- 98 -

Chap. 12 Orthogonal Functions and Fourier Series

*참고 <제 7장 벡터> 7.3. 내적(inner product)

정의 7.3 두벡터의 내적

332211 bababacosabbab),(a ++==⋅= θ

θ 는 두 벡터 사이의 각 πθ ≤≤0

kyibkyia

321

321

bbbaaa

++=++=

사잇각 θ

abkyic 321 −=++= ccc

k)(y)(i)( 332211 ababab −+−+−=

• 기하의 삼각형 코사인 법칙

θcosba2bac 222−+=

→ )cab(21cosba 222

−+=θ

2ab−=

here 23

22

21

2a aaa ++=

23

22

21

2b bbb ++=

233

222

211

2 )()()(ab ababab −+−+−=−

윗 식에 넣어서 정리

↓

332211cosba bababa ++=θ

∴ 332211cosbabab),(a bababa ++==⋅= θ

• 내적의 성질

1) 0ba =⋅ , if 0a = or 0b =

2) abba ⋅=⋅

3) cabac)a(b ⋅+⋅=+

4) b)(abab)a( ⋅=⋅= kkk here k는 스칼라

5) 0aa ≥⋅

6) 2aaa =⋅

• 두 벡터 사이의 각 θ → baba

bacos 332211 bababa ++=

⋅=θ

- 99 -

• b,a 가 영벡터가 아닐 때 , 사잇각 θ

1) 0ba >⋅ → θ 는 예각

2) 0ba <⋅ → θ 는 둔각

3) 0ba =⋅ → θ 는 직각 즉 2/'0'cos πθθ =→=

정리 7.1 직교 벡터의 판정

영벡터가 아닌 두 벡터 a 와 b가 직교하기 위한

필요 충분 조건은 0ba =⋅ 이다.

정의 12.1 함수의 내적

구간 ],[ ba 인 함수 1f 과 2f 의 내적

∫=b

adxxfxfff )()(),( 2121

정의 12.2 직교 함수

0)()(),( 2121 == ∫b

adxxfxfff 이면

],[ ba 구간에서 함수 1f 과 2f 는 직교

← 벡터에서의 “직교”는 기하학적 의미의 수직(perpendicular)이나

함수에서는 의미가 없음

ex) 21 )( xxf = , 3

2 )( xxf = , 구간[-1,1]

dxxxff ∫−= 1

132

21 ),(

061 1

1

6 =

=

−

x

• 직교 집합

정의 12.3 직교 집합

실수값 함수 집합 }),(),(),({ 210 Lxxx φφφ 이

0)()(),( == ∫ dxxx nb

a mnm φφφφ , nm ≠ 이면

구간 ],[ ba 에서 직교이다.

- 100 -

• 정규 직교 집합

⋅ 벡터 u의 노름(Norm) = 크기(스칼라) → u

⋅ 벡터 내적에서 θcosbab)(a, =

2a'0cos'aaa)(a, ==

∴ 2u)uu,( =

∴ )uu,(u =

⋅ 동일하게 ∫== b

a nnnn dxxx )(),()( 22 φφφφ

→ ∫== b

a nnnn dxxx )(),()( 2φφφφ

♣ 만일 함수 )}({ xnφ 가 구간 ],[ ba 에서 L,2,1,0=n 에서 1)( =xnφ 의 성질을 갖는

직교 집합이면 이 구간에서 정규 직교집합이라 함 Norm(크기)

ex1) 집합 { }.....,3cos,2cos,cos,1 xxx , 구간 ],[ ππ− 에서 직교집합?

Sol) nxxx n cos)(,1)(0 == φφ 가

0≠n 에서 0)()(0 =∫−π

πφφ dxxx n

nm ≠ 에서 0)()( =∫−π

πφφ dxxx nm 이어야 함

(1) For 0≠n ;

0sin1

cos1)()(0

=

=

⋅=

−

−− ∫∫π

π

π

π

π

πφφ

nxn

dxnxdxxx n

(2) For nm ≠ ;

[ ]

0)sin()sin(21

)cos()cos(21coscos)()(

=

−−

+++

=

−++=⋅=

−

−−− ∫∫∫π

π

π

π

π

π

π

πφφ

nmxnm

nmxnm

dxxnmxnmdxnxmxdxxx nm

조건을 만족하므로 ‘직교집합’이다.

- 101 -

ex2) ex1)의 노름(Norm)-자신의 크기=스칼라량

sol) (1) For 1)(0 =xφ

[ ] πφ ππ

π

π21)( 2

0 === −−∫ xdxx

πφ 2)(0 =∴ x

(2) For 0,cos)( >= nnxxnφ

[ ]

[ ] πππ

φ

π

π

π

π

π

π

=−−=

+=

+==

−

−− ∫∫

)(21

22sin

21

2cos121cos)( 22

nnxx

nxnxdxxn

πφ =∴ )(xn

정규화(normalize) : 자기 자신의 Norm으로 함수 자신을 나누라!

L,2cos,cos,21

πππxx

Norm이 ‘1’인 함수로 만들라!

↓ 이 함수의 Norm 즉 크기는 모두 ‘1’이다.

“정규 직교 집합”

• 벡터와의 유사성

321 v,v,v : 공간 좌표에서 ‘0’이 아닌 상수 직교 벡터로 가정

→ 벡터 해석에서 kj,i, ; 단위 벡터

332211 vvvu ccc ++=

내적 )v(vc)v(vc)v(vc)v(u 13312211111 ⋅+⋅+⋅=⋅

00v 322

11 ⋅+⋅+= ccc ( 직교성Q )

∴ 21

11

v

)v(u⋅=c

↓ 동일 방법으로

- 102 -

22

22

v

)v(u⋅=c , 2

3

33

v

)v(u⋅=c

∴ ∑=

⋅=

⋅+

⋅+

⋅=

3

1232

3

322

2

212

1

1 vv

)v(uv

v

)v(uv

v

)v(uv

v

)v(uu

nn

n

n

• 직교 급수 전개

)}({ xnφ : 구간 ],[ ba 에서의 무한 직교함수 집합

∑∞

==++++=

01100 )()()()()(

nnnnn xcxcxcxcxf φφφφ LL

함수의 내적 , 구간 ],[ ba

LL ∫∫∫∫ ++++= b

a mnnb

a mb

a mb

a m dxxxcdxxxcdxxxcdxxxf )()()()()()()()( 1100 φφφφφφφ

nm = LL +⋅++⋅+⋅= )()()( 21100 mnnm ccc φφφφφφ

* 함수의 직교성에 의하여 nm = 이외에는 모두 ‘0’

∴ ∫∫ = b

a nnb

a n dxxcdxxxf )()()( 2φφ

∴ L,2,1,0,)(

)()(2

0

==∫

∫ ndxx

dxxxfc b

a n

a nn

φ

φ ←

22 )()( xdxx nb

a n φφ =∫

∴ 계수 2)(

)()(

x

dxxxfc

n

b

a nn

φ

φ∫= ---(1)

∴ ∑∞

==

02 )()(

),()(

nn

n

n xx

fxf φ

φ

φ : 직교급수 전개 or 일반화된 Fourier함수

정의 12.4 직교함수/무게함수

함수의 집합 )}({ xnφ ),2,1,0( L=n , 구간 ],[ ba 에서 무게함수 )(xw 에 대해

직교이다.

∫ =b

a nm dxxxxw 0)()()( φφ , nm ≠

두 함수의 내적 계산에 )(xw 를 곱하여 계산해로 값이

‘0’로 변치 않는 함수 (내적의 직교성이 살아있는)

- 직교 구간 ],[ ba 에서 0)( >xw 로 가정

- ex 1)의 },2cos,cos,1{ Lxx 는 구간 ],[ ππ− 에서 1)( =xw 이다.

- 103 -

일반식 계산에서

계수 2)(

)()()(

x

dxxxfxwc

n

b

a nn

φ

φ∫= ---(2)

→ 위 식과 동일 의미!

이러한 ))2()1(( orcn 식 을 가지는 함수를 “직교급수 전개”

or “일반화된 Fourier 급수”라 함

EX 12.1- 12)

x

pmx

pn ππ sin,cos,1 , L,3,2,1=n L,3,2,1=m

직교함을 보이고 Norm를 구하라.

sol) (1) 0sincos1 =

=⋅∫−

−

p

p

p

p

xpn

npxdx

pn π

ππ

0cossin1 =

−=⋅∫−

−

p

p

p

p

xpn

npxdx

pn π

ππ

(2) For nm ≠ ;

xdxpmx

pnxdx

pmx

pnp

p

p ππππ coscos2coscos0∫ ∫−

=⋅

∫

++

−= p dxx

pmnx

pmn

0

)(cos)(cos ππ

0)(sin)(

)(sin)( 00

=+

++

−−

=pp

xpmn

mnpx

pmn

mnp π

ππ

π

xdxpmx

pnxdx

pmx

pnp

p

p ππππ sinsin2sinsin0∫ ∫−

=⋅

∫

+−

−= p dxx

pmnx

pmn

0

)(cos)(cos ππ

0)(sin)(

)(sin)( 00

=+

+−

−−

=pp

xpmn

mnpx

pmn

mnp π

ππ

π

- 104 -

∫ ∫− −

++

−=⋅p

p

p

pdxx

pmnx

pmnxdx

pmx

pn ππππ )(sin)(sin2cossin

0)(cos)(2

)(cos)(2

=+

+−

+−

−−

=−−

p

p

p

p

xpmn

mnpx

pmn

mnp π

ππ

π

(3) For nm = ;

02cos4

2sin21cossin =−==⋅

−− −∫ ∫

p

p

p

p

p

px

pn

npxdx

pnxdx

pnx

pn π

ππππ

( AAA cossin22sin = )

∴ 직교 집합이다.

(4) Norm

dxxpnxdx

pnx

pnp

p

p

p

πππ∫ ∫− −

=⋅ 2coscoscos

AA

AA

AA

2cos21

21cos

1cos22cos

sin21cos

2

2

22

+=∴

−=

−=

dxxpnp

p∫−

+=

π2cos21

21

p

p

p

p

xpn

npx

−−

+=π

π2sin

)2(221

[ ] 0)(21

+−−= pp

2

coscoscos xpnx

pnx

pnp πππ

=

⋅==

dxxpnxdx

pmx

pnp

p

p

p

πππ∫ ∫− −

=⋅ 2sinsinsin

dxxpnp

p∫−

−=

π2cos21

21

p

p

p

p

xpn

npx

−−

−=π

π2sin

)2(221

2

sinsinsin xpnx

pnx

pnp πππ

=

⋅==

pdxp

p21)11( 2 ==⋅ ∫−

∴ pxpnp ==πcos,21 , px

pn

=πsin : ans.

- 105 -

(5) Normalize ;

L,)/sin(,)/cos(,

21

pxp

pxp

pππ

12.2 Fourier 급수

- 앞에서 }),(),(),({ 210 Lxxx φφφ 구간 ],[ ba 에서 직교 집합이면 동일 구간에서

L+++= )()()()( 221100 xcxcxcxf φφφ 로 표시(Fourier 급수) 가능!

계수 nc 은 “내적” 개념으로 결정 가능!

LL ,3sin,2sin,sin,,2cos,cos,1px

px

px

px

px πππππ

이 함수는 구간 ],[ pp− 에서 1 및 서로간에 “직교함수”이다.

→ 서로의 “내적”=’0’이다.

• 삼각급수

f : 구간 ],[ pp− 에서 정의된 함수이면

∑∞

=

++=

1

0 sincos2

)(n

nn xpnbx

pna

axf ππ

: 직교함수

→ 임의로 지정된 ‘1’의 계수 → “Fourier 급수”

(1) 0a ; p− 에서 p까지 적분

∑ ∫∫∫∫∞

=−−−−

++=

1

0 sincos2

)(n

p

pnp

pnp

p

p

pxdx

pnbdxx

pnadx

adxxf ππ

=0 =0 ) 직교과1(Q

∴ ∫ ∫− − − ===p

p

p

ppp pax

adx

adxxf 0

00 ][22

)(

∴ ∫−= p

pdxxf

pa )(10

(2) na ; 원식에

pxmπcos 를 곱하여 적분 → 내적 : 직교성 → na 을 구함

∫ ∑ ∫ ∫

∫

−

∞

=− −

−

++= p

pn

p

p

p

pnn

p

p

xdxpmx

pnbxdx

pmx

pnaxdx

pma

xdxpmxf

1

0 sinsincoscoscos2

cos)(

πππππ

π

- 106 -

직교성에 의하여

∫ ∫

∫

− −

−

=⋅

>=

p

p

p

p

p

p

xdxpmx

pn

mxdxpm

0cossin

0,0cos

ππ

π

∫− =⋅p

pxdx

pmx

pn ππ coscos nm ≠,0 직교성

nmp =,

∫−= p

pxdx

pnπ2cos

22cos1cos2cos1

21 2 AAdxx

pnp

p

−=←

+= ∫−

π

[ ] ppp

npxnp

x

p

p

=−−=

+=

−

)(21

2

2sin

21

π

π

∴ ∫− =p

p n paxdxpntf πcos)(

∴ ∫−= p

pn xdxpnxf

pa πcos)(1

(3) nb ; 원식에

Pxmπsin 를 곱하여 적분 → 내적 : 직교성 → nb 구함

동일한 방식으로 계산하면

∫− =p

p n pbxdxpnxf πsin)(

∴ ∫−= p

pn xdxpnxf

pb πsin)(1

- 107 -

정의 12.5 Fourier 급수

구간 ),( pp− 정의된 함수 f 의 Fourier 급수는

∑∞

=

++=

1

0 sincos2

)(n

nn xpnbx

pna

axf ππ

where ∫−= p

pdxxf

pa )(10

∫−= p

pn xdxpnxf

pa πcos)(1

∫−= p

pn xdxpnxf

pb πsin)(1

ex 1) Fourier 급수 전개

=)(tf ππ

π<≤−

<<−xxx

0,0,0

sol) ),(),( ππ−=− pp → 주기 π22 == pT → π=p

∫ ∫ ∫− −−+== π

π π

π πππ

0

00 )(101)( dxxdxdxxfa

22

12

1 2

0

2 πππ

ππ

π

=

=

−=xx

[ ]∫∫∫ −+==−−

π

π

π

ππ

ππ 0

0 cos)(01cos)(1 nxdxxdxnxdxxfan

∫ −= π ππ 0

cos)(1 nxdxx

1'

sincos'

−=→−=

=→=

vxvnnxunxu

π

+−= ∫

ππ

ππ 0

0

sinsin)(1 dxnnx

nnxx

π

π

ππ 00

cos1sin11

−=

= ∫ n

nxn

nxdxn

π

πππ 2

cos11cos1n

nnn

n−

=

+−

=

∴π2)1(1

na

n

n−−

=

- 108 -

→ 동일 방식

∫−= π

ππnxdxxfbn sin)(1

[ ]∫ ∫−−+= 0

0sin)(01

π

π ππ

nxdxxdx

∫ −= π ππ 0

sin)(1 nxdxx

1'

cossin'

−=→−=

−=→=

vxvnnxunxu

π

ππ

π

ππ

00

0

cos1cos)(1

−−−= ∫ nxdxnn

nxx

−=

πππ 0

sin11nnx

nn

∴n

bn1

=

∴Fourier 급수 ∑∞

=

+−−

+=1

2 sin1cos))1(1(4

)(n

n

nxn

nxn

xfπ

π :ans

정의 12.1 수렴조건

함수 f , 구간 ),[ pp− 에서 구분적 연속

⋅ 연속인 점 : Fourier 급수 → )(xf 에 수렴

⋅ 불연속인 점 : 평균값에 수렴

2

)()( −++ xfxf

where 좌극한우극한 :)(:)( −+ xfxf

ex 2) 불연속점에서 수렴

ex 1)에서 =)(tf ππ

π<≤−

<<−xxx

0:0:0

sol) (1) 0=x 을 제외한 ),( ππ− 에서

- 109 -

Fourier 급수 ∑∞

=

+−−

+=1

2 sin1cos)1(14

)(n

n

nxn

nxn

tfπ

π에 수렴!

(2) 0=x 에서

22

02

)0()0()( ππ=

+=

−++=

fftf 에 수렴

불연속점의 평균값

• 주기적인 확장

⋅ 주기 함수 : )()( xfTxf =+

Fourier 급수는 ),( pp− 에서뿐만 아니라 이 구간 밖에서도

주기적 확장(periodic extension)도 가진다!

• 부분합의 수열

ex 1)에서 ∑∞

=

+−−

+=1

2 sin1cos)1(14

)(n

n

nxn

nxn

tfπ

π

초항 = 4π

둘째 항 = xx sincos2+

π : 1=n 의 괄호안

셋째 항 = x2sin21

: 2=n 의 괄호안

∴수열

+ L,2sin

21,sincos2,

4xxx

ππ

4

)(1π

=xs

xxxs sincos24

)(2 ++=π

π

xxxxs 2sin21sincos2

4)(3 +++=

ππ

M M

)(xsn = (13)식

- 110 -

……; 불연속점(‘0’)에서 overshooting 현상 발생 → ‘Gibbs 현상’

← 주기적 확장

: N이 무한히 가면 함수에 접근

Fig 12.3 Fourier 급수의 부분합

12.3 Fourier 코사인 함수 and 사인급수

- 우함수(even function) : →=− )()( xfxf y축 대칭 ← 소(牛)뿔 연상

- 기함수(add function) : →−=− )()( xfxf 원점 대칭

• 예

(1) 2)( xxf =

22)()( xxxf =−=− : 우함수 →

)(xf=

(2) 3)( xxf =

33)()( xxxf =−=− : 기함수 →

)(xf−=

- 111 -

(3) 우함수:cos)cos( xx =−

기함수:sin)sin( xx −=−

(4) xexf =)( or xe − 는 우함수도 기함수도 아니다. 이럴 경우는 원래의

Fourier식 이용!

• 우함수와 기함수의 특징

정리 12.2 우함수, 기함수 특징

(a) 우함수×기함수=우 , 기함수×기함수=우

(b) 우함수×기함수=기 , 우함수 ± 우함수=우

(c) 기함수 ± 기함수=기

(f) 함수 f 가 우함수이면 ∫∫− = aa

adxxfdxxf

0)(2)( : y축 대칭이니까

(g) 함수 f 가 기함수이면 0)(∫− =a

adxxf : 원점 대칭이니까

• 코사인 급수와 사인 급수

정의 12.5 Fourier 급수를 우함수 , 기함수일 경우 정리

구간 ),( pp− 에서 )(xf

Fourier 급수 : ∑∞

=

++=

1

0 sincos2

)(n

nn xpnbx

pna

axf ππ

here ∫−= p

pdxxf

pa )(10

∫−= p

pn xdxpnxf

pa πcos)(1

∫−= p

pn xdxpnxf

pb πsin)(1

(1) )(xf 가 우함수이면

∫−= p

pdxxf

pa )(10 = ∫

p dxxfp 0

)(2

∫−= p

pn xdxpnxf

pa πcos)(1

= dxxpnxf

pp∫0 cos)(2 π

∫−= p

pn xdxpnxf

pb πsin)(1 0=

- 112 -

(2) )(xf 가 기함수이면

∫−= p

pdxxf

pa )(10 0=

∫−= p

pn xdxpnxf

pa πcos)(1 0=

∫−= p

pn xdxpnxf

pb πsin)(1

∫= p xdxpnxf

p 0sin)(2 π

정리 12.6 Fourier 코사인 및 사인 함수

i) ),( pp− , 우함수 )(xf 의 Fourier 급수 → cosine 급수

∑∞

=+=

1

0 cos2

)(n

n xpna

axf π

∫= p dxxfp

a00 )(2

∫= pn xdx

pnxf

pa

0cos)(2 π

ii) ),( pp− , 기함수 )(xf 의 Fourier 급수 → sine 급수

∑∞

==

1

2sin)(n

n xp

bxf π , ∫= p

n xdxpnxf

pb

0sin)(2 π

ex 2) 사인 급수로 전개

xxf =)( , 22 <<− x

sol) → )()( xfxxf −=−=− ∴기함수

Fourier sine 함수 이용 , 주기 42 == pT → 2=p

∫= 2

0 2sin

22 dxxnxbn

π

2cos2,1'

2sin',

xnn

uv

xnuxv

ππ

π

−==

==

∴

+

−= ∫

2

0

2

0 2cos2

2cos2 dxxn

nxn

nxbn

ππ

ππ

=

2

0

2

2sin2 xn

nπ

π

=0

- 113 -

∴ ππ

nn

bn cos4−= ← ):(1cos),:(1cos evennnaddnn +=−= ππ

πn

n 1)1(4 +−=

∴ ∑∞

==

1sin)(

nn x

pnbxf π

∑∞

=

+−=

1

1

2sin)1(4

n

n xnn

ππ

xnnn

n

2sin)1(4

1

1 ππ∑∞

=

+−= : Fourier 급수

주기 확장

ex 3) 사인 급수의 전개

=)(xf π

π<≤

<<−−x

x0,1

0,1

),( ππ− 에서 기함수, π=p

sol)

∴ ∫= pn xdx

pntf

pb

0sin)(2 π

← π=p

∫ ⋅= π

π 0sin12 nxdx

+−

=

−=

nn

nnx 1cos2cos2

0

πππ

π

−

=nnπ

πcos12

← =πncos ):(1),:(1

evennaddn−

∴

−−=

nb

n

n)1(12

π

∴ ∑∞

==

1sin)(

nn x

pnbxf π

∑∞

=

−−=

1sin)1(12

n

n

nxnπ

:ans

- 114 -

• Gibbs 현상 : overshooting 현상

* 불연속점 근처에서 ns 의 값이 ∞→n 로 가더라도

overshooting이 잔존하는 것!

• 반구간 전개

- 함수 )(xfy = 가 구간 Lx <<0 에서 정의

1) 함수의 그래프가 y축에 대하여 0<<− xL 으로 반사 → LxL <<− 에서 우함수

2) 함수의 그래프가 원점에 대하여 0<<− xL 으로 반사 → LxL <<− 에서 기함수

3) )()( Lxfxf += 로 0<<− xL 에서 함수 f 의 정의 → Fourier 원식전개

ex 4) 2)( xxf = , Lx <<0 → (a) cosine 급수 , (b) sine 급수 , (c) Fourier 급수

sol) )(xf 는 우함수이지만 구간이 Lx <<0 이므로 엄밀히 보면

우함수도 기함수도 아니다. 이러한 경우를 이용하여

1) Fourier 급수의 cosine 함수로 표현 )( LxL <<−

2) Fourier 급수의 sine 함수로 표현 )( LxL <<− 가능!

3) Fourier 급수의 원식으로 표현 )0( Lx <<

a) cosine 급수로 전개 : 주기 L2= =2L 즉 Lp = 로 보자

Lpdxxfp

a p =←= ∫00 )(2

32

32

322 23

0

3

02

0L

LLx

Ldxx

La

LL ==

== ∫

- 115 -

∫∫ == Lpn xdx

Lnx

Ldxx

pnxf

pa

02

0cos2cos)(2 ππ

Lxn

nLuxv

Lxnuxv

ππ

π

sin,2'

cos',2

==

==

−=

−= ∫∫

LLL

xdxLnx

nL

Lxdx

Ln

nLx

Lxn

nLx

L 000

2

sin22sin2sin2 ππ

ππ

ππ

Lxn

nLuv

Lxnuxv

ππ

π

cos,1'

sin',

−==

==

+−−= ∫

LL

xdxLn

nL

Lxn

nLx

nL

L 00

coscos22 ππ

πππ

=

−

−=

LL

Lxnx

nL

Lxn

nLx

LnL

022

0

cos4cos4 ππ

πππ

ππ

nnL cos422

2

= ← =πncos evennaddn

:,1:,1−

∴ nn n

La )1(422

2

−=π

∴ xpn

nLLx

pna

axf

n

n

nn

ππ

π cos)1(432

21cos

2)(

122

22

1

0 ⋅−

+⋅=+= ∑∑∞

=

∞

=

xpn

nLL

n

n

∑∞

=⋅

−+=

122

23

cos)1(43

ππ

→ 그림 12-14(a)

b) 사인급수. c) Fourier 원급수는 각자 해볼 것!

- 116 -

12.4 복소 Fourier 급수와 도수 스펙트럼

* 복소 Fourier 급수

∑∞

=

++=

1

0 sincos2

)(n

nn xpnbx

pna

axf ππ

---(1)

∫

∫

∫

−

−

−

=

=

=

p

pn

p

pn

p

p

xdxpnxf

pb

xdxpnxf

pa

dxxfp

a

π

π

sin)(1

cos)(1

)(10

→ 복소수 포함 (Qcosine 과 sine 함수 포함)

Euler 공식에 의해

ieexeexixixixix

2sin,

2cos

−− −=

+=

(1)식을 재정리하면

∑∞

=

−−

−+

++=

1

////0

222)(

n

pxinpxin

n

pxinpxin

n ieebeea

axf

ππππ

( ) ( )∑∞

=

−

++−+=1

//0

21

21

2 n

pxinnn

pxinnn eibaeiba

a ππ

∑∑∞

=

−−

∞

=++=

1

/

1

/0

n

pxinn

n

pxinn ececc ππ

where )(21),(

21,

21

00 nnnnnn ibacibacac +=−== −

∫−⋅= p

pdxxf

pc )(1

21

0

−=−= ∫ ∫− −

p

p

p

pnnn xdxpnxf

pixdx

pnxf

pibac ππ sin)(1cos)(1

21)(

21

dxxpnix

pnxf

pp

p∫−

−=

ππ sincos)(21

dxexfp

p

ppxin∫−

−= /)(21 π

dxexfp

ibac p

ppxin

nnn ∫−− =−= /)(21)(

21 π

- 117 -

정의 12.7 복소 Fourier 급수

구간 ),( pp− 에서 정의된 함수 f

∑∞

−∞==n

pxinnecxf /)( π : Complex Fourier series

where

L,2,1,0,)(21 / ±±== ∫−

− ndxextp

c p

ppxin

nπ

• 복소 Fourier 급수의 수렴

⋅ 연속인 점 : )(xf 로 수렴

⋅ 불연속인 점 : 평균값

+ −+

2)()( xx ff

로 수렴

ex 1) xexf −=)( , ππ <<− x

복소 Fourier 급수로 전개하라.

sol) 주기 π22 == pT → π=p

∴ ∑∑∞

−∞=

∞

−∞===n

inxn

n

xinn ececxf ππ /)(

dxedxeec xininxn ∫∫ −

+−−

−− == π

π

π

ππ

ππ)1(

21

21

π

ππ −

+−⋅

+−

= xinein

)1(

)1(1

21 [ ]ππ

π)1()1(

)1(21 ++− −+

−= inin eein

πππ

πππ

ππ

ππ

ππ

eninee

eninee

nn

nin

nin

n

)1()sin(cos

)1()sin(cos0)sin(,)1()cos(

)1(

)1(

−=+=

−=−=

=−=

+

−−+−

∴ )()1()1(2

1 ππ

πee

inc nn −−

+−= −

+

−

−=

−

π

ππ

)1(1)1(

2 inee n

−+

−

−=

)1)(1()1(sinh)1(inin

inn

ππ

+−

−= 21

1sinh)1(ninn

ππ

∴ inx

n

n eninxf

+−

−= ∑∞

−∞= 11)1(sinh)( 2π

π :ans

→ )(xf 의 급수는 )(xf 의 π2 (주기) 주기적 확장으로 수렴

- 118 -

<Ex 12.4-1>

1. =)(xf 20,102,1

<<<<−−

xx

sol) 2=p

∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞===

n n

xinn

pxinn ecectf 2//)( ππ

[ ]dxedxedxexfc xinxinxinn ∫∫∫ −

−−

−− +−== 2

02/0

22/2

22/ )1(

41)(

41 πππ

−+

−= −

−

−2

0

2/0

2

2/ 2241 xinxin e

ine

inππ

ππ

[ ]112

−++−= −+ ππ

πinin ee

ni

ninx

nin

nne

nne

)1(sincos)1(sincos

−=−=

−=+=− ππ

πππ

[ ]1)1()1(12

−−+−+−= nn

niπ

[ ]nni )1(222

−+−=π

−+−=

ini n

π))1(1()( 2

in

n

π)1(1 −−

=

[ ]∫ ∫∫− −+−== 2

2

0

2

0

20 141)(

41 dxdxdxxfc

[ ]02

0

241 xx +−=

−

[ ])20()20(41

−++=

0=

∴ 2/)1(1)( π

πin

n

n

ein

xf ∑∞

−∞=

−−=

- 119 -

♠ 기본 도수 (Fundamental Frequency)

⋅ Fourier 급수 ; 기본 주기 (fundamental period) pt 2= 인 주기함수

Fourier 급수 : ( )∑∞

=++=

1

0 sincos2

)(n

nn xbxaa

xf ωω

복소 Fourier 급수 : ∑∞

−∞==n

xinnecxf ω)(

where Tπω 2

= ; 기본 각도수 (fundamental angular frequency)

♠ 도수 스펙트럼 (Frequency Spectrum)

; 함수 f 가 기본주기 T인 주기함수일 때, 점 ),( ncnω 의 모임

→ f 의 도수 스펙트럼

ex 2) ex 1)의 도수 스펙트럼 ?

sol) ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

+−

−==n n

inxninxn e

ninecxf1

1)1(sinh)( 2ππ

1=ω

∴ππω22

= → L,2,1,0 ±±=ωn

1

1sinh)1( 2 +−

⋅−=ninc n

n ππ

← 22 βαβα +=+ i

∴1

1sinh2 +

⋅=n

cn ππ

결국 그러므로 도수 스펙트럼은

λ … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

nc … 1.162 1.644 2.599 3.696 2.599 1.644 1.162 …

- 120 -

12.5 Sturm – Liouville 문제

♠ review

방정식 일반해

선형방정식 0,00,0

0'

>=−′′>=+′′

=+

λλλλ

λ

yyyyyy

xcxcy

ececy

xcxcy

ecy

xx

x

λλ

λλλλ

λ

sinhcosh

or

sincos

11

21

21

1

+=

+=

+=

=

−

M

Cauchy – Eular 방정식 0''' 22 =−+ yxxyyx

0,ln0,

)0(

21

21

=+=≠+=

>

λλλλ

xccyxcxcy

x

♠ 고유값과 고유 함수

chap 3.9 참조

♠ 정칙 Sturm - Liouville 문제

⋅ ',,, rrgp 이 구간 ],[ ba 에서 연속인 실수값 함수

⋅ 그 구간의 모든 x에 대해 0)( >xr & 0)( >xp

문 : 0))()((]')([ =++ yxxpxqyxrdxd

; 자기 수반 형태

조건 : 0)(')( 11 =+ ayay βα

0)(')( 22 =+ ayay βα

정의 12.3 정칙 Sturm – Liouville 문제의 특성

(a) ∞→n ∞→λ 이 되는 LL <<<< nλλλ 21 인 무한개의 실수 고유값이

존재

(b) 각각의 고유값에 대해(0이 아닌 수의 곱 제외) 오직 하나의 고유함수 존재

(c) 서로 다른 고유값에 대응하는 고유함수들은 일차 독립

(d) 고유함수의 집합은 구간 ],[ ba 에서 무게함수 )(xp 에 직교이다.

즉, ∫ ≠=b

a nmnm dxxyxyxp λλ,0)()()( ---(1)

- 121 -

ex 2) 정칙 Sturm – Liouville 문제

0)1(')1(,0)0(,0'' =+==+ yyyxyy

sol) (1) 0=λ

21

1'0''

cxcycy

y

+===

0)0( 2 == cy

00)1(')1( 111 =→=+=+ cccyy

∴ 0=y : 자명해

(2) 0<λ

보조방정식 : 02 =+ λm → λ−±=m

∴ xx ececy λλ −−− += 21

0)0( 21 =+= ccy

λλλλ λλ −−−−−− −−−++=+ ececececyy 2121)1(')1(

0)1()1( 21 =−−+−+= −−− λλ λλ ecec

∴ 021 == cc

∴ 0=y : 자명해

(3) 0>λ

보조방정식 : 02 =+ λm → im λ±=

∴ ( ) ( )xcxcy λλ sincos 21 +=

0)0( 1 == cy

0cossin)1(')1( 22 =+=+ λλλ ccyy

02 =c → 0=y : 자명해

02 ≠c → 0cossin =+ λλλ ←양변÷ λ

λλ −=tan

put x=λ → xx −=tan

∴ )sin(2 xcy nλ= : 비자명해

where nn λλ tan−= , L,3,2,1=n

- 122 -

♣ 특이 Sturm – Liouville 문제

: 구간 ],[ ba 의 끝에서

0)( =ar or 0)( =br or 0)()( == brar

인 Sturm – Liouville 문제 → 특이 Sturm – Liouville 문제

⋅ 특징 i) 0)( =ar → ax = 에서의 경계조건 없이 (1)의 직교관계 성립

ii) 0)( =br → bx = 에서의 경계조건 없이 (1)의 직교관계 성립

iii) 0)()( == brar → ax = & bx = 에서의 경계조건 없이 (1)의

직교관계 성립

∫ ≠=b

a nmnm dxxyxyxp λλ,0)()()( ---(1)

♣ 자기 수반 형태 (Self adjoint form)

연속된 계수이고 어떤 구간의 모든 x에 대해 0)( ≠xa

0))()((')('')( =+++ yxdxcyxbyxa λ ---(2)

인 2계 미분 방정식은 적분인자

∫ dxxaxbe

xa))(/)((

)(1

를 곱함으로 자기 수반 형태로 바꿀 수 있다. → Sturm – Liouville 문제

즉,

0)()(

)()('

)/()/())(/)((=

∫+∫+

∫ ye

xaxde

xaxcye

dxd dxabdxabdxxaxb

λ

)(xr= )(xq= )(xp=

- 123 -

Ex 12.5 – 7) 0)5(,0)1(,0'''2 ===++ yyyxyyx λ

Ex 12.5 – 8) 0)2(,0)0(,0''' ===++ yyyyy λ

(a) 고유값과 고유함수

(b) 자기 수반 형태

(c) 직교 관계 조사

Sols.)