UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCION-

F.A.D.A. U.N.A.

ESTRUCTURAS III

LOSAS

LOSASCondiciones de Losas (placa)

hp

lm

1

5

lm= luz menor

hp= espesor predimensionado

Condiciones generales:1. Se consideran que son losas cuando sus 4 lados van apoyado

sobre vigas. Las losas no llevan estribos que resisten al corte.

2. Para determinar las longitudes de las losas, se toman de eje a eje de la pared.

3. Condiciones de bordes (empotramiento)

3.a. Relacion de ladosb

a

a’

b’

L1

L2

L1 en L2 a’

2

3

a

b’

2

3

b

L2 en L1 a 2

3

a’

b 2

3

b’

NOTA: si cumple ambas relaciones (L1 en L2 y L2 en L1) son mutuamente empotrables

3.b. Continuidad de las losas en cuanto a su espesor (debe mantenerse el espesor de las losas uniforme o sea h= cte). (hmin=8cm) (en el mismo ambiente)

4. Tipos de losas: (ver hoja 16’)

- Pueden ser: Armada en una direccion

lmayor

lmenor

Si … 2

Armada en dos direcciones

lmayor

lmenor

Si … 2

LOSA ARMADA EN b

aSi a b

Si b 2a

L1 esta armada en la direccion de “a”L1

Casos que pueden presentarse:

1er Caso 2do Caso 3er Caso

Las losas armadas en una direccion tiene un comportamiento similar al de una viga de ancho “b” y de luz entre apoyos “a”.

RUTINA DE CALCULO

1. Predimensionamiento:hp=

100

lmc +

1cm

lm= luz menor (en cm)

hp= 8cm

c=2.8

c=2.5

c=2.2

2. Analisis de Carga (qT) TN/m2

a. Peso Propio (p.p)

p.p= ɣ H° . hp ɣ(peso especifico del H°) =2.4 o 2.5 TN/m 3

hp= espesor predimensionado (m)

b. Revestimiento

-Revoque de cemento por cm de espesor = 20 kg/m

-Revoque de cemento con cal por cm de espesor = 16

kg/m

-Baldosas hidraulicas o ceramica

- Espesor de baldosa + mezcla de 3cm = 50

kg/m

- Espesro de baldosa + mezcla de 5cm = 80

kg/m

- Baldosa + mezcla + relleno de 7cm = 110 kg/m

2

2

2

2

2

- Por lo general el revestimiento varia entre 0,05 a 0,2 TN/m

normalmente se utiliza 0.08 TN/m

2

2

c. Relleno

hrebaje

Ɣrelleno= varia entre 1 a 2 TN/m3

- Relleno con ladrillo hueco = Ɣrelleno = 1.2 TN/m 3

- Relleno y mortero con ladrillo comun = Ɣrelleno = 1.6 TN/m 3

Para alivianar las losas rebajadas se hacen bobedillas

d. Carga de Mamposteria

Si la Losa esta armada en

prelleno = ɣrelleno . hrebaje

pmamp. = ɣladrillo . e . h . L a . b

Ɣladrillo= peso especifico del ladrillo: 1.8 TN/m (ceramico prensado)3

Ɣladrillo= peso especifico del ladrillo: 1.6 TN/m (comun)3

Ɣladrillo= peso especifico del ladrillo: 1.5 TN/m (perforado laminado)3

Ɣladrillo= peso especifico del ladrillo: 1.2 TN/m (hueco)3

e: espesor de la paredh: altura de la paredL: longitud de la pared

a y b : dimensiones de la losa armada en

Si la Losa esta armada en

Perpendicular a la luz menor (no entra en el calculo de qT). (actua como carga puntual)

Pmamp

pmamp = ɣladrillo . e . h . L (TN) 1m

Paralela a la luz menor (entra en el calculo de qT).

El peso de la pared es absorvida por una franja de b = 2/3 . a y se dimensionan las armaduras por franjas : 1 y 2

1

1

2

a

b

Mamp.2/3a= b’

FRANJA 1 qT ppre //REV + pisoPtechoPmamp = 0

FRANJA 2 qT ppre //REV + pisoPtechoPmamp = 0

pmamp = ɣladrillo . e . h . L . a (TN) 2/3

e. Carga del techo (Tabla 2-5 J y M)

El peso por m de techo ceramico varia entre 150 y 200 Kg/m (q)2 2

El peso por m de techo metalico varia entre 20 y 50 Kg/m (q)2 2

L2L1

L1/2 L2/2

b

b

a

Corte A-BPLANTA

A

B

ptecho = q(TN/m ) . (L1+L2) . a 2

a. b

(L1+L2)

2

f. Sobrecargas (s.c)

Segun la N.B. – 5 (norma Brasilera)- Coberturas no destinadas a depositos = 50kg/m- Dormitorios, salas, cocinas y banos = 150kg/m- Despensas, servicios, lavanderias = 200kg/m- Sala de reuniones, accesos publicos = 300kg/m- Sala de baile y gimnasios = 500kg/m- Parapetos de balcones

h

HV

Wp

V= 200kg/mlH= 80kg/mlh= 90cm

Wp= peso propio del parapeto si hay

Wp. = ɣm . h . e . L1m

Segun la M.V. – 101 (norma Espanola)- En Azoteas

- Accesible solo para conservacion = 100kg/m2- Accesible solo privadamente = 150 kg/m2- Accesible al publico = segun su uso

- Habitaciones de viviendas economicas = 150kg/m2- Otras habitaciones= 200kg/m (para area losa mayor que 15m2) y

150kg/m (para losas menor que 15m2)

- Escalera y acceso publico= 300kg/m- Balcones

h

HV V= 200kg/ml

H= 50kg/ml (para viviendas y verificaciones de uso privado)H= 100kg/m ( para uso publico)h= 90cm

CALCULO DE REACCIONES Y MOMENTOS:

RA RB

qT

Mmax

RA RB

Mmax

Mmax

RA RB

Mmax

Mmax Mmax

4. Dimensionamiento4.a. Hormigon

Se utiliza para ello el momento maximo positivo o negativo (M max)

dmin=1.77 . Md b.

fcd

=1.77 1.66 . Mmax . 10 100 .fcd

5

b=100cm (FAJA)

ADN

dmin=1.96 . Md b.

fcd

ADF

Para el calculo adoptamos

fcd=fck

ɣcKg/cm2

fck= 150kg/cm2. para obras pequenas sin control del ingFck= 180kg/cm2. obras y viv. Pequenas con control del ingFck= 240kg/cm2. para edificios con contrl del ing y de probetas

fck: Res. Caract. Del Hofcd: Res. De diseno del HoƔc= coef. De minoracion

ɣc= 1.7. para obras sin control y un fck mayor a 150kg/cm2ɣc= 1.5. generalidad de los casos (usualmente)

ɣc= 1.4. para hormigon prefabricado con riguroso control de calidad y dosaje

Acero (Aº)

fyd=fyk

ɣsKg/cm2

fyk= 4200kg/cm2. (AND) varillas conformada o torsionada en frio (acepar)Fyk= 4600kg/cm2. (ADF) varillas torsionadas (imsha)ɣc= 1.2. no controlado mediante ensayos

ɣc= 1.15. control de ensayos no sistematicos

ɣc= 1.1. cotrol de ensayos sistematicos

Nota: tablas 10.2 y 10.3 (J y M)

RECUBRIMIENTO MECANICO EN LOSAS r=1.5cm

h dr

h=dmin + r

LOSAS EN VOLADIZOCaso particular de losas armadas en

Para losa en voladizo rebajada (5 a 25 cm)5cm: Balacones25cm: Banos, lavadero, cocina

Siempre los voladizos tienen M max(-)

RUTINA DE CALCULO1. Predimensionamiento

hmin= 8cm o NO menor a lm/40

Otro metodo: hp= c x 2 x lvol + 1100

(cm) c= 2.8 (empotrado)

2. Analisis de carga: (qT) (TN/m )2

3. Calculo de Esfuerzos

qT

hH

V

Peso del parapeto

Parapeto

l

M max(-)

R

(-)

Wp= Peso Parapeto= ɣladrillo x hmamp x e (ancho del parapeto)

VT = V + Pparapeto

(-)M max =qmax x l + VT x l + H x h 2

(Tnxm)2

R=qT x l + VT (Tn)

4. Verificacion de la seccion del Ho a la Flexion (metodo NO usado)

=MdMdb x d x fcd

2

Se calcula:

Md= Momendo Reducido o minoradoMd= Momento mayorado= 1.6 M fmax

(-)

Donde: Md Mlim ….. (1)Mlim

AND o conformado (ACEPAR) = 0.32

ADF o torsionado (IMSHA) = 0.26

Si verifica (1) : Verifica a la Flexion

Si Md Mlim : Se aumenta “d” de la losa y se vuelve a calcular nuevamente Hasta satisfacer la relacion (1)

Md

Si no se quiere hacer por ese metodo se calcula “h” y “d” de la misma forma que

se calculo en losa 5. Luego se procede a dimensionar el acero: usando el criterio que se utilizo en losa armada en

Se calcula As princ y luego As sec = 1 o 25% de Asprinc(-) (-) (-)

4

Se va luego a la tabla de hierro y se calcula el : Ø y la separacion: S entre varillas

6. Diseno

La alternativa 2 es la mas utilizada por economizar hierro

La longitud de varilla a cortar es:-Alternativa 1: lVT = 2 lV + 2 lpatilla

-Alternativa 2: lVT = 3/2 lv + 2 lpatilla

lpatilla= d (canto)

En corte:

- Losa Voladizo Rebajada y empotrada en otra losa (gran consumo de varilla)

- Losa Voladizo no Rebajada y empotrada en otra losa

En un encuentro entrante de paredes, en el que apoya en forma simple una losa se tiene: a) direccion de los momentos principales; b) disposicion de la armadura

En un encuentro entrante de paredes, en las que se empotra una losa, para carga uniforme, se tiene: a) direccion de los momentos principales; b) disposicion de la armadura.

Armadura interior reducida

LOSA APOYADA SOBRE PARED

LOSA VOLADIZO EMPOTRADA EN PARED

En vigas de la misma altura que el espesor de la losa las barras inferiores de direccion transversal deben ubicarse sobre la armadura principal de la viga y tambien deberan dimensionarse para suspender las cargas.

LOSA EN VOLADIZO SUSPENDIDA O EMPOTRADA EN VIGA INVERTIDA

Losa en voladizo suspendida

No pueden considerarse como elementos de suspension

LOSA EN VOLADIZO EMPOTRADA EN VIGA NORMAL

LOSA ARMADA ENCompensacion de momentos de empotramiento mutuo para

losa

armada en y

L1

L2 L

2 Mf2 = M2(-) (-)

L1 Mf1 = M1

(-) (-)

Ej: L1 en L2

L2 en L1

a) M = M1 + M2

2

(-) (-) (-)

b) M’ = 0.8 + Mmayor

(-) (-)

c) Se adopta como Mfc en el empotramiento al mayor entre M y M’

(-) (-) (-)

Mmayor= M1 o M2(-) (-) (-)

Mfc: momento flector compensado As (en el empotramiento)

(-) (-)

NOTA: Usualmente no se considera las variaciones de Momento Positivo.

En el caso de empotramiento de losas muy diferentes en dimensiones, para reducir flechas de losas grandes o para considerar influencia de losas en voladizo en losa contigua la correccion del momento positivo se resuelve segun tabla 8-9 del aderson (tomo 1)

Se determina primeramente las dimensiones de la losa y luego se pasa a determinar las condiciones de borde. Luego se pasa al:

RUTINA DE CALCULO

1. Predimensionamiento

Se calcula : a o b que debe ser un valor < 1

2. Analisis de Carga: se calcula qT (Tn/m )2

3. Calculo de Esfuerzos

b a

Nota: Se va a la tabla de Kalmanok con a/b o b/a y si no existe el valor hallado se toma el valor mayor o el mas cercano.

Para calcular los esfuerzos se utiliza la tabla de Kalmanok

Nomenclatura de la tabla:Si h > lm/40 no se verifica a la flecha

Wcp: coeficiente que porporciona la flecha en el centro de la losa.

4. DimensionamientoDel Hormigon (Ho)

Del Acero (Ao)

Similar a la losa armada en una direccion.

5. Detalles:

Losa con un lado empotrado:

ARMADURAS POSITIVAS

Cuando todas las varillas llegan al apoyo (alternativa 3): Separacion Maxima:20cm (10<5<20)

Cuando solo el 50% de las varillas llegan al apoyo (alternativa 1 y 2): separacion maxima:17cm

(10<5<17)

ARMADURAS NEGATIVASSeparacion Maxima: 20cm

Preferiblemente utilizar diametro 8 en adelante.

En el caso de tener 3 losas empotradas:

- Se determina las luces menores de cada losa:

Ej. l1 ; l2 y l3- Se halla: L = l1 + l2 + l3

3

- Se determina la “lm mayor” entre l1, l2 y l3 y se calcula

L’= 0.80 (lm mayor)

Se toma el Mayor Lm entre L y L’

Y se hace L= 3 Lm

8

lvarilla= 0.6 L + 2 lpatilla

OCHAVAS (LOSA VOLADIZO EN ESQUINAS)

ARMADURAS DE TORSION

Se colocan en las esquinas de las losas simplemente apoyas y en losas grandes (3x4 en adelante).

Se disponen arriba (negativas) y abajo (positivas) por norma; pero normalmente se utiliza solamente la negativa si la losa no es de mucha importancia.

Astor.= 0.75 Asprincipal Dimensionamiento de armadura a torsion

ABERTURAS O AGUJEROS EN LOSAS

Si el area del agujero es menor o igual al 20% del area total de la losa se refuerzan los bordes con una cuantia igual a la cantidad de armadura interrumpida. Las varillas deben ir una al lado de la otra separadas aproximadamente igual a 2cm y sobresalir 60cm

Cuando el area del agujero es mayor que el 20% del area de la losa se le da el tratamiento de borde libre (caso de caja de escalera)

Cuando el area del agujero es menor que el 20% del area de la losa pero abarca casi la totalidad de la longitud de ese lado

Si A’B’ > 50% de AB Losa L1 con AB libre

Si A’B’ < 50% de AB Losa L1 con AB apoyado

CASOS ESPECIALES DE LOSAS

1. LOSAS ALIGERADAS O ALIVIANADAS:

- Son losas mixtas de HoAo y material ceramico introducido en zona de “traccion” para reducir consumo de hormigon y alivianar la estructura.

- Se utiliza para losas de espesro: h > 15cm

- Calculo: segun la N.B – 1: es posible calcularla como maciza si se respetan las limitaciones siguientes: (en la NB-4 se considera la capacidad resistente del material ceramico)

a. Separacion entre nervios: t< 100cm

b. Ancho del nervio: bw >4cm

c. Espesor de la mesa: hf = > 4cm

> t/15

d. Apoyar losa sobre un nervio: e > bw

e. Caso de losa armada en una direccion

- Disponer nervios transversales bajo cargas concentradas

- Disponer un nervio transversal cuando el vano alcanza los 4m y 2 nervios transversales cuando alcanza los 6m.

f. Si la losa presenta momentos negativos (mesa traccionada y nervios comprimidos) hacer bw > 8cm

- Construccion: o Se encofra como losa comun

o Se arma normalmente respetando las separaciones de varillas especificadas en el plano (se contemplan espacios entre ladrillos)

o Se colocan los ladrillos en los espacios entre varillas ya colocadas y atadas. Si se usan bloques compuestos por varios ladrillos. Atarlos con alambre Nro.17 para evitar que se muevan durante el hormigonado.

o Preferible usar ladrillo ceramico porque absorven menos agua del hormigon fresco. Si se utiliza ladrillo comun procurar saturarlo con agua antes de colocarlo.

2. LOSA CON TRES LADOS APOYADOS (1 Borde Libre)

a. Diseno estructural

- Casos en que aparecen

- Si (AB > 0,5 AC) (L1) Considerar ese lado sin apoyo (R=0)

- Si (DE < 0,5 DF) (L3) Considerar ese lado como apoyado en L2

- La L2 es libre en AB y DE: es unidireccional (AB: Lado virtual o lado libre y DE: lado borde libre)

3. LOSA DE BORDE LIBRE

o Cuando un lado de la losa no esta apoyada sobre viga, pero los otros tres lados si apoyan sobre vigas.

o Se descomponen en dos losas rectangulares; una apoyada sobre sus cuatro lados y la otra con un borde libre.

o Casos:

NOTA: Se calcula la losa en voladizo hallando qt ; R ; M y luego se procede a calcular la LBL con el R y M hallado.

- Siempre convien apoyar L1 en L2 o sea que el borde libre tenga la menor longitud o menor luz.

- L1 apoyada en L2- L2: losa de borde libre

Condiciones para que sea losa borde libre- El lado borde libre debe ser el menor lado

de esa losa y no esta apoyado sobre vigas.- Los tres lados restantes tienen que estar

apoyados sobre vigas.- Se debe cumplir la relacion 0,25 < <1,5- El LBL deber ser menor que el 50% del

lado total.- a< 50% de b’ (para el caso de losa en U)

a. Calculo de L1:

Se dimensiona de la misma forma que losa armada en dos direcciones o en una direccion y se determina las condiciones de borde de los 3 lados (AB va apoyado siempre) restantes.b. Calculo de L2

RUTINA DE CALCULO

1. Se debe verificar la relacion:

0,25 < ly < 1.50

lx

- Si verificar la relacion siempre se arma en dos direcciones

- Si no verifica esa relacion se calcula Como losa armada en una direccion con un lado virtual.

2. Se hace el predimensionado: (hp= c . lm/100 + 1) c= 2.8

3. Se hace el analisis de carga: se calcula qT lm= en cm

4. Se determinan las cargas:

P1= qT . ly . lx (Tn)

P2= R . lx (Tn)

P3= M (Tn.m)

qT= carga total que viene del analisis de carga (tn/m2)

R= Reaccion de la losa que apoya sobre el borde libre (se calcula de dos formas: 1. por Kalmanok. 2. por el metodo de la linea de rotura o area de influencia)

M= Momento de empotramiento (caso de voladizo)

5. Se entra a la tabla con: = ly/lx , en el caso de losa correspondiente y se determinan los coeficientes de los momentos y de las reacciones (Rx y Ry)

Obs.: Cuando el valor no coincide con el de la tabla, se interpola o directamente se toma el inmediato superior.

Se determina luego:

Mr= P1 + P2 + P3

mr1 mr2 mr3

Mx= P1 + P2 + P3

mx1 mx2 mx3

Xr= P1 + P2 + P3

nr1 nr2 nr3

Xx= P1 + P2 + P3

nx1 nx2 nx3Mxy= P1 + P2 + P3

mxy1 mxy2 mxy3

My= P1 + P2 + P3

my1 my2 my3

Xy= P1 + P2 + P3

ny1 ny2 ny3

Mr: momento positivo paralelo a lx, desde el borde libre hasta 1/3 de ly

Mx: Momento positivo paralelo a lx, en los 2/3 de ly restante

Xr: momento negativo paralelo a lx, desde el borde libre hasta 1/3 de ly (aparecen en los empotramientos)

Xx: Momento negativo paralelo a lx, en los 2/3 de ly restante

Mxy: Momento torsor (momento que aparece en la union de dos lados simplemente apoyados)

My: momento flector positivo paralelo a ly

Xy: Momento flector negativo paralelo a ly

6. Dimensionamiento de la Losa:

Con el mayor de los momentos calculados se dimensiona por formulas de losas en dos direcciones el espesor del mismo. Luego se calculan las armaduras:

7. Disposicion de armaduras (Diseno o Detalles)

Nota: Normalmente Mr sale mayor que Mx

Hay mayor concentracion de hierro en el borde libre.

8. Calculo de reacciones:

Nomenclatura

Longitud de varilla en la direccion ly

lvarilla1= (ly – 0.3 lm) + 3h

lvarilla2= (ly – 0.15 lm)

Estas reacciones son muy importantes para el calculo de vigas

Rx: Reaccion sobre el lado ly

Ry: Reaccion sobre el lado lx

qT: del analisis de carga

Vx y Vy: de la tabla (10-G)

Ry= qT . ly . Vy (Tn/m)

Rx= qT . lx . Vx (Tn/m)

TIPOS DE LOSAS

1. Losas apoyadas sobre 4 vigas (existen 6 casos de condiciones de borde – tabla de Kalmanok).

Pueden estar aramadas en dos direcciones o cruz (lM/lm < 2) o en una direccion (lM/lm>2)

2. Losas apoyadas en tres lados sobre vigas y un lado borde libre (losa borde libre) (existen 6 casos de condiciones de borde – Tabla Aderson).

Siempre esta armada en dos direcciones si cumple la relacion 0.25 < < 1.5 y si no cumple esta relacion esta armada en una direccion (direccion paralela al lado virtual)

3. Losa apoyada en dos lados sobre vigas y dos lados libre (un lado virtual: R=0 y el otro lado borde libre: R= 0)

4. Losa apoyada sobre cuatro pilares y sin viga (tipo hongo)

5. Caso particular: losa en voladizo (armada en una direccion paralela al lado menor)

TIPOS DE CONDICIONES DE BORDE (Kalmanok en dos direcciones)

NOTA: supongase dibujo a escala

En 1 aparece: Macp ; Mbcp ; Mo ; Rac y Rbc

En 2 aparece: Ma ; Macp ; Mbcp ; Mo ; Rac ; Rbz y Rbc

En 3 aparece: Ma ; Macp ; Mb ; Mbc ; Mo ; Rac ; Raz ; Rb ; Raz

En 4 aparece: Ma ; Macp; Mbcp ; Rac ; Rbz

En 5 aparece: Ma ; Macp ; Mb ; Mbcp ; Rac ; Raz ; Rbz

En 6 aparece: Ma ; Mb ; Macp ; Mbcp ; Raz ; Rbz

DETERMINACION DE REACCIONES DE LOSAS

SEGUN EL METODO DE LAS LINEAS DE ROTURA

Calculo de Reacciones:

Rbl = qT A2/b (Tn/m)

Ral = qT A1/2 (Tn/m)

Calculo de A1: Figura 1

Por el teorema del SENO

Este metodo permite apreciar rapidamente si las reacciones calculadas mediante tablas no poseen errores.

P/ la figura 2 P/la figura 3

Rx= (qT . A2 + R lx/2)/lx Rx= qT . A2 + R . l2

Ry= (qT . A1)/ly Ry= qT . A1 + R . l1

a = l1 = l2Sen 105˚ sen 45˚ sen 30˚ ...1

h= l1.sen30˚ = l2 . Sen45˚ …2