Cinematica e Dinamica della Trottola(...e non solo)

Alessio Squarcini

06/05/08

Sommario

In questa breve dispensa vengono esposti i principi basilari della cinematica del cor-po rigido, soffermandoci sulla parametrizzazione dei moti rigidi tramite gli angoli diEulero. Successivamente viene affrontato lo studio della dinamica della trottola diLagrange. Per la quale ne viene fornita, in primis una analisi qualitativa del motodi precessione e di nutazione. In seguito in approssimazione di trottola veloce vienederivata l’ampiezza della nutazione, la frequenza di nutazione e di precessione.Nella restante parte della dispensa viene esposta una breve panoramica degli argo-menti inerenti la dinamica rigida. Lo scopo di questo excursus e quello di rendereuna visione di insieme di quella che e la dinamica del corpo rigido; quali le equazionidi Eulero, la loro risoluzione per una trottola asimmetrica in moto per inerzia edinfine i moti di Poinsot.Molti problemi in meccanica sono integrabili per quadrature ed inversioni, e spessogli integrali che si devono invertire non sono trigonometrici, ma ellittici. Per questoin appendice e riportata una breve esposizione delle funzioni ellittiche e delle loroprincipali proprieta. Lo scopo dell’appendice e quello di fornire un semplice stru-mento di calcolo, per uno studio sistematico di queste ultime si rimanda ai testi dianalisi o ai manuali sulle funzioni speciali.

Lo studio di questi sistemi fisici e assai standard, qualsiasi libro di meccanica trat-ta in modo piu o meno diffuso questi temi. Tuttavia, per esperienza personaleho preferito incentrare la quasi totalita di queste note sul lavoro monumentale diGoldstein ([1]), dalla quale sono tratte quasi letteralmente. Per chi preferisce unapproccio formale e geometrico ai moti rigidi puo consultare il classico libro di Ar-nold ([4]). Ovviamente la dinamica rigida e affrontata con grande stile ed eleganzaanche da Landau ([2]). Ulteriori approfondimenti di carattere fisico-matematico siasulla cinematica rigida che sulla dinamica possono trovarsi in Fasano-Marmi ([3]).

squarcio137@gmail.com

1

Indice

1 Cinematica rigida 31.1 Rotazioni infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Gli angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 La trottola di Lagrange 52.1 La trottola veloce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Una tecnica alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 La precessione regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Trottola verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Le equazioni di Eulero 14

4 La trottola asimmetrica 15

5 Il moto alla Poinsot 17

A Gli integrali ellittici e le funzioni ellittiche 19A.1 Gli integrali ellittici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19A.2 Le funzioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Bibliografia 22

2

1 Cinematica rigida

In questo paragrafo passiamo in rassegna due concetti molto semplici di cinematica delcorpo rigido, le rotazioni infinitesime e gli angoli di Eulero. Le prime saranno utili per deri-vare le equazioni di Eulero del corpo rigido, brevemente discusse nel penultimo paragrafo,mentre invece gli angoli di Eulero sono indispensabili per la trattazione del problema dellatrottola.

1.1 Rotazioni infinitesime

Come e ben noto, una rotazione e una trasformazione ortogonale. Una rotazione infini-tesima altro non e che una rotazione, in cui a suo seguito le componenti di un vettorecambiano di quantita infinitesime. Sotto una trasformazione infinitesima, rappresentatada una matrice A, un vettore si trasforma come x′ = Ax. Se la trasformazione e infinite-sima, essa sara una piccola variazione dalla matrice identita, quindi indicando con ε unamatrice di rotazione i cui elementi siano infinitesimi

A = 1 + ε

Sempre al primo ordine, la matrice inversa vale A−1 = 1−ε, essendo la matrice traspostauguale all’inversa abbiamo

ε = −ε

Ossia, la matrice ε e antisimmetrica. Una matrice antisimmetrica di dimensione n e indi-viduata da n(n−1)/2 parametri, in particolare, gli elementi diagonali sono identicamentenulli, senza perdere generalita possiamo assumere questa matrice della forma

ε =

0 −Ω3 Ω2

Ω3 0 −Ω1

−Ω2 Ω1 0

Da cui notiamo subito che l’incremento dr = εr di un vettore e esprimibile come unprodotto vettoriale, in quanto dr = r × dΩ. Questa relazione ci permette di derivareuna utilissima formula per esprimere la derivata di un vettore solidale ad un corpo rigidorotante rispetto ad un riferimento fisso (e viceversa). Consideriamo un vettore arbitrarioG. La i-esima componente di G nel riferimento fisso, Gi e legata alle altre componentinel riferiemnto solidale da una matrice di rotazione, quindi

Gi = aijG′j = ajiG

′j

dove le componenti primate si riferiscono al sistema mobile. Consideriamo la variazionedi Gi, differenziando abbiamo

dGi = ajidG′j + dajidG

′j

Se all’inizio i due riferimenti coincidono, le componenti del vettore espresse nei due rife-rimenti saranno eguali Gi = G′i, mentre in generale non potremmo dire lo stesso sui diffe-renziali. Infatti se la rotazione e infinitesima, la matrice di trasformazione si allontanerapoco dalla matrice identita, segue quindi per il differenziale della matrice

daji = εij = −εji

3

Gli elementi della matrice ε possono essere scritti in termini del tensore di Levi-Civita,εij = εijkdΩk, ottenendo

dGi = dG′ + εijkdΩkGj

Come gia visto in precedenza, questa relazione e possibile scriverla in forma di prodottovettoriale, in definitiva derivando rispetto al tempo e sfruttando l’arbitrarieta del vettoreutilizzato otteniamo la formula (

d

dt

)f

=

(d

dt

)s

+ ω× (1)

Dove e stato posto ω ≡ dΩdt

.

1.2 Gli angoli di Eulero

In generale, la cinematica della rotazione di un corpo rigido tratta lo studio delle leggi ditrasformazione di un sistema di coordinate mobili rispetto ad un sistema di coordinatefisso. Dato che siamo interessati ai moti puramente rotatori, la trattazione che faremonon perde generalita se ipotizziamo che i due sistemi di coordinate abbiamo in comune ledue origini. Nello spazio tridimensionale, una rotazione e parametrizzata da tre variabili.Nel piu comune dei casi questi sono gli angoli che gli assi del nuovo sistema di coordi-nate formano rispetto agli stessi assi del sistema fisso. Questo modo di parametrizzarele rotazioni non ci sara di aiuto, per questo utilizzeremo i cosı detti angoli di Eulero.Formalizziamo tutto questo: definiamo un sistema di coordinate cartesiane Oxyz ed ilsistema Ωξηζ, inizialmente i due sistemi coincidono. Gli angoli di Eulero possono esseredefiniti da tre rotazioni, (eseguite nell’ordine preciso) del sistema Ωξηζ rispetto al sistemaOxyz. Iniziamo: facciamo compiere al sistema Ωξηζ una rotazione antioraria dell’angoloϕ attorno all’asse z, questa rotazione definisce l’angolo ϕ. Adesso ruotiamo in senso antio-rario rispetto all’asse ξ dell’angolo θ il sistema appena ottenuto, questa rotazione specifical’angolo θ. Il piano mobile ξη taglia sul piano xy una retta coincidente con l’asse ξ, taleretta viene chiamata linea dei nodi. Adesso compiamo una rotazione antioraria dell’an-golo ψ attorno all’asse ζ appena ottenuto. Queste tre rotazioni specificano gli angoli diEulero θ, ϕ, ψ (in figura 1 e riportata la costruzione geometrica appena discussa). Questesono le tre coordinate che individuano la rotazione, pertanto saranno le nostre coordinategeneralizzate. Adesso che abbiamo definito gli angoli di Eulero, vogliamo capire comeesprimere la velocita angolare del corpo rigido nel riferimento mobile in termini delle ve-locita angolari θ, ϕ, ψ e degli angoli di Eulero. Possiamo procedere in due modi, uno diquesti consiste nel ricavare le matrici di rotazione delle trasformazioni che determinanogli angoli di Eulero, che e il metodo generale, seguito da Goldstein in [1]. Questo e unesercizio abbastanza calcoloso, cosı viene lasciato al lettore. Senza entrare troppo neidettagli, possiamo seguire la strada di Landau in [2], quindi il vettore velocita angolareω del corpo rigido espresso nel riferimento mobile in termini degli angoli di Eulero vale

ω1 = ϕ sin θ sinψ + θ cosψ

ω2 = ϕ sin θ cosψ − θ sinψ

ω3 = ϕ cos θ + ψ

La dimostrazione di queste relazioni e ovvia, basta semplicemente osservare che θ e direttolungo la linea dei nodi, ϕ lungo l’asse verticale z e ψ lungo l’asse ζ del corpo rigido.Proiettando le componenti di questi vettori lungo gli assi ξηζ si dimostra l’asserto.

4

Figura 1: Gli angoli di Eulero

2 La trottola di Lagrange

Con trottola di Lagrange intendiamo un oggetto di forma simmetrica soggetto ad un cam-po gravitazionale uniforme, in cui un punto del suo asse di simmetria e fisso nel riferimentosolidale al laboratorio. Per il fatto di essere immerso in un campo gravitazionale, questosistema viene spesso indicato con trottola pesante.

La trottola che stiamo descrivendo e un corpo dotato di simmetria, quindi due autovaloridel momento di inerzia coincidono, in generale soddisfano la relazione

I1 = I2 6= I3

L’energia cinetica di questo sistema e ovviamente

T =I1

2(ω2

1 + ω22) +

I3

2ω2

3 =I1

2(θ2 + ϕ2 sin2 θ) +

I3

2(ψ + ϕ cos θ)2

Sappiamo che per un corpo rigido di massa M , l’azione della gravita la possiamo vederecome l’azione di una forza Mg agente sul centro di massa, indicando con l la distanza delcentro di massa (il quale sara situato sull’asse di simmetria) dal punto di contatto, l’energiapotenziale e V (θ) = Mgl cos θ. A questo punto e immediato trovare la Lagrangiana, infattiessa vale

L(ψ, ϕ, θ, ψ, ϕ, θ) = T − V

L(ψ, ϕ, θ, ψ, ϕ, θ) =I1

2(θ2 + ϕ2 sin2 θ) +

I3

2(ψ + ϕ cos θ)2 −Mgl cos θ

si nota subito che L(ψ, ϕ, θ, ψ, ϕ, θ) = L(θ, ψ, ϕ, θ), ossia le coordinate generalizzate ψ eϕ sono cicliche, pertanto dalle equazioni di Eulero-Lagrange si ha subito la conservazionedei momenti canonici ad esse coniugati pψ e pϕ. Inoltre l’Hamiltoniana corrispondentenon dipende esplicitamente dal tempo di conseguenza abbiamo invarianza per traslazionitemporali, ossia la conservazione dell’energia meccanica totale E = T + V .

5

Gli integrali del moto sono

pψ =∂L∂ψ

= I3(ψ + ϕ cos θ) (2a)

pϕ =∂L∂ϕ

= (I1 sin2 θ + I3 cos2 θ)ϕ+ I3ψ cos θ (2b)

E =I1

2(θ2 + ϕ2 sin2 θ) +

I3ω23

2+Mgl cos θ (2c)

Per comodita algebriche introduciamo due costanti a e b definite in modo che

pψ ≡ I1a e pϕ ≡ I1b

Esplicitando ψ dalla relazione 2a e sostituendo nella 2b si trova una espressione per ϕindipendente da ψ

ϕ =b− a cos θ

sin2 θ(3)

Sostituendo questo risultato nella 2b si ottiene una equazione analoga per ψ in funzionedel solo angolo θ

ψ =I1

I3

a− b− a cos θ

sin2 θcos θ (4)

Queste ultime due relazioni sostituite nella 2c permettono di ottenere una equazione dimoto nella sola variabile θ, ottenendo

E − I3

2ω2

3 =I1θ

2

2+I1

2

(b− a cos θ)2

sin2 θ+Mgl cos θ

Quindi il problema tridimensionale della trottola e ridotto ad un problema di moto uni-dimensionale. Precisamente, la rotazione di un corpo di momento di inerzia I1 in unpotenziale efficace

U(θ) =I1

2

(b− a cos θ)2

sin2 θ+Mgl cos θ (5)

Quindi l’equazione del moto e

θ +2Mgl

I1

sin θ = −∂θ(b− a cos θ)2

sin2 θ

Altro non e che l’equazione del moto di un pendolo fisico forzato.La soluzione dell’equazione del moto per θ(t) potrebbe essere sostituita nelle espressioni3 e 4 ed ottenere per diretta integrazione di due equazioni differenziali del primo ordine lefunzioni ϕ(t) e ψ(t). Si osserva che il moto della trottola e definito da quattro parametri,tre dei quali sono gli integrali del moto pψ, pϕ e E, fissati dalle condizioni iniziali. L’altroparametro eMgl. Risultera molto conveniente ridurre questi parametri in quattro costantinormalizzate

α ≡ 2E − I3ω23

I1

(6a)

β ≡ 2Mgl

I1

(6b)

a ≡ pψI1

(6c)

b ≡ pϕI1

(6d)

6

E immediato verificare che i primi due parametri hanno le dimensioni di una frequenzaangolare al quadrato, mentre i restanti due hanno le dimensioni di una frequenza angolare.In queste nuove variabili l’equazione di conservazione dell’energia assume la forma piusemplice

α = θ2 +(b− a cos θ)2

sin2 θ+ β cos θ (7)

A questo punto conviene eliminare le funzioni trigonometriche mediante un cambio divariabili, introducendo la variabile u = cos θ, la relazione 7 diviene

u2 = (1− u2)(α− βu)− (b− au)2

L’equazione e diventata del tipo u2 = f(u), ma essendo f(u) un polinomio completo delterzo grado, la soluzione generale e esprimibile per quadrature per mezzo degli integraliellittici; similmente al problema del corpo rigido in rotazione libera.Inevitabilmente a questo livello la trattazione si complica. Risolvere per quadrature edinversioni tramite gli integrali ellittici e solo una laboriosa complicazione che insegnapochissima fisica.In questa trattazione ci accontentiamo di fornire una analisi piu qualitativa, nel seguitoin certe approssimazioni riusciremo a portare avanti i calcoli con una analisi quantitativa.

Analisi del motoPer capire il moto della trottola occorre studiare le proprieta del polinomio

f(u) = (1− u2)(α− βu)− (b− au)2 = (α− b2) + (2ab− β)u− (α + a2)u2 + βu3

Come prima osservazione notiamo che per una trottola1, il centro di massa non concidecon il punto fisso, ossia l > 0, da cui segue che β > 0, pertanto il polinomio f(u) e cubico.Per trarre delle conclusioni sul sistema dinamico unidimensionale

u =√f(u) (8)

E indispensabile trovare le radici del polinomio f(u), al variare dei parametri α, β, a, b.Questo perche le regioni fisicamente ammissibili per il moto sono quelle in cui f(u) > 0;saranno proprio le radici del polinomio a confinare il moto.La casistica completa include tre casi, una radice reale e due complesse coniugate, tresoluzioni reali di cui due coincidenti ed infine tre radici reali distinte. Naturalmente leradici ui del polinomio sono sottoposte al vincolo fisico che |ui| ≤ 1 affinche u sia il cosenodi un angolo, inoltre se la trottola e appoggiata sul piano cos θ = u > 0.Ovviamente si ha limu→±∞ f(u) = ±∞ e f(±1) = −(b ∓ a)2. Questi fatti uniti allacontinuita del polinomio su tutto R bastano a garantire (per il teorema degli zeri) cheesiste almeno una radice nell’intervallo [1,+∞). Quindi esiste una radice reale u3 > 1fisicamente non accettabile (eccetto il caso u3 = 1).Nel caso rappresentato in figura abbiamo u3 > 1 e le restanti due radici comprese trazero ed uno. Nell’intervallo u1 < cos θ < u2 la funzione

√f(u) esiste ed e ben definita,

quindi la trottola si muove in modo che θ sia sempre compreso tra due angoli limite,θ2 = arccosu2 e θ1 = arccosu1.

1Nel caso di un giroscopio β = 0 per cui il polinomio e quadratico.

7

Un modo molto semplice per rappresentare il moto, e quello di tracciare la curva diintersezione tra l’asse della trottola con una sfera unitaria centrata nel punto fisso. Lacurva che si ottiene viene chiamata luogo geometrico dell’asse di figura. Tale curva risultaparametrizzata dai due angoli di Eulero θ, ϕ. Come abbiamo appena visto il luogo geo-metrico e compreso tra le due circonferenze di colatitudine θ1 e θ2.Per uno studio qualitativo e sufficiente notare che il luogo geometrico dell’asse e forte-mente influenzato dal segno di ϕ. Riscrivendo la relazione 3 in termini della variabile usi ha

ϕ =b− au1− u2

(9)

Il valore critico che discrimina il segno di ϕ e la radice u′ del polinomio b− au, essa vale

u′ =b

a

Il luogo geometrico dell’asse descrive curve qualitativamente molto diverse al variare delparametro b/a. In particolare possono presentarsi tre tipi di moti:

• Caso a)Sia u′ > u2, in questo caso il segno di ϕ resta costante durante il moto. Questosignifica che l’angolo ϕ cresce indefinitamente, percio l’asse della trottola compieun moto di precessione attorno alla verticale. Ovviamente le velocita di precessionenon e costante, ma dipende dalla inclinazione istantanea θ. In aggiunta a questo,l’asse della trottola oscilla verticalmente tra le due circonferenze limite, quindi laprecessione e accompagnata da una nutazione. In questo caso il luogo geometricodescrive una curva regolare oscillante (qualitativamente) simile ad una sinusiode,come riportato in Fig.2

• Caso b)Se u′ ∈ (u1, u2) il segno di ϕ cambia nel tempo, e con esso la direzione di precessione.Si vede subito che in corrispondenza della circonferenza inferiore θ1 = arccosu1 lavelocita di precessione e positiva, mentre sulla circonferenza superiore θ2 = arccosu2

la velocita di precessione ha il segno opposto. Geometricamente il luogo geometricopresentera degli anelli, simili a fiocchi, come riportato in Fig.2. Ovviamente nei“punti di fiocco” , (i punti a X) la velocita di precessione e nulla, questo avvienealla colatitudine θ = arccos(b/a).

• Caso c)Se u′ coincide con una delle radici del polinomio f(u), dalle equazioni 8 e 9 si notache sia θ che ϕ si annullano, come si vede in Fig.2 il luogo geometrico presenteradelle cuspidi.

OsservazioniIl terzo caso puo sembrare di difficile realizzazione pratica. In realta basta scegliere delleopportune condizioni iniziali per instaurare tale moto. Ad esempio consideriamo unatrottola tale che al tempo t = 0 e in rotazione attorno al suo asse, inizialmente mantenutofisso con inclinazione θ0 rispetto alla verticale, evidentemente si ha θ = ϕ = 0. Definendou0 = cos θ0, con queste condizioni dalla equazione 3 si ha

u0 = u′ =b

a(10)

8

Figura 2: Tipologie del luogo geometrico al variare di b/a.

2.1 La trottola veloce

L’approssimazione di trottola veloce permette di trarre conclusioni di carattere quanti-tativo sul moto della trottola senza integrare l’equazione 8. L’energia di rotazione della

trottola attorno al suo asse eI3ω2

3

2mentre la massima energia potenziale vale Mgl. Se l’e-

nergia cinetica di rotazione e molto piu grande dell’energia potenziale si parla di trottolaveloce, in questa approssimazione:

I3ω23

2Mgl

Anche in questo caso consideriamo le condizioni iniziali viste nel paragrafo precedente.Dalla legge di conservazione dell’energia 2c si ha

E − I3ω23

2= Mgl cos θ0

Moltiplicando questa equazione per 2I1

si ottiene la relazione non banale

α = βu0

Questa ultima relazione unita alla 10 consente di fattorizzare il polinomio f(u), trovando

f(u) = (u0 − u)[β(1− u2)− a2(u0 − u)] (11)

In questa forma si vede subito che le radici di f(u) diverse da u0 sono radici dellaespressione nelle parentesi quadre, in particolare sappiamo che u1 ne e soluzione, quindiponendo

p ≡ a2

β− 2 cos θ0 e q ≡ sin2 θ0

e definendo le ampiezze u− u0 ≡ x e u− u1 ≡ x1 si ha l’equazione quadratica

x21 + px1 − q = 0

la cui soluzione fisicamente accettabile e

x1 =

√p2 + 4q − p

2

9

Da notare che il rapportoa2

β=I3

I1

I3ω23

2Mgl

e direttamente connesso al rapporto tra l’energia cinetica di rotazione e l’energia poten-ziale. Fatta eccezione delle trottole con I3 I1, corrispondenti alla insolita forma disigaro, la condizione di trottola veloce implica

a2

β 1

In questa approssimazione possiamo sviluppare in serie di potenze la soluzione per x1

ottenendo

x1 =q

p+O

(q2

p3

)Trascurando i termini di ordine superiore in q/p abbiamo con ottima approssimazione

x1 =sin2 θ0

a2

β− 2 cos θ0

≈ β

a2sin2 θ0 =

I1

I3

2Mgl

I3ω23

sin2 θ0

Questa espressione e l’ampiezza2 della nutazione, si osserva subito che tanto piu grande ela velocita angolare della trottola, tanto piu e piccola l’ampiezza della nutazione.L’espressione 9 puo essere leggermente semplificata, tenendo presente che l’ampiezza dinutazione e piccola, quindi 1− u2 ' sin2 θ0, per cui otteniamo il sistema dinamico

x2 = a2x(x1 − x)

Effettuando una traslazione della coordinata x ponendo ζ = x− x1

2si trova

ζ + a2ζ = 0 (12)

da cui abbiamo la frequenza di nutazione

a =I3

I1

ω3

L’equazione 12 e l’equazione di un oscillatore armonico con posizione di equilibrio il puntoζ = 0, pertanto con le condizioni iniziali scelte la soluzione e

x(t) =x1

2(1− cos at) (13)

che sostituita nella equazione 3 fornisce

ϕ =b− ausin2 θ

≈ b− au0

sin2 θ0

=a(u− u0)

sin2 θ0

≈ x

sin2 θ0

Infine si ha la velocita di precessione

ϕ =β

2a(1− cos at) (14)

Come gia anticipato essa non e uniforme, ma oscilla nel tempo. Quello che possiamo diree che la velocita di precessione media della trottola e non nulla, in quanto

〈 ϕ 〉 =Mgl

I3ω3

2Si ricorda che la vera ampiezza e un angolo, mentre x1 e la differenza fra due coseni.

10

CommentiIl caso da noi risolto, in cui l’asse della trottola e inizialmente in quiete ci permette di trarredelle conclusioni sul moto globale. Appena l’asse e libero di muoversi, esso cade per azionedella gravita. Il momento delle forze relativo all’asse genera una velocita di precessionedirettamente proporzionale alla ampiezza dell’angolo di caduta. L’asse iniziera a muoversiin una regione compresa tra due calotte sferiche. Il moto di caduta nella gravita diventauna nutazione accompagnata da una precessione.Un aspetto molto importante riguarda l’entita dei due effetti. Dalla relazione 13 si vedesubito che l’ampiezza di nutazione decresce con il quadrato della velocita angolare ω3,mentre la frequenza di precessione e uguale alla frequenza di nutazione, come si vededalla 13 e 14. Inoltre dalla 13 si vede che la frequenza di nutazione cresce linearmente conla velocita angolare. Percio in approssimazione di trottola veloce, il moto di nutazione esenz’altro una piccola perturbazione del moto di precessione.Quindi per una trottola sufficientemente veloce, il moto di nutazione e quasi inesistente3,per questo sembra essere una precessione uniforme attorno all’asse verticale. Questauniformita e vera solo in apparenza, in questo caso si parla di precessione pseudoregolare.

2.2 Una tecnica alternativa

Esiste un secondo approccio al problema della trottola veloce, ampiamente trattato daArnol’d in [4]. Grazie alle leggi di scala sappiamo che all’aumentare di N volte la velocitaangolare e esattamente equivalente a diminuire il peso di N2 volte. Formalizziamo meglio:

Teorema (di Arnold). Se conservando la posizione iniziale della trottola, si aumenta diN volte la velocita angolare, la traiettoria della trottola sara esattamente la stessa, che sel’accelerazione di gravita g fosse diminuita di N2 volte, mentre la velocita angolare rimanela stessa. Inoltre, nel caso di una maggiore velocita angolare la traiettoria, naturalmente,viene percorsa N volte piu velocemente. Se Ξg(t, ξ) e la posizione della trottola all’istantet con condizioni iniziali ξ sottoposta alla gravita g, il teorema afferma che

Ξg(t, Nξ) = ΞN−2g(Nt, ξ)

Grazie a questo teorema, anziche prendere in esame l’approssimazione

I3ω23

2Mgl

ci basta studiare il caso g → 0. Per ulteriori dettagli sull’uso di questa tecnica si rimandaal libro di Arnold, piu volte citato.

2.3 La precessione regolare

Come abbiamo appena visto, in generale la velocita di precessione oscilla nel tempo. Quel-lo che ci chiediamo e: sotto quali condizioni il moto della trottola e una pura precessione?Ovviamente per una precessione regolare, due radici del polinomio collassano in una sola,

θ1 = θ2 = θ0

Quindi l’angolo θ rimane fissato durante tutto il moto, il luogo geometrico e semplicementeuna circonferenza e la nutazione e del tutto rimossa. Tradotto in termini matematici, il

3Anche perche gli attriti con il perno contribuiscono in modo notevole al suo smorzamento.

11

polinomio f(u) deve avere una radice a molteplicita doppia. Per cui dobbiamo ricercarele condizioni in cui

u2 = f(u0) = 0 edf

du

∣∣∣u0

= 0

Imponendo che u0 sia radice del polinomio f(u) e della sua derivata, sfruttando l’equazioneper ϕ troviamo

β

2= aϕ− ϕ2 cos θ0

E comodo riscrivere questa ultima relazione eliminando a in favore di ω3, ricordando chea = I3

I1ω3, si ottiene

Mgl = ϕ(I3ω3 − I1ϕ cos θ0) (15)

Affinche si abbia una precessione regolare, i quattro parametri iniziali non possono esseredel tutto arbitrari. La natura quadratica della relazione 15 impone il vincolo che ϕ siareale; condizione affinche questo avvenga e che il determinante della equazione 15 sia nonnegativo, percio

I23ω

23 > 4MglI1 cos θ0

Abbiamo dimostrato che la precessione regolare avviene solo se la velocita di rotazione ω3

e superiore ad un certo valore critico Ω3

Ω3 =2

I3

√MglI1 cos θ0 (16)

E interessante notare che l’equazione 15 ammette due soluzioni (fisicamente accettabili seω3 > Ω3), quindi il regime di precessione regolare puo instaurarsi oltre il limite critico, epuo avvenire su due velocita diverse. Per capire meglio questo fenomeno basta osservareche nel limite

ϕ I3

I1

ω3

il termine quadratico si trascura e si ha

ϕlenta ≈Mgl

I3ω3

Questa e la velocita di precessione regolare lenta, da notare che e la stessa velocita mediaricavata nel caso di precessione pseudoregolare. Nel limite in cui si trascura il termineMgl rispetto ai termini del membro a destra della equazione 15 si trova la velocita diprecessione veloce

ϕveloce ≈I3ω3

I1 cos θ0

Ovviamente queste due soluzioni si possono ottenere anche dalla soluzione generale dellaequazione 15

ϕ =I3

2I1 cos θ0

[ω3 ±

√ω2

3 − Ω23

]Nel limite di alta velocita di rotazione ω3 Ω3 sviluppando all’ordine piu piccolo in Ω3

ω3.

Banalmente si trova

ϕlenta/veloce =I3ω3

2I1 cos θ0

(1∓ 1± Ω2

3

ω23

)+O

(Ω4

3

ω43

)

12

Da notare che la velocita di precessione veloce e tanto piu veloce di quella lenta, quantopiu la velocita angolare ω3 e maggiore della velocita angolare critica, infatti

ϕveloce

ϕlenta

=ω3 +

√ω2

3 − Ω23

ω3 −√ω2

3 − Ω23

= 4ω2

3

Ω23

+O(1)

2.4 Trottola verticale

Nel primo paragrafo abbiamo visto come il moto di nutazione della trottola sia confinatotra due angoli limite. Poi abbiamo visto che se i due angoli coincidono, il moto di nu-tazione viene rimosso e il luogo geometrico diviene una circonferenza sottesa all’angoloθ0. L’ultimo caso da trattare e quello che accade se la trottola viene messa in rotazioneverticale, ossia se l’angolo θ0 = 0. Sotto quali condizioni si puo verificare un moto dirotazione puramente verticale? In tal caso, abbiamo stabilita del moto?La singolarita di questo caso risiede nel fatto che l’asse di figura coincide con l’asse ver-ticale, pertanto, solo in questo caso pψ = I1a = I1b = pϕ, quindi a = b. Per questaconfigurazione dalla equazione dell’energia abbiamo E − I3

2ω2

3 = Mgl, quindi α = β.Quindi il polinomio f(u) si semplifica e diventa

u2 = β(1− u2)(1− u)− a2(1− u)2 = (1− u)2[β(1 + u)− a2]

Le radici di questo polinomio sono, ovviamente u = 1 a molteplicita doppia e

u3 =a2

β− 1

Notiamo che se a2/β > 2 (sicuramente valida per una trottola veloce) abbiamo u3 > 1,quindi l’unico moto possibile e quello tale per cui u = 1. In questo caso una trottolainizialmente verticale resta tale. Se invece a2/β < 2 abbiamo u3 < 1, quindi la trottolacompie un moto di nutazione fra θ = 0 e θ = θ3 = arccosu3. Concludiamo subito chetra il primo ed il secondo caso deve esistere una velocita angolare di soglia, oltre la qualee possibile un moto con asse puramente verticale. Per verificare questa condizione bastafar sı che il polinomio abbia come radice u = 1 con triplice molteplicita, ossia

2 =a2

β=I3

I1

I3Ω2

2Mgl

quindi

Ω2 =4MglI1

I23

(17)

Da notare che questa espressione appena ricavata per la velocita critica si sarebbe potutaottenere ponendo θ = 0 nella 16. Da notare che questo valore di soglia si puo ottenere4

semplicemente osservando che il potenziale efficace 5 puo essere approssimato, per piccoliscostamenti dalla verticale5, con

U(θ) = U0 +

(I2

3ω23

8I1

− Mgl

2

)θ2 +O(θ4)

La condizione di stabilita si traduce nella positivita del termine tra parentesi, da cui siottiene la 17.

4Vedi ad esempio [2] oppure [4].5Affinche lo sviluppo in serie di potenze abbia senso deve sussistere a = b.

13

CommentiIl significato di quanto ricavato e il seguente: se la trottola e messa in moto attorno alsuo asse verticale con velocita angolare ω3 > Ω, essa continuera a ruotare attorno allaverticale. In questo caso si parla di trottola dormiente. In un caso realistico, gli effettidi attrito dovuti principalmente al perno di rotazione, portano la velocita di rotazione aldi sotto del valore critico; la trottola si “svegliera”, iniziando ad oscillare sempre piu finoalla totale destabilizzazione del moto e all’arresto.

3 Le equazioni di Eulero

L’approccio allo studio della dinamica del corpo rigido secondo Newton, conduce allecosı dette equazioni di Eulero. Queste equazioni descrivono l’evoluzione temporale delmomento angolare del corpo rigido in un riferimento fisso. Applicando l’equazione 1vediamo che la variazione nel tempo del momento angolare e(

dL

dt

)f

=

(dL

dt

)s

+ ω × L

dove i pedici f e s stanno ad indicare che le derivate sono calcolate nel riferimento fissoe solidale al corpo rispettivamente. Ma dalla seconda equazione cardinale della dinamicasappiamo che la variazione temporale del momento angolare e dovuta al momento delleforze τ (scegliamo il polo fisso), quindi(

dL

dt

)f

= τ

Tralasciando l’indice f abbiamo le equazioni di Eulero in forma vettoriale

dL

dt+ ω × L = τ (18)

Per un corpo rigido, esiste una relazione ben precisa tra momento angolare e velocitaangolare L = I ·ω, dove I e il tensore di inerzia. Questa relazione tensoriale si semplificaulteriormente se riferiamo gli assi del corpo con gli assi principali di inerzia, cioe diagona-lizzando il tensore, ed ottenendo per la i-esima componente Li = Iiωi. Scritte in questoparticolare riferimento, le equazioni di Eulero assumono la forma6

Iidωidt

+ εijkωjωkIk = τi i = 1, 2, 3

Questa forma indiciale riassume le tre equazioni 18, che proiettate sonoI1ω1 − ω2ω3(I2 − I3) = τ1 (19a)

I2ω2 − ω3ω1(I3 − I1) = τ2 (19b)

I3ω3 − ω1ω1(I1 − I2) = τ3 (19c)

La soluzione di queste equazioni e tutt’altro che banale, nell’ultimo paragrafo risolveremoquesto sistema, nel caso di assenza di momenti esterni. Per adesso notiamo che per un

6Da notare che i non e un indice di somma, mentre j e k lo sono.

14

giroscopio, ossia un corpo simmetrico con I1 = I2 6= I3 non soggetto a momenti esterni,queste equazioni implicano la costanza di ω3. Le altre due equazioni costituiscono unsistema di equazioni differenziali del primo ordine accoppiato. La soluzione diviene banalese si disaccoppia il sistema, trovando che le velocita angolari ω1 e ω2 descrivono un motoarmonico, ossia si ha una precessione. Si lascia per esercizio dimostrare che la frequenzadi precessione in esame e

Ω =I3 − I1

I1

ω3

4 La trottola asimmetrica

Le equazioni di Eulero viste nel secondo paragrafo, non si prestano ad una semplice trat-tazione, anche perche per integrarle occorre far ricorso alle funzioni ellittiche7. In questoparagrafo, (letteralmente tratto dal §37 di [2]) affrontiamo il problema della rotazionelibera8, ossia la rotazione di un corpo tridimensionale complesso non soggetto a forzeesterne e a momenti esterni. Per un corpo arbitrario i tre autovalori del tensore di inerziasaranno in generale distinti; assumiamo che soddisfino

I1 < I2 < I3

Senza troppa difficolta, osserviamo che esistono due integrali primi delle equazioni diEulero, essi sono l’energia E ed il modulo del momento angolare L. Essi valgono

I1Ω21 + I2Ω2

2 + I3Ω23 = 2E e I2

1 Ω21 + I2

2 Ω22 + I2

3 Ω23 = L2

Esprimendo queste due equazioni in termini delle componenti del momento angolare Li =IiΩi, abbiamo

L21

I1

+L2

2

I2

+L2

3

I3

= 2E

L21 + L2

2 + L23 = L2

Se riportiamo in un sistema di assi cartesiani le componenti del momento angolare, le dueequazioni appena viste descrivono due superfici chiuse, in particolare, la conservazionedell’energia descrive un ellissoide di semiassi

√2EIi, mentre l’altra equazione descrive una

sfera di raggio L. Ovviamente il vettore L potra assumere diversi orientamenti rispettoagli assi principali. Le linee di intersezione9 tra queste due superfici sono le curve tracciatedal vettore momento angolare. La figura riporta le linee di intersezione tra l’equazionedi conservazione dell’energia e del momento angolare. Le varie curve riportate dipendonodall’entita della grandezza L. Per L &

√2EI1 l’intersezione e data da curve chiuse

centrate attorno ai poli, in corrispondenza dell’asse x1. Mano a mano che il valore di Laumenta, tali curve si allargano, fino a che per L =

√2EI2 le curve dell’emisfero superiore

e dell’emisfero inferiore diventano ellissi, con punti in comune lungo l’asse x2. Per valoriancora piu grandi, le ellissi si separano formano delle curve chiuse centrate attorno all’assex3; per L .

√2EI3 tali curve si restringono ai poli lungo l’asse x3.

La periodicita del moto e assicurata dal fatto che esistono orbite chiuse. Come si vede

7Nella appendice e possibile trovare una breve esposizione sulle funzioni ellittiche.8Spesso parleremo di moto libero e moto per inerzia, riferendoci sempre ad un sistema in cui e nullo

sia il risultante delle forze esterne che dei momenti esterni.9L’intersezione e garantita per costruzione dalla disuguaglianza

√2EI1 < L <

√2EI3

15

Figura 3: Traiettorie delle equazioni di Eulero sulla superficie di livello di energia.

dalla Fig.3, la stabilita del moto e garantita solo attorno agli assi in cui il momento diinerzia assume valori estremi. Quindi la rotazione e stabile solo attorno agli assi x1 e x3,mentre e instabile attorno all’asse x2. Dalle equazioni di Eulero e possibile ricavare leequazioni di evoluzione temporale per le velocita angolari. Ad esempio, possiamo trovareΩ2 esprimendo Ω1 e Ω3 in termini di Ω2, dei momenti di inerzia e delle costanti E, L. Inparticolare otteniamo

dΩ2

dt=

1

I2

√I1I3

√[(2EI3 − L2)− I2(I3 − I2)Ω2

2][(L2 − 2EI1)− I2(I2 − I1)Ω22]

introducendo le variabili ridotte10 s, τ ed il modulo κ

τ =

√(I3 − I2)(L2 − 2EI1)

I1I2I3

, s = Ω2

√I2(I3 − I2)

2EI3 − L2, κ =

√(I2 − I1)(2EI3 − L2)

(I3 − I2)(M23 − 2EI1)

Risolviamo l’equazione per t(Ω2) imponendo che al tempo iniziale Ω2(0) = 0, ottenendoun integrale ellittico di prima specie

τ =

∫ s

0

ds√(1− s2)(1− κ2s2)

E possibile invertire questo integrale tramite la funzione ellittica seno amplitudine s =sn τ . Ripetendo il ragionamento e possibile dimostrare che le altre velocita valgono

Ω1 =

√2EI3 − L2

I1(I3 − I1)cn τ , Ω2 =

√2EI3 − L2

I2(I3 − I2)sn τ , Ω3 =

√L2 − 2EI1

I3(I3 − I1)dn τ

Le funzioni ellittiche sono periodiche, il loro periodo e dato dall’integrale ellittico completodi prima specie, quindi il periodo del moto e T

T = 4K(κ)

√I1I2I3

(I3 − I2)(L2 − 2EI1)

10Ovviamente si deve avere M2 > 2EI1 per l’esistenza di τ .

16

Da notare che per un rotore simmetrico I1 = I2, quindi si ha κ = 0, cosı le funzioniellittiche diventano funzioni circolari, riconducendoci alla precessione di un giroscopio,vista nel precedente paragrafo.Fissando le condizioni iniziali in modo che L sia diretto lungo l’asse z, dalle equazioni diEulero e possibile ricavare la legge oraria. Le componenti del momento angolare lungo gliassi mobili, espresse in termini degli angoli di Eulero, sono

L sin θ sinψ = I1Ω1 , L sin θ cosψ = I2Ω2 , L cos θ = I3Ω3

Ad esempio, per θ troviamo

cos θ =

√I3(M2 − 2EI1)

M2(I3 − I1)dn τ

Da sottolineare che per L =√

2EI3, si ha Ω = (0, 0,Ω3), ossia una rotazione uniformeattorno all’asse x3; similmente si ripete il ragionamento per l’asse x1.

5 Il moto alla Poinsot

Come abbiamo visto, e assai laborioso risolvere le equazioni di Eulero per una rotazionelibera. Tuttavia esiste un altro approccio molto elegante, nel quale non si fa ricorsoalla soluzione analitica delle equazioni di Eulero, ma semplicemente ad una trattazionegeometrica del moto rigido. Questo e l’approccio di Poinsot. Nel caso del moto perinerzia, il momento delle forze esterne e nullo, pertanto il vettore L e fisso nello spazio.Si puo dimostrare che l’ellissoide di inerzia rotola senza strisciare su un piano fisso, la

cui normale e parallela a L e la cui distanza dall’origine vale d =√

2EL

. Inoltre e faciledimostrare che sia nel riferimento fisso che in quello mobile l’asse di rotazione descrive uncono; infine l’asse di rotazione e istante per istante la semiretta comune ai due coni, cherotolano senza strisciare l’uno sull’altro. La dimostrazione di queste asserzioni e semplice,definiamo il vettore

ρ =ω

ω√I

=ω√2T

parallelo alla velocita angolare di rotazione, e la funzione

F (ρ) = ρ · I · ρ

Le superfici di livello di F sono ellissoidi, in particolare la superficie su cui F = 1 e propriol’ellissoide di inerzia. Quindi abbiamo un vettore che indica la direzione della velocitaangolare di rotazione, inoltre sappiamo che questo vettore ha una estremita sull’ellissoidedi inerzia. Per capire come e orientato l’ellissoide di inerzia (e quindi il corpo) rispetto almomento angolare, basta osservare che

∇ρF (ρ) =

√2

TL

ossia, la direzione normale all’ellissoide di inerzia in ρ e parallela al momento angolare.Dimostrare la costanza della distanza dall’origine dell’ellissoide al punto di tangenza conil piano invariante e banale:

d = ρ · LL

=

√2T

L

17

dove si e sfruttato il fatto che l’energia cinetica e T = ω·I ·ω2

, che si conserva. La costanzadi L e della distanza del piano tangente dall’origine, unita al fatto che la normale al pianoe parallela al momento angolare, fa sı che anche il piano sia fisso, per questo e detto pianoinvariante. Per provare che il moto e di puro rotolamento, basta osservare che il puntodi contatto e definito da ρ il quale appartiene all’asse istantaneo di rotazione. Il vettoreρ descrive una curva sull’ellissoide di inerzia, detta Poloida, la corrispondente curva trac-ciata sul piano invariante e detta Erpoloida. (Vedi Fig.4)

Figura 4: Poloida ed Erpoloida

Da notare che per un corpo simmetrico, quando l’ellissoide di inerzia e rotondo, poloidaed erpoloida sono circonferenze. Da qui si capisce subito che per un osservatore solidaleal corpo, ω traccia un cono, detto cono del corpo; un osservatore nel riferimento fissovedrebbe ω tracciare un cono, detto cono dello spazio. Le intersezioni dei coni con l’el-lissoide di inerzia sono poloida ed erpoloida. Nella descrizione di Poinsot, il moto di uncorpo simmetrico in assenza di forze e momenti e descritto dal rotolamento dei due coni,l’uno sull’altro.

Figura 5: Coni di Poinsot

18

A Gli integrali ellittici e le funzioni ellittiche

Come spesso accade in fisica-matematica ci si imbatte in equazioni differenziali la cuisoluzione non e esprimibile in termini di funzioni elementari, al punto che se ne definisconodelle nuove, dette funzioni speciali. In tutta la enorme zoologia delle funzioni specialivi sono le funzioni ellittiche di Jacobi. Per poterle definire si introducono gli integraliellittici11.

A.1 Gli integrali ellittici

I seguenti integrali, vengono definiti integrali ellittici di prima, seconda e terza specierispettivamente, i quali, in forma di Legendre, sono rispettivamente

F (φ, k) =

∫ φ

0

dθ√1− k2 sin2 θ

, E(φ, k) =

∫ φ

0

√1− k2 sin2 θ dθ e

Π(φ, n, k) =

∫ φ

0

dφ

(1 + n sin2 φ)√

1− k2 sin2 φ

dove il parametro k detto modulo e tale che k ∈ [0, 1], mentre φ e chiamata ampiezza.Mediante il cambio di variabili t = sin θ, x = sinφ dalla forma di Legendre si ottiene laforma di Jacobi

F (x, k) =

∫ x

0

dt√1− t2

√1− k2t2

, E(x, k) =

∫ x

0

√1− k2t2√1− t2

dt e

Π(x, n, k) =

∫ x

0

dt√(1− nt2)(1− t2)(1− k2t2)

Gli integrali ellittici appena definiti vengono detti incompleti. Vengono detti completi seφ = π/2, se in forma di Legendre, se x = 1 se nella forma di Jacobi; essi vengono definiticome

K(k) = F (π/2, k) , E(k) = E(π/2, k) e Π(n, k) = Π(π/2, n, k)

A.2 Le funzioni ellittiche

Evidentemente e possibile definire la funzione trigonometrica sin come un integrale circo-lare,

u =

∫ x

0

dt√1− t2

= sin−1 x

Questa definizione definisce u come funzione di x e viceversa invertendo, x = sinu. Nellostesso modo, la funzione u = F (φ, k) definisce u come funzione di φ e viceversa definisceφ come funzione di u, basta invertire l’integrale ellittico

u =

∫ x

0

dt√1− t2

√1− k2t2

≡ sn−1x

11Per ulteriori dettagli tecnici e per esercizi di carattere meccanico si rimanda a [3]. Una chiaraesposizione di queste funzioni, corredata da esercizi matematici e fisici si trova anche in [5].

19

Questa e la definizione della funzione ellittica sn. Da notare che x = snu = sinφ poi-che x = sinφ. Ricavare l’ampiezza φ dalla funzione u prende il nome di inversionedell’integrale ellittico; tale funzione si indica con

φ = amu

Le altre funzioni ellittiche si possono definire a partire dalle operazioni trigonometrichesu φ; esse sono

snu = sin amu = sinφ

cnu = cos amu = sinφ

Esse prendono rispettivamente il nome di seno amplitudine e di coseno amplitudine12.Esistono altre funzioni ellittiche, tutte riconducibili alla seno amplitudine, esse sono

dnu =dφ

du=√

1− k2sn2u e tnu =snu

cnu= tanφ

La funzione dn viene detta delta amplitudine. Le funzioni ellittiche di Jacobi sono definitecome le funzioni inverse degli integrali ellittici del primo tipo. Queste funzioni specialisoddisfano delle identita molto simili a quelle delle funzioni trigonometriche

sn2 u+ cn2 u = 1

dn2 u+ k2sn2 u = 1

Pertanto le altre funzioni ellittiche, sono riconducibili alla funzione sn. Queste funzionihanno delle somiglianze intrinseche con le funzioni circolari, in particolare valgono delleregole di derivazione analoghe

d

dusnu = cnu dnu ,

d

ducnu = −snu dnu ,

d

dudnu = −k2snu cnu

Un’ altra proprieta importante e che nel limite k = 0 le funzioni ellittiche degeneranonelle funzioni circolari trigonometriche

snu = sinu , cnu = cosu , tnu = tanu , dnu = 1

Mentre nel limite opposto k = 1 le funzioni ellittiche degenerano in funzioni iperboliche,perdendo la loro periodicita.

EsempioRisolviamo l’equazione del pendolo semplice (vedi [3])

θ + ω2 sin θ = 0 (20)

Moltiplicando per θ l’equazione 20 si nota subito che il sistema ammette un integraleprimo, l’energia

1

2ml2θ2 −mgl cos θ = E = costante (21)

12Per mettere in evidenza il fatto che il modulo e k, talvolta le funzioni ellittiche vengono scritte nellaforma

sn (x, k) ≡ sn (x)

Per non appesantire la notazione, scriveremo semplicemente sn sottintendendo che il modulo e k.

20

Quindi l’equazione 21 e integrabile per quadrature. Riscriviamo questa equazione defi-nendo E/mgl ≡ e

θ2 = 2ω2(e+ cos θ)

Introducendo la variabile y = sin θ2

e, si ottiene l’equazione differenziale

y2 = κ2ω2(1− y2)

(1− y2

κ2

)(22)

dove si e posto κ2 ≡ (1 + e)/2. Poiche stiamo studiando le oscillazioni (e non le pure ro-tazioni), il parametro |e| < 1, quindi κ2 < 1. L’equazione 22 e integrabile per separazionedelle variabili, infatti ponendo y/κ = ξ∫ y(t)/κ

y0/κ

dξ√(1− y2)

√1− κ2ξ2

= ω(t− t0) (23)

Nel caso in cui il pendolo inizi il suo moto dalla posizione θ(t0) = 0 si ha y0 = 0, pertantol’integrale 23 si esprime in termini della funzione seno amplitudine di Jacobi

sn−1 y(t)

κ= ω(t− t0) (24)

da cui si ricava la legge oraria

θ(t) = 2 sin−1[κ snω(t− t0)]

E facile dimostrare che il periodo di oscillazione vale

T =4K(κ)

ω

Da questa espressione, espandendo in serie di potenze l’integrale ellittico completo diprima specie si trova

T = 2π

√l

g

1 +

∞∑j=1

[(2j − 1)!!

(2j)!!

]2

k2j

Abbiamo dimostrato che il pendolo semplice non e isocrono, e solo per k → 0 si ritrova lalegge di Galileo sull’isocronismo del pendolo. Anche i moti di pura rotazione si possonodescrivere in termini di funzioni ellittiche. Per una pura rotazione e > 1, quindi bastaripetere quanto appena visto effettuando la sostituzione k2 = κ−2 ottenendo

θ(t) = 2 sin−1

[snω(t− t0)

k

]e T =

4kK(k)

ω

Molto piu interessante e il moto sulla separatrice, realizzabile ad esempio lanciando ilpendolo dalla posizione θ = 0 con energia cinetica pari all’energia potenziale relativaalla sommita, percio e = 1. In questo caso κ = 1, le funzioni ellittiche degenerano iniperboliche e si ottiene

θ(t) = 2 sin−1 tanh[ω(t− t0)]

da cui si vede immediatamente che per arrivare alla sommita il tempo impiegato e infinito.

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Riferimenti bibliografici

[1] H. Goldstein, C. Poole e J. Safko, Meccanica Classica, Zanichelli (2005)Semplicemente un capolavoro, descrive in maniera esaustiva il problema della trottola,queste dispense sono perlopiu tratte letteralmente da questo libro.

[2] L. D. Landau e E. M. Lifsits, Meccanica, Editori Riuniti (2004)L’opera omnia di Landau-Lifsits tratta il problema dei rotatori simmetrici, in uno stileimpeccabile. Ottima la trattazione del corpo rigido, in tutti i suoi aspetti.

[3] A. Fasano e S. Marmi, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri (2002)Il testo di meccanica per eccellenza, elegante e formale. Molto interessante latrattazione della cinematica del corpo rigido.

[4] V. I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti (2004)Un classico, unisce gli aspetti geometrici a quelli meccanici. In modo semplice edelegante affronta il problema del corpo rigido e della trottola (con la stessa notazionedi Goldstein).

[5] M. L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, Wiley (2006)Il capitolo sulle funzioni speciali contiene una ampia esposizione delle funzioni ellittichecorredando la teoria con esercizi pratici.

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