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Ondes mécaniques A2016 - B.B. 1
1
Chap. 1Mouvement oscillatoire
1.1-1.2 Mouvement harmonique simple
1.1-1.2 Système bloc-ressort
1.7 Oscillations forcées et résonance
2
1.1-1.2 Mouvement harmonique
simple (MHS)
Un exemple: masse + ressort
D’autres exemples?
3
(ici, φ = 0)Positionà l’instant t
(ou pulsation)
-1
2 (rad/s)
: fréquence (Hz ou s )
1 : période (s)
: dépend des conditions initiales
f
f
T f
ω π
φ
=
=
4
L’oscillateur avec φ < 0 est en retard par rapport à celui avec φ = 0
t
Aurait-on pu déduire φ pour la courbe rouge?
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 2
5
Exemple: oscillation des gratte-ciel!
Amplitude de quelques cm,voir 1 à 2 mètres par grand vent.
Empire State Building:T = 8 s (f = 0,125 Hz)
6
1.1-1.2 Système bloc-ressort
rigidité
inertie
k
mω =
=
Preuve…
7
1.7 Oscillations forcées et résonance
• Éléments d’un système résonant– Inertie (opposition au changement)
– Force de rappel, énergie potentielle (accumulation)
– Dissipation
– Source externe ajustée à la bonne fréquence
: fréq. angulaire naturelle du système (propre, de résonance)
: fré
Si
q. angulaire externe (source)
(amplitude maximale) résonancee
e
ω
ω
ω
ω
≈ ⇒8
1.7 Résonance (suite)
• Exemples– Système bloc-ressort réel (amorti et entretenu)– Balançoire– Circuit RLC– Structures (ponts, édifice)– Ondes stationnaires (ex.: corde vibrante)
(amplitude maximale)
Sinon amp
Si r
l
é
i
so
tu
nance
de plus faibleeω ω≈
⇒
⇒
N.B. Souvent, ∃ plusieurs fréquences de résonance
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 3
9
Si résonanceeω ω≈ ⇒
10
11
Chap. 2A et 4A Ondes progressives et stationnaires
2.1* Généralités
2.2* Ondes sinusoïdales progressives
2.3* Vitesse des ondes
3.1* Introduction aux ondes sonores
4.1* Superposition et interférence
4.2* Ondes stationnaires
4.3-4.4 Ondes stationnaires sur une corde finie
4.5 Ondes stationnaires dans une colonne d’air
2.1 Généralités
• Onde = perturbation qui se transmet au voisinage (se propage)
• Ingrédients d’une onde mécanique– Déformation locale d’un milieu continu
– Force de rappel (élasticité)
12
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 4
13
2.1 Généralités (suite)
• Types: mécaniques, électromagnétiques et de matière
• Onde transporte de l’énergie
• Onde transversale: oscillation ⊥ direction de l’onde
•Onde longitudinale: oscillation // direction de l’onde
14
2.2 Ondes sinusoïdales progressives
λ:longueur d’onde(s’ajuste selon f)
de l'onde
(dépe
vitesse
nd du milieu)
v fT
λλ= =
se propagent…
Mvt. du point P:MHS
15
2.3 Vitesse des ondes (corde et autres)
• Ondes sonores dans l’air: 343 m/s
• Ondes électromagnétiques dans le vide:c = 3 X 108 m/s
• Ondes sur une corde tendue: (section 2.3)
: force de tension (N)rigidité o :
: masse linéique (kg/m)inertiev
τ
µ
τ
µ=
=
ù
16
3.1 Introduction aux ondes sonores
Ondes longitudinales
Compression et raréfaction du milieu
Oreille humaine:20 Hz à 20 kHz
Infrasons et ultrasons
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 5
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Réponse en fréquence de l’oreille humaineCourbes d’égale sensation
Utilité du loudness
18
constructive destructive intermédiaire
Selon φ (entre les ondes originales), l’interférence sera…
4.1 Superposition et interférence
19
4.2 Ondes stationnaires
Interférence de 2 ondes identiques sauf leur direction
Onde résultantene se propage pas.
Nœuds et ventres
20
f doit être ajustée pour avoir des
nœuds aux 2 bouts
2nL n
λ=
4.3-4.4 Ondes stationnaires surune corde de longueur L (résonance)
2
où 1, 2,3,...
n
vf n
Ln
=
=
Fréquence propre(harmonique) du ne mode:
n = 1 : fondamental
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 6
21
4.5 Ondes stationnaires (colonnes d’air)
• Réflexions aux extrémités d’un tuyau– Possibilité d’une onde stationnaire
• Extrémité fermée:– Nœud de déplacement
• Extrémité ouverte:– Ventre de déplacement (approx.)
Mouvement réel –vs- représentation(une extrémité fermée ici)
22
23
2nL n
λ=
où 1, 2,3,...2n
vf n n
L= =
•2 extrémités ouvertes:
4nL n
λ=
où 1,3,5,...4n
nvf n
L= =
•Une extrémité fermée:
Harmoniques impairs seulement24
Chap.2BMouvement ondulatoire2.3 Vitesse des ondes dans une corde
2.4 Réflexion et transmission
2.1-2.2 Équation d’une onde progressive
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 7
25
2.3 Vitesse des ondes dans une corde
rigidité
inertiev
τ
µ= = Preuve…
Dans le repère de l’impulsion…
26
Réflexiondure
Onde réfléchieinversée
2.4 Réflexion et transmission
27
Réflexionmolle
Onde réfléchienon-inversée
Réflexion et transmission (suite)
28
L’onde transmise
n’est jamais
inversée
La fractionréfléchie
dépend de ladifférence entre
les 2 milieux
Réflexion et transmission (suite)
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 8
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( ) ( )
phase de l'onde
, s En gé inéra nl, my x t y kx tω φ= ± +�������
Pour une onde se propageant vers les x positifs…
…le temps introduit un déphasage négatif
2.1-2.2 Équation d’une onde progressive
2: nombre d'onde (rad/m)k
π
λ=
Preuve…
30
Chap.3 Ondes sonores
• 3.1 Variations de pression• 3.2 Vitesse du son• 3.3 Intensité et niveau sonore• 3.4 Effet Doppler• 3.4 Vitesses supersoniques
3.1Variations de pression
31
Molécules après l’arrivée de l’onde
Molécules avant l’arrivée de l’onde
32
3.2 La vitesse du son
Vitesse des ondes sur une corde (rappel):rigidité
inertiev
τ
µ= =
Par analogie, on aura pour la vitesse du son:B
vρ
=
avecρ : masse volumique du milieuB : module de compressibilité du milieu (incompressibilité)
(en N/m² ou Pa)
solides liquides gazB B B� �
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33
Milieu Vitesse (m/s)
Air (0°C) 331
Air (20°C) 343
Hélium (0°C) 965
Hydrogène (0°C) 1284
Eau (0°C) 1402
Eau (20°C) 1482
Mercure (25°C) 1450
Diamant 12000
Aluminium 6420
Cuivre 3560
Caoutchouc 1600
Plomb 132234
3.5 Intensité et niveau sonore
2
Intensité :
W en
m
dépend de l'endroit
où on se trouve
p/r à la source
PI
A
=
Source isotrope: émission uniforme dans toutes les directions
I diminue quand on s’éloigne d’une source isotropeP captée (à un certain endroit) augmente si l’aire du capteur augmente
35
Échelle des décibels
• Oreille humaine– Seuil d’audibilité: I0 = 10-12 W/m²
– Seuil de la douleur: 1 W/m²
– Pour doubler notre perception, I doit décupler⇒Échelle logarithmique plus pratique…
0
niveau sonore (en dB) 10log: I
Iβ
=
Exemples…36
Relation avec l’amplitude et la fréquence
En général,
2
2(et P)
fI
amplitude
∝
Hautes fréquences demandent plus de puissance pour une même amplitude
Son: amplitude des déplacements (ou des variations de pression)Corde: amplitude de déplacement de la cordeEM: amplitude du champ électrique ou magnétiqueetc…
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 10
37
3.8 L’effet Doppler (pas seulement pour le son)
• Variation de f observée due à un mvt. relatif– Rapprochement ⇒ f’ > f
– Éloignement ⇒ f’ < f
• Convention de signesvO : positive si O s’approche de S (négative si s’éloigne)
vS : positive si S s’approche de O (négative si s’éloigne)
Les deux signes sont indépendants!
: vitesse du son
: vitesse de l'observateuroù
: vitesse de la source
(toutes mesurées p/r au fluid )
'
eS
O
S
O
v
v
vf
v
v
v
vf
+
=
−
38
Preuve…
39
3.9 Vitesses supersoniques
Onde de choc(cône de Mach)
si vs � v
40
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 11
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Chap.4 Superposition (compléments)
• 4.7 Battements• 4.2 Retour sur l’onde stationnaire (équation)• 4.8 Instruments de musique
42
4.7 BattementsSuperposition de 2 ondes de f voisines…⇒Amplitude de l’onde résultante oscille 1 2batf f f= −
Accord des instruments
Preuve…
43
4.2 Équation d’une onde stationnaire
( ) ( ) ( )1 2, , ,y x t y x t y x t′ = +Interférence de 2 ondes:principe de superposition
(général)
Onde stationnaire:interférence de 2 ondes identiques sauf leur direction:
( ) ( )
( ) ( )1
2
, sin
, sin
m
m
y x t y kx t
y x t y kx t
ω
ω
= −
= +
Preuve…
44
Les f diminuentsi L augmente (même milieu)
4.8 Instruments
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 12
45
Production des sons par un instrument
• Excitation par un mélange de fréquences– cordes vocales
– corde frottée ou grattée
– air soufflé, …
• Résonance pour certaines : le son entendu!
• Son = fondamentale et harmoniques supérieurs « naturels »
• Note jouée: la fondamentale (n = 1)
46
Instruments (suite)
Flûte:selon le premier trou dégagéExcitation d’un
tuyau d’orgue
47
Instruments (suite)
Corde pincée au centre
Analyse de Fourier:Tout signal périodique peut se décomposer en une somme d’harmoniques
48
La même note (f1) jouée sur 3 instruments différents…
Ondes mécaniques A2016 - B.B. 13
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Le mélange des harmoniques caractérise le timbre des instruments
50
La gamme tempérée (3e octave)
Note f (Hz) Note f (Hz)
Do3 261,6 Sol3 392
Do#3 ou Réb3 277 Sol#3 ou Lab3 415
Ré3 294 La3 440
Ré#3 ou Mib3 311 La#3 ou Sib3 466
Mi3 330 Si3 494
Fa3 349 Do4 523,2
Fa#3 ou Solb3 370 Do5 1046,4
Un doublement de fréquence par octaveChaque octave: douze demi-tons (X 21/12)