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Algèbre 4

Chapitre M5

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UTILISATION DE FONCTIONS DE REFERENCE

Contenu du dossier : c Cours c Exercices Partie A (CH5 pages 65-80) c Correction exercices 1 c Evaluation EM7 c Correction évaluation EM7 c Exercices Partie B (CH6 pages 81-90) c Correction exercices 2 c Evaluation EM8 c Correction évaluation EM8

Capacités Connaissances Sur un intervalle donné, étudier les variations et représenter les fonctions de référence x 1, x x, x x2.

Sens de variation et représentation graphique des fonctions de référence sur un intervalle donné: x 1, x x, x x2.

- Représenter les fonctions de la forme x x + k, x x2+ k, x k, x kx, x kx2 où k est un nombre réel donné. - Utiliser les TIC pour conjecturer les variations de ces fonctions.

Sens de variation et représentation graphique des fonctions de la forme x x + k, x x2+ k, x k, x k x, x k x2 où k est un nombre réel donné.

- Représenter une fonction affine.

- Déterminer le sens de variation d’une fonction affine.

- Déterminer l’expression algébrique d’une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images.

- Déterminer par calcul si un point M du plan appartient ou non à une droite d’équation donnée.

Fonction affine :

- sens de variation ;

- représentation graphique ;

- cas particulier de la fonction linéaire, lien avec la proportionnalité.

Équation de droite de la forme y = a x + b.

Résoudre graphiquement une équation de la forme f(x)=c où c est un nombre réel et f une fonction affine ou une fonction de la forme x x2+k, x kx2 où k est un nombre réel donné.

Processus de résolution graphique d’équations de la forme f (x) = c où c est un nombre réel et f une fonction affine ou une fonction de la forme x x2+ k, x kx2 où k est un nombre réel donné.

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PARTIE A : Fonction affine Activité 1 : reconnaître les fonctions affines, linéaires

ou constantes

Les fonctions représentées ci-contre sont :

g(x) = - 2x + 1 ; h(x) = !" x + 7 ; i(x) = x ;

j(x) = - x ; k(x) = 1; m(x) = 5 + 4x

Compléter le tableau ci-dessous. Justifier.

Fonctions affines décroissantes

Fonctions affines croissantes

Fonctions linéaires Fonctions constantes

Activité 2 Les fonctions suivantes sont linéaires : p, q, i et j, définies

Pour tout nombre réel x par p(x) = - 0,5x ; q(x) = 2x ;

i(x) = x ; j(x) = -x.

Relier chaque expression de fonction linéaire à sa droite

représentative.

p(x) = - 0,5x • • D1( si x = 1 y = …)

q(x) = 2x • • D2(si x = 1 y = …)

i(x) = x • • D3(si x = 1 y = …)

j(x) = -x • • D4( si x = 1 y = …)

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On appelle fonction affine toute fonction f définie par f(x) =

Sa représentation graphique est une droite qui par l’origine

a est appelé « de la droite »

b est appelé « l’ à l’ »

Remarque : Le sens de variation d’une fonction affine dépend du coefficient directeur a

La fonction est La fonction est

Exercices : c 1 p 65 c 2 p 65 c 4 p 66 c 6 p 66 c 7 p 66

c 19 p 68 c 23 p 68 c 27 p 69

Cas n°1 : a < 0 Cas n°2 : a > 0

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Une droite a pour équation y = ax +b et est toujours définie par 2 points de coordonnées (x1 ;y1) et (x2 ;y2).Trouver l’équation d’une droite, c’est donc déterminer a et b. Activité 3 : Equation de la droite (AB) ? Détermination du coefficient directeur a : n Graphiquement (voir méthode)

a = ….

n par calcul : a = #$%#&'$%'&

A( … ;…) et B(…; - …) Détermination de b (appelé ordonnée à l’origine) : n Graphiquement : b correspond à la

valeur de l’ordonnée pour le point

d’abscisse x = 0

b = …………. n par le calcul :

Exercices : c 30 p 69 c 41 p 69 c 50 p 70 c 51 p 70 c 57 p 72

c 70 p 73 c 76 p 74 c 77 p 74

Problèmes : c 92p 76 c 94 p 76

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PARTIE B : Utilisation des fonctions de référence

I. Activités Activité 1: Le plan est rapporté à un repère. On considère le point A de coordonnées (- 4; 3).

1.1 Parmi les points suivants, entourer celui qui a la même abscisse que A, mais à l'ordonnée duquel on a ajouté 2.

B(-2;5) C(-4;1) D(-4;5) E(3;-4) F(-4;4) 1.2 Parmi les points suivants, entourer celui qui a la même abscisse que A mais dont

l'ordonnée a été multipliée par - 2. G(-4;l) H(3;8) K(-4;-6) L(-4;6) M(4;-6) Activité 2: On considère la courbe C et les trois droites D, D’ et D" représentées sur le graphique.

Cocher la case correspondant à la bonne réponse.

2.1 Les abscisses des points d'intersection de la droite D et de la courbe C sont: ☐ - 2 et - l ☐ – l et 2 ☐ – l et 1 ☐ - 2 et l

2.2 L'abscisse du point d'intersection de la droite D' de la courbe C est ☐ (0 ; l) ☐ 1 ☐ 0 ☐ 0,5

2.3 Quel est le nombre de points d'intersection de la droite D " et de la courbe C ? ☐ 0 ☐ 1 ☐ 2

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II. Fonctions f + k ou kf

• k est un nombre réel et f est la fonction Identité, ou la fonction Carré, ou la fonction Constante 1.

II.1. Reconnaître graphiquement une fonction f + k ou une fonction kf

Soit f la fonction définie sur [-2 ; 2] par f (x) = x. Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de f et de quatre fonctions g, h, m et n.

Activité 3

3.1. Compléter à l'aide du graphique le tableau de valeurs des fonctions f, g, h, m et n. x -2 -1 0 1 2

f (x) -2 -1 1 g(x) -3 -1 h (x) 1 -1 m(x) 0 2 n (x) -0,5 0,5

3.2.À partir du tableau de valeurs, cochez la case correspondant à la bonne réponse. La relation entre f (x) et g (x) est: ☐ g(x) = f (x) + 2 ☐ g(x) = f (x) – 2 ☐ g(x)=2 – f (x)

3.3.Par quelle opération sur les ordonnées passe-t-on d'un point de la courbe de f au point de même abscisse de la courbe de g?

3.4.À partir du tableau de valeurs, cocher la case correspondant à la bonne réponse. La relation entre f (x) et h (x) est: ☐ h (x) = 2 f (x) ☐ h (x) = - 2 f (x) ☐ h (x) = - f(x)

3.5.Par quelle opération sur les ordonnées passe-t-on d'un point de la courbe de f au point de même abscisse de la courbe de h?

3.6.À l'aide du graphique, cocher la case correspondant à la bonne réponse. a) ☐ m (x) = f (x) + 1 ☐ m(x) = f (x) – 1 ☐ m(x) = 1 – f (x) b) ☐ n (x) = 0,5 f (x) ☐ n (x) = – 0,5 f (x) ☐n(x)= – f (x)

n(x)

m(x)

h(x)

f(x)

g(x)

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II.2. Comment tracer ta courbe représentative d'une fonction f + k?

Méthode 1 Étape 1: Se positionner sur un point P(a ; b) de la courbe représentative de f

Étape 2: Placer le point P'(a; b + k), qui est un point de la courbe de f + k.

Étape 3: Reprendre les étapes 2 et 3 avec d'autres points, puis tracer la courbe.

On donne un tracé de la courbe représentative de la fonction f, définie sur [-1 ; 1] par f (x) = x2.

Ø Tracer sur la figure la courbe de la fonction f + 1.

Ø Comparer le sens de variation de la fonction f + 1 à celui de f.

Solutions P(-1 ; l)

P'(- 1; 1 + 1), c'est-à-dire P'(- 1; …).

Ø Recommencer avec les points d'abscisses - 0,5 ; 0; 0,5; 1, puis tracez la courbe

de la fonction f + 1

Q 0,5; ……… donc Q' ……… ;……… ;

R 0; ……… donc R′ ……… ;……… ;

S 0,5; ……… donc S' ……… ;……… ;

T 1; ……… donc T' ……… ;……… .

Le sens de variation de la fonction f + 1 est le même que celui de f :

f et f + 1 sont strictement sur [- 1; 0] et strictement sur

[0; 1].

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Les fonctions x⟼x2 et x ⟼x2 + k ont sens de variation. Pour x = 0, la fonction admet un égal à 0.

II.3. Comment tracer ta courbe représentative d'une fonction kf ?

Méthode 2 Étape 1: Se positionner sur un point P (a ; b) de la courbe représentative de f Étape 2: Placer le point P'(a ; kb), qui est un point de la courbe de kf. Étape 3: Reprendre les étapes 2 et 3 avec d'autres points, puis tracer la courbe. On donne un tracé de la courbe représentative de la fonction f, définie sur [-1 ; 2] par f (x) = x2.

Ø Tracer sur la figure la courbe de la fonction -0,5f. Ø Comparer le sens de variation de la fonction -0,5 f à

celui de f. Solutions P(-1 ; l) P'(- 1; - 0,5× 1), c'est-à-dire P'(- 1;…).

Ø Recommencer avec les points d'abscisses - 0,5 ; 0; 1; 2, puis tracez la courbe de la fonction -0,5 f

Q 0,5; …… ; donc Q' …… ;…… ; R 0; …… donc R′ …… ;…… ; S 1; …… donc S' …… ;…… ; T 2; …… donc T' …… ;…… ; f est strictement et -0,5 f est strictement sur [- 1; 0]. f est strictement et -0,5 f est strictement sur [0 ; 2].

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k >0 k <0.

Les fonctions x⟼x2 et x ⟼kx2 Les fonctions x ⟼x2 et x ⟼kx2 ont sens de variation ont des sens de variation Pour x = 0, la fonction kx2 admet Pour x = 0, la fonction kx2 admet un égal à 0. un égal à 0. III. Résolution graphique d'une équation f (x) = c.

c est un nombre réel et f est une fonction affine, ou une fonction x →x2 + k, ou une fonction x → kx2

III.1. Utiliser un graphique adapté

Soit f la fonction définie sur [- 1,5; 2,5], par f(x) = x2.

On note C sa courbe représentative. L'équation f(x) = 1 a deux solutions sur [- 1,5; 2,5], parce que la droite d'équation y = 1 coupe la courbe C en deux points, A et B Les solutions sont les abscisses - 1 et 1 de ces points d'intersection.

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Activité 4 4.1. Compléter les calculs suivants, pour vérifier que - 1 et 1 sont solutions de l'équation f (x) = 1.

f ( -1 ) = = f ( ) = =

4.2.Tracer sur le graphique les droites d'équations y = 4, y = 2 et y =- 1. 4.3.Relier chaque proposition à sa justification.

L'équation f (x) = 4 parce que la droite d'équation y = - 1 a une seule solution • • ne coupe pas la courbe C .

L'équation f (x) = 2 parce que la droite d'équation y = 4 a deux solutions • • coupe la courbe C en un seul point.

L'équation f (x) = – 1 parce que la droite d'équation y = 0 n'a pas de solution • • coupe la courbe C en un point.

L'équation f (x) = 0 parce que la droite d'équation y = 2 a une seule solution • • coupe la courbe C en deux points.

4.4.Lire sur le graphique, en faisant apparaître le trait permettant cette lecture, la solution de l'équation f (x) = 4.

La solution est .

4.5.Lire sur le graphique, en faisant apparaître les traits permettant cette lecture, des valeurs approchées des deux solutions de l'équation f (x) = 2:

4.6.Lire sur le graphique la solution de l'équation f (x) = 0. La solution est .

III.2. Comment résoudre graphiquement une équation f (x) = c à l'aide de la calculatrice?

Méthode 3 Étape 1 dans le menu choisir GRAPH, entrer la formule de f(x) dans Y1=, entrer la valeur de

c dans Y2=. Étape 2 Régler la "fenêtre" en tapant SHIFT, V-WINDOW. Entrer les valeurs minimum et

maximum de X et de Y (par exemple les valeurs de l'intervalle de définition pour X et -10 , 10 pour Y dans un premier temps). Taper EXE.

Étape 3 Visualiser le graphique en tapant DRAW (F6). Vous devez voir deux droites sécantes

en un point, si elle ne se coupent pas c'est que votre "fenêtre" n'est pas assez "large", dans ce cas reprenez l'étape 2 et augmenter les valeurs de X et Y min et Max.

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Étape 4 Pour lire l'abscisse du point d'intersection des deux droites taper SHIFT, G-SOLV. Puis ISCT (intersection) (F5). La solution de l'équation f (x)= c est la valeur de l'abscisse du point d'intersection (x =).

Exemple : Soit f la fonction définie sur [- 4; 1] par: f (x) = 2x + 4. Résoudre graphiquement l'équation f (x) = - 3 sur l'intervalle [- 4; 1].

On obtient le graphique ci-contre: Lire la solution de l'équation f (x) = - 3. La solution est ..................... Exercices: c 3page 81 c 5 page 82 c 6 page 82 c 10page 83 c 15 page 83 c 16page 83 c 17 page 83 c19 page 84 c 20 page 84 c 21 page 84 c 22 page 85 c 23 page 85 c 24 page 85 c 25 page 85 c 26 page 85 c 27page 85 c 29 page 85 Problèmes : c 37page 87 c 38 page 87 c 42 page 88