igual al mnimo comn mltiplo (MCM) de sus vidasElaborar un "servicio igual". Usar el MCM de las vidas entre las alternativasCostos de alternativas en todos los ciclos de vida posteriores sern los mismos que en el primeroEjemplo. Si se desean comparar alternativas con vidas de 3 aos y 2 aos, se evalan durante un perodo de 6 aos. El salvamento ( + -) debe incluirse y aparecer como un ingreso ( o costo) en diagrama de flujo de cada ciclo de vidabComparar las alternativas utilizando un perodo de estudos de longitud "n" aos, que no necesariamente considera las vidas de las alternativas. Esto se denomina "enfoque de horizonte de planeacin"Seleccionar un horizonte de tiempo sobre el cual debe efectuarse el anlisis. Slo aquellos flujos de efectivo que ocurren durante ese perodo, son consieerados relevantes. Utilizar un valor de salvamento ralista estimado al final del perodo de estudio para ambas alternativas.Decidir sobre dos excavadoras, segn :Mq AMq BCosto inicial, dlares1100018000Costo anual de operacin, dlares35003100Valor salvamento, dlares10002000Vida, aos69aDeterminar cul debe ser utilizada, comparando con VP, con i = 15% anualbSi se define un perodo de estudio de 5 aos; los VS se mantienen. Que mquina selecciona?cCul mquina debe elegirse en un horizonte de 6 aos, si se estima que el VS de mq B es de 6000 despus de 6 aos?VP A-11000 - 11000 (P/F, 15%,6) -11000(P/F,15%,12)+1000(P/F,15%,12)+1000(P/F,15%,18)-3500(P/A,15%,18)aVidas diferentes. MCM = 18 aos. Para ciclos de vida posteriores al primero, el primer costo se repite en el ao 0 del nuevo ciclo, que es el ltimo ao del ciclo anterior ( aos 6 y 12 de A y ao 9 de B). Diagrama de flujoVP A1000100010000123456789101112131415161718VP A= -38559 dlaresSelecciona mq A, menor costo110003500110003500110003500VP B= -41384 dlaresVP B200020000123456789101112131415161718bPara "horizonte de planeacin" de 5 aos, no se necesita repeticiones de ciclo. VS A = 1000 y VS B= 2000 en el ao 5. Diagrama de flujo180003500180003500VP B-18000 - 18000 (P/F, 15%,9) +2000(P/F,15%,9)+2000(P/F,15%,18)-3100(P/A,15%,18)VP A-22236Selecciona mq A, menor costoVP A-11000 - 3500 (P/A, 15%,5) +1000(P/F,15%,5)VP B-27937VP B-18000 - 3100 (P/A, 15%,5) +2000(P/F,15%,5)cHorizonte de planeacin de 6 aos. VS B = 6000 en ao 6. Diagrama de flujoVP A-23813VP A-11000 - 3500 (P/A, 15%,6) +1000(P/F,15%,6)Selecciona mq A, menor costoVP B-27138VP B-18000 - 3100 (P/A, 15%,6) +6000(P/F,15%,6)Observaciones. En a), VS se recupera cadad ciclo de vida. A : 6,12, 18; B: 9 y 18. En b) se asume que VS no cambian cuando el horizonte se acorta - esto no es una situacin general. En c) se incrementa VS B de 2000 a 6000 y Mq A se mantiene como menos costosa. Que VS B hace que Mq B sea preferible a A?Costo de Ciclo de Vida - CCVComprende el total de toda estimacin de costos considerada posible para un sistema con una larga vida, que va desde la fase diseo, manufactura, uso de campo, fase de desperdicios y reemplazo por un sistema nuevo, mucho ms avanzadoEl CCV incluye todos los costos calculados de servicio estimado, reposicin de partes, mejoramiento, desperdicios y los costos anticipados de reciclaje. Se aplica a proyectos con I + D, diseo y prueba de producto o un sistema con el cual se pretende realizar una labor especfica. Gobierno, Grandes Corporaciones : proyectos de defensa. Automviles tambin incorporar el CCV considerando por ejemplo : costo de diseo inicial, produccin, compra a medida que el auto recibe mantenimiento, reparaciones y finalmente se desechaCon CCV, los costos totales anticipados de una alternativa se estiman utilizando grandes categoras de costo como :Costos I + D (investigacin y desarrollo). Todos los gastos en diseo, fabricacin de prototipos, pruebas, planeacin de produccin, servicios de ingeniera, ingeniera de software, desarrollo de software y similares, relacionados con producto / servicioCostos de produccin. Inversin para producir o comprar el producto, incluyendo training para personal, transportes ( subensambles y el producto final), construir nuevas instalaciones y adquirir equipos.Costos de operacin y apoyo. Costos para operar, mantener, inventariar y manejar el producto durante toda su vida anticipada. Incluyen costos de adaptacin peridica y costos promedio si el sistema requiere recoger mercanca o efectuar reparaciones importantes en el servicio, con base en experiencias de costos para otros sistemas ya desarrollados.Con el factor P/F se completa el anlisis CCV al descontar los costos en cada categora al momento en que se realiza el anlisis.Diferencia de anlisis CCV y anlsis VPN (vidas iguales y vidas diferentes) es el esfuerzo de incluir todos los tipos de costos sobre el futuro a largo plazo. El CCV es tambin de utilidad cuando se utiliza en sistemas con largo horizonte de vida, de 15 a 30 aos, ejemplo: sistemas de radar, sistemas de aviones, armas y produccin industrial avanzada.El CCV puede utilizarse en proyectos de sector pblico, pero debido a la dificultad al estimar los Beneficios, Ingresos y Costos, la tasa de rendimiento requerida y otros factores en los que se arriesgan vidas humanas y de bienestar, los proyectos del sector pblico son evaluados comunmente usando el anlisis de Beneficio/CostoEnfoque de evaluacin CCV consiste en determinar el costo de cada alternativa durante toda su vida y seleccionar aqul con CCV mnimoTener presente que un anlisis VPN y su comparacin con todos los costos definidos estimados durante la vida de cada alternativa es igual al anlsis CCVCosto capitalizado. CCCC se refiere al VP de un proyecto cuya vida til se supone durar siempre. Ejm. Diques, sistemas de irrigacin, ferrocarriles, operaciones de universidades, iglesia y organizaciones de caridad. Se acepta que el CC comprende una secuencia infinita de flujos de efectivoProcedimiento para calcular CC de una secuencia infinita de flujos de efectivo :1Diagrama de flujo. Todos los costos (y/o ingresos) no recurrentes (una vez( y por lo menos dos ciclos de todos los costos y entradas recurrentes (peridicas)2VP de todas las cantidades no recurrentes3Valor Anual uniforme equivalente (VA) durante un ciclo de vida de todas las cantidades recurrentes y agregar esto a todas las dems cantidades uniformes que ocurren en lso aos 1 hasta infinito, lo cual genera un valor anual uniforme equivalente total (VA)4Dividir el VA obtenido en el paso 3 mediante la tasa de inters " i" para lograr el costo capitalizado. CC = VA / i; a partir de P/A se obtiene P = A/i5Agregar el valor obtenido en el paso 2 el valor logrado en el paso 4Demo: si se depositan 10,000 en cuenta de ahorros al 20% anual de inters compuesto anualmente, la cantidad mxima de dinero que puede retirarse al final de cada ao, eternamente es 2,000CC es otra denominacin para el VP de una secuencia de flujo de efectivo perpetuo.A = P i2000=1000 x 0.2P = A / iCalcular el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de 150 000 dlares y un costo de inversin adicional de 50 000 dlareas despus de 10 aos. El costo anual de operacin ser de 5 000 dlares durante los primeros 4 aos y 8 000 de all en adelante. Adems se espera que haya un costo de adaptacin considerable de tipo recurrente por 15 000 dlares cada 13 aos. Asumir un i = 15% anual1Diagrama de flujoi = 15 % anual012345678910121420262VP de costos no recurrentes (150,000 ahora, 50,000 ao 10)P= -150000 -50000 (P/F, 15%,10)=-162360500080003Convertir Costo recurrente de 15,000 cada 13 aos en un Valor Anual, durante los primeros 13 aos1500015000A = -15000 (A/F,15%,13)=-43750000observacin : el mismo valor A = -437 se aplica tambin a todos los dems perodos de 13 aos1500004El costo capitalizado para la serie de costo anual de 5,000 puede ser calculado :aConsiderar una serie de 5,000 desde ahora hasta el infinito y encontrar el valor presente de -8000 - (-5000) = -3000 del ao 5 en adelantebEncontrar el VP de -5,000 durante 4 aos y el VP de -8,000 del ao 5 hasta infinito.aSe encuentra que el costo anual A2 es -5,000 y el valor presente P2 es -3000 desde el ao 5 hasta infinitoCon la ecuacin P = A / i y el factor P/F8. Razn beneficio/costo9. Anlisis de sensibilidad.