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Clase Mc 5(Principio de Hamilton)

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clase de mecanica clasica unipamplona

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  • 26/09/15

    1

    Histricamente, el principio de mnima accin postulaba que, para sistemas de la mecnica clsica, la evolucin temporal de todo sistema 4sico se daba de tal manera que una can5dad llamada "accin" tenda a ser la mnima posible. Posteriormente se generaliz el principio a sistemas con5nuos y cuyas magnitudes bsicas no slo dependa de una variable temporal, sino tambin de las otras coordenadas espacio-temporales. Adems la formulacin relaEvista del principio mostr que la condicin de mnimo era demasiado restric5va, y que deba ser subs5tuida por la condicin un poco ms general de que la trayectoria deba ser un punto cr5co o estacionario (es decir, un mnimo o un mximo, pero no un valor no extremal). La primera formulacin del principio se debe a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1744), que dijo que la naturaleza es econmica en todas sus acciones.

    En la imagen aparecen una carga posiEva ja (en rojo) y un electrn libre (en azul). De todas las trayectorias posibles, cul escoger el electrn? El principio de accin mnima determina que la trayectoria 1 ser la elegida.

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    D'Alembert haba formulado un ao antes el principio de d'Alembert que generalizaba las leyes de Newton. Entre los que desarrollaron la idea se incluyen Euler y Leibniz. Debe ser dicho que, desde el punto de vista del clculo de variaciones, hablar de principio de accin estacionaria es ms exacto. Anteriormente, Pierre de Fermat haba introducido la idea de que los rayos de la luz, en situaciones pEcas tales como la refraccin y la reexin, seguan un principio de menor 5empo (ver principio de Fermat).

    El principio de menor accin condujo al desarrollo de las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la mecnica clsica.

    Aunque sean al principio ms di4ciles de captar, Eenen la ventaja que su cosmovisin es ms transferible a los marcos de la Teora de la RelaAvidad y la mecnica cunAca que la de las leyes de Newton. Esto ha hecho pensar a alguna gente, que este principio es un principio "profundo" de la Esica.

    NESTOR ALONSO ARIAS HERNANDEZ -DPTO. FISICA Y GEOLOGIA UNIVERSIDAD DE PAMPLONA

    De todos los posible caminos a lo largo de la cual un sistema dinmico puede moverse desde un punto a otro dentro de un intervalo de Aempo especicado (consistente con cualquier ligadura), el camino seguido es aquel que minimiza la integral de Aempo de la diferencia entre la energa cinAca y la potencial. En trminos del clculo de variaciones, el principio de Hamilton

    !

    "#

    $

    %&= 0dt

    t1

    t2

    T U( )Se requiere que sea un extremum (mximo o mnimo) T U( )

    t1

    t2

    dt

    En coordenadas cartesianas

    La Energa cinEca depende La Energa Potencial depende de

    ENERGA CINTICA

    ENERGA POTENCIAL

    T xi( ) U xi( )xi xi

    Si realizamos la diferencia de estas canEdades, a la que llamaremos

    L = T U =L

    L ( )xi, xi = L xi, xi;t( )

    en un campo conservaEvo

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    NESTOR ALONSO ARIAS HERNANDEZ -DPTO. FISICA Y GEOLOGIA - UNIVERSIDAD

    DE PAMPLONA

    Por lo tanto, podemos escribir

    L xi, x;t( )t1

    t2

    dt = 0La Funcin que aparece en la integral puede ser idenEcada como en la integral variacional

    L

    f yi (x), y 'i (x); x{ }dxx1

    x2

    Si realizamos la transformacin

    x yi (x) y 'i (x)

    txi (t)xi (t)

    f yi, y 'i; x{ } L xi, xi( ) = L xi, xi;t( )Por tanto, la ecuacin de EULER-LAGRANGE , correspondiente a:

    L xi, x;t( )t1

    t2

    dt = 0Lxi

    ddt

    Lxi

    = 0 para i=1,2,3,26/09/15 5

    NESTOR ALONSO ARIAS HERNANDEZ -DPTO. FISICA Y GEOLOGIA - UNIVERSIDAD

    DE PAMPLONA

    Donde es conocida como la funcin de Lagrange o Lagrangiano L

    EJEMPLO: OSCILADOR ARMONICO UNIDIMENSIONAL

    L = T U = 12m x2

    12 k x

    2 LAGRANGIANO

    Teniendo en cuenta la ecuacin de Lagrange del Movimiento

    Lx

    ddt

    Lx = 0

    Calculando Lx =

    x

    12m x

    2 12 k x

    2#

    $%

    &

    '(= k x

    Lx =

    x

    12m x

    2 12 k x

    2#

    $%

    &

    '(= m x

    ddt

    Lx =

    ddt

    x (m x) = m x

    kx mx = 0mx + kx = 0x + km x = 0x +wo2x = 0

    donde wo2 =km

    L xi, xi( )

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    L = L xi, xi;t( )

  • 26/09/15

    4

    x +wo2x = 0 wo2 =km

    La solucin de la ecuacin diferencial

    con Es de la forma x(t) = Asen(wot )El valor de la fase depender del valor de en x t = 0 Es decir, x(0)La solucin exhibe un comportamiento senoidal.

    Calculemos la ENERGA TOTAL E = T +U

    T = 12mx2 =12m

    !

    "#

    $

    %&A2w2cos2 wot ( ) = 12m

    !

    "#

    $

    %&A2 cos2 wot ( ) =km

    T = 12A2 cos2 wot ( )k

    LA ENERGA CINETICA

    LA ENERGIA POTENCIAL

    U = 12 kx2 =

    12 k

    !

    "#

    $

    %&A2sen2 (wot ) U =

    12 kA

    2sen2 (wot )Por tanto,

    E = 12 kA2 cos2 wot ( ) +

    12 kA

    2sen2 (wot )E = 12 kA

    2 cos2 wot ( )+ sen2 (wot )( ) E = 12 kA2

    Proporcional al cuadrado de la amplitud.

    Es independiente del 5empo. 26/09/15

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    DE PAMPLONA 7

    PERIODO Y FRECUENCIA Conocemos que:

    wo2 =km

    2T

    !

    "#

    $

    %&2=km

    T 2 = 4 2 mk T = 2mk

    As mismo

    1f = 2

    mk f =

    12

    km

    El periodo del oscilador armnico simple es independiente de la energa o amplitud. Un sistema que exhibe esta propiedad se denomina Iscrono.

    PENDULO PLANO EJEMPLO: L = T U

    T = 12mS2 = 2 212m T =

    12m

    2 2

    U =mg

    h

    h =mg [ ]

    h

    cos

    cos U =mg 1 cos[ ]Por lo tanto, el Lagrangiano es:

    L = 12m2 2 mg 1 cos[ ]

    26/09/15 NESTOR ALONSO ARIAS HERNANDEZ -

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    S

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    26/09/15 NESTOR ALONSO ARIAS HERNANDEZ -

    DPTO. FISICA Y GEOLOGIA - UNIVERSIDAD DE PAMPLONA

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    L = 12m2 2 mg 1 cos[ ]

    Aplicando la ecuacin de Lagrange.

    L

    ddt

    L

    = 0

    L = L{ } , ;t

    L

    = mgsen L

    = m2 ddtL

    = m2 ; ;Por tanto,

    mgsen m2 = 0gsen = 0

    + gsen = 0

    si sen para

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