Circuitos Ressonantes de 2ª Ordem EIIIvgt/Disciplinas/E3/sintese.pdf · 3 5 EIII FEUP VGT Síntese de Filtros Circuitos Ressonantes de 2ª Ordem • Filtro Passa-alto (PA) sem freq

1

1

EIII

FEUP VGTSíntese de Filtros

Circuitos Ressonantes de 2ª Ordem

C L

• Os modos naturais, ou pólos, são independentesda forma de excitação desde que a inclusão dessaexcitação não altere a estrutura natural do circuito.

• Pólos D(s)= 0 => estruturanatural corresponde Xi(s)= 0

)(

)(

)(

)()(

sX

sX

sD

sNsH

i

o==Polinómios

C LI

C

LV +-

CL

V +-

I= 0 V= 0 V= 0

2

EIII



• Aspectos interessantes no circuito LC

C L

Zeq

∞=+−

=+

===

)()(2222

jwZww

cjw

wsc

ssZ eq

wwojwsoeq

o

LCwo

1= Frequência deressonância

C

Zin Zo

L

∞==

=+−=

=

=

)()()(

0)()(22

jwZjwZjwZ

jwZ

Ljw

wwjwZ

owweqo

in

ww

oin

o

o

2

3

EIII



Circuito Ressonante RLC

CR L

RCwQLC

w

wQ

wss

LCRCsssD

o

o

o

=

=

++=++=

1

11)( 2022

A BC

• Síntese de filtros PB, PA, PBanda e RB mediante divisores de tensão:

21

2

)(

)()(

ZZ

Z

sV

sVsH

i

o

+==

Z2

Z1V i(jw) Vo(jw)

4

EIII



• Filtro Passa-baixo (PB) sem freq de “notch” implica 2 zerosno infinito.

° Os zeros são quando . Estes são os únicoszeros.

021 →∧∞→ ZZ ∞→s

Indutância Capacidade

CR

LB

C

V i(jw)

Vo(jw)

A

Z2

Z1

22

1

)(

oo ws

Q

ws

LCsH++

=

3

5

EIII



• Filtro Passa-alto (PA) sem freq de “notch” implica 2 zerosem zero.

° Os zeros são quando . Estes são os únicoszeros.

021 →∧∞→ ZZ 0→s

Capacidade Indutância

C

RL

B

CV i(jw)

Vo(jw)

A

Z2

Z1

22

2

)(

oo ws

Q

ws

ssH

++=

6

EIII



• Filtro Passa-baixo (PB) com freq de “notch” implica 2 zerosfinitos noeixo jw.

• Notar que LC paralelo então paraoeq wwZ =∞=⇒ ;

R

B

C

V i(jw)

Vo(jw)

A

Z2

Z1

22

22

)(

oo

n

wsQ

ws

wssH

++

+=

∞→1Z

on

nzero

ww

jws

>±=

L//C’

C

L

C’

on

n

o

ww

CLw

LCCw

>

×=

×=

'

'

1//

1

4

7

EIII



• Filtro Passa-alto (PA) com freq de “notch” implica 2 zerosfinitos.

• Notar que LC paralelo então para

22

22

)(

oo

n

wsQw

s

wssH

++

+=C

R

L’

B

CV i(jw)

Vo(jw)

A

Z2

Z1

L

oeq wwZ =∞=⇒ ; ∞→1Z

L’//C

on

n

o

ww

CLw

CLLw

<

×=

×=

'

'

1//

1

on

nzero

ww

jws

<±=

8

EIII



• Filtro Passa-banda (P-B) implica 1 zerofinito (zero) e outroinfinito.

• Dois zeros impostos por Z2,

R

BC

V i(jw)

Vo(jw)A

Z2

Z1

L

C

LsCs ⇒∞→⇒→ ;0

22

1)(

oo ws

Q

ws

CRssH

++=

5

9

EIII


• Filtro rejeita-banda (RB) implica 2 zerosfinitos em ±jw o.

• Dois zeros impostos por Z1, CLjws n //⇒±→

22

22

)(

oo

o

wsQw

s

wssH

++

+=


C

R

L

B

CV i(jw)

Vo(jw)

Z2

Z1

10

EIII


Filtros Activos 2ª Ordem

• Perdas nos elementos activos:

CL

RL

GC

LL R

wLQ = c

L G

wCQ =

• Perdas elevadas .• Para baixas freq. o tamanho e peso

tornam-se bastante elevados.• A não linearidade nos materiais

ferromagnéticos origina harmónicos.• Indutores irradiam e captam ondas

electromagnéticas => ruído.

1000<LQ

• Baixas perdas .• Melhor comportamento

no que respeita aos restantesaspectos.

000.10<LQ

Indutores

Condensadores

6

11

EIII



• Filtros activos são o resultado de um esforço para eliminar os indutores.• Os filtros activos resultam, em geral, em circuitos de menores dimensõesque o equivalente RLC.

• Primeira solução:

° Substituir o indutor L de um dado circuito RLC por um circuito construído com base em AmpOp-RC e que apresente à sua entrada uma impedância indutiva.

12

EIII


Filtros Activos 2ª Ordem – Conversores de Impedância

• Conversor de impedância (giradores).

+

-

+

-

Z4

Z3

Z2

Z1

Z5

A

Zeq

A

42

531

ZZ

ZZZZeq =

7

13

EIII



+

-

+

-

+

-

+

-

A

4

2531

R

CRRRL

jwLZeq

=

=A

B

3

5142

22

11

R

CCRRD

DwDsZ jwseq

=

−== =

R1

C2

R3

R4

R5

C1

R2

R3

R4

C5

B

14

EIII



• Para as situações de indutor flutuante não é adequado usar o conversor de impedâncias.

• Para se usar o conversor de impedâncias nestas circunstancias,divide-se cada componente do circuito por s.

CSSC

LS

SLL

SRS

RR

SC2

1

1

1

1

=→

=→

=→ −Capacidade de valor R-1

Resistência de valor L

Elemento D de valor C

• Nem todas as topologiasse podem implementar usando esta técnica.

8

15

EIII



• Segunda solução:

° Síntese da realização do sistema de equações diferenciaisde primeira ordem (variáveis de estado), recorrendo-sede integradores de Miller.

16

EIII


Filtros Activos 2ª Ordem – Toplogias com integradores

• Filtros de variável de estado e biquades (biquadráticos) baseiam-se no integrador de Miller.

• Providenciam mais do que uma resposta simultaneamente.

• São pouco susceptíveis aos aspectos não ideais dos componentes.

• São em geral fáceis de ajustar.

9

17

EIII


Filtros Activos 2ª Ordem – Toplogia com integradores

+

-

• Elementos básicos:

° Integrador

S

wo− R

C

RCwo

1=

+

-Σ

° Somador

18

EIII



oPAoo

oPAo

ioPAi

oPA

oo

VS

w

S

wV

S

w

QKVV

V

V

wsQ

ws

KssH −−=⇔=

++= 1

)(22

2

S

wo−ΣoPA

o VS

w− oPAoo V

S

w

S

woPAV

-1Q

1

KiV

(Realização de Kelvin)

S

wo−

Passa-Banda (VoP-B) Passa-Baixo (VoPB)Passa-Alto (VoPA)

10

19

EIII



+

-

R

C

+

-

R

C

+

-

R1Rf

R2

R3

• Kerwin-Huelsman-Newcomb (“Biquad” KHN ou Filtro de Variável deEstado)

−=

+=

=

QK

R

RQ

R

Rf

12

12

1

1

2

3

1

(nota: pode-se adicionar resist. De r3 paraA massa)

oPAo V

S

w−

oPAoo V

S

w

S

w

oPAV

VoPA

VoPBanda

VoPB

RCwo

1=

(Ganho)

20

EIII



+

-

VoPA

VoP-B

VoPB Vo

( ) ( ) ( )

L

Hon

oo

oLFoBFHF

i

o

R

Rww

wsQ

ws

wRRswRRsRRK

V

V

=

++

+−−=22

22 ///

• Filtro com “notch”RH

RB

RL

RF

11

21

EIII



+

-

R’

+

-

R

C

+

-

R

R2R1 oPAo V

S

w−oPAV

VoP-B

VoPB

-VoPB

C

R’

• Filtro Biquad Tow-Thomas (ou Filtro Ressonante)

R

RQ

KR

R

KR

R

PBanda

PB

2

1

2

1

=

=−

=

RCwo

1=° Ajuste Ortogonal:— Ajustar R para wo— Ajustar R2 para Q— Ajusta R1 para o ganho do PA ou P-B

22

EIII



+

-

R’

+

-

R

C

+

-

R

R2R1 oPAo V

S

w−oPAV

Vo

C

R’

R3 R4

22

34

'

1

12 1

)(

oo

oo

wsQ

ws

CR

w

R

Rw

CRs

C

Cs

sH++

+

−+

=

Vi

C1

12

23

EIII


•Filtro Biquad Tow-Thomas:

° Todos os amplificadores em modo inversor:— Mais fácil compensar os offsets.— Não há limitações de modo comum (importantese compensarmos o amplificador em “feedforward” =>=> boa largura de banda).

° Com cuidado conseguem-se Qs na ordem das centenas.


24

EIII



• Terceira solução:

° Síntese de “biquads” recorrendo-se a um único amplificadorcom realimentação.

° São filtros com aplicabilidade em situações onde Q<10

13

25

EIII


Filtros Activos 2ª Ordem – Amplificador único

+

-

a bCircuitoRC

• Síntese do circuito RC no “loop” derealimentação por forma a realizarum par de pólos complexos com wo e Q

• Injectar o sinal de entrada num nó para realizar os zeros.

)(

)()()(

sD

sANAstA

V

VsL

b

a ===• Ganho do “Loop”:

• Equação Característica: 0)(

)(1

)(

)(0)(1 =⇒−=⇔=+

∞→ sD

sN

AsD

sNsL

A

• Os pólos do filtro são os zeros de t(s)

26

EIII



R2

C3

R1

C4

a b

....

1111

)( 2143421

2

RRCCCRRss

V

Vst

b

a

+

++

==

R4

R3

C2

a b

....

1111

)( 4321321

2

RRCCRCCss

V

Vst

b

a

+

++

==

• Ponte em T

C1

14

27

EIII



+

-

R4

R3

C2

a b

C1

ow

QRC

Qm

m

RRRRCCC

2

4

;;

2

4321

=×

=

====

28

EIII



+

-

R3

C

a b

C

vo(t)

vi(t)

R4

0112

432

3

2 =++RRCRC

ss

• Equação característica

22

22

oo

o

i

o

wQ

wss

Q

ws

QV

V

++−=

Ganho pode ser elevado

• Filtro Passa-Banda.

43

4

3

1

2

1

RRCw

R

RQ

o =

=

15

29

EIII



+

-

R4

R3

C2

a b

C1

vo(t)

vi(t)

R5

• Com R5//R4=R’4:Equação característica

22

2

45

4 2

oo

o

i

o

wQ

wss

Q

ws

QRR

R

V

V

++×

+−=

• Filtro Passa-Banda com atenuação.

0'

112

432

3

2 =++RRCRC

ss

Ganho atenuado

( )

( )543

54

3

//

1

//2

1

RRRCw

RR

RQ

o =

=

30

EIII



• O filtro passa-banda anterior é referido como multi-realimentado oucircuito Delyiannis-Friend, também conhecido por filtro de bandaestreita

16

31

EIII



• Filtros Sallen-Key

a bCircuitoRC

+

va

vb)(st

V

V

b

a =

a bCircuitoRC

+

va

vc

)(1 stV

V

c

a −=

c Circuito complementar

+

-

a bCircuitoRC

c

+

-

a bCircuitoRC

c

vo“v o”

vo

Circuito complementar

(troca dos papeis das massas e vi)

32

EIII



+

-

a bCircuitoRC

c

vo

)(1 st−

v1v2

( )

( ) 0)(10)(11

1)(1

)(11

)(1

2

=−⇔=−+

−=+

−+

−==

sAtstA

AsL

stA

A

V

VsL

• Estes circuitos complementares possuem os mesmos pólosdo circuito RC t(s).

17

33

EIII



R2

C3

R1

C4

a b

+

-+

-

C/m(C3)

(R2)

RR

(R1)

(C4) C

vivo

• Filtro Sallen-Key passa-baixo

ow

QCR

Qm

2

4 2

=

=

34

EIII



+

-

R4

R3

C2

a b

C1

+

-

R(R3)

(C2)

CC

(C1)

(R4) R/m

vivo

ow

QCR

Qm

2

4 2

=

=

• Filtro Sallen-Key passa-alto

18

35

EIII


Síntese de filtros: Sensibilidade

• Sensibilidade: Mede a razão de variação de uma determinada grandezarelativamente a outra.

xx

yy

yx

xx

yy

x

yx

S

y

x

x

yS

∆

∆

∆

∆

→∆

≈

∂∂== lim

0

• É sempre de interesse saber-se a sensibilidade dos parâmetros dosfiltros (wn, wo, Q,...) em ordem àsresistências, condensadores (indutores)e ganho dos amplificadores.

Documents

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