CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂNgiasutainangsaigon.com/download/tÀi_liỆu_mÔn_toÁn(2)/tài_liệu_toán_ltĐh/... · Gia sư Thành Được Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

Bảng công thức tích phân bất định :

Cdx0 Cxdx

11

1

nCn

xdxx

nn Cxdx

x ln

1

Cedxe xx Ca

adxa

xx

ln

Cxxdx cossin Cxxdx sincos

Cxdxx

tancos

12

Cxdxx

cotsin

12

Cxudxxu

xu)(ln

)(

)(

C

ax

ax

adx

axln

2

1122

Caxxa

axx

dxax 222 ln22

Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số )(xf liên tục trên đoạn ba; có nguyên hàm là )(xF .

Giả sử )(xu là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , và có miền giá trị là ba;

thì ta có :

CxuxFdxxuxuf )()()('.)(

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :

a)

1

0

211x

xdxI b)

1

0

21x

x

e

dxeI c)

e

x

dxxI

1

3

ln1

Bài làm :

a) Đặt 2

212 dtxdxxdxdtxt

Đổi cận :

21

10

tx

tx

Vậy : 2ln2

1ln

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

21

tt

dt

x

xdxI

b) Đặt dxedtet xx 1

http://www.daythem.com.vn/


Trang 2

Đổi cận :

12

11

2etx

etx

Vậy : )1ln(ln1

1

1

1

1

1

0

2

22

ett

dt

e

dxeI

e

e

e

e

x

x

c) Đặt dxx

tdtxt1

ln1

Đổi cận :

2

11

tex

tx

Tích phân lượng giác :

Dạng 1 :

nxdxmxI cos.sin

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .

Dạng 2 :

dxxxI nm .cos.sin

Cách làm :

Nếu nm, chẵn . Đặt xt tan

Nếu m chẵn n lẻ . Đặt xt sin (trường hợp còn lại thì ngược lại)

Dạng 3 :

cxbxa

dxI

cos.sin.

Cách làm :

Đặt :

2

2

2

1

1cos

1

2sin

2tan

t

tx

t

tx

xt

Dạng 4 :

dxxdxc

xbxaI .

cos.sin.

cos.sin.

Cách làm :

Đặt : xdxc

xdxcBA

xdxc

xbxa

cos.sin.

)sin.cos.(

cos.sin.

cos.sin.

Sau đó dùng đồng nhất thức .

Dạng 5:

dxnxdxc

mxbxaI .

cos.sin.

cos.sin.

Cách làm :

)122(3

2

3

2ln12

1

2

1

2

3

1

3

tdttx

dxxI

e



Trang 3

Đặt : nxdxc

C

nxdxc

xdxcBA

nxdxc

mxbxa

cos.sin.cos.sin.

)sin.cos.(

cos.sin.

cos.sin.

Sau đó dùng đồng nhất thức.

BÀI TẬP

Tính tích phân :

a)

2

0

41)1(sin

cos

x

xdxI b)

2

0

5

2 cos

xdxI c) 4

0

6

3 tan

xdxI

Bài làm :

a) Đặt : xdxdtxt cos1sin

Đổi cận :

22

10

tx

tx

Vậy : 24

7

3

1

)1(sin

cos2

1

3

2

1

4

2

0

41

tt

dt

x

xdxI

b) Đặt : xdxdtxt cossin

Đổi cận :

12

00

tx

tx

Vậy :

15

8

3

2

5

211cos

1

0

1

0

35

1

0

1

0

24222

0

5

2

ttt

dtttdttxdxI

c) Đặt : dxxdtxt )1(tantan 2

Đổi cận :

14

00

tx

tx

Vậy :

415

13

35

1

11

1tan

4

0

1

0

35

1

0

1

0

2

24

2

64

0

6

3

duttt

dtt

ttt

dttxdxI



Trang 4


a)

2

02222

1

cos.sin.

cos.sin

dxxbxa

xxI b)

3

0

22cos2

cos

dxx

xI

Bài làm :

a) Đặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222

Đổi cận :

2

2

2

0

btx

atx

Nếu ba

Vậy :

baab

bat

ab

t

dt

abdx

xbxa

xxI

b

a

b

a

11

2

1

cos.sin.

cos.sin

2222

2

0

22221

2

2

2

2

Nếu ba

Vậy :

ax

axdx

a

a

xdxxdx

xbxa

xxI

2

12cos

4

12sin

2

1

cos.sin

cos.sin.

cos.sin

2

0

2

0

2

0

2

02222

1

b) Đặt : xdxdtxt cossin

Đổi cận :

2

3

3

00

tx

tx

Vậy :

2

3

0 2

2

3

02

3

0

2

2

32

1

232cos2

cos

t

dt

t

dtdx

x

xI

Đặt : ududtut sin2

3cos

2

3

Đổi cận :

42

3

20

ut

ut



Trang 5

Vậy :

242

1

2

1

cos12

3

sin2

3

2

1

2

32

1

2

4

4

4

2

4

2

2

3

0 2

2

udu

u

udu

t

dtI


a)

2

0

15cos3sin4

1

dxxx

I b)

2

0

25cos3sin4

6cos7sin

dxxx

xxI

Bài làm :

a) Đặt : 1

21

2tan

2tan

2

2

t

dtdxdx

xdt

xt

Đổi cận :

12

00

tx

tx

Vậy :

6

1

2

1

15

1

13

1

24

1

2

1

0

1

0

2

1

0

2

2

2

2

1

t

t

dtdt

t

t

t

t

tI

b)Đặt : 5cos3sin45cos3sin4

sin3cos4

5cos3sin4

6cos7sin

xx

C

xx

xxBA

xx

xx

Dùng đồng nhất thức ta được: 1,1,1 CBA

Vậy :

6

1

8

9ln

25cos3sin4ln

5cos3sin4

1

5cos3sin4

sin3cos41

5cos3sin4

6cos7sin

12

0

2

0

2

0

2

Ixxx

dxxxxx

xxdx

xx

xxI

Bạn đọc tự làm :

a) 2

6

2

3

1sin

cos

dxx

xI b)

2

0

3

2 sin.cos

xdxxI c)

2

0

32sin

x

dxI



Trang 6

c)

2

0

3

31cos

sin4

dxx

xI d)

2

0

53cos2sin

1

dxxx

I d)

2

0

63cos2sin

1cossin

dxxx

xxI

Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ

Dạng 1 :

Caxnax

dxI

nn

1

1.

1

1 với 1,0, NCna ta có :

Nếu Ran ,1 ta có : Cxax

dxI

ln

Dạng 2 :

dx

cbxax

xI

n2

trong đó :

04

,,,,

2 acb

Rcba

* Giai đoạn 1 : 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức cbxax 2 ,

sai khác một số :

nnncbxax

dxb

a

adx

cbxax

bax

adx

cbxax

ba

bax

aI

222

2

2

2

2

22

2

* Giai đoạn 2 :

Tính

baxt

n

n

nt

dt

a

adx

cbxax

dxI

222 12

.4

* Giai đoạn 3 :

Tính

dt

tI

n1

12

có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt tant

Dạng 3 : dxxQ

xPI

n

m

Ta có : 01

01

......

......

bxbxb

axaxa

xQ

xPn

n

m

m

n

m

Nếu : QP degdeg thì ta thực hiện phép chia

xQ

xRxA

xQ

xP

n

rnm

n

m trong đó

phân số xQ

xR

n

r có QR degdeg

Nếu : QP degdeg ta có các qui tắc sau :

*Qt 1:

nn

n

n

n

xm

ax

A

ax

A

ax

A

ax

P

1

11 ......

Vdụ 1a :

n

ii

i

i

n

i

i

i

m

ax

A

ax

xP

1

1

Vdụ 1b :

22))()(( cx

D

cx

C

bx

B

ax

A

cxbxax

xPm



Trang 7

*Qt 2':

nnn

n

nn

n

m

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

xP

212

11

2

11

2...... với 0

*Qt 3:

m

i

n

ki

i

i

i

nm

t

cbxax

BxA

x

A

cbxaxx

xP

1 12

1

2

Vdụ 1 :

cbxax

CBx

x

A

cbxaxx

xPt

22)(

Vdụ 2 :

22

22

2

11

22 cbxax

CxB

cbxax

CxB

x

A

cbxaxx

xPt

BÀI TẬP


a)

1

0

2123xx

dxI b)

1

0

222

23xx

dxI

Bài làm :

a)

1

0

1

0

1

0

212

1

1

1

2123dx

xxxx

dx

xx

dxI

b)

dxxxxx

dxxx

dxI

1

0

22

1

0

222

21

2

2

1

1

1

23

OKxxxx

1

0

2ln1ln22

1

1

1


a)

1

0

24133xx

dxI b)

1

0

2221

24dx

xx

xI

Bài làm :

a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được

Ca

x

aax

dxI arctan

1220 với 0a

dx

xxxx

dx

xx

dxI

1

0

1

0

2222

1

0

2413

1

1

1

2

1

3133

32923

arctan3

1arctan

2

11

0

xx

3

4ln2ln1ln

1

0 xx



Trang 8

b) Đặt :

12

22

1212

242

2

22

xx

ACCBxBAx

x

CBx

x

A

xx

x

Do đó ta có hệ :

0

2

2

02

42

0

C

B

A

AC

CB

BA

Vậy :

1

0

1

0

2221

2

2

2

21

24dx

x

x

xdx

xx

xI

9

4ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2

1

0

2 xx


a)

3

2

211

1dx

xx

xI b)

5

2

2232xx

dxI

c) dxxx

xI

2

1

3

3

34

1 d)

2

3

24323

dxxx

xI

HD:

a) 11

122

x

C

x

B

x

A

xx

x b)

3132

12

x

B

x

A

xx

c)

1212

41

4

1

4

13

3

xxx

x

xx

x d)

221123 24

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x

Đẳng thức tích phân :

Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận

xét một số đặc điểm sau .

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….

Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.

BÀI TẬP

Chứng minh rằng :

1

0

1

0

11 dxxxdxxxmnnm

Bài làm :

Xét

1

0

1 dxxxInm

Đặt : dtdxdxdtxt 1



Trang 9

Đổi cận :

01

10

tx

tx

Vậy :

0

1

1

0

1

0

111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (đpcm)

Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên đoạn aa, thì :

a

a

dxxfI 0

Bài làm :

1)(

0

0

a

a a

a

dxxfdxxfdxxfI

Xét

0

a

dxxf . Đặt dtdxdxdtxt

Đổi cận :

00 tx

atax

V ậy :

a a

a

dttfdttfdxxf0 0

0

Thế vào (1) ta được : 0I (đpcm)

Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên đoạn

aa, thì

a

a

a

dxxfdxxfI0

2

Cho 0a và xf là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .


dxxfdxa

xfx

01

Bài làm :

Xét

dxa

xfx

0

1

. Đặt dtdxdxdtxt

Đổi cận :

00 tx

tx

Vậy :

0 0

0

111 t

t

tx a

tfadt

a

tfdx

a

xf

0

0

1111

dxa

xfdx

a

xfdx

a

xfxxx



Trang 10

Thế vào (1) ta được :

0

0

0111

dxxfdxa

xfdx

a

xfadx

a

xfxx

x

x (đpcm)

Cho hàm số xf liên tục trên 1,0 . Chứng minh rằng :

0 0

sin2

sin. dxxfdxxfx

Bài làm :

Xét

0

sin. dxxfx . Đặt dtdxdxdtxt

Đổi cận :

0

0

tx

tx

Vậy :

0 00

sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx

0 0

sin.sin dttftdttf

dxxfdxxfx

dxxfdxxfx

00

00

sin2

sin.

sinsin.2

Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .

Nếu hàm số xf liên tục trên ba, và xfxbaf . Thì ta luôn có :

b

a

dxxfba

dxxfx

02

.

Cho hàm số xf liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .


Ta

a

T

dxxfdxxf0

Bài làm :

Ta

T

T

a

Ta

T

Ta

a

T

a

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf0

0

Vậy ta cần chứng minh

a Ta

T

dxxfdxxf0

Xét a

dxxf0

. Đặt dxdtTxt



Trang 11

Đổi cận :

Tatax

Ttx 0

Vậy :

Ta

T

Ta

T

dttfdtTtf

Hay :

Ta

a

T

dxxfdxxf0

(đpcm)

Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :

Nếu hàm số xf liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn

có :

T

T

T

dxxfdxxf0

2

2


a) 1

0

6

1 1 dxxxI b)

1

1

22

2 1lncos.sin dxxxxxI

c)

0

23cos49

sin.dx

x

xxI d)

0

24cos1

sin.dx

x

xxI

e)

2

2

2

521

sin

dxxx

Ix

f)

1

1

2

2

61

sindx

x

xxI

g)

2

0

27 sin1sinln dxxxI h) dxxI

2009

0

8 2cos1

Tích phân từng phần :

Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn ba, , thì ta có :

b

a

b

a

b

avduuvudv

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt xu ln hay xu alog .

*ưu tiên 2 : Đặt ??u mà có thể hạ bậc.

BÀI TẬP




Trang 12

a) 1

0

1 . dxexI x b) 2

0

2

2 cos.

xdxxI c) e

xdxI1

3 ln

Bài làm :

a) Đặt :

xx evdxedv

dxduxu

Vậy : 11..1

0

1

0

1

0

1

0

1 eeeedxeexdxexI xxxx

b) Đặt :

xvxdxdv

xdxduxu

sincos

22

Vậy : 1sin.24

sin.2cos..2

0

2

0

2

20

1

0

1

xdxxxdxxxxdxexI x

Ta đi tính tích phân 2

0

sin.

xdxx

Đặt :

xvxdxdv

dxduxu

cossin

Vậy : 1sincos.coscos.sin. 20

20

2

0

20

2

0

xxxdxxxxdxx

Thế vào (1) ta được : 4

8.

21

0

1

dxexI x

c) Đặt :

xvdxdv

dxx

duxu1

ln

Vậy : 1ln.ln.ln01

1

1

1

3 ee

ee

e

xxxdxxxxdxI


a)

0

1 sin. xdxeI x b) 4

0

22cos

dxx

xI c)

e

dxxI1

3 lncos

Bài làm :

a) Đặt :

xvxdxdv

dxedueu xx

cossin



Trang 13

Vậy :

00

0

1 11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI xxx

Đặt :

xvxdxdv

dxedueu xx

sincos

Vậy : IxdxexexdxeJ xxx

00

0

sin.sin.cos.


112 11

e

IeI

b) Đặt :

xvdxx

dv

dxduxu

tancos

12

Vậy : 2

2ln

4cosln

4tantan.

cos40

4

0

40

4

0

22

xxdxxxdxx

xI

c) Đặt :

xvdxdv

dxxx

duxu lnsin1

lncos

Vậy : JedxxxxdxxIe

ee

1lnsinlncos.lncos1

1

1

3

Đặt :

xvdxdv

dxxx

duxu lncos1

lnsin

Vậy : 3

1

1

1

3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI

ee

e


112 33

e

IeI


a)

2ln

0

1 . dxexI x b)

e

dxxI1

2

2 ln1

c)

2

23ln

1

ln

1

e

dxxx

I d) 1

0

2

4 1ln dxxxI

e) 3

4

5 tanln.sin

dxxxI f) e

dxxI1

2

6 lncos

g)

4

0

27 2cos

xxI h)

2

0

7

cos1

sin1

dxex

xI x



Trang 14

Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :

Muốn tính b

a

dxxfI ta đi xét dấu xf trên đoạn ba, , khử trị tuyệt đối

Muốn tính b

a

dxxgxfI ,max ta đi xét dấu xgxf trên đoạn ba,

Muốn tính b

a

dxxgxfI ,min ta đi xét dấu xgxf trên đoạn ba,


a)

4

1

1 2dxxI b)

2

0

2

1 32 dxxxI

Bài làm :

x 1 2 4

a)

x-2 - 0 +

Vậy : 4

2

22

1

24

2

2

1

4

1

1 222

2222

x

xxxdxxdxxdxxI

2

54288

2

1224

b) Lập bảng xét dấu 2,0,322 xxx tương tự ta được

2

1

2

1

0

2

2

0

2

1 323232 dxxxdxxxdxxxI

.

Tính

1

0

dxaxxIa với a là tham số :

Bài làm :

x a

x-a - 0 +

(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).

43

33

3

2

1

32

1

0

32

1

xxx

xxxI



Trang 15

Nếu 0a .

1

0

1

0

232

1

023

1

23

aaxxdxaxxdxaxxIa

Nếu 10 a .

a

a

a dxaxxdxaxxdxaxxI0

1

22

1

0

223

1

3232

321

32

0

32 aaxaxxax

a

a

Nếu 1a .

1

0

1

0

232

1

023

1

23

aaxxdxaxxdxaxxIa

Tính : a) 2

0

2

1 ,1min dxxI 3

0

2

2 ,max dxxxI

Bài làm :

a) Xét hiệu số : 2,01 2 xx

Vậy : 3

4

3,1min

2

1

2

0

32

1

1

0

2

2

0

2

1 xx

dxdxxdxxI

b) Xét hiệu số : 3,01 xxx tương tự như trên ta có .

6

55

32,max

3

1

31

0

23

1

2

1

0

3

0

2

2 xx

dxxxdxdxxxI


a)

3

2

2

1 3,min dxxxI b) 2

0

2 cos,sinmax

dxxxI c) 4

3

0

3 cossin

dxxxI

d)

3

2

2

4 34,max dxxxI d)

5

1

4 1212 dxxxxxI

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :

Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel

Dạng 1: dxcbxaxxR 2, ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.

2

2 21

40

0 bax

acbxax

a



Trang 16

dtttSdxcbxaxxRbax

t

2

22 1,, Tới đây , đặt ut tan .

Dạng 2:

2

2 21

40

0 bax

acbxax

a

dtttSdxcbxaxxRbax

t

2

22 1,, Tới đây , đặt ut sin .

Dạng 3:

1

2

40

02

2 bax

acbxax

a

dtttSdxcbxaxxRbax

t

2

22 1,, Tới đây, đặt u

tsin

1 .

Dạng 4 (dạng đặc biệt) :

x

ttt

dt

cbxaxx

dx

122

Một số cách đặt thường gặp :

dxxaxS 22, đặt ttax 0cos.

dxxaxS 22, đặt 22

tan.

ttax

dxaxxS 22, đặt

ktt

ax

2cos

dxcbxaxxS 2, đặt

0;.

0;

0;

2

000

2

2

atxacbxax

cbxaxxxtcbxax

ccxtcbxax

m

dcx

baxxS , đặt 0;

cbad

dcx

baxt m

Tính :

32 74xx

dxI

Bài làm :

23232 374 xt t

dt

xx

dx

Đặt : duudtut 1tan3tan3 2



Trang 17

Ta có

uu

udu

u

duuI

tan3tan332

2

cos3

1

1tan.33

1tan3

Cxx

xC

t

tCu

74

2

3

1

13

1sin

3

1

22

Tính : a)

12 xx

xdxI b)

122 xxx

dxI

Bài làm :

a)

3

12222 1

13

2

1

4

3

2

11 xt

dtt

t

x

xdx

xx

xdx

Cxxxxx

Ctttdtt

tI

xt

12

1ln

2

11

1ln2

11

2

3

1

13

2

1

22

22

3

122

b)Đặt : 2

1

t

dtdx

tx

C

t

t

dt

xxx

dxI

tx

2

1arcsin

1212 122

Cx

Cx

2

1arcsin

2

11

arcsin

Tìm các nguyên hàm sau

a)

3 11 xx

dxI b)

11 xx

dxI

Bài làm :

a)Đặt : dxdttxtxt 566 611

Vậy :

66 1

2

1

23

5

3 1

1166

11 xtxt

dtt

tttt

dtt

xx

dxI

Cxxxx

Ctttt

11ln6161312

1ln6632

663

23

b)

dxx

xdxxdx

x

xx

xx

dxI

1

2

11

2

1

2

11

11

2

1



Trang 18

11

2

1

2

1dx

x

xxx

Xét dxx

x

1Đặt :

dt

t

tdx

tx

x

xt

2221

2

1

11

Vậy :

OKt

dttdx

x

x

x

xt

1

2

2

12

1

Tìm các nguyên hàm sau :

a) dxxxI 9. 22 b) dxxxI 4.16 22

Bài làm :

a)Đặt : dtt

tdx

t

txtxx

2

222

2

9

2

99

Vậy :

C

xx

xxxx

Ct

tt

dttt

t

dtt

tdt

t

t

t

t

t

tI

42

2

42

4

4

5

3

5

24

2

222

2

2

1

94

65619ln162

4

9

16

1

4

6561ln162

416

16561162

16

1

81

16

1

4

9.

2

9.

2

9

b)Đặt : dtt

tdx

t

txtxx

2

222

2

4

2

44

C

xx

xxxx

Ct

tt

dttt

t

dtt

tdt

t

t

t

t

t

tI

42

2

42

4

4

5

3

5

24

2

222

2

2

4

644ln36

4

4

64ln36

4

25636

16

4

4.

2

4.

2

416


a)

1

2

1

2

1 dxxxI b)

8

3

21

dxxx

dxI



Trang 19

Bài làm :

1

2

1

21

2

1

2

1 1212

1dxxdxxxI

Đặt : tdtdxtx cos2

1sin12

Đổi cận :

21

02

1

tx

tx

Vậy : 2

0

2

0

2

0

2

1 2sin2

11

8

12cos1

8

1cos

4

1

tdtttdtI

b) Đặt : dxtdtxt 21

Đổi cận :

38

23

tx

tx

Vậy :

3

2

2

3

2

2

8

3

21

21

21 t

dt

tt

tdtdx

xx

dxI


a)

12

1

xx

dxI b) dxxxI 2

2 4 c)

32

3

4x

dxI

d) dxxI 2

4 1 d)

dx

x

xI

11

11

2

2

5 d) dxx

I11

1

26

Bất đẳng thức tích phân :

Nếu 0,0 dxxfbaxxfb

a

Nếu dxxgdxxfbaxxgxf

b

a

b

a

,

16

00028

1

2ln1ln2

1ln

1

1ln

3

2

t

t



Trang 20

Nếu abMdxxfabmbaxxfm

b

a

,

Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM

Và các bước chặn sinx,cosx

BÀI TẬP

Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a) 1

04

11 dxxx b)

2

1

15

22

1

2

dx

x

x c)

1

0

211 dxxx

Bài làm:

a)Áp dụng AM-GM ta có :

1,04

1

2

11

2

x

xxxx

Vậy : 4

1

4

11

1

0

1

0

dxdxxx (đpcm)

b) Xét hàm số : 2,112

xx

xxf

Đạo hàm :

1

10

1

122

2

x

xxf

x

xxf

Ta có :

5

22

2

11

f

f

Vậy :

2

1

15

2

2

1

15

2

2,12

1

15

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

dxx

x

dxdxx

xdx

xx

x

Áp dụng Bunhicopxki ta có :

1,02111111 22 xxxxx

Vậy : 01211

1

0

dxxx



Trang 21

1

0

211 dxxx (đpcm)

Chứng minh rằng : e

dxx

xe x

121

sin.3

1

2

Bài làm :

e

exx x 113,1

3

1

2

3

1

2 1

1

1

sin.dx

xedx

x

xe x

Xét

3

1

2 1

1dx

xe

Đặt : dttdxtx 1tantan 2

Đổi cận :

33

41

tx

tx

Do đó : 121tan

1tan 3

4

3

4

2

2

e

dt

te

dtt

Từ đó ta được đpcm.



a)10cos3516

2

0

2

x

dx b)

2

1sin

4

3 3

6

dxx

x c)

8

2

46

3

6

32

xx

dx

d*) Cho 2 hàm số liên tục : 1,01,0:;1,01,0: gf


1

0

1

0

21

0

.. dxxgdxxfdxxgxf

Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :

1)Tính diện tích :

Cho hai hàm số xfxf & liên tục trên đoạn ba, . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

các đường là :

11

1

sin.22

xex

xe x



Trang 22

xgy

bx

xfy

ax;

Được tính như sau :

b

a

dxxgxfS

2)Tính thể tích :

Nếu diện tích xS của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là

hàm số liên tục trên đoạn ba, thì thể tích vật thể được tính :

dxxfV

b

a

Nếu hàm số xf liên tục trên ba, và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Ox

xfy

bxax ,

Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :

dxxfVb

a

2

Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy

3)Tính giới hạn :

dxxfxf

b

a

n

i

iin

1

.lim trong đó

1

1

iix

ii

xx

xx

Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :

Viết dãy số thành dạng :

n

i

nn

if

nS

1

1 sau đó lập phân hoạch đều trên 1,0 , chọn

n

ixii ta có

1

01

1lim dxxf

n

if

n

n

in

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:

Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh xfy thì độ dài đường cung nó được tính

như sau :

dxylb

a

2

1 với ba, là hoành độ các điểm đầu cung .

4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.

Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối

cùng là tính tích phân .



Trang 23

Hình1a hình1b

hình1c hình1d

BÀI TẬP

Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.

Bài làm : (hình 1a)

Phương trình đường tròn có dạng :

22222 xRyRyx

Do tính đối xứng của đồ thị nên : dxxRSR

0

224

Đặt : tdtRdxtRx cossin

Đổi cận :

2

00

tRx

tx

2

00

tRx

tx

Vậy :

dvdtRtxR

dttRtdtRtRS

22

0

2

2

0

22

0

22

2sin2

12

2cos12cossin4



Trang 24

Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol 2xy , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm

A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .

Bài làm (hình 1b)

Phương trình đường thẳng có dạng. 41 xky

Phương trình hoành độ giao điểm .

0441 22 kkxxxkx

Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử 21 xx

Vậy diện tích là :

*42

1

3

1

423

41

12

2

121

2

212

23

2

2

1

2

1

kxxkxxxxxx

xkxkx

dxxxkS

x

x

x

x

Với :

44.4

4.

2

12

2

12

222

12

12

12

kkxxxxxx

kxx

kxx

Thế vào * ta được :

1641646

1

42

144

3

1164

22

222

kkkk

kkkkkkS

341226

1164

6

1 3232 kkk

Vậy : 34min S khi 2k

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

2

2

xay

yax

Bài làm : (hình 1c)

Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét 0a

Xét :

0

0

0

22

2

a

xay

ayxyx

a

xay

yax

Với yx ta được :



Trang 25

lx

nax

a

xay

yx

00

2

Với 0 ayx ta được :

lx

nax

a

xay

aaxx

a

xay

ayx

00

0

0

0

2

22

2

Ta lại có :

00

22

2

a

a

xy

axy

a

xay

yax

Vậy diện tích cần tính là :

dvttaa

xxa

dxa

xxadx

a

xaxS

a

aa

2

0

3

2

3

0

2

2

1

0

2

3

1

32

3


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a)

2

01

013

x

yx

yx

b)

4

4

2

y

xy

xy

c) 0

0

2

y

yx

yx

d)

0,

12

2

2

2

ba

b

y

a

x

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b



Trang 26

hình c hình d

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

6

5555 ...321

n

nSn

Tính .limnnS

Bài làm :

5

1

5555

.1

.......3211

n

i

n

n

n

nnnnS

n

i

n

Xét hàm số 1,05 xxf .

Ta lập phân hoạch đều trên 1,0 với các điểm chia :

1.....0 1210 nn xxxxx và chiều dài phân hoạch n

xxl ii

11

Chọn n

ixii ta có

5

11

1 .1

lim

n

i

nfxx

n

i

n

i

iiin

6

1limlim

1

0

5

0

dxxSSn

nl

n

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

nnnnn

Sn

1

......3

1

2

1

1

1

Tính .limnnS

Bài làm :



Trang 27

1

1.

1

1

1......

13

1

12

1

11

11

1

n

in

n

n

nnn

nS

n

i

n

Xét hàm số 1,01

1

xxf .

Ta lập phân hoạch đều trên 1,0 với các điểm chia :

1.....0 1210 nn xxxxx và chiều dài phân hoạch n

xxl ii

11

Chọn n

ixii ta có

1

1.

1lim

11

1

n

infxx

n

i

n

i

iiin

2ln1ln1

limlim1

0

1

00

xx

dxSS

nn

ln


Documents

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂNgiasutainangsaigon.com/download/tÀi_liỆu_mÔn_toÁn(2)/tài_liệu_toán_ltĐh/... · Gia sư Thành Được Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN