Clase No 3 Fundamentos de Estadistica

Ejemplo para una variable discretaTabla de Frecuencias para datos agrupados

Indicadores de Tendencia Central para datos agrupadosIndicadores de Dispersion para datos agrupados

Estadıstica DescriptivaEjemplo para una variable discreta, Tabla de Frecuencia para

datos agrupados, Indicadores de Tendencia Central y Dispersion

Diego Alejandro Castro

Profesor AuxiliarEscuela de Ingenierıa Industrial y Estadıstica

Facultad de IngenierıaUniversidad del Valle

Cali-Colombia

Clase 3, Primer Semestre 2011

Diego Alejandro Castro Estadıstica Descriptiva



Ejemplo: El gobierno desea averiguar si el numero medio de hijospor familia ha descendido respecto de la decada anterior. Para ello haencuestado a 50 familias respecto al numero de hijos, y ha obtenidolos siguientes datos:

2 2 2 6 33 0 3 4 34 4 2 2 23 3 2 2 32 2 2 3 34 2 2 3 23 3 3 2 35 1 3 2 21 0 2 2 42 2 1 4 1




Ejemplo

Determine:

1 ¿Cual es la poblacion objeto de estudio?

2 ¿Que variable se esta analizando?

3 ¿Que tipo de variable es y cual es la escala de medicion?

4 ¿Construir la tabla de frecuencias?

5 ¿Cual es el numero de familias que tiene como maximo 2hijos?

6 ¿Cuantas familias tienen mas de 1 hijo, pero como maximo 3?

7 ¿Que porcentaje de familias tiene mas de 3 hijos?




Solucion

1) La poblacion objeto de estudio es el conjunto de familias de undeterminado paıs.

2) La variable que estamos estudiando es el numero de hijos porfamilia.

3) El tipo de variable es cuantitativa discreta ya que el numero dehijos solo puede tomar determinados valores enteros (es imposibletener medio o un cuarto de hijo) y la escala de medicion es derazon.




Solucion

4) Para construir la tabla de frecuencias tenemos que ver cuantasfamilias tienen un determinado numero de hijos. Podemos ver queel numero de hijos, toma los valores existentes entre 0 y 6 hijos:

Cuadro: Tabla de frecuencias para el numero de hijos por familia

Xi ni Ni hi Hi

0 2 2 0,04 0,041 4 6 0,08 0,122 21 27 0,42 0,543 15 42 0,30 0,844 6 48 0,12 0,965 1 49 0,02 0,986 1 50 0,02 1

50 1




Solucion

5) El numero de familias que tienen dos o menos hijos es: 2+4+21 =27

6) El numero de familias que tienen mas de un hijo pero tres comomaximo es: 21 + 15 = 36

7) Por ultimo el porcentaje de familias que tiene mas de tres hijos,son aquellos que tienen 4, 5 o 6 es decir 6 + 1 + 1 = 8

La frecuencia relativa de dichos valores multiplicado por 100 es:(8/50) ∗ 100 = 16 %, esto quiere decir, que por cada 100 familias,por lo menos 16 de ellas tendran 4 o mas hijos.




Pasos para construir la Tabla de Frecuencias

Tabla de Frecuencias para una variable continua

Supongase que se tiene observaciones sobre la estructura de las per-sonas que conforman una muestra de tamano 25 y que el instru-mento de medicion usado tiene precision hasta las centesimas demilımetro, ası pues un valor podrıa ser 1,74325 metros.

Si se pretendiera aplicar el procedimiento que se uso para variablesdiscretas, habrıa varios problemas, uno de ellos es que seguramente,todos los datos son distintos, lo cual generarıa una tabla de frecuen-cias absolutas con el mismo nivel de informacion que la muestrabruta.






No es de interes conocer con ese nivel de detalle la informacion,por ejemplo, no es de interes conocer cuantas personas tienen unaestatura de 1,74325 metros. En estos casos, es mas facil agrupar lainformacion en los llamados intervalos de clase.






Cuando nos encontramos con una distribucion con un gran numerode datos, se suelen agrupar en intervalos para facilitar la comprensionde los datos. Esta practica tiene en cambio un inconveniente, debidoa que se pierde informacion sobre la propia distribucion.

El intervalo viene dado de la forma: (Li−1 - Li ]. Se indica por Li−1

al extremo inferior del intervalo y por Li al extremo superior.





Ejemplo:

(3, 5]: Son todos los valores mayores que 3, pero menores oiguales a 5.

[3, 5]: Son todos los valores mayores o iguales a 3, pero menoreso iguales a 5.

Para operar se utilizara la marca de clase, el cual es el punto mediode un intervalo. La marca de clase se define como:

Xi =Li + Li−1

2(1)

Para el ejemplo se tiene: Xi = (5 + 3)/2 = 4





¿Como obtener, a partir de los datos, una tabla defrecuencias agrupada?

Paso 1. Numero de Clases (Regla de Sturgles):

m = 1 + 3, 3Log(n)

Paso 2. Se calcula el Rango:

r = XMax − XMin





Como obtener, a partir de los datos, una tabla defrecuencias agrupada?

Paso 3. Amplitud del Intervalo:

Ci =rango

m; i = 1, 2, 3, ...,m

Paso 4. Definir los lımites de cada intervalo (punto de arranque):

L0 = XMin − (m ∗ ci − rango

2)





Como obtener, a partir de los datos, una tabla defrecuencias agrupada?

Los demas intervalos se definen como:

L1 = L0 + C1

L2 = L1 + C2

L3 = L2 + C3

.

.

.

Lm = Lm−1 + Cm





¿Como obtener, a partir de los datos, una tabla defrecuencias agrupada?

Paso 5. Calcular las marcas de clase Xi

Xi =Li + Li−1

2

Si los intervalos no son de la misma amplitud hay que calcular lafuncion empırica de densidad del intervalo i-esimo, como el cocienteentre la frecuencia relativa de un intervalo y la amplitud del mismo:

h∗i =hiCi





Ejemplo para una variable continua

Se considero una muestra aleatoria de 40 empleados de una de-terminada empresa, a los cuales se les pregunto el salario mensual(millones de pesos) que recibıan.

3, 9 3, 7 4, 3 5, 0 5, 15, 3 4, 3 6, 0 5, 1 4, 43, 3 4, 1 4, 4 6, 1 5, 34, 0 3, 9 3, 3 4, 7 4, 54, 7 5, 6 4, 9 6, 1 4, 53, 9 5, 0 4, 7 4, 2 5, 84, 3 5, 8 4, 8 4, 3 4, 55, 4 4, 7 4, 5 4, 2 4, 8





Ejemplo para una variable continua

Determine:

1 ¿Cual es la poblacion objeto de estudio?

2 ¿Que variable se esta analizando?

3 ¿Que tipo de variable es y cual es la escala de medicion?

4 ¿Que problema plantea la construccion de la tabla de frecuen-cias?

5 ¿Cuantos empleados tienen un salario entre 3, 2 y 3, 7 millonespor mes?

6 ¿Determine el porcentaje de empleados que tienen un salariomensual superior a 4, 7 millones de pesos?

7 ¿Que porcentaje de empleados ganan a lo sumo 4, 2 millonesde pesos por mes?





Solucion

1) La poblacion objeto de estudio son los empleados de la empresa

2) La variable que se esta analizando es el salario mensual de losempleados

3) El tipo de variable es cuantitativa-continua y la escala de mediciones de razon.

4) El problema que plantea es que existen muchos valoresdiferentes, por tanto es bueno agrupar el conjunto de datos enintervalos de clase, ademas la variable que se esta analizando escontinua.





Solucion

Paso 1. Numero de Clases:

m = 1 + 3, 3Log(n) = 1 + 3, 3Log(40) = 6, 28 ∼= 6

Paso 2. Se calcula el rango:

r = 6, 1− 3, 3 = 2, 8

Paso 3. Se calcula la amplitud del intervalo:

Ci =2, 8

6= 0, 46 ∼= 0, 5





Solucion

Paso 4. Definir los limites de cada intervalo:

L0 = XMin − (m∗ci−rango2 ) = 3, 3−

(6∗0,50−2,8

2

)= 3, 3− 0, 1 = 3, 2

L1 = 3, 2 + 0, 5 = 3, 7L2 = 3, 7 + 0, 5 = 4, 2L3 = 4, 2 + 0, 5 = 4, 7L4 = 4, 7 + 0, 5 = 5, 2L5 = 5, 2 + 0, 5 = 5, 7L6 = 5, 7 + 0, 5 = 6, 2

Paso 5. Las marcas de clase se presentan en la tabla de frecuencias.





Solucion

De esta manera:

Cuadro: Tabla de frecuencias para el salario mensual de los empleados

(Li−1 - Li ] Xi ni hi Ni Hi

(3, 2− 3, 7] 3, 45 3 0, 075 3 0, 075(3, 7− 4, 2] 3, 95 7 0, 175 10 0, 25(4, 2− 4, 7] 4, 45 15 0, 375 25 0, 625(4, 7− 5, 2] 4, 95 6 0, 15 31 0, 775(5, 2− 5, 7] 5, 45 4 0, 10 35 0, 875(5, 7− 6, 2] 5, 95 5 0, 125 40 1

Total 40 1





Solucion

5) Tres empleados tienen un salario mensual entre $3, 2 millones y$3, 7 millones

6) Se determina el porcentaje de empleados que tienen un salariomensual superior a $4, 7 millones

El numero de empleados que tienen un salario mensual porencima de $4,7 millones es 6 + 4 + 5 = 15

El porcentaje viene dado por (15/40) ∗ 100 = 37, 5 %





Solucion

7) Se determina el porcentaje de empleados que tienen un salariomenor o igual a $4, 2 millones

El numero de empleados que tienen un salario menor o igual a$4, 2 millones es 3 + 7 = 10

El porcentaje es: (10/40) ∗ 100 = 25 %

La amplitud es de 0, 46 por lo que ademas no es facil operar, debidoa que no cubre el rango de la variable. Se puede evitar considerandoun valor superior, en este caso 0, 50.




Media AritmeticaMedianaModa

Media Aritmetica

La expresion general para calcular la media aritmetica para datosagrupados por intervalos de clase, viene dada por:

x =

n∑i=1

nixi

n =n∑

i=1

hixi





Media Aritmetica


(3, 2− 3, 7] 3, 45 3 0, 075 3 0, 075(3, 7− 4, 2] 3, 95 7 0, 175 10 0, 25(4, 2− 4, 7] 4, 45 15 0, 375 25 0, 625(4, 7− 5, 2] 4, 95 6 0, 15 31 0, 775(5, 2− 5, 7] 5, 45 4 0, 10 35 0, 875(5, 7− 6, 2] 5, 95 5 0, 125 40 1

x =n∑

i=1

hixi = 0, 075 ∗ 3, 45 + 0, 175 ∗ 3, 95 + 0, 375 ∗ 4, 45 +

0, 15 ∗ 4, 95 + 0, 10 ∗ 5, 45 + 0, 125 ∗ 5, 95 = $4, 65

El salario promedio mensual de los empleados de la compania es$4, 65 millones.





Mediana

La mediana es el punto cuya frecuencia relativa acumulada es 0, 50,es decir, la mediana es el valor X tal que:

H(X)=0,50

Se considera la clase donde se encuentra por lo menos el 50 % delconjunto de datos acumulados. La expresion matematica viene dadapor:

Me = Li−1 +

(0, 50− H(Li−1)

hi

)Ci

donde hi es la frecuencia relativa del intervalo de clase quecontiene por lo menos el 50 % de los datos acumulados.





Mediana


(3, 2− 3, 7] 3, 45 3 0, 075 3 0, 075(3, 7− 4, 2] 3, 95 7 0, 175 10 0, 25(4, 2− 4, 7] 4, 45 15 0, 375 25 0, 625(4, 7− 5, 2] 4, 95 6 0, 15 31 0, 775(5, 2− 5, 7] 5, 45 4 0, 10 35 0, 875(5, 7− 6, 2] 5, 95 5 0, 125 40 1

Me = Li−1 +

(0, 50− H(Li−1)

hi

)Ci

Me = 4, 2 +

(0, 50− 0, 25

0, 375

)0, 50 = 4, 5333





Mediana

El 50 % de los empleados de la companıa tienen un salario mensualmayor o igual a $4, 5333 millones, mientras que el 50 % restantetienen un salario menor a este valor.





Moda

Cuando se trata de una variable de naturaleza continua, la modacorresponde a los valores alrededor de los cuales se produce unamayor concentracion de datos, es decir, los puntos de mayor densidadde frecuencia.

Cuando C1 = C2 = C3 = ... = Cm = k , donde k es unaconstante, la moda viene dada por:

Mo = Li−1 +

(hi − hi−1

2hi − hi−1 − hi+1

)Ci





Moda

Si la amplitud de los intervalos es diferentes, la expresionmatematica para la Moda es:

Mo = Li−1 +

hiCi− hi−1

Ci−1

2hiCi− hi−1

Ci−1− hi+1

Ci+1

Ci





Moda


(3, 2− 3, 7] 3, 45 3 0, 075 3 0, 075(3, 7− 4, 2] 3, 95 7 0, 175 10 0, 25(4, 2− 4, 7] 4, 45 15 0, 375 25 0, 625(4, 7− 5, 2] 4, 95 6 0, 15 31 0, 775(5, 2− 5, 7] 5, 45 4 0, 10 35 0, 875(5, 7− 6, 2] 5, 95 5 0, 125 40 1

La clase con mayor densidad de frecuencias es (4, 2− 4, 7].

Mo = Li−1 +

(hi − hi−1

2hi − hi−1 − hi+1

)Ci

Mo = 4, 2 +

(0, 375− 0, 175

2 ∗ 0, 375− 0, 175− 0, 15

)∗ 0, 50 = $4, 435





Moda

El salario mensual que tiene un mayor numero de empleados en lacompanıa es de $4, 435 millones.




RangoVarianzaDesviacion estandar

Rango

La expresion general para calcular el rango para datos agrupados porintervalos de clases es:

r = Lm − L0

Se resta el limite superior del ultimo intervalo de clase con el limiteinferior del primer intervalo de clase.





Rango

El rango considerando la tabla de frecuencias es

r = 6, 2− 3, 2 = 3, 0





Varianza

La expresion general para calcular la varianza viene dada por:

σ2 =

N∑i=1

ni (xi − µ)2

N

S2 =

n∑i=1

ni (xi − x)2

n − 1





Varianza


(3, 2− 3, 7] 3, 45 3 0, 075 3 0, 075(3, 7− 4, 2] 3, 95 7 0, 175 10 0, 25(4, 2− 4, 7] 4, 45 15 0, 375 25 0, 625(4, 7− 5, 2] 4, 95 6 0, 15 31 0, 775(5, 2− 5, 7] 5, 45 4 0, 10 35 0, 875(5, 7− 6, 2] 5, 95 5 0, 125 40 1

S2 =

n∑i=1

ni (xi − x)2

n−1

S2 = [3(3, 45− 4, 65)2 + 7(3, 95− 4, 65)2 + 15(4, 45− 4, 65)2 +6(4, 95−4, 65)2 + 4(5, 45−6, 45)2 + 5(5, 95−4, 65)2]/39 = 0, 5102





Desviacion estandar

La expresion general para calcular la desviacion estandar es:

σ =

√√√√√√N∑i=1

ni (xi − µ)2

N

S =

√√√√√√n∑

i=1

ni (xi − x)2

n − 1





Desviacion estandar

La desviacion estandar para el salario mensual de los empleadosconsiderados en la muestra aleatoria es:

S =√

0, 5102 = 0, 71432

En general, la dispersion entre el salario mensual de un empleadocon respeto a su media es de $0, 71432 millones.





Coeficiente de Variacion

El coeficiente de variacion para el ejemplo viene dado por:

CV =

(0, 71432

4, 65

)∗ 100 % = 15, 3617 %

El grado de homogeneidad del conjunto de datos es del 15, 36 %


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