Embed Size (px)
Citation preview
10. Electromagnetic WavePropagation
1
10.2 WAVE IN GENERAL
u/
eEE
)3.10(0Et
E
)c2.10()utz(g)utz(fEEE
)b2.10()utz(gE
)a2.10()utz(fE
)1.10(0z
Eu
t
E
tjs
s2
2s
2
2
22
2
2
2
tj
2
22
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
22
22
2
2
e~B,E
1cwhere
0E~
cE~
0t
E
c
1E
0t
EE
0B~
cB~
0t
B
c
1B
0t
BB
BB)
B(
t
B
t
EB
t
BE
Jt
EB
𝛻 × 𝛻 × u = 𝛻(𝛻 ∙ u) − 𝛻2u
3
참고: Vector identity (벡터 항등식)
𝛻 ∙ φu = φ𝛻 ∙ u + u ∙ 𝛻φ
𝛻 × φu = φ𝛻 × u + 𝛻φ × u
𝛻 ∙ u × v = v ∙ 𝛻 × u − u ∙ 𝛻 × v
𝛻 × u × v = v ∙ 𝛻u − u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u − v ∙ 𝛻u
𝛻 u ∙ v = u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u + u × (𝛻 × v) +v × (𝛻 × u)
𝛻 × 𝛻φ = 0
𝛻 ∙ 𝛻 × u = 0
𝛻 × 𝛻 × u = 𝛻(𝛻 ∙ u) − 𝛻2u
𝛻 ∙ 𝛻φ1 × 𝛻φ2 = 0
a × b × c = (a ∙ c)b − (b ∙ a) c
a × b ∙ c × d = a ∙ c ∙ b ∙ d − a ∙ d ∙ b ∙ c
4
(a) Traveling Wave.
𝐇 = 𝐇𝐢𝟎 𝐜𝐨𝐬 (βz−ω𝐭) 𝐚𝐱.
(b) Standing Wave.
𝐇 = 𝟐𝐇𝐢𝟎 𝐜𝐨𝐬 (βz)cos(ω𝐭) 𝐚𝐱.
Hx = Acos βz − ωtβz − ωt = c
vφ ≡dz
dt=
ω
β← Phase velocity
H
0 z
z
z
0
0
ωt=0
ωt=π/2
ωt=π
H
0z
z
z
0
0
ωt=0
ωt=π/2
ωt=π
5
)b6.10(fu
)a6.10(uT
)ztcos(A
or
)5.10()ztsin(AE
)c4.10(BeAeE
)b4.10(BeE
)a4.10(AeE
)zt(j)zt(j
)zt(j
)zt(j
ejωt를 생각하면틀린 것은 아니나 불편.cos 이 편하다.
6
)9.10(udt
dz
constantzt
)8.10(2
)c7.10(2
f
1T
)b7.10(u
)a7.10(f2
7
Fig 10.1 E(z,t)=A·sin(ωt-βz)의 그림.
2
2
f
1T
u
f2
)ztsin(AE
E
z
(a) constant t
A
-A
λ
0
λλ
2
3λ
2
E
t
(b) constant z
A
-A
T
0
TT
2
3T
2
8
Fig 10.2 E(z,t)=A·cos(ωt-βz)의 그림.
P는 +z 방향으로 u의 속도로 이동.
udt
dz
ttanconszt
)ztcos(AE
vφ
PH
0 z
z
z
0
0
ωt=0
ωt=π/2
ωt=π
9
Table 10.1 Electromagnetic spectrum
EM Phenomena Examples od Uses Approximate Frequency Range
Cosmic rays
Gamma rays
X-rays
자외선가시광선적외선Microwaves
Radio waves
Physics, astronomy
Cancer therapy
X-ray examination
Sterilization
Human vision
Photography
Radar, microwave relays,
satellite communication
UHF TV
VHF TV, FM radio
Short-wave radio
AM radio
1014 GHz and above
1010~1013 GHz
108~109 GHz
106~108 GHz
105~106 GHz
103~104 GHz
3~300 GHz
470~806 MHz
54~216 MHz
3~26 MHz
535~1605 KHz
10
)9.10(udt
dz
)8.10(2
)c7.10(2
f
1T
)b7.10(u
)a7.10(f2
예제 10.1 전장 E = 50 cos ωt + x/λ ay volt/m = 50 cos 108t + βx ay volt/m 가 주어졌다.
(a) wave의 진행 방향(b) β를 계산하고 λ/2 만큼의 거리를 진행하는 동안 걸리는 시간을 구하라.(c) t=0, T/4, T/2에서의 wave를 그려라.
(a) wave의 진행 방향: −ax 방향.시간이 지났을 때 동일 phase인 지점은 –ax 에 있다.
(b) β를 계산하고 λ/2 만큼의 거리를 진행하는 동안 걸리는 시간을 구하라.
sec1022/
f
1xt
m3
1
103
10
c
8
1
8
8
(c) t=0, T/4, T/2에서의 wave를 그려라.
11Fig 10.3 For Example 10.1;
wave travels alongax.
(c) t=0, T/4, T/2에서의 wave를 그려라.
2
f
1T)c7.10(
2/Ttforxcos50
x2
2cos50E
4/Ttforx2/cos50
x4
2cos50E
0tforxcos50E
xtcos50E
y
y
y
y
-50
λ 2λ-λ-2λ
50
y
x
-50
0 λ 2λ-λ-2λ
50
y
x
50cosβx
0
-50
λ 2λ-λ-2λ
50
y
x0
50cos(βx+π/2)
50cos(βx+π)
(a) t=0
(c) t=T/2
(b) t=T/4
u
12
10.3 Wave Propagation in Lossy Dielectrics
)14.10(E)j(H
E)j(
Et
E
Jt
EH
)13.10(HjE
t
HE
)12.10(0H
)11.10(0E
ss
ss
s
s
)18.10()j(j
)17.10(0EE
0E)j(jE
E)j(j
HjE
E
E)E(E
)16.10(A)A(A
)15.10(HjE
2
s2
s2
ss2
s
ss2
s2
s2
ss
2
ss
Space charge ρ=0
J ≠ 𝟎
13
ss
ss
s
s
tjs
tjs
tjs
tjs
tjs
tjs
E)j(H)14.10(
HjE)13.10(
0H)12.10(
0E)11.10(
)eE)(j()eH(
)eH(j)eE(
0)eH(
0)eE(
t
EEH
t
HE
0H
0E
참고:
Vector identity
𝛻 ∙ φu = φ𝛻 ∙ u + u ∙ 𝛻φ
𝛻 × φu = φ𝛻 × u + 𝛻φ × u
𝛻 ∙ u × v = v ∙ 𝛻 × u − u ∙ 𝛻 × v
𝛻 × u × v = v ∙ 𝛻u − u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u − v ∙ 𝛻u
𝛻 u ∙ v = u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u + u × (𝛻 × v) +v × (𝛻 × u)
𝛻 × 𝛻φ = 0
𝛻 ∙ 𝛻 × u = 0
𝛻 × 𝛻 × u = 𝛻(𝛻 ∙ u) − 𝛻2u
𝛻 ∙ 𝛻φ1 × 𝛻φ2 = 0
a × b × c = (a ∙ c)b − (b ∙ a) c
a × b ∙ c × d = a ∙ c ∙ b ∙ d − a ∙ d ∙ b ∙ c
14
)18.10()j(j
)19.10(0HH
0H)j(jH
H)j(j
E)j(H
H
H)H(H
A)A(A
E)j(H
)18.10()j(j
)17.10(0EE
2
s2
s2
ss2
s
ss2
s2
s2
ss
2
ss
2
s2
s2
ss HjE)13.10(
15
)24.10(112
)23.10(112
)21.10(]Re[
)22.10()2()(
2j
)20.10(j
j
)18.10()j(j
2
2
2222
2222222222
222
2
2
16
)30.10()aeeRe(H)t,z(H
0)z(Hdz
d
a)eeRe(E
)29.10(a)ztcos(eEt)(z,E
)28.10(eEeE(z)E
)27.10(0)z(Edz
d
)26.10(0)z(E)(
)25.10(a)z(EE
y)zt(jz
o
ys2
2
2
x)zt(jz
o
xz
0
z0
z0s
xs2
2
2
s22
xxss
α: “+α”는 물리적 문제 때문에해가 될 수 없음.
β: 편의에 의해 “–β” 만 채택.
j)20.10(
)j(j)18.10( 2
z
x
y
E
17
)31.10(H
Ej
HjEE)j(
HjeeHj
eeE)j(z
E
aeeEt)(z,E
Hjaz
E
00E
z00
aaa
E
HjE)13.10(
0
0
ooo
y)zt(jz
o
)zt(jzo
x
x)zt(jz
o
syxs
xs
zyx
s
ss
j)20.10(
j22
)32.10(impedancewave:j
j
j
j
j
j
j
)31.10(H
E
2
22
2
0
0
18
)32.10(impedance:j
j
)31.10()30.10()29.10(E
H
)30.10()aeeRe(H)t,zH(
)29.10(a)ztcos(eEt)(z,E
)28.10(eEeE(z)E
00
y)zt(jz
o
xz
0
z0
z0s
고유
0HH)19.10( s2
s2
j)20.10(
)j(j)18.10(
0)z(Edz
d)27.10(
0EE)17.10(
2
xs2
2
2
s2
s2
ss
ss
E)j(H)14.10(
HjE)13.10(
19
Fig 10.5 시간 t=0와 t=Δt에서 +z 방향으로 진행하는 E의 x 성분: 화살표는
E의 순시 값을 나타낸다.
x
z
t=0
t=Δt
Δt
e−αz ∗ cos(βz − ωt)
20
)34.10(a)ztcos(eE
aeeE
aeee
E
aeeE
H
yz0
y)zt(jz0
y)zt(jz
j0
y)zt(jz0
)33.10(
2tan
1)32.10(
e
j
j
41
2
j
η도 complex
21
ss
ss
s
s
tjs
tjs
tjs
tjs
tjs
tjs
E)j(H)14.10(
HjE)13.10(
0H)12.10(
0E)11.10(
)eE)(j()eH(
)eH(j)eE(
0)eH(
0)eE(
t
EEH
t
HE
0H
0E
22
)37.10(2tan
e
)(
j
j
j
ej
j)32.10(
2
2j2
22
22
j
jσωμ
Re
Im
η 2
2θη=θ
ω2με
23
(10.35)dB 686.8elog20 Np 1
output:o,input:i
:V
Vlog20 dBins
10
i
o10
정의전압이득의
)37.10()2(tan
: 손실 Tangent
- Np/m: 감쇄율의 단위- 1 neper 감쇄는 e-1 만큼 줄어든 것.
- 1 neper 감쇄가 일어난 길이를 δ라고 정의 한다.
- 매우 작으면 무손실 유전체- 매우 크면 양도체
1 neper 증가
𝐇 = 𝟏𝟎𝐞−𝛂𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 − 𝐱/𝟐 𝐚𝐲 𝐀/𝐦
감쇄율 𝛂의 단위는 Np/m
24
)37.10(tanEj
E
J
J
s
s
ds
cs
tanθ (손실 Tangent)
- 매우 작으면 무손실 유전체- 매우 크면 양도체
)2(tan)37.10(
Fig 10.6 Loss angle of
a lossy medium.
sEj
sE
jσωμ
Re
Im
η 2
2θη=θ
ω2με
ss
2
2j2
22
22
j
00
E)j(H
)37.10(2tan
e
)(
j
j
j
ej
j)32.10(
EH)31.10(
25
)41.10(tan
)b40.10(j
)a40.10(j1
)39.10(Ej
Ej
1j
E)j(H
)38.10()37.10(&)33.10(from2
c
c
sc
s
ss
26
예제 10.2 손실 유전체가 특정한 각속도 ω에서 wave impedance 𝛈 = 200ejπ/6 Ω 이다.
𝐇 = 𝟏𝟎𝐞−𝛂𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 − 𝐱/𝟐 𝐚𝐲 𝐀/𝐦 일 때 𝐄와 α를 구하라.
)aeee2000Re(E
e2000E
e200H
E
aa
aaaaaa
a
a)aa(aa
aaa
aaa
HEP
aa
aawave
Etjx6/j
6/j0
6/j
0
0
zE
zyxHkE
E
yyEyx
yEx
HEk
yH
xk
진행방향
진행 방향
y
z
x
aE aH
ak
j)20.10(
j)18.10( 22
27
예제 10.2 손실 유전체가 특정한 각속도 ω에서 200ejπ/6 Ω의 wave impedance를 갖는다.
𝐇 = 𝟏𝟎𝐞−𝛂𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 − 𝐱/𝟐 𝐚𝐲 𝐀/𝐦 일 때 𝐄와 α를 구하라.
m32/1
2
1m/Np
32
1
3
360tan2tan3/1
11
11
112
)24.10(
112
)23.10(
o
2/1
2
2
2
2
)37.10(2tan
e
)(
j
j
j
ej
j)32.10(
EH)31.10(
)2(tan)37.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
j)20.10(
j)18.10(
2
2j2
22
22
j
00
2
2
22
28
10.4 Plane Waves in Lossless Dielectrics
)44.10(0
)b43.10(22
f
u
c1
u
)a43.10(0
)42.10(
0
ro
ro
112
)24.10(
112
)23.10(
2
2
𝐄와 𝐇는 위상이 같다. σ=0
je
j
j)32.10(
)9.10(udt
dz
)8.10(2
)c7.10(2
f
1T
)b7.10(u
)a7.10(f2
29
10.5 Plane Waves in Free Space
)47.10(377120
10014436/10
104
)b46.10(2
c1
u
)a46.10(c/
0
)45.10(
0
2
9
7
0
00
00
00
o
o
)49.10(aaa
)b48.10(a)ztcos(E
a)ztcos(HH
)a48.10(a)ztcos(EE
kHE
y0
0
y0
x0
y)zt(jz0
x)zt(jz
0
aeeE
H
aeeEE
𝐚𝐇
𝐚𝐤
𝐚𝐄
𝐳𝐲
𝐱
30
Fig 10.7 Plots of 𝐄 and 𝐇. The arrows
indicate instantaneous values
kHE
y)zt(jz0
x)zt(jz
0
aaa(10.49)
aeeE
H
aeeEE
𝐚𝐇
𝐚𝐤
𝐚𝐄
𝐳𝐲
𝐱 x
y
E = E0cos(−βz)ax
H = H0cos(−βz)ay
(b) at t=0
x
y
z
E = E0cos(−βz)ax
H = H0cos(−βz)ay
𝐚𝐤
(a) at t=0
31
10.6 Plane Waves in Good Conductors
2tan)37.10(
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
j
2
2
)52.10(45
)b51.10(2
,2
u
)a51.10(f2/
)50.10(
ro
o
주어진 전장에서 전하를축적할 수 있는 능력.의미 없음.
32
)55.10(j1
e21
)b54.10(depthskin:f
1
)a54.10(1
)b53.10(a)4/ztcos(eE
H
)a53.10(a)ztcos(eEE
4/j
yzo
xz
o
yz0 a)ztcos(e
EH)34.10(
f2/)a51.10(
45)52.10(
33
Fig 10.8 Illustration of skin depth. Fig 10.9 Skin depth at high frequencies.
δ
a
z
E0
0.368E0
δ
0
x
e−αz
𝐞−𝛂𝐳𝐜𝐨𝐬(𝛚𝐭 − 𝛃𝐳)
δ = 1/α
34
표 10.2 구리의 표피 깊이.
주파수 (Hz) 10 60 100 500 104 108 1010
표피 깊이 (mm) 20.8 8.6 6.6 2.99 0.66 6.6x10-3 6.6x10-4
구리의 경우 𝛔 = 𝟓. 𝟖 × 𝟏𝟎𝟕 𝐒/𝐦𝛍 = 𝛍𝟎
𝟏𝟎. 𝟓𝟒𝐛 𝛅 = 𝟏/ 𝛑𝐟𝛍𝛔 = 𝟔𝟔. 𝟏 / 𝐟 (단위는 mm)
Fig 10.9 Skin depth at high frequencies.
δ
a
)b54.10(depthskin:f
1
35
)57.10(w
R
wR
)56.10(f1
R
)16.5(S
R
sac
s
dc
Surface or Skin Resistance:
Sheet 인 경우의단위 폭, 단위 길이 당 저항.
j1e2
1)55.10(
depthskin:f
1)b54.10(
EH)31.10(
4/j
oo
w
δ
36
1
2j1
)57.10(w
RVIw
V
w
IEH
1
VE
w
IH
EH)31.10(
w
I
)a~(2
I
)ba(2
I
)a0(a2
I
H)29.7(
ac0
0o
o
oo
2
과소평가는
aI
-I
a
b
ρz
37
예제 10.3 η=60π, μr=1, H = −0.1 cos ωt − z ax + 0.5 sin ωt − z ay A/m 인 무손실 매질에서
εr , ω, 𝐄 를 계산하라.
sec/rad105.1
1103
24
c
4
60120
)44.10(
j
j)32.10(
1,0,0
8
8
rr00
r
r
r
r
0
0
무손실매질
)44.10(0
)b43.10(22
f
u
c1
u
)a43.10(0
)42.10(
0
ro
ro
매질무손실
38xy
x2
2020
xyzHkE
y1
1010
HEk
yxzHkE
E202
E101
21
y2
x121
a)ztsin(30a)ztcos(6E
a)ztsin(30E
30)5.0(60HE
a)aa()aa(a
a)ztcos(6E
6)1.0(60HE
aaawhere
a)aa()aa(a
a)ztsin(EE
a)ztcos(EEwhereEEE
a)ztsin(5.0H
)a)(ztcos(1.0HwhereHHH
1
22
11
2
1
방법
sec/rad105.1
1103
24
c
4
60120
)44.10(
j
j)32.10(
1,0,0
8
8
rr00
r
r
r
r
0
0
무손실매질
예제 10.3 η=60π, μr=1, H = −0.1 cos ωt − z ax + 0.5 sin ωt − z ay A/m 인 무손실 매질에서
εr , ω, 𝐄 를 계산하라.
𝐚𝐇
𝐚𝐤
𝐚𝐄
𝐳𝐲
𝐱
𝐚𝐄
𝐚𝐤
𝐚𝐇
𝐳𝐲
𝐱
39
yx
y8
9x8
9
y10
x20
y10x20
y10x20
y10x20
yx
xy
yx
zyx
yx
zyx
a)ztcos(30a)ztsin(6E
a)ztcos(
105.136
104
10/1a)ztsin(
105.136
104
2/1
a)ztcos(H
a)ztsin(H
dta)ztsin(Ha)ztcos(H1
dtH1
E
a)ztsin(Ha)ztcos(H
a)]ztcos(H[z
a)]ztsin(H[z
az
Ha
z
H
0)z(H)z(H
z00
aaa
0)z(H)z(H
zyx
aaa
H
dtH1
E
t
E
t
EEH
2
방법
𝐇 = −𝟎. 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 − 𝐳 𝐚𝐱 + 𝟎. 𝟓 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 − 𝐳 𝐚𝐲
40
예제 10.4 매질 내에서 전파되는 균일 평면파가
𝐄 = 𝟐𝐞−𝛂𝐳 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟖𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐲 = 𝐄𝟎𝐞−𝛂𝐳𝐞−𝐣𝛑/𝟐𝐞𝐣(𝛚𝐭−𝛃𝐳)𝐚𝐲 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦 이다.
εr=1, μr=20, σ=3 S/m일 때 α, β, 𝐇를 구하라.
)a(eeee
E
a)ztsin(eHH
e
4
2233932tan
3
800
4.612
)a51.10(
13393
10
2E
x)zt(j2/jz
4/j0
Hz
0
4/j
8
0
전도체
tan)41.10(
4/j0
j0
00 e
1Ee
1E
EH
xyzEkH aaaaaa
sds EjJ
ss EJ
112
)24.10(
112
)23.10(
2
2
2tan)37.10(
ej
j)32.10(
j
𝐚𝐇
𝐚𝐤
𝐚𝐄
𝐳𝐲
𝐱
41
)ztcos(j)ztsin(
)ztsin(j)ztcos(j
)ztsin(j)ztcos(2
sinj2
cos
ee
e
)ztsin(
)ztsin()2/sin()ztcos()2/cos()zt2/cos(
)zt(j)2/(j
)zt2/(j
112
)24.10(
112
)23.10(
2
2
예제 10.4 매질 내에서 전파되는 균일 평면파가
𝐄 = 𝟐𝐞−𝛂𝐳 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟖𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐲 = 𝐄𝟎𝐞−𝛂𝐳𝐞−𝐣𝛑/𝟐𝐞𝐣(𝛚𝐭−𝛃𝐳)𝐚𝐲 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦 이다.
εr=1, μr=20, σ=3 S/m일 때 α, β, 𝐇를 구하라.
Im
Re
j
2/
42
xz0
z0
x)2/4/zt(jz0
xzt2/jz
4/j0
Hz
0
a)4/ztsin(eE
H
)2/4/ztcos(eE
aeeE
)a(eeee
E
a)ztsin(eHH
)a(eeee
E
a)ztsin(eHH
e
4
2233932tan
3
800
4.612
)a51.10(
13393
x)zt(j2/jz
4/j0
Hz
0
4/j
전도체
예제 10.4 매질 내에서 전파되는 균일 평면파가
𝐄 = 𝟐𝐞−𝛂𝐳 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟖𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐲 = 𝐄𝟎𝐞−𝛂𝐳𝐞−𝐣𝛑/𝟐𝐞𝐣(𝛚𝐭−𝛃𝐳)𝐚𝐲 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦 이다.
εr=1, μr=20, σ=3 S/m일 때 α, β, 𝐇를 구하라.
𝐚𝐇
𝐚𝐤
𝐚𝐄
𝐳𝐲
𝐱
43
예제 10.5 평면파 𝐄 = 𝐄𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟖𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐱 V/m 가 진공에서 양도체로 입사 된다.
도체 내의 전류 밀도 J 를 구하라.
j1)j1(j
/1for1
))z(J(0B
BeAeJ
0Jz
J
EJ0JJ
/1)a54.10(
j)20.10(
)j(j)18.10(
0EE)17.10(
sx
zzsx
sx2
2sx
2
s2
s2
2
s2
s2
양도체
)zt10(j/zsxx
t10j)j1(zsxx
)j1(zsx
)j1(zsx
8
8
ee)0(JJ
ee)0(JJ
e)0(J
AeJ
112
)24.10(
112
)23.10(
2
2
44
)57.10(w
R
wR
)56.10(f1
R
)16.5(S
R
sac
s
dc
예제 10.6 다음 동축 cable에서 a=2 mm, b=6 mm, t=1 mm인 경우 직류가 흐를 때와100 MHz 교류가 흐를 때 cable 저항을 계산하라. 길이는 L=2 m 이다.
σ = 5.8 × 107 S/m μr = 1
m4.548RRR
1384.0f
b2b2w
RR
41.0f
a2a2w
RR
m587.3RRR
m8429.0]b)tb[(S
R
m744.2aS
R
RRR
i0ac
so
si
i0dc
22o
2i
innerouter
경우교류인
경우직류인
AC 저항이 훨씬 크다.
L
ab
t
45
표 10.2 구리의 표피 깊이.
주파수 (Hz) 10 60 100 500 104 108 1010
표피 깊이 (mm) 20.8 8.6 6.6 2.99 0.66 6.6x10-3 6.6x10-4
구리의 경우 𝛔 = 𝟓. 𝟖 × 𝟏𝟎𝟕 𝐒/𝐦𝛍 = 𝛍𝟎
𝟏𝟎. 𝟓𝟒𝐛 𝛅 = 𝟏/ 𝛑𝐟𝛍𝛔 = 𝟔𝟔. 𝟏 / 𝐟 (단위는 mm)
46
10.7 Power and The Poynting Vector
t
)H(
2t
)E(
2E)HE(
)61.10(t
)H(
2t
HH)E(H
)60.10(t
EEE)HE()E(H
)59.10(t
)E(
2E
t
EJE)H(E
)H(E)E(H)HE(
)b58.10(t
EE
t
EJH
)a58.10(t
HE
222
2
2
22
𝛻 ∙ u × v = v ∙ 𝛻 × u − u ∙ 𝛻 × v
47
참고: Vector identity (벡터 항등식)
𝛻 ∙ φu = φ𝛻 ∙ u + u ∙ 𝛻φ
𝛻 × φu = φ𝛻 × u + 𝛻φ × u
𝛻 ∙ u × v = v ∙ 𝛻 × u − u ∙ 𝛻 × v
𝛻 × u × v = v ∙ 𝛻u − u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u − v ∙ 𝛻u
𝛻 u ∙ v = u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u + u × (𝛻 × v) +v × (𝛻 × u)
𝛻 × 𝛻φ = 0
𝛻 ∙ 𝛻 × u = 0
𝛻 × 𝛻 × u = 𝛻(𝛻 ∙ u) − 𝛻2u
𝛻 ∙ 𝛻φ1 × 𝛻φ2 = 0
a × b × c = (a ∙ c)b − (b ∙ a) c
a × b ∙ c × d = a ∙ c ∙ b ∙ d − a ∙ d ∙ b ∙ c
48
)63.10(dvEdvH2
1E
2
1
t-Sd)HE(
)62.10(dvEdvH2
1E
2
1
tdv)HE(
Et
)H(
2t
)E(
2)HE(
v2
v22
S
v2
v22
v
222
Total powerleaving the volume
저장된전장, 자장 energy
Ohmic powerdissipated= -
(10.49)aaa
(10.65)HEp:VectorPoynting
HEk
(10.64)
49
Fig 10.10 Illustration of power
balance for EM fields.
v2
v22
SdvEdvH
2
1E
2
1
t-Sd)HE()63.10(
Total powerleaving the volume
저장된전장, 자장 energy
Ohmic powerdissipated
= -
50
)70.10(SdpP
)69.10(acose2
E)z(p
)68.10(HERe2
1
)67.10(dt)t,z(pT
1)z(p
)66.10(a )z2t2cos(cose2
E
a )ztcos()ztcos(eE
)t,z(p
a)ztcos(eE
)t,z(H
a)ztcos(eE)t,z(E
aeeE
)t,z(H
aeeE)t,z(E
e
S aveave
zz2
20
ave
ss
T
0ave
zz2
20
zz2
20
yz0
xz
0
y)zt(jz0
x)zt(jz
0
j
𝐚𝐄𝐚𝐤
𝐚𝐇
𝐳𝐲
𝐱
v2
v22
SdvEdvH
2
1E
2
1
t-Sd)HE()63.10(
Total powerleaving the volume
저장된전장, 자장 energy
Ohmic powerdissipated
= -
51
tan 1 cot
sin cos
cscsec
2
22
secd
tand
sind
cosd
cosd
sind
tantan1
tantan)tan(
sincos)2cos(
sinsincoscos)cos(
cossin2)2sin(
sincoscossin)sin(
참고
cos)z2t2cos(2
1
)ztcos()ztcos(
)cos()cos(2
1coscos
coscos2)cos()cos(
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
52
)68.10(]HERe[2
1
]HEHE[4
1
)67.10(dt)t,z(pT
1p
]eHEHEHEeHE[4
1
]HH[]EE[4
1]HERe[p
]eHeH[2
1]HH[
2
1]HRe[
]eEeE[2
1]EE[
2
1]ERe[
eH)t,z(H
eE)t,z(E
*ss
*sss
*s
T
0ave
t2j*s
*s
*sss
*s
t2jss
**
tjs
tjs
*
tjs
tjs
*
tjs
tjs
)aa(2
1]aRe[
cba
bca
j1a
j1a
*
참고
53
7.9810
59.14c
c
102
8.0
00
)a(
2
2
r
r0r0
0r
0
7
매질비자성
매질무손실
예제 10.7 무손실 비자성 매질에서 𝐄 = 𝟒𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅 × 𝟏𝟎𝟕𝐭 − 𝟎. 𝟖𝐱 𝐚𝐳 𝐕/𝐦 이다. 다음을 구하라
(a) εr , η(b) wave에 전달 되는 time-average power(c) 평면 2x+y=5의 100 cm2 되는 면을 통과하는 총 전력.
112
)24.10(
112
)23.10(
2
2
je
j
j)32.10(
2/)]2cos(1[sin
sin21
sincos)2cos(
)sin()sin(
)cos()cos()cos(
2
2
22
54
W5.724
5
)0,1,2(01.0)0,0,1(81
aSpSdpP
5
)0,1,2(a
)c(
m/mWa81
a2
EdtP
T
1p
a)xt(sinE
HEp
)b(
naveaveave
n
2x
x
20T
oave
x2
20
j
2
2
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
2/)]2cos(1[sin
sin21
sincos)2cos(
)sin()sin(
)cos()cos()cos(
2
2
22
𝐚𝐤
𝐚𝐄
𝐚𝐇
𝐳𝐲
𝐱
예제 10.7 비자성 매질에서 𝐄 = 𝟒𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅 × 𝟏𝟎𝟕𝐭 − 𝟎. 𝟖𝐱 𝐚𝐳 𝐕/𝐦 이다. 다음을 구하라
(a) εr , η(b) wave에 전달 되는 time-average power(c) 평면 2x+y=5의 100 cm2 되는 면을 통과하는 총 전력.
55
10.8 Reflection of a Plane Wave at Normal Incidence
Incident wave :
Reflected Wave :
H
HEk
2
s2
s2
a/EH
aaa
j)20.10(
)j(j)18.10(
0EE)17.10(
)72.10(ae
EaeH)z(H
aeeE)z(E
)71.10(aeE)z(E
yz
1
ioy
ziois
x)zt(jz
ioi
xz
iois
11
11
1
)74.10(aeE
)a(eH)z(H
)73.10(aeE)z(EIf
yz
1
ro
yz
rors
xz
rors
1
1
1
𝐚𝐤
𝐳𝐲
𝐱𝐚𝐄
𝐚𝐇
𝐚𝐤
𝐳𝐲
𝐱𝐚𝐄
𝐚𝐇
56
Fig 10.11 A plane wave incident normallyon an interface between two different media.
Transmitted wave :
𝐄𝐢
𝐚𝐤
𝐇𝐢
𝐳𝐲
𝐱
𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟏 (𝛔𝟏, 𝛆𝟏, 𝛍𝟏) 𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟐 (𝛔𝟐, 𝛆𝟐, 𝛍𝟐)
Transmitted Wave
Incident Wave
Reflected Wave
𝐄𝐭
𝐚𝐤
𝐇𝐭
𝐇𝐫
𝐚𝐤
𝐄𝐫
)76.10(aeE
aeH)z(H
)75.10(aeE)z(EIf
yz
2
toy
ztots
xz
tots
22
2
𝐚𝐤
𝐳𝐲
𝐱𝐚𝐄
𝐚𝐇
𝐚𝐤
𝐳𝐲
𝐱𝐚𝐄
𝐚𝐇
𝐚𝐤
𝐳𝐲
𝐱𝐚𝐄
𝐚𝐇
57
ri1
ri1
HHH
EEE
t2
t2
HH
EE
𝐄𝐢
𝐚𝐤
𝐇𝐢
𝐳𝐲
𝐱
𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟏 (𝛔𝟏, 𝛆𝟏, 𝛍𝟏) 𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟐 (𝛔𝟐, 𝛆𝟐, 𝛍𝟐)
Transmitted Wave
Incident Wave
Reflected Wave
𝐄𝐭
𝐚𝐤
𝐇𝐭
𝐇𝐫
𝐚𝐤
𝐄𝐫
58
)80.10(E2
E
)79.10(EE
0zat)78.10(
E)EE(
1 (0)H(0)H)0(H
)77.10(EEE (0)E(0)E)0(E
io12
2to
io12
12ro
2
toroio
1tri
toroiotri
연속성
𝐄𝐢
𝐚𝐤
𝐇𝐢
𝐳𝐲
𝐱
𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟏 (𝛔𝟏, 𝛆𝟏, 𝛍𝟏) 𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟐 (𝛔𝟐, 𝛆𝟐, 𝛍𝟐)
Transmitted Wave
Incident Wave
Reflected Wave
𝐄𝐭
𝐚𝐤
𝐇𝐭
𝐇𝐫
𝐚𝐤
𝐄𝐫
59
0i12
10r0i0t
0i0i21
210r
0r210i21
0r0i20r0i1
0t0r0i
tri
0t20r0i1
HEk
H0t2H0r1H0i1
HEkHEk
E0tE0rE0i
tri
H2
HHH
HHH
H)(H)(
)H(H)H(H
HHH
(0)H(0)H)0(H
H)H(H
aaa
aHaHaH
aaaaaa
aEaEaE
(0)E(0)E)0(E
0zat
연속성
𝐄𝐢
𝐚𝐤
𝐇𝐢
𝐳𝐲
𝐱
𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟏 (𝛔𝟏, 𝛆𝟏, 𝛍𝟏) 𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟐 (𝛔𝟐, 𝛆𝟐, 𝛍𝟐)
Transmitted Wave
Incident Wave
Reflected Wave
𝐄𝐭
𝐚𝐤
𝐇𝐭
𝐇𝐫
𝐚𝐤
𝐄𝐫
Ht0 제거
60
)83.10(
1 0 3.
. .2
1 .1
)b.82.10(EE
)a82.10(2
E
E
)(
)b.81.10(EE
)a81.10(E
E
)(
E2
E
EEE
H2
H
HHH
0i0t
12
2
io
to
0i0r
12
12
io
ro
0i12
20t
0i0i12
120r
0i12
120t2
0i10i121
210r1
복소수는와
투과계수
반사계수
𝐄𝐢
𝐚𝐤
𝐇𝐢
𝐳𝐲
𝐱
𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟏 (𝛔𝟏, 𝛆𝟏, 𝛍𝟏) 𝐌𝐞𝐝𝐢𝐮𝐦 𝟐 (𝛔𝟐, 𝛆𝟐, 𝛍𝟐)
Transmitted Wave
Incident Wave
Reflected Wave
𝐄𝐭
𝐚𝐤
𝐇𝐭
𝐇𝐫
𝐚𝐤
𝐄𝐫
61
)85.10(a zsinjE2
a)ee(E
)84.10(a )eEeE(EEE
x10i
xzjzj
0i
xz
roz
iorsis1
11
11
S
* 매질 1: Dielectric – 매질 2: Perfect Conductor
2
11
11
12
12
0i
0r
2
1
j
0
1E
E
0
roto
roio
xz
rors
xz
iois
EE)b82.10(
EE)b81.10(
aeE)z(E(10.73)
aeE)z(E(10.71)
1
1
j)20.10(
)j(j)18.10(
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
2
j
2
2
62
)cos()cos()sin()sin(2
)cos()cos()cos()cos(2
)sin()sin()cos()cos()cos(
)sin()sin()cos()cos()cos(
)86.10(a)tsin()zsin(E2E
a)ztcos(Ea)ztcos(E
ae)ee(EE
)85.10(a zsinjE2
a)ee(E
)84.10(a )eEeE(EEE
x10i1
x10ix10i
xtjzjzj
0i1
x10i
xzjzj
0i
xz
roz
iorsis1
11
11
11
S
63
)87.10(a)tcos()zcos(E2
H
a)]ztcos()zt[cos(E
)]a)(ztcos(E)a)(ztcos(E[1
H
)86.10(a)tsin()zsin(E2E
a)ztcos(Ea)ztcos(EE
y11
0i1
y111
0i
y10iy10i1
1
x10i1
x10ix10i1
)cos()cos()sin()sin(2
)cos()cos()cos()cos(2
)sin()sin()cos()cos()cos(
)sin()sin()cos()cos()cos(
64
Fig 10.12 Standing wave 𝐄 = 𝟐𝐄𝐢𝟎 𝐬𝐢𝐧 (βz)sin(ω𝐭) 𝐚𝐱.
The curves 0,1,2,3,4,... are, respectively,
at time t=0, T/8, T/4, 3T/8, T/2,... λ=2πβ1.
t=2
1, 3
0, 4, 8
5, 7
6
−λ
2
−λ−
3λ
2
σ1 = 0 σ2 = ∞
2Eio
−2Eio
x
z0
65
그림 Traveling Wave는 위상의 이동이 있다.Standing Wave는 제자리에서 진동한다.
Phase velocity를 정의 할 수 없다 (𝐯𝛗 = 𝛚/𝛃).
(a) Traveling Wave.
𝐇 = 𝐇𝐢𝟎 𝐜𝐨𝐬 (βz−ω𝐭) 𝐚𝐱.
(b) Standing Wave.
𝐇 = 𝟐𝐇𝐢𝟎 𝐜𝐨𝐬 (βz)cos(ω𝐭) 𝐚𝐱.
H
0 z
z
z
0
0
ωt=0
ωt=π/2
ωt=π
H
0z
z
z
0
0
ωt=0
ωt=π/2
ωt=π
66
x1iox1io
xtjzj
iozj
ioxtjzj
io1
zjio
zjio
zjio
zjio
zjio
zjio
zjio
zjio1
a)tcos()zcos(E2a)ztcos(E )1(
aeeEeEaeeE)1(E
eEeEeE)1(
eEeEeE)1(
eEeEE
j
0
0
111
111
111
11
S
* Dielectric – dielectric Interface
CASE. A: η1<η2
12
12
io
ro
2
j
2
2
E
E)a81.10(
j)20.10(
)j(j)18.10(
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
Propagating Wave Standing Wave
67
Propagating WaveStanding Wave
)9.10(udt
dz
)8.10(2
)c7.10(2
f
1T
)b7.10(u
)a7.10(f2
)89.10(,...2 ,1 ,0n , 4
)1n2(
2
)1n2(z
2)1n2(z
)88.10(,...2 ,1 ,0n ,2
nnz
nz
a)]ztcos(E )1()tcos()zcos(E2[E
11
min
min1
1
1max
max1
x1io1io1
68
Fig 10.13 Standing wave due to reflection at an interface
between two lossless media; λ=2πβ1.
−λ
2
−λ−
3λ
2
σ1 = 0 σ2 = 0
Eio(1 + Γ)
x
z0
Eio(1 − Γ)
E1 for η2 > η1
E1 for η2 < η1
69
1)83.10(
2
E
E)a82.10(
E
E)a81.10(
j)20.10(
)j(j)18.10(
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
12
2
io
to
12
12
io
ro
2
j
2
2
x1iox1io
xtjzj
iozj
ioxtjzj
io1
zjio
zjio
zjio
zjio
zjio
zjio
zjio
zjio1
a)tsin()zsin(E2a)ztcos(E )1(
aeeEeEaeeE)1(E
eEeEeE)1(
eEeEeE)1(
eEeEE
j
0
0
111
111
111
11
S
Standing WavePropagating Wave
* Dielectric – dielectric Interface
CASE. B: η1>η2
70
)92.10(slog 20 dBin s
)91.10(1s
1s
)1s1(
)90.10(1
1
H
H
E
Es
E
E)a81.10(
10
min1
max1
min1
max1
12
12
io
ro
* Standing Wave Ratio: s
x1io
x1io1
21
x1io
x1io1
21
a)tcos()zcos(E2
a)ztcos(E )1(E
a)tsin()zsin(E2
a)ztcos(E )1(E
71
m/mVa)zt10cos(10E
10HE
aaaaaaaaa
2
3
444
c
0
120/
3
1
c
0
y18
0i
00i10i
HEkyzxkHE
0r
r
0
02
1rr002
2
0001
1
1
iii
예제 10.8 자유공간 (z≤0) 에서 𝐇𝐢 = 𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝟖𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐱 𝐦𝐀/𝐦 인 평면파가 (z≥0) 인
무손실 매질 (ε=2ε0, μ=8μ0) 에 수직으로 입사된다.
반사파 𝐇𝐫 𝐄𝐫, 투과파 𝐇𝐭 𝐄𝐭를 구하라.
j
2
2
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(𝐚𝐤
𝐚𝐄
𝐚𝐇𝐲𝐱
𝐳
𝐳𝐲
𝐱
(2) 무손실 유전체(𝛔𝟐 = 𝟎,𝟐𝛆𝟎, 𝟖𝛍𝟎)
(1) Free Space
(𝛔𝟏 = 𝟎, 𝛆𝟎, 𝛍𝟎)
Wave
72
m/mAa)z3
4t10cos(
3
20H
aaafor
m/mVa)z3
4t10cos(
3
40
a)zt10cos(EE
3
41
E
E
x8
t
yEE
y8
0
E28
0tt
0i
0t
it
t
m/mAa)z3
1t10cos(
3
10H
m/mVa)z3
1t10cos(
3
10E
E3
1E
3
1
2
2
E
E
m/mVa)zt10cos(10E
23
40
1203
10
x8
r
y8
0r
0i0r
00
00
12
12
0i
0r
y18
0i
0222
0111
𝐚𝐤
𝐚𝐄 𝐚𝐇
𝐲𝐱
𝐳
𝐳𝐲
𝐱
(2) 무손실 유전체(𝛔𝟐 = 𝟎,𝟐𝛆𝟎, 𝟖𝛍𝟎)
(1) Free Space
(𝛔𝟏 = 𝟎, 𝛆𝟎, 𝛍𝟎)
Wave
1)83.10(
2
E
E)a82.10(
E
E)a81.10(
12
2
io
to
12
12
io
ro
𝐚𝐤𝐚𝐄
𝐚𝐇𝐲𝐱
𝐳
73
y1i
HEk
yxzEkH
0
10i10i
H10i1i
2i1ii
r
y2i
x1i
a)ztcos(3
1H
)aaa(
aaaaaa
3
1
120
40EHwhere
a)ztcos(HH
HHH
airatm1for10006.1
a)ztsin(30E
a)ztcos(40E
)a(
111
1
예제 10.9 공기 중에 평면파가 다음과 같이 주어졌다.
𝐄𝐢 = 𝟒𝟎𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐱 + 𝟑𝟎𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐲 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦
(a) 𝐇𝐢 를 구하라.
(b) wave가 z=0에서 z 축에 놓인 완전도체판을 만날 때 반사되는 wave의 𝐄𝐫 과 𝐇𝐫 을 구하라.
(c) z≤0에서 총 전자기장 𝐄,𝐇는 얼마인가?(d) z≤0와 z≥0에서 time-average Poynting vector를 계산하라.
12010144
36
10
104
ej
j)32.10(
22
9
7
j
𝐚𝐤
𝐚𝐄
𝐚𝐇
𝐲𝐱
𝐳
𝐳𝐲
𝐱
(2) 초전도체(𝛔𝟐 = ∞)
(1) Free Space
(𝛔𝟏 = 𝟎, 𝛆𝟎, 𝛍𝟎)
Wave
74
m/mAa)ztcos(3
1
a)ztsin(4
1
HHH
a)ztsin(4
1H
aaaaaa
aaa
4
1
120
30EHwhere
a)ztsin(HH
y
x
2i1ii
x2i
xyzEkH
HEk
0
20i20i
H20i2i
2
222
2
y2i
x1i
a)ztsin(30E
a)ztcos(40E
𝐚𝐤𝐚𝑯
𝐚𝐄
𝐲𝐱
𝐳
예제 10.9 공기 중에 평면파가 다음과 같이 주어졌다.
𝐄𝐢 = 𝟒𝟎𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐱 + 𝟑𝟎𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐲 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦
(a) 𝐇𝐢 를 구하라.
75
m/Aa)ztsin(4
1a)ztcos(
3
1H
m/volta)ztsin(30
a)ztcos(40E
EEE
0,1
1
)b(
xyr
y
xr
0i0i0r
122
2
0HH
0EE
HHH
EEE
)c(
t2
t2
ri1
ri1
예제 10.9 공기 중에 평면파가 다음과 같이 주어졌다.
𝐄𝐢 = 𝟒𝟎𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐱 + 𝟑𝟎𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐲 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦
(b) wave가 z=0에서 z 축에 놓인 완전도체판을 만날 때 반사되는 wave의 Er 과 Hr 을 구하라.
(c) z≤0에서 총 전자기장 E,H는 얼마인가?
12
12
io
ro
E
E)a81.10(
je
j
j)32.10(
j)20.10(
)j(j)18.10( 2
1)83.10(
2
E
E)a82.10(
12
2
io
to
tan)41.10(
x
yi
y
xi
a)ztsin(4
1
a)ztcos(3
1H
a)ztsin(30
a)ztcos(40E
zz2
20
ave acose2
E)z(p)69.10(
120)32.10( 1
𝐚𝐤
𝐚𝐄𝐚𝐇
𝐲𝐱
𝐳
76
j
2
2
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
𝐳𝐲
𝐱
(2) 초전도체(𝛔𝟐 = ∞)
(1) Free Space
(𝛔𝟏 = 𝟎, 𝛆𝟎, 𝛍𝟎)
Wave
77
2z
1
20t
k1
2s2
ave2
2
z22
z22
z20rz
20i
1averaveik
1
2s1
ave
m/watt0a2
Ea
2
EP
0z
m/watt0
a)3040(a)3040(240
1
aEaE2
1PPa
2
EP
0z
)d(
12
12
io
ro
E
E)a81.10(
je
j
j)32.10(
j)20.10(
)j(j)18.10( 2
1)83.10(
2
E
E)a82.10(
12
2
io
to
2tantan)41.10(
zz2
20
ave acose2
E)z(p)69.10(
예제 10.9 공기 중에 평면파가 다음과 같이 주어졌다.
𝐄𝐢 = 𝟒𝟎𝐜𝐨𝐬 𝛚𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐱 + 𝟑𝟎𝐬𝐢𝐧 𝛚𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐲 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦
(d) z≤0와 z≥0에서 time-average Poynting vector를 계산하라.
m/Aa)ztsin(4
1
a)ztcos(3
1H
m/Va)ztsin(30
a)ztcos(40E
x
yr
y
xr
x
yi
y
xi
a)ztsin(4
1
a)ztcos(3
1H
a)ztsin(30
a)ztcos(40E
78
10.9 경사 입사 시 평면파의 반사
매질무손실 for ~
kkkk
)94.10(kkkk
)k,k,k(k
)93.10(eERe
)tzcos(a)trkcos(E)t,r(E
2z
2y
2x
22z
2y
2x
2
zyx
)trk(j0
x0
22k
1c
kv
kv
0t
rk
t
trk
k
k
j
2
2
ej
j)32.10(
k~
112
)24.10(
112
)23.10(
79
EHk
HEkk
)d95.10(0Ek
)c95.10(0Hk
)b95.10(EHk
)a95.10(HEk
00
00
)trk(j0
)trk(j0
EHk
HEk
eHH
eEE
t
BE
t
EJ
t
EB
0B
E
매질무손실
80
Ejt
E
Ekj
eE eE eE
z
y
x
a a a
EEE
zyx
aaa
E
k)k,k,k(zkykxkz
ay
ax
a)rk(
zkykxkrk
eEE
)z,y,x(r
)k,k,k(k
)tzkykxk(jz0
)tzkykxk(jy0
)tzkykxk(jx0
zyx
zyx
zyx
zyxzyxzyx
zyx
)trk(j0
zyx
zyxzyxzyx
참고
81
)trk(j0
)trk(j0
)tzkykxk(jz0
)tzkykxk(jy0
)tzkykxk(jx0
zyx
)trk(j0
)trk(j0
)trk(j0
)trk(j0
eEjeHkj
eH eH eH
z
y
x
a a a
eEjeH
eHH
eEE
t
EH
zyxzyxzyx
00
00
)trk(j0
)trk(j0
EHk
HEk
eHH
eEE
t
BE
t
EJ
t
EB
0B
E
매질무손실
82
)96.10(Ea
Ek1
H
kEkHk
)k,k,k(k
)b95.10(EHk
)a95.10(HEk
k
zyx
k
k
0
ej
j)32.10(
k~
112
)24.10(
112
)23.10(
j
2
2
𝐚𝐤
𝐚𝐄
𝐚𝐇
83
)100.10(sinksink
)99.10(sinksink
kkkk.3
kkkk.2
.1
)tykxkcos(EE
)tykxkcos(EE
)tykxkcos(EE
)98.10()0z(E)0z(E)0z(E
)c97.10()tzkykxkcos(EE
)b97.10()tzkykxkcos(EE
)a97.10()tzkykxkcos(EE
ttii
rrii
ytyryiy
xtxrxix
tri
ttytx0tt
rryrx0rr
iiyix0ii
tri
ttztytx0tt
rrzryrx0rr
iiziyix0ii
Fig 10.15 평면파의 경사 입사.
(b) 𝐤 의 법선 및 접선 성분의 설명.
입사파, 투과파 반사파는 하나의
평면에 있다.
kz + k⊥
z
n(2) 매질
(σ2 = 0, 2ε2, μ2)(1) 매질
(σ1 = 0, ε1, μ1)
θtθi
θr
kr
ki
kt
a θi, θr, θt 의 설명
kiz = β1cosθi
θr
θi
kikisinθi
krz = β1cosθz
kr
krsinθr
ktz = kzcosθt
ktsinθtkt
θt
84
tzrziz
yxtytx
yxryrx
yxiyixn
ytyryiy
xtxrxix
kBkAk
)0,k,k()0,k,k(
)0,k,k()0,k,k(
)0,k,k()0,k,k(k
kkkk.3
kkkk.2
원점에서 3 wave는 만난다.
𝐤𝐧과 𝐤𝐢𝐳로 이루어진 하나의 평면상에 있다
θr
z
n(2) 매질
(σ2 = 0, 2ε2, μ2)(1) 매질
(σ1 = 0, ε1, μ1)
θtθi
kr
ki
kt
85
)b101.10(k
)a101.10(kk
k
k
for
)100.10(sinksink
)99.10(sinksink
222t
111ri
ttii
rrii
매질무손실
222
111
t2i1
22
11
1
2
t
i
i
t
ir
cn
:cnwhere
)104.10(sinnsinn
:k/u
Snellwhere
)103.10(u
u
k
k
sin
sin
)101.10()100.10(
)102.10(
)a101.10()99.10(
굴절률
위상속도
법칙의
86
k
k
0
ej
j)32.10(
k~
112
)24.10(
112
)23.10(
j
2
2
87
A. 평행편파 (Parallel Polarization)
(𝐄가 입사 평면에 평행: η2>η1기준)
222
y)coszsinx(j
2
0tts
)coszsinx(jztxt0tts
111
y)coszsinx(j
1
0rrs
)coszsinx(jzrxr0rrs
ii
y)coszsinx(j
1
0iis
)coszsinx(jzixi0iis
where
)b107.10(aeE
H
)a107.10(e)asina(cosEE
where
)b106.10(aeE
H
)a106.10(e)asina(cosEE
)coszsinxr(
)b105.10(aeE
H
)a105.10(e)asina(cosEE
tt2
tt2
ii1
ii1
ii1
ii1
𝐚𝐤
𝐚𝐄 𝐚𝐇
Fig 10.16 oblique incidence
with 𝐄 parallel to the planeof incidence.
θiEi
x
z
Er
kr
Hr
kiHi
kt
Et
Htθt
θr
Medium 1μ1, ε1
Medium 2μ2, ε2
88
12
2
io
to
12
12
io
ro
2
j
2
2
2
E
E)a82.10(
E
E)a81.10(
j)20.10(
)j(j)18.10(
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
tan 1 cot
sin cos
cscsec
2
22
secd
tand
sind
cosd
cosd
sind
tantan1
tantan)tan(
sincos)2cos(
sinsincoscos)cos(
cossin2)2sin(
sincoscossin)sin(
89
)b110.10(EE
)a110.10(coscos
cos2
E
E
)b109.10(EE
)a109.10(coscos
coscos
E
E
Fresnel
)b108.10(E1
)EE(1
HHH
)a108.10(cosEcos)EE(
EEE
0i//0t
i1t2
i2
0i
0t//
0i//0r
i1t2
i1t2
0i
0r//
0t2
0r0i1
0t0r0i
t0ti0r0i
ri
0t0r0i
TanTanTan
TanTanTan
방정식
12
2
io
to
12
12
io
ro
ti
2
E
E)a82.10(
E
E)a81.10(
0
θiEi
x
z
Er
kr
Hr
kiHi
kt
Et
Htθt
θr
Medium 1μ1, ε1
Medium 2μ2, ε2
90
)112.10(cos
cos1
)111.10()110.10()109.10(
)111.10(sin)u/u(1
sin1cos
i
t////
i22
12
t2
t
22
11
1
2
t
i
i
t
u
u
k
k
sin
sin)103.10(
i1t2
i2
0i
0t//
i1t2
i1t2
0i
0r//
coscos
cos2
E
E)110.10(
coscos
coscos
E
E)109.10(
91
)114.10(n
ntan
for /1
1
)113.10()/(1
/1sin
)sin1()sin1(
coscos
)Brewster(
1
2
1
2B
01221
221
2112B
2
B22
1t22
2
B1t2
//
//
//
//
각
.0E
coscos
coscos
E
E)a109.10(
//Bi0r
i1t2
i1t2
0i
0r//
있다가각도되는
/1u
sin)u/u(1
sin1cos)111.10(
i22
12
t2
t
굴절률:cn
굴절률이 작은 곳에서 큰 곳으로 진행시반사되지 않고 모두 투과.
92
B. 수직편파
(𝐄가 입사 평면에 수직)
Fig 10.17 oblique incidence
with 𝐄 perpendicular to the plane of incidence.
)b117.10(e)asinacos(E
H
)a117.10(aeEE
)b116.10(e)asina(cosE
H
)a116.10(aeEE
)b115.10(e)asinacos(E
H
)a115.10(aeEE
)coszsinx(jztxt
1
0tts
y)coszsinx(j
0tts
)coszsinx(jzrxr
1
0rrs
y)coszsinx(j
0rrs
)coszsinx(jzixi
1
0iis
y)coszsinx(j
0iis
tt2
tt2
rr1
rr1
ii1
ii1
θi
Hi
x
z
Hr
kr
Er
kiEi
kt
Ht
Et
θtθr
Medium 1μ1, ε1
Medium 2μ2, ε2
𝐚𝐤
𝐚𝐄 𝐚𝐇
93
)121.10(1
)b120.10(EE
)a120.10(coscos
cos2
E
E
)b119.10(EE
)a119.10(coscos
coscos
E
E
Fresnel
)b118.10( cosE1
cos)EE(1
)a118.10(EEE
0i0t
t1i2
i2
0i
0t
0i0r
t1i2
t1i2
0i
0r
t0t2
i0r0i1
ri
0t0r0i
방정식
연속성
연속성
θi
Hi
x
z
Hr
kr
Er
kiEi
kt
Ht
Et
θtθr
Medium 1μ1, ε1
Medium 2μ2, ε2
94
)123.10(tan
forsin
)122.10()/(
/1sin
sin Snell
)sin1()sin1(
coscos
0
)Brewster(
1
2B
2121
2B
221
1221B
2
t
t22
1B22
2
t1B2
제거의해법칙에의
각
θi
Hi
x
z
Hr
kr
Er
kiEi
kt
Ht
Et
θtθr
Medium 1μ1, ε1
Medium 2μ2, ε2
22
11
1
2
t
i
i
t
i22
12
t2
t
t1i2
t1i2
0i
0r
u
u
k
k
sin
sin)103.10(
Snell
/1u
sin)u/u(1
sin1cos)111.10(
coscos
coscos
E
E)a119.1(
법칙의
95
예제 10.10 자유공간에서 진행하는 전자파의 전기장 성분이 다음과 같다.
𝐄𝐢 = 𝟏𝟎𝟎𝐞−𝐣(𝟎.𝟖𝟔𝟔𝐲+𝟎.𝟓𝐳)𝐚𝐱 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦(a) ω와 λ.
(b) 자기장 성분.
(c) wave의 시평균 전력.
m283.6k
2
sec/rad103kc
2
c
f2
ck
1kkkk
5.0k,866.0k,0k
aeEE
)a(
8
00
2z
2y
2x
zyx
x)zkykxk(j
0szyx
2zy
zy
2
k
20
ssave
zz2
20
ave
)z5.0y866.0(jzy
rkjx87
zy
ssks
m/W)a631.6a49.11(
)a5.0a866.0()120(2
100
a2
E)HERe(
2
1P
acose2
E)z(p)69.10()c(
m/Ae)a23.0a133.0(
ea100)103)(104(
a5.0a866.0
Ek1
Ea1
H)96.10(
)b(
𝐚𝐤
𝐚𝐄 𝐚𝐇
96
12
2
io
to
12
12
io
ro
2
j
2
2
2
E
E)a82.10(
E
E)a81.10(
j)20.10(
)j(j)18.10(
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
97
예제 10.11 자유공간에서 진행하는 전기장이 𝐄𝐢 = 𝟖𝐞𝐣(𝛚𝐭−𝟒𝐱−𝟑𝐳)𝐚𝐲 volt/m 인
균일 평면파가 𝛍𝐫=1, 𝛆𝐫=2.5, σ=0 인 유전체 (z ≥ 0) 에 입사 된다. 다음을 구하라.
(a) ω, wave의 편파 특성(b) 입사각(c) 반사 전기장(d) 투과 자기장
Fig 10.18 Propagation vectors of Example 10.11.
θi
krkrx
krz
kikix
kiz
θr
θtθi
ktx
kt
ktzθr
z
x
98
sec/rad1015
c/5ka3a4k
)a(
8
00izxi
경계면 (z=0) 에 수직인 단위 vector 𝐚𝐳 와 𝐤 를 포함하는 평면은 y=상수인 xz-평면이
입사 평면이다. 𝐄𝐢 가 이 평면에 수직이기때문에수직편파이다.
13.51
5
3a
5
aaaacos
13.513
4
k
ktan
)b(
izzx
nki
iiz
ixi
예제 10.11 자유공간에서 진행하는 전기장이 𝐄𝐢 = 𝟖𝐞𝐣(𝛚𝐭−𝟒𝐱−𝟑𝐳)𝐚𝐲 volt/m 인
균일 평면파가 𝛍𝐫=1, 𝛆𝐫=2.5, σ=0 인 유전체 (z ≥ 0) 에 입사 된다. 다음을 구하라.
(a) ω, wave의 편파 특성 (b) 입사각 (c) 반사 전기장 (d) 투과 자기장
θi
krkrx
krz
kikix
kiz
θr
θtθi
ktx
kt
ktzθr
z
x
99
m/Va)z3x4t1015cos(112.3E
112.3EE
389.0
4.238/
377
coscos
coscos
E
E
39.30
5.2
)13.53sin(sinsin
a3a4k
coskk
sinkk
akakk
a)rktcos(EE
)c(
y8
r
0i0r
2r02r02
01
t1i2
t1i2
0i
0r
t
o
i22
11t
zxr
rrrz
rrrx
zrzxrxr
yr0rr
반사전기장
ssks
22
11
1
2
t
i
i
t
12
2
io
to
12
12
io
ro
2
j
2
2
Ek1
Ea1
H)96.10(
u
u
k
k
sin
sin)103.10(
2
E
E)a82.10(
E
E)a81.10(
j)20.10(
)j(j)18.10(
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
𝐄𝐢 = 𝟖𝐞𝐣(𝛚𝐭−𝟒𝐱−𝟑𝐳)𝐚𝐲
𝛉𝐢 = 𝟓𝟏. 𝟐𝟑𝐨
100m/mAa)z819.6x4t1015cos()a37.10a69.17(H
a)rktcos(888.4)4.238(906.7
a819.6a4
EaEk
1H
m/Va)z819.6x4t1015cos(888.4E
888.4EE
1
611.0coscos
cos2
E
E
a819.6a4k
819.6coskk
4sinkk
c/k
a)rktcos(EE
)d(
y8
zxt
yrzx
2
tktt
2t
y8
t
0i0t
t1i2
i2
0i
0t
zxt
tttz
tttx
2r2r222t
yr0tt
t
투과자기장 𝐄𝐢 = 𝟖𝐞𝐣(𝛚𝐭−𝟒𝐱−𝟑𝐳)𝐚𝐲
𝛉𝐢 = 𝟓𝟏. 𝟐𝟑𝐨
𝛉𝐭 = 𝟑𝟎.𝟑𝟗𝐨
ssks
22
11
1
2
t
i
i
t
12
2
io
to
12
12
io
ro
2
j
2
2
Ek1
Ea1
H)96.10(
u
u
k
k
sin
sin)103.10(
2
E
E)a82.10(
E
E)a81.10(
j)20.10(
)j(j)18.10(
ej
j)32.10(
112
)24.10(
112
)23.10(
101
10.10 응용 note - microwave
Fig 10.19 Satellite communications configurations. (From W. Stallings, Data and Computer Communications, 5th ed. Upper
Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1997, p. 90.)
102
Fig 10.20 Microwave oven. (From N. Schlager, ed., How Products are made. Detroit: Gale Research, 1994, p. 289.)
103
S-parameter
)130.10(ZZ
ZZwhere
)129.10(S1
SSS
a
b
port2matchingwhere
)128.10(0SS
)127.10(SS
)126.10(reciprocalSS
)125.10(a
a
SS
SS
b
b
:b
:awhere
)124.10(aSaSb
aSaSb
0L
0LL
L22
L211211
1
1i
2211
2211
2112
2
1
2221
1211
2
1
2221212
2121111
입력반사계수
회로망된
대칭
반사파
입사파
Fig 10.21 A two-port network.
LZ
gV
gZ
1a 2a
1b 2b
2221
1211
SS
SS
)132.10(ZZ
ZZwhere
)131.10(S1
SSS
a
b
0g
0gg
g11
g211222
0V2
20
g
출력반사계수
CgdT
rdsCgsT gmV1
V1
+
-
I1
V2
+
-
I2
Cds
104
예제 10.12 2.5 GHz에서 동작하는 microwave transistor에서다음과 같은 S-parameter를 얻었다..
S11=0.85/-30o, S12=0.07/56o, S21=1.68/120o, S22=0.85/-40o, ZL=Z0=75 Ω
일 때 입력 반사 계수 Γi를 구하라.
o11i
0L
0LL
L22
L211211
1
1i
30/85.0S)129.10(
0ZZ
ZZ)130.10(
)129.10(S1
SSS
a
b
