Clase+4_CE

CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

TEMA 4

ENERGÍA Y POTENCIAL

Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez

Ciclo Ene – Abr 2010 San Cristóbal, RD

TABLA DE CONTENIDO

1. ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO

2. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL

3. CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL

4. EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA

5. GRADIENTE DE POTENCIAL

6. EL DIPOLO

7. DENSIDAD DE ENERGÍA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO

ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO

Fuerza y TrabajoSupongamos que queremos desplazar una carga Q desde el punto A hasta el punto B en un campo eléctrico E, como se muestra en la siguiente figura :

Basado en la Ley de Coulomb, la fuerza sobre Q es : F=QE. 1

El trabajo (gasto de energía) realizado en el desplazamiento de la carga por dl es :

El signo negativo indica que el trabajo es realizado por un agente externo. El trabajo total, o la energía potencial requerida para mover Q de A a B es:

El trabajo realizado es independiente de la trayectoria tomada si el campo es electrostático.

LELF dQddW

B

A

dQW LE

2

Diferencial dL en los sistemas de coordenadas

a)Rectangular

b)Cilíndrica

c)Esférica

ENERGÍA PARA MOVER UNA CARGA PUNTUAL EN UN CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)

aaraL

aaaL

aaaL

drrddd

dzddd

dzdydxd

r

z

zyx

sin

Conviene recordar …

3

Ejemplo 4.1:

Se proporciona el campo no uniforme E=yax+xay+2az y se pide determinar el trabajo realizado en transportar una carga de 2C de B(1,0,1) a A(0.8,0.6,1) a través del arco más corto del círculo x2+y2=1 en z=1.

Solución:

1.Recordamos que el diferencial de trayectoria dL en coordenadas cartesianas es : dxax+dyay+dzaz.

final

inicial

dQW LE.

2. Sustituimos datos del problema y el diferencial dL en la Ecuación :

3. Resultando :

JW

W

yyyxxxW

dyydxxW

dzxdyydxW

dzdydxxyWfinal

inicial

zyxzyx

96.0

00644.048.0571.10927.048.0

sin1sin1

01212

422

22

6.0

012

8.0

112

6.0

0

28.0

1

2

6.0

0

01

1

8.0

1

aaaaaa


4

D4.1

Dado el campo eléctrico V/m, encontrar la cantidad diferencial de trabajo para mover una carga de 6 nC una distancia de 2μm, comenzando en P(2,-2,3) y procediendo en la dirección aL :

a)→

b)→

c)→

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:a)-149.3 fJb)149.3 fJc)0


yx

yx

yx

z

z

aa

aaa

aaa

7

6

7

37

2

7

3

7

67

2

7

3

7

6

zyx yxzxxyzz

aaaE 222

4481

5

Ejemplo 4.2:

Determine el trabajo realizado en cada caso. Ver figuras.

(a) Una trayectoria circular. (b) Una trayectoria recta radial a lo largo de las cuales una carga Q es trasladada en el campo creado por una línea de carga infinita.


6

Ejemplo 4.2 (Cont.):

Solución Caso A :


0

2

2

0

110

W

dQW

dQW

final

inicial

L

final

inicial

L

aa

aa

Solución Caso B :

a

bQW

dQW

dQW

L

b

a

L

final

inicial

L

ln2

2

2

0

0

0

aa

La diferencia de potencial VAB es el trabajo que realiza un agente externo para mover una unidad de carga positiva de un punto a otro en un campo eléctrico. Esto es :

7

DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL

B

A

AB dQ

WV LE

Diferencia de Potencial = Trabajo por unidad de Carga, y se mide en joules por coulomb, comúnmente llamada volt (V).

Notas importantes :

1.Al determinar VAB, A es el punto inicial y B es el punto final.2.Si VAB es negativo, una pérdida de energía potencial en el desplazamiento de Q de A a B, y esto implica que el trabajo es realizado por el campo.3.Si VAB es positivo, hay una ganancia de energía potencial en el desplazamiento, y esto implica que el trabajo es realizado por un agente externo.4.VAB es independiente de la trayectoria adoptada.

8

Ejemplo 4.3:

Determine el trabajo realizado en cada caso. Ver figuras.


Solución :

Observe que se trata del escenario mostrado en el ejemplo 4.2., en donde verificamos que :

Y como la diferencia de potencial es trabajo por unidad de carga, entonces :

a

bQW L ln

2 0

A

B

Q

WV L

AB ln2 0

Cuando un campo E se debe a una carga puntual en el origen, entonces :

Cuando la diferencia de potencial se mide con relación a un punto de referencia igual a cero, normalmente se utiliza el término : Potencial o Potencial Absoluto.

9

DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL (CONT.)

ABAB

r

r

rrAB

rr

QV

drr

QV

B

A

11

4

4

0

20

aa

Si VAB =VB-VA, entonces VA y VB

se miden con relación al punto de referencia cero. El potencial cero se supone en el infinito.

El potencial en una distancia r desde la carga puntual, es el trabajo por unidad de carga realizado por un agente externo para transferir una carga de prueba del infinito a ese punto. Esto es:

r

dV LE

10

Ejemplo 4.4:

Dos cargas puntuales de -4μC y 5 μC se localizan en (2,-1,3) y (0,4,-2), respectivamente. Halle el potencial en (1,0,1), suponiendo potencial cero en el infinito.


Evaluando distancias, se verifica que:

Por tanto,

263,4,12,4,01,0,1

62,1,13,1,21,0,1

2

1

rr

rr

Solución :

Sea

Si V(∞)=0, C=0, reduciendo la expresión a:

CQQ

V

20

2

10

1

44 rrrrr

20

2

10

1

44 rrrrr

QQ

V

kVV

V

872.51,0,1

26

5

6

4

3610

4

101,0,1 9

6

11

D4.4

Un campo eléctrico se expresa en coordenadas cartesianas como V/m. Encontrar :

a)VMN si los puntos M y N están definidos como M(2,6,-1) y N(-3,-3,2).

b)VM si V=0 en Q(4,-2-35).

c)VN si V=2 en P(1,2,-4).


Respuestas:a)-139.0 Vb)-120.0 Vc)19.0 V

zyx yx aaaE 466 2

DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL (CONT.)

Recordamos la expresión :

La diferencia de potencial solo depende de la distancia de cada punto a la carga y no de la trayectoria utilizada para mover la carga de un punto a otro.

También recordamos que para definir un potencial con referencia cero, se hace V=0 en el infinito.

12

CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL

ABAB rr

QV

11

4 0

Por tanto, VAB=VB-VA=VB si A tiene r → ∞. De lo contrario VAB=VB + C.

Otros detalles :

(1)El potencial es un campo escalar.(2)Superficie Equipotencial : Se compone de aquellos puntos cuyo potencial tiene el mismo valor.

13

D4.5

Una carga puntual de 15 nC se encuentra en el espacio libre situada en el origen. Calcular V1 si el punto P1 se encuentra en (-2,3,-1) :

a)y V=0 en (6,5,4).

b)y V=0 en el infinito.

c)y V=5V en (2,0,4).


Respuestas:a)20.67 Vb)36.0 Vc)10.89 V

CAMPO DE POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL

Potencial n Cargas Puntuales :

El potencial debido a n cargas puntuales se expresa :

Reemplazando cada carga puntual por elementos de distribución de carga continuas y evaluando en el límite, se tiene :

14

EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA

n

m m

m

n

n

QV

QQQV

1 0

020

2

10

1

4

444

rrr

rrrrrrr

v

v

v

S

v

L

aVolumétricDistribdv

V

lSuperficiaDistribdS

V

LinealDistribdL

V

.'

4

.'

4

.'

4

0

0

0

r'rr'

r

r'rr'

r

r'rr'

r

PUNTUALIZACIONES

(1)No se realiza trabajo cuando una carga se lleva por cualquier trayectoria cerrada, es decir:

(2)La ecuación anterior sólo es válida para campos estáticos, y se le conoce como ley de kirchhoff para voltajes.

(3)Cualquier campo de fuerza que satisface la ecuación presentada en (1), se le llama campo conservativo, debido a que no es necesario realizar trabajo, es decir, la energía se conserva a lo largo de la trayectoria cerrada.

(4)Ej. El campo gravitacional es conservativo.

(5)En un campo no conservativo, la integral de línea puede dar cero para algunas trayectorias cerradas.

15

EL CAMPO DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS : PROPIEDAD CONSERVATIVA (CONT.)

0LE d

16

D4.6

Suponiendo que la referencia cero se halla en el infinito, encuentre el potencial en (0,0,2) que causa la siguiente configuración de carga en el espacio libre :

a)12 nC/m en la línea ρ=2.5m, z=0.

b)Una carga puntual de 18 nC en (1,2,-1).

c)12 nC/m en la línea y=2.5m, z=0.


Respuestas:a)529 Vb)43.2 Vc)67.4 V


17

D4.7

La figura siguiente muestra una porción de un potencial bidimensional (Ez=0). Las líneas de la cuadrícula tienen una separación de 1mm en el campo real. Determine de una manera aproximada los valores para E en coordenadas cartesianas en :

1.a2.b3.cEjercicio para realizar en el salón.

Respuestas:a)-1075ay V/mb)-600ax -700ay V/mc)-500ax -650ay V/m


18

Gradiente de un Escalar

El gradiente de un campo escalar V es un vector que representa tanto la magnitud como la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de V. Evaluando la diferencia en el campo dV entre los puntos P1 y P2, donde V1, V2 y V3 son contornos de superficies equipotenciales.

GRADIENTE DE POTENCIAL

Por tanto,

19

Gradiente de un Escalar (Cont.)

Matemáticamente :

De forma simplificada,

Por tanto,

GRADIENTE DE POTENCIAL (CONT.)

zyxzyx dzdydxz

V

y

V

x

VdV

dzz

Vdy

y

Vdx

x

VdV

aaaaaa

zyx z

V

y

V

x

VaaaG

cos

cos

GdL

dV

dLGddV

LG

20


Gradiente de un Escalar (Cont.)

Como dL es el desplazamiento diferencial de P1 a P2 y theta es el ángulo entre G y dL, de la ecuación anterior se deduce que el valor máximo se obtiene cuando theta =0, o sea cuando dL está en la dirección de G.

(dV/dN) es la derivada normal. Por definición G es el grandiente de V, de modo que:

GdN

dV

dL

dV

máx

EsféricasCoordV

r

V

rr

VVVgrad

sCilindricaCoordz

VVVVVgrad

sCartesianaCoordz

V

y

V

x

VVVgrad

r

z

zyx

.sin

11

.1

.

aaa

aaa

aaa

21


Características Operaciones Gradiente

Propiedades Fundamentales del Gradiente :

1.La magnitud de equivale a la máxima rapidez de cambio en V por unidad de distancia.2. V apunta en la dirección de la máxima rapidez de cambio en V.

VnVV

U

UVVV

U

V

VUUVUV

UVUV

nn

1

2

3. V en cualquier punto es perpendicular a la superficie constante V que pasa por ese punto (verificar puntos P y Q en la figura anterior).

4. La proyección o componente de V en la dirección de un vector unitario a es V.a y se llama derivada direccional de V a lo largo de a.

5. Si A= V, se dice que V es el potencial escalar de A.

22


Relación entre E y V:

Recordamos que

Y que E es perpendicular a las equipotenciales, por tanto, despejando se determina que:

Por tanto,

L

dV LE

NdN

dVaE G

dN

dV

dL

dV

máx

VVgrad E

23


Ejemplo 4.5

Dado el campo vectorial V=2x2y-5z y el punto P (-4,3,6), se desea encontrar algunos valores numéricos en el punto P:(a)El potencial V(b)La intensidad de Campo Eléctrico E.(c)La dirección de E.(d)La densidad de flujo D.(e)La densidad volumétrica de carga ρv.

Solución :

1.El potencial en P(-4,5,6) es: VP=2(-4)2(3)-5(6)=66 Volts

2. Luego utilizamos la operación gradiente:

3. El valor de E en el punto P es:

4. La dirección de E en P la da el vector unitario.

mVxxyV zyx aaaE 524 2

mVE

mV

zyx

9.575)32(48

53248

222

aaaE

zyxP

zyxP

aaaa

aaaa

E

E

086.0553.0829.0

9.57/)53248(

,

,

24


Solución (Cont.):

5.Suponiendo que los campos se encuentran en el espacio libre, tenemos que:

6.Recordemos la Ley de gauss en forma puntual:

32

0 3.4471.174.35m

pCxxy zyx aaaED

34.35m

pCyv D

25

El Dipolo Eléctrico

El dipolo eléctrico es el nombre dado a dos cargas puntuales de igual magnitud y signo contrario, separadas por una distancia pequeña comparada con la distancia al punto P en el cual se desea conocer los campos eléctricos y potencial.

El la siguiente figura se muestra un dipolo:

(a)Muestra la geometría del problema del dipolo eléctrico. El momento dipolar p=Qd está en la dirección de az.

(b)Para un punto lejano P, R1 es esencialmente paralelo a R2, por lo que R2-R1=dcosθ.

EL DIPOLO ELÉCTRICO

26

El Dipolo Eléctrico (Cont.)

Sean las distancias de Q y –Q a P denotadas por R1 y R2, respectivamente. El potencial total se expresa como:

Para un punto muy distante con respecto a las cargas, se tiene que R1=R2, transformando el producto R1 R2 en r2. En el ejercicio, de suponer que R1 es paralelo a R2 se verifica que R2-R1=dcosθ, resultando que:

EL DIPOLO ELÉCTRICO (CONT.)

21

12

0210 4

11

4 RR

RRQ

RR

QV

204

cos

r

QdV

27


La definición del campo, en estas condiciones (z=0, θ=90°), se determinan a partir del gradiente. En coordenadas esféricas se tiene:


aaE

aaE

aaaE

sincos24

4

sin

2

cos

sin

11

30

30

30

r

r

r

r

Qd

r

Qd

r

Qd

V

r

V

rr

VV

Ecuaciones válidas para un punto distante.

28


El potencial del dipolo se puede simplificar utilizando la definición del momento dipolar.

Como p=Qd [C.m] , y d.ar=dcosθ, generalizamos como:

donde,

r determina la localización del campo en el punto P, yr’el centro del dipolo.


'

'

'4

12

0rrrr

prr

V

Han escuchado el término multipolo. Los mismos son arreglos simétricos con un gran número de cargas puntuales que producen campos que disminuyen con el inverso de r elevado a un exponente cada vez mayor.

29

D4.9

Un dipolo eléctrico ubicado en el origen en el espacio libre tiene un momento p=3ax-2ay+az nC.m. Encontrar:

(a)V en PA(2,3,4).(b)V en r=2.5, θ=30°,φ=40°.


Respuestas:a)0.23Vb)1.97 V


30

RECORDANDO

Trasladar una carga Q1 desde el infinito a cualquier posición no requiere trabajo, ya que no hay campo presente.

Si queremos posicionar otra carga Q2 en algún punto del campo de Q1, se tiene:

Adicionando cargas en el campo de las ya presentes:

El trabajo total es la energía potencial del campo y se obtiene sumando cada contribución, esto es:

DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO

1,222VQWposQ

3,442,441,44

2,331,33

4

3

VQVQVQW

VQVQW

posQ

posQ

3,442,441,442,331,331,22 VQVQVQVQVQVQWE

31

Conviene precisar que:

Quiere decir que la ecuación:

Se puede expresar en la forma:

Sumando ambas expresiones, se tiene:

DENSIDAD DE ENERGÍA EN EL CAMPO ELECTROSTÁTICO (CONT.)

310

31

130

131,33 44 R

QQ

R

QQVQ

3,442,441,442,331,331,22 VQVQVQVQVQVQWE

4,334,224,113,223,112,11 VQVQVQVQVQVQWE

4,32,31,33

4,23,21,22

4,13,12,112

VVVQ

VVVQ

VVVQWE

32

La suma de los potenciales entre paréntesis corresponde al potencial debido a todas las cargas, exceptuando aquella donde se evalúa el potencial resultante. Por tanto, el potencial en la posición de Q1 debido a las cargas Q2, Q3, Q4, … es:

De manera que la energía potencial es:

Si la distribución de carga es continua, la expresión que resulta es:


4,13,12,11 VVVV

N

mmmE VQVQVQVQW

1332211 2

1

2

1

vol

vE VdvW 2

1

33

Sustituyendo la primera ecuación de Maxwell en su forma puntual se tiene:

Recordando que el Teorema de la Divergencia establece que:

Podemos hacer la siguiente transformación:

En este caso, la integral de superficie es igual a cero cuando se evalúa en el límite r→∞, debido a que en la superficie cerrada que rodea el universo, V se aproxima a cero en (1/r), y D lo hace en (1/r2).


vol

E

volvol

vE

dvVVW

VdvVdvW

DD

D

2

1

2

1

2

1

S vol

dvd DSD

volS

E dvVdVW .2

1.

2

1DSD

34

De lo comentado se verifica:

Recordando que el campo es función del gradiente de potencial:

Sustituyendo :


vol

E dvVW .2

1D

VE

volvol

E dvEdvW 202

1.

2

1 ED

35

Ejemplo 4.6

Calcular la energía almacenada en el campo electrostático de una sección de un cable coaxial.

Solución :

1.Recordemos que:

2.De manera que el campo eléctrico se expresa:

3. Sustituyendo en WE, se tiene:

4. Recuerde que la carga total del conductor interno es :

5. Si se considera al conductor externo como una referencia cero, en el cilindro interno se verifica:

6. Sustituyendo se tiene:


sa

D

aE0

sa

a

bLaW

dzdda

W

sE

L b

a

sE

ln

2

1

0

22

0

2

022

0

22

0

saLQ 2

aE QVW2

1

a

b

ssa

b

a a

bad

adEV ln

00

Familiar… Verdad!

36

D4.11

Encontrar la energía almacenada en el espacio libre en la región 2 mm < r < 3mm, 0 < θ < 90°, 0 < φ < 90°, dado el campo de potencial V igual a:

(a)→

(b)→


Respuestas:a)46.4 μJb)36.7 J


Vr

Vr

2

cos300

200

GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN

Documents

Clase+4_CE