CURSO: MATERIALES DE INGENIERÍA DOCENTE: Ing. Sofía C. Terrones Abanto

sofiaterrones@gmail.com

TEMA: Naturaleza de los MaterialesEstructuras Cristalinas y Geometría de los Cristales

INGENIERÍA CIVIL

Las Redes Espaciales y la Celda Unitaria

• Si los átomos o iones están ordenados de acuerdo con un patrón que se repite en el espacio, forman un sólido que tiene un orden de largo alcance (OLA) dando lugar a la estructura cristalina.

• Las propiedades de los sólidos dependen de la estructura cristalina y de la fuerza de enlace.

• Una red imaginaria de líneas, con los átomos en las intersecciones de las líneas, que representan la disposición de los átomos se llama, red espacial.

Celda Unitaria

Red Espacial• La celda unitaria es ese bloque

de átomos que se repite para

formar la red espacial.

• Los materiales arreglados enorden de corto alcance son llamadosmateriales amorfos

Sistemas Cristalinos y Redes de Bravais

• Solo siete tipos diferentes de celdas unitarias son necesarias para crear todas las redes puntuales.

• De acuerdo a Bravais (1811-1863) catorce celdas unitarias estándar pueden describir todas las redes posibles.

• Existen cuatro tipos básicos de celdas unitarias:

Simple Centrada en el cuerpo Centrada en las caras Centrada en las bases

Tipos de Celdas Unitarias

• Celda Unitaria Cúbica a = b = c α = β = γ = 900

• Tetragonal a =b ≠ c α = β = γ = 900

Simple Centrada en el cuerpo

Centrada en las caras

Simple Centrada en el cuerpo

Figura 3.2

Tipos de Celdas Unitarias (Cont..)

• Ortorómbica a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900

• Rombohedral a =b = c α = β = γ ≠ 900

Simple Centrada en las bases

Centrada en las caras Centrada en el cuerpo

Simple

Figura 3.2

Tipos de Celdas Unitarias (Cont..)

• Hexagonal a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900

• Monoclínica a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900

• Triclínica a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900

Simple

Simple

Simple

Centradaen las bases

Figura 3.2

Principales Estructuras Cristalinas Metálicas

• La mayoría de los metales puros (aproximadamente 90%) cristalizan al solidificar en tres estructuras cristalinas: Cúbica Centrada en el Cuerpo (BCC), Cúbica Centrada en las Caras (FCC) y Hexagonal Compacta (HCP).

• HCP es una modificación más densa de la estructura cristalina hexagonal simple.

Estructura BCC Estructura FCC Estructura HCP

Estructura cristalina Cúbica Centrada en el Cuerpo (BCC)

• Representado como un átomo en cada esquina del cubo y uno en el centro del cubo.

• Cada átomo tiene 8 vecinos más cercanos.

• Por lo tanto, su número de coordinación es 8.

• Ejemplos :- Cromo (a=0.289 nm) Hierro (a=0.287 nm) Sodio (a=0.429 nm)

Figura 3.4 a y b

Estructura Cristalina BCC (Cont..)

• Cada celda unitaria tiene ocho1/8 átomo en los vértices y un

átomo entero en el centro.

• Por tanto cada celda unitaria

tiene

• Los átomos contactan uno a

otro en la diagonal del cubo

(8x1/8 ) + 1 = 2 átomos

3

4R Por lo tanto, la constantede red a =

Figura 3.5

Factor de empaquetamiento atómico de la estructura BCC

Factor de empaquetamiento atómico = Vol. que ocupan los átomos en c.u.

Volumen de la celda unitaria

Vátomos = = 8.373R3

3

3

4

R= 12.32 R3

Por lo tanto, FEA = 8.723 R3

12.32 R3 = 0.68

Vcelda unitaria = a3 =

3

4.2

3R

Estructrura cristalina cúbica centrada en las caras (FCC)

• La estructura FCC se representa con un átomo en cada vértice del cubo y uno en el centro de cada cara del cubo.

• El número de coordinación para la estructura FCC es 12.

• El factor de empaquetamiento atómico es 0.74

• Ejemplos :- Aluminio (a = 0.405) Oro (a = 0.408)

Figura 3.6 a y b

Estructura cristalina FCC (Cont..)

• Cada celda unitatria tiene ocho 1/8

átomo en los vértices y seis ½

átomos en el centro de las seis

caras.

• Por lo tanto cada celda unitaria tiene

• Los átomos contactan uno a otro

a través de la diagonal de la cara del cubo.

(8 x 1/8)+ (6 x ½) = 4 átomos

2

4RPor tanto, la constantede red a =

Figura 3.7

Estructura Hexagonal Compacta

• La estructura HCP se representa como un átomo en cada uno de los 12 vértices de un prisma hexagonal, 2 átomos en la cara superior e inferior y 3 átomos en medio de la cara superior e inferior.

• Los átomos logran FEA más altos por la consecusión de la estructura HCP que con la estructura hexagonal simple.

• El número de coordinación es 12, FEA = 0.74.

Según F.M. Miller, “Chemistry: Structure and Dynamics,” McGraw-Hill, 1984, p.296

Figura 3.8 a y b

Estructura cristalina HCP

• Cada átomo tiene seis 1/6 átomos en cada una de las capas superior e inferior, dos mitades de átomos en la capa superior e inferior y 3 átomos completos en la capa media.

• Por tanto cada celda unitaria HCP tiene

• Ejemplos:- Zinc (a = 0.2665 nm, c/a = 1.85) Cobalto (a = 0.2507 nm, c.a = 1.62)

• La relación c/a ideal es 1.633.

(2 x 6 x 1/6) + (2 x ½) + 3 = 6 átomos

Posiciones del átomo en

Celdas unitarias Cúbicas

Posiciones del átomo en Celdas Unitarias Cúbicas

• El sistema de coordenadas cartesianas se usa para localizar átomos.

• En una celda unitaria cúbica El eje y es la dirección a la derecha.

El eje x es la dirección saliendo del papel. El eje z es la dirección hacia la parte superior. Las direcciones negativas son lo opuesto de las direcciones

positivas.

• Las posiciones de los átomos son localizadas usando distancias unitarias a lo largo de los ejes.

Figura 3.10 b

Direcciones en Celdas Unitarias Cúbicas

• Para los cristales cúbicos los Índices de las Direcciones son los componentes del vector de dirección descompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos a mínimos enteros.

• Los índices de dirección son coordenadas de posición de la celda unitaria donde el vector de dirección emerge a la superficie de la celda, después de convertirlas en enteros.

Figure 3.11

Procediminento para encontrar Índices de Dirección

(0,0,0)

(1,1/2,1)

zProducir el vector de dirección hasta que emerga a la superficie de la celda cúbica

Determinar las coordenadas del puntode la emergencia y el origen

Sustraer las coordenadas del punto de emergencia por aquel del origin

(1,1/2,1) - (0,0,0) = (1,1/2,1)

¿Todos sonenteros?

Convertirlos a losenteros más pequeños

posibles multiplicando por un entero.

2 x (1,1/2,1) = (2,1,2)

¿Alguno de los vectoresde dirección son negativos?

Representar los índices entrecorchetes sin comas con un

sobre los índices neg. (Ejm: [121])

Representar los índices entre corchetes sin comas

(Ejm.: [212] )

Los índices de dirección son [212]

x

y

SI

NO

SINO

Índices de Dirección - Ejemplo

• Determine los índices de dirección del vector dado. Las coordenadas del origen son (3/4 , 0 , 1/4). Las coordenadas de emergencia son (1/4, 1/2, 1/2). Sustraer las coordenadas del origen de las coordenadas de emergencia, (3/4 , 0 , 1/4) - (1/4, 1/2, 1/2) = (-1/2, 1/2, 1/4) Multiplicar por 4 para convertir todas las fracciones a enteros 4 x (-1/2, 1/2, 1/4) = (-2, 2, 1) Por lo tanto, los índices de dirección son [ 2 2 1 ]

Figura EP3.6

Índices de Miller• Los Índices de Miller son usados para referir a planos reticulares

específicos de átomos.

• Ellos son los recíprocos de las fracciones de intercepción (con fracciones simplificadas) que el plano presenta con los ejes cristalográficos x, y y z de las tres aristas no paralelas de la celda unitaria cúbica.

z

x

y

Índices de Miller =(111)

Índices de Miller - Procedimiento

Elegir un plano que no pase a través del origen

Determinar los interceptos x,y y z

del plano

Encontrar los recíprocosde los interceptos

¿Fracciones? Elimina las fracciones multiplicando por un entero para determinar el conjunto

más pequeños de núm. enteros

Encierre entre paréntesis (hkl) donde h,k,l son índices de Miller del plano cristalino cúbico para los ejes x,y y z. Ejm.: (111)

Coloque una ‘barra’ sobre los índices Negativos

Índices de Miller - Ejemplos

• Los interceptos del plano en los ejes x,y & z son 1, ∞ e ∞

• Tomando los recíprocos obtenemos (1,0,0).

• Los índices de Miller son (100).

*******************

• Los interceptos son 1/3, 2/3 & 1.

• Tomando los recíprocos obtenemos (3, 3/2, 1).

• Multiplicando por 2 para eliminar fracciones, obtenemos (6,3,2).

• Los índices de Miller son (632).

xx

y

z

(100)

3-21Figura 3.14

Índices de Miller - Ejemplos

• Plotear el plano (101)

Tomando los recíprocos de los índices obtenemos (1 ∞ 1).

Los interceptos del plano son x=1, y= ∞ (paralelo a y) y z=1.

******************************

• Plotear el plano (2 2 1)

Tomando los recíprocos de los índices obtenemos (1/2 1/2 1).

Los interceptos del plano son x=1/2, y= 1/2 y z=1.

Figura EP3.7 a

Figura EP3.7 c

Miller Indices - Example

• Plotear el plano (110) Los recíprocos son (1,-1, ∞) Los interceptos son x=1, y=-1 y z= ∞ (paralelo al eje z)

Para mostrar este plano en una celdaunitaria simple, el

origen se mueve a lo largo de la dirección positiva del eje y en 1 unidad.

x

y

z(110)

Índices de Miller – Relación Importante

• Los índices de dirección de una dirección perpendicular a un plano cristalino son los mismos como los índices de Miller del plano.

• Ejemplo:-

• La distancia interplanar entre los planos paralelos más cercanos con los mismos índices de Miller está dado por

[110](110)

x

y

z

lkhd

ahkl 222

Figura EP3.7b

Planos y Direcciones en Celdas Unitarias Hexagonales

• Cuatro índices son usados (hkil) conocidos como índices de Miller-Bravais.

• Cuatro ejes son usados (a1, a2, a3 y c).

• El recíproco de las intercepciones que un plano cristalino hace con los ejes a1, a2, a3 y c dan los índices h,k,i y l respectivamente.

Figura 3.16

Celda Unitaria Hexagonal - Ejemplos

• Planos Basales:- Interceptos a1 = ∞

a2 = ∞

a3 = ∞

c = 1

(hkli) = (0001)

• Planos Prismáticos:- Para el plano ABCD,

Interceptos a1 = 1

a2 = ∞

a3 = -1

c = ∞

(hkli) = (1010)

Figura 3.12 a y b

Direcciones en las Celdas Unitarias HCP

• Indicados por 4 índices [uvtw].

• u,v,t y w son vectores de la red en las direcciones a1, a2, a3 y c respectivamente.

• Ejemplo:-

Para las direcciones a1, a2, a3, los índices de dirección son

[ 2 1 1 0], [1 2 1 0] y [ 1 1 2 0] respectivamente.

Figura 3.18 d

Comparación de los cristales FCC y HCP

• Ambos FCC y HCP son compactos y tienen FEA 0.74.

• Los cristales FCC están empaquetados en el plano (111) mientras que los cristales HCP están empaquetados en el plano (0001).

Según W.G. Moffatt, G.W. Pearsall, & J. Wulff, “The Structure and Properties of Materials,” vol. I: “Structure,” Wiley, 1964, p.51.)

Figura 3.19 a y b

Diferencia estructural entre HCP y FCC

Considerar una capade átomos (Plano ‘A’)

Otra capa de átomos(plano ‘B’) se situa en loshuecos ‘a’ del plano ‘A’

La tercera capa de átomos situados en los huecos ‘b’ del plano ‘B’. (Idéntico

al plano ‘A’.) cristal HCP.

Plano Ahueco ‘a’hueco ‘b’

Plano APlano B

hueco ‘a’hueco ‘b’

Plano APlano B

Plano A

Densidad Volumétrica

• Densidad vol. del metal =

• Ejemplo:- El cobre (FCC) tiene una masa atómica de 63.54 g/mol y un radio atómico de 0.1278 nm.

v Masa/Celda UnitariaVolumen/Celda Unitaria

=

a=2

4R=

2

1278.04 nm= 0.361 nm

Volumen de la celda unitaria = V= a3 = (0.361nm)3 = 4.7 x 10-29 m3

v

La celda unitaria FCC tiene 4 átomos.

Masa de la c.u. = m =

gMg

molátomosmolgátomos 6

23

10/10023.6

)/54.63)(4(= 4.22 x 10-28 Mg

33329

28

98.898.8107.4

1022.4

cm

g

m

Mg

m

Mg

V

m

Densidad Atómica Planar

• Densidad atómica planar =

• Ejemplo:- En el hierro (BCC, a=0.287), el plano (110) intersecta el centro de 5 átomos (Cuatro ¼ y 1 átomo completo).

El número equivalente de átomos = (4 x ¼ ) + 1 = 2 átomos

Área del plano 110 =

p=

Nº equivalente de átomos cuyos centrosson interceptados por el área seleccionada

Área seleccionada

222 aaa

p 2287.02

2=

2

13

2

1072.12.17

mmnm

átomos

Figura 3.22 a y b

Densidad Atómica Lineal

• Densidad atómica lineal =

• Ejemplo:- Para un cristal de cobre FCC (a=0.361), la dirección [110] intersecta 2 mitades de diámetro y diámetro completo.

Por lo tanto, este intercepta ½ + ½ + 1 = 2 diámetros atómicos.

Longitud de la línea =

l =

Nº de diámetros atómicos intercep-tados por la longitud seleccionada de línea en la dirección de interés

Longitud seleccionada de línea

mm

átomos

nm

átomos

nm

átomos 61092.392.3

361.02

2

l

nm361.02

Figura 3.23

Polimorfismo o Alotropía

• Los metales existen en más de una forma cristalina. Esto es llamado polimorfismo o alotropía.

• La temperatura y la presión conduce a cambios en las formas cristalinas.

• Ejemplo:- El hierro existe en ambas formas BCC y FCC dependiendo de la temperatura.

-2730C 9120C 13940C 15390C

Hierro αBCC

Hierro γFCC

Hierro δBCC

HierroLíquido

Análisis de Estructura Cristalina

• Information acerca de la estructura cristalina son obtenidos usando Rayos-X.

• Los rayos-X usados están alrededor de la misma longitud de onda (0.05-0.25 nm) que la distancia entre los planos de la red cristalina.

35 KV

(Ej.:Molibdeno)

Según B.D. Cullity, “Elements of X-Ray Diffraction, “ 2d ed., Addison-Wesley, 1978, p.23.

Figura 3.25

Espectro de Rayos-X del Molibdeno

• El espectro de Rayos-X del Molibdeno se obtiene cuando el Molibdeno es usado como metal blanco.

• Kα y Kβ son característica de un elemento.

• Para el Molibdeno Kα ocurre en longitud de onda de alrededor de 0.07nm.

• Los electrones de la capa n=1 del metal blanco son expulsados del átomo por bombardeo de electrones.

• Los electrones de un nivel más altos descienden emitiendo energía para reemplazar a los electrones perdidos. Figura 3.26

Difracción de Rayos-X

• Los planos cristalinos del metal objetivo actúan como espejos que reflejan los haces de rayos-X.

• Si los rayos que salen de un conjunto

de planos están fuera de fase (como

en el caso de un ángulo arbitrario de

incidencia) no se produce un haz

reforzado.

• Si los rayos que salen están en fase,

se producen haces reforzados.

Según A.G. Guy and J.J. Hren, “Elements of Physical Metallurgy,” 3d ed., Addison-Wesley, 1974, p.201.)

Figura 3.28

Difracción de Rayos-X (Cont..)

• Para rayos reflejados de planos diferentes para estar en fase, la distancia extra recorrida por un rayo debe ser un múltiplo entero de la longitud de onda λ .

nλ = MP + PN (n = 1,2…)

n es el orden de difracción

Si dhkl es distancia interplanar,

Entonces MP = PN = dhkl.Senθ

Por tanto, λ = 2 dhkl.Senθ

Según A.G. Guy and J.J. Hren, “Elements of Physical Metallurgy,” 3d ed., Addison-Wesley, 1974, p.201.)

Figura 3.28

Materiales Amorfos

• Los átomos ocupan posiciones espaciales aleatorias.

• Polímeros: Los enlaces secundarios no permiten la formación de cadenas paralelas y apretadas durante la solidificación. Los polímeros pueden ser semicristalinos.

• El vidrio es un cerámico hecho de tetraedros SiO4 4- – con movilidad limitada.

• El enfriamiento rápido de los metales (10 8 K/s) puede dar lugar a estructuras amorfas (vidrios metálicos).

• Los vidrios metálicos tienen prop. metálicas superiores.

Espectro Electromagnético

Consiste en medir las intensidades de la mayor cantidad posible de haces difractados del espectro tridimensional de difracción, obtener de ellas los módulos de los factores de estructura, y de sus valores, mediante algún procedimiento de asignación de fases a cada uno de estos factores, reconstruir la distribución electrónica en la celdilla elemental, cuyos máximos corresponderán a las posiciones atómicas.

La Cristalografía estructural por difracción de rayos X

Dispositivo para obtener un patrón

de difracción de rayos X de un cristal

Pantalla

Crital

Placa fotográficaHaz de rayos X

Tubo de rayos X

Por quPor quéé necesitamos cristales para ver necesitamos cristales para ver difraccidifraccióón?n?

•Amplificación de la señal

….(efecto de interferencia a tener en cuenta!)

moléculacelda unidad

cristal

Celdas unidad en el sistema cristalino cúbico

Cúbica sencilla

Cúbica centrada en

el cuerpo

Cúbica centrada en

las caras

PLANOS EN UN SÓLIDO CRISTALINO

Distancia adicional = BC + CD = 2d sen = n (Ecuación Bragg)

Reflexión de rayos X por dos planos de átomos

Rayos incidentes Rayos difractados

d sen d sen

Ley de Bragg

nλ = 2 d(hkl) sen θ

ef + fg = nλ

Planos (h k l)

dd(hkl)

DIFRACCIÓN EXPERIMENTAL

2 theta

5 10 20 30 40 50

d=7,

6207

5

d=4,

2794

7

d=3,

7989

3

d=3,

3430

3

d=3,

0645

3

d=2,

8707

4

d=2,

7874

8 d=2,

6834

9

d=2,

5929

7

d=2,

4940

3

d=2,

2166

2

d=2,

0836

1

d=2,

0447

0

d=1,

8982

1d=

1,87

920

d=10

.082

d=3,

178

d=3,

032

d=2,

453

d=2,

403

d=2,

282

d=1,

991

2 theta

5 10 20 30 40 50

YESO

CUARZO

CALCITA

Método de polvos(Powder method)