TEMAS DE FINANZAS

Prof. Alejandro Sancho R.

RIESGO DE MERCADO

Orígenes

VaR tiene sus orígenes en desastres financieros de inicios de inicios de 1990

Orange County. Ver: http://www.merage.uci.edu/~jorion/oc/case.htmlBaringMetallgesellschaftBanca de Inversion en 1994

Evento reciente: 2008 Broker Societé Générale → pérdida > 7 mil millones dólares.

Lección común de estos desastres : miles de millones de dólares se pueden perder a causa de una pobre supervisión y administración de riesgos financieros

Instituciones financieras y no financieras, reguladores se dirigieron a la búsqueda de métodos para cuantificar el riesgo de mercado

Octubre 2008: Crisis Financiera GlobalLa más importante crisis financiera desde los años 30s

Cuales son las causas de la crisis:

"The crisis is the result of three failures: a regulatory and supervisory failure in advanced economies; a failure in risk management in the private financial institutions; and also a failure in market discipline mechanism,"

FMI, Director Gerente Dominique Strauss-Kahn, Octubre 10, 2008

Categorías de Riesgo

Las empresas e intermediarios financieros enfrentan distintos tipos de riesgos

Riesgo de Liquidez Riesgo de crédito Riesgo de Mercado Riesgo Operacionales Riesgos de Negocios

Banking book (portafolio de inversiones) vs Trading Book (portafolio de trading)

Portafolio de trading = Activos y pasivo que pueden ser rapidamente vendidos en mercados financieros organizados.

Portafoliio de inversión = Activos y Pasivo iliquidos y mantenidos por > periodo de tiempo

Diferencia en función de a) Horizonte de tiempo y b) liquidez

Hoja de Balance de Banco ComercialActivos Obligaciones

Banking BookPréstamos Otros activos iliquidos

PNDepósitos

Trading BookBonos (larga)Commodities (larga)Divisas (larga)Acciones (larga)

Bonos (corta)Commodities (corta)Divisas (corta)Acciones (corta)

Derivados (larga) Derivados (larga)

Riesgos de Mercado

Def. Riesgo relacionado a la incertidumbre de los ingresos provenientes del portafolio de trading de un intermediario financiero causado por cambios en condiciones de mercado

Ejemplo de amplitud de riesgos: Negocio de Trading de JPMInst.

Deuda Forex Comm. DerivadosAcciones Mcdo

EmergPropietary Total

Num localizacionActivs

14 12 5 11 8 7 11 14

Num unidades independiente tomadoras riesgo.

30 21 8 16 14 11 19 120

106 transacc x dia> 5 > 5 < 1 < 1 >5 < 1 < 1 >20

Billones dólares en vol.diario de trading

> 10 > 30 1 1 < 1 1 8 >50

120 unidades independientes de trading14 localizaciones de tradingVolumen diario trading mayor a 50,000 millones

Ejemplos de Riesgo de Mercado

Riesgo de precio acciones: ▲▼ precio de acciones

Riesgo de tasa de Interés: ▲ elevación de tasa de interés

Riesgo cambiarios: ▲▼ TC

Riesgo de precio de Commodities ▲▼ precio

Movimientos en precios de commodities Materias primas: Metales, Productos Agropecuarios, Petroleo y Energia.

Herramienta para medir riesgo de mercado → Value at Risk (VaR)

Objetivos de modelos de medicion de riesgo de mercado

Proveer una medida comprensiva y agregada del riesgo incurrido Un simple numero ( en dolares ) que sintetize el riesgo incurrido por toda …

“At close of business each day tell me what the market risk are across al business and locations”

Dennis Weatherstone Chairman of J.P Morgan (Chase)

El Value at Risk es una medida (entre otras) consistente de riesgo

Definición Value at Risk

VaR puede ser definido como la peor pérdida que puede esperarse de mantener un activo financiero o un portafolio sobre un período dado de tiempo ( un dia, 10 días para propósito de regulación)

Ejm.: Una posición tiene VaR diario de $ 10 millones de dólares al 99% de nivel de confianza,

Significado: la pérdida diaria realizada desde la posición actual , será mayor que $ 10 millones en una de cada 100 dias de trading (ie 2 de 3 dias de cada año)

VaR

VaR ofrece un afirmación probabilística acerca del cambio potencial en el valor del portafolio que resulta del cambio en factores de mercado sobre un período especifico de tiempo

VaR responde a la pregunta¿Cual es la máxima perdida sobre un periodo de tiempo tal que existe una baja probabilidad, (por decir 1%) que la perdida real sobre el período dado sea mayor?

VaR no afirma ni da información por cuanto la perdida final / real excederá el nivel de VaR calculado

Mayoría de modelos VaR esta diseñados para medir riesgo sobre un período corto de tiempo, 1 dia, 1 semana,10 dias

Método para calcular VaR

La formula general del VaR es una y la misma para cada método

Existen 3 alternativas para modelar la distribución de los errores

1.Enfoque Varianza – Covarianza o Riskmetrics2.Enfoque de simulación histórica o hacia atrás3.Enfoque de Montecarlo

Etapas para cálculo del VaR

Toda medición del VaR está basada en las sgtes etapas:

1.- Identificar las posiciones→ Valuación de Portafolio a precios de mercado

2.- Determinar los factores de riesgo → precios de acciones, tasa de interés, tipo de cambio, etc)

3.- Modelar la distribución de los factores de riesgoDerivar la distribución de probabilidad del portafolio o de los retornos sobre el período

Forma de Derivar la Distribución:

Paramétrica. VaR Paramétrico Método 1: Varianza ConvarianzaNo Paramétrica Var No Paramétrico. Mètodo 2: Simulación histórica

4.- Asumir un nivel de confianza c =

El nivel de confianza a elegir depende del propósito del cálculo. Si es para: Regulación: BIS impone 99% confianzaControl riesgo de portafolio: Empresas eligen nivel variableFines internos: Empresas eligen 99.96%

Cada nivel de confianza da un factor distinto para aplicar formula VaR:

90% → 1.6599% → 2.33

5.- Escoger el periodo de aplicación T

El período T a usar depende de necesidades del cálculo. Si es para :

Regulación 10 días ( útiles de trading)Evaluar riesgo de trading 1 día, 5 dias, 1 mesEvaluar riesgo interno variable

6.- Calcule el VaR

Reporte la peor pérdida potencial al procesar toda la información en una distribución probabilitstica de ingresos, la que resumida por el VaR

Calcule el VaR de 100 millones de portafolio de acciones sobre 10 días a nivel de confianza de 99%, con volatilidad de 15%

VaR = 100 m x 15% x √ T x 2.33 = 7 millones

Probabilidad que peor pérdida supere 7 millones es 1%

Fórmula VaR Formula de Var

VaR = M x α x σ x √ T

M = Monto de valor de posición a precios de mercadoσ = Volatilidad diaria del portafolioα = umbral límite dependiente de nivel de confianza ( si c = 99% → α = 2.33 )T = periodo de referencia

Comúnmente la volatilidad se expresa anualmente en ese caso:

VaR = [ M x α x σ ] / √ T

Definición e interpretación probabilistica

Sea c el nivel de confianza, L la pérdida medida por un número, VaR es un número

VaR es la pérdida mas pequeña, en valor absoluto, tal que

Prob ( L > VaR ) < 1 - c

Sea W el valor del portafolio (variable aleatoria) a una fecha dada.

El VaR a nivel de confianza c relativo al nivel base (momento inicial) del portafolio W0 es el numero VaR tal que :

Prob ( W < Wo – VaR ) < 1 – c

Ejemplo CompletoLectura Saunders

Calculo en 3 áreas de trading:

Renta FijaDivisas → VALUACION DE RIESGO AGREGADO DE PORTAFOLIOAcciones

1. - Riesgo de Mercado de Activos de Renta Fija

¿Calcule el Value at Risk de una posición en bonos cupón zero de Tesoro US de 7 años con Valor Nominal de 1’631,483. La tasa de interés es de 7.243 años

* Si nos dan r calculamos valor de posición en mercado. P = VNt / (1+r )t

→ Valor de la posición hoy = 1’000,000

Si nos dan el valor de la posición hoy calculamos r

* Identificación de Factor de riesgo

El factor de riesgo es tasa de interés / descuento. Sabemos que si: ↑ r → ↓ Pb

* Identificado el riesgo quisieramos saber la exposición potencial que el intermediario financiero enfrenta si se mueve si r se mueve como consecuencia de un movimiento adverso de la tasa de interés

* Nivel de significación: Definimos cambio adverso del rendimiento. Existe 5% de probabilidad que el cambio en el rendimiento exceda esta cantidad en cualquier dirección

Asumimos que los rendimientos / tasa de interés de bonos cupón están distribuidos normalmente.

Suponemos ; media de los cambio en rendimiento es 0, μ = 0 La desviación standard es 10 bp. σ = 0.001

Sabemos por estadística que: el 90% caerá dentro de :

( μ -1.65xσ, μ +1.65xσ) o ( -1.65 σ, 1.65σ) o (- 0.0015, + 0.0015) ( - 0.15%, + 0.15% )

Cálculo de movimiento potencial adverso ( Volatilidad de precio)

Volatilidad de precios = Duracion Modificada x Mov, adverso potencial en rendimiento

= 6.527 x 1.65 x 0.001

VaR = 1 millón x 6.527 x 1.65 x 0.001 = $ 10,770 dólares

La pérdida potencial diaria de una posición de $ 1 millones es 10,770 dolares, si el dia / malo adverso ocurre en 1 de 20 dias

* Si queremos calcular la perdida potencial a los largo de 5 dias, 1 mes, etc

Existe forma directa y sencilla de pasar del calculo de VaR diario a Var 5 dias

Se asume:

Shocks a rendimiento son independientesVolatilidad diaria es aproximadamente constante

→ VaR ( T dias ) = VaR ( 1 dia) x √ T

La volatilidad es proporcional al tiempo

2.- Riesgo de Mercado de Divisas

Suponga que un Banco (USA) tiene una posición de 1.6 m euros spot. Se desea saber los ingresos diarios en riesgo de esta posición.

VaR diario = DEAR = (Valor de mcdo de posición) x Volatilidad

La exposición al riesgo de esta posición si el próximo día es un mal dia en el mercado de divisas

* Calculo de valor en dólares de la posición ( TC es € 1.60/ $1o $ 0.625 / € )

Valor posición = ( FX position ) x € * $ spot€ 1.6 x $ 0.625 / € = 1 millones de dolares

* Calculo de volatilidad (Cual es el potencial movimiento adverso del TC?)

Viendo hacia atrás los cambios diarios en TC eran de 56.5 bp

FX Volatilidad = 1.65 x 56.5 bp = 93.2 bp o 0.932%

Significado: El año pasado el euro declino con respecto al dólar 93.2 bp el 5% del tiempo

VaR diario = DEAR = ( Valor de Posición) x ( FX Volatilidad) 1¡000, x 0.00932 = $9320.

* VaR = $ 9320

$ 9,320 es el monto potencial de ingreso diario expuesto c/r a movimiento adverso de TC € / $ desde unas tenencias de 1.6 millones de euros

3.- Riesgo de Mercado de Acciones

Suponga que un intermediario financiero mantiene un portafolio de stocks que refleja el índice del Mercado de Valores por valor de $ 1 millon de dolares

VaR = DEAR = ( Valor de mcdo de posición ) x ( Volatilidad de retorno del mcdo de valores )

= 1’000 millon x β i 1.65 σM

σM Volatilidad de retorno diario del indice de mercado de valores = 2%, → 1.65 σM = 3.3%, Significado el cambio adverso en retorno diario s/mcdo valores excede 3.3% el 5% del tiempo

VAR = 1 millon x 1 x 1.65 x 0.02 = 33,333

4.- Agregación del portafolio compuesto de 3 activos financieros

Considérese el siguente portafolio compuesto de 1-3. Calcule el Valor en Riesgo del Portafolio

Es VaR del portafolio la suma de de VaR (DEAR) a través de 3 activos?

VaR Portafolio = VaR Activo 1 + Var Activo 2 + Var Activo 3

= 10, 770 + 9,320 + 33,000 = 53,090

NO

Necesidad de incorporar correlación de retornos.

Formula:

VaR Portafolio =

Note que: Diversificación reduce el monto de VaR total

VALUE AT RISK

(Segunda clase)

Concepto del Valor en Riesgo

Si a 10 am el valor en riesgo reportado VaR es 10 millones de soles, entonces:

La Máxima cantidad que yo espero perder en 19 de los 20 próximos dias es 10 millones.

Yo espero perder más de 10 millones solo 1 día en cada 20 días, esto es en 5% del tiempo.

El VaR de 10 millones asume que mi portafolio de activos está fijo

¿Pero exactamente cuanto perderé en un día cualquiera?NO SE!!!

¿Cuanto es lo máximo que puedo perder? TODO

Topicos VaR:

Riesgo de precio de accionesRiesgo de tasa de interés Riesgo cambiarioRiesgo de precios de commodiries

En clase anterior (ejemplo de Saunders) se vio caso individual de:

una inversión en un Bono cupon zero, una posición en una divisa, una inversión en una acción.Un portafolio compuesto de 1+2+3

En esta clase se entrara en mas detalle los elementos del calculo del VaR con especial referencia a Acciones y Bonos.

CASO GENERAL DE ACCIONES

Por cada uno distinguir

VaR de un activo individual

VaR de un portafolio de activos

Ejm: VaR de acciones de

– Activo individual – Portafolio de activos (domesticos) / Unidad de negocios

Caso General: Portafolio de Activos compuesto de acciones, bonos, divisas, commodities

VaR Asset Individual

Distribution Normal (5% cola inferior) implica:

Solo 5% del tiempo el retorno efectivo / real estara debajo de: “ μ - 1.65 σ1 ”

μ = Mean Return

Cuando μ = 0, entonces, la cola del 5%, cut off point = 1.65 σ1

Sólo 5% del tiempo la perdida % sera mayor que 1.65 σ1

Este es un enfoque PARAMETRICO ya que require estimación de volatilidad

VaR Activo Individual

Ejm: Media de retorno = 0 %Sea volatilidad de retorno = 0.02 (por.día) (equivalente a 2%) Solo 5% del tiempo la perdidad sera superior que 3.3 % (= 1.65 x 2%)

VaR of a activo individual (Posicion Inicial Vo = $200m in acciones)

VaR = Vo (1.65 σ) = 200 ( 0.033) = $6.6m

Es decir, “ el VaR is 3.3% de $200m” Se reporta el VaR como un número unico positivo ( aunque sea una pèrdida)

VaR Activo Unico

¿Están retornos diarios normalmente distribuídas? No mucho pero bastante cercanamente

• fat tails (kurtosis)• pico es mayor y mas estrecho• skewness (negativo)• autocorrelaciones pequeñas (positivo) • Retornos al cuadrado tienen fuerte autocorrelation, ARCH• Pero niid is a (buena good ) approximación para acciones, bonos de largo plazo, Mercado

spot y futuro de (pero no para tasa de interes de corto plazo u opciones)

VaR : Portfolio de Activoss

1) Enfoque de libro de texto

σp =

VaRp = Vp (1.65 σp )

Vp = valor total en dolares mantenidas en el portafolio completo

Se puede expresar la formula anterior en terminus de VaR de cada activo individual? (VaR1 , VaR2 ,etc )

Si.!

VaR : Portfolio of Assets

• Se usa cantidad mantenida en cada activo Vi• Note que wi = Vi / Vp (substituya en ecuacion de arriba)

entonces VaRp =

• Donde VaRi = Vi (1.65 σi ) - para activo individual -i

VaR : Portfolio de Activos

¿Se puede poner VaR en forma matricial ?

Dado VaR p =

Donde VaRi = Vi (1.65 σi ) - para activo individual -i

Se puede escribir:

Z = [ VaR1 , VaR2 ] (vector 2 x 1 ) C = [ 1 r ; r 1 ] = matriz de correlacion matrix (2x2)

Entonces: VaR p = [Z C Z’] 2

VaR : Portafolio de Activos

Caso operaciones en corto:Si en Activo 1 se tiene una posición larga y en Activo 2 una posición cortaV1 = + 100, V2 = -50,

Para construer el vector Z:

VaR1 = ($100) 1.65 s1 y VaR2 = (-$50) 1.65 s2

Todavía se tendra Z = [ VaR1, VaR2 ] y aR p = [Z C Z’] 2

Este es el Enfoque “Varianza – Covarianza”

“VaR en peor escenario”

Asuma que toda las correlaciones entre activos es + 1 y que en todos los activos se mantiene una posicion larga, entonce

VaRp =

Pero con r=+1 se tiene

VaRp = { VaR1 + VaR2 }

-i.e. no existe “efecto de diversificacion”

Portafolio grande de Activos

Inversion en Accion en Moneda extranjera

Suponga un inversionista norteamericano que invierte en Franckfurt en un índice de la bolsa DAX, invierte 80 millones de Euros en DAX (En pizarra)

CASO GENERAL DE BONOS

Bonos que pagan cupon

Hasta ahora solo hemos visto caso de BCZ de T anos (7 anos en ejm Saunder, clase antepasada.

¿Que pasa cuando tenemos un Bono coupon estándar?

RPT: Trate cada cupon como un Bono cupon zero separado

Bonos en ME

¿ Que pasa cuando tengo una posición en Bonos pero en Moneda extranjera?

Existen 2 factores de riesgo: 1) Tasa de Interes, y 2) Tipo de cambio

Ejm: Suponga que un inversionista norteamericano tiene una posición en BCZ japonés de 10 anos con valor nominal 1,000 millones de yenes. Suponga que el tipo de cambio es 91.18 yenes / $, la volatilidad diaria del log-retorno es 0.78% y la correlacion entre el yield japonés y el tipo de cambo es –0.0929

Otras Extensiones

VaR para diferentes horizontesDel VaR de 1 dia al VaR de “T” dias

Cuando VaR es usado para adm. Riesgo s/base diaria VaR 1 dia ↓

Derivada de distribución diaria de portafolio

¿Qué pasa cuando horizonte es 10 dias = horizonte de regulador VaR 10 dias ↓

Derivada de la correspondiente distribución sobre horizonte de 10 días

¿Qué pasa cuando horizonte es 30 dias? Idem.

Pero: Se puede derivar el Value at Risk VaR de “T días” a partir del VaR diario

Respuesta:

Mercados financieros son eficientes Rt son independientes (1) Rt idénticamente distribuidos (2) Rt es iid (1) y (2)

El retorno de 10 dias: R (10) = R1 + R2 +R3 + R4 ……+ R10 = ∑ Rt

Pero ya que

Ri N ( μ10 , σ210 ) iid μ10 = 10 μ

σ210 = 10 σ2

→ R10 N ( 10 μ , 10 σ2 ) ↓

VaR (10,c) = 10 * VaR (1,c)

Caso General:

VaR (T,c) = T * VaR (1,c)

Observaciones

Resultado NO rige si retornos:

Exhiben mean reversión Estan seriamente correlacionados No son iid.

Otras Funciones de Distribucion

Distribución de Retorno T – Student

Existe evidencia que mucha distribución de retornos individuales NO esta normalmente distribuidos y exhiben “fat tails”

Existen mas observaciones alejadas de la media de lo que es el caso en distribución normal

Distribución normal muy rapidamente ….

Problema:Fat tails en administración de riesgo son problematicos porque implica que perdidas extraordinarias ocurren mas frecuentemente de lo que una distribución normal nos hace creen

Que pasa si muchos Ri no N Teorema Limite Central ( Muchas versiones con sup.≠ )

↓En practica implica:

Si Distribución . Normal inadecuada para describir los retornos de portafolio Usar Distribución T – Student

T – Student: funcion de distribución caracterizada por:Media μDesv. Stand- σGrados de libertad vv Controla la gordura de la cola

Cuanto más pequeña v tanto mas gorda cola

Estimación han determinado: v pertenence rango {4,8}

Importancia

¿Cual es la diferencia del Value at Risk al 99% de una posición si se asume que esta sigue una distribución T – student en lugar de normal?

Ejm: Comparar el Value at Risk de una posición M para T días

VaR con distribución Normal y 99% de confianzaVaR con distribución T student Normal y 99% de confianza y 5 grados de libertad.

* VaR con Distintos niveles de significacion

Recordar:

Valor limite como funcion del nivel de confianza.

c ( nivel de confianza) α (cutoff)

99.97%

99.87%

99 %

95%

- 3.43

-3

-2.33

-1.65

II.- Método de estimación: simulación histórica o hacia atrás

Este es un enfoque no parametrico → VaR no paramétrico

No hace ninguna asunción sobre la distribución de retornos.Procedimiento:

Escoga un período o frecuencia ej, 1,000 dias

Asuma que usted mantiene su actual portafolio ( 1m en bonos cupos zero, un millón de dólares en euros, y un millón en acciones (un índice de acciones) en cada uno de estos 1000 días

Calcule la ganancia o pérdida diaria del portafolio (asumiendo precios, tc y r del día)

Establezca un ranking de estos 1,000 observaciones desde la peor pérdida a la más alta ganancia.

Determine el nivel de perdida que corresponde al nivel deseado de tolerancia. Por ejemplo, si el nivel de tolerancia es 5% ( entonces se necesita asegurarse contra pérdidas en todos los casos excepto el 5% pero de todas, esta será la 50th peor pérdida (5% de 1000)

El VaR del portafolio es el tamaño de esta pérdida

III. Método de Estimación: Simulación de Montecarlo

Imponga ciertos supuestos distribuciónales sobre los factores de riesgo ( no necesariamente normal)

Estime los parámetros de esta distribución

Corra un número grandes de simulaciones típicamente varios miles (20,000 simulaciones) y extraiga un diferente resultado de la distribución de los factores de riesgo de cada simulación

Ventaja:

Es el único procedimiento que toma en cuenta no – linealidades Relación entre factor de riesgo ( precio de accion, tasa de interes ) y precio de mercado es no lineal en derivados

Desventaja

La exigencia de trabajo computaciones es enormeProblema si queremos recalcular en varios momentos del día

Usos e importancia (Ver Saunders)

Aplicaciones de VaR a traves organizaciones

o Administración de Información

o Establecimiento de limites a posiciones de trader (RAROC)

o Asignación de recursos dentro organización (RAROC)

o Evaluación de desempeño → Sistema de Incentivos

o Evaluación y riesgo del conjunto de empresa

Uso Regulatorio de VaR

o Enfoque Standard para “riesgo general”

o Modelos internos (VaR a 1%, 10 dias, 3x factor)

Debilidad del VaR

Existen problemas en estimar la covarianzas (Cambian a lo largo del tiempo, en crisis financieras se incrementan covarianzas)

La volatilidad de retornos no es constante

Los valores extremos de distribuciones es muy difícil de estimar precisamente

Fat tails

No permite incorporar los problemas de liquidez

CALCULANDO Y PREDICIENDO VOLATILIDAD(Forecasting Volatility)

En la determinación del VaR de un portafolio un insumo básico en la desviación estándar del portafolio

En el caso más simple de dos activos, ello requiere la información de varianza de retorno de activo 1, la varianza de retorno de activo 2, covarianza entre retornos de activo 1 y activo 2.

En el caso de n activos se requiere la matriz de covarianzas.

En la práctica la matriz de covarianzas tiene que ser estimada. Es decir, en la práctica, las medias, varianzas y covarianzas de los n activos que conforman un portafolio tienen que ser estimadas.

Para data diaria, la media de los retornos es muy cercana a cero. De ahí que tratar a la media como cero da una buena aproximación. En los siguientes cálculos sea asume que la media de los retornos es cero:

Método 1: Arithmetic Moving Average (con ventana M)

Método 2: Exponencial Moving average ( con parámetro de decaimiento λ )

Riskmetric popularizó el método exponencial. Este método tiene la ventaja de una estructura recursiva – lo que hace fácil para cálculo computacional

Los valores de los parámetros λ sugeridos por RiskMetrics son:

Data diaria λ = 0.94Data mensual λ = 0.97

Procedimientos Suplementarios

Back Testing

(Use simulación hacia atrás como un control de otros procedimientos)

Stress Testing

(Asumiendo varias resultados con diferentes desviaciones estandar para los factores de riesgo )

Analisis de Escenarios

( Defina algunos escenarios económicos plausibles)

A pesar de limitaciones VaR es casi Universalmente usado

VaR es el instrumento standard para medir riesgo de mercado por bancos, IF o firmas

BACKTESTING

Modelos Value at Risk son utiles en tanto mide y predicen riesgo en forma razonablemente buena.

Validacion de Modelo

Back Testing Stress Testing

Definicion:

Es un marco estadístico formal que consiste en verificar que las actuales perdidas estén en líneas con las perdidas proyectaas. Esto involucra comparar en forma sistematica

Si no se verifica?

Identificación Practica

" Cuando el modelo esta perfectamente calibrado, el número de observaciones que cae fuera del VaR debe estar en línea con el nivel de confianza. El numero de exceedences ….. es tambien conocido como numero de excepciones." Jorion p. 140

Series de Retornos Individuales

Cuantos?

Son 5% de retornos reales (individuales) R t+1 mayores que el 1.65 σ t+1|t

Si!!!!

– Cuan grandes?

Tienen los retornos reales en el 5th percentile el mismo tamaño que aquellos señalados por un distribución normal?

Portafolio de Activos

Retorno de portafolio

Prediga todos los VaRs individuales VaR i = Vi 1.65 σ t+1|t

Calcule el VaR del portafolio para cada dia

VaRp = [Z C Z’]1/2

Vea /verifique que las perdidas reales del portafolio excedan el valor del VaR solo el 5% del tiempo (sobre algún periodo histórico ejm. 252 dias

Si no se verifica en BackTesting

Hacer reevaluación de:

Supuestos equivocados Parámetros errados Modelacion Inadecuada

Problema Gral sobre Retornos

Value at Risk supone que portafolio esta congelado en el periodo

Para verificación

Retorno de Portafolio Actural ( R ) Retorno Hipotetica ( R* )

Ejercicio Final (Caso Real)

Suponga que usted trabaja en una AFP y usted maneja el fondo de inversiones de 100 millones de dólares. Se invierte en 2 activos: un índice de la BVL y otro un índice Dow Jones. En proporciones 85% y 15% respectivamente. ¿alcule el Valor en Riesgo del portafolio de AFP?

Que información necesitaría / que procedimientos tomaría?

Suponga que los 2 últimos años han tenido un comportamiento muy distintos al pasado e incluso el ultimo año ha sido distinto al anterior? Tiene esto implicancias para el cálculo.

Suponga que el Lobby de AFP tiene éxito y se aumenta el monto máximo de inversión en el exterior en 50%.. Si las AFP hacen uso de esto se le pide evaluar el efecto sobre el valor en riesgo del portafolio de tener 50% en BVL y 50% DJ.

Grandes ventajas de VaR

Es muy fácil de calcular y relativamente sin costo ( excepción MonteCarlo)

Es una medición propia del riesgo amplio portafolio (toma en cuenta correlaciones entre diferentes activos y diferentes posiciones)

Es facil de entender, simple de usar ( puede usarse para desarrollar cultura de medición y control de riesgo de mercado a través de organización

Instituciones

El VaR es de uso universal.

Instituciones Financieras

Bancos tienes grandes portafolios en trading

Reguladores

o La regulación prudencial de instituciones financieras requiere el mantenimiento de niveles minimos de capital como reservas contra riesgos financieros

o Todos los reguladores (SEC, Reserva Federal; Union Europea, BIS) han convergido a usa el VaR como medida de riesgo

Empresas No financieras

o La admistración de riesgo centralizada es útil para cualquier corporación que tenga exposición a riesgo financiero

o Multinacionales tiene entrada y salida de inmenda cantidad de efectivos en distintas monedas.

Gerentes de Inversión / Administradores de portafolio

o Inversionistas usan VaR para administrar sus riesgos financieros

Apéndice

Quantil inferior de una Distribución Normal Estandarizada

Nivel de Confianza (%) _____________________________________________________________

99.99 99.9 99 97.5 95 90 50------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cuantil ( - α ) - 3.719 -3.090 -2.326 -1.960 -1.645 -1.282 -0.000

RAROC

Tasa de retorno de Capital ajustada por riesgo (RAROC) se define como:

RAROC = Ganancia / VaR

RacionalidadVaR de un portafolio puede ser interpretado como el nivel prudente de capital necesitado para mantener el portafolio. Entonces Ganancia / VaR es la tasa de retorno de capital ajustada por riesgo

Problemas de Agencia dentro de organización:

Asignación de recursos a través de divisionesControl interno sobre nivel de toma de riesgos dentro de divisiónEvaluación de desempeño

Ejemplo ( Jorion, Cap. 2 )

Un banco tiene que decidir acerca de asignar más capital a su trader de divisas que comercia / transa Euro / dollar o a su trader de bonos que comercia instrumentos de deuda de corto plazo del Tesoro

El trader de divisas (F/X trader) mantuvo una posición con valor nominal promedio de $ 100 millones

Volatilidad anual del Euro / dólar = 12% El trader hizo un ganancia de $ 10 millones de dolares el año pasado

El trader de bonos mantuvo unos $ 200 millones en bonos del año anterior

Volatilidad anual, 4% El trader de bonos también hizo una ganancia de $ 10 millones de dólares, también

¿ A que àrea / trader asignar el capital (escaso) disponible:?

Solución:

Trader de divisas Trader de BonosTasa de Retorno del Capital 10% ( 10/100 ) 5 % ( 10/200)

Decisión10 % > 5%

→ Asignar capital al que obtiene MAYOR RENTABILIDAD? NO

VaR al 99% Var = 2.33 * 0.12 * 100 = $ 28 m Var = 2.33 * 0.04 * 200 = $ 19 m

Decisión ¿Puede tomar decisión basado en resultado de VaR, ie 28 m vs 19) NO

RAROC RAROC = 10 m / 28 = 36% RAROC = 10 m / 19 = 54%

Retorno de Capital ajustada por riesgo

36% 54%

Resultado: RAROC TRADER DE DIVISAS < RAROCTRADER DE BONOS

→ Asigne más capital al trader de bonos

USO II: Evaluando Desempeño de Gerentes de Inversiones

¿Quién consigue el Ratio de Sharpe mas grande?

donde:

Rav = retorno mensual real promediado sobre un año

σ = desviación estándar de portafolio de activos (calculado como en enfoque VaR, pero con retornos medidos sobre un horizonte de 1 dia y agregados al periodo de 1 mes)

USO III: Sistema de Incentivos

Uso IV: VaR Limits

USO IV: Regulación de Requerimientos de Capital (Clase de Regulación de RM)

Otros Usos: Jorion, Value at Risk Parte III.

VaR Limits

Utilización de VaR para establecer limites máximos de riesgo tolerables (incurridos)

Por c/u trader Por c/u unidades de negocios Por c/u ubicaciones geográficas Para unidad global en su conjunto Para la empresa en su conjunto

Medida de Riesgo Consistente

Algunas Propiedades de Medida de Riesgo consistente

La medida de riesgo ρ (W), para la variable aleatoria W.

Monoticidad: Si para cada estado de naturaleza W 1 < = W 2 , ρ ( W 1 ) > = ρ ( W 2 )

Invarianza a traslación: ρ ( W + k ) = ρ ( W ) - k

Homogeneidad: ρ ( b W ) = b ρ ( W )

Subaditividad: ρ ( W1 + W2 ) <= ρ ( W 1 ) + ρ ( W 2 )

Value at Risk y Subadditividad

Recuerde que una condicion de medida coherente de riesgo es:

VaR( W1 + W2 ) <= VaR( W1 ) + VaR ( W2 )

VaR viola la condición de subaditividad es decir, se puede encontrar casos que

VaR( W1 + W2 ) > VaR( W1 ) + VaR ( W2 )

Entonces, considerer otras medidas de riesgo, matemáticamente mas complejas (Extreme Value Theory)

Danielson et al(95) “Subadditivity Re–Examined: the Case for Value–at–Risk”

Concentrandose en las colas de “heavy tailed assets” que son mas comúnmente observadas en aplicaciones financieras encuentras que

“We find that for such distributions, VaR is subadditive in the tails, at probabilities that are most relevant for practical applications….. The results suggest that there is a strong case for using VaR and it is usually not necessary to consider other risk measures, solely for reasons of coherence.”

Pero existen otras medidas coherentes que no violan subaditividad no complicadas:

Expected Tail Loss (también conocida como Conditional Value at Risk