Chương 8

MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI

8.1 Tổng quan về mật mã công khai

Trong chương trước chúng ta đã tìm hiểu về mật mã đối xứng. Chúng ta rõ rằng các

bên tham gia cần có một khóa mật để mã hóa và giải mã. Điều này đồng nghĩa với việc

trao đổi khóa mật qua kênh. Việc giữ bí mật khóa mật đồng nghĩa với việc giữ mật thông

tin. Nên việc trao đổi khóa chỉ diễn ra trên kênh mật thì mới đảm bảo được, thế nhưng

việc trao đổi này cung không phải dễ để đảm bảo độ an toàn cao. Từ đây hình thành nên

ý tưởng của mật mã công khai. Tức là không cần phải trao đổi khóa mật qua kênh nữa.

Ý tưởng của hệ mật công khai được Diffie và Hellman đưa ra năm 1976. Còn việc

thực hiện hệ mật công khai thì do Rivest, Shamir và Adleman đưa ra đầu tiên năm 1977,

họ đề xuất một hệ mật RSA nổi tiếng. Và kể từ đó có một số hệ mật khác được công bố,

độ mật của chúng dựa trên bài tính toán khác nhau, như dựa trên độ khó của bài toán

phân tích thành nhân tử như hệ mật RSA, dựa vào độ khó logarithm rời rạc như hệ mật

ElGamal, hay dựa trên đường cong Elliptíc. Chúng ta đi tìm hiểu cụ thể các hệ mật này

trong các phần sau. Nhưng trước tiên chúng ta đi tìm hiểu sơ đồ và nguyên tắc mã và giải

mã của hệ mật công khai.

Sơ đồ của hệ mã công khai được cho ở hình 8.1.

Hình 8.1. Sơ đồ mã hóa công khai

Hệ mã công khai sử dụng hai khóa có quan hệ toán học với nhau, tức là một khóa này

được hình thành từ khóa kia: Người muốn nhận bản mã (Alice) tạo ra một khóa mật

(private key) và từ khóa mật tính ra khóa công khai (public key) với một thủ tục không

phức tạp, còn việc tìm khóa mật khi biết khóa công khai là bài toán khó giải được. Khóa

công khai sẽ đưa đến cho người gởi bản tin (Bob) qua kênh công cộng. Và bản tin được

Bob mã hóa bằng khóa công cộng. Bản mã truyền đến Alice, và nó được giải mã bằng

khóa mật.

8.2 Hệ mật RSA

Lịch sử hình thành

Thuật toán được Ron Rivest, Adi Shamir và Len Adleman mô tả lần đầu tiên vào năm

1977 tại Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT). Tên của thuật toán lấy từ 3 chữ cái

đầu của tên 3 tác giả. Đây là thuật toán đầu tiên phù hợp với việc tạo ra chữ ký điện tử

đồng thời với việc mã hóa. Nó đánh dấu một sự tiến bộ vượt bậc của lĩnh vực mật mã học

trong việc sử dụng khóa công cộng. RSA đang được sử dụng phổ biến trong thương mại

điện tử và được cho là đảm bảo an toàn với điều kiện độ dài khóa đủ lớn.

Thuật toán RSA được MIT đăng ký bằng sáng chế tại Hoa Kỳ vào năm 1983 (Số đăng

ký 4,405,829). Bằng sáng chế này hết hạn vào ngày 21 tháng 9 năm 2000. Tuy nhiên, do

thuật toán đã được công bố trước khi có đăng ký bảo hộ nên sự bảo hộ hầu như không có

giá trị bên ngoài Hoa Kỳ. Ngoài ra, nếu như công trình của Clifford Cocks đã được công

bố trước đó thì bằng sáng chế RSA đã không thể được đăng ký.

Thuật toán dựa trên độ khó của bài toán phân tích một số thành nhân tử.

Quá trình tạo khóa cho hệ mật RSA.

Giả sử Alice và Bob cần trao đổi thông tin bí mật thông qua một kênh không an toàn

(ví dụ như Internet). Với thuật toán RSA, Alice đầu tiên cần tạo ra cho mình cặp khóa

gồm khóa công khai và khóa bí mật theo 6 bước sau:

1. Chọn 2 số nguyên tố lớn khác nhau p, q thỏa mãn điều kiện

2. Tính tích của nó .

3. Tính giá trị hàm Phi Euler của n: .

4. Chọn số nguyên d, sao cho và gcd(d, )=1.

5. Tính giá trị e thỏa mãn điều kiện: .

6. Khóa công khai bao gồm: n và e. Khóa mật:d còn p,q và thường là xóa sau

khi tính toán khóa.

Quá trình mã hóa:

Giả sử Bob muốn gửi đoạn thông tin m<n cho Alice, thì Bob tính bản mã như sau.

Cuối cùng Bob gửi c cho Alice.

Quá trình giải mã:

Alice nhận c từ Bob và khóa bí mật d. Alice có thể tìm được m từ c theo công thức

sau:

Quá trình giải mã hoạt động vì ta có

Do ed ≡ 1 (mod p-1) và ed ≡ 1 (mod q-1), theo Định lý Fermat nhỏ nên:

Do p và q là hai số nguyên tố cùng nhau, áp dụng định lý phần dư trung hoa, chúng ta

có:

Hay

Ví dụ:

70793

707933

50116700869

50115922144

30483041

5851898625

m

30483041 7523619714 30483041

7523619714 38101458113 7523619714

3487987 4469234330 3487987

754553 45262687896 754553

884545 48968540294 884545

46665533 10037623855 46665533

15657 29531681112 15657

95432 4648093185 95432

4545786 38326603863 4545786

777543 38921288996 777543

45673222 21930948547 45673222

Một số chú ý quan trọng về RSA

An ninh: Độ an toàn của hệ thống RSA dựa trên 2 vấn đề của toán học: bài toán phân

tích ra thừa số nguyên tố các số nguyên lớn và bài toán RSA. Nếu 2 bài toán trên là khó

(không tìm được thuật toán hiệu quả để giải chúng) thì không thể thực hiện được việc phá

mã toàn bộ đối với RSA. Phá mã một phần phải được ngăn chặn bằng các phương pháp

chuyển đổi bản rõ an toàn. Bài toán RSA là bài toán tính căn bậc e môđun n (với n là hợp

số): tìm số m sao cho me=c mod n, trong đó (e, n) chính là khóa công khai và c là bản mã.

Hiện nay phương pháp triển vọng nhất giải bài toán này là phân tích n ra thừa số nguyên

tố. Khi thực hiện được điều này, kẻ tấn công sẽ tìm ra số mũ bí mật d từ khóa công khai

và có thể giải mã theo đúng quy trình của thuật toán. Nếu kẻ tấn công tìm được 2 số

nguyên tố p và q sao cho: n = pq thì có thể dễ dàng tìm được giá trị (p-1)(q-1) và qua đó

xác định d từ e. Trong chương số học chúng ta đã biết chưa có một phương pháp nào

được tìm ra trên máy tính để giải bài toán này trong thời gian đa thức (polynomial-time).

Tuy nhiên người ta cũng chưa chứng minh được điều ngược lại (sự không tồn tại của

thuật toán).

Tốc độ: RSA có tốc độ thực hiện chậm hơn đáng kể so với các thuật toán mã hóa đối

xứng. Trên thực tế, Bob sử dụng một thuật toán mã hóa đối xứng nào đó để mã hóa văn

bản cần gửi và chỉ sử dụng RSA để mã hóa khóa để giải mã (thông thường khóa ngắn

hơn nhiều so với văn bản). Phương thức này cũng tạo ra những vấn đề an ninh mới. Một

ví dụ là cần phải tạo ra khóa đối xứng thật sự ngẫu nhiên. Nếu không, kẻ tấn công

(thường ký hiệu là Eve) sẽ bỏ qua RSA và tập trung vào việc đoán khóa đối xứng.

Chiều dài khóa: Số n cần phải có kích thước không nhỏ hơn 512 bít. Năm 2006 hệ

mật RSA được cho là hiệu quả với kích thước n phải từ 1024. Và họ khuyến cáo là tương

lai thì chiều dài n phải từ 2024 bít.

Chọn tham số công khai:

Để nâng cao tốc độ mã hóa, thì chúng ta nên chọn e với giá trị không lớn, thường là 3,

7 hay 65537. Các số này khi biểu diễn ở dạng nhị phân chỉ có 2 chữ số 1, nên khi thực

hiện lệnh lũy thừa sẽ giảm đi lệnh nhân.

Chọn tham số mật.

p và q còn cần được chọn không quá gần nhau để phòng trường hợp phân tích

n bằng phương pháp phân tích Fermat. Ngoài ra, nếu p-1 hoặc q-1 có thừa số

nguyên tố nhỏ thì n cũng có thể dễ dàng bị phân tích theo phương pháp p-1

Pollaid và vì thế p và q cũng cần được thử để tránh khả năng này. Chúng ta có

thể chọn như sau. Trước tiên tìm số nguyên tố p1 sao cho p=2p1+1 cũng là số

nguyên tố, tương tự chọn số nguyên tố lớn q1 sao cho q=2q1+1 cũng là số

nguyên tố.

Giá trị d cần phải đủ lớn. Năm 1990 Michael J. Wiener đã chứng minh rằng

nếu như và , thì có phương pháp hiệu quả để tính d theo n và

e.

8.3 Hệ mật Elgama

Hệ mật Elgama hình thành trên cơ sở bài toán logarith rời rạc. Được đề xuất năm

1984. Sau đó chuẩn chữ ký điện tử của Mỹ và Nga hình thành trên cơ sở hệ mật này.

Hình thành khóa:

Giả sử Alice và Bob muốn trao đổi thông tin mật với nhau bằng hệ mật Elgamma. Thì

trước tiên Alice thực hiện qúa trình hình thành khóa như sau:

1. Chọn số nguyên tố đủ lớn p có chiều dài là k sao cho bài toán logarithm trong là

khó giải

2. Chọn là phần tử nguyên thủy. Chọn x là số ngẫu nhiên sao cho 1<x<p.

3. Tính giá trị y thỏa mãn công thức:

Khóa mật là x, còn khóa mở là 3 số ( ,p,y).

Quá trình mã hóa bản tin T:

1. Chọn số ngẫu nhiên . (chọn k)

2. Tính: . ( )

3. Sử dụng khóa mở tính:

, ( )

4. Bob gởi bản mã gồm đến Alice (C,r)

Quá trình giải mã:

1. Tính giá trị:

. ( )

2. Tính gía trị nghịch đảo của Z:

. ( )

3. Giải mã theo bản mã :

. (

Chúng ta kiểm chứng lại quá trình giải mã là đúng như sau:

Ví dụ:

707933203765371696

T R C’ C’’ Z T’455 457 381267 181064 263892 181064 168667 4552222 333 309977 545579 295242 545579 313868 2222554 2224 114192 394828 691348 394828 530064 5546878 1175 413040 351963 378587 351963 684082 687834333 95453 77756 698244 76073 698244 194793 34333332 545 417805 231659 454024 231659 89120 332978 9996 618551 527400 421976 527400 247794 9788656 778645 305246 305321 144687 305321 329172 86561233 7564 558848 523937 379425 523937 419571 12338965 3434 239368 658412 626159 658412 701743 8965

8.4 Hệ mật Rabin

Đây là hệ mật dựa trên độ phức tạp của việc tính căn bậc hai theo hợp số. Đây là hệ

mật có độ an toàn về mặc tính toán chống lại được tấn công bản rõ lựa chọn và không có

khả năng phân tích được n=pq. Thuật toán được ứng dụng rất nhiều trong thực tế.

Thuật toán hệ mật Rabin

Quá trình tạo khóa:

Để tạo ra khóa Alice cần phải thực hiện các thao tác sau:

1. Chọn 2 số nguyên tố ngẫu nhiên p và q, thỏa mãn điều kiện sau: .

2. Tính tích p và q: .

3. Chọn số ngẫu nhiên b .

4. Sử dụng cặp (n,b) làm cặp khóa công cộng và cặp (p,q) làm khóa mật.

Quá trình mã hóa:

Để gởi thông tin mật cho Alice, Bob cần tạo ra bảng mã c như sau:

Qúa trình giải mã:

Để giải mã bản mã c, Alice giải phương trình bậc hai sau:

Với M<n.

Chúng ta chứng minh thuật toán xxx này là một hệ mật, có nghĩa là quá trình giải mã

được thực hiện bởi Alice sẽ khôi phục lại bản rõ được mã hóa bới Bob.

Giải phương trình bậc 2, chúng ta có nghiệm chung dạng:

,

ở đây

bởi vì c phụ thuộc vào phần tử , nên phương trình bậc hai:

,

Có nghiệm trong . Một trong các nghiệm của nó là số m, được gởi bởi Bob. Từ đây

dẫn đến phải là thặng dư bậc hai theo modulo n, hay là phần tử của nhóm QRn.

Việc tính toán để mã hóa, cần phải lấy căn bậc hai theo modulo N. Bài toán này tương

đương với bài toán phân tích thành nhân tử của số n. Alice là người duy nhất có thể tính

được căn này, bởi vì Alice biết được thừa số của n, Alice có thể tính căn của (xem cách

tính căn trong chương số học).

Chúng ta thấy rằng có 4 nghiệm được lấy ra khi giải mã. Điều này cần có thông tin

phụ để Alice có thể nhận ra được bản nào là bản tin mà Bob gởi.

Khi n là số nguyên Blum, có nghĩa là n=pq, với . Chúng ta có thể tính

toán dể dàng hơn như sau:

Đặt m=M+b/2, thế vào phương trình bậc hai chúng ta có:

Đặt , thì phương trình trên có thể viết lại

Chúng ta đi giải phương trình này:

;

Theo tiêu chuẩn Euler chúng ta có:

Dẫn đến:

Dẫn đến căn bậc hai của C theo modulo p và q lần lượt là:

Đặt:

;

;

Ta rút ra được 4 nghiệm như sau:

;

;

;

;

Ví dụ:

p=13327

q=1567

n=20883409

m

7771 18621623 7771 5556 64 1503 3019673 7771 20875638 17863736

8.5 Hệ mật Merkle-hellman

Hệ mật xếp ba lô Merkle-hellman được Merkle-hellman miêu tả năm 1978. Hệ mật

này bị phá vở năm 1980, sau đó có một số biến thể của nó ra đời. Mặc dầu nó bị phá

nhưng nó cho chúng ta thấy một sự tinh tế trong thiết kế hệ mật. Bài toán này dựa trên bài

toán tổng các tập con. Bài toán được phát biểu như sau

Bài toán về tổng các tập con.

Cho tập trong đó, và S là các số nguyên dương. Các si gọi

là các cỡ, S gọi là tổng đích. Bài toán đặt ra vấn đề là liệu có tồn tại một véct tơ nhị phân

sao cho:

.

Bài toán tìm kiếm này thuộc bài toán NP đầy đủ. Và người ra đã tìm ra rằng nếu dãy

là một dãy siêu tăng, nghĩa là với , thì bài toán tìm kiếm dể

dàng giải được với chi phí thời gian O(n) và nếu tìm được x (nếu tồn tại) là duy nhất.

Thuật toán này miêu tả như sau:

Đầu vào là dãy siêu tăng

Begin

For i=n downto 1 do

If S si then

S=S-si

xi=1

else

xi=0

if then

là giải pháp cần tìm

Else

Không tồn tại giải pháp nào.

End

Dựa trên thực giải này Merle-Hellman đi xây dựng thuật toán của mình. Ý tưởng

thuật toán là, dùng dãy siêu tăng để giải mã, và giải mã bằng một dãy không phải siêu

tăng, tức là dãy siêu tăng đóng vai trò là khóa mật, còn dãy không siêu tăng đóng vai trò

là khóa công cộng. Từ đây họ đưa ra cách để biến dãy siêu tăng thành dãy không có tính

đó, và việc tìm dãy siêu tăng theo khóa công cộng là bài toán khó. Một cách biến đổi mà

Merle-Hellman nêu ra là biến đổi dãy siêu tăng theo modulo nguyên tố p, sao cho:

,

Và phép biến đổi như sau. Chọn số a thỏa mãn . Sau đó xác định thành

phần của dãy:

Với . Dãy là khóa công khai. Các giá trị a và p dùng để biến đổi

dãy được giữ mật.

Hệ mật Herkle-Hellman

Alice và Bob muốn trao đổi thông tin mật cho nhau, thì Alice phải thực hiện quá trình

hình thành khóa. Alice chọn dãy siêu tăng làm khóa mật, sau đó Alice đi tính

khóa công cộng , với . Alice gởi t cho Bob qua kênh mật.

Quá trình mã hóa:

Bob muốn trao bản tin cho Alice, thì Bob tính bản mã y như sau:

,

Bob gởi bản y cho Alice.

Quá trình giải mã.

Alice nhận được bản mã y, thì Alice thực hiện giải mã:

1. Tính

2. Tìm giải pháp x với dãy siêu tăng và tổng là z.

Chúng ta đi tìm hiểu ví dụ nhỏ sau về hệ mật Merkle-Hellman

Giả sử Alice chọn dãy siêu tăng s=(2,5,9,21,45,103,215,450,946) có 9 phần tử, dùng

để mã hóa một số 9 bít và chọn p=2003, a=1289. Alice tính ra khóa công khai

t=(575,436,1586,1030,1921,569,721,1183,1570). Gởi t cho Bob qua kênh công cộng.

Bob muốn gởi cho Alice bản tin x=(1,0,1,1,0,0,1,1,1). Thì Bob tính bản mã:

y=575+1586+1030+721+1183+1570=6665

Bob gởi y cho Alice.

Alice nhận được y, và tính =317.6665 mod 2003=1643. Tiếp theo

Alice dùng thuật giải trên để tìm ra x.

8.6 Hệ mật McEliece

Hệ mật McEliece được đề xuất năm 1978, tác giả của nó là Robert McEliece. Ý

tưởng của bài toán này giống với ý tưởng của hệ mật Merkle-Hellman: Phép giải mã là

trường hợp đặc biệt của bài toán NP đầy đủ.

Để hiểu được hệ mật này các bạn phải nắm được kiến thức cơ bản về lý thuyết cơ bản

về truyền tin, thông tin.

Gọi C[n,k] là mã tuyến tính, t là số bít bị sai khi truyền bản mã qua kênh nhiểu, các

tham số này có liên quan với nhau bằng các hệ thức: , . Để áp dụng trong

thực tế hệ mật công khai McEliece đề nghị chọn 1024, t = 50.

Hệ mật McEliece hình thành như sau:

Alice và Bob muốn truyền tin mật cho nhau bằng hệ mật McEliece. Trước tiên Alice

phải hình thành khóa như sau:

Quá trình hình thành khóa:

1. Alice chọn mã tuyến tính C[n,k] có thể sửa được t lỗi. Mã này phải có thuật

toán giải mã hiệu quả.

2. Alice tạo ra ma trận sinh G cấp cho mã C.

3. Chọn S là ma trận khả nghịch cấp .

4. Chọn tiếp ma trận hoán vị P cấp .

5. Tính ma trận G’ cấp : G’=SGP.

6. Alice công khai khóa công cộng (G’, t) và giử kín khóa mật (G,P,S).

Quá trình mã hóa:

Bob muốn gởi thông tin mật m cho Alice, Bob sử dụng khóa công cộng (G’,t) và tiến

hành mã hóa theo các bước sau:

1. Mã hóa bản tin x ở dạng nhị phân chiều dài k.

2. Tính véc tơ c’=xG’.

3. Tạo ra một véc tơ ngẫu nhiên e, có trọng số t và chiều dài n.

4. Hình thành bản mã: y=c’+e.

Quá trình giải mã:

1. Tính ma trận khả nghịch của P là P-1.

2. Tính .

3. Sử dụng thuật toán giải mã code C để giải mã y’ thành y”.

4. Tính toán bản rõ: x=

Chúng ta tìm hiểu rõ hơn về phần giải mã, chúng ta có:

=(c’+e)P-1=(xSGP+e)P-1=xSG+e’,

ở đây e’ là véc tơ có trọng số là t. Alice dùng thuật toán giải mã của mình để véc cạn các

gía trị có thể của e’. Và từ đó tìm xSG và từ đây chúng ta tính x dễ dàng bằng cách nhân

với ma trận nghịch đảo.

Ví dụ: Chúng ta xem mã Hamming (7,4). Ma trận sinh của mã này là G, được cho

như sau:

giả sử Alice chọn ma trận S và P như sau:

Alice tính ma trân công cộng G’:

Bây giờ Bob muốn mã hóa thông điệp x=(1,1,0,1) bằng cách dùng véc tơ sai ngẫu

nhiên có trọng số là 1 dạng: e=(0,0,0,0,1,0,0), và tính bản mã:

Alice nhận được bản mã y, trước hết Alice tính P-1 và tính y’=yP-1, ở đây

Và tính ra y’=(1000111). Alice dùng thuật toán giải mã để tìm lỗi và tìm ra lỗi ở vị trí

số 7. Nên y’’=(1000110). Từ đây suy ra xS=(1000). Để giải mã Alice tính S-1,

Tính xS.S-1=(1,1,0,1). Đây chính là bản rõ của Bob.

8.7 Hệ mật bất đối xứng trên cơ sỡ đường cong Elliptic

Lý thuyết về đường cong elliptic chúng ta đã tìm hiểu ở phần trường số hữu hạn. Bây

giờ chúng ta xem ứng dụng của nó đối với hệ mật bất đối xứng. Chúng ta đi tìm hiểu hệ

mật như sau.

Giả sử Alice và Bob muốn trao đổi thông tin mật cho nhau trên cơ sở đường cong

Elliptíc, thì Alice và Bob chọn đường cong Elliptic E với các hệ số a, b, modulo p và

điểm khởi tạo G, , G có bậc là n (nG=0).

Alice hình thành khóa mật và khóa công cộng qua các bước sau:

1. Chọn d là số ngẫu nhiên làm khóa mật thỏa mãn .

2. Công bố khóa công cộng PA=d G.

Quá trình mã hóa:

Bob muốn gởi thông tin mật m cho Alice, Bob thực hiện:

1. Chọn số ngẫu nhiên . Và tính điểm Gk(x1,y1)=k G.

2. Tính giá trị PAk(x,y)=k PA.

3. Để mã hóa, Bob chọn tọa độ của điểm PAk để mã hóa. Ví dụ như chọn tọa độ x, và

mã hóa thông điệp m: c=m.x (mod p).

4. Gởi cặp (Gk(x1,y1), c) cho Alice.

Quá trình giải mã:

Nhận được cặp (Gk(x1,y1), c) từ Bob. Alice tiến hành giải mã qua các bước sau:

1. Tính PBk(x’,y’)=d Gk

2. Chọn tọa độ x của điểm PBk và tìm phần tử nghịch đảo của x’ là và

tính giá trị m bằng biểu thức: m=

Chúng ta kiểm tra tính đúng đắn của hệ. Từ bước 1 của quá trình giải mã chúng ta

thấy d Gk=k.d G= k PA= PAk(x,y), nên x’=x. Và quá trình giải mã là đúng.