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C I — OIJI— O X IVI r E B R A L
B E R N A R D O A C E V E D O FRIAS
U N I V E R S I D A D
SECCI
SEPTI
N A C I O N A L DE C O L O M B I A
ONAL M A N I Z A L E S
EMBRE DE 1990
O ft I— O l i I— O J i vi J EE e FÍ ft I
B E R N A R D O A C E V E D O FRIAS
Trabajo presentaodo con el fin de dar cumplimiento al literal "d" del articulo 21 del acuerdo 72 de 1978, para la promoción a la categoria de PROFESOR ASOCIADO.
U N I V E R S I D A D N A C I O N A L DE C O L O M B I A
S E C C I O N A L MAN IZALES
S E P T I E M B R E DE 1990
r f\ B « rt D CE C O M I El |N| :i o o
INTRODUCCION
CAPITULO 1
CALCULO INTEGRAL
1.1 P a r t i c i ó n d e [ a, b ] 1
1. 2 Fun c ión escalonada 2
1.3 Ejercíc ios 4
1 - 4 P rop i e d a d e s d e. f u n c i ó n escalonada 4
1.5 Ejercicios 6 '
1.6 Integral de una función acotada 7
1.7 Propiedades de la integra1 de una función
escalonada 12
1.7.1 Propiedad ad it iva 12
1.7.2 P rop i edad homog enea i4
1.7.3 Invariancla frente a traslación 16
1.7.4 Aditividad respecto al intervalo de integración 17
1.7.5 Dilatación del intervalo de integración 20
1.7.6 Teorema de comparación 22
1.8 Ejercicios 23
1.9 Integrales de funciones generales 24
1.18 Integral de una función acotada 31
1.18.1 Integral superior e inferior 31
1.11 Ejercicios 3 9
1.12 Integrabi 1 .idad de funciones monetarias acotadas 48
1.13 Propiedades fundamentales de las integrales de
funciones monótonas acotadas 43
1.14 Ejercicios 5 5
1.15 - Teorema fundamental del cálculo 57
1.16 Ejercicios 62
1.17 Primitiva de una función (integral indefinida) 64
1.18 Ejercicios 68
1.19 _ Algunas propiedades de la integral indefinida 78
1.28 Ej ere icios 72
1.21 — Métodos d e integración 73
1.21.1 Sustitución 73'
1.21.1.1 Integrales de funciones trigonométricas 79
1.21.1.2 S u s t i t u c iones t r i. g o n o m é t r i c a s 8 9
1.21.2 Integración por partes 100
1.21.3 Integración por fracciones parciales 110
1.22 Integración de algunas funciones irracionales 123
1.23 Integración de funciones hiperbólicas 125
1.24 Ej ere ic ios 129
1.25 — Integrales de funciones racionales de Sen:;, Cosx 131
1.26 Ejercicos 134
1.27 Algunas reglas para aproximar integrales
definidas 136
.1.. 27.1 Regla de los trapecios ,136
1.27.2 Regla de los rectángulos 139
1.27 . 3 Reg I a de 5.impson 140
1. 28 I n teg ra 1 es i m pro p .i. as .154
1.28.1 Integrales impropias de primera especie 156
1.28.2 Integrales impropias de segunda especie 185
1.28.3 Integrales impropias de tercera especie 198
1.29 Función Gama ' 199
1.30 Función Beta 202
1. 31 E j e r c i c .i. o s 2 0 8
CAPITULO 2
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
2.1 Areas 215
2.2 Coordenadas polares 228
2.2.1 Areas e n c o o r d e nadas po1a res 237
2.2. 2 E j e r c i. c i o s 244
2.3 Longitud de arca 7 246
2 .3.1 Pa rame t r i 2 ac i ón de a 1 g un as c ur vas 2!49
2.3.2 Diferencial de longitud de arco 251
2. 3.3 L o n g .i. t u d d e u n a r c o e n c o arde n a d a s polares 2 521
2.4 Area de una superficie de revolución / 253
2.5 Volúmenes de ciertos sólidos •/ 259
2.5.1 Método de la sección 259
2 „ 5 2 Só 1 i dos de revol ución 1/ 265
2 . 5 . 3 ^ M é t. o d o d e 1 a s c a p a s c i 1 i n d r i. c a s 2 6 6
2-6 Ejercicios 275
2.7 Centro de masa 276
2.8 Centroide de LA na región plana 279
2.9 Centro geomètrico de un arco 284
2.1(3 Arco de una superficie generada al rotar un
arco en coordenadas polares 284
2.11 Trabajo 2E¡5
2.12 Determinación de la constante de integración 288
2.13 Ejercicios 290
Respuesta a los ejercicios 293
Bibliografia 296
I N T R O D U C C I O I M
El presente trabajo, que tiene como contenido el desarrollo de
los temas que corresponden al curso del cálculo integral, dirijo
básicamente a estudiantes de ingeniería; comprende dos capitulas.
El primero se refiere a todo el cálculo integral y el segundo al
de sus aplicaciones.
Se ha preferido hacer una exposición que ponga de manifiesto el
desarrollo conceptual del cálculo integral, mostrar sus aspectos
teóricos, aplicados y satisfacer además las exigencias de
claridad y rigor.
En la exposición teórica se omitió dar demostraciones de algunos
teoremas o propiedades; en compensación fueron incluidas
explicaciones basadas en figuras y representaciones gráficas,
para hacer comprensibles dichos teoremas.
Para una mejor ilustración de los temas tratados se ha incluido
una serie de ejercicios resueltos y propuestos dirigidos
principalmente a comprender mejor el contenido del texto y
aclarar dudas y conceptos.
A l g u n o s t e m a s s o n de n a t u r a l e z a o p t a t i v a y n o e s n e c e s a r i o
.incluirlos en c l a s e , s i n o q u e d e b e n ser c o n s i d e r a d o s c o m o
lect u r a t» a d i c i o n a les .
Con el p r e s e n t e t e x t o se p r e t e n d e o f r e c e r una g u i a de e s t u d i o q u e
f a c i l i t e u n a m a y o r c o m p r e n s i ó n d e los t e m a s t r a t a d o s ; a d e m á s
c o n t r i b u i r al d e s a r r o l l o de la t é c n i c a del c á l c u l o y d e s p e r t a r el
i n t e r é s p a r a el r i g o r y c o n o c i m i e n t o del p r o c e s o c r e a t i v o ,
m e d i a n t e el c u a l las i d e a s v a g a s y parti.cu.ilares se van r e t i n a n d o
y t r a n s í o r m a n d o en p r o d u c t i v o s c o n c e p t o s .
:i - C A P ! F U L O
I IM T El O Fe O- I O M
1.1 P A R T I C I O N DEL INTERVALO C E R R A D O [a,b3.
Sea a<ta ; recibe el nombre de partición de un intervalo cerrado
[a,b], toda colección finita de puntos de Ca,b], notada por
P — C a a j x i j ... , n n} donde xaíxi^. . . .••••. >in ¡ ;<a=a y Xn=b.
A partir de una partición de La,b], se puede lomar otra
partición Pi, añadiendo a los puntos que ya están en P, otros
nuevos de Ca,b]. Una tal partición Pa. , se denomina un
afinamiento de P y se dice que P* es más fina que P.
Ejemplo 1. Se considera el intervalo cerrado [1,8] y, se forman
los conjuntos P-í.1,8} ; P»= {1, 4 ,8} ; F'3=í 1,2 ,4 ,6,8} . Observe que
F'jPajPa; son particiones de [l,8] y que P 3 es más fina que P 2.
k-ésimo subintervalo cerrado [ük-uXu]
elemento de la partición.
/ / / / / a[ • • • • • ] b xcb xi v-zt x* ic•+• i . . . xn
Ejemplo de un partición de [a,b].
La partición P determina n subintervalos cerrados C Xai, x ] , [Xi,Xa] C xK —a. ¡i Xn ] . . . . C Xn —i j Xr> ] y n subintervalos
abiertos. Al intervalo cerrado [>:k-t,>:k] se llama el subintervalo
k-ésimo cerrado de P y al intervalo abierto (xk-i,xk) el k-ésimo
subintervalo abierto de P. Con ayuda de estos conceptos se puede
dar una definición analítica de función escalonada.
1.2 FUNCION E S C A L O N A D A
Una función y=S(x),cuyo dominio es el intervalo cerrado [a,b], se
dice que es una función escalonada, si existe una partición
P = {xaiMi x n} de [a,b] tal que y=S(x) es constante en cada
subintervalo abierto de P. Es decir, para k=l,2,3 n existe un
número real S*, tal que y=S(x)=Sn para x k-i<x<x k,
Ejemplo 1. Sea s(x)=5 si -31x£3. Una partición de [-3,3] es
{-3,3} y observe que s(x)=5 si -3<x<3, luego s(x)=5 es escalonada
en [-3,3]. Sin embargo se puede tomar otra partición de [-3,3]
por ejemplo, Pi={~3,-1,0,1,3]- y se observa que s(x) es constante
en cada subintervalo abierto de P*. En efecto :
s ( x ) - <
5 s i x
5 s i. x
5 si x
5 s i x
e[-3,-l]
e[-l,0)
«[0,1)
e[1.3].
El gráfico de la
figura siguiente
función s(x)-5 para -3ix£3, se observa en la
S(x) = 3
I I J -rr - 1 - i 1 4 - f
Obsérvese que si una función escalonada es constante en .los
subintervalos abiertos de P, es también constante en cada
si.ib.in terva 1 o abierto de P x ; siendo P ± un afinamiento de P.
Ejemplo 2. Sea s(;•;) = [>; ] = parte entera de x.
Se recuerda que la parte entera de x, notada por Cx], se def ine
como el mayor entero menor o igual que x.
La Ex] se analiza de la forma siguiente
1. si x>0 entonces 2» si x<0 entonces
Cx] = 0 si 0<x<l [xj = -1 si -llx<0
Cx3 = 1 si 11x<2 Cx] = -2 si ~2<x<-l
Cx] - 2 si 2¿x<3 Cx] = -3 si -31x<-2
Cx] = 3 si 3<x<4
Cx] = n si nlx<n+l Cx] -n si ~n.i x < - (n-1)
Observese el gráfico de s(x)=Cx] en C~3,3] en la figura siguiente Y
-f i i
y asi una partición de [-3,3] es P=í~3,-2,-1,0,1,2,3} y se tiene
que s(x)-[x] es constante en cada subinterva1o abierto de P;
luego s(x) = [x] es una función escalonada en [-3,3].
1.3 E J E R C I C I O S .
Hacer las graficas y mostrar que la siguientes funciones son
todas escalonadas en el intervalo indicado.
1. f(x)=[2x] si -11x13
3. q(x) = [(x)i'"-23 si 01x125
5. r ( x ) = [ x ] 2 si -11 xl 6
7. i(x ) = [->:] si -31x14,
1 si -llx<0
2 si 01x<3
4 si -51 x<-.l
~5 si 31x15.
1.4 P R O P I E D A D E S .
8. m(x) = <
2. h(x)= Cx+1] si -31x14
4. 1 (x ) = [X a] si -21x12
6. g(x)=([x]) 1 / 3 si 01x12
SUMA Y PRODUCTO DE F U N C I O N E S E S C A L O N A D A S .
be ;.u pon e q u e s ( x ) y t ( x ) son f u n c i o n es escalón a d as d e f i n idas
ambas en el mismo intervalo cerrado [a,b].
Sean Pi, P 3 > particiones de [a,b] tales que s(x) es constante en
cada subintervalo abierto de F'i y t(x) es constante en cada
subintervalo abierto de
A partir de s(x) y t(x) se puede definir una función escalonada
de la forma siguiente:
h ( x ) —s ( x ) +1 ( x ) s i al x 1 b „
4
Para mostrar que h(>:) es una función escalonada en [a,b], se
encontrará una partición P de [a,b], tal que h ( x ) es constante en
cada subinterva1o abierto de P y para ello se toman todos los
puntos de Px, junto con todos los puntos de Ps>.
Esta partición, reunión de Pi y P 2 se llama afinamiento común de
Pi y P 2.
Puesto que tanto s(x) como t(x) son constantes en los
subintervalos abiertos del afinamiento común, también lo es h(x)
y asi h(x) es una función escalonada en [a,b].
En forma análoga se hará el producto de funciones escalonadas.
Ejemplo. 1 Mostrar que h(x)= [x/2]+[x] para 01x16 es una función
escalonada en [0,6].
Solución.
Se sabe que [x/2] y [x] son funciones escalonadas y [x/2] se
define en el intervalo [0,6] asi:
[x/2] = <
0 si 01 x/2<l; 0.1 x<2
1 si 11x/2<2; 21x < 4
<3; 41x<6
y sus gráficas se pueden apreciar en las figuras siguientes. Y
O M ¡>i
~t—?—r X
Luego P x = í 0 ,2, , 4 , 6 ]• es una partición de [0,6], para s(x) = [x/2]y
h(>!):
Pa={0,.1,2,3,4,5,6} es una partición de [0,6], para t(x) = £.X]
luego una par tición de [0,6] para h(x) = s(x) + t(x) e
P={0,1,2,3, 4 , 5 ,6} que es la reunión de Pa. con P s; asi que h(>;) e
constante en cada subintervalo abierto de P, pues
r S!+ti=0+0=0 si x e[0,l)
Sa+t2=0+1=1 si x e[l,2)
s 3+t 3=1+2=3 si x «[2,3)
s^+t^. = 1+3=4 si x «[3,4)
s 3+t ==2+4=6 si x «[4,5)
s«.+t«,=2+5=7 si x •= [ 5,6) .
luego h(x) es escalonada en [0,6].
Su gráfico se puede apreciar en la figura siguiente.
\ * 1 4 5 '
1.5 E J E R C I C I O S .
Mostrar que las siguientes funciones son escalonadas en el
.intervalo indicado
1. h(x)=[x/2]+[~x] si -2<x<4 2. f(x)=[(x) 1 / a]+[x a] si 01x14
3. q(x)=[x]a.[2x] si 01x12 4. 1 ( x ) = [ x ] •*• ' = . [-x ] si 01x14
6
5. r(K)=tx]+[-x] si -51x15 6. m(x)=[x].[x/2] si -21x15
7. m ( x ) = [ 2 x ]•[ x -1] si —21xl 3 8. f(x)=3[x] si 01x15
9. f (x) = Cx] + Cx+v¿j + |:-¡<3 si -21x12.
10. Sean f(x)=[x] y g(x)-[4x] para todo x real, en cada caso
hacer la gráfica de h(x) para -11x12 definida por la fórmula
siquiente:
a) h(x)=f(K)+g(x) b) h(x)=f(x)+g<x/2) c) h(x) = f<x/3)+g(x/2 )
1 d) h( x ) =f ( x ) . g ( x/2) e) h ( x ) = f ( 2x ) . g ( x ) f) h(x) = f(x2Z).
4
g) h(x)=[f(x)]a.
1.6 INTEGRAL DE UNA FUNCION E S C A L O N A D A
Sea s(x) una función escalonada definida en [a,b] y sea I
P={Xc,xx,....x„} una partición de [a,b] tal que s(x) es constante
en cada subintervalo abierta de P. Se designa por sk., el valor
constante que toma s(x) en el subintervalo abierto k-ésimo de P,
de manera que s(x)=sK si x k_i<x<x k , para k=l,2,...,n.
b La .integral de s(x) de a a b se designa por el símbolo
b
s ( x ) d:
y se define por la fórmula siguiente n
s ( x ) dx = S sfc(;<k-xk_i) * k -1
b
es decir, que para obtener el valor de la integral (x)dx , se
multiplica cada, val or* cons tante s k, por la longitud del intervalo
k-ésimo, formando el producto s k (xk-xk-i) y se suman luego todas
los productos asi obtenidos.
0 bserve s e q u e los val o r e s d e la f u n c i. ó n e n los ex t r e m o s d e 1 1 o s
intervalos no se toman en cuánta, ya que no aparecen en el
segundo mienbro de *. b
Si s(>;)>0 para todo >: e[a,b], la integral, s(x)dx representa el
a
área limitada por las gráficas de x=a, x=b, s (x ) y el eje x.
En otras palabras el número que eventualmente se asigna como área
recibirá el nombre de la integral s(x) sobre [a,b] si
s(x)il3 para cada x e[a,b].
En realidad, la integral se definió para cualquier función, bien
sea mayor o menor que cero en [a,b].
Si s(x) es una función cuya gráfica se observa en la figura
siguien te:
B • •*> •
b
la integral s(x)dx, representará la diferencia entre la áreas A
a
y B, es decir, la s ( x ) dx = A-B.
a
B
La letra x que aparece en el símbolo s(x)dx no juego ningún
papel esencial en la definición de integral. Cualquier otro
símbolo adecuado servirá exactamente igual; se usan
frecuentemente para ello las letras t, u, v, 2, ....en vez de x;
b b b
es decir! s (t) d t; s(z)dz s(u)du ... Son consideradas todas
a b
como notaciones diversas para una misma cosa.
Algúnos autores de libros de cálculo tienen tendencia a suprimir
simultameamente la variable aparente y el símbolo d y escribir
b
simplemente la integral
a
Una razón es, que expresa aún con más fuerza , que la integral
depende solamente de la función s y del integrando [a,b]. Sin
embargo en algúnos casos se consideran completas.
6
Ejemplo 1. Calcular [ x / 2 ] d;
Solución.
Se sabe que [x/2], para x en el intervalo [0,6], se define asi
0 si 0<x<2
Cx/2] =< .1 si 2.1 x<4
si 41x<6 4 -Sfl
su gráfica se puede observar en la figura siguiente: r
2 ' ' R — P
1 - — . f— 1
1
> i ¡> í 4 6
asi P—•[ 0 , 2 y 4 n 6 } = { Xca j X x , Xa ? X 3 } y [ x / 2 ] d x
0
Ss,,. ( xi« — xic — s. ) = S i ( Xa.-Xc ) + 5 a ( x»-x4 ) +s 3 ( x 3-x 3 ) = 0 ( 2 - 0 ) +1 ( 4 - 2 ) + 2 ( 6 - 1 ) = 6 k=l
luego II x/2]dx=6
0
4
Ejemplo .2 Calcular C x ] d;
Solución.
Su gráfico se observa en la figura siguiente;
Y
luego P: •1,0, 4 ] • í x <4, j y 3 d x
10
E s* ( Xk-Xk_i. )=5i ( X 1 - X b ) + S 2 ( Xa-Xi )+S3( X 3 - X a ) + S 4 ( X 4 - X 3 ) + S b ( X 8 - X 4 ) + k=l
S<fa ( X 4 - X a ) = - 2 ( - 1 + 2 ) - 1 ( 0 + 1 ) + 0 ( 1 - 0 ) + 1 ( 2 - 1 ) +
2(3-2)+3(4-3)=-2-1+1+2+3=3. Ej
Mostrar que las siguientes integrales tiene el valor .indicado.
1.
- . 1
C x ] d x = 2, C t+'é'Jdt = 4, 2 [ x ] d ;
4. [2x]dx = 6. 5. [-x ]d; •6 [t^Hdt =5-(2) A'=s-(3)x''2i
0
[ t a]dt = 2 ( 21- ( 18 ) ( 3 ) 1 ( 5 )i'»— ( 6 ) (7 ) x^st)
9
[t*'a]dt = 13
9. Si. n es un entero positivo, demostrar que
n
a) n ( n-1 )
[t:]dt
0
b) n(n-l)(2n~l)
[t]adx =
0
c) n(n-1)(4n+l)
t(t) 1 / a]dt
0
11
1.7 A L G U N A S P R O P I E D A D E S DE LA I N T E G R A L DE UNA F U N C I O N E S C A L O N A D A .
En esta sección, se dan unas propiedades fundamentales que
satisface la integral de una función escalonada. Todas estas son
válidas para integrales de funciones más generales. Se darán como
teoremas y en cada caso se ilustrará con un ejemplo.
1.7.1 T E O R E M A ( P R O P I E D A D A D I T I V A ) .
La integral de una suma de dos funciones escalonadas es igual
la suma de las integrales; es decir si s(x) y t(x) =
funciones escalonadas en [a,b] entonces
b b b
(s(x)+t(x))d x s ( x ) d x + t ( x ) d x .
a
Ejemplo .1 Mostrar que
10 10 .10
[ ( x ) 1/,a]dx + ([(>;)1/2] + [x/2] )dx-
0 0 0
Solución.
Sea s(x) = [(x)iX=!3 y t(x) = [x/2] entonces
0 si 0< (x')J-"a<l¡ 01x11
1 si 1<(x) A' a<2; 11x < 4
C x/2]dx
S ( X ) — ( y t(x)= <
2 si 21(x) 1 / 2<3; 41x<9
3 si 31(x) 1 / a<4; 91x<16, V
^0 si 01 x<2
1 si 21x<4
2 si 41x<6
3 si 61x<8
4 si 81x<10. V
Y
SOOaCV*] s U W [m]
' r i i i i I ' q |0 8 io
1(3
hfvl = M + Ofc]
r r - r 8 "I 1°
a) ( s (;•;) +1 ( x ) ) d x ; Sea P=[0,1,2, 4 , 6 „ 8, 9 ,10}={ x» , x* x ,} una
0
partición del intervalo [0..Í0] entonce;
10
(s(x)+t(x))d:
0 7 2 s*(Xk-Xk-i) = 0(1-0)+1(2 -1)+2(4-2)+4(6-4)+5(8-6)+6(9-8) +
k=l
7 (10-9)=36.
10
b) s ( x ) dx ; Sea Pa.={0,1, 4 , 9,10>={ Xn>, x* , . . . } una partición del
0
.1.0
intervalo [0,10] entonces s ( x ) d;
0
Z sk(x»t-Xk-i)=0( 1-0)+1(4-1)+2 (9-4)+3(10-9) =16. k=.t
13
10
c) t(x)dx; Sea P 2=Í0, 2, 4, 6, 8,10 ]•=•[ x® , x x , - . , x B} una partición del
0 10
intervalo [0,10] entonces t ( x ) d :
0
2 Su ( X R — X K — JL ) =0 ( 2—0 ) +1 ( 4—2 ) +2 ( 6—4 ) +3 ( 8—6 ) +4 ( 10—8 ) =20 ; asi que k = l ^ v -
.10 10 10
s ( x ) d x + t. ( x ) d x = 16 + 20, (s(x)+t(x))dx = 36 =
0 0 0
Demostración de la propiedad aditiva.
Sea P=íx B,Xi )...x n} una partición de [a,b] tal que h(x)=s(x)+t(x)
es constante en cada subintervalo abierto de P; luego
n n h ( x)dx = E hk(xk-xk-i)= 2 (Sk+tk)(xk-xk-i):
k = 1 k=l
b n n Z s k. ( x k — x k — x ) + 2 t u. ( x k.—x k — i ):
k=l k=1 s ( x ) d x + t. ( x ) d x
a a
1.7.2 T E O R E M A (PROPIEDAD H O M O G E N E A ) .
Para todo número real c y s(x) función escalonada en [a,bj se
tiene que
b b
c . s ( x ) d x = c . s ( x ) d ;
14
Ejemplo .1 Mostrar que
Solución.
3. [ x / 2 ] d :
*(*) = C */*] i <¡>
i i : » • '
l 2
[x/2]dx.
c. 1 1 P 1
1 1 1 : tcv « » i i •
i 1 i I i I
f 1 1 1 1 1,
1 : tcv « » i i •
° i l * &
Sea s(x)=[x/2] y sea P={1,2,4,6} = {x«,.,x3} una partición de [1,6]
6
entonces 3.s(x)dx = Z s*(Kk-xfc_A)=0(2-1)+3(4-2)+6(6-4) = 18; y k=l
sea Pi - [1,2,4,6} = {xb,...x3} una partición de [1,6] entonces
6 6
s(x )dx = 3[0(2—1)+1(4-2)+2(6-4)] = 18; luego 3. s ( x ) d :
s ( x ) d x .
Demostración (propiedad h o m o g e n e a )
Sea F:' = {Xa,, Xt, . . - x n} una partición de [a,b] tal que s(x) es
constante en los intervalos abiertos de P. Sea s(x) = s*
si xk_i<x<xk para k=l,2 n entonces c.s(x)=c.sk
si x k_i<x<x k, 1uego
15
b b n n
c . s ( x ) d x = 2 csk (>!k-Xi,-i )=c S s k ( xk-xk-i )=c . s(x)dx. k = l k = i
a a
1.7.3 TEOREMA ( INVARIANCI A FRENTE A UNA TRASLACION).
Sea s (x) una función escalonada en [a,b] y c un número real
cualquiera entonces
b b+c
s (>:) d: s(x-c)dx.
a+c
Demostración.
Sea P = íxa,xt x n) una partición del intervalo cerrado La,b]
tal que s(x) es constante en cada subintervalo abierto de
P; es decir s(x)=sk si xk_.i<x<xk.
Sea t(x) = s(x-c) si x e [a+c,b+c] entonces t(x) = s k si
xk-i + c<x<xk + c, por lo tanto F'i = {xB+c)Xt+cí...xn+c} es una
partición de [a+c,b+c] y t(x) es constante en los subintervalos
abiertos de Pi, entonces t(x) es una función escalonada y asi
b+c b+c
t ( x ) d x =
a+c
b
n n s(x-c)dx = E sk(xk+c-(xk-i+c))= S sk(xk-xk-i):
k=l k=.1 a+c
s ( x ) d x .
16
5
Ejemplo 1. Mostrar que
Solución.
[x]d: [x-23d: C x-2]dx
i+:
Y Cx) - C-̂J
1 2 3
è Cxi - L*-¿J
T * 3 4 S
[x-23 =< 1 si 11x-2<2; 3< x<4
2 si 21x-2<3; 41x<5 .
Sea F-í1,2,3} una partición de [1,3] tal que s(x) es constante en
los intervalos abiertos de F', entonces
[x]dx = 1(2-1)+2(3-2)=3 y sea Pt=í1+2,2+2,3+2}={3,4,5} una
partición para t(x)=[x-2] en [3,5]=[1+2,3+23 entonces
5 3 5
[x-23dx = 1(4-3)+2(5-4)=3 luego C x 3 d ; [x-23dx.
1.7.4 T E O R E M A (ADITIVIDAD R E S P E C T O AL I N T E R V A L O DE I N T E G R A C I O N ) .
Sea s(x) una función escalonada en [a,b3; si a<c<b entonces
b c b
s ( x ) d x— s ( x ) d x + s ( x ) d :
17
Demostrac ión.
Sea P ={x(,,xi , . . . x q,...x n} una partición de [a,b] tal que s ( x ) es
constante en cada subintervalo abierto de P. Sea c=Xc, entonces
b
s ( x ) d ; q n
k=l ( X k ~ X k. — x ) — 2 S k ( x k. ~ x k. — x ) •+• S s k. k. k. — X
k=l k-q + 1
b
s ( x ) d x + s ( x ) d x
6
Ejemplo .1 Mostrar que [ <x)*'®3ds C(x) 1 / a]dx
0 0
Solución.
i r » i
<1
[(:Oi/2]dx = 0(l-0)+l(4-l)+2(9~4)=i:
ò
t(x)1/2]dx = 0(1 0 ) + .1. ( 4— 1 ) +2 ( 6—4 ) =7 .
18
r O O ^ J d ; (9-6)=6 ; entonces [(x)1/a]dx 13 0
6
[
0
0
9
[(x)1/2"Jdx +
6
C(K )*'-a3dx - 7 + 6 - 13.
b
Hasta ahora, al utilizar el simbolo s ( x ) d x se ha en ten d .ido, q ue
a
el limite inferior a es menor que el limite superior b.
Es conveniente extender un poco los conceptos y considerar
integrales con limite inferior mayor que el limite superior; esto
se logra si se define:
b a a
s(x)dx si a<b, y se define s ( x ) d x = 0 ( x ) d x = -
a b a
si s(a) existe.
Estos convenios permiten afirmar que el teorema anterior es
válido no solo si c esta entre a y b, si no que es válido para
cualquier ordenación de a,b y c. El teorema anterior se puede
escribir asi:
c b a
s ( x ) d x + s ( x ) d x + s ( x ) d ; 0 .
Ejemplo .2 Mostrar que [ x ] d x t x ] d ;
4
19
Solución, y
su) = C*]
i—?
5 1 2 3 4
[ x ] d x = 1 ( 2-1) +2 ( 3-2 ) +3 ( 4-3 ) =1+2+3=6
1
.1
I
4
4
[ x ] d x = 3 (3-4)+2 (2-3)+1(1-2) = -6 ; y asi
[ x ] dx l x ] d x = 6.
1.7.5 T E O R E M A (DILATACION DEL INTERVALO DE I N T E G R A C I O N ) .
Sea s(x) un función escalonada en [a,ta] y k un número real £ 0
kb b
entonces S( J )dx = k k
ka
s ( x ) d x
D e m o s t r a c i ó n .
i) k>0. Sea P=i y,a una partición de [a,b] tal que s(x)
es constante en cada subintervalo abierto de P.
Supóngase que s(x)=s* si xk_i<x<xk..
Sea t(x) = s(x/k) si ka<x<kb entonces t(x)=sk si xs(kxk_t,kxk)5
20
por lo tanto F'1={k;-!BI¡,kx1, . . . 'kxnJ es una partición de [ka,kb]
y t(x) es constante en cada subintervalo abierto de P x y asi
t(x) es escalonada y
kb kb b x n n
S( - )dx = E s k ( k x r - k x i< _ i. ) = k . S s k(x k-x k_ 1)=k. k k=l k=i
ka
t ( x ) d x
ka
Si k<0 la demostración se hace en forma análoga.
5 10
Ejemplo .1 Mostrar que
Solución.
[ x ] d x = '4. [ x / 2 ] d ;
s ( x ) d x .
a
S(>0 - [X]
1 2 3 4 5
r- f a
10
[x]dx = 1(2-1)+2(3-2)+3(4-3)+4(5-4)=10
1
10
[ x / 2 ] d x = 1(4-2)+2(6-4)+3 (8-6)+4 (1.0-8) =20 , entonces
1 0
Cxjdx C x/2]d¡ 10.
21
1.7.6 TEOREMA ( C O M P A R A C I O N ) .
Sean s(x) y t. (x) dos funciones escalonadas en [a,b] tales que
s(x)lt(x) para todo x e[a¡,b] entonces
b b
s ( x ) d : t(x)dx
a
Demostración (ejercicio).
Ejemplo .1 Sea s(x) =
1 si 01 x <2
2 si 2<x<3 ; t.(x)
3 si 31x<4
2 si 01x<2
4 si 21x<3
5 si 31x<4
Solución.
S(x)
z T, 4 ->X i i i
s(x)d x = 1(2-0)+2(3-2)+3(4-3)=2+2+3=7 ; y
0
4
t. ( x ) d x = 2 (2-0) +4 (3-2) +5 (4-3) =4+4+5=13 ; luego 4
22
5 ( x ) d x « 7 i t(x)dx = 13,
0 0
1.8 E J E R C I C I O S .
Verificar las siguientes igualdades :
1. ( 12 x ] + [ x / 2 ] ) d ; [ 2 x ] d x + [ x / 2 3 d x
3.[x3d; C x 3 d x .
C 2 x 3 d x —
4. C-x3dx
[2(x-2)]dx
0
0
[ - x 3 d x +
i. 1
[-x3dx + [ - x 3 d x .
0
Í0
5. [ (x)*'a]dx C (x-2)*'a]ds [(:<)1/2]dx + [(x)l/=]d;
0
6
0 ?0
1 2
L x 3 d x = [ x 3 d x + [ x 3 d x
23
6/3 12/3
7. [2x/3]dx = [2x]dx = C x ] d x . O / "T
8 . 1 [2x+4]dx =
4/3
12 14 > p
[x+2]dx = '4. C x ]dx .
4 8 10
9. Verificar las siguientes propiedades con un ejemplo,
b c-a b+c b a) . s ( c - x ) d x
a
kb
s ( x ) d x . b )
c-b
s ( x ) d x s(x+c)d x .
a+c
O . s ( k x ) d ; s ( x ) d x = k
ka a
b 1
d) s ( x ) d x = ( b~-a ) s(a+(b-a)x)d x
0
1.9 I N T E G R A L E S DE F U N C I O N E S M A S G E N E R A L E S .
La integral s(x)dx, se ha definido para una función escalonada
En este apartado se dará una definición aplicable a funciones más
generales.
La definición se construirá de tal manera que la integral
resultante goce de todas las propiedades dadas para las funciones
24
esca1onadas.
La idea es simplemente asi: se empieza aproximando por defecto y
por exceso, la función f(x) mediante funciones escalonadas, como
se sugiere en la figura siguiente a*
1. f
Vx)
a
T^Cx)
b
Para ello se supone que se elige una función escalonada
arbitraria s(x), cuya gráfica esta por debajo de la y=f(x) y una
función escalonada arbitraria t(x) cuya gráfica esta por encima
de y=f(x).
b
Si ahora se considera el conjunto de todos los números s ( x ) d x y
t (x) d x obtenidos eligiendo s(x) y t(x) de todas las maneras
posibles, se tiene en virtud del teorema de comparación que
b b
s ( x ) d x i t ( x ) d x .
a
Si la integral de f(x) ha cumplir también el teorema
25
comparación, a de ser un número comprendido entre s ( x ) d ¡
a
t(x)dx p¿ira cada par de funciones s(x) y t(x) de aproximación
Si existe un número único con esta propiedad parece lógico tomar
este número como definición de la integral de y=f(x).
Naturalmente hay dificultades, por ejemplo la función f(x)=l/x si
>;4=0 ; y f(0)=0 definida para todo número real x» En ningún
intervalo que contenga el origen, se puede aproximar por
funciones escalonadas; pues cerca al origen f(x) toma valores
arbitrariamente grandes o dicho de otro modo f(x) no es acotada
en ningún intervalo que contenga al origen.
Por ello, al tratar de definir la integral, es preciso
restringirse a las funciones que son acotadas en [a,b]; es decir
aquellas funciones f(x) para las cuales existe un número rea1 M>0
tal que -M¿f(x)lM para cada x •= [ a,b]„
Geométricamente las graficas de tales funciones, están situadas
entre las araficas de dos funciones escalonadas s(x) y t(x) que
toman los valores -M y M respectivamente.
0~ / / 1 / k 1 / \
vi l (*:
. Kr
Definición. Se supone f(x) acotada en C a, b ] y f:[a,b] > R.
Sea P={xa», Xi, . . . , x n} una partición de [a,b] y sea
im. = i. n f £ f ( x ) / x c [ x .i-i,xi] } y M .i =Su p £ f ( x ) / x e [ x i. -*, x ¿ ] } .
Se define la suma superior de y=f(x) para la partición P;
notada por U(f,P) como:
U(f,P) = 2 MR(XR-XR_X):
k = l t(x )dx 5 t(x)¿f(x); siendo (Xr-Xr-a) la
longitud del k-ésimo subintervalo abierto de P.
Se define la suma inferior de y=f(x) para la partición P, notada
b n
por L ( f , P) como L(f,P)= 2 mk(x k-x k-i)= s(x)dx; s(x)¿f(x). k = l
El hecho de que f(x) este acotada en [a,b] garantiza la
existencia de M k y m*.-
Ejemplo .1 f(x)— x 0<x<6. Sean Px=í0,2,4,6}; P»»{0,1»2,3,4,5,6}
Pr> = £ Xia , x x ü - . - j x„ } particiones del intervalo II 0,6]. Hallar
i) a) U(f,Px) b) U(f,P,-») c) U(f,P„).
ii) a) L(f,Px) b) L(f,P a) c) L(f,Pn).
En efecto:
6
P A=£ 0,2,4,6 }=£ x GO , x x , x a, x 3 }, U ( f , P x ) = 2. 2 M k=l
t ( x ) d s
0
2(Mx+M2+M3) = 2(2+4+6)=24= área subrayada en la figura siguiente,
2 7
-f(x) = v
tU) y i / •I Mi
1
HJ h>
U(f,Pa)S Pa— {0,1,2,3,4,5,6} = { x» , x 4 , . . . x*> . U ( f , P a ) =2MR ( x*-x* ) = k = l
6 SMk=M1+Ms,+lvl3+lvl^+M=>+tvlí,=l+2+3+4+5+6=22=área subrayada en la figura k=l
siguiente t ( x ) d x
0
ib)
V V /
/
Z, 3 4 5 fe
/ -fíx) = X
n U(f,P,,) = 21 M k(x k-x k-i) .
k = l
En general si se tiene una partición P=íx0,xi x n} de [a,b] y
se quiere que los .intervalos abiertos de P tengan todos igual
longitud; se toma la longitud de cada subintervalo asi: (b~a)/n,
y asi se halla n subintervalos de igual
b--a 6-0 6 1 on g .i tud , es decir, ùx k = x * - x k.
n n n
28
n 6 6 n para k=l,2 ,3, . . . , n ; luego U(f,Pn)= 2 Mk . - = 2 f (>;k) y se
k=l n n k=l mirará cuanto vale f(x*) asi:
X» = 0 = a; x i = ÓXx = 6/n;
Xa = 2Ú*1 = 2.6/n = 12/n; ri i
Xk-1 = (k-l)ÓXi = (6/n).(k-1);
Xk = kóxk = 6k/n; Xr> ~ nóxi = n6/n = 6; luego
n n n U(f,Pn) = 6/n. 2 f(xk) = 6/n. 2 f(6k/n) = 6/n. 2 6k/n =
k=i k=l k=l
'36 n 36 n (n+1) n(n+l) — . 2 k = — . = 18. Asi se tiene una sucesión n12 k = l 2 n n 2
de áreas decreciente y acotada interiormente, luego converge; es
decir Tn ={Jx.Ta,...,T„...} = {36,27 18.n(n+1)/na,...} = {18.n(n+1)/n2}
y asi el lim T„ - Inf{Tr,3= lim 18.n(n+l)/na = 18. A este valor n—>(» n—>®
se la llamará más adelante la integral superior de f(x)=x en
[0,6] y se notará por í(f) (í(f)=18).
i i ) P x — í 0 , 2 , 4 , 6 J ='[ X ca , X x , X a , X 3 } .
L(f,P* )= 2 mk. ( X K - X k - 1 )= 2. 2 m* = 2. (m1+ma!+m3) =2. (0+2+4) =12=área k = 1 k=l
6
subrayada en la figura siguiente s ( x ) d x . 4 38
f {M - - %
6 6 L(f,P3)= E m k(x k-x k- 1)= E mK=0+1+2+3+4+5=15=
k=l k=l s ( x ) d x = área
0
subrayada en la figura siguiente,
Y y ;5ód
f; 1
/ f; •s M i X .—f.
n L (f , P r , )= E m k ( x k
k.=l
Ji h IÍ, y, v-j yc n n
•ük-i)=(6/n) E mk = (6/n) E f(xk-i) k=1 k=l
n n n (6/n) E f (6.(k-1)/n) = (6/n) E 6(k-l)/n = (36/n=) E k-1
k-1 k=l k=l
n n-1 36 n(n-l) n(n-l) (36/rV2) E k-1 = (36/n2) E k = _ = 18. Asi
k=2 k=l n» n-
se; fx.iede formar una suseción creciente de áreas, acotada, luego es
convergente y si Ísr,}-={sa,s3 s,-J = [9,12,.•.,18.n(n-l)/n=,....}
n(n-l) entonces lim = Supísr,}= lim .1.8. = .18.
n->® n->® n a
A éste valor se 1.1 amará más adelante la integral inferior de
30
f(>:)=* en [0,6] y se notará por I(f) (I(f)=18)
1.10 INTEGRAL DE UNA FUNCION A C O T A D A .
Sea f(x) una función definida y acotada en [a,b]. Y sean s(x),
t(x) funciones escalonadas arbitrarias definidas en [a,b] tales
que s(x)£f(x)£ t(x) para cada x •= [ a , b ] .
Si existe un núnero I y solo uno, tal que
b b
mK ( k " K — X ) = k=l
s ( x ) d x £ I £ n
t ( X ) d x = E M K ( XK~ X I < ~ I ) Para cada
k = l a a
par de funciones escalonadas s(x), t(x) que verifiquen que i s( x )£f ( x )i t ( x ) para cada x e [a,b]; este? número I se denomina
la integral de f desde a hasta b y se indica por el símbolo
b b
f ( x ) d x ó
a a
Cuando I existe se dice que f(x) es integrable en [a,b]. La
función f se llama .integrando, los números a y b, los limites de
integración y el intervalo [a,b] el intervalo de integración.
INTEGRAL S U P E R I O R E INTEGRAL INFERIOR.
Supóngase que f(x) es acotada en [a,b] y que s(x), t(x) son
funciones escalonadas que satisfacen s(x)£f(x)ít(x) para cada
x €[a,b]. En este caso se dice que s es inferior a f y que t. es
superior a f.
31
• (x ) d )•: / síf 3 y T == C t(x)dx / fit }, es decir
a
S es el conjunto de todos los números s(x)dx obtenidos al tomar
a
como s(x) todas las funciones escalonadas inferiores a f y T es
b
el conjunto de todos lo números t(x)dx obtenidas al tomar como
l(x) todas las funciones escalonadas superiores a f.
S y T, son conjuntos no vacíos de números reales, ya que f es
acotada, asi el SupíS} y el InfÍT} existen y se define la
integral superior de f, por el Inf[T} y se representa por
b
I ( f ) ; es decir, Inf [T} = I ( f ) = Inf •[ t(x)dx / f £ t } y la integral
a
inferior se define por SupíS} = I(f)= SupC s(x ) d x / sif }
TEOREMA. Toda función acotada f en [a,b], tiene una integral
inferior ( I (f) ) y tiene una integral superior (í( f)) que
b b
satisface las desigualdedas s(x)dx < I(f) i I(f) 1 t(x)dx
a a
para todas las funcines escalonadas s y t tales que
3 2
s(x)áf(x)¿t(x) para cada x e[a,b].
La función f(x) es integrable en [a,b] si y solo si sus
integrales superior e inferior son iguales y en cuyo caso se
tiene que
b
f o í(f) = I(f).
Demostración .
b
Sea S = í s (x) dx / s<f } ; T = i
a
b
Sea sabe que s ( x ) d;
t ( x ) d x / f<t }.
a
t(x)dx si sifit, de modo que todo
número de S es menor que cualquier número de T.
También se puede afirmar que S tiene extremo superior y T tiene
extremo inferior que satisfacen las desigualdades
b b
s(x)dx í SupíS} ¿ InfíT} 1 t(x)dx para todas las s, t. que
a a
satisfacen slfit. Esto demuestra que tanto el SupíS}, como el
b b
Inf(T) satisfecen s(x)dx ¿ SupíS} 1 t ( x ) d x y
a
3 3
s(x)dx 1 Inf {T} .i t( )dx para cada par de funciones
escalonadas s,t que satisfacen sifit.
Por lo tanto f es integrable en [a,b] si y solo si. SupíS}
b
InfíT} y en cuyo caso se tiene que f = SupCS} = In f{T}.
a
Ejemplo .1 Sea f(x)=x= 0<x<4. Hallar
4
a) I(f) b) I(f) c) el valor de
Solución.
!ad>:.
0
Sea P={xB,Xi,..x„} una partición del intervalo [0,4] y se tomará
la longitud de cada subintervalo igual, es decir, óxk=(4-0)/n,
para k=l,2,...,n asi:
x» = 0;
Xi = ÓXi = 4/n;
x= = 2(1x2 = 2.4/n = 8/n;
xk-i = (k-l)ÓXk-i = (4/n).(k-1);
ük = kùx* = k.4/n:
xn = núx'r, = n. 4/n = 4.
n 4 n 4 n luego L(f,P)= E mk(x^-x^-i) = - E m* = - E f(xk-i)
k = 1 n k=l n k = l
34
4 n 4 n 64 n - 2 f((4/n).(k-1))= - 2 ((k-1).(4/n))a = 2 (k-l)a'=
n k=l n k=l n 3 k=l
64 n 64 n-1 64 (n-1) (n ) (2n-.t)
n3 k=2 n 3 k = l n 3 6
64 (n-1)n(2n-l) 64 n(n-l)(2n-l) — . — : y asi la sucesión [sr,} = í — . — } 6 n 3 6 n 3
se puede demostrar que es creciente y acotada superiormente luego
64 n (n-.l) (2n-l) 64.2 es convergente y lim — . = = Sup{s n) = I(f).
n — > a> 6 n 3 3
n 4 n 4 n b) U(f,P) = 2 M k(x h-x k-i) = - 2 f(x*)= - 2 f(4k/n) =
k = 1 n k = l n k=l
4 n 16 64 n 64 n(n+l)(2n+l) 2 — k5* = — 2 k52 = — . „ Se puede ver que
n k=l n 2 n 3 k=l 6 n 3
64 n (n + .1.) ( 2n +1) [tn> = •[ — „ } es una suceción decreciente y
o n 3
acotada inferiormente, luego Ctr>} es corvergente y
b4 n(n+1)(2n+l) 64.2 lim — . = = Inf{t„} = I(f); luego I(f) = I(f) |->® 6 n 3 6
y como f ( x )=xa! 01x14 es acotada, entonces f(x) es integrable en
4
[0,4] y 64 64
x adx = — . 2 = — = I(f) = I(f) 6 3
0
Ejemplo 2. Demostrar que f(x)=x es integrable en [-1,1] y hallar
su valor.
Como; f(x) es acotada en [-1,1]; se verá que I(f)=I(f) -
3 5
1
;dx . En ef ec: t.o s Sea P=í x « } una parti.ci.ón de í-1,1]
"I l-(-l) 2
tal que xk~xk_i. = = _ ; para k=l,2,3,....,n. Ahora n n
>¡<a = ~1 j¡
>'x = -1+áx* = -1 + (2/n ) ;
Xk-i = -1+(k-1)óxK = -l+(k-l).(2/n);
Kk = -l + kúxk = -1 + k . (2/n ) ;
n x„ = -1+nóx = —1+n.(2/n) = 1; y asi L(f,P) = E m^íx^-xk-i) -
k=i 2 n 2 n 2 n - 2 m k - — E f(!<k-i) = _ E f (~i+(k-l) . (2/n) ) = n k=.l n k-1 n k = l
2 n n 4 n - E (~l+(2/n) . (k-1) ) = -2+ (4/n32) E k-1 = -2+ — E k-1 == n k-1 k = l n5» k=2
4 n-1 4 (n)(n-1) 2 -2 + — E k = -2 + — . = -2 + — . n(n-l). Y asi
n 2 k=l n 3 2 n=
2n(n-.l) ís„} = [-2+ } se puede ver que es creciente y acotada
n 22 2n(n-1)
superiormente, luego ísn> converge y lim -2+ = 0 - Supís,-,} n - > oo n2*
= I ( f ) . n 2 n 2 n
Ahora U(f,P) = E M k(x k-x k- t) = E M* = - E f(x k) = k = l n k=.l n k = l
2 n 2 n 4 n - E f(—1+(2k/n)) = - E (-1+(2 k/n)) = -2 + E k = n k = .1 n k = 1 n | < = .1.
36
4 2n ( n+1 ) -2 + . (n)(n+l) = -2+ y se puede verificar que
£.. n ̂ n-*-
2n(n + 1) ítn) = Í-2+ } es decreciente y acotada inferiormente,
n a
2n(n+1) luego converge y lim t 0 = lim ~2 + = 0 = I(f)=I(f), luego
n - > o» n -• > a) n 38
.1
I (f ) = I ( f ) = 0 ;d¡
Ejemplo .3 Demostrar que la función f (x) = (2xa-8) -l<x<3 es
integrable en [-1,3] y hallar su valor.
En efecto:3-(-1)=4; óx k = 4/n y sea P=í x«a, xx , . . . , x n } una partición
de [-1,3]. Ahora se tiene :
x® = ~lj
Xi = -l+ÜXk = -I-i-(4/n) = (4/n)-1;
x 2 = -l+2ÓXk = -1+2(4/n) = (8/n)—1;
x* = -l+3Óxw = -1+3(4/n) = (12/n)-1; «
= -l+(k-l.)úxk-i = -l+(k-l) . (4/n) ;
xk = — i+koxi< = -1 + k (4/n ) = -1+4 ( k/n ) ;
Un = -1+nQXk = —1+n(4/n) = 3 ; y asi
n 4 n 4 n 4 n 4(k-1) a) L.(f ,P)=2m k(x k~x k_ i) = _ E m* = - S f(xk-x)= - S f( -1):
k = l n k=l n k=l n k = l n
4 n 4(k-1) 4 n 16 8 _ E (2[ — 1 ] a-8 ) = - E 2 ( — (k~l)*~ - (k-1)+1)-8 n k = 1 n n k=l n35 n
4 n 32 16 - S C — ( k ~ l ) — (k-1)-6] n k=l n 2 n
128 n 64 n ___24 n S (k-JL)a - __ 2 (k-1) - __ S I
n 3 k=1 n® k-1 n k=l
128 n 64 n 24 n Z(k-1)= - -— E (k-1) - — E l
n 3 k=2 n 2 k=2 n k=l
128 n-1 64 n-1 128 n(n+l)(2n+l) 64 n(n-l) E k.a E k - 24 = . . -24
ri* k=l n a k — 1 n- 6
40 Sn, asi que Supis,-,} = lim s n = - — = 1(f).
n—> ai 3
b) U ( f , F:' ) = E M k(x k-xk-i) k = l
4 n - E Mi. n k = l
f (!•:*) =
4 n 4 n - E f[(4k/n)~l] = _ E 2 C ( 4k / n ) — 1 3 =s—8 n k=l n k=1
4 n 16k2 8k
n k = 1 n12 — + 1)—8 = _ n n k = l rv
4 n 32 k38 16k _ E ( 6)
n
4 n 32 k a 4 n ,1.6k
n k = l n
4 n - E 6 = n k=l n k=l n a
32.4 n(n+l)(2n+l) 4.16 n(n+l)
n 3 6 n a 2 24 = t n ; 1 ueqc
128 n(n+1)(2n+l) lim tr, = lim » n->œ n —>® 6 n 3
64 n(n+1) lim — lim 24 n ~a> 2 n- n -oo
38
128.2 -40 40 24 = — ; asi que Inf{t„} = lim t„ = - — = I(f)
3 n - > <o 3 'n hj
entonces I(f)=I(f) 40
f ( x ) d x = - _
R
1 X 6 Q
Ejemplo .4 Demostrar que f(x) = i no es integrable 0 x el
en [1,2]. En efecto: f(x) es acotada y sea P={ Xa>, x ± , . . . x„ } una
partición de [1,2]. n n
L(f,P) = 2 mKtXk-Xk-i) = 2 0(x k-x k-t) = 0 y U(f,P) = k=l. k = l
n n 2 M k(x k-x k_i) = 2 l(x k-x k_i) = xr< — xea - 2-1 = 1, luego k=l k = 1
SupCL(f,P)} ^ Inf[ü(f,P)} y asi f no es integrable.
En este ejemplo se puede observar que todas las funciones
acotadas en [a,b] no siempre son integrables.
1.11 E J E R C I C I O S .
I. Demostrar que las siguientes funciones son integrables en el
intervalo dado, calculando I(f), I(f).
1. f(x) = x+3 -21x£3. 2. g(x) = 2x a-l -21x15.
3. h(x) = x»-l -51x17. 4. f(x) = 2x+4 01x14.
5. f(x) = xa+x+l -21x13 .
Una vez llegado aqui, se presentan dos inquietudes fundamentales
1. Que funciones acotadas son integrables ?.
2. Supuesto que una función es integrable; como se calcula la
integral ?.
En la primera pregunta, se limitará a dar respuestas parciales
que solo requieren ideas elementales; por ejemplo se mostrará que
todas las funciones monótonas acotadas y continuas definidas en
[a,b] son integrables; luego se desarrollarán las propiedades
generales de la integral y se hace ver en que forma esas
propiedades nos ayudan a ampliar muchos conocimientos en la
integral de funciones específicas.
El numeral 2. Se desarrallará más adelante; en el cual se
mostrará, como calcular integrales para diversas funciones.
1.12 I N T E G R A B I L I D A D DE F U N C I O N E S M O N O T O N A S A C O T A D A S .
TEOREMA. Si f(x) es monotona en un intervalo cerrado [a,b];
entonces f es integrable en [a,b].
demostración.
Se demostrará el teorema para funciones crecientes; el
razonamiento es análogo para funciones decrecientes.
Sean I(f), I(f) sus integrales superior e inferior
respectivamente; se demostrará que í(f) = I(f).
Sea n un entero positivo y se construyen dos funciones
escalonadas s n(x) y t 0(x) del modo siguiente:
Sea P =•[ Xa, Xa., . . . . , xn > una partición de [a,b] en n subintervalos
iguales, esto es subintervalos [xk-i,xk] tales que Xk-X k-1 =
(b-a)/n para cada valor de k.
40
Se define ahora s n (x) y t„ ( x ) por la formulas siguientes:
sn(x)=f(xk-i); tr, ( x ) = f ( xk ) si x k_ t<x<x k.
El los puntos de división, se definen s n y t n de modo que se
mantengan las relaciones sn(x)if (x)itn(x) en todo [a,b].
Con esta elección de funciones escalonadas se tiene,
D ta ft tn (x ) d x - s n(x)dx = Z h k(x k-x k-i)- Z mk(xk-xk-i) =
k=l k=l
n n n b-a 2 f(x k)(x k-x k~i)~ Z f(x k-!)(x k-x k_i) = Z [f(xk)-f(xk-i)]( )= k=l k=l k=l n
b-a ta~a c C f(xn)-f(X»)]= [f(b)-f(a)] = - donde c=(b-a)[f(b)-f(a) ] ,
n n n
b
luego t„ ( x ) d x 5 n ( X )d X = n
a a
Las integrales superior e inferior de f satisfacen las
desigualdades siguientes :
b tata ta
S n i I ( f ) < t r*» y
a
S n ¿ I ( f ) <
a a a
Si se multiplica por -.1 la primera desigualdad se obtiene
ta b
I(f) > tn que sumada con la segunda desigualdad
se tiene
41
b b b
t„ 1 I(f) - I(f) < y asi a a a
Kf)-J(f) | 1 s n = — para todo n£l, y de aquí se n
a
concluye que I(f) = I (í ) y asi. f es integrable en [a,b].
TEOREMA. Sea f acotada en [a,b] y continua en [a,b]
con execpción .de un número finito de puntos, entonces f es
intearable en [a.b].
En particular si f es continua en [a,b], f es integrable en
Ea,b].
Demostración, (ejercicio).
El teorema anterior suministra buena información a cerca de la
funciones que son integrables.
Ejemplo .1 f(x)=l/x para -11x11; no es continua; no es acotada
y tampoco es .integrable.
Ejemplo .2 f(x)=[x] -11x12; es acotada en [-1,2]; no es
continua en un número finito de puntos y es integrable en [-1,2].
'l si x «O -lix!2 ; f es acotada en [-1,2];
0 si. x«I
no es continua en un número infinito de puntos y no es
integrable.
Ejemplo .5 f(x)=x2-8 para -11x13; f es acotada, es continua,
es monnotona y es integrable en [-1,3].
Ejemplo .3 f(x) = <
42
1.13 A L G U N A S P R O P I E D A D E S F U N D A M E N T A L E S DE LAS INTEGRALES DE F U N C I O N E S M O N O T O N A S A C O T A D A S .
1.13.1 Si f (x) v g ( x) son funciones integrables en [a,b]
entonces f(x)+g(x) es integrable en Ca,b3 y además se tiene:
b b b
[f(x)+g(x)]d: f(x)dx + g ( x ) d x .
Demostración
Sea I(f ) f ( x ) d x 5 I (g ) g(x)dx, pues f y g son
a a
integrables; se demostrará que I(f+g) = I(f+g) = I(f) + I(g).
3ean sA(x),s»(x ) funciones escalonadas cualesquiera inferiores a
f (x) y g(x). Como f y g son integrables se? tiene que
b b
I (f)=Sup{ sa. ( x ) dx / sj. 1 f } y I (g ) =Sup { s 3(x)dx /s 2 íg }
También se tiene que I (f) +1(g)=Sup{ Si / Si i f } +
a
b b
Sup-Í g ]• = Supí Si + =2 / s.t i f, Saig }
a a
Pero como s^lf y s 2¿g entonces s=si+s 2 1 f+g y así
43
s (x ) d; s x ( x ) d x + Sa( x )dx 1 I(f+g). F'or lo tanto el número
a a ta
I(f+g) es una cota superior para el Supí s x ( x ) d x + s a ( x ) d x } .
a
Esta cota superior no puede ser menor que el extremo superior del
conjunto, de manera que I(f)+I(g) £ I(f+g).
En forma análoga, si se hace uso de las relaciones
b b
I (f ) = I n f £ tx / f<tx }; I(g) = Inf £ ta / g£t 2 } 5 donde tx, t.:
a
representan funciones escalonadas arbitrarias superiores a f y g
respecitvamente„ se obtiene que I(f+g)£I(f) + I(g ) .
Como I(f+g)£I(f) +1(g)£ I(f+g) y I(f+g)£ I(f+g) se conc1uye que
I ( f+g)=1(f+g) = I(f) + I(g).
Ejemplo .1 Sea f(x)=xa; g(x)=x; 0£x£4.
Se sabe que f(x) y g(x) son integrables en el intervalo [0,4];
por la propiedad 1.13.1 se tiene que f(x)+g(x) = xa+x es
integrable en [0,4] y además (xa+x)dx x2dx + x d x
0 0 0
1.13.2 Si f(x) es integrable en [a,b] y c es una constante
entonces cf(x) es integrable y además se tiene
44
b
cf(x)dx = c f(x )dx
Demostración.
Si c=0 (trivial). Se supone que c>0.
Se observa que toda función escalonada h inferior a cf es de la
forma h=cs siendo s una función escalonada inferior a f y
cualquier función escalonada q superior a cf es de la forma q=ct
siendo t una función escalonada superior a f. Asi que
b b
I(cf)= Supí h / hicf Supí c s / sif } el (f )
a
b
a
b
I(cf)= Infi q / cf¿q } Infi c t / fit } c I ( f ) , 1uego
I(cf)=I(cf)=cI(f).
Sea c<0; y h función escalonada inferior a cf es decir h=ct
siendo t una función escalonada superior a f y toda función
escalonada q superior a cf es de la forma q=cs siendo s una
función escalonada inferior a f. Asi que
b b
I (cf)=Sup{ h / hicf } = Supí c, t / fit.
c I n f •[ t /fit el (f ) .
4 5
En forma análoga I(cf)=cl(f). Asi que í(cf)=1(cf)=cI(f).
Ejemplo .1 Sea f (x)=x= 0<x<4.
Sea sabe que f(x) es integrable entonces por la propiedad 1.13,
4x= es integrable y además
4 4
4x2dx = 4 x2dx.
0
1.13.3 Se supone que a<b<c y que las dos integrales
b c
f ,
a b
c b
f existen, entonces existe f y se tiene que
f +
a a b
Demostración .
Se desicina con I(f), í(g) las integrales inferior y superior de f
b c
en [a,c]; se mostrará que I(f)=í(f)= f + f .
a b
Si s es una función escalonada cualquiera inferior a f en [a,c]
se ti en e
c b c
s + s.
b
46
Reciprocamente, si h,q son funciones escalonadas inferiores a f
en [a,b], y Cb,cll respectivamente, la función s que coincide con
h en [a, bII y con q en [b,c] es una función escalonada inferior a
f en [a,c] para la que
c b c c
h + q , por lo tanto I(f)=Supí s / si f
Supí h /h < f } + Supí q /q<f } f + f .
a a
Análogamente, se demuestra que I(f): f + f .
Nota : La demostración es parecida para cualquier otra
disposición de los puntos a,b,c.
8
Ejemplo .1 ídx = ; d x + * *
x d x = x dx X d X
0 0 1 0 8
1.13.4 Si f (x ) es integrable en [a,b], para cada número real c
se tiene que
b b+c
f(x)d;< = f(x-c) dx .
a+c
Demostración.
47
Sea g(x) la función definida en el intervalo Ca+c,b+c] por la
ecuación g ( x) = f(x-c ) .
Se designa por I(g),I(g) las integrales inferior y superior de
g(x) en el intervalo [a+c,fa+c] y se demostrará que I(g)=I(g)=
b
f (x ) d x .
Sea s cualquier función escalonada inferior a g(x) en [a+c¡,b+c3.
Entonces la función h definida en [a,b] por la ecuación
h(x)=s(x+c) es una función escalonada inferior a f en [a,b].
Además toda función escalonada h inferior a f en [a^b] tiene esta
forma para una cierta s inferior a g»
También por la propiedad de traslación para las integrales de
funciones escalonadas se tiene
b+c b b
s(x+c)d x h ( x ) d ; s ( x ) d x -
a+c a a
Por consiguiente se tienes que
b+c
I(g)= Supí s / säg } jupl h /hif }
a+c
f ( x ) d ;
a
En forma analoga se demuestra que I(g): f ( x ) d ;
a
48
Ejemplo .1 (x+4 ) dx v H % M U /
0 4
6
Ejemplo .2 (x 2-x+l)d: ((x+2)=-(x+2)+l)d:
0
1.13.5 Si f(x) es integrable en [a,b] entonces para cada número
r e a .1 k ̂.Q s e t i e n e .
k b
f(x)dx k
f ( x / k ) d x .
ka
Demostrac ión
Se supone k>0 y !
ec u ac .i. ón g ( x ) = f ( x / k )
define g en el intervalo [kaskb] por la
Se designan por I(g), I(g) las integrales superior e inferior de
g en [ka,kb] y se demostrará que
b
I (g ) = I ( g ) = k f(x)dx
a
Sea s cualquier función escalonada inferior a g en [ka,kb].
Entonces la función h definida en [a,b] por la igualdad
h(;:)=s(kx) es una función escalonada inferior a f en [a,b"J.
Además toda función escalonada h inferior a f en [a,b] tiene esta
forma.
49
Por la propiedad de dilatación para funciones escalonadas se
tiene.
kb b
s(x)dx = k
ka a
b
s ( k x ) d x = k h ( x ) d x .
a
Por consiguiente I(g)= Supí
K B
s /slg } = Sup[ k
K A
a
h / hif J =
a
k f(x)dx . Análogamente se demuestra que I(g)= k f(x)dx.
a a
El mismo tipo de demostración puede utilizarse para demostrar la
propiedad si k<0.
4 8
Ejemplo .1 2 x d x = v¿ :dx ; (k=2)
0 0
Ejemplo .2 D X :dx ; ( k = 1 /3)
0 0
Ejemplo .3
Solución.
(l-K a) 1 / a dx = TL/2 entonces hallar (4-x 2) 1 / 2d;
( 4 — XA
)1 / A
D X (1-(x a/4)) 1 / adx = 4 l - x 3 ) 1 / 2 d x = 2n ( k='-É )
50
1.13.6 Si f(x) y g(x) son funciones integrables en [a,b] y si
g(x)<f(x) para cada x en [a,b] se tiene que
b b
g ( x ) d x 1 f(x)d;
D e m o s t r a c i ó n .
Sea s cualquier función escalonada inferior a g y t cualquier
función escalonada superior a f; se tiene entonces que.
b b b b
t y por lo tanto
a a
b
Infi t /f<t } =
4
Ejemplo. 1 u <s _•.
0
g = Sup{ s /slg } i
a a
f luego g ( x ) d x í
a
4
6d x .
0
f(x )dx
Ejemplo .2 3d; 4d;
1.13.7 Si f(x) es integrable en [a,b] y si m<f(x)¿M para todo
en [a,b] entonces
b
m.(b-a) < f(x )dx < M.(b-a)
a
51
Demostración, (ejercicio).
1.13.8 Si f(x) es integrable en [a,b] y f(x)£0 para todo x en
[a,b] entonces
b
f (x)d x > 0.
a
Demostración, (ejercicio).
1.13.9 Si f(x) y g(x) son integrables en [a,b] y si f(x)£g(x)
para todo x de [a,b] entonces,
b b
f ( x ) d: g ( x ) d x .
Demostración .
Como f-g es integrable y f-g¿0 por la propiedad 1.13.8 se tiene
que
b b b b
[ f(x)-g(x)]dx £ 0 y como [f(x)-g(x)]dx f ( x ) d; g ( x ) d x ¿ 0
a a
se tiene que f ( x ) d x > g ( x ) d:
a
1.13.10 Sea f(x) continua en La^b] y por lo tanto integrable en
Ca,b] entonces
52
