CHƢƠNG IV MÔĐUN VÀ ĐẠI SỐ · Chƣơng 4: Mô đun – Đại số By: Nguyễn Tiến Thịnh Page 2 Nếu X + K thì vành K là một K-môđun 2. X là một nhóm Alben

Chƣơng 4: Mô đun – Đại số

By: Nguyễn Tiến Thịnh Page 1

CHƢƠNG IV

MÔĐUN VÀ ĐẠI SỐ

Trong chƣơng này chung ta sẽ xét các cấu trúc đại

số có một hoặc hai phép toán hai ngôi cùng với một phép

nhân vô hƣớng, đó là môđun, không gian vectơ và đại số.

Khái niệm môđun là một trong những khái niệm cơ bản

của đại số hiện đại.

§ 4.1 Môđun, Môđun Con, Môđun Thƣơng

4.1.1. Định nghĩa môđun

Giả sử K là vành có đơn vị 1. Một môđun trái trên

vành K (hoặc K-môđun trái) là một nhóm Alben cộng X

đƣợc trang bị phép nhân (bên trái) các phần tử của vành

K với các phần tử của x, tích của phần tử α K với phần

tử x X ta ký hiệu là ax X , sao cho các điều kiện sau

đƣợc thoả mãn đối với mọi x,y X, α, β K:

M1. (α + β )x = αx + βy

a(x + y ) = αx + αy

M2. α(βx) = (αβ)x

M3. 1x = x

Ta có 0x = 0 vì 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x 0x = 0

Phép nhân các phần tử của X với các phần tử của

K goi là phép nhân vô hƣớng.

Khái niệm K-môđun phải (nhân bên phải) đƣợc

định nghĩa tƣơng tự.

Nếu K là vành giao hoán có đơn vị thì các khái

niệm K-môđun trái và K-môđun phải trùng nhau. Thật

vậy nếu đặt xa = ax với a K, x X, thì mỗi K-môđun

trái là K-môđun phải và ngƣợc lại.

Nếu K chỉ là một thể tì mỗi K-môđun trái gọi là

một không gian vectơ trái.

Sau đây chỉ xét các K-môđun trái, nên gọi tắt là K-

môđun

2. Các ví dụ về môđun

1. Giả sử K là một vành có đơn vị và X là một

iđêan trái của vành K và KX X nên X là một K-môđun



Nếu X + K thì vành K là một K-môđun

2. X là một nhóm Alben. Với mỗi phần tử x X, n

Z nếu n > 0 ta đặ nx = x + x + … + x, nếu n < 0 ta đặt

nx = -((-n)x).

Vậy nhóm Alben X là một Z-môđun.

3. Giả sử K là vành có đơn vị, S là tập khác rỗng

cho trƣớc.

Ta đặt

X = Ks = {f: S K}

Tập X là một nhóm Alben cộng với phép toán f,g

X, f + g là ánh xạ từ S vào K xác định bởi:

(f + g)(s) = f(s) + g(s), s S .

Phần tử 0 là ánh xạ xác định bởi: 0(s) = 0, s S.

Phép nhân vô hƣớng các phần tử của vành K với

các phần tử của X định nghía nhƣ sau: f X, α K, αf

là ánh xạ từ S vào K xác định bởi:

(α f )(s) = α f (s), s S.

Dễ thấy rằng X là một K-môđun.

4. Giả sử {Xi } i I là một họ các K-môđun, P là

tích trực tiếp các nhóm Aben cộng Xi, i I

P = i I

Xi = { f : I i I

Xi : f(i)

Xi, i I }.

Phép nhân các phần tử a K với các phần tử f P

đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Ánh xạ:

af : I i I

Xi xác định bởi:

(af)(j) = af(j) ( phép nhân vô hƣớng

trong K-môđun Xj ).

Khi đó các điều kiện M1 – M3 đƣợc thoả mãn và P

là một K-môđun, gọi là tích trực tiếp của họ K-môđun

{Xi} i I. Đặc biệt nếu Xi = X, i I ta luôn có K-

môđun XI.

5. Giả sử K là một vành có đơn vị. Tập cá đa thức

K[x] là một K-môđun đối với phép cộng đa thức và phép

nhân các phần tử của vành K với các đa thức.

6. Giả sử K là một vành có đơn vị, Mn[K] là tập

các ma trận vuông cấp n hệ số trên vành K. Khi đó với

phép cộng ma trận:



A = (aij)nxn B = (bij)nxn: A + B = (aij + bij)nxn và phép nhân

các phần tử của vành K với các ma trận: α . A = ( α α

ij)nxn thì Mn[K] là một K-môđun.

3. Môđun con Giả sử X là một K-môđun. Một môđun con của K-

môđun X là một nhóm con A của nhóm Alben X ổn định

với phép nhân vô hƣớng, tức là x A và a K ta có

ax A.

Dễ thấy rằng mỗi môđun con của K-môđun X

cũng là một K-môđun.

Từ định nghĩa môđun con và điều kiện cần và đủ

để một tập con là một nhóm con ta có:

Tập con A ≠ của K-môđun X là một môđun con

khi và chỉ khi x – y A và αx A x,y A, α ≠,

hoặc một cách tƣơng đƣơng:

α .x + β .y A x,y A, α, β K.

Ví dụ một môđun con:

1. Mỗi K-môđun X có hai môđun con hiển nhiên đó

là X và môđun con tầm thƣờng {0}.

2. Mỗi nhóm con A của nhóm Alben X là một

môđun con của Z – môđun X

3. Giả sử K là một vành có đơn vị. Vành K là một

K-môđun. Khi đó mỗi iđêan trái của K là một

môđun con

4. Giả sử {Xi}i I là một họ K-môđun cho

trƣớc.Xét tổng trực tiếp của các nhóm Alben Xi, i

I

Xi = { f : I i I

Xi : f (j) Xi, f(j) = 0 j I,

trừ một số hữu hạn}

Khi đó Xi là một môđun con của K-môđun con

của K-môđun i I

X

, và gọi là tổng trực tiếp của các K-

môđun Xi, i I.

Dễ thấy rằng giao một họ tuỳ ý khác rỗng các

môđun con của K-môđun X là một môđun con

Giả sử S là tập con của K-môđun con của K-

môđun X. Khi đó tất cả các môđun con của K-môđun X

chứa S là một môđun con và là môđun con nhỏ nhất của



K-môđun X chứa tập S. Ta ký hiệu môđun con đó là

<S>K.

Môđun <S>K. gọi là môđun con sinh bởi tập S.

Đặc biệt nếu <S>K.= X thì S gọi là tập các phần tử sinh

của K-môđun X

Nếu X = <S>K. và card S < thì X gọi là K-

môđun hữu hạn sinh. Nếu X = <{a}>k thì X gọi là K-

môđun xyclic

Ví dụ:

Giả sử K là vành có đơn vị. Ta có K = <{1}>k.

Vậy mỗi vành K có đơn vị là một K-môđun xyclic.

Định lý 4.1:

Giả sử S là một tập con khác rỗng của K-môđun X.

Khi đó ta có :

<S>K. = { 1

n

t

i,xi,ai K, xi S, n

N}

Chứng minh:

ĐẶt A = { 1

n

t

i,xi,ai K, xi S,

m0}

Dễ thấy rằng A là một môđun con của K-môđun

X. Vì mỗi x S. ta có x = 1x A vậy S A. Gải sử B là

một môđun con của K chứa X tập S .Khi đó với ai K,

xi S, m N ta có 1

m

t

ixi B. Do đó AB và A là

môđun con nhỏ nhất của K-môđun X chứa tập S. Vậy thị

<S>k = A.

4. Môđun thương

Giả sử A là một môđun con của K-môđun X. Vì A

là một nhóm con của nhóm Alben X nên ta có nhốm

thƣơng

X

A = { x = x + A : x A}

Với phép toán x + y = x y . y

Bổ đề:



Nếu A là một môđun con của K-môđun X ta có: α

x x , với α K, x X, trong đó α x = (α u : u x )

Chứng minh: Gải sử u x = x + A, khi đó có a

A sao cho u = x + a.

Vậy α u = α x + α a α x + A = x . Do đó : α x

x

Giả sử A là một môđun con của K-môđun X. Theo

bổ đề trên ta có thể định nghĩa phép nhân các phần tử α

K với các phần tử x của nhóm Alben X

A nhƣ sau:

α x = x

Nhóm Alben X

A với phép nhân vô hƣớng (*) là

một K-môđun .

Thật vậy :

Α ( x + y ) = α ( x y ) = x y = x y = x

+ y = α x + α y

Vậy điều kiện M1 đƣợc thỏa mãn. Các điều kiện

M2, M3 cũng đƣợc chứng minh tƣơng tự.

K-môđun X

A gọi là môđun thƣơng của K-môđun X

theo môđun con A



§ 2. ĐỒNG CẤU MÔĐUN

Định nghĩa:

Giả sử X, Y là các K-môđun. Một ánh xạ f: X

Y gọi là một đồng cấu (hoặc đồng cấu của môđun X vào

môđun Y) nếu các điều kiện sau đƣợc thỏa mãn đối với

mọi x1,x2 X, α K:

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

(1)

f(α x1) = f(α x2)

(2)

Dễ thấy rằng hai điều kiện (1) và (2) tƣơng đƣơng

với điều kiện sau:

f(α x1 + β x2) = α f(x1) + β f(x2)

với x1,x2 X; α , β K.

Các khái niệm K- đơn cấu, K- toàn cấu, K- đẳng

cấu đƣợc định nghĩa tƣơng tự nhƣ đồng cấu nhóm.

Định lý 4.2:

Nếu ánh xạ f: X Y là một K- đồng cấu cảu K-

môđun X vào K-môđun Y thì ta có:

Ảnh Im(f) = f(X) là môđun con của Y

Nhân Ker(f) = f1 ({0}) là môđun con của X

Chứng minh:

Vì f là một tổng đồng cấu nhóm nên Im(f) và

Ker(f) là các nhóm con của Y và X tƣơng ứng. Ta cần

chứng tỏ các nhóm con này ổn định đối với phép nhân vô

hƣớng

Giả sử α K, y Im(f) . Khi đó có x X sao cho f(x) =

y

Ta có α y = α f(x) = f(α x) Im(f). Với x Ker(f)

ta có f(α x) = α f(x) = α 0 = 0.

Vậy α x Ker(f)

Giả sử A là một môđun con của K-môđun X > Khi

đó phép chiếu tự nhiên p: X X

A xác định bởi p(x) = x

là một K- toàn cấu và A = Ker(p)



Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp lý thuyết nhóm ta

có định lý sau:

Định lý 4.3: (Đinh lý đồng cấu)

Giả sử f: X Y là một K-đồng cấu của K-môđun

X vào K-môđun Y, khi đó ta có K- đẳng cấu :

X

Ker f Im(f)

Giả sử K là một vành giao hoán có đơn vị, X và Y

là các K-môđun. Ta ký hiệu Homk(X;Y) là tập tất cả các

K- đồng cấu cảu K-môđun X vào K-môđun Y. Phép cộng

trong tập Homk(X;Y) và phép nhân các phần tử của vành

K với các phần tử của Homk(X;Y) đƣợc định nghĩa nhƣ

sau:

Với f, g Homk(X;Y), f + g là K- đòng cấu xác

định bởi:

(f + g)(x) = f(x) + g(x),

với x X

Với f Homk(X;Y), α K, α f là K- đồng cấu

xác định bởi:

(α f)(x) = α f(x)

Dễ dàng chứng minh rằng Homk(X;Y) với hai

phép toán trên là một K-môđun

Nếu Y = K thì X* = Homk(X;Y) gọi là môđun đối

ngẫu nhiên của môđun X, các phần tử của X* gọi là các

dạng tuyến tính trên X. Nếu K là một trƣờng thì X* gọi là

không gian đối ngẫu



§ 3 MÔĐUN TỰ DO

Giả sử X là một K-môđun, B là một tập con của X.

Phần tử x X gọi là một tổ hợp tuyến tính của các phần

tử của tập B với hệ số trong K nếu phần tử x có thể biểu

diễn dƣới dạng

X = 1

n

i

ixi

Trong đó xi B, i = 1…n.

Theo định lý 4.1 thì môđun k, môđun con sinh

bởi tập B là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần

tử B

Độc lập tuyến tính, cơ sở:

Giả sử B là tập con của K-môđun X. Tập B gọi là phụ

thuộc tuyến tính nếu B có một tổ hợp tuyến tính tầm

thƣờng. Tức là tồn tại các phâng tử x1, x2, ….., xm thuộc

B và các hệ tử a1, a2, ….., ,am thuộc K, có ít nhất một ai

0 sao cho:

a1x1 + a2x2 + ….+ amxm = 0

Tập con B của K-môđun X không phụ thuộc tuyến

tính gọi là độclập tuyến tính

Theo định nghĩa ta có: tập con B của một K-

môđun X là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi đối với mọi

họ các phần tử x1, x2, ….., xm thuộc B nếu: a1x1 + a2x2 +

….+ amxm = 0, a K thì ai = 0, i = 1,…,m.

Mỗi hệ sinh của K-môđun X độc lập tuyến tính gọi

là cơ sỏ của X

Mỗi K-môđun có một cơ sở gọi là K-môđun tự do

Từ định nghĩa ta có: Nếu B là một cơ sở của K-

môđun tự do X thì mỗi phần tử x X đƣợc biểu diễn một

cách duy nhất dƣới dạng :

x = 1x1 + 2x2 +…….+ nxn

trong đó xi B, i = 1,….,n.

Giả sử K là một vành có đơn vị 1. Với mỗi tập I

cho trƣớc ta đặt K(1)

= 1iKi,trong đó Ki = K, với i I

Nếu I = , ta đặt K(1)

= {0}. Vậy mỗi tập I ta có K-

môđun K(1)



Bổ đề 1:

Giả sử vành K ≠ {0}.có đơn vị 1 cà I là tập khác

rỗng cho trƣớc. Khi đó K(I)

là một K-môđun tự do với cơ

sở {ei}i I , trong đó ánh xạ ei: I K đƣợc xác định nhƣ

sau:

Eei (j) = ij = 0

1

neu i j

neu i j

( ij là ký hiệu Crônecke)

Cơ sở {ei}i I gọi là cơ sở chính tắc của K-môđun

K(1)

Chứng minh:

Tập {ei}i I là một hệ sinh của K(1)

. Thật vậy, vì

mỗi phần tử f K(1)

tƣơng ứng với một họ các phần tử

{f(i)}i I cảu K, trong đó hầu hết f(i) = 0 chỉ trừ một số

hữu hạn. theo định nghĩa phép cộng trong nhóm Alben

K(1)

và phép nhân vô hƣớng với các phần tử của vành K

ta có :

F = i I

f( i ) ei

Họ {ei}i I độc lập tuyến tính. Thật vậy, gải sử

i I

iei = 0 , với mọi j I ta có:

j = ( i I

iei)(j) = 0 ( j) = 0

Giả sử S là một tập khác rỗng. Theo bổ đề 1 ta có

K-môđun tự do X = K(1)

với cơ sở {es}s S. Nếu đồng

nhất mỗi phần tử s S với phần tử es X, ta có thể xem

S là một cơ sở của K-môđun tự do X và mỗi phần tử x

X có biểu diễn duy nhất

x = s S

k

ss

Trong đó chỉ một số hữu hạn ks ≠ 0

Khi đó ta nói rằng X là một K-môđun tự do trên

tập S

Dƣới đây ta luôn giả thiết vành K ≠ {0} có đơn vị

1



Bổ đề 2:

Giả sử X là một K-môđun và B = {bi}i Ilà một họ

các phần tử của X, khi đó các điều khẳng định sau là

tƣơng đƣơng:

i. Tập B độc lập tuyến tính

ii. Đối với mọi K-môđun Y và mọi họ

các phần tử S = {yi}i I của Y tồn tại duy nhất một K-

đồng cấu f: k Y sao cho f(bi) = yi, i I.

Chứng minh:

(i) (ii): Mỗi phần tử x k đƣợc biểu diễn duy

nhất đƣới dạng x = i I

ibi trong đó chỉ có một số hữu

hạn ≠ 0

Ánh xạ f: k Y xác định bởi:

Ff(x) = f ( i I

ibi ) = i I

iyi

Là K- đồng cấu duy nhất thỏa man (ii)

(ii) (i): Chọn Y = K(i)

và yi = ei, i I, trong đó {ei}i I

là cơ sở chính tắc. Theo giả thiết của (ii) tồn tại duy nhất

K- đồng cấu f: k Y sao cho f(bi) = ei, i

I

Giả sử 1

n

k

kbik = 0, bik {bi}i I , h K. Khi đó

:

0 = f(1

n

k

kbik) = 1

n

k

k f (bik) = 1

n

k

keik

Vì {ei}i I độc lập tuyến tính nên k = 0, k =

1,….,n. Vậy tập {bi}i I độc lập tuyến tính

Hai định lý quan trọng sau đây là hệ quả của bổ đề

2:

Định lý 4.4 :

Giả sử X là K-môđun tự do với cơ sở S. Khi đó

mọi ánh xạ f từ tập S vào K-môđun Y bất kỳ đều có thể

mở rộng duy nhất thành K- đồng cấu f : X Y

Định lý 4.5:

Mỗi K-môđun tự do X với cơ sở S đẳng cấu với K-

môđun tự do K(S)

.

Tƣơng tự nhƣ nhóm Alben tự do, ta có định lý sau:



Định lý 4.6:

Mỗi K-môđun đẳng cấu với môđun thƣơng của

một K-môđun tự do

Chứng minh:

Giả sử X là một K-môđun cho trƣớc. Ta chọn tập

B = {bi}i I là cơ sở chính tắc của K-môđun tự do K(i)

Theo định lý 4.1 có thể mở rộng thành K- đồng cấu

f :K(1)

X

Dễ thấy f là một K- toàn cấu. Theo định lý đồng

cấu môđun ta có: (1)K

Ker( )fX

Theo bổ đề 1 với mỗi tập I ≠ bất kỳ ta xây dựng

đƣợc K-môđun tự do K(I)

, có một cơ sở là {ei}i I có lực

lƣợng bằng card I. Điều này dẫn đến hai câu hỏi sau đây:

1. Phải chăng mỗi K-môđun là tự do ? (Đẳng cấu

với K(I)

, với I nào đó )

2. Với điều kiện nào thì các cơ sở của K-môđun tự

do X có cung lực lƣợng ?

- Nếu K là một trƣờng, khi đó mỗi K-môđun là

một không gian vectơ trên K. Ta đã có câu trả lời khẳng

định cho cả hai câu trả lời trên (giáo trình đại sô tuyến

tính).

- Nếu K không phải là trƣờng thì câu hỏi 1) có câu

trả lời phủ định. Chẳng hạn với K là vành các số nguyên

Z trong Z-môđun ZnZ

với mọi x ZnZ

ta có nx = 0. Vậy

trong Z-môđun ZnZ

không có hệ con độc lập tuyến tính,

do đó nó không phải là A-môđun tự do

- Liên qua đến câu hỏi 2) ta đã có định lý 2.29 ở

chƣơng II, đối với các Z-môđun tự do. Kết quả này cũng

đúng với vành K giao hoán có đơn vị và K- môđun tự do

có một hệ sinh hữu hạn.

Khi tất cả các cơ sở của K-môđun tự do X có cùng

lực lƣợng thì lực lƣợng đó gọi là sô chiều của môđun ký

hiệu là dimKX. Vật tất cả các nhóm Alben tự do hạng n là

Z-môđun n – chiều.



§ 4 ĐẠI SỐ

1. Định nghĩa đại số

Giả sử k là một vành có đơn vị, giao hoán. Một đại

số trên K hoặc một K – đại số là một K – môđun X đƣơc

trang bị một phép toán nhân; tích của hai phần tử x, y

X ký hiệu là xy sao cho các điều kiện sau đƣợc thỏa mãn:

a. Phép nhân trong X phân phối đối với phép cộng

trong X:

x(y + z) = xy + xz

(y + z)x = yx + zx với x,y,z X

b. Phép nhân trong X và phép nhân vô hƣớng các

phần tử cảu vành K thỏa mãn điều kiện:

(α x)y = α (xy) , α K; x,y X

Phép nhân trong K-môđun X thỏa mãn các điều

kiện a) và b) gọi là phép nhân song tuyến tính.

Các điều kiện a) và b) tƣơng đƣơng với điều kiện;

(α s + β y)z = α (xz) + β (yz)

x(α y + β z) = α (xy) + β (xz)

với mọi α, β K và x, y, z X.

Nếu X là K-môđun tự do thì X gọi là đại số tự do.

Bằng cách ấn định các điều kiện: giao hoán, kết hợp, có

đơn vị…..cho phép nhân,ta đƣợc các kiểu đại số: giao

hoán, kết hợp, có đơn vị….Chẳng hạn K-đại số X có

phép nhân thỏa mãn điều kiện xx = 0 với x X và đồng

nhất thức Jacobi:

x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0 với x, y, z X

Ví dụ đại số:

1. Mỗi vành K giao hoán có đơn vị là một K-đại số

trên chính nó. Mỗi idêan I K là một K- đại số

2. Tập các đa thức K[x] là một K-đại số với phép

cộng và phép nhân đa thức

3. TậpMn[K] các ma trận vuông cấp n là một K-đại

số kết hợp có đơn vị, không gioa hoán đối với phép cộng,

phép nhân ma trận và phép nhân các ma trận với các

phần tử vô hƣớng

2. Đại số con, iđêan, đại số thương



1) Giả sử X là một K-đại số. Một đại số con của K-

đại số X là một môđun con A của K-môđun X ổn định

đối với phép nhân, tức là nếu x,y A thì xy A

Ví dụ mỗi vành K giao hoán có đơn vị là một K-đại số

trên chính nó. Khi đó mỗi iđêan I K là một đại số con

Tập các ma trận tam giác trên là một đại số con của K-

đại số Mn[K]

2) Iđêan trái của K-đại số X là một đại số con A

thoả mãn XA A (tức là nếu x , a A, xa A)

Tƣơng tự, môt iđêan phải của K-đại số X là một

đại số con A thoả mãn AX A

Một đại số con A vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của

K-đại số X gọi là iđêan, ký hiệu là A X

Tƣơng tự nhƣ trong lý thuyết vành, nếu A là một

iđêan cảu K-đại số X thì trong môđun thƣơng

X

A = { x = x + A : x A }

Ta có thể định nghĩa phép nhân nhƣ sau:

x y = xy , x , y X

A

Khi đó X

A là một K-đại số, gọi là đại số thƣơng

của K-đại số X theo iđêan A

3. Đồng cấu đại số

Giả sử X,Y là các K-đại số. Ta gọi là K- đồng cấu

đại số cảu K-đại số X vào K-đại số Y là một K- đồng cấu

f của môđun X vào môđun Y thoả mãn:

Ff(xy) = f(x)f(y) x,y Y

Tƣơng tự nhƣ trong lý thuyết vành ta có:

Giả sử f là môt K- đồng cấu đại số của K-đại số X

vào K-đại số Y. Khi đó ta có :

* Ảnh Im(f) = f(X) là một đại số con của đại

số Y

* Nhân Ker(f) = f1({0}) là một iđêan của đại

số X

* Ta có đẳng cấu đại số

X

Ker f Im(f)



Nếu A là một iđêan của K-đại số X, khi đó phép

chiếu p: X X

A, p(x) = x là một K- đồng cấu đại số và

A = Ker(p).

4. Các đại số xác định bởi bảng nhân

1. Bảng nhân:

Mệnh đề sau đây có thể dùng để xây dựng nhiều

đại số quan trọng:

Mệnh đề 4.7:

Giả sử K là vành giao hoán có đơn vị, A là một K-

môđun tự do với cơ sở {ei}i I và {ij

k

}ij, k Ilà một họ

các phần tử của K sao cho với i,j cố định {ij

k

}k I là một

họ có giá trị hữu hạn, tức là ij

k

= 0 với hầu hết k I, trừ

một số hữu hạn. Khi đó ta có:

i) Trong A tồn tại duy nhất phép nhân song tuyến

tính sao cho với i, j I

eiej = ij

k

k I

ek (*)

Công thức (*) gọi là bảng nhân

ii) Phép nhân xác định bởi (*) là kết hợp nếu và chỉ

nếu

(eiej)em = ei(ejem) i,j,m I

iii) Phép nhân xác định bởi (*) là giao hoán nếu và

chỉ nếu

eiej = ejei i,j I

Chứng minh: Giả sử x A, y A. Khi đó các

phần tử x, y có thể biểu diễn duy nhất dƣới dạng:

x = i I

xiei, y = j I

yjej a

trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số xi, i I yi , j I

khác 0.

Ta định nghĩa phép nhân trong A nhƣ sau:

Xxy = ( i I

xiei)(j I

yjej ) =

i I

j I

k I

xiyi ij

k

ek



Đó là phép nhân song song tuyến tính duy nhất

trong A thoả mãn (*). Với phép nhân này, A là một K-đại

số. Dễ dàng kiểm tra lại rằng K-đại số A là kết hợp nếu

điều kiện ii) đƣợc thoả mãn và là giao hoán nếu điều kiện

iii) đƣợc thoả mãn.

2. Trường hợp số phức C:

Ta ký hiệu R là trƣờng số thực. Khi đó R2 = R R

là một R-môđun tự do với cơ sở

e1 = (1,0), e2 = (0,1)

Ta xây dựng một phép nhân song song tuyến tính

trong R2 nhƣ sau:

e1e1 = e1, e1e2 = e2e1 = e2; e2e2 = -e1

Ta đƣợc một R-đại số hai chiều, giao hoán, kết

hợp, có đơn vị là e1 = (1,0). Đại số này chính là

trƣờng số phức C. Đơn vị ảo i = e2 = (0,1)

Ánh xạ j: R C xác định bởi

j(a) = (a,0)

là một R- đơn cấu đại số. Nếu đồng nhất phần tử a R

với phần tử j(a) = (a,0) C, ta có 1 = (1,0) = e1. Khi đó

z C có thể viết dƣới dạng: z = ae1 + be2 = a + bi,

trong đó a,b R. Đó là dạng đại số của số phức.Với z =

a + ib ≠ 0, khi đó :

z-1

= 2 2a b

a bi

Ánh xạ z z = a – bi là một tự đẳng cấu của R-

đại số C

3. Thể quatecniông H:

Hamintơn đã xây dựng R-đại số không giao hoán

sau đây có nhiều ứng dụng trong cơ học và vật lý học:

R4 = RRRR là một R-môđun tự

do với cơ sở

e = (1,0,0,0), i = (0,1,0,0),

j = (0,0,1,0), k = (0,0,0,1).

Ta định nghĩa một phép nhân song tuyến tính trên

R-môđun tự do R4 nhƣ sau:



x e i j k

e e i j k

i i -e k -j

j j -k -e i

k k j -i -e

Không gian vectơ R4 đƣơc trang bị phép toán nhân

song tuyến tính xác định bởi bảng nhân trên đây là một

K-đại số 4 chiều, không gian hoán, kết hợp, có phần tử

đợn vị là e. R-đại số này ký hiệu là H. Các phần tử cảu

đại số H đó gọi là quatecniông

Xét ánh xạ u: R H, xác định bởi

u(x) = (x,0,0,0), với x R

là một R- đơn cấu đại số. Nếu ta đồng nhất x với u(x) thì

R là một đại số con của R- đại số H. Khi đó mỗi

quatecniông a H có thể viết dƣới dạng

a = x + yi + zj + ik

trong đó x, y, z, t R

Ta định nghĩa liên hợp của quatecniông a là

quatecniông:

a = x – yi – zj – tk

Dễ thấy rằng với a,b H, R ta có :

a a b = a + b , a = a , ab = ab , a =

a, 1 = 1

Vậy ánh xạ a a là một tự đẳng cấu của R-đại số

H.

Số thực a = aa = 2 2 2 2x y z t gọi là

chuẩn quatecniông a = x + yi + zj + tk

Với a H, a ≠ 0 ta có a 2

a

a = 1. Vậy mọi

quatecniông a ≠ 0 khả nghịch và a-1

= 2

a

a. Vậy R-đại số

H là một thể

Ta đã có ba thể R, C và H là các R-đại số hữu hạn

chiều. Một vấn đề đƣợc đặt ra là tìm tất cả cá thể là R-đại

số hữu hạn chiều. Năm 1873, Frobeniuxơ đã cho một câu

trả lời ngạc nhiên và lý thú: Ngoài ba thể R, C và H

không còn thể nào khác là R-đại số hữu hạn chiều.



4. Đại số đa thức K[x]:

Giả sử K là vành giao hoán có đơn vị. Tập các đa

thức K[x] với phép cộng, phép nhân đa thức là một K-đại

số giao hoán, kết hợp có đơn vị. Đại số đa thức K[x] là

một K-đại số tự do, với cơ sở x0 = 1, x, x

2, …x

n, … có

bảng nhân xác định nhƣ sau:

xix

j = x

i+j, i,j = 0, 1, 2, ….

Xét K-môđun tự do: K(N)

= 0i

Ki, Ki = K, i N

Ta biết rằng K(N)

có cơ sở chính tắc là:

e0 = (1, 0, 0, ……….)

e1 = (0, 1, 0, ……….)

e2 = (0, 0, 1, ……….)

………………

En = (0, 0, 0, ……, 0, 1, 0,….), ……..

Trong K-môđun K(N)

ta định nghĩa phép nhân nhƣ

sau:

eiej = ei+j

Khi đó K(N)

là một K-đại số tự do. Dễ thấy rằng

phép tƣơng ứng xi với ei, xác định với một K- đẳng cấu

đại số của K[x] tới K(N)

. Vậy ta có

K[x] K(N)

5. Đại số ma trận Mn[K]

Tập Mn[K] các ma trận vuông cấp n hệ số trên

vành K giao hoán, có đơn vị là một K-đại số kết hợp có

đơn vị không giao hoán đối với phép cộng. Mn[K] là một

K-đại số tự do với cơ sở Eij = (are)n n’ trong đó are = 1 nếu

(r, s) = (i, j) và are = 0 nếu (r, s) ≠ (i, j), ta có bảng nhân:

EirEaj = ijE

0

neu r s

neu r s

Ta có dim Mn[K] = n2.

§ 5 TÍCH TENXƠ VÀ TENXƠ

1. Dạng tuyến tính và môđun đối ngẫu



Dƣới đây ta luôn giả thiết vành K ≠ 0, giao hoán

có đơn vị 1. Giả sử E là một K-môđun. Môđun E* =

HomK(E;K) đƣợc gọi là môđun đối ngẫu của môđun E.

Mỗi phần tử của E*. gọi là một dạng tuyến tính trên E.

Vậy mỗi dạng tuyến tính trên E là một ánh xạ u: E K

thoả mãn:

u(x + y) = u(x) + u(y)

u( x) = u(x)

(1)

Phép cộng các phần tử của E* và phép nhân các

phần tử của vành K với các phần tử của E* đƣợc xác

định bởi công thức sau:

(u + v)(x) = u(x) + v(x),

( u)(x) = u(x)

(2)

Giá trị của u E* tại x E sẽ đƣợc ký hiệu là <x | u>

a. Môđun đối ngẫu của môđun tự do:

Mệnh đề 4.8:

Giả sử E là một K-môđun tự do với cơ sở {e1, e2,

…, en}. Khi đó E* là một K-môđun tự do với cơ sở {e1,

e2, …, e

n}, trong đó e

i, j = 1, …, n là các dạng tuyến tính

đƣợc xác định bởi:

<ei | ej> = ij =

1

0

neu i j

neu i j

Cơ sở {e1, e

2, …, e

n} gọi là cơ sở đối ngẫu của cơ

sở {e1, e2, …, en}

Chứng minh:

Theo định lý 4.4 các hệ thức <ei | ej> = e

j(ei) = ij,

i,j = 1, …, n xác định n dạng tuyến tính e1, e

2, …, e

n trên

E.

Hệ {e1, e

2, …, e

n} độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả

sử 1

n

k

kek = 0. Theo (2) với i = 1, , n ta có:

(1

n

k

kek)(ei) =

1

n

k

kek (e

i) =

1

n

k

k ik

= i = 0



Với x E, x = 1

n

k

kek ta có :

ei(x) =

1

n

k

kei (ek) =

1

n

k

k ik =

Do đó với mọi u E* ta có:

u(x) = 1

n

k

ku(ek) = 1

n

k

u

(ek)ek(x) =

1

n

k

u

(ek)ek(x)

Từ đó ta có u = 1

n

k

u

(ek)ek.

Do đó {e1, e

2, …, e

n}là một hệ sinh của E*. Vậy

E* là K-môđun tự do với cơ sở {e1, e

2, …, e

n}.

b. Tính đối ngẫu giữa E và E*:

Ta ký hiệu (E*)* = E**, môđun đối ngẫu của

môđun E**.

Ứng với mỗi x E ta xét ánh xạ x : E* K xác

định bởi:

x (u) = <x | u> = u(x).

Theo (2) x là một dạng tuyến tính trên E*. Ta có

x E**. Theo (1) với mọi x, y E, K ta có:

x + y = x + y , x = x

Vậy ánh xạ x x là một K-đồng cấu của môđun

E vào môđun E** và đƣợc gọi là ánh xạ chính tắc.

Theo mệnh đề 4.8, nếu E là môđun tự do với cơ sở

{e1, e2, …, en} thì E* là một môđun tự do với cơ sở {e1,

e2, …, e

n}, do đó ánh xạ chính tắc là một đẳng cấu

chuyển cơ sở {e1, e2, …, en} thành cơ sở đối ngẫu của cơ

sở {e1, e

2, …, e

n}. Vậy ta có thể đồng nhất E với E**.

Khi đó biểu thức <x | u> thể hiện sự đối ngẫu giữa E và

E* với u E*: <x | u> = u(x). Với x E:<x | u> = x(u).

Chú ý: Khi E là một K-môđun tự do với cơ sở vô

hạn {ei, i I}, ta có E K(I)

và E* KI và có thể chứng

minh rằng ánh xạ chính tắc từ E và E** là một đơn cấu

2. Ánh xạ song tuyến tính Giả sử E, F và G là K-môđun



một ánh xạ : E F G đƣợc gọi là song ánh tuyến tính

nếu (x, y) tuyến tính theo mỗi biến, tức là:

(x + x’, y) = (x,y) + (x’ + y)

( x, y) = (x,y)

(3)

(x,y’ + y) = (x,y) + (x+y’)

(x, y) = (x,y)

(4)

Dễ thấy rằng tập (E2, G) các ánh xạ song

song tuyến tính từ E F vào G là một môđun

con của K-môđun GE F

Ánh xạ (E2, G) gọi là đối xứng (phản đối

xứng) nếu (x,y) = (y,x) ( (x,y) = - (y,x)) đối với

mọi x,y E. Tập các ánh xạ song song tuyến tính đối

xứng (phản đối xứng) là một môđun con của K-môđun

(E2, G).

Phép nhân trong một K-đại số A là một ánh xạ

song tuyến tính từ A A vào A ; Nếu ánh xạ song tuyến

tính đó đối xứng thì A là một K-đại số giáo hoán

Giả sử E là một K-môđun tự do với cơ sở {ei:i

I}, F là một K-môđun tự do với cơ sở {fj: j J}. Đối với

mọi x = i I

a

iei , y = j J

jfj và với mỗi (E F, G),

theo (3), (4) bằng quy nạp ta có:

(x,y) = ( , )i j I J

i i (ei, fi)

(5)

Đẳng thức (5) chứng tỏ rằng ánh xạ song tuyến

tính đƣợc xác định duy nhất bởi tập các giá trị { (ei,

fi)}. Hơn nữa tập các giá trị đó có thể chọn bất kỳ. Và

nếu {zij: (i,j) IJ} là một họ tùy ý các phần tử cảu G,

khi đó công thức:

(x,y) = ( , )i j I J

i jzij

Xác định một ánh xạ song tuyến tính từ E F vào

G thảo mãn (ei,fi) = zij.



a. Dạng song tuyến tính

Mỗi ánh xạ song tuyến tính từ E F vào K đƣợc

gọi là một dạng song tuyến tính trên E F

Khái niệm dạng song tuyến tính liên quan chặt chẽ

với khái niệm tích tenxow, có một vai trò quan trọng

trong toán học và vật lý

b. Tích tenxơ của các dạng tuyến tính

Giả sử E,F là các K-môđun. Tích tenxơ của các

dạng tuyến tính u E*, v F* là một ánh xạ u v từ E

F vào K’ đƣợc xác định bởi:

(u v)(x,y) = u(x)v(y)

(6)

Dễ thấy rằng u v là một dạng song tuyến tính

trên E F

Từ công thức (5) trực tiếp suy ra mệnh đề sau đây:

Mệnh đề 4.9:

Gia sử E là mộe K-môđun tự do có một cơ sở hữu

hạn {ei: i I}, I = {2,….,n} và F là một K-môđun tự do

với cơ sở hữu hạn {fj: j J}, J= {2,….,m}. Ký hiệu {ei: i

I} là cơ sở đối ngẫu của cơ sở {ei: i I} và {fj: j J}

là cơ sở đối ngẫu của cơ sở {fj: j J}. Khi đó hệ các

dạng song tuyến tính {ei f

i :(i,j) I J} là một cơ sở

của K-môđun (E F,G).

c. Tích tenxơ cảu hai môđun tự do

Giả sử E là một K-môđun tự do với cơ sở hữu hạn

{ei: i I} và F là một K-môđun tự do với cơ sở hữu hạn

{fj: j J},. Do tính chất đối ngẫu giữa E và E*, giữa F và

F* ta có thể định nghĩa tích tenxơ của phần tử s E với

phần tử y F xác định bởi sông thức:

(x y)(u,v) = x(u)y(v) = <x | u><y | v>

(7)

Theo mệnh đề 4.9 hệ {ei fi :(i,j) I J} là một

cơ sở của K-môđun (E* F

*;K). Môđun này đƣợc gọi

là tích tenxơ cảu E và F ký hiệu E F

Chú ý: Trƣờng hợp E và F là các K-môđun tự do bất kỳ,

E có cơ sở {ei: i I}, F có cơ sở {fj: j J}, thì các tích



tenxơ E F đƣợc định nghĩa nhƣ một K-môđun (E*

F*;K) sinh bởi họ {ei fi :(i,j) I J}

d) Tích tenxơ của hai môđun bất kỳ

Cơ sở của định nghĩa tích tenxơ E F của hai K-

môđun tự do E và F trên đây là sử dụng tính chất đơn cấu

cuả ánh xạ chính tắc E E**

và F F**

.

Trong trƣờng hợp tổng quát, ngƣời ta định nghĩa

tích tenxơ E F cảu hai K-môđun bất kỳ E và F nhƣ

môđun thƣơng của K-môđun tự do L = K(EF)

theo

môđun con M sinh bởi các phần tử có dạng:

(x+x’,y)-(x,y)-(x’,y),(ax,y)-a(x,y),x,x’ E,y F, a

K

(x,y+y’)-(x,y)-(x,y’),(x,ay)-a(x,y), x E,y,y’ F,

a K (8)

Ký hiệu x y = ( x, y ) = (x,y) + M, x E, y F.

Dễ thấy rằng toàn ánh chính tắc p: E F E F

= L/M, xác định bởi p(x,y) = x y là một ánh xạ song

tuyến tính.

Giả sử E, F và G là các K-môđun tùy ý cho trƣớc.

Dễ dàng chứng minh đƣợc rằng:

E K E,

E F F E,

(9)

(E F) G E (F G)

Do đó tích tenxơ của một họ hữu hạn bất kỳ các K-

môđun là hoàn toàn xác đị .

3. Ánh xạ đa tuyến tính Giả sử E1, E2,….,Ep và G là các K-môđun.

Ánh xạ f: (E1 E= … Ep) G gọi là p-tuyến tính

(hoặc đa tuyến tính, p2) nếu f(x1,x2,…,xp) tuyến tính

theo từng biến, tức là đối với mỗi i, 1 i p, xi, x’i Ei,

a Ei, a K ta có:

f(x1,….,xi + x’i,….,xp) = f(x1,…,xi,…,xp) +

f(x1,….,x’i,….,xp)

f(x1,…,axi,….,xp) = af(x1,…,xi,…,xp)

(10)



Dễ dàng thấy rằng tập (E1 E2 ……Ep ;G)

các ánh xạ p-tuyến tính từ E1 E2 ……Ep vào G là

một môđun con của K-môđun GE1 E2 ……Ep

, mỗi ánh

xạ (E1 E2 ……Ep ;K) đƣợc gọi là một dạng

p-tuyến tính trên E1 E2 ……Ep

Ánh xạ (Ep ;G) đƣợc goi là đối xứng nếu

thỏa mãn điều kiện sau đây đối với mọi i,j =1,…,p

(x1,…,xi,…,xj,…,xp) = (x1,…,xj,…,xi,…,xp)

(11)

Và đƣợc gọi là phản đối xứng nếu

(x1,…,xi,…,xj,…,xp) = - (x1,…,xj,…,xi,…,xp)

(12)

Tích tenxơ của các dạng tuyến tính u *

1E , v *

2E ,…., w *

pE , ký hiệu u v … w là một dạng đa

tuyến tính trên E1 E2 ……Ep đƣợc xác đị bởi:

( u v … w)(x,y,…,z) = u(x)v(y)…w(z)

(13)

Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp dạng song tuyến tính ta

có mệnh đề sau đây là một tổng quát hóa của mệnh đề

4.9 cho trƣờng hợp dạng đa tuyến tính

Mệnh đề 4.10:

Giả sử E1 là một K-môđun tự do với cở sở hữu hạn

{ei: i I},…,Ep là K-môđun tự do với cơ sở hữu hạn {gl:

l L}. Ta ký hiệu {ei: i I} là cơ sở đối ngẫu của {ei: i

I},…,{gl: l L} là cơ sở đối ngẫu của {gl: l L}. Khi

đó tập các dnạg đa tuyến tính {ei … gl: (i,…,l) I

… L}là một cơ sở của K-môđun (E1 E2

……Ep ;K)

Tƣơng tự ta định nghĩa tích tenxơ E1 … Ep

của các K-môđun E1,…Ep của các K-môđun (E*1

E*2 ……E*p ;K) Môđun E1 … Ep có cơ sở là

{ei … gl: (i,…,l) I .. L}

4. Tenxơ



Giả sử E là một K-môđun tự do có cơ sở hữu hạn

b={ei: i I = {1,2,…,n}}. Ta ký hiệu pE

* = (E

p,K)

và qE = (E

*q,K). Mỗi phần tử của

pE

* gọi là một

tenxơ p-lần hiệp biến trên E; Mỗi phần tử của qE gọi là

một tenxơ q-lần phản biến trên E

Mỗi phần tử của (pE

*) (

qE ) đƣợc gọi là một

tenxơ kiểu (p,q) trên E.

Mỗi phần tử của (pE

*) (

qE ) đƣợc gọi là một

tenxơ kiểu (p,q) trên E.

Ví dụ:

- Tenxơ kiểu (0,1) là một phần tử của E

- Tenxơ kiểu (1,0) là một dạng tuyến tính

trên E.

- Tenxơ kiểu (2,0) là một dạng song tuyến

tính trên E*.

- ……

Theo các mệnh đề 4.8, 4.10 ta có:

pb = {eij …. eip: (il,….ip) I

p}

(a)

Là một cơ sở của pE:

pb

* = {e

ij …. e

ip: (il,….ip)

Ip} (b)

Là một cơ sở của pb

*

Tính chất đối ngẫu giữa pE và

pE

* có thể biểu

thị bởi dạng song tuyến tính <.|.> trên pE

pE

* xác

định nhƣ sau:

<eij …. eip | eij …. e

ip> =

= < eij | eip

>….< eip | eip

>= 1 1i j …. ipjp

(14)

Nếu T = p

1 p

i1 ip

i ,..,i I

T

ei1 … eip,

S = p

1 pi ,..,i I

S

j1-jp eij … e

ip

Thì theo (5) và (13) ta có:

<T | S> = p

1 p

i1 ip

i ,..,i I

T

Si1,…ip

(15)



Đối với T = x1 … xp S = u1 … up, trong

đó xi =

1

n

k

i

ku ek, i = l,…p thì theo (13) ta có :

<x1 … xp | u1 … u

p>

= p

1 pi ,..,i I

1

ipx .. 1i

px1

1iu … p

ipu

<x1 … xp | u1 … u

p>

=<x1|u1>…<xp|u

p> (16)

Đẳng thức (16) chứng tỏ tính đối ngẫu giữa

pL và

pE

* đƣợc xác định bởi hệ thức (14)

không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở b của K-

môđun E.

§6 ĐẠI SỐ TENXƠ

Giả sử E là một môđun trên vành K giao hoán có

đơn vị 1.

Với mỗi số nguyên n 0 ta định nghĩa một K-

môđun T nhƣ sau:

T0 = K, T1 = T0 E,…, Tn = Tn-1

E,…

Đặt

TK(E) = 0n

Tn

(1)

TK(E) là một K-môđun. Với mỗi n 0, Tn có thể

đồng nhất với mỗi môđun con của TK(E). Khi đó tổng

trực tiếp (1) là sự phân tích của K-môđun TK(E) thành

tổng trực tiếp các môđun con.

Vì TK(E) là K-môđun sinh bởi 1 K và các tích

tƣn x1 … xn Tn của các phần tử x1,…,xn thuộc

E do đó để TK(E) trở thành một K-đại số ta có thể định

nghĩa một phép nhân song tuyến tính trong TK(E) nhƣ

sau:

1(x1 … xn) (y1 … yp) = x1 … xn y1

… y1 (2)



Dễ dàng kiểm tra lại rằng K-môđun TK(E) với

phép nhân song tuyến tính xác định bởi (2) là một K-đại

số kết hợp có đơn vị 1.

K-đại số TK(E) gọi là đại số tenxơ trên K-môđun E.

Các phần tử của K-đại số tenxơ TK(E) có dạng x1

… xn Tn với mọ n 1 nào đó, gọi là phần tử

phân tích đƣợc của TK(E).

§7 ĐẠI SỐ NGOÀI

1. Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên Giả sử E, G là các môđun trên vành K giao hoán có

đơn vị. Ánh xạ p-tuyến tính T từ Ep vào G gọi là thay

phiên nếu trong các phần tử x1,…,xp E có hai phần tử

trùng nhau, tức là x1 = xj = x, 1 i < j p thì

T(x1,….,xp) = 0

(1)

Dễ thấy rằng tâp các ánh xạ p-tuyến tính thay

phiên là một môđun con của K-môđun (Ep

,G)



Giả sử E là K-môđun tự do có cơ sở hữu hạn {ei: i

I }, I = {1,2,…,n}. Ta ký hiệu ΛpE là tập các dạng p-

tuyến tính thay phiên trên E*p

. Khi đó ΛpE là một môđun

con của môđun pE = (E

p,K) . Ta sẽ khảo sát các K-

môđun ΛpE và Λ

pE*. Để dễ phân biệt các phần tử của

ΛpE ngƣời ta gọi là p-vectơ còn các phần tử của Λ

pE* gọi

là p-dạng.

Mệnh đề 4.11:

Với p>1, mỗi p-vectơ của à là phản đối xứng. Nếu

vành K thỏa mãn điều kiện: nếu 2 = 0 thì = 0, thì

mỗi tenxơ phản đối xứng của pE là p-vectơ.

Chứng minh:

Giả sử T ΛpE, (i,j) (Sp, i<j và u1,…,up E

*.

Ta ký hiệu:

^

T (u,v) = T(u1,…,u

i-1,u,u

i+1,…,u

j-

1,v,u

j+1,…,u

p)

Theo tính chất đa tuyến tính thay phiên của T ta có

:

0= ^

T (ui+u

j,u

i+u

j)=

^

T (ui,u

i)+

^

T (uj,u

j)+

^

T (ui,u

j)+

^

T

(uj,u

i)

0 = ^

T (ui,u

j)+

^

T (uj,u

i)

Do đó ^

T (ui,u

j) = -

^

T (uj,u

i)

Vậy T phản đối xứng.

2. Tích ngoài Tích ngoài của các phần tử x1,…,xp E, ký hiệu x1

Λ…Λxp, đƣợc xác định bởi

x1 Λ…Λxp = sgnSp

x 1 …

x (p) (2)

Mệnh đề 4.12:

Ánh xạ hp từ Ep vào ΛpE xác định bởi:

hp(x1,…,xp) = x1Λ…Λxp

Là một ánh xạ đa tuyến tính thay phiên.



Chứng minh:

Tính chất đa tuyến tính của ánh xạ h p suy ra từ

tính chất đa tuyến tính của các ánh xạ:

(x1,…,xp) (x (1) … x (p)), Sp

Nếu ứng với hai chỉ số i, j ta có xi = xj thì tổng vế

phải đẳng thức (2) bằng 0, vì mỗi số hạng ứng với phép

thế chẵn triệt tiêu với số hạng đồng dạng ứng với phép

thế lẻ (i, j).

Ví dụ:

Nếu x, y E, ta có x Λ y = x y – y x. Giá trị

của xΛ y tại (u, v) E*2

đƣợc xác định bởi

(x Λ y)(u, v) = x y (u, v) – y x(u, v)

= x(u) y(v) – u(u)x(v)

Mệnh đề 4.13:

Giả sử E là một môđun tự do trên vành K có đơn

vị, với cơ sở b = {eb,…,en}. Khi đó đối với p > n ta có

ΛpE = 0. Giả sử 1 p n, T Λ

pE ta có :

T = 1 ...1

1( ,....., )i i np

ii pT e e

eip)

ei1 Λ….Λe

ip

(3)

Và hệ Λpb = {ei1 Λ…..Λ eip: 1 i1 < …..< ip n} là

một cơ sở K-môđun ΛpE

Chứng minh:

Vì T ΛpE

pE, theo mệnh đề 4.10 ta có :

T = (ei1,…,eip) ei1… eip

(a)

Nếu p > n thì trong dãy ei1,…,eip có hai chỉ số giống

nhau; vì T là ánh xạ đa tuyến tính thay phiên nên ta có

T(ei1,…,eip) = 0, do đó T = 0. Vậy nếu p > n thì ΛpE = 0.

Bây giờ giả sử 1 p n, ta có

T(ei (1)

,…..,ei (p)

) = sgn T (ei1

,…,eip)

(b)

Từ (a), (b) và (2) suy ra (3).

Ta còn phải chứng tỏ hệ Λpb độc lập tuyến tính.

Giả sử



1 ...1i i np

ai1…ip

ei1 Λ….Λ eip = 0

Nếu 1 j1 < ….< jp n thì giá trị của hai vế tại

(ei1

,…,eip)là a

j1…jp. Vậy ta có a

j1…jp = 0

Mệnh đề sau đây là một áp dụng quan trọng của

tích ngoài

Mệnh đề 4.14:

gải sử K là vành giao hoán có đơn vị, E là một K-môđun

tự do có có sở hữu hạn {e1,…en}. Khi đó tất cả các cơ sở

khác của E cũng có n phần tử, do đó dim E = n.

Chứng minh:

Vì n = Sup {p N: ΛpE 0}.

Hệ quả:

Dim ΛpE = p

nC

3. Sự đối ngẫu giữa ΛpE và Λ

pE*

Tính chất đối ngẫu ΛpE và Λ

pE* đƣợc thể hiện bởi

dạng song tuyến tính <.|.>^ trên ΛpE Λ

pE* xác định

nhƣ sau:

<ei1 Λ…Λ eip | eji

Λ…Λ ejp

>^ = <ei1 | ej1

>….<eip | ejp

> =

i1j1…. ipjp (4)

Đẳng thức (4) tƣơng đƣơng với đẳng thức:

<ei1 Λ……Λeip | ei1

Λ……Λeip>^ = (ei1 …… eip) (

ej1

,….ejp) (5)

Theo tính chất đa tuyến tính và đối ngẫu giữa E và

E* từ (5) ta có công thức:

<x1 …..xp | u1 …u

p>^ =

(x1…xp)(u1,…,u

p)

= (u1^…^u

p)(x1,….,xp)

(6)

Đối với mọi x1,…,xp E và u1,…,up E*, đẳng

thức (6) chứng tỏ tính chất đối ngẫu giữa ΛpE và Λ

pE*

định nghĩa ở đẳng thức (4) không phụ thuộc vào việc

chọn cơ sở b của môđun E.

4. Phép toán ngoài

Một p-vectơ của ΛpE gọi là phân tích đƣợc nếu nó

có dạng x1…xp trong đó x1,…xp E. Theo mệnh đề



4.13, tập các p-vectơ phân tích đƣợc là một hệ sinh của

K-môđun ΛpE. Xét ánh xạ sau:

Với mỗi (ei1 … eip, ej1

… ejq) Λ

pb, cơ sở

của ΛpE và (ej1

… ejq) Λ

qb, cơ sở của Λ

qE , ta đặt

(ei1 … eip,ej1 … ejq) = ei1 … eip ^ej1

… ejq (7)

Với xi = 1

nk

i k

k

x e

,i = 1,2,….p

yj = 1

nk

i k

k

y e

,i = 1,2,….q

Ta đặt

(x1…x

p) (y1…yq) =

x1…xpy1…yq (8)

Do tính chất đa tuyến tính của ta có :

(x1…xp) (y1…yq)

= 11

ix …. i p

px1

1

jy … j q

qy . (eij ... eip,

ej1… ejq)

= 11

ix …. i p

px1

1

jy … j q

qy eij ... eip

ej1… ejq

= x1…xpy1…yq

Vậy ánh xạ song tuyến tính xác định bởi (7) là

ánh xạ song tuyến tính duy nhất từ ΛpE Λ

qE* vào

Λp+q

E thỏa mãn (8)

Ta đặt

RS = (R,S),R ΛpE, S Λ

qE

(9)

RS gọi là tích ngoài của p-vectơ R với q-vectơ S.

Do tính chất song tuyến tính của , ta suy ra tính phân

phối phải của tích ngoài

R (S + S’) = R S + R S’

(R + R’) S = R S + R’ S

Và ta có (aR) S = R (aS) = a(R S), với mọi

a K

Mệnh đề 4.15:

Phép toán ngoài xác định bởi (9) có tính chất kết

hợp, tức là (RS) T = R (ST), đối với mọi R

ΛpE , S Λ

qE, T Λ

pE



Chứng minh:

Theo tính chất đa tuyến tính của tích ngoài, chỉ cần

xét đối với R= x1…xp, S = y1…yq và T = z1

… zp. Điều này suy trực tiếp từ (8)

Đại số ngoài: Giả sử E là một môđun tự do n-chiều

trên vành K có đơn vị.

Đặt E = 0E

1E ….

nE

(10)

(0E = K)

Tập E là một K-môđun tự do 2n-chiều. Với mỗi

p0 ta có thể đồng nhất ΛpE . Khi đó (10) là sự phân

tích K-môđun E thành tổng trực tiếp các môđun con.

K-môđun E với phép nhân song tuyến tính (9) là

một K-đại số kết hợp có đơn vị 1 K-đại số E đƣợc gọi

là đại số ngoài của môđun E.

§8 VÀNH VÀ MÔĐUN NƠTE (*)

1. Định nghĩa môđun Nơte

Môđun hữu hạn sinh: Mỗi K-môđun có một hệ

sinh hữu hạn gọi là K-môđun hữu hạn sinh

Nhận xét: Môđun con của một môđun hữu hạn

sinh có thể không phải là môđun hữu hạn sinh. Chẳng

hạn Z là vành các số nguyên. Xét tập

Z

= {x = (x1,x2,….),xi Z}

Trong Z

ta định nghĩa hai phép toán cộng và

nhân nhƣ sau:

Với x = (x1, x=,…);y = (y1, y2,…)

x + y = (x1 + y1, x2 + y2,…)

x.y = (x1.y1, x2.y2,…)



Dễ thấy rằng Z

với hai phép toán trên là một

vành giao hoán có đơn vị = (1, 1,…).

Tập Z

là một Z

-môđun xyclic với phần tử sinh

là = (1, 1,…).

Vậy Z

là một môđun hữu hạn sinh

Xét tập B Z

xác định nhƣ sau:

B = {x=(x1, x2,…) Z

: chỉ có một số hữu hạn xi 0}

Dễ thấy rằng B là một môđun con của Z

-môđun,

Z

-môđun B không phải là Z

-môđun hữu hạn sinh 1,

2,…, k.Giả sử n là chỉ số lớn nhất của các thành phần

khác không của 1, 2,…, k. Khi đó trong B sẽ có

phần tử có thành phần n + 1 khác 0, phần tử này không

thể là Z

- tổ hợp tuyến tính của 1, 2,…, k.

Từ nhận xét trên ta đi đến khái niệm môđun Nơte:

Định nghĩa:

Giả sử K là một vành có đơn vị. K-môđun M gọi là

môđun Nơte nếu mọi môđun con của M đều hữu hnạ

sinh.

Sau đây là các đặc trƣng cơ bản của môđun Nơte:

Định lý 4.16:

Đối với K-môđun M, các điều khẳng định sau là

tƣơng đƣơng:

i) M là một môđun Nơte

ii) Mỗi dãy tăng các môđun con của M

M1 M2 M3 ….

Sao cho Mi Mi+1, đều dừng lại sau hữu hạn bƣớc

iii) Mọi phần tử hữu hạn rỗng S các môđun

con của M đều có phần tử tối đại, tức là có môđun con

Mo S sao cho N S nếu Mo N thì Mo = N

Chứng minh:

(i) (ii): Xét dãy bất kỳ M1 M2 M3 ….các

môđun con của K-môđun M. Theo (i) môđun con N =

1iU

Mi hữu hạn sinh. Giả sử x1, x2,….,xr là các phần tử

sinh của N. Khi đó sẽ tồn tại số n sao cho x1 Mn, i = 1,

2,…., r. Vậy với p = 1, 2,….ta có :



Mn+p = 1iU

M1 = N =<x1, x2,….,xn> k

Mn

Do đó ta có Mn = Mn+1 = ….,(ii) đƣợc thỏa mãn

(ii) (iii): Giả sử S là một họ khác rỗng các môđun con

của K-môđun M ta lấy N1 S, nếu N1 chƣa phải là phần

tử tối đại của S, sẽ có N2 S sao cho N2 N3. Nếu N2

chƣa tối đại sẽ có Ns S sao cho N2 N3,…Ta đƣợc dãy

các môđun con Ni S:

N1 N2 N3 ….

Theo (ii) n sao cho Nn = Nn+1 = …=Nn+p =

….Vậy Nn S là phần tử tối đại cần tìm.

(iii) (i): Giả sử N là một môđun con bất kỳ của

K-môđun M thỏa mãn điều kện (iii). Gọi S là cả các

môđun con hữu hạn sinh của K-môđun M bị chứa trong

môđun con N.

S={A = a1, a2,…,ar>K, ai N,

i=1,2,….r}>

Rõ ràng rằng S . Theo (iii) họ S có ít nhất một

phần tử tối đại, chẳng hạn A =<{a1, a2,…,an}>k. Giả sử

A N, khi đó tồn tại an+1 A . Xét môđun con A’ = <{

a1, a2,…,an+1}>K. Khi đó ta có A’ S, A A’. Điều này

trái với giả thiết A là phần tử tối đại của họ S. Vậy ta có :

N = A <{a1, a2,.....,an}>k

Vậy M là K-môđun Nơte

2. Tính chất

Mệnh đề 4.17:

Giả sử M là K-môđun Nơte, khi đó mọi môđun

con, môđun thƣơng của M đều là K-môđun Nơte

Chứng minh:

Vì mỗi môđun con của N là một môđun con của

M, do đó mỗi môđun con N của M là K-môđun Nơte

Xét môđun thƣơng M/N. Giả sử p: M M/N là

đồng cấu chính tắc, khi đó nếu A là một môđun con của

K-môđun M/N thì p-1

( A ) = A là một môđun con của K-

môđun M



Giả sử M = M 2 M 3 … là một dãy tăng các

môđun con của môđun thƣơng M.N. Đặt Mi = p-1

( iM ), ta

đƣợc dãy tăng các môđun con của K-môđun Nơte M

M1 M2 M3 ….

Theo định lý 4.16. dãy này sẽ dừng sau r bƣớc Mr

= M r+1 = …Do đó sau r bƣớc ta có rM = p(Mr) =

p(Mr+1) = 1rM =......

Vậy M/N là K-môđun Nơte

Mệnh đề 4.18:

Giả sử N là môđun con của K-môđun M. Khi đó

nếu N và M/N là các môđun nơte thì M cũng là môđun

Nơte

Chứng minh: với mõi môđun con L của môđun M

ta cho tƣơng ứng với một cặp môđun :

LN và L + N/N

Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu E F là các môđun con

của M sao cho các cặp tƣơng ứng với điều kiện chúng

trùng nhau, tức là E N = F N, E N

N

= F N

N

thì E

= F. Thật vậy, giả sử x F, vì , E N

N

= F N

N

nên nó sẽ

tồn tại các phần tử: y E, u, v N sao cho : y + u = x +

v. Ta có :

x - y = u - v F N = E N

Vậy x = y + u – v E, ta có E = F

Giả sử

E1 E2 E3 ….

(1)

Là một dãy tăng các môđun con của K-môđun M.

Tƣơng ứng với dãy (1) ta có hai dãy tăng các môđun con

của các K-môđun Nơte N và M/N.

E1 N E2 N E3 N ….

(2)

E1 + N/N E2 + N/N E3 + N/N

…. (3)

Theo định lý 4.16, các dãy (2) và (3) sẽ dừng sau

một số hữu hạn bƣớc . Theo chứng minh trên dãy



(1) cũng phải dừng sau một số hữu hạn bƣớc. Vậy

M là K-môđun Nơte

Hệ quả:

Nếu M1 và M2 là hia K-môđun Nơte, khi đó tích

trực tiếp M1 M2 là K-môđun Nơte

Chứng minh:

Vì K-môđun M1 M2 chứa môđun con Nơte:

M’1 = {(x, 0):x M1} = M1 {0}

M1

Và môđun thƣơng

M1 M1 | M’1 M2

Là K-môđun Nơte

Bằng quy nạp ta có: nếu Mi, i =1, 2,…,n là các K-

môđun Nơte, khi đó 1

m

i

Mi cũng là một K-môđun Nơte

3. Vành Nơte Vành K có đơn vị gọi là vành Nơte nếu K là một

K-môđun Nơte, tức là mọi iđêan trái (môđun con) của K

đều hữu hạn sinh.

Định lý 4.19:

Nếu K là một vành Nơte và M là một K-môđun

hữu hạn sinh thì M là một K-môđun Nơte

Chứng minh:

Giả sử {x=, x2,…,xn} là một hê sinh của K-môđun

. Theo hệ quả của mệnh đề 4.18 thì Kn = K K…….K

là một K-môđun Nơte

Xét K-đồng cấu:

f: Kn M xác định bởi

f(a1, a2,…,an) = a1x1 + …+anxn

Dễ thấy rằng f là một K-toàn cấu. Ta có :

Kn | Ker(f) M

Theo mệnh đề 4.17, Kn | Ker(f) là một K-môđun

Nơte. Vậy M là K-môđun Nơte.

Định lý 4.20:



Giả sử A là một vành Nơte và : A B là một

toàn cấu vành, khi đó B cũng là vành Nơte.

Chứng minh:

Giả sử

B1 B2 B3 ….

(1)

Là một dãy tăng các iđêan trái của vành B. Đặt Ai

= -1

(Bi), i = 1, 2,… ta đƣợc một dãy tăng các iđêan trái

của vành A

A1 A2 A3 ….

(2)

Do A là vành Nơte nên dãy (2) dừng sau một số

hữu hạn bƣớc. Vì là một toàn ánh nên Bi = (Ai),. Do

đó dãy (1) sẽ dừng sau một số hữu hạn bƣớc. Vậy B là

một vành Nơte.

Định lý 4.21 (Định lý Hinbe):

Nếu K là một vành Nơte giao hoán thì vành đa thức K[x]

cũng là vành Nơte

Chứng minh:

Giả sử K là một vành Nơte giao hoán, J là một

iđêan của vành đa thức K[x]. Ta sẽ chứng tỏ J hữu hạn

sinh.

Với mỗi i N, N={0, 1,….} ta ký hiệu Ai là tập

con của K gồm phần tử 0 và các phần tử của K là hệ số

cao nhất của các đa thức bậc i thuộc J. Ai là một iđêan

của K, vì nếu a,b Ai thì dễ thấy rằng a b Ai ta Ai,

r K

Giả sử a Ai, khi đó tồn tại đa thức bậc i:

f(x) = aixi + …+a1x + a0 thuộc iđêan J sao cho ai =a. Khi

đó a cũng là hệ số cao nhất của đa thức bậc i + 1, xf(x)

J. Vậy a Ai+1. Do đó Ai Ai+1. Ta có một dãy tăng các

iđêan của vành K

A0 A1 A2 …. Ai ….

Vì vành K Nơte nên tồn tại r sao cho Ar = Ar+1

=…Ta có

A0 A1….Ar = Ar+1 =…

Giả sử



a01a02…a0n0 là hệ sinh của A0

a01a02…a0n1 là hệ sinh của A1

…………………………….

ar1ar2….arnr là hệ sinh của Ar

Ta chọn các đa thức fij thuộc iđêan J có hệ tử cao

nhất là aij, i = 0, 1,…, r; j = 1,…,ni. Ta sẽ chứng tỏ họ {

fij 1,...,0,...

} j nii r

là một hệ sinh của J

Vì A0 là các đa thức bậc 0 nên f0j = a0j, j = 1,….,n0.

Do đó ta có

A0 ( { fij 1,...,0,...

} j nii r

) J

Giả sử f(x) J và deg f =d. Bằng cách quy nạp

theo d ta chứng minh f(x) iđêan ( { fij 1,...,0,...

} j nii r

)

Nếu d=0 thì f A0, điều khẳmg định đúng

Giả sử d > 0 và điều khẳng định đúng đối với mọi

đa thức thuộc J có bậc nhỏ hơn d. Có một trong hai

trƣờng hợp xảy ra:

Hoặc d r. giả sử f = b0 + b1x +…=bdxd

Khi đó bd Ad = Ar. Vậy có các phần tử c1,…,cnr

K sao cho

bd = c1ar1+…+cnrarnr

Đặt g = f – c1xd-r

fr1+…+cnrxdr

frnr

(a)

Ta có g J và deg g < d

Hoặc d < r thì bd Ad Ar

Khi đó các phần tử c1,…,cnd K sao cho :

bd = c1ad1+…+cndadnd

Đặt g=f – (c1ad1+…+cnd fdnd)

(b)

Ta cũng có g J và deg g < d.

Cả hai trƣờng hợp, thie giả thiết quy nạp đa thức g

thuộc iđêan ( { fij 1,...,0,...

} j nii r

). từ các hệ thức (a),

(b) suy ra rằng cả hai trƣờng hợp f đều thuộc iđêan ( {

fij 1,...,0,...

} j nii r

). Vậy { fij 1,...,0,...

} j nii r

là một hệ sinh của J

Bằng cách quy nạp ta có :

Hệ quả:



Nếu K là một vành Nơte giao hoán, đặc biệt nếu K

là một trƣờng thì vành đa thức n ẩn K[x1,…,xn] cũng là

vành Nơte.

Ý nghĩa hình học của định lý Hinbe:

Giả sử P là một trƣờng, fi(x1,…,xn) P[x1,…,xn] , i

I là một họ đa thức cho trƣớc

Tập

M={(a1,…,an) Pn: fi(a1,…,an) = 0, i I}

đƣợc gọi là đa tập đại số của không gian Pn xác định bởi

hệ phƣơng trình :

fi(x1,…,xn) = 0, i I

(c)

Ví dụ:

Mỗi mặt phẳng là một đa tạp đại số của không gian

R3 xác định bởi phƣơng trình:

ax + by + cz + d = 0

Mỗi đƣờng thẳng là một đa tạp đại số của không

gian R3 xác định bởi hệ phƣơng trình:

ax + by + cz + d = 0

a’x + b’y + c’z + d = 0

Mỗi điểm N(a, b) R2 là một đa tạp của không

gian R2 xác định bởi phƣơng trình:

x – a = 0

y – b = 0

Nếu M là một đa tạp xác định bởi hệ phƣơng trình

©. Điểm (a1,…,an) thỏa mãn hệ (1) khi và chỉ khi

(a1,…,an) thỏa mãn phƣơng trình: g(x1,…xn)= 0,

đối với mọi đa thức g(x1,…xn) thuộc iđêan A = ( { fi}i I

). của vành P[x1,…xn]. Vì vành P[x1,…xn] là vành Nơte

nên iđêan A hữu hạn sinh

A = ({g1, g2,…,gm})

Vậy (a1, ….,an) thỏa mãn hệ phƣơng trình (c) khi

và chỉ khi (a1, ….,an) thỏa mãn hệ phƣơng trình;

Gk (x1,…xn) = 0,k = 1, 2, …,m

Do đó mỗi đa tập đại số có thể xác định bởi hệ hữu

hạn các phƣơng trình.



BÀI TẬP CHƢƠNG IV

Bài 1) Giả sử J là môt iđêan của vành K có đơn vị

1 và x là một phần tử của K-môđun X. Chứng minh rằng

tập con

A = J.x = { x: J}

Là một môđun con của X



Bài 2) Chứng minh rằng tập X = R1 tất cả các hàm

số thực xác định trên đoạn I = [0, 1] là một R-đại số đối

với các phép toán thông thƣờng. Chứng minh rằng tập

con A cảu X gồm tất cả các hàm số liên tục là một đại số

con của X.

Bài 3) Một môđun con A của môđun X trên vành

K có đơn vị gọi là hạng tử trực tiếp của X nếu và chỉ nếu

tồn tại một môđun con B của X sao cho nhóm Aben X là

tổng trực tiếp của hai nhóm con A và B. Trong trƣờng

hợp này, B gọi là một môđun con bù của A ; nói chung B

không duy nhất . Một môđun X gọi là nửa đơn nếu và chỉ

nếu mọi môđun con của X đều là một hạng tử trực tiếp.

Môđun X gọi là đơn nếu và chỉ nếu các môđun con duy

nhất cảu x là {0} và X. Chứng minh rằng đối với 1 K-

môđun X các điều khẳng định sau là tƣơng đƣơng:

i) X là nửa đơn

ii) X là tổng trực tiếp của một họ những

môđun con đơn của X

iii) X là tổng cảu một họ những môđun con

của X

Bài 4) Giả sử S là một tập con của K-đại số X ổn

định đối với phép nhân của X. Chứng minh răng môđun

con A của X sinh bở S là một đại số con của X cà do đó

A là một đại số con của X sinh bởi S

Bài 5) Giả sử S là một tập con của K-đại số X sao

cho các phần tử của S giao hoán đƣợc với nhau trong X.

Chứng minh rằng đại số con A của X sinh bởi S là giao

hoán.

Bài 6) Với một đồng cấu S tùy ý của K-môđun X

vào K-môđun Y. Chứng minh rằng ảnh f(A) của mọi

môđun con bất kỳ A của X là một môđun con của Y và

ảnh ngƣợc f1(B) cảu một môđun con B bất kỳ của Y là

một môđun con của X.



Bài 7) Giả sử f là một đồng cấu cảu K-môđun đơn

X vào K-môđun Y. Chứng minh rằng nếu Im f 0 thì Im

f là một môđun con đơn của Y và f là một đơn cấu

Bài 8) Với một đồng cấu bất kỳ h: X Y của K-

môđun X vào K-môđun Y, K là một vành giao hoán có

đơn vị, chứng minh răng ánh xạ: h* Y

* X

* xác định

bởi h*(f) = foh đối với mọi f thuộc môđun đối ngẫu Y*

của Y là một K-đồng cấu, h* gọi là đối ngẫu cảu h.

Chứng minh rằng ánh xạ: D: HomK(X,Y)

HomK(X*,Y

*) xác định bởi D(h) = h

* là một K-đồng cấu.

Bài 9) Giả sử f, g là các đồng cấu của K-đại số X

vào K-đại số Y sao cho f(s) = g(s) đối với mọi phần tử s

cảu tập con S X. Chứng minh rằng f(x) = g(x) đối với

mọi phần tử x của đại số con A của X sinh bởi tập S

Bài 10) Giả sử q là một quatecniông bất kỳ cho

trƣớc. Xét ánh xạ q: H H xác định bởi (a) = qa, với

mọi a H. Chứng tỏ rằng q là một tự đồng cấu của R-

không gian vectơ H , Giả sử Mq là ma trận của q đối với

cơ sở {1, i, j, k}. Chứng minh ánh xạ D: q Mq là một

R-đồng cấu của đại số H vào M4[R]. Xác định một cơ sở

của R-không gian vectơ D(H)

Bài 11) Một K-môđun X gọi là xạ ảnh nếu và chỉ

nếu với mọi đồng cấu f: X A của K-môđun X vào K-

môđun A và mọi toàn cấu g: B A của một K-môđun B

lên K-môđun A, tồn tại một đồng cấu h: X B của

môđun X vào môđun B sao cho quan hệ giao hoán goh =

f xảy ra trong tam giác sau:

X

h f

B g A



Chứng minh rằng mọi K-môđun tự do đều là xạ

ảnh. Cho một ví dụ chứng tỏ rằng một K-môđun xạ ảnh

không nhất thiết là tự do

Bài 12) Với mọi tập con tùy ý S cho trƣớc của một

không gian vectơ X trên trƣờng P, chứng minh rằng:

i)Nếu S là một tập con độc lập tuyến tính thì

tồn tại một cơ sở B của X với B S

ii)Nếu S là một tập sinh của X thì tồn tại

một cơ sở B của X với B S

Bài 13) Giả sử A, B, C là các môđun trên vành K

giao hoán có đơn vị. Chứng minh rằng:

A K A

A B B A

A (B C) (A B) C

Bài 14) Giả sử E F là tích tenxơ của hia môđun

E, F trên vành K giao hoán có đơn vị. Chứng minh rằng

i)Ánh xạ ((x, y)) = x y là một ánh xạ

song tuyến tính từ E F vào E F

ii) Đối với mỗi ánh xạ song tuyến tính : E

F G, tồn tại duy nhất một ánh xạ song tuyến tính f:

E F G sao cho f. =

iii) Giả sử ' : ExF H là một ánh xạ song

tuyến tính. Nếu đối với mọi K-môđun G, với mọi ánh xạ

song tuyến tính : ExF G tồn tại duy nhất ánh xạ song

tuyến tính f: H G sao cho f’o ' = thì tồn tại duy

nhất đẳng cấu g: EF H sao cho ' = go và f = f’.g

Bài 15) Giả sử K là vành giao hoán có đơn vị, X,

Y là các K-môđun tự do có cơ sở hữu hạn. Chứng minh

rằng mọi đồng cấu môđun f: X Y đều có thể mở rộng

thành đồng cấu đại số duy nhất f*: X Y thỏa mãn

f*(1) = 1. Đồng cấu f* gọi là cái kéo dài của f.



Bài 16) Giả sử X là một môđun tự do có cơ sở hữu

hạn trên vành K giao hoán có đơn vị. Chứng minh rằng

nếu u1…um = 0

Bài 17) Giả sử E là một K-không gian vectơ với cơ

sở {e1,…,en} và f là một đẳng cấu từ

nE vào K đƣợc xác định bởi:

f( e1… en) =

i) Chứng minh rằng ánh xạ u từ n-p

E

pE vào K xác định bởi u(S, T) = f(S T) là dạng song

tuyến tính

ii) Giả sử S n-p

E và v(S): pE K

xác định bởi v(S)(T) = f(S T). Chứng minh rằng ánh

xạ v: S v(S) là một đẳng cấu từ n-p

E lên (pE)

*

Bài 18) Giả sử E là không gian vectơ với số chiều

hữu hạn trên trƣờng K . Giả sử T pE, S

qE

Chứng minh rằng T S = (-1)pq

S T, nếu p lẻ ta

có TT = 0. Tính TT đối với T = e= e2+e3 e4 trong

đó e1, e2, e3, e4 độc lập tuyến tính.

Documents

CHƢƠNG IV MÔĐUN VÀ ĐẠI SỐ · Chƣơng 4: Mô đun – Đại số By: Nguyễn Tiến Thịnh Page 2 Nếu X + K thì vành K là một K-môđun 2. X là một nhóm Alben