SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP

----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Đồng Hới, tháng 05 năm 2018

1. Phần mở đầu

1.1. Lý do chọn đề tài, sáng kiến, giải pháp:

Trong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về đa thức là một phần quan

trọng của toán học. Đa thức ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sức

hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải

chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải.

Trong các kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi, vô địch Quốc gia, Quốc tế và

Olympic sinh viên, bài đa thức thường ở mức độ khó. Toán đa thức rất phong

phú và đa dạng và cũng rất phức tạp nên khó phân loại và hệ thống hóa thành

các chuyên đề riêng biệt.

Các bài toán dãy số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh

mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.

Trong bài viết này tác giả cố gắng tối đa chọn lọc ra một số ứng dụng của

đa thức vào việc giải các bài toán đại số, số học, bất đẳng thức giúp học sinh tiếp

cận từng bước từng mức độ kiến thức và luyện tập giải toán.

1.2. Phạm vi áp dụng đề tài, sáng kiến, giải pháp: Đề tài có ứng dụng rộng

rãi đối với tất cả giáo viên, học sinh và trên nhiều kiến thức lien quan: đại số,

giải tích, số học, bất đẳng thức…

Tác giả hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh bổ sung kiến thức về

phần dãy số trong các kì thi học sinh giỏi và tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn

đọc.

2. Phần nội dung

2.1.Thực trạng của vấn đề mà đề tài, sáng kiến, giải pháp giải quyết

Đa thức được học từ lớp 7, 8 bổ sung dần dần đến lớp 12 và hoàn chỉnh ở

cấp Đại học. Hiện nay việc nghiên cứu đa thức ở bậc THPT còn hạn chế, bởi vì

kiến thức này thương được sử dụng trong các đề thi học sinh giỏi và ít giáo viên

viên dạy về phần này. Đề tài tập trung vào việc ứng dụng của đa thức vào việc

giải các bài toán đại số, số học và đánh giá nghiệm của đa thức.

2.2. Nội dung đề tài, sáng kiến, giải pháp

2.2.3. Định nghĩa và các phép toán

Định nghĩa đa thức

Cho hàm số . Ta gói là đa thức nếu (hằng số) hoặc tồn

tại và các số thực với sao cho

;

Các số gọi là các hệ số, được gọi là hệ số cao nhất,

được gọi là hệ số tự do

Đặc biệt khi thì đa thức được gọi là đa thức chuẩn tắc hay đa thức

mo-nic.

Với thì n là bậc của đa thức ký hiệu , đặc biệt

thì . Quy ước, với thì

Đa thức trên các tập số

Với K là một tập số, ký hiệu

Cho đa thức

Nếu các hệ số thì ký hiệu

Nếu các hệ số thì ký hiệu

Nếu các hệ số thì ký hiệu

Các phép toán

Cho và . Khi đó

Trong đó với quy ước cách viết hình thức

Từ đó, với thì và cũng là

các đa thức với hệ số thực, ngoài ra

Phép chia đa thức

Định lý 1.7.1 (Định lý cơ bản). Mọi đa thức bậc n có không quá n nghiệm

thực.

Từ đó, nếu và tại ít nhất n+1 điểm, thì

Định lý 1.7.2 (Định lý về phép chia với dư). Cho . Khi đó tồn tại

các đa thức sao cho

Trong đó

Đặc biệt, khi thì ta nói chia hết cho , ký hiệu

hay

Định lý 1.7.3 (Định lý Bezout). Nếu là nghiệm của đa thức thì

Từ đó suy ra với và a,b là hai số nguyên phân biệt thì

Định lý 1.7.4 (Sự phân tích tiêu chuẩn). Mọi đa thức với hệ số thực đều

có thể biểu diễn ở dạng

Trong đó

Hai đa thức bằng nhau

Cho hai đa thức và . Nếu tại ít nhất

giá trị phân biệt của x thì

2.2.4. Sử dụng đa thức trong việc giải các bài tập đại số

Ví dụ 1: Cho . Chứng minh rằng

Lời giải

W.L.O.G giả sử . Xét đa thức

ta có

Vì có 4 nghiệm nên có 3 nghiệm Ta có

Theo định lý Vi-ét, ta có

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 2: Cho thỏa mãn và

Chứng mỉnh rằng:

Lời giải. Đặt . Xét đa thức

Ta có . Suy ra

Do có ba nghiệm nên . Từ đó, để ý rằng

, nên . Do đó . Vậy

Ví dụ 3: Cho là các số thực thỏa mãn đẳng thức sau

Với . Tìm giá trị của biểu thức:

Lời giải. Xét đa thức

Dễ thấy và 1, 4, 9, 16, 25 là nghiệm cảu nên

Cho tìm được . Vậy

Từ đó, cho thu được

Hay

Ví dụ 4: Xét tất cả các tam thức bậc hai

,

Sao cho có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng (0, 1). Trong các tam

thức như thế tìm tam thức có hệ số nhỏ nhất.

Lời giải. Giả sử là một tam thức thỏa mãn. Gọi là 2

nghiệm của , theo giả thiết . Ta có

Vì (4.1)

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM

(4.2)

Từ (4.1), (4.2) suy ra

Mà nên 5. Nếu =5 thì

Ví dụ 5: Cho . Chứng minh rằng nếu phương trình

Có nghiệm thực thì phương trình

cũng có nghiệm thực.

Lời giải. Xét đa thức . Ta có

Khi đó

Do là nghiệm của nên . Suy ra

Suy ra

Từ đó, do hàm số liên tục trên nên phương trình có nghiệm

trong

Ví dụ 6: Cho và là hai đa thức bậc

hai với hệ số nguyên dương đều có nghiệm nhưng chúng không có nghiệm

dương. Với mỗi gọi Chứng minh rằng dãy bị chặn.

Lời giải. Đặt . Ta có

Nếu thì

Suy ra hoặc cùng vô nghiệm hoặc chúng có nghiệm giống nhau.

Trái với giả thiết.

Nếu thì do đó dãy bị chặn.

Nếu đặt . Khi đó

Nếu thì và suy

ra . Do đó chúng có nghiệm chung (vô lý)

Nếu thì suy ra bị chặn.

2.2.5. Sử dụng đa thức trong các bài tập số học

Ví dụ 1: Cho số tự nhiên lẻ P và các số nguyên thỏa mãn các điều

kiện và tổng đều chia hết cho P. Chứng minh

rằng cũng chia hết cho P.

Lời giải. Xét đa thức . Ta đặt

(4.3)

Với

Ta có P. Do P lẻ nên B P.

Trong (4.3), lần lượt thay bởi , rồi cộng các kết quả với nhau, để

ý rằng , ta được

P

(Do đều chia hết cho P). Suy ra vế trái

cũng chia hết cho P (đpcm).

Ví dụ 2: Cho thỏa mãn các đa thức

và có nghiệm chung. Chứng

minh rằng

Lời giải. Ta có . Giả sử là nghiệm chung

của 2 phương trình và . Khi đó

+ Nếu thì do (mod 3) nên

+ Nếu , thì do là nghiệm chung của và nên là

nghiệm của phương trình . Theo định lý về phép chia với số dư, ta có

(4.4)

trong đó . Trong (4.4), thay ta được

Từ đó, do và nên suy ra

và do đó suy ra

Ví dụ 2: Cho và là những số nguyên dương có tổng bằng ,

giả sử chia hết và . Chứng minh rằng là hợp

số.

Lời giải. Xét đa thức

Ta có

Suy ra

Mà nên không thể là số nguyên tố, do đó là

hợp số.

Ví dụ 3: Tồn tại hay không đa thức với nguyên thỏa mãn

và nhận giá trị chính phương tại 2010 điểm phân biệt.

Lời giải. Tồn tại đa thức bậc hai có tính chất như vậy. Thật vậy:

Xét , ta có

Giả sử tồn tại là các số

nguyên thỏa mãn

Suy ra

Chọn thỏa mãn là các số nguyên tố phân

biệt)

Xét hệ phương trình

Giải hệ, thu được thỏa mãn. Rõ ràng

Vậy tồn tại đa thức thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 4: Biết rằng các số nguyên dương và thỏa mãn đồng thời các

điều kiện sau:

(i)

(ii) số là một ước nguyên tố của số

Chứng minh rằng

Lời giải. Ta chứng minh bài toán bằng phản chứng. Giả sử ngược lại là

khi đó dễ thấy (do và ). Dễ dàng chứng minh được khi đó

.

Xét hàm số

Suy ra là một bội của .

Do nên chỉ có hai trường hợp sau xảy ra

+ Trường hợp 1. là bội của . Trong trường hợp này ta có

Nhưng, theo BĐT AM-GM, có Vô lý

+ Trường hợp 2. là bội của . Tương tự như trên, suy ra vô

lý.

Vậy

Chú ý: Khi và là số nguyên tố (chẳng hạn )

ta thấy bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với bất kỳ 3 số nguyên nào đó luôn tìm

được để cho số không là số chính phương.

Lời giải. Xét đa thức Ta cần chứng minh trong các đại

lượng phải có ít nhất 1 số không là số chính phương.

Giả sử trái lại, các số đều là số chính phương.

Ta có

(mod 4) (4.5)

(mod 4) (4.6)

Để ý rằng với mọi thì (mod 4), nên từ (4.5) và (4.6) suy ra

và là các số chẵn, do đó cùng chia hết cho 4. Suy ra

(Vô lý)

Vậy điều giả sử là sai, điều phải chứng minh.

Ví dụ 6:Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

Lời giải. Xét đa thức Gọi là nghiệm của

hệ, và giả sử đôi một phân biệt. Khi đó

Nhân ba phương trình với nhau, được:

Nếu thì (vô lý)

Nếu trong có 2 số bằng -1 và 1 số bằng 1, giả sử .

Khi đó

(vô lý)

Vậy, nếu hệ có nghiệm, thì . Thay vào hệ đã cho, được

Vậy hệ có 2 nghiệm

Bài tập tương tự

1. Cho chứng minh rằng

2. Chứng minh rằng

3. Tìm để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

thỏa mãn

4. Cho phương trình Chứng minh rằng phương trình có 3

nghiệm phân biệt giả sử . Chứng minh rằng và

5. Cho đa thức có nghiệm nguyên không âm. Tìm giá

trị lớn nhất của thỏa mãn .

6. Phương trình có 1 nghiệm

7. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm

thực.

8. Cho sao cho Chứng minh rằng tồn tại

sao cho không là số chính phương.

9. Cho sao cho Chứng minh rằng tồn tại vô số

sao cho

10. Cho và các số nguyên thỏa mãn

Chứng minh rằng

11. Cho và đa thức Giả sử

Chứng minh rằng có vô số cặp số nguyên dương

thỏa mãn và Tìm cặp nhỏ nhất.

2.2.5. Sử dụng đa thức trong các bài tập bất đẳng thức

Ví dụ 1: Giả sử phương trình có ba nghiệm thực không

âm (không nhất thiết phải phân biệt). Chứng minh rằng .

Lời giải. Gọi ba nghiệm của phương trình là . Theo định lý Viete ta

có:

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có . Từ đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , khi đó .

Ta cũng có thể giải như sau: Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc

Và định lý Viete ta suy ra:

Ví dụ 2: Giả sử với hai số dương thì phương trình có

ba nghiệm lớn hơn 1. Xác định để biểu thức , với là số nguyên

dương cho trước, đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải. Gọi ba nghiệm của phương trình là . Theo định lý Viete ta

có:

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:

Theo bất đẳng thức , ta có:

Vậy nên

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , khi đó phương trình

có ba nghiệm trùng nhau và đều bằng .

Vậy khi .

Ví dụ 3: Giả sử là ba số thực sao cho phương trình

có ba nghiệm thực (các nghiệm không nhất thiết đôi một

phân biệt). Chứng minh rằng:

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

(1)

Gọi ba nghiệm của phương trình là . Theo định lý Viete ta có:

Và

Do đó:

(2)

Xét các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: . Khi đó bất đẳng thức (2) hiển nhiên

đúng.

+ Trường hợp 2: . Không mất tính tổng quát, giả sử:

Khi đó:

(3)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky ta có:

(4)

Từ (*) và (**) suy ra . Do đó .

Vì vậy từ (4) ta có:

Suy ra:

Bất đẳng thức (3) được chứng minh, chứng tỏ bất đẳng thức đã cho được

chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Đẳng thức ở (1) xảy ra khi và chỉ khi là một hoán vị của

, trong đó t là một số thực không âm.

Ví dụ 4: Cho phương trình với , . Chứng

minh rằng nếu phương trình có ba nghiệm đều không nhỏ hơn 1 thì:

.

Lời giải. Gọi ba nghiệm của phương trình đã cho là . Áp dụng

định lý Viete ta có:

.

Do nên tồn tại một tam giác ABC sao cho:

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Ta có:

.

Đặt vì .

Xét hàm số:

Ta có:

.

Suy ra . Điều phải chứng minh.

Ví dụ 5: Cho phương trình có các hệ số

. Giả sử phương trình trên có bốn nghiệm.

Chứng minh bất đẳng thức: .

Lời giải. Đặt . Gọi là bốn

nghiệm của . Do không âm nên nghiệm của là các số âm, suy

ra .

Ta có suy ra:

.

Mặt khác: , suy ra:

.

Ví dụ 6: Cho phương trình có năm nghiệm

thực phân biệt. chứng minh rằng:

.

Lời giải. Theo giả thiết có năm

nghiệm thực phân biệt và do hạng tử tự do khác không nên năm nghiệm đa đều

khác không.

Ta có:

Do có năm nghiệm thực phân biệt nên có hai nghiệm thực

phân biệt, vì vậy ta có:

(1)

Khi đó cũng có năm nghiệm phân biệt.

Tương tự như trên ta cũng có:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Nhận xét. Qua các bài toán trên, chúng ta thấy công cụ cơ bản để giải quyết

bài toán là định lý Viete, bất đẳng thức AM-GM, Bunhyakovski, công cụ lượng

giác, khảo sát hàm số. Hy vọng với việc phân tích các tình huống như đã nêu sẽ

giúp các bạn có kỹ năng giải các bài toán này và bản thân các bạn cũng có thể

sáng tạo được các bài toán tương tự.

Bài tập tự luện

1. Biết phương trình có ba nghiệm số dương

.Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

2. Giả sử phương trình có ba nghiệm

.Chứng minh rằng:

3. Xét các số thực sao cho phương trình có ba

nghiệm thực dương (các nghiệm có thể bằng nhau). Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: (VMO – 1999)

4. Gọi là ba nghiệm thực của phương trình

.

Chứng minh rằng:

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

5. Chứng minh rằng nếu là nghiệm của phương trình

thì

6. Cho phương trình có nghiệm. Chứng minh

rằng:

7. Giả sử phương trình có nghiệm. Chứng minh

rằng: .

8. Giả sử phương trình có ba nghiệm thực dương và

. Chứng minh bất đẳng thức

(China Girls’ Mathematics Olympiad 2009)

9. Giả sử phương trình có các

nghiệm thực . Cho . Chứng minh bất đẳng

thức:

Trong đó: .

10. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình

đều là số thực thì .

11. Giả sử phương trình có 2008

nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng .

Tóm tắt nội dung: Trong toán học bất đẳng thức và phương trình là hai

phần cơ bản và trung tâm của đại số sơ cấp. Việc sử dụng bất đẳng để giải

phương trình đã được đề cập rất nhiều trong các tài liệu và sách báo. Trong bài

viết này, chúng ta sẽ nói đến một tình huống căn bản khác. Đó là chứng minh

các bất đẳng thức về nghiệm cũng như hệ số của phương trình bậc cao. Loại bài

toán này thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi và gây không ít khó

khăn cho các thí sinh. Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau.

1.8. Xây dựng một số dạng phương trình hàm cơ bản

1.8.1. Mở đầu

Phương trình hàm là một mảng khá quan trọng trong chương trình phổ

thông chuyên Toán và cũng là bài toán thường gặp trong các kỳ thi Olympiad

Toán các cấp. Bài toán về phương trình hàm luôn là một bài toán hay và khó.

Nhiều khi, chỉ từ một hằng đẳng thức quen thuộc hay từ đặc trưng của một hàm

số sơ cấp nào đó, mà chúng ta có được một phương trình hay và nói chung là rất khó.

Để giải các bài toán về phương trình hàm, đòi hỏi học sinh phải có kiến

thức tổng hợp về hàm số, nắm vững phương pháp giải của các dạng phương

trình hàm cơ bản. Đây là một vấn đề khó khăn đối với không ít học sinh.

Hiện nay những tài liệu, cuốc sách chuyên khảo về phương trình hàm

không nhiều, điều đó gây khó khăn không nhỏ cho không chỉ học sinh mà thậm

chí cả giáo viên dạy toán ở các trường chuyên. Trong bài viết này, chúng tôi xin

mạnh dạn trao đổi với các thầy cô đồng nghiệp, các em học sinh về việc xây

dựng một số dạng phương trình hàm cơ bản cùng phương pháp giải của chúng.

Các ký hiệu

Tập hợp các số tự nhiên

Tập hợp các số nguyên

Tập hợp các số hữu tỷ

Tập hợp các số thực

Tập hợp các số nguyên dương

Tập hợp các số hữu tỷ dương

Tập hợp các số thực dương

Tập hợp các số nguyên không âm

Tập hợp các số hữu tỷ không âm

Tập hợp các số thực không âm

Tập hợp các số nguyên âm

Tập hợp các số hữu tỷ âm

Tập hợp các số thực âm

Tập hợp các đa thức với hệ số thuộc

Hệ số lũy thừa cao nhất của đa thức

Bậc của đa thức

Lũy thừa bậc của hàm số

n thừa số

Hợp thành của hàm số

n lần

1.8.2. Xây dựng bài toán phương trình hàm nhờ đặc trưng nghiệm của đa

thức

Kiến thức cơ sở.

Định nghĩa 1.8.1. Số (thực hoặc phức) được gọi là nghiệm của đa thức

nếu

Định lý 1.8.1. (Bezout) Cho Số (thực hoặc phức) là nghiệm

của khi và chỉ khi

Trước hết, chúng ta xét bài toán sau

Ví dụ 1.8.1. Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn

Lời giải.

Bước 1. Tìm các nghiệm của đa thức.

Phương trình đã cho tương đương với

Cho ta được suy ra là nghiệm của

Cho ta được suy ra là nghiệm của

Cho ta được suy ra là nghiệm của

Cho ta được suy ra là nghiệm của

Vậy, đặt với

Bước 2. Thay vào phương trình hàm đã cho tìm

Thay vào phương trình đã cho ta được

Suy ra

Đặt khi đó ta có

hằng số, vậy

Và vì vậy

Thử lại,....

Bằng cách làm như vậy, chúng ta có thể xây dựng được hàng loạt các bài

tập tương tự. Chẳng hạn

Xét ta có

Do đó ta có đẳng thức

Và thu được bài toán sau

Bài tập 1.8.2. Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

Xét đa thức ta có

Do đó ta có đẳng thức

Và thu được bài toán sau

Bài tập 1.8.3. Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

1.8.3. Xây dựng bài toán phương trình hàm nhờ đặc trưng nghiệm của

đa thức và so sánh bậc

Kiến thức cơ sở:

Trong mục này chúng ta xét bài toán: Tìm tất cả các đa thức thỏa

mãn

(1)

Trong đó là đa thức cho trước thỏa mãn

Nghiệm của phương trình hàm (1) có nhiều tính chất đặc biệt giúp chúng ta

có thể xây dựng được tất cả các nghiệm của nó từ các nghiệm bậc nhỏ hơn.

Tính chất 1.Nếu là hai nghiệm của phương trình hàm (1) thì

cũng là nghiệm của (1).

Chứng minh. Với mọi số thực ta đều có

Suy ra điều phải chứng minh.

Từ tính chất 1 suy ra: Nếu là nghiệm của phương trình hàm (1) thì

cũng là nghiệm của (1).

Định lý 1.8.2. Nếu là các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện

Và thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

(i)

(ii) và

Khi đó với mọi số nguyên dương tồn tại nhiều nhất một đa thức có

bậc và thỏa mãn phương trình (1)

Chứng minh

Giả sử là đa thức bậc thỏa mãn phương trình (1), đặt

So sánh hệ số cao nhất hai vế của các đa thức trong phương trình

Ta có từ đó suy ra

Như vậy, nếu giả sử ngược lại, tồn tại một đa thức bậc (khác ) cũng

thỏa mãn phương trình (1) thì và ta có

với

(ta quy ước bậc của đa thức đồng nhất 0 bằng , do đó đồng

nghĩa )/

Thay vào phương trình (1), ta được

(2)

Bây giờ ta xét trường hợp

Trường hợp 1. . Giả sử . Khi đó bậc của các đa thức ở

vế trái (2) lần lượt là và do nên vế

trái có bậc là và có thể xảy ra sự triệt tiêu khi thực hiện phép

cộng. Tuy nhiên, xét hệ số cao nhất của hai đa thức này, ta có hệ số của

trong đa thức thứ nhất và thứ hai lần lượt bằng

Như thế, bậc của trong tổng hai đa thức bằng