INSTITUTO TECNOLGICO METROPOLITANO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS

JEFATURA DE CIENCIAS BSICAS

Clase 3. Matemticas Bsicas. Lgica.

Reglas de Inferencia y Mtodos de demostracin.

Las siguientes reglas, denominadas reglas de inferencia, son las implicaciones y equivalencias lgicas ms comunes empleadas para realizar demostraciones.

1. Adicin. ( )

2. Simplificacin. ( ) {

3. Modus ponendo ponens. (( ) )

4. Modus Tollendo Tollens. (( ) )

5. Contradiccin. ( )

6. Silogismo disyuntivo. {( ( ))

( ( ))

7. Leyes de De Morgan. { ( ) ( )

( ) ( )

8. Doble negacin. ( )

9. Implicacin. ( ) ( )

10. Bicondicional ( ) (( ) ( ))

11. Contrarrecproco. ( ) ( )

Como ya se haba definido anteriormente, una demostracin es un razonamiento lgico que permite pasar de un conjunto de proposiciones, llamadas hiptesis, a otra proposicin llamada tesis. Los mtodos ms usados para demostrar son: el mtodo de demostracin directa y el mtodo de reduccin al absurdo.

Mtodo de demostracin directa (MDD). Este mtodo consiste en llegar directamente a la tesis a partir de las hiptesis dadas. Cada vez que se deduce una proposicin por medio de una regla, esta proposicin se puede utilizar junto con las hiptesis para deducir otra y de esta manera llegar a la tesis. Ejemplo. Demostrar la validez del siguiente argumento. Si el reloj estaba adelantado, entonces Juan lleg antes de las diez y vio partir el coche de Andrs. Si Andrs dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrs. Andrs dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj estaba adelantado. Por lo tanto, Andrs estaba en el edificio en el momento del crimen.

Solucin.

Del enunciado se definen las siguientes proposiciones simples:

El reloj estaba adelantado Juan lleg antes de las diez Juan vio partir el coche de Andrs Andrs dice la verdad Andrs estaba en el edificio en el momento del crimen A continuacin, se construyen las hiptesis y la tesis:

Hiptesis:{

( )

tesis:

Finalmente, se realiza la demostracin.

1. ( ( )) Ponendo ponens 2. ( ) Simplificacin 3. ( ) Doble negacin

4. (( ) ( )) Tollendo Tollens

5. ( ( )) Silogismo disyuntivo

Ejercicio. Demostrar la validez del siguiente argumento usando el MDD.

Si la ballena es un mamfero, entonces toma oxgeno del aire. Si toma su oxgeno del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamfero y vive en el ocano. Por lo tanto, no necesita branquias

Mtodo de Reduccin al absurdo o por contradiccin (MRA). En este mtodo se parte por suponer como hiptesis adicional la negacin o falsedad de la tesis de modo que, haciendo uso de las reglas de inferencia, se llegue a una contradiccin lgica o absurdo. Obtenida la contradiccin, se concluye que la hiptesis adicional (la negacin de la tesis) es falsa, y por lo tanto, la tesis es verdadera.

Ejemplo. Demostrar la validez del siguiente argumento. Si el meteorlogo predice clima seco, entonces ir de excursin o ir a nadar. Ir a nadar si y slo si meteorlogo predice clima caluroso. Por lo tanto, si no voy de excursin, el meteorlogo predijo clima hmedo o caluroso Solucin. Sean el meteorlogo predice clima seco; ir de excursin; ir a nadar y el meteorlogo predice clima caluroso.

Hiptesis:{ ( )

tesis: ( )

1. ( ( )) hiptesis adicional: negacin tesis

2. ( ( )) ( ( ) ( )) definicin condicional

3. ( ( ) ( )) De Morgan y doble negacin

4. ( ) {

simplificacin

5. ( ) (( ) ( )) bicondicional

6. (( ) ( )) ( ) simplificacin

7. ( ( )) Tollendo Tollens

8. ( ( )) ( ) Ponendo ponens

9. ( ( )) Silogismo disyuntivo 10. ( ) contradiccin

En consecuencia, la negacin de la tesis es falsa y por lo tanto ( ) es verdadera. Ejercicio. Demostrar la validez del siguiente argumento usando el MRA.

Si los mapas son precisos y los interpreto correctamente, me encontrar a Luis. Si no interpreto los mapas correctamente, llegar tarde a la boda. Por lo tanto, si no encontr a Luis y no llegu tarde a la boda, los mapas son imprecisos

Definicin. Un ejemplo que muestra que, siendo todas las hiptesis verdaderas, la tesis de un argumento es falsa, se denomina contraejemplo. El contraejemplo es un mtodo que permite demostrar que un argumento dado no es vlido. Cuantificadores. Definicin 1. Una afirmacin que expresa una propiedad de un objeto o una relacin entre objetos se denomina predicado o funcin proposicional. En un predicado, los objetos involucrados se denominan variables. Las variables generalmente se representan por las letras y los predicados por las letras Ejemplo. ( ) es un escritor colombiano es un predicado que expresa la propiedad de ser colombiano del objeto .

Hay que advertir que, aunque un predicado no es una proposicin, se convierte en una, cuando se reemplazan las variables por valores especficos. Definicin 2. El conjunto de valores que pueden tomar las variables de un predicado se denomina universo del discurso o dominio. De la definicin 2 se sigue que, el dominio de un predicado contiene todos los objetos a los que hace referencia dicho predicado. As, para el ejemplo dado, el dominio es el conjunto de personas.

Definicin 3. Cuantificar una variable es indicar a cuntos valores en su dominio es aplicable el predicado. Esta cuantificacin se hace a travs de cuantificadores. Existen dos clases de cuantificadores: el cuantificador universal y el cuantificador existencial.

Cuantificador universal. El smbolo que se lee para todo, para cada o para cualquier, recibe el nombre de cuantificador universal y se emplea para indicar que el predicado se aplica a cualquier valor en el dominio. As, si ( ) es un predicado cuya variable es , entonces la afirmacin para todo , ( ) se escribe ( )( ( )).

Cuantificador existencial. El smbolo que se lee existe un, para algn o para al menos un, recibe el nombre de cuantificador existencial y se emplea para indicar que el predicado se aplica al menos a un valor en el dominio. As, si ( ) es un predicado cuya variable es , entonces la afirmacin existe un tal que ( ) se escribe ( )( ( )). Ejemplo. Sean los predicados:

( ) La impresora est fuera de servicio ( ) La impresora est ocupada ( ) El trabajo de impresin se ha perdido ( ) El trabajo de impresin est en cola

Enunciar las siguientes proposiciones:

a) ( )( ( )) ( )( ( )) b) ( )( ( ) ( )) ( )( ( ))

c) ( )( ( ) ( )) ( )( ( ))

d) (( )( ( )) ( )( ( ))) ( )( ( ))

Valor de verdad de un cuantificador.

La siguiente tabla muestra los valores de verdad de los cuantificadores universal y existencial.

Cuantificador Verdadero Falso ( )( ( )) ( ) es verdadero para todos los valores

de ( ) es falso para algn valor de

( )( ( )) ( ) es verdadero para algn valor de ( ) es falso para todos los valores de

Ejemplo. La proposicin Todos los animales son mamferos que es equivalente a para todo animal , es mamfero, se expresa formalmente como ( )( ( )) donde, ( ) corresponde al predicado es mamfero.

Esta proposicin es falsa ya que al sustituir por culebra, la proposicin obtenida ( ) la culebra es un mamfero es falsa.

Negacin del cuantificador.

La negacin de una proposicin con cuantificadores es equivalente a la proposicin que se obtiene sustituyendo cada por , cada por y reemplazando el predicado por su negacin. Esto es,

( )( ( )) ( )( ( )) ( )( ( )) ( )( ( ))

Por ejemplo, la negacin de Todos los animales son mamferos es Algunos animales no son mamferos.