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Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 1
1. Control de Mínima Varianza 1. CONTROL DE MÍNIMA VARIANZA.................................................................1
1.1. PLANTEO DEL PROBLEMA .........................................................................................3
1.2. CRITERIO DE OPTIMIZACIÓN .....................................................................................6
1.3. PREDICCIÓN ÓPTIMA .................................................................................................9
1.3.1. Forma intuitiva..................................................................................................9
1.1.1. Caso General...................................................................................................11
1.3.2. Cálculo del Predictor Óptimo.........................................................................15
1.3.3. Raíces de C Sobre el Círculo Unidad .............................................................20
1.4. CONTROL DE MÍNIMA VARIANZA ...........................................................................22
1.4.1. Seguimiento de Referencias ............................................................................28
1.4.2. Mínima Varianza Ponderado..........................................................................30
1.4.3. Interpretación como Ubicación de Polos .......................................................32
1.4.4. Sistemas con Inversa Inestable .......................................................................33
1.5. REGULADOR LINEAL ÓPTIMO ESTOCÁSTICO (LQG) ..............................................40
1.5.1. Factorización Espectral ..................................................................................44
1.5.2. Discusión Heurística .......................................................................................47
1.5.3. Demostración Formal .....................................................................................48
1.6. REFERENCIAS ..........................................................................................................51
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1.1. Planteo del Problema Proceso
( )( )
1
1k k
B qx u
A q= [1.1]
k k ky x v= + [1.2]
( )( )
1
2k k
C qv e
A q= [1.3]
con e ruido blanco, ( )2A q puede ser inestable, por lo tanto v puede no ser esta-cionario. Haciendo
1 2
1 2
1 1
A A AB B AC C A
===
[1.4]
se despeja v
( ) ( ) ( )k k kA q y B q u C q e= + [1.5]
Se supone que C tiene todos sus raíces dentro del círculo unidad.
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Ejemplo 1.1. Modificación de C Sea
( ) 2C z z= + [1.6]
sea la señal
( )k kn C q e= [1.7]
si e es ruido blanco, el espectro de n es
( ) ( ) ( )12
jwT jwT jwTe C e C eφπ
−= [1.8]
se cumple
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 1 1
1 1
2 2 1 2 1 2
2 1 2 1 4 0,5 0,5
C z C z z z z z
z z z z
− − −
− −
= + + = + +
= + + = + +[1.9]
o sea que n se puede representar
( ) ( )* 2 1k k kn C q e z e= = + [1.10]
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si algunas raíces de C están fuera del círculo se las reemplaza de esta manera
* *
C C CC C C
+ −
+ −
=
= [1.11]
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1.2. Criterio de Optimización
{ }2mv kJ E y= [1.12]
control de mínima varianza
2
1
1limN
kN k
J E yN∞ →∞
=
=
∑ [1.13]
control lineal cuadrático (lqr)
{ }2 2lqr k kJ E y uρ= + [1.14]
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Ejemplo 1.2. Control de Mínima Varianza
1 1k k k k ky ay bu e ce+ ++ = + + [1.15]
con 1c < e tiene media nula y varianza unitaria. Se trata de mantener la salida lo más próxima a cero que se pueda. Como 1ke + es independiente de ky se cumplirá
( ) ( )1 1var var 1k ky e+ +≥ = [1.16]
Si se toma la ley de control
( )1k k ku ay ce
b= − [1.17]
en el siguiente instante resultará
1 1k ky e+ += [1.18]
esto se cumple para todo instante o sea que el control se reduce a
k kc au y
b−
= − [1.19]
es un control proporcional
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El denominador de lazo cerrado es
( )C z z c= + [1.20]
de aquí la importancia de que este polinomio sea estable La salida, con este control será
( ) ( )0
0 0
k kk k k ky e c y e−= + − − [1.21]
como c<1, el segundo término tiende a cero. Este control da la mínima varianza de la salida. La cantidad
k k kay bu ce− + + [1.22]
se puede interpretar como la mejor predicción de la salida en k+1 la cantidad 1ke + es el error de predicción
El control se puede redefinir como el que hace que el error de predicción sea mínimo
En este caso el error de control es igual al error de predicción Predicción y control están ligados
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1.3. Predicción Óptima Se asume: que el sistema está perturbado por ruido blanco gaussiano y que el mejor pre-
dictor es el que minimiza el error de predicción en sentido medio cuadrático.
1.3.1. Forma intuitiva
( )( )
( )( )
* 1
* 1k k k
C qC qy e e
A q A q
−
−= = [1.23]
donde
( ) ( )* 1 nA q q A q− −= [1.24]
(se hace esto por una cuestión de causalidad) Se asume que A y C son de orden n. En el instante k se conocen 1, ,k ky y − y se desea predecir k my +
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Si se desarrolla en serie, se obtiene
( )( )
* 1
1 1 1 1 1 1* 1k m k m k m k m m k m k m k
desconocidos conocidos
C qy e e f e f e f e f e
A q
−
+ + + + − − + + −−= = + + + + + + [1.25]
Si C es estable se puede calcular e en base a las medidas de y.
( )( )
* 1
* 1k k
A qe y
C q
−
−= [1.26]
La mejor predicción será
/ 1 1ˆk m k m k m ky f e f e+ + −= + + [1.27]
y el error de predicción es
/ 1 1 1 1k m k k m k m m ky e f e f e+ + + − − += + + + [1.28]
Resta calcular los if
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1.1.1. Caso General El predictor de mínima varianza a m pasos está dado por
( )( )
( )( )
* 1
/ * 1ˆk m k k k
G qG qy q y y
C q C q
−
+ −= = [1.29]
donde F y G son el cociente y el resto de la división 1mq C
A+
, es decir:
( ) ( ) ( ) ( )1mq C q A q F q G q− = + [1.30]
El error de predicción es un promedio móvil con media nula
( )/ / 1 1 1 1
1
ˆk m k k m k m k k m k m m k
k
y y y e f e f eF q e
+ + + + + − − +
+
= − = + + +
= [1.31]
su varianza es
( ){ } ( )2 2 2 2/ 1 11k m k mE y f f σ+ −= + + + [1.32]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 12
- Demostración El polinomio F es de grado m-1 y mónico. El grado de G es menor a n
( )( )
1 21 1
1 20 1 1
m mm
n nn
F q q f q f
G q g q g q g
− −−
− −−
= + + +
= + + + [1.33]
o
( )( )
* 1 1 11 1
* 1 1 10 1 1
1 mm
nn
F q f q f q
G q g g q g q
− − − +−
− − − +−
= + + +
= + + + [1.34]
se debe cumplir
( ) ( ) ( ) ( )* 1 * 1 * 1 * 1mC q A q F q q G q− − − − −= + [1.35]
las ecuaciones [1.23] y [1.25] se pueden reescribir
( )( ) ( ) ( )
( )* 1 * 1
* 1* 1 * 1k m k m k m k
desconocidoconocido
C q G qy e F q e e
A q A q
− −−
+ + +− −= = + [1.36]
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sabiendo la relación entre e e y
( ) ( )( )
* 1* 1
* 1k m k m k
G qy F q e y
C q
−−
+ + −= + [1.37]
Suponiendo que la predicción es una combinación lineal arbitraria de medidas de la salida, la varianza del error de predicción será
( ){ } ( )( ){ } ( )( )
( )( ) ( )( )
2* 122 * 1
/ /* 1
* 1* 1
/* 1
ˆ ˆ
ˆ2
k m k m k k m k k m k
k m k k m k
G qE y y E F q e E y y
C q
G qE F q e y y
C q
−−
+ + + +−
−−
+ +−
− = + − + −
[1.38]
el último término tiende a cero ya que e es incorrelado con la salida. El predictor que minimiza esta varianza es el que hace cero el segundo término o sea
( )( )
* 1
/ * 1ˆk m k k
G qy y
C q
−
+ −= [1.39]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 14
El mejor predictor es lineal. Esto surge al poder eliminar el tercer término en el cálculo de la varianza.
El error de predicción es
1/ 1 1 1ˆk k k k ky y y e+ + + += − = [1.40]
Por esto se dice que la variable e es la innovación del proceso y. Con este predictor el funcional resulta
( ) ( ){ } ( )2 2 2 2/ 1 11k m k mJ m E y f f σ+ −= = + + + [1.41]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 15
1.3.2. Cálculo del Predictor Óptimo Igualando términos en la ecuación [1.30]
1 1 1
2 2 1 1 2
1 1 2 1 1 2 1
1 1 1 1 0
1 1 1 2 1 1
1 1 1 1
1 2 2 1 1
1 1
0
0
m m m m m
m m m m
m m m m
n n n n m m n m
n n n m m n m
n m n
c a fc a a f f
c a a f a f fc a a f a f g
c a a f a f g
c a a f a f ga f a f a f g
a f g
− − − − −
− −
+ + −
− − + − −
− − + − − +
− −
= += + +
= + + + += + + + += + + + +
= + + + += + + + +
= + [1.42]
es la solución de una ecuación diofantina
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Ejemplo 1.3. Predictor
( )( )
2
2
1,5 0,7
0,2 0,5
A q q q
C q q q
= − +
= − + [1.43]
El predictor a 3 pasos se calcula
( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 0 10,2 0,5 1,5 0,7q q q q q q f q f g q g− + = − + + + + + [1.44]
( ) ( )( )
3 2 3 21 1 2
1 2 0
2 1
0,2 0,5 1,5 0,7 1,5
0,7 1,50,7
q q f q f f q
f f g qf g
− + = − + + + +
+ − +
+ +
[1.45]
1
2
0
1
1,31,751,715
1,225
ffgg
==== −
[1.46]
El predictor resulta
( )( )
2
3/ 2
1,715 1,225ˆ0,2 0,5k k k k
qG q q qy y yC q q q+
−=
− + [1.47]
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y su varianza es
{ } ( ) ( )2 22 1 1,3 1,75 5,7525E y = + + = [1.48]
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Ejemplo 1.4. Influencia del horizonte de predicción La varianza depende de los términos de F. Estos aumenta con el horizonte m. Como F se obtiene dividiendo C con A, sus elementos corresponden a la res-
puesta impulsional del sistema
( )( )
( )
2
2
1 3 3
0
0,2 0,51,5 0,7
1 1,3 1,75 1,715
k k k
k
j k jj
C q q qy e eA q q q
q q q e
f e
− − −
∞
−=
− +=
− +
= + + + +
=∑
[1.49]
y el costo de la predicción
{ }1
22 2
0
m
jj
E y fσ−
=
= ∑ [1.50]
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-6
-4
-2
0
2
4
6
8
horizonte: 3 y 5 respectivamente
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 20
1.3.3. Raíces de C Sobre el Círculo Unidad Ejemplo 1.5. Una Raíz en Uno 1k k ky e e −= − [1.51]
1/ˆk k ky e+ = − [1.52]
calculando e en base a y
0 0
0
1 1
k
k k i k ki k
e e y e z− −=
= + = +∑ [1.53]
no va a cero ya que 0 1ke − no se anula.
----------usar filtro Kalman--------------
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Ejemplo 1.6. Modelo de Señal Continua ( ) ( )k kA q y C q e b= + [1.54]
se puede eliminar b haciendo ( ) ( ) ( ) ( )1 1k kq A q y q C q e b− = − + [1.55]
y considerar una nueva variable
( ) ( ) ( ) ( )1k k kA q y q C q e C q e∆ = − = [1.56]
pero en ( )C q aparece una raíz en uno.
Hay que evitar estos modelos.
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 22
1.4. Control de Mínima Varianza
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
* 1 * 1
* 1 * 1d
k k k k k
B q C qB q C qy u e q u e
A q A q A q A q
− −−
− −= + = + [1.57]
B estable d gradoA gradoB= − gradoC gradoA n= =
haciendo m=d, se obtiene
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )( )
* 1 * 1 * 1 * 1* 1
* 1 * 1 * 1 * 1k d k d k k d k k
C q B q G q B qy e u F q e e u
A q A q A q A q
− − − −−
+ + +− − − −= + = + + [1.58]
se sabe además, que para las muestras conocidas se puede calcular e
( )( )
( )( )
* 1 * 1
* 1 * 1d
k k k
A q B qe y q u
C q C q
− −−
− −= − [1.59]
reemplazando,
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 23
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
* 1 * 1 * 1 * 1* 1
* 1 * 1 * 1 * 1
* 1 * 1 * 1* 1
* 1 * 1
dk d k d k k k
k d k k
G q G q B q B qy F q e y q u u
C q A q C q A q
G q B q F qF q e y u
C q C q
− − − −− −
+ + − − − −
− − −−
+ − −
= + − +
= + +
[1.60]
Se debe calcular la acción de control tal que minimice la varianza de la salida
( ){ } ( )( ){ } ( )( )
( ) ( )( )
2* 1 * 1 * 122 * 1
* 1 * 1k d k d k k
G q B q F qE y E F q e E y u
C q C q
− − −−
+ + − −
= + +
[1.61]
el único término manejable es el segundo, que debe ser cero,
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
* 1
* 1 * 1k k k
G q G qu y y
B q F qB q F q
−
− −= − = − [1.62]
se interpreta como una predicción a d-pasos
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 24
( )( )
dz B zA z
−( )( ) ( )G z
B z F z−
ky
( )( )
C zA z
ke
ku
La salida entonces resulta
( )* 11 1 1 1k k k k d k dy F q e e f e f e−
− − − += = + + + [1.63]
es un promedio móvil de longitud d-1. La covarianza se extinguirá para separaciones mayores a d-1. Esto se utiliza
como diagnóstico Hay cancelación de los ceros del proceso
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 25
Ejemplo 1.7. Control de mínima Varianza
( )( )( )
3 2
3 2
1,7 0,7
0,5
0,9
A q q q q
B q q
C q q q
= − +
= +
= −
[1.64]
2d = [1.65]
( )( ) 2
0,8
0,66 0,56
F q q
G q q q
= +
= − [1.66]
( )
( )( )0,66 0,560,5 0,8k k
q qu y
q q−
= −+ +
[1.67]
1 2 11,3 0,4 0,66 0,56k k k k ku u u y y− − −= − − − + [1.68]
{ }2 21 0,8 1,64E y = + = [1.69]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 26
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3
-2
-1
0
1
2
3
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 27
Ejemplo 1.8. Influencia del Retardo
( )( ) ( )( )
* 1 1 2
* 1 1
* 1 1 2
1 1,5 0,7
1 0,5
1 0,2 0,5
d
A q q q
B q q q
C q q q
− − −
− − −
− − −
= − +
= +
= − +
[1.70]
1 3 5d = − − [1.71]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-6
-4
-2
0
2
4
6
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 28
1.4.1. Seguimiento de Referencias La planta se escribe
( ) ( )( )
( ) ( )( )
* 1 * 1 * 1* 1
* 1 * 1k d k d k k
G q B q F qy F q e y u
C q C q
− − −−
+ + − −= + + [1.72]
Se debe calcular la acción de control tal que minimice la varianza de la salida
( ){ } ( )( ){ } ( )( )
( ) ( )( )
2* 1 * 1 * 122 * 1
* 1 * 1k d k d k d k k k d
G q B q F qE y r E F q e E y u r
C q C q
− − −−
+ + + +− −
− = + + −
[1.73]
el único término manejable es el segundo, que debe ser cero,
( ) ( ) ( ) ( )1 * 1* 1 * 1
1k k d ku C q r G q y
B q F q− −
+− − = − [1.74]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 29
Diagrama en Bloques
-+
k dr + -d Bz A
′ku ky1FB′
G
C
CA
+
kω
+
Relación entrada salida
( )* 1k k ky r F q e−= + [1.75]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 30
1.4.2. Mínima Varianza Ponderado Funcional a minimizar
( ){ }2 2k d k d kJ E y r uλ+ += − + [1.76]
( ){ } ( )( ){ } ( )( )
( ) ( )( )
2* 1 * 1 * 122 2 * 1 2
* 1 * 1k d k d k k d k k k d k
G q B q F qE y r u E F q e E y u r u
C q C qλ λ
− − −−
+ + + +− −
− + = + + − + [1.77]
Su mínimo está cuando
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 * 1* 1 * 1 1
1k k d ku C q r G q y
B q F q C qλ− −
+− − − = − +
[1.78]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 31
Diagrama en Bloques
-+
k dr + -d Bz A
′ku ky1 FB Cλ′ +
G
C
CA
+
kω
+
Relación entrada salida
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
* 1 * 1 * 1 1
* 1 * 1 * 1 * 1k k k
B q F q B q C qy r e
B q A q B q A q
λ
λ λ
− − − −
− − − −
+= +
+ + [1.79]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 32
1.4.3. Interpretación como Ubicación de Polos
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )0
kk
k
A q B q y C qe
G q F q B q u−
=
[1.80]
despejando la acción de control, resulta el siguiente polinomio característico
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1dA q F q B q G q B q q C q B q−+ = [1.81]
esto se puede interpretar como una ubicación de polos. Es decir, se elige el re-gulador,
( )
( ) ( )( )( )k k k
G q S qu y y
F q B q R q= − = [1.82]
con ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),S q G q R q F q B q= = [1.83]
reemplazando, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1dq C q B q A q F q B q G q B q A q R q B q S q− = + == + [1.84]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 33
1.4.4. Sistemas con Inversa Inestable Si B tiene raíces inestables, aparecerán modos inestables que no son observa-
dos desde la salida.
( )
1k kd
F qy e
q −= [1.85]
( )( )1k kd
G qu e
q B q−= − [1.86]
Ejemplo 1.9. Cancelación de Ceros Inestables
( ) ( )( )( )( ) ( )
2
2
1 0,7 1,7 0,7
0,9 1
0,7 0,7
A q q q q q
B q q
C q q q q q
= − − = − +
= +
= − = −
[1.87]
1d = [1.88]
( )( )
1
0,7
F q
G q q
=
= − [1.89]
-------verificar simulación -------------------
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 34
Ejemplo 1.10. Problema de Predicción La demanda de productos de un negocio z evoluciona según la siguiente ley
300 10k kz k y= + + [1.90]
con unidad de tiempo mensual y la variable y se describe como 1 20,7 0,1 5k k k ky y y e− −− − = [1.91]
con e ruido blanco. Se han tomado los siguientes datos estadísticos:
Mes k z Enero 1 320 Febrero 2 320 Marzo 3 325 Abril 4 330 Mayo 5 350 Junio 6 370 Julio 7 375
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 35
Diseñar un predictor para Agosto, Septiembre, Octubre y Noviembre Solución Utilizando los datos, se puede calcular y como diferencia entre medición y valor
teórico.
Mes k z zd y=z-zdEnero 1 320 310 10 Febrero 2 320 320 0 Marzo 3 325 330 -5 Abril 4 330 340 -10 Mayo 5 350 350 0 Junio 6 370 360 10 Julio 7 375 370 5
El mejor predictor para los meses siguientes es:
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 36
8/7 8 8/7
11/7 11 11/7
ˆˆ
ˆˆ
z zd y
z zd y
= +
= + [1.92]
necesitamos 4 predictores, con horizonte 1, 2, 3 y 4 Tenemos que calcular F y G con la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( ) ( )1mq C q A q F q G q− = + [1.93]
( ) ( ) ( )1 2 2 1 21 1 0 10,7 0,1m m m
mq q q q q f q f g q g− − −−= − − + + + + + [1.94]
m ecuación ( )F q ( )G q
1 ( ) ( )2 20 10,7 0,1 1q q q g q g= − − + + 1 0,7 0,1q +
2 ( ) ( ) ( )3 21 0 10,7 0,1q q q q f g q g= − − + + + 0,7q + 0,59 0,07q +
3 ( )( ) ( )4 2 21 2 0 10,7 0,1q q q q qf f g q g= − − + + + + 2 0,7 0,59q q+ + 0,48 0,06q +
4 ( ) ( ) ( )5 2 3 21 2 3 0 10,7 0,1q q q q q f qf f g q g= − − + + + + + 3 20,7 0,59 0,48q q q+ + + 0,40 0,05q +
y el mejor predictor es
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 37
( )( )
( )0 1/ 0 1 12ˆk m k k k k k
qG q q g q gy y y g y g y
C q q+ −
+= = = + [1.95]
y la varianza será
( ){ } ( )2 2 2 2/ 1 11k m k mE y f f σ+ −= + + + [1.96]
las predicciones de demanda serán
Mes m 7 /7ˆ my + zd 7 /7ˆ mz + σ
Agosto 1 0,7 5 0,1 10 4,5⋅ + ⋅ = 380 384,5 5 Septiembre 2 0,59 5 0,07 10 3,7⋅ + ⋅ = 390 393,7 21 0,7 5 6,1+ =
Octubre 3 0,48 5 0,06 10 3,0⋅ + ⋅ = 400 403,0 6,8 Noviembre 4 0,40 5 0,05 10 2,5⋅ + ⋅ = 410 402,6 7,2
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 38
Teorema 1. Control de Mínima Varianza Generalizado Sea el sistema
( ) ( ) ( )k k kA q y B q u C q e= + [1.97]
con
( ) ( ) ( )B q B q B q+ −= [1.98]
todos los ceros de ( )B q+ están dentro del círculo unidad
todos los ceros de ( )B q− están fuera del círculo unidad
todos los ceros de ( )C q están fuera del círculo unidad
( )A q y ( )B q− no tienen raíces comunes.
Entonces, el control de mínima varianza sigue la ley
( )
( ) ( )k k
G qu y
B q F q+= − [1.99]
siendo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1dq C q A q F q B q G q− −= + [1.100]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 39
con
( ) ( )( ) ( )
1grado F d grado B
grado G grado A n
−= + −
< = [1.101]
- Demostración Sea el operador
1 1a
q a>
+ [1.102]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 40
1.5. Regulador Lineal Óptimo Estocástico (LQG) El proceso visto se puede reescribir como:
1k k k k
k k k
x x u Key Cx e+ = Φ + Γ += +
[1.103]
el grado de C es igual al grado de A
[ ]
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
1 0 00 1 0
1 0 00 0 10 0 0
n n n n
n n n n
a b c aa b c a
K Ca b c aa b c a− − − −
− − − −
Φ = Γ = = = − − − −
[1.104]
el filtro de Kalman resulta
( )1/ / 1 / 1ˆ ˆ ˆk k k k k k k kx x u K y Cx+ − −= Φ + Γ + − [1.105]
el polinomio característico es
( )( ) ( )det zI KC C z− Φ − = [1.106]
Si el retardo es uno, la ley de control es
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 41
/ 1ˆk k ku Lx −= − [1.107]
y la función de transferencia del regulador es
( ) ( ) ( )( )
1r
S zH z L zI KC L
R z−= − −Φ + + Γ = − [1.108]
donde
( ) ( )detR z zI KC L= −Φ + + Γ [1.109]
el grado de R es n y el grado de S<n los polos en lazo cerrado son los de C
( ) ( ) ( )detP z zI L C z= −Φ + Γ = [1.110]
P se obtiene de la ecuación de Ricatti. Se tratará de dejar la ley de control en función de la salida en lugar del estado La ecuación a minimizar es
{ }2 2lqr k kJ E y uρ= + [1.111]
es el mismo caso de variables de estado en donde
1 12 20TQ C C Q Q ρ= = = [1.112]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 42
haciendo igual cálculo se llega a que
vL L= Φ [1.113]
la ley de control en variables de estados es
( )( )
/ / / / 1
/ 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆk k k v k k k k v k k k
v k k v k
u Lx L v Lx L K y Cx
L KC x L Ky−
−
= − − = − − −
= − Φ − − [1.114]
reemplazando el observador
( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )
1
1
1
1
1
k v k k v k
v k
v k
v k
v k
u L KC qI KC u Ky L Ky
L KC qI KC u
L KC qI KC qI KC Ky
L KC qI KC u
L qI KC Ky
−
−
−
−
−
= − Φ − −Φ + Γ + −
= − Φ − −Φ + Γ
− Φ − + +Φ + −Φ +
= − Φ − −Φ + Γ
− −Φ +
[1.115]
haciendo
( )2 detR qI KC= −Φ + [1.116]
se obtiene
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 43
( )( )
( )( )
1
2 2k k k
R q S qu u y
R q R q= − − [1.117]
donde
( )( ) ( )
( )
2
1
0 0
grado R n
grado R grado S n
S
<
= =
=
[1.118]
con lo que queda
( )( ) ( )
( )( )1 2
k k k
S q S qu y y
R q R q R q= − = −
+ [1.119]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 44
1.5.1. Factorización Espectral de lo visto en variables de estado, el polinomio característico P en lazo cerrado,
es
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1rP z P z A z A z B z B zρ− − −= + [1.120]
Otra forma de verlo, es encontrar un polinomio P que cumpla con esta ecua-ción.
Esto se llama factorización espectral. Sea
( ) 2 2 1 1 10 1 1 1 1 0
n n n n nn n nF z f z f z f z f z f z f z f− + −− −= + + + + + + + + [1.121]
este polinomio coincide con su recíproco
( ) ( ) ( )2 1nF z z F z F z−= = [1.122]
si a es raíz de ( )F z , también 1a es raíz.
Además, si los coeficientes de F son reales, los conjugadosa y 1a también son
raíces.
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 45
Teorema 2. Se cumple que, si A y B son primos, grado de A mayor al grado de B, grado de P = grado A = n
Existe un único P con sus raíces dentro o sobre el círculo unidad, y si 0ρ > , P no tiene raíces sobre el círculo unidad.
- Demostración: Multiplicando la ecuación [1.120] por nz
( ) ( )1 2 2 1 1 10 1 1 1 1 0
n n n n n nn n nz P z P z p z p z p z p z p z p z p− − + −− −= + + + + + + + + [1.123]
queda de la forma de F. Por lo tanto el lado derecho de la ecuación [1.120] tiene raíces espejadas. Tampoco puede tenerlas sobre el círculo unidad ya que, para jz e ω=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20j j j j j jA e A e B e B e A e B eω ω ω ω ω ωρ ρ− −+ = + = [1.124]
como 0ρ > , implica que jz e ω= es raíz de A y de B, pero estos son primos.
La condición de que el grado de P sea n, asegura la unicidad de P.
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 46
Nota 1: si se introduce el recíproco ( ) ( )* 1nP z z P z−= resulta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *rP z P z A z A z B z B zρ= + [1.125]
Nota 2: si P satisface la ecuación [1.120] entonces ( )lz P z
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 47
1.5.2. Discusión Heurística En el problema de ubicación de polos se debe definir el polinomio característico
en lazo cerrado ( ) ( )c oA z A z donde ( )oA z .
En el problema LQG ( ) ( )oA z C z= y el polinomio ( ) ( )cA z P z= que se obtiene por factorización espectral.
Se puede pensar en la ubicación de polos con estas condiciones de diseño, re-sultando el control óptimo:
( )( )k k
S qu y
R q= − [1.126]
con
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A z R z B z S z P z C z+ = [1.127]
Hay muchos polinomios que satisfacen esta ecuación. Si hay retardo es mejor calcular la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * * *dA z R z z B z S z P z C z+ = [1.128]
( )( ) ( )( )d grado A z grado B z= − [1.129]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 48
1.5.3. Demostración Formal Teorema 3. Control LQG
Sea
( )P z el polinomio calculado por factorización espectral,
( )A z mónico
( )A z y ( )B z no tienen raíces comunes fuera del o sobre el círculo unidad.
Entonces existe una única solución a las ecuaciones
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * *
* * *d
A z X z rP z S z B z C z
z B z X z rP z R z A z C zρ
+ =
− = − [1.130]
con
( )( )( )( )( )( ) ( )( )
*
*
grado X z n
grado R z n
grado S z n grado A z
<
≤
< =
[1.131]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 49
- Demostración Primero se supone que ( )P z tiene raíces distintas iz , como es estable todas las
raíces serán 1iz <
Por hipótesis, los polinomios A y B no se pueden hacer cero simultaneamente. Evaluando [1.130] en iz z=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
* *
* *
i i i i
di i i i i
A z X z B z C z
z B z X z A z C zρ
=
= − [1.132]
si A y B son distintos de cero se puede hacer
( )( )
( )( )* *
i id
i i i
B z A zA z z B z
ρ= − [1.133]
si ( )* 0iA z = y ( )* 0iB z ≠ , de[1.125] resulta ( ) 0iB z = . Como A es mónico se cumple ( )* 0 1A = . Esto implica 0iz ≠ .
Se puede despejar X de la ecuación
( ) ( ) ( ) ( )* *i i i iA z X z B z C z= [1.134]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 50
( ) ( ) ( )( )
*
*i i
i di i
A z C zX z
z B zρ
= − [1.135]
Clase 11 Control de Mínima Varianza.doc 51
1.6. Referencias Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall –
1984.
