Funciones vectoriales de una variable real. Dominio y grfica del rango Lmites y continuidad. Definicin. Propiedades.

RECONOCER Y ANALIZAR UNA FUNCIN VECTORIAL DE VARIABLE REAL.

LOGRO DE APRENDIZAJE

DEFINICIN DE FUNCIONES VECTORIALESSe llama funcin vectorial a cualquier funcin de la formar(t) = f(t)i + g(t)jPlanor(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)kEspaciodonde las funciones componentes f, g y h son funciones reales de la variable real t . Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:r(t) = Planor(t) = Espacio

Debe quedar clara la distincin entre la funcin vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son nmeros (para cada valor especificado de t).Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representacin de curvas. Tomando como parmetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Ms en general, podemos usar una funcin vectorial para trazar la grfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posicin r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramtricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t.Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una funcin vectorial r la interseccin de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de:es el intervalo (0, 1]

EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la funcin vectorialSolucin:

EJEMPLO 2: Dibujar la curva representada por la funcin vectorialSolucin:Esto significa que la curva est en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z. Para localizar la curva en ese cilindro podemos usar la tercera ecuacin paramtrica z = t. Obsrvese, en la figura de la pizarra, que cuando t crece de 0 a 4 el punto (x, y, z) se mueve en espiral hacia arriba, describiendo una hlice

EJEMPLO 3: Hallar una funcin vectorial que represente una grfica dada por:x = 2 + t, y = 3t y z = 4 - tClaro est que si la grfica se da en forma paramtrica, la respuesta es inmediata. As, para representar la recta dada en el espacio basta utilizar la funcin vectorialr (t) = (2 + t)i + 3tj + (4 t)kSi no se da un conjunto de ecuaciones paramtricas para la grfica en cuestin, el problema de representarla mediante una funcin vectorial se reduce al de hallar un conjunto de ecuaciones paramtricas

EJEMPLO 4: Esbozar la grfica C representada por la interseccin del semielipsoidey el cilindro parablico y = x2. Y hallar una funcin vectorial que represente esa grfica

http://www.slideshare.net/zq0/limites-en-las-funciones-vectoriales

LIMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION VECTORIAL DE VARIABLE REAL

Interpretacin geomtrica

Si R(t) tiende al vector L cuando t tiende a, la longitud del vector R(t) L tiende a cero. Esto es: cuando

EJEMPLO 1: Discutir la continuidad de la funcin vectorial siguiente:

Solucin:Cuando t tiende a 0 el limite es:

Como

Podemos concluir que r es continua en t =0. Por un argumento similar se llega a la conclusin de que la funcin vectorial r es continua en todo valor de t