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mohamed-mabrouk
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CHAPITRE 7:
Etat limite ultime de rsistance (ELUR)
1. But
Dterminer l'armature longitudinale selon le principe des justifications du BAEL 91
(article A4.3)
2. Hypothses de calcul (BAEL A 4.3.2)
(H1) Le diagramme de dformation est linaire; les dformations normales (allongements
ou raccourcissements) sont donc proportionnels en chaque point d'une section
donne la distance de ce point l'axe neutre.
(H2) La rsistance du bton la traction est suppose nulle.
(H3) Chaque armature subit la mme dformation normale que la gaine de bton qui
l'entoure; il n'y a pas de glissement relatif et l'adhrence est parfaite.
(H4) Le raccourcissement ultime du bton est:
5,3bu en flexion
2bu en compression centre
(H5) L'allongement ultime des armatures est limit 10su .
(H6) Le diagramme des dformations limites d'une section passe par l'un des trois pivots A,
B ou C; les dformations l'ELUR suivent "la rgle des trois pivots" .
2
Remarque:
Les hypothses prcdentes sont de nature rglementaire. Il n'y a pas lieu de les justifier par
des considrations thoriques ou mme des corrlations exprimentales.
Si l'on veut maintenant comprendre ces hypothses, il faut savoir qu' l'ELUR. on limite
volontairement la dformation en compression du bton et la dformation des armatures. Ce
qui rend la scurit plus sr. En effet, les courbes de comportement rel prsentent des paliers
de contrainte et il est moins sr de limiter cette dernire. D'autre part, la distinction entre un
tat de flexion et de compression centr provient du fait que dans le premier le diagramme des
dformations est linaire et tous les points de la section ne sont pas soumis la mme
dformation ( il y' a donc une certaine rserve) alors que dans le deuxime cas tous les points
de la section subissent la mme dformation normale (situation plus critique que la
prcdente).
L'hypothse (H3) est trs importante car le principe mme d'une structure en bton arm
suppose l'existence d'un tat parfait d'adhrence entre le bton et les armatures. On verra plus
loin que des dispositions spciales concernant l'ancrage des armatures doivent tre prises pour
assurer la validit de cette hypothse.
2. Rgles des trois pivots (BAEL A 4.3.3)
Dans le calcul l'ELUR, les diverses positions que peut prendre le diagramme des
dformations de la section passent par l'un des pivots A, B ou C; l'intrieur ou la frontire
des domaines reprs (1), (2), (3) sur la figure 9.1.
Les notations utilises sont:
h: hauteur totale de la section
d: hauteur utile de la section en flexion simple
sA : section des aciers tendus
Dans la suite, on dsignera par uY , la distance entre la fibre suprieure et la fibre neutre et on
posera:
d
Yuu
3
Figure 6.1: Diagramme des trois pivots
3. Analyse du diagramme des dformations limites d'une section
3.1 Pivot A - domaine (1)
Caractrisation
ooo
st /10 et ooo
bc /5.30
l'ELUR est atteint par les armatures
Modes de sollicitations et type d'lments concerns
traction simple (tirant)
section entirement tendue en flexion compose (tirant)
section partiellement comprime en flexion simple ou compose (poutre ou tirant)
C
Section avant dformation
(3)
(2)
(1)
C'
As
B'
B A'
A
d h
4h / 7
3h / 7
Raccourcissement
Compression Allongement
Traction
4
On distingue trois sous domaines:
(1a) - le diagramme de dformation concide avec la frontire AA', auquel cas le bton est
entirement tendu sous la traction simple;
(1b) - le diagramme de dformation est situ entre les frontires AA' et OO' pour lequel la
section est dans un tat de flexion compose et le bton est entirement tendu;
(1c) - le diagramme de dformation est situ entre les frontires OO' et AB pour lequel la
section est dans un tat de flexion simple et le bton est partiellement comprim.
Il est utile de dterminer en fonction de *u la limite entre les domaines (1b) et (1c). Le
thorme de Thals permet d'crire:
10
Yd
5.3
Y *u*
u
soit en divisant les deux membres par d et aprs rarrangement,
2593.027
7
5.310
5.3*u
d2593.0Y*u
b1
A )/5.3(B ooo O
O
)/10(A ooo
*
uY
d h a1
1
5
Il vient alors la caractrisation des trois sous domaines prcdents sous la forme:
u le domaine actif est le domaine (1a)
0u le domaine actif est le domaine (1b)
2593.00 *uu le domaine actif est le domaine (1c)
Le pivot A correspond donc 2593.0u .
3.2. Pivot B - domaine (2)
Caractrisation
Ce domaine correspond un diagramme de dformation qui satisfait simultanment
5.3bu dans la fibre suprieure de la section et 10su dans les aciers tendus.
Modes de sollicitations et type d'lments concerns
L'ELUR est atteint par le bton en flexion est la section est partiellement comprim en flexion
simple ou en flexion compose (cas gnral des poutres)
*
uY
2
b2
)/5.3(B ooo O
O
)/10(A ooo
d h
a2 c2
6
On distingue l aussi trois sous domaines remarquables:
(2a) - la dformation dans les aciers tendus dpasse la dformation correspondant la limite
d'lasticit. Le bton est partiellement comprim et la section est dans un tat de flexion
simple ou compose;
(2b) - la dformation dans les aciers tendus est un allongement qui reste infrieur la
dformation correspondant la limite d'lasticit. Le bton est partiellement comprim et la
section est dans un tat de flexion simple ou compose;
(2c) - les aciers tendus subissent un raccourcissement. Les aciers ne jouent pas vraiment leur
meilleur rle dans ce cas ou l'axe neutre passe dans l'enrobage (partie inutile d'un point de vue
mcanique de la section).
Comme dans le cas prcdent, on caractrise en termes de u ces trois domaines.
La frontire entre le domaine (2a) et (2b) correspond un allongement des armatures tendues
gal l'allongement )E(f sse qui est fonction de la nuance d'acier utilis et pour lequel
u . se calcule par l'application encore une fois du thorme de Thals, sous la
forme
5.3
5.3
L'autre frontire correspond la limite d'une section entirement comprime du bton, pour
laquelle la dformation de la fibre infrieure est nulle. Dans ce cas d
hcu .
D'o la caractrisation suivante des trois domaines:
u*
u 2593.0 le domaine actif est le domaine (2a)
1u le domaine actif est le domaine (2b)
dh1 u le domaine actif est le domaine (2c)
7
3.3. Pivot C - domaine (3)
Caractrisation
Dans ce domaine la dformation de compression du bton au point C doit toujours vrifier
2bub .
Modes de sollicitations et type d'lments concerns
L'ELUR est atteint par compression du bton et la section est entirement comprime.
C'est le cas de la compression simple ou de la flexion compose avec section entirement
comprime (cas gnral des poteaux et des poutres).
La position du point C est localise par l'application du thorme de Thals et on a:
2
Yh
25.3
Y cc
h7
3Yc
On distingue pour ce pivot, le cas de la compression simple correspondant la frontire CC'
et le cas de la flexion compose avec une section entirement comprime qui correspond au
domaine (3). La caractrisation en termes de u est immdiate et on obtient:
udh le domaine actif est le domaine (3)
u le domaine actif est la frontire CC'
)/2(C ooo
C
h7
4
h7
3
)/5.3(B ooo
O
O
h
3
8
4. Diagramme des contraintes
Pour le calcul l'ELUR, on adoptera pour le bton le diagramme contraintes-dformations en
parabole-rectangle. La dformation augmentant linairement vers le haut partir de l'axe
neutre, la contrainte augmente galement mais en suivant la courbe parabole rectangle.
En flexion simple, le diagramme parabole-rectangle est remplace par le diagramme
rectangulaire simplifi.
5. Recommandations du BAEL
e
28t
f
fdb23.0;
1000
BmaxAs o B est la section de bton.
La section d'armatures tendues As est au moins gale la valeur minimale fixe par la rgle
du millime et la condition de non fragilit
La contrainte s dans les armatures tendues ne doit pas tre infrieure s
ef
(sinon les
armatures sont mal utilises) la dformation st des armatures tendues doit vrifier
oo
o
sust
ss
e /10E
f
la part du moment de flexion quilibr par les aciers comprims doit tre infrieure 40%
du moment total, soit: Mu4.0)dd(A ss
pour empcher le flambement des armatures comprimes, celles-ci doivent tre entoures
de cadres tous les 15 diamtres au maximum
6. Diagramme contraintes-dformations simplifi du bton
6.1 Diagramme rectangulaire simplifi (Pivot B)
Pour le calcul l'ELUR en flexion simple lorsque le pivot est en B, le diagramme parabole-
rectangle peut tre remplac par le diagramme rectangulaire simplifi.
9
Le diagramme parabole-rectangle est complet dans ce cas.
Figure 6.2.
bF : rsultante des contraintes de compression dans le bton;
sF : rsultante des contraintes de traction dans les armatures ( ssuss sifAF );
Rappelons, car nous en aurons besoin dans la suite, le rsultat utile suivant qui donne la
position du centre de gravit dans le cas d'un secteur dlimit par un arc de parabole et
admettant une tangente verticale comme l'indique la figure 6.3:
Figure 6.3.
La surface de ce secteur est: ba3
2Sp .
Le diagramme parabole-rectangle est dcompos en sa partie parabolique et sa partie
rectangulaire comme le montre la figure 6.4
Point neutre
Mu
Diagramme des contraintes
rectangulaire simplifi Diagramme des contraintes
parabole rectangle Diagramme des dformations
xx
bubc f bubc f ooo
bubc /5.3
*
uZ
*
uY
uZ
*
bF
sF
bF
sF
uY
h
d
st
G a
b
b5
3 b
5
2
a8
5
a8
3
10
Figure 6.4.
La rgle de Thals applique au diagramme des dformations permet de montrer que:
uY5.3
2a uu Y5714.0Y
7
4a
L'expression de l'quilibre des forces permet d'crire:
*
bb FF *
21 SSS
Sachant que:
buubuubu1 fY3810.0fY21
8fa
3
2S
buubuubuu2 fY4286.0fY7
3f)aY(S
Il vient:
buubuubuubuu21
* fY8.0fY81.0fY8096.0fY21
17SSS
D'o
uu
*
u Y8.0Y21
17Y
Diagramme rectangulaire simplifi Diagramme parabole rectangle
*
uY
buf
a
uY
buf
1S
2S *S
11
L'expression de l'quilibre des moments entrane
21
2211u
*
uSS
ZSZSZZ
Sachant que
uuu1 Y6429.0dY14
9da
8
5YdZ
uuu
2 Y2143.0dY14
3d
2
aYdZ
il vient
uuuu
*
u Y4.0dY416.0dY238
99dZZ
C'est ce dernier rsultat qui fait que le diagramme rectangulaire simplifi marche de manire
cohrente et qui justifie son usage.
Ainsi pour le calcul l'ELUR en flexion simple le diagramme parabole-rectangle peut tre
remplac par le diagramme rectangulaire simplifi.
Mais ce diagramme n'est justifi que lorsque le diagramme des dformations passe par le
pivot B. Autrement dit lorsque 2593.027/7u .
6.2 Diagramme rectangulaire simplifi faisant intervenir le coefficient de remplissage (pivot B)
C'est le cas o le diagramme parabole-rectangle est tronqu par le haut. Soit b la
dformation de la fibre la plus comprim du bton bub . Suivant le cas, on obtient l'un des
deux diagrammes suivants.
12
Premier cas: uYa et ooo
b /2
Deuxime cas: uYa et ooo
b /2
On veut calculer:
- la surface quivalente du rectangle, c'est--dire appel coefficient de remplissage;
- le bras de levier par rapport aux armatures tendues, c'est--dire
Soit a la distance entre l'axe neutre et le point de la section o la dformation est gale
oo
o /2 , alors l'application du thorme de Thals permet d'crire
u
b
Y2
a
bub f bub f
a
bub
Mu
Diagramme des contraintes
Rectangulaire Diagramme des contraintes Diagramme des dformations
xx uYd
uY
uZ
bF
sF
bF
sss AF
uY
h
d
s
bub f bub f
Diagramme des contraintes
Rectangulaire Diagramme des contraintes Diagramme des dformations
a uY
bub
Mu xx
uYd
uY
uZ
bF
sF
bF
sss AF
h
d
s
13
Premier cas: uYa et ooo
b /2
On montre par dcomposition de la surface en une partie rectangulaire et une partie
parabolique que:
buu
b
1 fY3
4S
buuu
b
u
b
1 fYY4
5Yd
3
4H
buu
b
2 fY2
1S
buu
b
uu
b
2 fYY
2
Yd
21H
buub21 fY)(SSS ub21
21u Y)(d
SS
HHZ
avec
b
b
b3
23)(
et
b
2
b
b
2
bb
46
243)(
Deuxime cas: uYa et ooo
b /2
On montre dans ce cas par intgration de l'quation de la parabole tronque:
yY
fy
Y4
f)y(
u
bbu2
2
u
2
bbu
que buub fY)(S et ubu Y)(dZ
avec
12
6)(
2
bbb
et
b
b
b424
8)(
6.3 Diagramme rectangulaire simplifi faisant intervenir le coefficient de remplissage (pivot C)
cf. Chapitre 9
14
CHAPITRE 8:
Section rectangulaire l'ELUR en flexion simple
1. Position du problme
Le problme qui se pose dans la pratique est celui du calcul de la section. Ce problme revt
les trois aspects suivants.
- on connat dj le coffrage et les armatures et on cherche simplement vrifier que la
section passe l'ELUR;
- on connat le coffrage est on cherche calculer les sections des armatures afin de vrifier
l'ELUR;
- on cherche dimensionner de manire conomique le coffrage et les armatures.
Le premier problme est un problme de vrification dont l'issue est soit l'ELUR est vrifie
ou l'ELUR n'es pas vrifie. Le deuxime problme est un petit peu plus compliqu que le
premier car il s'agit de trouver le dimensionnement des armatures. Son issue normale est le
calcul des sections des armatures disposer afin de vrifier l'ELUR.
Le troisime problme est le problme le plus utile en pratique car il s'agit d'un problme de
conception. Mais, en plus du fait qu'il faut savoir exercer ses talents de concepteur, il faut le
rsoudre de manire conomique. L'conomie a ici un double sens: il faut trouver la solution
le plus rapidement possible et cette solution doit tre quasi optimale quand on considre le
cot.
Entre un Homme du Mtier qui sait projeter a priori des solutions dites de pr
dimensionnement qu'il cherchera amliorer par des mthodes simples et efficaces et
l'Homme de Science qui lui dfinira le problme dans le cadre de la thorie de l'optimisation
sous contrainte, il existe une marge que les dbrouillards exploitent leur profit! Cette
troisime voie s'est rvle la plus intressante dans la pratique.
Signalons aussi l'existence de logiciels de calcul automatique qui sont souvent prsents sous
forme de feuille de calcul Excel ou des fentres Visual. Ces logiciels facilitent bien sr la
rsolution du problme de dimensionnement conomique comme on l'entend ici sans toutefois
dissiper toutes les zones d'ombre. L'exploitant, doit donc tre capable d'interprter les rsultats
et savoir les exploiter de manire utile. Pour atteindre cet objectif, il n'y a pas mieux que de
commencer par pratiquer le calcul manuel en s'aidant d'organigrammes prcis!
15
2. Dimensionnement l'ELUR sans armatures comprimes
2.1 Rcapitulation des rsultats obtenus l'ELUR
La rgle des trois pivots et les diagrammes de calcul du bton et de l'acier l'ELUR
permettent d'crire:
buubuubb fYbfYb)(F
sss AF
uub YdY)(dZ
avec
6/10 u 27/76/1 u u27/7 d/hu d/hu
ooo
b /2 ooo
booo /5.3/2 oo
ob /5.3 oo
ob /5.3
2u
2uu
)1(3
4015
u
u
15
116
21
17
21
17
u
u
3212
94
u2u
u2u
20320
122171
238
99
238
99
ooo
s /10 ooo
s /10 ooo
b /10 b
sus f sus f sus f sus f
Remarquons enfin que lorsque le pivot est en A
u
u
b1
10
et lorsqu'il est en B
u
u
s2
)1(7
Pivot C Pivot B Pivot A
Fle
xio
n c
om
pos
e
16
2.2 Equations de base
Equilibre des forces
ssbuusb AfbYFF (1)
Equilibre des moments
)Yd(fbYZFMu ubuub (2)
Compatibilit des dformations
b
u
u
s
1
ooo
bu
us
u
uboo
os
/5.3et2
)1(7
ou
1
10et/10
(3)
Condition de bonne utilisation des armatures
s ( sus f ) (4)
Les inconnues principales du problme sont: uY , sA ou bien u , sA . Les quations sont (1)
et (2).
2.3 Mthode de calcul
Posons: bu
2 fdb
Mu , appel moment rduit. bu
2 fdb reprsente deux fois le moment
maximal que peut reprendre le bton seul.
L'application de l'quation (2) entrane:
)1( uu (5)
o u est la seule inconnue du problme.
17
On effectuera dans la suite la rsolution par domaine.
Premier cas: pivot B u27
7
Le diagramme parabole rectangle simplifi peut tre utilis. Dans ce cas 8.0 et 4.0 .
L'quation (5) devient:
08.032.0 u2
u (6)
D'o
0)25.1(64.0d
du
Donc est une fonction croissante de u .
u27
7 )4.01(8.01859.0
Le tableau suivant donne les valeurs de et en fonction de la nuance de l'acier et de s .
15.1s 1s
FeE215 0.789 0.429 0.765 0.422
FeE235 0.774 0.425 0.749 0.418
FeE400 0.668 0.391 0.636 0.379
FeE500 0.617 0.371 0.583 0.358
Le discriminant de l'quation (6) est: 0)21(16.0
D'o les deux racines:
18
)211(25.11u
)211(25.12u carter car ;27/72u
Donc la seule racine qui a un sens physique est:
)211(25.1u (7)
L'quation (1) permet maintenant d'crire:
su
buu
susf
fdbAA
avec
uu 8.0
Deuxime cas: pivot A 27
7
6
1u
Les expressions de et en fonction de u et l'quation (1) permettent d'crire:
2
uu100
57
50
57
100
7 (8)
D'o
0)1(50
57
d
du
Donc
27/76/1 u 1859.01042.048/5
La rsolution de l'quation (8) conduit la racine utile
19
219366.01)21(57
501u
D'o
su
buu
susf
fdbAA
avec
15
116 uu
Troisime cas: pivot A 6
10 u
Dans ce cas les expressions de et ainsi que l'quation (1) conduisent
12
4123
4
5
u
2
u
2
u
3
u
4
u
(9)
On vrifie aprs un long calcul (mais facile) que
0d
d
u
Donc
6/10 u 1042.048/50
L'quation (9) se rcrit aussi sous la forme
048)420(6015 u2
u
3
u
4
u (10)
20
L'quation (10) qui est de quatrime degr admet une solution unique dans l'intervalle
6/1;0 . Une fois cette solution u est calcule, l'quation (1) permet de trouver la section
d'armature suivante
su
buu
susf
fdbAA
(11)
avec
2
u
3
u
2
uu
)1(3
4015
Quatrime cas: d/hu
Ce cas est identique au premier cas si 486.0594/289 et 2.199/119d/h .
On peut adopter comme solution
289
59411
99
119u
ou
21125.1u
Mais la condition d'utilisation conomique des aciers n'est pas vrifie
u
u
s2
)1(7
et mme dans le cas o d/h1 u , on a: 01h
d
2
7s
!
Le calcul de la section d'armature donne dans ce cas
su
buu
sf
fdbA
21
avec
)1(147
34
E21
f17
u
2
u
ss
suuu
Ainsi 0As si 1u ( 472.0294/139 ), mais sA quand 1u .
Remarques:
Dans le quatrime cas. On a soit la solution qui n'est pas physiquement acceptable, soit
lorsqu'elle est possible elle n'est pas conomique. Il faut donc faire quelque chose pour rduire
. On procde en gnral suivant les cas par effectuer:
- une augmentation de d ou ce qui revient au mme h;
- une augmentation de b;
- une augmentation de buf ;
- une introduction d'une section en "T";
- une introduction des aciers comprims.
Lorsque 1042.0 le bton est mal utilis. Il faut rduire la section de bton. Mais ceci
n'est pas toujours possible dans le cas des dalles par exemple ou lorsque les conditions
d'isolation thermique et acoustique imposent d'utiliser de fortes paisseurs.
Lorsque les aciers sont mal utiliss. Il faut modifier la section ou introduire des
armatures comprimes.
3. Pr dimensionnement de la section de bton
Mu est donn, 28cf et ef sont choisis, on cherche dans le domaine 21 lorsque la
largeur b est suppose connue. On supposera aussi que: h9.0d .
2
bu
21 fbd
Mu
12
475.1h
475.1
D'o le tableau de pr dimensionnement suivant
22
FeE400 FeE500
pivot B avec aciers comprims 2360;1829h 2423;1877h
pivot B sans aciers comprims 3423;2360h 3423;2423h
pivot A 104.0 4572;3423h 4571;3423h
Dans ce tableau les units utilises sont les suivantes: Mu est en MN.m, 28cf en MPa et b en
cm. On trouvera h en cm.
4. Dimensionnement l'ELUR avec des armatures comprimes
Ce cas n'est envisag que lorsque: 472.0 correspondant au pivot en B (le bton est
insuffisant).
On pose dans ce cas
d
d
4.1 Equations de base
Equilibre des forces
ssb FFF ssssbuu AAbfY8.0 (12)
bF
sF
sF
yY4.0 d
d
23
Equilibre des moments
)dd(A)Y4.0d(bfY8.0Mu ssubuu (13)
Compatibilit des dformations
oo
o
b /5.3 u
u
s2
)1(7
u
u
s2
)(7
Utilisation conomique des aciers
s s
Ce qui se traduit par
27
7u et
27
27
Recommandation du BAEL
Mu4.0)dd(A ss (3)
4.2 Mthode de calcul
La solution n'est pas unique. Celle qui est couramment utilise et qui conduit une section
totale d'armatures ss AA trs proche du minimum consiste prendre u .
Dans ce cas si la mme nuance d'acier est utilise pour les armatures tendues et comprimes,
on a:
suss f si
27
27; qui est facile vrifier lorsqu'on effectue un choix de d .
L'quation (2) permet d'crire
24
su
bu
2
sf)dd(
fbd)(A
puis l'quation (1) donne
su
bu
ssf
fdb8.0AA
Enfin l'quation (3) impose
3
5
Remarques:
On a intrt choisir le plus petit possible mais avec un enrobage suffisant, en gnral
11.0 convient
On montre que 0)AA(
u
ss
si ; donc si l'on ne tient pas compte des armatures
de ceinturage ncessaire en cas de prsence d'armatures comprimes la solution ci-dessus est
optimale pour u
La condition
27
27 correspond :
33.0 pour FeE400 et 23.0 pour FeE500. Donc vrifie en particulier si 11.0 .
25
26
CHAPITRE 9:
Section en forme de "T" l'ELUR en flexion simple
1. Introduction
Lorsque la rsistance d'une section rectangulaire est insuffisante on peut recourir quand cela
est possible une section en "T", figure 8.1.
Cette forme de section est rencontre souvent dans les planchers (poutre avec table de
compression, ponts,...)
Figure 8.1.
La partie (1) s'appelle la table de compression;
la partie (2) s'appelle la nervure;
la partie (3) s'appelle les ailes de la table de compression.
Cette forme permet de rduire la masse de bton tendu qui est inutile et d'augmenter la masse
de bton comprim.
Les dimensions de la table de compression ne peuvent pas tre quelconques. La largeur
considrer de part et d'autre des nus de la section ne doit pas dpasser la plus petite des
valeurs suivantes, figure 8.2:
a) la moiti de la distance entre les faces voisines de deux nervures conscutives;
b) le 1/10 de la porte de la trave;
c) les 2/3 de la distance de la section considre l'axe de l'appui de bout le plus poche;
0b
b
0h
d h
1
2
0b
b
0h 3 3
27
d) le 1/40 de la somme des portes encadrant l'appui intermdiaire le plus proche plus les 2/3
de la distance de la section l'appui.
Figure 8.2.
Deux cas sont distinguer dans l'tude d'une section en "T" selon que la zone comprime de
hauteur uY est situe uniquement dans la table o s'tend la nervure.
2. Moment de comparaison
Par dfinition le moment de comparaison 0M est calcule pour 00
u h25.18.0
hY . Donc
)2/hd(bfh)Y4.0d(bfY8.0M 0bu0ubuu0
Premier cas: 0MMu
La compression n'intresse qu'une partie de la table. On calcule la section comme une section
rectangulaire de hauteur utile d et de largeur b (celle de la table). Les aciers sont donc calculs
comme dans le chapitre 7.
Appui de bout Appui intermdiaire
3/x2 x
40/)LL( 21
40/)LL( 21
10/L1
10/L1
10
L 2
10
L 2
2L 1L
28
Deuxime cas: 0MMu (vraie section en T)
La compression intresse la table et une partie de la nervure. On dcompose la section en T en
deux parties, figure 8.3:
Figure 8.3.
Soit 1F la rsultante des efforts de compression dans les ailes de la table, 1M le moment d
1F et rduit au centre de gravit des aciers tendus.
Soit 2F la rsultante des efforts de compression dans la nervure avec son prolongement, 2M
le moment d 2F et rduit au centre de gravit des aciers tendus.
On a:
)bb(hfF 00bu1
)2/hd)(bb(hf)2/hd(FM 000bu011
bu0u2 fbY8.0F
)Y4.0d(fbY8.0)Y4.0d(FM ubu0uu22
sss AF
d
sA
uY
0b
b
0h
2
1
29
L'quilibre de la section s'crit:
0fbY8.0)bb(hfA bu0u00buss (1)
0)Y4.0d(fbY8.0)2/hd)(bb(hfMu ubu0u000bu (2)
On avait obtenu pour une section rectangulaire:
0fbY8.0A bu0uss
0)Y4.0d(fbY8.0Mu ubu0u
Posons alors dans (1) et (2):
M)2/hd)(bb(hfMu 000bu
ss00buss A)bb(hfA
Formellement, on se ramne au cas d'une section rectangulaire sous le moment de flexion M
o l'on calcule sA . Une fois le calcul est effectu, on a:
s
ss00bus
A)bb(hfA
(3)
si , on a recours des aciers comprims. Attention, ici on a pos:
bu
2
0 fdb
M (attention 0b au dnominateur)
3. Section en T avec des armatures comprimes
L'introduction des armatures comprimes entrane les quations d'quilibre suivantes:
30
0fbY8.0)bb(hfAA bu0u00bussss (4)
0)dd(A)Y4.0d(fbY8.0)2/hd)(bb(hfMu ssubu0u000bu (5)
On avait dans le cas d'une section rectangulaire avec armatures comprimes:
0fbY8.0AA bu0ussss
0)dd(A)Y4.0d(fbY8.0Mu ssubu0u
Posons alors dans (4) et (5):
M)2/hd)(bb(hfMu 000bu
ss00buss A)bb(hfA
Une fois les sections sA et sA sont calcules conformment l'organigramme du chapitre 7.
sA est la section d'aciers comprims disposer et
su
bu
00ssf
f)bb(hAA (6)
il faut bien sr s'assurer comme dans le chapitre 7 que:
Mu4.0)'dd(Af ssu
31
CHAPITRE 10:
Section rectangulaire l'ELUR en flexion compose
1. But
Dterminer dans le cas de la flexion compose l'ELUR les armatures longitudinales
disposer dans la section conformment aux principes de justification du BAEL 91.
2. Noyau central d'une section homogne
2.1 Dfinition
Le noyau central d'une section soumise l'action (N, M) est la zone de la section telle que si
l'effort normal quivalent y passe, il existe dans toute la section soit un tat de traction ou bien
un tat de compression.
2.2 Effort normal quivalent (N, M)
L'effort normal quivalent est l'effort appliqu au centre de pression C situ une distance
algbrique N/Me du centre de gravit de la section G.
2.3 Noyau central
La dtermination du noyau central se fait plus ou moins facilement en fonction de la
gomtrie de la section et des sollicitations prsentes en effectuant l'analyse des contraintes
dans les fibres extrmes. Dans le cas des poutres planes plan moyen et charges dans ce
plan, on a:
G G e
N
N
M
32
I
My
S
N
D'o
I
Mv
S
Ns
I
Mw
S
Ni
v
r;
w
re0.
22is
avec S/Ir rayon de giration.
Le domaine trouv ne dpend que de la gomtrie de la section.
si
v
r;
w
re
22
, alors 0.is et la section est partiellement comprime.
Exemple: Section rectangulaire de largeur b et de hauteur h.
On montre que
12
hr
22 ,
2
hwv
Le noyau central est donc: y 6/h;6/h .
b
h
6/h
6/h
y s
i
w
v h
G
G
33
Remarque
La notion de noyau central telle qu'elle a t introduite ci-dessus n'et pas adapte une section
en bton arm car les contraintes ne sont pas linaires et le comportement en traction diffre
du comportement en compression. Dans la suite des dfinitions "empiriques" vont servir
caractriser l'tat de la section en BA lorsqu'elle est soumise la flexion compose.
3. Section entirement tendue en flexion compose
Une section en BA est entirement tendue si l'effort normal Nu est une effort de traction
dont le centre de pression C est compris entre les armatures thoriques 1A et 2A .
0e car 0Mu .
d2
hed
2
h 21 A;AC
Nu
Mu
2
hde
2
hda 0a
L'quilibre des forces et des moments permet d'crire:
0AANuFFNu 221121
0)dd(AaNu)dd(FaNu 222
Mu h d
d
e
a Nu
2F
1F 1A
2A
34
En pratique (pour des raisons d'conomie), on choisit:
su21 f
D'o
)dd(f
aNuA
su
2
2
su
1 Af
NuA
On montre que
0A2 dda ( ce qui est toujours vraie)
Le critre de la section entirement tendue s'exprime en fonctions des sollicitations sous la
forme:
2
hda0 )d2/h(NuM;0Mu 1
Remarque
Dans le cas de la section entirement tendue, le bton ne participe pas la rsistance. Seules
les armatures reprennent l'effort de traction Nu. Les deux nappes d'armatures (infrieures et
suprieures) sont ncessaires sauf dans le cas thorique a = 0 ( dda si 0Mu )
4. Section partiellement comprime en flexion compose
Une section est partiellement comprime lorsqu'on se trouve dans l'un des deux cas:
a) le centre de pression C est situ l'extrieur de l'intervalle limit par les aciers thoriques
1A et 2A , l'effort Nu peut tre une compression ou une traction;
35
b) le centre de pression C est situ l'intrieur de l'intervalle prcdent avec Nu un effort de
compression vrifiant la condition suivante:
03 N)d81.0h337.0(d2/hNuMMu
Remarque
Dans le cas de la section partiellement comprime, l'quivalence du diagramme parabole-
rectangle avec le diagramme rectangulaire simplifi reste valable.
NueMu .
a: bras de levier de Nu par rapport au cdg. des aciers 1A .
e2
hda , donc 0a si et seulement si 0Nu .
L'quilibre des forces et des moments permet d'crire:
0AF)ANu(FFFNu 22b112b1 (1)
0)dd(A)Y4.0d(FaNu)Y4.0d(F)dd(FaNu 22bb2 (2)
Posons:
1111 AANu
sA
axe neutre
bF
2F
1F
0.4 Y
Nu
a Y
d
0.8
Y
d h
sA
36
2222 AA
0MaNu
Les quations prcdentes se rcrivent:
0AFA 22b11
0)Y4.0d(F)dd(AM b22
Ces quations sont celles que l'on obtiendrait en considrant la mme section soumise la
flexion simple sous l'action du moment M et pour laquelle les aciers calculs sont: 1A et 2A .
Il suffit donc de calculer la mme section rectangulaire en supposant qu'elle est soumise
aNuM ; de dterminer 1A et 2A et de prendre comme armatures relles pour la section
soumise la flexion compose les sections suivantes:
22 AA
su
11f
NuAA
5. Section entirement comprime en flexion compose
Ce qui caractrise le cas de la section entirement comprime des autres cas dj tudis c'est
le fait que la rgle d'quivalence du diagramme parabole-rectangle avec le diagramme
rectangulaire simplifi n'est plus valable car le premier diagramme est tronqu dans sa partie
parabolique.
On tiendra compte de cette troncature par l'introduction d'un coefficient dit coefficient de
remplissage.
A l'ELUR dans le cas de la section comprime, c'est le pivot C qui est actif.
Les deux remarques prcdentes font que le cas de la section entirement comprime se
distingue clairement des cas prcdents.
La section est entirement comprime si et seulement si:
37
- Nu est un effort de compression;
- le centre de pression C est situ entre 1A et 2A ;
- 03 N)d81.0h337.0(d2/hNuMMu avec bu0 bhfN .
)Mu,Nu( )Mu,Nu( * ( )2/hd(NuMuMu*
5.1 Expression des efforts de compression dans le bton
bu1 f7
h3S bu
1
b fbh7
3F
Un long calcul montre que
bu2
22
b hbf)37(21
)1126147(4F
o
h
Y
b
14/h3
2f
1F
C
7/h4
7/h3
ooo /2
1b
1s
2s
2b
axe neutre fictif
2F
Nu
Y
d
d h
1
bF
2
bF sA
sA
*Mu
38
D'o
bu
2
b
1
bb hbfFFF
avec
2
2
)37(21
1258821029
3)37(3
128
d
d
donc 0
d
d
si
7
3 (ce qui est toujours vrai car hY )
1 )(lim1)1(21
17
h14
3dZ1
22 fh7
3dZ
Un autre long calcul montre que
37
1321h
7
1f 2
hdF
ZFZFZ
b
2
2
b1
1
b
avec
1258821029
18520582401
14
3
14
5122
2
39
0d
d
si
7
3 (ce qui est toujours vraie car 1 )
1 )(lim2
14160.0
238
99)1(
5.2 Calcul des armatures
Les quations d'quilibre sont:
0bhfAANu bu2211 (3)
0)dd(A)hd(bhfMu 22bu* (4)
La compatibilit des dformations s'exprime par:
37
)h/d(14
7/3
h/d21s
)(1
37
)h/d(14
7/3
h/d22s
)(2
37
)1(14
7/3
121b
37
14
7/322b
On remarque en particulier que: 2s
1
s et ( 101
b ).
Il y a au total trois inconnues principales ),A,A( 21 pour deux quations. Il y a donc une
infinit de solutions possibles.
Peut-on alors faire travailler les aciers de manire conomique? c'est--dire pouvons nous
nous arranger pour avoir 1
s .
Supposons que h9.0d , h1.0d , 15.1s (hypothses qui sont malgr tout trs
gnrales et non restrictives). On trouve alors pour que 1
s les conditions suivantes:
40
FeE500 FeE400 FeE235 FeE215
jamais car 1
s 04.4 39.1 31.1
et mme 2
s dans le cas de la nuance FeE500 que lorsque 2.4 .
La rponse est donc non.
On cherche alors une solution approximativement optimale. D'aprs les quations (3) et (4), il
vient:
)dd(
)hd(NMuA
2
0
*
2
2
1
0
1 ANNu
A
Supposons que .021 Les quations (3) et (4) entranent alors
0
0
0
21 NNu0NNu
AA
21 AA est minimale si et seulement 1 , soit Y et ooo2
s
1
s /2 (tat de
compression simple).
Dans ce cas, on a:
2/1
21su0 f si la nuance de l'acier est diffrente du FeE500
21oo
o
s0 /2EMPa400 pour la FeE500
La solution thorique s'crit alors:
41
)dd(
Mu)h5.0d)(NNu(
)dd(
)h5.0d(NMuA
0
0
0
0
*
2
)dd(
Mu)dh5.0)(NNu(A
NNuA
0
0
2
0
0
1
Cette solution thorique est pratique si et seulement si: 0A1 et 0A2 .
Soit
)dh5.0)(NNu(MMu0
0NNu
02
0 (5)
Si cette condition (5) n'est pas satisfaite, cherchons la solution correspondant 0A1 . Les
quations (3) et (4) deviennent
0NANu 022
0)dd(A)hd(N)h5.0d(NuMu 220
Dans ce systme les inconnues principales sont et 2A ( 2 se calcule en fonction de 2
s
donc de ).
Exprimons en fonction de et liminons 1A entre les deux quations, on obtient:
dh8571.0
Mu)dh5.0(NuhN3574.0 0
Cette solution thorique est pratique si et seulement si:
0NNu0A
18095.0
02
42
Soit
)NuN(h3571.0MMuh/Mu8.2NNNu
N)d810.0h337.0()dh5.0(NuMMu
0401
03 (6)
Dans ce cas, on montre que
1)h/d019.8437.3(2h4
h8121)d7h3(2s
En gnral on a 2
s et su2 f , sinon
2
ss2 E .
Les armatures sont alors
0A1
2
0
2
NNuA
Si la condition (6) n'est pas satisfaite, on rcupre soit le cas de la section partiellement
comprime 8095.0 soit le cas 0A2 (qui peut lui aussi tre considr comme faisant
partie du cas de la section partiellement comprime).
6. Mthode de calcul pratique d'une section rectangulaire l'ELUR en flexion compose
On suppose 0Mu (sinon il suffit de permuter les armatures aprs avoir effectu le calcul
avec -Mu).
On supposera aussi que: 0dh5.0 et 0h5.0d .
L'analyse des diffrents cas dj vus permet d'envisager la mthode de calcul suivante:
(D1): 0Nu et 1MMu (section entirement tendue)
(D2): 0Nu et 1MMu (section partiellement comprime)
43
(D3): 0NNu et 2MMu (section entirement comprime et le calcul se fait sous
l'hypothse d'un tat de compression simple)
(D4): 0NNu et 2MMu (section entirement comprime avec 18091.0 )
(D5): 01 NNuN et 3MMu (section entirement comprime avec 18091.0 )
(D6): 1NNu0 (section partiellement comprime)
(D7): 01 NNuN et 3MMu (section partiellement comprime)