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目錄
單元二:根式的運算 ...................................... 1
課文 A:根式的乘除 ............................................................................................ 1
課文 B:最簡根式與分母有理化 ........................................................................ 8
課文 C:根式的加減 .......................................................................................... 18
課文 D:根式的四則運算 .................................................................................. 30
單元三:畢式定理 ....................................... 38
課文 A:畢式定理 .............................................................................................. 38
課文 B:平面上兩點間的距離 .......................................................................... 51
1
單元二:根式的運算
課文 A:根式的乘除
在這個單元中,我們要學根式的運算!
什麼是根式呢?
根式就是指含有根號的數或式子,像是 √5、√2 × √5、√12 ÷ √2 、
√27 − √12…等都叫根式。
回想一下,我們在國一學代數式時,有一些簡記的方式,而在根式當
中,也可以利用這些簡記規則去簡記一些根式。
例如:
2 × 𝑥 簡記成 2𝑥;2 × √3 就可以簡記成 2√3。
(−1) × 𝑥 簡記成 −𝑥;(−1) × √7 就可以簡記成 −√7。
4
5× 𝑥 簡記成
4
5𝑥 或是
4𝑥
5;
4
5× √3 簡記成
4
5√3 或是
4√3
5。
接下來,我們要看根式的乘法運算。
√3 × √7 這個式子會等於什麼?
我們先將它平方後變成整數,再開根號還原回來比較看看!
(√3 × √7)2 = (√3 × √7) × (√3 × √7) = √3 × √7 × √3 × √7
= (√3 × √3) × (√7 × √7) = (√3)2 × (√7)2 = 3 × 7
有兩個 √3 、兩個 √7!
我們換位置乘一下!
2
我們將 √3 × √7 平方後,發現 (√3 × √7)2 = 3 × 7;
再將 (√3 × √7)2 開根號還原回去 √3 × √7 ,而等號右邊 3 × 7 開根號
就會是 √3 × 7。
所以就會得到 √3 × √7 = √3 × 7。
從上面的這個例子,我們可以得到一個結論:
若 𝑎、𝑏 均大於等於 0,則 √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏
我們來試試看其他題:
Ex1.計算下列各根式的乘積:
(1) √7 × √13 (2) √6 × √5
2 (3) √
9
10× √
5
2
解:
(1) √7 × √13 = √7 × 13 = √91
(2) √6 × √5
2= 6
3 5
2 = √15
(3) √9
10× √
5
2=
9
10 2
5
2= √
9
4
注意!√9
4 還可以繼續化簡,√
9
4= √(
3
2)2 =
3
2
3
Ex2.計算下列各根式的乘積:
(1) 2√7 × 5√3 (2) √7
5× 8√5 (3)
2
5√11 ×
3
4√3
解題思維:
這題根式乘積的計算已經跟上題有些不一樣了,每個根號前面多
了一個數。
我們來想一下,從前面根式的簡記可以知道:2√7 = 2 × √7 ;
5√3 = 5 × √3。
所以我們計算 2√7 × 5√3 時,
2√7 × 5√3 = 2 × √7 × 5 × √3 = 2 × 5 × √7 × √3
= (2 × 5) × (√7 × √3) = 10 × √21 = 10√21
仔細看這個計算的過程,其實會發現這個根式乘積的計算就是
“根號外面乘根號外面,根號裡面乘根號裡面”,例如在計算
2√7 × 5√3 時,根號外面乘根號外面就是 2 × 5,根號裡面乘根
號裡面就是 7 × 3,所以 2√7 × 5√3 = (2 × 5)√7 × 3 = 10√21。
解:
(1) 2√7 × 5√3 = (2 × 5)√7 × 3 = 10√21
(2) √7
5 其實就是
1
5√7,根號外面就是
1
5 ,根號裡面就是 7。
√7
5× 8√5 =
1
5√7 × 8√5 = (
1
5× 8) √7 × 5 =
8
5√35
(3) 2
5√11 ×
3
4√3 = =
3
10√33
4
看完根式的乘法運算後,來看一下根式的除法運算。
我們如果要計算√11 ÷ √2 這個式子呢?
回憶一下,我們之前有學過除法與分數的關係,例如 3
4 可以想像成有
兩種唸法,一種是由下往上唸,唸成「4 分之 3」;而另一種就是由上
往下唸,唸成「3 除以 4」。
這個用來除法運算換成分數或分數換成除法運算都非常好用,所以
√11 ÷ √2 其實就是 √11
√2。
這個分數會等於什麼?
我們先將它平方後變成整數,再開根號還原回來比較看看!
(√11
√2)2 =
√11
√2×
√11
√2 =
√11×√11
√2×√2=
(√11)2
(√2)2=
11
2
我們將 √11
√2 平方後,發現 (
√11
√2)2 =
11
2;
再將 (√11
√2)2 開根號還原回去
√11
√2 ,而等號右邊
11
2 開根號就會是 √
11
2。
所以就會得到 √11
√2= √
11
2 。
而 11
2 其實就是 11 ÷ 2 ,所以 √11 ÷ √2 =
√11
√2= √
11
2= √11 ÷ 2
所以我們得到一個結論:
5
若 𝑎 ≥ 0、𝑏 > 0 ,則 √𝑎 ÷ √𝑏 =√𝑎
√𝑏= √
𝑎
𝑏= √𝑎 ÷ 𝑏
我們來試試看其他題:
Ex3.計算下列各式:
(1) √48 ÷ √12 (2) √4
3÷ √
2
9 (3) √12 ÷ √
4
5
解:
(1) √48 ÷ √12 = √48 ÷ 12 = √4 = 2
= √6 (2) √4
3÷ √
2
9= √
4
3÷
2
9=
= √15 (3) √12 ÷ √4
5= √12 ÷
4
5=
√4還可以化簡為 2 !
7
A.隨堂練習
1.計算下列各根式的乘積:
(1) √6 × √35 (2) √14 × √3
7 (3) √
6
5× √
10
3
2.計算下列各根式的乘積:
(1) 3√5 × 2√2 (2) √2
3× 9√3 (3)
3
2√5 ×
4
9√7
3.計算下列各式:
(1) √98 ÷ √2 (2) √7
15÷ √
7
30 (3) √18 ÷ √
6
5
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://www.youtube.com/
watch?v=vbbYeHt0BLk
還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://www.youtube.com/
watch?v=kR5DsEqRqgo
8
單元二:根式的運算
課文 B:最簡根式與分母有理化
在根式的運算中,我們常常會希望式子可以盡量的簡單清楚而且有一
致性,所以我們就會借用最簡根式來做化簡處理。
什麼是最簡根式呢?就是指根式已經化簡到無法再化簡的根式!
像是 √8 是可以繼續化簡的:
√8 = √22 × 2 = √22 × √2 = 2 × √2 = 2√2
2√2 已經無法再化簡了,所以我們就稱 2√2 是 √8 的最簡根式。
又像是 √12:
√12 = √22 × 3 = √22 × √3 = 2 × √3 = 2√3 ,
2√3 已經無法再化簡了,所以我們就稱 2√3 是 √12 的最簡根式。
我們來練習看看!
8 可以拆成 22 × 2
根式的乘法運算:√𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏;
這個等式反過來看,即√𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏
9
Ex1.將下列各式化為最簡根式:
(1) √72 (2) √80 (3) √360
解題思維:
我們在化簡根式的時候,只要是完全平方數就可以再往外提出去,
目標就是要提到不能再提為止。所以我們在對根號內的數因數分
解時,可以盡量用完全平方數去分解。
解:
√72 = √4 × 9 × 2 = √4 × √9 × √2 = 2 × 3 × √2
= 6√2
而第(2)小題
√80 = √4 × 4 × 5 = √4 × 4 × √5 = 4 × √5 = 4√5
(3) √360 = √36 × 10 = 6√10
剛好兩個 4 !
10
Ex2. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √22 × 33 × 5 (2) √24 × 35 (3) √24 × 54
解題思維:
跟上一題一樣,我們在化簡根式的時候,只要是完全平方數就可
以再往外提出去,這一個過程我們可以利用「集滿兩個換出去」
這個口訣記。
這個口訣是什麼意思呢?
像是 √22 × 33 × 5 = √22 × 32 × 3 × 5 = √22 × √32 × √3 × 5
= 2 × 3 × √15 = 6√15
我們利用這個口訣,可以這樣想:
√22 × 33 × 5 = 2 × 3 × √3 × 5 = 6√15
再例如 √24 × 35 :
√24 × 35 = 22 × 32 × √3 = 4 × 9 × √3 = 36√3
根號裡面有 2 個 2、3 個 3、1 個 5
根號裡面有 4 個 2、5 個 3
原本裡面 2 個 2,
換出去外面變成 1 個 2 原本裡面 3 個 3,
其中 2 個 3 換出去外面變成 1 個 3;
根號裡面留下 1 個 3。
原本裡面 1 個 5,
集滿兩個才能換出去,
所以繼續留在裡面。
原本裡面 4 個 2,
換出去外面變成 2 個 2
原本裡面 5 個 3,
其中 4 個 3 換出去外面變成 2 個 3;
根號裡面留下 1 個 3。
11
解:
(1) √22 × 33 × 5 = 2 × 3 × √15 = 6√15
(2) √24 × 35 = 22 × 32 × √3 = 36√3
(3) √24 × 54 = 22 × 52 = 100
Ex3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式:
(1) √6 × √8 × √12 (2) √10 × √14 × √98
解:
(1) √6 × √8 × √12 = √6 × 8 × 12 = √6 × (4 × 2) × (2 × 6)
= √6 × 4 × 4 × 6 = 6 × 4 = 24
說明:
√6 × √8 × √12 根據根式的乘法運算就是 √6 × 8 × 12 ,
而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解,我們只要朝著
「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。
√6 × 8 × 12
從分解當中可以發現有 2 個 6 ,其他 4 × 2 × 2 可以湊成 2 個 4,
「集滿兩個換出去」,所以換出去變成 1 個 6 、1 個 4,也就是6 × 4 = 24。
想一想有沒有其他分法呢?
6 × 2 4 × 2
12
(2) √10 × √14 × √98 = √10 × 14 × 98
= √(5 × 2) × (2 × 7) × (7 × 14) = 2 × 7 × √5 × 14 = 14√70
說明:
√10 × √14 × √98 根據根式的乘法運算就是 √10 × 14 × 98 ,
而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解,我們只要朝著
「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。
√10 × 14 × 98
從分解當中可以發現有 2 個 2、2 個 7,可以集滿兩個換出去,
而其他 5 × 14 = 70 不能拆成一對一對。
所以換出去根號外面變成 1 個 2 、1 個 7,70 留在根號裡面不能
換出去,也就是2 × 7 × √5 × 14 = 14√70。
除了上面那種「根號內仍有可以提出到根號外的因數」的根式可以繼
續化簡以外,還有兩大類可以繼續化簡:
(一) 分母有根式,例如:2
√3、
√3
√50 等…。
(二) 根號內仍有小數或分數,例如:√2
3、√0.2 等…。
這兩類在化簡的時候,我們的目標是想將分母的根式消去,讓它成為
有理數,這個過程我們稱為分母有理化。
7 × 14 2 × 7 5 × 2
13
最簡單的方法就是,我們可以利用「 √𝑎 × √𝑎 = 𝑎」將分母有理化。
舉例來說,2
√3 的分母是 √3 ,那我們知道 √3 × √3 = 3,所以我們分
母再乘一個 √3 就可以將分母的根式消掉了。但是不能只單單乘以分
母,我們要維持分數的相等,因此分子分母應該要同時都乘以 √3 。
所以 2
√3=
2×√3
√3×√3=
2√3
3 。那麼
2√3
3 就是
2
√3 的最簡根式了!
來看一題範例吧!
Ex4. 將 √3
√50 化為最簡根式。
解題思維:
√3
√50的分母是 √50 ,那我們知道 √50 × √50 = 50,所以分子分母
應該要同時都乘以 √50 。
√3
√50=
√3×√50
√50×√50=
√150
50
=5 6
50 10
=√6
10
除了這樣算以外,
我們知道分母是 √50 = √52 × 2 ,所以其實只要再乘 √2 就可以
將分母有理化了!
√3
√50=
√3×√2
√52×2×√2=
√6
5×2=
√6
10 會發現答案一樣!
解:√3
√50=
√3×√2
√52×2×√2=
√6
5×2=
√6
10
分子 √150 = √25 × 6 = 5√6 ,
所以還可以化簡。
14
如果根號內仍有分數怎麼辦呢?
Ex5. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √2
3 (2) √
5
18
解題思維:
其實就是利用分母有理化的方式去進行化簡。
像是 √2
3 可以化成
√2
√3 ,然後要消除分母的根式就是分子分母同乘
以 √3 ,就可以繼續算下去了!
解:(1) √2
3=
√2
√3=
√2×√3
√3×√3=
√6
3
(2) √5
18=
√5
√18=
√5×√2
√32×2×√2=
√10
6
如果根號內仍有小數怎麼辦呢?
Ex6. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √0.2 (2) √3.2
解題思維:
我們只要將小數化成分數,就可以繼續算下去了!
解:(1) √0.2 = √2
10=
√2×√10
√10×√10=
√20
10
=√5
5 =
= √16
5=
√16
√5=
4×√5
√5×√5=
4√5
5 (2) √3.2 =
注意!√20 可以繼續化簡,
√20 = √22 × 5 = 2√5。
15
重點提問
1. 從上面的課文中,大致上有三類的根式仍然還不是最簡根式,請
問是哪三類?
2. √108 是不是最簡根式?為什麼?
如果不是的話,請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。
3. √7
12 是不是最簡根式?為什麼?
如果不是的話,請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。
16
4. 3
√11 是不是最簡根式?為什麼?
如果不是的話,請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。
B.隨堂練習
1.將下列各式化為最簡根式:
(1) √108 (2) √128 (3) √450
2. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √23 × 32 × 52 (2) √26 × 53 (3) √33 × 77
17
3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式:
(1) √10 × √20 × √8 (2) √18 × √12 × √44
4. 將 √8
√27 化為最簡根式。
5. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √6
7 (2) √
9
50 (3) √0.9 (4) √5.6
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://www.youtube.com/
watch?v=Pd9e865QaNw
還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://www.youtube.com/
watch?v=RCWjcpGJCog
還是不太懂,
請看下面影片(3)
https://www.youtube.com/
watch?v=ANEKsnygRuU
18
單元二:根式的運算
課文 C:根式的加減
我們接下來要說的就是根式的加減。
先回憶一下,二元一次式的化簡。
今天如果要化簡 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 這個二元一次式的話,
因為同類項才可以合併,所以可以先將同類項標記出來:
然後知道含有 𝑥 項的是 5𝑥 和+2𝑥 合併化簡得到 7𝑥,
含有 𝑦 項的是+3𝑦 和 −5y 合併化簡得到−2𝑦。
所以 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 = 7𝑥 − 2𝑦。
而根式的加減也有類似的規則,
那就是「同類方根能進行合併,非同類方根不能合併」。
什麼是同類方根呢?
𝑎, 𝑏 均為正數,若將 √𝑎 與 √𝑏 化為最簡根式後,根號內的數相同,
我們就稱為它們為同類方根。
舉個例子,√12 與 √27。
先化簡成最簡根式:√12 = √4 × 3 = 2√3,√27 = √9 × 3 = 3√3。
19
像這樣子,√12 的最簡根式 2√3 與 √27 的最簡根式 3√3 的根號部分
都是 √3 ,我們就稱 √12 與 √27 是同類方根。
同類方根在根式的加減非常好用,因為我們只要把同類方根進行合併
就好,不是同類方根就沒辦法合併。
我們來看個例題。
Ex1.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) 5√3 + 2√3 (2) 7√2 − √2 (3) √5 + 5√5
解題思維:
5√3 + 2√3 所代表的是 5 個 √3 加上 2 個 √3 ,那加完之後就是
有 (5 + 2) 個 √3 ,也就是 (5 + 2)√3 = 7√3。
7√2 − √2 所代表的是 7 個 √2 扣掉 1 個 √2 ,那扣完之後就是有
(7 − 1) 個 √2 ,也就是 (7 − 1)√2 = 6√2。
解:
(1) 5√3 + 2√3 = (5 + 2)√3 = 7√3
(2) 7√2 − √2 = (7 − 1)√2 = 6√2
(3) √5 + 5√5 = (1 + 5)√5 = 6√5
Ex2.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
20
(1) 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2
(2) 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
解:
(1)
5√3 − 2√2 + √3 + 3√2
= 6√3 + √2
說明:
這題有不同類型的同類方根。
一類是與 √3 有關的同類方根。有兩個,分別是 5√3 和 +√3,
兩個合併化簡後會得到 6√3 。
另一類是與 √2 有關的同類方根。也有兩個,分別是 −2√2 和
+3√2,兩個合併化簡後會得到 +√2。
所以 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 合併化簡出來的結果是 6√3 + √2。
21
(2)
2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
= −√11 + 3√6 + 2
說明:
我們要先分組: 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
與 √11 有關的同類方根有兩個,分別是 2√11 和 −3√11,兩個
合併化簡後會得到 −√11。
與 √6 有關的同類方根也有兩個,分別是 +2√6 和 +√6 ,兩個合
併化簡後會得到 +3√6。
另外有一個+2 ,沒有跟它同類的。
所以 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 合併化簡出來的結果是
−√11 + 3√6 + 2。
省思:
當我們遇到有多組不同類型的同類方根要進行加減時,我們必須
先將同類方根分為同一組,再把同組的同類方根進行合併。
22
Ex3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) √63 − √75 (2) √48 + 5√12
解題思維:
在遇到還沒化為最簡根式的根式加減計算時,會比較難以看出同
類方根,所以我們會先把各個根號化成最簡根式,再利用「同類
方根進行合併,非同類方根不能合併」去合併化簡。
解:
(1) √63 − √75 = 3√7 − 5√3
說明:
√63 與 √75 不是最簡根式,換成最簡根式:√63 = √9 × 7 = 3√7、
√75 = √25 × 3 = 5√3,化簡後發現這兩個根式不是同類方根,
所以不能合併,所以 √63 − √75 = 3√7 − 5√3 就已經是化到最
簡了!
(2) √48 + 5√12 = 4√3 + 5√22 × 3 = 4√3 + 10√3 = 14√3
說明:
√48 與 5√12 不是最簡根式,先換成最簡根式:
√48 = √16 × 3 = 4√3;5√12 = 5√4 × 3 = 5 × 2 × √3 = 10√3,
發現這兩個都是與 √3 有關的同類方根,所以合併後就是 10√3。
Ex4.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
23
(1) √63 − 3√28 + √175 (2) √20 + √80 + √125 + √180
解:
(1) √63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 = 2√7
說明:
√63 、 3√28 與 √175 都不是最簡根式,先換成最簡根式:
√63 = √9 × 7 = 3√7、3√28 = 3√4 × 7 = 3 × 2 × √7 = 6√7、
√175 = √25 × 7 = 5√7,
發現這三個都是 √7 有關的同類方根,
√63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 = (3 − 6 + 5)√7
所以合併後就是 2√7。
(2) √20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5 = 17√5
說明:
√20 、 √80 、 √125 與√180 都不是最簡根式,先換成最簡根式:
√20 = √4 × 5 = 2√5、√80 = √16 × 5 = 4√5、
√125 = √25 × 5 = 5√5、√180 = √36 × 5 = 6√5,
發現這三個都是 √5 有關的同類方根,
√20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5
= (2 + 4 + 5 + 6)√5 = 17√5
所以合併後就是 17√5。
24
Ex5.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) 1
√2+
√2
2 (2) √
5
4− √
4
5
解:
(1) 1
√2+
√2
2=
1×√2
√2×√2+
√2
2=
√2
2+
√2
2= √2
說明:
1
√2 分母有根號,所以不是最簡根式,先換成最簡根式:
1
√2 分子分母同乘√2,
1
√2=
√2
2。
而 √2
2 其實等於
1
2√2 ,也就是所謂的
1
2 個 √2。
發現這兩個都是與 √2 有關的同類方根,1
2 個 √2 加上
1
2 個 √2 就
是有 1 個√2,所以合併化簡後就是 √2。
(2) √5
4− √
4
5=
√5
√4−
√4
√5=
√5
2−
2√5
5= (
1
2−
2
5) √5 =
1
10√5
說明:
√5
4 與 √
4
5 根號裡面有分數,所以不是最簡根式,先換成最簡根式:
√5
4 其實就是分子開根號分母開根號
√5
√4 ,分母 √4 就直接是 2 ,
所以 √5
4=
√5
2 就是最簡根式了!
√4
5 其實就是分子開根號分母開根號
√4
√5 ,分子 √4 就直接是 2 ,
所以 √4
5=
2
√5 ,分母還有根式,所以不是最簡根式,還要再化簡。
分子分母同乘 √5 ,所以 2×√5
√5×√5=
2√5
5 結果就是最簡根式了。
25
而 √5
2 等於
1
2√5 ,也就是所謂的
1
2 個 √5;
2√5
5等於
2
5√5 ,也就是
所謂的 2
5 個 √5。
發現這兩個都是與 √5 有關的同類方根,1
2 個 √5 減掉
2
5 個 √5 就
是有 (1
2−
2
5) 個√5,(
1
2−
2
5) 同時通分母後 (
5
10−
4
10) =
1
10 。所以
合併後就是 1
10√5。
26
重點提問
1.請用自己的話解釋什麼是「同類方根」?
2. 連連看,將同類方根連在一起。
√2 √24 √5
2 3√7
√2
√12
‧ ‧ ‧ ‧ ‧
‧ ‧ ‧ ‧ ‧
3
√3 √5 2√6 2√2
1
7√7
3. 請問根式的加法怎麼運算?
請用這個運算規則計算 2√5 + 5√2 − √5 − 3√2 。
4. 「4√8 + √3 − √2 + 2√3 − √5」
27
(1)上面根式當中,請問有幾類同類方根?
(2)計算上面根式,並將結果化為最簡根式。
C.隨堂練習
1.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) 3√3 + 2√3 (2) 6√6 − √6 (3) √7 + 3√7
28
2.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) 6√2 + 4√3 + √2 − 2√3
(2) 6√13 + 3√7 − 5 − 6√7 − √13
3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) √27 − √24 (2) 2√75 + √108
4.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) √363 − 2√27 + 4√48
(2) √5 + √45 + √125 + √245
5.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
30
單元二:根式的運算
課文 D:根式的四則運算
接下來我們要來看根式的四則運算,既然是四則運算,當然有加減跟
乘除還有括號都存在。
我們先來看一下分配律的題目!
Ex1.計算 √3(√15 + √21),並化為最簡根式。
解:
√3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 × √21 = 3√5 + 3√7
說明:
這其實是分配律,括號中的 √15 跟 √21 其實共同擁有外面的 √3,
我們將 √3 乘進去 √3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 × √21
我們可以用「集滿兩個換出去」,15 拆成 3 × 5、21 拆成 3 × 7
√3 × √15 + √3 × √21
所以 √3 × √15 = 3√5、√3 × √21 = 3√7,
答案就是 3√5 + 3√7。
3 × 5 3 × 7
31
Ex2.計算 (3√5 − 2)(4√5 + 3),並化為最簡根式。
解:
(3√5 − 2)(4√5 + 3) = 3√5 × 4√5 + 3√5 × 3 − 2 × 4√5 − 2 × 3
= 60 + 9√5 − 8√5 − 6 = 54 + √5
說明:
這是兩個根式乘以兩個根式,就是利用分配律分別相乘,
(3√5 − 2)(4√5 + 3)
第一個箭頭:3√5 × 4√5,外面乘外面3 × 4 = 12、裡面乘裡面
√5 × √5 = 5,所以第一個就是12 × 5 = 60。
第二個箭頭:3√5 × 3 = 9√5。
第三個箭頭:−2 × 4√5 = −8√5。
第四個箭頭:−2 × 3 = −6。
所以就是 60 + 9√5 − 8√5 − 6 ,
同類方根可以合併,60 − 6 = 54、9√5 − 8√5 = √5,
因此 54 + √5 就是答案。
1
2
3
4
1
2
3
4
32
接下來我們來看一下跟乘法公式有關的題目!
Ex3.計算下列各式,並化為最簡根式。
(1) (3 − 2√7)2
(2) (2√5 + 3√2)2
(3) (√5 + 1)(√5 − 1)
解:
(1)
(3 − 2√7)2
= 32 − 2 × 3 × 2√7 + (2√7)2
= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7
說明:
這一小題其實就是利用差的平方公式:(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
把 (3 − 2√7)2
括號內的 3 當成 𝑎,2√7 當成 b 。
所以 (3 − 2√7)2
= 32 − 2 × 3 × 2√7 + (2√7)2
( 𝑎 − 𝑏 )2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7
(2)
2 × 3 × 2√7 (2√7)2 = 2√7 × 2√7 = 4 × 7
33
(2√5 + 3√2)2 = (2√5)2 + 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2
= 20 + 12√10 + 18 = 38 + 12√10
說明:
這一小題其實就是利用和的平方公式:(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
把 (2√5 + 3√2)2 括號內的 2√5 當成 𝑎,3√2 當成 b 。
所以 (2√5 + 3√2)2 = (2√5)2 + 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2
( 𝑎 + 𝑏 )2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 20 + 12√10 + 18 = 38 + 12√10
(3)
(√5 + 1)(√5 − 1) = √52
− 12 = 5 − 1 = 4
說明:
這一小題其實就是利用平方差公式:(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
√5 當成 𝑎,1 當成 b 。
所以 (√5 + 1)(√5 − 1) = √52
− 12
( 𝑎 + 𝑏 )( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎2 − 𝑏2
= 5 − 1 = 4
看完一些根式的四則運算後,我們來看個奇怪分數:2
√5:1。
請問一下這個奇怪的分數:2
√5:1 是不是一個最簡根式?
(2√5)2
= 2√5 × 2√5
= 4 × 5
2 × 2√5 × 3√2 (3√2)2
= 3√2 × 3√2
= 9 × 2
34
當然不是啊!看它的分母:√5 + 1 ,含有根式,而且實際上它還可
以繼續化簡,化簡到分母不含有根式。
文本 B當中有提到,當分母為一個 √𝑎 時,再乘一個 √𝑎 就會使得
「√𝑎 × √𝑎 = 𝑎」,分母的根式就會消除。
如果我們 2
√5:1 分子分母同乘以 √5 ,會發現 (√5 + 1) × √5 = 5 + √5,
分母一樣會有根式。
那該怎麼辦呢?
我們就利用平方差公式:(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 來解決這個問題。
分母是 (√5 + 1) ,就把它當成是 (𝑎 + 𝑏) ,那還需要乘以一個 (𝑎 − 𝑏)
來湊成平方差公式,也就是還需要乘以 (√5 − 1)。
(√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)2 − 12 = 5 − 1 = 4 ,這樣分母就成功消除
根式了。
分母乘以 (√5 − 1),要維持分數的相等,當然分子也要乘以(√5 − 1)。
=(√5;1)
2 ,
(√5;1)
2 就是
2
√5:1 的最所以
2
√5:1=
2(√5;1)
(√5:1)(√5;1)=
簡根式。
我們來看一題練習題。
Ex4.將下列根式化為最簡根式
(1) 7
√13;√6 (2)
2
√21:5
35
解:
(1) 7
√13;√6=
7(√13:√6)
(√13;√6)(√13:√6)=
7(√13:√6)
√132
;√62 =
7 ( 13 6)
7
= √13 + √6
說明:
分母是 (√13 − √6) ,要利用平方差公式將分母有理化,所以將
它分子分母同乘以 (√13 + √6)。
分母 (√13 − √6) × (√13 + √6) = √132
− √62
= 13 − 6 = 7;
分子就是 7 × (√13 + √6)。
發現分子分母可以同時約掉 7 ,7 ( 13 6)
7
= √13 + √6 。
=5;√21
2 (2)
2
5:√21=
2(5;√21)
(5:√21)(5;√21)=
2(5;√21)
52;√212 =
說明:
分母是 (5 + √21) ,要利用平方差公式將分母有理化,所以將它
分子分母同乘以 (5 − √21)。
分母 (5 + √21) × (5 − √21) = 52 − √212
= 25 − 21 = 4;
分子就是 2 × (5 − √21)。
=5;√21
2。 發現分子分母可以同時約 2,
36
重點提問
1. 請問如何化簡一個分母為 √𝑎 − √𝑏 的根式呢?
請利用這個方法將 1
√7;√6 化為最簡根式。
D.隨堂練習
1.計算 √10(√15 + √6),並化為最簡根式。
2.計算 (2√7 + 3)(√7 − 4),並化為最簡根式。
3.計算下列各式,並化為最簡根式。
(1) (5 + 3√2)2 (2) (5√2 − 2√3)2 (3) (4 + 3√7)(4 − 3√7)
37
4.將下列根式化為最簡根式
(1) 11
√15;√4 (2)
9
√18:6
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://www.youtube.com/
watch?v=iomMCSYednY
還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://www.youtube.com/
watch?v=GFQ9STVpq4E
還是不太懂,
請看下面影片(3)
https://www.youtube.com/
watch?v=Pd9e865QaNw#t=
03m23s
還是不太懂,
請看下面影片(4)
https://www.youtube.com/
watch?v=ANEKsnygRuU#t=0
4m57s
38
單元三:畢式定理
課文 A:畢式定理
我們國小學過,一個三角形當中如果有一個角是直角,那麼我們就稱
那個三角形是直角三角形。這單元當中,直角三角形很重要!
如右圖,在直角三角形當中,
直角的兩個旁邊,我們都稱為「股」;
不是直角的旁邊,是直角的對面,我們稱它為「斜邊」。
而在中國著名的古代數學著作《九章算術》中,直角兩旁較短的邊為
「勾」、較長的邊為「股」;直角的對面,稱為「弦」。
那這兩股與斜邊之間有什麼關係呢?
我們從下面的圖來試著觀察看看!
在圖中,有 4 個直角三角形跟 1 個正方形甲,合成一個大正方形。
而且這 4 個三角形其實都是一樣的。
股
股
斜邊
39
所以 正方形甲的面積 = 大正方形 − 四個直角三角形面積
− 四個 =
𝑐2 = (𝑎 +
𝑏)2 − 4 ×𝑎𝑏
2
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏
= 𝑎2 + 𝑏2
從上面的說明,我們就可以知道:𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2,
而 𝑎, 𝑏, 𝑐 其實就是直角三角形的三邊長,
𝑐 就是這個直角三角形的斜邊,𝑎, 𝑏 就是這個直角三角形的兩股,
所以 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 代表的就是
「直角三角形中,斜邊平方等於兩股平方和」,
這種關係我們就稱作畢氏定理或勾股定理。
我們來練習一下題目!
Ex1.已知下列各直角三角形的兩股長,求斜邊長。
(1) (2)
解:
40
(1) 假設斜邊為 𝑥 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,
𝑥2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
𝑥 = ±√169 = ±13
因為斜邊長 > 0,所以斜邊長= 13。
(2) 假設斜邊為 𝑦 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,
𝑦2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625
𝑦 = ±√625 = ±25
因為斜邊長 > 0,所以斜邊長= 25。
上面這題是我們知道兩股長,利用畢氏定理求斜邊長。
接下來我們知道斜邊及其中一股長,要利用畢氏定理求另一股長。
Ex2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長,求另一股長度為何?
(1) (2)
解:
(1)設要求的股長為 𝑥 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,
𝑥2 + 32 = 52 ⇒ 𝑥2 + 9 = 25 ⇒ 𝑥2 = 25 − 9 = 16
𝑥 = ±√16 = ±4 ,股長必為正的,所以另一股為 4 。
(2) 設要求的股長為 𝑦 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,
41
𝑦2 + 82 = 172 ⇒ 𝑦2 + 64 = 289 ⇒ 𝑦2 = 289 − 64 = 225
𝑥 = ±√225 = ±15 ,股長必為正的,所以另一股為 15 。
Ex3.求出下列各矩形的對角線長。
(1) (2)
解題思維:
我們如果有直角三角形,就可以利用畢式定理了,
所以我們要想辦法做出直角三角形。
因為矩形四個是直角,所以將對角線畫起來,
連起來後就有直角三角形了!
這個直角三角形裡,
剛好矩形的長跟寬就是直角三角形的兩股,
對角線就是直角三角形的斜邊。
接下來就可以利用畢式定理「斜邊平方等於兩股平方和」,求出
矩形的對角線長了!
對角線
42
解:
(1) 將對角線令為 𝑥 ,
根據畢氏定理可以列式:𝑥2 = 82 + 132
𝑥2 = 82 + 132 = 64 + 169 = 233,
𝑥 = ±√233 (因為對角線長是長度,所以負不合)
所以對角線長= √233。
(2) 將對角線令為 𝑦 ,
根據畢氏定理可以列式:𝑦2 = 62 + 42
𝑦2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52,
𝑦 = ±√52 = ±√4 × 13 = ±2√13(對角線長是長度,故負不合)
所以對角線長= 2√13。
好,再來我們看一些畢氏定理的應用!
Ex4.如圖直角三角形邊長為 5、12、13,
求斜邊上的高。
解題思維:
我們先看一下要求的東西,斜邊上的高是哪一個咧?
這是直角三角形,直角在 ∠C,
所以斜邊在 13 這段(也就是𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ),
所以斜邊上的高指的就是 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 。
13
8 𝑥
4
6 y
43
那這要怎麼求呢?
我們來想,一個三角形的面積有幾種算法。
先隨便畫一個三角形,讓這個三角形的三邊長為 𝑎、𝑏、𝑐。
我們可以先用 𝑎 當底,三角形的面積是 底×高
2 ,
高就是藍色這段,先叫做 ℎ𝑎 ,代表這是以 𝑎 為底的高,
所以面積的第一種算法為 𝑎×ℎ𝑎
2 。
第二種算法我們以 𝑏 當底,這樣的高就是橘色這段,
我們叫做 ℎ𝑏,所以面積的第二種算法為 𝑏×ℎ𝑏
2。
那我可不可以以 𝑐 當底?當然也可以,它的高是誰?
就是下圖綠色的那段,我們叫做 ℎ𝑐,
因為它是以 𝑐 為底的高,這樣面積就是 𝑐×ℎ𝑐
2。
這樣三角形的面積就有三種算法啦!但是我們算的是同一個三角形,
因此不管我用哪種算法,算出來的面積都要一樣!
𝑎 × ℎ𝑎
2=
𝑏 × ℎ𝑏
2=
𝑐 × ℎ𝑐
2
接著我們就可以用這個方式找出斜邊上的高。
在這個直角三角形裡面,它的面積算法有兩種:
44
第一種,我可以用 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 當底,因為 ∠C 是直角,所以 𝐵𝐶̅̅ ̅̅̅ 就是他的高,
這樣第一個三角形面積算法就是 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ×𝐵𝐶̅̅ ̅̅
2 。
第二種,我也可以用斜邊 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ 當底,這時候的高就是 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,而面積就
是 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ×𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2 。
那這兩個算的是同一個三角形的面積,所以會一樣。
然後就可以解出斜邊上的高 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 了!
解:
從圖中我們可以知道三角形面積=5×12
2
設斜邊上的高為 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,則三角形面積=13×𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2,
5 × 12
2=
13 × 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2
兩邊都有 2 ,所以把 2 約掉,
5 × 12
2=
13 × 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2
要求 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,所以把 13 移過去,
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =5 × 12
13=
60
13
45
省思:
當然你可以把這個公式化,
如果有一個直角三角形,兩股分別為 𝑎、𝑏,斜邊為 𝑐。
那斜邊上的高 ℎ 就會等於 𝑎×𝑏
𝑐。
為什麼?因為 𝑎×𝑏
2=
𝑐×ℎ
2,所以 ℎ =
𝑎×𝑏
𝑐,也就是兩股乘起來除以斜邊。
Ex5.
如圖,放著一把 5 公尺的長梯於牆上,
梯腳離牆角 1.4 公尺,求:
(1)梯頂離地面多少公尺?
(2)若欲將梯頂降低 80 公分,則梯腳須向後移動多少公分?
解:
(1)
首先,我們先看紅色這把梯子。
梯腳離牆角 1.4 公尺,梯子長 5 公尺,
要求梯頂距離地面的高度,也就是下圖中棕色這段的長度,
這裡就形成一個直角三角形。
46
這個紅色直角三角形,斜邊是 5,其中一股長 1.4,
就可以假設要求的為 ℎ。
ℎ2 = 52 − 1.42 = 25 − 1.96 = 23.04
ℎ = ±√23.04。那 23.04 怎麼開根號呢?
先把 23.04 化成分數,再來上面開上面,下面開下面:
√23.04 = √2304
100=
√2304
10
接著 2304 利用短除法算一下:
2304 = 42 × 122 4 2304
4 576
12 144
12
知道 2304 開出來是 48,因為有兩個 4,和兩個 12。
所以
√23.04 = √2304
100=
√2304
10=
48
10= 4.8
因此 ℎ = ±4.8,那因為是高度,所以負不合。
所以梯頂離地面 4.8 公尺。
(2)
如果要將梯頂降低 80 公分,也就是 0.8 公尺。
原本高度 4.8 公尺,降低了 0.8 公尺,變成 4 公尺。
再想想看樓梯的長度會不會隨著它降低而改變?
47
看圖,樓梯掉落(藍色變紅色)長度依然不變,還是維持 5 。
所以這裡形成新的直角三角形。
看綠色直角三角形,斜邊 5,一股長為 4,就可以假設所求為 𝑎 。
𝑎2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9
𝑎 = ±√9 = ±3(負不合)
但題目是問梯腳後移多少?
原本梯腳離牆角為 1.4,但後來的梯腳離牆角為 3,所以要後移多少?
當然就是 3 − 1.4 = 1.6,所以後移 1.6 公尺。
5
𝑎 𝑎
4
48
重點提問
1. 請問什麼是「畢氏定理」?
請根據上面的課文用自己的話解釋這個定理。
2. 根據上面的課文,一個直角三角形斜邊上的高如何計算?
請利用這個方法計算直角三角形邊長為 7、24、25 斜邊上的高。
A.隨堂練習
1.已知下列各直角三角形的兩股長,求斜邊長。
(1) (2)
50
5.平安拿一鋁梯在離牆 6公尺處斜放在牆邊,
此時梯頂剛好離地面 6公尺(如圖所示),求:
(1)鋁梯有多長?
(2)今移動此鋁梯使它在離牆 2公尺處斜放,則
梯頂離地面多少公尺?
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://www.youtube.com/
watch?v=yADZ1P2n8zQ
還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://www.youtube.com/
watch?v=IVoKpc5I_t0
還是不太懂,
請看下面影片(3)
https://www.youtube.com/
watch?v=H860kIDaw0E
還是不太懂,
請看下面影片(4)
https://www.youtube.com/
watch?v=N6hbfGJwXTU
51
單元三:畢式定理
課文 B:平面上兩點間的距離
接下來我們來看平面上兩點間的距離。
首先,先來看兩點在同一水平上。
兩點在同一水平上會發生什麼事情呢?
舉個例子,如右圖,有兩點 A(1,2)、B(4,2),
這兩點是水平的,而它們之間的距離就是藍色的那段,
那要怎麼算呢?數一下,會發現距離就是 3 。
但當數字很大的時候就很難用數的就可以數的出來了!
所以我們分析一下,距離 3 還可以怎麼算出來?
A、B 兩點的 y 坐標都是 2 ;
而 A 的 𝑥 坐標是 1 ,B 的 𝑥 坐標是 4。
會發現在同一水平上的這兩點距離其實就是它們 𝒙 坐標的差,
所以其實就是 4 − 1 = 3。
Ex1.如右圖,坐標平面上有 P(5,2)、Q(−3,2) 兩點,
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = ?
解:P、Q 的 y 坐標都相同,P、Q 在同一水平上,
所以它們的距離會是它們 𝑥 坐標的差 5 − (−3) = 5 + 3 = 8。
52
再來我們來看一下在同一鉛垂線上的兩點間距離。
舉個例子,如右圖,有兩點 B(4,2)、C(4,6),
這兩點是鉛直的,而它們間的距離就是粉紅色的那段,
那要怎麼算呢?
我們來看一下 B、C 兩點的 𝑥 坐標都是 4 ;
而 B 的 𝑦 坐標是 2 ,C 的 𝑦 坐標是 6。
會發現在同一水平上的這兩點距離其實就是它們 𝒚 坐標的差,
所以其實就是 6 − 2 = 4。
Ex2.如圖,坐標平面上有 P(1,2)、Q(1, −3) 兩點,
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = ?
解:P、Q 的 𝑥 坐標都相同,P、Q 在同一鉛直上,
所以它們的距離會是它們 𝑦 坐標的差 2 − (−3) = 2 + 3 = 5。
最後一種就是不在同一水平也不是在同一鉛垂線上的兩點距離。
舉個例子,如右圖,有兩點 A(1,2)、C(4,6),
A、C 兩點的 𝑥 坐標不相同,而且 𝑦 坐標不相同,
所以不在同一水平上也不在同一鉛垂線上。
那該怎麼求出它們的距離呢?
53
這時候就要利用到畢氏定理了!
畢氏定理是指直角三角形的三邊關係:「斜邊平方等於兩股平方和」,
所以必需要製造一個直角三角形,怎麼製造呢?
我們畫一條通過 A 的水平線、一條通過 C 的鉛直線,
兩條線會交一點,我們先稱它為 B 。
B 與 A 在同一水平上,所以 𝑦 坐標與 A 的 y 坐標一樣是 2 ;
B 與 C 在同一鉛垂線上,所以 𝑥 坐標與 C 的 𝑥 坐標一樣是 4 。
因此 B 點坐標就是 (4,2) 。
這樣我們就有一個直角三角形 ABC 了,
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 、𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 是這個直角三角形的兩股,A、C兩點間距離 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 則是斜邊。
B 與 A 在同一水平上,𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ,就是 𝒙 坐標的差: 4 − 1 = 3;
B 與 C 在同一鉛垂上,𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ,就是 𝐲 坐標的差: 6 − 2 = 4。
根據畢氏定理 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2,
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25,
因為 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 是距離,所以為正,因此 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5。
每次都要這麼麻煩嗎?其實可以不用那麼麻煩。
我們看一下式子 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2,
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 其實就是 (4 − 1)2。括號中的 4 是 B 點的 𝑥 坐標,也是 C 點的 𝑥
坐標;括號中的 1 是 A 點的 𝑥 坐標。
A B
C
54
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 其實就是 (6 − 2)2。括號中的 6 是 C 點的 𝑦 坐標;括號中的 2 是
B 點的 𝑦 坐標,也是 A 點的 𝑦 坐標。
所以 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2
= (𝐵的𝑥坐標 − 𝐴的𝑥坐標)2
+ (𝐶的𝑦坐標 − 𝐵的𝑦坐標)2
= (𝐶的𝑥坐標 − 𝐴的𝑥坐標)2
+ (𝐶的𝑦坐標 − 𝐴的𝑦坐標)2
所以我們可以得到一個結論,
平面任意兩點的距離= √(𝑥坐標差)2 + (𝑦坐標差)2,
即兩點 A(𝑥1, 𝑦1)、B(𝑥2, 𝑦2) 的距離為 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2。
我們舉一個例子。
Ex3.如圖,坐標平面上有 P(−2,5)、Q(4, −3) 兩點,
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = ?
解:
P、Q 的 𝑥 坐標、𝑦 坐標都不相同,它們是斜的,
所以可以利用兩點間的距離公式: √(𝑥坐標差)2 + (𝑦坐標差)2
𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = √(−2 − 4)2 + [5 − (−3)]2
= √(−6)2 + 82
= √36 + 64
= √100 = 10。