TEODOR LEUCA

CHESTIUNI SPECIALE DE

ELECTROTEHNICĂ

Universitatea din OradeaFacultatea de Inginerie Electrică şi Tehnologia Informaţiei

2008

2

PREFAŢĂ

Lucrarea intitulată “Chestiuni speciale de electrotehnică” are ca obiect de studiu prezentarea sistematică a noţiunilor legate de fenomenele de natură electrică pornind de la raţionamentul matematic în cadrul teoriei. O teorie este cu atât mai evoluată cu cât este mai matematizată, în acest sens fiind utilă asocierea proprietăţilor din natură, reproductibile, cu elementele unor mulţimi matematice posibile a fi măsurate. Astfel, proprietăţile din natură fiind asociate unor mărimi fizice. O parte din aceste asocieri sunt numite legi sau axiome. Restul pot fi deduse din legi, pe bază de raţionamente, numite teoreme.

Elaborarea unei teorii privind fenomenele electromagnetice este foarte dificilă, datorită faptului că acestea nu sunt direct accesibile simţurilor omului, doar efectele de natură mecanică, termică sau chimică ale câmpului electromagnetic pot fi evaluate. Maxwell în renumitul său tratat de electromagnetism a dezvoltat prima teorie privind fenomenele electromagnetice, teorie aplicată doar la medii imobile.

Prima soluţie privind mediile aflate în mişcare este oferită de teoria Maxwell-Hertz, unde sistemele de referinţă sunt locale, ataşate micii vecinătăţi a punctului unde este definită mărimea fizică. Experimentele nu verifică această teorie în unele situaţii în care medii puternic polarizate electric se deplasează cu viteze mari. Teoria microscopică a lui Lorentz propune un sistem de referinţă universal fixat pe un mediu ideal, fără vâscozitate, eliminând acest inconvenient.

Electrodinamica relativistă revine la teoria Maxwell-Hertz, definind mărimile fizice în sistemele de referinţă ataşate corpurilor în mişcare şi arătând invarianţa legilor fizicii în toate sistemele inerţiale. Precizând conceptul de simultaneitate, sunt deduse relaţiile de transformare a mărimilor de la un sistem de referinţă inerţial la altul. Aplicarea electrodinamicii relativiste la studiul mişcărilor neinerţiale este practic imposibilă.

Elaborarea acestei lucrări are la bază teoria macroscopică Maxwell-Hertz, acceptată unanim ca fiind cea mai potrivită teorie pentru modelarea fenomenelor electromagnetice din tehnică.

Lucrarea de faţă se adresează studenţilor de la profilul electric, electromecanic, masteranzilor, doctoranzilor, precum şi altor persoane interesate de acest domeniu.

Autorul

3

CUPRINS

Capitolul 1. MĂRIMI DE NATURĂ ELECTRICĂ ....................................................... 9

1.1. Câmpul electric în vid. Intensitatea câmpului electric în vid ........................................ 9

1.2. Sarcina electrică q.......................................................................................................... 10

1.3. Câmpul electric în corpuri. Intensitatea câmpului electric E. Inducţia electrică D ....... 12

1.4. Polarizaţia electrică ....................................................................................................... 14

1.5. Legea legăturii dintre inducţia electrică D şi intensitatea câmpului electric E ............. 15

1.6. Tensiunea electrică u .................................................................................................... 16

1.7. Potenţialul electric V. Teorema potenţialului electric scalar ........................................ 17

1.8. Fluxul electric ............................................................................................................... 18

1.9. Legea fluxului electric .................................................................................................. 18

Capitolul 2. MĂRIMI DE NATURĂ MAGNETICĂ ..................................................... 20

2.1. Inducţia magnetică în vid Bv.......................................................................................... 20

2.2. Câmpul magnetic în corpuri. Inducţia magnetică B. Intensitatea câmpului

magnetic H ......................................................................................................................... 21

2.3. Polarizaţia magnetică. Magnetizaţia ............................................................................. 22

2.4. Legea legăturii dintre inducţia magnetică B şi intensitatea câmpului magnetic H ....... 22

2.5. Tensiunea magnetică um ................................................................................................ 25

2.6. Potenţialul magnetic scalar Vm. Teorema potenţialului magnetic scalar ...................... 26

2.7. Fluxul magnetic ............................................................................................................ 27

2.8. Legea fluxului magnetic ............................................................................................... 27

2.9. Legea inducţiei electromagnetice ................................................................................. 28

Capitolul 3. MĂRIMI DE NATURĂ ELECTROCINETICĂ ....................................... 33

3.1. Intensitatea curentului electric i..................................................................................... 33

3.2. Densitatea de volum a curentului electric J .................................................................. 33

4

3.3. Legea circuitului magnetic ........................................................................................... 35

3.4. Legea legăturii dintre densitatea de volum a curentului electric J şi

intensitatea câmpului electric E (Legea conducţiei) ............................................................ 41

3.5. Legea transformării energiei din forma electromagnetică în alte forme,

prin conducţie ...................................................................................................................... 42

Capitolul 4. COMPORTAREA MĂRIMILOR DE CÂMP ÎN VECINĂTATEA

SUPRAFEŢELOR ............................................................................................................. 43

4.1. Comportarea inducţiei magnetice B în vecinătatea suprafeţelor ................................... 44

4.2. Comportarea inducţiei electrice D în vecinătatea suprafeţelor ..................................... 45

4.3. Comportarea densităţii de volum a curentului electric J în vecinătatea suprafeţelor ... 46

4.4. Comportarea intensităţii câmpului electric E în vecinătatea suprafeţelor ..................... 47

4.5. Comportarea intensităţii câmpului magnetic H în vecinătatea suprafeţelor .................. 50

Capitolul 5. ELECTROSTATICA .................................................................................... 52

5.1. Ecuaţiile electrostaticii .................................................................................................. 52

5.2. Relaţiile dintre sarcinile şi potenţialele unui sistem de conductoare (Maxwell).

Condensatoare ..................................................................................................................... 54

5.3. Energia şi coenergia câmpului electric. Forţe generalizate în câmp electric ................ 65

5.3.1. Energia câmpului electric .............................................................................. 65

5.3.2. Coenergia câmpului electric .......................................................................... 68

5.3.3. Densitatea de volum a energiei şi coenergiei ................................................. 69

5.3.4. Forţe generalizate în câmp electric ................................................................ 71

5.4. Câteva metode de calcul al câmpului electric ............................................................... 73

5.4.1. Formule coulombiene ..................................................................................... 73

5.4.2. Metoda diferenţelor finite ............................................................................... 78

i) Reţele de coordonate ortogonale ....................................................................... 78

ii) Reţele triunghiulare (metoda elementelor finite) .............................................. 81

5.4.3. Aproximarea liniilor de câmp cu segmente de dreaptă şi arce de cerc .......... 84

5

Capitolul 6. ELECTROCINETICA ................................................................................. 87

6.1. Ecuaţiile electrocineticii ............................................................................................... 87

6.2. Rezistorul ...................................................................................................................... 88

6.2.1. Puterea absorbită de un rezistor .................................................................... 89

6.2.2. Rezistenţa unui rezistor .................................................................................. 90

6.2.3. Rezistorul multipolar ...................................................................................... 91

6.2.4. Puterea absorbită de rezistorul multipolar .................................................... 92

6.2.5. Relaţiile u-i la bornele rezistorului multipolar ............................................... 93

6.3. Priza de pământ ............................................................................................................ 94

6.3.1. Priza de pământ emisferică ............................................................................ 95

Capitolul 7. CÂMPUL MAGNETIC STAŢIONAR ....................................................... 98

7.1. Ecuaţiile câmpului magnetic staţionar ......................................................................... 98

7.1.1. Spira perfect conductoare 98

7.2. Relaţiile dintre fluxurile şi curenţii spirelor perfect conductoare (Maxwell) ................ 101

7.2.1. Factorul de cuplaj .......................................................................................... 102

7.2.2. Inductivităţile fasciculelor de spire ................................................................ 102

7.2.3. Tensiunea electrică de la bornele unei spire perfect conductoare ................. 104

7.3. Energia şi coenergia câmpului magnetic. Forţe generalizate în câmp magnetic ........... 105

7.3.1. Energia câmpului magnetic ............................................................................ 105

7.3.2. Coenergia câmpului magnetic ........................................................................ 107

7.3.3. Teoreme de reciprocitate ................................................................................ 107

7.3.4. Densitatea de volum a energiei şi a coenergiei .............................................. 108

7.3.5. Forţe generalizate în câmp magnetic ............................................................. 110

7.4. Metode de calcul al câmpului magnetic ....................................................................... 113

7.4.1. Circuite magnetice ......................................................................................... 113

7.4.1.1. Latura de circuit magnetic ....................................................................... 113

7.4.2. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice ........................................ 116

7.4.3. Rezolvarea problemelor de câmp magnetic cu ajutorul

circuitelor magnetice ................................................................................................ 118

7.5. Formule Biot-Savart-Laplace ....................................................................................... 122

7.6. Metoda diferenţelor finite ................................................................................................... 128

6

7.6.1. Reţele de coordonate ortogonale ......................................................................... 129

7.7. Reţele triunghiulare (Metoda Elementelor Finite) .............................................................. 132

7.8. Structuri cu magneţi permanenţi ................................................................................... 134

7.8.1. Energia câmpului magnetic creat de magneţii permanenţi ............................ 134

7.8.2. Calculul câmpului magnetic creat de magneţii permanenţi ........................... 136

7.8.2.1. Circuite magnetice cu magneţi permanenţi ............................................. 136

7.8.2.2. Sarcini magnetice fictive .......................................................................... 136

7.8.2.2. Curenţi amperieni ..................................................................................... 138

Capitolul 8. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC CVASISTAŢIONAR ....................... 139

8.1. Ecuaţiile câmpului electromagnetic cvasistaţionar ....................................................... 139

8.2. Teoremă de unicitate .................................................................................................... 141

8.3. Ecuaţiile de ordinul 2 .................................................................................................... 144

8.4. Regimul cvasistaţionar sinusoidal ................................................................................ 145

8.5. Teoremă de unicitate pentru regimul sinusoidal ........................................................... 148

8.6. Ecuaţiile de ordinul 2, în regim sinusoidal ................................................................... 148

8.7. Aplicaţii ........................................................................................................................ 149

8.7.1. Pătrunderea câmpului electromagnetic în semispaţiul conductor ................. 149

8.7.2. Călirea superficială prin curenţi turbionari ................................................... 151

8.7.3. Pierderi specifice în tolele feromagnetice ...................................................... 152

8.8. Regimul cvasistaţionar periodic .................................................................................... 155

8.8.1. Analiza regimului periodic ............................................................................. 155

8.9. Regimul cvasistaţionar anamagnetic ............................................................................ 156

8.9.1. Ecuaţia potenţialului scalar ........................................................................... 157

8.9.2. Regimul sinusoidal ......................................................................................... 158

Capitolul 9. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC GENERAL VARIABIL,

ÎN MEDII IMOBILE ........................................................................................................ 160

9.1. Ecuaţiile câmpului electromagnetic general variabil .................................................... 160

9.2. Teoremă de unicitate .................................................................................................... 161

9.3. Energia câmpului electromagnetic ................................................................................ 163

7

9.4. Ecuaţiile de ordinul 2 .................................................................................................... 166

9.5. Regimul sinusoidal ....................................................................................................... 167

9.5.1. Ecuaţiile de ordinul 2 ...................................................................................... 168

9.5.2. Teoremă de unicitate pentru regimul sinusoidal ............................................. 168

9.6. Pierderile specifice într-un ciclu de histerezis (Warburg) ............................................ 169

9.7. Puteri transferate printr-o suprafaţă închisă, în regim sinusoidal ................................. 173

9.8. Forţe în câmp electromagnetic ...................................................................................... 175

9.8.1. Densitatea de volum a forţelor de natură magnetică ..................................... 175

9.8.2. Tensorul tensiunilor lui Maxwell .................................................................... 177

9.9. Elemente de circuit ....................................................................................................... 179

Capitolul 10. ÎNCĂLZIREA ÎN CÂMP DE MICROUNDE........................................... 187

10.1. Materiale dielectrice în câmp de microunde................................................................. 187

10.1.1. Polarizarea de orientare................................................................................ 188

10.1.2. Polarizarea de neomogenitate (Maxwell-Wagner)........................................ 191

10.1.3. Tipuri de dielectrici........................................................................................ 191

10.1.4. Constanta dielectrică complexă..................................................................... 195

10.2. Câmpul electromagnetic în structurile cu microunde................................................... 200

10.2.1. Propagarea câmpului electromagnetic de înaltă frecvenţă........................... 200

10.2.2. Propagarea câmpului electromagnetic prin ghiduri de undă........................ 202

10.2.3. Puterea transferată prin ghidul de undă dreptunghiular............................... 207

10.2.4. Propagarea câmpului electromagnetic în cavităţi rezonante........................ 209

10.2.5. Rezolvarea numerică a problemei de câmp în aplicator............................... 214

Anexa A. ELEMENTE DE ALGEBRĂ ŞI ANALIZĂ VECTORIALĂ ....................... 217

A.1. Algebră vectorială ........................................................................................................ 217

A.2. Integrale pe varietăţi .................................................................................................... 221

A.3. Operatori diferenţiali ................................................................................................... 225

A.4. Relaţii integrale ............................................................................................................ 230

8

Anexa B. ASPECTE CALITATIVE PRIVIND CÂMPURILE STAŢIONARE ......... 232

B.1. Ecuaţiile regimului staţionar ........................................................................................ 232

B.2. Condiţiile de frontieră .................................................................................................. 233

B.3. Unicitate ....................................................................................................................... 236

BIBLIOGRAFIE................................................................................................................. 240

9

Capitolul 1. MĂRIMI DE NATURĂ ELECTRICĂ

1.1. Câmpul electric în vid. Intensitatea câmpului electric în vid

Dacă pieptănăm firele de păr uscat cu un pieptene de ebonită, se constată că între firele de păr, ca şi între pieptene şi firele de păr, apar forţe care nu sunt de natură inerţială sau gravitaţională. Spunem că sunt de natură electrică, iar despre pieptene şi firele de păr spunem că sunt electrizate. Spunem că orice alt obiect este electrizat, dacă asupra lui se exercită forţe de natură electrică, când este pus în vecinătatea pieptenelui electrizat.

Numim corp de probă un obiect electrizat, de formă sferică, arbitrar de mic şi metalizat. Există puncte din spaţiu, de exemplu în vecinătatea firelor de păr, unde asupra corpului de probă se exercită forţe de natură electrică. Spunem că, în acele puncte, există câmp electric. Pentru a asocia o mărime fizică proprietăţii spaţiului de a avea câmp electric, imaginăm următorul procedeu de măsurare, într-un punct P0 din spaţiu (Fig. 1.1), cu câmp electric, numit punctul cu câmp electric de referinţă, se introduce corpul de probă şi asupra lui se exercită forţa F0. în punctul P în care vrem să măsurăm câmpul electric, asupra aceluiaşi corp de probă, se exercită forţa F.

Fig. 1.1. Măsurarea intensităţii câmpului electric în vid.

Mărimea ce caracterizează câmpul electric din punctul P are valoarea:

vv 00

EF

FE (1.1)

şi se numeşte intensitatea câmpului electric în vid. Intensitatea câmpului electric de referinţă, în vidul din punctul P0 notată cu E0v, depinde de sistemul de unităţi ales. Intensitatea câmpului electric în vid Ev, este o mărime vectorială, ca şi forţa F, şi este mărime primitivă, deoarece a fost introdusă printr-un procedeu de măsurare.

În sistemul de unităţi internaţional (S.I), unitatea de măsură pentru Ev este volt/metru, (V/m).

10

1.2. Sarcina electrică q

Să ne imaginăm acum un procedeu de măsurare a stării de electrizare. Fie un punct din spaţiu P în vecinătatea căruia avem câmp electric uniform de intensitate Ev. Dacă punem în punctul P diferite corpuri electrizate, constatăm că asupra lor se exercită diferite forţe, toate având orientarea intensităţii câmpului electric. Putem scrie:

vqEF (1.2)unde q este o constantă care depinde de corpul electrizat ce se introduce în câmp electric şi nu de valoarea lui Ev, adică, introducând acelaşi corp electrizat în alt punct cu câmp electric, relaţia (1.2) rămâne valabilă. Admitem că electrizarea corpului este cu atât mai puternică, cu cât forţa F este mai mare, deci q poate fi mărimea fizică ce caracterizează starea de electrizare.

În S.I., unitatea de măsură pentru sarcina electrică este Coulomb-ul (C). Deoarece 1C este o sarcină electrică foarte marc, în practică se folosesc submultipli ai C:

mili … (m…) 10-3

micro … (…) 10-6

nano … (n…) 10-9

pico … (p…) 10-12

Densitatea de volum a sarcinii electrice. Pentru a cerceta dacă sarcina electrică admite distribuţie volumică într-un punct P, facem limita:

v

qlimρ

vv

0)( (1.3)

unde ω este un mic domeniu suficient de regulat ce conţine punctul P, iar v(ω)este volumul domeniului ω (Fig.1.2). Dacă limita există, spunem că, în punctul P, densitatea de volum a sarcinii electrice este ρv. Fie un domeniu Ω în interiorul căruia sarcina electrică este distribuită cu densitate de volum ρv (Fig. 1.3). Împărţim domeniul Ω în mici subdomenii de volume Δvk în care sarcina electrică este ΔqkρvkΔvk, unde ρvk este densitatea de volum a sarcinii electrice într-un punct al subdomeniului.

Fig. 1.2. Densitatea de volum a sarcinii electrice Fig. 1.3. Sarcina electrică a unui domeniu

11

Sarcina electrică a întregului domeniu Ω rezultă prin însumarea sarcinilor subdomeniilor:

k k

kvkk ρqq (1.4)

Când dimensiunile subdomeniilor sunt arbitrar de mici, limita sumei (1.4), dacă există, este:

dvρq v (1.5)

Dacă facem o analogie între masa inerţială şi sarcina electrică a unui domeniu, atunci densitatea de sarcină electrică este analoagă cu densitatea de masă.

Densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice. Pentru a cerceta dacă sarcina electrică admite distribuţie de suprafaţă într-un punct P al unei suprafeţe S, facem limita (Fig. 1.4):

s

qlimρ

0)(ss (1.6)

unde S este o suprafaţă mică ce conţine punctul PS, s() este aria suprafeţei . Dacă limita există, spunem că, în punctul P de pe suprafaţa S, sarcina electrică este distribuită superficial, cu densitatea de suprafaţă ρS. Fie o suprafaţă S pe care sarcina electrică este distribuită cu densitate de suprafaţă ρS. Împărţim suprafaţa S în mici suprafeţe de arii Δsk în care sarcina electrică este ΔqkρSkΔsk unde ρSk este densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice într-un punct al micii suprafeţe. Sarcina electrică a întregii suprafeţe S rezultă prin însumarea sarcinilor micilor suprafeţe:

k

kSkk

kS sρqq Δ

Când dimensiunile micilor suprafeţe tind către zero, limita sumei de mai sus, dacă există, este:

S

SS dsρq (1.7)

Fig. 1.4. Densitatea de suprafaţă Fig. 1.5. Densitatea lineică

a sarcinii electrice de sarcină electrică

Densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice este analoagă cu densitatea de suprafaţă a masei pentru o tablă de grosime neglijabilă (masa unui metru pătrat pentru o tablă omogenă). Spre deosebire de tabla de grosime neglijabilă, care este o idealizare, suprafeţele încărcate cu sarcină electrică există, de exemplu,

12

pe suprafeţele corpurilor conductoare.Densitatea de linie (lineică) a sarcinii electrice. Pentru a cerceta dacă

sarcina electrică admite distribuţie lineică într-un punct P de pe curba C, facem limita:

)(

)() λl

λqlim

0l(l (1.8)

unde λ este o mică porţiune de pe curba C care conţine punctul P, iar l(λ) este lungimea micii porţiuni (Fig.1.5). Dacă limita există, spunem, că în punctul P, densitatea de linie (lineică) a sarcinii electrice este ρl. Analog cu relaţiile (1.5), (l.7), sarcina electrică pe curba C este:

dlρq lC C

(1.9)

Densitatea lineică de sarcină ρl este analoagă cu densitatea lineică de masă a unei sârme de grosime neglijabilă (masa unui metru de sârmă în cazul unei sârme omogene).Observaţii:

a) Din punct de vedere fizic, distribuţiile de volum şi suprafaţă ale sarcinii electrice pot exista, în timp ce distribuţiile lineice (pe curbe) şi punctuale nu există, ele necesitând o energie infinită pentru a le crea. Totuşi, ultimele două distribuţii pot fi deseori utile pentru a modela sarcini electrice de pe corpuri ale căror dimensiuni sunt mult mai mici decât celelalte dimensiuni ale domeniului în care studiem câmpul electric.

b) Definiţiile de mai sus ale densităţilor de sarcină electrică sunt lipsite de rigurozitate. De exemplu, în cazul densităţii de volum, admitem că putem determina sarcina electrică a unui mic subdomeniu ω care poate face parte dintr-un corp. Ţinând cont de modul în care a fost definită sarcina electrică, ar trebui ca acolo unde se află micul subdomeniu să avem un câmp uniform, măsurabil. Dar măsurătoarea presupune înlăturarea micului subdomeniu, fapt care poate duce la modificarea câmpului electric. Apoi, având micul subdomeniu la locul lui, cum putem măsura forţa? Trebuie să precizăm totuşi faptul că sarcina electrică şi densităţile de sarcină pot fi introduse în mod riguros admiţând legea fluxului electric ca relaţie de definire (par. 1.8). Sarcina electrică apare astfel ca o sursă a unui câmp de vectori. Am preferat modul adoptat mai sus pentru analogia sa cu masa inerţială, care permite o înţelegere mai uşoară a sensului fizic al sarcinii electrice.

1.3. Câmpul electric în corpuri. Intensitatea câmpului electric E. Inducţia electrică D

Pentru a caracteriza câmpul electric în corpuri, trebuie să practicăm o cavitate în jurul punctului pe care-l cercetăm, astfel încât să putem introduce

13

corpul de probă.Numim fantă lungă o cavitate cilindrică arbitrar de mică cu raza mult mai

mică decât lungimea, având orientarea n (Fig. 1.6). Fie o fantă lungă cu centrul în punctul P, unde dorim să studiem câmpul electric, în punctul P din centrul fantei, intensitatea câmpului electric în vid este )(' nEv .

Numim intensitate a câmpului electric în punctul P acel vector E a cărui proiecţie pe orientarea n a fantei este egală cu proiecţia vectorului )(' nEv pe

orientarea fantei, oricare ar fi această orientare: n nnEnE ,'

v (1.10)

Observaţii: a) )(' nEv depinde, în general, de orientarea fantei, dar E nu depinde de

această orientare (în caz contrar, E nu poate fi definit).b) Mărimea E este o mărime derivată, definită cu ajutorul mărimii

primitive intensitatea câmpului electric în vid Ev. Se măsoară tot în V/m.c) Alegerea cavităţii de forma fantei lungi permite măsurarea, în

principiu, a unor mărimi derivate din intensitatea câmpului electric (tensiunea electrică).

d) Practicarea unei fante în vid nu modifică cu nimic lucrurile.Ca urmare, în vid, )(E ' nv nu depinde de n şi avem:

)(' nEE v (1.11)

Numim fantă plată, o cavitate cilindrică arbitrar de mică cu lungimea mult mai mică decât raza, având orientarea n (Fig. 1.7).

Fig. 1.6. Fantă lungă. Intensitatea câmpului electric Fig. 1.7. Fantă plată. Inducţia electrică

Fie o fantă plată cu centrul în punctul P, unde dorim să studiem câmpul electric, în punctul P din centrul fantei, intensitatea câmpului electric în vid este

)('' nEv . La aceeaşi orientare, intensitatea câmpului electric din vidul fantei plate

14

poate să difere de cea din vidul fantei lungi. Numim inducţie electrică în punctul P vectorul D a cărui proiecţie pe orientarea n a fantei este proporţională cu proiecţia vectorului )('' nEv pe orientarea fantei, oricare ar fi această orientare:

n nnEnD ε v ,''0 (1.12)

Constanta ε0, numită permitivitatea vidului, are o valoare care depinde de sistemul de unităţi utilizat. În sistemul internaţional:

(F/m)1094

190

πε

Unitatea de măsură pentru D este Coulomb/metru pătrat (C/m2).Observaţii:

a) )('' nEv depinde, în general, de orientarea fantei, dar D nu depinde de această orientare.

b) Mărimea D este o mărime derivată, definită cu ajutorul mărimii primitive intensitatea câmpului electric în vid Ev. Se măsoară tot în V/m.

c) Alegerea cavităţii de forma fantei plate permite măsurarea, în principiu, a unor mărimi derivate din inducţia electrică (fluxul electric).

d) Practicarea unei fante în vid nu modifică cu nimic lucrurile. Ca urmare, în vid )('' nEv nu depinde de n şi avem:

nED ''vε0 (1.13)

e) Din relaţiile (1.11) şi (1.13), rezultă că în vid: ED 0ε (1.14)

1.4. Polarizaţia electrică

Numim polarizaţie electrică mărimea vectorială definită prin relaţia: EDP 0ε (1.15)

Din relaţia (1.14), rezultă că polarizaţia este nulă în vid.Observaţie. Unele lucrări definesc polarizaţia electrică ca o densitate de

volum a unei mărimi numite moment electric, obţinută printr-o procedură de măsurare, ca mărime primitivă. Atunci relaţia (1.15) devine lege (legea legăturii dintre inducţia electrică, intensitatea câmpului electric şi polarizaţia electrică). Am preferat definirea polarizaţiei electrice cu relaţia (1.15), deoarece procedura de măsurare a momentului electric nu este riguroasă, iar definirea densităţii de volum are aceleaşi neajunsuri ca şi definirea densităţilor de volum ale sarcinilor electrice.

15

1.5. Legea legăturii dintre inducţia electrică D şi intensitatea câmpului electric E

Pentru majoritatea mediilor, se poate stabili o legătură algebrică între D şi E. În funcţie de această legătură, avem:

a) Medii liniare ED ε (1.16.a)

unde constanta ε se numeşte permitivitate şi întotdeauna ε ≥ ε0 (Fig.1.8.a). Pentru o comparare mai uşoară a permitivităţii ε cu permitivitatea vidului ε0, se defineşte mărimea adimensională numită permitivitate relativă cu relaţia

0r / . Întotdeauna, 1r . În particular, pentru vid, aer, gaze, majoritatea

metalelor, ε = ε0.

a) Medii liniare b) Medii liniare cu polarizaţie permanentă c) Medii liniare anizotrope Fig. 1.8. Medii liniare

b) Medii liniare cu polarizaţie electrică permanentă pPED (1.16.b)

unde polarizaţia electrică permanentă Pp este valoarea inducţiei electrice când intensitatea câmpului electric este nulă (Fig. 1.8.b).

c) Medii liniare anizotrope

ED (1.16.c)La aceste medii, vectorii D şi E nu sunt, în general, paraleli (Fig. l.8.c),

dar legătura dintre D şi E este liniară, fiind un tensor numit tensorul permitivităţii. Relaţia (1.16c) se mai poate scrie în sistemul cartezian astfel:

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

E

E

E

D

D

D

(1.16.c’)

Observaţie. Matricea permitivităţii este simetrică şi pozitiv definită. Există deci trei direcţii ortogonale, numite direcţii principale de electrizare, în care legătura dintre D şi E se scrie:

16

3

2

1

3

2

1

3

2

1

00

00

00

E

E

E

D

D

D

(1.16.c”)Se poate arăta că 0321 ,, .

d) Medii liniare, anizotrope, cu polarizaţie electrică permanentă

pPED (1.16.d)

e) Medii neliniare ED f unde 33 RR: f

f) Medii în care legătura dintre D şi E nu poate fi exprimată algebricSpunem că un mediu este omogen electric dacă, în toate punctele sale, are

aceeaşi legătură între D şi E. în caz contrar, se numeşte neomogen.

1.6. Tensiunea electrică u

Fie o curbă orientată C (Fig.1.9) şi un câmp electric cu intensitatea E. Numim tensiune electrică de-a lungul curbei C mărimea:

C

C lE du (1.17)

Tensiunea electrică uC este o integrală curbilinie de speţa a 2-a, asemănătoare cu lucrul mecanic. Aceasta depinde atât de câmpul vectorial E, cât şi de curba C. Tensiunea electrică se măsoară în volţi (V).

Observaţii: a) În principiu, tensiunea electrică poate fi măsurată, dacă ţinem cont de

felul în care a fost definită intensitatea câmpului electric, cu ajutorul fantelor lungi. într-adevăr, dacă plasăm curba C într-un şirag de fante lungi (Fig.1.9), atunci, în vidul fiecărei fante k, putem măsura '

vkE care, pe orientarea Δlk a

fantei, are aceeaşi componentă ca şi Ek. kk

'vkkk llElE

însumând în raport cu indicele k şi făcând lungimile Δlk arbitrar de mici, avem:

C C

v dd lElE '

b) Lucrul mecanic pe care-1 face un mic corp de sarcina electrică q, care se deplasează prin şiragul de fante, sub acţiunea forţelor electrice, este:

C

C C

'vC qudqdL lElF

17

1.7. Potenţialul electric V. Teorema potenţialului electric scalar

Există, uneori, domenii Ω în care tensiunea electrică pe orice curbă închisă din domeniu este nulă (vezi Legea inducţiei electromagnetice, Cap. 2, par. 2.9):

lE ,0d (1.18)

Teorema potenţialului electric scalar. Dacă în domeniul Ω este îndeplinită condiţia (1.18), atunci se poate defini un potenţial electric scalarprin relaţia:

P

P

0

0

lE dPVPV (1.19)

unde integrala se face pe orice drum de la P0 la P, iar P0 este un punct cu potenţial de referinţă fixat arbitrar.

Demonstraţie. Trebuie să arătăm că V este bine definit de relaţia (1.19), adică integrala din membrul drept al relaţiei nu depinde de drum. Fie C, C’ două curbe de la P0 la P şi fie C- curba care are aceeaşi poziţie în spaţiu ca şi C, dar este orientată invers (Fig. 1.10). Pe curba închisă CC' este valabilă relaţia (1.18):

C C

'

'

0lElE dd

sau

C C

'

'

lElE dd

Consecinţe:i) În condiţiile relaţiei (1.18), tensiunea electrică pe o curbă C este egală

cu diferenţa potenţialelor electrice scalare din punctele P0 şi P ce mărginesc curba (Fig. 1.10):

PVPVd C

0lE (1.20)

ii) Dacă relaţia (1.18) este valabilă, atunci este valabilă forma locală a teoremei potenţialului electric scalar: există V astfel încât:

gradVE (1.21)Demonstraţie. Fie un mic segment P0P de lungime Δx, paralel cu axa 0x, într-un sistem de axe carteziene. Relaţia (l.20) scrisă pentru acest segment este:

C

0

C

x zy,x,xVzy,x,VPVPVdxEdlE (1.22)

Din teorema de medie avem:

18

xzyExdxzyxEdxExx

x

x

C

x

,,,,

unde ξ este cuprins între x şi x+Δx. înlocuim în relaţia (l.22), împărţim cu Δx şi

facem Δx→0. Obţinem xEx

V

. Procedând asemănător cu segmentele

orientate în direcţiile axelor 0y şi 0z, obţinem: yEy

V

, zEz

V

înmulţind aceste ultime trei relaţii cu versorii axelor de coordonate, respectiv i, j, k şi, adunând, rezultă (1.21).

iii) Potenţialul electric poate fi definit cu aproximaţia unei constante. Constanta poate fi fixată prin fixarea potenţialului V(P0) în punctul P0.

1.8. Fluxul electric

Fie S o suprafaţă orientată. Numim flux electric mărimea definită prin:

S

n dSS D (1.23)

Observaţie: În principiu, fluxul electric poate fi măsurat, dacă ţinem cont de telul în care a fost definită inducţia electrică, cu ajutorul fantelor plate. Intr-adevăr, dacă "placăm" suprafaţa S cu fante plate (Fig. 1.11), atunci, în vidul fiecărei fante k, putem măsura ε0

''kvE care, pe orientarea nk a fantei, are aceeaşi

componentă ca şi Dk:

kkvkkkk SS nEnD ''0

însumând în raport cu indicele k şi făcând ariile ΔSk arbitrar de mici, avem:

dSdSS

v

S

nEnD "0

1.9. Legea fluxului electric

În urma experimentelor, se constată următoarea proprietate: Fluxul electric pe o suprafaţă închisă este egal cu sarcina electrică din interiorul suprafeţei (Fig. 1.12):

qdSnD (1.24)

Consecinţă. Forma locală a legii fluxului electric: Ddiv (1.25)

Demonstraţie. Se presupune că sarcina electrică este distribuită volumic cu densitatea de volum ρv. Aplicăm relaţia lui Gauss (Anexa A) în membrul stâng

19

al relaţiei (1.24) şi ţinem cont de relaţia (l.5). Rezultă:

dvdvdiv vD

Deoarece suportul de integrare ΩΣ este arbitrar, rezultă relaţia (1.25).

Observaţie. Din punctul de vedere al organizării teoriei Maxwell-Hertz, relaţia (1.23) poate fi considerată formula de definire a sarcinii electrice qΣ din interiorul suprafeţei închise Σ. În acest mod, nu mai apar probleme la definirea sarcinii electrice pentru domenii interioare ale unor corpuri şi densitatea de volum a sarcinii electrice poate fi definită corect.

20

Capitolul 2. MĂRIMI DE NATURĂ MAGNETICĂ

2.1. Inducţia magnetică în vid Bv

În punctul P din vid, introducem un mic corp de probă, care, fiind electrizat, are o sarcină electrică q. Dacă, în punctul P, există câmp electric, atunci asupra corpului de probă, presupus imobil, se exercită o forţă de natură electrică Fe. Dacă însă corpul de probă trece prin punctul P cu viteza v, se constată că, uneori, asupra lui se exercită o forţă suplimentară Fm (Fig. 2.1), deci o forţă totală Ft = Fm+Fe. Spunem că forţa Fm este de natură magnetică şi că, în punctul P, există câmp magnetic, în urma experimentului, se constată că în orice punct P există un vector Bv, independent de q şi v, cu proprietatea că forţa Fm poate fi exprimată prin relaţia:

vm q BF v (2.1)

oricare ar fi q şi v. Vectorul Bv, numit inducţie magnetică în vid, este o mărime fizică ce caracterizează proprietatea punctului P din vid de a avea câmp magnetic. Bv este o mărime primitivă definită prin relaţia (2.1). Unitatea de măsură în S.I. este Tesla (T).

Fig. 2.1. Inducţia magnetică în vid

Din modul în care au fost definite mărimile intensitatea câmpului magnetic în vid Ev şi inducţia magnetică în vid Bv, rezultă că, dacă în punctul P avem câmp electric şi magnetic, atunci forţa ce se exercită asupra corpului de probă este:

)( vvt q EBF vDacă schimbăm sistemul de referinţă în care se face măsurarea (deci,

viteza v), atunci, admiţând că Ft, şi q nu se modifică, rezultă că se modifică valorile lui Ev şi Bv:

1111 vvvv EBEB vvunde Ev1 şi Bv1 sunt valorile din noul sistem de referinţă. De exemplu, dacă noul sistem de referinţă se mişcă faţă de sistemul de referinţă iniţial cu aceeaşi viteză ca şi corpul de probă, atunci relaţia de transformare a lui Ev din sistemul de referinţă iniţial în cel al particulei este Ev1=v×Bv+Ev. Realitatea fizică este

21

câmpul electromagnetic, descris în punctul P din vid cu perechea de mărimi fizice (Ev, Bv). Mărimea Ev descrie componenta electrică a câmpului electromagnetic, iar Bv, componenta magnetică.

2.2. Câmpul magnetic în corpuri. Inducţia magnetică B. Intensitatea câmpului magnetic H

Pentru explorarea câmpului magnetic din corpuri, se procedează la fel ca în cazul câmpului electric (v. par. 1.3). Fie o fantă plată, de orientare n cu centrul în punctul P, unde dorim să studiem câmpul magnetic (Fig. 2.2). În punctul P din centrul fantei, inducţia magnetică în vid este Bv

”(n). Numim inducţie magnetică în punctul P acel vector B a cărui proiecţie pe orientarea n a fantei este egală cu proiecţia vectorului Bv

”(n) pe orientarea fantei, oricare ar fi această orientare:

nnnBnB ,''v (2.2)

Observaţii: a) Bv”(n) depinde, în general, de orientarea fantei, dar B nu depinde

de această orientare (în caz contrar, B nu poate fi definit).b) Mărimea B este o mărime derivată, definită cu ajutorul mărimii

primitive inducţia magnetică în vid Bv. Se măsoară tot în T.c) Alegerea cavităţii de forma fantei plate permite măsurarea, în principiu,

a unor mărimi derivate din inducţia magnetică (fluxul magnetic).d) Practicarea unei fante în vid nu modifică cu nimic lucrurile.

Ca urmare, în vid, Bv”(n) nu depinde de n şi avem:

B = Bv”(n) (2.3)

Fig. 2.2. Fantă plată. Inducţia magnetică Fig. 2.3. Fantă lungă. Intensitatea câmpului magnetic

Fie o fantă lungă, de orientare n cu centrul în punctul P, unde dorim să studiem câmpul magnetic (Fig. 2.3). în punctul P din centrul fantei, inducţia magnetică în vid este Bv

”(n). Numim intensitate a câmpului magnetic în punctul P acel vector H a cărui proiecţie pe orientarea n a fantei este proporţională cu proiecţia vectorului Bv

’(n) pe orientarea fantei, oricare ar fi această orientare:

22

nnnBnH ,1 '

0v

(2.4)

Constanta μ0, numită permeabilitatea magnetică a vidului, are o valoare care depinde de sistemul de unităţi utilizat, în S.I.: μ0 = 4π 10-7 Henry/metru.Observaţii:

a) Bv’(n) depinde, în general, de orientarea fantei, dar H nu depinde de

această orientare.b) Mărimea H este o mărime derivată, definită cu ajutorul mărimii

primitive inducţie magnetică în vid Bv. Se măsoară în Amperi pe metru A/m.c) Alegerea cavităţii de forma fantei lungi permite măsurarea, în

principiu, a unor mărimi derivate din inducţia magnetică (tensiunea magnetică).d) Practicarea unei fante în vid nu modifică cu nimic lucrurile.

Ca urmare, în vid, Bv’(n) nu depinde de n şi avem:

nnBH ,1 '

0v

(2.5)

e) Din relaţiile (2.3) şi (2.5), rezultă că în vid: HB 0 (2.6)

2.3. Polarizaţia magnetică. Magnetizaţia

Numim polarizaţie magnetică mărimea vectorială definită prin relaţia: HBI 0 (2.7)Magnetizaţia este definită prin relaţia:

IM0

1

(2.8)

Din relaţia (2.6) rezultă că polarizaţia magnetică este nulă în vid.Observaţie. Unele lucrări definesc polarizaţia electrică ca o densitate de

volum a unei mărimi numite moment magnetic, obţinută, printr-o procedură de măsurare, ca mărime primitivă. Atunci, relaţia (2.7) devine lege (legea legăturii dintre inducţia magnetică, intensitatea câmpului magnetic şi polarizaţia magnetică sau magnetizaţie). Am preferat definirea polarizaţiei magnetice cu relaţia (2.7), deoarece procedura de măsurare a momentului magnetic nu este riguroasă.

2.4. Legea legăturii dintre inducţia magnetică B şi intensitatea câmpului magnetic H

Pentru majoritatea mediilor, se poate defini o legătură algebrică între B şi H. În funcţie de această legătură, avem:

23

a) Medii liniare (Fig. 2.4.a) HB sau BH (2.9.a)

unde constanta μ se numeşte permeabilitate magnetică şi cu bună aproximaţie μ≥μ0. Pentru o comparare mai uşoară a permeabilităţii μ cu permeabilitatea vidului μ0, se defineşte mărimea adimensională, numită permeabilitate relativă, cu relaţia μr = μ/μ0. În particular, pentru vid, aer, gaze, μ=μ0.

a) Medii liniare b) Medii liniare cu polarizaţie permanentă c) Medii liniare anizotrope

Fig. 2.4. Medii liniare

b) Medii liniare cu polarizaţie magnetică permanentă pIHB (2.9.b)

unde polarizaţia magnetică permanentă Ip este valoarea inducţiei magnetice când intensitatea câmpului magnetic este nulă (Fig. 2.4.b)

c) Medii liniare anizotrope

HB (2.9.c)La aceste medii, vectorii B şi H nu sunt, în general, paraleli (Fig. 2.4.c),

dar legătura dintre B şi H este liniară, fiind un tensor numit tensorul permeabilităţii magnetice. Relaţia (2.9.c) se mai poate scrie în sistemul cartezian astfel:

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

H

H

H

B

B

B

(2.9.c’)

Observaţie. Matricea permitivităţii este simetrică şi pozitiv definită. Există deci trei direcţii ortogonale, numite direcţii principale de magnetizare, în care legătura dintre B şi H se scrie:

3

2

1

3

2

1

3

2

1

00

00

00

H

H

H

B

B

B

(2.9.c”)

d) Medii liniare, anizotrope, cu polarizaţie electrică permanentă

pIHB (2.9.d)

24

e) Medii neliniare HB f unde 33: RRf

De exemplu, în cazul mediilor feromagnetice izotrope, unde pe oricedirecţie avem aceeaşi relaţie B-H, graficul acestei relaţii arată ca în Fig. 2.4.d.

Fig. 2.4.d. Medii feromagnetice izotrope

f) Medii neliniare în care dependenţa B-H nu poate fi descrisă printr-o relaţie algebrică B-H.

În aceste medii, numite medii cu histerezis, valoarea lui B depinde de H şi de evoluţia pe care au avut-o mărimile B şi H. De exemplu, în cazul unui câmp uniform, unde B şi H sunt coliniari, putem descrie calitativ dependenţa B-H(Fig. 2.4.e). Presupunem că, iniţial, mediul este nemagnetizat: B = 0; H = 0. Atunci, în graficul B-H, ne aflăm în originea axelor 0. Dacă mărim valoarea lui H până la Hmax, alunei dependenţa B-H este descrisă de curba 0α, numită si curbă de primă magnetizare. Dacă, după atingerea valorii Hmax, scădem valoarea lui H, dependenţa B-H nu mai este descrisă de curba de primă magnetizare, ci de curba αβ. Intersecţiile curbei αβ cu axele 0B şi 0H au ordonata Br (numită inducţie remanentă) şi respectiv abscisa - Hc (Hc numit câmp coercitiv). Presupunem că atingem valoarea -Hmax şi apoi creştem din nou valoarea lui H până la Hmax. Obţinem ciclul αβα, numit ciclul de histerezis. El este simetric faţă de origine. Dacă pe porţiunea descendentă αβ ne oprim în punctul γ şi apoi creştem şi scădem valoarea lui H, obţinem curba γδγ, numită ciclul secundar.

Dacă pe curba de primă magnetizare ne oprim la o valoare a lui H mai mică decât Hmax, atunci obţinem un ciclu de histerezis α’β’α’, interior lui αβα, iar dacă ne oprim la o valoare mai mare decât Hmax, obţinem un ciclu exterior lui αβα. Există însă o valoare limită lui Hmax, a cărei depăşire nu conduce la modificarea ciclului de histerezis. Există deci un ciclu de histerezis limită care, în Fig. 2.4.e, este chiar αβα.

Se va arăta că energia care se transformă, pe unitatea de volum, din forma electromagnetică în căldură este egală cu aria ciclului de histerezis (Teorema lui Warburg). Ca urmare, în multe utilizări tehnice, unde câmpul magnetic este variabil în timp, se încearcă folosirea unor materiale cu ciclul de histerezis foarte îngust, numite şi materiale magnetice moi. În cazul acestor materiale, se

25

poate considera cu bună aproximaţie curba de primă magnetizare. Pierderile specifice (pe unitatea de volum) prin histerezis sunt date apoi cu bună aproximaţie de valoarea maximă a lui B şi de frecvenţă.

Fig. 2.4.e. Relaţia B-H pentru un mediu cu histerezis

Există utilizări tehnice în care sunt dorite materiale cu ciclul de histerezis cât mai larg (magneţi permanenţi). Se va arăta (v. Cap.7) că energia câmpului magnetic produs de magneţii permanenţi în afara lor este cu atât mai mare, cu cât ciclul de histerezis este mai lat (mai exact, cu cât produsul -BH este mai mare). Fabricanţii de magneţi permanenţi dau curba αβα a ciclului de histerezis limită sau, uneori, numai inducţia remanentă Br, câmpul coercitiv Hc şi „energia maximă” –(BH)max, corespunzătoare ciclului limită. Pentru a atinge însă acest ciclu limită este necesar să obţinem pentru Hmax o valoare de cea 4-5 ori mai mare decât valoarea lui Hc dată în catalog.

În cazul în care B şi H nu sunt colineari, dependenţa B-H se complică foarte mult.

2.5. Tensiunea magnetică um

Fie o curbă orientată C (Fig.2.5) şi un câmp magnetic cu intensitatea H. Numim tensiune magnetică de-a lungul curbei C mărimea:

26

C

lH dumc (2.10)

Tensiunea magnetică umc este o integrală curbilinie de speţa a 2-a, asemănătoare cu lucrul mecanic. Ea depinde atât de câmpul vectorial H, cât şi de curba C. Tensiunea magnetică se măsoară în Amperi (A).

Fig. 2.5. Tensiunea magnetică

Observaţie. În principiu, tensiunea magnetică poate fi măsurată dacă ţinem cont de felul în care a fost definită intensitatea câmpului magnetic, cu ajutorul fantelor lungi. Într-adevăr, dacă plasăm curba C într-un şirag de fante

lungi (Fig. 2.5), atunci, în vidul fiecărei fante k, putem măsura 'vk

0

1B

care, pe

orientarea Δlk a fantei are aceeaşi componentă ca şi Hk:

kkvkkk llBlH '

0

1

Însumând în raport cu indicele k şi făcând lungimile Δlk arbitrar de mici, avem:

lBlH dd v '

C 0C

1

2.6. Potenţialul magnetic scalar Vm. Teorema potenţialului magnetic scalar

Există, uneori, domenii Ω în care tensiunea electrică pe orice curbă închisă din domeniu este nulă (v. teorema lui Ampère, par. 3.3):

,0lH d (2.11)

Teorema potenţialului magnetic scalar. Dacă, în domeniul Ω, este îndeplinită condiţia (2.11), atunci se poate defini un potenţial magnetic scalar prin relaţia:

P

P

0

0

lH dPVPV mm (2.12)

unde integrala se face pe orice drum de la P0 la P, iar P0 este un punct cu potenţial de referinţă fixat arbitrar.

Consecinţă. Dacă relaţia (1.18) este valabilă, atunci este valabilă forma

27

locală a teoremei potenţialului magnetic scalar: Există câmpul de scalari Vm:Ω→R astfel încât:

mgradVH (2.12’)

Demonstraţia se face la fel ca în Cap.1, par. l.7.

2.7. Fluxul magnetic

Fie S o suprafaţă orientată. Numim flux magnetic mărimea definită prin:

S

S dSnB (2.13)

Observaţie, în principiu, fluxul magnetic poate fi măsurat, dacă ţinem cont de felul în care a fost definită inducţia magnetică, cu ajutorul fantelor plate, într-adevăr, dacă "placăm" suprafaţa S cu fante plate (Fig. 2.6), atunci, în vidul fiecărei fante k, putem măsura Bvk

” care, pe orientarea nk a fantei, are aceeaşi componentă ca şi Bk:

kkvkkkk SS nBnB ''

Fig. 2.6. Fluxul magnetic

Însumând în raport cu indicele k şi făcând ariile ΔSk arbitrar de mici, avem:

S

v

S

dSdS nBnB ''

2.8. Legea fluxului magnetic

În urma experimentelor, se constată următoarea proprietate: Fluxul magnetic pe orice suprafaţă închisă este nul (Fig. 2.7):

0dSnB (2.14)

Observaţie. Nu există sarcină magnetică analoagă sarcinii electrice.

28

Consecinţe: i) Forma locală a legii fluxului electric: 0Bdiv (2.15)

Demonstraţie. Aplicăm formula lui Gauss în membrul stâng al relaţiei (2.14).Rezultă:

0dvdivB

Deoarece suportul de integrare ΩΣ este arbitrar, rezultă relaţia (2.15).ii) Toate suprafeţele cu aceeaşi bordură au acelaşi flux magnetic:

Demonstraţie. Fie două suprafeţe S şi S’ cu aceeaşi bordură şi fie S-, suprafaţa care ocupă în spaţiu aceeaşi poziţie ca şi S, dar este orientată invers (normala n-

= -n). Pe suprafaţa închisă Σ = S’S-, este valabilă legea fluxului magnetic:

0'''

''

SSSS

dSdSdSdS nBnBnBnB

Deci S = S’.

Fig. 2.7. Legea fluxului magnetic Fig. 2.8. Invarianta fluxului magnetic

iii) Există o funcţie vectorială A, numită potenţial magnetic vector, cu proprietatea:

BA rot (2.16)Se vede imediat că, dacă B verifică relaţia (2.15), atunci verifică şi legea fluxului magnetic. O expresie pentru potenţialul magnetic vector poate fi dată de formula Biot-Savart-Laplace (v. Cap.7, par.7.5). Pentru o inducţie magnetică dată, relaţia (2.16) nu defineşte unic potenţialul magnetic vector: putem să-i adăugăm gradφ, cu φ arbitrar şi obţinem aceeaşi valoare pentru B

))(( AA rotgradrot . De obicei, se impune lui A o restricţie suplimentară, numită condiţie de etalonare. De exemplu, dacă impunem 0Adiv , spunem că avem condiţia de etalonare Coulomb.

2.9. Legea inducţiei electromagnetice

În urma experimentelor, se constată următoarea proprietate: Tensiunea electrică pe o curbă este egală cu viteza de scădere a fluxului magnetic pe orice suprafaţă S cu bordura , sensul pozitiv al fluxului magnetic prin S, fiind dat de regula burghiului faţă de sensul de parcurgere al curbei (Fig. 2.9):

29

Sdtd

u (2.17)

Utilizând relaţiile de definire a tensiunii electrice (1.17) şi a fluxului magnetic (2.13), relaţia (2.17) se mai scrie:

S

dSdtd

d nBlE (2.17’)

Observaţii:a) Curbele, suprafeţele, corpurile sunt formate din puncte materiale şi

deplasările tuturor varietăţilor sunt definite de deplasările punctelor materiale din care ele sunt formate, în teoria macroscopică Maxwell-Hertz a câmpului electromagnetic, mărimile sunt definite în sisteme de referinţă ataşate punctelor, care pot fi în mişcare. Spunem că sunt utilizate sisteme de referinţă locale pentru definirea mărimilor. De exemplu, în punctul P de pe curba , intensitatea câmpului electric se măsoară cu un corp de probă ce se mişcă o dată cu punctul P. De aici, rezultă că modul de introducere a mărimilor primitive din vid, Ev (v. Cap.1. par.1.1) şi Bv (v. Cap.2. par.2.1) nu este riguros, în teoria Maxwell-Hertz este necesară substanţa pentru a putea defini sistemele de referinţă locale, deci nu putem avea vid. De fapt, vidul este o stare limită de rarefiere a substanţei. Mărimea intensitatea câmpului electric în vid ar trebui definită ca o limită de mărimi Ev, definite cu ajutorul forţei de natură electrică (v. Cap.1.par. 1.1) şi corespunzând unor rarefieri cât mai mari, caracterizate, de exemplu, de presiunile pn →0.

Fig. 2.9. Pentru legea inducţiei electromagnetice Fig. 2.10. Spiră dreptunghiulară

învârtindu-se în câmp magnetic uniform

b) Dacă mişcarea curbei este impusă de deplasarea punctelor materiale din care ea este formată, deplasarea suprafeţei S poate fi „eliberată” de această restricţie, aşa cum rezultă din consecinţa ii) a legii fluxului magnetic. Evident, suprafaţa S trebuie să fie mărginită de curba .

30

c) Fluxul magnetic poate să varieze în timp atât datorită faptului că inducţia magnetică B variază în timp, cât şi datorită faptului că suprafaţa S se modifică.Exemple:

i) Într-un câmp magnetic uniform, se roteşte o spiră dreptunghiulară, având axa de rotaţie perpendiculară pe liniile de câmp (Fig. 2.10). Să se determine tensiunea electrică indusă în spiră.

Rezolvare. Se alege un sens pentru calculul tensiunii electrice în spiră (o orientare a curbei ), de exemplu, cel din Fig. 2.10. Alegem ca suprafaţă cu bordura chiar suprafaţa plană mărginită de . Sensul pozitiv al fluxului prin S, este dat de regula burghiului în raport cu sensul de parcurgere a curbei . Deci, normala la S, este orientată în jos. Fluxul magnetic prin S este:

ABcosαdSBcosαdSBcosαdSSSS

S ΓΓΓ

ΓΦ nB

unde A este aria dreptunghiului mărginit de spiră, iar α este unghiul dintre normala n şi inducţia magnetică B. Deci:

ABsincosdt

dAB

dt

du S

ii) Într-un câmp magnetic uniform de inducţie magnetică B, se învârte, cu viteza unghiulară ω, un disc perfect conductor de rază a, axul discului, tot perfect conductor, fiind paralel cu inducţia magnetică B (Fig. 2.11). La periferia discului şi pe axul de rotaţie, alunecă două perii colectoare care fac legătura cu două borne A şi B (generatorul homopolar). Care este tensiunea electrică u de la borne?

Fig. 2.11. Generatorul homopolar

Rezolvare. Încadrăm curba tensiunii de la borne într-o curbă închisă, astfel încât pe restul curbei să cunoaştem tensiunea electrică. Fie (t)=ABC0DAaceastă curbă la timpul t. Deoarece discul, axul şi legăturile BC şi DA sunt perfect conductoare, intensitatea câmpului electric este nulă în acestea . Deci:

31

uddduDABC0

0AB

lElElE (2.18)

Alegem ca suprafaţă cu bordura (t) suprafaţa plană mărginită de această curbă. Ţinând cont că deplasarea curbei (t) este definită de deplasarea punctelor din care ea este formată, la timpul t+Δt, porţiunea C0 curbei se deplasează în C0

’ şi curba va deveni (t+Δt) = ABCC0

’DA. Putem alege ca suprafaţă de bordură (t+Δt) reuniunea dintre suprafaţa plană cu bordura (t) şi suprafaţa plană CC0

definită de sectorul de cerc de unghi Δα parcurs de C0 în timpul Δt. Variaţia de flux magnetic de la timpul t a t+Δt este dată de fluxul magnetic de pe sectorul de cerc:

2

2

aBdS

'0CC

nB (2.19)

ţinând cont că B şi n sunt paraleli şi că aria sectorului de cerc este 2

2 a. Ca

urmare, din (2.17), (2.18) şi (2.19), rezultă:

2

2aB

tlimu

0Δt

(2.20)

Consecinţe: i) Forma locală a legii inducţiei electromagnetice pentru medii imobile.

Dacă mediile sunt imobile, atunci suportul integralei de suprafaţă din relaţia (2.17’) este constant în timp şi derivata în raport cu timpul intră sub semnul de integrare:

S

dSt

d nB

lE (2.21)

Aplicând formula lui Stokes în membrul stâng al relaţiei (2.21), rezultă:

SS

dSt

dSrot nB

nE (2.22)

Deoarece suportul de integrare este arbitrar, rezultă că integranţii sunt egali:

t

rot

B

E (2.23)

Relaţia (2.23) este forma locală a legii inducţiei electromagnetice, cunoscută şi sub numele de legea lui Faraday sau a doua lege a lui Maxwell.

ii) Forma locală a legii inducţiei electromagnetice pentru medii în mişcare. Dacă mediul este în mişcare, atunci suportul integralei de suprafaţă din relaţia (2.17’) este variabil în timp şi derivata în raport cu timpul intră sub semnul de integrare sub forma derivatei substanţiale de flux (Anexa A):

32

S

dSt

d nB

lEd

df (2.24)

unde:

vv

BBBB

rotdivtdt

d f (2.25)

Dacă ţinem cont de forma locală a legii fluxului magnetic (2.15), avem:

v

BBB

rottdt

d f (2.26)

La fel ca la punctul precedent, aplicăm formula lui Stokes în membrul stâng al relaţiei (2.24) şi obţinem:

dt

drot f BE (2.27)

sau

vBB

E rott

rot (2.27’)

Observaţie. Pentru relaţia (2.27’) sunt necesare două sisteme de referinţă: sistemul de referinţă local, în care sunt definite mărimile câmpului electromagnetic, şi sistemul de referinţă al laboratorului, în care este definită viteza. Cei doi termeni din membrul drept al relaţiei (2.27’) depind de alegerea celui de-al doilea sistem de referinţă, dar suma lor este independentă de această alegere.

iii) Dacă, într-un domeniu, fluxurile magnetice nu variază în timp, atunci, din legea inducţiei electromagnetice, rezultă că este îndeplinită condiţia definirii potenţialului electric scalar.

33

Capitolul 3. MĂRIMI DE NATURĂ ELECTROCINETICĂ

3.1. Intensitatea curentului electric i

Într-un punct P, unde avem câmp magnetic de inducţie magnetică B şi nu avem câmp electric, introducem un corp metalic filiform, rectiliniu, din care un mic segment Δl este legat de restul firului prin două fine resoarte metalice, astfel încât să fie permisă mişcarea micului segment şi să poată fi măsurate forţele ce se exercită asupra lui (Fig. 3.1). Se constată că, uneori, asupra miculuisegment se exercită o forţă ΔF, care nu este de natură electrică, pentru că nu avem câmp electric. Forţa nu are nici natura celei de la Cap.2, par. 2.1, deoarece micul segment nu se mişcă. Forţa poate să apară chiar dacă micul segment nu are sarcină electrică. Spunem că micul segment are proprietatea de a fi parcurs de curent electric. Făcând mai multe măsurători, se constată că este valabilă relaţia:

BΔlΔF i (3.1)unde i este o constantă ce nu depinde de inducţia magnetică B şi caracterizează proprietatea micului segment de a fi parcurs de curent electric. Se numeşte intensitatea curentului electric şi este o mărime primitivă definită prin procedura de măsurare dată de relaţia (3.1). Orientarea lui Δl defineşte sensul lui i prin micul segment. Unitatea de măsură pentru i este Amper-ul (A).

Fig. 3.1. Intensitatea curentului electric Fig. 3.2. Mişcarea purtătorilor de sarcină

Observaţie. De multe ori, când nu există riscul unor confuzii, spunem pe scurt "curent electric" sau chiar „curent”, în loc de intensitatea curentului electric.

3.2. Densitatea de volum a curentului electric J

Dacă „punem sub lupă” un detaliu din micul segment de la paragraful anterior, observăm că apariţia curentului electric este însoţită de deplasarea unor

34

purtători de sarcină electrică (Fig. 3.2). Făcând analogia cu debitul masic al unui fluid printr-o conductă, putem spune că, în cazul curentului electric, avem un debit de purtători de sarcină electrică printr-o suprafaţă transversală a conductorului. În cazul fluidelor, putem asocia debitul la orice suprafaţă orientată. În baza analogiei mai sus menţionate, extindem şi noţiunea de curent electric la o suprafaţă orientată, (debitul purtătorilor de sarcină prin acea suprafaţă). Fie Δin intensitatea curentului electric asociată unei mici suprafeţe plane ΔS, de orientare n, cu centrul în punctul P. Fie:

A

iJ n

An

0lim (3.2)

unde ΔA este aria micii suprafeţe ΔS care se „strânge” în jurul punctului P, păstrând orientarea n. Fie Jnmax valoarea maximă a lui Jn, obţinută pentru orientarea nmax. Numim densitate de volum a curentului electric în punctul P, mărimea vectorială:

maxmaxnJ nJ (3.3)

Densitatea de volum a curentului electric este analoagă cu τv, unde v este viteza fluidului, iar τ este densitatea de masă. Pentru o direcţie arbitrară n, avem:

nJ nJ (3.4)

Pentru o suprafaţă orientată arbitrară S, avem (Fig. 3.3):

knS k

ii (3.5)

Fig. 3.3. Curentul electric iS printr-o suprafaţă S

Conform relaţiei (3.2), pe fiecare mică suprafaţă ΔSk, avem:

kkkknn SSJikk

nJ şi relaţia (3.5) devine:

k

kkkS Si nJ (3.6)

Când divizarea suprafeţei S în mici suprafeţe ΔSk este arbitrar de fină, relaţia (3.6) devine, la limită:

35

S

S dSi nJ (3.7)

Observaţie. Definirea densităţii de volum a curentului electric suferă de lipsă de rigurozitate. Într-adevăr, dacă ţinem cont de modul în care a fost definit curentul electric, măsurarea forţei asociate unei suprafeţe ΔS nu are sens. Extinderea mărimii intensitatea curentului electric la suprafaţa ΔS se face doar intuitiv, pe baza analogiei cu debitul unui fluid, iar această analogie presupune existenţa unui „supermicroscop”, cu ajutorul căruia se vede deplasarea unor sarcini electrice. De fapt, se face apel la modelul microscopic al curentului electric, în afara unei teorii macroscopice. În plus, relaţia (3.4) este admisă tot în baza analogiei cu debitul unui fluid. De fapt, această relaţie ne permite să spunem că densitatea de volum a curentului electric este vector. Valoarea maximă din relaţia (3.3) nu defineşte neapărat un vector decât dacă (3.4) este valabilă. Definirea riguroasă a densităţii de volum a curentului electric şi a curentului electric se poate face prin relaţia dată de legea circuitului electric, dar, din păcate, această variantă ar lipsi noţiunea de curent electric de sensul ei fizic.

3.3. Legea circuitului magnetic

În urma experimentelor, se constată următoarea proprietate: Tensiunea magnetică pe o curbă este egală cu intensitatea curentului electric pe orice suprafaţă S cu bordura adunată cu viteza de creştere a fluxului electric pe suprafaţa S, sensul pozitiv prin S fiind dat de regula burghiului faţă de sensul de parcurgere al curbei (Fig. 3.4):

SSm dt

diu ΓΓ (3.8)

Fig. 3.4. Pentru legea circuitului magnetic

Termenul SH dt

di se numeşte curent electric hertzian. Utilizând

relaţiile de definire a tensiunii magnetice (2.10), a intensităţii curentului electric (3.7) şi a fluxului electric (1.23), relaţia (3.8) se mai scrie:

S S

dSdt

ddSd nDnJlH (3.8’)

36

Consecinţe:i) Forma locală a legii circuitului magnetic pentru medii imobile. Dacă

mediile sunt imobile, atunci suportul integralei de suprafaţă din relaţia (3.8’) este constant în timp şi derivata în raport cu timpul intră sub semnul de integrare:

S S

dSt

dSd nD

nJlH (3.9)

Aplicând formula lui Stokes în membrul stâng al relaţiei (3.9), rezultă:

S S S

dSt

dSdrot nD

nJlH (3.10)

Deoarece suportul de integrare este arbitrar, rezultă că integranţii sunt egali:

t

rot

D

JH (3.11)

Relaţia (3.11) este forma locală a legii circuitului magnetic, cunoscută şi sub numele prima lege a lui Maxwell sau formula generalizată a lui Ampère.

ii) Forma locală a legii circuitului magnetic pentru medii în mişcare. Dacă mediul este în mişcare, atunci suportul integralei de suprafaţă din relaţia (3.8’) este variabil în timp şi derivata în raport cu timpul intră sub semnul de integrare sub forma derivatei substanţiale de flux (Anexa A):

S S

f dSdt

ddSd n

DnJlH (3.12)

unde:

)(DDDD

vv

rotdivtdt

d f (3.13)

Dacă ţinem cont de forma locală a legii fluxului electric (1.25), avem:

)(DDD

vv

rottdt

dv

f (3.14)

La fel ca la punctul precedent, aplicăm formula lui Stokes în membrul stâng al relaţiei (3.12) şi obţinem:

dt

drot f D

JH (3.15)

sau:

)( vDD

JH

rott

rot vv (3.15’)

În relaţia (3.15’), avem: J, densitatea de volum a curentului de conducţie;

37

t

J d

D

, densitatea de volum a curentului de deplasare;

vvcJ , densitatea de volum a curentului de convecţie;

v DJ rotR , densitatea de volum a curentului Roentgen teoretic.Integralele de suprafaţă ale densităţilor de curent de mai sus definesc

curenţii de conducţie, de deplasare, de convecţie şi, respectiv, Roentgen teoretic.

Observaţie. Ultimul termen din relaţia (3.15’) nu este verificat experimental. Este verificat doar curentul Roentgen experimental, în care intră polarizaţia electrică P, în loc de inducţia electrică:

)( v PJ rot'R

Din fericire, contribuţia acestui termen în membrul drept al relaţiei (3.15’) este importantă doar în cazul mediilor puternic polarizate electric şi care se deplasează cu viteze mari.

iii) Teorema lui Ampère. Dacă în relaţiile (3.8) şi (3.8’) neglijăm curentul

hertzian

SH dt

di , rezultă:

Sm iu (3.16)

sau:

S

dSnJlH d (3.16’)

Aplicând relaţia lui Stokes în membrul stâng, rezultă şi forma locală a teoremei lui Ampère:

rotH = J (3.17)iv) Teorema conservării sarcinii electrice. Intensitatea curentului electric

printr-o suprafaţă închisă este egală cu viteza de scădere a sarcinii electrice din interiorul suprafeţei.

Demonstraţie. Fie o suprafaţă S cu bordura arbitrar de mică, tinzând către un punct (Fig. 3.5). Atunci, suprafaţa S tinde către o suprafaţă închisă Σ.Membrul stâng al relaţiei (3.8’) tinde către zero şi relaţia (3.8’) devine:

dSdt

ddS nDnJ0

Dacă ţinem cont de legea fluxului electric (v. Cap.1, par. 1.9, relaţia

(1.24)) şi dacă notăm

dSi nJ , rezultă:

qdt

di (3.18)

38

Fig. 3.5. Teorema conservării sarcinii electrice Fig. 3.6. Conductor filiform rectiliniu şi

unghiular, parcurse de curent

Dacă sarcina electrică este distribuită în volum cu densitatea de volum v, atunci mai putem scrie:

dvdt

ddS vnJ (3.18’)

v) Forma locală a teoremei conservării sarcinii electrice pentru medii imobile. În cazul mediilor imobile, derivata din membrul drept al relaţiei (3.18’) intră sub semnul de integrare sub forma derivatei parţiale şi dacă aplicăm formula lui Gauss în membrul stâng, avem:

dvt

dvdiv vJ

Suportul de integrare fiind arbitrar, rezultă:

t

ρdiv v

J (3.19)

vi) Forma locală a teoremei conservării sarcinii electrice pentru medii în mişcare. Dacă mediile sunt în mişcare, atunci, suportul de integrare ΩΣ fiind variabil în timp, derivata în raport cu timpul intră sub semnul de integrare sub forma derivatei substanţiale de volum (Anexa A):

dvdt

ddvdiv vvJ

şi rezultă:

vvdiv

t

ρ

dt

ρddiv vvv

J (3.20)

Observaţii: a) Tot la relaţia (3.20) se poate ajunge şi aplicând operatorul div în membrul stâng al relaţiei (3.15’). Deoarece 0rotdiv , rezultă:

v0 vdivt

divdiv D

J

Ţinând cont de forma locală a legii fluxului electric (v. Cap1, par. 1.9, relaţia (1.25)), avem:

39

tdiv

ttdiv

vDD

şi rezultă relaţia (3.20).b) Deşi legea circuitului magnetic nu este întotdeauna verificată experimental, teorema conservării sarcinii electrice, care este dedusă din această lege, este totuşi verificată experimental. Se observă că „abaterea” de la experiment, din relaţia (3.15'), este dată de diferenţa dintre densităţile curenţilor Roentgen experimental şi teoretic:

vvv EDPJJ' rotrotrotRR 0Prin aplicarea operatorului div relaţiei (3.15'), această mărime dispare.c) În foarte multe lucrări, teorema conservării sarcinii electrice este denumită lege. Un motiv este faptul că afirmaţia făcută de această teoremă este uşor de admis, fără demonstraţie, dacă facem uz de analogia dintre debitul unui fluid şi curentul electric, ca debit de purtători de sarcină. „Legea” conservării sarcinii electrice este analoagă cu cea a conservării masei. Curentul electric prin suprafaţa închisă Σ apare când purtătorii de sarcină electrică traversează această suprafaţă, părăsind domeniul VΣ (sau purtătorii de sarcină electrică negativă intră în domeniul VΣ). Atunci, sarcina electrică din domeniul VΣ scade. Prin comparaţie, afirmaţia din cadrul legii circuitului magnetic este mult mai complicată şi mult mai greu de admis direct, fără demonstraţie. De fapt, formularea legii circuitului magnetic a rezultat din teorema lui Ampère, din „legea” conservării sarcinii electrice şi din legea fluxului electric. Într-adevăr, teorema lui Ampère poate fi relativ uşor de intuit, cel puţin în aer, stabilind câmpul magnetic produs de un fir rectiliniu infinit lung (v. Cap.7, par. 7.2) şi de un conductor filiform în formă de unghi (Fig. 3.6), apoi, prin superpoziţie, câmpul magnetic produs de un conductor de forma unghiului teşit (Fig. 3.7) şi, în final, câmpul magnetic produs de o spiră filiformă de formă oarecare (Fig. 3.8). Aplicarea teoremei lui Ampère pentru conductoare închise se face fără probleme (Fig. 3.9). Dacă însă la capetele conductoarelor se poate aduna sarcină electrică (v. Condensatorul, la Cap.5, par.5.2), atunci, la aplicarea teoremei lui Ampère, apare o contradicţie.

Fig. 3.7. Formarea unui conductor filiform de forma unghiului teşit prin suprapunerea unui conductor filiform şi a două conductoare unghiulare

40

Fig. 3.8. Formarea unui conductor filiform Fig. 3.9. Pentru teorema lui Ampère

oarecare din conductoare de forma unghiului teşit

Când suprafaţa S de bordură taie conductorul, teorema este verificată, tensiunea magnetică pe curba fiind egală cu curentul pe suprafaţa. Dar dacă suprafaţa S

’ cu aceeaşi bordură trece prin mediul izolant de la capătul conductorului (Fig. 3.10), unde se poate aduna sarcină electrică, atunci, curentul pe suprafaţa S

’ este nul şi rezultă că tensiunea magnetică pe curba nu este

bine definită (absurd:

lH dmu ). Dacă admitem valabilitatea „legii”

conservării sarcinii electrice, atunci:

dt

dqi (3.21)

Într-adevăr, fie suprafaţa S’’ care ocupă în spaţiu aceeaşi poziţie ca şi S,

dar este orientată invers. Relaţia (3.21) rezultă din aplicarea „legii” conservării sarcinii electrice pe suprafaţa închisă Σ = S

’’ S’.

Fig. 3.10. Justificarea curentului de deplasare

Totodată, din legea fluxului electric rezultă:

41

'S

dSdSq nDnD

şi din (3.21) rezultă:

'

'SS

HidSdt

di nD (3.22)

unde iHs’ este curentul hertzian de pe suprafaţa S’. Relaţia (3.22) sugerează ca în teorema lui Ampere să înlocuim curentul de conducţie i cu suma dintre acest curent şi curentul hertzian pe aceeaşi suprafaţă de bordură :

HT iii (3.23)

astfel încât, dacă suprafaţa de bordură trece prin conductor (S), se obţine curentul de conducţie, dar, dacă suprafaţa cu aceeaşi bordură trece prin mediul izolant de la capătul conductorului, unde, se poate aduna sarcină electrică S

’, atunci, în membrul drept, obţinem curentul hertzian, egal cu curentul i şi contradicţia semnalată în teorema lui Ampère dispare. Modificarea (3.23) adusă teoremei lui Ampère reprezintă, de fapt, legea circuitului magnetic.

3.4. Legea legăturii dintre densitatea de volum a curentului electric J şi intensitatea câmpului electric E (Legea conducţiei)

Pentru majoritatea mediilor, se poate defini o legătură între J şi E. Înfuncţie de această legătură, avem:

a) Medii liniare EJ (3.24)

sau JE (3.24’)

unde σ se numeşte conductivitate, iar se numeşte rezistivitate. Dacă =0, spunem că mediul este perfect conductor, iar dacă σ = 0 spunem că mediul este perfect izolant. În general σ ≥ 0.

b) Medii liniare cu câmp electric imprimat )( iEEJ (3.25)

unde Ei, se numeşte intensitatea câmpului electric imprimat şi reprezintă cauze neelectrice, care pot conduce la apariţia curentului electric (pentru E = 0, putem avea J = σEi). Aceste cauze pot fi de natură mecanică (de exemplu, corpuri accelerate), de natură chimică (de exemplu, diferenţe de mobilităţi pentru ioni sau contacte între metale diferite), termică (de exemplu, diferenţă detemperatură, între cele două puncte de sudură, ale unor fire metalice cu compoziţii diferite) etc.

42

c) Medii neliniare EJ f

3.5. Legea transformării energiei din forma electromagnetică în alte forme, prin conducţie

În urma experimentelor, se constată următoarea proprietate: Densitatea de volum a puterii care se transformă din forma electromagnetică în alte forme, prin conducţie, este:

JE p (3.26)Dacă mediul este liniar (2.24), atunci

022 JEp (3.27)şi, ca în cazul mediilor liniare, energia electromagnetică se transformă ireversibil în căldură (efectul Joule). Dacă mediul este liniar, cu câmp electric imprimat (2.25), atunci

iEp EE 2 (3.28)

Primul termen din membrul drept al relaţiei (3.28) este pozitiv şi reprezintă puterea electromagnetică care se transformă ireversibil în căldură, în timp ce al doilea termen poate fi negativ sau pozitiv, el reprezentând partea de putere electromagnetică care se poate transforma reversibil în alte forme de putere.

43

Capitolul 4. COMPORTAREA MĂRIMILOR DE CÂMP ÎN VECINĂTATEA SUPRAFEŢELOR

Aşa cum am văzut în paragrafele precedente, pentru descrierea proprietăţilor câmpului electromagnetic sunt folosiţi operatori diferenţiali (derivate, div, rot, grad) care presupun continuitatea mărimilor câmpului, precum şi a derivatelor parţiale până la un anumit ordin. Din păcate, proprietăţile de material ale corpurilor nu sunt continue în domeniul în care studiem câmpul electromagnetic. De exemplu, un corp feromagnetic conductor,care se află în aer, introduce discontinuităţi la suprafaţa sa pentru permeabilitatea magnetică (de la μ0 la μFier) şi pentru conductivitate (de la 0 la σ). Date fiind relaţiile constitutive B = μH şi J = σE, este evident că măcar două din cele patru câmpuri de vectori au discontinuitate la suprafaţa corpului feromagnetic conductor. Este deosebit de important să determinăm comportările mărimilor ce descriu câmpul electromagnetic în vecinătatea suprafeţelor ce separă diferite medii. Cunoaşterea acestor comportări permite, de asemenea, formularea corectă a condiţiilor de frontieră pentru câmpul electromagnetic din domeniul studiat.

Corpuri perfect conductoarePentru început, vom analiza mărimile câmpului electromagnetic în

corpurile perfect conductoare. Aceste corpuri, care şi există în realitate (supraconductivitatea), sunt însă de cele mai multe ori modele pentru corpuri a căror conductivitate este mult mai mare decât conductivitatea vecinilor. Vom arăta în continuare că: Toate mărimile câmpului electromagnetic sunt nule în interiorul unui corp perfect conductor: E = 0, B = 0, D = 0, H = 0, J = 0, v = 0.

Într-adevăr, deoarece în corpul perfect conductor rezistivitatea este nulă, avem E = J = 0.

Din legea inducţiei electromagnetice, scrisă în sistemul de coordonate al

corpului (2.23), rezultă că 0

EB

rott

, deci B = ct. Dacă admitem că, în

momentul apariţiei corpului perfect conductor inducţia magnetică din interiorul său era nulă, atunci, la orice timp, ea va fi nulă. Este drept că această „mică” presupunere privind valoarea iniţială a inducţiei magnetice ar trebui adăugată la sistemul legilor electromagnetismului. Alte teorii (electrodinamica cuantică) oferă explicaţii privind valoarea nulă a inducţiei magnetice în corpurile supraconductoare, explicaţii pe care, din păcate, teoria Maxwell-Hertz nu le

44

poate da. Se poate arăta însă că, dacă considerăm B = ct, obţinem aproape aceleaşi rezultate ca şi în cazul în care B = 0, diferenţele fiind fără semnificaţie. Pentru simplitate, vom considera însă în continuare B = 0.

Din legea legăturii dintre B şi H, rezultă 01

BHμ

.

Din legea legăturii dintre D şi E, rezultă 0 ED .Din forma locală a legii fluxului electric, rezultă (1.25) 0 Ddivv .

Sarcina electrică se distribuie la suprafaţa corpului perfect conductor cu densitatea de suprafaţă S.

Din forma locală a legii circuitului magnetic, scrisă în sistemul de

referinţă al corpului perfect conductor, rezultă 0t

rotD

HJ . Curentul

electric se distribuie doar la suprafaţa corpului perfect conductor, sub forma pânzei de curent, cu densitatea de suprafaţă JS.

4.1. Comportarea inducţiei magnetice B în vecinătatea suprafeţelor

În vecinătatea suprafeţelor, componenta normală a inducţiei magnetice se conservă (Fig. 4.1):

21 nn BB (4.1)sau:

0BSdiv (4.1’)

unde se foloseşte notaţia: 2121 BBnB Sdiv (4.2)

Fig. 4.1. Inducţia magnetică pe cele două feţe ale unei suprafeţe S

Este util de comparat relaţia (4.1’) cu forma locală a legii fluxului magnetic (2.15): divB = 0.

45

Fig. 4.2. Comportarea inducţiei magnetice în vecinătatea suprafeţelor

Demonstraţie. Fie o suprafaţă închisă Σ, de forma unui cilindru foarte mic, cu înălţimea mult mai mică decât raza şi cu centrul în punctul P de pe suprafaţa S (Fig. 4.2). Cele două baze ale cilindrului sunt S1 şi S2, iar suprafaţa laterală este SL. Scriind legea fluxului magnetic pe suprafaţa închisă Σ, obţinem:

2 L1 S S

L22

S

11 0dSdSdS nBnBnB (4.3)

Deoarece înălţimea cilindrului este foarte mică, ultima integrală din membrul stâng al relaţiei (4.3) poate fi neglijată. Avem 121111 nB nBnB şi

221222 nB nBnB . Dacă admitem că, în vecinătatea suprafeţei,

componentele normale ale inducţiei sunt continue, atunci relaţia (4.3) devine 021 ABAB nn , unde A este aria suprafeţelor bazelor.

Consecinţă. Componenta normală a inducţiei magnetice este nulă în vecinătatea suprafeţelor ce mărginesc corpurile perfect conductoare. Liniile de câmp ale inducţiei magnetice B ocolesc corpurile perfect conductoare (Fig. 4.3).

Fig. 4.3. Liniile de câmp ale inducţiei magnetice în vecinătatea unui corp perfect conductor

4.2. Comportarea inducţiei electrice D în vecinătatea suprafeţelor

Saltul componentei normale a inducţiei electrice în vecinătatea suprafeţelor este egal cu densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice:

46

Snn DD 21 (4.4)

sau SSdiv D (4.4’)

Este util de comparat relaţia (4.4’) cu forma locală a legii fluxului electric (1.25): vdiv D .

Demonstraţie. Demonstraţia urmează aceeaşi cale ca la paragraful precedent. Pe suprafaţă închisă Σ (Fig. 4.2), se scrie legea fluxului electric:

1 L 0

L2211

S S S

S

S

dSdSdSdS nDnDnD2

(4.5)

unde S0 este porţiunea din suprafaţa S decupată de suprafaţa cilindrică Σ şi presupusă încărcată cu densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice S. Neglijând integrala de pe suprafaţa laterală şi admiţând continuitatea componentei normale a inducţiei electrice, precum şi a densităţii de suprafaţă a sarcinii electrice, relaţia (4.5) devine AADAD Snn 21 .

Consecinţă. În vecinătatea corpurilor perfect conductoare, componenta normală a inducţiei electrice este egală cu densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice: Dn = S. Afirmaţia rezultă din relaţia (4.4) şi faptul că, în interiorul corpurilor perfect conductoare, D = 0.

4.3. Comportarea densităţii de volum a curentului electric J în vecinătatea suprafeţelor

Saltul componentei normale a densităţii de volum a curentului electric, în vecinătatea suprafeţelor ce separă medii care deplasează cu aceeaşi viteză, este egal cu viteza de scădere a densităţii de suprafaţă a sarcinii electrice:

t

JJ nn S

21

(4.5)

sau:

t

divS SJ (4.5’)

Este util de comparat relaţia (4.5’) cu forma locală a teoremei conservării sarcinii electrice pentru medii imobile (3.19):

tdiv v

J

Demonstraţie. Vom urma aceeaşi cale ca la paragraful precedent. Pe suprafaţa închisă Σ (Fig. 4.2), se scrie teorema conservării sarcinii electrice (în sistemul de referinţă ce se deplasează o dată cu punctul P):

47

L 021

SL2211

S SSS

dSt

dSdSdS

nJnJnJ (4.6)

unde S0 este presupusă încărcată cu densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice S, variabilă în timp. Neglijând integrala de pe suprafaţa laterală şi admiţând continuitatea componentei normale a inducţiei electrice, precum şi a derivatei în timp a densităţii de suprafaţă a sarcinii electrice, relaţia (4.6) devine:

At

AJAJ Snn

21 .

Consecinţă. În vecinătatea corpurilor perfect izolante, componenta normală a densităţii de volum a curentului electric este egală cu viteza de

scădere a densităţii de suprafaţă a sarcinii electrice: t

J Sn

. Afirmaţia

rezultă imediat din relaţia (4.5) şi din faptul că, în mediile perfect izolante, J=0. Dacă densitatea de sarcină nu variază în timp, atunci componenta normală a densităţii de volum a curentului electric este nulă.

Observaţie. Dacă mediile separate de suprafaţa S se află în mişcare, atunci se poate arăta că:

)v 221v21 vnn1S

nn (v-t

JJ

(4.8)

sau

vSS divt

div

v SJ (4.8’)

Este util de comparat relaţia (4.8’) cu forma locală a teoremei conservării sarcinii electrice pentru medii în mişcare (3.20):

v

v divt

div

v

J

Pentru ca ultimul termen din membrul drept al relaţiei (4.8’) să poată fi nenul, trebuie să admitem că substanţa (care, în teoria Maxwell-Hertz, este purtătoare de sarcină electrică) este comprimabilă pe suprafaţă S. De exemplu, un fascicul de electroni ce bombardează suprafaţa S dacă nu-l asimilăm cu un curent electric.

4.4. Comportarea intensităţii câmpului electric E în vecinătatea suprafeţelor

În vecinătatea suprafeţelor ce separă medii care deplasează cu aceeaşi viteză, componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric se conservă:

21 tt EE (4.9)

48

unde Et1 şi Et2 sunt proiecţiile pe planul tangent τ, din punctul P, ale valorilor de pe cele două feţe ale lui E (Fig. 4.4). Sau:

rotSE = 0 (4.9’)unde se foloseşte notaţia

2121 EEnE Srot

Este util de comparat relaţia (4.9’) cu forma locală a legii inducţiei electromagnetice pentru medii imobile (2.23):

t

BE

rot

Fig. 4.4. Conservarea componentei tangenţiale a intensităţii câmpului electricîn vecinătatea suprafeţelor

Fig. 4.5. Curbă dreptunghiulară în jurul punctului P, orientată pe direcţia t’

Demonstraţie. Fie ABCDA' o curbă dreptunghiulară foarte mică, cu înălţimea mult mai mică decât lăţimea, cu centrul în punctul P şi orientată pe direcţia versorului t’ din planul tangent τ (AB paralel cu t’ şi cu aceeaşi orientare) (Fig. 4.5). Aplicăm legea inducţiei electromagnetice pe curba ’:

AB BC CD DA

Sdt

ddddd lElElElE (4.10)

Integralele pe porţiunile BC şi DA sunt neglijate, deoarece ABBC . Pe

porţiunea AB avem:

AB AB

t ABEdlEd '1

'1tlE (4.11)

unde Et1’ este proiecţia lui E1 pe direcţia t’. Pe porţiunea CD, avem:

49

CD CD

tt CDEdlEd '2

'2lE (4.12)

Am admis continuitatea componentelor tangenţiale ale lui E în vecinătatea suprafeţei S. Deoarece înălţimea dreptunghiului este foarte mică în raport cu baza şi deoarece mediile separate de suprafaţa S se deplasează cu aceeaşi viteză, deci sunt fixe în raport cu sistemul de coordonate local din punctul P, avem:

BCABMdSdt

dS

S

nB

t

(4.13)

unde M este un majorant pe S pentru nt

B

. Din (4.10), (4.11), (4.12) şi

(4.13), rezultă: 021 BCMEE '

t't (4.14)

deoarece ABBC . Procedând asemănător pentru o direcţie t” necoliniară cu

t’ obţinem: 021 BCMEE ''

t''

t (4.15)

Din relaţiile (4.14) şi (4.15), rezultă (4.9).Consecinţă. Componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric este

nulă în vecinătatea corpurilor perfect conductoare. Afirmaţia rezultă imediat din relaţia (4.9) şi din faptul că, în interiorul corpurilor perfect conductoare, E=0. Liniile de câmp ale lui E sunt ortogonale pe suprafeţele corpurilor perfect conductoare (Fig. 4.6).

Fig. 4.6. Liniile de câmp ale lui E în Fig. 4.7. Disc conductor rotit în câmp uniform

vecinătatea unui corp perfect conductor

Observaţie. Dacă mediile separate de suprafaţa S se află în mişcare, atunci se poate arăta, în maniera Exemplului ii) de la Cap.2, par.2.9, că:

v BE SS rotrot (4.16)Este util de comparat relaţia (4.16) cu forma locală a legii inducţiei

50

electromagnetice pentru medii în mişcare (2.27’):

vB

BE rot

trot

Exemplu. Într-un câmp magnetic uniform de inducţie magnetică B, se roteşte cu viteza unghiulară ω un disc conductor, axa de rotaţie fiind paralelă cu inducţia magnetică (Fig. 4.7). Ne propunem să determinăm componenta tangenţială a lui E la suprafaţa discului. Răspunsul oferit de teoria Maxwell-Hertz este dat de relaţia (4.16). Dacă mediul discului este conductor, atunci, în interiorul discului, E = J =0. Asociind indicele 2 pentru disc şi indicele 1 pentru aer, avem:

vv BnBnEn 2121121 0t

şi, cum B×v se află în planul tangent, rezultă că: RC)R(BRBCRCBBE Bt 01 v

4.5. Comportarea intensităţii câmpului magnetic H în vecinătatea suprafeţelor

În vecinătatea suprafeţelor fără pânză de curent, ce separă medii care deplasează cu aceeaşi viteză, componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic se conservă:

21 tt HH (4.17)

sau: 0HSrot (4.17’)

Demonstraţie. Se face la fel ca la paragraful anterior, folosind însă legea circuitului magnetic pe conturul ’.

Consecinţă. În vecinătatea corpurilor perfect conductoare magnetic μ>>μext, componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic este nulă. Afirmaţia rezultă imediat din relaţia (4.17) şi din faptul că, în mediul perfect

conductor magnetic, 01

BHμ

. Liniile de câmp ale intensităţii câmpului

magnetic sunt ortogonale pe suprafaţa corpului perfect conductor magnetic. De multe ori, corpurile feromagnetice pot fi considerate perfect conductoare magnetic.

Observaţii: a) Dacă suprafaţa are pânză de curent, atunci saltul componentei

tangenţiale a intensităţii câmpului magnetic verifică relaţia: Stt JHHn 2121 (4.18)

sau: SSrot JH (4.18’)

51

Este util de comparat relaţia (4.17’) cu forma locală a teoremei lui Ampère (3.17): rotH = J.

b) Dacă suprafaţa S separă medii cu viteze diferite, atunci saltul componentei tangenţiale a intensităţii câmpului magnetic verifică teoretic relaţia:

v DJH SSS rotrot (4.19)

şi, experimental, relaţia: v PJH SSS rotrot (4.20)

Este util de comparat relaţia (4.17’) cu forma locală a legii circuitului magnetic (3.15’).

52

Capitolul 5. ELECTROSTATICA

5.1. Ecuaţiile electrostaticii

Regimul static este acel regim în care mărimile câmpului electromagnetic

nu variază în timp )0( dt

dşi nu au loc transformări de energie din forma

electromagnetică în alte forme. În aceste condiţii, legea inducţiei electromagnetice (v. rel. (2.17’) de la Cap.2) conduce la:

0lE d (5.1)

cu forma locală: 0Erot (5.1’)

Legea fluxului electric este (v. rel. (1.24) de la Cap.1):

qdSnD (5.2)

cu forma locală (v. rel. (1.25) de la Cap.1): vdiv D (5.2’)

O relaţie între D şi E este oferită de legea legăturii între inducţia electrică şi intensitatea câmpului electric. Pentru medii liniare, de exemplu, avem (v. (1.16a) de la Cap.1):

ED (5.3)Privim relaţiile (5.1’), (5.2’), (5.3) ca un sistem de ecuaţii care are ca

necunoscută câmpul electric (D, E). Din punct de vedere matematic, dacă, la aceste ecuaţii, adăugăm şi condiţii de frontieră corect formulate, atunci câmpul electric (D, E) este unic determinat (v. Anexa B). Deci, putem studia componenta electrică (D, E) a câmpului electromagnetic, independent de componenta magnetică (B, H). Partea din electromagnetism care se ocupă de acest studiu se numeşte Electrostatică.

Potenţialul electricÎn condiţiile relaţiei (5.1), este valabilă teorema potenţialului electric (v.

par. 1.7 de la Cap.1): există potenţialul electric V definit prin relaţia:

P

P

dPVPV0

0 lE (5.4)

53

unde integrala se face pe orice drum de la P0 la P, iar P0 este un punct cu potenţial de referinţă fixat arbitrar. În forma locală, relaţia (5.4) se scrie:

gradVE (5.4’)înlocuind (5.4’) în (5.3) şi apoi în (5.2’), rezultă

vgradVdiv (5.5)

Corpuri conductoare fără câmp electric imprimatDeoarece, în electrostatică, nu au loc transformări de energie, din legea

transformării energiei din forma electromagnetică în alte forme şi din legea conducţiei rezultă (v. relaţiile (3.26) şi (3.24) de la Cap.1): 02 Ep JE . Deci, în corpurile conductoare, E = 0. Din (5.3), rezultă că şi D = 0, iar din (5.2) rezultă că v = 0. Sarcina electrică se distribuie doar la suprafaţa corpurilor conductoare, cu densitatea de suprafaţă S. În vecinătatea corpului conductor, componenta normală a inducţiei electrice verifică relaţia (v. Cap.4):

Sn ρD (5.6)

iar componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric este nulă:0tE (5.7)

Corpurile conductoare sunt echipotenţiale. Într-adevăr, deoarece E = 0, oricare ar fi un drum din interiorul corpului conductor ce leagă punctele P0 şi P, din relaţia (5.4) rezultă că V(P) = V(P0)..

Teoremă de unicitateÎn Anexa B, este formulată şi demonstrată o teoremă generală pentru

câmpurile staţionare. Vom prezenta în continuare o consecinţă a acestei teoreme, utilă pentru problemele de electrostatică ce vor urma.

Fig. 5.1. Corpuri conductoare aflate într-o incintă

54

Fie o incintă cu peretele conductor (Fig.5.1.). Peretele poate fi şi suprafaţa de Ia infinit. Deoarece peretele este conductor, el este echipotenţial şi vom lua pe el potenţialul de referinţă nul (uneori, se mai spune că peretele este „masa”), În interiorul incintei, avem n corpuri conductoare (pentru simplitate, vom lua n=3), care şi ele sunt echipotenţiale. În mediul din jurul conductoarelor, sunt cunoscute legătura dintre D şi E, pentru simplitate o considerăm liniară (5.3), precum şi densitatea de volum a sarcinii electrice v.

Câmpul electric (D, E) (descris de ecuaţiile (5.1’), (5.2’), (5.3)) este unic determinat dacă se dau:

a) sarcinile electrice ale corpurilor conductoare q1, q2, q3;sau:b) potenţialele electrice ale corpurilor conductoare v1, v2, v3;

Observaţie. Teorema de unicitate este valabilă şi dacă mediul din incintă este neliniar, dar cu caracteristică D = f(E) disipativă: (f(E’)- f(E”)), (E’–E”)>0, oricare ar fi E’ E”. În această categorie, intră toate tipurile de medii, cu excepţia celor cu histerezis.

Teorema de superpoziţiePresupunem că mediul din incintă este liniar (5.3).Sarcinilor electrice (v’, q1’, q2’, q3’) le corespunde câmpul electric (D’,

E’), iar sarcinilor electrice (v”, q1”, q2”, q3”) le corespunde câmpul electric (D”, E”). Sarcinilor (v, q1, q2, q3) = α’(v’, q1’, q2’, q3’) + α”(v”, q1”, q2”, q3”) le corespunde câmpul electric (D, E) = α’(D’, E’)+ α”(D”, E”).

Teorema de superpoziţie rezultă imediat din liniaritatea ecuaţiilor (5.1’), (5.2’), (5.3) şi din teorema de unicitate. Într-adevăr, privind, de exemplu, ecuaţia (5.2’), avem:

vvvdivdivdivdiv ""''""''""'' DDDDDCâmpul electric din enunţul teoremei verifică ecuaţiile (5.1’), (5.2’), (5.3)

şi este unic.

5.2. Relaţiile dintre sarcinile şi potenţialele unui sistem de conductoare (Maxwell). Condensatoare

Fie o incintă cu peretele conductor în care avem n corpuri conductoare (pentru simplitate, vom lua n = 3). Mediul din jurul conductoarelor este liniar (5.3), iar densitatea de volum a sarcinii electrice este nulă v =0. Dacă se dau sarcinile electrice ale conductoarelor, atunci rezultă unic câmpul electric (D, E) şi, ca urmare, potenţialele (v1, v2, v3). Valorilor (q1, q2, q3) = (1,0,0) ale sarcinilor electrice le corespund potenţialele ale căror valori numerice le notăm cu (p11, p21, p31); pentru valorile (q1, q2, q3) = (0,1,0), notăm valorile

55

potenţialelor cu (p12, p22, p32); iar pentru (q1, q2, q3) = (0,0,1), avem valorile (p13, p23, p33);. Atunci, din teorema superpoziţiei, rezultă că pentru sarcinile electrice:

)100()010()001()()( 321321321 ,,Q,,Q,,QQ,Q,Q,qq,q avem potenţialele:

),,(),,(),,(),,( 332313332221223122111321 pppQpppQpppQVVV sau:

3132121111 QpQpQpV 3232221212 QpQpQpV (5.8)

3332321313 QpQpQpV Relaţiile (5.8) constituie prima formă a relaţiilor dintre sarcinile şi potenţialele unui sistem de conductoare. Matriceal, relaţiile (5.8) se scriu:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

Q

Q

Q

ppp

ppp

ppp

V

V

V

(5.8’)

Coeficienţii pij se numesc coeficienţi de potenţial. Se poate arăta că matricea coeficienţilor de potenţial (p) este simetrică pij = pji şi pozitiv definită:

0))(()( QpQ T , oricare ar fi matricea (Q) (0). Atunci, ea este inversabilă şi avem:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

V

V

V

Q

Q

Q

(5.9)

sau:

3132121111 VVVQ 3232221212 VVVQ (5.9’)

3332321313 VVVQ Relaţiile (5.9’) constituie a doua formă a relaţiilor dintre sarcinile şi potenţialele unui sistem de conductoare. Coeficienţii ij se numesc coeficienţi de influenţă. Matricea coeficienţilor de influenţă este, de asemenea, simetrică şi pozitiv definită. Semnificaţia lor se obţine dând valori particulare potenţialelor în relaţiile (5.9). De exemplu (Fig.5.2.), pentru potenţialele (1,0,0), valorile numerice ale sarcinilor electrice sunt (11, 21, 31). Potenţialul electric pozitiv de pe primul conductor face ca sarcina electrică adunată pe acest conductor să fie pozitivă. În schimb, pe conductoarele vecine, legate la masă, este atrasă sarcina electrică negativă; cea pozitivă este respinsă şi poate părăsi conductoarele, intrând în masă. Cu cât distanţele dintre conductoare sunt mai mici, cu atât

56

atracţia dintre sarcinile electrice de semne contrarii este mai mare şi, ca urmare, se adună mai multă sarcină negativă, prin influenţă. Conductoarele 2 şi 3 au sarcina electrică negativă.

Fig. 5.2. Coeficienţi de influenţă

În prima dintre relaţiile (5.9), facem următorul artificiu:)()()( 3113211211312111 VVVVVQ

Făcând notaţiile:

311321121313121213121110 0 VVu,VVu,C,C,C obţinem relaţia:

131312121101 uCuCVCQ

Fig. 5.3. Capacităţi parţiale Ci0

57

Procedând asemănător cu toate relaţiile din (5.9), obţinem a treia formă a relaţiilor dintre potenţialele şi sarcinile electrice ale unui sistem de conductoare:

131312121101 uCuCVCQ

232322021212 uCVCuCQ (5.10)

330323231313 VCuCuCQ Sunt valabile relaţiile Cij = Cji şi uij = - uji. Coeficienţii Cij se numesc capacităţi parţiale. Semnificaţia lor fizică se obţine dând valori particulare potenţialelor corpurilor. Dacă toate corpurile au aceleaşi potenţiale (Fig.5.3.), atunci (Q1, Q2, Q3) = (C10, C20, C30). Pe toate corpurile, se adună sarcină electrică de acelaşi semn. Din cauză că aceste sarcini electrice se resping, la potenţialul de 1 V, sarcina electrică adunată este foarte mică. Dacă potenţialele corpurilor sunt (0,-1,0), atunci sarcinile electrice sunt )),(,( 3223202112 CCCCC (Fig. 5.4.). În acest caz, sarcinile electrice adunate pe corpurile conductoare sunt mult mai mari decât atunci când toate au acelaşi potenţial, mai ales dacă corpurile sunt apropiate. Sunt sarcini de semne contrarii, care se atrag pe corpurile conductoare.

Fig. 5.4. Capacităţi parţiale Cij

Condensatorul

Fie două conductoare foarte apropiate în comparaţie cu distanţa până la peretele incintei, care poate să fie chiar suprafaţa de la infinit. A treia formă a relaţiilor între sarcinile şi potenţialele celor corpuri este (5.10):

22021212

12121101

VCuCQ

uCVCQ

58

Deoarece corpurile conductoare sunt foarte apropiate, capacităţile proprii C10, C20 sunt mult mai mici decât capacitatea de cuplaj C21 şi pot fi neglijate în relaţiile de mai sus şi, pentru că CCC 2112 şi uuu 2112 , rezultă

QQQ 21 în locul relaţiilor de mai sus, avem: CuQ (5.11)

a. b. Fig. 5.5. a. Condensatorul b. Simbolul condensatorului

Numim condensator un sistem format din două corpuri conductoare (numite armături), care au proprietatea că sarcinile lor electrice sunt egale în modul şi de semne contrarii. Constanta C din relaţia (5.11) se numeşte capacitatea condensatorului. Unitatea de măsură a capacităţii este Faradul (F), care, din păcate, din punct de vedere tehnic, este uriaşă. Din acest motiv, se folosesc deseori submultiplii:

mili.............10-3

micro...........10-6

nano............10-9

pico.............l0-12

Simbolul condensatorului este cel din Fig. 5.5.b.Capacitatea condensatorului plan. Fie un condensator (Fig. 5.6.), ale

cărui armături sunt plane egale, paralele, de arie A. Distanţa dintre armături este d, iar mediul izolant dintre armături are permitivitatea ε. Pe cele două armături, avem sarcinile electrice Q şi -Q. Câmpul dintre armături poate fi considerat omogen. Densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice la suprafaţa armăturii cu sarcină Q este (5.6):

A

QctDS (5.12)

Pentru calculul tensiunii electrice între cele două armături, alegem ca drum de integrare chiar o linie de câmp c între armături:

A

Qdd

DEdEdldu

cc lE (5.13)

De unde:

59

d

A

u

QC (5.14)

Fig. 5.6. Condensatorul plan Fig. 5.7. Cablu coaxial

Capacitatea lineică a cablului coaxial. Cablul coaxial este format dintr-un fir metalic de rază a şi o cămaşă metalică de rază b, între care se află un dielectric de permitivitate ε (Fig. 5.7.). Pe unitatea de lungime, se adună sarcina electrică Q1. Fie suprafaţa închisă Σ de formă cilindrică, coaxială cu cablul, cu înălţimea de 1m şi cu raza R. Bazele cilindrului sunt S1 şi S2, iar suprafaţa laterală este Sl. Aplicăm legea fluxului electric pe suprafaţa Σ (v.par.1.9, Cap.1):

lS

l

S S

QdSdSdSdS nDnDnDnD 1 2

11 (5.15)

Din motive de simetrie, putem admite că inducţia electrică are doar componentă radială, constantă pe suprafaţa laterala Sl. Atunci, relaţia (5.15) devine:

l

SS

RQdSDDdSll

2 (5.16)

de unde: R

QD l

2 şi

R

QE l

2 (5.17)

Pentru calculul tensiunii electrice între cele două armături, alegem, ca drum de integrare, chiar o linie de câmp c între armături:

ab

lnQ

dRR

QEdldu l

b

a

l

c c 22 lE

de unde:

60

a

bln

Cl

2 (5.18)

Relaţia u-i la bornele unui condensator. Presupunem că sarcina electrică se acumulează pe armăturile condensatorului prin alimentarea acestora cu curenţi (Fig. 5.8.). Aplicând teorema conservării sarcinii electrice pe suprafaţa închisă Σ1 ce înconjoară prima armătură, trecând prin mediul izolant dintre armături (v.

rel (3.18), Cap.1), rezultă dt

dQi 1 . Procedând asemănător pentru suprafaţa Σ2,

rezultă dt

dQi 2 . De unde iii 21 şi:

dt

dQi (5.19)

În cazul condensatorului liniar, unde este valabilă relaţia (5.11), pentru cazul în care capacitatea nu variază în timp, avem:

dt

duCi (5.20)

Dacă luăm în considerare sistemul de corpuri conductoare din interiorul incintei şi presupunem că sarcinile lor electrice cresc prin alimentarea cu curenţii electrici ik, atunci, prin aplicarea teoremei conservării sarcinii electrice pe suprafaţa primului corp, de exemplu, rezultă, la fel ca mai sus:

dt

dQi 11

Utilizând relaţiile (5.9) sau (5.10), obţinem:

dt

dV

dt

dV

dt

dVi 3

132

121

111

şi, respectiv

dt

duC

dt

duC

dt

dVCi 13

1312

121

101

Fig. 5.8. Curentul condensatorului Fig. 5.9. Nod de condensatoare

61

Reţele de condensatoareReţelele de condensatoare sunt circuite electrice formate doar din

condensatoare şi surse de tensiune. Din punctul de vedere al teoriei circuitelor electrice, reţelele de condensatoare au elemente în exces: există bucle formate numai din condensatoare şi surse de tensiune. Deci, sunt modele de circuite pentru care existenţa soluţiei (u, i) nu este asigurată în domeniul funcţiilor. Vom vedea totuşi că se poate determina o soluţie (u, Q) în regimul static.Teorema a 2-a a lui Kirchhoff pentru reţele de condensatoare. Teorema a 2-a a lui Kirchhoff pentru circuite electrice este valabilă şi pentru reţelele de condensatoare: suma tensiunilor laturilor unei bucle este nulă:

buclak

ku 0 (5.21)

Teorema a 1-a a lui Kirchhoff pentru reţele de condensatoare. Fie un nod (secţiune) de condensatoare şi fie suprafaţa închisă Σ ce trece prin mediul izolant dintre armăturile condensatoarelor (Fig.5.9.). Aplicăm teorema conservării sarcinii electrice pe suprafaţa :

qdt

di

Deoarece Σ trece doar prin medii izolante, 0i , iar 321 QQQq .

Rezultă:.321 ctQQQ (5.22)

Valoarea constantei din membrul drept al relaţiei (1.15) se obţine din evoluţia reţelei de condensatoare.

Rezolvarea reţelelor de condensatoare se face adăugând la relaţiile lui Kirchhoff (5.21) şi (5.22) valorile tensiunilor de la bornele surselor de tensiune şi relaţiile dintre tensiunile şi sarcinile condensatoarelor (5.11). Pot fi folosite procedurile de soluţionare a circuitelor rezistive.

Exemplu. Condensatorul de capacitate C1 este încărcat cu sarcina electrică Q0, iar condensatorul C2 este descărcat, comutatorul k fiind deschis. La timpul t=0, se închide comutatorul, punând în paralel cele două condensatoare. Să se determine sarcinile şi tensiunile condensatoarelor la t>0.

Din prima teoremă a lui Kirchhoff, rezultă:uuu 21 (5.23)

iar din teorema a 2-a rezultă:

021 QctQQ (5.24)

La închiderea comutatorului k, sarcina electrică Q0 adunată iniţial doar pe armătura condensatorului C1 se redistribuie pe armăturile ambelor condensatoare. Folosind relaţia (5.11), din (5.24) şi (5.23), rezultă:

62

21

0

CC

Qu

apoi:

21

022

21

011 CC

QCQ

CC

QCQ

Observaţie. Vom vedea că energia câmpului electric al unui condensator

verifică relaţia C

QWe 2

2

. În cazul exemplului de mai sus, unde pentru

simplitate vom lua CCC 21 , apare următoarea anomalie energetică: înainte

de închiderea comutatorului k, energia câmpului electric era C

QWe 2

20

0 , iar după

închidere devine

C

Q

C

Q

C

Q

C

QWe 42

2/2

22

20

20

22

21 . O parte din energie a

dispărut. Este o consecinţă a faptului că circuitul are elemente în exces. Teorema a 2-a a lui Kirchhoff nu este verificată de valorile iniţiale ale tensiunilor de la bornele condensatoarelor; ca urmare, nici teorema lui Tellegen (conservarea puterilor) nu este verificată, ea fiind o consecinţă a teoremelor lui Kirchhoff.

Fig. 5.11. Capacităţile parţiale pentru condensatoarele dintr-o incintă

O interpretare fizică poate fi găsită în faptul că, la închiderea comutatorului, în circuit apare un impuls de curent, rezistenţa circuitului fiind nulă. Dar produsul dintre pătratul impulsului şi rezistenta circuitului este o nedeterminare de forma 0 , care poate fi nenulă. Dacă am înseria cu cele două condensatoare un rezistor de rezistentă R, atunci am obţine un model

63

corect de circuit, fără elemente în exces. Prin rezolvarea circuitului, se obţin curentul din rezistor (care, de data aceasta, este funcţie), puterea disipată înrezistor şi energia transformată în căldură în intervalul ),0( . Se obţine o valoare care nu depinde de valoarea rezistenţei rezistorului şi este egală chiar cu

energia dispărută: C

Q

4

20 .

Observaţie. A 3-a formă a relaţiilor dintre sarcinile şi potenţialele unui sistem de conductoare ne sugerează adoptarea schemei din Fig. 5.11.

Conectarea condensatoarelor în paralel. Fie n condensatoare conectate ca în Fig. 5.12. Se obţine tot un condensator a cărui capacitate echivalentă este:

ne CCCC ...21 (5.25)

Fig. 5.12. Conectarea condensatoarelor în paralel

Într-adevăr, dacă aplicăm la bornele ansamblului tensiunea u , atunci armăturile fiecărui condensator k se încarcă cu sarcinile electrice Qk, -Qk. Armăturile noului ansamblu sunt formate prin conexiunile armăturilor încărcate cu Qk şi kQ , deci au sarcini egale în modul şi de semne contrarii, îndeplinind

condiţiile armăturilor unui condensator: nnn CCCuuCuCuCQQQQ ......... 212121

de unde:

ne CCCu

QC ...21

Observaţii: a) Capacitatea echivalentă este mai mare decât oricare din capacităţile ce

formează ansamblul.b) Dacă sunt conectate în paralel condensatoare de capacităţi egale C,

atunci capacitatea echivalentă este nCCe .

Conectarea condensatoarelor în serie.

Fie n condensatoare descărcate, conectate ca în Fig. 5.13. Se obţine tot un condensator a cărui capacitate echivalentă eC verifică relaţia:

64

ne CCCC

1...

111

21

(5.26)

Fig. 5.13. Conectarea condensatoarelor în serie

Într-adevăr, având în vedere că iniţial condensatoarele au fost descărcate, din teorema a 2-a a lui Kirchhoff scrisă pentru nodurile ,..., 21 AA avem, la aplicarea tensiunii u la bornele ansamblului:

...,0,0 3221 QQQQde unde rezultă că armăturile fiecărui condensator se încarcă cu sarcinile Q şi

Q . Armăturile noului ansamblu sunt prima armătură a primului condensator şi a doua armătură a ultimului condensator, care au sarcini egale în modul şi de semne contrarii (Q şi -Q), îndeplinind condiţiile armăturilor unui condensator. Dacă tensiunea la bornele fiecărui condensator k este uk, atunci, din a 2-a teoremă a lui Kirchhoff rezultă:

nnn CCC

QC

Q

C

Q

C

Quuuu

1...

11......

212121

de unde:

ne CCCQ

u

C

1...

111

21

Observaţii:a) Capacitatea echivalentă este mai mică decât oricare din capacităţile ce

formează ansamblul.b) Dacă sunt conectate în paralel condensatoare de capacităţi egale C,

atunci capacitatea echivalentă este n

CCe .

c) Pentru două condensatoare conectate în paralel, putem scrie:

21

21

CC

CCCe

65

5.3. Energia şi coenergia câmpului electric. Forţe generalizate în câmp electric

5.3.1. Energia câmpului electric

Fie o incintă cu peretele conductor (Fig. 5.14). În interiorul incintei, avem n corpuri conductoare (pentru simplitate, vom lua n = 3), încărcate cu sarcinile electrice q1, q2, q3 şi care au potenţialele electrice v1 v2, v3 în interiorul incintei, avem câmp electric a cărui energie ne propunem să o determinăm. În acest scop, trebuie să imaginăm o procedură prin care să dăm energie sistemului format din câmpul electric şi corpurile din incintă. O soluţie ar fi să luăm mici sarcini electrice dqk de pe peretele incintei şi să le depunem pe corpurile k. În acest fel, vor creşte sarcinile electrice qk şi potenţialele electrice vk ale corpurilor.

Fig. 5.14. Transportul sarcinilor pe corpurile conductoare

Asupra micilor sarcini electrice dqk se exercită forţele de natură electrică:EF ke dqd

k (5.27)

Deci, forţa pe care trebuie să o aplicăm asupra micii sarcini electrice pentru a o deplasa este:

kek dd FF (5.28)

iar lucrul mecanic pe care-l efectuăm transportând mica sarcină dqk pe curba ck

cu începutul pe peretele incintei şi cu sfârşitul pe corpul k este:

kk c

kkk

C

kk dqvddqddL lElF (5.29)

66

însumând toate lucrurile mecanice efectuate pentru depunerea de mici sarcini electrice pe toate corpurile conductoare din incintă, obţinem energia dată din exterior sistemului format din câmp electric şi corpuri:

k

kk dqvdW (5.30)

Această energie se consumă pentru creşterea energiei câmpului electric dWe, pentru acoperirea unor lucruri mecanice pe care le-ar efectua corpuri din incintă prin deplasarea lor sub acţiunea forţelor de natură electrică dL, pentru creşterea energiei calorice din incintă dWcal etc. Neglijăm creşterea energiei calorice şi considerăm că nu apar alte modificări energetice, în afară de cea a câmpului electric dWe şi a consumului de lucru mecanic dL:

dLdWdW e (5.31)

Observaţii: a) Procedura expusă mai sus poate fi aplicată chiar dacă în incintă se află

substanţă. Eliminăm, în acest caz, substanţa din imediata vecinătate a curbelor ck şi transportăm sarcinile dqk prin vidul acestor tubuleţe.

b) O altă procedură de a da energie sistemului din incintă, format din câmp electric şi corpuri, ar putea fi injectarea sarcinii electrice dqk în fiecare corp conductor k, conectându-l la perete prin intermediul unei surse de curent.

Puterea debitată de sursă este kkk ivp unde dt

dqi kk (v. teorema conservării

sarcinii electrice, par. 3.3, Cap.1). Atunci, energia primită de sistem din partea sursei de curent este

kkk

kkk dqvdtdt

dqvdtpdW .

Menţionăm că formula puterii debitate de sursa de curent se deduce cu ajutorul fluxului vectorului. Poynting, care se obţine fără a fi nevoie de concluziile acestui paragraf.

Pentru a determina energia câmpului electric, ţinem imobile corpurile din incintă şi astfel 0dL . Din relaţiile (5.31) şi (5.30), rezultă:

k

kke dqvdW (5.32)

Conform teoremei de unicitate, sarcinile electrice ale conductoarelor definesc unic câmpul electric, deci ele sunt variabile de stare pentru câmpul electric. Potenţialele electrice vk sunt funcţii de sarcinile electrice qk (de exemplu, relaţiile (5.8) pentru medii liniare).

Pentru a determina energia câmpului electric într-o anumită stare ),,( 321 QQQT , se integrează relaţia (5.32) între starea de energic nulă (originea)

şi punctul T, pe orice curbă din spaţiul stărilor (Fig. 5.15.):

67

T

kk

ke dqvTW0

)( (5.33)

Fig. 5.15. Spaţiul stărilor Q 1, Q 2, Q3

Rezultatul integralei (5.33) nu depinde de drum. In cazul mediilor liniare, cel mai comod drum de integrare este segmentul OT, unde un punct oarecare Mare coordonatele ),,(),,( 321321 QQQqqq , cu 1,0 . Dacă, în punctul T,

avem potenţialele ),,( 321 VVV , atunci, în punctul M, avem

),,(),,( 321321 VVVvvv . Rezultă kk Vv , dQdq kk şi integrala (5.33)

devine:

1

0

1

0

)( dQVdQVTWk

kkk

kke

Deci:

k

kke QVW2

1 (5.34)

Observaţii: a) Deoarece rezultatul integralei (5.33) nu depinde de drum, în relaţia (5.32) avem o diferenţială totală exactă. Este deci valabilă relaţia:

k

ek q

Wv

(5.35)

Prima formă a relaţiilor între sarcinile electrice şi potenţialele electrice ale unui sistem de corpuri conductoare este de forma (5.8):

...

...

2221212

2121111

qpqpv

qpqpv

de unde:

68

1

221

2

112 q

vp

q

vp

şi, ţinând cont de (5.35):

21

2

2121

12

2

1212 qq

W

q

W

qp

qq

W

q

W

qp eeee

de unde 2112 pp . Deci, matricea coeficienţii de potenţial este simetrică.b) O relaţie asemănătoare cu (5.34) se obţine şi atunci când în incintă se

află sarcină electrică distribuită cu densitatea de volum ρv. Împărţim domeniul dintre corpurile conductoare în mici subdomenii de volume Δj cu sarcina electrică jjjq şi potenţial vj. Putem admite că micile subdomenii sunt

corpuri conductoare. Atunci, conform relaţiei (5.34), avem:

j

jjjk

kke vQVW 2

1

2

1

Când împărţirea în subdomenii este arbitrar de fină, relaţia de mai sus tinde către:

dvQVWk

kke 2

1

2

1 (5.36)

5.3.2. Coenergia câmpului electric

Variaţia de coenergie a câmpului electric este definita de:

ek

kke dWqvddW

* (5.37)

Făcând diferenţiala sumei de produse şi, ţinând cont de relaţia (5.32), rezultă:

k

kke dvqdW * (5.38)

Conform teoremei de unicitate, potenţialele electrice ale conductoarelor definesc unic câmpul electric, deci şi potenţialele pot fi variabile de stare pentru câmpul electric. Sarcinile electrice qk sunt funcţii de potenţialele electrice vk (de exemplu, relaţiile (5.9) pentru medii liniare). Pentru a determina coenergia câmpului electric într-o anumită stare ),,( 321 VVVT , se integrează (5.38) între starea de coenergie nula şi punctul T, pe orice curbă din spaţiul stărilor

),,( 321 vvv :

T

kkke dvqW

0

* (5.39)

69

Rezultatul integralei (5.39) nu depinde de drum. În cazul mediilor liniare, cel mai comod drum de integrare este segmentul OT, unde un punct oarecare M are coordonatele ),,(),,( 321321 VVVvvv , cu 1,0 . Dacă, în punctul T, avem

sarcinile electrice ),,( 321 QQQ atunci, în punctul M , avem

),,(),,( 321321 QQQqqq . Rezultă kk Qq , dVdv kk şi integrala (5.39)

devine:

k

kkk

kke dQVdQVTW1

0

1

0

*

Deci:

k

kke QVW2

1* (5.40)

Se observă că, în cazul mediilor liniare, energia este egală cu coenergia.Observaţie. Putem, de asemenea, avea şi mărimi de stare hibride de tipul coenergiei (asemănător cu (5.37)):

n

pjjj

p

kkke

p

kkke dqVdVqdWqVddW

111

** (5.41)

5.3.3. Densitatea de volum a energiei şi coenergiei

Dacă sarcinile conductoarelor au o mică creştere qn, atunci şi mărimile E, D din incintă au mici creşteri E, D. Avem:

n

knk

S

n

kn qVdSVdSV

k1

1

1

nDnD (5.42)

deoarece Vn+1 = 0. De asemenea, folosind relaţia lui Gauss şi ţinând cont de faptul că în incintă vdiv D , gradVE avem:

ddVVdVdAV DEDDDnD (5.43)

Egalând rezultatele din relaţiile (5.42) şi (5.43), rezultă:

dqVdWn

kkke DE

1

(5.44)

Admitem că energia câmpului electric este distribuită în volum cu densitatea de volum we:

dwdW ee (5.45)

Comparând (5.44) cu (5.45), rezultă că variaţia densităţii de volum a energiei câmpului electric este:

70

DE ew

iar densitatea de volum a energiei câmpului electric este:

D

DE0

ew (5.46)

Asemănător, pentru densitatea de volum a coenergiei câmpului electric, se obţine:

D

ED0

* ew (5.47)

În cazul în care mediul este liniar:

22*

2

1

2

1

2

1 DEww ee DE (5.48)

Exemplu.Energia şi coenergia câmpului electric al unui condensator. Să

presupunem că relaţia dintre sarcina electrică şi tensiunea electrică a unui condensator este neliniară (Fig. 5.16.). Energia câmpului electric pentru sarcina Q a condensatorului este:

QQQQQT

e udqdqvvdqvdqvdqvdqvW00

21

0

21

),(

0

2211

21

unde am ţinut cont că sarcinile electrice ale armăturilor verifică relaţia qqq 21 . Valoarea energiei este dată de aria suprafeţei cuprinse între grafic

şi axa 0q. Coenergia câmpului electric pentru tensiunea electrică U a condensatorului este:

UVVTVVTVVT

e qduvvqdqdvqdvdvqdvqW0

),(

0

21

),(

0

21

),(

0

2211*

212121

Fig. 5.16. Relaţia u-i pentru un condensator neliniar Fig. 5.17. Mică deplasare pe direcţia x

Valoarea coenergiei este dată de: aria suprafeţei cuprinse între grafic şi axa 0u. În cazul mediului liniar, avem:

71

212122!1*

2

1

2

1

2

1VVQVQVVQVQWW ee

Deci:

C

QCUQUWW ee

22*

2

1

2

1

2

1 (5.49)

5.3.4. Forţe generalizate în câmp electric

Din relaţiile (5.30) şi (5.31), rezultă:dLdWdqv e

kkk (5.50)

Pentru a determina forţa în direcţia x , lăsăm corpul să se deplaseze o mică distanţă dx în această direcţie (Fig. 5.17.). Se va consuma un lucru mecanic:

dxFdL x (5.51)Înlocuind în (5.50), avem:

k

xekk dxFdWdqv (5.52)

Dacă deplasarea corpului se face cu restricţia ca sarcinile corpurilor să fie constante, atunci dqk = 0 şi membrul stâng al relaţiei (5.52) se anulează. Rezultă:

,...2,1.,

kctq

ex

kx

WF (5.53)

Observaţii:a) în relaţia (5.53), Fx şi dx pot fi orice cuplu de mărimi al căror produs

este lucru mecanic. De exemplu: forţă inerţială - deplasare, cuplu - unghi, presiune – volum, etc.

Din acest motiv, Fx se numeşte forţă generalizată, iar dx, coordonată generalizată. Relaţia (5.53) este prima formulă de calcul al forţelor generalizate în câmp electric.

b) Energia câmpului electric We apare în relaţia (5.53) ca funcţie de mărimile de stare qx, precum si ca funcţie de coordonata generalizată x .

Înlocuim în relaţia (5.52) energia cu coenergia, folosind definiţia coenergiei (5.37), şi rezultă:

dxFdWqvddqv xek

kkk

kk

*

Dezvoltând diferenţiala sumei de produse, după simplificări, obţinem:

k

xekk dxFdWdvq *0

72

Dacă deplasarea corpului se face cu restricţia ca potenţialele corpurilor să fie constante, atunci 0kdv şi primul termen din membrul drept al relaţiei (5.52)

se anulează. Rezultă:

,...2,1.,

*

kctv

ex

kx

WF (5.54)

Observaţii: a) Relaţia (5.54) este a doua formulă de calcul al forţelor generalizate în

câmp electric. Aceeaşi forţă poate fi calculată atât cu relaţia (5.53), cât şi cu relaţia (5.54).

b) Coenergia câmpului electric *eW apare în relaţia (5.54) ca funcţie de

mărimile de stare vk, precum şi ca funcţie de coordonata generalizată x.

ExempluÎntre armăturile unui condensator plan, cu armăturile dreptunghiulare de

dimensiuni ab este introdus, parţial, un dielectric de permitivitate relativă εr. Distanţa dintre armături este d, iar tensiunea la bornele condensatorului este U. Să se determine forţa cu care este atras dielectricul între armăturile condensatorului (Fig. 5.18).

Fig. 5.18. Dielectric intrând între armăturile unui condensator plan

Rezolvare. Pentru a identifica coordonata generalizată, se lasă corpul să se deplaseze sub acţiunea forţei ce urmează să fie determinată. Se observă că, în cazul problemei noastre, se modifică distanţa dintre dielectric şi una dintre marginile armăturilor. Notăm această distantă cu x. Deoarece mediul este liniar:

22

2121

*

2

1

2

1UCUCWWWW eeee (5.55)

unde C1 şi C2 sunt capacităţile celor două condensatoare cu dielectricul aer şi respectiv cu dielectricul de permitivitate relativă εr, legate în paralel, ce rezultă prin introducerea dielectricului:

d

xbaC

d

axC r

0201 (5.56)

73

Deoarece se dă tensiunea la bornele condensatoarelor, folosim a 2-a formulă a forţelor generalizate (5.54). Înlocuind (5.56) în (5.55) şi apoi în (5.54), rezultă:

12

2

0 rx d

aUF (5.57)

Observaţii: a) Deoarece εr, rezultatul din relaţia (5.57) este negativ. Interpretăm

astfel: forţa care încearcă să mărească coordonata x este negativă, deci ea încearcă să o micşoreze.

b) Să admitem următoarele valori numerice: εr = 2,8; d = 2 mm; U=100V; a = 20 cm. Va rezulta o forţă Fx 8 10-6 N. În general, forţele de natură electrică sunt foarte mici în comparaţie cu cele de natură magnetică (v. Cap.7). Din acest motiv, majoritatea sistemelor de conversie electromecanică se bazează pe forţele de natură magnetică.

5.4. CÂTEVA METODE DE CALCUL AL CÂMPULUI ELECTRIC

5.4.1. Formule coulombiene

i) Cazul 3RFie o sarcină electrică punctuală q, situată într-un mediu omogen

nemărginit, de permitivitate ε. Aplicăm legea fluxului electric pe o suprafaţă sferică Σ cu centrul în punctul M, în care se află sarcina electrică (Fig. 5.19.):

qdS

nD

Din motive de simetrie sferică, D are doar componentă radială pe Σ şi aceasta este constantă pe Σ. Atunci, din relaţia de mai sus, rezultă:

DrdSDDdSq 24

de unde:

24 r

qD

şi

34 r

q

rD

rr

D

apoi:

34 r

qrE

(5.58)

Deoarece E este funcţie doar de r, putem admite că şi V este funcţie de r. Ca urmare, (v. Anexa A):

)(')( rVr

rgradVr

E

74

Fig. 5.19. Câmpul electric produs de o sarcină Fig. 5.20. Câmpul electric creat de o distribuţieelectrică punctiformă volumică de sarcină electrică

Ţinând cont de relaţia (5.58), avem:

24'

r

qV

de unde C

r

qV

4Impunând valoarea nulă pentru potenţialul de la infinit )0( Vr , rezultă:

r

qV

4 (5.59)

Folosind acest rezultat, putem calcula E, V produse într-un mediu omogen nemărginit, de o distribuţie volumică de sarcină electrică ρv (Fig.5.20). Împărţim domeniul d, în care avem sarcină electrică, în mici subdomenii de volume Δvk, în care sarcina electrică este kvk vq

k , unde ρvk este densitatea

de sarcină electrică într-un punct Mk din interiorul subdomeniului k. Intensitatea câmpului electric ΔEk, produsă de mica sarcină electrică Δqk în punctul Pdescris de vectorul de poziţie

kMPkr rr faţa de punctul Mk, este dată de

relaţia (5.58):

3

kkv

4k

kk r

v

r

E

Însumând contribuţiile tuturor subdomeniilor din d, rezultă:

k kk

k rE 3

kkv

4

vk

r

E

Limita expresiei de mai sus, pentru o divizare arbitrar de fină este:

dvrd

3

v

4

1 rE

(5.60)

La fel:

dvr

Vd

4

1 v

(5.61)

75

Observaţie. Ecuaţia potenţialului în mediul omogen (unde ε = const.) este dată de relaţia (5.5):

vVgradVdivgradVdiv )(deci:

VV (5.62)

Soluţia ecuaţiei (5.62) este dată de relaţia (5.61).Într-o manieră asemănătoare, se pot stabili intensitatea câmpului electric

şi potenţialul create de o sarcină electrică distribuită pe suprafaţa S cu densitatea de suprafaţă ρS:

dSrS

S 34

1 rE

(5.63)

dSr

VS

S4

1

(5.64)

Dacă sarcina electrică este distribuită cu densitatea ρl pe curba C, atunci:

dlrC

l34

1 rE

(5.65)

dlr

VC

l4

1

(5.66)

Observaţii: a) Integralele (5.60), (5.61) şi (5.64) sunt absolut convergente chiar dacă

punctul P se află în domeniul de integrare.b) Integralele (5.60), (5.63) şi (5.65) se fac pe componente.

ii) Cazul 2RFie un fir rectiliniu infinit de lung, uniform încărcat cu sarcina electrică cu

densitatea lineică ρl şi aflat într-un mediu omogen şi mărginit. Problema are simetrie cilindrică şi, datorită faptului că firul este infinit de lung, mărimile nu depind de coordonatele z şi θ. Aplicăm legea inducţiei electromagnetice pe curba 1 de formă circulară cu centrul pe fir, de lungime l:

01

111

Γθ

Γ

θ

Γ

θ

Γ

lEdlEdlEdlE

şi rezultă că E şi D nu au componente pe coordonata θ )0,0( DE .

Aplicăm legea inducţiei electromagnetice pe curba ABCDA2 de formă dreptunghiulară, cu laturile BC şi DA paralele cu firul şi ţinem cont de faptul că E nu depinde de coordonatele z şi θ.

76

DA

z

CD

R

BC

z

AB

R

Γ

dlDEdlEdlBEdlEd2

lE

0 DADEBCBEdlDdl-EBE zz

DABC

Zz

de unde rezultă Ez(B) = Ez(D). Deci, componenta lui E pe direcţia z este constantă. Impunând E 0 pentru R 0, rezultă că Ez = 0. Aplicăm legea fluxului electric pe suprafaţa închisă Σ de formă cilindrică, cu axa pe fir, de înălţime h, cu bazele S1, S2 şi suprafaţa laterală Sl:

qdSnD

deci:

121

2S

lRR

S

z

S

z hRhDdSDdSDdSD

de unde:

RDD l

R

2

şi

22 Rl

R

E (5.67)

Apoi, admiţând că potenţialul V depinde doar de coordonata R, avem:

ER

'VR

gradV

şi, admiţând că la R0 avem V = 0, rezultă:

R

RlnV l 0

2

Daca R0 = 1m, avem:

RlnV l 1

2

(5.68)

Remarcăm că structura analizată mai sus este independentă de coordonata z. În general, spunem că o structură de corpuri are configuraţie plan-paralelă dacă există o direcţie privilegiată, astfel încât pentru orice secţiune perpendiculară pe această direcţie avem aceeaşi geometrie a corpului şi aceleaşi proprietăţi electrice (sarcini şi caracteristici constitutive). De exemplu, structura R3 din Fig. 5.21. are configuraţia plan-paralelă, o secţiune cu un plan perpendicular pe axă fiind descrisă de un punct. Invers, dacă secţiunea dintr-un plan perpendicular pe axă arată ca în Fig. 5.22.a), atunci în R3 structura este dată în Fig. 5.22.b). Deci, un fir încărcat cu sarcina electrică distribuită uniform, cu densitatea lineică ρl, corespunde în R2 unei sarcini electrice „punctuale” ρl

sau, pe unitatea de lungime, q = ρl1. La fel, pentru curbe din R2 avem

77

densitatea „lineică” ρS [C/m2] iar pentru domenii (suprafeţe) din R2 avem densitatea de „suprafaţă” ρv [C/m3].

Fig. 5.21. Câmpul electric produs de un fir rectiliniu încărcat uniform cu sarcină electrică

a. b. Fig. 5.22. Structuri plan-paralele

Putem spune deci că intensitatea câmpului electric şi potenţialul create de o sarcină „punctuală” în R2 sunt date de formulele (5.67) şi (5.68).

78

Dacă sarcina electrică este distribuită într-un domeniu DR2 cu densitatea de „suprafaţă” ρv, atunci:

dSR

l

d

V 22R

E

(5.69)

dSR

lln

lV

d

V 2

(5.70)

Ambele integrale sunt absolut convergente.Dacă sarcina electrică este distribuită pe curba C din R2 cu densitatea

„lineică” ρS, atunci:

dlR

l

C

S 22

RE

(5.71)

dlR

lln

lV

C

S 2

(5.72)

Integrala (5.69) este absolut convergentă.

5.4.2. Metoda diferenţelor finite

i) Reţele de coordonate ortogonalePentru a uşura înţelegerea metodei, alegem un domeniu bidimensional

(structură plan-paralelă) R2 (Fig.5.23). Cunoaştem distribuţia de sarcină electrică ρ şi permitivitatea ε a materialului din domeniul .

Fig. 5.23. Reţea de diferenţe finite ortogonale Fig. 5.24. Detaliu din reţeaua de diferenţe finite

Pe o parte SD a frontierei , cunoaştem valoarea potenţialului V (numită condiţie de frontieră Dirichlet). Această condiţie este echivalentă cu

79

cunoaşterea componentei tangenţiale a lui E. Pe restul frontierei SN = /SD

cunoaştem valoarea componentei normale a inducţiei electrice n

VDn

(numită condiţie de frontieră Neumann). Trasăm pe două familii de curbe de coordonate, de preferinţă ortogonale, care vor genera o reţea de diferenţe finite. Atribuim fiecărui nod al reţelei un potenţial. Componentele intensităţii câmpului electric de-a lungul drumurilor ce pleacă dintr-un nod pot fi aproximate ca diferenţe de potenţial. Pentru simplitate, alegem o reţea de diferenţe finite asociate unui sistem de coordonate carteziene (Fig. 5.24). Reţeaua adjunctă este formată din mediatoarele segmentelor P0Pk. Tensiunea electrică pe un segment P0Pk este:

0

0

0 PPEdVV kk

Pk

P

k lE (5.73)

unde Ek este proiecţia lui E din punctul Mk, de-a lungul lui P0Pk, iar Vk = V(Pk).Legea fluxului electric pe conturul închis 43214 OOOOO este:

qdlnD (5.74)

Din relaţia (5.73), obţinem Ek, apoi Dk pe cele două părţi ale lui P0Pk. De exemplu:

- pe porţiunea 14MO :10

10414

'1 PP

VVED

- pe porţiunea 11OM :10

10111

'1 PP

VVED

Atunci:

11111410

101

4

OMMOPP

VVdl

O

O

nD

Relaţia (5.74) va conduce la:

11114410

10 OMMOPP

VV

+

222211

20

20 OMMOPP

VV

+ 33332230

30 OMMOPP

VV

+ 444433

40

40 OMMOPP

VV

=

= 410403403023020120104

1 PPPPPPPPPPPPPPPP (5.75)

Scriind ecuaţiile de forma (5.75) pentru toate N nodurile din domeniu, obţinem un sistem de N ecuaţii cu N necunoscute. Nodurile de pe frontiera Dirichlet au potenţialele cunoscute, deci nu intră în cele N noduri. Pentru un nod de pe

80

frontiera Neumann (Fig.5.25.), legea fluxului electric scrisă pe conturul

13211 MMOOM conduce la:

Fig. 5.25. Nod pe frontiera Neumann

14420

20 MOPP

VV

+

222211

20

20 OMMOPP

VV

+ 32230

30 MOPP

VV

+ 033 PMDn + 103 MPDn = 30202201014

1PPPPPPPP

Pentru problemele din 3R , raţionamentul este analog: suprafaţa închisă este de formă paralelipipedică, iar nodul 0P este conectat cu 6 noduri vecine.

Particularităţi ale metodei:1) Matricea sistemului are proprietatea că pe fiecare linie are doar 5 (7 în

3R ) elemente nule. Pot fi utilizate tehnici speciale de rezolvare a sistemelor cu matrice rare.

2) Există o analogie perfectă între ecuaţia (5.75) şi ecuaţia potenţialelor nodurilor pentru circuite electrice. Notând cu G0k coeficientul lui (V0-Vk) din ecuaţia (5.75) şi cu

kkGG 000 avem

kkk IVGVG 00000 , unde I0 este

membrul drept al ecuaţiei (Fig. 5.26.).3) Matricea sistemului este diagonal dominantă:

k

kGG 000

În vecinătatea frontierei Dirichlet, inegalitatea este strictă.4) Matricea sistemului este simetrică.5) Matricea sistemului este pozitiv definită.

6) Dacă admitem că în zona 2"1

'14 MNNM , E1 are aceeaşi valoare, atunci E

are în fiecare zonă dreptunghiulară 4 valori diferite.

81

Fig. 5.26. Reţea electrică Fig. 5.27. Aproximarea frontierei

De exemplu, în dreptunghiul 2510 PPPP avem:

- subzona 2110 MOMP : 20

20

10

10

PP

VV

PP

VV

jiE ;

- subzona 1"111 ONPM :

51

50

10

10

PP

VV

PP

VV

jiE

- subzona 2'212 PNOM :

20

20

52

52

PP

VV

PP

VV

jiE

- subzona '25

"11 NPNO :

51

51

52

52

PP

VV

PP

VV

jiE

7) Dezavantajul metodei este dat de rigiditatea algoritmului de divizare. Este dificil ca orice formă de frontieră să poată fi descrisă prin reţeaua de diferenţe finite ortogonale, în general, se înlocuieşte frontiera reală cu una formată din segmente ale reţelei de discretizare (Fig. 5.27).

ii) Reţele triunghiulare (metoda elementelor finite)

Pentru simplitatea expunerii, vom considera că domeniul este bidimensional R2 (Fig.5.28). Împărţim domeniul în subdomenii triunghiulare i şi presupunem că potenţialul este funcţie continuă pe şi are variaţie liniară pe subdomeniile i. Atunci, valorile Vk = V(Pk) lui V în nodurile Pk definesc unic potenţialul în întreg domeniul. Fie, de exemplu, subdomeniile din Fig. 5.29. Potenţialul cu variaţie liniară în subdomeniul triunghiular i este de forma:

82

Fig. 5.28. Reţea de triunghiuri Fig. 5.29. Subdomenii triunghiulare

rT ikVrV (5.76)

unde Ti este un vector care este determinat astfel încât ii VV )(r , 11)( ii VV r ,

kVV )0( :

i

kliikilii S

VVVV

2

kkT

rr

(5.77)

Atunci:

igradV TE (5.78)

Valorile lui E sunt constante pe subdomeniile i.Procedăm la fel ca la paragraful precedent. Pe segmentul P0Pi (Fig.5.30),

avem:

i

ii PP

VVE

0

0 (5.79)

Construim reţeaua duală, formată din mediatoarele segmentelor din reţeaua triunghiulară. Deoarece normala la segmentul ii OO 1 are orientarea lui

P0Pi, fluxul lui D pe acest segment este:

iiiiiiii OM

ii

MO

ii

OO

i

OO

dlEdlEdlDdl 111

1nD = i

iiiiiii PP

OMMOVV

0

110

(5.80)Aplicând legea fluxului electric pe conturul ...... 11 iii OOO al

mediatoarelor segmentelor ce pleacă din Pk, obţinem:

83

kik

iiiiii

kiik q

PP

OMMOVV

11

)(

(5.81)

unde i(k) reprezintă indicii tuturor nodurilor care sunt conectate cu nodul k, iar qk este sarcina electrică din interiorul conturului. Cazul nodurilor de pe frontierele Neumann se tratează la fel ca în paragraful precedent. Se poate demonstra că relaţia (5.81) se mai poate pune sub forma:

k

kii

i

iiii

i

iiiik q

SSVV

)(1

1

1111

44 rrrrrr

(5.82)

Scriind ecuaţiile de forma (5.82) pentru toate N nodurile din domeniu, obţinem un sistem de N ecuaţii cu N necunoscute. După determinarea potenţialelor electrice ale nodurilor, calculăm intensitatea câmpului electric cu relaţiile (5.77) şi (5.78).Observaţii:

a) Una dintre cele mai utilizate metode de soluţionare a problemelor de câmp electromagnetic este Metoda Elementelor Finite. Dacă aplicăm această metodă pentru rezolvarea problemelor de electrostatică şi folosim elemente nodale de ordinul l, obţinem ecuaţiile de forma (5.82). Termenul liber se modifică în:

)(

3/1ki

iik Sq (5.83)

Modificarea nu este esenţială, în ambele cazuri soluţia aproximativă apropiindu-se de soluţia exactă, o dată cu rafinarea reţelei (cea mai mare latură a reţelei devine arbitrar de mică)

b) Matricea coeficienţilor sistemului este rară, elemente nenule de pe fiecare linie corespund nodurilor vecine nodului ce defineşte linia.

c) La fel ca şi în cazul metodei diferenţelor finite, ecuaţiile (5.81), (5.82) sunt analoage ecuaţiilor potenţialelor nodurilor într-un circuit, conductanţa unei laturi fiind:

1

1

1111

44

i

i

iiii

i

iiiki SS

g rrrrrr

Matricea sistemului este simetrică şi pozitiv definită. Privind relaţiile (5.81), (5.82), se observă că, dacă triunghiurile sunt obtuz-unghice, atunci este posibil ca coeficienţii gki să fie negativi. De exemplu, în Fig. 5.31., segmentele

iiOM şi 1iiOM capătă valori negative. Ca urmare, pentru a obţine o matrice

mai bine condiţionată, se recomandă folosirea unei reţele de triunghiuri ascuţit-unghice (sau a unei reţele de tetraedre cu unghiuri diedre ascuţite, în R3). Centrele cercurilor circumscrise triunghiuri lor se află în interiorul acestora

84

(centrele sferelor circumscrise tetraedrelor se află in interiorul acestora), în acest caz, matricea sistemului de ecuaţii este diagonal dominantă.

Fig. 5.31. Triunghiuri obtuz-unghice

d) Spre deosebire de metoda diferenţelor finite, metoda elementelor finite este mult mai maleabilă pentru descrierea frontierelor.

5.4.3. Aproximarea liniilor de câmp cu segmente de dreaptă şi arce de cerc

Pentru a uşura înţelegerea acestui procedeu, ne vom ajuta de un exemplu. Două bare dreptunghiulare, infinit lungi (structură plan-paralelă) se află într-un mediu nemărginit, omogen, de permitivitate ε0 (Fig. 5.32.). Ne propunem să determinăm capacitatea lineică acelor două bare. Plasăm pe cele două bare sarcinile electrice q şi -q (pe lungimea de 1m). Urmează să determinăm câmpul

electric, apoi tensiunea u între bare şi, în final, capacitatea lineică u

qCl .

Formulele coulombiene nu pot fi aplicate, deoarece nu se cunoaşte distribuţia de sarcină electrică. Metoda diferenţelor finite se poate aplica doar dacă admitem că cele două bare se află într-o incintă mărginită în care putem defini o reţea de diferenţe finite. Chiar şi în acest caz, rezolvarea problemei necesită elaborarea unui program de calcul pentru generarea reţelei, pentru construirea sistemului de ecuaţii şi pentru rezolvarea acestuia. Menţionăm că problema poate fi rezolvată convenabil cu procedura integrală numită „metoda elementelor de frontieră”, care nu este tratată în această carte, dar care necesită şi ca elaborarea unui program de calcul numeric.

O procedură deosebit de simplă, mult utilizată de inginerii electricieni, constă în a aproxima liniile de câmp cu arce de cerc şi segmente de dreaptă, astfel construite încât să fie ortogonale la suprafeţele conductoare. Aşa cum se vede în Fig. 5.22., această procedură permite ca, între două linii de câmp, de

85

exemplu PP’ şi QQ’ „distanţa” să fie constantă. Atunci, de-a lungul unei linii de câmp, intensitatea câmpului electric este constantă, într-adevăr, pe conturul

PPPQQ "" aplicăm legea fluxului electric:

0""""

PPPQQQPQ

dldldldl nDnDnDnD

Fig. 5.32. Aproximarea liniilor de câmp cu segmente de dreaptă şi arce de cerc

Cum ED 0 şi cum E şi n sunt ortogonali de-a lungul liniei de câmp,

rezultă:

0"""

PQPQ

dldl nEnE (5.84)

Admiţând că cele două linii de câmp sunt foarte apropiate şi că secţiunile PQ şi P”Q” sunt ortogonale pe liniile de câmp, avem EnE pe PQ şi "" EnE

pe P”Q”. Şi, deoarece ""QPPQ , din (5.84) rezultă E = E”. Obţinem atunci

imediat valoarea lui E de-a lungul unei linii de câmp:

cl

uE (5.85)

unde lc este lungimea liniei de câmp, iar u este tensiunea electrică de-a lungul liniei de câmp. În cazul exemplului nostru, distingem 3 zone după structura liniilor de câmp, ţinând cont şi de simetria structurii:- zona ''DDAA , unde liniile de câmp sunt segmente de dreaptă de aceeaşi lungime d, deci:

86

d

uE (5.86)

- zona '' AABB , unde liniile de câmp sunt formate dintr-un segment de dreaptă de lungime d şi din două arce de cerc de lungime x(/2), unde x este distanţa unui punct de pe segmentul AB faţă de punctul A. Deci:

xd

uE

(5.87)

- zona ''BBCC , unde liniile de câmp sunt formate dintr-un segment de dreaptă de lungime d şi din două perechi de arce de cerc de lungimi (b+y)(/2) şi, respectiv, y(/2), unde y este distanţa unui punct de pe segmentul BC faţă de punctul B, iar b este lăţimea barei. Deci:

ybd

uE

(5.88)

Conform legii fluxului electric, sarcina q este dublul integralei inducţiei electrice pe conturul DABC :

2/

00

0

1112

ab

DA

dyybd

dxxd

dld

uq

=

bd

abd

d

bd

d

au 2ln

1ln

1

22 0

de unde rezultă capacitatea lineică:

bd

abd

d

bd

d

a

u

qC 2ln

1ln

1

22 01

Observaţii: a) Procedura este foarte simplă şi permite obţinerea rapidă a unui rezultat sub forma unei formule.

b) Sunt mai multe posibilităţi de a trasa liniile de câmp. De exemplu, din punctul P putem construi un arc de cerc cu deschiderea de (/2), care să fie orientat spre prelungirea segmentului opus lui AB, în partea de sus a Fig. 5.32. Se alege varianta care conduce la cea mai mică lungime a liniei de câmp.

c) Procedura reprezintă o metodă aproximativă „grosolană” de determinare a câmpului electric. Ea poate fi aplicată în cazul a două corpuri conductoare echipotenţiale poligonale (sau poliedrale, în R3). Mediul dintre corpuri trebuie să fie omogen.

87

Capitolul 6. ELECTROCINETICA

6.1. Ecuaţiile electrocineticii

Regimul staţionar este acel regim în care mărimile câmpului

electromagnetic nu variază în timp ( 0dt

d), dar pot avea loc transformări de

energie din forma electromagnetică în alte forme. În aceste condiţii, legea inducţiei electromagnetice conduce la:

Γ

0lE d (6.1)

cu forma locală:0Erot (6.1’)

Din teorema conservării sarcinii electrice rezultă:

0

dSnJ (6.2)

cu forma locală:0Jdiv (6.2’)

O relaţie între J şi E este oferită de legea conducţiei. Pentru medii liniare, de exemplu, avem:

J = E (6.3)sau

E = J (6.3’)Din punct de vedere matematic, dacă adăugăm şi condiţii de frontieră

corect formulate (vezi Anexa B), atunci câmpul electrocinetic (J, E) care verifică ecuaţiile (6.1), (6.2), (6.3) este unic determinat. Deci, putem studia componenta electrocinetică (J, E) a câmpului electromagnetic, independent de alte componente ale câmpului electromagnetic. Partea din electromagnetism care se ocupă de acest studiu se numeşte Electrocinetică.

Potenţialul electricÎn condiţiile relaţiei (6.1), este valabilă teorema potenţialului electric

definit prin relaţia:

P

P

0

0

)()( lE dPVPV (6.4)

88

unde integrala se face pe orice drum de la P0 la P, iar P0 este un punct cu potenţial de referinţă fixat arbitrar. În forma locală, relaţia (6.4) se scrie:

E = -gradV (6.4’)înlocuind (6.4’) în (6.3) şi apoi în (6.2’), rezultă

0 gradVdiv (6.5)Analogia cu electrostatica

Comparând ecuaţiile (6.1)…(6.5) de la acest paragraf cu relaţiile (5.1)…(5.5) de la par.5.1, Cap.5. se văd imediat corespondenţele:

Electrostatică ElectrocineticăE ED J u u i

6.2. Rezistorul

Fie un domeniu conductor , cu frontiera (Fig. 6.1), unde câmpul electrocinetic (J,E) verifică următoarele condiţii de frontieră: () pe suprafeţele disjuncte S1, S2 componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric E este nulă; () pe restul frontierei S0 componenta normală a densităţii de curent J este nulă.

Fig. 6.1. Rezistorul

89

Domeniul conductor cu condiţiile de frontieră (), () se numeşte rezistor.

Observaţii: a) Din punct de vedere tehnic, condiţia de frontieră () poate fi realizată atunci când suprafeţele S1, S2 învecinează domeniul cu un mediu perfect conductor ( = 0). Firele de legătură la rezistor pot fi considerate ca fiind un astfel de mediu.

b) Din punct de vedere tehnic, condiţia de frontieră () poate fi realizată atunci când suprafaţa S0 învecinează domeniul cu un mediu perfect izolant (=0). Aerul din jurul rezistorului poate fi un astfel de mediu.

c) Din condiţia de frontieră (), rezultă că suprafeţele S1, S2 sunt echipotenţiale. Ele se numesc borne. Notăm cu V1 şi V2 potenţialele bornelor.

d) Este bine definită tensiunea rezistorului u ca fiind tensiunea pe orice curbă C care leagă cele două borne.

Avem:

21

C

VVdu lE (6.6)

e) Este bine definit curentul electric al rezistorului ca fiind curentul electric prin orice secţiune transversală S a rezistorului. Într-adevăr, fie suprafaţa închisă Σ = S1 S 2 S 0

’, unde S0’ este porţiunea din suprafaţa S0

mărginită de bordurile S1 şi S ale suprafeţelor S1 şi, respectiv, S. Din teorema conservării sarcinii electrice, aplicată acestei suprafeţe, rezultă:

001

01 SSS

dSdSdS nJnJnJ (6.7)

ţinând cont de condiţia de frontieră (), rezultă:

SS

dSdS nJnJ1

1 (6.8)

sau i1 = i, în particular, dacă S = S2, atunci i1= i2 = i.

6.2.1. Puterea absorbită de un rezistor

Din legea transformării energiei din forma electromagnetică în alte forme, prin conducţie, rezultă, aplicând formula lui Gauss:

dvdivdSVdvgradVdvP JnJJJE V (6.9)

Ţinând cont de relaţia (6.2’), de condiţiile de frontieră şi de observaţiile d) şi e), avem:

201

201

SSS

dSVdSVdSVdSVP nJnJnJnJ

90

= iVViViVdSdSV )(V 212211

S

22

S

11

21

nJnJ (6.10)

deci: P = ui (6.11)

6.2.2. Rezistenţa unui rezistor

Conform teoremei de unicitate a câmpurilor staţionare (Anexa B), dacă se dă fluxul lui J prin una dintre suprafeţele S1 sau S2, adică dacă se dă curentul electric i al rezistorului, atunci câmpul electrocinetic (J, E) este unic determinat şi deci tensiunea u este unic determinată. Este deci bine definită funcţia:

i u= f(i) (6.12)Pentru medii liniare, funcţia f este liniară şi relaţia (6.1) devine:

u = R i (6.13)unde R se numeşte rezistenţa rezistorului. Tot din teorema de unicitate, rezultă că, dacă se dă tensiunea u a rezistorului, atunci câmpul electrocinetic (J, E) este unic determinat şi deci curentul electric al rezistorului este unic determinat. Este, aşadar, bine definită funcţia:

u i = g(u) (6.14)Pentru medii liniare, relaţia (2.5) devine:

i = G u (6.15)unde G se numeşte conductanţa rezistorului. Avem:

G

1R (6.16)

şi, în ipoteza că g este inversabilă, avem:1 gf

Rezistenţa rezistorului este pozitivă. Într-adevăr, din relaţiile (6.11), (6.9) şi (6.13), rezultă:

0JR 22

dvdviuiP JE (6.17)

Egalitatea având loc doar dacă J = 0 şi deci i = 0. De unde, rezultă R > 0. La fel, G>0. Simbolul rezistorului este cel din fig. 6.2.

Aplicaţie. Rezistenţa unui rezistor de formă cilindrică (fig.6.3), de lungime l, cu aria secţiunii transversale A, format dintr-un mediu conductor omogen, de rezistivitate este:

AR

l (6.18)

Într-adevăr, câmpul electrocinetic în cazul acestui rezistor este uniform. Atunci, alegând curba C chiar linia de câmp, tensiunea rezistorului este:

91

Fig. 6.2. Simbolul rezistorului Fig. 6.3. Rezistorul cilindric

ρJlEldlEEdlduCCC

lE (6.19)

Alegând secţiunea S perpendiculară pe generatoarele cilindrului, curentul electric al rezistorului este:

SSS

JAdSJJdSdSi nJ (6.20)

Raportând relaţiile (6.19) şi (6.20), rezultă (6.18).

6.2.3. Rezistorul multipolar

În domeniul conductor , câmpul electrocinetic (J, E) verifică următoarele condiţii de frontieră:

() pe suprafaţa S’, formată din n+1 suprafeţe disjuncte (borne) Sk, componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric E este nulă;

() pe suprafaţa S”= - S’, componenta normală a densitaţii de curent Jeste nulă.

Domeniul conductor cu condiţiile de frontieră (), () se numeşte rezistor multipolar (fig. 6.4).

Rezistorul definit la începutul capitolului este un rezistor dipolar. Evident, observaţiile a), b), c), d) făcute la începutul paragrafului rămân valabile. În cazul rezistorului multipolar, observaţia e) apare în forma teoremei a 1-a a lui Kirchhoff:

n

kk1n ii

1

(6.21)

92

Fig. 6.4. Rezistor multipolar

Într-adevăr, prin aplicarea teoremei conservării sarcinii electrice pe frontiera a rezistorului şi ţinând cont de condiţia de frontieră (), rezultă:

001

1

1

1

dt

dqidSdSJdS

S"

n

kk

n

kn

nJnJ

(6.22)

6.2.4. Puterea absorbită de rezistorul multipolar

Puterea absorbită de un rezistor multipolar este:

n

kkk iuP

1

(6.23)

unde ki este curentul electric al bornei k, iar ku este tensiunea dintre borna k şi

borna n+1. Într-adevăr, în electrocinetică, întreaga energie electromagnetică primită prin suprafaţa a domeniului se transformă în alte forme de energie prin conducţie:

P =

dvdivVVdvgradVdvdvp JnJJJE dA (6.24)

Cum divJ = 0, al doilea termen din membrul drept este nul. Pe frontiera , avem 0nJ pe S” şi V = ct=Vk pe Sk, k = 1,2,…, n+1. Rezultă:

111

1

1

1

1 Sk

nJ

nn

n

kkk

n

kkk

n

kk iViViVdSVP (6.25)

ţinând cont de prima teoremă a lui Kirchhoff (6.21), rezultă:

93

n

kkk

n

kknk

n

kkn

n

kkk iui)V(ViViVP

111

11

1

Relaţia (6.23) este valabilă pentru orice element de circuit.

6.2.5. Relaţiile u-i la bornele rezistorului multipolar

Conform Teoremei de unicitate a cămpurilor staţionare (Anexa B), dacă se dau fluxurile lui J prin n suprafeţe Sk, adică se dau curenţii electrici ik prin nborne, atunci câmpul electrocinetic (J, E) este unic determinat şi deci tensiunile celor n borne faţă de borna n+1 sunt unic determinate. Este deci bine definită funcţia:

i u= f(i)sau:

uk

= fk

(i1, i

2,..., i

n), k = 1, 2,..., n (6.26)

Pentru medii liniare, relaţia (6.26) devine:

n

jjkjk n,...,,k,iRu

1

21 , (6.27)

unde coeficienţii Rkj se numesc rezistenţele de transfer. Semnificaţia fizică a rezistenţelor de transfer rezultă din relaţia (6.27), atribuind valori particulare curenţilor bornelor. De exemplu, dacă ik=0, pentru k>1 şi i10, atunci rezistenţa R11 este numeric egală cu tensiunea electrică între borna 1 şi borna n+1, pentru curentul electric i1=1 sau:

101

111

k

k,i

i

uR (6.28)

Rezistenţa R21 este numeric egală cu tensiunea electrică între borna 2 şi borna n+1 pentru curentul electric i1=1 sau:

101

221

k

k,i

i

uR . (6.29)

Matricea rezistenţelor de transfer este simetrică:

kjR = jkR (6.30)

Într-adevăr, să presupunem că prin borna 1 trece curentul electric i1’,

celelalte borne fiind lăsate în gol (ik’= 0, pentru k > 1). În acest caz, câmpul

electrocinetic este (E’, J’) şi tensiunile la borne (faţă de borna n+1) sunt uk’.

Dacă prin borna 2 trece curentul electric i2’’, celelalte borne fiind în gol, câmpul

electrocinetic este (E”, J”), iar tensiunile la borne sunt uk’’. Asemănător cu

relaţiile (6.24) şi (6.25), avem:

94

dv"' JJ =

dv"' JE =

dv"gradV' J =

dS"V' nJ = "k

'k iu

n

1k

(6.31)

ţinând cont de relaţiile (6.27), scrise pentru valorile particulare ale curenţilor electrici, din relaţia (6.31) rezultă:

dv"' JJ = "'"' iiRiu 212122 (6.32)

Schimbând în relaţia (6.31) indicii ‘ şi “, avem:

dv'" JJ = 'k

n

k

"k iu

1

= '" iu 11 = '" iiR 1212 (6.33)

Din relaţiile (6.32) şi (6.33), rezultă: "' iiR 2121 = '" iiR 1212

şi, de aici, relaţia (6.30).Matricea rezistenţelor de transfer este pozitiv definită. Într-adevăr, făcând

în relaţia (2.17) J’= J” = J, şi presupunând că matricea curenţilor electrici (i) este nenulă, rezultă

dvJ 20 = k

n

kk iu

1

= k

n

jjkj iiR

1

= iRi T (6.34)

Dacă se dau tensiunile celor n borne faţă de borna n+1, atunci câmpul electrocinetic (J, E) este unic determinat şi deci curenţii celor n borne sunt unic determinaţi. Este deci bine definită funcţia:

u i = g(u)sau

ij = gj (u1, u

2,..., u

n), j = 1, 2, ..., n (6.35)

Pentru medii liniare relaţia (6.11) devine:

n

jjkjk n,...,,k,uGi

1

21 , (6.36)

unde Gkj sunt conductanţele de transfer. Avem h = f-1 şi (G) = (R)-1. Matricea conductivităţilor de transfer este şi ea simetrică şi pozitiv definită.

6.3. Priza de pământ

Instalaţiile electrice cu carcase metalice, care sunt alimentate la tensiuni periculoase, pot fi un pericol de electrocutare pentru utilizatori. Să presupunem că instalaţia electrică este o maşină de spălat rufe (Fig. 6.5). Dacă apare un defect local al izolaţiei din interiorul maşinii, atunci carcasa maşinii poate fi pusă la tensiunea de 220V. Prin carcasa maşinii, apare un curent electric Idef, care se întoarce prin pământ la nulul transformatorului. Rezistenţa contactului

95

maşinii cu pământul este mare şi atunci defI este mai mic decât curentul electric

Ip, care acţionează protecţia PR a instalaţiei (de exemplu, siguranţele din panoul de alimentare). Carcasa rămâne sub tensiunea de 220V. Dacă utilizatorul maşinii pune mâna pe carcasă, prin corpul acestuia, aflat în contact cu pământul, se închide curentul electric Ie care, chiar dacă este mai mic decât curentul protecţiei Ip, poate produce electrocutarea utilizatorului.

Fig. 6.5. Rolul prizei de pământ

Evitarea acestui pericol se poate face prin micşorarea rezistenţei electrice dintre maşină şi nulul postului de transformare. La carcasa maşinii, se leagă un conductor care, o dată cu conectarea la priză a maşinii, este pus în contact cu conductorul de legătură la „priza de pământ”. Priza de pământ este astfel construită încât rezistenţa electrică R0 dintre aceasta şi nulul postului de transformare (presupus la infinit) să fie suficient de mică încât, la tensiunea de funcţionare a instalaţiei, curentul electric al prizei de pământ I0 să fie mai mare decât curentul electric de acţionare a protecţiei Ip. Evident că şi nulul postului de transformare este conectat la priza lui de pământ, dar se poate presupune că aceasta este construită acoperitor, astfel încât i se poate neglija rezistenţa electrică.

6.3.1. Priza de pământ emisferică

Vom sugera modul de abordare a dimensionării prizei de pământ pentru cazul ideal al unei prize de pământ perfect conductoare, de formă emisferică (Fig.6.6).

Ne propunem să determinăm raza prizei a astfel încât, la tensiunea de lucru U, curentul electric al prizei I0 să fie mai mare decât curentul electric Ip de acţionare a protecţiei.

96

Fig. 6.6. Priza de pământ emisferică

Fie suprafaţa închisă Σ = S0Sp, unde S0 este suprafaţa plană aflată în aerul din imediata vecinătate a suprafeţei pământului, iar Sp este suprafaţa emisferică de rază r, aflată în pământ, cu centrul în centrul prizei de pământ. Aplicând relaţia (6.9), rezultă:

0pS

0

dSId nJSnJ (6.37)

Din motive de simetrie, putem admite că J are doar componentă radială şi că această componentă este constantă pe suprafaţa Sp. Atunci, din relaţia (6.37), rezultă:

JrI 20 2 (6.38)

de aici

20

2 r

IρJE

(6.39)

Tensiunea U a prizei poate fi exprimată prin integrala de linie a intensităţii câmpului electric E pe o linie de câmp radială, ce pleacă de pe suprafaţa prizei:

CC

EdldU lE (6.40)

ţinând cont de expresia (6.39) şi de faptul că dl=dr, rezultă:

adr

r

IU

a 2

I

20

20

(6.41)

Din relaţia (6.41) rezultă că, pentru a avea I0 =Ip, trebuie ca:

pIaU 2 (6.42)

sau:

πU2

Ia

p (6.43)

97

Observaţii: a) În practică, prizele de pământ au, de cele mai multe ori, forma unor plăci îngropate în pământ la anumite adâncimi.

b) În exemplul simplu de mai sus, nu am ţinut cont de rezistenţa de contact dintre priza de pământ şi pământul din jurul ei. Această rezistenţă devine deosebit de importantă atunci când suprafaţa prizei începe să se corodeze. Din acest motiv, periodic, se face verificarea stării suprafeţelor prizelor de pământ.

c) Priza de pământ este folosită şi pentru a realiza calea de întoarcere a curentului de alimentare a unor instalaţii, spre sursa de alimentare. De exemplu, alimentarea cu energie electrică a tramvaielor se face de la o linie aeriană, printr-un sistem special de captare (pantograf). Perechea liniei de alimentare este calea de rulare şi pământul, legătura dintre pământ şi calea de rulare făcându-se prin prize de pământ (Fig. 6.7).

Fig. 6.7. Instalaţii supuse coroziunii

Întoarcerea curentului prin pământ conduce la apariţia unor curenţi: vagabonzi”, care pot cauza coroziunea instalaţiilor ce se află în pământ (ex. conducte de alimentare cu apă, conducte din reţeaua termică, instalaţii telefonice, etc.). Modul de amplasare a prizelor de pământ şi sistemele de anulare a curenţilor vagabonzi din vecinătatea instalaţiilor sunt căi de reducere a coroziunii.

98

Capitolul 7. CÂMPUL MAGNETIC STAŢIONAR

7.1. Ecuaţiile câmpului magnetic staţionar

În regimul staţionar, legea circuitului magnetic capătă forma teoremei lui Ampère (v. par.3.3, Cap.3):

SS

dSd nJlH

(7.1)

cu forma locală :JH rot (7.1')

Legea fluxului magnetic este (v. par.2.8, Cap.2):

0

dSnB (7.2)

cu forma locală :0Bdiv (7.2')

O relaţie între B şi H este oferită de legea legăturii între inducţia magnetică şi intensitatea câmpului magnetic. Pentru medii liniare, de exemplu, avem (v. par.2.4, Cap.2):

B = H sau H = B (7.3)Dacă la ecuaţiile (7.1), (7.2), (7.3) adăugăm şi condiţii de frontieră corect

formulate, atunci câmpul magnetic (B, H) este unic determinat (v. Anexa B). Deci, putem studia componenta magnetică (B, H) a câmpului electromagnetic, independent de componenta electrică (D, E).

7.1.1. Spira perfect conductoare

Fie o spiră perfect conductoare, în jurul căreia mediul este perfect izolant (Fig.7.1).

Curentul spirei. Pentru a arăta că această mărime este bine definită, alegem o suprafaţă închisă =S1S2S (Fig. 7.1), unde S1 şi S2 sunt suprafeţe transversale prin spiră, iar S este suprafaţa laterală ce leagă bordurile lui S1 şi S2, aparţinând suprafeţei ce mărgineşte spira conductoare. Din teorema conservării sarcinii electrice, pentru regimul staţionar, rezultă:

SSS

iidSdSdSdS 21

21

0 nJnJnJnJ (7.4.)

Deci, i1 = i2 = i.

99

Fig. 7.1. Porţiune de spiră perfect conductoare

Fluxul magnetic al spirei. Această mărime este bine definită prin fluxul magnetic pe orice suprafaţă cu bordura pe suprafaţa spirei. Într-adevăr, pentru a arăta că fluxul spirei nu depinde de suprafaţa care are bordura pe suprafaţa spirei, alegem o suprafaţă închisă S’S”S, unde S’ şi S” sunt suprafeţe având bordurile pe suprafaţa ce mărgineşte spira, iar S este porţiunea din suprafaţa spirei, mărginită de bordurile S’ şi S” (Fig.7.2).

Fig. 7.2. Spiră perfect conductoare

Din legea fluxului magnetic, aplicată suprafeţei închise , rezultă:

SS"S'

dSdSdSdS "'0 nBnBnBnB (7.5.)

Deci: ’= ’’= (7.6)

Asociem sensurile fluxurilor şi curenţilor spirelor prin regula burghiului drept.

100

Teoremă de unicitateÎn Anexa B, este formulată şi demonstrată o teoremă generală pentru

câmpurile staţionare. Vom prezenta în continuare o consecinţă a acestei teoreme, utilă pentru problemele de câmp magnetic ce vor urma.

Fie o incintă cu peretele perfect conductor (Fig.7.3).

Fig. 7.3. Spire într-o incintă cu pereţi conductori

Peretele poate fi şi suprafaţa de la infinit. În interiorul incintei, avem nspire perfect conductoare (pentru simplitate, vom lua n=3). În mediul perfect izolant din jurul conductoarelor, este cunoscută legătura dintre B şi H. Câmpul electric (B, H) (descris de ecuaţiile (7.1’), (7.2’), (7.3)) este unic determinat dacă se dau:

a) Fluxurile magnetice ale spirelor 1,

2,

3

sau:b) Curenţii spirelor i

1, i

2, i

3.

Observaţie. Teorema de unicitate este valabilă şi dacă mediul din incintă este neliniar, dar cu caracteristică B = f(H) disipativă. În această categorie, intră toate tipurile de medii, cu excepţia celor cu histerezis.

Teorema de superpoziţiePresupunem că mediul din incintă este liniar (7.3).Curenţilor electrici (i1

’, i2’, i3

’) le corespunde unic câmpul magnetic (B’, H’), iar curenţilor electrici (i1

”, i2”, i3

”) le corespunde unic câmpul magnetic (B”,H”) Atunci, curenţilor electrici (i1, i2, i3) = ’(i1

’, i2’, i3

’) + ”( i1”, i2

”, i3”) le

corespunde câmpul electric (B, H) = ’(B’, H’) + ”(B”, H”).Teorema de superpoziţie rezultă imediat din liniaritatea ecuaţiilor (7.1’),

(7.2’), (7.3) şi din teorema de unicitate.

101

7.2. Relaţiile dintre fluxurile şi curenţii spirelor perfect conductoare (Maxwell)

Fie un sistem de spire perfect conductore aflate intr-o incintă cu peretele perfect conductor (Fig.7.3). Să presupunem că se dau curenţii spirelor ik.

Atunci, conform teoremei de unicitate, câmpul magnetic (B, H) din este unic determinat şi deci sunt unic determinate fluxurile

kpe suprafeţele

k. Este deci

bine definită funcţia:i = f(i)

sau:

k= f

k(i

1, i

2, ..., in), k = 1, 2,..., n (7.7.)

Pentru medii liniare, relaţia (7.7) devine:

n

jkjk n,...,,k,iL1j

21 , (7.8)

unde coeficienţii Lij se numesc inductivităţi proprii, iar Lkj, cu jk, inductivităţi mutuale sau de cuplaj. Relaţiile (7.8) sunt cunoscute prin denumirea de „Relaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi”. Semnificaţiile fizice ale acestor coeficienţi rezultă din relaţiile (7.8). De exemplu, dacă ik=0, pentru k>1, şi i10, atunci inductivitatea proprie L11 este numeric egală cu fluxul magnetic al spirei 1 pentru curentul i1=1 sau:

101

111

ki

k,i

L

. (7.9)

Inductivitatea mutuală L21 este numeric egală cu fluxul magnetic al spirei 2 pentru curentul i1=1 sau:

101

221

k,ik

iL

. (7.10)

Matriceal, relaţiile (7.8) se mai pot scrie:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

i

i

i

LLL

LLL

LLL

(7.8’)

Admitem în continuare că sensurile fluxurilor magnetice şi ale curenţilor spirelor verifică regula burghiului drept. Se poate arăta că matricea inductivităţilor (L) este simetrică Lij = Lji şi pozitiv definită: (i)T(L)(i)>0, oricare ar fi matricea (i)0. De aici rezultă că inductivităţile proprii sunt întotdeauna

102

pozitive. Într-adevăr, făcând, de exemplu (i1, i

2, i

3) = (1,0,0), din proprietatea de

pozitiv definire rezultă L11>0. În cazul unei singure spire, avem:Li (7.8”)

7.2.1. Factorul de cuplaj

Fie două spire cu inductivităţile L11, L22 şi L12= L21. Factorul de cuplaj al celor două spire este:

2211

12

LL

L (7.11)

Factorul de cuplaj este subunitar <1. {ntr-adevăr, din proprietăţile de pozitiv definire şi simetrie rezultă:

02 21122222

2111 iiLiLiL (7.12)

unde cel puţin unul dintre curenţi este nenul. Fie i2 0. {mpărţim relaţia de mai

sus prin i22>0 şi notăm

2

1

i

ix . Rezultă:

R02 22122

11 x,LxLxL (7.13)

Atunci, discriminantul acestei funcţii de gradul 2 este strict negativ:02211

212 LLL' (7.14)

Împărţind relaţia de mai sus prin L11L22>0, rezultă <1. Pentru cazul ideal, în care factorul de cuplaj ar avea valoarea 1, spunem că avem transformator ideal.

7.2.2. Inductivităţile fasciculelor de spire

Fie spirele 1 şi 2 de grosimi mult mai mici decât lungimile lor şi cu inductivităţile l11, l22 şi l12 = l21 (Fig.7.4.a). Să presupunem acum că aceleaşi poziţii în spaţiu sunt ocupate de două fascicole cu N1 şi respectiv N2 spire, având inductivităţile L11, L22 şi L12 = L21 (Fig.7.4.b). Ne propunem să determinăm relaţiile dintre inductivităţile lkj şi Lkj. Conform relaţiilor (7.9) şi (7.10), în cazul a două spire cuplate (Fig.7.4.a), avem:

01

111

2

i

il

şi

01

221

2

i

il

(7.15)

Câmpul magnetic produs de fasciculul de N1 spire, parcurs de curentul i1, este acelaşi cu câmpul magnetic produs de o singură spiră parcursă de curentul

103

I1=N1i1. Atunci, conform relaţiilor (7.15), fluxurile magnetice printr-o singură spiră din fasciculele 1 şi 2 sunt:

11111111 iNlIl şi 11211212 iNlIl (7.16)

Fig. 7.4. Fascicule de spire Fig. 7.5. Fascicul de spire

Un fascicul de spire este tot o spiră, dar care are o structură complexă, ce rezultă din înserierea unor spire identice, ce ocupă aproape aceeaşi poziţie în spaţiu (Fig.7.5).

Deseori se mai foloseşte termenul de „bobină cu N spire”. Cum primul fascicol este format din N1 spire, fluxul magnetic prin întreaga suprafaţă a fasciculului este:

1112

1111 ilNN (7.17)La fel, al doilea fascicul este format din N2 spire şi atunci fluxul magnetic

este:

12112222 ilNNN (7.18)Conform relaţiilor (7.9) şi (7.10), rezultă:

112

1

01

111

2

lNi

Li

(7.19)

şi:

2112

01

221

2

lNNi

Li

(7.20)

Asemănător:

222222 lNL (7.21)

Relaţiile de mai sus sunt valabile şi dacă avem mai multe fascsicole de spire cuplate. Factorul de cuplaj pentru 2 fascicole de spire nu depinde de numărul de spire. Într-adevăr, conform relaţiilor (7.11), (7.19), (7.20) şi (7.21) avem

104

2211

12

222211

21

1221

2211

12

ll

l

LNlN

lNN

LL

L

7.2.3. Tensiunea electrică de la bornele unei spire perfect conductoare

Fie un conductor perfect cu două borne, ca în Fig.2.3, care poate fi asociat unei spire închise, astfel încât se poate defini fluxul magnetic al spirei (v. partea din dreapta liniuţei verticale ab, Fig.7.6). Fluxul magnetic al părţii din stânga liniuţei ab, (Fig.7.6), este neglijabil. Din punct de vedere tehnic, legăturile la borne sunt foarte strânse, nefăcând loc altor fluxuri. Bornele sunt suprafeţe cu condiţia Et = 0. Atunci, în zona bornelor, poate fi definit potenţialul electric, bornele sunt echipotenţiale şi este bine definită tensiunea la borne (v. Cap.2).

Fig. 7.6. Tensiunea de la bornele unei spire ideale

Fie curba închisă , care trece prin interiorul spirei şi se închide prin curba tensiunii de la borne. Am ales pentru curba acelaşi sens cu al curentului electric, iar pentru tensiunea la borne, sens invers curbei (sensurile tensiunii şi curentului electric sunt alese conform regulii de la receptor). Aşa cum am precizat şi mai sus, sensurile fluxului magnetic şi al curentului spirei respectă regula burghiului drept. Aplicăm legea inducţiei electromagnetice pe curba şi, deoarece în mediul perfect conductor din interiorul spirei E=0, rezultă:

uddddt

d

bornespira

lElElE

(7.22)

Deci:

dt

du

(7.23)

Dacă mediul este liniar şi inductivitatea proprie a spirei L nu depinde de timp, atunci, conform relaţiei (7.8”), avem:

105

dt

diLu (7.24)

Dacă sunt mai multe spire cuplate, atunci, conform relaţiilor (7.8), avem:

dt

diLu j

n

1jkjk

(7.25)

7.3. Energia şi coenergia câmpului magnetic. Forţe generalizate în camp magnetic

7.3.1. Energia câmpului magnetic

Fie un sistem de n spire perfect conductoare parcurse de curenţii ik şi având fluxurile k (Fig.7.7). Mediul din jurul spirelor este perfect izolant. Peretele incintei este perfect conductor.

Fig. 7.7. Energie primită de sistemul format din spire şi câmp magnetic

Pentru a creşte curenţii spirelor şi energia din incintă, introducem în fiecare spiră o sursă ideală de tensiune. Puterea debitată de sursă conduce la apariţia curenţilor ik şi a fluxurilor k, deci conduce la apariţia câmpului magnetic în domeniul din afara spirelor. Fie o curbă k ce trece prin interiorul părţii perfect conductoare a spirei k şi se închide pe la bornele sursei. Aplicăm pe această curbă închisă legea inducţiei electromagnetice:

dt

duddd k

k

borne

interiorkΓ

0lElElE (7.26)

Puterea debitată de sursă este:

dt

diiup k

kkkk

(7.27)

106

Energia pe care o primeşte sistemul format din spire şi din câmpul magnetic este deci:

n

kkk

n

kk didtpdW

11

(7.28)

Dacă ţinem spirele imobile, atunci întreaga energie va fi dată câmpului magnetic. Presupunem că modificările termice din domeniul sunt neglijabile. Atunci:

n

1kkkm didW (7.29)

Conform teoremei de unicitate, fluxurile spirelor definesc unic câmpul magnetic, deci ele sunt variabile de stare pentru câmpul magnetic. Curenţii ik

sunt funcţii de k. Pentru a determina energia câmpului magnetic într-o anumită stare T(1, 2, 3), se integrează (3.2) între starea cu energie nulă (originea de exemplu) şi punctul T, pe orice curbă din spaţiul stărilor (Fig. 7.8):

T

0

n

kkkm diTW

1

)( (7.30)

Fig. 7.8. Spaţiul stărilor 1 2 3

Rezultatul din relaţia (7.30) nu depinde de drum şi deci, în relaţia (7.29), avem o diferenţială totală exactă.

În cazul mediilor liniare, cel mai comod drum de integrare este segmentul 0T, unde un punct oarecare M are coordonatele (1, 2, 3) = (1,2, 3), cu

1,0 . Dacă în punctul T avem curenţii electrici (I1, I2, I3), atunci în punctul

M avem (i1, i2, i3)=(I1, I 2, I 3). Rezultă ik = Ik, dk = kd şi integrala (7.30) devine:

1

0 kkkm dλΦλI(T)W

1

0kkk λdλΦI (7.31)

107

Deci k

kkm IW2

1 (7.32)

7.3.2. Coenergia câmpului magnetic

Prin definiţie, variaţia de coenergie este:

m

n

kkk

*m dWiddW

1

(7.33)

ţinând cont de (7.29) şi dezvoltând diferenţiala sumei din membrul drept, rezultă:

n

1kk

*km didW (7.34)

Conform teoremei de unicitate, curenţii spirelor definesc unic câmpul magnetic, deci şi aceştia pot fi consideraţi variabile de stare. Fluxurile spirelor k sunt funcţii de ik (relaţia (7.8)). Pentru a determina coenergia câmpului magnetic într-o anumită stare T(I 1, I 2, I3), se integrează (7.34) între starea de coenergie nulă şi punctul T , pe orice curbă din spaţiul stărilor (i1, i2, i3):

T

kkk

*m diW

o

(7.35)

Rezultatul integralei (3.7) nu depinde de drum. În cazul mediilor liniare, cel mai comod drum de integrare este segmentul OT, unde un punct oarecare Mare coordonatele (i1, i2, i3)= ( I 1, I 2, I3), cu 1,0 . Dacă în punctul T avem

fluxurile magnetice (1, 2, 3), atunci în punctul M avem fluxurile (1, 2, 3)= (1, 2, 3). Rezultă k =k, dik = Ik d şi integrala (7.35) devine:

1

0

1

0

)( λdλΦIdλΦλITWk

kkk

kk*m (7.36)

Deci:

k

kk*m ΦIW

2

1 (7.37)

Se observă că în cazul mediilor liniare energia este egală cu coenergia.

7.3.3. Teoreme de reciprocitate

Deoarece relaţia (7.37) este o diferenţială totală exactă, sunt valabile relaţiile:

108

k

*m

k i

W

şij

*m

j i

W

De aici, rezultă:

k

j

j

k

ii

(7.38)

Dacă relaţia de reciprocitate (7.38) nu este îndeplinită, atunci nu poate fi definită coenergia câmpului magnetic. În cazul mediilor liniare, sunt valabile relaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi (7.8) şi egalitatea (7.38) devine:

jkkj LL (7.39)

Deci, matricea inductivităţilor este simetrică.

7.3.4. Densitatea de volum a energiei şi a coenergiei

Dacă fluxurile bobinelor au o mică creştere dk, atunci şi mărimile H, Bdin domeniul au mici creşteri H, B. Fie domeniul ' ce rezultă din prin adăugarea tăieturilor k. La fel ca în demonstraţia teoremei de unicitate (Anexa B), se obţine:

n

k"k

'

dSVdSVdSV'1 k

nBnBnB

=

n n ndidudSu

kk

k kkkkkk

1 1 1 nB (7.40)

unde k’ şi k

” sunt cele două feţe ale tăieturii, unde componenta normală a lui B se conservă, iar saltul lui V este chiar curentul spirei. Aplicând formula lui Gauss şi ţinând cont de legea fluxului magnetic, rezultă de asemenea:

ΩΩ'

dvδdAV BHnB

(7.41)

Comparând cele două relaţii de mai sus, avem:

dvdidWn

kkkm BH

1

(7.42)

Admitem că energia câmpului magnetic este distribuită în volum cu densitatea de volum mw :

dwdW mm (7.43)

109

Comparând (7.42) cu (7.43), rezultă că variaţia densităţii de volum a energiei câmpului magnetic este:

BH mδw (7.44)

iar densitatea de volum a energiei este:

B

BH0

mw (7.45)

Asemănător, se arată că:

dvdidWn

k

*m HB

1kk (7.46)

iar densitatea de volum a coenergiei este:

B

HB0

dvw*m (7.47)

În cazul în care mediul este liniar:

22 B

2

1H

2

1

2

1 HB*

mm ww (7.48)

Exemplul 1 Energia şi coenergia câmpului magnetic al unei spire. Să presupunem că

relaţia dintre fluxul magnetic şi curentul electric al spirei este neliniară (Fig.7.9).

Energia câmpului magnetic pentru fluxul al spirei este (7.30):

0

diWm

Valoarea energiei câmpului magnetic este dată de aria suprafeţei cuprinsă între grafic şi axa 0.

Coenergia câmpului magnetic este (7.35):

Fig. 7.9. Relaţia -i pentru o spiră în mediu neliniar

110

I

*m diW

0

(7.49)

Valoarea coenergiei câmpului magnetic este dată de aria suprafeţei cuprinse între grafic şi axa oi.. In cazul mediului liniar, avem:

LLIIWW *

mm

22

2

1

2

1

2

1 (7.50)

Exemplul 2 Energia şi coenergia câmpului magnetic a două spire cuplate magnetic.

Presupunem că mediul este liniar. Atunci, conform relaţiilor (7.32) şi (7.37) avem:

)II(WW *mm 22112

1 (7.51)

Dacă ţinem cont de relaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi (7.8) atunci avem:

21122222

2111 )(L

2

1IILILIWW *

mm (7.52)

Primul termen din membrul drept se mai numeşte energie (coenergie) magneticăproprie:

)(2

1 2222

2111 ILILWW *

mm pp (7.53)

în timp ce al doilea se numeşte energie (coenergie) magnetică de interacţiune:

2112 IILWW *mm ii (7.54)

7.3.5. Forţe generalizate în câmp magnetic

Vom proceda la fel ca şi în cazul forţelor generalizate de natură electrică. Pentru a calcula forţele ce se exercită asupra unui corp în câmp magnetic, lăsăm acel corp să se deplaseze în direcţia forţei pe o mică distanţă x şi determinăm lucrul mecanic astfel obţinut (Fig.7.10).

Energia pe care o primeşte sistemul format din câmp magnetic şi corpuri este dată de relaţia (7.28). Ea se consumă atât pentru creşterea energiei

Fig. 7.10. Deplasarea pe x a corpului în direcţia forţei

111

câmpului magnetic, cât şi pentru lucrul mecanic efectuat de corp în deplasarea lui:

δxFdWdi xm

n

kkk

1

(7.55)

Dacă impunem ca, în timpul deplasării corpului, fluxurile spirelor să fie constante, avem:

n21ct

,...,,kk

m

x

Wx

F

(7.56)

Observaţii: a) În relaţia (7.55), xF şi dx pot fi orice cuplu de mărimi al căror

produs este lucru mecanic. De exemplu: forţă inerţială - deplasare, cuplu -unghi, presiune - volum etc. Din acest motiv, Fx se numeşte forţă generalizată, iar dx, coordonată generalizată. Relaţia (7.56) se numeşte prima formulă a forţelor generalizate în câmp magnetic.

b) În relaţia (7.56), energia câmpului magnetic apare ca funcţie de variabilele de stare k. Coordonata generalizată x apare ca parametru.

c) Condiţia ca fluxurile spirelor k să fie constante este o condiţie teoretică. Dar ea este îndeplinită pentru spire perfect conductoare. Într-adevăr, oricare ar fi suprafaţa Sk cu bordura Sk pe suprafaţa spirei k, din legea inducţiei electromagnetice rezultă că:

0rE kS

k dt

(7.57)

deoarece în mediul perfect conductor E = 0.În relaţia (7.55), introducem coenergia din relaţia (7.33) şi obţinem:

n

kk*m xFdidW

1kx0 (7.58)

Dacă impunem ca, în timpul deplasării corpului, curenţii spirelor să fi constanţi, avem:

n21ct

m

,...,,kki

*

x x

WF

(7.59)

Observaţii: a) Relaţia (7.59) este a doua formulă a forţelor generalizate în câmp magnetic.

b) În relaţia (7.59), coenergia câmpului magnetic apare ca funcţie de variabilele de stare ik. Coordonata generalizată x apare ca parametru.

c) Condiţia de a avea curenţii spirelor ik constanţi este o condiţie teoretică. Practic, ea poate fi îndeplinită dacă plasăm în fiecare spiră o sursă de curent.

112

ExempluÎntr-un câmp magnetic uniform de inducţie magnetică B, se introduce o

spiră dreptunghiulară, de contur , parcursă de curentul electric I. Mediul din jurul spirei este uniform, liniar şi nemărginit. Să se determine cuplul M ce acţionează pe axa mediană, perpendiculară pe liniile de câmp (Fig.7.11).

Rezolvare. Fluxul magnetic al spirei are două componente: fluxul magnetic datorat câmpului uniform:

0 =

S

dSnB = S

dScosθB = ScosθB (7.60)

unde S este aria suprafeţei dreptunghiulare, iar este unghiul dintre normala la această suprafaţă şi inducţia magnetică a câmpului uniform; fluxul magnetic propriu, care apare la trecerea curentului electric i:

Lip (7.61)

Datorită fluxului magnetic 0, dependenţa dintre fluxul magnetic şi curentul electric al spirei este neliniară (deşi mediul este liniar):

Li 0 (7.62)

Coenergia câmpului magnetic este (7.35):

20

I

0 2

1LiidiW *

m (7.63)

Cuplul ce acţionează asupra spirei este (7.59):

Lii

x

WM

i

*m

2

20

ct

(7.64)

Fig. 7.11. Cuplul ce acţionează asupra unei spire dreptunghiulare, în câmp magnetic uniform

113

Deoarece mediul din jurul spirei este uniform, liniar şi nemărginit,

0L

. Din relaţia (7.60), rezultă:

SsinθBiM (7.65)

7.4. Metode de calcul al câmpului magnetic

7.4.1. Circuite magnetice

Una din cele mai simple şi eficiente metode de determinare a câmpului magnetic într-o instalaţie electrotehnică este de a adopta, atunci când este posibil, un model de circuit magnetic, care poate fi uşor analizat prin metodele utilizate la circuitele de curent continuu. Procedura permite obţinerea rapidă a unor rezultate calitative necesare dimensionării instalaţiilor (maşini electrice, electromagneţi, separatoare magnetice etc.). Din păcate, de multe ori, aproximările făcute prin adoptarea modelului de circuit magnetic sunt destul de grosolane şi atunci, pentru o analiză mai fină a câmpului magnetic, sunt folosite metode numerice mai sofisticate. O analiză detaliată a acestor metode nu intră în obiectivele acestei lucrări.

7.4.1.1. Latura de circuit magnetic

Fie un domeniu , fără curent electric (J = 0), cu frontiera (Fig.7.12), unde câmpul magnetic (B, H) verifică următoarele condiţii de frontieră:

Fig. 7.12. Latură de circuit magnetic Fig. 7.13. Întrefier

114

() pe suprafeţele disjuncte S1, S2 , componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic H este nulă;

() pe restul frontierei S0, componenta normală a inducţiei magnetice Beste nulă.

Domeniul conductor cu condiţiile de frontieră (), () se numeşte latură de circuit magnetic.Observaţii: a) Din punct de vedere tehnic, condiţia de frontieră () poate fi realizată atunci când suprafeţele S1, S2 învecinează domeniul cu un mediu mult mai bun conductor magnetic decât cel din (ext>>), sau când structura studiată ne permite să admitem, a priori, că aceste suprafeţe sunt ortogonale pe H (pot fi considerate suprafeţe echipotenţiale). Un exemplu din prima categorie ar putea fi marginile feromagnetice ale unui întrefier (Fig. 7.13).

Un exemplu din a doua categorie ar putea fi secţiunile transversale „ortogonale” dintr-un tub de flux (Fig. 7.14).

b) Din punct de vedere tehnic, condiţia de frontieră () poate fi realizată atunci când suprafaţa S0 învecinează domeniul cu un mediu mult mai slab conductor magnetic decât cel din (ext>>) sau când structura studiată ne permite să admitem, a priori, că aceste suprafeţe sunt suprafeţe de câmp pentru B. Un exemplu din prima categorie ar putea fi marginile ce învecinează o piesă feromagnetică (Fig. 7.14) de aerul din jurul ei. Un exemplu din a doua categorie ar putea fi marginile unui tub de flux (Fig. 7.13).

c) Deoarece în avem rotH=0, rezultă că este valabilă teorema potenţialului magnetic scalar Vm. Din condiţia de frontieră (), rezultă că

Fig. 7.14. Suprafeţe echipotenţiale

115

suprafeţele S1, S2 sunt echipotenţiale magnetic. Ele se numesc borne. Notăm cu Vm1 şi Vm2 potenţialele bornelor.

d) Este bine definită tensiunea magnetică a laturii de circuit magnetic um

ca fiind tensiunea magnetică pe orice curbă C care leagă cele două borne. Avem:

21 mm

C

m VVdu lH (7.66)

e) Este bine definit fluxul magnetic al laturii de circuit magnetic, numit flux fascicular, ca fiind fluxul magnetic prin orice secţiune transversală S a rezistorului. Într-adevăr, fie suprafaţa închisă Σ =S1S2S0’, unde S0

’ este porţiunea din suprafaţa S0 mărginită de bordurile S1 şi S ale suprafeţelor S1 şi, respectiv, S (Fig. 7.12). Din legea fluxului magnetic, aplicată acestei suprafeţe, rezultă:

001

01 SSS

dSdSdS nBnBnB (7.67)

Ţinând cont de condiţia de frontieră (), rezultă:

SS

dSdS nBnB1

1 (7.68)

sau 1 = . În particular, dacă S = S2, atunci:1 = 2 = (7.69)

Reluctanţa laturii de circuit magnetic. Conform teoremei de unicitate a câmpurilor staţionare (Anexa B), dacă se dă fluxul lui B prin una dintresuprafeţele S1 sau S2, adică dacă se dă fluxul fascicular al laturii de circuit magnetic, atunci câmpul magnetic (B, H) este unic determinat şi deci tensiuneamagnetică um este unic determinată. Este deci bine definită funcţia:

mu = f() (7.70)

Pentru medii liniare, funcţia f este liniară şi relaţia (7.70) devine:

mu = mR (7.71)

unde Rm este reluctanţa laturii de circuit magnetic. În maniera de la Cap.5 (Rezistorul), se poate arăta că Rm>0. Inversa reluctanţei se numeşte permeanţă:

mR

1Λ (7.72)

Analogia cu rezistorul. Comparând definiţia şi proprietăţile laturii de circuit magnetic de la acest paragraf cu definiţia şi proprietăţile rezistorului se văd imediat corespondenţele (Tabelul 7.1.):

Tabelul 7.1. Corespondenţa dintre latura de circuit magnetic şi rezistor

Latură de circuit magnetic Rezistor

116

H ErotH=0 rotE=0

B JdivB=0 divJ=0

um uVm V iRm R G

Aplicaţie. În baza acestei analogii rezultă că reluctanţa unei laturi de circuit magnetic de formă cilindrică (Fig.7.15), de lungime l, cu aria secţiunii transversale A, format dintr-un mediu omogen, de permeabilitate este:

μARm

l (7.73)

7.4.2. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice

Prin conectarea laturilor de circuit magnetic, se formează un circuit magnetic. Acesta conţine noduri şi bucle cu laturi de circuit magnetic, iar laturile de circuit magnetic pot avea spire, înfăşurate pe ele şi parcurse de curenţi electrici.

Fie nodul din Fig. 7.16 şi suprafaţa închisă Σ = S1S2S3S0, unde Sk

(k>0) este suprafaţa transversală a laturii k, parcursă de fluxul fasciculark, iar S0 este reuniunea porţiunilor suprafeţelor pe care este îndeplinită condiţia de frontieră () ( Bn = 0) şi mărginită de secţiunile Sk..

Fig. 7.15. Latură de circuit magnetic

117

Aplicând legea fluxului magnetic pe suprafaţa închisă şi ţinând cont de condiţia (), rezultă:

1 - 2 - 3 = 0 (7.74)Deci, pentru circuitele magnetice, este valabilă teorema I-a a lui

Kirchhoff:

Suma fluxurilor fasciculare k ale laturilor de circuit magnetic ale unui nod nj este nulă:

jnk

k 0 (7.75)

Analogia cu prima Teoremă a lui Kirchhoff pentru circuite electrice este evidentă, aşa cum rezultă din Fig. 7.17.

0321 iii (7.76)

Fig. 7.16. Nod de laturi de circuit magnetic

Fig. 7.17. Nod de circuit magnetic

118

Fie bucla de laturi de circuit magnetic din Fig.7.18. Pe latura k, putem

avea o înfăşurare formată din Nk spire şi parcursă de curentul ik. Pe curba închisă asociată buclei, aplicăm teorema lui Ampere:

S

321 dSuuud mmm nJlH 332211 iNiNiN (7.77)

Dacă definim mărimea forţă magnetomotoare prin relaţia:NiFm (7.78)

atunci relaţia (7.77) devine:

321 mmm uuu = 3m2m1m FFF (7.79)

Deci, pentru circuitele magnetice este valabilă şi teorema a II-a a lui Kirchhoff: Suma tensiunilor magnetice uk ale laturilor de circuit magnetic ale unei bucle bj este egală cu suma forţelor magnetomotoare:

jj bb

Fkk

mk mku (7.80)

Analogia cu a doua teoremă a lui Kirchhoff pentru circuite electrice este evidentă, aşa cum rezultă din Fig.7.19.

321 uuu = 321 eee (7.81)

Fig. 7.18. Buclă cu laturi de circuit magnetic

Fig. 7.19. Buclă de circuit electric

119

7.4.3. Rezolvarea problemelor de câmp magnetic cu ajutorul circuitelor magnetice

Pentru rezolvarea problemelor de câmp magnetic impune parcurgerea următoarele etape:a) Se defineşte circuitul magnetic care modelează problema de câmp.b) Se defineşte circuitul electric analog, unde se pot pune direct: fluxuri fasciculare în loc de curenţi electrici; tensiuni magnetice în loc de tensiuni electrice; valorile reluctanţelor în loc de cele ale rezistenţelor; valorile tensiunilor magnetomotoare în loc de cele ale surselor de tensiune;

sensurile acestor surse sunt date de regula burgiului drept, rotit de curentul electric ce înconjoară latura de circuit magnetic.

c) Se rezolvă circuitul electric analog prin oricare din metodele valabile pentru circuite rezistive.

Aplicaţia 1 Electromagnetul excitat în curent. Fie electromagnetul tip U din Fig.7.20, în

care secţiunea transversală are peste tot aria A, iar materialul feromagnetic are permeabilitatea relativă r. Înfăşurarea de excitaţie are N spire şi este parcursă de curentul electric i. Ne propunem să determinăm inducţia magnetică din întrefier şi forţa portantă a electromagnetului. Un model simplu de circuit magnetic ce poate fi adoptat este desenat în Fig.7.21.

Fig. 7.20. Electromagnet tip U Fig. 7.21. Circuitul electric analog

Avem << l şi atunci valorile reluctanţelor tuturor porţiunilor feromagnetice pot fi considerate egale, având valorile (7.73):

120

Aμμ

R0r

m

l (7.82)

Cele două întrefieruri au reluctanţele:

ARmδ

0

(7.83)

Avem:

mδm

m

R2R4

F

=

2l

4

0

r

ANi (7.84)

de unde rezultă inducţia magnetică în întrefier:

AB

=

2l

4

0

r

Ni(7.85)

Mediul feromagnetic fiind considerat liniar, energia şi coenergia câmpului magnetic se calculează cu relaţia (7.49).

iWW *mm

2

1 (7.86)

unde fluxul total al înfăşurării cu N spire este . Din (4.5), rezultă:

mW = *mW =

r

iAN

l24

220 (7.87)

Deoarece în expresia (7.87) apare ca mărime de stare curentul electric, folosim a doua formulă de calcul al forţelor generalizate în câmp magnetic (7.59):

ct

i

*m

x

WF

=2

220

l24

r

iAN (7.88)

Observaţii: a) Valoarea negativă a forţei portante arată că forţa care măreşte coordonata generalizată este negativă, deci avem forţa de atracţie.

b) Dacă, în problemă, s-ar cere forţa de reţinere, atunci se face calculul de mai sus pentru 0 şi apoi se înlocuieşte în relaţia (7.88), = 0 sau cu valoarea ce rezultă din condiţiile tehnologice.

7.�. Să admitem următoarele valori numerice: l = 5cm, r = 1000, = 2mm, A = 4cm2, i = 2A, N = 500. Cu aproximaţie, avem: B = 0,3T şi

δF 30N. Forţele sunt mult mai mari decât cele din electrostatică.

121

7.�. Uneori, modelul de circuit magnetic poate fi ales mai complex, adăugând, de exemplu, laturi de circuit magnetic asociate tuburilor de flux din imediata vecinătate a întrefierului (Fig. 7.20). Calculul reluctanţelor acestor laturi se poate face prin aproximarea liniilor de câmp cu segmente de dreaptă şi arce de cerc.

Aplicaţia 2 Electromagnetul excitat în tensiune sinusoidală. Fie electromagnetul tip U

din Fig.7.20., în care secţiunea transversală are peste tot aria A, iar materialul feromagnetic este neliniar. Înfăşurarea de excitaţie are N spire şi este alimentată cu tensiune sinusoidală de valoarea efectivă U şi de pulsaţie . Admitem că tot fluxul unei spire trece prin circuitul magnetic. Rezistenţa înfăşurării de excitaţie este neglijată (spire perfect conductoare). Ne propunem să determinăm forţa portantă a electromagnetului.

Un model simplu de circuit magnetic ce poate fi adoptat este prezentat în Fig.7.22. Laturile feromagnetice sunt modelate printr-un rezistor neliniar, la bornele căruia există o relaţie neliniară )(fum ..

Avem:)( fR2NiF mδm (7.89)

şi, deoarece N

, rezultă:

Nf

NN

Ri mδ 12

2(7.90)

Având curentul electric ca funcţie de fluxul magnetic, calculăm energia câmpului magnetic cu relaţia (7.30):

0

diWm =

0

2

2

1d

Nf

NN

Rmδ (7.91)

Având energia ca funcţie de mărimea de stare , aplicăm prima formulă a forţelor generalizate în câmp magnetic (7.56). Al doilea termen din membrul drept nu depinde de coordonata generalizată şi atunci rezultă:

Fig. 7.22. Circuit electric analog pentru electromagnetul excitat în tensiune

122

mδmδ

R

N

WF

2

2

ct

(7.92)

Ţinând cont de expresia reluctanţei întrefierului, dată în Aplicaţia 1, obţinem:

20

2

ANF

(7.93)

Tensiunea de la bornele infăşurării este t2 sinUu şi ca urmare:

t2

cos

Uudt (7.94)

Obţinem:

tcosAN

UF

2

220

22 (7.95)

sau:

)21( tcosF~

F (7.96)

unde F~

este valoarea medie a forţei portante:

220

2

AN

UF~ (7.97)

Observaţii: a) Relaţia (7.96) arată că forţa portantă este o mărime pulsatorie cu cu pulsaţia 2, deci, dacă frecvenţa tensiunii de alimentare este de 50Hz, atunci frecvenţa pulsaţiilor este 100Hz. Această frecvenţă, care intră în domeniul audio, este specifică instalaţiilor electrotehnice care lucrează la frecvenţa de 50Hz.

b) Aparent, relaţia (7.97) este ciudată, prin faptul că forţa portantă nu depinde de întrefierul electromagnetului. Este un prilej de a pune în evidenţă faptul că modelul de circuit magnetic nu este întotdeauna satisfăcător. Ne putem da seama uşor că, dacă întrefierul creşte, atunci câmpul magnetic din întrefier nu mai este uniform, iar fluxul fascicular va trece în mare măsură direct de la un braţ al electromagnetului la celălalt braţ. Modelul adoptat în Fig. 7.22 nu mai este corect şi deci nici rezultatul (7.97) nu este corect.

7.5. Formule Biot-Savart-Laplace

7.�. Cazul R3

Revenim la ecuaţiile câmpului magnetic în regimul staţionar:JH rot (7.98)0Bdiv (7.99)

HB (7.100)

123

Din relaţia (7.99), rezultă că putem scrie:AB rot (7.101)

unde A este potenţialul magnetic vector. Înlocuind (7.101) în (7.100) şi apoi în (7.98), rezultă ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale a potenţialului vector A, care inlocuieşte sistemul (7.98), (7.99), (7.100):

JA rotμ

1rot (7.102)

În cazul mediului omogen ( = ct), relaţia (7.102) devine:

JAAAAA )()()(rotrotμ

rotμ

rot1111

(7.103)

Impunem acum potenţialului vector condiţia de etalonare:0 AAdiv (7.104)

şi, notând (Laplacian), rezultă ecuaţia:JA (7.105)

care, scrisă pe componente, într-un sistem de coordonate carteziene, conduce la ecuaţiile

xx JA , yy μJA , zz μJA (7.106)

În Cap.5, par.5.1, „Formule Coulombiene”, a fost făcută observaţia că ecuaţia:

vV are soluţia dată de relaţia coulombiană:

D

dvr

V v4

1=

în cazul unui mediu omogen şi nemărginit. La fel, ecuaţiile (7.106) vor avea soluţiile:

D

dvr

JA x

x

4= ,

D

dvr

JA y

y

4= ,

D

dvr

JA z

z

4=

pentru mediile omogene şi nemărginite. Înmulţind cele trei relaţii cu versorii constanţi i, j, k ai axelor de coordonate, pe care putem să-i introducem sub semnul de integrare, rezultă prin însumare (Fig. 7.23):

D

MdvMP,r

MP

)(

)(J

4=)(A

(7.107)

124

Fig. 7.23. Câmpul magnetic creat de o distribuţie volumică de densitate de current

Potenţialul vector dat de relaţia (7.107) este soluţie a ecuaţiei diferenţiale (7.105). Pentru a fi soluţie a ecuaţiei (7.102), trebuie să dovedim că expresia (7.107) verifică condiţia de etalonare (7.104). Deoarece derivatele în relaţia (7.104) se fac în raport cu coordonatele punctului P, operatorul poate intra sub semnul de integrare, integrarea făcându-se în raport cu coordonatele punctului M.

Rezultă:

D

MPP dvMP,r

MJP

)(

)(

4=)(

A (7.108)

Avem:

),(

)(

MPr

MJP =

)(

1

MP,rPJ =3r

rJ (7.109)

Mai avem:

),(

)(

MPr

MM

J = )(

)(

1M

MP,r M J +)(

1

MP,rMJ (7.110)

iar din relaţia (7.98) rezultă că 0 HJ divrotdiv şi atunci relaţia (7.110) devine:

)(

)(

MP,r

MM

J =

3r

'rJ =

3r

rJ (7.111)

unde rr ' . Rezultă că relaţia (7.108) se mai scrie:

D

MMP dvMP,r

MP

)(

)(

4=)(

JA

=

D

dSr

Jn

4(7.112)

Dar componenta normală a densităţii de curent este nulă pe frontiera D a domeniului D şi, ca urmare, condiţia de etalonare (7.104) este îndeplinită.

Inducţia magnetică rezultă din relaţia (7.101):

125

D

MP dvMP,r

M

)(

)(

4=(P)P

JAB

(7.113)

Avem:

)(

)(

MP,r

MP

J =

)(

1

MP,rJ P =

3r

rJ (7.114)

şi (7.113) devine:

D

dvr 34

rJB

(7.115)

Relaţiile (7.107) şi (7.115) sunt formulele Biot-Savart-Laplace.

Cazul conductoarelor filiformeÎn cazul conductoarelor filiforme, domeniul D are forma specială din Fig.

7.24, în care dimensiunile secţiunii transversale sunt mult mai mici decât a treia dimensiune, care descrie curba închisă .

Fig. 7.24. Conductor filiform

În plus, densitatea de volum a curentului este orientată de-a lungul curbei .Privind o porţiune mult mărită din conductor (Fig.7.24), apreciem că, local, vectorii n, J şi dl au aceeaşi orientare. Atunci, putem scrie:

Sdldv Δ şi llJ idSdJdv (7.116)si relaţiile (7.108) şi (7.115) devin:

Γ r

di lA

4(7.117)

34 r

di rlB

(7.118)

Aplicaţie: Formula lui Neumann pentru calculul inductivităţii de cuplaj între două spire filiforme ce descriu curbele 1, 2 şi sunt situate într-un mediu omogen şi nemărginit. Inductivitatea de cuplaj este:

126

01

221

2

i

iL

(7.119)

unde 2 este fluxul magnetic al unei suprafeţe S2 de bordură 2 (Fig.7.25). Ţinând cont de relaţia (7.101) şi utilizând formula lui Stokes, avem:

2Γ2Γ

ndSAnBSS

rotdS2 =

2

2lA d (7.120)

Potenţialul vector A este produs de curentul i1 care parcurge prima spiră (7.117):

1

11

4 r

di lA

(7.121)

Înlocuind (7.121) în (7.120) şi apoi în (7.119), rezultă formula lui Neumann:

2 1

1221 4 r

ddL

ll

(7.122)

Fig. 7.25. Două spire filiforme, cuplate magnetic

ii) Cazul R2

Fie un fir rectiliniu infinit de lung, parcurs de curentul electric I şi aflat într-un mediu omogen şi mărginit (Fig. 7.26). Problema are simetrie cilindrică şi, datorită faptului că firul este infinit de lung, mărimile nu depind de coordonatele zşi . Aplicăm teorema lui Ampère pe curba 1 de formă circulară cu centrul pe fir, de rază R şi de lungime l1:

iRHlHdlHdlHd 2

1

111

lH (7.123)

de unde rezultă:

R

iH

2θ (7.124)

127

Aplicăm teorema lui Ampere pe curba 2 = ABCDA de formă dreptunghiulară, cu laturile BC şi DA paralele cu firul şi ţinem cont de faptul că Hnu depinde de coordonatele z şi :

DA

z

CD

R

BC

z

AB

R dlHdlHdlHdlHd (D)(B)2

lH

= 0(D))()()( DAHBCBHdlDHdlBH zz

DA

z

BC

z (7.125)

de unde rezultă Hz(B)=Hz(D). Deci, componenta lui H pe direcţia z este constantă. Impunând H 0 pentru R 0, rezultă că Hz = 0. Aplicăm legea fluxului magnetic pe suprafaţa închisă de formă cilindrică, cu axa pe fir, de înălţime h, cu bazele S1, S2 şi suprafaţa laterală Sl:

0=

dSnB (7.126)

deci:

02=+121

RhBdSBdSBdSB RR

S

z

S

z

S

(7.127)

de unde:0=RB

0=RBFig. 7.26. Câmpul magnetic produs de un fir rectiliniu parcurs de curent electric i

De aici rezultă:

R

iHB

2

(7.128)

128

şi:

22 R

i

Rk

B

(7.129)

Admitem că potenţialul vector A depinde doar de coordonata R şi este orientat pe direcţia axei oz: A=kA(x,y). Atunci, avem:

RA'A

RkkAB (7.130)

Comparând cu relaţia (7.129), rezultă:

A'R

i

2 (7.131)

şi, admiţând că la R0 avem A = 0, rezultă:

2= 0

R

Rln

iA

(7.132)

Dacă R0 = 1m, avem:1

2=

Rln

iA

(7.133)

Remarcăm că structura analizată mai sus are configuraţie plan-paralelă. Dacă curentul electric este distribuit într-un domeniu D R², cu densitatea de volum a curentului electric orientată pe direcţia axei oz, atunci, folosind rezultatele (7.129) şi (7.133), obţinem:

D

dSR

J22

RkB

(7.134)

şi: 1

2=

D

dSR

JlnA

(7.135)

Relaţiile (7.134) şi (7.135) sunt formulele formulele Biot-Savart-Laplacepentru structuri plan-paralele.

7.6. Metoda diferenţelor finite

Vom prezenta doar cazul structurilor plan-paralele. Aplicarea metodelor numerice diferenţiale la structuri 3D depăşeşte obiectivele prezentei lucrări.

Utilizarea potenţialului magnetic vector permite determinarea câmpului magnetic prin soluţionarea unei ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul 2 (7.102). În paragraful precedent am arătat că pentru structurile plan-paralele, unde densitatea de volum a curentului electric este orientată pe direcţia axei 0z, se alege pentru potenţialul magnetic vector aceeaşi comportareA=kA(x,y). În acest caz, relaţia (7.101) devine:

129

gradAAA kkkB (7.136)şi:

A)(A)()(rotrot 11

A11

kkkA (7.137)

Având z

)(

k şi deoarece A1

depinde doar de x şi y, ultimul

termen din membrul drept este nul. Înlocuind (7.137) în ecuaţia (7.102) şi, înmulţind relaţia cu versorul k, obţinem

JgradAdiv 1

(7.138)

Ecuaţia (7.138) arată că, în cazul structurilor plan-paralele, potenţialul vector intră doar cu componenta sa pe axa 0z, deci este similar cu potenţialul scalar.

Fie o suprafaţă S într-o structură plan-paralelă (Fig.7.27). Secţiunea prin suprafaţa S este descrisă de curba C, iar lungimea ei este de 1m.

Fig. 7.27. Fluxul magnetic în structuri plan-paralele

Bordura suprafeţei este curba închisă QQ’PP’Q. Fluxul magnetic pe suprafaţa S este:

QPP'QQ'SS

S ddSrotdS lAnAnB (7.139)

Deoarece potenţialul vector A este orientat pe direcţia axei oz, integrala de linie pe curbele Q’P’ şi PQ sunt nule. Pe segmentul QQ’, A şi dl sunt la fel orientate, iar pe segmentul P’P, A şi dl au orientări opuse. Rezultă:

dlAAdl''

S PPQQ

(7.140)

Pentru că A nu depinde de coordonata z, avem:)()( PAQACS (7.141)

130

Putem pune indicele C în loc de S, deoarece, în structurile plan-paralele, o suprafaţă este definită de secţiunea ei. Fluxul pe suprafaţa de secţiune C este dat de diferenţa potenţialelor magnetice vector ale punctelor de capăt ale curbei. Mergând dinspre punctul P către punctul Q, normala este în partea dreaptă. Din relaţia (7.141), rezultă că liniile de câmp ale lui B sunt în acelaşi timp linii echipotenţiale pentru A, deoarece fluxul magnetic este nul pe un segment al liniei de câmp. Această proprietate este deosebit de importantă pentru algoritmii numerici de trasare a liniilor de câmp.

7.6.1. Reţele de coordonate ortogonale

Fie un domeniu R2 (Fig. 7.28). Cunoaştem distribuţia densităţii de curent electric J şi permeabilitatea magnetică a materialului din domeniul . Pe o parte SD a frontierei , cunoaştem valoarea componentei normale a inducţiei magnetice. Conform relaţiei (7.141), rezultă valoarea lui A pe această porţiune de frontieră (condiţie de frontieră Dirichlet). Pe restul frontierei SN =

/SD, cunoaştem valoarea componentei tangenţiale a intensităţii câmpului magnetic H. Din relaţia (7.136), rezultă:

n

AgradAgradA)(gradA)(H t

1111

nktkt (7.142)

deci pe SN avem condiţie de frontieră Neumann.Se observă că, în utilizarea potenţialului vector, condiţiile de frontieră

sunt duale faţă de cazul utilizării potenţialului scalar.

131

Fig. 7.28. Detaliu din reţeaua de diferenţe finite

Pe , trasăm o reţea de diferenţe finite asociată unui sistem de coordonate carteziene (Fig.7.28), reţeaua adjunctă fiind formată din mediatoarele segmentelor P0Pk. Fluxul magnetic pe segmentul P0Pk este (7.141):

||= 0

k

0

PPBdlA-A kk

P

P

k0 nB (7.143)

unde Bk este componenta normală pe segmentul P0Pk a lui B din punctul Mk, iar Ak = A(Pk).

Teorema lui Ampere pe conturul închis = 0401020304 este:

Sid =lH (7.144)

Din relaţia (7.143), obţinem Bk, apoi Hk pe cele două părţi ale lui P0Pk. De exemplu:

- pe porţiunea 04M1: ||

-1=

1=

10

10

4

1

41

PP

AABH '

- pe porţiunea M101: ||

-1=

1=

10

10

1

1

11

PP

AABH "

Atunci:

)|OM|μ

1+|MO|

μ

1(

|PP|A-Ad 11

1

14

410

10O

O

=1

4

lH (7.145)

Relaţia (7.144) conduce la:

)||1

+||1

(||

-11

1

14

410

100MM0

PP

AA

)||1

+||1

(||

-22

2

21

120

200MM0

PP

AA

+ +)||1

+||1

(||

-33

3

32

230

300MM0

PP

AA

)||1

+||1

||

-44

4

43

340

400MM0

VV

AA

= JPPPPJPPPP 2302012010 ||||+||||(4

1

)||||+||||+ 4104034030 JPPPPJPPPP (7.146)Scriind ecuaţiile de forma (7.146) pentru toate N nodurile din domeniu,

obţinem un �ystem de N ecuaţii cu N necunoscute. Nodurile de pe frontiera Dirichlet au potenţialele cunoscute, deci nu intră în cele N noduri. Pentru un nod de pe frontiera Neumann (Fig.7.29), Teorema lui Ampere scrisă pe conturul =M1

0102M3M1 conduce la:

)||1

+||1

(||

-+||

1

||

-22

2

21

120

2011

110

100MM0

PP

AA0M

PP

AA

||1

||

-+ 32

230

30M0

PP

AA

132

+ |||| 101033 MPHPMH tt )||||+||||(4

1= 3020220101 PPPPJPPPPJ (7.147)

Pentru problemele din R3, raţionamentul prezentat mai sus nu mai este valabil. Particularităţi ale metodei

Toate comentariile făcute la Cap.5, par.5.4.2, cu excepţia Punctului 3, rămân valabile. Diferenţa ce apare la Punctul 3 rezultă din faptul că, prin diferenţa de potenţial vector, obţinem componenta lui B ortogonală pe segmentul P0Pk (7.143), în timp ce la potenţialul scalar se obţine componenta lui E, pe direcţia segmenului P0Pk. De exemplu, în dreptunghiul P0P1P5P2 avem:

- subzona P0M101M2: ||

-

||

-=

20

20

10

10

PP

AA

PP

AA ijB ;

- subzona M1P1N1’01:

||

-

||

-=

51

51

10

10

PP

AA

PP

AA ijB ;

- subzona M201N2’P2:

||

-

||

-=

20

20

52

52

PP

AA

PP

AA ijB

- subzona 01N2”P5N2:

||

-

||

-=

51

51

52

52

PP

AA

PP

AA ijB

7.7. Reţele triunghiulare (Metoda Elementelor Finite)

Pentru flexibilitate mai mare la descrierea interfeţelor, împărţim domeniul în subdomenii triunghiulare i şi presupunem că potenţialul vector este funcţie continuă pe şi are variaţie liniară pe subdomeniile i. Atunci, valorile Ak = A(Pk) lui A în nodurile Pk definesc unic potenţialul vector în întreg domeniul. Fie, de exemplu, subdomeniile din Fig.7.30.

133

Fig. 7.30. Subdomenii triunghiulare

Potenţialul cu variaţie liniară în subdomeniul triunghiular i este de forma: rTr ikVV +=)( (7.148)

unde iT este un vector determinat astfel încât ii AA )(r , 11)( ii AA r ,

kAA )0( :

i

kiikii

SAAAA

2

)-)((-)-)((= 1+i1 krkr

T . (7.149)

Atunci (7.136): B= iVgrad Tkk = (7.150)

Valorile lui B sunt constante pe subdomeniile i .

Procedăm la fel ca în paragraful precedent. Ortogonal pe segmentul P0Pi

avem:

i0

i0

PP

AABi

(7.151)

Construim reţeaua duală, formată din mediatoarele segmentelor din reţeaua triunghiulară (Fig. 7.31). Avem:

iii1ii1ii1i

11

1 OM

iiMO

iiOO

i

OO

dlBdlBdlHd

lH =

i

iii

iii

i PP

0MM0

)A(A0

11

0

11

(7.152)

134

Fig. 7.31. Scrierea ecuaţiilor diferenţelor finite

Aplicând Teorema lui Ampere pe conturul 0i-10i0i+1 al mediatoarelor segmentelor ce pleacă din Pk, obţinem:

kik

iik

ki

iPP

0iM iM i0iAA =

||

||1

+|1-|1

)-( 1

)(

(7.153)

unde i(k) reprezintă indicii tuturor nodurilor care sunt conectate cu nodul k, iar Jk

este curentul electric din interiorul conturului. Cazul nodurilor de pe frontierele Neumann se tratează la fel ca în paragraful precedent. Se poate demonstra că relaţia (7.153) se mai poate pune sub forma

k1i1-i

i1-i1-i

ii

i1+i1+iik

i(k)

i=)]1

S4

)-(+

1

S4

)-()(A-A[(

rrrrrr (7.154)

Observaţie. Dacă se aplică Metoda Elementelor Finite, atunci termenul liber se modifică în:

SJ1/3i ii

i(k)k (7.155)

Toate observaţiile făcute la Cap.5, par.5.4.2, punctul b) sunt valabile şi în cazul utilizării potenţialului magnetic vector în structuri plan-paralele.

7.8. Structuri cu magneţi permanenţi

7.8.1. Energia câmpului magnetic creat de magneţii permanenţi

135

Fie un domenuiu , cu peretele perfect conductor. Peretele poate fi şi la infinit. În interiorul domeniului, o regiune m este ocupată de un material magnetic dur (magnet permanent) (Fig. 7.32).

Fig. 7.32. Domeniu cu magnet permanent

În restul domeniului 0 = -m mediul este liniar. Pentru a pune mai uşor în evidenţă proprietăţile câmpului magnetic creat de magnetul permanent, considerăm că în nu avem curent electric (J = 0).

Energia câmpului magnetic din domeniul 0, exterior magnetului permanent este:

0

2

1dvWm HB (7.156)

Deoarece J = 0, avem 0

lH d pentru orice curbă închisă din .

Rezultă că este valabilă teorema potenţialului magnetic scalar şi putem scrie:

mgradVH (7.157)

Înlocuind (7.157) în (7.156) şi folosind formula lui Gauss, avem:

0

2

1dvgradVW mm B =

0Ω2

1dSVmBn +

02

1dvdivVm B (7.158)

Datorită legii fluxului magnetic (divB = 0), ultimul termen din membrul drept este nul. Bordura 0 a domeniului 0 este 0 = m, unde m

este bordura domeniului m, cu magnet, orientată spre interiorul lui 0. Ţinând cont că pe peretele perfect conductor avem Bn= 0, relaţia (7.158) devine:

Wm =

S2

1dVmBn

mi

dSVmi Bn2

1=

m

dSVmBn2

1 (7.159)

unde m este bordura domeniului m orientată spre exteriorul lui m. Folosind din nou formula lui Gauss, rezultă:

136

m

dvgradVW mm B2

1+

m

dvdivVm B2

1(7.160)

şi ţinând cont de relaţia (7.157) şi de legea fluxului magnetic, obţinem energia câmpului magnetic produs de magnetul permanent în exteriorul lui, exprimată în funcţie de mărimile câmpului magnetic din magnet:

m

dvWm )(2

1HB (7.161)

Pentru a comenta relaţia (7.161), să presupunem că, în fiecare punct al magnetului, relaţia B-H poate fi descompusă pe direcţia de magnetizare, unde componentele Bm şi Hm urmează curba de histerezis (Fig.7.33), şi în planul ortogonal acestei direcţii, unde componentele Bt şi Ht au o relaţie liniară: Bt=Ht. Atunci, relaţia (7.161) se mai poate scrie:

m

dvHBW mmm )(2

1

m

dvH tt2

2

1 (7.162)

de unde rezultă:

m

dvHB mm )(2

1=

m

dvH tt2

2

1 + mW (7.163)

Din relaţia (7.163), rezultă că magnetul poate crea câmp magnetic în exteriorul său doar dacă o parte din el are componentele Bm şi Hm ale câmpului magnetic în cadranele 2 sau 4 ale ciclului de histerezis, unde produsul Bm(-Hm) este pozitiv. Energia câmpului magnetic din domeniul 0 este cu atât mai mare, cu cât produsul Bm (-Hm) este mai mare, în toate punctele magnetului şi cu cât componenta Ht, din planul ortogonal direcţiei de magnetizare, este mai mică. La o calitate dată a magnetului, aceste condiţii depind de modul în care este proiectată instalaţia cu magneţi permanenţi. Realizarea unor magneţi cu produs Bm(-Hm) cât mai mare este meritul firmelor producătoare de magneţi. Acestefirme atribuie valoarii maxime a produsului Bm(-Hm), de pe curba de histerezis limită, denumită şi „energie maximă a magnetului”. Evident, semnificaţia acestui produs nu poate fi energia câmpului magnetic în magnet, unde, din

Fig. 7.33. Caracteristica de magnetizare a magnetului

137

cauza faptului că magnetul este un mediu cu histerezis, nu poate fi definită energia câmpului magnetic.

7.8.2. Calculul câmpului magnetic creat de magneţii permanenţi

7.8.2.1. Circuite magnetice cu magneţi permanenţi

De cele mai multe ori, magneţii permanenţi pot fi luaţi în considerare în modelul de circuit magnetic adoptat pentru calculul câmpului magnetic. Este necesar ca fluxul fascicular să parcurgă magnetul pe direcţia principală de magnetizare. Magnetul este modelat printr-o latură de circuit magnetic, neliniară şi activă, a cărei caracteristică -um se obţine din caracteristica Bm-Hm, modificând scalele conform relaţiilor = SmBm şi um = lmHm.

7.8.2.2. Sarcini magnetice fictive

Presupunem că relaţia Bm-Hm de pe direcţia de magnetizare este liniară:

rmm BHB m (7.164)

Această ipoteză este susţinută de faptul că, dacă punctul de funcţionare al magnetului coboară sub cotul din cadranul 2, atunci, la creşterea inducţiei magnetice, relaţia Bm-Hm nu mai urmăreşte vechea curbă, ci o dreaptă aflată sub vechea curbă (PQ, în Fig.7.33). Apoi, atâta timp cât valoarea lui Bm nu scade sub valoarea din punctul P, caracteristica Bm-Hm rămâne pe dreapta PQ. În tehnică, se aduce intenţionat punctul de funcţionare al magnetului (Bm) la valoarea cea mai mică, pentru ca apoi să fie bine definită caracteristica Bm-Hm

pe care o are magnetul (se numeşte „stabilizarea magnetului”). Ţinând cont de (7.166), magnetul permanent apare ca un mediu liniar,

anizotrop, cu polarizaţie magnetică permanentă (v. Cap.2):

rBHB (7.165)

unde tensorul permeabilităţii magnetice are componentele m, pe direcţia de magnetizare, şi t în planul ortogonal acestei direcţii, iar rmr BuB , um fiind

versorul direcţiei de magnetizare. Presupunem că, în domeniul studiat , avem

0

lH d pentru orice curbă închisă şi atunci este valabilă relaţia (7.157).

Înlocuim această relaţie în (7.165) şi apoi aplicăm operatorul div şi, ţinând cont de legea fluxului magnetic, obţinem:

rm divgradVdiv B 0 (7.166)

Numim sacină magnetică fictivă mărimea:

138

rm div B (7.167)

şi relaţia (7.167) se scrie:

mm ρgradVμdiv (7.168)

Ecuaţia (7.168) este aceeaşi cu ecuaţia potenţialului folosită în electrostatică. Putem folosi metodele de determinare a câmpului electric din electrostatică. De exemplu, dacă =t=0, proprietate valabilă pentru magneţi din ferite sau din pământuri rare şi, dacă domeniul de calcul este nemărginit şi are peste tot permeabilitatea magnetică 0, atunci putem folosi formulele coulombiene:

D

dvr

ρV m

m04

1=

(7.169)

D

dvr

ρm3

04

1=

rH

ă (7.170)

unde D este domeniul ocupat de magnet. De cele mai multe ori, admitem că magneţii sunt magnetizaţi uniform şi, ca urmare, Br = ct în interiorul magnetului. Atunci, în relaţia (7.167), apare divergenţa superficială (vezi Cap.4, par.4.1):

rrSmS divρ BnB (7.171)

unde n este normala la frontiera D a domeniului D. În locul integralei (7.170), avem:

D

dSr

r3

04

1=

rBnH

(7.172)

7.8.2.3. Curenţi amperieni

Din legea fluxului magnetic, rezultă că putem scrie AB rot pe care-l

înlocuim în relaţia (7.167), înmulţim apoi cu 1

şi aplicăm operatorul rot. Rezultă:

rrotrotrot BA11

(7.173)Numim densitatea de volum a curenţilor amperieni mărimea:

rm rot BJ1

(7.174)

şi relaţia (7.173) se scrie:

mrotrot JA 1

(7.175)

139

Ecuaţia (7.175) este aceeaşi cu ecuaţia potenţialului magnetic vector folosită la rezolvarea problemelor de câmp magnetic staţionar (7.102). Putem folosi metodele de determinare a câmpului magnetic. De exemplu, dacă m= t=0 şi dacă domeniul de calcul este nemărginit şi are peste tot permeabilitatea magnetică 0 , atunci putem folosi formulele Biot-Savart-Laplace.

D

dvr

m3

0

4

rJB

(7.176)

Dacă admitem că magneţii sunt magnetizaţi uniform, atunci, în relaţia (7.167), apare rotorul superficial (vezi Cap.4, par.4.4):

rrSmS rot BnBJ 00

11

(7.177)

În locul integralei (7.176), avem:

D

dSr 3

r

4

1=

rBnB

(7.178)

139

Capitolul 8. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC CVASISTAŢIONAR

8.1. Ecuaţiile câmpului electromagnetic cvasistaţionar

Fie un domeniu în care dorim să studiem câmpul electromagnetic. Legea inducţiei electromagnetice, în forma locală este:

trot

B

-E (8.1)

Regimul cvasistaţionar rezultă prin neglijarea curentului herzian în legea circuitului magnetic, care capătă astfel forma Teoremei lui Ampère. Forma ei locală este:

rotH = J (8.2)Această aproximare privind legea circuitului magnetic este pe deplin

justificată pentru analiza câmpului electromagnetic în medii conductoare. Într-

adevăr, forma completă a legii circuitului magnetic este t

Jrot

D

H . Să

presupunem acum că, într-un punct oarecare din domeniul conductor, inducţia electrică D este orientată pe o direcţie u şi este funcţie sinusoidală de timp:

)( tsinDmax uD . Atunci avem:

)(max tcosDt

uD

(8.3)

)(max tsinD

uDEJ (8.4)

unde este conductivitatea mediului conductor. Raportând valorile maxime ale celor doi termeni din membrul drept al legii circuitului magnetic, avem:

=

fJ

t

D

max

max 2

(8.5)

unde f este frecvenţa, iar este rezistivitatea. În cazul cuprului, de exemplu,

valoarea acestui raport este = f1810 . Este evident faptul că termenul t

D

trebuie neglijat. Pentru mediile conductoare, ponderea acestui termen devine importantă dacă rezistivitatea este foarte mare şi frecvenţa câmpului electromagnetic este foarte ridicată. Un exemplu poate fi pătruderea câmpului

140

electromagnetic în corpul omenesc, în procedurile de investigare bazate pe rezonanţă magnetică nucleară.

Termenul t

Dpoate fi neglijat şi în regiunile cu aer ale domeniului ,

dacă frecvenţa este suficient de mică (viteza de variaţie în timp a câmpului electromagnetic este suficient de mică). Într-adevăr, să presupunem că intensitatea câmpului electric este limitată superior la valoarea 10MV/m. Atunci, pentru densităti de curent uzuale, de cca. 106A/m2, rezultă = 10-9f. Vom vedea că adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic în corpurile conductoare este cu atât mai mică cu cât frecvenţa este mai mare. De exemplu, în cazul cuprului, pentru f > 1MHz adâncimea de pătrundere este sub 0,1mm. În acest caz, suprafaţa corpului conductor poate fi privită ca o frontieră cu condiţii de frontieră speciale, privind câmpul electromagnetic din regiunile cu aer. Analiza câmpului electromagnetic se face altfel decât în modelul cvasistationar (unde electromagnetice în regiunile cu aer şi frontiere cu pierderi la suprafaţa corpurilor conductoare). Deci, în ipoteza că admitem utilitatea analizei câmpului electromagtnetic în volumul corpurilor conductoare, frecvenţa este, în general, sub valoarea de 1MHz şi în acest caz 310 . Putem neglija astfel

termenul t

Dşi în regiunile cu aer.

La ecuaţiile (8.1) şi (8.2) se adaugă şi relaţiile constitutive privind componentele câmpului electromagnetic (E, J) şi (B, H).

Legea conducţiei:EJ +J0 (8.6)

În mediile conductoare, > 0şi J0 = 0, iar în mediile izolante 0 . Domeniile (bobinele) cu densitate de curent impusă J0 fac parte din mediile izolante.

Pentru simplitate, considerăm că relaţia B-H este:B = H (8.7)

Relaţiile (8.1), (8.2), (8.6), (8.7) pot fi privite ca un sistem de 4 ecuaţii cu 4 necunoscute B, H, E, J. În condiţii de frontieră corect formulate, sistemul acestor ecuaţii asigură unicitatea celor 4 necunoscute.

În plus, câmpul electromagnetic verifică legea fluxului magnetic:divB = 0 (8.8)

şi legea transformării puterii din forma electromagnetică în alte forme, prin conducţie:

JE p (8.9)

141

Observaţii. 1) Relaţia (8.2) rezultă prin neglijarea densităţii curentului de

deplasare t

Dîn legea circuitului magnetic. Este echivalent cu a considera că D

este constant în timp. Cum ED şi E este variabil în timp, rezultă că = 0. Deci D = 0. Din legea fluxului electric, rezultă că sarcina electrică este nulă.

2) Ţinând cont de observaţia anterioară şi de teorema conservării sarcinii electrice, rezultă că, în vecinătatea suprafeţelor, componenta normală a densităţii de curent se conservă. În particular, în vecinătatea corpurilor izolante, componenta normală a densităţii de curent este nulă.

8.2. Teoremă de unicitate

Pentru a dovedi că regimul cvasistaţionar este bine definit de ecuaţiile (8.1)(8.7), este necesar să dovedim că aceste ecuaţii asigură unicitatea soluţiei de câmp.

Condiţiile iniţiale (CI)Deoarece ecuaţiile (8.1) (8.7) descriu un proces evolutiv, este necesar să

avem informaţii privitoare la momentul începerii acestui proces. Deoarece în ecuaţia (8.1) apare derivata în raport cu timpul a inducţiei magnetice, la t = 0 trebuie cunoscută valoarea ei: it

BB 0

, iBB 0t

. Evident, se impune

divBi=0. Aplicând operatorul div relaţiei (8.1), rezultă că la orice moment este

verificată legea fluxului magnetic.

Condiţiile de frontieră(CF)Domeniul analizat este doar o subregiune a spaţiului în care avem câmp

electromagnetic. Interacţiunea dintre câmpul electromagnetic exterior domeniului şi cel interior acestui domeniu este pus în evidenţa de comportarea mărimilor câmpului pe frontiera . Se pot impune mai multe tipuri de condiţii de frontieră. Toate au proprietatea că, în cazul valorilor nule,

expresia de forma

dSnHE se anulează. Această expresie are natura

schimbului de putere de natură electromagnetică ce se produce pe frontieră. Condiţie de frontieră de tip electric. Cea mai simplă condiţie de frontieră,

pe care o întalnim cel mai frecvent în literatura de specialitate, este (Fig.8.1):() Pe o parte S’ a frontierei, se dă componenta tangenţială a lui H: H

t= f;

() Pe restul frontierei S'”=-S’, se dă componenta tangenţială a lui E: Et= g;

142

Observaţii. 1) Din punct de vedere tehnic, condiţia de frontieră (), sub formă omogenă (nulă) este realizată în vecinătatea corpurilor perfect conductoare magnetic ( ).

2) Condiţia () sub formă omogenă este realizată în vecinătatea corpurilor perfect conductoare.3) Deoarece, în condiţia (), intervine intensitatea câmpului electric, spunem că avem condiţie de frontiera de tip electric.

Condiţie de frontieră de tip magnetic. Un alt tip de condiţie de frontieră, asemănătoare cu cea de la câmpurile staţionare, este mult mai complicată, dar mai apropiată de realitatea tehnică. Condiţia respectivă poate fi numită condiţie de frontieră de tip magnetic, conţinând doar componente ale câmpului magnetic. În cazul simplu al domeniului simplu conex, aceste condiţii de frontieră sunt:

() Pe o parte S' a frontierei, se dă componenta tangenţială a lui H: Ht=h ;

() Pe restul frontierei S"= -S', se dau componentele normale a lui B: B

n= f şi a lui J: J

n= g

Dacă S' este formată din n suprafeţe disjuncte Si, atunci condiţiile de

frontieră se complică prin impunerea unor fluxuri magnetice sau a unor tensiuni magnetice (vezi Anexa A). Dacă este multiplu conex, cum ar fi în cazul unor spire perfect conductoare, atunci se impun alte condiţii de frontieră suplimentare privind curenţii sau fluxurile magnetice ale spirelor perfect conductoare (Anexa A). Observaţii. 1. La suprafaţa corpurilor supraconductoare, avem condiţia () omogenă: nB =0.2. Dacă S” se află într-un mediu izolant, atunci, evident, J

n= 0.

Condiţie de frontieră de tip element de circuit. Este o condiţie de frontieră care permite definirea domeniului ca un element de circuit. Condiţia de frontieră permite definirea bornelor, a tensiunilor şi curenţilor bornelor, a

Fig. 8.1. Domeniul

143

puterii transferate la borne (Cap.5). În regimul cvasistaţionar, elementul de circuit este de tip inductiv.

Teorema 1.1. Ecuaţiile (8.1) (8.7), împreună cu condiţiile de frontieră de (CF) şi condiţiile iniţiale (CI), definesc unic componentele (B, H, J) în domeniul şi componenta E în domeniul conductor c .

Demonstraţie. Vom prezenta demonstraţia pentru cazul simplu al condiţiilor de frontieră de tip electric, procedură care va fi utilă şi pentru altedemonstraţii. Celelalte condiţii de frontieră sunt tratate în Anexa A.

Presupunem că două câmpuri electromagnetice distincte îndeplinesc condiţiile enunţul teoremei şi fie (B

d, H

d, E

d, J

d) câmpul diferenţă. Acest câmp

verifică relaţiile (8.1), (8.2) şi are condiţii de frontieră şi condiţii iniţiale nule. Notăm:

t

dd0

EE (8.10)

Atunci, datorită condiţiilor iniţiale, legea inducţiei electromagnetice (8.1) devine:

drot BE (8.11)

Din condiţia de frontieră (), rezultă că, pe S”, Edt = 0, iar din condiţia (), 0dt H pe S’. Atunci:

dSd nHE =0 (8.12)

Mai avem:

dSd nHE =

dvrotd EH

dvrotE dH

Conform (8.11), (8.2) şi (8.12), rezultă:

dvdd BH +

dv

t

JE =0 (8.13)

unde am notat:

t

dd0

JJ (8.14)

Din relaţia (8.3), rezultă că J=E în domeniile conductoare c , în rest

fiind nulă. Atunci, (8.13) devine:

dvdd BH + c

dvdt

d 2

2

1E =0 (8.15)

După integrare în timp, avem:

144

t

dd dtdv0

BH + c

dv2

2

1E =0 (8.16)

Ţinând cont de (8.7), relaţia (8.15) devine:

t

d dtdv0

21B

+

c

dv2E2

1 =0 (8.17)

Membrul stâng al relaţiei (8.17) poate fi nul doar dacă dB şi, prin urmare,

dH sunt nule în , iar E şi, prin urmare, dE şi dJ sunt nule în c .

Observatii. 1) Din relaţia (8.16), rezultă că teorema de unicitate este valbilă şi pentru medii neliniare în care relaţia constitutivă )(BH F este coercitivă:

212121 ,0))()(()( BBBBBB FF (8.18)2) Intensitatea câmpului electric nu este unic determinată în domeniile

izolante, ci doar în cele conductoare.Din Teorema de unicitate rezultă că inducţia magnetică B poate fi

considerată mărime de stare în cazul câmpului electromagnetic cvasistationar: cunoasterea ei la timul t=0 defineste unic evoluţia câmpului electromagnetic.

8.3. Ecuaţiile de ordinul 2

Din sistemul (8.1)(8.7) putem obţine, prin substituţie, ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale, de ordin superior, dar conţinând o singură necunoscută. Astfel, din relaţiile (8.7) şi (8.1) rezultă:

trot

H

E1

(8.19)

Aplicând operatorul rot în relaţia de mai sus şi ţinând cont de relaţiile (8.2) şi (8.3), rezultă:

01

t

rotrotE

E

(8.20)

valabilă pentru mediile conductoare. Este convenabil să utilizăm ecuaţia (8.20)atunci când dorim să determinăm câmpul electromagnetic într-un domeniu care este în întregime conductor, iar condiţile de frontieră sunt impuse pentru

tE .

Ţinând cont de relaţia (8.3), relaţia (8.2) devine, pentru medii conductoare:

EH rot1

(8.21)

Aplicând operatorul rot şi ţinând cont de relaţiile (8.1), (8.7), rezultă:

145

0)1

(

t

rotrotH

H

(8.22)

Este convenabil să utilizăm ecuaţia (8.22) atunci când dorim să determinăm câmpul electromagnetic într-un domeniu care este în întregime conductor, iar condiţile de frontieră sunt impuse pentru tH .

Ecuaţiile (8.20 şi (8.22) sunt ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de tip parabolic, care descriu procese de difuzie a câmpului electromagnetic.

În cazul în care domeniul de calcul are medii conductoare şi medii izolante, ecuaţiile (8.20) şi (8.22) rămân valabile pentru mediile conductoare, în timp ce pentru mediile izolante sunt valabile ecuaţiile stabilite în cazul regimurilor staţionare. Pe suprafeţele de separare se pun condiţiile de conservare a diferitelor componente ale câmpului electromagnetic. În general, determinarea câmpului electromagnetic în regimul staţionar nu se poate face decât numeric, în aceasta direcţie îndreptându-se numeroase cercetări ale specialiştilor din ingineria electrică /2/.

Dacă mediul conductor este omogen .ct , .ct , atunci, din legea fluxului magnetic (8.5) rezultă: 0Hdiv . Din teorema lui Ampère (8.2) rezultă, prin aplicarea operatorului div: 0Jdiv . Ca urmare, în mediul conductor omogen, unde EJ , avem: 0Ediv . Relaţia (8.20) devine:

0

t

rotrotE

E (8.23)

şi cum Erotrot = )( Edivgrad - E =- E , rezultă ecuaţia:

E + 0

t

E (8.20’)

La fel, ecuaţia (8.22) devine:

0

t

HH (8.22’)

8.4. Regimul cvasistaţionar sinusoidal

În regimul sinusoidal, toate mărimile câmpului electromagnetic sunt funcţii sinusoidale de aceeasi pulsaţie. De exemplu, intensitatea câmpului electric este un vector care, într-un sistem de coordonate carteziene, are forma:

)()()()( t,z,y,xEt,z,y,xEt,z,y,xEt,z,y,x zyx kjiE (8.24)

unde cele 3 componente sunt funcţii sinusoidale de aceeasi pulsaţie:

)(2)()( z,y,xtsinz,y,xEt,z,y,xE xxx ef (8.25)

),,(2),,(),,,( zyxtsinzyxEtzyxE yyy ef (8.26)

146

)(2)()( z,y,xtsinz,y,xEt,z,y,xE zzz ef (8.27)

efxE , efyE ,

efzE şi x , y , z fiind valorile efective si, respectiv, fazele iniţiale

ale celor 3 componente. La fel ca în cazul regimului sinusoidal al circuitelor electrice, vom utiliza imagnile în complex ale componentelor sinusoidale. De exemplu, pentru componenta axei 0x avem:

),,(),,(),,(),,( zyxjsinzyxcoszyxEzyxE xxxx ef (8.28)

Ca urmare, imaginea în complex a vectorului initensităţii câmpului electric este:

),,(),,(),,(),,( zyxEzyxEzyxEzyx zyx kjiE (8.29)

Ţinând cont de faptul că operatoului de derivare t

are ca imagine în

complex înmulţirea cu j , ecuaţiile (8.1), (8.7) devin :

BE jrot (8.30)

JH rot (8.31)

EJ 0J (8.32)

HB (8.33)

Relaţiile (8.30) (8.33) pot fi privite ca un sistem de 4 ecuaţii cu 4 necunoscute B, H, E, J.

Prin aplicarea operatorului div în relaţia (8.30), se obţine imaginea în complex a relaţiei (8.8):

0BdivDeci, imaginea în complex a legii fluxului magnetic rezultă din forma în

complex a legii inducţiei electromagnetice (8.30). Asemănător cu puterile regimului sinusoidal al circuitelor electrice, este

util ca, pornind de la relaţia (8.9), să definim în fiecare punct densitatea de volum a puterii active, ce se transforma din forma electromagnetică în alte forme, prin conducţie:

T

a dtt,z,y,xpT

z,y,xp0

)(1

)( = T

dtt,z,y,xt,z,y,xT 0

)()(1

JE (8.34)

unde T este perioada: 2

T . Exprimând vectorii E şi J pe componente,

avem:

T

xxa dtt,z,y,xJt,z,y,xET

z,y,xp0

)()(1

)( + T

yy dtt,z,y,xJt,z,y,xET 0

)()(1

+

147

+ T

zz dttzyxJtzyxET 0

),,,(),,,(1 (8.35)

Ţinând cont de expresiile lui xE şi xJ :

)(2)()( z,y,xtsinz,y,xEt,z,y,xE xxx ef (8.36)

),,(2),,(),,,( zyxtsinzyxJtzyxJ xxx ef (8.37)

primul termen din membrul drept al relaţiei (8.35) se poate scrie:

T

xx dtJET 0

1= )( xxxx cosJE

efef (8.38)

Imaginile în complex ale lui xE şi xJ sunt:

),,(),,(cos),,(),,( zyxjsinzyxzyxEzyxE xxxx ef (8.38’)

),,(),,(cos),,(),,( zyxjsinzyxzyxJzyxJ xxxx ef (8.38")

Deci:

T

xx dtJET 0

1= )Re( *

xx JE (8.39)

unde *xJ este conjugatul lui xJ . Expresii asemănătoare se obţin pentru ultimii

�ermini din membrul drept al relaţiei (8.35):

T

yy dtJET 0

1= )Re( *

yy JE , T

zz dtJET 0

1= )Re( *

zz JE (8.40)

Rezultă că densitatea de volum a puterii active, ce se transformă din forma electromagnetică în alte forme, prin conducţie, mai poate fi obţinută cu relaţia:

)Re( *JE ap (8.41)

La fel ca în cazul circuitelor electrice, putem defini şi densitatea de volum a puterii complexe prin relaţia:

cp = *JE (8.42)

precum şi densitatea de volum a puterii reactive:

)Im(pr*JE (8.43)

În cazul unui mediu conductor linar, în care relaţia dintre E şi J este EJ , densitatea puterii complexe este egala cu densitatea de putere activa:

cp = 2Epa = 2J (8.44)

unde E este modulul (norma) lui E:

148

*EE E = 222

efefef zyx EEE = T

dtT 0

21E (8.45)

8.5. Teoremă de unicitate pentru regimul sinusoidal

Pentru a dovedi că regimul cvasistaţionar sinusoial este bine definit de ecuaţiile (8.30)(8.33), este necesar să dovedim că aceste ecuaţii asigură unicitatea soluţiei de câmp.

Spre deosebire de ecuaţiile (8.1)(8.7) ce descriu evoluţia în timp a câmpului electromagnetic cvasistaţionar, ecuaţiile (8.30)(8.33) nu descriu un proces evolutiv şi nu se pune problema definirii unor condiţii iniţiale pentru imaginile în complex ale mărimilor câmpului. În realitate, câmpul electromagnetic (originalul) este variabil în timp, dar dependenţa de timp este sinusoidală. Această condiţie este o restricţie cel puţin la fel de tare ca şi condiţia iniţială.

Condiţiile de frontieră (CF): sunt date de imaginile în complex ale condiţiilor de frontieră.

Teorema 1.2. Ecuaţiile (8.30)(8.33), împreună cu condiţiile de frontieră (CF), definesc unic componentele JHB ,, în domeniul şi componenta E în

domeniul conductor c .

Demonstraţie. Vezi Anexa A.

8.6. Ecuaţiile de ordinul 2, în regim sinusoidal

Imaginile în complex ale ecuaţiilor (8.20), (8.22) rezultă prin înlocuirea

derivatei t

cu înmulţirea cu factorul j :

01

EE

jrotrot (8.46)

0)1

( HH

jrotrot (8.47)

E + 02 E (8.46’)

H + 02 H (8.47’)

unde: )1( j (8.48)

şi: 2

(8.49)

149

8.7. Aplicaţii

8.7.1. Pătrunderea câmpului electromagnetic în semispaţiul conductor

Fie domeniul definit de semispaţiul conductor z>0, omogen şi linear, de conductivitate şi permeabilitate magnetică . La suprafaţa semispaţiului (z=0), intensitatea câmpului electric este:

)(2),,(),0,,( 0 tsinEtyxtyx p iEE (8.50)

deci constantă pe întreg peretele semispaţiului şi sinusoidală în timp. Ne propunem să determinăm câmpul electromagneic sinusoidal din semispaţiu, precum şi pierderile specifice prin curenţi turbionari. Folosind imaginile în complex, condiţia de frontiera (8.50) se scrie:

0)0,,( Eyx p iEE (8.51)

Admitem că, în întreg semispaţiul, intensitatea câmpului electric este orientată pe direcţia axei ox şi depinde doar de coordonata z:

)(),,( zEzyx iE (8.52)Este valabilă ecuaţia (8.46’):

02

2

2

Edz

Ed (8.53)

Fig. 8.2. Semispaţiu conductor

Soluţiile ecuaţiei caracteristice 022 s asociate ecuaţiei (8.53) are

soluţiile . Soluţia ecuaţiei (8.53) este de forma:zz

eBeAzE

)( (8.54)

Deoarece )1( j , cu 0 dat de relaţia (8.49), şi deoarece

0)(lim

zEz

, rezultă B=0. Din condiţia de frontieră (8.51) rezultă 0EA . Deci

soluţia ecuaţiei diferenţiale (8.53) este:z

eEzE 0)( = zjzeeE

0 (8.55)

150

În domeniul timp, expresia intensităţii câmpului electric rezultă din originalul expresiei (8.55):

)sin(2),( 0 zteEtzE z (8.56)

Graficul dependenţei intensităţii câmpului electric, raportată la valoarea

maximă 20max EE , în funcţie de distanţa z’=z este prezentat în Fig.8.3.

Este o sinusoidă rapid amortizată cu distanţa z. În tehnică, este deosebit de util să se definească adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic, ca distanţa z= la care valoarea efectivă a intensităţii câmpului electric:

zef eEE 0 (8.57)

scade de e ori. Ţinînd cont de (8.49), rezultă:

21

(8.58)

Fig. 8.3. Pătrunderea intensităţii câmpului electric

Observaţii:1. Evident, semispaţiul conductor nu poate exista în realitate. Acesta este însă un model deosebit de eficient pentru a aprecia pătrunderea câmpului electromagnetic în orice domenii mărginite de suprafeţe suficient de netede (Fig.8.4) în comparaţie cu adăncimea de pătrundere, dată de relaţia (8.58).

151

Fig. 8.4. Piesă oarecare

2. Impunerea condiţiei de frontieră prin componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric poate să rezulte prin impunerea tensiunii la bornele bobinei, în ipoteza că această are rezistenţă neglijabilă:

NL

UE 0 (8.59)

unde U este valoarea efectivă a tensiunii, N este numărul de spire al bobinei şi Leste lungimea unei spire.3. Un calcul asemănător se face atunci când pe frontieră se dă componenta tangneţială a intensităţii câmpului magnetic. Ea poate să rezulte prin impunerea curentului din bobină:

NIH 0 (8.60)

unde I este valoarea efectivă a curentului şi este înălţimea bobinei (perpendiculară pe planul fig. 8.4.).

8.7.2. Călirea superficială prin curenţi turbionari

Pierderile specifice prin curenţi turbionari (densitatea de volum a puterii active) rezultă din relaţia (8.44):

za eEp 22

0 =

z

eE2

20

(8.61)

Rezultă că putem utiliza câmpul electromagnetic pentru a încălzi un mediu conductor la suprafaţă. Putem astfel ridica temperatura zonei superficiale a unei piese până în zona austenitică şi în urma răcirii, putem obţine o suprafaţă dură, păstrând elasticitatea materialului în volumul piesei. Această procedură tehnologică se foloseşte des în industrie pentru călirea suprafeţelor pinioanelor, axelor etc. Adâncimea zonei călite este sugerată de relaţia (8.58).

152

8.7.3. Pierderi specifice în tolele feromagnetice

Foarte multe echipamente electrotehnice au părţi feromagnetice parcurse de fluxuri magnetice variabile în timp. Conform legii inducţiei electromagnetice, în aceste zone se induc tensiuni electrice şi, ca urmare, apar curenţi turbionari care conduc la apariţia unor piederi nedorite. O modalitate de a reduce aceste pierderi este folosirea tolelor pentru porţiunile parcurse de fluxuri magnetice variabile în timp.

Vom căuta soluţia sinusoidală a problemei de câmp electromagnetic. Fie tola infinit extinsă, de lăţime 2a, (Fig.8.5). Inducţia magnetică este orientată pe direcţia axei 0y, depinde doar de coordonata x: ),(),( txBtx jB .

Imaginea în complex a inducţiei magnetice este: )()( xBx jB . Presupunem cunoscut fluxul magnetic pe o înălţime de 1m în lungul axei oz:

)(2)( tsint ef (8.62)

cu imaginea în complex: = ef . Admitem că intensitatea câmpului electric

este orientată pe direcţia axei oz şi depinde, de asemenea, doar de coordonata x.

Referindu-ne la ipotezele ce le facem de multe ori înaintea rezolvării unei probleme de câmp electromagnetic, este util de observat că inginerul poate intui comportarea mărimilor câmpului, simplificându-şi astfel rezolvarea problemei. Dacă soluţia obţinută verifică ecuaţiile câmpului electromagnetic, atunci, conform teoremei de unicitate, ea este singura soluţie valabilă, deci ipotezele făcute sunt bune.

Fie curba închisă ABCDA, de formă dreptunghiulară, cu AB =1m, pe

care aplicăm forma în complex a legii inducţiei electromagnetice (8.22):

B

A

da lE )( + C

B

dx lE )( + D

C

da lE )( + A

D

dx lE )( = j (8.63)

Fig. 8.5. Tola feromagnetică

153

Ţinând cont de orientarea lui E, avem: 0)( lE dx pe BC şi AD, iar

dlaEda )()( lE , pe AB şi dlaEda )()( lE , pe CD. Putem admite că E(x) este funcţie impară de x şi ca urmare: E(-a)=-E(a). Ca urmare, din relaţia de mai sus rezultă:

efjaE )( (8.64)

Relaţia (8.64) este condiţia de frontieră pentru problema de câmp electromagnetic. Ecuaţia (8.46’) are forma:

02

2

2

Edx

Ed (8.65)

cu soluţiile ecuaţiei caracteristice . În acest caz, este mai convenabil să

scriem soluţia generală a ecuaţiei (8.65) sub forma: )xh(cB)x(shA)x(E .

Cum E(x) este funcţie impară, rămane: )()( xshAxE . Impunând condiţia de

frontieră (8.64), rezultă:

)(

)()(

ash

xshjxE ef

(8.66)

Densitatea de volum a pierderilor este:

)()(

)()(*

*

22*2

ashash

xshxshEEEp efa

(8.67)

Ţinând cont de relaţia: )()(2

1)()( yxchyxchyshxsh şi de

expresia coeficientului (8.48) şi (8.49), avem:

)2cos()2(

)2cos()2()( 22

aach

xxchxp efa

(8.68)

unde am folosit relaţia )cos()( xixch . În Fig. 8.6 sunt reprezentate pierderile în funcţie de coordonata x. pentru o tolă cu laţimea 2a=1mm, cu rezistivitatea

m

mm2

11

şi permeabilitatea magnetică relativă 2000r , la

frecvenţa de 50Hz. Se observă localizarea acestora la marginea tolei.Inducţia magnetică se obţine din legea inducţiei electromagnetice (8.22):

Bjdx

Ed

dx

EdxExErot jjikkkE )()( (8.69)

Deci, ţinând cont de (8.66), avem:

)(xB =)(

)(

ash

xchef

(8.70)

154

Fig. 8.6. Densitatea de volum a pierderilor Fig. 8.7. Valoarea efectivă a inducţiei magnetice

Valoarea efectivă a inducţiei magnetice este dată de:

)2cos()2(

)2cos()2(*2

aach

xxchBBB

(8.71)

În Fig.8.7. este reprezentat graficul valorii efective a inducţiei magnetice. Se vede uşor că, cel puţin în cazul valorilor numerice de mai sus, inducţia magnetică este practic constantă. Din acest motiv, este mult mai util să se exprime fluxul magnetic în funcţie de media valorii efective sau maxime a inducţiei magnetice:

efef Ba~

2 = max

~2 Ba (8.72)

Valoarea medie a pierderilor este:

)2cos()2(

)2sin()2(

2)(

1~22

0 aach

aash

adxxp

ap ef

a

a

(8.73)

Sau, folosind (8.72) şi notând a2 :

cos

sin~

2~2max

22

ch

shBap (8.74)

În cazul numeric de mai sus, argumentul funcţiilor din relaţia (8.74) are o valoarea 5,02 a . Ca urmare, o formă mai simplă a relaţiei (8.74) se obţine prin dezvoltarea în serie a funcţiilor din această relaţie:

...2

1...2

1

...31

...31

~2~

22

33

2max

22

!!

!!!!

Bap (8.75)

Deci:2max

22 ~3

2~ Bap (8.76)

155

8.8. Regimul cvasistaţionar periodic

În regimul periodic, mărimile câmpului sunt funcţii periodice de aceeaşi perioadă T.

Generatoare de curent continuu. Vom prezenta o proprietate interesantă din punct de vedere tehnic, pentru câmpul electromagnetic cvasistaţionar periodic. Definim, în domeniile conductoare, mărimea:

t

c d0

E E (8.77)

Din legea inducţiei electromagnetice avem:

crot E = )0()( BB t (8.78)

Deci, în regim periodic: 0)( Trot cE şi ca urmare, gradTc )(E . Din

teorema lui Ampère rezultă:

T

drot0

H = T

d0

J = )(E Tc = grad (8.79)

unde, la suprafaţa corpului conductor,

0

n

Jn

(8.80)

Rezultă:0)( graddiv (8.81)

şi ţinând cont de condiţia de frontieră (8.80), rezultă că grad =0. Deci:

00

T

dE şi T

d0

J = 0 (8.82)

Rezultă proprietatea: nu se poate produce curent continuu în regimul periodic, dacă mediul conductor este liniar. Pentru a produce curent continuu este necesar să utilizăm medii conductoare cu relaţie constitutivă E-Jdependentă de timp (este necesară comutaţia) sau cu relaţie constitutivă neliniară (comutaţie statică).

8.8.1. Analiza regimului periodic

Condiţia de periodicitate, împreună cu condiţiile de frontieră de tip magnetic, asigură unicitatea soluţiei sistemului de ecuaţii (8.1)(8.7) (Anexa A).

Analiza Fourier. Dacă mediile sunt liniare, atunci cea mai comodă procedură de analiză a câmpului electromagnetic periodic este descompunerea

156

soluţiei în serie Fourier şi determinarea fiercărei componente prin utilizarea imaginilor în complex. De exemplu, pentru o intensitate a câmpului electric periodică avem:

k

kzyx EEE EkjiE (8.83)

unde componentele lui kE pe cele trei axe sunt armonicele componentelor Ex,

Ey Ez,. Ecuaţiile (8.1)(8.7) rămân valabile şi pe componente, proprietate ce poate fi dovedită prin proiectare pe funcţiile )( tksin , )( tkcos .

Repetarea valorii mărimii de stare. O altă procedură de determinare a câmpului electromagnetic periodic, aplicabilă şi în cazul mediilor neliniare, este analiza în domeniul timp. Admiţând o valoare arbitrară pentru mărimea de stare B, se determină evoluţia în timp a câmpului electromagnetic, regimul periodic instalându-se atunci când mărimea de stare se repetă după o perioadă.

8.9. Regimul cvasistaţionar anamagnetic

Regimul cvasistaţionar anamagnetic al câmpului electromagnetic presupune neglijarea derivatei în timp a inducţiei magnetice. Legea inducţiei electromagnetice capătă forma din electrostatică:

0Erot (8.84)Rezultă:

gradVE (8.85)Forma locală a legi circuitului magnetic, pentru medii imobile este:

trot

D

JH (8.86)

La ecuatiile (8.84) şi (8.86) se adauga şi relaţiile constitutive privind componentele câmpului electromagnetic (E, J) şi (D, E).

Legea legăturii dintre inducţia electrică şi intensitatea câmpului electric este:

ED (8.87)Legea conductiei este:

EJ (8.88)Am presupus că mediile sunt liniare, izotrope, fără polarizaţie electrică şi

fără câmp imprimat. Putem privi relaţiile (8.84), (8.85), (8.87) şi (8.88) ca pe un sistem de 4

ecuaţii cu patru necunoscute: E, D, J, H.

Condiţii de frontieră (CF)

157

La ecuaţiile de mai sus trebuie adăugate condiţiile de frontieră. Acestea sunt de tipul celor de la câmpurile statice /1/:

(FR) (). Pe S’ se dă componenta tangenţială a lui fEE t: ;

() Pe restul frontierei S" = - S' se dă componenta normală a densităţii

curentului total: t

DJ n

n

= g;

Dacă S' este formată din n suprafeţe disjuncte Si, atunci condiţiile de

frontieră se complică prin impunerea unor fluxuri electrice sau a unor tensiuni electrice /1/.

Condiţiile iniţiale (CI)Deoarece în ecuaţia (8.87) apare derivata în timp a inducţiei electrice, este

necesar să se cunoască şi valoarea iniţială a acesteia: itDD

0.

Teorema 1.3. Sistemul relaţiilor (8.84), (8.86), (8.87) şi (8.88), cu condiţia iniţială (CI) şi cu condiţiile de frontiera (FR), definesc unic componentele (D, E, J) în domeniul . Demonstraţie. Vezi Anexa A.

Din Teorema de unicitate rezultă că inducţia electrică D poate fi considerată mărime de stare în cazul câmpului electromagnetic cvasistationar: cunoaşterea ei la timul t=0 defineşte unic evoluţia câmpului electromagnetic.Observaţii:

1. Dacă mediul este perfect izolant, atunci J = 0 si, din relaţia (8.86), rezultă:

0

tdiv

D (8.90)

şi deci:ctdiv D (în timp) (8.91)

Cunoscând valoarea lui ctdiv D la timpul iniţial, rezultă că problema de regim cvasistationar este, de fapt, o problemă de electrostatică.

2. Neglijarea derivatei în timp a inducţiei magnetice, care defineşte regimul cvasistationar, corespunde alegerii unei permeabilităţi magnetice nule, de unde rezultă denumirea de regim cvasistaţionar anamagnetic.

8.9.1. Ecuaţia potenţialului scalar

Înlocuind (8.85) în relatiile (8.87) şi (8.88), şi tinând cont de (8.86), rezultă:

158

t

gradVgradVrot

)(H (8.92)

Aplicând operatorul div, rezultă:

0)(

t

gradVdivgradVdiv

(8.93)

Condiţiile de frontieră pentru ecuaţia în V se obţin din (FR). Din conditia () şi din relatia (8.85) rezultă că pe suprafaţa S’ se dă potenţialul V:

P

P

dPVPV0

)()( 0 lf (8.94)

unde P şi 0P sunt puncte de pe S’, iar integrarea se face pe orice drum de pe S’.

Pe suprafeţele S” se dă o relaţie a derivatei pe direcţia normalei:

gtn

V

n

V

(8.95)

Elementul de circuit de tip capacitiv. Condiţiile de frontieră de tip element de circuit asigură unicitatea soluţiei sistemului de ecuaţii (8.84), (8.86), (8.87) şi (8.88). În regimul cvasistaţionar anamagnetic, elementul de circuit are caracter capacitiv.

8.9.2. Regimul sinusoidal

Dacă toate mărimile câmpului din regimul cvasistationar sunt funcţii sinusoidale de aceeaşi pulsaţie, putem folosi imagnile în complex şi, corespunzător relaţiilor (8.86)(8.89), obţinem:

VgradE (8.96)

SS

dSjdSd nDnJlH (8.97)

ED (8.98)

EJ (8.99)În relaţia D-E se poate lua permitivitatea complexă:

ir j (8.100)

prin care ţinem cont de pierderile in dielectric. În tehnică, pierderile în dielectric sunt descrise de:

r

itg

(8.101)

Ecuaţia potenţialului este:

159

0Vgraddiv (8.102)

unde conductivitatea complexă cuprinde şi pierderile prin conducţie:

ri j )( (8.103)

Condiţia iniţială, care apare la problema în domeniul timp, este înlocuită de condiţia ca mărimile să fie funcţii sinusoidale. Condiţiile de frontieră sunt date de imaginile în complex ale condiţiilor (CF).

Regimul cvasistaţionar anamagnetic este un model foarte util pentru analiza câmpului electromagnetic în medii izolante sau foarte slab conductoare, unde cei doi termeni din membrul drept al legii circuitului magnetic au ponderi apropiate.

În plus, valoarea totală a membrului drept este mult mai mică decăt în cazul regimului cvasistaţionar din corpurile conductoare, studiat la paragrafele anterioare. Rezultă o valoare mai mică pentru H şi, în cazul în care mediul are permeabilitatea magnetică a vidului, valoarea inducţiei magnetice este mică, putând fi neglijată.

Evident, admitem că viteza de variaţie în timp a câmpului electromagnetic este suficient de mică. Un criteriu utilizat pentru această viteză, în cazul regimului sinusoidal, este ca lungimea de undă a câmpului electromagnetic

0

1

fL să fie mai mare decât dimensiunile domeniului analizat.

În tehnică, regimul cvasistaţionar anamagnetic este utilizat cu succes la studiul încălzirii dielectricilor în medie frecvenţă şi la studiul străpungerii izolaţiilor.

160

Capitolul 9. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC GENERAL VARIABIL, ÎN MEDII IMOBILE

9.1. Ecuaţiile câmpului electromagnetic general variabil

Fie domeniul în care dorim să studiem câmpul electromagnetic.Legea inducţiei electromagnetice, în forma locală este:

trot

B

E (9.1)

Legea circuitului magnetic este:

trot

D

JH (9.2)

Legile (9.1) şi (9.2) sunt legi de evoluţie. La acestea se adaugă relaţiile constitutive. Legea legăturii dintre inducţia electrică D şi intensitatea câmpului electric E, pentru medii liniare, este:

ED (9.3)Legea legăturii dintre B şi H:

B=H 9.4)Legea conducţiei:

EJ (9.5)Putem privi ecuaţiile (9.1)(9.5) ca un sistem de 5 ecuaţii cu 5

necunoscute: B, H, D, E, J. În plus, câmpul electromagnetic verifică legea fluxului magnetic:

0Bdiv (9.6)legea fluxului electric:

vdiv D (9.7)

unde ρv este densitatea de volum a sarcinii electrice, şi legea transformării puterii din forma electromagnetică în alte forme, prin conducţie:

JE p (9.8)Spre deosebire de regimurile cuasistaţionare, ambele derivate în raport cu

timpul (t

Bdin legea inducţiei electromagnetice şi

tD

din legea circuitului

magnetic) sunt luate în considerare. Unele rezultate ale analizei regimului variabil pot fi particularizate pentru regimurile cvasistaţionare, făcând 0 sau

161

0 . Este motivul pentru care aceste rezultate vor fi deduse doar în aceastăparte.

Relaxarea densităţii de volum a sarcinii electrice în medii omogene electric. Fie un mediu în care .ct şi .ct Aplicăm operatorul div în relaţia (9.2), şi, ţinând cont de faptul că 0)( rotdiv , rezultă:

0)(

t

divdiv

DD

(9.10)

Luând în considerare şi legea fluxului electric (9.7), avem:

0

vv

t

(9.11)

Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale este:t

vv et

)0()( (9.12)

Această relaţie arată că, indiferent de evoluţia mărimilor câmpului electromagnetic, densitatea de volum a densităţii de volum a sarcinii electrice

tinde către 0. Constanta de timp a acestei “relaxări” este: . De exemplu,

în cazul cuprului, s19102 . Deci, densitatea de volum a sarcinii electrice se anulează aproape instantaneu.

9.2. Teoremă de unicitate

Pentru a dovedi că regimul variabil este bine definit de ecuaţiile (9.1)(9.5), este necesar să dovedim că aceste ecuaţii asigură unicitatea soluţiei de câmp.

Condiţiile iniţiale (CI)Deoarece ecuaţiile (9.1)(9.2) descriu un proces evolutiv, este necesar să

avem informaţii privitoare la momentul începerii acestui proces. Deoarece în ecuaţia (9.1) apare derivata în raport cu timpul a inducţiei magnetice, la t=0, trebuie cunoscută valoarea ei: it

BB 0

. Evident, se impune divBi = 0.

Aplicând operatorul div relaţiei (9.1), rezultă că la orice moment este verificatălegea fluxului magnetic. În ecuaţia (9.2) apare derivata în raport cu timpul a inducţiei electrice, deci, la t=0, trebuie cunoscută valoarea ei: it

DD 0

.

Condiţiile de frontieră (CF)Interacţiunea dintre câmpul electromagnetic exterior domeniului şi cel

interior acestui domeniu este pus în evidenţa de comportarea mărimilor

162

câmpului pe frontiera . Ca şi în cazul regimului cvasistaţionar, se urmăreşte

fluxul pe frontieră a expresiei

dSnHE , care se anulează în cazul

câmpului diferenţă. Vom vedea că aceasta expresie corespunde schimbului de putere de natură electromagnetică cu exteriorul, ce se produce pe frontieră.

În cazul câmpului diferenţă, acest schimb este nul. Cea mai simplăcondiţie de frontieră, pe care o întalnim cel mai frecvent în literatura de specialitate, este (Fig. 9.1):

() Pe o parte S’ a frontierei, se dă componenta tangenţială a lui H;() Pe restul frontierei S'”=-S’, se dă componenta tangenţială a lui E.O altă condiţie de frontieră, care defineşte elementele de circuit, va fi

analizată în Cap.7. Ea conduce tot la anularea expresiei

dSnHE .

Teorema 2.1. Ecuaţiile (9.1)(9.5), împreună cu condiţiile de frontieră de (CF) şi condiţiile iniţiale (CI), definesc unic valorile (B, H, D, E, J).

Demonstraţie. Presupunem că două câmpuri electromagnetice distincte îndeplinesc condiţiile enunţul teoremei şi fie ddddd JEDHB ,,,, câmpul

diferenţă. Acest câmp verifică relaţiile (9.1), (9.2) şi are condiţii de frontieră şi condiţii iniţiale nule. Demonstraţia urmează principiul demonstraţiei teoremei 1.1 din Cap.1. În locul integralei intensităţii câmpului electric diferenţă E, se foloseşte chiar dE . Din condiţia de frontieră (), rezultă că, pe S”, 0dtE , iar

din condiţia (), 0dtH pe S’. Atunci:

dSdd nHE = 0 (9.13)

Mai avem:

dSdd nHE =

dvrot dd EH

dvrot dd HE (9.14)

Conform (9.1), (9.2) şi (9.9), rezultă:

Fig. 9.1. Domeniul

163

dv

td

d

BH +

dv

td

d

DE +

c

dvdd JE =0 (9.15)

Unde c este domeniul ocupat de corpurile conductoare. Avem:

dv

td

d

DE =

dvt

dd

DD

1

=

dv

td

2

2

1 D

=

dvdt

d d

2

2

1 D(9.16)

şi, asemănător, pentru

dv

td

d

BH . Integrând în timp relaţia (9.15), şi ţinând

cont de condiţia iniţială, rezultă:

dtdvt

d

c

0

2E +

dvtd

2)(

2

1 D+

dvtd

2)(

2

1 B=0 (9.17)

Această egalitate poate avea loc doar dacă 0dD şi 0dB , iar din relatiile

(9.3), (9.4), (9.5) rezulta ca şi 0dE , 0dH , 0dJ în întreg domeniul .

Observaţie. Teorema de unicitate arată că inducţia magnetică B şi inducţia electrică D sunt mărimi de stare pentru câmpul electromagnetic în regim variabil. Cunoaşterea lor la t = 0, determină unic evoluţia câmpului.

9.3. Energia câmpului electromagnetic

În domeniul , în care avem câmp electromagnetic, energia acestuia (în ipoteza că există) se poate transforma în căldură, în lucru mecanic şi în alte forme de energie, în timp ce o parte din ea poate părăsi domeniul, prin frontiera sa , tot sub forma electromagnetică. Dacă mediile din sunt imobile, atunci nu apare lucru mecanic. Putem deci admite că avem doar două motive de scădere a energiei a câmpului electromagnetic: o parte se transformă în alte forme prin conducţie, iar altă parte părăseşte domeniul prin suprafaţa sa. Ţinând cont de legea transformării energiei din forma electromagnetică în alte forme, prin conducţie p = E J, avem:

0 dtPdWdvdt emJE (9.18)

unde dWm este variaţia energiei câmpului magnetic, iar dtP este energia

transferată prin frontiera domeniului. Împărţind prin dt, rezultă:

dvJE = Pdt

dWem (9.19)

Folosind legea circuitului magnetic, rezultă:

164

dvrotHE +

dv

t

DE = P

dt

dWem (9.20)

Folosind relaţia lui Stokes, putem scrie:

dSnHE =

dv)( HE =

dvrotEH

dvrotHE (9.21)

Înlocuind ultimul termen din membrul drept în relaţia (9.20), şi ţinând cont de legea inducţiei electromagnetice (9.1), avem:

dv

dt

BH +

dv

t

DE +

dSnHE = Pdt

dWem (9.22)

Conform relaţiei (9.15), avem:

dv

dt

BH =

dvdt

d

2

2Bşi

dv

t

DE =

dvdt

d

2

2D(9.23)

şi relaţia (9.22) devine:

dvdvdt

d

22

22 DB+

dSnHE = Pdt

dWem (9.24)

Privind formele pe care le au cei doi termeni din membrii relaţiei (9.24), intuim egalităţile:

dt

dWem =

dvdvdt

d

22

22 DB(9.25)

P =

dSnHE (9.26)

Evident, din egalarea unor sume, nu putem egala termenii sumelor. Dar în favoarea relaţiilor de mai sus, putem argumenta: Relaţia (9.25) egalează termenii care se referă la domeniul . Relaţia (9.26) egalează termenii care se referă la domeniul . Energia câmpului electromagnetic trebuie să fie funcţie de stare şi relaţia

(9.25) îndeplineste această restricţie.Admiţănd că la câmp electromagnetic nul (B=0, D=0), energia este nulă,

din relaţia (9.24) rezultă:

emW =

dv2

2B+

dv2

2D=

dv

2

HB+

dv

2

ED=

dv2

2H

+

dv2

2E

(9.27)

Putem spune că mW =

dv2

2Beste componenta magnetică a energiei

câmpului electromagnetic, deoarece o găsim şi la regimul staţionar al câmpului

165

magnetic. De asemenea eW =

dv2

2Deste componenta electrică, pe care o

găsim şi în electrostatică. Puterea de natură electromagnetică, transferată în exterior este dată de

relaţia (9.26). Ea reprezintă fluxul pe a vectorului:HES (9.28)

cunoscut în literatură sud numele de vectorul lui Poynting. Observaţii.

1. Doar întregul flux al vectorului Poynting pe suprafaţa închisă reprezinta transferul de putere prin această suprafaţă; nu putem afirma că, local, densitatea de putere ce se transferă prin suprafaţă este Sn.

2. Deşi relaţia (9.25) a fost demonstrată pentru câmpul electromagnetic în mediile liniare şi imobile, ea este valabilă chiar dacă în avem orice fel de mediu, în miscare etc. Într-adevăr, să presupunem că domeniul ar fi înconjurat de un alt domeniu ext (Fig.9.2) care conţine medii liniare şi imobile

şi este mărginit în exterior de un perete perfect conductor ( 0tE ).

Puterea de natură electromagnetică care părăseşte domeniul ext prin

frontiera sa este dată de relaţia (9.26):

extP =

dSextnHE (9.29)

şi o primeşte domeniul . Deci puterea electromagnetică care părăseşte domeniul este:

P =

dSextnHE =

dSnHE (9.30)

Fig. 9.2. Mediu oarecare în

166

adică chiar relaţia (9.26).Densitatea de volum a energiei câmpului electromagnetic. Admiţând că

energia este localizată volumic, cu densitatea emw , avem:

emW =

dvwem (9.31)

Comparând relaţiile (9.27) şi (9.31), rezultă:

emw =2

2B+

2

2D=

2

HB +

2

ED = 2

2H

+ 2

2E

(9.32)

cu componentele magnetică şi electrică:

mw =2

2B=

2

HB = 2

2H

şi ew =

2

2D=

2

ED = 2

2E

(9.33)

Cazul regimurilor cuasistaţionare. 1. În regimul cvasistaţionar, avem D=0 şi = 0 şi suntem nevoiţi să folosim ultima expresie din (9.32). Rezultă căenergia câmpului electromagnetic este dată doar de componenta sa magnetică.

2. În regimul cuasistaţionar anamagnetic avem B = 0 şi = 0. Folosind ultima expresie din (9.32), rezultă că energia câmpului electromagnetic este dată doar de componenta sa electrică.

9.4. Ecuaţiile de ordinul 2

Din sistemul (9.1)(9.5) putem obţine, prin substituţie, ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale, de ordin superior, dar conţinând o singură necunoscută. Astfel, din relaţiile (9.1) şi (9.4) rezultă:

trot

H

E1

(9.34)

Aplicând operatorul rot în relaţia de mai sus şi ţinând cont de relaţiile (9.2), (9.3) şi (9.5), rezultă:

01

2

2

tt

rotrotEE

E

(9.35)

Calitativ, soluţia ecuaţiei diferenţiale cu derivate parţiale (9.35) depinde de parametrii de material , , . Dacă 0 , adică mediul este izolant, ecuaţia (9.35) devine:

01

2

2

t

rotrotE

E

(9.36)

şi soluţia ei corespunde unei unde electromagnetice. Pentru valori suficient de mici ale lui , unda electromagnetică este amortizată. Dacă conductivitatea mediului este mare, atunci ultimul termen din membrul stang al ecuaţiei

167

(9.35) are o pondere mică şi soluţia ei corespunde difuziei câmpului electromagnetic.

Dacă mediul conductor este omogen .ct , .ct , .ct , densitatea de volum a sarcinii electrice tinde imediat spre 0. Din legea fluxului electric,rezultă: 0Ediv . Relaţia (9.16) devine:

02

2

tt

rotrotEE

E (9.37)

şi cum Erotrot = )( Edivgrad - E =- E , rezultă ecuaţia:

E +t

E +2

2

t E =0 (9.38)

În cazul mediilor izolante, ecuaţia (9.38) devine:

E +2

2

2

1

tc E

=0 (9.38’)

unde 1

c (este viteza luminii în mediul analizat).

9.5. Regimul sinusoidal

În regimul sinusoidal, toate mărimile câmpului electromagnetic sunt funcţii sinusoidale de aceeaşi pulsaţie. Ţinând cont de faptul că operatorul de

derivare t

are ca imagine în complex înmulţirea cu j , ecuaţiile (9.1)(9.5)

devin:BE jrot (9.39)

JH rot + Dj (9.40)

ED (9.41)

HB (9.42)

EJ (9.43)

Relaţiile (9.38) (9.43) pot fi privite ca un sistem de 5 ecuaţii cu 5 necunoscute JEDHB ,,,, .

Prin aplicarea operatorului div în relaţia (9.39), se obţine imaginea în complex a relaţiei (9.6):

0Bdiv (9.44)Legea fluxului electric este:

vdiv D (9.45)

168

Legea transformării energiei din forma electromagnetică în alte forme, prin conducţie capătă forma propusă în Cap.3, par.3.5. Densitatea de volum a puterii active este:

)Re( *JE ap (9.46)

iar a puterii complexe este:

cp = *JE (9.47)

În cazul unui mediu conductor linar, în care relaţia dintre E şi J este EJ , densitatea puterii complexe este egală cu densitatea de putere activă:

cp = 2Epa = 2J (9.48)

9.5.1. Ecuaţiile de ordinul 2

Din ecuaţiile (9.38)(9.42), se poate obţine, prin substituţie, imaginea în complex a ecuaţiei (9.34):

EE

jrotrot

1E 2 =0 (9.49)

Pentru medii omogene, rezultă imaginile în complex ale ecuaţiilor (9.38) şi (9.38’):

E + E2 E2

2

c

=0 (9.50)

E E2

2

c

=0 (9.50’)

unde notaţia a fost propusă în Cap.3, par.3.5: )1( j cu 2

9.5.2. Teoremă de unicitate pentru regimul sinusoidal

Pentru a dovedi că regimul sinusoial este bine definit de ecuaţiile (9.38)(9.42), este necesar să dovedim că aceste ecuaţii asigură unicitatea soluţiei de câmp.

Spre deosebire de ecuaţiile (9.1)(9.5) ce descriau evoluţia în timp a câmpului electromagnetic cvasistaţionar, ecuaţiile (9.39)(9.43) nu descriu un proces evolutiv şi nu se pune problema definirii unor condiţii iniţiale pentru imaginile în complex ale mărimilor câmpului. În realitate, câmpul electromagnetic (originalul) este variabil în timp, dar dependenţa de timp este

169

sinusoidală. Această condiţie este o restricţie cel puţin la fel de tare ca şi condiţia iniţială.

Condiţiile de frontieră (CF): sunt date de imaginile în complex ale condiţiilor de frontieră.

Teorema 2.2. Ecuaţiile (9.39)(9.43), împreună cu condiţiile de frontieră(CF), definesc unic componentele EDHB ,,, în domeniul conductor c .

Demonstraţie. Presupunem că două câmpuri electromagnetice distincte îndeplinesc condiţiile enunţul teoremei şi fie ddddd JEDHB ,,,, câmpul

diferenţă. Acest câmp verifică relaţiile (9.39), (9.40) şi are condiţii de frontierănule. Din condiţiile de frontieră rezultă:

dSdd nHE * =0 (9.51)

Aplicând formula lui Gauss, avem:

0 =

dSdd nHE * =

dvrot dd EH*

dvrot dd*HE (9.52)

şi ţinând cont de relaţiile (9.39), (9.40), avem:

dvj dd BH*

dvj dd ED* +

dvdd*JE =0 (9.53)

Din legea conducţiei (9.43) rezultă că **dd EJ în mediile conductoare, c , şi

0* dJ în medii izolante, 0 . Folosind şi relaţiile constitutive (9.41), (9.42),

relaţia (9.53) devine:

dvEdvHj dd22 +

c

dvEd2 =0 (9.54)

Anulând partea reală a relaţiei (9.54) rezultă că 0dE în c . Din relaţiile

constitutive (9.41) şi (9.43) rezultă 0dJ şi 0dD . Apoi, din relaţiile (9.39)

şi (9.42), rezultă 0dB şi 0dH în c .

Observaţie. Teorema de unicitate nu reuşeşte să afirme unicitatea câmpului electromagnetic în domniile izolante. Dacă întreg domeniul este izolant, atunci rămane doar primul termen din relaţia (9.54). El arată că poate exista câmp electromagnetic sinusoidal, chiar dacă condiţiile de frontieră sunt nule. Este cazul cavităţilor rezonante.

9.6. Pierderile specifice într-un ciclu de histerezis (Warburg)

Să presupunem că în domeniul avem un mediu imobil, cu histerezis şi câmpul electromagnetic este periodic în timp. Conform relaţiei (9.26), puterea primită de domeniul din exterior, prin frontiera sa este:

170

P =

dSnHE (9.55)

Expresia (9.55) este valabilă indiferent de mediul care se află în . Din relaţia lui Stokes rezultă:

P =

dv)( HE =

dvrotEH +

dvrotHE (9.56)

Ţinând cont de legea inducţiei electromagnetice şi de legea circuitului magnetic, (9.2), avem:

P =

dv

t

BH +

dv

t

DE +

dvJE (9.57)

Puterea transmisă domeniului de-a lungul unei perioade T este:

T

dtPW0

=

T

dtdvt0

BH +

T

dtdvt0

DE +

T

dvdt0

JE (9.58)

Ultimul termen din membrul drept al relaţiei (9.58) reprezintă energia electromagnetică ce se transformă în alte forme, prin conducţie. Primii doi termeni se mai pot scrie:

HW

dvd

ciclu

BH +

dvd

ciclu

DE (9.59)

Relaţia (9.59) conţine două componente, magnetică şi electrică:

mHW

T

dtdvt0

BH =

dvd

ciclu

BH (9.60)

eHW

T

dtdvt0

DE =

dvd

ciclu

DE (9.61)

Integrala ciclu

dBH se face în spaţiul zyx BBoB (Fig. 9.3), pe curba ce

descrie ciclul, în fiecare punct al curbei având o valoare pentru H. Asemănător,

integrala ciclu

dDE se face în spaţiul zyx DDoD .

Energia dată de relaţia (9.58) nu se transformă în lucru mecanic, deoarece mediile sunt imobile. Admiţând, cu uşurinţă, că mediul rămâne neschimbat (nu au loc transformări chimice sau atomice) şi ţinând cont că, după o perioadă, mărimile câmpului electromagnetic se repetă, rezultă că energia dată de expresia (9.58) se transformă în căldură.

În cazul mediilor liniare, această energie este nulă. Într-adevăr, să luăm, de exemplu, cazul câmpului magnetic.

171

Avem BH1

şi deci t

BH =

2

2B

t.

Rezultă

T

dtt0

BH =

2

)0(

2

)( 22 BB

T=0, datorită periodicităţii. Mai mult, chiar

şi în cazul mediilor neliniare, în care este relaţia constitutivă H-B are forma

algebrică H=F(B) şi sunt valabile relaţiile de reciprocitate x

y

y

x

B

H

B

H

,

y

z

z

y

B

H

B

H

,

z

x

x

z

B

H

B

H

, integrala ciclu

dBH este nulă, sau, altfel spus,

integrala 2

1

B

B

BH d nu depinde de drum, BH d fiind diferenţială totală exactă.

Este cazul în care se poate defini densitatea de volum a energiei câmpului magnetic, în regimul staţionar. Integrala din expresia (9.59) poate avea valori nenule în cazul în care nu există relaţia algebrică H-B, adică în cazul mediilor cu histerezis.

Semnificaţia integralei ciclu

dBH se poate obţine uşor în cazul în care B şi

H sunt paraleli, ciclul de histerezis putând fi desenat în plan (Fig. 9.4). Putem scrie:

ciclu

dBH =

dBH +

dBH +

dBH +

dBH (9.62)

Avem:

Pe : 0H , 0dB şi rezultă

dBH = aS ;

Pe : 0H , 0dB şi rezultă

dBH = bS ;

Fig. 9.3. Spaţiul lui B

172

Pe : 0H , 0dB şi rezultă

dBH = bS ;

Pe : 0H , 0dB şi rezultă

dBH = aS

Rezultă că semnificaţia integralei (9.61) este aria ciclului de histerezis. De aici rezultă că orice ciclu de histerezis poate fi parcurs doar în sensul în care aria sa este pozitivă, altminteri mediul s-ar răci, dând energie electromagnetică în exterior şi putem realiza un perpetuum mobile de speţa a doua.

Putem admite că energia transformată în căldură, exprimată de relaţiile (9.58), (9.59), (9.60) este localizată volumic, cu densitătile: Hw ,

mHw , eHw .

Atunci, de exemplu:

mHW

dvwmH

şi prin comparare cu (9.59) rezultă:

mHw = ciclu

dBH (9.63)

La fel:

eHw = ciclu

dDE (9.64)

Hw =mHw +

eHw = ciclu

dBH + ciclu

dDE (9.65)

În regimul periodic, ciclul este parcurs de f ori pe secundă, unde f este frecvenţa. Rezultă că pierderile specifice prin histerezis (densitatea de volum a pierderilor) sunt:

mHp = ciclu

df BH (9.66)

eHw = ciclu

df DE (9.67)

Fig. 9.4. Ciclu de histerezis

173

Pierderile specifice sunt cu atât mai mici, cu cât aria ciclului de histerezis este mai mică. Această proprietate este urmărită, în cazul câmpului magnetic, la mediile feromagnetice moi, unde dorim să avem pierderi cât mai mici. În alte cazuri, dorim să avem pierderi mari, realizând astfel încălzirea mediului în volumul său. Este cazul dielectricilor, unde mărirea pierderilor se face prin creşterea frecvenţei (cuptoare de microunde, sau încălzire în radiofrecvenţă).

9.7. Puteri transferate printr-o suprafaţă închisă, în regim sinusoidal

Asemănător densităţii de putere active: )Re( *JE ap , este util să

definim puterea activă ce se transferă prin frontiera în exteriorul domeniului :

aP =

T

dtPT 0

1=

T

dtdST 0

1nHE (9.68)

Sacă scriem produsul vectorial HE pe componente şi scriem media pe o perioadă a fiecărei componente, deducem cu usurinţă că mai putem scrie (ca şi în (9.46)):

aP =

dSnHE *Re (9.69)

Ca şi în (9.49) notăm:

cP =

dSnHE * (9.70)

si numim această mărime “putere complexă transferată prin frontiera , în exteriorul domeniului ”. De asemenea, numim “vectorul Poynting complex” mărimea:

S = *HE (9.71)

Mai putem defini şi puterea reactivă transferată prin frontiera :

rP =

dSnHE *Im (9.72)

Pentru a comenta mărimea PC, să prelucrăm puterea complexă ce intră prin suprafaţa , în interiorul domeniului , obţinem:

cP =

dvEdvHj 22 + c

dvE 2 (9.73)

Egalând părţile reală şi imaginară din relaţia (9.61), rezultă:

174

aP =

c

dvE 2 (9.74)

rP =

dvEdvHf 222 (9.75)

Relaţia (9.74) arată că puterea activă ce intră prin suprafaţa se consumă doar pentru a acoperi pierderile prin conducţie. Relaţia (9.75) oferă o interpretare pentru puterea reactivă ce intră prin suprafaţa : diferenţa dintre energiile medii ale câmpului magnetic şi electric, pe o perioadă, înmulţite cu constanta 2 .

Pierderile prin histerezis în regim sinusoidal. În par.9.6, am arătat căpierderile specifice prin histerezis electric, în cazul regimului sinusoidal, rezultădin teorema lui Warburg (9.67) şi pot fi scrise:

T

H dttT

pe

0

1 DE = *)( DE jRe (9.76)

Pentru valori nenule ale lui eHp , relaţia ED trebuie să fie liniară

(păstrarea regimului sinusoidal) şi permitivitatea dielectricului trebuie să fie complexă:

ir j (9.77)

Relaţia (9.76) conduce la:

eHp = 2Ei = 22 Ef i (9.78)

Asemănător, pentru histerezisul magnetic, avem (9.66):

T

H dttT

pm

0

1 BH = *)( BH jRe = BH jRe * (9.79)

Relaţia HB este liniară şi permeabilitatea magnetică trebuie să fie complexă:

ir j (9.80)

Relaţia (9.79) conduce la:

mHp = 2Hi = 22 Hf i (9.81)

În cazul pierderilor prin histerzis, puterea complexă ce intră prin suprafaţa este:

cP =

dvdvj dddd EDBH ** +

dvdd*JE (9.82)

Înlocuind relaţiile HB şi ED în relaţia de mai sus, obţinem:

175

cP =

dvEdvHj rr22 +

dvEdvH ii22 +

c

dvE 2 (9.83)

Deci avem:

aP =

dvEdvH ii22 +

c

dvE 2 (9.84)

Relaţia (9.84) arată că puterea activă ce intră în domeniul prin suprafaţa , acoperă pierderile prin conducţie şi prin histerezis.

Este util să observăm că dacă B şi H ar fi orientaţi tot timpul pe o direcţie fixă, atunci dependenţa lor sinusoidală în timp reprezintă chiar ecuaţia parametrică a unei elipse. Rezultă deci că singura posibilitate de a pune în evidenţă ciclul de histerezis, păstrând regimul sinusoidal, este să impunem forma de elipsă pentru ciclul de histerezis. Evident, aria elipsei trebuie să fie egală cu aria ciclului de histerezis.

9.8. Forţe în câmp electromagnetic

9.8.1. Densitatea de volum a forţelor de natură magnetică

Pentru a determina densitatea de voluma forţelor emf de natură

electromagnetică, în interiorul domeniului , lăsăm mediile să se deplaseze în cu un câmp de viteze v arbitrar, dar păstrând frontiera imobilă. Densitatea de volum a lucrului mecanic consumat la o mică deplasare rd este rf dem , iar

densitatea de volum a puterii mecanice este Mp vf em . Dacă exprimăm lucrul

mecanic consumat (sau puterea mecanică) în funcţie de marimi electromagnetice şi viteză, rezultă expresia forţei emf (Anexa B):

emf = BJ - gradH 2

2

1+

d

dHgrad 2

2

1

+ vE v - gradE 2

2

1+

d

dEgrad 2

2

1+

t BD

(9.85)

unde este densitatea de masă, iar

d

dşi

d

dreprezintă dependenţa

parametrilor magnetici şi dielectrici în funcţie de densitatea de masă. Dacăaceastă dependenţă este nulă, densitatea de volum a forţelor de naturăelectromagnetică este:

emf = BJ - gradH 2

2

1+ Ev - gradE 2

2

1+

t BD

(9.86)

176

În relaţia (9.85) putem distinge termenii:

mf = BJ - gradH 2

2

1+

d

dHgrad 2

2

1 (9.87)

ef = vE v - gradE 2

2

1+

d

dEgrad 2

2

1 (9.88)

empf =

t BD

(9.89)

Componenta dată de relaţia (9.87) reprezintă densitatea de volum a forţei de natură magnetică. Primul termen reprezintă densitatea de volum a forţei Laplace care apare asupra mediilor parcurse de curenţi electrici şi aflate în câmp magnetic. Al doilea termen reprezintă forţa de natură magnetică ce apare înzonele în care se modifică permeabilitatea magnetică. De exemplu, forţa ce se exercită asupra rotorului unei maşini electrice nu se localizează pe conductorul parcurs de curent, deoarece crestătura este aproape ecranată magnetic. Ea se localizează la suprafaţa dintelui, unde apare o variaţie mare de permeabilitate magnetică. Al treilea termen din relaţia (9.87) are natura unei forţe piezomagnetice, în forma cea mai simplă.

Componenta dată de relaţia (9.88) reprezintă densitatea de volum a forţei de natură electrică. Primul termen reprezintă densitatea de volum a forţei coulombiene care apare asupra mediilor cu sarcină electrică şi aflate în câmp electric. Al doilea termen reprezintă forţa de natură electrică ce apare în zonele în care se modifică permitivitatea dielectricului. Al treilea termen din relaţia (9.86) are natura unei forţe piezoelectrice, în forma cea mai simplă.

Componenta dată de relaţia (9.89) are natura derivatei unui impuls: BDp em , numit impulsul câmpului electromagnetic. Această forţă poate

apare asupra unei suprafeţe conductoare introduse în faţa unei unde electromagnetice. Impulsul câmpului electromagnetic are o valoare de 2c ori mai mică decât vectorul Poynting, unde c este viteza luminii. În vid, de exemplu, este de cca. 1710 ori mai mic. La valorile normale ale intensităţilor câmpului electric şi magnetic şi la toate frecvenţele întâlnite în tehnică, forţa datorată impulsului electromagnetic este neglijabilă.

Observaţie. În regimul staţionar al câmpului magnetic şi în regimul cvasistaţionar, avem doar componenta magnetică mf . În electrostatică şi în

regimul cvasistaţionar anamagnetic, avem doar componenta electrica ef .

Componenta datorată impulsului câmpului electromagnetic apare doar în regimul variabil.

177

9.8.2. Tensorul tensiunilor lui Maxwell

Forţa globală de natură electromagnetică, ce se exercită asupra domeniului este dată de fluxul tensorului lui Maxwell definit prin relaţia:

2

1;THB

HB +

2

1ED

ED; (9.90)

pe frontiera domeniului, :

dSTem nF (9.91)

În relaţia (9.90), 1 este tensorul unitate, iar ";" este produsul diadic, cu proprietatea:

B)H(n=H)(Bn ;Demonstraţie.

a) Avem:

1F =

dS2

)(HB

nHBn =

dvdivBH +

+

dvHB )( -

dvHgrad 2

2

1 (9.92)

unde săgeata indică mărimea pe care se aplică operatorul . Menţionăm că la trecerea de la integrala de suprafaţă, la integrala de volum, normala n se înlocuieste cu operatorul . Ţinem cont de legea fluxului magnetic divB=0, de legea circuitului magnetic şi de următoarele relaţii (vezi dublul produs vectorial):

dvHB )( = dv

)( HB + dv)(

HB

= dv

JB

dv

t

DB + dv)(

HB (9.93)

şi:2

2

1Hgrad = 2

2

1gradH + gradH 2

2

1=

)( HHgrad + gradH 2

2

1(9.94)

pe care le înlocuim în (9.92) şi obţinem:

1F = dv

BJ +

dvt

BD

- dvgradH

2

2

1(9.95)

b) Asemănător, avem:

178

2F =

dS2

)(ED

nEDn =

dvdivDE +

dvED )( -

dvEgrad 2

2

1

(9.96)Ţinem cont de legea fluxului electric vdivD , de legea inducţiei

electromagnetice şi de următoarele relaţii:

dvED )( = dv

)( ED + dv)(

ED =

dv

t

BD + dv)(

ED

(9.97)şi:

dvEgrad 2

2

1 = 2

2

1gradE + gradE 2

2

1=

)( EEgrad + gradE 2

2

1

(9.98)pe care le înlocuim în (9.96) şi obţinem:

2F =

dvvE +

dv

t

BD - gradE 2

2

1(9.99)

c) Ţinând cont de relaţiile (9.95) şi (9.96), forţa globală de naturăelectromagnetică este:

emF = 1F + 2F = dv

BJ - dvgradH

2

2

1+

dvvE

-

dvgradE 2

2

1+

dvt

BD

+

dv

t

BD (9.100)

Aceeaşi relaţie se obţine şi prin integrarea densităţii de forţă dată de (9.86), pe domeniul .

În relaţia (9.71) putem distinge termenii:

2

1;THB

HBm (9.101)

2

1ED

ED;T e (9.102)

Relaţia (9.100) exprimă tensorul tensiunilor magnetice, iar (9.102), pe

cel al tensiunilor electrice. Cu excepţia termenilor

dvt

BD

şi

dv

t

BD ,

care sunt neglijabili, aceşti tensori dau chiar forţele de natură magnetică şi electrică ce rezultă din integrarea relaţiilor (9.87), (9.88). În regimul staţionar al câmpului magnetic şi în regimul cvasistaţionar, avem doar componenta

179

magnetica mT . În electrostatică şi în regimul cvasistaţionar anamagnetic, avem

doar componenta electrica eT . Cuplul de natură electromagnetică Cem ce se exercită asupra domeniului

poate fi calculat cu:

D

dST emem nrC (9.103)

unde r este vectorul de poziţie al punctului de integrare, în raport cu punctul în care se calculează cuplul. În cazul cuplului putem distinge cele douăcomponente: magnetică şi electrică.Observaţii.

1. Formulele (9.91) şi (9.103) sunt valabile şi dacă în interiorul domeniului se află un mediu arbitrar (de exemplu, un mediu cu histerezis). Demonstraţia se face în maniera folosită cu privire la fluxul vectorului Poynting. Problema grea este însă calculul câmpului electromagnetic.

2. Dacă dorim să punem în evidenţă şi componentele forţelor de naturăpiezoelectrică şi piezomagnetică, adăugăm la tensorul lui Maxwell componenta:

d

dH 2

2

11 +

d

dE 2

2

11

9.9. Elemente de circuit

Pentru analiza şi sinteza circuitelor electrice este esenţial să fie cunoscute caracteristicile u-i ale elementelor de circuit care intră în componenţa acestor circuite Din păcate, teoria circuitelor operează cu o mulţime destul de săracă de elemente de circuit ideale: rezistoare liniare, rezistoare neliniare, bobine, condensatoare, etc. Acestea au caracteristici u-i ideale care, în realitate, pot fi obţinute doar pentru anumite restricţii de comportare în timp a curenţilor şi tensiunilor bornelor.

Vom da în continuare 2 exemple simple. Bobina reală prezentată în Fig.9.5 are o anumită rezistenţă în curent continuu. În regim sinusoidal apare efectul inductiv la frecvenţe joase şi medii, ca apoi, la înaltă frecvenţă, sădevină important efectul capacitiv între spirele bobinei. Ipoteze mult simplificatoare sunt făcute pentru a evalua valorile unor condensatoare plasate între spire. Totodată componentele rezistive şi inductive se modifică cu frecvenţa, deoarece se modifică repartiţia câmpului electromagnetic. În domeniul timp, răspunsul la excitaţie de tensiune (admitanţă operaţională) include comportarea bobinei reale la întreg spectrul de frecvenţe, mai ales dacăvalorile tensiunilor şi curenţilor au variaţii rapide. Lucrurile se complică mult dacă bobina are şi un miez feromagnetic. Determinarea caracteristicii reale u-i

180

necesită rezolvarea unei complicate probleme de câmp electromagnetic în regim variabil sau sinusoidal.

Al doilea exemplu simplu, este prezentat în Fig.9.6, poate fi o structură de microunde. Justificarea comportării acestor structuri se face admiţând existenţa unui circuit echivalent în care elementele de circuit se calculează cu mari aproximaţii.

Fig. 9.5. Bobină cu efecte capactitive între spire Fig. 9.6. Linie microstrip

De exemplu, porţiunile AB şi EF sunt considerate linii microstrip quasi-TEM (infinit lungi), iar pentru porţiunea BCDE se adaugă capacitatea C' obţinută cu multe ipoteze simplificatoare. De multe ori se alege calea măsurătorilor şi se modifică intuitiv dimensiunile structurii până la obţinerea comportării dorite. Sau, tot cu ajutorul măsurătorilor, se determină parametrii elementelor dintr-o schemă echivalentă, definitã intuitiv. Oricum, rezultatele sunt valabile într-o mică plajă de frecvenţe. În realitate structura prezentată este sediul unei complicate repartiţii de câmp electromagnetic şi obţinerea caracteristicii u-i pentru această structură necesită rezolvarea problemei de câmp. Frecvenţele de rezonanţă necesită de asemenea rezolvarea unei complicate probleme de valori proprii.

Este evident că în afara elementelor uzuale de circuit, se mai poate imagina o uriaşă varietate de noi elemente de circuit (cu efect de câmp), având posibilitatea plasării diferitelor medii, cu diferite geometrii, în interiorul structurii.

Cu 30 de ani în urmă, R. Răduleţ, Al. Timotin şi A. Ţugulea au definit elementul electromagnetic de circuit ca o structură în care condiţiile de frontierăale câmpului electromagnetic permit definirea bornelor, a curenţilor şi tensiunilor bornelor. Pentru elementul electromagnetic de circuit sunt valabile teorema I a lui Kirchhoff şi teorema transferului puterii la borne. Elementele electromagnetice de circuit pot fi conectate pentru a obţine noi elemente de circuit sau circuite electrice. Trebuiesc adăugate condiţiile de circulaţie a intensitãţii câmpului electric pe buclele ce apar prin conectare (teorema a II-a a lui Kirchhoff). Din lucrare rezultă necesitatea înlocuirii curentului electric cu curentul total în teoria circuitelor. Lucrarea a avut şi are încă o valoare

181

extraordinară, fiind încă unică în lume. Ea constituie o lucrare de referinţă care revoluţionează teoria circuitelor electrice. Ele apar ca structuri de câmp.

Din păcate, determinarea caracteristicii u-i necesită rezolvarea unei probleme de câmp foarte complicate: configuraţii 3-D, regim variabil, medii neomogene, condiţii de frontieră specifice elementelor de circuit, diferite de condiţiile de frontieră impuse în problemele de câmp obişnuite.

Fie o structura de medii mărginită de suprafaţa care au proprietăţile (Fig.9.7):

() există n+1 suprafeţe kS , numite borne, unde componenta tangenţială a

lui E este nulă:1,...,2,1,0 nkSpe kt E ;

borna n+1 se mai numeste şi bornă de masă. () pe orice curbă inchisă circulaţia lui E este nulă:

0lE d

() componenta normală a lui rotH este nulă în afara suprafeţelor kS :

k

n

kSSperot

1

100

Hn

Observaţii. 1) Din condiţia () rezultă că putem defini potenţialul electric V pe astfel încât pe :

tt gradVE

Fig. 9.7. Structura de medii mărginită de suprafaţa 2) Din condiţia () rezultă că bornele au potenţiale constante. Dacă

alegem pentru masă potenţialul nul, atunci potenţialele bornelor sunt egale cu tensiunile lor faţă de masă.

182

3) Din condiţia () şi din legea circuitului magnetic rezultă că pe 0S

componenta normală a densităţii totale de curent este nulă:

0

t

DJn

4) Curentul total traversează doar bornele :

kk SS

dSt

dikT n

DJlH

(9.104)

În domeniul sunt valabile ecuaţiile (9.1)(9.5) câmpului electromagnetic:

Consecinţe. I. Prima teoremă a lui Kirchhoff: suma curenţilor totali ai bornelor este nulă.

Demonstraţie. Deoarece 0Hrotdiv , din formula lui Gauss rezultă:

dSrot nH = 0 (9.105)

Ţinand cont de condiţia () şi de observaţiile 3) si 4), rezultă:

1

1

n

kTk

i = 0 (9.106)

Se observă că a prima teoremă a lui Kirchhoff este verificată de curenţii totali, nu de curenţii de conducţie. Această formă poate include şi curenţii

hertzieni k

k

S

H dSt

i nD

, care sunt importanţi atunci când suprafaţa kS trece

prin dielectricul unui condensator. Forma primei teoreme a lui Kirchhoff, cunoscută în teoria circuitelor, este valabilă atunci când curentul hertzian este nul. Aşa cum am arătat la începutul primei părţi, în cazul corpurilor conductoare, curentul hertzian este neglijabil faţă de cel de conducţie

kS

k dSi nJ şi prima teoremă a lui Kirchhoff poate fi scrisă doar pentru aceşti

curenţi:

1n

1kki = 0

II. Teorema puterii transferate la borne: puterea cedată la borne este:

n

kiuP

kTk

1 (9.107)

Demonstraţie. Puterea transferată prin frontiera , în afara elementului de circuit este dată de fluxul vectorului Poynting:

183

P =

dSnHE (9.108)

Ţinând cont de observaţia 1), relaţia de mai sus devine:

P =

dSgradV nH (9.109)

Deoarece HV = HVrot + HgradV şi deoarece integrala pe o suprafaţă închisă a unui rotor este nulă, relaţia de mai sus devine:

P =

dSVrot nH =

1

1

n

k S

k

k

dSrotV nH (9.110)

suprafeţele kS fiind echipotenţiale. Ţinand cont de observaţia 4) şi de prima teoremă a lui Kirchhoff (9.106), avem:

P =

dSVrot nH =

1

1

n

kTk k

iV =

n

kTnk k

iVV1

1 =

n

kiu

kTk

1 (9.111)

Se observă că teorema puterii transferată la borne este verificată şi ea tot de curenţii totali, nu de curenţii de conducţie. În cazul corpurilor conductoare, când curentul hertzian este neglijabil faţă de cel de conducţie teorema puterii transferată la borne capătă forma cunoscută în teoria circuitelor, verificată de curenţii de conducţie:

P =

n

kiu kk

1(9.112)

III. Teorema de unicitate. Dacă se dau tensiunile bornelor ku (sau curenţii

totali kTi ) şi valorile iniţiale ale inducţiilor electrice şi magnetice 00 , BD , atunci

câmpul electromagnetic este unic determinat în şi deci sunt unic determinaţi curenţii totali ai bornelor (sau tensiunile bornelor).

Demonstraţie. Fie două câmpuri electromagnetice care verifică condiţiile din teoremă şi fie (Bd, Hd, Ed, Jd) câmpul diferenţă. La fel ca la punctul anterior, se arată că:

dSdd nHE )( =

n

kiu

kk dTd

1 (9.113)

Totodată, avem:

dSdd nHE )( =

dv

td

d

BH +

dv

td

d

DE +

c

dvdd JE (9.114)

Integrând în timp rezultă:

184

t

dTd dn

kiu

kk

0 1 = dtdv

t

d

c

0

2E +

dvtd

2)(

2

1 D+

dvtd

2)(

2

1 B (9.115)

Dacă tensiunile bornelor sau curenţii totali ai bornelor sunt nuli, atunci expresia (9.114) este nulă şi egalitatea poate avea loc doar dacă 0dD şi

0dB , iar din relaţiile (9.3), (9.4), (9.5) rezultă ca şi 0dE , 0dH , 0dJ

în întreg domeniul .Din teorema de unicitate rezultă că, la condiţii iniţiale date, este bine

definită relaţia u-i la bornele elementului de circuit.IV. Conectarea dispozitivelor de microunde. Este important ca prin

conectarea elementelor de circuit să se poată obţine noi elemente de circuit sau circuite electrice (Fig.9.8).

Fig. 9.8. Conectarea elementelor de circuit

Suprafaţa ce rezultă din reuniunea suprafeţelor elementelor de circuit componente îndeplineşte condiţiile () şi () dar nu îndeplineşte condiţia (). Există curbe ce înconjoară holurile nou apărute (vezi în fig. 9.2) pe care trebuie impusă condiţia ():

1u + 3u 2u =0 (9.116)

care este de fapt a doua teoremă a lui Kirchhoff.Relaţia (9.115) este valabilă dacă fluxul magnetic pe suprafaţa mărginită

de curba este invariabil în timp.

Regimul sinusoidalÎn cazul regimului sinusoidal al elementelor de circuit, se folosesc

imaginile în complex ale mărimilor câmpului electromagnetic. Condiţiile de frontieră (), (), () sunt verificate de imaginile în complex ale câmpului.

185

Observaţiile şi consecinţele prezentate mai sus rămân valabile şi pentru imaginile în complex. Apar diferenţe privind teorema puterii transferate la borne şi a teoremei de unicitate.

Teorema puterii complexe transferate la borne: puterea completă cedatăla borne este:

n

kIUS

kTk

1

* (9.117)

Demonstraţie. Puterea complexă transferată prin frontiera , în afara elementului de circuit este dată de fluxul vectorului Poynting complex:

cP =

dSnHE * (9.118)

Urmând calea de la demonstraţia puterii instantanee transferate la borne, rezultă:

cP =

n

kIU

kTk

1

* (9.119)

care este chiar puterea complexă S cunoscută din teoria circuitelor.Ţinând cont de relaţia (9.72), rezultă că puterea complexă absorbită de

elementul de circuit este:

S =

dvEdvHj 22 + c

dvE 2 (9.120)

Deci puterea activă absorbită de elementul de circuit este dată de pierderile prin conducţie:

)Re( SP = c

dvE 2 (9.121)

Se poate da o interpretare şi puterii reactive: este proporţională cu valoarea medie a energiei câmpului magnetic minus valoarea medie a energiei câmpului electric, factor de proporţionalitate fiind pulsaţia:

Q = )Im( S =

dvEdvH 22 (9.122)

Ca urmare, atunci când valoarea medie a energiei câmpului magnetic este mai mare decât cea a câmpului electric, elementul de circuit este inductiv. Dacăinegalitatea este inversă, atunci elementul de circuit este capacitiv. Elementul de circuit se află la rezonanţă când Q =0, deci când cele două valori medii ale energiilor sunt egale.

186

Teorema de unicitate. Dacă se dau tensiunile bornelor kU (sau curenţii

totali kTI ), atunci câmpul electromagnetic este unic determinat în corpurile

conductoare c şi deci sunt unic determinaţi curenţii totali ai bornelor (sau

tensiunile bornelor).Demonstraţie. Este asemănătoare cu cea de la elementele de circuit în

regim variabil:

dSdd nHE )( * =

n

kIU

kk dTd

1

* (9.123)

avem:

dSdd nHE )( * =

dvEdvHj dd22 +

c

dvEd2 =0 (9.124)

Rezultă unicitatea mărimilor câmpului electromagnetic din domeniul conductor c .

Dacă întreg mediul este izolant, atunci unicitatea nu mai este asigurată. Putem avea mai multe soluţii (de ex. de amplitudini diferite) dacă elementul de circuit se află la rezonanţă.

187

Capitolul 10. ÎNCĂLZIREA ÎN CÂMP DE MICROUNDE

10.1. Materiale dielectrice în câmp de microunde

Un dielectric, în sensul larg al cuvântului este un material neconductor de electricitate. Dielectricii se utilizează totuşi în tehnică în aceeaşi măsură ca şi mediile conductoare.

Acest efect de încălzire a materialului dielectric se datorează pe de o parte polarizării particulelor încărcate din material de către câmpul electric de înaltă frecvenţă, iar pe de alta efectului Joule, datorat conducţiei sarcinilor libere sub acţiunea câmpului electric.

Efectele polarizării şi ale conducţiei electrice au fost studiate de Debye (1929), Fröhlich (1958), Hill (1969), Hasted (1973).

Caracterizarea materialelor dielectrice O caracteristică a materialelor dielectrice este capacitatea de a înmagazina

energie electrică.Mediile dielectrice se caracterizează prin faptul că nu conţin decât un

număr neînsemnat de purtători liberi de sarcini electrice care, sub acţiunea câmpului electric, se pot deplasa pe distanţe nelimitate, deci au conductivitatea electrică egală practic cu zero.

Sub acţiunea câmpului electric exterior, electronii din mediul dielectric, ce gravitează în jurul unor atomi (molecule), execută numai o deplasare pe distanţă limitată, denumită deplasare elastică, fără să se desprindă de formaţiunile cărora le aparţin. Dacă intensitatea câmpului electric din dielectric depăşeşte o anumită limită, electronii sunt “desprinşi” din formaţiuni, devenind electroni liberi, respectiv mediul îşi pierde calităţile izolatoare, acesta devenind mediu conductor.

Mecanismul deplasării particulelor încărcate ale materialului din poziţiile lor de echilibru sub acţiunea unui câmp electric, poartă numele de polarizare. Această polarizare este diferită fiind funcţie de tipul dielectricului şi de frecvenţa câmpului aplicat.

Polarizarea electrică este un fenomen la nivel molecular determinat de poziţionarea diferită a centrelor de sarcină electrică pozitivă şi negativă ale moleculei, realizându-se astfel un dipol electric caracterizat de un moment electric. Se deosebesc astfel, următoarele clase fundamentale de polarizare:

- polarizarea electronică, polarizare datorată deformării învelişului electronic al atomilor sub acţiunea câmpului electric;

188

- polarizarea atomică, care se datorează deplasării relative a nucleelor atomilor atunci când se aplică materialului dielectric un câmp electric;

- polarizarea de orientare (dipolară), determinată de rotirea atât a dipolilor induşi, cât şi a dipolilor permanenţi conţinuţi de materialele dielectrice polare;

- polarizarea de neomogenitate (Maxwell – Wagner), definită în materialele neomogene ale căror suprafeţe de separare se încarcă la stabilirea câmpului electric în ele.

Dintre acestea, polarizarea de orientare şi polarizarea de neomogenitate, la care se adaugă şi efectul conducţiei electrice sunt considerate mecanismele dominante ale încălzirii dielectrice în banda de frecvenţă a microundelor.

Fenomenul de încălzire a dielectricilor în câmp de înaltă frecvenţă se bazează pe abilitatea acestuia de a polariza sarcinile electrice din interiorul materialului şi pe inabilitatea acestei polarizări de a urma extrem de rapid variaţia câmpului electric. Spunem în aceste cazuri, că vectorul polarizaţie electrică, P, este întârziat faţă de vectorul intensitate de câmp electric, E (histerezis dielectric), iar curentul rezultant, dP/dt, are o componentă în fază cu E, de unde rezultă o disipare de putere în material. Aspecte legate de comportarea mediilor dielectrice sub acţiunea câmpului electromagnetic de înaltă frecvenţă sunt prezentate în literatura de specialitate. Astfel, amintim aici câteva tratate interesante şi complete privind studiul dielectricilor în câmp de microunde şi nu numai: J.C. Anderson, A.R. Von Hippel, A.C. Metaxas, ş.a.

10.1.1. Polarizarea de orientare

Mecanismul polarizării de orientare se manifestă în gama de frecvenţe a microundelor şi are la bază rotaţia dipolilor permanenţi în câmpul electric aplicat. Aceşti dipoli au tendinţa de orientare – reorientare sub influenţa modificării polarităţii câmpului electric ceea ce conduce la creşterea polarizării. Agitaţia termică determină o mişcare dezordonată a moleculelor, astfel că suma momentelor electrice ale moleculelor este nulă. Dacă se aplică un câmp electric exterior (E 0) dipolii tind să se orienteze în direcţia câmpului. Acestei tendinţe de orientare i se opune agitaţia termică. Ca urmare se realizează în medie o rotire (orientare) incompletă a dipolilor în direcţia câmpului, polarizaţia fiind egală cu suma momentelor electrice ale dipolilor conţinuţi în material şi proporţională cu câmpul exterior.

La frecvenţe joase, timpul necesar câmpului electric să-şi schimbe direcţia este mai lung decât timpul de răspuns al dipolilor şi polarizaţia dipolară este în fază cu câmpul electric. Câmpul electric furnizează energia necesară orientării moleculelor în câmp. O parte din energie este consumată de mişcarea

189

browniană, de câte ori un dipol este deplasat din locul său prin ciocnire şi apoi realiniat. Energia transferată este mică, temperatura crescând foarte puţin.

În gama frecvenţelor corespunzătoare microundelor, timpul în care câmpul electric îşi schimbă alternanţa este aproximativ acelaşi cu durata de răspuns a dipolilor. Aceştia se rotesc datorită cuplului exercitat de câmp şi polarizaţia rezultantă rămâne în urmă în raport cu intensitatea câmpului electric fenomen numit relaxare dielectrică sau histerezis dielectric.

Considerând un câmp electric uniform de înaltă frecvenţă aplicat unui dielectric:

tsinmaxEE (10.1)

Vectorul polarizaţie are următoarea formă: )sin(max tPP (10.2)

unde: - defazajul dintre vectorul polarizaţie P şi vectorul intensităţii câmpului electric E, aşa cum rezultă şi din figura 10.1.

Curentul rezultant P/t, determinat de redistribuţia sarcinilor din material este dat de relaţia de mai jos şi are o componentă în fază cu intensitatea câmpului E, conducând la disiparea puterii în interiorul materialului ceea ce are ca efect încălzirea acestuia.

)cos(max

tt

PP

(10.3)

Figura 10.1. Diagrama fazorială a vectorului polarizaţie P şi a intensităţii câmpului electric E.

Puterea medie, disipată în unitatea de volum, este dată de relaţia:

0maxmaxmaxmax cos2

1sin

2

1 PEPE medP (10.4)

unde cos 0 este factorul de putere.Dacă nu ar exista un defazaj între polarizaţie şi câmpul electric nu s-ar

mai disipa putere în material şi astfel a fost introdusă noţiunea de “pierderi”care se referă la absorbţia în material de energie provenită de la câmpul electromagnetic de înaltă frecvenţă.

190

O abordare clasică a comportării dipolilor permanenţi dintr-un dielectric asupra căruia se aplică un câmp alternativ aparţine lui Debye. Acesta a arătat că polarizarea de orientare este rezultatul rotaţiei dipolilor de formă sferică într-un mediu vâscos în care se manifestă forţe de frecare. Debye a dedus următoarea ecuaţie:

jj S

ddd

1

'''* (10.5)

unde: S şi sunt valori statice ale constantei dielectrice; - timpul de relaxare dielectrică ce caracterizează rata creşterii şi

descreşterii polarizaţiei (s); - reprezintă pulsaţia, = 2f;f – frecvenţa (Hz).

Mecanismul de polarizare de orientare este considerat dominant deoarece timpul de relaxare, adică intervalul de timp în care polarizaţia creşte şi apoi scade, este de un ordin de mărime comparabil cu perioada de oscilaţie a câmpului de înaltă frecvenţă.

Interpretarea ecuaţiilor lui Debye permite să se afirme că:- pe măsură ce frecvenţa creşte, dipolii devin incapabili să-şi regăsescă pe

deplin poziţiile iniţiale pe durata schimbărilor de sens ale câmpului aplicat şi ca o consecinţă polarizaţia dipolară rămâne în urma intensităţii câmpului electric (relaxarea dielectrică);

- pe măsura creşterii frecvenţei se atinge un punct în care polarizaţia de orientare nu mai poate urmări câmpul aplicat şi contribuie foarte puţin la polarizaţia totală;

- scăderea polarizaţiei efective se manifestă prin scăderea constantei dielectrice şi creşterea factorului de pierderi. Energia este acum preluată de la câmpul electromagnetic şi disipată sub formă de căldură în interiorul materialului.

Utilizând teorema lui Stökes, Debye a dedus expresia pentru timpul de relaxare, considerând dipolul o sferă de rază r ce se roteşte într-un mediu de vâscozitate v:

Tk

r

b

v

f

341

(10.6)

în care: kb – constanta lui Boltzmann; f – frecvenţa de relaxare; T – temperatura.Dacă temperatura creşte şi vâscozitatea mediului este mai redusă,

moleculelor de dimensiuni mici le corespund frecvenţe de relaxare ridicate.

191

Timpul necesar dipolilor unui lichid, de exemplu, de a se polariza şi depolariza este determinat de constanta timpului de relaxare .

10.1.2. Polarizarea de neomogenitate (Maxwell-Wagner)

Acest tip de polarizare se manifestă mai ales în cazul dielectricilor neomogeni care au în structura lor elemente conductive într-o anumită proporţie dispersate în medii neconductive.

Polarizarea Maxwell-Wagner este determinată de apariţia unor sarcini pe suprafeţele de separare ale părţilor omogene din dielectricii neomogeni.

Wagner, a arătat că pentru cel mai simplu model care reproduce acest tip de polarizare, modelul constând din două sfere conductoare distribuite într-un mediu neconductor, factorul de pierderi al volumului de material este dat de relaţia:

)1(108,1

'92210

max''

fvWM (10.7)

în care: fmax – frecvenţa pierderilor maxime (Hz); - conductivitatea fazei conductoare (S/m); - timpul de relaxare (s).Ca şi o concluzie se poate afirma că procesarea la scară industrială, în

banda de frecvenţe 10 MHz – 3 GHz a materialelor dielectrice este practic determinată de cele trei mecanisme: conducţia electrică, polarizarea de orientare şi polarizarea de neomogenitate (Maxwell-Wagner), dacă dielectricul este neomogen.

10.1.3. Tipuri de dielectrici

O clasificare a materialelor dielectrice, se poate face în funcţie de dependenţa dintre E şi Pt.

Dielectrici liniari şi izotropiUn material dielectric este izotrop dacă se polarizează în aceeaşi măsură

oricare ar fi orientarea vectorului E în interiorul corpului şi este liniar dacă proporţionalitatea dintre E şi Pt se poate exprima printr-o constantă. Această constantă de material, e, se numeşte susceptivitate electrică.

Pt = 0 e E (10.8)În general, susceptivitatea electrică depinde şi de condiţii neelectrice ca:

temperatura, presiunea, etc. Relaţia (10.8) reprezintă expresia matematică a legii

192

polarizaţiei temporare. Dacă materialul dielectric nu prezintă polarizaţie permanentă, se poate scrie:

D = 0 (l + e) E = 0 r E = E (10.9)unde mărimea adimensională r = l + e, se numeşte permitivitate relativă.

Produsul = 0r este permitivitatea absolută a materialului, numită şi constantă dielectrică. Relaţia de mai sus reprezintă expresia matematică a legii legăturii dintre D, E şi P scrisă pentru medii liniare (figura 10.2.a).

a. b. c.

Figura 10.2. a. Medii liniare b. Medii liniare cu polarizare permanentă

c. Medii liniare anizotrope.

Dacă dielectricul prezintă polarizaţie electrică permanentă atunci avem:D = 0 E + Pp (10.10)

unde polarizaţia electrică permanentă Pp este valoarea inducţiei electrice când intensitatea câmpului electric este nulă (figura 10.2.b).

Dielectrici liniari şi anizotropiÎn cazul acestor medii vectorii D şi E nu sunt, paraleli (figura 10.2.c), dar

legătura dintre D şi E este liniară, fiind un tensor numit tensorul permitivităţii.

D = E (10.11)Relaţia (10.11) se mai poate scrie în sistemul cartezian astfel:

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

E

E

E

D

D

D

εεε

εεε

εεε

(10.12)

Dacă mediul este liniar, anizotrop, cu polarizaţie electrică permanentă, atunci avem:

D = E + Pp (10.13)

193

Dielectrici neliniariMaterialele din această categorie sunt caracterizate de o dependenţă

neliniară dintre polarizaţia lor temporară şi intensitatea câmpului electric. Aceste materiale mai sunt numite şi materiale feroelectrice. Ele prezintă o polarizare intensă şi ireversibilă, punând în evidenţă şi fenomenul de histerezis.

D = f (E) unde f : R3 R 3 (10.14)O altă clasificare a materialelor dielectrice pe care o vom prezenta în cele

ce urmează se face în funcţie de tipul de polarizare pe care o posedă fiecare şi anume:

Dielectrici cu polarizare de deplasareInterpretarea polarizării de deplasare se bazează pe un model simplificat:

sarcinile electrice sunt legate “elastic” în poziţiile de echilibru, la aplicarea câmpului electric sarcinile se deplasează din poziţiile lor de echilibru, la anularea câmpului ele revin în aceste poziţii prin mişcări oscilatorii amortizate. Acest model oferă rezultate concordante cu experienţa pentru frecvenţe mult mai mici decât frecvenţele proprii de rezonanţă ale electronilor sau ionilor dielectricului. Pentru frecvenţe mai mici decât 10Hz în cazul polarizării de deplasare electronică şi mai mici decât 10GHz în cazul polarizării de deplasare ionică partea reală a permitivităţii complexe relative este constantă cu frecvenţa şi egală cu valoarea de la câmpul electric continuu.

În ceea ce priveşte variaţia cu temperatura, în cazul polarizării de deplasare electronice, permitivitatea reală scade uşor prin creşterea temperaturii deoarece prin dilatare termică scade numărul momentelor electrice elementare pe unitatea de volum. Coeficientul de temperatură al permitivităţii este foarte mic în valoare absolută şi negativ. În cazul dielectricilor cu polarizare de deplasare ionică, dilatarea termică conduce la apariţia a două efecte de sens contrar:

- o mişcare a forţelor elastice care acţionează asupra ionilor prin creşterea distanţei dintre ei şi deci o polarizare mai mare a celulei elementare adică o valoare mai mare a permitivităţii reale;

- o micşorare a numărului momentelor electrice elementare pe unitatea de volum, adică o micşorare a permitivităţii reale.

Materialele dielectrice cele mai cunoscute, în care predomină fenomenul de polarizare de deplasare electronică, sunt compuşii oxidici reprezentaţi în general de mică, sticlele silicat şi dielectricii ceramici.

Dielectrici cu polarizare de orientareDielectricii cu polarizare de orientare posedă în absenţa câmpului electric

momente electrice elementare, orientate aleatoriu datorită agitaţiei termice,

194

astfel încât macroscopic starea de polarizaţie este nulă. În prezenţa unui câmp electric exterior, momentele electrice tind să se orienteze pe direcţia câmpului, rezultând o polarizaţie temporară diferită de zero. Dacă frecvenţa câmpului electric de comandă creşte, contribuţia momentelor elementare la polarizarea dielectricului este din ce în ce mai mică datorită inerţiei orientării lor, motiv pentru care la temperatură constantă, permitivitatea reală descreşte monoton cu frecvenţa după o lege de forma:

’= + / [1+(2 f )2] (10.15)unde este valoarea permitivităţii reale la frecvenţe foarte mari datorată în exclusivitate polarizării de deplasare electronice, proprietate universală a materiei.

= f - (10.16)unde f este valoarea permitivităţii reale la frecvenţe foarte mici. Tangenta unghiului de pierderi are în general valori mari deoarece pierderilor prin conducţie li se adaugă în acest caz şi pierderile datorate mişcărilor de orientare a momentelor electrice elementare pe direcţia câmpului (pierderi prin polarizare).

Dependenţa de frecvenţă a tangentei unghiului de pierderi urmează o lege de forma:

tg = [f (1+(2 f )2)+ (2 f)2] / 2 f [f+(2 f )2] (10.17)unde şi respectiv reprezintă constantele timpului de relaxare, datorate pierderilor prin conducţie şi respectiv pierderilor prin polarizare.

Polarizarea de orientare se caracterizează prin valori medii ale permitivităţii dielectrice reale dependente puternic de frecvenţă şi temperatură, precum şi prin pierderi dielectrice mari.

Dielectrici cu ordine spontană (cristale lichide) Cristalele lichide sunt materiale organice care posedă simultan proprietăţi

ale lichidului izotrop (fluiditate, curgere, unirea picăturilor prin contact) şi proprietăţi ale solidelor cristaline (existenţa unei ordini la distanţă care condiţionează anizotropia principalelor proprietăţi fizice precum şi polarizarea şi magnetizarea, conductibilitatea electrică şi termică, refracţia luminii, proprietăţi elastice). Moleculele cristalelor lichide sunt lungi şi de formă rotundă în secţiune, cu moment electric permanent destul de puternic şi cu grupări uşor polarizabile. Între aceste molecule se stabileşte ordine spontană la distanţă asemănătoare solidelor cristaline, ordine care dictează proprietăţile anizotrope ale cristalului lichid. Starea de cristal lichid se manifestă într-un domeniu de temperatură delimitată de două temperaturi de tranziţie. Pentru temperaturi mai mici decât T1 (temperatura de topire) cristalul devine solid, iar pentru temperaturi mai mari decât T2 (temperatura de limpezire) cristalul devine lichid izotrop.

195

10.1.4. Constanta dielectrică complexă

Constanta dielectrică complexă este o mărime esenţială care caracterizează comportarea unui dielectric sub influenţa unui câmp de înaltă frecvenţă:

''' j (10.18)

unde ’ este partea reală a lui şi caracterizează dielectricul din punct de vedere al capacităţii sale de a se polariza, înglobând pierderi datorate fenomenului de polarizare dipolară asociat cu frecarea dintre molecule iar ”, partea imaginară a lui şi reprezintă factorul de pierderi, înglobează toate efectele disipative datorate pierderilor prin efect Joule şi dielectrice.

Mărimile ε’ şi ε’’ sunt dependente de frecvenţa f şi temperatura, T. În anul 1954, A.R. Von Hippel, cataloghează proprietăţile dielectrice ale unor materiale anorganice (cristale, ceramică, sticlă, apă, etc.) şi organice (cristale, plastice, elastomeri, răşină, smoală, gudron natural, lemn, etc.) în funcţie de frecvenţa f, cuprinsă între 100 < f < 1010 Hz şi temperatura cuprinsă între -12 < T < 200oC. Asemenea date trebuiesc consultate prima dată, pentru a determina dacă un material este procesabil în înaltă frecvenţă (Tinga şi Nelson (1973)).

Tabelul 10.1 sunt prezentate proprietăţile unor materiale dielectrice obişnuite. Este poate evident faptul că nu există o trăsătură generală, care să decurgă dintr-un asemenea tabel, suficient pentru a spune că prezenţa apei în orice material are menirea de a-i creşte factorul efectiv de pierdere şi de a-l face pe acesta, un candidat mai bun pentru procesarea în câmp de microunde.

Caracterul complex al constantei dielectrice se demonstrează pornind de la legea circuitului magnetic:

dS'EdS'JdlB

)'( 0

''

SS

ca t

(10.19)

unde: Jc – este densitatea curentului de conducţie generat de deplasarea sarcinilor libere din dielectric sub acţiunea câmpului electromagnetic [A/m2];

B – inducţia câmpului magnetic [T];a – permeabilitatea mediului [H/m];0 – permitivitatea vidului [F/m];S’ – suprafaţa parcursă de fluxul electric total [m2].Pentru câmpuri electrice alternative de forma Emaxe

jt, cum sunt cele aplicate în încălzirea dielectrică, ecuaţia (10.19) devine:

DErotHt

(10.20)

196

*3108 ”2,712107 #2,45109 ** % bază uscată

Tabelul 10.1. Proprietăţile unor materiale dielectrice obişnuite.

Materialul ToC

Umidi-

tatea107 Hz 109 Hz 3 109 Hz

ε' ε” ε' ε” ε' ε”

PRODUSE ALIMENTARE

Friptură de vită 25 - 50 1300 50 39 40 12

Carne slabă congelată 0 - - - 4.4 0.72 3,95 0,3

Cartofi cruzi 25 - 80 47,8 65,1 19,6 53,7 15,7

Unt 35 - - - - - 4,15 0,44#

PRODUSE DE PĂDURE

Lemn de pin 20 0 - - 2,05 0,04 2,0 0,02

Hârtie - Gri regal 82 0 - - 3,0 0,216* 2,94 0,235Hârtie albă velină 78g/m2 22 7,0 3,1 0,25” - - 3,2 0,5#

Scândură 230g/m2 22 5 2,8 0,3” - - 2,7 0,3#

STICLĂ

Silică topită 25 - 3,78 10-4 3,78 0,0002* 3,78 0,0002

MINERALE ŞI CERAMICĂ

Mică rubinie potasică 25 - 5,4 0,0016 - - 5,4 0,0016

Porţelan 25 - 8,95 0,0018 8,93 0,008 8,90 0,01

ULEIURI ŞI CEARĂ

Ulei pentru cablu 25 - 2,17 0,009 2,17 0,009* 2,16 0,0043

Ceară 25 - 2,36 0,0006 2,31 0,00083 2,31 0,0011

PLASTICE

Fibră de sticlă 24 - 5 0,17 4,54 0,108* 4,4 0,128

Poliamide, Naylon 25 - 3,24 0,07 3,06 0,043 3,02 0,036

Polietilenă 23 - - - 2,26 0,0024* 2,25 0,0026

Poliester 25 - 4,08 0,23 3,53 0,138 3,41 0,106

Teflon 22 - - - 2,1 0,0003 2,1 0,0003

CAUCIUC

Natural 25 - - - - - 2,15 0,0065

Nitril natural 25 - - - 2,85 0,069 2,8 0,05

APĂ

Apă pură -12 - 3,7 0,07 - - 3,2 0,003

Apă distilată 25 - - - 77,5 1,2* 76,7 12

BUMBAC 210 g/m3 - 7 1,5 0,03” - - - -

Lână 68 Kg/m3 - 20 1,2 0,01” - - - -

Piele 20 20** - - - - 5,0 1,02

Piele 20 40** - - - - 9,1 2,1

Fibre de lână - 7 - - - - 3,9 0,29

197

dar, cunoscând că:Jc = E (10.21)D = E (10.22)

obţinem, pentru imaginile în complex:EJHrot '0jc (10.23)

Luând în considerare numai efectul conducţiei electrice a sarcinilor libere sub acţiunea câmpului electric şi presupunând că constanta dielectrică reală contribuie numai la înmagazinarea de energie în sistem, relaţia (10.23), se poate scrie şi sub forma:

EEEJ )'(' 00 jj (10.24)

Dând factor comun pe j0, obţinem:

EJ )'(0

0 j

j (10.25)

Deoarece în spaţiul liber = 0, obţinem:EJ '0j (10.26)

Comparând relaţia (10.25) cu (10.26), rezultă că relaţia (10.25) poate fi scrisă şi astfel:

EJ *0 cj (10.27)

unde:"

0

* '' cccc jj (10.28)

c* poate fi considerată ca şi o constantă dielectrică efectivă a materialului

atunci când efectul conductiv este dominant. De altfel, efectul disipativ indus de fenomenul de conducţie electrică este reprezentat în relaţia (10.27) de c”, care reprezintă partea imaginară a constantei dielectrice c

*.Contribuţia fiecărui tip de polarizare cum ar fi de exemplu, polarizarea de

orientare (dipolară) sau de neomogenitate (Maxwell-Wagner), va fi luată în considerare în constanta dielectrică prin termenul imaginar. Astfel, dacă se consideră de exemplu, că polarizarea de orientare este mecanismul dominant, contribuţia sa la încălzirea materialului dielectric poate fi cuantificată printr-o constantă dielectrică complexă de o formă similară celei din relaţia (10.28):

''* ' ddd j (10.29)

în care indicele d se referă la polarizarea dipolară.Factorul de pierderi (termenul imaginar), înglobează efectele disipative

ale tuturor mecanismelor ce contribuie la încălzirea dielectrică (”). Pentru a satisface legea circuitului magnetic într-un dielectric real, constanta dielectrică

198

trebuie să aibă o formă complexă, ce include toate mecanismele de polarizare, astfel ecuaţia (10.25) devine:

EJJJ

00 "'

jjdct (10.30)

a cărei reprezentare fazorială este prezentată în figura 10.3.În figura 10.3 se arată că densitatea curentului total Jt indus într-un

dielectric este suma densităţilor curenţilor de conducţie Jc şi de deplasare Jd ca efect combinat al conducţiei electrice şi al polarizaţiei materialului dielectric sub acţiunea câmpului electric de înaltă frecvenţă.

Figura 10.3. Diagrama fazorială a densităţii curentului total indus într-un dielectric.

Deoarece separarea efectelor datorate conducţiei şi a celor datorate polarizaţiei este dificilă, s-a definit un factor de pierderi efectiv eff

”, care însumează efectele tuturor mecanismelor de polarizare şi conducţie electrică:

0

""""" )()()()()( aedWMeff (10.31)

unde: ”M-W – factorul de pierderi datorate polarizării Maxwell-Wagner;”d - factorul de pierderi datorate polarizării de orientare (dipolare);”e - factorul de pierderi datorate polarizării electronice;”a - factorul de pierderi datorate polarizării atomice;/0 - pierderi datorate conducţiei.Factorul de pierderi efectiv se poate scrie şi sub forma:

0

" )(")( eff (10.32)

unde: ”() – factorul de pierderi datorate mecanismelor de polarizare.

199

Constanta dielectrică complexă relativă se poate scrie ţinând cont de relaţia (10.32), astfel:

"'* effeff j (10.33)

Atunci relaţia (10.30) devine:EEJJJ ')"( 0

'0 jjj effeffdct (10.34)

Raportul dintre factorul de pierdere efectiv şi constanta dielectrică defineşte tangenta unghiului de pierderi efectiv:

'

"

eff

effefftg

(10.35)

Tangenta unghiului de pierderi caracterizează capacitatea materialului de a transforma energia electromagnetică în căldură la o frecvenţă şi temperatură dată.

J.B. Hasted a reprezentat schematic contribuţia mecanismelor luate în consideraţie prin factorul de pierderi al unui material umed (figura 10.4) în care pierderile dipolare depind de starea apei conţinute în material.

Datorită faptului că frecvenţele industriale de încălzire ale microundelor se situează în banda 107 < f < 3109 Hz, mecanismele luate în considerare sunt cele dipolare şi de neomogenitate. Polarizările de tip atomic şi electronic apar la frecvenţele din domeniul infraroşu şi din domeniul vizibil, ca parte al spectrului electromagnetic, acestea nu joacă un rol important în încălzirea cu microunde.

Volumul datelor lui von Hippel (1954), relatează despre conţinutul de umiditate al materialelor.

Figura 10.4. Factorul de pierderi efectiv al unui material dielectric neomogenîn funcţie de frecvenţă, (b) - relaxarea apei legate, (w) - relaxarea apei libere,

(mw) - pierderi Maxwell-Wagner şi (c) - pierderi prin conducţie.

200

10.2. Câmpul electromagnetic în structurile cu microunde

Studiul câmpului electromagnetic impune soluţionarea unei ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale satisfăcută de către mărimile de stare E şi H, sau de alte mărimi echivalente acestora.

10.2.1. Propagarea câmpului electromagnetic de înaltă frecvenţă

Propagarea undelor electromagnetice prin structuri de ghidare este întotdeauna în strânsă legătură cu câmpul electromagnetic al undei, cu sarcinile sau curenţii de pe frontierele structurii în plane transversale, cu anumite condiţii de reflexie la aceste frontiere, şi nu numai.

Unda electromagnetică, definită drept câmpul electromagnetic variabil în timp şi în spaţiu, care se autoîntreţine chiar şi în absenţa surselor de câmp.

Unda electromagnetică plană este unda ale cărei mărimi de câmp electromagnetic depind de o singură coordonată spaţială şi de timp.

Structurile tipice de ghidare a undelor electromagnetice sunt în majoritatea cazurilor structuri dreptunghiulare, şi au frontiere conductoare. Cunoaşterea distribuţiei câmpului electromagnetic în structurile de ghidare face posibilă determinarea constantei de propagare a undelor şi a dependenţei acesteia cu frecvenţa, a vitezei de propagare, a constantelor de fază şi de atenuare, etc.

În condiţii foarte generale (medii liniare, omogene, imobile) mărimile de câmp electromagnetic variabil în timp, pot fi tratate direct în termenii unor componente de câmp electromagnetic variabil armonic în timp.

Considerând un câmp electromagnetic variabil armonic în timp, reprezentând o componentă de frecvenţă unghiulară arbitrară, de exemplu, câmpul electric:

)sin(2),,(E),,( xtωzyxtz,yxx

ie )ωsin(2),,( ytzyxE yj

)ωsin(2),,( ztzyxE z k (10.36)

unde i, j, k sunt versorii axelor 0x, 0y, 0z. O astfel de componentă poate fi studiată prin reprezentarea complexă a sa:

zyx EEE kjiE (10.37)

Considerând un sistem cu o structură cilindrică de-a lungul direcţiei de propagare, 0z, mediul interior al structurii este presupus: izotrop, liniar, omogen pe porţiuni în planuri transversale, fără mărimi permanente (Pp = 0, Mp = 0), fără mărimi imprimate (Ei = 0, Ji = 0) şi fără sarcină electrică netă (v = 0). Studiul este efectuat, în general, considerând că acest mediu este, perfect izolant( = 0). Numai în cazul în care trebuie calculată atenuarea în mediul de

201

propagare, eventualele pierderi pot fi luate în considerare prin operarea cu o permitivitate complexă, definită astfel:

ε = ’ – j ’’ (10.38)unde ε’’ reprezintă cantitatea de energie electromagnetică transformată în căldură.

Domeniul interior structurii studiate este limitat de frontiere considerate perfect conductoare, f = .

Ecuaţiile câmpului electromagnetic în formă complexă, sunt:rot E = -jH

rot H = jε E ( = 0) (10.39)

divE = 0

divH = 0Necunoscutele acestor ecuaţii sunt E şi H. Ecuaţiile de ordinul doi ale

câmpului electromagnetic în E, respectiv H, numite şi ecuaţii de tip Helmholtz,obţinute din (10.39) sunt:

0εων 2 EErotrot

rot rot H - 2 H = 0 (10.40)Pentru determinarea câmpului electric, respectiv magnetic, este suficientă

rezolvarea uneia dintre ecuaţii, urmând ca cealaltă componentă, cu soluţie de acelaşi tip, dar care nu este independentă de prima, să fie determinată din ecuaţiile de ordinul întâi. Ecuaţiile (10.40), admit soluţii de tip undă – directă şi inversă – implicând astfel propagarea undelor electromagnetice şi sunt căutate în termenii unei soluţii cu variabile separate (metoda separării variabilelor).

În general se folosesc ecuaţiile în E deoarece, condiţiile de frontieră în microunde se referă la această mărime şi nu la derivata sa H.

În cele ce urmează vom considera un domeniu mărginit de suprafaţa , reprezentat în figura 10.5. Presupunem că avem două soluţii, E’ şi E” care verifică ecuaţia (10.40) şi îndeplinesc condiţiile de frontieră (FR).

Figura 10.5. Domeniul mărginit de suprafaţa cu condiţiile de frontieră (FR).

Notăm: "' EEE d , şi avem:

202

0ν)()ν( **

dSdS dddd ErotEnnErotE

ddd ddddd d )ν(ν)ν( *** ErotEErotErotErotE

dΩdΩ dddΩΩ

EEErot **2 εων 2

dΩjdΩdΩ dΩ

dΩΩ

d2222 ωων 2 EEErot ''' εε = 0 (10.41)

Relaţia (10.41) devine zero, dacă atât partea reală cât şi partea imaginară este egală cu zero. Condiţia ca partea imaginară să fie zero, depinde de valoarea lui ’’. Astfel, dacă ’’ > 0, atunci în mod obligatoriu trebuie ca dE să fie zero,

sau dacă ’’= 0 atunci tg δ = 0. În cazul în care ’’= 0, membrul stâng al relaţiei (10.41) poate fi nul chiar dacă dE 0. Acesta este cazul cavităţilor rezonante.

10.2.2. Propagarea câmpului electromagnetic prin ghiduri de undă

Un ghid de undă este un sistem electromagnetic cu structură neomogenă care determină propagarea unei unde electromagnetice într-o direcţiedeterminată, menţinând un grad de concentrare suficientă a acesteia în planele transversale direcţiei de propagare. O asemenea comportare este asigurată de structura sistemului care este omogenă în lungul direcţiei de propagare, în timp ce aceeaşi structură este puternic neomogenă în direcţii transversale la direcţia de propagare.

Ghidarea undelor electromagnetice prin asemenea structuri de ghidare este realizată prin strânsa legătură dintre câmpul electromagnetic al undei pe de o parte şi sarcinile sau curenţii de pe frontierele structurii în plane transversale, ori de anumite condiţii de reflexie la aceste frontiere pe de altă parte.

Obiectul studiului structurilor de ghidare a undelor electromagnetice îl constituie în primul rând, distribuţia câmpului electromagnetic în asemenea structuri. O asemenea analiză este strâns legată de studiul constantei de propagare a undelor electromagnetice şi al dependenţei acesteia de frecvenţă, deoarece aceste elemente determină la rândul lor, viteza de propagare, constantele de fază şi atenuare, precum şi dispersia undelor în propagarea lor de-a lungul ghidului de undă.

Ghidul de undă este destinat propagării undelor electromagnetice. El are o structură plan paralelă şi poate fi format din una sau mai multe armături.

Studiul propagării undelor electromagnetice în ghidurile de undă vizează următoarele probleme:

203

- condiţiile de propagare a oscilaţiilor de foarte înaltă frecvenţă;- distribuţia câmpului electromagnetic în ghid;- influenţa conductivităţii metalului şi dielectricului asupra propagării;- posibilităţi de excitare a undelor electromagnetice în ghid;- posibilităţi de adaptare a ghidului cu sarcina.Considerând un ghid de undă de-a lungul axei 0z, mediul interior

domeniului de calcul este presupus izotrop, liniar, omogen, perfect izolant ( = 0), având Pp = 0, Mp = 0, Ei = 0 şi Ji = 0 şi sarcină electrică nulă. Pereţii interiori ai ghidului sunt consideraţi frontiere perfect conductoare, f = .

Dacă considerăm un câmp electromagnetic variabil armonic în timp, reprezentat prin componenta sa electrică directă, de forma:

)),,,( yxG tyxtyxtzyx sin(ω2),(E)sin(ω2),(E GyGx jiE

)sin(ω2),(EGz z tyxk (10.42)

atunci, se ştie că la un moment dat de timp (t+t) unda se găseşte pe axa 0z la (z+z). Acest lucru înseamnă că viteza de propagare a undei electromagnetice în vid este, z/t = / = v.

Pentru unda inversă, relaţia se scrie prin analogie cu unda directă, astfel în relaţia lui ),,,( tzyxGE vom avea argumentul (t + z).

Unda electromagnetică directă, se poate scrie în regim permanent sinusoidal, folosind reprezentarea în formă complexă, astfel:

zyx, jegG )(EE unde, zTg Ek EE (10.43)

unde s-a notat cu ET componenta tangenţială, iar Ez componenta longitudinală. Dacă ghidul s-a considerat omogen, adică div GE = 0, putem scrie foarte uşor:

0])([ g zjgG ejdivdiv kEEE (10.44)

de unde rezultă, succesiv:kEE g)( jdiv g (10.45)

zzT j EkE )()Ediv( (10.46)

Deci, zT j EE )(div . (10.47)

Operatorul rot GE se poate scrie: zj

G ej ])([ gg kEErotErot (10.48)

Dacă în legea inducţiei electromagnetice ( GG j HErot ωμ ), înlocuim expresia lui rotEG cu cea obţinută mai sus, şi ţinem cont de relaţiile (10.43), atunci avem:

]H[)(E zTTzT j]j[ kHkEkE ωμ (10.49)Prin analogie cu relaţia (10.49), pornind de la legea circuitului magnetic,

avem:

204

]E[)(H zTTzT j]j[ kkk EHH ωε (10.50)Ecuaţiile pentru determinarea câmpului electric, respectiv magnetic, sunt

astfel identice şi este suficientă rezolvarea uneia dintre ele (de exemplu, cea a câmpului electric), urmând ca cealaltă componentă, cu soluţie de acelaşi tip, dar care nu este independentă de prima, să fie determinată din ecuaţiile de ordinul întâi. În principiu, este rezolvată de obicei, ecuaţia de ordinul al doilea pentru câmpul care dispune de condiţiile de unicitate ale soluţiei.

Ecuaţiei corespunzătoare legii inducţiei electromagnetice, îi aplicăm operatorul rot şi obţinem o ecuaţie cu derivate parţiale de tip Helmholtz, omogenă:

GGG θ EE 2 μεω2Erotrot , unde s-a notat cu 2 = 2 (10.51)Ţinând seama de caracterul solenoidal al intensităţii câmpului electric şi

de relaţia (10.43), avem:rot rot GE = - E G = (- gE + 2

gE )e-jz

Deci,- gE = (2 - 2) gE (10.52)

Dacă se ţine cont că, zTg Ek EE şi dacă notăm (2 - 2) = , relaţia de

mai sus se poate descompune astfel: - TE = (2 - 2) TE = TE (10.52.a)

- zE = (2 - 2) zE = zE . (10.52.b)

Dacă în relaţia (10.52) se notează, (2 - 2) = 0, atunci ecuaţia obţinută sugerează problema de valori şi vectori proprii pentru operatorul (-E ) cu componentele tangenţiale nule. Această situaţie corespunde cazului în

care ghidul are pereţii perfect conductori, adică 0GtE , pe frontieră, dar şi

0gtE .

- E = E (10.53)

Deoarece (2 - 2) = 0, atunci din notaţia făcută în relaţia (10.51) rezultă că ·c, unde c reprezintă viteza luminii. Aceasta înseamnă că există o frecvenţă numită de tăiere, peste care unda se propagă în ghid. Dacă de asemenea, = v, atunci rezultă că v c, unde v reprezintă viteza de fază a undei electromagnetice. Relaţia v c, este valabilă pentru modurile TE şi TM, iar pentru modul TEM avem v = c.

Dacă asupra relaţiei (10.49) aplicăm operatorul (2/x2) apoi (2/y2), după care însumăm relaţiile obţinute, avem:

- gH = (2 - 2) gH . (10.54)

205

Dacă ţinem cont că, zTg HkHH , atunci ecuaţia de mai sus se separă

după componentele transversale şi longitudinale, fapt care sugerează problema de valori şi vectori proprii pentru operatorul (-H ):

- TH = (2 - 2) TH (10.54.a)

- zH = (2 - 2) zH (10.54.b)

- H = H (10.55)Studiul componentelor directe ale câmpului electric complex, respectiv

magnetic, este abordat, de obicei, într-o manieră simplă, bazată pe exprimarea tuturor componentelor spaţiale ale acestor câmpuri exclusiv în termenii componentelor longitudinale Eg şi Hz, după direcţia longitudinală, în măsura în care acest lucru este posibil. Forma soluţiilor generale obţinute, pentru componentele longitudinale ale câmpurilor electric şi magnetic, coroborată cu condiţiile de unicitate (configuraţia structurii de ghidare şi condiţiile de excitare), determină câteva configuraţii tipice ale câmpului electromagnetic în ghidul de undă, numite moduri de propagare (figura 10.6).

a. b. c.Figura 10.6. Moduri de propagare în ghiduri de undă.

În practică, ghidurile de undă, sunt concepute astfel încât de-a lungul lor să se poată propaga numai un anumit mod de undă, chiar dacă la intrarea acestora ar fi excitate mai multe moduri, datorită distorsiunilor ce pot apare în aceste structuri. De aceea este util să fie analizate, separat, modurile TEM, TE şiTM.

Modul TEM (transversal electromagnetic) este acel mod în care ambele câmpuri sunt transversale (normale) direcţiei de propagare 0z. Condiţia corespunzătoare este, evident, absenţa componentelor longitudinale ale câmpului electromagnetic, Ez = 0, Hz = 0, astfel de moduri sunt cele care se propagă de-a lungul liniilor electrice (figura 10.6.a).

Dacă considerăm Ez = 0 şi Hz = 0, atunci în mod obligatoriu avem:rot TE = 0, deci TE = - grad (10.56)

206

unde reprezintă o variabilă scalară complexă.

Din relaţiile (10.49) şi (10.50) rezultă 2 = 2. Punând relaţia (10.56) în (10.47) obţinem, = 0.

Deoarece peretele este electric, pe frontieră avem = const. Deci,

câmpul electromagnetic este nul pentru domenii simplu conexe. În cazul unui domeniu multiplu conex (cablu coaxial), unde putem avea valori diferite ale lui = const. pe porţiuni disjuncte ale frontierei, putem avea şi valori nenule

pentru ET, deci putem avea modul TEM.

Modul TEM se rezolvă ca o problemă de electrostatică astfel, se determină mai întâi potenţialul apoi se determină soluţiile câmpului electromagnetic de forma:

Ez = 0Hz = 0

TE = - grad (10.57)

TH = (/) grad k ,

unde = const. pe frontieră şi verifică ecuaţia = 0.

Modul TE (transversal electric) este modul în care câmpul electric este transversal, astfel încât numai câmpul magnetic are componentă longitudinală, adică Ez = 0, Hz 0. Undele electromagnetice corespunzătoare sunt numite şi unde H sau unde de tip magnetic (figura 10.6.b). Vom considera cazul în care Ez= 0, astfel din relaţia (10.50) rezultă:

rot TH = 0 sau TH = - grad ψ

Ţinând cont şi de relaţia (10.54.a) rezultă ecuaţia cu valori şi vectori proprii şi condiţia de frontieră obţinută din ecuaţia (10.49) dacă o înmulţim scalar cu n şi avem:

- ψ = (2 - 2) ψ = E ψ , (ψ /n) = 0.

Soluţia componentei TE se obţine din ecuaţia (10.49) dacă o înmulţim vectorial cu k şi egalăm componentele transversale, astfel:

)ψ(α

ωμ)(

α

ωμgradkHkE TT .

Soluţia componentei zH se obţine din (10.49) dacă o înmulţim scalar cu k şi avem:

ψEz

jH

207

Deci, pentru modul TE soluţiile câmpului electromagnetic sunt:Ez = 0

ψEz

jH

)ψ()( gradkHkE ωμωμ

TT (10.58)

TH = - grad ψ cu condiţia de frontieră (ψ /n) = 0 şi - ψ = E ψ .

Modul TM (transversal magnetic) este modul în care câmpul magnetic este transversal, astfel încât numai câmpul electric are componentă longitudinală, Hz = 0, Ez 0. Undele electromagnetice corespunzătoare mai sunt numite şi unde E sau unde de tip electric (figura 10.6.c). Dacă impunem Hz = 0, din relaţia (10.49) rezultă, TE = - grad , cu condiţia = 0, pe frontiera ,

( 0TtE ), iar din relaţia (10.52.a) se obţine ecuaţia care sugerează problema de

valori şi vectori proprii: - = MSoluţiile componentelor TH , respectiv zE , se obţin din ecuaţia (10.50)

dacă o înmulţim vectorial, respectiv scalar, cu k şi egalăm componentele transversale, respectiv longitudinale, astfel:

][α

ωε)(

α

ωε gradkEkH TT

Mz

jE

Deci, pentru modul TM soluţiile câmpului electromagnetic sunt:

Mz

jE

Hz = 0

TE = - grad cu = 0 pe şi - = M (10.59)

][α

ωε)(

α

ωε gradkEkH TT .

10.2.3. Puterea transferată prin ghidul de undă dreptunghiular

Puterea complexă transferată printr-o suprafaţă transversală S = R2 a ghidului de undă poate fi exprimată în funcţie de vectorul Poynting astfel:

dSS

)(*

HEkS (10.60)

208

unde k este versorul normalei la suprafaţa transversală, orientat după direcţia axei 0z. De remarcat că din produsul (EH*) intervine numai componenta paralelă cu k, restul componentelor dau produse scalare nule. Astfel că puterea complexă, este:

dSeedS zjg

zjgGG ][)( **

HEkHEkS

dSdS TTgg )()( **

HEkHEkS

dSTT )( *

HEkS (10.61)

Ţinând cont de posibilitatea descompunerii câmpului electromagnetic în componentele electrice (indice E), magnetice (indice H) şi electromagnetice (indice EH) ale acestuia, relaţia (10.61) devine:

dSdSdS HEHEEHEHEH TTTTTT ][][][ *** HEkHEkHEkS

dSdSdS THTTTTT EEEEHE ][][][ *** HEkHEkHEk

dSdSdS HHEHEHH TTTTTT ][][][ ***

HEkHEkHEk

În cazul particular, pentru ghiduri de undă simplu conexe, unde nu există modul transversal electromagnetic, avem:

dSdSdS EHHEEE TTTTTT ][][][ *** HEkHEkHEkS

dSHH TT ][ *

HEk

avem:

dSdSEE ψα

ωμ]ψ)ψ(

α

ωμ[,

2gradgradgradkkS

dSldEE ψψψψα

ωμ, nS

Deci:

dSdS EEE2

, ψα

ωμψ

α

ωμ 2gradS (10.62)

Analizând expresia vectorului Poynting, se observă că puterea transmisă pe mod este pur reală. În mod similar se poate arăta că şi 0, HHS este pur

reală. Iar:

209

dSHE

)(

α

ωμ)ψ(

α

ωμ, gradkgradkkS

0ψα

εμω)ψ(

α

εμω2

2

2

2

,

lddSHE rot kS (10.63)

şi în mod similar:

0)ψ(, dSEH kgradgradS

Puterea undei electromagnetice transmisă pe ghid este suma puterilor transferate pe moduri.

Dacă considerăm rezultatul obţinut cu privire la vectorul Poynting EE ,S , şi

anume faptul că puterea transmisă pe mod este pur reală, atunci scriem:

dS)(P TTT Re2

1kHE

dar (ET H*T), deci (ET H*

T) =ETH*Tşi atunci avem:

dSP TTT 2

1HE . (10.64)

În funcţie de impedanţa de undă, expresia puterii transmise poate fi scrisă şi altfel dacă se consideră relaţia H*

T=ET/Zu:

dSZ

Pu

T2T2

1E (10.65)

Dacă ne referim la puterea pierdută, este util a se compara câmpul electromagnetic pe peretele ideal şi pe peretele real. În cazul ideal, perete perfect conductor, există numai câmp magnetic tangenţial (ET = 0), astfel vectorul Poynting în metal este zero, adică pereţii sunt fără pierderi.

10.2.4. Propagarea câmpului electromagnetic în cavităţi rezonante

O structură rezonantă este un sistem electromagnetic cu comportare dependentă de frecvenţă, care se manifestă ca sistem rezonant pentru anumite frecvenţe şi/sau moduri de oscilaţie.

Un sistem electromagnetic funcţionează la rezonanţă dacă în regim armonic puterea reactivă primită de sistem este nulă, sau echivalent, energia electrică medie acumulată de sistem este egală cu energia magnetică medie acumulată de acesta.

Cavităţile rezonante fac parte din categoria dispozitivelor folosite la încălzirea materialelor dielectrice în câmp de microunde.

210

Acestea sunt incinte cu pereţi metalici, conductori, alimentate prin unul sau mai multe ghiduri de undă. Dimensiunile acestora sunt mari faţă de lungimea de undă utilizată. Numărul de moduri care pot să apară în cavităţile mari, în comparaţie cu lungimea de undă, depinde în general, de volumul cavităţii şi frecvenţa de lucru.

Problemele apărute la realizarea practică a aplicatoarelor cu microunde sunt legate de alegerea formei şi dimensiunile cavităţii, astfel încât încălzirea să fie uniformă, rapidă, eficientă şi să nu distrugă calităţile materialului încălzit sau uscat. Din aceste motive, uneori, în cavitate se introduc dispozitive auxiliare capabile să perturbe câmpul, iar când este posibil, corpul care este supus încălzirii se poate pune în mişcare.

La rezonanţă, comportarea unui sistem este pur rezistivă din punctul de vedere al sursei de alimentare: are loc o compensare exactă a energiei electrice cu cea magnetică în interiorul sistemului, iar aportul de putere activă furnizat de sursă este compensat de consumul de putere activă în elementele disipative ale sistemului. La frecvenţe diferite de frecvenţa de rezonanţă, peste comportarea rezistivă se adaugă o comportare reactivă determinată de dezechilibrul dintre energia electrică medie şi energia magnetică medie din sistem, în procesul oscilatoriu întreţinut de sursă.

În general, studiul cavităţilor rezonante este abordat în ipoteza absenţei pierderilor pe frontieră, admiţând deci că pereţii sunt realizaţi dintr-un material de tip „perfect E”. Dacă există totuşi unele pierderi în pereţii conductori, acestea vor fi suficient de mici, astfel încât acestea nu vor afecta semnificativ distribuţia câmpului electromagnetic.

Considerăm o cavitate în interiorul căreia avem un mediu liniar, caracterizat prin permitivitatea electrică , permeabilitatea magnetică şi conductivitatea . Dacă considerăm că aplicatorul este fără pierderi ( = 0), atunci ecuaţiile câmpului electromagnetic din interiorul sistemului se obţin din:

ttt

HH

rotEν

1μ

B (10.66.a)

tt

E

rotH εD

(10.66.b)

Necunoscutele acestor ecuaţii sunt mărimile E şi H. Ecuaţia de gradul al doilea scrisă pentru mărimea E, cunoscută în literatura de specialitate ca fiind ecuaţia undelor, o obţinem aplicând operatorul rot relaţiei de mai sus:

0εν2

2

t

ErotErot (10.67)

În regim permanent sinusoidal avem:

211

)sin(ω2),(E)sin(ω2),(E),,,( yyxx tzy,xtzy,xtzyx jiE

)sin(2),(E zz tzy,xkImaginea în complex, este:

zyx EEE kji E ,

unde: xjxx eEE , yj

yy eEE , zjzz eEE .

Ecuaţia undelor se poate scrie în formă complexă astfel:0εων 2 EErotrot (10.68.a)

EErotrot εων 2 (10.68.b)În continuare, ne punem problema determinării unei frecvenţe de

rezonanţă pentru cavitate. Aceasta înseamnă că la frecvenţa respectivă există câmp electromagnetic fără ca aplicatorul să fie excitat din exterior. Pentru aceasta vom găsi soluţiile ecuaţiei (10.68.a) impunând condiţia Et = 0 pefrontiera . În relaţia de mai sus, notăm cu = 2, şi obţinem ecuaţia ce descrie o problemă de funcţii şi valori proprii:

EErotrot ν (10.69)Dacă aplicăm apoi operatorul div, ţinând cont că div rot = 0, obţinem o

condiţie Coulomb de etalonare implicită: 0Ediv .

Se poate arăta că operatorul Erotrotν este simetric pe mulţimea funcţiilor, cu condiţia de frontieră nulă şi care verifică condiţia de etalonare.

Există real şi pozitiv, adică R+, şi reale astfel încât:

rotrotν . Există pulsaţii care pentru condiţia, 2 = , aplicatorul este

la rezonanţă. Considerăm cavitatea rezonantă paralelipipedică omogenă, obţinută prin

scurtcircuitarea în plane transversale a unui ghid de undă dreptunghiular. Astfel, dacă dimensiunile cavităţii sunt abc (figura 10.7), atunci aceasta poate fi considerată ca provenind dintr-un ghid dreptunghiular de secţiune ab, scurtcircuitat transversal la o distanţă c, sau alte variante de acest fel. Studiul iniţial este abordat în ipoteza absenţei pierderilor.

Figura 10.7. Cavitate paralelipipedică.

212

Din ecuaţia (10.68.a), dacă ţinem cont că 0Ediv , obţinem:

EE (10.70)În relaţia (10.70) trebuie impusă condiţia de etalonare, deci din spectrul de

valori şi funcţii proprii ale operatorului Laplace trebuie culese doar acele valori pentru care condiţia de etalonare este îndeplinită.

Dacă este o funcţie de forma: ),,(),,(),,( zyxzyxzyx zyx kji (10.71)

care satisface relaţia: λ , cu condiţia, 0div , atunci se scrie:

- x= xx

- y = yy

- z = zz

unde x, y şi z nu trebuie să fie egale întotdeauna.Problema poate fi rezolvată prin metoda separării variabilelor, şi

impunând condiţiile de frontieră vom obţine pentru , soluţiile:

x(x,y,z) isinsin)cossin( zc

my

b

lxBxA xx

y(x,y,z) jsin)cossin(sin zc

myByAx

a

kyy

(10.72)

z(x,y,z) k)cossin(sinsin zBzAyb

lx

a

kzz

unde:

2

2

2

22 )()(

c

m

b

lx

2

22

2

2 )()(

c

m

a

ky

(10.73)

22

2

2

2 )()( b

l

a

kz .

Din rezultatele astfel obţinute, nu avem nici o informaţie despre divergenţă, dar ştim că aceasta trebuie să fie egală cu zero. Dacă o funcţie are divergenţa zero într-un domeniu, atunci ea trebuie să aibă divergenţa zero şi pe frontieră. Adică, dacă: div = 0 pe , atunci rezultă că div = 0 şi pe .

Dacă considerăm că între funcţiile x, y şi z există o combinaţie de forma: = ux (x,y,z) + vy (x,y,z) + wz (x,y,z), după înlocuirea în laplacian, avem:

- = u x x+ v y y + w z z = (ux + vy + wz) (10.74)

213

Pentru orice combinaţie de funcţii proprii, trebuie să avem:

00

zyx

x

zw

yv

xudiv

(10.75)

Astfel, pentru x = 0, avem:xxBxA

x)( 0sincos

0xx

,

de unde rezultă Ax = 0, iar pentru x = a, avem a

k .

Pentru y = 0, avem:yyByA

y)( 0βsinββcosβ

0yy

,

de unde rezultă că Ay =0, iar pentru y = b, avem b

k .

Pentru z = 0, avem:zzBzA

z)( 0sincos

0zz

,

de unde rezultă că Az = 0, iar pentru z = c, avem c

k .

O combinaţie între funcţiile x, y şi z poate să verifice condiţia de etalonare dacă ele sunt de forma:

sinsincos),,(x zc

my

b

lx

a

kBzyx xx

i

sincossin),,(y zc

my

b

lx

a

kBzyx yy

j (10.76)

cossinsin),,(z zc

my

b

lx

a

kBzyx zz

k

în plus, = x = y = z = 222

c

m

b

l

a

k .

Dacă căutăm o combinaţie liniară de forma: = ux(x,y,z) + vy(x,y,z) + wz(x,y,z), () u, v, w R, (10.77)

cu proprietatea, div = 0 pe frontiera şi

= x = y = z = 222

c

m

b

l

a

k

care să satisfacă relaţia, , vom găsi vectorii proprii ce corespund unui set de valori k, l şi m.

Notăm a

kk

' ,

b

ll

' ,

c

mm

' şi două funcţii proprii cu presupunerile

de mai sus, obţinem:

214

]''['' yx klc (10.78)

]''["" zx kmc . (10.79)Dacă dorim să găsim ’’ = ux + vy + wz cu div ”= 0 şi ortogonal pe

’ (<’,’’> = u l’- v k’ = 0) atunci, se obţine sistemul de ecuaţii având necunoscutele: u, v şi w.

u l’-v k’= 00''' mwlvku

'

'

l

kvu ,

de unde rezultă: zyx lklmmkc )''(''''"" 22 . (10.80)

Frecvenţa de rezonanţă trebuie să verifice relaţia 2 = unde,222

c

m

b

l

a

k (10.81)

10.2.5. Rezolvarea numerică a problemei de câmp în aplicator

Pornind de la ecuaţia undelor scrisă în formă complexă, cu menţiunea că poate fi şi un număr complex, dacă mediul este cu pierderi, iar pe frontieră avem condiţiile:

0εων 2 EErotrot (10.82)

() 0tE , pe fără Sghid,

() fE t , pe Sghid, unde f este unul din modurile de propagare prin ghid,

se demonstrează că ecuaţia are soluţie unică dacă Im{}<0. De obicei, ''' εεε j .

Această ecuaţie se rezolvă prin elemente finite, parcurgând următorii paşi:a). Se scrie necunoscuta E astfel:

kk

k 0EE (10.83)

unde k sunt funcţii de formă cunoscute având rotk liniar independentă şi 0kt pe , iar 0E este o funcţie cunoscută ce are proprietatea că:

00 tE pe \Sghid

ft0E pe Sghid

0ε Ediv (condiţia de etalonare Coulomb).

215

b) Se proiectează ecuaţia (10.82) pe nişte funcţii test:

dd PP εν 2 EψErotrotψ , unde 0Ptψ pe

(10.84)c) Se rezolvă prin părţi integrala, rezultând forma slabă a ecuaţiei (10.82):

ddd PPP ν)()ν()ν ErotψErotnψErot(ψ

dd PP εων 2 EψErotrotψ (10.85)

În relaţia astfel obţinută, înlocuim relaţia (10.83) şi dacă considerăm N funcţii de formă, atunci avem:

dddd PP

N

kkPkPk 00

2

1

2 νεω]εων[ ErotrotψEψψrotrotψ

(10.86)Dacă considerăm funcţiile test p = 1, 2, 3…N, şi notăm termenul din

stânga egalităţii de mai sus cu Pka , iar cel din dreapta cu Pb , atunci avem un sistem de N ecuaţii cu tot atâtea necunoscute:

N

kPkPk ba

1

, p = 1, 2, 3, …N (10.87)

Putem alege funcţii de formă egale cu funcţiile test ((p)= p).

Observaţie. Dacă, dorim ca 0ε Ediv , atunci:Pasul 1. Se mai adaugă o corecţie de forma:

N

kqq

N

kkk

110 βα gradEE (10.88)

unde q = 0 pe , astfel încât divergenţa lui E să fie zero.

Pasul 2. Avem două seturi de ecuaţii:

dd PP εων 2 EψErotrotψ cu p = 1, 2, 3,…, N (10.89)

0ε

dm Egrad cu m = 1, 2, 3, …, M (10.90)

Din relaţiile astfel obţinute, rezultă un sistem de (N+M) ecuaţii cu tot atâtea necunoscute.

216

N

k

M

qqPqkPkP ddd

1 10 νβναν gradrotψrotrotψErotrotψ

N

k

M

mmPkkPkP ddd

1 10

2 εβεαε[ω gradψψEψ (10.91)

ddivddS PPPPPq rotψrotψgradrotψn ννν

Dacă = const. în ultima integrală, se obţine div rot = 0, sistemul se simplifică.

Frecvent pentru funcţiile k se aleg elemente nodale vectoriale. Adică

unui nod Pn, îi corespund trei funcţii de forma: nn i' , nn j" , nn k''' ,

unde n este elementul nodal al punctului. Elementul nodal de ordinul I al nodului Pn este funcţia cu variaţie liniară în toate domeniile tetraedrului care are valoarea 1 în nodul Pn şi 0 în toate celelalte noduri dacă în prealabil pe a fost definită o reţea de discretizare tetraedrală. Pentru q = se va alege tot elemente nodale.

217

ANEXA A

ELEMENTE DE ALGEBRĂ ŞI ANALIZĂ VECTORIALĂ

A.1. Algebră vectorială

Fie mulţimea matricelor cu o coloană şi 3 rânduri, pe care o notăm cu E3. Sunt cunoscute proprietăţile:

Adunarea:

3

2

1

A

A

A

+

3

2

1

B

B

B

=

3

2

1

B

B

B

+

3

2

1

A

A

A

=

33

22

11

BA

BA

BA

E3; (A.1)

3

2

1

A

A

A

+

0

0

0

=

3

2

1

A

A

A

;

3

2

1

A

A

A

+

3

2

1

A

A

A

=

0

0

0

;

înmulţirea cu un număr real:

3

2

1

A

A

A

=

3

2

1

A

A

A

=

3

2

1

A

A

A

E3; (A.2)

oricare ar fi R şi

3

2

1

A

A

A

,

3

2

1

B

B

B

E3. Pentru a simplifica scrierea, notăm A=

3

2

1

A

A

A

. Din ultima

proprietate, rezultă că mai avem:)()( AA ; AAA )( ; BABA )(

Pentru că îndeplineşte condiţiile de mai sus, spunem că este spaţiu vectorial peste R, iar elementele lui E3 sunt vectori şi elementele din R sunt scalari. Se observă că proprietăţile înmulţirii vectorilor cu scalari sunt valabile şi când înmulţirea cu scalarul se face la dreapta.

Fie vectorii liniari independenţi:

i=

0

0

1

; j=

0

1

0

; k=

1

0

0

Se vede imediat că orice vector din E3 se poate descompune unic după i, j şi k:

A=

3

2

1

A

A

A

=

0

0

1

1A +

0

1

0

2A +

1

0

0

3A = 1A i+ 2A j+ 3A k (A.3)

Vectorii i. j şi k formează o bază în E3.Pe E3 putem defini produsul scalar prin relaţia:

332211 BABABA BA (A.4)

Sunt evidente proprietăţile:ABBA ; BABA )()( ; CABACBA )(

218

02

3

2

2

2

1

2 AAAAAA

egalitatea având loc dacă şi numai dacă A=0. A se numeşte norma (modulul) vectorului A.: 2

3

2

2

2

1 AAAA . (A.5)

Dacă produsul scalar a 2 vectori este nul, spunem că vectorii sunt ortogonali. Se observă imediat că vectorii i, j şi k sunt ortogonali şi au modul unitar. Spunem că i, j şi k formează o bază ortonormată. Atunci, avem 1A iA , 2A jA , 3AkA .

Pe E3 putem defini produsul vectorial prin relaţia:

321

321

BBB

AAA

kji

BA =32

32iBB

AA+

13

13

BB

AAj +

21

21

BB

AAk (A.6)

pusă sub formă de determinant pentru a se reţine mai uşor. Pornind de la proprietăţile determinanţilor, rezultă imediat şi proprietăţile produsului vectorial:

0AA ; ABBA ; BABA )()( ; CABACBA )(

Frecvent se folosesc combinaţii ale produselor scalare şi vectoriale. De exemplu, produsul mixt este definit prin CBA )( . ţinând cont de definiţiile produselor scalar şi

vectorial, rezultă că produsul mixt poate fi pus sub forma:

CBA )( =

321

321

321

BBB

AAA

CCC

(A.7)

Proprietăţile produsului mixt rezultă imediat din proprietăţile determinanţilor:CBA )( = )( CBA ; )( CBA = )( CAB ; CBA )( = ACB )( = BAC )(

Permutările circulare permit reţinerea uşoară a ultimei proprietăţi (Fig.A.1). Din proprietăţile de mai sus se vede imediat că dacă în produsul mixt apare un vector de două ori, atunci produsul este nul.

Dublul produs vectorial este definit prin )( CBA . Se poate demonstra că:

)( CBA = )()( BACCAB ; CBA )( = )()( BCACAB (A.8)

Produs scalar de produse vectoriale este )()( DCBA . Ţinând cont de proprietăţile

produsului mixt şi dublului produs vectorial, avem:)()( DCBA = DCBACABDCBA )()()( =

= ))(())(( DACBDBCA Imaginile în R3 ale vectorilor din E3

Imaginea în R3 a vectorului A=

3

2

1

A

A

A

este săgeata care are proiecţiile A1, A2, A3, pe axele

sistemului de coordonate carteziene (Fig.A.2).

Fig. A.1. Permutări circulare

219

O astfel de săgeată poate fi cea care are coada în origine şi vârful în punctul de coordonate A1, A2, A3, (Fig.A.3). Proiecţia unui punct pe axa oz, de exemplu, se obţine prin intersecţia axei cu planul paralel cu xoy, ce trece prin acel punct. Proiecţia unei săgeţi pe axa oz, de exemplu, este definită prin segmentul cuprins între proiecţiile capetelor săgeţii, având orientarea săgeţii. Aplicând teorema lui Pitagora în Fig.A.3, rezultă că modulul unui vector (A.5) este egal chiar cu lungimea imaginii sale. Imaginile bazei i, j, k sunt săgeţi de lungime unitate, aşezate pe axele ox, oy, oz. Numim versor vectorul de modul unitate. Imaginea unui versor indică o direcţie în R3. Elementele bazei sunt versorii axelor de coordonate (Fig.A.4).

Fig.A.3. Imaginea unui vector printr-un vector Fig. A.4. Baza i, j, k ce pleacă din origine

Suma vectorilor asociaţi unui contur închis este nulă, deoarece suma proiecţiilor lor pe orice dreaptă este nulă (în particular, şi proiecţiile pe axele de coordonate). În Fig.A.5 este ilustrat cazul a 3 vectori: A+B+C=0. Dacă notăm C’=-C, atunci avem:

C’=A+B (A.9)Se observă că imaginea acestei sume (Fig.A.5) se obţine punând săgeata lui B în continuarea lui A, iar apoi C are începutul la începutul lui A şi vârful în vârful lui B. Putem folosi şi regula paralelogramului: punem săgeata lui B cu începutul la începutul lui A, construim paralelogramul şi săgeata vectorului sumă este diagonala paralelogramului ce pleacă din inceputul săgeţilor lui A şi B. Din relaţia (A.9) rezultă

B =C’A (A.10)Imaginea acestei diferenţe este dată de săgeata care are vârful în vârful descăzutului C’ şi începutul în vârful scăzătorului A (Fig.A.5). Pentru suma a mai mulţi vectori, punem săgeţile vectorilor una după alta, iar imaginea sumei este săgeata care are inceputul la începutul liniei poligonale şi vârful la sfârşitul liniei poligonale (Fig.A.6).

Produsul scalar a doi vectori are următoarele semnificaţii:ABcosBA = )(BPrA A = )(APrB B (A.11)

unde este unghiul dintre imaginile vectorilor A şi B (Fig. A.7).

Fig. A.2. Imaginea unui vector în R3

220

Fig. A.5. Suma vectorilor asociaţi Fig. A.6. Sumă a mai multor vectori unui contur închis

Într-adevăr, aplicând teorema cosinusului în triunghiul format din săgeţile celor 2 vectori

şi diferenţa lor C=AB, avem:ABcosBAC 2222

ţinând cont de (A.5), avem:cos2)()()( 2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

2

33

2

22

2

11 ABBBBAAABABABA Dezvoltând şi

făcând reducerile, rezultă (A.11). Dacă produsul scalar este nul, atunci cos=0, deci 2

şi

imaginile vectorilor A şi B sunt perpendiculare.Produsul vectorial a doi vectori are şi următoarele semnificaţii:

ABsinnBA = ABSn (A.12)

unde versorul n este perpendicular pe imaginile celor 2 vectori şi are orientarea definită de regula burgiului rotit prin rotaţia cea mai mică pe care o dăm lui A pentru a căpăta orientarea lui B (Fig.A.8). SAB este aria paralelogramului generat de imaginile celor doi vectori. Se spune că n SAB este aria orientată a suprafeţei acestui paralelogram, iar n este normala la suprafaţă. Pentru a dovedi relaţia (A.12), arătăm că vectorul n SAB are aceleaşi componente ca şi vectorul

BA . Vom lua începuturile vectorilor A şi B în originea axelor (Fig. A.9).

Fig. A.8. Produs vectorial Fig. A.9. Proiecţia în planul xoy

Fig. A.7. Produsul scalar

221

Componenta vectorului n SAB pe versorul k este: kn SAB= SAB cos(kn) = SAB

unde (kn) este unghiul dintre cei 2 versori şi, ca urmare, SAB3 este aria proiecţiei paralelogramului pe planul xoy. Segmentele 1oa , 2oa , 1ob , 2ob au ca lungimi chiar proiecţiile

vectorilor A şi respectiv B pe axele ox, oy. Triunghiul oab are jumătate din aria SAB3. Aria

)(oab = 32

1ABS a triunghiului oab se determină prin:

)(oab = )( 1obb + )( 11aabb )( 1oaa =

= ))((2

1)(

2

12211211 BABABBA 212

1AA

După efectuarea calculelor, rezultă )(oab = )(2

11221 BABA . Deci, SAB 3 are valoarea

componentei pe axa 0z a produsului vectorial (A.6).Produsul mixt a 3 vectori are valoarea volumului v al paralelipipedului cu muchiile

paralel cu vectorii. Intr-adevăr: CBA )( = n CABS = )(CncosCS AB = hS AB =v

unde (Cn) este unghiul dintre n şi C, iar h este înălţimea paralelipipedului (Fig.A.10).

A.2. Integrale pe varietăţiFie un domeniu R3 (sau R2). Numim câmp de scalari (de exemplu, un câmp de

temperaturi) o funcţie T: →R. Dacă domeniul valorilor este un spaţiu vectorial, spunem că avem un câmp de vectori (de exemplu, un câmp de viteze w : →R, Asemănător, putem avea câmp de tensori sau câmp de flori. Dacă nu există pericolul confuziei, vom nota la fel funcţia cu valoarea funcţiei într-un punct.

i) Integrala curbilinie de a 2-a speţăFie un segment orientat l de lungime l şi un punct care se deplasează de-a lungul

segmentului sub acţiunea forţei constante F. Lucrul mecanic efectuat este (A.11).lFF lPrL l )( (A.13)

Fie acum în domeniul un câmp de forţe F şi o curbă orientată C. Dacă am dori să determinăm lucrul mecanic pe care-l efectuează un punct la deplasarea pe curba C, sub acţiunea forţei F ce depinde de poziţia punctului, împărţim curba în segmente arbitrar de mici kl(Fig.A.11), pe care admitem că forţele sunt constante şi au valorile Fk din puncte arbitrare kM

de pe segmentele kl şi apoi însumăm micile lucruri mecanice kL efectuate pe fiecare

segment şi calculate cu relaţia (A.13):

k

kkCL lF (A.14)

Fig. A.10. Produs mixt

222

Rezultatul este ca atât mai bun, cu cât divizarea curbei C în segmente este mai fină. Limita relaţiei (A.12) când 0)( kk

lMax , dacă aceasta există, se notează:

C

C dL lF (A.15)

şi se numeşte integrala curbilinie de a 2-a speţă, a lui F pe curba orientată C. In calculele numerice, integrala (A.15) se aproximează cu suma (A.14). Analitic, dacă curba C este descrisă de )(tfx , )(tgy , )(thz , cu bat , , atunci:

dtdt

dh

dt

dg

dt

dfd

kjil

şi:

b

a

zyxC dtdt

dhthtgtfF

dt

dgthtgtfF

dt

dfthtgtfFL )(),(),()(),(),()(),(),(

Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala curbilinie de a 2-a speţă sunt sunt relaţiile de calcul ale tensiunilor electrice şi magnetice.

ii) Integrala curbilinie de prima speţăFie un segment de lungime l dintr-o sârmă cu secţiune constantă şi din acelaşi material.

Densitatea lineică (pe unitatea de lungime) de masă este l . Atunci, masa segmentului este:

llm (A.16)

Fie acum o sârmă de curbă C, de-a lungul căreia densitatea lineică de masă depinde de punct. Dacă dorim să determinăm masa sârmei, împărţim curba în segmente arbitrar de mici

kl , pe care admitem că densităile de masă sunt constante şi au valorile k din puncte arbitrare

kM de pe segmentele kl şi apoi însumăm micile mase km ale fiecarui segment şi calculate

cu relaţia (A.16):

k

kkC lm (A.17)

Rezultatul este cu atât mai bun, cu cât divizarea curbei C în segmente este mai fină. Limita relaţiei (A.17) când 0)( kk

lMax , dacă aceasta există, se notează:

C

C dlm (A.18)

şi se numeşte integrala curbilinie de prima speţă a lui pe curba C. În calculele numerice, integrala (A.18) se aproximează cu suma (A.17). Analitic, avem:

Fig. A. 11. Integrală curbilinie

223

dtdt

dh

dt

dg

dt

dfdl

222

şi:

b

a

C dtdt

dh

dt

dg

dt

dfthtgtfm

222

)(),(),(

Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala curbilinie de prima speţă sunt formulele coulombiene şi Biot-Savart-Laplace.

iii) Integrala de suprafaţă de a 2-a speţăFie o ţeavă de secţiune constantă de arie ST şi de orientare nT, prin care curge un fluid cu

viteza uniformă w (Fig.A.12).

Debitul volumic este dat de volumul de fluid ce trece prin secţiunea transversală în

unitatea de timp t

vd

. Dar volumul v este dat de produsul dintre aria secţiunii ST şi

deplasarea l pe care o face coloana de apă în timpul t . Deci, wSt

lSd TT

. Dacă

suprafaţa plană nu este ortogonală pe direcţia ţevii şi deci pe viteza w, ci are orientarea n şi aria S, atunci, în formula debitului, se înlocuieste ST cu S cos , unde este unghiul dintre viteză şi normala n:

Swcosd = Snw (A.19)

Fie acum o ţeavă cu secţiune variabilă, în care câmpul de viteze nu mai este uniform (constant) şi fie o suprafaţă S oarecare pe care dorim să calculăm debitul. Aproximăm suprafaţa cu o suprafaţă poliedrală cu feţe de arii kS arbitrar de mici, pe care admitem că vitezele fluidului

sunt constante şi au valorile kw din puncte arbitrare kM de pe feţele k şi apoi însumăm micile

debite kd de pe fiecare faţă şi calculate cu relaţia (A.19):

k

kkkS Sd nw (A.20)

Rezultatul este cu atât mai bun, cu cât divizarea suprafeţei S este mai fină. Fie k cea mai

mare distanţă între două puncte de pe faţa k. Limita relaţiei (A.20) când 0)( kkMax , dacă

aceasta există, se notează:

S

S dSd nw (A.21)

Fig.A.12. Debitul volumicprintr-o ţeavă

224

şi se numeşte integrala de suprafaţă de a 2-a speţă a lui w pe suprafaţa orientată S. In calculele numerice, integrala (A.21) se aproximează cu suma (A.20). Analitic, dacă avem suprafaţa Sdescrisă de ),( fx , ),( gy , ),( hz , dcba ,,, D , atunci, păstrând

variabilele sau constante, obţinem pe S două familii de curbe de coordonate (Fig.A.13).

Pe fiecare familie de curbe, elementele de arc sunt:

dhgf

d

kjil şi dhgf

d

kjil

şi, conform proprietăii produsului vectorial (A.12),

lln dddS =

dd

hgf

hgf

kji

Rezultă:

D

dd

hgf

hgf

wyww

d

zx

S

Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala de suprafaţă de a 2-a speţă sunt relaţiile de calcul ale fluxurilor electrice şi magnetice.iv) Integrala de suprafaţă de prima speţă

Fie o tablă de grosime constantă, omogenă, de arie S şi cu densitatea de suprafaţă a masei S constantă. Masa tablei este:

Sm S (A.22)

Fie acum o tablă de forma unei suprafeţe S, în care densitatea de suprafaţă a masei Snu mai este constantă şi dorim să calculăm masa tablei. Aproximăm suprafaţa cu o suprafaţăpoliedrală cu feţe de arii kS arbitrar de mici, pe care admitem că densităile de suprafaţă ale

masei sunt constante şi au valoarile Sk din puncte arbitrare kM de pe feţele k şi apoi însumăm

micile mase km ale fiecărei feţe şi calculate cu relaţia (A.22):

k

kSkS Sm (A.23)

Fig. A.13. Alemente de arie pe o suprafaţă

225

Rezultatul este cu atât mai bun, cu cât divizarea suprafeţei S este mai fină. Limita relaţiei (A.23) când 0)( kk

Max , dacă aceasta există, se notează:

S

SS dSm (A.24)

şi se numeşte integrala de suprafaţă de prima speţă a lui S pe suprafaţa S. In calculele

numerice, integrala (A.24) se aproximează cu suma (A.23). Analitic, în relaţia (A.24), punem:

ddgf

gf

fh

fh

hg

hg

dS

222

Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala curbilinie de prima speţă sunt formulele coulombiene şi Biot-Savart-Laplace.v) Integrala de volum

Fie un corp omogen de volum v şi cu densitatea masei constantă. Masa corpului este:

vm (A.25)

Fie acum un corp neomogen ce ocupă domeniul D, pentru care densitatea de masă nu mai este constantă şi dorim să calculăm masa corpului. Impărţim corpul în subdomenii arbitrar de mici, pe care admitem că densităile de masă sunt constante şi au valoarile k din puncte

arbitrare kM din subdomeniile k şi apoi însumăm micile mase km ale fiecărui subdomeniu şi

calculate cu relaţia (A.25):

k

kk vm (A.26)

Rezultatul este cu atât mai bun, cu cât divizarea corpului în subdomenii este mai fină. Fie kcea mai mare distanţă intre 2 puncte de pe subdomeniul k. Limita relaţiei (A.26) când

0)( kkMax , dacă aceasta există, se notează:

D

dvm (A.27)

şi se numeşte integrala de volum a lui pe domeniul D. In calculele numerice, integrala (A.24)

se aproximează cu suma (A.23). Exemple din teoria câmpului electromagnetic unde întâlnim integrala curbilinie de prima

speţă sunt formulele coulombiene şi Biot-Savart-Laplace.

A.3. Operatori diferenţiali

In continuare, admitem pentru câmpurile scalare şi vectoriale toate proprietăţile necesare efectuării calculelor (continuitate, derivabilitate etc.)vi) Operatorul gradient

Fie R:T un câmp de temperaturi. Ne aflăm în punctul ),,( zyxP , unde

temperatura este ),,( zyxT şi ne propunem să determinăm direcţia în care temperatura are cea

mai rapidă creştere şi care este valoarea acestei creşteri. Fie u versorul direcţiei de-a lungul căreia explorăm temperatura şi fie punctul ),,( zzyyxxQ , aflat pe această direcţie la

o distanţă l de punctul P şi unde temperatura este ),,( zzyyxxT (Fig.A.14).

226

Creşterea temperaturii pe direcţia u este dată de derivata pe direcţia u, definită de:

l

zyxTzzyyxxTlim

l

TlTlim

u

Tl

pp

l

),,(),,()()(00

rur (A.28)

Deoarece zyx ,, sunt componentele lui u l pe axele de coordonate ox, oy, oz,

avem:lx ui , ly uj , lz uk

Atunci, din relaţia (A.28), rezultă:

ukujui

z

T

y

T

x

T

u

T= ukji

z

T

y

T

x

T(A.29)

Deci, creşterea pe direcţia u este descrisă de produsul scalar dintre versorul u al direcţiei şi un vector care este definit doar de câmpul de temperaturi, pe care-l numim gradient:

kjiz

T

y

T

x

TgradT (A.30)

Relaţia (A.29) se mai scrie:

u

T

= gradTu (A.31)

Se observă că cea mai rapidă creştere se obţine atunci când direcţia u este paralelă cu gradT şi are valoarea gradT . Deci, gradT indică direcţia celei mai rapide creşteri a

câmpului de scalari T, precum şi valoarea celei mai rapide creşteri.

ii) Operatorul Scrierea şi lucrul cu operatorii diferenţiali sunt mult uşurate dacă se foloseşte operatorul:

zyx

kji (A.32)

Operatorul este un operator de derivare, cu 3 componente care derivează în raport cu cele trei variabile, deci este un vector. Este un operator liniar. Cu ajutorul acestui operator scriem

TgradT (A.33)

Operatorul are toate proprietăţile derivatelor şi ale vectorilor, dar şi restricţiile acestora. El trebuie să se afle întotdeauna în faţa funcţiei asupra căreia se aplică, iar dacă după el apar mai multe funcţii şi se aplică doar asupra uneia din ele, atunci se marcheză această funcţie. De exemplu:

)()()()(

grad = gradgrad

iii) Operatorul divergenţă

Fig. A.14. Direcţie de explorare

227

Fie câmpul de viteze al particulelor de apă, de la suprafaţa apei, într-o cadă în care se află cufundat, imediat sub nivelul apei, un duş “telefon” (Fig.A.15).

Fiecare punct din dreptul duşului constituie o sursă de apă. Ne propunem să determinăm debitul cu care contribuie fiecare punct, adică debitul pe unitatea de volum sau debitul specific într-un punct P. O problemă asemănătoare avem atunci când dorim să determinăm “masa” într-un punct P al unui corp. In acest caz, luăm un mic domeniu de volum v ce conţine punctul

P şi care are masa m , iar apoi definim densitatea de masă prin relaţia v

mlim

v

0

. La fel

procedăm şi în cazul debitului: luăm un mic domeniu de volum v care conţine punctul P şi

are debitul

dSd nw pe suprafaţa ce-l mărgineşte, iar apoi definim debitul specific

prin relaţia:

v

dlimd

vspecific

0

= v

dS

limv

nw

0

Prin definiţie, operatorul divergenţă este:

wdiv =v

dS

limv

nw

0(A.34)

Pentru a calcula divw în coordonate carteziene, alegem domeniul de forma unui paralelipiped drept cu dimensiunile yyx 222 (Fig.A.16).

Să calculăm fluxul lui w pe feţele '

xS şi "

xS ortogonale pe axa ox:

' "

"'

x xS S

xx dSdS nwnw ' "

),,(),,(x xS S

xx dSzyxxwdSzyxxw

= ),,(),,(4 zyxxwzyxxwzy xx =x

zyxwxzy x

),,(

8

Fig. A15. Debit specific

Fig. A.16. Calculul lui div w în cooronate carteziene

228

ultima expresie rezultând din dezvoltare în serie Taylor. Procedăm la fel pe feţele paralelipipedului, ortogonale cu axele oy şi oz, iar apoi înlocuim în (A.34). Deoarece

zyxv 8 obţinem:

z

w

y

w

x

wdiv zyx

w

Folosind operatorul , putem scrie:ww div

Utilizarea operatorului permite lucrul uşor cu expresii mai complicate, în care apar combinaţii de câmpuri scalare şi vectoriale. Câteva exemple:

AAAAAAAA divgraddiv

,

)()()()()()( BAABBABABABA

div ,

)()()()(

BABABABAgrad = ABAB )()( +

+ BABA )()( În ultima expresie, s-au folosit proprietăţile dublului produs vectorial.

iv) Operatorul rotorFie câmpul de viteze al particulelor de apă dintr-un râu ce curge destul de repede încât să

apară vârtejuri. In dreptul unui vârtej, apa este rotită, o măsură a rotaţiei de-a lungul unei curbe închise fiind integrala de linie a lui w pe această curbă (Fig.A.17):

lw drotat

Pentru a aprecia rotaţia fluidului dintr-un punct P (rotaţia specifică), în jurul unei direcţii u, se alege o mică curbă plană de orientare u, care mărgineşte o mică suprafaţă ce conţine punctul P şi are aria S , apoi se face limita:

S

d

limRSu

lw

0 (A.35)

Evident, expresia de mai sus depinde de orientarea u. Fie )( umax RMaxRu

şi fie maxu

direcţia pentru care se obţine acest maxim. Prin definiţie, operatorul rotor este:

maxmax Rrot uw (A.36)

De fapt, admitem a priori că:uu maxmaxu RR = wu rot (A.37)

(condiţie suficientă), pentru a avea asigurată existenţa şi unicitatea valorii maxR .

Fig. A.17. Rotaţia fluidului

229

Pentru a calcula rotw în coordonate carteziene, alegem o curbă = de formă dreptunghiulară, de orientare u, ale cărei laturi cu dimensiunile "2'2 ll sunt orientate pe direcţiile versorilor t’ şi t” (Fig.A.18).Avem

lwlwlwlwlw ddddd )""(''2 lwl P tr +

+ )''(""2 lwl P tr )''(""2)""(''2 lwllwl PP trtr (A.38)

unde wt ''w şi wt ""w . Din relaţia (A.28), avem:

)')("("'""'"""

}('")""(' wtttt

rtr

lwlgradwlt

wllw P

P=

)")('(")(")")('(")()'"(" wttwuwttwtt llll

Procedând la fel cu toţi termenii din membrul drept al relaţiei (A.38) şi, înlocuind în (A.35), rezultă:

)")('()')("( wttwttuR )')("()")('()(2 wttwttwu = uR )(2 wu

de unde:)( wu uR

De aici, rezultă că valoarea maximă a lui uR se obţine atunci când u are aceeaşi

orientare ca şi )( w , iar valoarea maximă este w . Deci:

wwrot

zyx wwwzyx

kji

şi ipoteza (A.37) se confirmă. Cazuri particulare de câmpuri scalare şi vectoriale

rrVrgradV

r)(')( , unde )()()( czbyax kjir .

Într-adevăr, deoarece 222 )()()( czbyaxr , avem r

axV

x

r

dr

dV

x

rV

'

)(şi,

procedând la fel cu coordonatele x şi z, rezultă formula dorită. 3rdiv .

0rrot . 0)( rfrotr .

Fig. A.18. Calculul operatorului rot

230

Intr-adevăr, ţinând cont de relaţiile de mai sus, avem: 0'))(( r

ffrfr

rrr .

ArA )(grad , unde A este un vector constant. Rezultă imediat prin scrierea produsului

scalar. ArA )( . Intr-adevăr, din formula dublului produs vectorial şi din relaţiile de mai sus,

avem: ArArArA )()()(

0)( rAdiv . Rezultă prin folosirea proprietăţilor produsului mixt.

ArA 2)( rot . Într-adevăr, din formula dublului produs vectorial şi din relaţiile de mai

sus, avem: AAArArArA 23)()()(

A.4. Relaţii integralevii) Formula lui Gauss

Fie 3R un domeniu cu bordura . Este valabilă formula

dvdivdS wwn (A.39)

numită formula lui Gauss. Într-adevăr, împărţind domeniul în subdomenii k (Fig.A.19)

integrala de volum este limită a sumei (A.2.).

k

kk vdiv )( w (A.40)

ţinând cont de definiţia operatorului divergenţă (A.34), suma de mai sus se poate scrie sub forma

k

k

k

dS

nw (A.41)

unde k este frontiera subdomeniului k .

În expresia de mai sus, integralele pe interfeţele dintre două subdomenii se anulează (vezi, de exemplu faţa comună subdomeniilor j şi k, în Fig.A.19). Rămân doar feţele care nu separă doua subdomenii, deci feţele de pe frontiera a domeniului , adică mambrul stâng al relaţiei (A.39).

În Fig. A.19 au fost desenate, pentru simplitate, subdomenii paralelipipedice, dar ele pot avea orice formă, de exemplu tetraedrale, asfel încât frontiera poate fi modelată oricât de bine. Relaţia (A.39) poate avea următoarea interpretare tehnică: debitul domeniului , deci prin frontiera sa , este egal cu suma debitelor specifice din domeniul . Este util să facem

Fig. A.19. Formula lui Gauss

231

observaţia că normala din integrala de pe frontieră se transformă în operatorul în integrala de volum

dvdS wwn

În ideea acestei observaţii, Formula lui Gauss poate fi generalizată în forma:

dvfdSf ,...),,(,...),,( wwn

Câteva exemple

dvgraddvdS n

dvrotdvdS wwwn

dvdS AwAwn )()(

viii) Formula lui StokesFie S o suprafaţă orientată cu bordura S. Este valabilă formula

SS

dSrotd nwlw (A.42)

numită formula lui Stokes. Într-adevăr, aproximând suprafaţa S cu o suprafaţă poliedrală cu feţele k , de arii kS (Fig.A.20), integrala de suprafaţa este limită a sumei (par.A.2.)

k

kkk Srot nw)( (A.43)

ţinând cont de relaţiile (A.36) şi (A.34), folosite la definiţia operatorului rotor, suma de mai sus se poate scrie sub forma

k

k

k

d

lw (A.44)

unde k este bordura feţei k . În expresia de mai sus, integralele pe curbele ce separă două

feţe se anulează (vezi, de exemplu comună comună feţelor j şi k, in Fig.A.20).

Rămân doar curbele ce nu separă două feţe, deci curbele de pe bordura S a suprafeţei S, adică membrul stâng al relaţiei (A.42).

În Fig.A.20 au fost desenate, pentru simplitate, subdomenii patrulatere, dar ele pot avea orice formă, de exemplu triunghiulare, asfel încât bordura S poate fi modelată oricât de bine. Relaţia (A.42) poate avea următoarea interpretare tehnică: integrala de linie (rotaţia) pe bordura S, este egală cu suma rotaţiilor specifice de pe suprafaţa S.

Fig. A.20. Formula lui Stokes

232

ANEXA B

ASPECTE CALITATIVE PRIVIND CÂMPURILE STAŢIONARE

B.1. Ecuaţiile regimului staţionar

Ca suport de prezentare vom folosi câmpul magnetic staţionar (B,H), dar rezultatele sunt valabile şi pentru câmpurile electric (D,E) şi electrocinetic (J,E).

Teorema lui Ampère este

ss

dAd nJrH

(B.1)

oricare ar fi suprafaţa s , cu bordura , forma locală fiind: JH rot (B.1')

Legea fluxului magnetic este

dvdSnB (B.2)

oricare ar fi domeniul , cu bordura , forma locală fiind:Bdiv (B.2')

Am presupus existenţei sarcinii magnetice , deoarece ea poate fi întâlnită la utilizarea potenţialului magnetic scalar, dar şi pentru a lua în considerare problemele de electrostatică.

La relaţiile de mai sus se adaugă legătura de material HB , numită şi relaţie

constitutitvă. Local, scriemB = f(H). (B.3)

Pentru câmpul electric (D,E), modele ale relaţiei constitutive sunt date de Legea legăturii dintre D şi E (Partea I, par.1.1), pentru câmpul magnetic (B,H) sunt date de Legea legăturii dintre B şi H (Partea I, par.1.2), iar pentru câmpul electrocinetic (J,E) sunt date de Legea conducţiei (Partea I, par.1.3).

Unicitate, existenţă, stabilitate, aspecte tehniceTrebuie să analizăm în ce mod relaţiile (B.1), (B.2) şi (B.3) definesc o problema de câmp

staţionar. În primul rând să stabilim care sunt cunoscutele şi necunoscutele în aceste relaţii. Această alegere trebuie să fie acceptabilă din punct de vedere tehnic. Apoi sistemul de ecuaţii astfel definit trebuie să asigure unicitatea, existenţa şi stabilitatea soluţiei. În acest caz spunem că problema de câmp este corect formulată.

a) Aspecte tehnice. Se admit cunoscutele: J, şi relaţia constitutivă B-H deoarece din punct de vedere tehnic acestea pot fi uşor obţinute. Într-adevăr, în regimul staţionar curentul electric poate fi localizat în spirele filiforme ale unei bobine. Atunci imediat se poate determina J.

De exemplu S

NiJ , unde N este numărul de spire al bobinei şi S este aria secţiunii transversale,

iar orientarea lui J este dată de normala la secţiunea transversală, în direcţia aleasă pentru curent. Dacă curentul i se referă la o spiră groasă perfect conductoare (bobina ideală), atunci el este distribuit sub forma pânzei de curent, care, din punct de vedere tehnic, nu se poate determina. Curentul i apare însă în condiţiile de frontieră. Distribuţia pânzei de curent la suprafaţa conductorului rezultă abia după rezolvarea problemei de câmp magnetic.

233

Mărimea apare nenulă în problemele din electrostatică, fiind localizată în corpurile izolante, sau rezultă din polarizaţiile electrice sau magnetice, în anumite formulări ale problemei de câmp (-divP, -divI). Din punct de vedere tehnic mărimile , P, I pot fi stabilite. Dacă sarcina electrică q este plasată pe corpuri conductoare, atunci ea este distribuită cu densitate de suprafaţă, care, din punct de vedere tehnic, nu se poate determina. Sarcina electrică q apare însă în condiţiile de frontieră. Distribuţia densităţii de suprafaţă a sarcinii electrice la suprafaţa conductorului rezultă abia după rezolvarea problemei de câmp electric.

Relaţia constitutivă B-H caracterizează subdomenii din domeniul de calcul. În general, în problema de câmp intră câteva tipuri de medii, fiecare în parte fiind omogen. Din punct de vedere tehnic se poate deci stabili dependenţa B-H în tot domeniul de calcul.

Necunoscuta este câmpul staţionar (B, H), deci cele 2 componente ale acestei perechi: câmpurile vectoriale B şi H. Din punct de vedere tehnic aceste mărimi pot fi măsurate doar într-un numar finit de puncte. Ele trebuie determinate prin calcul. Cunoaşterea lor este esenţială pentru determinarea altor mărimi derivate din câmp (fluxuri, tensiuni, capacităţi, inductivităţi, energii, forţe etc). Relaţiile (B.1), (B.2) şi relaţia constitutivă apar deci ca un sistem de ecuaţii cu necunoscuta (B, H).

b) Unicitate. Sistemul format din relaţiile (B.1), (B.2) şi relaţia constitutivă, împreună cu condiţii de frontieră corect formulate, trebuie să conţină suficient de multe restricţii pentru a asiguraunicitatea soluţiei, în cadrul unei mulţimi de câmpuri staţionare (B, H).

c) Existenţă. Restricţiile impuse de relaţiile (B.1), (B.2), legătura B-H şi condiţiile de frontieră trebuie să poată fi acceptate de o pereche (B, H) din mulţimea câmpurilor staţionare. Trebuie observat faptul că în afara restricţiilor descrise explicit de aceste relaţii, implicit mai apar condiţii de comportare a funcţiilor din cadrul relaţiilor (continuitate, derivabilitate pe subdomenii, etc). De multe ori, pentru a permite existenţa soluţiei, clasa câmpurilor (B,H) trebuie extinsă (la elemente din L2()L2()), cu păstrarea unicităţii soluţiei.

d) Stabilitate. Împărţirea mărimilor din relaţiile (B.1), (B.2) şi legătura B-H în cunoscute şi necunoscute necesită îndeplinirea condiţiei: o mică variaţie a valorilor cunoscutelor conduce la o mică variaţie a valorilor soluţiilor. Este deci o “continuitate” a soluţiei în raport cu datele problemei. Din punct de vedere tehnic această condiţie este evidentă, orice măsurătoare privitoare la mărimile cunoscute conţinând erori.

B.2. Condiţiile de frontieră

Pentru o corectă formulare a problemei de câmp, la ecuaţiile regimului staţionar trebuiesc adăugate condiţiile de frontieră.Presupunem că este domeniul de calcul cu frontiera . Avem (Fig. B.1):(FR) (). Pe S’ se dă componenta tangenţială a lui H:Ht = f;

() Pe restul frontierei S" = - S' se dă componenta normală a lui B: nB = g;

Dacă S' este formată din n suprafeţe disjuncte : n

i iSS

1

'

, atunci se mai dau :

234

Fig. B.1. Condiţiile de frontieră

() fluxurile lui B pe n-1 suprafeţe Si : i

iS

dS nB , i = 1,2,...,n-1

sau(') circulaţiile lui H pe n-1 curbe pe Cidin ce leagă un punct de pe Si cu un punct de

pe Sn : iu

iC

d lH , i=1,2,...,n-1

Dacă este multiplu conex, atunci fie 1,2,...,p curbele ce definesc ordinul de

conexitate al lui şi care presupunem că înconjoară holuri pe suprafeţele cărora se dă componenta normală a lui B, deci fac parte din S" (Fig.B.1).

(). Pe curbele k trebuiesc date circulaţiile lui H: k

i

k

d

lH , k = 1,2,...,p sau

(') pe tăieturile 1,2,...,p ce transformă în domeniu simplu conex, se dau

fluxurile lui B : k

k

dS

nB , k = 1,2,....,p

Aspecte tehniceVom prezenta în continuare câteva exemple de formulare corectă a condiţiilor de

frontieră şi care confirmă aspectul tehnic, natural al condiţiilor de frontiera descrise mai sus.i) În vecinătatea corpurilor perfect conductoare, componenta normală a inducţiei

magnetice este nulă (condiţie ()), iar in vecinătatea corpurilor perfect conductoare magnetic, componenta tangenţială a lui H este nulă (condiţie ()). De exemplu, în Fig.B.2 avem o incintă perfect conductoare în care se află două spire perfect conductoare şi două corpuri feromagnetice presupuse perfect conductoare magnetic.

Domeniul de calcul este cel din afara spirelor perfect conductoare şi a corpurilor feromagnetice perfect conductoare magnetic şi presupunem că nu este parcurs de curenţi (J=0).

În vecinătatea peretelui incintei şi a spirelor 0nB (condiţie ()), iar pe suprafaţa S’ ce

mărgineşte corpurile feromagnetice, 0tH (condiţie ()). Deoarece suprafaţa S’ este formată

din cele doua suprafeţe disjuncte S1 şi S2 ale celor două corpuri feromagnetice, pe suprafaţa ce mărgineşte unul din corpuri, de exemplu pe S1, trebuie cunoscută valoarea fluxului magnetic (condiţia (). Ea este dată de Legea fluxului magnetic: 0

1 S . Domeniul este multiplu conex,

cu ordinul de conexitate 2. Pentru a formula complet condiţiile de frontieră, mai trebuie să

235

cunoaştem curentii spirelor i1 şi i2 (condiţia ()). În locul curenţilor i1 şi i2 se pot da fluxurile spirelor 1 şi 2 (condiţie (’)).

ii) În secţiunea liniei bifilare din Fig.B.3, peretele şi conductoarele sunt perfect conductoare. Pe întrega frontieră a domeniului de calcul componenta normală a inducţiei magnetice este nulă (condiţie ()). Domeniul este multiplu conex, cu ordinul de conexitate 2. Pentru a formula complet condiţiile de frontieră, mai trebuie să cunoaştem curentii conductoarelor i1 şi i2 (condiţie ()) sau fluxurile magnetice 1 şi 2 prin suprafeţele 1 şi 2(tăieturile ce transformă domeniul intr-unul simplu conex).

Fig. B.3. iii) Planele de simetrie pot defini şi ele condiţii de frontieră. De exemplu dacă structura

din Fig.B.3 admite axa de simetrie MN, şi 12 ii , atunci pe această axă componenta normală a

inducţiei magnertice este de asemenea nulă (linie de câmp). Putem rezolva problema de câmp magnetic doar pe o jumătate din structura liniei bifilare.

iv) Dacă în structura din Fig.B.3 dorim să determinăm câmpul electric, atunci pe întrega frontieră avem componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric nulă (condiţie ()). Întreaga frontieră este de tip S’ care este formată din trei suprafeţe disjuncte: peretele incintei şi suprafeţele S1, S2. Pe două din acestea, de exemplu S1 şi S2 trebuie cunoscute fluxurile inducţiei electrice, care, conform legii fluxului electric, sunt date de sarcinile electrice ale conductoarelor q1 şi q2 (condiţie ()) sau trebuie date tensiunile acestor conductoare faţă de perete (condiţie (’)).

v) Dacă structura din Fig.B.3 admite axa de simetrie MN, şi q2 = -q1 (mod impar), atunci pe această axă componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric este nulă (linie echipotenţială). Pe axa de simetrie avem condiţie de frontieră de tip () şi putem rezolva problema de câmp magnetic doar pe o jumătate din structura liniei bifilare.

Fig. B.2. Spire perfect conductoare, în prezenţa unor corpuri feromegnetice, perfect conductoare magnetic (=)

236

vi) Dacă structura din Fig.B.3 admite axa de simetrie MN, şi q2 = q1 (mod par), atunci pe această axă componenta normală a inducţiei electrice este nulă (linie de câmp). Pe axa de simetrie avem condiţie de frontieră de tip () şi putem rezolva problema de câmp magnetic doar pe o jumătate din structura liniei bifilare.

vii) În cazul rezistorului, pe bornele kS avem 0tE (condiţie ()), iar în rest avem

0nJ (condiţie ()). Deoarece avem două borne disjuncte, pe una din ele trebuie dat fluxul lui

J (condiţie ()), adică curentul rezistorului sau tensiunea la borne (condiţie (’)).viii) Pe frontiere introduse artificial, în scopul definirii unui domeniu de calcul marginit,

necesar rezolvării numerice a problemelor de câmp, se impune Bn=0, pentru probleme de câmp magnetic sau Et = 0, pentru probleme de câmp electric.

B.3. Unicitate

Spunem că relaţia constitutivă f este disipativă dacă : 0"( HHHH ')"()' ff (B.7)

în aproape toate punctele din , cu excepţia unei mulţimi de volum nul, egalitatea având loc dacă şi numai dacă H’=H’’.

Formularea problemei de câmp staţionar este: se dau sursele , J, condiţiile de frontieră f, g, i (sau iu ), ki (sau k ) şi relaţia constitutivă disipativă f şise determină câmpul (B,H).

Teorema B.2 (Unicitate) Există cel mult un câmp staţionar (H, B) care verifică relaţiile (B.1), (B.2), condiţiile de frontieră (FR) şi relaţia constitutivă disipativă f.

Demonstraţie. Presupunem că ar exista două soluţii care verifică condiţiile din enunţ. Soluţia diferenţă )","()','(),( HBHBHB dd verifică forma omogenă a ecuaţiilor (B.1),

(B.2).

s

s

dd ,0

lH (B.1.d)

cu forma locală 0drotH (B.1'.d)

0dSd nB (B.2.d)

cu forma locală0ddivB (B.2'.d)

Câmpul diferenţă verifică forma omogenă a condiţiilor de frontieră:

(FRd) ( d ) 0d

tH , pe S'

( d ) 0d

nB , pe S"

( d ) 0 di

d

iS

dSnB , i = 1,2, ..., n-1 sau

( d' ) 0 di

d u

iC

dlH , i = 1,2, ..., n-1

( d ) 0 dk

d i

k

d

lH , k = 1,2, ...,p

237

sau

(d' ) 0 d

kd

k

dS

nB , k = 1,2, ...,p

Introducem tăieturile k care transformă domeniul multiplu conex în domeniul simplu

conex p

kk

1

'

. Din (B.1.d) şi rezultă că există un potenţial scalar V : ’ R (Teorema

potenţialului scalar, Partea I, par.1.1) astfel încât gradVd H (B.8)

Suprafeţele Si sunt echipotenţiale. Într-adevăr pe o curbă c Si, de exemplu, cu capetele

în punctele P şi Q (fig.B.1) avem:

)()( QVPV = 0

c

d

c

d d

t

d lHlH

Notăm cu Vi potenţialele suprafeţelor Si. Potenţialul ultimei suprafeţe poate fi ales nul.

Din (B.2’.d) şi din ( d ) rezultă şi fluxul lui Bd pe suprafaţa Sn. Într-adevăr, din (B.2’.d)

avem :

dSd nB =

0dvdiv dB

Dar, ţinând cont de ( d ) şi ( d ), avem:

nS

dSn

i

dS

S"

dSdS d

S

ddd

i

nB1

1

nBnBnB

=

nS

dSdn

i

d

i nB1

1

De unde

1

1

n

inS

dSd di

dn nB (B.9)

Luând în considerare cele două feţe k' , k" ale tăieturii k avem (vezi Fig.B.4)

:

p

k

dSVdSVdSVdSV

k

d

k

ddd

1 "'' nBnBnBnB (B.10)

Datorită conservării componentei tangenţiale a lui H, pe întreaga tăietură k potenţialul

are acelaşi salt d

ki .(Fig.B.4).

238

Fig. B.4. Tăietură asociată unui hol pentru un domeniu multiplu conex

"c

dV(Q")

c'

dV(Q')V(P")V(P') d

t

d

t lHlH dk

d i

k

dV(Q")V(Q')

lH

(B.11)Ţinând cont de relaţia (B.11) şi de conservarea componentei normale a lui B, fiecare

termen al sumei din membrul drept al relaţiei (B.10) se mai scrie

k

dSQV

k

dSQV

k

dSV

k

dSV dddd

''"' nBnBnBnB )"()'(

"'

=

= d

k

dk

k

ddk

k

ddk

k

d idSidSidSQVQV

''' nBnBnB)"()'( (B.12)

ţinând cont de condiţiile de frontieră ( d ) şi de faptul că pe suprafeţele iS potenţialul V este

constant, primul termen din membrul drept al relaţiei (B.10) devine

" 1S

n

i S

i

d

n

d

i

dSVdSBVdSV nBnB =

n

i

diiV

1

(B.13)

|ţinând cont de relaţia (B.9), relaţia (B.13) se mai scrie

dSV d nB = d

nn

n

i

d

ii VV

1

1

=

1

1

1

1

n

i

d

in

n

i

d

ii VV =

1

1

n

i

d

i

d

iu (B.14)

Cu (B.12) şi (B.14) relaţia (B.10) devine

'

dSV d nB

1

1

n

i

di

diu

p

k

d

k

d

ki

1

=0 (B.15)

Aplicând Teorema lui Gauss în membrul stâng al relaţiei (B.15) şi ţinând cont de (B.8) şi de (B.2’.d), avem

dvdvVdvVdvVdSV dddddd BHBBBnB )()()(

' (B.16)

Din (B.15) şi (B.16) rezultă

dvdd BH =

1

1

n

i

d

i

d

iu

p

k

d

k

d

ki

1

(B.17)

Dacă d

iu =0 sau 0 d

i , pentru i=1,2,…,n-1, atunci primul termen din membrul drept

al relaţiei (B.17) este nul. Dacă 0d

ki sau 0d

k , pentru k=1,2,…,p, atunci şi al doilea termen

este nul. Rezultă

239

dvdd BH =0 (B.18)

Acum ţinem cont şi de relaţia constitutivă f şi (B.18) conduce la

dv)"'()"'( BBHH =

dvFf ))"()'(()"'( HHHH =0 (B.19)

Deoarece relaţia constitutivă este disipativă egalitatea din (B.19) poate avea loc doar dacă H’=H”, de unde şi B’=B”.

Demonstraţia Teoremei de unicitate a presupus o comportare suficient de regulată a câmpurilor vectoriale, astfel încât să poată fi aplicaţi operatorii de derivare (derivabile şi cu derivată continuă C1()). În realitate, câmpurile pot avea salturi în vecinătatea suprafeţelor care separă corpurile, iar pe aceste suprafeţe câmpul nu este definit. Se poate arăta însă că această teoremă este valabilă şi pentru clase mult mai largi de câmpuri vectoriale: aproape peste tot definite în , integrabile şi cu pătrat integrabil Lebesque (spaţiul L2()). Aceste modele de câmpuri vectoriale acoperă toate cazurile din realitate. Pentru această clasă de câmpuri vectoriale se pot demonstra şi teoremele de existenţă şi stabilitate.

Observaţie. Fie un câmp staţionar (B,H) cu condiţii de frontieră nule şi surse nule (=0, J=0). Oricare ar fi caracteristica B-H, este valabilă relaţia (B.18).

240

BIBLIOGRAFIE

[1]. Antoniu, I.S.: Bazele electrotehnicii, vol. I, II, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1962.

[2]. Boudoris G.: Cavités électromagnétiques, Editeur Dunod, Paris, 1971.

[3]. Copson D.A.: Microwave heating. A VI publishing Co. Inc. New York 1975.

[4]. De Sabata, I.: Bazele electrotehnicii, vol. I, II, III, Institutul Politehnic Timişoara, 1972-1976.

[5]. Hănţilă F.I.,Demeter E.: Rezolvarea numerică a problemelor de câmp electromagnetic, Institutul de Cercetări pentru Maşini Electrice, Editat Ari Press, Bucureşti, 1995.

[6]. Hănţilă, F.I., Leuca, T., Ifrim, C.: Electrotehnică teoretică, Editura Electra, Bucureşti, 2002.

[7]. Lefeuvre S., Majdapadino M.: Methode mixte pour calcul des champ dans un four charge. Journees Europeenes sur des methodes numeriques en Electromagnetisme, Toulouse, 1993.

[8]. Leuca T., Bandici L., Molnar C.: The Efficiency of Modeling of the Electromagnetic Field for a Dielectric Situated in a Microwave Field, The 10th International IGTE Symposium, Graz 16–18 Sept. 2002, Austria, pp. 459 - 462.

[9]. Leuca T., Bandici L., Molnar C.: The Study of the Drying of Wood in a Microwave Field, Progress in Electromagnetic Research Symposium – March 28-31 Pisa, Italy, 2004, pp. 349-352.

[10]. Leuca T., Molnar C., Bandici L.: The Electromagnetic Field Distribution within Microwave Equipment, ATEE 2002, 29 Nov. Bucureşti, pp. 45- 48.

[11]. Leuca, T.: Elemente de teoria câmpului electromagnetic – Aplicaţii utilizând tehnici informatice - Editura Universităţii din Oradea, 2002.

[12]. Maghiar, T., Bondor, K., Leuca, T. ş.a.: Electrotehnică, Editura Universităţii din Oradea, 1999.

[13]. Metaxas A.C., Driscoll J.D. : Comparison of the Dielectric Properties of Paper and Board at Microwave and Radio Frequencies, J. Microwave Power, 1974.

[14]. Metaxas A.C., Meredith R.J.: Industrial Microwave Heating, Peter Peregrinus LTD (IEE), London, (UK), 1983.

241

[15]. Mocanu C.I., Bazele Electrotehnicii, Teoria câmpului electromagnetic, EDP, Bucureşti, 1991.

[16]. Mocanu, C.I.: Teoria câmpului electromagnetic, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.

[17]. Molnar, Carmen Otilia, Teoria câmpului electromagnetic, Editura Universităţii din Oradea, 2005

[18]. Nicolaide, A.: Bazele fizice ale electrotehnicii vol. I, II, Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1983

[19]. Nicolau, E.: Câmpuri şi unde electromagnetice, Editura Academiei RSR, Bucureşti, 1972.

[20]. Preda, M., Cristea, P., Spinei, F.: Bazele electrotehnicii, vol. I, II, EDP, Bucureşti, 1980.

[21]. Răduleţ, R.: Bazele teoretice ale electrotehnicii, vol. I, II, III, IV, Editura Energeticăde Stat şi Tipografia Ministerului Învăţământului, 1954-1956.

[22]. Răduleţ R., Ţugulea A., Timotin Al., Teoreme de unicitate pentru regimuri variabile ale campului electromagnetic, St. cerc. energ. electr., tom. 21, nr. 1, p. 109-128, 1971.

[23]. Răduleţ R., Ţugulea A.: Câmpuri electromagnetice cuasistaţionare inductive în medii liniare cu neomogenităţi continue, Comunicare la Sesiunea Acad. RSR.

[24]. Simion, E., Maghiar, T.: Electrotehnică, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1981

[25]. Şora, C.: Bazele electrotehnicii, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1982.

[26]. Şora, C.: Bazele electrotehnicii, vol. I, II, III, Institutul Politehnic Timişoara, 1972-1976.

[27]. Thuery J.: Les micro-ondes et leurs effets sur la matière. Applications industrielles, agro-alimentairaes et médicales, C.D.I.U.P.A. 1986.

[28]. Timotin, A. ş.a.: Lecţii de bazele electrotehnicii, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1970.

[29]. Tomescu A., Tomescu F.M.G.: Sisteme cu microunde, Editura Matrixrom, Bucureşti, 2001.