EL TEOREMA DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES DE DESCARTES

Introducción

En una carta de fecha 29-11-1643, dirigida a la princesa Isabel de Bohemia, Descartes enuncia el resultado que relaciona los radios de cuatro circunferencias tangentes entre sí, conocido hoy como teorema de las circunferencias de Descartes.El apéndice 3 (pdf, 206Kb) de esta edición de la correspondencia de 1643 es un artículo bastante informativo sobre el intercambio de cartas entre Descartes e Isabel de Bohemia sobre este tema.Descartes afirmó el resultado sólo para el caso en el que las cuatro circunferencias sean tangentes exteriormente entre sí, pero hoy se enuncia el teorema incluyendo el caso en el que una de las circunferencias contenga a las otras de la siguiente forma:

Sean   cuatro circunferencias, cada una de ellas tangente a las otras tres, y sea   el radio de  .

Entonces si   cuando las otras circunferencias son tangentes exteriormente

a  , y   si las otras circunferencias son tangentes interiormente a  , resulta que

La demostración que sigue está tomada de Coxeter, “Introduction to Geometry”, y es del matemático aficionado Philip Beecroft (publicada en The Lady’s and Gentleman’s diary, 1841).

La circunferencia que pasa por los puntos de tangenciaSi   son los puntos de tangencia de tres circunferencias tangentes exteriormente entre sí, tenemos que   es igual all semiperímetro de menos el lado opuesto a  , y análogamente para los otros radios, y por tanto   son los puntos de contacto del círculo inscrito en   con los lados.

Si en cambio dos de las circunferencias son tangentes interiormente a la circunferencia de centro  , y   no están alineados, entonces   es el semiperímetro de  ,   es el semiperímetro menos el lado   y   es el semiperímetro menos el lado  . Por tanto en este caso los puntos   son los puntos de tangencia del círculo exinscrito (de  ) opuesto a   con los lados.

Obtenemos entonces el radio   de la circunferencia que pasa por los tres puntos de tangencia de tres circunferencias mutuamente tangentes de radios  , usando las fórmulas que dan el radio de los equicírculos a partir de los lados.

En el primer caso tenemos  , y en el segundo caso

. Haciendo   y  , y   negativo si la correspondiente circunferencia contiene a los demás, se cumple siempre que  .

En el caso de que   estén alineados o de que una de las tres ‘circunferencias’ originales sea una recta se cumple también esta relación, haciendo cero el valor de la curvatura   si la ‘circunferencia’ correspondiente es una recta.

En lo que sigue asumimos que una recta es una circunferencia de curvatura cero.

Como la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia   es tangente a los lados de  , esa circunferencia es ortogonal a las tres circunferencias tangentes, es decir corta en ángulos rectos a esas circunferencias.

Familias ortogonales de circunferencias tangentes

Sea   una familia de cuatro circunferencias, cada una de ellas tangente a las otras tres.

Si   es la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia de  ,   la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia de  , etc, tenemos otra familia de cuatro circunferencias,  , que también serán cada de ellas tangente a las otras tres (pues cada circunferencia de esta familia corta ortogonalmente a las circunferencias de la primera familia).

Los 6 puntos de tangencia de las dos familias de cuatro circunferencias son los mismos, y si trazamos las circunferencias que pasan por los puntos de tangencia de cada subconjunto de tres circunferencias de la segunda familia de circunferencias, obtenemos las circunferencias de la primera familia.

Si   son las curvaturas con signo de los   (los inversos de los radios, con el convenio de que es negativa cuando la circunferencia correspondiente contenga a los demás) y   las curvaturas con signo de los  , la fórmula anterior da  ,  , y permutando índices, expresiones para los otros   y  .

Más relaciones entre las curvaturas

Tenemos entonces    , y por tanto  ,

(Puesto que   y   son positivos, porque como mucho un solo término de cada suma es negativo y ese término es el menor en valor absoluto).

También  

De las expresiones para los   en función de los   

obtenemos  .

Entonces   .

Por tanto  , es decir  .

Y simétricamente    .

El teorema de DescartesElevando al cuadrado los dos lados de las cuatro relaciones 

y sumando, tenemos que  , y como  , resulta la fórmula de Descartes:

.