Chapter 2 - Types of Hysteresis

7/28/2019 Chapter 2 - Types of Hysteresis

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C H A P T E R 2

Types of Hysteresis

H y s t e r e s i s p h e n o m e n a a r e w i d e s p r e a d i n n a t u r e . F e r r o m a g n e t ic h y s t e re s i sis j u s t o n e a m o n g m a n y e x a m p l e s. T h e m e c h a n i s m s u n d e r l y i n g h y s t e r e si sf all w i t h i n t h e r e a lm o f n o n e q u i l ib r i u m t h e r m o d y n a m i c s , a t o pi c w i t hm a n y c o n c e p t u a l d i ff ic u lt ie s n o t y e t f u l ly r e so l v e d . A s a c o n se q u e n c e , t h ew o rd h y s t e r e s i s m a y b e u se d w i t h d i f fe r e n t m e a n i n g s i n d i f f e re n t c o nt e x ts ,d e p e n d i n g o n t h e p h y s i c a l p i c t u re o n e h a s in m i n d a n d t h e a p p r o x i m a t i o n st h a t o n e i s i n t ro d u c i n g i n t h e d e sc r i p t i o n . Th u s i t s e e m s a p p ro p r i a t e t oc l a r i fy t h e p h y s i c a l p i c t u re a n d t h e a p p ro x i m a t i o n s t h a t w i l l a c c o m p a n yt h e d e sc r i p t i o n o f h y s t e r e s i s g i v e n i n t h i s b o o k . W e sh al l c o n c e n t r a te o nt h re e a p p r o x i m a t e v i e w s o f t h e b e h a v i o r o f m e t a s t a b l e s y s t e m s , rate -independent hysteresis , v iscous- type rate-dependent hysteresis , and thermal re-laxation. In p a r t i c u l a r , w e sh a l l d i s c u s s h o w t h e se a p p ro x i m a t i o n s a p p l yto bis table sys tem s, w h i c h r e p re se n t t h e s i m p l e s t c a se d i sp l a y i n g t h e p h e -n o m e n a w e a r e i n t e r e s t e d i n .B e c a u se w e a r e g o i n g t o d i s c u s s g e n e ra l a sp e c t s o f h y s t e r e s is , n o tl i m i t e d t o fe r ro m a g n e t i c m a t e r i a ls , w e sh a l l e m p l o y a g e n e ra l t e rm i n o l o g y .W e c o n s i d e r a s y s t e m , o n w h i c h w e a c t t h r o u g h s o m e e x t e r n a l a c t i o n ,n a m e d i n p u t o r control variable o r external f ie ld, a n d i n d i c a t e d b y H . In t h ec a se o f a m a g n e t i c m a t e r i a l , H w o u l d r e p re s e n t t h e a p p l i e d m a g n e t i c f i el d.Th e sy s t e m re sp o n d s t o t h i s a c t i o n a n d c h a n g e s i t s i n t e rn a l s t a t e . Th ec h a n g e i s m o n i t o r e d b y l o o k i n g a t th e b e h a v i o r o f s o m e q u a n t i t y X , n a m e do u t p u t o r state variable . In the m a g n e t i c c a se , t h i s c o u l d b e , f o r e x a m p l e ,t h e to t a l m a g n e t i c m o m e n t o f t h e b o d y . H i s t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l ea n d X i s t h e d e p e n d e n t o n e , i n t h e s e n s e t h a t w e a s s u m e t o k n o w i na d v a n c e t h e t i m e d e p e n d e n c e H ( t ) a n d t h a t w e w a n t t o d e s c r i b e a n dp r e d i c t t he c o r r e s p o n d i n g t im e r e s p o n s e X( t ) . This i s no t a lways the case .In th e t r e a t m e n t o f m a g n e t i c l o s ses , fo r e x a m p l e , o n e u s u a l l y c o n s i d e r sd y n a m i c h y s t e r e s i s l o o p s w h e re t h e o u t p u t , n o t t h e i n p u t , i s sp e c i f i e d(e.g. , l o s se s u n d e r s i n u so i d a l m a g n e t i z a t i o n ) . Th i s s i t u a t io n n e c e s sa r i lyr e q u i r e s so m e f e e d b a c k c o n t ro l , w h i c h a d j u s t s t h e i n p u t i n o rd e r t o p ro -

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32 CHAPTER 2 Ty pe s of Hysteresisd u c e t h e r e q u i r e d o u t p u t . S u c h f e e d b a c k c o m p l ic a t io n s w i ll n o t b e c o n s i d -ered in th i s chapter .

T h e n a t u r e a n d t h e m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n o f h y s t e re s i s c a n b eq u a l i ta t iv e l y d i f fe r e nt d e p e n d i n g o n t h e t e n s o r c h a r a c t e r o f t h e i n p u t a n dou t pu t va r i ab l e s . W e s ha l l l i m i t ou r cons i de r a t i ons t o scala r hysteresis,w h e r e b o t h H a n d X a r e j u s t n u m b e r s . I n r e a l i t y , t h e n a t u r a l i n p u t a n dou t pu t va r i ab l e s f o r f e r r omagne t i c ma t e r i a l s a r e t he magne t i c f i e l d andt he ma gne t i za t i on , w h i ch a r e vec t o r quan t i ti e s . T he r e fo r e , vecto r hysteresisis i n p r inc i p l e expec t ed t o be t he co r rec t f r am ew or k , an d s ca l a r hys t e r e s i ss h o u l d e m e r g e f r o m t h e g e n e r a l p i c t u r e u n d e r a p p r o p r i a t e a p p r o x i m a -t ions . Y e t , s ca l a r hys t e r e s i s de s c r i p t i ons a r e o f t en i n t r od uce d f r om t heb e g i n n i n g o n t h e b a s i s o f s o m e p h e n o m e n o l o g i c a l a s s u m p t i o n , m a i n l yb e c a u s e t h e y p e r m i t a s i m p l e r a n d m o r e i n t u it iv e t r e a t m e n t o f o t h e r w i s ec o m p l i c a t e d p h e n o m e n a . W e w i l l d i s c u s s t h e v a l u e o f s u c h a p p r o a c h e san d t he i r l im i t a ti ons on s eve r a l occasi ons. S ome a s pec t s o f vec t o r hys t e r e -s i s a r e cons i de r ed i n C hap t e r 8 .

A l t h o u g h n o t d i r e c tl y a d d r e s s e d i n th i s b o o k , o n e a s p e c t o f h y s t e r e s isis a t t r ac t i ng i nc r eas i ng in t e re s t: it s un i v e r s a l an d u b i qu i t ous n a t u r e . H owgene r a l can t he ma t hema t i ca l de s c r i p t i on o f hys t e r e s i s be? I s t he r e s omeu n i v e r s a l p a r a d i g m t h a t c a n b e a p p l i e d t o a ll s i tu a t io n s w h e r e h y s t e re s i si s o b s e r v e d ? T h e i d e a s p r e s e n t e d i n t h i s c h a p t e r a n d t h e m o r e d e t a i l e dd i s cus s i on o f P r e i s ach s ys t ems g i ven i n P a r t V mi gh t a l s o be u s e f u l a s ac o n t r i b u t io n t o w a r d a b e t t e r c o m p r e h e n s i o n o f t h e se g e n e r a l q u e s t io n s .

2 .1 W H A T W E M E A N B Y H Y S T E R E S I SI n a l o o s e s e n s e , w e m i g h t s a y t h a t h y s t e r e s i s a p p e a r s w h e n t h e o u t p u tX i s no t a s i ng l e - va l ued f unc t i on o f t he i npu t H . O f t en , w hen us i ng t hew o r d h y s t er e s is , o n e h a s i n m i n d a h y st e re s i s lo o p o f t h e t y p e s h o w n i nC h a p t e r 1, w h e r e t h e r e a re t w o p o s s i b le o u t p u t v a l u e s f o r a n y i n p u t v a l u e .W e sh a l l s e e t h a t h y st e re s is p h e n o m e n a h a v e a m u c h m o r e c o m p l e x n a t u r e ,w h i ch cann o t be r ed uce d t o t he ana l y s i s o f hys t e re s i s l oops on ly . Y e t, i ti s a f act t ha t hys t e r e s i s loops a r e t he bas ic f ea t u r e c ha r ac t e r i z i ng m agn e t i cma t e r i a l s . T he r e f o r e , w e beg i n by d i s cus s i ng ce r t a i n s i t ua t i ons w he r ehys t e r e s i s l oops na t u r a l l y a r i s e a s a cons equence o f t he ex i s t ence o f aphase lag b e t w e e n i n p u t a n d o u t p u t . I n linear systems, t h i s behav i o r i sd e s c r i b e d b y a generalized susceptibility f u l l y cha r ac t e r i z i ng t he i n t e r na ls t r uc t u r e o f t he s y s t em. T h i s k i nd o f s i t ua t ion g i ves r is e to r a t e - d ep en de n th y s t e re s is , d e p e n d i n g o n t h e ra t e o f c h a n g e o f t h e i n p u t , a n d d i s a p p e a r i n gunde r quas i - s t a t i c exc i t a t i on . S ubs equen t l y , w e i n t r oduce t he concep t o f


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2.1 W H A T W E ME AN BY HYSTERESIS 33memory a n d w e d i s c u s s s i tu a t i o n s t h a t g i v e r is e t o r a t e - i n d e p e n d e n t h y s t e r -e s is a s a c o n s e q u e n c e o f m e m o r y m e c h a n i s m s p e r s i s t e n t in t im e . F i na lly ,w e s h o w h o w t h e v a r io u s t y p e s o f r a te - d e p e n d e n t a n d r a t e- i n d e p e n d e n th y s t e r e s i s c a n o r ig i n a t e i n a s y s t e m w h o s e f r e e e n e r g y h a s a c o m p l i c a t e ds tr u c tu r e , w i t h m a n y l o ca l m i n i m a c o r r e s p o n d i n g to metastable s tates . A sd i s c u s s e d i n C h a p t e r 1, t h is i s t h e t y p i c a l s it u a t i o n e x p e c t e d i n m a g n e t i cs y s t e m s .I n t h e l i t e r a t u r e o n h y s t e r e s i s , t h e r e i s a t e n d e n c y t o u s e t h e w o r dh y s t e r e s i s t o d e s c r i b e r a t e - i n d e p e n d e n t h y s t e r e s i s o n l y . R a t e - d e p e n d e n te ff ec ts a r e c o n s i d e r e d a s a d d i t io n a l p h e n o m e n a t h a t c o m p l i c a t e th e p i c t u r ea n d s h o u l d b e r u l e d o u t a s m u c h a s p o s s i b l e . F o r t h e p h y s i c a l s y s t e m sc o n s i d e r e d i n t h i s b o o k , t h i s s e p a r a t i o n a p p e a r s s o m e w h a t a r t i f i c i a l a n dn o t v e r y u s e f u l . R a t e - i n d e p e n d e n t h y s t e r e s i s i s n o t h i n g m o r e t h a n a na p p r o x i m a t i o n t o p r o c e s s e s t h a t a r e i n t r i n s i c a l l y r a t e - d e p e n d e n t , a n d w ep r e f er t o s u m m a r i z e u n d e r t h e w o r d h y s t er e s is t h e w h o l e s e t o f i n t im a t e lyc o n n e c t e d p h e n o m e n a a r is in g f r o m t h e s i m u l t a n e o u s e x is te n c e o f m e t a s t a-b l e s t a t e s , d i s s i p a t i o n m e c h a n i s m s w i t h c h a r a c t e r i s t i c t i m e s c a l e s , a n dt h e r m a l r e l a x at io n . O n t h e o t h e r h a n d , i t is j u s t in t h e m a t h e m a t i c a ld e s c r ip t i o n o f r a t e - in d e p e n d e n t h y s t e r e si s t h a t o n e e n c o u n t e r s t h e m o s ti n t e r e s t i ng a nd c ha l l e ng i ng d i f f i c u l t i e s , a nd i t i s i n t h i s d i r e c t i on t ha ti m p o r t a n t m a t h e m a t i c a l p r o g r e s s i s b e i n g a c h ie v e d .

2.1.1 Hysteresis: LagT h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n h y s t e r e s is a n d l a g is cl o se to t h e e t y m o l o g i c a lm e a n i n g o f t h e w o r d . B y th is , w e m e a n t h a t th e r e is h y s t e re s is w h e n t h eo u t p u t i s l a g g i n g t h e i n p u t . I n t h e c a s e w h e r e a s i n u s o i d a l i n p u t g i v e sr i s e t o a s i n u s o i d a l o u t p u t , w e w i l l h a v e

H ( t ) = H 0 c o s ( , ~ t )X ( t ) = X o c o s ( ~ - r

(2.1)

I f w e p l o t X a s a f u n c t i o n o f H u n d e r v a r y i n g t i m e t, w e o b t a in t h ee l li p t ic a l loop s s h ow n i n F i g. 2 .1 . I n t h i s c on t e x t, w h e r e t he i n pu t i s de f i n e db y t h e a m p l i t u d e H 0 a n d t h e p u l s a t i o n co, t h e p r o b l e m i s t o k n o w t h ef u n c t io n a l d e p e n d e n c e o f t h e amplitude, X0(H 0, co), an d of th e phase lag,~ H 0 , co ), on H 0 a n d co. A s a n e xa m pl e , F i g . 2.1 s h ow s t he s e t o f l oopso b t a i n e d a t f ix e d co a n d v a r i a b l e H 0 w h e n X 0 is p r o p o r t i o n a l t o H 0 a n dr is i n d e p e n d e n t o f H 0.

T h e r e i s n o a p r io r i r e a s o n t o e x p e c t th a t t h e r e s p o n s e o f t h e s y s t e mt o a s i nu s o i d a l e xc i t a ti on s ho u l d s ti ll b e s i nu s o i da l . T h i s is de t e r m i ne db y t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f t h e s y s t e m , a n d i n g e n e r a l o n e w i l l f i n d t h a t


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34 CHA PTER 2 Types of Hys teres i s

X

FIGURE 2.1 . El lipt ical loops pro du ce d by inp ut- ou tpu t pha se lag (Eq. (2.1)).

a s i n u s o i d a l e x c i t a t i o n g i v e s r i s e t o a d i s t o r t e d o u t p u t . A n u n d i s t o r t e dr e s p o n s e l i k e t h e o n e o f E q . ( 2 . 1 ) i s t y p i c a l o f l inear sys tems , w h e r e t h esuperpos i t ion pr inc ip le h o l d s . T h i s p r i n c i p l e p e r m i t s o n e t o c o n s t r u c t t h er e s p o n s e o f a ti m e - i n v a r i a n t l i n e a r s y s t e m t o a g e n e r ic i n p u t a s t h e s u p e r -p o s i t i o n o f t h e r e s p o n s e s t o i n p u t i m p u l s e s . L e t q s (t - to) b e t h e s y s t e mr e s p o n s e a t t i m e t t o a n i n p u t i m p u l s e 8 (t - to) t h a t o c c u r r e d a t th ep r e v i o u s t i m e t 0. O f t e n q s( t) h a s t h e f o r m

~ t ) = X i S (t ) + q~d(t)O(t) (2.2)T h e t w o t e r m s r e p r e s e n t t h e i n s t a n t a n e o u s a n d t h e d e l a y e d s y s t e m r e -s p o n s e . T h e p r e s e n c e o f t h e H e a v i s i d e s t e p f u n c t i o n 8 (t) e n s u r e s t h a tc a u s a l i t y h o l d s a n d t h a t t h e r e s p o n s e f o l l o w s t h e e x c i t a t i o n b u t n e v e ra n t i c i p a t e s i t. W e s h a l l a s s u m e t h a t q ~ d(t) i s a r e g u l a r f u n c t i o n o f t, s u c ht h a t q ~ d( t) ~ 0 f o r t ~ oo. T h i s i m p l i e s t h a t th e s t a t e o c c u p i e d b y t h es y s t e m u n d e r z e r o i n p u t , a f t e r a l l t r a n s i e n t s h a v e d i e d a w a y , i s a l w a y sX = 0 . A c c o r d i n g t o t h e s u p e r p o s i t i o n p r i n c i p l e , t h e s y s t e m r e s p o n s e t ot h e g e n e r i c i n p u t H ( t ) w i l l b e

tX( t ) = x iH( t ) + f- - c o

q~d(t -- t ' ) H ( t ' ) d t ' (2.3)T h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n ~ ( t ) f u ll y c h a r a c te r i z e s t h e in t e r n a l s t ru c -t u r e o f t h e s y s t e m .

E q u a t i o n (2 .3 ) a c q u i r e s a p a r t i c u l a r l y i n t e r e s ti n g f o r m w h e n w e p a s st o F o u r i e r t r a n s f o r m s

~ c oz ~ = z ( t ) e x p ( - i r o t ) d t (2.4)- - c o


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2.1 W H A T WE MEA N BY HYSTERESIS 35where z s t ands fo r H o r X . In Four i e r space , Eq . (2 .3 ) becomes

x ~ = x ( , ~ ) n ~ (2.5)w h e r e

f ooX(w) = Xi + q~ d( t ) xp ( - - i ~ ) d t0 (2.6)is t h e F o u r i e r t r a n s f o rm o f ~ ( t ) . ~ ro ) i s n a m e d genera l i z ed suscep t ib i l i t y . Iti s a c o m p l e x q u a n t i t y , w i t h a r e a l a n d a n i m a g i n a ry p a r t :

to) = X ' ( ~ ) - ix" (r (2.7)F ro m Eq . (2 .6 ) an d the fac t t ha t q~d(t) i s a rea l func t ion , w e ded uc e tha tX*(~o) = ~ - ~ ) , w h i c h m e a n s t h a t

X'(-~ o) = X '(r X"(-~o) = -X"(r (2.8)X ' is a n e v e n fu n c t i o n o f ~ w h e re a s X " i s o d d a n d c h a n g e s s i g n w i t h to.W e c a n a l so e x p re s s X i n t e rm s o f i ts a m p l i t u d e a n d p h a se , a s

X (~ ) = I~ e x p ( - i ~ ) (2 .9 )w h e r e

_ X ' X "c o s 4 - ~ s i n 4 - I~ (2.10 )G i v e n t h e sy m m e t ry p ro p e r t i e s e x p re s se d b y E q . (2 .8 ) , w e h a v e t h a t4 ( - , ~ ) = - 4 ( , ~ ) .

Th e se r e su l t s m a k e c l e a r t h e b e h a v i o r o f a li n e a r sy s t e m u n d e r s i n u so i -d a l e x c i t a t i o n . E q u a t i o n (2 .5 ) sh o w s t h a t a l i n e a r sy s t e m re sp o n d s t o as inu so ida l i np u t j u s t a s de sc r ibe d by Eq . (2.1 ) an d F ig . 2 .1 , w i th X0(H0 ,~a) =IX(tO)ill0 , p ro p o r t i o n a l t o H 0 , a n d ~H 0 , ro ) e q u a l t o t h e loss angle of Eq.(2.10 ), i n d e p e n d e n t o f H 0. A s t o t h e f re q u e n c y d e p e n d e n c e o f ~ ) , w em e n t i o n e d t h e f a ct th a t X " (~ ) is a n o d d fu n c t i o n o f o4 w h i c h u su a l l yc h a n g e s s i g n b y p a s s i n g t h ro u g h t h e o r ig i n . Th is m e a n s t h a t X "(0 ) = 0 ,i .e ., a f t e r Eq . (2 .10), ~ 0 ) = 0 . Th us in the qu as i - s t a t ic l imi t w he re the inp u tr a t e o f c h a n g e i s a rb i t r a r i l y sm a l l , t h e p h a se l a g v a n i sh e s a n d w e n ol o n g e r h a v e a n y h y s t e r e s i s l o o p . Th e q u a s i - s t a t i c sy s t e m re sp o n se X (H )re d u c e s t o t h e s i n g l e -v a l u e d l i n e a r r e l a t i o n sh i p

X(H ) = X'(0 ) H (2.11)Th e b e h a v i o r d e sc r i b e d b y E q . (2 .3 ) a n d E q . (2 .5 ) i s a n e x a m p l e o f rate-dependen t hys te re s i s , d i sa p p e a r i n g w h e n t h e e x c i ta t io n i s su f fi c ie n t ly s l ow .


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36 CHAPT ER 2 Types of Hysteresis2.1.2 Hysteres is : Diss ipationT h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n h y s t e r e s i s a n d d i s s i p a t i o n n a t u r a l l y a r i s e sf r o m t h e i d e a t h a t h y st e re s i s is a n o u t - o f - e q u i l ib r i u m p h e n o m e n o n , w h e r ei r re v e r s i b l e p r o c e s se s t a k e p l ac e . D i s s i p a t i o n h a s t o d o w i t h e n e r g y t r a n s -f o r m a t i o n s f r o m o n e f o r m t o a n o t h e r , a n d a c q u i r e s a d e f i n i t e m e a n i n go n l y w h e n w e c la ri fy h o w t h e sy s t e m c a n e x c h a n g e e n e r g y w i t h t h e e x-t e rn a l w o r l d . W e s h al l co n s i d e r t h e ca s e w h e r e t h e i n p u t H a n d t h e o u t p u tX a re c o n j u g a t e w o r k v a r i a b l e s , t h a t i s , w h e n H d X r e p r e s e n t s t h e w o r kp e r f o r m e d b y e x t e r n a l s o u rc e s o n t h e s y s t e m i n t h e i n f i n it e s i m a l tr a n s f o r -m a t i o n w h e r e t he o u t p u t v a r ie s b y d X . T h e f i r s t l a w o f t h e r m o d y n a m i c st h e n t a k e s t h e f o r m

d U = H d X + 8 Q (2.12)w h e r e U r e p r e s e n ts t h e s y s t e m i n t e r n a l e n e r g y a n d 8Q is t h e h e a t a b s o r b e db y t h e s y s t e m i n th e t r a n s f o rm a t i o n .

L e t u s n o w c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e s y s t e m i s k e p t a t c o n s t a n tt e m p e r a t u r e a n d i s s u b j e c t e d t o a p e r i o d i c i n p u t . I f t h e e n s u i n g s y s t e mr e s p o n s e i s i ts e lf p e r i o d i c , t h e v a r i a t i o n o f t h e i n t e r n a l e n e r g y i n o n e c y c l ew i l l b e z e r o , a n d w e o b t a i n f r o m E q . ( 2 . 1 2 )

~ c y c l e H d X = - ~ c y c l e ~ Q (2.13)A c c o r d i n g t o E q . ( 2 . 1 3 ) , t h e a r e a o f t h e l o o p d e s c r i b e d b y X ( H ) g i v e s t h ew o r k d i s s i p a t e d a s h e a t i n e a c h c y c l e . T h i s q u a n t i t y i s n a m e d e n e r g y l o s sp e r c y c l e . T h e t e r m p o w e r l o s s i s u s e d w h e n t h e d i s s i p a t i o n p e r u n i t t i m er a t h e r t h a n u n i t c y c l e i s c o n s i d e r e d . N o t e t h a t t h e l o o p a r e a m u s t a l w a y sb e p o s i t i v e , o r , i n o t h e r w o r d s , t h e X ( H ) l o o p m u s t a l w a y s b e t r a v e r s e dc o u n t e r c l o c k w i s e . I n t h e o p p o s i t e c a s e, o n e w o u l d h a v e a c y cl ic t r a n s f o r -m a t i o n w h o s e s o l e r e s u l t w o u l d b e t h e t r a n s f o r m a t i o n i n t o w o r k o f ac e r ta i n h e a t a m o u n t a b s o r b e d f r o m a s in g l e h e a t re s er v o ir , w h i c h w o u l dc o n t r a d i c t t h e s e c o n d l a w o f t h e r m o d y n a m i c s . T h i s a l s o s h o w s t h a t t h ec y c l i c t r a n s f o r m a t i o n c o n s i d e r e d i s i r r e v e r s i b l e , b e c a u s e t h e r e v e r s e dt r a n s f o r m a t i o n w o u l d n o t b e a d m i s s i b l e , f o r t h e s a m e r e a s o n .

I n t h e c a s e o f t h e l i n e a r s y s t e m s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n ,t h e e n e r g y l o s s c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e g e n e r a l i z e d s u s c e p ti b il it y .U n d e r s i n u s o i d a l e x c i t a t i o n , w e o b t a i n f r o m E q . ( 2 . 1 ) a n d E q . ( 2 . 1 3 ) t h a tt h e l o o p a r e a W is g i v e n b y

W = ~cycle H d X = r o s in~ (2 .14 )o r , b y t a k i n g i n t o a c c o u n t E q . ( 2 . 1 0 ) ,

W = r 2 (2.15)


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2.1 W HA T W E ME AN BY HYSTERESIS 37E q u a t i o n ( 2 . 1 5 ) s h o w s t h a t t h e d i s s i p a t i o n i s c o n t r o l l e d b y t h e i m a g i n a r yp a r t o f t h e g e n e r a l i z e d s u s c ep t ib i li ty .

W e c o n c l u d e b y r e m a r k i n g t h a t e x p r e s s i n g l o s s e s i n t e r m s o f l o s sa n g l e s i s n o t n e c e s s a r i l y l i m i t e d t o l i n e a r s y s t e m s . I n t h e e v a l u a t i o n o fp o w e r l o s s e s i n m a g n e t i c m a t e r i a l s , t h e l o s s u n d e r s i n u s o i d a l o u t p u t i su s u a l l y c o n s i d e r e d . W h e n o n e e s t i m a t e s t h e l o s s t h r o u g h E q . ( 2 . 1 3 ) , o n ec a n d e c o m p o s e t h e i n p u t H i n t o i t s F o u r i e r c o m p o n e n t s . D u e t o t h eo r t h o g o n a l i t y p r o p e r t i e s o f s i n u s o i d a l f u n c ti o n s, o n l y t h e f u n d a m e n t a lh a r m o n i c w i l l c o n t r i b u t e t o t h e i n t e g r a l . T h e r e f o r e , t h e l o s s c a n s t i l l b ee x p r e s s e d i n t h e f o r m o f E q . (2 .1 4), w h e r e q~ r e p r e s e n t s t h e p h a s e s h i ftb e t w e e n t h e i n p u t f u n d a m e n t a l h a r m o n i c a n d t h e o u t p u t .

2.1 .3 Hysteresis: Memory and branchingT h e s t a t e m e n t t h a t , i n a s y s t e m e x h i b i t i n g h y s t e r e s i s , f u t u r e e v o l u t i o nd e p e n d s o n p a s t h i st or y, i s p r o b a b l y t h e m o s t c o m m o n w a y to p r e se n th y s t e r e s i s . A c c o r d i n g t o t h i s v i e w p o i n t , a s y s t e m w i t h h y s t e r e s i s i s as y s t e m w i t h m e m o r y , i n w h i c h t h e o u t p u t X ( t ) a t t i m e t d e p e n d s n o t o n l yo n t h e i n p u t H ( t ) a t t h e s a m e t i m e , b u t a l s o o n t h e v a l u e s H ( t ' ) a t t a i n e da t p re v i o u s t i m e s t ' < t. W e a l r e a d y m e t a n e x a m p l e o f m e m o r y i n S e ct io n2 . 1 . 1 , w h e n w e d i s c u s s e d l i n e a r s y s t e m s . E q u a t i o n ( 2 . 3 ) i s a r e l a t i o n s h i pe n d o w e d w i t h m e m o r y , f o r X ( t ) i s d e t e r m i n e d b y t h e t i m e i n t e g r a l o ft h e i n p u t o v e r a l l p r e v i o u s t im e s . T h i s ty p e o f m e m o r y ; h o w e v e r , h a s an o n p er s i s t en t c h a r a c te r , i n t h e fo l l o w i n g s e n s e . S u p p o s e t h a t , w h a t e v e r t h ei n p u t h i s t o r y f o r t i m e s t < t 0 , a t t i m e t o H a c q u i r e s t h e v a l u e H 0 , w h i c hr e m a i n s c o n s t a n t f o r a l l s u b s e q u e n t t i m e s . A c c o r d i n g t o E q . ( 2 . 3 ) , t h eo u t p u t a t t h e g e n e r i c t i m e t > t o c a n b e w r i t t e n a s

f t o f t - t oX ( t ) = x i H o + q~d(t -- t ' ) H ( t ' ) d t ' + H o q~d(t') d t ' (2.16)~ o o 0A s t i n c re a s e s b e y o n d t 0 , t h e f ir st i n t e g r a l p r o g r e s s i v e l y b e c o m e s s m a l l er ,b e c a u s e q ~ d(t) ~ 0 f o r t ~ o% a n d t h e r e s p o n s e t e n d s t o t h e l i m i t

X = Xi + ~ d ( t ' ) d t ' H o = X ' (O ) H o0 (2.17)w h i c h c o i n c i d e s w i t h t h e q u a s i - s t a t i c r e s p o n s e p r e v i o u s l y d i s c u s s e d ( s e eE q. (2.11 )). W h e n t h is l i m i t is a p p r o a c h e d , t h e m e m o r y o f t h e f i el d h i s t o r yH ( t ) f o r t < t o i s l o st . I n t h is s e n s e , t h e m e m o r y e f fe c t h a s a n o n p e r s i s t e n tc h a r a c t e r .

S y s t e m s w i t h a m o r e c o m p l e x i n t e r n a l s t r u c t u r e , h o w e v e r , c a n h a v ep er s i s t en t m e m o r y o f th e p a s t. B y th i s w e r n e a n t h a t t h e s ta t e o f t h e s y s t e m


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38 CHAPTER 2 Ty pes of Hyste resi su n d e r c o n s t a n t i n p u t k e e p s o n d e p e n d i n g o n t h e p a s t h i st o r y o f t h e in p u te v e n a f t e r a l l t r a n s i e n t s h a v e d i e d o u t . I n o t h e r w o r d s , g i v e n a c e r t a i ni n p u t v a l u e H , t h e s y s t e m o c c u p i e s o n e o f s e v e r a l p o s s i b l e s t a t e s , a n d i tis t h e i n p u t h i s t o r y t h a t s e le c ts w h i c h o f th e s e s t a t e s is a c tu a l l y o c c u p i e d .T he s y s t e m r e m a i ns i n t ha t s t a t e f o r i nde f i n i t e t i m e , i f t he e x t e r na l c ond i -t i o n s a r e n o t m o d i f i e d , a n d t h i s p r o d u c e s t h e p e r s i s t e n t m e m o r y e f f e c t .A c c o r d i n g to t h is v i e w p o i n t , a s y s te m w i t h p e r s is t e n t m e m o r y c a n n o t b ei n t h e r m o d y n a m i c e q u i l i b r i u m , b e c a u s e i t i s a l l o w e d t o o c c u p y o n e o fs e v e r a l s t a t e s , w h e r e a s t h e e q u i l i b r i u m s t a t e u n d e r g i v e n e x t e r n a l c o n d i -t i o n s ( H a n d t e m p e r a t u r e ) i s u n i q u e .I f a s y s t e m w i t h p e r s i s te n t m e m o r y o c c u p ie s a st at e th a t d e p e n d s o ni ts pa s t h i s t o r y , t he n i ts f u t u r e e vo l u t i on , t ha t is , t h e be h a v i o r o f t he c u r v eX ( H ) s t a r t i n g f r o m g i v e n v a l u e s H I a n d X 1 w i l l d e p e n d o n t h a t p a s th i s t o r y a s w e l l . I n p a r t i c u l a r , h a v i n g r e a c h e d t h e p o i n t (H1,X1) u n d e ri n c r e a s in g o r d e c r e a s i n g i n p u t w i l l p l a y a r ol e. T h e e x p e c t e d s i t u a t i o n i ss h o w n i n F ig . 2 .2 . T h e p o i n t (H1, X 1 ) h a s b e e n r e a c h e d u n d e r i n c r e a s i n gH . A n e w e v o l u t i o n b r a n c h i s g e n e r a t e d if w e s t o p i n c r e a si n g H a n d w es t a r t d e c r e a s i n g it. A p o i n t w h e r e t h e s i g n o f t h e i n p u t v a r i a t io n is r e v e r s e dis ca l led a reversal po int . F r o m t h e t h e r m o d y n a m i c v i e w p o i n t , th e f ac t t h a t,a f t e r t h e r e v e r s a l p o i n t , t h e s y s t e m d o e s n o t t r a c e b a c k t h e s a m e X ( H )c u r v e i n r e v e r s e d s e n s e i s a g a i n a n i n d i c a t i o n t h a t t h e s y s t e m i s n o t i nt h e r m o d y n a m i c e q u i l i b r i u m . I n f ac t, i f t h e s y s t e m w e r e i n e q u i l i b r i u mf o r e a c h v a l u e o f t h e in p u t , t h e X (H ) c u rv e w o u l d o n l y d e p e n d o n H a n dt e m p e r a t u r e , a n d t h u s w o u l d b e e x a c tl y t h e sa m e , i n d e p e n d e n t o f t h es e n s e i n w h i c h i t is t r a v e r s e d .B e c a u s e a s y s t e m w i t h p e r s i s t e n t m e m o r y h a s t h e p o s s ib i l it y o f o c c u -p y i n g o n e o f m a n y d i f f e r e n t s t a t e s , i t i s n a t u r a l t o c o n s i d e r h o w w e c a ni d e n t i f y t h e s e s t a t e s . T h i s w i l l d e p e n d o n t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f t h es y s t e m , a n d i n p a r t i c u l a r o n t h e f a c t t h a t t h e s y s t e m i s e n d o w e d w i t hlocal o r nonlocal m e m o r y .

IXx1J

s/ /

1 H

FIGURE 2.2 . Branching in rate-in dep en den t hysteresis.


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2.1 W H A T W E M EA N BY HYSTERESIS 39Local memory . I n a s y s t e m w i t h l o ca l m e m o r y , th e v a l u e s o f H a n d X a res u f f i c i en t t o i den t i f y t he s t a t e . T he va r i ous s t a t e s a s s oc i a t ed w i t h g i venH a r e t hen neces s a r i l y cha r ac t e r i zed by d i f f e r en t va l ues o f X . A ny po i n ti n t h e H - X p l ane un i que l y i den t i f i e s one and on l y one s t a t e . G i ven t hepo i n t ( H 1 , X1) of F ig . 2 .2 , i f the sys tem has loca l memory i t s subsequentevo l u t i on ou t o f t h i s po i n t w i l l a t mos t depend on t he s ens e ( i nc r eas i ngo r dec r eas i ng ) o f t he i npu t va r i a t i on . T he r e f o r e , t he r e w i l l be on l y t w op o s s i b l e c u r v e s o r i g i n a t i n g f r o m t h a t p o i n t , o n e u n d e r i n c r e a s i n g i n p u tand t he o t he r u nd e r dec r eas i ng i np u t . T he r o l e o f pas t h i s t o r y i s t o s e lec tw h i c h p o i n t ( H I , X1) i s r eac hed by the sy s tem . On ce th i s po in t i s s e lec ted ,t he f u t u r e ev o l u t i on o f t he s y s t em i s f u l ly de t e r m i ned by t he i n it ia l cond i -t ion ( H I , X 1 ) and pas t h i s t o r y no l onge r p l ays a r o l e .No n l o ca l m em o r y . I n a s y s t e m w i t h n o n l o c a l m e m o r y , H a n d X d o n o t g iv ea comp l e t e cha r ac t e r i za t ion o f t he s y s t em. M a ny s t a te s a r e a ss oc i a t ed w i t ha g i v e n p o i n t o f th e H - X p l ane , and a w ho l e s e t o f X ( H ) cu r ves s t a r t i ngf rom the s ing le p o in t (/-/1 , X1) wi l l ex i s t, de pe nd in g on pa s t h i s to ry . In as y s t e m w i t h n o n l o c a l m e m o r y , a d d i t i o n a l i n t e r n a l s t a t e v a r i a b l e s a r ene ed ed t o com pl e t e t he d es c r i p t i on o f t he s y s t em. I n P a r t V, w e s ha l ld i s cus s t he na t u r e o f s uch i n t e r na l va r i ab l e s i n g r ea t e r de t a i l . T h i s k i ndo f behav i o r i s ve r y c l o s e t o w ha t i s obs e r ved i n magne t i c ma t e r i a l s . I nC h a p t e r 1, w e g a v e s e v e r a l e x a m p l e s o f m a g n e t i z a t io n c u r v e s d e p e n d e n to n f i e l d h i s t o r y , w h e r e b r a n c h i n g a n d n o n l o c a l m e m o r y e f f e c t s p l a y ad o m i n a n t r o l e .

N o w h e r e i n th e p r e v i o u s a n a l y s is o f p e r s i s te n t m e m o r y d i d t im e h a v ea r o l e . N o t i m e s c a l e w a s i n t r o d u c e d a n d w e s i m p l y a s s u m e d t h a t , i no r d e r t o s ee p e r s i s te n t - m e m o r y e ff ec ts , o n e s h o u l d w a i t l o n g e n o u g h t o le tpos s i b l e t r ans i en t s deca y t o ze r o . I n t h is s ens e , hys t e r e s i s du e t o pe r s i s ten tm e m o r y i s ra te - independen t , b e c a u s e i t d o e s n o t d e p e n d o n t h e r a t e a tw h i c h t h e i n p u t i s v a r i e d ( p r o v i d e d i t i s l o w e n o u g h ) , b u t o n l y o n t h es e q u e n c e o f v a l u e s a t t a i n e d b y t h e i n p u t d u r i n g t h e s y s te m e v o l u ti o n . A sm e n t i o n e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s c h a p t e r , r a t e - i n d e p e n d e n c e i s o f t e ncon s i de r ed t he m os t d i s ti nc t ive f ea t u r e o f hys t e r e s is . Y e t, f r om t he t he r m o-d y n a m i c v i e w p o i n t , i t o n l y re p r e s e n t s a n a p p r o x i m a t i o n o f l im i t e d v a l id -i ty . I n fa c t, a n y s y s t e m s p o n t a n e o u s l y r e la x e s t o w a r d t h e r m o d y n a m i ce q u i l i b r iu m u n d e r t h e a c t io n o f t h e r m a l a g i ta t io n . W h e n e q u i l i b ri u m isr e a c h e d , a n y m e m o r y o f t h e p a s t i s l o s t , w h i c h s h o w s t h a t a b s o l u t e l yp e r s i s te n t m e m o r y c a n n o t e x is t. I n p r in c i p le , b y w a i t i n g l o n g e n o u g h t ol et t h e s y s t e m r e a c h e q u i l ib r i u m u n d e r e a c h i n p u t v a l u e , o n e c o u ld d r i v et h e s y s t e m t h r o u g h a s e q u e n c e o f e q u i l i b r iu m s ta t e s a n d n o h y s t e r e si s a ta l l w o u l d b e o b s e r v e d . N o n e t h e l e s s , r a t e - i n d e p e n d e n c e m a y n a t u r a l l ya r i s e a s a u s e f u l a p p r o x i m a t i o n w h e n t h e i n p u t r a t e t a k e s v a l u e s i n a n


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40 CHAPTER 2 Types of Hysteresisa p p r o p r i a t e i n t er v a l. O n t h e o n e h a n d , t h e i n p u t r a t e m u s t b e l o w e n o u g ht o r u l e o u t f a s t r a t e - d e p e n d e n t e f f e c t s , l i k e , f o r e x a m p l e , e d d y - c u r r e n td a m p i n g i n m e t a ls . O n t h e o t h e r h a n d , t h e i n p u t r a t e m u s t b e la r g e e n o u g ht o p r e v e n t t h e s y s t e m f r o m s i g n i f i c a n t l y r e l a x i n g t o w a r d e q u i l i b r i u m . F o ra ll t h o se s y s t e m s m a n d m a n y m a g n e t i c s y s te m s f all w i t h i n t hi s c a t e g o r y mw h e r e t h e r m a l r e l a x a t i o n i s e x t r e m e l y s l o w a n d p r o c e e d s w i t h t h e l o g a -r i t h m o f t i m e , t h e re w i l l ex i s t a s u b s t a n t i a l i n p u t - r a t e i n t e r v a l w h e r e b o t ht h e s e r e q u i r e m e n t s a r e s i m u l t a n e o u s l y f u lf il le d . I n th i s i n t e r v a l, t h e s y s t e mw i l l e x h i b it r a t e - i n d e p e n d e n t h y s t e re s i s to a v e r y g o o d a p p r o x i m a t i o n .

2.1.4 Hysteresis: Metastabil i tyW h e n t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n h y s t e r e s i s a n d m e t a s t a b i l i t y i s a n a l y z e d ,o n e f i n d s t h a t i t s u m m a r i z e s a l l t h e p r e v i o u s i n t e r p r e t a t i o n s o f h y s t e r e s is ,w h i c h n a t u r a l l y e m e r g e a s a p p r o x i m a t e d e s c r ip t i o n s o f t h e g e n e r a l p ic -t u r e . T o i l l u s t r a t e t h i s a s p e c t , w e n e e d a p r o p e r f r a m e f o r t h e t r e a t m e n to f m e t a s t a b i l i t y . T o k e e p t h e d i s c u s s i o n s i m p l e , w e s h a l l l i m i t o u r c o n s i d e r a -t io n s t o s y s t e m s w i t h l o c al m e m o r y , w h e r e H , X , a n d t h e t e m p e r a t u r e Tp r o v i d e a c o m p l e t e c h a r a c t e r i z a t i o n o f s t at e s. L e t F ( X , T ) b e t he H e l m h o l t zf re e e n e r g y o f t h e s y s t e m . 1 I f H a n d X a r e c o n j u g a t e w o r k v a r i a b l e s , a sw e a r e a s s u m i n g t h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r , t h e n G ( H , T ) = F - H X i s thec o r r e s p o n d i n g G i b b s fr ee en e rg y . I t is k n o w n f r o m t h e r m o d y n a m i c s t h a t Gis t h e t h e r m o d y n a m i c p o t e n t ia l c o n t ro l li n g s p o n t a n e o u s t r a n s f o r m a t i o n su n d e r f ix e d H a n d T. A n y t r a n s f o r m a t i o n o f t h is k i n d c a n o n l y p r o c e e di n t h e s e n se o f p r o d u c i n g a d e c re a s e o f G , a n d t h e r m o d y n a m i c e q u i l i b r i u mi s r e a c h e d w h e n G a t t a i n s i t s g l o b a l l y m i n i m u m v a l u e . T h e o c c u r r e n c eo f a s p o n t a n e o u s t r a n s f o r m a t i o n i m p l i e s t h e e x i st e n c e of i n t e r n a l d e g r e e so f f r e e d o m w h i c h c a n c h a n g e e v e n i f H a n d T d o n o t c h a n g e . L e t u sc o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h i s i n t e r n a l d e g r e e o f f r e e d o m i s r e p r e s e n t e d b yX i t s e l f . I n o t h e r w o r d s , w e s u p p o s e t h a t X v a r i e s d u r i n g t h e r e l a x a t i o np r o c e s s a n d t h a t t h e i n t e r n a l p r o c e s s e s l e a d i n g t o a c e r t a i n v a l u e o f Xh a v e c h a r a c t e r i s t i c r e l a x a t i o n t i m e s m u c h s h o r t e r t h a n t h e t i m e s c a l eo v e r w h i c h X v a r i e s s i g n i f i c a n t l y a n d t h e s y s t e m g l o b a l l y a p p r o a c h e se q u i l i b ri u m . T h i s m e a n s t h a t t h e s y s t e m w i l l re la x b y p a s s i n g t h r o u g h as e q u e n c e o f t h e r m o d y n a m i c s ta te s , e ac h c h a r a c t e r iz e d b y a w e l l - d e f i n e dv a l u e o f X . T h e e n e r g y o f t h e s e n o n e q u i l i b r i u m s t a te s is , f o r g i v e n H a n dT , a f u n c t i o n o f X , g i v e n b yGL(X;H,T) = F ( X , T ) - H X (2.18)

1Some aspec ts of therm odyn am ics and m etastability are discussed in Ch apter 4.


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2.1 W HA T W E ME AN BY HYSTERESIS 41W e s h a l l c a l l t h i s f u n c t i o n Landau free energy, a f t e r L . D . L a n d a u , w h od e v e l o p e d o n t h is b a s i s a p h e n o m e n o l o g i c a l t h e o r y o f p h a s e t ra n s it io n s .I n s p i t e o f t h e f o r m a l s i m i l a r i t y , t h e r e i s a n e s s e n t i a l d i f f e r e n c e b e t w e e nGL a n d t h e G i b b s e n e r g y G at th e e q u i l ib r i u m . G is a f u n c t i o n o f H a n dT o n ly , i n w h i c h X m u s t b e e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f H a n d T t h r o u g ht h e e q u a t i o n o f s t a t e o f t h e s y s t e m . C o n v e r s e l y , GL i s t h e e n e r g y o f t h a tp a r t i c u l a r r e s t r i c t i o n w h e r e t h e s t a t e v a r i a b l e X i s f o r c e d t o t a k e a c e r t a i ng i v e n v a l u e , a s if i t w e r e a n e x t e r n a l c o n s t r a i n t .

T h e p h y s i c a l m e a n i n g o f GL b e c o m e s c l e a r i n t h e f r a m e o f s t a t i s t i c a lm e c h a n i c s , w h e r e GL a p p e a r s a s th e r e s u l t o f a p a r t ia l a v e r a g i n g p r o c e s sc a r r i e d o u t o v e r th e partition un ction Z (H , T) o f t h e s y s t e m . A c c o r d i n g t os ta t i st ic a l t h e r m o d y n a m i c s , Z d e t e r m i n e s a ll t h e r m o d y n a m i c p r o p e r t ie s ,a n d i s d e f i n e d a s ( ,219 ,Z(H,T) = ~ exp - ~-B~ ] = ex p - kBT

i

In Eq . (2 .19), ~i is a s h o r t c u t n o t a t i o n f o r a n y s u m o r in t e g r a l o v e r a d m i s s i-b l e m i c r o s t a t e s i , a n d E and Xi a r e t h e v a l u e s o f t h e s y s t e m e n e r g y a n do f t h e v a r i a b l e X i n m i c r o s t a t e i. T h e e v a l u a t i o n o f th e s u m g i v e s t h ee x p o n e n t i a l o f t h e G i b b s e n e r g y 2, G(H , T). L e t u s n o w c a r ry o u t t h et h e r m o d y n a m i c s u m i n t w o s t e p s, b y s u m m i n g u p f ir st o v e r a ll t he m i c r o -s t a t e s i n w h i c h X h a s a f i x e d v a l u e , a n d t h e n o v e r a l l p o s s i b l e X v a l u e s .T h e r e s u l t o f t h e f i r s t p a r t i a l s u m g i v e s t h e L a n d a u f r e e e n e r g y :

( G(H ,T)~ ( Ei ~ HXi~ (2.20)e x p - k - ~ j = ~ ~ ex p - ks T ]X Xi=X G L ( X ,H , T ) )= ~ e x p - kBTX

I f t h e s e p a r a t i o n o f t i m e s c a le s p r e v i o u s l y m e n t i o n e d h o l d s t o a s u ff ic ie n ta p p r o x i m a t i o n , t h e n o n e c a n s t o p a f t er t h e f ir st p a r t i a l a v e r a g e o f E q.(2 .20 ) , an d t ak e GL a s th e f r e e e n e r g y o f t h e s y s t e m . A c c o r d i n g t o t h e la s te q u a l i t y o f E q . (2 .2 0 ), e x p ( - G L / k B Z ) w i l l b e p r o p o r t i o n a l t o th e p r o b a b i l i t yo f o c c u p y i n g a g i v e n X s t a t e , a n d t h e s y s t e m w i l l t e n d t o s t a y i n t h o s es ta t e s w h e r e GL i s l o w . I n g e n e r a l , i t i s e x t r e m e l y d i f f i c u l t t o c a r r y o u t t h ep a r t i a l a v e r a g e e x p l i c i t l y a n d t h u s t o c a l c u l a t e t h e L a n d a u e n e r g y f r o ms t a t i s t i c a l m e c h a n i c s . M o s t o f t e n , o n e e x p l o i t s s y r m n e t r y a r g u m e n t s a n d

2Sometimes the sam e definition is sa id to give the Helm holtz, not the Gibbs free energy.This exchange of roles depends on w hether one d ecides to con sider the te rm - H X i a s partof the energy of m icrostate i or as p otential energy in the ex ternal field H.


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42 CHA PTER 2 Ty pe s of Hyste resi sh e u r i s t i c c o n s i d e r a t i o n s t o a r r i v e a t a r e a s o n a b l e , a p p r o x i m a t e e s t i m a t eo f t h e f o r m t a k e n b y GL in pa r t i c u l a r c a s e s . I n t he r e s t o f t h i s book , t hee n e r g y GL w i l l p l a y a r o l e i n a n u m b e r o f c o n s i d e r a t i o n s c o n c e r n i n ghys t e re s i s . We sha l l r e fe r t o GL s i m p l y a s t h e f r e e e n e r g y o f t h e s y s t e m ,b u t t h e s u b s c r ip t L w i l l b e u s e d w h e n e v e r p o s s i b le a s a r e m i n d e r o f t h em a n y a s s u m p t i o n s a n d a p p r o x i m a t io n s a c c o m p a n y i n g i ts u se .

D u r i n g r e la x a ti o n, t h e s y s t e m c a n b e t h o u g h t o f a s b e i n g u n d e r t h ea c t i o n o f c o m p e t i n g t h e r m o d y n a m i c f o r c e s , t h e i n t e r n a l f o r c e [OF/OX]Ta n d t h e e x t e r n a l f i e l d H . T h e r e w i l l b e e q u i l i b r i u m b e t w e e n t h e s e t w of o r c e s w he ne ve r t he r e l a t i on i s f u l f i l l e d :

[ O x ] 2 2 1 )T

F r o m Eq . ( 2 .1 8 ) a n d Eq . (2 .2 1 ), w e s e e t ha t w h e n t he s y s t e m i s i n e qu i l i b -r i u m , t h e GL f r e e e n e r g y i s a t a n e x t r e m u m :

3Gcl = 0 (2.22)

T h e e q u i l i b r i u m i s s t a b l e w h e n t h e e x t r e m u m i s a m i n i m u m .W he n Eq . ( 2 .2 1) o r Eq . ( 2 .2 2 ) i s sa t is f ie d , t he r e i s e qu i l i b r i um be t w e e nt h e t h e r m o d y n a m i c f o r c e s a c t i n g o n t h e s y s t e m , b u t t h i s d o e s n o t m e a nt h a t t h e s y s t e m is in c o m p l e t e t h e r m o d y n a m i c e q u i l ib r i u m . T h e s i tu a t i o ni s i l l u s t r a t e d b y F i g . 2 . 3 . T he a r r o w s i nd i c a t e t he l oc a l m i n i m a o f t hes y s t e m f re e e n er g y . E ac h m i n i m u m is a s o l u t io n o f E q . (2 .2 2) a n d r e p r e s e n t sa pos s i b l e metastable sta te f o r t he s y s t e m . I n a m e t a s t a b l e s t a t e , t he r e i ss t a b l e e q u i l i b r i u m b e t w e e n t h e f o r c e s a c t i n g o n t h e s y s t e m . O v e r s h o r tt i m e p e r i o d s , t h e s e f o r c e s t e n d t o k e e p t h e s y s t e m i n t h e e n e r g y w e l li n it ia l ly o c c u p i e d , b u t o v e r l o n g e r t im e s c a le s t h e r m a l a g i ta t io n p r o g r e s -

G ,

t XFIGURE 2.3. Lan dau free energy w ith indicat ion of m etastable states.


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2.1 W HA T W E ME AN BY HYSTERESIS 43

s i v e l y m a k e s o t h e r s t a t e s a c c e ss i bl e to t h e s y s t e m . T h e s y s t e m v i s it s n e i g h -b o r i n g s t a t e s t h r o u g h r a n d o m t h e r m a l f l u c t u a t i o n s , a n d o n c e i t r e a c h e sb y c h a n c e a lo c al e n e r g y m a x i m u m s e p a r a t i n g t h e i n it ia l st a te f r o m n e i g h -b o r i n g e n e r g y w e l l s , i t s p o n t a n e o u s l y j u m p s t o s o m e o t h e r m e t a s t a b l es ta t e t h a t b e c o m e s a c ce ss ib le . T h r o u g h t h is m e c h a n i s m , t h e s y s t e m p r o b e sp r o g r e s s i v e l y l a r g e r r e g i o n s o f p h a s e s p a c e , u n t i l i t r e a c h e s t h e r m o d y -n a m i c e q u i l i b r i u m , w h e r e t h e p r o b a b i l i t y t o o c c u p y a n y g i v e n s t a t e i sd i c t a t e d b y B o l t z m a n n s ta t is ti cs . H o w f a st o r s l o w t h e a p p r o a c h t o e q u i l ib -r i u m w i l l b e i s d e t e r m i n e d b y t h e h e i g h t o f t h e e n e r g y b a r r i e rs s e p a r a t i n gn e i g h b o r i n g s t a t e s a s c o m p a r e d w i t h t h e s t r e n g t h o f t h e r m a l a g i t a t i o n .T h i s q u a l i t a t i v e p i c t u r e w i l l b e m a d e m o r e p r e c i s e i n S e c t i o n 2 . 4 .

L e t u s c o n s i d e r h o w t h e v a ri o u s h y s t e r es i s m e c h a n i s m s d i s c u s s e d s of a r e m e r g e f r o m t h i s d e s c r i p t i o n . F i r st o f a ll , w e s e e t h a t p e r s i s t e n t m e m o r yi s t h e n a t u r a l c o n s e q u e n c e o f t h e p r e s e n c e o f m u l t i p l e m e t a s t a b l e s t a t e s .T h e s y s t e m c a n o c c u p y o n e o f se v e r a l l oc a l e n e r g y m i n i m a a n d p a s t i n p u th i s t o r y d e t e r m i n e s t h e m i n i m u m a c t u a l l y o c c u p i e d . N o t e t h a t , i n t h ep a r t i c u l a r e x a m p l e o f F ig . 2 .3 , e a c h m i n i m u m i s i d e n t i f i e d b y t h e c o r r e s-p o n d i n g v a l u e o f X , w h i c h m e a n s t h a t t h e s y s t e m r e p r e s e n t e d i n t h a te x a m p l e p o s s e s s e s l o ca l m e m o r y . I n t h e c a s e o f n o n l o c a l m e m o r y , G~w o u l d b e a f u n c t i o n o f a d d i t i o n a l i n t e r n a l v a r i a b l e s a n d t h e e n e r g y p r o f il eo f F i g . 2 . 3 w o u l d b e c o m e a m u l t i d i m e n s i o n a l o n e , w i t h a m u c h m o r ec o m p l e x s t r u c t u r e . T h e m e m o r y i s a b s o l u t e l y p e r s i s t e n t i n t h e z e r o -t e m p e r a t u r e l im i t , w h e r e t h e e ff ec t o f t h e r m a l a g i t a t i o n c a n b e n e g l e c t e d .T h i s is t h e l i m i t, f u r t h e r d i s c u s s e d i n S e c ti o n 2.2 , w h e r e r a t e - i n d e p e n d e n th y s t e r e s i s c a n b e o b s e r v e d . I f t h e e x t e r n a l c o n d i t i o n s d o n o t c h a n g e , t h es y s t e m w i l l i n d e f i n i t e l y r e m a i n i n a n y l o c a l e n e r g y m i n i m u m i t m a yi n i ti a l ly o c c u py . T h e o n l y w a y t o fo r ce t h e s y s t e m t o e v o l v e i s t o c h a n g et h e e x t e r n a l f i e l d H . D u e t o t h e p r e s e n c e o f t h e t e r m - H X i n Eq. (2.18),v a r y i n g t h e e x t e r n a l f i e l d d i s t o r t s t h e e n e r g y p r o f i l e , e v e n t u a l l y t r a n s -f o r m i n g t h e in i ti al G r m i n i m u m i n to a n i n f le c ti o n p o i n t. A t t h a t m o m e n t ,t h e s y s t e m l o s e s s t a b i l i t y a n d m a k e s a s p o n t a n e o u s j u m p t o t h e n e a r e s tl oc a l m i n i m u m . T h i s e v e n t w i l l b e c a l le d a B a r k ha u s en j u m p , a n d i s a n a l o -g o u s t o t h e B a r k h a u s e n e ff ec t p r e s e n t e d i n S e ct io n 1 .2 . D u r i n g t h e j u m p ,t h e e n e r g y o f t h e s y s t e m s u d d e n l y d e c r e a s e s. S o m e e n e r g y i s t h u s i r r e v e rs -i b ly d i s s i p a t e d a s h e a t i n t o th e t h e r m a l b a t h . T h e d i s s i p a ti o n m e c h a n i s mb y w h i c h t h i s o c c u r s w i ll h a v e s o m e c h a r a c t e r i s ti c t i m e s c a le . In t h e r a t e -i n d e p e n d e n t a p p r o x i m a t i o n , o n e a s s u m e s t h a t t h e e x t e rn a l fi el d c h a n g e ss o s l o w l y t h a t i t p r a c t i c a l l y r e m a i n s u n c h a n g e d d u r i n g t h e t i m e n e e d e dt o c o m p l e t e t h e B a r k h a u s e n j u m p . I n t h i s l i m i t , t h e r o l e o f t h e e x t e r n a lf ie l d is j u s t to f o rc e t h e s y s t e m t o p a s s f r o m o n e l o c a l m i n i m u m t o th en e x t. T h e s e q u e n c e o f e n e r g y m i n i m a v i s i te d i s t h e o n l y i m p o r t a n t f e a tu r e ,a n d t i m e p l a y s n o r o l e . H o w e v e r , w h e n t h e e x t e r n a l f i e l d r a t e b e c o m e s


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44 CHA PTER 2 Types of Hys teres i s

s o h i g h t h a t a p p r e c i a b l e f i e l d v a r i a t i o n s t a k e p l a c e d u r i n g i n d i v i d u a lB a r k h a u s e n j u m p s , t h e n r a t e - i n d e p e n d e n c e n o l o n g e r a p pl ie s . T h e s y s t e mn o l o n g e r e v o lv e s t h r o u g h a s e q u e n c e o f s p o n t a n e o u s j u m p s b u t a p -p r o a c h e s a r e g i m e o f f o r c e d d y n a m i c e v o l u t i o n d r i v e n b y t h e e x t e r n a lf i e l d . T h i s t r a n s i t i o n f r o m r a t e - i n d e p e n d e n t t o r a t e - d e p e n d e n t h y s t e r e s i sw i l l b e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 . 3 .

2 . 2 R A T E - I N D E P E N D E N T H Y S T E R E S I SI n t h is s e c ti o n w e d i s c u s s r a t e - i n d e p e n d e n t h y s t e r e s is a n d e n e r g y d i s s ip a -t io n , a l o n g t h e l i n e s a n t i c i p a t e d a t t h e e n d o f t h e p r e c e d i n g s e c t io n . I np r i n c ip l e , o n e s h o u l d a d d r e s s t h e s u b je c t b y c o n s i d e r i n g a m u l t i d i m e n -s i o n a l e n e r g y l a n d s c a p e , w i t h a c o m p l i c a t e d m u l t i v a l l e y s t r u c t u r e a n dn o n l o c a l m e m o r y e f f e c t s . Y e t , t h i s i s t o o c o m p l e x a p r o b l e m t o b e a g o o ds t a rt in g p o i nt . W e p r e fe r to s h o w h o w m a n y o f t he p h e n o m e n a i n w h i c hw e a r e in t e r e s t e d a r e a l r e a d y p r e s e n t i n t h e s i m p l e c a se o f a b i s t a b l e s y s t e m ,w h o s e f re e e n e r g y i s c h a r a c t e r i z e d b y t w o m i n i m a o nly . T h i s is a s y s t e mw i t h l o c a l m e m o r y , w h e r e , i n a d d i t i o n , t h e r e a r e a t m o s t t w o m e t a s t a b l es t a t e s a v a i l a b l e t o t h e s y s t e m . I n s p i t e o f i ts s i m p l i c it y , t h is c a s e i l l u s t r a t e sw e l l s e v e r a l i m p o r t a n t a s p e c t s p r e s e n t u n d e r m o r e g e n e r a l c o n d i t i o n s . I na d d i t i o n , w e s h a l l s e e , e s p e c i a l l y i n c h a p t e r s 1 0 , 1 3 , a n d 1 4 , t h a t c o m p l i -c a t e d s i t u a t io n s c a n o f t en b e a p p r o x i m a t e l y d e s c r i b e d j u s t i n te r m s o f th es u p e r p o s i t i o n o f m a n y e l e m e n t a r y b i s ta b l e c o n t ri b u t io n s .

2 .2 .1 B i s t a b l e s y s t e m sL e t u s c o n s i d e r a s y s t e m w h o s e f re e e n e r g y is g i v e n b y t h e e x p r e s s i o n 3

f i x ) = x 4 - 2 a x 2 (2.23)w h e r e a i s a p o s i t i v e c o n s t a n t . W e u s e l o w e r c a s e l e t t e r s t o i n d i c a t e t h a tt h e p r o b l e m h a s b e e n r e d u c e d t o s o m e c o n v e n i e n t d i m e n s i o n l e s s f o r m ,i n w h i c h a ll v a r i a b l e s a n d p a r a m e t e r s a r e d i m e n s i o n l e s s , f i x ) is s h o w n i nF i g . 2 . 4 . I t h a s t w o e q u a l m i n i m a l o c a t e d a t x = ___C/1/2, a n d a m a x i m u ma t x = 0 . A c c o r d i n g t o E q . ( 2 . 1 8 ) , t h e f r e e e n e r g y u n d e r n o n z e r o i n p u t hw i l l b e

g L(X; h) = X -- 2l/x 2 -- h x (2.24)3The temp erature depende nce is not im por tant for the subseq uent considerations andwill be un ders tood in the r est of this section and throu gho ut Section 2.3.


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2.2 RA TE-IND EPEND ENT HYSTERESIS 45

0 . 00

0 . 5 0

0.25

- 0 . 2 5! , I

-1.0 -13.5

xN , , -

0 . 0 0 5 . 1 . 0

F I G U R E 2.4 . Free energy o f b i s tab le sys tem descr ibed b y Eq . (2.23), w i th a = 0.5.Th e en e rg y m i n i m a a re lo ca t ed a t x = + x r = +_a1/2.T h e m e t a s t a b l e s t a t e s u n d e r t h e g e n e ri c f ie ld h a r e d e t e r m i n e d b y t h ec o n d i t i o n O gL / O x = 0 , w i t h O2gL / OX2 > 0 , i d e n t i f y i n g l o c a l g L m i n i m a . T h eq u a l i ta t i v e b e h a v i o r o f g L ( X ; h ) f o r v a r i o u s v a l u e s o f h i s s h o w n i n F ig . 2 .5 .W h e n h i s l a r g e, t h e e n e r g y o f i n t e r a c t i o n w i t h t h e e x t e r n a l f ie l d d o m i n a t e sa n d g a e x h ib i ts o n l y o n e m i n i m u m . W h e n h in c r e as e s f r o m- 0 % a t a c e r t a i n f i e l d - h e t o b e d e t e r m i n e d l at er , a n e w e n e r g y m i n i m u mi s f o r m e d . A t h = 0 t h e t w o m i n i m a h a v e t h e s a m e e n e r g y . A t h = h e t h em i n i m u m i n it ia l ly o c c u p i e d b y t h e s y s t e m b e c o m e s a n i n fl e ct io n p o in t :

FIGURE 2 .5 . Sequenc e o f energ y p ro f il es ca lcu la ted f rom Eq . (2 .24) un de r d i f fe ren tex terna l f i e lds , showing genes i s o f Barkhausen jumps and hys te res i s loop . Thenumbers re fe r to the f i e ld va lues ind ica ted in F ig . 2 .6 .


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46 CHA PTER 2 Types o f Hy s te res is

t h e s y s t e m is n o l o n g e r s ta b l e a n d m a k e s a s p o n t a n e o u s a n d i r re v e r s ib l eB a r k h a u s e n j u m p t o t h e l o w e r e n e r g y s ta te . O n l y o n e m i n i m u m is p r e s e n tf o r h i g h e r f i e l d s . A s i m i l a r s i t u a t i o n i s f o u n d w h e n t h e f i e l d i s p r o g r e s -s i v e l y d e c r e a s e d f r o m + o % e x c e p t f o r t h e f a c t t h a t t h e B a r k h a u s e n j u m pw i l l n o w t a k e p l a c e a t h = - h e. W e c a n r e p r e s e n t t h e s a m e s i tu a t i o n b yp l o t t i n g t h e fr ee e n e r g y g r a d i e n t O f / O x a n d b y c o n s i d e r i n g t ha t , a c c o r d i n gt o t h e e q u i l i b r i u m r e q u i r e m e n t 3 g L / 3 x = 0 , t h e c o n d i t i o n h = O f / O x m u s ta l w a y s b e s a t i s f i e d a s t h e s y s t e m e v o l v e s ( F i g . 2 . 6 ) . T h e O f / O x p r o f i l e c a nb e d e c o m p o s e d i n to t w o s t a b le b ra n c h e s , o n e f o r x < - x c a n d t h e o t h e rfo r x > x c, w h e r e 3 2 f / O x 2 > 0 , a n d a ce n t r a l u n s t a b l e b r a n c h w h e r e3 2 f / O x 2 < O . T h e r i g h t s t a b l e b r a n c h i s t r a v e r s e d w h e n h d e c r e a s e s f r o m+ o o d o w n t o h = - h c. A t h = - h c, x = x c, t h e r i g h t b r a n c h e n d s a n d t h es y s t e m j u m p s t o t h e p o i n t h = - h c, x = - x d o f th e l ef t b r a n c h . A s i m i l a rd e s c r i p t i o n a p p l i e s f o r i n c r e a s i n g f i e l d s .

I f w e p l o t t h e s t a t e v a r i a b l e x a s a f u n c t i o n o f t h e i n p u t f i e l d h, w eo b t a i n t h e h y s t e r e s i s l o o p s h o w n i n F ig . 2 .7 . I n s p i t e o f i ts s i m p l e s t r u c t u r e ,t h is l o o p a l r e a d y e x h i b it s m a n y o f t h e f e a t u r e s o f t h e h y s t e re s i s l o o p sa c t u a l l y o b s e r v e d i n r e a l s y s t e m s . T h e t w o s t a b l e s t a t e s e x i s t i n g a t h = 0a r e e x a m p l e s o f r e m a n e n t s ta t es . T h e re t h e s t a t e v a r ia b l e t a k e s t h e v a l u ex = +XF d e t e r m i n e d b y t h e c o n d i t i o n 3 f / O x - 4 x ( x 2 - a ) = 0 , w h i c h g i v e sx r = + a 1 /2 . T h e t w o i n s t a b i l i t y p o i n t s h = h e , x = - x c a n d h = - h e , x =x c , w h e r e t h e B a r k h a u s e n j u m p s t a ke p la c e , a re p o i n ts w h e r e t h e t w oc o n d i t i o n s , 3 g L / 3 X = 0 a n d 3 2 g c / 3 x 2 = 0 , m u s t s i m u l t a n e o u s l y h o l d , t h a tis ,

4x 3 - 4 a x - h = 0 (2.25)3x 2 - a = 0

T h e s o l u t i o n g i v e s h e = 8 ( a / 3 ) 3/ 2, X c = ( a / 3 ) 1 /2 . T h e f i n a l s t a t e x = xd > 0r e a c h e d b y t h e s y s t e m a f te r th e B a r k h a u s e n j u m p a t h = he i s a l s o a s o l u t i o no f th e e q u a t io n 4 x ~ - 4 a xd - h e = 0 , w i t h 3 x y - a > 0. O n e f in d s xd =2 ( a / 3 ) 1 / 2.

I n S e c ti o n 2.1 .2 , w e s h o w e d t h a t t h e a r e a o f t h e h y s t e r e s is l o o p m e a s -u r e s t h e a m o u n t o f w o r k d i s s i p a t e d a s h e a t d u r i n g e a c h e x c i ta t io n c yc le .T h i s d i s s i p a t i o n t a k e s p l a c e in t h e B a r k h a u s e n j u m p s a n d is d i r e c tl y re l a t e dt o th e g a e n e r g y . L e t u s c o n s i d e r t h e s h a d e d a r e a z l W s h o w n i n F ig . 2 .6 .B y c o n s t r u c t i o n , t h i s a r e a i s e q u a l t o t h e i n t e g r a l

z l W = fx j, [ h e _ 0 3_ ~ x] d X= _ f x s [ 0 g L ] d x (2.26)-xc -xc L ox _1h = h~= g c ( - x c ; h c ) - g c ( Xd ;h c )

T h i s i s e x a c t l y t h e e n e r g y d e c r e a s e o c c u r r i n g w h e n t h e s y s t e m m a k e s t h e


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2.2 RA TE-IND EPEND ENT HYSTERESIS 47

FIGUR E 2 . 6 . E q u i l i b r i u m b e t wee n t h e rm o d y n am i c fo rce s i n b i s tab l e s y s t em an dgenes i s o f hys te res i s loop . The numbers re fe r to the energy p ro f i l es o f F ig . 2 .5 .

X

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

(-ho,xo)

S(-ho,-xf)

9 I . l-1 02 1 ' 2h

FIGURE 2 .7 . So l id l ine : Hy s te res i s loop o f b i s tab le sys tem. Co m pare w i th F ig . 2 .6 .Broken l ine : Phase coex is tence cu rve ob ta ined by app ly ing Maxwel l conven t ion .


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48 CHAPTER 2 Types of Hy steresisB a r k h a u s e n j u m p ( s e e F i g . 2 . 5 ) . T h e s y s t e m s u d d e n l y r e d u c e s i t s e n e r g ya n d t r a n s f e r s t h e e n e r g y d i f f er e n c e a s h e a t to t h e t h e r m a l b a t h . T h e s a m eo c c u rs i n t h e j u m p t a k i n g p la c e u n d e r a d e c r e a si n g f ie ld . A s s h o w n b yF ig . 2 .6 , t h e a r e a s a s s o c i a t e d w i t h t h e t w o j u m p s j u s t s u m u p t o g i v e t h et o t a l h y s t e r e s i s l o o p a r e a . T h i s d e s c r i p t i o n m a k e s c l e a r t h e t w o s t e p st h r o u g h w h i c h t h e w o r k p e r f o r m e d b y e x t e r n a l s o u r c e s i s t r a n s f o r m e di n t o h e a t . I n i t i a l l y , t h e s y s t e m g a i n s e n e r g y f r o m t h e e x t e r n a l f i e l d a s t h em i n i m u m i t o c c u p i e s g r o w s i n e n e r g y a n d b e c o m e s l e s s a n d l e s s d e e p .T h e n , a t t h e p o i n t w h e r e t h e m i n i m u m b e c o m e s a n i n fl e ct io n p o in t , t h ee n e r g y p r e v i o u s l y g a i n e d i s q u i c k l y t r a n s f e r r e d t o t h e t h e r m a l b a t h a st h e s y s t e m j u m p s t o lo w e r e n e rg y , a n d t h e w h o l e p r o c e ss c a n s t a r t a ga i n .N o t e a l s o t h a t t h e d e s c r i p t i o n i s r a t e - i n d e p e n d e n t , b e c a u s e w e h a v e a s -s u m e d t h a t th e s y s t e m a l w a y s o c c u p ie s o n e o f t h e e n e r g y m i n i m a e x i st in ga t th e g i v e n f ie l d, w h a t e v e r t h e f i el d r a t e o f c h a n g e i s. I n p a r ti c u l a r , w h e nw e d r a w t h e t w o h o r i z o n t a l b r a n c h e s o f F i g . 2 . 6 a s s o c i a t e d w i t h t h e t w oB a r k h a u s e n j u m p s , w e a r e im p l i c i tl y a s s u m i n g t h a t t h e fi el d d o e s n o tc h a n g e a p p r e c i a b l y d u r i n g t h e t i m e n e e d e d b y t h e s y s t e m t o m a k e t h ej u m p . I n S e c ti o n 2 .3 , w e w i l l se e h o w r a t e - d e p e n d e n t h y s t e r e s i s n a t u r a l l ye m e r g e s w h e n t h i s a s s u m p t i o n n o l o n g e r h o l d s .

2.2.2 Ca tastrop he theoryT h e a n a l y s i s o f b i s t a b l e s y s t e m s p r e s e n t e d i n th e p r e v i o u s s e c t i o n h a sm a n y p o i n ts o f c o n ta c t w i t h a g e n e ra l m a t h e m a t i c a l a p p ro a c h k n o w n a scatastrophe theory. I t i s n o t o u r p u r p o s e t o g i v e h e r e a d e t a i l e d a c c o u n t o ft h i s s u b j e c t , f o r w h i c h w e r e f e r t h e r e a d e r t o t h e t e x t s m e n t i o n e d i n t h eb i b l i o g r a p h i c a l n o t e s . Ye t, w e w a n t t o s t re s s c e r t a i n a s p e c t s a n d c o n c e p t s ,t y p i c a l o f c a t a s t r o p h e t h e o ry , t h a t m a y h a v e a r o le i n m a g n e t i c h y s t e r e s is .

C a t a s t r o p h e t h e o r y h a s to d o w i t h s y s t e m s d e s c r ib e d b y s o m e p o t e n -t ial V(Xl, x2, 9 9 9 Xn; hi, h2, 9 9 9 hk). The xi v a r i a b l e s d e s c r i b e t h e s t a teo f t h e s y s t e m a n d a r e n a m e d state variables, w h e r e a s t h e h i v a r i a b l e sd e s c r i b e c e r t a i n e x t e r n a l a c t i o n s e x e r t e d o n t h e s y s t e m a n d a r e n a m e dcontrol parameters . F o r g i v e n v a l u e s o f t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s , t h e s y s t e mi s i n e q u i l i b r i u m a t a n y p o i n t i n s t a t e s p a c e w h e r e V V = 0 , w h e r e t h eo p e r a t o r V r e p r e s e n t s t h e g r a d i e n t c a l c u l a t e d w i t h r e s p e c t t o t h e x i s t a t ev a r i a b l e s . T h e o b j e c t i v e o f c a t a s t r o p h e t h e o r y i s t o s t u d y t h e q u a l i t a t i v ep r o p e r t i e s o f th e d i s t r i b u t i o n o f e q u i l i b r i u m p o i n t s a s a f u n c t i o n o f c o n t r o lp a r a m e t e r s .T h e r e is a n e v i d e n t a n a l o g y b e t w e e n t h e V p o t e n t ia l a n d t h e f re ee n e r g i e s p r e v i o u s l y i n t r o d u c e d . I n p a r t i c u l a r , i n t h e c a s e o f t h e b i s t a b l es y s t e m o f E q . (2 .2 4), w e h a v e a p o t e n t i a l , ga(x;h ,a) , w i t h o n e s t a te v a r i a b l e ,


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2.2 RAT E-INDEPEND ENT HYSTERESIS 49

x (n = 1 ), a n d t w o c o n t r o l p a r a m e t e r s , h a n d a (k = 2 ). W e i n c l u d e t h ep a r a m e t e r a a m o n g t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s b e c a u s e t h i s i s a s i t u a t i o n o fd e f i n i t e p h y s i c a l i n t e r e s t t h a t w i l l b e e n c o u n t e r e d s e v e r a l t i m e s , f o r e x a m -p l e in C h a p t e r 5 , w h e n d e a l i n g w i t h W e is s m e a n - f i e l d t h e o r y o f f e r r o m a g -n e t i s m , a n d i n C h a p t e r 8 , w h e n d i s c u s s in g c o h e r e n t m a g n e t i z a t i o nr o t a t i o n p r o c e s s e s .

G i v e n t h e p o t e n t i a l 4 V ( x ; h ), o n e c a n , f o r e a c h s p e c i f i c c h o i c e h = h 0o f t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s e t, c l a ss if y t h e e q u i l i b r i u m p o i n t s w h e r e V V =0 a c c o r d i n g t o t h e p r o p e r t i e s o f t h e H e s s i a n m a t r i x Vi j = 32V /3xi3xj c a l c u -l a t e d a t t h e e q u i l i b r i u m p o i n t . T w o s i t u a t i o n s a r e p o s s i b l e .I so la t ed or non-deg enera te or M orse cr i ti ca l po in t s . W e s h a l l s i m p l y t e r mt h e s e p o i n t s eq u i l i b r i u m p o i n t s . T h e s e a r e p o i n ts w h e r e V V = 0 a n d t h ed e t e r m i n a n t o f t h e H e s s i a n m a t r i x i s n o t z e r o , d e t Vij =~ 0 , w h i c h m e a n st h a t t h e e i g e n v a l u e s o f t h e H e s s i a n m a t r i x a r e a ll d i f f e r e n t f r o m z e r o . Ifa ll t h e e i g e n v a l u e s a r e p o s it i v e , t h e n t h e p o i n t is a l o c a l m i n i m u m f o r t h ep o t e n t i a l a n d r e p r e s e n t s a s ta t e o f l o c al s ta b l e e q u i l i b r i u m . I f, o n t h ec o n t ra r y , a c e rt a in n u m b e r i o f e i g e n v a l u e s is n e g a t i v e , t h e p o i n t i s n a m e da Mo r s e i - s a d d l e a n d d e s c r i b e s a n e q u i l i b r i u m s i t u a t i o n u n s t a b l e a l o n gc e r t a in d i re c t io n s . T h e n u m b e r a n d t h e n a t u r e o f e q u i l i b r i u m p o i n t s d e t e r -m i n e t h e q u a l i t a t i v e p r o p e r t i e s o f t h e p o t e n t ia l . F o r e x a m p l e , t h e p o t e n t i a lo f E q . (2 .2 4) m a y d e s c r i b e t w o q u a l i t a t iv e l y d i f f e r e n t s it u a t i o n s , o n e i nw h i c h t h e r e i s o n l y o n e p o t e n t i a l m i n i m u m , a n d t h e o t h e r o n e w h e r et h e r e a r e t w o m i n i m a s e p a r a t e d b y a n u n s t a b l e p o t e n t i a l m a x i m u m ( s e eFig. 2.5) .Non- i so la t ed or degenera te or non-Morse cr i t i ca l po in t s . W e s h a l l s i m p l y t e r mt h e s e p o i n t s cri t ical points . T h e s e a r e p o i n t s w h e r e V V = 0 a n d d e t V i j - -0 . S o m e o f t h e e i g e n v a l u e s o f t h e H e s s i a n m a t r i x , s a y l o f t h e m , a r e h e r ee q u a l t o z e r o . D e g e n e r a t e c r i t i c a l p o i n t s p l a y a f u n d a m e n t a l r o l e i n t h et h e o r y , si n c e t h e y c o n t r o l th e q u a l i t a t i v e p r o p e r t i e s o f t h e p o t e n t i a l a s af u n c t i o n o f th e c o n t r o l p a r a m e t e r s . T o i l l u s t r a t e t h i s f a c t , l e t x 0 b e a c e r t a i nc r it ic a l p o i n t w h e n t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s e t ta k e s t h e v a l u e h = h 0. T h ef a c t t h a t x 0 i s a c r it ic a l p o i n t c h a r a c t e r i z e s t h e b e h a v i o r o f t h e p o t e n t i a lV(x; ho) w h e n x v a r i e s i n t h e n e i g h b o r h o o d o f x = x 0 a n d h is k e p t f ix e d ,h = h 0 . T h e d e g e n e r a t e c h a r a c t e r o f th e c r i ti c a l p o i n t d e p e n d s o n t h e c h o i c eh = h 0 a n d t h e g e n e r a l q u e s t i o n a r is e s o f h o w t h e e x i s te n c e o f d e g e n e r a t ec r it ic a l p o i n t s , a n d , m o r e g e n e r a l ly , h o w t h e p r o p e r t i e s o f t h e p o t e n t i a l w i l lb e m o d i f i e d w h e n w e v a r y t h e c on tr o l p a r a m e t e r s i n t h e n e i g h b o r h o o d o fh = h 0. T h e d e e p c o n c l u s i o n r e a c h e d b y c a t a s t r o p h e t h e o r y is t h a t t h e j o i n t

4Wewill simply indicate by x and h the w hole set of state variables and control param eterswh enever ther e w ill be no risk of ambiguity.


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50 CHA PTER 2 Types o f Hys te res i s

x a n d h d e p e n d e n c e o f t h e p o t e n t i a l a r o u n d a cr it ic a l p o i n t c a n n o t b ea r b i t ra r y , b u t i t i s l i m i t e d t o a f e w c a n o n i c a l f o r m s , d e s c r i b e d b y f u n c t i o n s ,n a m e d catast rophe fun ct ion s o r s i m p l y catastrophes, w h i c h a r e c l a s s i f i e da c c o r d i n g t o th e n u m b e r l o f e i g e n v a l u e s o f t h e H e s s i a n m a t r i x t h a t a r ez e r o a t t h e c r it ic a l p o i n t , a n d t o th e n u m b e r k o f c o n t r o l p a r a m e t e r s .

T h e c l a s s if ic a ti o n o f c a t a s t r o p h e s c a n b e f o u n d i n t h e m e n t i o n e d t ex ts .O f i n t e r e s t f o r o u r p u r p o s e s a r e t h e f o l d a n d c u s p c a t a s t r o p h e s .Fold catastrophe. T h i s c a t a s t r o p h e o c c u r s i n p o t e n t i a l s V(x ;h ) d e p e n d i n go n o n e s t a te v a r ia b l e a n d o n e c o n t r o l p a r a m e t e r . I n t h e n e i g h b o r h o o d o ft h e c r it ic a l p o i n t , t h e p o t e n t i a l c a n b e e x p r e s s e d , a f t e r s o m e c o n v e n i e n tc h a n g e o f v a r i a b l e , i n t h e f o r m

x 3V (x;h) = 3 hx (2.27)T h e b e h a v i o r o f t h e p o t e n t i a l u n d e r v a r y i n g h is s h o w n i n F ig . 2 .8 . T h ec o n t r o l s p a c e i s r e p r e s e n t e d b y t h e h a x i s , a n d t h e c r i t i c a l p o i n t i s a th = 0 . I n f a c t , t h e s e t o f e q u i l i b r i u m p o i n t s f o r t h e p o t e n t i a l s a t i s f i e s t h ec o n d i t i o n

c ~ V x 2 _ h = 0 ( 2.2 8)OxT h i s e q u a t i o n h a s t w o r e a l r o o t s w h e n h > 0 , w h i c h c o r r e s p o n d t o a ne n e r g y m i n i m u m a n d a n e n e r g y m a x i m u m . C o n v e rs e l y , n o r ea l s o l u ti o ne x i s t s w h e n h < 0 . T h e p o t e n t i a l p a s s e s f r o m o n e c o n d i t i o n t o t h e o t h e ra t t h e c r i t i c a l p o i n t , w h e r e t h e t w o e q u i l i b r i u m p o i n t s m e r g e t o g e t h e ra n d f o r m a n i n f l e c t i o n p o i n t . T h i s o c c u r s w h e n , i n a d d i t i o n t o E q . ( 2 . 2 8 ) ,t h e c o n d i t i o n c 9 2 V / a x 2 = 0 i s fu l f i l l ed , i . e . , a f t e r Eq . (2 .27) , a t x = 0 . Byi n s e r t i n g t h i s r e s u l t i n t o E q . ( 2 . 2 8 ) , w e s e e t h a t t h i s c a n o n l y o c c u r w h e nh = 0 . T h e p o i n t h = 0 r e p r e s e n t s t h e s e t ( i n t h i s c a s e c o n s i s t i n g o f o n e/ j

v ~ v

-0.5 0 0.5FIGURE 2.8 . Fold catas t rophe.


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p o i n t o n l y ) s e p a r a t i n g t h e r e g i o n s o f c o n t r o l s p a c e w h e r e t h e p o t e n t i a lt a k e s q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t f o r m s . T h i s s e t i s c a l l e d t h e bifurcation set.C usp catastrophe. T h i s c a t a s t r o p h e o c c u r s i n p o t e n t i a l s V(x;hl,h2) d e p e n d i n go n o n e s t a t e v a r i a b l e a n d t w o c o n t r o l p a r a m e t e r s . I n t h e n e i g h b o r h o o do f t h e c r i t i c a l p o i n t , t h e p o t e n t i a l , a f t e r a s u i t a b l e c h a n g e o f v a r i a b l e s ,t a k e s t h e c a n o n i c a l f o r m

V(x;h 1,h2) - " x 4 q - h 1x + h2x 2 (2.29)W e i m m e d i a t e l y r e c o g n i z e t h e s t r u c t u r e o f t h e e n e r g y o f t h e b i s t a b l es y s t e m o f E q . ( 2 . 2 4 ) , w i t h t h e e x t e r n a l f i e l d h a n d t h e p a r a m e t e r a a sc o n t r o l p a r a m e t e r s . T h e f o r m o f t h e c a t a s t r o p h e f u n c t i o n g o v e r n s t h eq u a l i t a t i v e p r o p e r t i e s o f t h e p o t e n t i a l a s a fu n c t i o n o f t h e c o n t r o l p a r a m e -t e rs . T h is i s s h o w n i n F ig . 2.9 . I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e m e a n i n g o f t h is

-1

a o

1 I-2 -1 0 1

FIGURE 2.9. Cus p catastrophe, w ith quali tat ive representa tion of energ y profi lesat different points in control space. Evolution along the horizontal l ine in thelower p ar t of the f igure genera tes the behav ior show n in F igs . 2 .5 and 2 .6 . Thecusplike solid l ine represents the bifurcation set (Eq. (2.32)) , the dash ed l ine theMaxw ell set .


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5 2 CHAPTER 2 T yp es of Hysteresisf i g u re , l e t u s b e g i n b y c o n s i d e r i n g t h a t t h e s e t o f e q u i l i b r i u m p o i n t s fo rthe po ten t i a l o f Eq . (2 .24) i s de t e rmined by the cond i t ion

cggL ~ 4X3 -- 4ax -- h = 0 (2.30)3xTh i s i s a c u b i c e q u a t i o n t h a t h a s o n e o r t h r e e r e a l r o o t s , d e p e n d i n g o nt h e v a l u e s o f h a n d a. H a v i n g o n e o r th r e e e q u i l i b r i u m p o i n t s c h a n g e s t h eq u a l it a ti v e b e h a v i o r o f t h e p o te n t ia l ( o ne m i n i m u m a g a i n s t t w o m i n i m ase p a ra t e d b y a m a x i m u m ) . I f w e r e p re se n t t h e r e g i o n s o f t h e (h, a ) c o n t ro lsp a c e w h e re t h e p o t e n t i a l t a k e s o n e o f t h e t w o q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n tf o r m s j u s t m e n t i o n e d , w e o b t a i n t h e p h a s e d i a g r a m s h o w n i n F i g . 2 . 9 .T h e b o u n d a r y l in e w h e r e o n e p a s s e s f r o m o n e t y p e o f b e h a v i o r t o th eo t h e r i s t h e b i fu rc a t i o n s e t . A t t h e b i fu rc a t i o n s e t t w o e q u i l i b r i u m p o i n t sm e r g e t o g e t h e r a n d d i s a p p e ar . T h i s o c cu r s t h r o u g h t h e f o r m a t i o n o f a ninf lec t ion point , which , in addi t ion to Eq. (2 .30) , a l so fu l f i l l s the condi t ion

c~2gL-- 12x2 - 4a = 03 X 2 (2.31)Th i s equ a t ion has rea l so lu t ions on ly fo r a > 0 . In th i s case, one f inds x =+ (a/3) 1 /2. By inse r t in g th i s re s u l t i n to Eq . (2 .30), one ob ta ins the eq ua t iond e sc r i b i n g t h e b i fu rc a t i o n s e t :

3( 3 ) h2 0Th e c u sp l i k e a p p e a ra n c e o f t h e b i fu rc a t i o n s e t m a k e s c l e a r t h e o r i g i n o ft h e n a m e g i v e n t o t h i s t y p e o f c a t a s t ro p h e .

2 .2 .3 E v o l u t i o n r u l e s a n d p h a s e c o e x i s t e n c eK n o w l e d g e o f t h e n u m b e r a n d t h e n a t u r e o f e q u i l i b r iu m p o i n t s d o e s n o tc l a r i fy w h i c h o f t h e se p o i n t s w i l l a c t u a l l y b e o c c u p i e d b y t h e sy s t e m . Inp r i n c i p l e , th i s w o u l d r e q u i r e so m e d y n a m i c d e sc r i p t i o n o f t h e sy s t e mevo lu t ion , o f t he type d i scussed in Sec t ions 2 .3 and 2 .4 . A s imple r ap -p r o a c h , a d o p t e d i n c a t a s t r o p h e t h e o r y , i s t o s u m m a r i z e s u c h d y n a m i ca sp e c t s t h ro u g h a p p ro p r i a t e c o n v e n t i o n s . Tw o e x t r e m e c a se s a r e i n p a r t i c -u l a r c o n s i d e re d .Delay conv en t ion . The sy s t e m re m a i n s i n t h e e q u i l i b r i u m s t a t e i n i t i a l l yo c c u p i e d u n t i l t h i s s t a t e i s m a d e u n s t a b l e b y t h e a c t i o n o f t h e c o n t ro lp a r a m e t e r s .


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M a x w e l l c o n v e n ti o n . T h e s y s t e m a l w a y s o c c u p i e s t he s ta t e w h e r e t h e p o t e n -t i a l i s a t i t s a b s o l u t e m i n i m u m .

T h e d e l a y c o n v e n t i o n is e x a ct ly t he o n e o n w h i c h w e h a v e b a s e d o u rd e s c r i p t i o n o f r a t e - i n d e p e n d e n t h y s t e r e s i s . T h e b e h a v i o r i l l u s t r a t e d b yF i g . 2 . 5 c a n b e r e p h r a s e d i n t h e f r a m e o f c a t a s t r o p h e t h e o r y a s f o l l o w s .T h e e v o l u t i o n o f t h e s y s t e m i s r e p r e s e n t e d b y t h e h o r i z o n t a l l in e o f F ig .2 .9 . T h e p o i n t s w h e r e t h e e v o l u t i o n l i n e c r o s s e s th e b i f u r c a t i o n s e t a r e th eo n l y p o i n t s w h e r e B a r k h a u s e n j u m p s c a n t a k e p l a c e . I n t h i s c o n t e x t , aB a r k h a u s e n j u m p i s a n e v e n t i n w h i c h a s m a l l c h a n g e i n t h e c o n t r o lp a r a m e t e r s e n t a il s a s u b s t a n t ia l c h a n g e i n th e s t a te v a r ia b l e s. A n y c r o s s in go f t h e b i f u rc a t i o n s e t w i ll n o t n e c e s s a r y l e a d t o a B a r k h a u s e n j u m p . F o rt h is to o c c u r, t h e s y s t e m m u s t b e i n o n e o f t h e e q u i l i b r i u m s t a te s d i s a p -p e a r i n g a t t h e c r o s s i n g . W i t h r e f e r e n c e t o t h e h o r i z o n t a l e v o l u t i o n l i n e o fF i g . 2 . 9 , o n e c a n c h e c k t h a t a B a r k h a u s e n j u m p o c c u r s o n l y w h e n t h ee v o l u t i o n p o i n t e x i ts t h e c u s p r e g i o n . In g e n e r a l, f o r a B a r k h a u s e n j u m pt o o c c u r , t h e s y s t e m m u s t e n t e r t h e c u s p r e g i o n f r o m o n e s i d e ( e . g . , h 0 ) .

T h e M a x w e l l c o n v e n t i o n c a n i n s t e a d b e i n t e r p r e t e d a s a n a p p r o x i m a t ed e s c r i p t i o n o f s i t u a t i o n s w h e r e t h e e f f e c t o f t h e r m a l a g i t a t i o n i s s o i m -p o r t a n t t h a t t h e s y s t e m r a p i d l y r e la x e s t o t h e st a te o f m i n i m u m e n e r g yi n t i m e s m u c h s h o r t e r t h a n t h e t i m e s c a l e o v e r w h i c h t h e i n p u t e x h i b i t ss i g n i f i c a n t v a r i a t i o n s . W h e n t h e M a x w e l l c o n v e n t i o n i s a d o p t e d , a n e wb i f u r c a t i o n s e t c a n b e d e f i n e d , k n o w n a s t h e M a x w e l l se t. T h i s i s t h e s e to f p o i n t s i n c o n t r o l s p a c e w h e r e t h e v a l u e o f t h e p o t e n t i a l a t tw o o r m o r em i n i m a b e c o m e s t h e s a m e . T h e M a x w e l l s e t f o r t h e p o t e n t i a l o f E q . ( 2.2 4)is d e s c r i b e d b y t h e c o n d i t i o n h = 0 a n d is re p r e s e n t e d b y t h e b r o k e n l in eo f F i g . 2 . 9 . W h e n t h e s y s t e m r e a c h e s t h e M a x w e l l s e t , t h e s t a t e v a r i a b l ec h a n g e s b y a f in it e a m o u n t e v e n u n d e r c o n s t a n t f i el d. T h is is s h o w n , f o re x a m p l e , b y t h e b r o k e n l i n e o f F i g . 2 . 7 . T h i s d i s c o n t i n u i t y i s , h o w e v e r ,p e r f e c t l y r e v e r s i b l e a n d e n t a i l s n o e n e r g y d i s s i p a t i o n .

F r o m t he t h e r m o d y n a m i c v i e w p o i n t , a fr ee e n e r g y lik e th e o n e s h o w ni n F i g . 2 . 4 p o i n t s a t t h e e x i s t e n c e o f t w o p o s s i b l e p h a s e s f o r t h e s y s t e m ,e a c h c o r r e s p o n d i n g to o n e o f t h e t w o e q u i v a l e n t e n e r g y m i n i m a , x = x ra n d x = - x r. O n e m i g h t w o n d e r if t h e r e m a y b e a n y p o s s i b il it y to h a v es ta b l e s ta t e s w h e r e x = 0 . A s x = 0 is a n e n e r g y m a x i m u m , n o s u c h s t a teis p o s s i b le if w e l o o k f o r s p a t ia l l y h o m o g e n e o u s s ta t es , w h e r e x h a s t h es a m e v a l u e a t e a c h p o i n t i n sp a c e . H o w e v e r , i f w e a r e d e a l i n g w i t h as p a t i a l l y e x t e n d e d s y s t e m a n d w e a r e o n l y i n t e r e s t e d i n t h e m e a n v a l u e< x > o f x o v e r t h e w h o l e v o l u m e o f t h e s y s te m , w e c a n r e a li z e th e c o n d i t i o n< x > = 0 b y a p h a s e m i x t u r e , i n w h i c h h a l f o f t h e v o l u m e i s i n t h e x = x rp h a s e a n d h a l f i s i n t h e x = - - X F p h a s e . B y i n t r o d u c i n g t h e c o n c e p t o f


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54 CHAPTER 2 T yp es of Hys teres iss ta te s n o t h o m o g e n e o u s i n s p ac e , m a d e u p o f d o m a i n s w h e r e t h e s y s t e mi s i n o n e o r th e o t h e r p h a s e ( s ee F ig . 2 .1 0 ), w e c a n a c t u a l l y g e n e r a t e s t a t e st h a t c o n t i n u o u s l y s p a n t h e i n t e r v a l - x r = XF ( w h o l e s y s t e m i n t h e x = x r p h a s e ) w i t h n oh y s t e r e s i s , b y a d j u s t i n g t h e r e l a t i v e v o l u m e o f d o m a i n s .M a g n e t i c d o m a i n s a r e a t t h e h e a r t o f t h e b e h a v i o r o f m a g n e t i c m a t e r i -a l s . H o w e v e r , t h e f r e e e n e r g y s t r u c t u r e r e s p o n s i b l e f o r t h e m i s m o r ec o m p l i c a t e d t h a n t h e s i m p l e b i s t a b l e o n e c o n s i d e r e d h e r e , a n d r e q u i r e sa s p e c i f i c d e t a i l e d a n a l y s i s . T h i s a s p e c t w i l l b e a d d r e s s e d i n P a r t I I I .

2 .3 R A T E - D E P E N D E N T H Y S T E R E S ISW e s a id t h a t r a te - i n d e p e n d e n t h y s te r es is a p p l ie s w h e n B a r k h a u s e n j u m p sd e v e l o p i n t i m e s m u c h s h o r t e r t h a n t h e t i m e s c a l e f i x e d b y t h e f i e l d r a t eo f c h a n g e . U n d e r t h is a p p r o x i m a t i o n , a B a r k h a u s e n j u m p a p p e a r s a s a ni n s t a n t a n e o u s e v e n t , o f w h i c h w e d o n o t s e e t h e i n t e r n a l s tr u c t u r e . Y et,a s y s t e m a l w a y s n e e d s a c e r t a i n t i m e t o r e a c t t o v a r y i n g e x t e r n a l a c t i o n s .T h i s i s t h e c a s e , f o r e x a m p l e , i n m e t a l l i c f e r r o m a g n e t s , w h e r e m a g n e t i z a -t io n c h a n g e s a re d a m p e d b y t h e p r o d u c t i o n o f e d d y c u r re n ts . W h e n t h es p o n t a n e o u s e v o l u ti o n o f t he s y s t e m t h r o u g h B a r k h a u s e n j u m p s a n d t h e

FIGURE 2.10 . Phase coexistence w ith dom ains.


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2.3 RAT E-DEPEND ENT HYSTERESIS 55f o r c e d e v o l u t i o n d r i v e n b y t h e e x t e r n a l f i e l d t a k e p l a c e o n c o m p a r a b l et i m e s c a l e s , r a t e - i n d e p e n d e n t a p p r o x i m a t i o n s a r e n o l o n g e r a p p l i c a b l e ,a n d m o r e g e n e r a l f r a m e s o f d e s c r i p t i o n a r e n e e d e d . W e s h a l l d i s c u s s t h i sa s p e c t f o r t h e b i s ta b l e s y s t e m o f S e c t io n 2.2 , w h i c h g i v e s a s i m p l e a n d c l e a ri ll u s tr a t io n o f t h e i n t i m a t e r e l a t io n s h i p e x i s t in g b e t w e e n r a t e - i n d e p e n d e n ta n d r a t e - d e p e n d e n t h y s t e r e s i s a n d , i n p a r t i c u l a r , o f t h e l i m i t c o n d i t i o n su n d e r w h i c h r a t e - i n d e p e n d e n t h y s t e r es i s n a t u r a l l y e m e r g e s fr o m t h e g e n -e r al r a t e - d e p e n d e n t p i c tu r e .

2.3 .1 Dynamical systemsL e t u s r e c o n s i d e r E q. (2.1 8). T h e v a r i o u s t h e r m o d y n a m i c f o r c es a c t i n g o nt h e s y s t e m a r e d e s c ri b e d b y t h e e n e r g y g r a d i e n t OGL / O X . T h e e q u i l i b r i u mc o n d i t i o n OGL / O X = 0 s t a t e s t h a t t h e t o t a l f o r c e a c t i n g o n t h e s y s t e mm u s t b e z e r o a t e q u i l i b r i u m . T h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n h a s t h e f o r m o fa b a l a n c e , H - a F / O X = 0 , b e t w e e n t h e e x t e r n a l fi e ld H a n d t h e g r a d i e n t- O F / O X d e s c r i b in g i n t e r n a l m e c h a n i s m s . T h e n a t u r a l q u e s t i o n t h a t a r is e sa t t h i s p o i n t i s : w h a t w i l l h a p p e n w h e n t h e t o t a l f o r c e i s n o t z e r o ? H o ww i l l th e s y s t e m r e a c t t o a n i n

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Chapter 2 - Types of Hysteresis