Ciecze kwantowe wczoraj i dziściecze Fermiego–Landaua), cieczach Bosego oraz o ich mieszaninach. Dokładniejszy podział przed-stawiono na rys. 1, gdzie podane są także kon-kretne

MATERIAŁY XXXVI ZJAZDU FIZYKÓW POLSKICH – TORUŃ 2001 – WYKŁADY PLENARNE

Ciecze kwantowe wczoraj i dziśJózef Spałek

Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego, Uniwersytet Jagielloński, Kraków

1. Podział i charakterystykicieczy kwantowych

jako stanów skondensowanych

1.1. Własności ogólne

Badania cieczy kwantowych, a także kwan-towych stanów skondensowanych, należą do dzie-dziny fizyki materii skondensowanej. W przy-padku układów trójwymiarowych mówimy o cie-czach fermionowych (których podklasę stanowiąciecze Fermiego–Landaua), cieczach Bosego orazo ich mieszaninach. Dokładniejszy podział przed-stawiono na rys. 1, gdzie podane są także kon-kretne przykłady takich cieczy. Ciecze fermio-nowe zajmują tam szczególnie wiele miejsca, gdyżfermiony stanowią podstawowe składniki budowymaterii. Poza tym, jedna ciecz (np. izotopu 3He)może wykazywać w zależności od temperaturywłasności gazowe (T > 4,2 K), normalnej cie-czy Landaua (dla T < 1 K) oraz nadciekłe (dlaT < 2,6 mK przy normalnym ciśnieniu). Cowięcej, taką ciecz można zestalić pod ciśnieniemp ≈ 32 bar i utworzyć sieć kryształu kwantowegofermionów, który w temperaturach T


1.2. Układy mikrocząstek jako gaz kwantowy

Ażeby móc opisać ilościowo ciecze kwan-towe, należy zacząć od podziału znanych ukła-dów atomów czy mikrocząstek na układy fermio-nów i bozonów1. Podział ten wynika z zachowa-nia się funkcji falowej N cząstek względem prze-stawienia współrzędnych dwóch cząstek (spinycząstek są też traktowane jako współrzędne,mimo że przyjmują dyskretne wartości). N i e -r o z r ó ż n i a l n o ś ć identycznych cząstek w sen-sie kwantowym oznacza bowiem, że N -cząstkowafunkcja falowa Ψ(r1s1, r2s2, . . . , rNsN ) spełniazależność

Ψ(. . . , risi, . . . , rjsj , . . .) =

(−1)2sΨ(. . . , rjsj , . . . , risi, . . .), (1)

gdzie s jest wartością spinu cząstek. Dla spinu po-łówkowego s = (2n + 1)/2, gdzie n = 0, 1, 2, . . .funkcja falowa jest antysymetryczna względemprzestawień pary współrzędnych, natomiast dlaspinu całkowitego cząstek (s = n) funkcja ta jestsymetryczna. Warto zauważyć, że aby funkcja fa-lowa była jednoznaczna, czyli aby podwójne prze-stawienie każdej pary dawało początkową funkcję,s może być tylko albo połówkowe, albo całkowite.Mamy zatem do czynienia tylko albo z fermio-nami, albo z bozonami.

Ta podstawowa własność funkcji falowej wielucząstek (tak prosta, że aż się nie chce wierzyć,że jest tak fundamentalna!) ma bardzo podsta-wowe konsekwencje dla natury własności staty-stycznych zespołu takich identycznych cząstek.W przypadku fermionów prowadzi w sposób bez-pośredni do zakazu Pauliego głoszącego, że danystan jednocząstkowy (scharakteryzowany przezkomplet liczb kwantowych) może obsadzić co naj-wyżej jedna cząstka. Takie ograniczenie nie obo-wiązuje dla bozonów. Fermiony tworzące jedenukład kwantowy obsadzają poszczególne stanyparami (z przeciwnymi spinami, jeśli s = 1/2) ażdo najwyższego obsadzonego stanu, zwanego po-ziomem (energią) Fermiego, jeśli energia cząstkijest jedną z cech jej stanu i gdy nie ma wzbu-dzeń termicznych w układzie. Rozróżnienia mię-dzy fermionami i bozonami można zatem doko-nać na podstawie ich własności statystycznych

(a co za tym idzie, termodynamicznych). Poka-zano to schematycznie na rys. 2, gdzie prawiewszystkie bozony są w stanie podstawowym, coodpowiada także intuicji klasycznej podpowiada-jącej, że cząstki wybierają stan makroskopowyo minimum energii (zauważmy jednak od razu,że takie obsadzenie występuje nawet wówczas, je-śli kBT � ∆E, gdzie ∆E jest odległością międzypoziomami, a kB – stałą Boltzmanna).

Rys. 2. Schematyczne przedstawienie rozkładu Fer-miego–Diraca i Bosego–Einsteina na diagramie energia––liczba cząstek w układzie z dyskretnymi poziomami.

Dla temperatury T 6= 0 rozkład przedsta-wiony na rys. 2 można wyznaczyć w postaci ana-litycznej. Dla bardzo dużej liczby cząstek wyrażasię on w tych dwóch przypadkach wzorem

n̄i =2s+ 1

exp[(�i − µ)/kBT ]± 1 , (2)

gdzie znak „+” obowiązuje dla fermionów, znak„−” dla bozonów, �i jest energią cząstki (zwyklecharakteryzowaną przez pęd p cząstki, �i ≡ �p),natomiast µ jest tzw. potencjałem chemicznymwyznaczonym na podstawie warunku

N =∑

i

n̄i ≡∑p

2s+ 1exp[(�p − µ)/kBT ]± 1 . (3)

Należy zaznaczyć, że wzory (2) i (3) okre-ślają całą termodynamikę statystyczną układówmikrocząstek w bardzo szczególnych okoliczno-ściach. Po pierwsze, zakładamy, że cząstki od-działują dostatecznie słabo, by miało sens poję-cie poziomów energetycznych {�i} pojedynczychcząstek2. Po drugie, układ zawiera bardzo wielemikrocząstek, tak że wzór (3) opisuje w praktyceukład o stałej ich liczbie, a nie tylko o stałej su-mie średnich na poszczególnych poziomach. Ten

1 W układach dwu- i jednowymiarowych występują układy cząstek o statystyce pośredniej.2 W podręcznikowych wyprowadzeniach wzorów (2) i (3) pomija się zwykle oddziaływanie między cząstkami.

POSTĘPY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002 23


drugi punkt trzeba skorygować, gdy mamy sto-sunkowo małą liczbę cząstek w takim układzie,jak kropka kwantowa [2] czy zbiór niewielu bo-zonów [3]. Poprawne uwzględnienie oddziaływa-nia między cząstkami, zwłaszcza jeśli nie stanowiono małego zaburzenia ich energii jednocząstko-wej (kinetycznej), może prowadzić do zasadniczejprzebudowy opisu mikroskopowego takich ukła-dów (por. niżej).

Zanim przejdziemy do opisu bardziej złożo-nych sytuacji, powinniśmy – skoro chcemy opi-sywać termodynamicznie układy mikrocząstek napodstawie rozkładu (2) i (3) dla i d e a l n y c h,nieoddziałujących gazów kwantowych – odpowie-dzieć na pytanie, skąd cząstki „wiedzą” wzajem-nie o sobie i tak się ładnie układają, jak na rys. 2.Skąd wynika kwantowa spójność układu (np. za-kaz Pauliego)? Na to pytanie łatwiej jest udzielićodpowiedzi dla przypadku fermionów, gdzie zakazPauliego wymusza dużą energię kinetyczną czą-stek przy poziomie Fermiego �F (te są najistot-niejsze dla zjawisk w przedziale kBT � �F), takby znacznie przewyższała ona energię ich wza-jemnego oddziaływania, np. kulombowskiego. Tauwaga leży u podstaw teorii oddziałujących fer-mionów, zwanej teorią cieczy Fermiego i opraco-wanej przez Landaua (por. np. [4]). W przypadkubozonów odpowiedź na to pytanie nie jest tak bez-pośrednia i w związku z tym poruszymy tę kwestięw następnym punkcie.

1.3. Natura kondensacji w układach kwantowych:bozony

W fizyce makroskopowej przez kondensacjęrozumiemy skraplanie się gazu, rzadziej zestalaniesię cieczy. Jest to proces gwałtowny, bo występujeon w postaci przejścia fazowego I rodzaju, jeśli niejesteśmy akurat w punkcie krytycznym. Źródłemtej kondensacji jest zwycięstwo oddziaływań mię-dzy cząstkami nad szumem termicznym (czynnikentropowy −TS w energii swobodnej przegrywaz energią wewnętrzną, którą określa w dużej mie-rze ta energia oddziaływania).

W fizyce kwantowej oddziaływanie międzycząstkami jest podstawowym warunkiem wystą-pienia stanu skondensowanego dla fermionów3.Występuje wtedy wiele przejść fazowych: dofazy nadprzewodzącej, fazy magnetycznej, fazy

z falami gęstości ładunku, stanu zlokalizowanegoMotta–Hubarda albo kilku tych faz jednocześnielub po kolei. Jednakże w fizyce kwantowej dla bo-zonów możliwe jest wystąpienie stanu skondenso-wanego, wynikającego jedynie z natury tych czą-stek; jest to kondensacja Bosego–Einsteina (B–E).Charakteryzuje się ona makroskopowym obsadze-niem stanu podstawowego (rzecz raczej normalnaw niskiej temperaturze), ale obsadzenie to osiągasię przy tym dla gazu idealnego w pewnej nieze-rowej temperaturze T0 (mimo że kBT0 � ∆E,gdzie ∆E jest odległością między niskowzbudzo-nymi stanami), przy której występują nieciągłościtypowych wielkości termodynamicznych, np. cie-pła właściwego lub charakteru izotermy na wykre-sie p–V . Zjawisko to zostało odkryte przez Ein-steina w 1925 r. [5] i wykorzystane do wyjaśnie-nia przejścia nadciekłego w 4He przez F. Londonaw 1938 r. (por. [6]). Łatwo bowiem zauważyć,że obsadzenie poziomu µ = �i jest nieskończenieduże. Dla cząstek swobodnych minimum energiijest dla �p = 0. Wobec tego warunkiem konden-sacji jest µ = 0 (zauważmy, że aby n̄i 0, musibyć µ ¬ 0, inaczej następowałaby kondensacja doktóregoś ze stanów wzbudzonych, a stany z �i < µmiałyby ujemne obsadzenia!).

Oddziaływanie musi jednak odgrywać rolęw takiej kondensacji. Jest tak dlatego, że dlaukładu N cząstek, w pierwszym stanie wzbudzo-nym cząstka ma pęd p1 = h̄k1 = h/λ1, przy czymdługość fali de Broglie’a wynosi λ1 = Nd, gdzie djest odległością między cząstkami (średnią). Wo-bec tego jej energia �1 = h̄

2k21/2m ∼ N−1 i nawetdla N rzędu 102 jest to mała liczba. Zatem je-śli tylko energia oddziaływania V12 > 0 międzyparą cząstek jest bliska �1, to oddziaływanie jestistotne, bo będzie chociażby wyrzucało cząstkize stanu podstawowego do stanu wzbudzonego,żeby rozrzedzić stan skondensowany. Dlatego teżw przypadku stanów skondensowanych bozonówoddziaływanie musi być zwykle uwzględnione; bę-dziemy jeszcze o tym mówić.

Taki spójny stan N bozonów (N � 1)charakteryzuje się m a k r o s k o p o w ą f u n k c j ąf a l o w ą, opisującą makroskopowe obsadzeniestanu. Czy zatem następuje w takim stanie utrataindywidualności cząstek na rzecz zbiorowości? In-nymi słowy, czy możemy mówić o j e d n e j fali

3 Może się jednak ono okazać niedostateczne, gdy energia drgań zerowych jest za duża, jak np. w przypadku układówjednowymiarowych.

24 POSTĘPY FIZYKI TOM DODATKOWY 53D ROK 2002


materii dla np. N ∼ 1023 cząstek w takimstanie, jak pokazano schematycznie na rys. 3,gdzie poszczególne fale materii (reprezentowaneprzez paczki falowe) dodają się w fazie, two-rząc jedną superfalę materii? Tak prosta super-pozycja fal cząstkowych występuje wówczas, gdynie uwzględniamy oddziaływania między cząst-kami. Zauważmy, że wtedy możemy normali-zować prawdopodobieństwo znalezienia cząstkido całkowitej liczby cząstek, tj. |Ψ(r1)|2 =∫ |Ψ(r1, r2, . . . , rN )|2 dx2 . . .dxN . Innymi słowy,wypadkowa fala ma interpretację statystyczną,gdyż możemy założyć, że |Ψ(r1)|2 wyraża gęstośćcząstek.

Rys. 3. Intuicyjne przedstawienie składania paczekcząstkowych fal de Broglie’a o zgodnej fazie w „super-falę” stanu skondensowanego. Dla takiej fali wypadkowejmożna przyjąć, że |Ψ(r)|2 jest proporcjonalne do gęsto-

ści cząstek. ξ oznacza długość koherencji stanów.

1.4. Rodzaje cieczy kwantowych: wczoraj i dziś

Kanonicznymi przykładami cieczy kwanto-wych, których opis został stworzony w pierw-szych 50 latach po powstaniu mechaniki kwan-towej (a zwłaszcza kwantowej teorii pola) są:1) ciekły i nadciekły 3He (ciecz fermionów) i 4He(ciecz bozonów), 2) gwiazdy neutronowe (Lan-dau, 1933), 3) nadprzewodniki typu Bardeena––Coopera–Schrieffera (1957), 4) układy prawiezlokalizowanych cząstek (układy Motta–Hubbar-da–Andersona). Niektóre z tych cieczy kwan-towych omówimy w dalszej części artykułu.Wspólne z koncepcyjnego punktu widzenia jestto, że te układy oddziałujących cząstek opisujemyw języku k w a z i c z ą s t e k, które mają charak-terystyki zrenormalizowane przez to oddziaływa-nie (np. masa tych cząstek) i w efekcie zacho-wują się już jako gaz słabo oddziałujących kwa-

zicząstek. Co to oznacza? A mianowicie to, żemożemy wzbudzenia tej cieczy cząstek dalej opi-sywać przez wzbudzenia pojedynczych kwaziczą-stek i drgań kolektywnych (plazmonów, fal dźwię-kowych) w ramach prostych przybliżeń. Jakkol-wiek takie podejście może się wydawać oczywi-ste, to w układach niskowymiarowych (o wymia-rze 2 lub 1) nie jest ono – jak się wydaje – czę-sto spełnione, jak np. w przypadku opisu ułam-kowego kwantowego efektu Halla, nadprzewodnic-twa wysokotemperaturowego czy przewodnikówjednowymiarowych.

W ciągu ostatnich 20 lat szczególną uwagępoświęca się następującym układom doświadczal-nym czy modelowym: 5) układy nanoskopowe(1990), 6) ciecze Halla (1983), 7) nadprzewodnikiwysokotemperaturowe i organiczne (1986, 1987),8) metaliczny wodór (1996), 9) kondensaty ato-mowe B–E i Fermiego (1995, 2000), 10) pla-zma kwarkowo-gluonowa, 11) nadprzewodniki fer-romagnetyczne (2000), 12) jednowymiarowe cie-cze kwantowe Tomonagi–Luttingera. W tej kla-syfikacji celowo pomieszałem konkretne układyz układami jeszcze nie w pełni zrealizowanymi,gdyż stanowią one tematykę intensywnie rozwi-janą. Tylko niektóre z nich omówię bardziej szcze-gółowo w tym artykule.

1.5. Nadpłynność i nadprzewodnictwo a konden-sacja mikrocząstek

Za najbardziej specyficzne cechy cieczy kwan-towych można uznać ich nadpłynność (nad-ciekłość) oraz nadprzewodnictwo. Nadpłynnośćoznacza, że ciecz może w ogóle nie wykazy-wać lepkości przy niezbyt dużych prędkościachprzepływu. Podobnie, w stanie nadprzewodzą-cym nośniki prądu elektrycznego (pary elektro-nowe) poruszają się zupełnie bez oporu elek-trycznego w przewodniku. Jest zadziwiające, żew przyrodzie ta nadpłynność ładunków czy masyjest doskonała pomimo obecności drgań termicz-nych i defektów struktury w materiale. Przy-czyną takiego stanu rzeczy jest utworzenie ma-kroskopowego stanu kwantowego, wykazującegopewną sztywność względem zaburzeń wewnętrz-nych. Najprościej można sobie wyobrazić taki standla bozonów, dla których prawdopodobieństwoprzejścia następnego bozonu do tego stanu jestproporcjonalne do liczby cząstek już w nim będą-cych. W wyniku tego tworzą się makroskopowe



(skondensowane) stany kwantowe tych cząstek.Kiedy możemy uważać taki kwantowy stan skon-densowany za stan cieczy kwantowej? Można po-wiedzieć, że musi to być stan nowej jakości (nowafaza w sensie termodynamicznym), otrzymany zestanu normalnego przez przejście fazowe, a ści-ślej, dzięki obecności punktu krytycznego, w któ-rym następuje złamanie symetrii i występują oso-bliwości własności termodynamicznych. Tak przy-najmniej się dzieje we wszystkich przypadkach ob-serwowanych do tej pory.

Może przydatna będzie tutaj następującauwaga ogólna dotycząca stanu nadprzewodzącegojako stanu skondensowanego. W tym przypadkumamy do czynienia z fermionami, więc zwykłyopis przez kondensację B–E nie da się zasto-sować. Wiadomo jednak, że w nadprzewodnikupary elektronów tworzą stan związany – paręCoopera – którą można uważać za bozon o ła-dunku 2e i zerowym spinie (dla zwykłych nad-przewodników) lub spinie równym 1 (dla nad-przewodników trypletowych). Jednakże taki stanzwiązany ma pewien charakterystyczny rozmiar ξ,zwany długością koherencji (średnią odległośćcząstek), która dla zwykłych nadprzewodnikówmetalicznych, jak Hg, Sn czy Nb, wynosi parętysięcy angstremów, natomiast w metalu śred-nia klasyczna odległość między elektronami wy-nosi de−e = (V/N)1/3, czyli kilka Å, gdzie Vjest objętością układu. W związku z tym obję-tość pary, rzędu ξ3, jest przenikana przez wieleinnych par, jak pokazano na rys. 4. Natomiasto gazie bozonowym można mówić, jeśli de−e � ξ,czyli gdy pojedyncze bozony (pary elektronów)są dobrze odizolowane od innych. Dlatego też niemożna uważać stanu nadprzewodzącego za stanskondensowany par Coopera jako bozonów4. Kon-densacja fermionów w pary Coopera, a wskutektego w stan nadprzewodzący czy nadciekły (jakdla ciekłego 3He), jest szczególnym typem kon-densacji, zwanym k o n d e n s a c j ą B a r d e e n a–– C o o p e r a– S c h r i e f f e r a (BCS).

Warto jednak nadmienić, że w tzw. poddo-mieszkowanych nadprzewodnikach wysokotempe-raturowych (blisko przejścia do stanu izolatoramagnetycznego) de−e >∼ ξ, co skłania niektórychbadaczy [7] do próby znalezienia opisu przejściaod stanu skondensowanego typu nadprzewodzą-

cego (BCS) do stanu, w którym pary Cooperapodlegają kondensacji B–E. Jest to droga do uni-fikacji tych dwóch typów kondensacji (por. źró-dłową w tym zakresie pracę [8]).

Rys. 4. Konfiguracja par Coopera w przypadku, gdy od-ległość klasyczna de−e między cząstkami jest znacznie

mniejsza niż długość koherencji ξ.

2. Kanoniczne ciecze kwantowe: 4He i 3He

2.1. Podstawowe własności makroskopowe

Jak już powiedziano, pierwsze zbadane cie-cze kwantowe to ciecze złożone z izotopów 4Helub 3He. Atom 4He jako całość jest bozonem (maspiny jądrowy i elektronów zerowe), natomiast3He jest fermionem o spinie (jądra) s = 1/2(rys. 5). Zauważmy od razu, że oba atomy mają

Rys. 5. Konfiguracje spinowe cząstek w atomach 3Hei 4He.

tę samą zapełnioną powłokę 1s2 najprostszegogazu szlachetnego, mają zatem takie same własno-

4 Widać to także formalnie, gdyż operatory kreacji i anihilacji par Coopera (a†k↑a†−k↓ oraz a−k↓ak↑) nie spełniają

bozonowych reguł komutacji.



ści chemiczne. Co więcej, spin 3He jest „głębokoukryty” pod powłoką elektronową, ale to, że atomjako całość stanowi stan związany o energii wiąza-nia znacznie przewyższającej energię wzajemnegooddziaływania van der Waalsa między atomami,oznacza, że należy cały atom traktować jako fer-mion. Z tych samych względów atomy 4He trzebauważać za bozony. Te koncepcje pięknie się spraw-dzają przy badaniu tych cieczy w niskiej tempe-raturze, do czego obecnie przechodzimy.

Diagramy fazowe na płaszczyźnie p–T (ciś-nienie–temperatura) dla obu cieczy przedstawionoschematycznie na rys. 6. Widać przede wszystkim

Rys. 6. Diagramy fazowe 3He i 4He na płaszczyźnie p–T .

linię λ przejścia do fazy nadpłynnej w tempera-turze Tλ dla 4He. Dla 3He taką fazę nadpłynnąobserwuje się w zakresie milikelwinowym; odpo-wiedni diagram fazowy przedstawiono na rys. 7.Jak już wspomniano, w fazie stałej 3He jest ją-drowym antyferromagnetykiem poniżej tempera-tury Néela TN = 1,2 mK. Jak widać, pozostałeszczegóły diagramu fazowego różnią się poza jed-nym: krzywa topnienia 3He ma minimum dlaT = 0,32 K, p = 29,3 bar. Istnienie tego mi-nimum jest zjawiskiem fundamentalnym, związa-

nym z e f e k t e m P o m e r a n c z u k a, który za-uważył, że występowanie takiego minimum nakrzywej topnienia oznacza, iż entropia ciała sta-łego jest większa niż entropia cieczy. Ta różnicaz kolei wynika stąd, że dla 3He wkład nieuporząd-kowanych magnetycznie spinów jądrowych s =1/2 w fazie stałej do energii swobodnej wynosi−kBT ln 2 na spin (w fazie ciekłej nie ma tej entro-pii, bo atomy tworzą ciecz fermionów o rozkładzieFermiego–Diraca). Ponadto mnogość faz stałychdla kryształów helowych wynika z silnych drgańzerowych atomów wokół położeń równowagi w fa-zie stałej. Z tego samego powodu układy te są teżcieczami aż do T = 0 przy małych ciśnieniach.

Rys. 7. Fazy nadciekłe oraz stałe 3He na diagramie fa-zowym p–T .

Fazy nadciekłe 3He są związane z trypleto-wym łączeniem się w pary. I tak, faza B od-powiada występowaniu par ze składową z-owąspinu pary Sz = 1, 0,−1 w jednakowych propor-cjach, Natomiast faza A – tylko parom ze skła-dowymi Sz = 1 lub −1. W polu magnetycznymodpowiedni diagram fazowy jest także skompliko-wany [9]. Nadciekły 3He stanowi zatem przykładstanu BCS z parami Coopera w stanie spinowymS = 1. Niedawne doniesienia o nadprzewodnictwiew ferromagnetykach UGe2 [10], URhGe [11] orazZrZn2 [12] to odkrycia nadprzewodników tryple-towych. Jest nim najpewniej także badany wcze-śniej związek Sr2RuO4 [13].

2.2. Własności statystyczne 3He

Na rys. 8 przedstawiono zmierzony rozkładstatystyczny atomów 3He w funkcji pędów dlaciekłego 3He [14]. Krzywa ciągła przedstawia do-



pasowanie w postaci rozkładu Fermiego–Diracaw temperaturą Fermiego TF ≡ �F/kB = 1,8 K.Zgodność z doświadczeniem jest bardzo dobra;mimo że mamy hel w fazie skondensowanej, od-działywanie między cząstkami (typu van der Wa-alsa) winno wpływać na kształt rozkładu. I rze-czywiście wpływa, gdyż dopasowana temperaturaFermiego różni się od tej, która wynika z zależ-ności energii od pędu Fermiego, �pF = p

2F/2m3,

gdzie pF = h̄kF, a kF = (3π2N0/V )1/3 i dla nor-malnego ciśnienia wynosić winna T 0F = 4,9 K. Cowięcej, zmierzona wartość TF zgadza się bardzodobrze z wartością wyznaczoną z pomiaru współ-czynnika liniowego ciepła właściwego, jeśli przy-jąć w obu przypadkach za masę atomów masęefektywną m∗ = 2,7 m3, gdzie m3 jest masąatomu swobodnego. Odpychanie między atomamir e n o r m a l i z u j e zatem ich masę, co jako pierw-szy dostrzegł Landau w 1956 r. To założenie sta-nowi jedną z podstaw teorii cieczy Fermiego–Lan-daua [4].

Rys. 8. Rozkład Fermiego–Diraca n(p) dla ciekłego 3Hew temperaturze T = 0,37 K. Linia ciągła przedsta-wia krzywą teoretyczną dla temperatury Fermiego TF =

1,8 K [14].

Na rys. 9 wykreślono zależność liniowegowspółczynnika ciepła właściwego oraz stosunkum∗/m3 faktycznej (zrenormalizowanej) masy domasy swobodnego atomu od ciśnienia hydrosta-tycznego dla ciekłego 3He [15]. Zauważmy, żemasa m∗ rośnie wraz ze zbliżaniem się do liniiprzejścia fazowego ciecz–ciało stałe. W fazie stałejatomy 3He drgają wokół ściśle określonych poło-żeń w sieci krystalicznej. Zatem w tym przypadkum∗ = ∞, a przejście ciecz–ciało stałe to lokaliza-cja całych atomów, czyli spontaniczne złamaniesymetrii translacyjnej, występującej w stanie cie-kłym.

Zjawisko nadciekłości w 3He, czyli łączeniasię w pary atomów w trypletowym stanie spino-

wym i z krętem orbitalnym L = 1, doczekało sięwielu omówień podręcznikowych (np. [16]), nie bę-dziemy go więc tutaj już omawiać. Jeszcze razpodkreślmy, że jest ono odpowiednikiem zjawiskanadprzewodnictwa (dla par atomów 3He w stanietrypletowym), podczas gdy zjawisko kondensacjibozonów jest kondensacją pojedynczych cząstek(w tym przypadku całych atomów); przejdziemyobecnie do jego krótkiego opisu.

Rys. 9. Zależność liniowego współczynnika γ ciepła wła-ściwego oraz względnej masy efektywnej m∗/m3 od ci-

śnienia dla ciekłego 3He [15].

2.3. Temperatura kondensacji bozonów jako tem-peratura charakterystyczna

Załóżmy, że mamy idealny gaz bozonów zespinem S = 0 i o energii kinetycznej cząstek

�p =p2

2m=

h2

2mλ2, (4)

gdzie λ jest długością fali de Broglie’a. Gdy gazten ma temperaturę T , to 〈�p〉 = 32kBT . Z tąenergią można związać średnią (termiczną) dłu-gość fali materii

λ2 =h2

3mkBT≈ 0,5AT

[nm2], (5)

gdzie A jest liczbą masową (A = 4 dla 4He), a Tjest wyrażone w kelwinach. Układ ten powinienwykazywać makroskopowe własności kwantowe,gdy λ ≈ d, gdzie d jest średnią odległością międzyatomami w tym płynie. Przyjmując d ≈ 0,25 nmotrzymamy, że nastąpi to, gdy T < T0, gdzie T0,zwana temperaturą degeneracji, wyraża się wzo-rem

T0 =h2

3mkBd2. (6)

Dla T < T0 fale poszczególnych cząstek (atomów)się nakładają i jeśli jest to nakładanie w ustalonej



fazie, to powstaje jedna fala materii wspólna dlawszystkich cząstek (rys. 3). W takim przypadkumamy do czynienia z kwantową kondensacją czą-stek, a osiągnięty w ten sposób stan jest makro-skopowym stanem kwantowym.

Co powoduje, iż różne nieoddziałujące cząstkiinterferują ze sobą w zgodnej fazie? Przyczynąjest fakt, że dla bozonów prawdopodobieństwoprzejścia do danego stanu jest proporcjonalne doliczby cząstek, które się w tym stanie już znaj-dują (ten fakt jest także źródłem emisji wymuszo-nej w laserze). Co więcej, jeśli utworzenie takiegostanu ma być przejściem fazowym, to zależnośćliczby cząstek w kondensacie od temperatury musiprowadzić do osobliwości termodynamicznych; zo-stało to szczegółowo przedyskutowane przez Lon-dona [6]. Liczba cząstek w kondensacie zadana jestmianowicie dla idealnego gazu wzorem

n0 = N [1− (T/Tc)3/2] (7)dla T ¬ Tc, gdzie

Tc ≈ h2

11,9 mkBd2. (8)

Jak widać, rzeczywisty punkt krytyczny jest po-wiązany z T0 zależnością Tc ≈ T0/4. Wytworzeniustanu skondensowanego towarzyszy zatem rzeczy-wiście przejście fazowe.

Kondensacja idealnego gazu bozonów nie za-chodzi w układach dwu- i jednowymiarowych.Może jednak występować w układach skończo-nej liczby bozonów w układach cząstek uwięzio-nych w pułapce i jest to wielkim osiągnięciemostatnich lat [17]. Oczywiście w przypadku nad-ciekłości skondensowanego 4He te oszacowania Tcoraz liczby cząstek w kondensacie są bardzo ja-kościowe, jako że wówczas mamy do czynieniaz cząstkami oddziałującymi. W związku z tymoszacowania teoretyczne dają w wyniku ok. 10%cząstek w kondensacie dla T = 0. Problemem tymnie będziemy się tutaj dalej zajmować.

3. Makroskopowa funkcja falowadla bozonów: opis korpuskularno-falowy

Przechodzimy teraz do trochę bardziej for-malnych koncepcji i przedyskutujemy ideę para-metru porządku dla stanu nadciekłego. W tym

celu zdefiniujemy makroskopową funkcję falowąw języku operatora pola:

Ψ̂(r) =∑n

Φn(r)ân, (9)

który wyraża cząstkowe własności układu, a ânjest operatorem anihilacji cząstki w stanie jedno-cząstkowym Φn(r). Operator pola pozwala namokreślić gęstość cząstek przez wielkość Ψ̂†(r)Ψ̂(r).W ten sposób całkowita liczba cząstek wyraża sięwzorem

N =∫

Ψ̂†(r)Ψ̂(r) d3r. (10)

Zauważmy, że choć operator Ψ̂(r) jest funkcjąwspółrzędnych pojedynczej cząstki, to wyraża onwielocząstkowe charakterystyki układu. Co wię-cej, w stanie skondensowanym mamy makrosko-powe obsadzenie stanu podstawowego, np. stanujednocząstkowego (z n = 0). Wtedy taki stanmożna uważać za stan spójny, dla którego â0można identyfikować ze zmienną zespoloną a0.Zwykle uważa się, że parametrem porządku jest〈0|Ψ̂(r)|0〉, co prowadzi do pewnych kontrowersjize względu na zasadę zachowania liczby cząstek.Dla prostoty argumentacji weźmiemy pod uwagętylko niezerową amplitudę a0 i w związku z tymΨ̂(r) → Ψ(r) ≈ Φ(r)a0, gdzie a0 jest amplitudąkwantową dla kondensatu5. Zauważmy, że w ta-kim przypadku

Ψ̂†(r)Ψ̂(r) = |Φ(r)|2|a0|2+

∑

n,m 6=0Φ∗n(r)Φm(r)a

†nam. (11)

Dla prostoty argumentu pomijamy drugi wyraz.Zasadniczy krok polega na wprowadzeniu

funkcjonału Ginzburga–Landaua dla tego przy-padku, z p a r a m e t r e m p o r z ą d k u Bogolu-bowa Ψ(r) ≡ Φ(r)a0, a mianowicie energii za-leżnej od dodatkowego parametru Ψ(r). Ma onadla T = 0 postać

E{Ψ(r)} = E0+

12

∫|Ψ∗(r)|2V (r − r′)|Ψ(r)|2 d3r d3r′

+∫

Ψ∗(r)[− h̄

2

2m+ V (r)

]Ψ(r) d3r, (12)

5 Oczywiście, uwzględnienie wzbudzonych stanów prowadzi do poprawniejszej teorii. Nie jest jednak to ważne dlaistoty opisu kondensatu.



gdzie E0 jest energią stanu normalnego. W sta-nie z a0 6= 0 należy określić i wartość a0, i cha-rakter funkcji falowej Φ(r) dla cząstki w kon-densacie. Minimalizując ten funkcjonał względemzarówno a0 (ułamek cząstek w kondensacie) jaki Φ(r), otrzymamy w efekcie zrenormalizowanerównanie falowe dla funkcji falowej cząstki w kon-densacie:

[− h̄

2

2m+ V (r)

]Φ(r)

− λ∫V (r − r′)|Φ(r′)|2 d3r′Φ(r) =

µΦ(r), (13)

gdzie współczynnik λ zawiera całkę z funkcji Φ(r).Prawa strona tego równania wyraża zachowanieśredniej liczby cząstek. Jeśli potencjał oddziały-wania między cząstkami przyjmiemy za kontak-towy, tj. V (r − r′) ∼ δ(3)(r − r′), to równa-nie (13) jest stacjonarną wersją równania Grossa––Pitajewskiego dla funkcji falowej kondensatu.Dla kondensatów atomowych V (r) wyraża po-tencjał pułapkujący (ściślej, jest to energia po-tencjalna). Obecność tego wyrazu pułapkują-cego cząstki pozwala na kondensację B–E na-wet dla układów ze stosunkowo małą liczbą czą-stek. Źródłem nieliniowości jest oddziaływaniemiędzy cząstkami. Zatem zjawisko kondensacjikwantowej nie tylko prowadzi do przejścia fazo-wego, ale także do zmiany natury stanów jedno-cząstkowych. Nieliniowość i nielokalność pocho-dzą od środowiska innych cząstek oddziałującychz daną cząstką. Ciekawe jest pytanie: czy kwan-towe fluktuacje próżni, np. pola elektromagne-tycznego, mogą także prowadzić do zrenormali-zowanego równania dla pojedynczej cząstki nała-dowanej? Na to pytanie dotychczas nie ma odpo-wiedzi.

Szczegółowe informacje na temat kondensacjiB–E w układach atomowych można znaleźć np.w artykule Gawlika zamieszczonym w tym zeszy-cie [18].

4. Stan metaliczny dla fermionówjako stan skondensowany

4.1. Uwagi wstępne

Zajmiemy się teraz przypadkiem oddziałują-cych fermionów. Stan metaliczny można uważać

za kwantowy stan skondensowany, ponieważ ist-nienie powierzchni Fermiego jest efektem czystokwantowym. Podobnie jak w przypadku bozonów,uważamy w pierwszym przybliżeniu, że mamy doczynienia z nieoddziałującymi elektronami, któ-rych funkcja falowa może być opisana przez poje-dynczy wyznacznik Slatera

Ψp1,...,pN (r1σ1, . . . , rNσN ) =

1√N !

∣∣∣∣∣∣∣

Ψp1(r1σ1) . . . ΨpN (r1σ1)...

. . ....

Ψp1(rNσN ) . . . ΨpN (rNσN )

∣∣∣∣∣∣∣. (14)

Takie podejście prowadzi do poprawnego opisumetali w stanie n o r m a l n y m, zwłaszcza jeślisię uwzględni poprawki wynikające z teorii cieczyFermiego.

Należy jednak zadać pytanie: skąd fermiony„wiedzą”, że jest zakaz Pauliego, skoro ze sobąnie oddziałują? Możliwość takiego opisu stanumetalicznego jako układu nieoddziałujących czą-stek zachodzi wtedy, gdy energia jednocząstkowa(kinetyczna + potencjalna) znacznie przewyż-sza energię oddziaływania cząstek. Jeśli bowiemprzedstawimy energię kinetyczną w postaci �p =p2/2m∗, to całkowita energia kinetyczna jest pro-porcjonalna do (N/V )2/3, natomiast energia od-działywania Coulomba między elektronami – do(N/V )1/3. Zatem w granicy dużych gęstości czą-stek energia jednocząstkowa będzie dominująca,jak schematycznie pokazano na rys. 10. Jednakaby przewidzieć wystąpienie takich zjawisk, jakmagnetyzm czy nadprzewodnictwo (czyli nadcie-kłość par elektronów), musimy uwzględnić od-działywanie między cząstkami w sposób nieper-

Rys. 10. Zależność energii kinetycznej i energii oddzia-ływania kulombowskiego elektronów od gęstości czą-

stek N/V (schematycznie).



turbacyjny. W teorii cieczy Fermiego przyjmujesię ponadto zwykle liniową zależność dyspersyjną�k − µ = vFk, gdzie vF jest prędkością elektro-nów na powierzchni Fermiego, a wektor falowy kjest mierzony od poziomu Fermiego. Dla tych elek-tronów oddziaływanie jest z a w s z e istotne. Po-nieważ opis cieczy Fermiego, magnetyzmu i nad-przewodnictwa typu BCS jest wspaniale przed-stawiony w wielu podręcznikach, skoncentrujemysię tutaj na kilku wybranych układach fermio-nów (układy z przejściem metal–izolator omówi-łem wcześniej [19]).

4.2. Nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe

Nowa era dla cieczy kwantowych zaczęłasię odkryciem nadprzewodnictwa wysokotempe-raturowego, zwłaszcza w związkach YBa2CuO7−δ(por. [20]), kiedy temperatura przejścia nadprze-wodzącego Ts przekroczyła temperaturę skra-plania się azotu (77 K). Na rys. 11 przedsta-wiono schematycznie diagram fazowy nadprze-wodnika wysokotemperaturowego La2−xSrxCuO4(podobny ma YBa2Cu3O7, ale dla niego fazy an-tyferromagnetycznego izolatora i nadprzewodzą-cego metalu stykają się). Należy od razu zauwa-

Rys. 11. Diagram fazowy dla La2−xSrxCuO4 (schema-tyczny). Szczegółowe objaśnienia podane są w tekście.

żyć, że faza nadprzewodząca tworzy się z fazy an-tyferromagnetycznej La2CuO4 (lub YBa2Cu3O6),w której jest on izolatorem Motta. Po drugie,nadprzewodnictwo pojawia się przy koncentracjidziur ok. 5% na formułę CuO2−2 . Po trzecie, znikaono przy ułamku molowym domieszek x ≈ 0,3.

Po czwarte, oprócz nadprzewodnictwa występujestan z pseudoprzerwą dla układów poddomieszko-wanych (dla x mniejszego od wartości odpowia-dającej maksimum Ts – dla T > Ts). Można za-tem zadać pytanie, czy ta pseudoprzerwa jest po-zostałością przerwy antyferromagnetycznej typuSlatera, czy też jest to zjawisko związane z wir-tualnymi wzbudzeniami do stanu związanego parCoopera lub (w wersji skrajnej) – czy nastą-piło utworzenie bipolaronowych stanów związa-nych o stosunkowo małym rozmiarze. Nadprze-wodnictwo znika, gdy liczba nośników prądu za-czyna przekraczać koncentrację o maksymalnejtemperaturze przejścia w stan nadprzewodzący.

Wszystkie te fakty, występujące j e d n o -c z e ś n i e dla jednej klasy układów (związków)świadczą nie tylko o bogactwie ich własności fi-zycznych, ale przede wszystkim o tym, że zjawiskauważane dotąd za oddzielne trzeba potraktowaćłącznie. Po drugie, musimy zrozumieć, czy nad-przewodnictwo może być wynikiem oddziaływaniawymiany antyferromagnetycznej, czy też jest ononiejako produktem ubocznym, związanym z sil-nym oddziaływaniem elektron–sieć. Na to pyta-nie nie ma na razie odpowiedzi. Na rys. 12 przed-stawiono schematycznie dwie podstawowe charak-terystyki dla tych układów, obie w funkcji tem-peratury: wkład elektronów do ciepła właściwegoi opór elektryczny. O ile ciepło właściwe wskazujena ciągłą ewolucję w funkcji domieszkowania, toopór elektryczny wykazuje zadziwiającą liniowośćw pełnym przedziale temperatury (ρ ∝ T ) tylkodla próbek domieszkowanych optymalnie, tj. ta-kich, dla których Ts = Tsmax.

Wykrycie nadprzewodnictwa wysokotempe-raturowego jest wielkim osiągnięciem fizyki do-świadczalnej. Odkrycie to stawia szereg wyzwańdla teoretyków. Oto kilka podstawowych proble-mów, które należy rozwiązać:

1) Układy takie, jak La2−xSrxCuO4 są meta-lami dwuwymiarowymi w fazie normalnej (prze-wodnictwo elektryczne w kierunku prostopadłymdo płaszczyzn CuO2 ma charakter niemetaliczny),natomiast są one nadprzewodnikami trójwymia-rowymi (chociaż niestandardowymi).

2) Dlaczego własności fizyczne optymalnie do-mieszkowanych nadprzewodników są takie proste(zwykle zależności wprost lub odwrotnie propor-cjonalne do T dla podstawowych wielkości elektro-nowych w szerokim zakresie temperatury), mimo



że nie są to zależności, których należy oczeki-wać, gdyby podukład elektronowy był cieczą Fer-miego–Landaua?

3) Jaki jest mechanizm łączenia się elektro-nów w pary? Czy są to dwa powiązane ze sobą me-chanizmy: jeden łączący elektrony w pary w płasz-czyznach CuO2 i drugi korelujący je w trzecimwymiarze? Innymi słowy, czy dominują korelacjeelektronowe w tych układach, czy sprzężenie elek-tronów z siecią?

Rys. 12. Wkład elektronowy do ciepła właściwego C/T(u góry) oraz opór właściwy (u dołu) w funkcji tempe-ratury dla nadprzewodników wysokotemperaturowych.Wyodrębniono obszar poddomieszkowania (dla Ts funk-

cją rosnącą).

Inne własności nadprzewodników wysokotem-peraturowych zostały przedstawione w wykła-dzie Stankowskiego zamieszczonym w tym zeszy-cie [21].

4.3. Jak mały może być metal?

Ten podrozdział dotyczy układów już niemezo-, a nanoskopowych, czyli o rozmiarach na-nometrów, mieszczących się pomiędzy układamiatomowymi (o rozmiarach rzędu 0,1 nm) a ukła-dami mezo- czy makroskopowymi (o rozmiarach

� 10 nm). Należy przy tym nadmienić, że dotej klasy nie należą równie interesujące układy,dla których przynajmniej jeden z wymiarów marozmiary makroskopowe (czyli układy warstwowe,jak dwuwymiarowe układy Halla lub supersieci).Natomiast zalicza się do nich układy z efektemAharonova–Bohma, układy Josephsona i kropkikwantowe, a być może także atomy rydbergow-skie. Dla wszystkich tych układów bada się, dojakiego stopnia są one opisywane jako kwantoweukłady atomowe, a do jakiego można je traktowaćjak fazę skondensowaną (ciało stałe).

Podstawowa jest tu kwestia, czy stany elek-tronowe tych układów można opisać przez roz-kład Fermiego–Diraca. Rozważmy prosty łańcuchatomów z periodycznymi warunkami brzegowymi(rys. 13), przy czym każdy atom ma począt-kowo elektron w stanie 1s. Dla układu N ¬ 12

Rys. 13. Modelowy układ nanoskopowy jako liniowy łań-cuch atomów z periodycznymi warunkami brzegowymi;każdy atom ma początkowo elektron w stanie 1s. Pęd

charakteryzuje wektor falowy k = p/h̄.

atomów można obliczyć ściśle stany elektronowenową metodą [22], za pomocą której nie tylko wy-znacza się energię stanu z oddziaływaniem, aletakże optymalizuje orbitale jednocząstkowe w sta-nie skorelowanych cząstek. Na rys. 14 przedsta-wiono ewolucję rozkładu statystycznego nkσ odzmodyfikowanego rozkładu Fermiego–Diraca dlamałych odległości międzyatomowych R do roz-kładu ciągłego powyżej pewnej odległości krytycz-nej R = Rc. Oczywiście, dyskretny układ pozio-mów energetycznych oznacza, że „metaliczność”dla R < Rc występuje powyżej progowej wartościnapięcia Vg = ∆E/e, gdzie ∆E jest odległościąmiędzy poziomami przy powierzchni Fermiego.Najważniejszą cechą jednak jest to, że stany przypowierzchni Fermiego muszą się rozciągać na całyukład.



Rys. 14. Rozkład statystyczny nkσ dla elektronów w li-niowym łańcuchu N = 10 atomów [2]; odległość między-atomowa jest podana w jednostkach promienia Bohra a0.Linia ciągła odpowiada interpolacji przez funkcję para-

boliczną: nkσ = 1/2 + α|k − kF|2 + β|k − kF|+ γ.

Można zdefiniować kryteria Motta i Hub-barda lokalizacji nośników prądu (rys. 15 i 16).W przypadku Motta takie kryterium stanowi war-tość iloczynu koncentracji nośników nc = 1/Ri rozmiaru aH = α−1 zlokalizowanego stanu ato-mowego na progu lokalizacji; ma on mieć w przy-bliżeniu wartość 0,22. Stan atomowy jest repre-zentowany przez funkcję falową typu 1s: φi(r) =(α3/π)1/2 exp(α|r−Ri|), gdzie rozmiar stanu α−1jest wyznaczony z minimalizacji energii stanupodstawowego (α = αmin). W przypadku kryte-rium Hubbarda wyznaczamy stosunek szerokościpasma W do wielkości oddziaływań wewnątrzato-mowych (U) pomniejszonych o wielkość oddziały-wania między najbliższymi sąsiadami (K). Loka-lizacja następuje dla W/(U −K) < 1. Jak widać,

Rys. 15. Kryterium Motta, reprezentowane przez war-tość ncaH w funkcji R dla liczby atomów 6 ¬ N ¬ 12.Pozioma linia kropkowana oznacza to kryterium w przy-

padku trójwymiarowych układów.

Rys. 16. Kryterium Hubbarda, czyli wartość W/(U−K)w funkcji R; kryterium dla trzech wymiarów zaznaczonolinią przerywaną. Wstawka przedstawia optymalny roz-miar α−1min orbitali 1s (w jednostkach a0). Takie zopty-malizowane orbitale składają się na funkcję Wannieradla układu N atomów, które odgrywają rolę funkcji fa-lowych dla pojedynczej cząstki na i-tym atomie (wi(r) =

w(r −Ri)).

kryteria Motta i Hubbarda nie są ze sobą zgodnedla układów nanoskopowych. Jednakże kryteriumMotta jest w przybliżeniu zgodne z kryterium roz-bieżności masy kwazicząstkowej m∗ (rys. 17); cią-gła krzywa odpowiada interpolacji typu m∗ ≈mF|R−Rc|−4/3, gdzie mF oznacza oddzielnie wy-znaczoną masę pasmową [23].

Rys. 17. Zachowanie krytyczne dla masy kwazicząstekna poziomie Fermiego [2]; punkty obliczone numerycz-nie dla N = 10 atomów przedstawiono krzywą ciągłą

przedyskutowaną w tekście.

Należy zaznaczyć, że dla małych układówwłasności fizyczne układu nie wykazują osobliwo-ści, np. w okolicy progu lokalizacji. Opis ich musi



zatem być bardzo precyzyjny, gdyż aproksymacjew rodzaju przybliżenia Hartree’ego–Focka dla od-działywania czy masy efektywnej mogą być nie-prawdziwe. Jednak nasze prace wskazują [23], żew granicy metaliczności przybliżenie masy efek-tywnej, tak owocne w przypadku kropek kwan-towych [24], też może być stosowane. Badania tez pewnością winny być kontynuowane, ażeby wy-łonić cechy uniwersalne ich opisu.

5. Uwagi końcowe

W tym krótkim przeglądzie starałem się wy-punktować pewne nowe aspekty fizyki cieczykwantowych, zwłaszcza te dotyczące niestabilno-ści ich stanu normalnego, a także wspomniećukłady na granicy stosowalności pojęcia „cieczkwantowa” (kondensaty atomowe, układy nano-skopowe). Niestety, dotychczas nie jesteśmy w sta-nie jasno powiedzieć, do jakiego stopnia te układysą kwantowe, a do jakiego klasyczne. Biorąc bo-wiem parametr uporządkowania dla układu kwan-towego jako średnią, charakteryzujemy go przezwielkość klasyczną [25]. Mimo to nie można mówićo makroskopowej funkcji falowej jako o wielkościklasycznej. Na tym polega dylemat.

W opracowaniu tym opuściłem ciecze kwan-towe Halla i ich opis jako z ł o ż o n y c h f e r -m i o n ó w, tj. jako obiektów złożonych z fer-mionu i kwantów strumienia magnetycznego (por.np. [26]). W układach tych występują także wzbu-dzenia o ładunku ułamkowym (proste przed-stawienie tych zjawisk można znaleźć w [27]).Podobnie nie opisywałem cieczy kwantowychTomonagi–Luttingera w jednym wymiarze, dlaktórych następuje separacja ładunkowo-spinowawzbudzeń (por. np. [28]). Wreszcie opuściłem nie-zwykle interesujące wyniki dotyczące ferroma-gnetyków nadprzewodzących ZrZn2, UGe2 orazURhGe [10–12]. Być może będzie szansa powrócićdo tych zagadnień w niedługim czasie.

W zakresie teorii cieczy kwantowych badaniaw Polsce zostały zapoczątkowane przez profeso-rów Zygmunta Galasiewicza [29] i Jerzego Czer-wonkę oraz ich uczniów, a w zakresie układów sko-relowanych – przez profesorów Janusza Morkow-skiego i Leona Kowalewskiego oraz ich uczniów.Prof. Jan Stankowski prowadzi w Odolanowie co-roczne szkoły z zakresu cieczy kwantowych dlauczniów szkół średnich.

W artykule tym pominąłem zachowanie nie-landauowskie układów skorelowanych w pobliżukwantowego punktu krytycznego (ang. non-Fermiliquid effects). Jest to tematyka bardzo intensyw-nie rozwijana w ostatnich latach. Dla wstępnegozapoznania się z nią polecam artykuły [30].

Chciałbym podziękować Robertowi Podsiadłemui Pani Annie Gagatek za pomoc techniczną przy re-dagowaniu tego tekstu. Dziękuję także moim dokto-rantom: Edwardowi Görlichowi, Adamowi Rycerzowii Romanowi Zahorbeńskiemu za dyskusje. Praca wcho-dzi częściowo w zakres grantu KBN nr 2P03B 092 18.

Literatura

[1] J. Wilks, An Introduction to Liquid Helium (Claren-don Press, Oxford 1970).

[2] J. Spałek, A. Rycerz, Phys. Rev. B 64, 161105(R)(2001).

[3] M. Gajda, K. Rzążewski, Phys. Rev. Lett. 78, 2687(1997).

[4] G. Baym, C. Pethick, Landau Fermi-Liquid Theory(J. Wiley and Sons, New York 1991).

[5] A. Einstein, Sitzber. kgl. preuss. Akad. Wiss., s. 261(1924); s. 3 (1925).

[6] F. London, Superfluids, t. II (Chapman and Hall Ltd.,New York 1954), rozdz. C.

[7] P. Nozieres, S. Schmitt-Rink, J. Low Temp. Phys. 59,195 (1985); C.P. Enz, w: Proc. 26th Karpacz Win-ter School of Theoretical Physics, red. Z. Galasie-wicz, A. Pękalski (World Scientific, Singapore 1991),s. 111; M. Randeria i in., Phys. Rev. B 41, 327 (1991);R. Micnas, T. Kostyrko, w: Recent Development inHigh Temperature Superconductivity , red. J. Klamuti in. (Springer Verlag, Berlin 1996), s. 221.

[8] A.J. Leggett, w: Modern Trends in the Theory of Con-densed Matter, red. A. Pękalski, J. Przystawa, Sprin-ger Lecture Notes in Physics, t. 115 (1980), s. 13.

[9] J.C. Wheatley, Rev. Mod. Phys. 47, 415 (1975).[10] A. Huxley i in., Phys. Rev. B 63, 144519 (2001).[11] D. Aoki i in., Nature 413, 613 (2001).[12] C. Pflederer i in., Nature 412, 58 (2001).[13] Y. Maeno i in., Nature 372, 532 (1994).[14] H.A. Mook, Phys. Rev. Lett. 55, 2452 (1985).[15] D. Greywall, Phys. Rev. B 33, 7520 (1986).[16] D. Vollhardt, P. Wölfle, The Superfluid Phases of He-

lium 3 (Taylor and Francis, London 1990); T. Tsu-neto, Superconductivity and Superfluidity (Cam-bridge University Press, 1998).

[17] M.H. Anderson i in., Science 269, 198 (1995).[18] W. Gawlik, niniejszy zeszyt, s. 54.[19] J. Spałek, Postępy Fizyki 51, 1 (2000); Eur. J. Phys.

21, 511 (2000).[20] Physical Properties of High Temperature Supercon-

ductors, red. D.M. Ginsberg (World Scientific, Singa-pore, kolejne tomy wydawane okresowo od 1989 r.).



[21] J. Stankowski, niniejszy zeszyt, s. 46.[22] J. Spałek i in., Phys. Rev. B 61, 15676 (2000); A. Ry-

cerz, J. Spałek, tamże 63, 073101 (2001).[23] A. Rycerz, J. Spałek, Phys. Rev. B 65, 035110 (2002).[24] L. Jacak, P. Hawrylak, A. Wójs, Quantum Dots

(Springer Verlag, Berlin 1998); S. Bednarek i in.,Phys. Rev. B 64, 195303 (2001).

[25] W. Żurek, informacja prywatna.[26] Composite Fermions: A Unified View of the Quantum

Hall Regime, red. O. Heinonen (World Scientific, Sin-

gapore 1998).[27] M. Heiblum, A. Stern, Phys. World, marzec 2000,

s. 37.[28] J. Voit, Rep. Prog. Phys. 57, 977 (1995).[29] Z. Galasiewicz, Superconductivity and Quantum

Fluids (PWN, Warszawa 1970); „Helium 4”, w: Se-lected Readings in Physics (Pergamon Press, Oxford1971).

[30] S. Sachdev, Phys. World, April 1999, s. 33; J. Phys.:Cond. Matter 8, nr 48 (1996) – numer specjalny.


Documents

Ciecze kwantowe wczoraj i dziściecze Fermiego–Landaua), cieczach Bosego oraz o ich mieszaninach. Dokładniejszy podział przed-stawiono na rys. 1, gdzie podane są także kon-kretne