Algèbre Tome 1

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livre d'algebre des exercice avec le corrigcar par ce que il pas .... dks

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  • ALGBRETome 1

    GROUPES, CORPSET THORIE DE GALOIS

    Daniel Guin Thomas Hausberger

    Collection dirige par Daniel Guin

    17, avenue du HoggarParc dactivits de Courtabuf, BP 112

    91944 Les Ulis Cedex A, France

  • propos de la couverture :

    Le groupe de Galois de lquation x4 2 = 0 est le groupe de Galois G = Gal(K/Q) ducorps K = Q(i, 4

    2) engendr sur Q par les racines complexes 42,i 42 du polynme x4 2.

    Il existe un lment de G dni par (i) = i et ( 4

    2) = i 4

    2 et un lment dni par (i) = i et ( 42) = 42. Ces deux lments engendrant G, on voit que le groupe de Galois estisomorphe au groupe didral D4 des isomtries du carr.

    Les sous-corps de K correspondent aux sous-groupes de G par la correspondance de Galois :par exemple, H = correspond le sous-corps Q(i) des invariants de K sous laction de H . Onpeut reprsenter les inclusions entre les groupes et les extensions de corps par les diagrammesci-dessous, o chaque che reprsente une inclusion.

    K = Q(i, 4

    2)

    Q(i 4

    2)

    Q( 4

    2)

    Q(i,

    2)

    Q((1 + i) 4

    2)

    Q((1 i) 42)

    Q(

    2)

    Q(i)

    Q(i

    2)

    Q

    D4 = ,

    2,

    Z/4Z

    2,

    2

    2

    3

    {e}

    Cette correspondance renverse le sens des inclusions, donc celui des ches. On peut sereprsenter les deux diagrammes comme deux arbres qui seraient reet lun de lautre, danslesprit de la gravure les 3 mondes dEscher. Lquation x4 2 = 0 est le trait dunion entrele monde des groupes et celui des corps. Peut-tre le troisime monde est-il celui de lesprit dumathmaticien dont linspiration et la raison ont fait natre les concepts, en se heurtant auxcontingences de lunivers mathmatique ?

    Le groupe de Galois est le groupe des relations rationnelles entre les racines, par rapportau corps de base Q. Il est trivial lorsque toutes les racines sont direncies sur la base. Faireune extension, par exemple adjoindre le nombre imaginaire i, permet de regrouper les racines encatgories, selon quelles sont invariantes sous ou pas. Cest lide qui a guid Galois lors dellaboration de son trait sur la rsolution des quations : briser progressivement les symtriesentre les racines. Ces travaux ont permis de faire merger les structures contemporaines degroupe et de corps.

  • Algbre T1

    En gnral, les formules donnant les racines ne sont pas connues. La connaissance du groupede Galois nous renseigne sur leur expression. Lorsque le groupe est rsoluble, cest--dire lorsquilexiste une suite G G1 . . . Gn = {e} forme de sous-groupes normaux embots tels queles quotients successifs soient abliens, alors les solutions sont exprimables par radicaux. Cestle cas sur notre exemple : D4 Z/4Z {e}.

    Le dessin de la couverture a t ralis par Jos Leys(1), ingnieur passionn dimagerie ma-thmatique, reconnu internationalement dans le monde de ldition scientique pour la qualit deses illustrations, en relation directe avec le substrat mathmatique. Les auteurs le remercientchaleureusement.

    (1)http://www.josleys.com

    iii

  • Imprim en France

    ISBN : 978-2-86883-974-9

    Tous droits de traduction, dadaptation et de reproduction par tous procds rservs pour touspays. Toute reproduction ou reprsentation intgrale ou partielle, par quelque procd que ce soit, despages publies dans le prsent ouvrage, faite sans lautorisation de lditeur est illicite et constitue unecontrefaon. Seules sont autorises, dune part, les reproductions strictement rserves lusage privdu copiste et non destines une utilisation collective, et dautre part, les courtes citations justiespar le caractre scientique ou dinformation de luvre dans laquelle elles sont incorpores (art. L.122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la proprit intellectuelle). Des photocopies payantes peuventtre ralises avec laccord de lditeur. Sadresser au : Centre franais dexploitation du droit de copie,3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tl. : 01 43 26 95 35.

    c 2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc dactivits de Courtabuf,91944 Les Ulis Cedex A

  • TABLE DES MATIRES

    Avant-propos xiii

    Avertissement xvii

    Premire partie GROUPES 1

    I Gnralits sur les groupes 3I.1 Dnitions exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Sous-groupes morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    A - Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8B - Sous-groupes engendrs . . . . . . . . . . . . . . . . 11C - Ordre dun groupe, dun lment . . . . . . . . . . . 13D - Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    I.3 Produit direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    Thmes de rexion 25TR.I.A. tude du groupe symtrique Sn . . . . . . . . . . . . . . 25TR.I.B. Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TR.I.C. Dtermination des groupes dordre n, pour 1 n 9 . . 30

    Travaux pratiques 33TPI. tude de quelques groupes de permutations . . . . . . . . 33

    II Groupes quotients 37II.1 Classes modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . 37II.2 Compatibilit avec la structure . . . . . . . . . . . . . . . 41II.3 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  • Algbre T1

    II.4 Caractrisation des sous-groupes normaux . . . . . . . . . 45II.5 Sous-groupes normaux et morphismes . . . . . . . . . . . 47II.6 Sous-groupes dun groupe quotient . . . . . . . . . . . . . 48

    Thmes de rexion 53TR.II.A. Sous-groupes drivs et ablianisation . . . . . . . . . . . 53TR.II.B. tude des sous-groupes normaux de Sn . . . . . . . . . . 54TR.II.C. tude des automorphismes de Sn . . . . . . . . . . . . . . 57

    Travaux pratiques 59TP.II. Classes, structure quotient et systmes gnrateurs forts 59

    III Prsentation dun groupe par gnrateurs et relations 65III.1 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65III.2 Gnrateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    Thmes de rexion 75TR.III.A. Prsentation du groupe quaternionique H . . . . . . . . . 75TR.III.B. Groupes de prsentation nie . . . . . . . . . . . . . . . . 75TR.III.C. Quelques proprits des groupes libres . . . . . . . . . . . 76TR.III.D. Produit libre de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    IV Groupes oprant sur un ensemble 81IV.1 Dnitions Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.2 Stabilisateurs Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84IV.3 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    A - Groupes oprant sur un groupe . . . . . . . . . . . . 87B - Produit semi-direct de sous-groupes . . . . . . . . . 87C - Produit semi-direct de groupes . . . . . . . . . . . . 88

    IV.4 Oprations transitives, dles . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.5 Points xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    Thmes de rexion 93TR.IV.A. Groupes didraux Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93TR.IV.B. Groupe des isomtries du cube . . . . . . . . . . . . . . . 94TR.IV.C. Produits et extensions de groupes . . . . . . . . . . . . . 94TR.IV.D. Groupes libres de rang 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    Travaux pratiques 99TP.IV.A. Gnrateurs et relations, autour de lalgorithme

    de Todd-Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    vi

  • Table des matires

    TP.IV.B Actions k-transitives, formule de Burnsideet numrations de Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    V Les thormes de Sylow 117V.1 Le premier thorme de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . 117V.2 Le second thorme de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . 119V.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    Thmes de rexion 125TR.V.A. Int(S6) = Aut(S6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125TR.V.B. Dtermination des groupes dordre n, n 15 . . . . . . . 126TR.V.C. Dtermination des groupes dordre pq . . . . . . . . . . . 127

    VI Groupes abliens 129VI.1 Somme directe de groupes abliens . . . . . . . . . . . . . 129

    A - Somme directe de sous-groupes dun groupe ablien . 129B - Somme directe de groupes abliens . . . . . . . . . . 131C - Facteur direct dun groupe ablien . . . . . . . . . . 132

    VI.2 Groupes abliens libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A - Dnition - Proprit universelle . . . . . . . . . . . 133B - Rang dun groupe ablien libre . . . . . . . . . . . . 137C - Sous-groupes dun groupe ablien libre . . . . . . . . 140

    VI.3 Groupes abliens de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 142VI.4 Structure des groupes abliens de type ni . . . . . . . . 145

    Thmes de rexion 155TR.VI.A. Rang dun groupe libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155TR.VI.B. Groupes divisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156TR.VI.C. Calcul des facteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    Travaux pratiques 161TP.VI.A. Algorithmes de Gauss-Jordan, de Hermite et de Smith . . 161TP.VI.B. Courbes elliptiques et groupe de Mordell . . . . . . . . . 166

    VII Groupes rsolubles 177VII.1 Suites de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177VII.2 Suites de Jordan-Hlder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179VII.3 Groupes rsolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181VII.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

    vii

  • Algbre T1

    Deuxime partie THORIE DES CORPS 185

    VIII Anneaux de polynmes 187VIII.1 Dnitions - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187VIII.2 Idaux Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190VIII.3 Idaux maximaux, idaux premiers . . . . . . . . . . . . . 194VIII.4 Produit danneaux - Thorme chinois . . . . . . . . . . . 196VIII.5 Corps des fractions dun anneau intgre . . . . . . . . . . 198VIII.6 Anneaux de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199VIII.7 Anneaux principaux . . . .