PROBLEME REZOLVATE

1. S se determine valoarea efectiv a tensiunii electromotoare induse ntr-o

nfurare monofazat imobil avnd N=144 de spire n serie, un coeficient de

nfurare 91,0Nk , numrul de poli 22 p , de un cmp magnetic nvrtitor avnd

amplitudinea TBm 6,0 , care se rotete cu turaia 3000n rot/min. Se cunosc lungimea

axial 10l cm i diametrul 15D cm ale armturii induse. Care este frecvena acestei

tensiuni electromotoare induse? Cum se modific t.e.m. indus n aceeai nfurare,

dac armtura respectiv se rotete cu turaia 28502 n rot/min n acelai sens cu

cmpul nvrtitor inductor care i pstreaz turaia. Ambele turaii sunt msurate fa de

un reper imobil.

REZOLVARE:

Tensiunea electromotoare are expresia: mNkNfE 2

2, unde fluxul

fascicular maxim m este:

LBmm2

. L este lungimea axial a armturii, deci

L=10 cm. este pasul polar al mainii, dat de:

236,02

15,0

2

p

D.

Se obine pentru fluxul fascicular: Wbm31001,9236,01,06,0

2

. f este

frecvena t.e.m. , stabilit de viteza relativ a cmpului magnetic nvrtitor fa de

armtur:

Hznpp

f 50602

121

(asta fiindc viteza unghiular 02 ).

Se obine atunci pentru t.e.m.: 28,2621001,991,0144502

2 3

E V.

Dac se modific viteza relativ a cmpului magnetic nvrtitor fa de armtura

indus, se schimb frecvena f a t.e.m.:

Hz

nnppf 5,2

60

)(

2

2121

.

n acest caz, t.e.m. va avea valoarea:

12,131001,991,01445,22

2 3

E V.

2. O nfurare statoric monofazat are 2p=6 poli, iar curentul sinusoidal care o

strbate are frecvena f=50 Hz. Ce frecven are t.e.m. indus ntr-o nfurare

monofazat rotoric avnd tot 2p= 6 poli, dac rotorul se nvrtete cu turaia 10002 n

rot/min?

REZOLVARE:

O nfurare monofazat cu 2p poli strbtut de un curent sinusoidal de pulsaia

, produce un cmp magnetic a crui armonic fundamental este:

ptBtB m coscos, .

Folosindu-ne de o binecunoscut identitate trigonometric, obinem:

ptB

ptB

tB mm cos2

cos2

, .

Sub noua form se constat c un cmp pulsatoriu, sinusoidal n timp i spaiu se

poate descompune n dou cmpuri magnetice nvrtitoare de amplitudini egale cu

jumtate din amplitudinea cmpului pulsatoriu i de aceeai vitez unghiular: p

,

dar cu sensuri de rotaie opuse. Turaia celor dou cmpuri nvrtitoare fa de stator va

fi: 100060

1

p

fn rot/min. Cum rotorul se nvrte fat de stator cu 1000 rot/min, turaia

relativ a unui cmp magnetic nvrtitor statoric (a unuia dintre cele dou componente)

fat de rotor va fi nul, iar cea a celuilalt cmp (sau a celeilalte componente) va fi de

2000 rot/min. Cmpul nvrtitor cu turaia relativ f de rotor nul nu induce nici o

t.e.m. n rotor, iar cel cu turaia de 2000 rot/min induce o t.e.m. de frecvena:

100

60

20003

60

21

nnp

f Hz.

3. Un motor asincron trifazat are urmtoarele date nominale: tensiunea pe faz

2201 NU V, curentul pe faz 101 NI A, 85,0N , 9,0cos 1 N , 501 f Hz,

2001 FeP W, 200mP W, 8,01R , 22 p . S se determine urmtoarele mrimi:

puterea util 2P , puterea mecanic total dezvoltat MP , pierderile Joule n stator i n

rotor 1CuP i 2CuP , alunecarea nominal Ns , cuplul electromagnetic nominal i turaia

nominal Nn2 .

REZOLVARE:

Puterea util nominal rezult din puterea activ absorbit de la reea i din

expresia randamentului mainii:

59409,0102203cos3 1111 NNNN IUP W,

504912 NNN PP W.

Aceast putere util este de natur mecanic. Dac adugm la ea pierderile de

natur mecanic obinem puterea mecanic total dezvoltat de motor:

524920050492 mNM PPP W.

Pierderile Joule n stator sunt: 2401008,033 2111 NCu IRP W.

Pierderile totale de natur Joule sunt 21 CuCuCu PPP , i, totodat, ele se pot

deduce i din bilanul puterilor n motor: CuFemNN PPPPP 21 . Pierderile n fier sunt

foarte bine aproximabile, practic egale cu cel din stator, aa c:

2512402002005049594011212 CuFemNNCu PPPPPP W.

Alunecare nominal se obine din raportul dintre pierderile Joule rotorice i

puterea electromagnetic:

0456,02002405940

251

111

22

FeCuN

CuCu

NPPP

P

P

Ps

.

Maina avnd 2p=2 poli i funcionnd la frecven dat, are o turaie de

sincronism 300060 1

1

p

fn rot/min. Atunci, turaia rotorului va fi:

28620456,013000112 NN snn rot/min.

Cuplul electromagnetic nominal dezvoltat la arbore rezult din puterea

electromagnetic: 5,17502

5500

1

PM N Nm, sau din puterea mecanic total:

5,1728622

605249

2

M

N

PM Nm. Cuplul util la arbore rezult din puterea mecanic util:

85,1628622

605049

2

2

N

S

PM Nm. Diferena dintre cuplul electromagnetic i cuplul util

const n cuplul de frecri mecanice ale arborelui n lagrele de susinere i de frecri

cu aerul.

4. Un motor asincron cu turaia nominal 14252 Nn rot/min. nfurarea statoric

trifazat este conectat la o reea de de frecvena 501 f Hz. Care este alunecarea

nominal a motorului i care este frecvena curenilor din rotor?

REZOLVARE:

Pentru a putea determina alunecarea nominal a motorului avem nevoie de

turaia sa de sincronism. Cunoatem expresia acesteia: pp

fn

300060 11

rot/min, p fiind

numrul de perechi de poli. tim, de asemenea c turaia de sincronism este mai mare

dect turaia nominal a motorului, ea fiind foarte apropiat de aceasta. Dac dm valori

numrului de perechi de poli obinem mulimea valorilor discrete pe care 1n le poate lua.

Dintre acestea 3000 i 1500 satisfac condiia de a fi mai mare dect 14252 Nn rot/min,

iar cea mai apropiat este valoarea de: 15001 n rot/min. Ca atare, alunecarea nominal

va fi: 05,01500

14251500

1

21

n

nns NN .

Frecvena curenilor rotorici este legat de frecven curenilor statorici prin

relaia:

5,25005,022

1121

2

fsp

sp

f NN

Hz.

5. Cum se va comporta un motor asincron trifazat cu conexiune stea pe stator i cu

rotor n scurtcircuit, dac la pornire o nfurare este ntrerupt? Dar dac ntreruperea

fazei are loc n mers, se oprete motorul sau nu?

REZOLVARE:

Dac faza 1 este ntrerupt, curentul prin fazele 2 i 3 va fi acelai, dar de sens

contrar. Fiecare din cele dou faze parcurse de curent produce un cmp pulsatoriu

sinusoidal n timp i spaiu. Alegnd ca ax de referin spaial axa unui pol nord

momentan al nfurrii legate la faza 1, cele dou cmpuri pulsatorii ale fazelor 2 i 3,

parcurse de curenii sinusoidali tIi cos22 i tIi cos23 , au urmtoarele

expresii:

3

2coscos,2

ptBtB m i

3

4coscos,3

ptBtB m ,

care se mai pot scrie i astfel:

3

2cos

3

2cos

2,2

tptp

BtB m ,

3

4cos

3

4cos

2,3

tptp

BtB m .

nsumnd cele dou cmpuri, se obine cmpul rezultant:

tpBtptpBtBtBtB mm sinsin3sinsin2

3,,, 32 .

Am obinut tot un cmp pulsatoriu, sinusoidal timp i spaiu, echivalent cu dou

cmpuri nvrtitoare de aceeai amplitudine, de aceeai vitez unghiular, dar de

sensuri opuse de rotaie. n consecin, cuplul electromagnetic este nul, ntocmai ca la

motorul asincron monofazat fr faz auxiliar i motorul nu poate porni.

Dac ntreruperea fazei are loc n mers, atunci motorul dezvolt cuplu n sensul

micrii, tot aa cum motorul asincron monofazat odat pornit, poate funciona numai cu

o nfurare monofazat.

6. Cum se va comporta un motor asincron trifazat cu conexiune triunghi pe stator i

cu rotor n scurtcircuit, dac la pornire o nfurare este ntrerupt? Dar dac

ntreruperea fazei are loc n mers, se oprete motorul sau nu?

REZOLVARE:

S presupunem c este ntrerupt nfurarea legat ntre fazele 1 i 2. n acest

caz, celelalte dou nfurri, legate ntre fazele 2 i 3, respectiv ntre 3 i 1 sunt

strbtute n continuare de curenii sinusoidali:

3

2cos223

tIi ,

3

4cos231

tIi .

Cmpurile magnetice pulsatorii produse de aceti cureni sunt:

3

2cos

3

2cos,23

ptBtB m i

3

4cos

3

4cos,31

pttBtB m ,

axa spaial de referin fiind asociat cu axa nfurrii 12. Sub o form dezvoltat,

cele dou cmpuri magnetice sunt:

3

4coscos

2,23

tptp

BtB m ,

3

8coscos

2,31

tptp

BtB m .

Cmpul magnetic rezultant va fi n acest caz:

tpBtpBtBtBtB mm cos2

1cos,,, 3123 .

Acest cmp are componente dou cmpuri magnetice nvrtitoare, de aceeai

vitez unghiular, de sensuri diferite i de amplitudini diferite. n consecin, asupra

rotorului, la pornire se va exercita un cuplu electromagnetic rezultant n sensul de rotaia

al cmpului nvrtitor cu amplitudine mai mare. Bineneles, dac ntreruperea are loc n

mers, funcionarea rmne posibil n continuare.

7. In vederea determinrii turaiei unui motor asincron trifazat cu inele colectoare (cu

rotor bobinat) cruia nu i se cunosc caracteristicile, se poate folosi n lipsa unui

tachometru, un ampermetru magnetoelectric montat n circuitul rotoric. Se constat

astfel c, motorul funcionnd n condiii nominale, n timp de un minut acul indicator al

acestui aparat prezint N=106 bti n acelai sens. Motorul are 2p=4 perechi de poli i

este alimentat de la reeaua electric de 50 Hz. Care este turaia sa nominal?

REZOLVARE:

ntr-o perioad a curentului alternativ din circuitul rotoric acul aparatului va

executa o singur btaie n acelai sens (minim - maxim de exemplu). nseamn c

numrul bti pe secund 77,160

1062 f Hz reprezint chiar frecvena curentului rotoric.

Cum 501 f Hz, obinem alunecarea nominal: 0354,050

77,1

1

2 f

fsN . Turaia de

sincronism a mainii este: 150060 1

1

p

fn rot/min, iar din definiia alunecrii obinem

turaia nominal: 14450354,011500112 NN snn rot/min.

8. S se determine momentul de pornire n funcie de momentul nominal al unui

motor asincron trifazat, care are urmtoarele date: 03,0Ns , 501 f Hz, 2p=6,

6,2max NM

M. S se calculeze turaiile rotorului cnd se conecteaz n serie cu nfurrile

de faz ale acesteia rezistenele: 23RRs , 27RRs , 211RRs , dac momentul

electromagnetic dezvoltat este NM . (R2 este rezisten de faz rotoric).

REZOLVARE:

Vom utiliza formula lui Kloss, mai nti scris pentru punctul nominal de

funcionare:

N

c

c

N

N

s

s

s

sM

M

2

max

.

nlocuind numeric, obinem urmtoarea ecuaie de gradul doi:

00009,0156,02 cc ss , ecuaie ce are soluiile: 15,01 cs i 006,02 cs . Numai

prima soluie este potrivit problemei noastre deoarece alunecarea critic este mereu

mai mare dect alunecarea nominal.

Scriem acum ecuaia lui Kloss pentru punctul de pornire, cnd, turaia fiind nul,

1ps : 293,0

115,0

1

2

1

1

2

max

c

c

p

s

s

M

M.

Atunci: 762,0293,06,2max

max

N

p

N

p

M

M

M

M

M

M

Introducnd rezistene suplimentare n serie cu fazele rotorice, se modific

alunecarea critic. Aceast alunecare este proporional cu rezistena total pe faz

rotoric, deci:

2

2'

R

RR

s

s s

c

c .

Obinem pentru cele trei rezistene date, trei valori noi pentru alunecarea critic

6,0' cs , 2,1' cs , 8,1' cs , iar aplicnd formula lui Kloss, obinem noile alunecri

nominale:

N

c

c

N

N

s

s

s

sM

M

'

'

'

'

2

max

.

Pentru calculul numeric vom diferenia cele trei cazuri, aadar, pentru 6,0' cs , se

obine ecuaia 036,0'12,3'2 NN ss , cu soluiile 3 i 0,12, dintre care numai soluia

12,0' Ns se potrivete fizic, deoarece ea este mai mic dect alunecarea critic. Se

obine turaia rotoric: 88012,011000'1' 12 Nsnn rot/min.

n mod analog, gsim pentru 2,1' cs , 24,0' Ns i 760'2 n rot/min, iar pentru

8,1' cs : 36,0' Ns i 640'2 n rot/min.

Observm c introducerea de rezistene n circuitul rotoric permite reglarea

vitezei motorului asincron cu rotorul bobinat. Pe msur ce dorim o vitez mai redus

este nevoie de o rezisten mai mare n circuitul rotoric, iar randamentul energetic al

motorului se reduce sensibil.

9. Un motor asincron trifazat de putere nominal 10NP kW, alimentat la

tensiunea nominal de 3801 NU V are urmtoarele date nominale: 6,191 NI A,

5,87N %, 30001 n rot/min, 29252 Nn rot/min, 85,2max NM

M, 18,7

1

N

P

I

I, 9,1

N

p

M

M. Se

cere s se determine: MN, Ncos , Ip, Mp, Mmax, sN.

REZOLVARE:

Momentul nominal este raportul dintre puterea nominal debitat la ax i viteza

unghiular a rotorului. Viteza unghiular: 3,30660

29252

60

2 22

NN

nrad/s.

Momentul nominal: 64,323,306

10000

2

N

N

N

PM Nm.

Factorul de putere l vom determina exprimnd puterea absorbit n condiii

nominale de la reea n dou moduri: N

N

NNN

PIUP

cos3 111 . Obinem:

88,03

cos11

NNN

N

NIU

P

Momentul maxim: 02,9385,2max NMM Nm.

Momentul la pornire: 01,629,1 Np MM Nm.

Curentul la pornire: 14118,71 Np II A.

Alunecarea: 0253,03000

29253000

1

21

n

nns NN .

10. Un motor asincron trifazat are urmtoarele date tehnice: 75NP kW, 2201 NU V,

6,192 NI A, 91N %, 875,0cos N , 016,0Ns , 2638FeP W, 4144oP W, 2p=4. S

se determine rezistena de pornire necesar realizrii momentului nominal la o turaie de

900 rot/min. (Motorul este alimentat la 501 f Hz)

REZOLVARE:

Alunecarea corespunztoare turaiei de 900 rot/min: 1

1 900

n

ns

. Turaia de

sincronism este: 15002

506060 11

p

fn rot/min, deci 4,0s .

Momentul nominal este raportul dintre puterea nominal debitat la ax i viteza

unghiular a rotorului.

Viteza unghiular:

56,15460

984,015002

60

12

60

2 122

NNN

snnrad/s.

Momentul nominal: 23,48556,154

75000

2

N

N

N

PM Nm.

Se tie c pierderile de putere la mersul n gol se aproximeaz foarte bine prin

suma dintre pierderile n fier i pierderile mecanice. Obinem atunci pierderile mecanice:

1506263841440 Fem PPP W.

Puterea electromagnetic transferat de la stator la rotor 111 FeCu PPPP se

mai poate exprima i prin: 60

2 11

nMMP

. Puterea mecanic cedat de rotor

prii mecanice a mainii mCuM PPPPP 22 se poate scrie i ea:

60

2 22

nMMPM

. S calculm atunci expresia: sn

nn

P

PP M

1

21

.

Deducem pentru funcionarea nominal: 77800984,0

76506

11

s

PP

s

PP mN

N

M W.

Atunci: 1294150675000778002 mNCu PPPP W. Din aceste pierderi

Joule n rotor putem deduce rezistena rotoric pe faz: 035,01113

1294

3 222

2

2

N

Cu

I

PR .

Introducnd rezistene suplimentare n serie cu fazele rotorice, se modific

alunecarea critic. Aceast alunecare este proporional cu rezistena total pe faz

rotoric, deci: 2

2'

R

RR

s

s p

c

c

. Avnd ns n vedere faptul c pe caracteristica sM a

cuplului avem o poriune liniar, putem aproxima cu o foarte buna exactitate:

25016,0

4,0'

Nc

c

s

s

s

s. Se obine pentru rezistena de pornire necesar:

84,0242 RRp

11. Se d un motor asincron trifazat n conexiune stea, cu urmtoarele date:

78,01 R , 22,22 X , 27mX , 1'2 R , 3'2 X , 05,0Ns .

a) S se determine valoarea efectiv a curentului statoric absorbit la o tensiune de linie

a reelei de 380 V.

b) Care este puterea activ absorbit i factorul de putere?

REZOLVARE:

a) Se apeleaz la schema echivalent n T a mainii asincrone:

R1 X1 R'2/sN X'2

Rm

Xm

U 1

I'2I1I0

Tensiunea de linie fiind cea dat, iar conexiunea mainii fiind n stea, rezult c

tensiunea 2201 U V. Neglijnd valoarea lui Rm, putem scrie legea lui Ohm n complex

pentru schema de mai sus:

j

jXs

RjX

jXs

RjX

jXR

UI

N

m

N

m

16,987,8

''

''

22

22

11

11

Valoarea efectiv: 75,1216,987,8 221 I A.

b) Componenta activ a curentului statoric este de 8,87 A, astfel c puterea activ

absorbit va fi: 2,585487,82203cos3 1111 IUP W. Factorul de putere:

696,075,12

87,8coscos

1

111

I

I

12. Un motor asincron trifazat n conexiune statoric stea i cu rotorul bobinat (tip AFI

200S) are urmtoarele date nominale: : 17NP kW, 3801 NU V, 6,351 NI A, 91N %,

501 f Hz, 845,0cos N , 1450Nn rot/min. Rezultatele ncercrilor n gol i n

scurtcircuit sunt: 640oP W, 2,3oI A, 2000scP W, 67scU V. Se cer:

a) parametrii schemei echivalente n T a motorului, considernd c pierderile n cupru

rotorice sunt aproximativ egale cu cele statorice i c 21 'XX ;

b) momentul nominal la arborele motorului i alunecarea nominal corespunztoare; c) pierderile totale de putere din motor i componentele acestor pierderi. REZOLVARE:

a) Se apeleaz la schema echivalent n T a mainii asincrone:

R1 X1 R'2/sN X'2

Rm

Xm

U 1

I'2I1I0

Tensiunea de linie fiind cea dat, iar conexiunea mainii fiind n stea, rezult c

tensiunea 2201 U V.

La funcionarea n gol, turaia motorului este foarte apropiat de turaia de

sincronism, ceea ce conduce la o alunecare foarte apropiat de zero. Dac 0s

s

R 2' i schema echivalent devine:

R1 X1

Rm

Xm

U 1N

I0

Pe cele trei faze puterea de mers n gol: 2010 3 IRRP m , iar legea lui Ohm:

212

1

1

mm

o

n XXRRI

U . Din aceste dou relaii deducem:

8,202,33

640

3 220

0

1I

PRR m

51,658,20

2,3

220

3

2

22

2

0

0

2

0

1

1I

P

I

UXX Nm .

La ncercarea n scurtcircuit, motorul este alimentat cu tensiune redus astfel ct

curentul absorbit s fie nominal, ceea ce va da un curent de magnetizare neglijabil.

Astfel, se poate aproxima schema echivalent n modul urmtor:

R1 X1

R'2

X'2

U sc

I1N

In mod similar, se obin relaiile:

52,06,353

2000

3'

22

1

21

N

sc

I

PRR

8,152,0

6,35

67

3'

2

22

2

1

2

1

21

N

sc

N

sc

I

P

I

UXX .

Dar 21 'XX 9,0'21 XX 61,64mX

Din egalitatea pierderilor n cupru rezult egalitatea 26,0'21 RR

b) 96,11114502

6017000

2

N

N

N

PM Nm,

Pentru a putea determina alunecarea nominal a motorului avem nevoie

de turaia sa de sincronism. Cunoatem expresia acesteia: pp

fn

300060 11

rot/min, p

fiind numrul de perechi de poli. tim, de asemenea c turaia de sincronism este mai

mare dect turaia nominal a motorului, ea fiind foarte apropiat de aceasta. Dac dm

valori numrului de perechi de poli obinem mulimea valorilor discrete pe care 1n le

poate lua. Dintre acestea 3000 i 1500 satisfac condiia de a fi mai mare dect

14502 Nn rot/min, iar cea mai apropiat este valoarea de: 15001 n rot/min. Ca atare,

alunecarea nominal va fi: 033,01500

14501500

1

21

n

nns NN .

c) Puterea absorbit de la reea pe la cele trei faze statorice este:

19854845,06,352203cos3 111 NNN IUP W

Pierderile totale de putere din motor sunt, deci: 28541 NPPP W

Componentele acestor pierderi de putere sunt: pierderile Joule n stator i n

rotor: 10002

1

2

121 scCuCuCu PPPP W,

Pierderile n fier rotorice n general se pot neglija datorit frecvenei foarte mici

(

65,150033,022

1121

2

fsp

sp

f NN

Hz) a curenilor din rotor, iar

celelalte dou componente pierderile n fier statorice i pierderile mecanice se pot

deduce dn faptul c suma lor reprezint chiar pierderile n gol, iar ele se pot considera

aproximativ egale:

3202

01

PPP Fem W.

n cazul acestei probleme, se pot deduce i pierderile n fier rotorice din

nsumarea tuturor pierderilor: 21412 FemCuFe PPPPP W.

13. Un motor asincron trifazat prezint urmtoarele date tehnice: 55NP kW,

2201 NU V, 2562 fU V, 5,782 fI A, 5,90N %, 501 f Hz, 835,0cos N ,

018,0Ns , 0389,02R , 2max NM

M, nfurarea statoric n triunghi i 2p=6 poli. S se

determine curentul nominal statoric, turaia nominal i treptele reostatului de pornire

astfel nct momentul de pornire s fie cuprins ntre NN MM 7,1, . Pentru simplitatea

calculelor se admite considerarea caracteristicilor drept liniare.

REZOLVARE:

Din definiia randamentul i expresia puterii absorbite de la reeaua electric de

motor, obinem: 191835,0905,022073,1

55000

cos3 11

NNN

N

NU

PI

A.

Turaia de sincronism fiind 100060 1

1

p

fn rot/min, turaia nominal va fi:

982018,011000112 NN snn rot/min.

Momentul nominal: 84,5349822

6055000

2

N

N

N

PM Nm, intervalul de variaie pe

timpul pornirii a momentului fiind deci: [534,84Nm , 909,23Nm].

Dac avem caracteristici liniare, diagrama pornirii are urmtoarea alur:

La pornirea din repaus, turaia motorului va fi nul, iar alunecarea unitar. Vom

avea deci pe grafic punctul A(1, 909). Pe aceast prim caracteristic ce este

corespunztoare unei rezistene 1R n circuitul rotoric punctul de funcionare alunec (

maina se ambaleaz, crescndu-i turaia n detrimentul cuplului care scade) pn n

punctul B corespunztor unui moment de 535 Nm. Din liniaritatea caracteristicilor se

poate deduce uor alunecarea corespunztoare acestui punct B: A

B

A

B

M

M

s

s

59,0909

535Bs . Deci, punctul B are coordonatele (0,59, 535). Cnd motorul ajunge la

turaia corespunztoare alunecrii de 0,59 , se cupleaz n circuitul rotoric o alt treapt

a reostatului, ceea ce ne mut pe caracteristica a doua, n punctul C (se presupune c

trecerea de la o rezisten la alta se realizeaz brusc, deci la turaie constant).

M [Nm]

909

535

0 s

A C

B

E

D

G

F

I

H

1 0,5

Coordonatele punctului C: (0,59, 909). Apoi maina se accelereaz pe caracteristica ce

este corespunztoare unei rezistene 2R n circuitul rotoric pn n punctul D

( 347,07,1

59,0 , 535), moment n care din nou brusc, la turaie constant se trece la o

nou treapt reostatic corespunztoare unei rezistene 3R n circuitul rotoric. Ajungem

astfel n punctul E (0,347, 909) de unde pe caracteristica a treia motorul se accelereaz

pn n punctul F ( 204,07,1

347,0 , 535). Urmeaz, pe caracteristica corespunztoare

rezistenei 4R , punctele G (0,204, 909) i H ( 12,07,1

204,0 , 535). Apoi, pe caracteristica

corespunztoare rezistenei 5R , punctele I(0,12, 909) i J ( 07,07,1

12,0 , 535), pe

caracteristica corespunztoare rezistenei 6R , punctele K (0,07, 909) i L ( 04,07,1

07,0 ,

535), pe caracteristica corespunztoare rezistenei 7R , punctele M (0,04, 909) i N

( 02,07,1

04,0 , 535). Avnd n vedere c urmtorul termen din progresia geometric

avnd raia de 7,1

1 este mai mic dect turaia nominal a mainii, deducem c exist

doar apte trepte de pornire, dup care motorul ajunge pe caracteristica mecanic

natural. Pentru a calcula rezistenele necesare acestor trepte, vom ine cont de relaia

ce exprim directa proporionalitate dintre alunecarea critic i rezistena total din

circuitul rotoric al motorului:

2

2

R

RR

s

s pK

c

cK

.

Avnd ns n vedere faptul c pe caracteristica sM a cuplului avem o

dependen liniar:

)(

7654321max

N

c

L

c

J

c

H

c

F

c

D

c

B

c

NN

c

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

M

M

s

s , (aceste egaliti se obin din

simple observaii de geometrie plan pe caracteristica pornirii).

Obinem pentru rezistene:

Rezistena total, prima treapt:

23,11

018,0

59,00389,0121

N

Bp

s

sRR ,

A doua, toate rezistenele, mai puin una:

71,01

018,0

347,00389,0122

N

Dp

s

sRR ,

397,01

018,0

202,00389,0123

N

Fp

s

sRR ,

22,01

018,0

12,00389,0124

N

Hp

s

sRR ,

11,01

018,0

07,00389,0125

N

J

ps

sRR ,

047,01

018,0

04,00389,0126

N

Lp

s

sRR ,

004,01

018,0

02,00389,0127

N

N

ps

sRR .

Pornirea reostatic se realizeaz de obicei prin trepte componente ale aceleiai

rezistene, aa precum este ilustrat n schema electric de mai jos:

Infasurarea

unei faze

rotorice

k

1

2

34

56

7

8

RS1 ACEGIKM RS2RS3RS4RS5RS6RS7

R2

Se observ c treptele componente ale reostatului de pornire sunt:

004,077 pS RR , 043,0766 ppS RRR , 063,0655 ppS RRR ,

11,0544 ppS RRR , 177,0433 ppS RRR , 313,0322 ppS RRR ,

52,0211 ppS RRR

14. Un motor asincron trifazat cu 4 poli funcioneaz la o tensiune de 380 V cu

85,0cos i are: 800FeP W, 25,01R , 601 NI A, 202 I A i 018,0s . nfurarea

statoric este n conexiune triunghi i cea rotoric n stea. S se determine rezistena

suplimentar ce trebuie introdus n circuitul rotoric astfel nct la cuplu nominal

constant s se realizeze o turaie de 1100 rot/min.

REZOLVARE:

Curentul I1N este curentul absorbit de pe linia de alimentare cu energie electric a

motorului, deci este un curent de linie. Curentul din fazele statorului va fi:

6,343

111 Nf II A.

Pierderile Joule n stator: 9003 12

11 RIP fCu W.

Puterea electric absorbit: 33500cos3 11 Nl IUP W.

Puterea electromagnetic transferat rotorului: 31800111 FeCu PPPP W.

Pierderile din rotor, aproximabile cu cele Joule, cci pierderile n fier rotorice sunt

neglijabile din cauza frecvenei mici a curentului rotoric: 5702 PsPCu W.

Astfel deducem rezistena de faz rotoric: 475,03 22

2

2I

PR Cu .

Turaia de sincronism: 150060 1

1

p

fn rot/min iar turaia nominal va fi:

1475018,011500112 NN snn rot/min.

Corespunztor turaiei de 1100 rot/min avem o alunecare: 29,01100

'1

1

n

ns .

Pentru simplitatea calculelor, considerm caracteristicile drept liniare i obinem

pentru rezistena adiional:

2,71'

2s

sRRp .

15. Unui motor asincron trifazat cu 6 poli cruia nu i se cunosc caracteristicile, i se

realizeaz pe bancul de prob ncercarea de sarcin cu o frn hidraulic. Se constat

astfel c la o sarcin maxim de 3max P kW, turaia este de 960cn rot/min. S se

determine puterea la o turaie de 980 rot/min.

REZOLVARE:

Momentul maxim: 84,299602

300060

2

60 maxmaxmax

cc n

PPM Nm.

Turaia de sincronism: 10003

506060 11

p

fn rot/min iar turaia critic:

04,01000

9601000

1

1

n

nns cc .

Alunecarea corespunztoare turaiei date: 02,01000

9801000

1

1

n

nns .

Din formula lui Kloss:

s

s

s

sM

M

c

c

2

max

rezult momentul:

87,2325,0

84,292

M Nm, iar puterea corespunztoare:

87,244960

980287,23

MP W.

16. Un motor asincron trifazat, funcionnd n regim nominal de ncrcare la

alunecarea 04,0Ns , este frnat prin inversarea legturilor a dou faze la reeaua de

alimentare cu energie electric a statorului simultan cu nserierea unor rezistene n

fiecare din fazele rotorului. Care este valoarea rezistenei de frnare n funcie de

rezistena circuitului rotoric pentru ca n primul moment cuplul de frnare s fie egal cu

cel nominal? Se cunoate alunecarea critic natural a motorului: 15,0cs .

REZOLVARE:

Din momentul inversrii legturilor la reea, maina asincron se afl n regim de

frn n contracurent. Turaia iniial a acestui regim este turaia nominal. Sensul

acestei turaii este invers sensului noului cuplu electromagnetic, dat de noua succesiune

a fazelor de alimentare a statorului. Alunecarea iniial a rotorului n noul regim este:

94,12

1

1

11

1

21

NNN s

n

snn

n

nns .

n continuare se poate aplica formula lui Kloss n care se cunoate momentul

egal cu cel nominal, alunecare i se determin alunecarea critic n noul regim, de frn

n contracurent cu rezisten de frnare n fazele rotorice:

s

s

s

sM

M

c

c

N

'

'

2

max

.

Raportul cuplurilor din ecuaia de mai sus este necunoscut dar l vom determina

din aplicarea formulei lui Kloss pentru regimul nominal de motor:

498,0

04,0

15,0

15,0

04,0

22

max

N

c

c

N

N

s

s

s

sM

M.

Obinem atunci urmtoarea ecuaie: 0764,3'79,7'2 cc ss , cu rdcinile: 3,7' 1 cs

i 484,0' 2 cs . Numai prima rdcin are sens fizic pentru problema dat, avnd n

vedere c avem de a face cu regimul de frn. Cum alunecarea critic este

proporional cu rezistena total a unei faze rotorice, se poate scrie:

22 7,471'

Rs

sRR

c

c

F

.

17. Un motor asincron trifazat, funcionnd iniial n condiii nominale intr n regim de

frn prin inversarea a dou faze din alimentarea statorului. Se cere rezistena necesar

n circuitul rotoric pentru ca pe timpul frnrii cuplul de frnare s nu depeasc

max8,0 MM f . Se cunosc: rezistena unei faze rotorice 0,22 , alunecarea critic de

0,13 i alunecarea nominal 0,033.

REZOLVARE:

Vom scrie formula lui Kloss pentru primul punct al noului regim de frnare, innd

cont de faptul c trecerea de la regim motor la regim frn se realizeaz la turaie

constant. Sensul acestei turaii este invers sensului noului cuplu electromagnetic, dat

de noua succesiune a fazelor de alimentare a statorului. Alunecarea iniial a rotorului n

noul regim este:

967,12

1

1

11

1

21

NNN

F sn

snn

n

nns .

Formula lui Kloss:

F

cF

cF

F

s

S

s

s

MM

maxmax

28,0 ne conduce la o ecuaie de gradul doi

pentru alunecarea critic din regimul de frn: 087,39,42 cFcF ss cu dou soluii

pentru alunecarea critic (1 i 3) din care numai prima are sens fizic. Cum alunecarea

critic este proporional cu rezistena total a unei faze rotorice, se poate scrie:

86,41

13,0

322,012

c

cF

Fs

sRR .

18. Pentru acionarea unui troliu folosit la ridicarea unei greuti, este folosit un motor

asincron hexapolar cu 955n rot/min, cu rezisten rotoric pe faz 07,02R . La

coborrea greutii este necesar o turaie de 700 rot/min. S se determine rezistena

ce trebuie introdus pe faz, n circuitul rotoric, pentru ca motorul s funcioneze n

acest regim, legturile la reea rmnnd neschimbate.

REZOLVARE:

La coborre este evident c motorul funcioneaz n regim de frn. Momentul

dezvoltat de motor la urcare i la coborre este acelai i el este dat de momentul de

inerie al sarcinii, micarea avnd loc la turaie constant.

Motor hexapolar 10003

300060 11

p

fn rot/min.

Alunecarea la urcare: 045,01

212

n

nns , iar la coborre: 7,1

)700(

1

1

n

nsF .

Pentru simplitatea calculelor vom admite considerarea caracteristicilor drept

liniare, caz n care raportul alunecrilor critice din cele dou regimuri va fi egal cu

raportul alunecrilor corespunztoare momentului sarcinii: 77,37045,0

7,1'

s

s

s

s F

c

c . Se

obine pentru rezistena de frnare necesar:

57,2)177,37(07,01

'2

c

c

ps

sRR

19. Un motor asincron trifazat are urmtoarele date: 32 NP kW, alunecarea nominal

de 5%, pierderile mecanice 150mP W, pierderile n fier statorice 1001 FeP W, pierderile

Joule statorice egale cu cele rotorice, turaia de sincronism de 3000 rot/min. S se

determine randamentul motorului i cuplul su electromagnetic.

REZOLVARE:

Puterea electromagnetic transferat de la stator la rotor 111 FeCu PPPP se

mai poate exprima i prin: 60

2 11

nMMP

. Puterea mecanic cedat de rotor

prii mecanice a mainii mCuM PPPPP 22 se poate scrie i ea:

60

2 22

nMMPM

. S calculm atunci expresia: sn

nn

P

PP M

1

21

.

Deducem pentru funcionarea nominal: 331695,0

3150

11

2

s

PP

s

PP mN

N

M W.

Atunci: 1663150331622 mNCu PPPP W. Deci i pierderile Joule statorice

au aceeai valoare, deci: 35821001663316111 FeCu PPPP W.

Obinem atunci pentru randament: 7,831001

2 P

P N %, iar pentru cuplu:

55,1030002

603316

2

60

1

n

PM Nm.

20. Pentru acionarea unei pompe ce necesit la pornire un cuplu de 27 Nm, se

utilizeaz un motor asincron trifazat cu patru poli, putere nominal de 752 NP kW,

3801 NU V, conexiune triunghi n stator, randament de 90%, 85,0cos N , alunecare

de 0,027, raport 2,2max NM

M, 49,6

n

p

I

I, 2,1

N

p

M

M. S se determine care este valoarea

efectiv maxim a curentului i a cuplului de pornire n cazul pornirii stea-triunghi.

REZOLVARE:

Avnd n vedere c statorul este legat n conexiune triunghi, putem scrie:

14985,09,038073,1

75000

cos3 1

2

1

NNN

N

NU

PI

A.

Momentul nominal:

491

973,015002

7500060

12

60

1

2

2

2

N

N

N

N

Nsn

PPM Nm.

Momentul la pornirea direct: 5892,1 Np MM Nm.

Curentul la pornirea direct: 96749,6 Np II A.

Se tie c la pornirea stea triunghi, micorarea cu 3 a tensiunii de alimentare

din momentul punerii sub tensiune duce la o micorare de trei ori a cuplului de pornire

i a curentului de pornire. Aadar:

3,1963

p

p

MM Nm iar 3,322

3

p

p

II A.

21. Un motor asincron trifazat, avnd urmtoarele date: tensiunea de alimentare

3801 NU V, curent absorbit nominal 6,351 NI A, turaie de sincronism de 1500 rot/min,

rezultatele ncercrii n gol i n scurtcircuit: 640oP W, 2,3oI A, 2000scP W,

67scU V. Se cere construcia diagramei cercului i deducerea cu ajutorul acestei

diagrame a urmtoarelor caracteristici pentru funcionarea mainii n sarcin tiind c

acesta absoarbe de la reea un curent de 301 I A: puterea activ absorbit, puterea

electromagnetic transmis rotorului i cuplul electromagnetic, puterea mecanic cedat

de rotor prii mecanice a mainii, puterea util, pierderile n nfurrile mainii i

pierderile mecanice. Se consider pierderile n cupru statorice egale cu cele rotorice.

REZOLVARE:

Pentru construcia practic a diagramei cercului vom alege mai nti o scar de

reprezentare a tensiunilor i una a curenilor: 100Uk V/cm, iar 10Ik A/cm. Se alege

axa vertical drept ax real pentru reprezentrile fazoriale i se consider tensiunea de

alimentare ca avnd un defazaj nul. Se reprezint tensiunea de alimentare pe diagram.

Apoi, se reprezint fazorul curentului de mers n gol 0I , de modul cunoscut i de

defazaj: 175,03

cos01

0

0 IU

P

N

. Deci, unghiul este de ~80 de grade. Vrful acestui fazor

este un prim punct de pe cerc. Plecnd de la constatarea practic de o valabilitate

general c pierderile mecanice sunt aproximativ egale cu pierderile n fier statorice, se

poate obine i punctul Do de pe cerc, el fiind la jumtatea ordonatei punctului anterior,

D0. acest punct Do corespunde funcionrii n gol a mainii. Punctul D1, corespunztor

funcionrii n scurtcircuit (s=1), se obine n mod similar. De data aceasta ns, trebuie

s inem cont de faptul c pe diagrama cercului toate punctele trebuie s fie

reprezentate n situaia mainii cu tensiunea nominal. La ncercarea n scurtcircuit

maina a fost alimentat la o tensiune mai mic, astfel nct este necesar s calculm

curentul de scurtcircuit care ar fi absorbit n condiiile alimentrii cu tensiune nominal,

innd cont de directa proporionalitate dintre curent i tensiune:

2021111 sc

N

NU

UII A.

Defazajul fazorului corespunztor fa de axa tensiunii de alimentare:

279,03

cos1

Nsc

sc

scIU

P , adic un unghi de 73,7 grade.

Centrul cercului se va afla la intersecia axei paralele la axa imaginar dus din

punctul D0 cu mediatoarea segmentului D0D1. n acest moment suntem capabili s

trasm cercul. Pentru stabilirea pe cerc a punctului corespunztor unei alunecri infinite,

vom duce prin D1 o perpendicular D1b1 pe diametrul paralel cu axa imaginar. Pe

aceast perpendicular fixm un punct c1 care satisface relaia

5,021

11

11

11

CuCu

cu

PP

P

Rsc

R

bD

cb. Dreapta D0c1 va intersecta cercul n D .

Diagrama permite determinarea tuturor mrimilor care intereseaz din punctul de

vedere al funcionrii mainii, dac se cunoate un punct D pe cerc. Mergnd pe cerc n

sensul acelor de ceasornic, arcul de cerc dintre Do i D1 corespunde regimului motor al

mainii. Pentru a gsi punctul corespunztor unui curent absorbit de 30A, trasm un arc

de cerc din origine de raz 31

11 Ik

Ir cm.

U 1N

Real

Imaginar

D0

D1

O

D

b1

c1

D

a

bc

de

Tensiunea de alimentare fiind constant, puterea activ absorbit 1111 cos3 IUP

este proporional cu componenta activ a curentului absorbit. Deci, la scara puterilor,

114001038033 1 IP kUk W/cm, segmentul Da va reprezenta puterea activ

absorbit de motor:

490243,0114001 DakP P W.

Dreapta DDo pentru care puterea i cuplul electromagnetic sunt nule se i

numete dreapta puterii electromagnetice (sau a cuplului). Segmentul dus din punctul

de funcionare D pe diametrul paralel cu axa imaginar intersecteaz aceast dreapt a

cuplului n punctul c. Segmentul Dc la scara puterilor reprezint chiar puterea

electromagnetic:

433238,011400 DckP P W.

Scara cuplurilor se poate defini prin: 57,722

60

11

n

kkk PPM

Nm/cm, i atunci se

poate afla cu uurin i momentul electromagnetic:

57,2738,057,72 DckM M Nm.

La sincronism i la ncercarea n scurtcircuit puterea mecanic este nul, astfel

c dreapta D0D1 se numete dreapta puterii mecanice. La scara puterilor segmentul Dd

va reprezenta chiar puterea mecanic cedat de rotor prii mecanice a mainii:

410436,011400 DdkP PM W.

Dreapta DoD1 este dreapta puterii utile i n mod similar, segmentul De

perpendicular de axa absciselor va reprezenta la scara puterilor chiar puterea util

debitat de motor:

387634,0114002 DekP P W.

La sincronism (s=0), puterea absorbit de main reprezint doar pierderile n

fierul statorului, deci la scara puterilor segmentul ba reprezint chiar pierderile n fier

statorice:

3170278,0114001 bakP PFe W.

Cum puterea activ absorbit este: PPPP FeCu 111 , segmentul cb reprezint

la scara puterilor pierderile Joule statorice:

2531 cbkP PCu W.

Deoarece puterea electromagnetic se poate scrie: 2CuM PPP , segmentul dc

va reprezenta chiar pierderile Joule rotorice, care n cazul problemei noastre sunt chiar

egale cu cele statorice.

Pierderile mecanice sunt corespunztoare funcionrii reale n gol (punctul D0)

i sunt dependente de turaie. Pe msur ce turaia scade i alunecarea crete,

pierderile mecanice tind la zero. Se observ c dreapta puterii mecanice are deasupra

puterea util i pierderile mecanice, deci segmentul ed reprezint la scara puterilor chiar

pierderile mecanice din main:

203017,011400 edkP Pm W.

22.