Embed Size (px)
Citation preview
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 79
Chöông 5
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN
VAØ RIEÂNG PHAÀN
Từ chương này ta khảo sát quy hoạch thực nghiệm nhiều nhân tố. Nội
dung chủ yếu chọn phương pháp quy hoạch thực nghiệm là trả lời cho câu
hỏi: ở các mức giá trị nào và sự kết hợp như thế nào giữa các nhân tố trong
thực nghiệm.
Thực nghiệm mà khi đó số mức thay đổi của tất cả các nhân tố như
nhau, và tất cả sự tổ hợp này đều được sử dụng để nghiên cứu gọi là thực
nghiệm nhân tố toàn phần (TNT).
Nếu số mức thay đổi nhân tố là 2, và số nhân tố là k thì số thực
nghiệm phải thực hiện là N = 2k. Theo kết quả TNT 2k ta có thể nhận được
phương trình hồi quy tuyến tính:
y = bo + b1x1 + b2x2 + ... + bkxk (5.1)
Phương trình này có thể bổ sung thêm các thành phần là tích các nhân
tố. TNT được sử dụng rộng rãi trong giai đoạn đầu tiên nghiên cứu thực
nghiệm đối tượng: xác định xem nhân tố nào ảnh hưởng nhiều nhất đến đối
tượng nghiên cứu (chương 7).
Thực nghiệm nhân tố riêng phần (TNR) cho phép ta giảm bớt số thực
nghiệm so với TNT trong trường hợp PTHQ có số hệ số nhỏ hơn rất nhiều
so với tổng số thực nghiệm N = 2k.
5.1 QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN
Trong lý thuyết QHTN thì thực nghiệm nhân tố toàn phần (TNT) có
rất nhiều ưu điểm so với các dạng quy hoạch khác:
- Ước lượng độc lập các hệ số phương trình hồi quy
- Phương sai chính là nhỏ nhất
- Đơn giản xử lý kết quả thực nghiệm
80 CHÖÔNG 5
Các ưu điểm này là do một số tính chất đặc biệt của ma trận thực nghiệm.
No xo x1 x2 x1
2 x22 x1x2
y x1y
x2y y
1 1 -1 -1 1 1 1 9 -9 -9 8,7
2 1 0 -1 0 1 0 5,5 0 -5,5 5,85
3 1 +1 -1 1 1 -1 3 3 -3 2,95
4 1 -1 +1 1 1 -1 7,5 -7,5 7,5 7,44
5 1 0 +1 0 1 0 4,2 0 4,2 4,57
6 1 +1 +1 1 1 1 2 2 2 1,69
Tổng 6 0 0 4 6 0 31,2 -11,5 -3,8
No xo x1 x2 x1
2 x22 x1x2
y x1y
x2y y
1 1 -1 -1 1 1 1 9 -9 -9 8,7
3 1 +1 -1 1 1 -1 3 3 -3 2,95
4 1 -1 +1 1 1 -1 7,5 -7,5 7,5 7,44
6 1 +1 +1 1 1 1 2 2 2 1,69
Tổng 6 0 0 4 6 0 31,2 -11,5 -3,8
Từ đây 21
x63,0x875,22,5y
Theo bài 3.3 y = 5,375 – 2,875x1 – 0,625x2
Ma trận thực nghiệm TNT 2k với các nhân tố được mã hóa có các đặc
tính sau:
1- Tính đối xứng với tâm quy hoạch. Tổng đại số các phần tử cột của
bất kỳ nhân tố nào cũng đều bằng 0.
0
1
N
j
ijx (5.2)
trong đó: xij - giá trị nhân tố i trong thực nghiệm thứ j; i = 1, 2... k; j = 1, 2... N
N- số thực nghiệm trong quy hoạch.
2- Tính chuẩn hóa. Tổng bình phương các phần tử cột của một nhân
tố bất kỳ bằng số thực nghiệm N:
kiNx
N
j
ij...2,1;
1
2
(5.3)
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 81
3- Tính trực giao. Tổng của tích 2 cột bất kỳ trong ma trận quy hoạch
bằng 0. Ví dụ trong trường hợp thực nghiệm nhân tố toàn phần:
k...2,1u,i;ui;0xx
N
1j
ujij
là số các nhân tố (5.4)
Ma trận quy hoạch có tính chất 3 gọi là ma trận trực giao. Tất cả các
tính chất này đều có thể kiểm tra theo bảng 5.2, 5.3.
Ý tưởng xây dựng TNT 2k đơn giản nhất cho trường hợp 2 nhân tố
X1 và X2. Cần chú ý:
- Nhà nghiên cứu cần chọn miền giá trị các nhân tố. Giả sử đối với
nhân tố X1 ta chọn miền X1min X1 X1max và đối với nhân tố X2:
X2min X2 X2max.
- Trong TNT 2k mỗi nhân tố đều thay đổi ở 2 mức – mức cao nhất và
thấp nhất.
- Kết hợp tất cả giá trị có thể của các mức này giữa các nhân tố: khi
đó đối với số nhân tố bất kỳ là k thì số thực nghiệm trong TNT là
2k. Nghĩa là nếu có 2 nhân tố thì số thực nghiệm là 22 = 4.
Ma trận quy hoạch cho trường hợp 2 nhân tố cho trong bảng 5.1.
Bảng 5.1 TNT với 2 nhân tố
No Giá trị nhân tố tự nhiên
Giá trị đại lượng đầu ra X1 X2
1
2
3
4
X1min
X1max
X1min
X1max
X2min
X2min
X2max
X2max
y1
y2
y3
y4
82 CHÖÔNG 5
Bảng 5.2 TNT với 2 nhân tố dạng mã hóa
No Nhân tố thực Nhân tố mã hóa Giá trị đại
lượng đầu ra z1 z2 x1 x2
1
2
3
4
½
3/2
½
3/2
1
1
2
2
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
y1
y2
y3
y4
Tương tự ta xây dựng được ma trận thực nghiệm cho nhiều nhân tố.
Để việc xử lý kết quả 1 được thuận tiện hơn thì các nhân tố này nên được
mã hóa.
Ma trận TNT với 2 nhân tố (quy hoạch 22) trong ký hiệu được mã hóa
trình bày trong bảng 5.2.
Đối với TNT với 3 nhân tố, ký hiệu 23, ma trận quy hoạch cho trong
bảng 5.3.
Bảng 5.3 TNT với 3 nhân tố dạng mã hóa
No Nhân tố Giá trị đại
lượng đầu ra x0 x1 x2 x3
1
2
3
4
5
6
7
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
Ma trận 5.1 – 5.3 chỉ ra điều kiện tiến hành thí nghiệm. Trình tự tiến
hành thí nghiệm, không nhất thiết phải theo thứ tự trên mà theo thuận tiện
chọn giá trị các nhân tố.
Tồn tại vài phương pháp xây dựng TNT, như trên bảng 5.2 và 5.3 thì
cột đầu tiên số mức -1 và +1 nối tiếp nhau 20, cột thứ 2 từ phải số mức -1
và +1 lần lượt là 21, và cột cuối cùng là 2k-1.
Ta biểu diễn miền thay đổi các nhân tố dưới dạng hình học (hình 5.1
và 5.2).
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 83
Giả sử ta tiến hành thí nghiệm với hai nhân tố thay đổi X1, X2 và miền
thay đổi các nhân tố này là:
X1min X1 X1max; X2min X2 X2max
Mặt phẳng nhân tố là mặt phẳng hệ trục tọa độ với trục hoành là nhân
tố X1, trục tung là nhân tố X2 (H.5.1, 5.2a).
Hình 5.1 Chọn miền thay đổi các nhân tố
84 CHÖÔNG 5
Ví dụ, khi mieàn thay ñoåi giaù trò thöïc Xi:
maxiimini XXX
với Ximax goïi laø giôùi haïn treân nhaân toá; Ximin goïi laø giôùi haïn döôùi nhaân toá
Möùc giöõa nhaân toá goïi laø )o(
iX hoaëc goïi laø möùc cô sôû:
2
XXX
maximini)o(
i
Hieäu mini
)o(
i
)o(
imaxiiXXXX goïi laø khoaûng thay ñoåi nhaân
toá Xi.
Giaù trò nhaân toá maõ hoùa ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc:
i
)o(
ii
i
XXx
vôùi: Xi - giaù trò thaät
xi - giaù trò maõ hoùa Xi, khi ñoù xi coù caùc giaù trò +1, 0 vaø -1.
Hình 5.2 Miền giá trị các nhân tố
a) Dạng tự nhiên; b) Mã hóa
Tập hợp các điểm nằm trong hình chữ nhật 1234 gọi là miền thay đổi
các nhân tố (hình 5.2a). Khi chuyển sang nhân tố được mã hóa, chúng thay
đổi trong miền sau:
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 85
-1 xi +1 với i = 1,2
Khi đó miền thay đổi các nhân tố nằm trong hình vuông 1234 (hình 5.2b).
Các điểm trên các đỉnh hình 5.2a tương ứng với ma trận thực nghiệm
(bảng 5.1), các điểm trên các đỉnh hình vuông 5.2b tương ứng với ma trận
thực nghiệm bảng 5.2.
Bài tập 5.1 Mã hóa các nhân tố và hoàn chỉnh bảng kết quả
3 Nhân tố
NO
Giá trị nhân tố Giá trị mã hóa
(Ma trận quy hoạch)
Kết quả tính
t, oC
(X1)
, min
(X2)
, pH
(X3)
x0 x1
x2
x3
_
jy 2
js
1
2
3
4
5
6
7
8
20
60
20
60
20
60
20
60
0
0
60
60
0
0
60
60
4,5
4,5
4,5
4,5
5,2
5,2
5,2
5,2
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
40,2
44,2
52,7
49,2
32,9
37,4
45,2
53,5
1,325
1,075
0,45
2,2
2,05
1,175
2,075
0,875
2 Nhân tố
NO
Giá trị nhân tố Giá trị mã hóa
(Ma trận quy hoạch)
Kết quả tính
t, oC
(X1)
, min
(X2)
x0 x1
x2
yj 2
js
1
2
3
4
20
60
20
60
0
0
60
60
+1
+1
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
40,2
44,2
52,7
49,2
1,325
1,075
0,45
2,2
Dạng tổng quát
No Giá trị nhân tố Kết quả thí
nghiệm xo x1 x2 ... xk
1 x01 x11 x21 ... xk1 y1
2 x02 x12 x22 ... xk2 y2
3 x03 x13 x23 ... xk3 y3
86 CHÖÔNG 5
N x0N x1N x2N ... xkN yN
Biểu diễn hình học TNT 3 nhân tố dạng khối chữ nhật (hình 5.3), các đỉnh
khối chữ nhật tương ứng các mức thực nghiệm, nếu ở dạng mã hóa thì là các
đỉnh của khối vuông. Khi số nhân tố k > 3 thì biểu diễn hình học rất bổ ích
dễ hình dung nhưng khó khăn khi thể hiện chúng trên giấy.
Hình 5.3 Biểu diễn hình học 3 nhân tố
Sự phụ thuộc đáp ứng vào các nhân tố thay đổi được cho bằng phương
trình hồi quy được gọi là hàm đáp ứng. Biểu diễn hình học của hàm đáp ứng
là bề mặt đáp ứng. Ví dụ để biểu diễn mô hình tuyến tính y = bo + b1x1 + b2x2
ta cần khảo sát không gian 3 chiều với các trục tọa độ x1, x2 và y.
5.2 TÍNH TOAÙN HEÄ SOÁ HOÀI QUY
Để xác định các hệ số phương trình hồi quy của TNT ta sử dụng
phương pháp bình phương nhỏ nhất. Sử dụng phương pháp này ta phải giải
hệ phương trình với p ẩn số (p là số hệ số phương trình hồi quy).
Tính chất từ 1-3 (công thức 5.2, 5.3, 5.4) của TNT giúp cho việc xác
định các hệ số phương trình hồi quy trở thành dễ dàng hơn. Đầu tiên ta tìm
các hệ số phương trình hồi quy được viết dưới dạng mã hóa:
y = bo + b1x1 + b2x2 + ... + bkxk (5.5)
Sử dụng công thức (3.40) theo phương pháp ma trận ta xác định công
thức để xác định các hệ số tuyến tính phương trình hồi quy b1, b2, ... bk có
dạng:
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 87
N
yx
N
yx...yxyxb
N
1j
jij
NiN22i11i
i
(5.6)
với i =1, 2, ... k
Ví dụ 5.1 Khảo sát sự phụ thuộc đại lượng y (cm2/s) vào 3 nhân tố: d(cm),
l(cm) và v(m/s). Các giá trị nhân tố dạng tự nhiên và mã hoá và kết quả thực
nghiệm cho trong bảng 5.4 và 5.5.
Bảng 5.4 Ma trận thực nghiệm với nhân tố tự nhiên
No d, cm l, cm v, m/s y, cm2/s
1
2
3
4
5
6
7
8
30,5
53
30,5
53
30,5
53
30,5
53
48
48
66
66
48
48
66
66
11,5
11,5
11,5
11,5
15,5
15,5
15,5
15,5
24,0
42,2
33,8
41,4
57,8
51,0
51,7
54,6
Bảng 5.5 Ma trận thực nghiệm với nhân tố mã hóa
No xo x1 x2 x3 y
1
2
3
4
5
6
7
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
24,0
42,2
33,8
41,4
57,8
51,0
51,7
54,6
Giải : Theo công thức (5.6) ta xác định các hệ số:
8
oj j1
o
x y
b8
8
oj j1
o
x y24 42,2 33,8 41,4 57,8 51,0 51,7 54,6
b8 8
88 CHÖÔNG 5
8
1j j1
1
x y24 42,2 33,8 41,4 57,8 51,0 51,7 54,6
b8 8
8
2j j1
2
x y24 42,2 33,8 41,4 57,8 51,0 51,7 54,6
b8 8
8
3j j1
3
x y24 42,2 33,8 41,4 57,8 51,0 51,7 54,6
b8 8
Thu được các kết quả sau:
bo = 44,56; b1 = 2,74; b2 = 0,8125; b3 = 9,2125
Từ đây suy ra:
y = 44,56+ 2,74x1 + 0,8125x2 + 9,2125x3
Chuyển sang dạng thực bằng cách thay thế:
11
22
33
X 41,75x
12,25
X 57x
9
X 13,5x
2
Phương trình tổng quát có dạng:
5.3 TÍNH TÖÔNG TAÙC CAÙC NHAÂN TOÁ THEO KEÁT QUAÛ TNT 2k
Trong nhiều trường hợp mức độ ảnh hưởng một nhân tố phụ thuộc vào
mức giá trị nhân tố khác.
TNT 2k cho phép ngoài các hệ số tuyến tính hồi quy ta cần ước lượng
tất cả tương tác giữa các nhân tố.
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 89
Đầu tiên ta khảo sát trường hợp với 2 nhân tố: chỉ có 1 cặp tác dụng
lẫn nhau duy nhất giữa hai nhân tố x1, x2. Hệ số b12 khi đó có thể đánh giá
theo kết quả TNT. Như thế phương trình hồi quy có dạng:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 (5.7)
Như thế trong mô hình trên số hệ số p = 4 và nó bằng với số thí
nghiệm N = 4. Do đó phương trình (5.7) gọi là phương án bão hòa (đầy đủ).
Đánh giá tương tác các nhân tố bằng tính chất của ma trận hàm cơ sở
TNT. Ta lập ma trận thực nghiệm với TNT 22 trong các ký hiệu được mã
hóa (bảng 5.6).
Bảng 5.6 Ma trận thực nghiệm
No Nhân tố và tương tác đôi
y xo x1 x2 x1x2
1
2
3
4
+1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
–1
+1
y1
y2
y3
y4
Ma trận trong bảng 5.6 có các tính chất 5.1 – 5.3, từ đó cho phép ước
lượng hệ số tương tác b12. Để tính chúng ta sử dụng cột x1x2 trong bảng 5.6.
N
1j 2 j j
j 1
12
x x y
b4
(5.8)
Đối với quy hoạch trong bảng 5.6 thì b12 xác định theo công thức:
1 2 3 412
y y y yb
4
Trong trường hợp tổng quát (quy hoạch 2k, hệ số biu xét đến tương tác
nhân tố xi, xu):
N
yxx
b
N
1j
jujij
iu
(5.9)
Đối với thực nghiệm 3 nhân tố, ngoài 3 hệ số tương tác kép x1x2, x1x3,
x2x3 ta còn tương tác 3 nhân tố x1x2x3, nó gọi là tương tác bậc 2. Mô hình
khi đó có dạng:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123 x1x2x3 (5.10)
90 CHÖÔNG 5
Vì p = N, nên mô hình trên là bão hòa. Để tìm giá trị hệ số b123 ta sử
dụng cột x1x2x3 trên ma trận quy hoạch (bảng 5.7).
Trong trường hợp tổng quát có k nhân tố, số tương tác đôi (bậc 1)
được xác định theo công thức:
2
)1k(kC
2
k
(5.11)
- Số tương tác 3 (bậc 2)
3.2
)2k)(1k(kC
3
k
(5.12)
- Số tương tác k (bậc k-1):
1
!k!0
!kC
k
k , tổng quát:
)!nk(!n
!kC
n
k
(5.13)
Tổng số hệ số:
p = k + 1 + k
k
3
k
2
kC...CC (5.14)
Công thức xác định các hệ số tương tác tương tự công thức 5.9.
Ví dụ 5.2 Với các số liệu như ví dụ 5.1. Khảo sát sự phụ thuộc đại lượng y
(cm2/s) vào 3 nhân tố: d (cm), l (cm) và v (m/s) nếu kể đến tương tác bậc 1
và 2.
Giải:
Trong ví dụ 5.1 nếu kể đến tương tác bậc 1 và 2 ta có bảng ma trân
quy hoạch thực nghiệm sau:
Bảng 5.7
N xo Nhân tố
Tương tác
bậc 1
Tương tác
bậc 2 Kết quả
Y x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3
1
2
3
4
5
6
7
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
–1
+1
+1
–1
+1
–1
–1
24,0
42,2
33,8
41,4
57,8
51,0
51,7
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 91
8 +1 +1 +1 +1 +1 –1 +1 +1 54,6
Theo công thức (5.9) ta suy ra các hệ số tương tác bậc 1 và 2: b13 = -
3,71; b23 = -1,44; b123 = 2,54
Khi đó phương trình hồi quy có dạng:
y = 44,56 + 2,74x1 + 0,81x2 + 9,21x3 – 0,11x1x2 – 3,71x1x3 – 1,44x2x3 + 2,54x1x2x3
5.4 PHAÂN TÍCH THOÁNG KEÂ MOÂ HÌNH HOÀI QUY THU ÑÖÔÏC THEO TNT
Tính chất 5.1 – 5.3 (công thức 5.2 – 5.5) ma trận TNT làm đơn giản
không chỉ tính toán hệ số phương trình hồi quy, mà còn phân tích thống kê
mô hình hồi quy.
Ma trận (XTX)-1 là ma trận đường chéo. Theo kết quả thì tất cả
covarian giữa các hệ số hồi quy bằng 0 (tính trực giao). Do đó, các hệ số
phương trình hồi quy độc lập và không cần tính lại các hệ số phương trình
hồi quy khi loại bỏ các hệ số không ý nghĩa. Ngoài ra, phương sai của tất cả
hệ số phương trình hồi quy bằng nhau và xác định theo công thức:
a) Khi số thí nghiệm lặp n bằng nhau:
22
i
s {y}s {b }
nN (5.15)
Do đó: }y{sc}b{s2
iii
2
trong đó: s2{y} - ước lượng phương sai tái hiện
N - số thực nghiệm chính.
b) Khi không có số thí nghiệm lặp:
N
}y{s}b{s
2
i
2 (5.16)
Khi số thí nghiệm lặp n bằng nhau vẫn giữ các tính chất (5.2) – (5.4)
của ma trận quy hoạch và có tất cả ưu điểm của TNT. Công thức tính các hệ
số vẫn đúng trong trường hợp giá trị đáp ứng thu được lấy theo giá trị trung
bình các thí nghiệm lặp y .
92 CHÖÔNG 5
Khi số thí nghiệm lặp không bằng nhau sẽ vi phạm tính trực giao quy
hoạch. Khi đó ta không thể sử dụng các công thức cho TNT để tính các hệ
số. Để tính các hệ số cần sử dụng phương trình tổng quát.
Để ước lượng ý nghĩa của hệ số phương trình hồi quy ta sử dụng tiêu
chuẩn Student:
}b{stbibi
(5.17)
Khi loại bỏ các hệ số không ý nghĩa ta không cần tính lại các hệ số
phương trình hồi quy.
Kiểm tra tính thích hợp phương trình hồi quy cũng tương tự trường
hợp tổng quát.
Ví dụ 5.0. Sử dụng TNT để xác định sự phụ thuộc giữa giới hạn bền loại vật
liệu vào độ ẩm W và nhiệt độ t. Kết quả thực nghiệm lấy từ bảng 3.4
Giải
Bảng ma trận quy hoạch và kết quả thực nghiệm:
No xo x1 x2 y y
1 1 -1 -1 9
2 1 +1 -1 3
3 1 -1 +1 7,5
4 1 +1 +1 2
Xác định các hệ số:
b0 = (9+3+7,5+2)/4 = 5,375
b1 = (-9+3-7,5+2)/4 = -2,875
b2 = (-9-3+7,5+2)/4 = -0,625
Từ đây y = 5,375 – 2,875x1-0,625
Ví dụ 5.3 Nghiên cứu ảnh hưởng nhiệt độ 20 toC 60, thời gian 0 ph t
60 ph và độ pH: 4,5 pH 5,2 khi thủy phân đến độ bền uốn một loại vật
liệu .
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 93
Giải
1- Giá trị các nhân tố cho trong bảng 5.8.
Bảng 5.8
Nhân tố Mức nhân tố
Khoảng
thay đổi Tên
Ký hiệu
Tự
nhiên
Mã
hóa
Cao
nhất Thấp nhất Cơ sở
Nhiệt độ oC
Thời gian, ph
Độ pH
t
x1
x2
x3
60
60
5,2
20
0
4,5
40
30
4,85
20
30
0,35
2- Sử dụng phương trình hồi quy tuyến tính đầy đủ
3- Quan hệ giữa nhân tố được mã hóa và tự nhiên:
20
40tx1
;
30
30x2
;
35,0
85,4x3
4- Ma trận quy hoạch và kết quả thực nghiệm cho trong bảng 5.9. Mỗi
thực nghiệm lặp lại 5 lần.
Bảng 5.9
N
Nhân tố Kết quả thực nghiệm , MPa Kết quả tính toán
t, oC ,
min , pH yj1 yj2 yj3 yj4 yj5
_
jy
2js jy
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
20
+60
20
+60
20
+60
20
+60
0
0
+60
+60
0
0
+60
+60
4,5
4,5
4,5
4,5
+5,2
+5,2
+5,2
+5,2
39
46
53
47
32
38
43
55
41,5
44
53,5
50
31
37
45
52,5
40,5
43,5
53
49
34
39
46,5
53,5
41
43,5
53
49
34
39
46,5
53,5
39
44
52
51
53
36,5
45
53
40,2
44,2
52,7
49,2
32,9
37,4
45,2
53,5
1,325
1,075
0,45
2,2
2,05
1,175
2,075
0,875
40,65
43,7
52,23
49,65
33,35
36,93
44,73
53,95
STT
X0
Nhân tố Kết quả thực nghiệm , MPa Kết quả tính toán
x1 x2 x3 yj1 yj2 yj3 yj4 yj5
_
jy
2js jy
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
94 CHÖÔNG 5
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
39
46
53
47
32
38
43
55
41,5
44
53,5
50
31
37
45
52,5
40,5
43,5
53
49
34
39
46,5
53,5
41
43,5
53
49
34
39
46,5
53,5
39
44
52
51
53
36,5
45
53
40,2
44,2
52,7
49,2
32,9
37,4
45,2
53,5
1,325
1,075
0,45
2,2
2,05
1,175
2,075
0,875
40,65
43,7
52,23
49,65
33,35
36,93
44,73
53,95
5- Để kiểm tra giả thuyết về phân phối chuẩn của đại lượng đầu ra ta tiến
hành riêng 50 thí nghiệm với điều kiện:
t = 20%; = 0ph; = 5,2pH
Tính chất chuẩn của phân bố kiểm tra theo tiêu chuẩn 2 . Giả sử
55,32
t nhỏ hơn giá trị tra bảng 99,5
2
b (khi q = 0,05). Do đó giả
thuyết này được chấp nhận.
Trên cơ sở số thực nghiệm trên ta cũng xác định số thí nghiệm lặp là n = 5.
6- Thực nghiệm chính. Ma trận thực nghiệm với 3 nhân tố x1, x2, x3
trình bày trên bảng 5.7. Các giá trị tự nhiên cho trong bảng 5.8 và kết quả
thực nghiệm cho trong bảng 5.9. Trong cột 10 là giá trị trung bình đáp ứng,
tính theo giá trị trung bình các thí nghiệm lặp:
5
juu 1
1
y
y , j 1,2...85
Ở đây yju - giá trị đáp ứng trong thí nghiệm lặp thứ u của thực nghiệm
thứ j, u = 1, 2… 5.
7. Cột thứ 11 là kết quả tính toán phương sai mỗi thực nghiệm (với 5
thí nghiệm lặp):
5
2
ju j
2 u 1
j
y y
s
4
, j = 1, 2, 3... 8
8. Kiểm tra tính đồng nhất phương sai thí nghiệm (mục 2.7). Do số thí
nghiệm lặp như nhau nên ta sử dụng tiêu chuẩn Cochran.
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 95
Phương sai lớn nhất là của loạt thí nghiệm thứ 4: 2,2s2
4 cho nên:
2
4
tt2 2 2
1 2 8
s 2,2G 0,196
11,25s s s
Theo bảng phân bố Cochran với q = 0,01, số bậc tự do f = n – 1 = 4,
số lượng mẫu m = 8 ta tìm Gb = 0,46 vì Gtt = 0,196 0,46 nên ta chấp nhận
giả thuyết về tính đồng nhất phương sai thí nghiệm.
9. Phương trình hồi quy có dạng (5.10). Hệ số PTHQ xác định theo
công thức (5.6, 5.9) với sự trợ giúp ma trận quy hoạch (bảng 5.7) và cột jy
(cột thứ 10) trong bảng 5.9. Sau khi tính toán ta thu được phương trình hồi
quy dạng mã hóa:
y = 44,4 + 1,66x1 + 5,74x2 – 2,16x3 – 0,46x1x2
+ 1,54x1x3 + 1,36x2x3 + 1,41x1x2x3
10. Ước lượng ý nghĩa các hệ số phương trình hồi quy. Đại lượng tb
được xác định theo bảng phân bố Student với q = 0,01 và số bậc tự do (phụ
lục 1)
fy = N(n – 1) = 8(5 – 1) = 32
Từ phụ lục 1 ta thu được tb = 2,73.
Phương sai tái hiện phương trình hồi quy:
s2{y} = (s21+ s2
2+…+ s28)/8 = 11,25/8 = 1,4
Theo công thức (5.16), phương sai hệ số phương trình hồi quy :
s2{bi} = s2{y}/(n.N) = 1,4/(5.8) = 0,035,
suy ra s{bi} = 0,187
Cho nên 51,0187,0.73,2}b{stib
.
Trong các hệ số PTHQ thì chỉ có b12 không thỏa mãn điều kiện:
51,0}b{st46,0bib12
Cho nên hệ số b12 không ý nghĩa và loại bỏ nó. Ta không cần tính lại
các hệ số PTHQ (do có tính trực giao của ma trận quy hoạch):
y = 44,4 + 1,66x1 + 5,74x2 – 2,16x3 + 1,54x1x3
+ 1,36x2x3 + 1,41x1x2x3 (5.11)
96 CHÖÔNG 5
Xác định khoảng tin cậy các hệ số phương trình hồi quy:
}b{stb}b{stbibiiibi
43,89 o 44,91
1,15 1 2,17 1,03 13 2,05
5,23 2 6,25 0,85 23 1,87
–2,67 3 -1,65 0,9 123 1,92
11. Tiếp tục ta kiểm tra tính thích hợp PTHQ. Phương sai thích hợp 2
ths được xác định theo công thức:
N 2
j jj 12 th
thth
ˆn y y
ss
f N p
trong đó: p - số hệ số phương trình hồi quy (p = 7);
jy - giá trị đáp ứng của thí nghiệm thứ j (trong cột 10 của bảng 5.9).
62,8
)78(
)45,535,53(...)7,432,44()65,402,40(5s
222
2
th
Giá trị tính toán theo tiêu chuẩn Fisher Ft được xác định theo công thức:
15,6
4,1
62,8
}y{s
sF
2
2
th
t
Từ bảng phân bố Fisher (phụ lục 2) với q = 0,01 và bậc tự do
fth = N – p = 8 – 7 = 1 và fy = N(n – 1) = 32
ta tìm Fb = 7,57 .
vì Ft = 6,15 < Fb = 7,57
cho nên điều kiện tính tích hợp PTHQ được thỏa.
12. Phân tích kết quả:
Biểu diễn PTHQ dạng tự nhiên:
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 97
(t 40)44,4 1,66
20
( 30) ( 4,85) (t 40) ( 4,35)5,74 2,16 1,54 .
30 0,35 20 0,35
( 30) ( 4,85) t 40 t 30 4,851,36 1,41
30 0,35 20 20 0,35
hoặc:
127,46 0,366t 1,287 19,59 0,08t 0,206 0,0485t 0,01t
5.5 THÖÏC NGHIEÄM NHAÂN TOÁ RIEÂNG PHAÀN (TNR)
Thông thường thực nghiệm được thực hiện trong các lãnh vực khoa
học, kỹ thuật, công nghệ… tốn nhiều công sức, thời gian và chi phí. Cho
nên vấn đề quan trọng là làm sao giảm chi phí thực nghiệm, cụ thể là giảm
số thí nghiệm.
Trong TNT ta thu được PTHQ với đầy đủ các hệ số, bao gồm cả các
hệ số tương tác. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp một số hệ số tương tác là
không cần thiết. Ví dụ như trong giai đoạn đầu nghiên cứu đối tượng, thông
thường ta tiến hành thực nghiệm để thu được phương trình hồi quy tuyến
tính với các hệ số bi. Với k nhân tố thực nghiệm, PTHQ có k+1 hệ số và số
thí nghiệm cần thiết N phải lớn hơn hoặc bằng k+1. Theo quan điểm về kinh
tế thì số N không được lớn hơn nhiều so với số hệ số PTHQ.
Ví dụ khi k = 6 thì số hệ số PTHQ có tương tác đôi là p = k + 1 + 2
kC = 1
+ 6 + 2
5.6 = 22 hệ số, theo TNT thì N = 26 = 64 thí nghiệm, vì N >> p, cho nên
TNT không hiệu quả.
Thực nghiệm nhân tố riêng phần (TNR) cho phép ta giảm bớt số thí
nghiệm so với TNT trong trường hợp PTHQ có thể bỏ qua (biết trước) các
hệ số tương tác.
Để giải thích ý tưởng xây dựng TNR ta bắt đầu từ TNT với 2 nhân tố
Trong bảng 5.11 là ma trận thực nghiệm, quy hoạch này tương ứng
PTHQ:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 (5.18)
98 CHÖÔNG 5
Bảng 5.11 Bảng 5.12
No xo x1 x2 (x3) x1x2 No xo x1 x2 x3
1
2
3
4
+1
+1
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
1
2
3
4
+1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
–1
+1
Giả sử rằng ta biết trước rằng hệ số tương tác b12 có thể bỏ qua. Khi
đó ta thay cột x1x2 bằng nhân tố mới x3 (bảng 5.12). Khi đó, nhà thực
nghiệm tiến hành với 3 nhân tố gồm 4 thực nghiệm. Theo kết quả thực
nghiệm ta thu được PTHQ:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 (5.19)
Ma trận quy hoạch trong bảng 5.11 và 5.12 đều thỏa các tính chất
(5.2) – (5.4). Quy hoạch thu được từ TNT bằng cách thay thế hệ số tương
tác bằng hệ số mới gọi là thực nghiệm nhân tố riêng phần (TNR) hay gọi là
đáp ứng riêng phần của TNT.
Trong quy hoạch 23-1 nhân tố x3 được thay bằng tương tác x1x2. Do
đó, trong PTHQ không nên tách rời ảnh hưởng nhân tố x3 khỏi ảnh hưởng
tương tác bằng hệ số b3 mà phải đánh giá đồng thời hoặc phối hợp của các
hệ số 3 và 12. Ta có thể ký hiệu như sau:
b3 3 + 12
Nếu trên bảng 5.12 ta thêm vào các cột x1x3 và x2x3 thì chúng sẽ trùng
với các cột x2 và x1. Do đó ta có các đánh giá hỗn hợp sau:
b2 2 + 13
b1 1 + 23
Khi xây dựng quy hoạch 23-1 ta sử dụng biểu thức x3 = x1x2, biểu thức
này gọi là biểu thức sinh (generator) quy hoạch.
Nhân cả hai vế biểu thức sinh cho x3 ta có:
1xxxx321
2
3
Biểu thức trên với vế phải là 1 và vế trái là tích của vài nhân tố gọi là
độ tương phản xác định (determining contract).
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 99
Nhờ vào độ tương phản xác định ta có thể xác định hệ thống phối hợp
các đánh giá mà không cần phải thêm các cột phụ. Để thực hiện điều đó ta
nhân 2 vế độ tương phản xác định cho x1, x2,...x3. Ví dụ:
1 = x1x2x3
Nhân 2 vế cho x1: x1 = x2x3 b1 1 + 23
Nhân 2 vế cho x2: x2 = x1x3 b2 2 + 13
Nhân 2 vế cho x3: x3 = x1x2 b3 3 + 12
Chú ý rằng khi đặt x3 = -x1x2 ta có một ma trận thực nghiệm 23-1 khác.
Và cả hai TNR 23-1 này (với x3 = x1x2 và x3 = -x1x2) tạo thành TNT 23.
Tiếp tục ta xây dựng TNR trên cơ sở TNT 23.
Có vài phương pháp xây dựng TNR với 4 nhân tố trên cơ sở quy
hoạch này dựa trên tương tác nào được bỏ qua. Ví dụ ta bỏ qua tương tác
3 x1x2x3 và thay thế bằng nhân tố x4 ta thu được quy hoạch 4 nhân tố
(bảng 5.13).
Bảng 5.13
No x1 x2 x3 x4 (x4 = x1x2x3)
1
2
3
4
5
6
7
8
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
Với quy hoạch này ta có biểu thức sinh x4 = x1x2x3, độ tương phản xác
định có dạng:
1 = x1x2x3x4
Nhân lần lượt 2 vế biểu thức trên cho x1, x2, x3 và x1x2, x2x3, x1x3 ta có:
x1 = x2x3x4
x2 = x1x3x4
100 CHÖÔNG 5
x3 = x1x2x4
x1x2 = x3x4
x2x3 = x1x4
x1x3 = x2x4
Từ đây ta có hệ thống đánh giá phối hợp các ước lượng:
b1 1 + 234 b12 12 + 34
b2 2 + 134 b13 13 + 24
b3 3 + 124 b14 14 + 23
b4 4 + 123
Phương trình hồi quy xây dựng trên cơ sở quy hoạch ở trên bao gồm
các hệ số bo, b1, b2, b3, b4, b12, b13, b14:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b12x1x2 + b13x1x3 + b14x1x4 (5.20)
Cần chú ý hệ thống phối hợp. Ví dụ hệ số b12 đánh giá không chỉ 12
mà còn 34. Sử dụng ma trận quy hoạch theo bảng 5.13 để xây dựng mô
hình (5.20) là ma trận bão hòa vì N = 8 = p. Do đó không thể ước lượng tích
thích hợp mô hình.
Ta khảo sát phương án khác của TNR 24-1 khi so sánh x4 = x1x3
(bảng 5.14)
Bảng 5.14
N0 x1 x2 x3 x4 (x4 = x1x3)
1
2
3
4
5
6
7
8
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
Bài tập:
Nếu x4 = x2x3, yêu cầu:
1. Ma trận quy hoạch
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 101
2. Độ tương phản xác định
3. Dạng phương trình hồi quy
Độ tương phản xác định:
1 = x1x3x4
Các biểu thức sinh của quy hoạch:
x1 = x3x4 x1x2 = x2x3x4
x2 = x1x2x3x4 x2x3 = x1x2x4
x3 = x1x4 x2x4 = x1x2x3
x4 = x1x3
Hệ thống phối hợp các đánh giá
b1 1+ 34 b12 12 + 234
b2 2 + 1234 b23 23 + 124
b3 3 + 14 b24 24 + 123
b4 4 + 13
Khi đó phương trình hồi quy có dạng:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b12x1x2 + b23x2x3 + b24x2x4
So sánh hai hệ thống phối hợp cả 2 quy hoạch vừa khảo sát ta thấy ưu
điểm của quy hoạch với độ tương phản xác định:
1 = x1x2x3x4
Đối với quy hoạch này thì ước lượng các hệ số tuyến tính phương
trình hồi quy phối hợp chỉ với các tương tác ba. Khi đó quy hoạch với độ
tương phản xác định 1 = x1 x3 x4 vài ước lượng hệ số tuyến tính phối hợp với
các tương tác đôi. Do đó theo hệ thống phối hợp các ước lượng ta chọn quy
hoạch tốt nhất khi vế phải của độ tương phản xác định có số thành phần
nhân tố nhiều nhất.
Ngoài các phương án kể trên ta còn có phương án khác nhau để xây
dựng TNR trên cơ sở TNT 23, các biểu thức sinh có thể là:
x4 = -x1x2x3
102 CHÖÔNG 5
x4 = x1x2
x4 = -x1x3
x4 = x2x3
Ý tưởng xây dựng TNR cho các tương hợp tổng quát như 2k-1, 2k-2, ...
2k-p có thể phát triển trên cơ sở trình bày ở trên.
Trên bảng 5.15 là quy hoạch thực nghiệm riêng phần 2k-2 với k = 5,
khi thay thế x4 = x1x2x3 và x5 = x2x3 (các biểu thức sinh).
Bảng 5.15
No x1 x2 x3 x4
(x4 = x1x2x3)
x5
(x5 = x2x3)
1
2
3
4
5
6
7
8
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
Để thu được hệ thống phối hợp ta khảo sát các độ tương phản xác định:
1 = x1x2x3x4
1 = x2x3x5
Ngoài ra ta còn thu được hệ thống phối hợp bằng cách nhân theo vế hai
độ tương phản trên:
1 = x1x4x5
Cả ba độ tương phản trên có thể viết dưới dạng một biểu thức và được
gọi là độ tương phản xác định mở rộng:
1 = x1x2x3x4 = x2x3x5 = x1x4x5
Nhân chúng tương ứng cho x1, x2, x3, x4, x5, x1x2, x1x3 ta thu được các
biểu thức:
x1 = x2x3x4 = x1x2x3x5 = x4x5
x2 = x1x3x4 = x3x5 = x1x2x4x5
x3 = x1x2x4 = x2x5 = x1x3x4x5
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 103
x4 = x1x2x3 = x2x3x4x5 = x1x5
x5 = x1x2x3x4x5 = x2x3 = x1x4
x1x2 = x3x4 = x1x3x5 = x2x4x5
x1x3= x2x4 = x1x2x5 = x3x4x5
Từ đây ta có hệ thống phối hợp sau:
45123523411
b
12453513422
b
13452512433
b
15234512344
b
14231234555
b
245135341212
b
3451252413
b
Do đó PTHQ có dạng:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b5x5 + b12x1x2 + b13x1x3
Từ đây ta thấy rằng trong quy hoạch đang khảo sát tất cả các hệ số
tuyến tính đều phối hợp tương tác đôi.
Khi thay thế TNT 3 tương tác bằng các nhân tố mới, ta có TNR 2k-3.
Trên cơ sở TNT 23 ta có thể xây dựng TNR với tối đa 7 nhân tố thay đổi.
Ma trận quy hoạch trong trường hợp này có dạng như bảng 5.16 với
các biểu thức sinh:
x4 = x1x2x3; x5 = -x1x3; x6 = -x2x3; x7 = -x1x2
Bảng 5.16
N x1 x2 x3
x4
(x4 = x1x2x3)
x5
(x5 = -x1x3)
x6
(x6 = -x2x3)
x7
(x7 = -x1x2)
1
2
3
4
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
+1
+1
-1
104 CHÖÔNG 5
5
6
7
8
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
-1
Phương trình hồi quy có dạng:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b5x5 + b6x6 + b7x7
Ta không thể kiểm tra tính thích hợp phương trình trên vì p = N = 8.
Vì các ma trận TNR có các tính chất tương tự như TNT, cho nên việc
tính các hệ số phương trình hồi quy và phân tích thống kê phương trình hồi
quy thu được tương tự TNT.
Ví dụ 5.4 Nghiên cứu ảnh hưởng các nhân tố công nghệ quá trình ép ván ép
đến độ bền giữa các lớp. Các nhân tố khảo sát bao gồm (bảng 5.17).
Bảng 5.17
Nhân tố Ký hiệu Mức thay đổi
Mã hóa Tự nhiên Thấp nhất Cao nhất
Độ nhớt keo dán
Áp lực ép, MPa
Nhiệt độ ép, oC
Lượng keo, g/m2
Thời gian ép, ph
Hệ số chất lượng
x1
x2
x3
x4
x5
x6
X1
X2
X3
X4
X5
X6
50
1,6
130
110
11,5
0,95
200
2,2
150
150
14,5
0,99
Giải Sử dụng TNR 26-2 = 24 = 16 với các biểu thức sinh:
4216
3215
xxxx
xxxx
(5.21)
Để xây dựng quy hoạch này trên cột 2-5 bảng 5.18, ta sắp xếp theo ma
trận quy hoạch TNT 24. Nhờ vào các biểu thức sinh (5.21). Ta có các cột x5
và x6. Bảng 5.18
No
Nhân tố Kết quả thực
nghiệm y,
MPa
x1 x2 x3 x4 x5
(x5 = x1x2x3)
x6
(x6 = x1x2x4)
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
+1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
+1
-1
1,21
1,00
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 105
3
4
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
+1
-1
+1
1,31
1,22
5
6
7
8
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
1,045
1,42
0,99
0,58
9
10
11
12
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
1,31
1,22
1,30
0,95
13
14
15
16
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
1,31
1,045
1,28
1,045
Để xác định hệ thống phối hợp, ta tìm các độ tương phản xác định
mở rộng:
6543
6421
5321
xxxx1
xxxx1
xxxx1
(5.22)
Nhân hai vế phương trình (5.22) cho các thành phần tuyến tính và
tương tác khác nhau, ta thu được hệ thống phối hợp các đánh giá. Ví dụ,
nhân (5.22) cho x1x2 ta thu được:
x1x2 = x3x5 = x4x6 = x1x2x3x4x5x6
Từ đây suy ra:
12345646351212
b
…………………………
Trên cột 8 bảng 5.18 là kết quả thực nghiệm, theo các công thức (5.6)
và (5.9) ta tính các hệ số.
y = ………………………..
Sau khi bỏ qua các hệ số không ý nghĩa ta thu được PTHQ sau:
y = 1,14 + 0,08x1 + 0,055x2 + 0,05x3 - 0,06x2x3 + 0,075x4x5 – 0,056x3x5
Để chuyển về dạng tự nhiên, ta sử dụng các công thức:
75
)125X(x
1
1
;
3,0
)9,1X(x
2
2
;
10
140Xx
3
3
106 CHÖÔNG 5
20
130Xx
4
4
;
5,1
13Xx
5
5
;
02,0
97,0Xx
6
6
Ví dụ 5.5 Nghiên cứu ảnh hưởng các nhân tố khi tiện: góc sau α, góc
trước γ, góc chính φ, góc phụ φ1, độ tù mũi dao r đến độ bền mòn T của
dao tiện.
Bảng 5.19 Giá trị các nhân tố cho trong bảng 5.18
Nhân tố Mã hóa Khoảng
thay đổi
Mức giá trị
Cao nhất +1 Cơ sở 0 Thấp nhất
(-1)
x1 3,5o -2o -5,5o -9o
x 2 2o 10o 8o 6o
1 x 3 2,5o 25o 22,5o 20o
x 4 3o 45o 42o 39o
R x 5 0,3 0,8 0,5 0,2
Sử dụng quy hoạch thực nghiệm nhân tố riêng phần với biểu thức
sinh: x4 = x1x2; x5 = x1x2x3.
Ma trân quy hoạch dạng mã hóa và kết quả thực nghiệm cho trong
bảng 5.20.
Bảng 5.20
No x0 x 1 x 2 x 3 x4 =
x1x2
x5 =
x1x2x3
y(T), min
1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 29,5
2 +1 –1 +1 +1 –1 –1 30,1
3 +1 +1 –1 +1 –1 –1 28,8
4 +1 –1 –1 +1 +1 +1 27,0
5 +1 +1 +1 –1 +1 –1 30,0
6 +1 –1 +1 –1 –1 +1 28,5
7 +1 +1 –1 –1 –1 +1 29,0
8 +1 –1 –1 –1 +1 –1 31,2
Ngoài ra tiến hành 4 thực nghiệm với các giá trị nhân tố ở mức cơ sở
(để xác định phương sai tái hiện) với kết quả y thu được:
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 107
24,1 23,6 23,9 24,0
Phương trình hồi quy có dạng:
0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5y b b x b x b x b x b x
Hệ số phương trình hồi quy xác định theo công thức (5.6):
N
ij ii 1
i
x y
bN
Kết quả thu được:
029,5 30,1 28,8 27,0 30,0 28,5 29,0 31,2
b 29,2638
129,5 30,1 28,8 27,0 30,0 28,5 29,0 31,2
b 0,0638
229,5 30,1 28,8 27,0 30,0 28,5 29,0 31,2
b 0,2638
329,5 30,1 28,8 27,0 30,0 28,5 29,0 31,2
b 0,4138
429,5 30,1 28,8 27,0 30,0 28,5 29,0 31,2
b 0,1638
529,5 30,1 28,8 27,0 30,0 28,5 29,0 31,2
b 0,7638
Suy ra phương trình hồi quy
1 2 3 4 5y 29,263 0,063x 0,263x 0,413x 0,163x 0,763x
Giá trị phương sai thu được từ 4 thí nghiệm ở tâm:
No yi y (y – y ) (y – y )2 2ys
1 24,1 23,9 0,2 0,04 n2
i2 i 1y
0
(y y)
S 0,0467n 1
2 23,6 -0,3 0,09
3 23,9 0 0,0
4 24,0 0,1 0,01
95,6 0,14
108 CHÖÔNG 5
5.6 THÖÏC HIEÄN TNT VAØ TNR KHI COÙ SAI LEÄCH GIAÙ TRÒ CAÙC MÖÙC
NHAÂN TOÁ VÔÙI CAÙC GIAÙ TRÒ CHO TRÖÔÙC
Khi tiến hành thí nghiệm thì các giá trị thực của các nhân tố không
trùng với các giá trị trong quy hoạch thực nghiệm. Trong công nghệ chế tạo
có thể là do đặc tính rời rạc các mức giá trị các nhân tố (vận tốc cắt, đẩy
phôi, chiều dày cắt, độ tù lưỡi dao...).
Khi đó ta có thể sử dụng các công thức sẵn có để xác định các hệ số
nhưng có hiệu chỉnh. Giả sử khi thực hiện TNT và TNR và xj là mức độ giá
trị theo quy hoạch của nhân tố i và thí nghiệm thứ j (ký hiệu mã hóa):
ij
x~ - mức độ giá trị thực của các nhân tố này;
xij - giá trị theo quy hoạch
ij - sai số giữa giá trị thực và giá trị quy hoạch
ij =
ijijxx
~ . Nếu
sai số ij là ngẫu nhiên thì các hệ số phương trình hồi quy được
tính theo công thức:
N
1j
2
ij
N
1j
jij
N
1j
2
ij
N
1i
N
1j
jijjij
i
N
yx~
N
yyx
b (5.23)
Phương sai đối với các hệ số hiệu chỉnh phương trình hồi quy xác định
theo công thức:
N
1j
2
ij
2
i
2N}y{s}b{s (5.24)
Ví dụ 5.6 Khi khảo sát độ bền vật liệu vào nhiệt độ gia công t và thời gian
gia công , ph/mm.
Giải:
Ta lập quy hoạch theo bảng sau: Bảng 5.21
No Nhân tố
t, oC , ph
1
2
3
4
140
180
140
180
0,5
0,5
0,9
0,9
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 109
Trong thực tế các giá trị thực cho trong bảng 5.22.
Bảng 5.22
No Nhân tố Kết quả thực
nghiệm , MPa t, oC , ph
1
2
3
4
138
179
140
183
0,5
0,49
0,91
0,9
36,2
33,3
36,5
33,9
Do điều kiện thực tế có sai lệch so với các giá trị quy hoạch. Kết quả
thực nghiệm cho trong bảng 5.22. Các hệ số dạng mã hóa và hệ số hiệu
chỉnh cho trong bảng 5.23.
Bảng 5.23 Trong dạng mã hóa
No xo Giá trị thực nhân tố Hệ số hiệu chỉnh
1x~
2x~
1 2
1
2
3
4
+1
+1
+1
+1
-1,1
+0,95
-1
1,15
-1
-1,05
+1,05
+1
-0,1
-0,05
0
0,15
0
-0,05
0,05
0
Ta có 1
t 160x
20
; 2
0,7x
0,2
ijj1j1
xx~ ; 2 j 2 j 2 jx x
Khi đó: 035,0
4
1j
2
j1
;
42
2 j
j 1
0,005
Theo công thức ta xác định các hệ số:
1
2
4j
0j 1
1,1.36,2 0,95.33,3 36,5 1,15.33,9b 1,413
4 0,035
36,2 1,05.33,3 1,05.365 33,9b 0,265
4 0,005
y 36,2 33,3 36,5 33,9b 34,975
4 4
110 CHÖÔNG 5
Do đó PTHQ có dạng:
1 234,975 1,413x 0,265x
5.7 ÖÙNG DUÏNG THÖÏC NGHIEÄM NHAÂN TOÁ TOAØN PHAÀN TRONG THIEÁT KEÁ
Trong thiết kế ta sử dụng quy hoạch thực nghiệm thay thế các công
thức phức tạp bằng các đa thức bậc 1 hoặc 2. Trong mục này ta khảo sát đa
thức bậc 1.
Phương trình hồi quy tuyến tính có dạng:
i
k
1i
i0xbby
(5.25)
với
N
1j
jjiiyx
N
1b , i = 1, 2, …, k (5.26)
trong đó: k là số nhân tố độc lập, N là số thực nghiệm.
Ví dụ 5.7 Sử dụng phương pháp quy hoạch thực nghiệm để thay thế hàm:
2 2
2 2 2 3 2 2r r3
32b F 0,75T 10 1152,81F 0,10674166T
d
bằng đa thức bậc nhất.
Giải Thực nghiệm được thực hiện với các số liệu cho trong bảng 5.24:
Bảng 5.24 Ma trận quy hoạch 2 nhân tố
STT Các nhân tố tự nhiên Các nhân tố mã hóa Kết quả
, MPa Fr2 T x0 x1 x2
1 1029,6 235794 +1 +1 +1 84,5977
2 1029,6 126966 +1 +1 -1 54,2474
3 554,4 235794 +1 -1 +1 79,3034
4 554,4 126966 +1 -1 -1 45,5226
Xác định các hệ số phương trình hồi quy tuyến tính:
N
0 0j jj 1
1 84,5977 54,2474 79,3034 45,5226b x y 65,91775
N 4
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 111
N
1 1j jj 1
1 84,5977 54,2474 79,3034 45,5226b x y 3,504775
N 4
N
2 2j jj 1
1 84,5977 54,2474 79,3034 45,5226b x y 16,032775
N 4
Phương trình hồi quy có dạng:
21x032775,16x504775,391775,65
Thay thế các giá trị:
r21
F 792x
237,6
và 2
T 181380x
54414
vào phương trình trên ta có:
r2F 792 T 18138065,91775 3,504775 16,032775
237,6 54414
r20,79258 0,014750736F 0,0002946443T
Nếu xét mô hình đầy đủ hơn thì phương trình hồi quy tuyến tính
đầy đủ có dạng:
k k
0 i i iu i ui 1 i,u 1
i u
y b b x b x x
(5.27)
Các hệ số biu được xác định theo công thức (5.9).
Ví dụ 5.8 Giải bài toán ví dụ 5.7 với mô hình tuyến tính đầy đủ.
Giải
Thực nghiệm được thực hiện với các số liệu cho trong bảng 5.25:
Bảng 5.25 Ma trận quy hoạch 2 nhân tố
No Các nhân tố tự nhiên Các nhân tố mã hóa Kết quả
, MPa Fr2 T x0 x1 x2 x1x2
1 1029,6 235794 +1 +1 +1 +1 84,5977
2 1029,6 126966 +1 +1 -1 -1 54,2474
112 CHÖÔNG 5
3 554,4 235794 +1 -1 +1 -1 79,3034
4 554,4 126966 +1 -1 -1 +1 45,5226
Xác định các hệ số phương trình hồi quy tuyến tính đầy đủ:
N
1 2 j jj 1
12
(x x ) y
b 0,857625N
Phương trình hồi quy có dạng:
1 2 1 265,91775 3,504775x 16,032775x 0,857625x x
Thay thế các giá trị:
r21
F 792x
237,6
và 2
T 181380x
54414
vào phương trình trên ta có:
r2
r2
F 792 T 18138065,91775 3,504775 16,032775
237,6 54414
F 792 T 1813800,857625
237,6 54414
r2
8r2
8,7365867 0,026782512F
0,00034718133T 6,63346.10 TF
BAØI TAÄP
5.1 Xét sự phụ thuộc đại lượng đầu ra y vào các đại lượng đầu vào x1, x2,
x3 với các giá trị cho trong bảng 5.26.
Bảng 5.26
N
Các nhân tố
tự nhiên
Các nhân tố
mã hóa
Tương tác
đôi
Tương
tác ba Kết
quả
yj X1 X2 X3 x1 x2 x3 x1x3 x2x3 x1x2 x1x2x3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
100
200
100
200
20
20
60
60
10
10
10
10
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
–1
–1
+1
–1
+1
+1
–1
2
6
4
8
QUY HOAÏCH THÖÏC NGHIEÄM TOAØN PHAÀN VAØ RIEÂNG PHAÀN 113
5
6
7
8
100
200
100
200
20
20
60
60
30
30
30
30
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
10
18
8
12
5.2 Quy hoạch thực nghiệm riêng phần: Nghiên cứu ảnh hưởng các nhân
tố khi tiện: góc sau α, góc trước γ, góc chính φ, góc phụ φ1, độ tù mũi
dao r đến đến độ bền mòn T của dao tiện. Các giá trị thay đổi trong
khoảng sau: = 6o – 10o, = 2o – 9o, = 39o – 45o, 1 = 20o – 25o,
r = 0,2 – 0,8. Kết quả thực nghiệm cho trong bảng 5.27. Thực hiện
tương tự ví dụ 5.5.
Bảng 5.27 Bảng kết quả thực nghiệm theo phương án
Kết quả độ bền mòn dao tiện, yi (T - min)
Phương
án
Giá trị thực nghiệm
chính
Giá trị thực nghiệm
ở tâm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 29.5 30.1 28.8 27.0 30.0 28.5 29.0 31.2 24.1 23.6 23.9 24.0
2 30.5 31.02 30.0 29.9 32.1 29.8 32.6 30.1 25.0 23.9 23.8 29.0
3 35.1 35.4 35.6 35.7 35.0 35.46 35.74 35.8 26.1 26.0 26.58 26.5
4 27.1 28.0 29.0 27.89 27.9 27.8 28.5 30.1 27.9 28.6 29.1 29.3
5 32.1 32.0 32.9 32.5 32.4 33.0 32.7 32.5 26.6 26.5 26.8 26.9
6 27.6 27.8 27.9 28.0 28.1 27.5 27.2 27.3 24.5 26.6 25.1 26.8
7 28.9 29.2 29.1 28.7 28.4 29.0 30.1 31.0 25.6 25.7 25.1 25.3
8 35.6 35.7 35.0 35.4 35.2 35.9 35.2 35.4 30.3 30.4 30.5 30.7
9 33.3 33.5 33.6 33.8 33.7 33.1 33.2 33.8 23.3 23.5 23.6 23.4
10 34.5 34.4 34.3 34.6 33.8 33.0 33.9 33.1 28.3 28.8 28.1 28.5
11 35.3 35.6 35.9 35.4 35.6 35.4 35.4 35.8 30.3 30.1 30.5 30.6
12 25.3 25.6 25.6 25.4 25.7 25.9 25.0 26.0 26.0 26.1 26.8 25.8
13 40.5 40.4 40.1 40.0 40.6 40.9 40.8 40.5 39.1 38.89 38.4 38.1
14 37.1 37.5 37.6 37.6 37.1 37.0 37.2 37.4 29.9 30.1 30.0 29.8
15 37.2 38.0 38.1 38.6 38.1 37.9 37.6 39.0 30.5 30.4 30.6 30.7
16 28.4 28.3 28.1 28.6 28.7 28.9 28.8 28.5 27.3 27.6 27.5 27.4
17 32.2 32.6 32.4 32.7 32.6 32.9 33.0 32.5 30.3 31.0 30.5 30.1
18 25.3 26.0 25.8 25.6 25.9 26.1 26.2 25.7 27.0 26.9 26.8 30.0
19 33.6 36.4 36.1 35.0 34.9 33.8 35.1 36.3 30.3 30.5 30.1 28.0
20 25.0 24.8 24.9 25.1 25.2 25.8 25.6 27.0 28.1 28.0 30.1 33.0
21 38.0 38.1 38.6 38.2 38.3 39.0 41.0 37.0 33.0 36.0 34.0 34.6
114 CHÖÔNG 5
22 22.0 22.6 22.4 22.9 22.4 23.0 22.9 22.4 25.0 24.9 25.1 25.8
23 37.0 37.5 37.3 36.8 36.9 37.4 37.3 37.7 28.0 29.6 28.5 25.6
24 24.0 24.4 24.6 24.1 24.6 24.8 24.9 24.6 20.1 20.6 22.0 23.0
25 26.6 26.5 26.4 26.6 26.8 26.9 26.1 26.3 25.0 25.1 24.7 24.6
26 28.8 28.6 28.9 28.4 28.9 28.4 28.5 28.2 27.6 27.0 26.6 26.9
27 29.9 29.1 29.0 29.3 29.3 29.4 29.6 29.2 29.0 28.4 28.6 29.1
28 34.6 34.8 34.5 34.6 34.1 34.3 34.2 34.6 33.0 32.7 33.1 33.5
29 44.1 44.5 44.6 44.0 44.2 44.3 44.4 45.0 39.8 40.0 40.3 40.5
30 26.6 26.3 26.2 26.4 25.9 26.4 26.8 26.7 25.0 25.6 26.0 26.9
5.3 Lập ma trận quy họach thực nghiệm nhân tố riêng phần 27-3 với các
biểu thức sinh x5 = x1x2x3, x6 = x1x3x4 và x7 = x2x3x4. Biểu diễn dạng
tổng quát phương trình hồi quy trong trường hợp này.
5.4 Quy hoạch thực nghiệm toàn phần: Nghiên cứu ảnh hưởng các nhân tố
khi tiện: góc trước γ, góc chính φ, độ tù mũi dao r đến đến độ bền
mòn T của dao tiện với ma trận quy hoạch như bảng 5.27. Các giá trị
thay đổi trong khoảng sau: = 2o – 9o, = 39o – 45o, r = 0,2 – 0,8. Kết
quả thực nghiệm cho trong bảng 5.27.
![80 câu trắc nghiệm công nghệ phần mềm và đáp án¢u...Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƢƠNG CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] 80 câu trắc nghiệm công nghệ phần mềm](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/60cff4fa2b1d7f445e7cb198/80-cu-trc-nghim-cng-ngh-phn-mm-v-p-n-u-h-tr.jpg)
