1

Bài 2 : Đệ quy v à GT đệ quy2.1. Đệ quy và giải thuật đệ quy2.2. Thiết kế giải thuật đệ quy2.3. Một số dạng bài toán điển hình2.4. Bài tập

2

2.1. Đệ quy v àgiải thu ật đệ quy

3

Đệ quy

� Khái ni ệm: Một đối tượng làđệ quy nếu nó được định nghĩa qua chính nóhoặc một đối tượng khác cùng dạng với chính nóbằng quy nạp.

� Phân loại: Có 2 loại đối tượng đệ quy.� Đệ quy trực tiếp: Đối tượng A được mô tả trực tiếp qua

chính đối tượng A.� Ví dụ: A mô tả qua A, B, C. Trong đó: B, C không chứa A.

� Đệ quy gián tiếp: Đối tượng A được mô tả gián tiếp qua đối tượng A.� Ví dụ: A mô tả qua B, C, D. Trong đó: B được mô tả qua A và E,

còn C và D không chứa A.

4

Minh ho ạ đệ quy

1) Đệ quy trực tiếp 2) Đệ quy gián tiếp

A

B C

A

A A

C

E

B

D

5

Mô tả đệ quy� Điểm mạnh của đệ quy: Cho phép mô tả 1 tập lớn các

đối tượng bằng 1 số ít các mệnh đề hoặc mô tả 1 GT phức tạp bằng 1 số ít các thao tác (1 chương trình con đệ quy).

� Mô tả đệ quy: gồm 2 phần�Phần neo: Mô tả các trường hợp suy biến của đối tượng

(giải thuật) qua 1 cấu trúc (thao tác) cụ thể xác định. �Phần đệ quy: Mô tả đối tượng (giải thuật) trong trường

hợp phổ biến thông qua chính đối tượng (giải thuật) đó 1 cách trực tiếp (đệ quy trực tiếp) hoặc gián tiếp (đệ quy gián tiếp).

�Chú ý: Nếu không có phần neo thì đối tượng được mô tảcó cấu trúc lớn vô hạn (giải thuật lặp không dừng)!

6

Một số mô t ả đệ quy th ường gặp

1. Tập số tự nhiên N:� 0 là số tự nhiên. {phần neo}� X là số tự nhiên nếu X – 1 là số tự nhiên. {phần đệ quy}

2. Giai thừa của 1 số tự nhiên N:� 0! = 1 {phần neo}� Nếu N > 0 thì N! = N * (N – 1)! {phần đệ quy}

3. Ước số chung lớn nhất (USCLN) của 2 số tự nhiên A và B không đồng thời bằng 0 (A2 + B2 > 0)� USCLN(A, 0) = A {phần neo}� USCLN(A, B) = USCLN(B, A mod B) {phần đệ quy}

7

Câu hỏi ki ểm tra nh ận thức

� Câu hỏi 1: Giải thích mô tả đệ quy USCLN(A, B). Minh hoạ quátrình thực hiện với:1. A = 126 và B = 72.2. A = 72 và B = 126.

� Đáp án:� Giải thích:

� Nếu B = 0 thì USCLN(A, B) = A.� Nếu B ≠ 0 thì thay A bằng B, thay B bằng A mod B

rồi lặp lại quá trình thực hiện.USCLN(A, B) = USCLN(B, A mod B)

8

Câu hỏi ki ểm tra nh ận thức� Minh hoạ 1:

USCLN(126, 72) = USCLN(72, 54) //B = 72 ≠ 0= USCLN(54, 18) //B = 54≠ 0= USCLN(18, 0) //B = 18 ≠ 0= 18 //B = 0

� Minh hoạ 2:USCLN(72, 126) = USCLN(126, 72) //B = 126 ≠ 0

= USCLN(72, 54) //B = 72 ≠ 0= USCLN(54, 18) //B = 54 ≠ 0= USCLN(18, 0) //B = 18 ≠ 0= 18 //B = 0

9

Một số bài to án đệ quy điển hình � Bài toán tìm nghiệm gần đúng: của phương trình f(x)=0

trên đoạn [a, b] với sai số c, biết f(x) liên tục trên [a, b].

� Bài toán “Tháp Hà Nội”: Chuyển một chồng đĩa N đĩa với kích thước khác nhau từ cột A sang cột C theo cách:�Mỗi lần chỉ chuyển 1 đĩa . �Khi chuyển có thể dùng cột trung gian B. �Trong suốt quá trình chuyển, các chồng đĩa ở các cột luôn được xếp đúng (đĩa có kích thước bé đặt trên đĩa có kích thước lớn).

� Bài toán “N quân Hậu”: Xếp N quân hậu trên bàn cờhình vuông kích thước N x N sao cho trên mỗi đường chéo, đường ngang, đường dọc chỉ có đúng 1 quân Hậu.

10

Đặc điểm hàm đệ quy

� Khái ni ệm: một chương trình con mô tả giải thuật đệquygọi là chương trình con đệ quy, hay hàm đệ quy.� Pascal (hàm, thủ tục), C/C++ (hàm có kiểu, hàm void).

� Đặc điểm: một hàm đệ quy có 3 đặc điểm sau1. Có lời gọi đến chính nó: trong thân hàm đệ quy có chứa

lời gọi hàm tới chính hàm đệ quy đó.2. Kích thước bài toán giảm dần: mỗi lần có lời gọi hàm đệ

quy thì kích thước của bài toán đã thu nhỏ hơn trước.3. Có trường hợp suy biến: là trường hợp đặc biệt mà khi

xảy ra thì bài toán sẽ được giải quyết theo 1 cách khác hẳn và quá trình gọi hàm đệ quy cũng kết thúc.� Kích thước bài toán giảm dần đảm bảo có trường hợp suy biến!

11

Đặc điểm hàm đệ quy

� Phân loại: Có 2 loại hàm đệ quy, tương ứng với 2 loại mô tả đệ quy.� Đệ quy trực tiếp: trong thân hàm A có chứa lời gọi hàm

đến chính A (thường gặp). � Bài toán giai thừa, USCLN, Fibonacci, Ackerman, tổ hợp,…

� Đệ quy gián tiếp: trong thân hàm A chứa lời gọi hàm đến hàm B, và trong thân hàm B lại chứa lời gọi hàm đến A(ít gặp).� Giả thiết Collatz,...

12

Đệ quy gián ti ếp: Gi ả thi ết Collatz� Collatz đưa ra giả thuyết rằng:

“V ới một số nguyên dương X bất kỳ, nếu X chẵn thì ta gán X = X / 2; nếu X lẻ thì ta gán X = X * 3 + 1 thì sau một số hữu hạn bước, ta sẽ có X = 1”.

� Với X = 10, các bước tiến hành như sau:1. X = 10 //X chẵn � X = 10 / 22. X = 5 //X lẻ � X = 5 * 3 + 13. X = 16 //X chẵn � X = 16 / 24. X = 8 //X chẵn � X = 8 / 25. X = 4 //X chẵn � X = 4 / 26. X = 2 //X chẵn � X = 2 / 27. X = 1 //Kết thúc

13

Đệ quy gián ti ếp: Gi ả thi ết Collatz� Bài toán (dựa trên khẳng định giả thuyết Collatz là đúng):

“Cho trước số 1 cùng với hai phép toán * 2 và / 3, hãy sửdụng một cách hợp lý hai phép toán đó để biến số 1thành một số nguyên dương X cho trước.”

� Ví dụ: X = 10 ta có biểu diễn 1 * 2 * 2 * 2 * 2 / 3 * 2 = 10.

� Giải thuật:Để biểu diễn X chia 2 trường hợp:

� Nếu X chẵn, thì tìm cách biểu diễn số X / 2 và viết thêm phép toán * 2 vào cuối.

� Nếu X lẻ, thì tìm cách biểu diễn số X * 3 + 1 và viết thêm phép toán / 3 vào cuối.

14

Đệ quy gián ti ếp: Giả thiết Collatz

void XuLySoLe(int X) //khi X lẻ{

XuLySo(X * 3 + 1);printf(“ / 3”);

}

void XuLySoChan(int X) //khi X chẵn{

XuLySo(X / 2);printf(“ * 2”);

}

15

Đệ quy gián ti ếp: Gi ả thi ết Collatz//In ra cách biểu diễn số Xvoid XuLySo(int X)

{

if (X == 1)

printf(“%d”, X);

else

if (X % 2 == 1) XuLySoLe(X);

else

XuLySoChan(X);

}

16

2.2. Thiết kế giải thu ật đệ quy

2.2.1. Hàm N!

2.2.2. Dãy số Fibonacci

2.2.3. Chú ý

17

2.2.1. Hàm N! � Mô tả đệ quy:

1 nếu N = 0 (phần neo)N! =

N * (N - 1)! nếu N > 0 (phần đệ quy)

� Hàm đệ quy tính N! :

long GT(int N){

if (N == 0) return 1;return N * GT(N – 1);

}

18

3 đặc điểm đệ quy c ủa hàm N!� Đặc điểm:

Đối chiếu với đặc điểm hàm đệ quy:� Có lời gọi đến chính nó: hàm đệ quy GT(N) gọi đến hàm

GT(N – 1).

return N * GT(N – 1)

� Kích thước bài toán giảm dần: sau mỗi lần gọi đệ quy, giá trị của dữ liệu vào N giảm đi 1.

� Có trường hợp suy biến: là trường hợp N = 0. Khi đó, hàm GT(N) trả về giá trị 1 và đệ quy kết thúc.

if (N == 0) return 1;

19

GT lặp tính N! � Khái ni ệm:

� Phương pháp sử dụng vòng lặp để giải bài toán đệ quy gọi là khử đệ quy.

� Giải thuật mô tả phương pháp khử đệ quy gọi là giải thuật lặp.

� Đặc điểm:� Ưu điểm:

� Thường hiệu quả hơn đệ quy do không phải thực hiện nhiều lần các thao tác: gọi hàm, cấp phát và giải phóng các biến cục bộ.

� Không bị tràn bộ nhớ stack như đệ quy do không phải lưu trữ các lời gọi trước.

� Nhược điểm:� Việc tìm ra GT lặp thường khó khăn hơn nhiều GT đệ quy.� Việc lập trình thường phức tạp.

20

GT lặp tính N! � Mô tả không đệ quy: bài toán N! có thể mô tả theo

cách không đệ quy như sau:N! = 1 * 2 * … * (N – 1) * N

� N! là tích của N số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến N!� Giải thuật lặp:

long GT(int N){

long p = 1;for(int i = 2; i <= N; i++)

p = p * i;return p;

}� Giải thuật lặp tính N! rất đơn giản!

21

Đánh giá độ phức tạp gi ải thu ật � Phân tích đánh giá độ phức tạp của giải thuật lặp tính N!:

� B1: Xác định phép toán tích cực: p = p * i;

� B2: Số lần thực hiện của phép toán tích cực là:1 + 1 + … + 1 = N – 1 (lần)

� B3: Kết luận độ phức tạp của giải thuật:T(N) = O(N)

22

2.2.2. Dãy số Fibonacci � Khái ni ệm: Dãy số Fibonaccibắt nguồn từ bài toán cổ

về việc sinh sản của các cặp thỏ.� Dãy số Fibonacci là mô hình của rất nhiều hiện tượng tự

nhiên và cũng được sử dụng nhiều trong tin học.

� Bài toán:1. Các con thỏ không bao giờ chết.2. Hai tháng sau khi ra đời, 1 cặp thỏ mới sẽ sinh ra 1 cặp

thỏ con gồm (1 đực, 1 cái).3. Khi đã sinh con rồi thì cứ mỗi tháng tiếp theo chúng lại

sinh ra được 1 cặp thỏ con mới.� Yêu cầu: Từ 1 cặp thỏ mới ra đời thì đến tháng thứ N sẽ

có bao nhiêu cặp thỏ?

23

Dãy số Fibonacci � Diễn giải quá trình sinh sản của thỏ:

�Tháng thứ 1: 1 cặp (cặp ban đầu)�Tháng thứ 2: 1 cặp (cặp ban đầu vẫn chưa sinh)�Tháng thứ 3: 2 cặp (đã có thêm 1 cặp con)�Tháng thứ 4: 3 cặp (cặp đầu vẫn sinh thêm)�Tháng thứ 5: 5 cặp (cặp con bắt đầu sinh)�Tháng thứ 6: 8 cặp (cặp con vẫn sinh tiếp)�…�Tháng thứ N: ? cặp

Dãy số Fibonacci

1 1 2 3 5 8 … ?

24

Công th ức tính s ố Fibonacci F(N) � Tìm công thức tính số cặp thỏ ở tháng thứ N: F(N)

�Nếu mỗi cặp thỏ ở tháng thứ (N - 1) đều sinh con thì:F(N) = 2 * F(N – 1)

�Do 2 tháng sau khi được sinh ra, thỏ mới sinh con, nên trong các cặp thỏ ở tháng thứ (N–1) chỉ có những cặp đã có ở tháng thứ (N – 2) mới sinh con ở tháng thứ N.

�Do đó số cặp thỏ ở tháng thứ N sẽ là:F(N) = F(N – 2) + F(N – 1)

� Mô tả đệ quy: tính F(N).1 nếu N ≤ 2 //phần neo

F(N) =F(N – 2) + F(N – 1) nếu N > 2 //phần đệ quy

25

GT đệ quy tính F(N)� Hàm đệ quy tính F(N):

long F(long N){

if (N <= 2) return 1;return F(N – 2) + F(N – 1);

}

� 3 đặc điểm của hàm đệ quy:1. Có lời gọi đến chính nó: return F(N – 2) + F(N – 1);2. Kích thước bài toán giảm dần: N giảm thành N-1, N-23. Có trường hợp suy biến: F(1) = 1 và F(2) = 1� Chú ý: có 1 chi tiết hơi khác là trường hợp suy biến ứng

với 2 giá trị: F(1) = 1 và F(2) = 1

26

Giải thu ật lặp tính F(N)� Giải thuật lặp:long F(long N){

if (N <= 2) return 1;Fib1 = 1; Fib2 = 1;for(long i = 3; i <= N; i++){

Fibn = Fib1 + Fib2;Fib1 = Fib2;Fib2 = Fibn;

}return Fibn;

}

27

Đánh giá độ phức tạp gi ải thu ật

�Phân tích độ phức tạp của giải thuật lặp tính F(N):B1: Xác định phép toán tích cực:

Fibn = Fib1 + Fib2;Fib1 = Fib2; Fib2 = Fibn;

B2: Xác định số lần thực hiện của phép toán tích cực:1 + 1 + … + 1 = N – 2 (lần)

B3: Kết luận độ phức tạp của giải thuật lặp là:T(N) = O(N)

28

2.3. Một số dạng b ài điển hình

2.3.1. Bài toán đếm2.3.2. Bài toán liệt kê2.3.3. Bài toán tối ưu

29

Một số dạng b ài điển hình� Bài toán đếm: trong tập các đối tượng cho trước, có bao

nhiêu đối tượng thỏa mãn những điều kiện nhất định.� Có bao nhiêu số nguyên tố không lớn hơn N?

� Bài toán liệt kê: trong tập các đối tượng cho trước, liệt kê cấu hìnhcủa tất cả những đối tượng thỏa mãn những điều kiện nhất định.� Liệt kê các số nguyên tố không lớn hơn N?

� Bài toán tối ưu: trong tập các đối tượng cho trước, tìm cấu hình của đối tượng thỏa mãn những điều kiện nhất định và làtốt nhất theo một tiêu chí cụ thể.� Tìm số nguyên tố lớn nhất trong các số nguyên tố không

lớn hơn N?

30

2.3.1. Bài to án đếm� Bài toán đếm: trong tập các đối tượng cho trước, có bao

nhiêu đối tượng thỏa mãn những điều kiện nhất định.� Ví dụ:

� Có bao nhiêu số nguyên tố không lớn hơn N?� Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài N không chứa xâu ‘00’?

� Phương pháp gi ải:� Công thức toán học + nguyên lý đếm cơ bản (cộng, nhân, bù trừ).� Công thức truy hồi (phương trình truy hồi tuyến tính thuần nhất,

đệ quy, quy hoạch động).� Bài toán liệt kê: sử dụng phương pháp liệt kê để giải bài toán

đếm, chỉ được sử dụng khi không tìm ra cách giải nào khác.

� Nhận xét:� Bài toán đếm thường xuyên xuất hiện trong các bài thi OLP vì có

nhiều khả năng cải tiến thuật giải để giảm thời gian chạy!

31

2.3.1. Bài to án đếm� Bài toán: Xóa số (OLP Không chuyên 2012)

� Cho dãy số nguyên không âm a1, a2, …, an. Người ta tiến hành chọn ra 2 chỉ số i, j sao cho 1 ≤ i < j ≤ n và xóakhỏi dãy 2 số ai, aj để tổng giá trị các số còn lại trong dãy là số chẵn.

� Yêu cầu: Cho dãy số a1, a2, …, an. Hãy đếm số lượng cách chọn 2 chỉ số i, j thỏa mãn. Hai cách chọn khác nhau nếu tồn tại một chỉ số khác nhau.

� Dữ liệu: vào từ file văn bản DEL.INP:� Dòng 1: chứa số nguyên n (n ≤ 106).� Dòng 2: chứa n số nguyên không âm a1, a2, …, an (ai ≤ 109).

� Kết quả: đưa ra file văn bản DEL.OUT một số nguyên làsố cách chọn 2 chỉ số thỏa mãn.

32

2.3.1. Bài to án đếm� Ví dụ:

� Giải thích:� Có 6 cách chọn 2 số (i, j) để xóa khỏi dãy để tổng còn lại là số

chẵn.(1, 2) (1, 4)(2, 3) (2, 5)(3, 4)(4, 5)

651 2 3 4 5

DEL.OUTDEL.INP

33

2.3.1. Bài to án đếm� B1: Xác định bài toán

� Vấn đề cần giải quyết: đếm số cách xóa các cặp (ai, aj) để tổng còn lại là số chẵn.

� Giả thiết: có n số nguyên a1, a2, …, an.� Yêu cầu: số nguyên là số cách xóa.

� B2: Tìm cấu trúc dữ liệu� n: kiểu số nguyên 4 byte.� a: kiểu mảng 1 chiều của kiểu số nguyên 4 byte.� Biến kết quả kq : kiểu số nguyên 8 byte.

� Chú ý: nếu mọi cách xóa 1 cặp (ai, aj) khỏi dãy số đều thỏa mãn điều kiện tổng còn lại là số chẵn thì số cách xóa tối đa (n = 106) là: n(n-1) / 2 = 5 * 1011 cách

34

2.3.1. Bài to án đếm� B3: Tìm giải thuật

� GT 1:� Ý tưởng: “vét cạn”, duyệt tất cả các phương án xóa số để tìm ra

số cách kq. Đây chính là ý tưởng của bài toán liệt kê.� Mô tả:kq = 0; sum = 0; //Tính tổng dãy số afor(i = 0; i < n; i++) sum = sum + a[i];for(i = 0; i < n – 1; i++)

for(j = i + 1; j < n; j++){

tong = sum – a[i] – a[j]; //Tổng còn lạiif (tong % 2 == 0) kq = kq + 1; //Đếm

}� Đánh giá: Độ phức tạp GT 1 thuộc phân lớp N2.

35

2.3.1. Bài to án đếm� GT 2:

� Ý tưởng: sử dụng “nguyên lý đếm”.Gọi sum là tổng các phần tử của dãy a[], x là số phần tử lẻ

� y = n – x là số phần tử chẵn.- Nếu sum chẵn thì phải xóa 2 số lẻ hoặc 2 số chẵn. Kết quả:

kq = x(x-1)/2 + y(y-1)/2- Nếu sum lẻ thì phải xóa 1 số lẻ và 1 số chẵn. Kết quả:

kq = xy

36

2.3.1. Bài to án đếm� Mô tả://B1: Tính tổng dãy số a và số phần tử lẻ xsum = 0;x = 0;for(i = 0; i < n; i++){

sum = sum + a[i];if (a[i] % 2 == 1) x = x + 1;

}y = n – x; //Số phần tử chẵn//B2: Áp dụng nguyên lý đếmif(sum % 2 == 0) kq = x * (x – 1) / 2 + y * (y – 1) / 2;else kq = x * y;

� Đánh giá: Độ phức tạp GT 2 thuộc phân lớp N.

37

2.3.2. Bài to án li ệt kê� Bài toán liệt kê: trong tập các đối tượng cho trước, liệt

kê cấu hìnhcủa tất cả những đối tượng thỏa mãn những điều kiện nhất định.� Bài toán liệt kê cũng thuộc lớp bài toán đếm!� Ví dụ:

� Liệt kê các số nguyên tố không lớn hơn N?� Liệt kê các xâu nhị phân độ dài N không chứa xâu ‘00’?

� Phương pháp gi ải:� Phương pháp sinh (generation): “hợp lý”, khó áp dụng.� Thuật toán quay lui (backtracking algorithms): phổ biến.

� Nhận xét:� Bài toán liệt kê hiếm khi xuất hiện trong các bài thi OLP vì có thời

gian chạy lớn, khó có khả năng cải tiến thuật giải!

38

Phương ph áp sinh� Điều kiện áp dụng:

� Có thể xác định được 1 thứ tự trên tập các cấu hình cần liệt kê, cấu hình đầu tiên, cấu hình cuối cùng.

� Xây dựng được thuật toán từ 1 cấu hình chưa phải cấu hình cuối cùng, sinh ra cấu hình kế tiếp.

� Mô tả: <Xây dựng cấu hình đầu tiên>;do {

<Liệt kê cấu hình hiện tại>;<Sinh cấu hình kế tiếp từ cấu hình hiện tại>;

}while (<Chưa phải cấu hình cuối cùng>)

39

Phương ph áp sinh� Bài toán: Li ệt kê các xâu nhị phân độ dài N

� Thứ tự: thứ tự từ điển (0, 1) tính từ phải sang trái.� Cấu hình đầu tiên: 0 0 … 0� Cấu hình cuối cùng: 1 1 … 1

� Phương pháp sinh: � Xét xâu nhị phân từ phải sang trái, tìm số 0 đầu tiên.� Tìm thấy: thay 0 bằng 1, cho các phần tử phía sau vị trí đó bằng 0� Không tìm thấy: là cấu hình cuối cùng. Kết thúc.

� Ví dụ: N = 5� Cấu hình hiện tại: 1 0 0 1 1� Tìm số 0 đầu tiên: 1 0 0 1 1� Thay 0 bằng 1: 1 0 1 1 1� Cấu hình kế tiếp: 1 0 1 0 0

40

Phương ph áp sinh� Bài toán: Li ệt kê các tập con K phần tử

� Thứ tự: thứ tự từ điển (1, 2, …, N) tính từ phải sang trái.� Cấu hình đầu tiên: 1 2 … K� Cấu hình cuối cùng: N-K+1 N-K+2 … N

� Phương pháp sinh: � Xét tập con từ phải sang trái, tìm phần tử đầu tiên (x[i]) chưa đạt

giới hạn trên (N-K+i).� Tăng x[i] lên 1, các pt sau (x[j]) bằng giới hạn dưới (x[j-1]+1).� Không tìm thấy: là cấu hình cuối cùng. Kết thúc.

� Ví dụ: N = 9, K = 5� Cấu hình hiện tại: 1 3 7 8 9� Tìm phần tử đầu tiên chưa đạt giới hạn trên: 1 3 7 8 9� Tăng phần tử tìm được x[i] lên 1: 1 4 7 8 9� Cấu hình kế tiếp: 1 4 5 6 7

41

Phương ph áp sinh

� Bài toán: Dãy số (OLP Không chuyên 2008)� Một sinh viên Trường ĐH Kỹ thuật Công nghệ đang

nghiên cứu về bài toán dãy số: tìm số An của dãy A0, A1, A2,…, trong đó� A0 = 0,� Ai là số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn Ai-1 và trong biểu diễn

thập phân của Ai không chứa các chữ số trong biểu diễn thập phân của Ai với i ≥ 1.

� Như vậy các phần tử đầu tiên của dãy A là:

50

14

41

13

…3022109876543210A[ i]

…1211109876543210i

42

Phương ph áp sinh� Yêu cầu: Cho số tự nhiên n. Hãy tìm An.� Dữ liệu: vào từ file văn bản NUMSEG.INP trong đó

chứa duy nhất số n (0 ≤ n ≤ 500).� Kết quả: ghi ra file văn bản NUMSEG.OUT giá trị An.� Ví dụ:

00

3012

91127

NUMSEG.OUTNUMSEG.INP

43

Thuật to án quay lui� Ý tưởng: Xây dựng cấu hình liệt kê x[1..n] bằng cách

thử tất cả các khả năng của từng phần tử x[i].� Cho x[1] nhận lần lượt các giá trị có thể. Với mỗi x[1]:

� Cho x[2] nhận lần lượt các giá trị có thể. Với mỗi x[2]:• …

� Cho x[n] nhận lần lượt các giá trị có thể. Với mỗi x[n], ta có 1 cấu hình x[1..n]

� Nhận xét: � Ý tưởng của thuật toán quay lui là “duyệt toàn bộ”.� Có thể giải được hầu hết các bài toán tổ hợp.� Chỉ sử dụng thuật toán quay lui để giải các bài toán đếm,

tối ưu khi không còn lựa chọn nào khác.

44

Thuật to án quay lui� Mô tả:

void try(i) //Cho x[i] nhận lần lượt các giá trị có thể{

for (<Mọi giá trị V có thể gán cho x[i]>){

x[i] = V;if (i == n)

<Thông báo cấu hình tìm được>;else

try(i+1); //Gọi đệ quy để chọn x[i+1]}

}

45

Thuật to án quay lui� Điều kiện áp dụng:

� Tìm được tập giá trị có thể của 1 phần tử x[i] bất kỳ trong cấu hình x[1..n].

� Đối với các bài toán tổ hợp, điều kiện này thường dễdàng tìm được!

� Bài toán:� Liệt kê xâu nh ị phân độ dài N: tập giá trị của 1 phần tử

x[i] trong xâu là (0, 1).

46

2.3.3. Bài to án tối ưu� Bài toán tối ưu: trong tập các đối tượng cho trước, tìm

cấu hình của đối tượng thỏa mãn những điều kiện nhất định và làtốt nhất theo một tiêu chí cụ thể.� Ví dụ:

� Tìm số nguyên tố lớn nhất trong các số nguyên tố ≤ N?� Bài toán Mật độ giao thông – OLP 2012: tìm độ lệch của hai

đoạn đường có tình trạng giao thông giống nhau nhất?

� Phương pháp gi ải: rất đa dạng� Phương pháp quy hoạch động (dynamic programming).� Thuật toán tham lam (greedy algorithms).� Thuật toán quay lui: kỹ thuật nhánh cận

� Nhận xét:� Bài toán tối ưu thường xuyên xuất hiện trong các bài thi OLP,

cũng như trong các bài toán thực tế

47

2.4. Câu hỏi ôn t ập 1. Hàm Ackermann:

Cho mô tả đệ quy:N + 1 nếu M = 0

Acker(M, N) = Acker(M – 1, 1) nếu N = 0Acker(M – 1, Acker(M, N – 1)) còn lại

(Hàm Ackermann có đặc điểm là giá trị tăng rất nhanh khi đối số M, N tăng, M và N là các giá trị nguyên)

a) Chỉ rõ phần neo và phần đệ quy trong mô tả.b) Minh họa quá trình tìm Acker(1, 2).c) Viết 1 hàm đệ quy tính giá trị của hàm này và chỉ rõ 3

đặc điểm của hàm đệ quy.

48

2.4. Câu hỏi ôn t ập 2. Bài toán Fibonacci:

Tìm phần tử thứ N trong dãy số Fibonacci.a) Nêu mô tả đệ quy và chỉ rõ phần neo và phần đệ quy.b) Viết 1 hàm đệ quy tính giá trị của hàm này và chỉ rõ 3

đặc điểm của hàm đệ quy.c) Minh họa quá trình tìm F(5).d) Viết hàm tính giá trị của hàm bằng giải thuật lặp. Phân

tích đánh giá giải thuật trong trường hợp trung bình.

49

2.4. Câu hỏi ôn t ập 3. Bài toán Ước số chung lớn nhất bằng phép chia:

Tìm USCLN(A, B) với A và B là các số tự nhiên không đồng thời bằng 0.a) Nêu mô tả đệ quy và chỉ rõ phần neo và phần đệ quy.b) Viết 1 hàm đệ quy tính giá trị của hàm này và chỉ rõ 3

đặc điểm của hàm đệ quy.c) Minh họa quá trình tìm USCLN(234, 198).d) Viết hàm tính giá trị của hàm bằng giải thuật lặp. Phân

tích đánh giá giải thuật trong trường hợp tốt nhất.

50

2.4. Câu hỏi ôn t ập 4. Bài toán Ước số chung lớn nhất bằng phép trừ:

Tìm USCLN(A, B) với A và B là các số tự nhiên không đồng thời bằng 0.a) Nêu mô tả đệ quy và chỉ rõ phần neo và phần đệ quy.b) Viết 1 hàm đệ quy tính giá trị của hàm này và chỉ rõ 3

đặc điểm của hàm đệ quy.c) Minh họa quá trình tìm USCLN(126, 72).

51

2.4. Câu hỏi ôn t ập 5. Hàm tổ hợp: Cho mô tả đệ quy:

1 nếu K = 0 hoặc K = NC(N, K) =

C(N – 1, K) + C(N – 1, K – 1) nếu 0 < K < Na) Chỉ rõ phần neo và phần đệ quy trong mô tả.b) Minh họa quá trình tìm C(5, 2).c) Viết 1 hàm đệ quy tính giá trị của hàm này và chỉ rõ 3

đặc điểm của hàm đệ quy.d) Viết hàm tính giá trị của hàm bằng giải thuật lặp theo

công thức sau:

K!K)!(NN!

K)C(N,−

=