Trao đổi trực tuyến tại:

http://www.mientayvn.com/chat_box_li.html

CHƯƠNG 3 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I. XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC(TK)

II. HÀM SÓNG

III. TOÁN TỬ (OPERATOR)

IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

V. HẠT TRONG HỐ THẾVI. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

VII. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

II. HÀM SÓNG (Wave fuction)1. Biểu thức sóng phẳng đơn sắc tại điểm M cách

nguồn O một đoạn :

Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị của phươngtruyền sóng:

Hàm sóng ở dạng phức:vì

OMr

)r.ktsin(A)v.T

r.2tsin(A)t,r(

)]rkt(iexp[A)t,r(

k

n2

k

)}rktsin(i)rkt{cos(A)t,r(

}sini{cosAAe i

1.Ý nghĩa thống kê của hàm sóngTheo thuyết sóng ánh sáng:

Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo ra I tỷ lệ số photon qua 1m2

trong 1 s gọi là mật độ hạt:

Vì Hàm sóng phức mô tả trạng thái vi mô của hạt chuyển độngnhanh có bình phương của biên độ:

2. Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bấtkỳ mà hạt cư trú là 1.0.

3. Điều kiện của hàm sóng:1- Giới nội.2- Đơn trị.3- Liên tục.4- Đạo hàm bậc nhất củahàm sóng phải liên tục.

2i.i2 *Aee.AAI

2i.i2AAee.A*.)t,r(p

2A*)t,r(

1dV)t,r(*).t,r(V

4. Quan hệ giữa sóng Broglie và vi hạt chuyểnđộng tự do có năng lượng

và xung lượngTính tần số góc:

Còn véctơ sóng:

Hàm sóng viết dưới dạng:

mvP

chhE

.Ehc

.h

2c22

Pn

h

h

2n

2k

)]r.kt(iexp[A)t,r(

]rPEt)[i

exp(A

Vận tốc Pha - Vận tốc nhómVận tốc Pha:Vận tốc truyền sóng sao cho pha là không đổi:

suy ra :hay:

Vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền năng lượng.

const)dxx(P)dtt(EPxEt PdxEdt

v

c

v.m

c.m

P

E

dt

dxu

22

Vận tốc nhóm là vận tốc chuyển độngcủa toàn bộ bó sóng.

Vận tốc nhóm của bó sóng bằngvận tốc của hạt chuyển động.

vmc

mvc

E

Pc

P

Eu

2

22

)]rkt(iexp[A)t,r(

III. TOÁN TỬ (OPERATOR)1. Toán tử: Ánh xạ tác dụng lên một hàm biến hàm đó

thành một hàm khác:

Ví dụ :)t,z,y,x(g)t,z,y,x(fA xt4)zyx2(A 2

2. Một số toán tử thông dụngA-Toán tử đạo hàm:Ví dụ: dx

dA 2)zyx2(

dx

d)zyx2(A 22

321 ez

ey

ex

dGra

32

2122 eyeyz2e2)zyx2()zyx2(dgra

2

2

2

2

2

2

zyxA

2

22

2

22

2

222

z

)zyx2(

y

)zyx2(

x

)zyx2()zyx2(A

z2)zyx2(A 2

zyx2)z,y,x(f 2

C-Toán tử Laplace:

Ví dụ :

B-Toán tử grad:

Ví dụ :

A. PHÉP TOÁN CHO TOÁN TỬ1. PHÉP CỘNG:Ví dụ :

CBA

zxyx22)z,y,x(f)xdx

d()zyx2(C 222

2. PHÉP TRỪVí dụ:

DBA

zxyx22)zyx2(D 222

)fB(Af)B.A(

zyx4)}zyx2(x{dx

df)B.A( 22

)fA(Bf)A.B(

xB;dx

dA

3. PHÉP NHÂN

Ví dụ :

zyx2)z,y,x(f 2

DEAB

x2)}zyx2(dx

d{xf)AB( 2 f)B.A(f)A.B(

B. GIAO HOÁN TỬ1. Định nghĩa:Ví dụ :

A.BB.A

0)yz2(dx

d)}zyx2(

dy

d{

dx

d)zyx2(B.A 22

z,y,x

dy

dB;

dx

dA

2. Các toán tử giao hoán được

zyx2)z,y,x(f 2

0)2(dy

d)}zyx2(

dx

d{

dy

d)zyx2(A.B 22

dz

d;

dy

d;

dx

d2

2

2

2

2

2

dz

d;

dy

d;

dx

dxy

;yx

22

3. Các toán tử không giao hoán được

dz

d;z

dy

d;y

dx

d;x ...

zy;

yx

22

Bài tập : Xem các TT sau có thể giao hoán được với nhau ?

2. Tổ hợp toán tử giao hoán được

Khi mà

)DC)(BA(

ADDAACCA

BDDBBCCB

321 ez

ey

ex

dGra

2

2

2

2

2

2

zyxA

321 ezeyexr

rdGra

C. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR)1. Định nghĩa: cho các hàm f1 f2…fn và các hằng số c1

c2…cn A là TT tuyến tính

Các TT tuyến tính ]f.A[c}f.c{A iii

321 ez

ey

ex

dGra

2

2

2

2

2

2

zyxA

321 ezeyexr

Bài tập : Xem các TT sau có tuyến tính không ?

2

2

2

2

2

2

dz

d;

dy

d;

dx

d;

dz

d;z;

dy

d;y;

dx

d;x

rdGra

Lagrange

D. HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ

1. Định nghĩa:Ví dụ : Ta có tìm hàm riêng trị riêng

)x(f)x(fA

2. Dùng định nghĩadx

da

3. Chuyển vế:

)x(fdx

)x(df)x(fa

dx)x(f

)x(df

4. Lấy tích phân x.)c(lnc)x(flndx)x(f

)x(df1

5. Biến đổi x11 e)x(fcx.)x(fcln

x2ec)x(f

6. Kết luận: Có nhiều trị riêng khác nhaucó nhiều hàm riêng khác nhau

E. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP TUYẾN TÍNH HERMITTE

1. Định nghĩa:Ta có là các hàm bất kỳ

 là TT Hermitte:

2. Ví dụ Xét toán tử

Xét vế trái : Dùng tích phân từng phần:

Vế phải:

So sánh:

Để Â là Hermitte thì ta có:

Kết luận: các hàm fi(x) khi nhân lẫn nhau bằng khôngGọi là trực giao

)x(f),x(f 21

dx)x(f].A)[x(fdx)x(fA)x(f 1221

dx

diA

])dxfdx

df(ff[idx)x(f

dx

d)x(fi 122121

dx)x(fdx

d)x(fidx)x(f].

dx

di)[x(f 1212

0)x(f).x(f 21

Tính chất TT hermitte

1. Nó có trị riêng là các giá trị thực.

2. Các hàm riêng là trực giao:

3. Các hàm riêng tạo thành một hệ đủ: một hàm bấtkỳ được khai triển thành tổ hợp TT các hàm trựcgiao

KLkhi0

KLkhi1)KL()x(f).x(f KL

)x(fC)x(Un

1kkk

IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGERCác tiên đề trong Cơ lượng tử

1. Mỗi đại lượng a trong CH cổ điển tương ứng một TTHermitte â trong CH Lượng tử sao cho trị riêng của â là sốthực bằng chính giá trị của đại lượng a.

Ví dụ là toán tử năng lượng có trị riêng là E

2. Hệ thức của các TT có hình thức giống hệt như cácđại lượng cổ điển tương ứng

H

r,z,y,x

]P.xr[L

Ví dụ: TT tọa độ là phép nhân

TT mômen xung lượng

Hai TT giao hoán thì chúng có cùng hàm riêng và khôngtuân theo nguyên lý bất định.

Các toán tử thông dụng trong Cơ lượng tử1. TT tọa độ= Tương ứng phép nhân

r,z,y,x

2. Các toán tử xung lượng

4. toán tử năng lượng:

toán tử thế năng

xiPx

yiPy

ziPz

]z

.ey

.ex

.e[iiP 321

3. toán tử xung lượng tòan phần

)z,y,x(Um2

PE

2

)zyx

(m2m2

P2

2

2

2

2

222

)x,y,x(U)z,y,x(U

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGERÝ nghĩa1. Hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng.

Nếu năng lượng là không đổi

2. PT Schodinger không phụ thuộc t

Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng

- Hàm riêng mô tả trạng thái

)t,z,y,x(E)t,z,y,x(H

)z,y,x()iEt

exp(A)r()iEt

exp(A)t,r(

)z,y,x(E)z,y,x(H)r(H

)z,y,x(.E)z,y,x()]z,y,x(Um2

[2

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGERMỤC ĐÍCH KHI GIẢI

1. TÌM TRỊ RIÊNG: Tức là xác định các mức năng lượngvà xem nó có bị gián đọan không (lượng tử hóa)2. TÌM HÀM RIÊNG: Dùng tính xác suất những nơi tìmthấy hạt (đám mây điện tử). Xác định hàm mật độ xác suất

CÁC LƯU Ý KHI GIẢI1. BIẾT DẠNG TOÁN TỬ THẾ NĂNG: Thường đó làmột phép nhân. Nếu đơn giản thì U=02. CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN: 1D/ 2D/ 3D. Đơn giản làmột chiều khi đó

3. Có khi phải tách không gian làm nhiều vùng khácnhau để tìm hàm sóng cho từng vùng.

2

222

dx

d

m2m2

V HẠT TRONG HỐ THẾ VUÔNG

Bên trong hố 0 x a thì U = 0Bên ngòai hố 0 > x và x > a thì U vô hạn

Bên ngòai U lớn nên hạt không thể nhảy ra hạt chỉ tồn tại bên trong Phương trình S

Xét chuyển động theo 1 phương x nên:

Nghiệm là:

Lưu ý tại x=a thì hàm sóng bằng không

a0

U=0

)z,y,x(E0)z,y,x()zyx

(m2 2

2

2

2

2

22

)x(k)x(Em2

x

)x( 222

2

mE2k

kxsinA)x(

nsin0kasinA

Kết quả: nka2n

2

222nn

mE2

a

nk

a

nk

...3,2,1nma2

n

m2

kE

2

2222n

2

n

Kết luận về mức năng lượng:1- Năng lượng bị lượng tử hóa2- Năng lượng tỉ lệ với bình

phương các số nguyên3- E1 là mức thấp nhất (Ground state)4- Từ E2 lên trên là mức kích thích

(excited state)5- Khỏang cách các mức không đều

)1n2(ma2

]n)1n[(ma2

EEE2

2222

2

22

n1n

Kết quả:

Kết luận về các hàm sóng bậc n:

1- Ta chứng minh các hàm sóng là trực giao.

2- Xác suất tìm thấy hạt tỉ lệ với mức năng lượng thứ n

?AkxsinA)x(

a

2A1a

2

1Adx)kx(sinA

22a

0

2

Theo sự chuẩn hóa hàm sóng :

)a

xnsin(

a

2)xksin(

a

2)x( nn

)nm(0dx)xksin()xksin(a

2/ n

a

0

mnm

x

U(x)

ax

U(x)

a

x

U(x)

a

n=1 n=2 n=3

Kết quả: nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính các nghiệm

)a

xnsin(c

a

2c)x(f nnn

Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian

)tiEexp()a

xnsin(c

a

2)iEtexp()x()t,x( nn

)tma2

niexp()

a

xnsin(c

a

22

22

n

Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông

2

222

2

222

2

222

321 mc2nx

mb2ny

ma2nxEEEE

)c

znzsin(c2)

byny

sin(b2)

axnxsin(

a2)x,y,x(nz,ny,nx

V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒATrong 1D : Hệ chịu tác động lực tuầnhoàn f=-kx, nên động năng U=kx2/2

Phương trình Schrodinger một chiều:

Xét hai toán tử tăng và giảm:

Lấy phép nhân 2 toán tử đó viết lạI PT Schrodinger

2

xm

2

xm

2

xk)x(U

22222

)x(uE)x(u)x2

m

dx

d

m2i( nnn

22

2

22

a,a

]ximdx

d

i[

m2

1a

)x(uE)x(u}2

1)aa{()x(uH nnnn

V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒATa chứng minh được luận điểm sau:

Nếu U(x) là nghiệm riêng thỏa PT Schrodingervới trị riêng E thì hàm â+(x) cũng là nghiệm riêngcủa PT Schrodinger với năng lượng riêng là E

Hàm â-(x) cũng là nghiệm riêng của PTSchrodinger với năng lượng riêng là E

Kết qủa về mức năng lượng

1- Các năng lượng cách đều nhau một đoạn

2- Mức năng lượng thấp nhất có giá trị dươngvà là năng lượng ở nhiệt độ 0K. ??

3- Mức thứ J bất kỳ có giá trị

E

2

1E0

)5,0j(E j

NGHIỆM CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒANghiệm ở trạng thái cơ bản u0: khi đóNếu tác dụng hạ bậc sẽ không còn sóngPhương trình xác định:

Giải được nghiệm:

Dùng điều kiện chuẩn hóa Biên độ sóng là Và viết lại hàm cơ bản:

Hàm ở trạng thái m

0)x(ua 0

0)x(u]ximdx

d

i[

m2

1)x(ua 00

)x2

mexp(A)x(u 2

00

4/1

0

mA

)x2

mexp(

m)x(u 2

4/1

0

)x2

mexp(

m)a()x(u)a()x(u 2

4/1m

0m

m

Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian )tiEexp()x(u)t,x( mmm

Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông

222222321 zm

21ym

21xm

21)z(U)y(U)x(U)z,y,x(U

Kết quả: Về năng lượng

)nznynxN()2

3nznynx(EN

)z(Z).y(Y).x(X)x,y,x( nznynxnz,ny,nx

Kết quả: Về hàm sóng

Lúc này có sự suy biến: Cùng một mức năng lượng sẽ cónhiều trạng thái khác nhau do các giá trị nx, ny và nz tạo ra.

nx ny nz

Trạng thái 1 2 0 0

Trạng thái 2 0 2 0

Trạng thái 3 0 0 2

Trạng thái 4 1 1 0

Trạng thái 5 0 1 1

Trạng thái 6 1 0 1

Ví dụ với mức 2

7)

2

32(EN

VII Hiệu ứng đường hầm Tuner effectGiải bài toán hạt chuyển động vướt qua rào thế có U

cao hơn năng lượng của nó.

O X

U0

Miền 3Miền 2Miền 1

Khi 0 x U = 0: miền 1Khi a x 0 U = U0

: miền 2Khi x a U = 0: miền 3

d

dxk

21

2 12

1 0

Trong Miền I và III

Nghiệm:

kmE

12

2

2

Trong Miền II d

dxk

22

2 22

2 0

km U E

22 0

2

2

( )

)xikexp(B)xikexp(A 11111

)xkexp(B)xkexp(A 22212

Để tìm nghiệm, dùng điều kiện biên, vì có 6 biên độ ứng cácmiền nhưng chỉ có 4 DK biên phải bỏ một hệ số B3 với giảthuyết sóng không phản xạ ở vô cùng.

Vấn đề ta quan tâm là sóng có qua rào không?Hệ số truyền qua D: là tỷ số giữa bình phương biên độ sóngtruyền qua hàng rào thế và bình phương biên độ sóng tới tạihàng rào thế.

???0A

AD

21

23

Kết qủa thu được0)ak2exp(

)n1(

n16D 222

2

nk

k

E

U E

1

2 0

km U E

22 0

2

2

( )

Ví dụ: Nếu hiệu năng lượng cho là E-U0=1,28.10-31 J, khiđó ta có thể dùng lý thuyết để tính sự phụ thuộc của hệ sốtruyền qua D vào độ rộng hố thế a.

a(m) 10-10 1,5.10-

102.10-10 5.10-

10

D 0,1 0,03 0,008 5.10-7

Hệ số truyền qua D chỉ đáng kể khi độ rộng hố thế a làrất nhỏ, khi đó hạt thể hiện tính chất sóng của vi hạt vàđiều đó không thể có với các hạt vĩ mô.

Ứng dụng:1- Giải thích phát xạ lạnh electron trong kim loại2-Phân rã hạt anpha từ nhân có 2 prôtôn và 2 Nơtrôn.

1- Phương trình truyền sóng vật chất:2- Ýnghĩa và tính chất hàm sóng3-Vận tốc pha và nhóm4- Toán tử và các phép toán của Toán tử. Toán Tử Hermitte5- Giao hoán tử và các tính chất. Hàm riêng trị riêng.6- PT Schrodinger

7- Hạt trong hố thế

8- Dao động tử điều hòa.

9- Hiệu ứng đường ngầm

Ôn tập)]rkt(iexp[A)t,r(

vu;v

cu N

2

P

)z,y,x(.E)z,y,x()]z,y,x(Um2

[2

...3,2,1nma2

n

m2

kE

2

2222n

2

n

)a

xnsin(

a

2)xksin(

a

2)x( nn

)5,0j(E j

)x2

mexp(

m)x(u 2

4/1

0

0)ak2exp()n1(

n16D 222

2

nk

k

E

U E

1

2 0

km U E

22 0

2

2

( )