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Cenni di meccanica dei fluidi
Indice
1.Equazioni della dinamica dei fluidi
2.Metodi computazionali
3.Modelli di trasporto in aria
4.Modelli di trasporto in acqua
2
Parte I. Equazioni della fluidodinamica
– Approccio molecolare ed approccio macroscopico
– Derivata materiale / Volumi di controllo
– Principi di conservazione
– Massa
– Momento
– Energia
– Equazioni costitutive
– Viscosità
– Equazioni di Navier-Stokes
– Equazione dell’energia
– Fluidi newtoniani
– Fluidi incomprimibili
3
m nm
Descrizione molecolare e metodi del continuo
– La descrizione dei fluidi secondo un approccio macroscopico si basa sull’idea di descrivere la variazione nel tempo e nello spazio di variabili di campo
– densità
– velocità di flusso
– energia
5
, lim
, lim
i
i
V v
i i
i
V vi
i
m
tV
m
tm
x
v
u u x
mi
vi
x
31/ n v L
Derivata materiale
– La derivata materiale di a(x,t) rappresenta la variazione complessiva della variabile di campo a all’interno di un volume di controllo v
– La derivata materiale rappresenta il cambiamento totale della variabile di campo all’interno del volume come, viene visto da un osservatore che si muove insieme al fluido
6
v
1 2 3
1 2 3
ˆ
Da a a a au u u
Dt t x x x
aa
t
u
v
Principi di conservazione
– Teorema del trasporto di Reynolds
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v(t+δt)
v(t)
S(t)
S(t+δt)
u(t)
u(t+δt)
ˆ
v t v t
D aadv a dv
Dt t
u
Conservazione della massa
– Se in un dato volume di fluido non avvengono processi che portano alla formazione di massa, la quantità di materia deve restare costante
– N.B. La forma del volume (superficie, estensione etc.) cambia nel tempo ma non la massa in essa contenuta
– Ma il volume di fluido viene scelto in modo arbitrario, quindi
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ˆ0 0v t v t
dm dv
Ddm dv
Dt t
u
ˆ 0t
u
equazione di continuità
Fluidi incomprimibili
– In molti casi (acqua !) la variazione di densità si può trascurare, ed il fluido si dice incomprimibile; si ottiene quindi
– Se questa relazione risulta valida, si parla di fluidi incomprimibili
9
costanteˆ 0
ˆ 0t
uu
Conservazione del momento (1)
– Secondo la seconda legge di Newton, un punto materiale (cioè un corpo di dimensioni trascurabili rispetto al sistema di riferimento in esame e contemporaneamente dotato di massa) al quale sia applicata una forza, varia la quantità di moto in misura proporzionale alla forza e lungo la direzione della stessa
– Consideriamo ora il momento contenuto in un volume v; questo sarà dato dalla somma di tutti i momenti delle molecole contenute nel volume, e quindi dell’integrale
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somma di tutte le forze agenti sul pun toi
i
d
dt
pF
v
dv u
momento per unità di volume
Conservazione del momento (2)
– La velocità di variazione del momento di un volume di fluido si ottiene quindi in base alla II legge di Newton dal seguente bilancio
– Le forze possono essere di tipo superficiale (pressione e stress viscoso) ed esterne (p.es. gravità)
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somma di tutte le forze agenti sul fluido in v
Ddv v
Dt u
v s v
Ddv ds dv
Dt u P f
forze di superficie per unità di area / surface forces forze esterne unità di massa / body forces
Tensore di stress (1)
– Le forze di superficie possono essere messe in relazione al tensore di stress
12
σ31
σ32
σ33
e2
e1
e3
Tensore di stress (2)
– La forza di complessiva di superficie si scrive come
– Quindi il principio di conservazione del momento si scrive
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1 11 1 21 2 31 3
2 12 1 22 2 32 3
3 13 1 23 2 33 3 1
P n n n
P n n n
P n n n
trP σ n
ji
j ji i j j
i i iv s v v v
Du dv n ds f dv dv f dv
Dt x
teorema di Gauss
Equazione di conservazione del momento
– Combinando la precedente eguaglianza con il teorema di Reynolds otteniamo l’equazione di conservazione del momento
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j j j
ji
j j k j
k ik iv v v
ji
j j k
i
k j
k ik i
j
k ik i
u u u dv dv f
u uu f
t
dvt x x
x
u u u ft x
x
x
tensore di stress
accelerazione di convezione (ostacoli etc.)
accelerazione totale
forze interne forze esterne (gravità etc.)
forze totali
Conservazione dell’energia
– Procedendo in modo analogo, possiamo considerare l’energia totale per unità di massa per unità di volume ; la variazione all’interno di un volume si ottiene come
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21
2v s v s
De u dv ds dv ds
Dt
u P u f q f
variazione dell’energia totale per unità di massa per unità di
volume
lavoro delle forze interne
lavoro delle forze esterne
calore scambiato
DU w Q
Dt
densità di energia INTERNA
Equazione di conservazione dell’energia
– Applicando il teorema di Reynolds e procedendo in modo analogo a quanto fatto in precedenza per il momento otteniamo
– La velocità di variazione totale di energia è dovuta alla somma di lavoro, cioè trasformazione di energia meccanica in energia termica (sia in modo non-dissipativopressione che dissipativoviscosità) e flussi di calore, che possono essere dati in funzione del gradiente della temperatura
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j j
k ji
k j jk i i
u qe eu
t x x x
velocità totale di variazione dell’energia interna
variazione dovuta a energia meccanica
convertita in energia termica
variazione dovuta a flussi di calore
j
j
Tq k
x
conducibilità termica
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Tensore di deformazione
– Il tensore di deformazione misura il cambiamento di un volume di fluido soggetto ad un flusso, che avviene come conseguenza sia di una rotazione che di una deformazione di taglio (shear)
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1
2
1
2
iij
j j
j
j
ji
i i
iuu
x
u uu
x xxe
x
Fluidi newtoniani e non-newtoniani
– La maggior parte dei fludi possono essere considerati newtoniani (isotropi)
– Quando il fluido è a riposo, lo stress è idrostatico, cioè dovuto alla sola pressione termodinamica
– Lo stress dipende solo dal tensore di deformazione
– Le proprietà meccaniche del fluido sono le stesse in tutte le direzioni
– Aria ed acqua sono fluidi newtoniani; tra gli esempi di fluidi non-newtoniani abbiamo le vernici, il sangue, l’asfalto, il dentrificio, e più in generale i fluidi ottenuti da molecole polimeriche (plastica) e … un insieme molto grande di esseri umani
– In pratica, mentre un fluido ‘normale’ (newtoniano) reagisce in modo che la velocità di deformazione è proporzionale allo sforzo di taglio (shear), un fluido non-newtoniano reagisce in modo non lineare (per esempio comportandosi temporaneamente come un solido)
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Relazioni constitutive dei fluidi newtoniani
– Lo stress di un fluido newtoniano è
– In forma estesa lo stress si scrive come
– p è la pressione
– μ è la viscosità dinamica o primo coefficiente della viscosità (Unità SI: Pa s = N s/m2; unità cgs: poise, 1 P=0.1 Pa S)
– λ è il secondo coefficiente viscosità
– Spesso si usa anche la viscosità cinematica ν=μ/ρ (Unità SI: m2/s; unità cgs: stokes, 1 St=0.1 m2/s)
– L’acqua a 20 ˚C ha una viscosità (dinamica) di 0.001002 Pa s oppure 1.020 cP; l’olio di motore 0.250 Pa s
20
k i iij ij ij
k k j j
u u up
x x x
3 31 2 1 1 2 1
1 2 3 1 2 1 3 1
11 12 13
3 32 1 1 2 2 221 22 23
1 2 1 2 3 2 3 2
31 32 33
3
2
2
u uu u u u u up
x x x x x x x x
u uu u u u u up
x x x x x x x x
u
3 3 31 2 1 2
1 3 2 3 1 2 3 3
2u u uu u u u
px x x x x x x x
Equazioni di Navier-Stokes
– Se ora sostituiamo le relazioni costitutive (che ‘definiscono’ il fluido in termini delle sue proprietà, come i coefficienti di viscosità) nelle equazioni di conservazione del momento, si trovano le equazioni di Navier-Stokes:
– Nei casi più comuni (e.g. acqua)
1. Il fluido è incomprimibile (densità costante) quindi
2. La viscosità dinamica è costante
21
j j k i ik j
k kk j j k j j j
u u u u upu f
t x x x x x x x
31 2
1 2 3
ˆ 0k
k k
u uu u
x x x x
u
Fluidodinamica di un fluido incomprimibile
– Riassumendo, scriviamo per esteso le 4 equazioni che descrivono il flusso di un fluido a densità costante (trascuriamo per ora il trasporto di energia):
– Parametri: densità ρ, viscosità μ, forze esterne f. Se per esempio consideriamo solo la forza di gravità, f=g.
22
11
211 1
22
3
1
222 2
2
2333 3
3
ˆ 0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
Du pu f
uu
tDt x
Du pu f
Dt x
D
uu
t
u pu f
Dt x
uu
t
u
u
u
u
Parte II. Metodi computazionali
– Equazioni del moto:
– Continuità
– Momento
– Energia
– Moti turbolenti
– Discretizzazione:
– Differenze finite
– Equazione di Laplace
– Volumi finiti
– Soluzioni numeriche
– Schemi di propagazione
CFD - cenni 23
Considereremo solo il caso di fluidi isotermi, non turbolenti, monofasici; esempi saranno forniti solo per fluidi incomprimibili (densità costante)
Equazioni
24
0i
i i
ijii
j j
uD
Dt x
Dug
Dt x
i
i i
Df f fu
Dt t x
Conservazione della massa
II legge di Newton
Derivata materiale: velocità di variazione di f per un elemento di fluido in moto
tensore di stress
forza
densità velocità di flusso
, tu r
, t r
Fluidi newtoniani
25
2
2
3
ˆ 0
1ˆ ˆ3
ji iij ij
i j i
ii i
i i
uu up
x x x
D
Dt
Du pg u
Dt x x
u
u
Equazioni di Navier-Stokes
pressione
viscosità
Fluidi incomprimibili
26
2
ˆ 0
ˆ ˆDp
Dt
u
ug u
init
bound
,0
, ,t t
r
r
u x u x
u x u x
Il problema numerico
– Conversione delle equazioni del moto in un sistema di equazioni algebriche mediante discretizzazione
– Tre tecniche di discretizzazione popolari nel campo CFD:
– Differenze finite
– Volumi finiti
– Elementi finiti
– La soluzione numerica si basa sulla
– discretizzazione del campo vettoriale delle velocità di flusso in una griglia di punti (differenze finite) o entro volumi (volumi finiti);
– le derivate spaziali e temporali sono espresse in modo approssimato in funzione dei valori discreti;
– il sistema di equazioni algebriche è poi risolto usando algoritmi iterativi
27
Esempio di schema alle differenze finite
28
21, 1,
221, , 1,
22
1
, ,
2
2
i j i j
i j i j i j
n n
i j i j
u uuO x
x x
u u uuO x
x x
u uuO t
x t
• Sono possibili schemi di discretizzazione molto più sofisticati, che includono ‘stencil’ più grandi
• Le espressioni che discretizzano le derivate devono essere modificate ai bordi, per tenere conto delle condizioni al contorno
Five-point finite difference stencil
29
30
Domain for bottle filling
problem.
Filling
Nozzle
Bottle
CFD – come funziona
– Definizione delle equazioni del moto.
– Scelta dei parametri (tensore di stress, etc.)
– Approssimazioni: flussi isotermi, stazionari (steady-state), incomprimibili, inviscidi (viscosità nulla “acqua secca”), bidimensionali
– Selezione di condizioni al contorno ed iniziali.
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CFD – come funziona (2)
– Discretizzazione delle PDE
– Definizione delle corrispondenti equazioni algebriche
– Le equazioni algebriche sono definite su una GRIGLIA di punti (elementi, volumi di controllo)
– Il sistema di equazioni non-lineari viene risolto con approcci iterativi etc.
– L’output viene di solito sottoposto a varie forme di post-processing per estrarre quantità di interesse (velocità di flusso, variazione di pressione etc.)
32
Griglie
33
Esempio
34
Flusso
35
Modulo del flusso
36
Pressione
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I limiti della CFD
– Modelli fisici semplificati che devono tenere conto del fatto che nel mondo reale sono spesso presenti
– Fenomeni di turbolenza
– Sistemi multifasici
– Reazioni chimiche
– Fenomeni di interfaccia
– Errori numerici
– Errore numerico dovuto alla discretizzazione (si puo minimizzare con il mesh refinement)
– Instabilità nella propagazione temporale
– Cattiva descrizione delle condizioni al contorno
Software commerciale
– Fluent (UK, US).
– CFX (UK, Canada)
– Fidap (US).
– Polyflow (Belgio)
– Phoenix (UK)
– Star CD (UK)
– Flow 3d (US)
– ESI/CFDRC (US)
– SCRYU (Giappone)
– Gambit
– KIVA3v
– MATLAB
– COMSOL
– E molto di più, vedi http:/www.cfdreview.com
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MATLAB
– Costo limitato, diffuso in molti ambienti di ricerca
– Ottimo interfaccia grafica
– Performance non elevate
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Software open-source
– Overture
– COOLFluid
– Dolfyn
– OpenFOAM
– Elmer
– FEATFLOW
– FreeFem++
– Gerric
– ISAAC
– Nek5000
– NewTun
– OpenFlower
– Typhon
– LifeV
– Etc.
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– OpenFOAM
– Open Field Operation And Manipulation
– Pacchetto intergrato per la soluzione di problemi CFD, reattività, turbolenza trasferimento di calore
– Sorgente disponibile (GNU General Public License)
– Versatile e con la capacità di importare formati di software commerciali
– Seriale e parallelo
– Preprocessing (paraFOAM) e postprocessing (ParaView)
OpenFOAM - preprocessing
41
OpenFOAM – postprocessing
42
43
Name Language Applications Mesh Postprocessi
ng
Documentation
Notes Web site
Overture C++, oo Solver of differential equations
Yes Yes Extended Big, complex, modular - 2009 https://computation.llnl.gov/casc/Overture/
COOLFluiD C++ (?)
CFD, chemical reacting mixtures (?), magnetohydrodynamics
Yes (?) Yes (?) Not available (?)
Large library of applications (claimed) - difficult to get
https://coolfluidsrv.vki.ac.be/trac/coolfluid/
dolfyn Fortran95, Fortran77
CFD, heat and mass transport
No No Not available Relatively compact http://www.dolfyn.net/dolfyn/index_en.html
OpenFOAM C++, oo
CFD, molecular dynamics, electromagnetism, etc.
Yes Yes Plenty Big, complex, modular - 2010 http://www.openfoam.com/
Elmer Fortran90, C++
CFD, diffusion, convection reaction (!), electromagnetism
Yes (simple structured)
Yes Extended
Big, complex, modular - 2010 Suspicion: only 2D examples … NOT parallel
http://www.csc.fi/english/pages/elmer
FEATFLOW Fortran90, Fortran77
CFD Yes Yes Medium, perhaps outdated, robust http://www.featflow.de/
FreeFem++
C++, high level language
Solver of differential equations
Yes Yes Medium, simple to use as it is http://www.freefem.org/
Gerris C, oo (claimed)
CFD Yes Yes Agile, simple to use (claimed) http://gfs.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page
ISAAC Fortran90, C (?)
CFD, turbulence ? Yes Well known, robust http://isaac-cfd.sourceforge.net/
Nek5000 Fortran77, C CFD Yes Yes Large package, clear http://nek5000.mcs.anl.gov/index.php/Main_Page
NuWTun Fortran77, C Compressible NS Yes Yes Based on ISAAC http://nuwtun.berlios.de/
OpenFlower
C++ CFD, turbulence, LES Yes Yes Agile, simple to use http://openflower.sourceforge.net/index2.html
OpenFVM C (?) CFD Yes Yes Large, perhaps outdated http://openfvm.sourceforge.net/
PETSc-FEM C++, oo CFD Yes (?) Yes Minimal Large, complex http://www.cimec.org.ar/twiki/bin/view/Cimec/PETScFEM#Scope
SLFCFD C CFD Yes (?) Yes Small, clear http://slfcfd.sourceforge.net/index.html
TOCHNOG C++ CFD Yes Yes Large, robust http://tochnog.sourceforge.net/examples.html
Typhon C++ Multi-solver platform, CFD
Yes Yes Large, modular http://typhon.sourceforge.net/spip/
LifeV C++, oo Multi-solver library Yes ? Good Large, modular http://www.lifev.org/
Free_cfd C++, oo CFD Yes Yes Large, clear http://www.freecfd.com/