cenidet · 2014-02-14 · 4.2.2 Modelo de la viga en cantiliver 59 4.2.3 Modos de vibración 61 Valores de λ 61 Frecuencias naturales 62 Conclusiones 66 5. Simulaciones 67 5.1 Estimación

S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet

“PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES DE VIBRACIÓN

CON FINES DE DIAGNÓSTICO”

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECATRÓNICA

P R E S E N T A N: ING. JULIO RODRÍGUEZ NAVARRO

ING. JAIME FRANCISCO AVILES VIÑAS

DIRECTORES: DR. MARCO ANTONIO OLIVER SALAZAR

DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK

CUERNAVACA, MORELOS NOVIEMBRE 2003

Resumen

El objetivo de este trabajo es el uso de herramientas poliespectrales para detectar posibles fallas en estructuras mecánicas. Esto se logra a partir del procesamiento de las señales de vibración de una estructura. Se estudió un elemento estructural base como es el caso de una viga cantiliver. Sin embargo, esta metodología se puede extender a otro tipo de sistemas mecánicos, para diagnosticar y ubicar posibles fracturas u otras fallas mecánicas. Las herramientas usadas son la función de densidad espectral de potencia (PSD) y la función biespectral (BIS), siendo el uso del BIS en el análisis de vibraciones una herramienta aún no explotada en el campo. La funciones de la PSD y del BIS fueron estudiadas y programadas en software comercial (Matlab). Las rutinas programadas son abiertas a la incorporación de nuevas funciones según las necesidades del usuario y se pueden adaptar al estudio de señales de vibración provenientes de otros equipos, máquinas rotatorias, estructuras, e incluso al estudio de temas no afines. En las experimentaciones se usaron acelerómetros piezoeléctricos convencionales y acelerómetros biaxiales tipo iMEM’s. El uso del los sensores iMEM’s es nuevo dentro del campo de investigación y de la institución. Los resultados de las experimentaciones se comprobaron con modelos creados en elemento finito. Con el trabajo realizado se encontró una forma para determinar la presencia de fracturas y un nuevo método para localizar la posible ubicación de las fracturas. Se determinó que los corrimientos de las frecuencias naturales encontrados con el PSD y BIS se deben a la presencia de la fractura. El método para encontrar la posible ubicación de la fractura relaciona a los nodos de las frecuencias naturales y su posición con respecto a la fractura.

i

Contenido

Agradecimientos Resumen Contenido i Lista de símbolos vii Lista de figuras xi Lista de fotografías xiv Lista de tablas xv 1. Introducción 1 1.1 Descripción del problema 3 1.2 Objetivo 4 1.3 Aportación 4 1.4 Antecedentes 4 1.5 Estado del arte 6 1.6 Estructuración de la tesis 10 2. Base teórica 11 2.1 Procesos aleatorios: panorama general 11 2.1.1 Clasificación de señales 12 2.1.2 Proceso determinístico 13 2.1.3 Procesos aleatorios - datos aleatorios 14 Proceso estacionario 14 Proceso ergódico 15 2.1.4 Análisis de datos aleatorios 16 2.2 Propiedades estadísticas 17 2.2.1 Propiedads estadísticas de las variables aleatorias 18

ii

Valor esperado 18 Momentos 18 Funciones de distribución y densidad de potencia 19 2.2.2 Propiedades estadísticas de los procesos aleatorios 20 Media 20 Correlación 20 Covarianza 20 2.3 Estadísticas de alto orden 21 2.3.1 Momentos de orden n 21 Función característica 21 Función generadora de momentos 22 2.3.2 Cumulantes 23 Relación entre momentos y cumulantes 23 Propiedades de los cumulantes 28 Conclusiones 29 3. Poliespectro 31 3.1 Poliespectro de orden n 31 3.1.1 Uso de cumulantes en lugar de momentos 32 3.1.2 Casos particulares 33 3.2 La función de densidad espectral 34 3.3 El biespectro 35 3.3.1 Importancia del uso de biespectro 37 3.3.2 Propiedaddes del biespectro 37 3.4 Periodograma y biperiodograma 42 3.4.1 Periodograma 42 3.4.2 Biperiodograma 43 3.5 Ventanas 44 3.6 Coherencia y bicoherencia 47 3.7 Biespectro cruzado 48 3.8 Biespectro modificado 49 Conclusiones 50

iii

4. Análisis de vibraciones 53 4.1 Vibraciones mecánicas 53 4.2 Modelo matemático de una viga en cantilier 57 4.2.1 Vibración lateral 57 4.2.2 Modelo de la viga en cantiliver 59 4.2.3 Modos de vibración 61 Valores de λ 61 Frecuencias naturales 62 Conclusiones 66 5. Simulaciones 67 5.1 Estimación de momentos y cumulantes 67 5.1.1 Caso señal senoidal 70 5.1.2 Diferencias entre momentos y cumulantes 71 5.2 Estimación de la PSD y el BIS 75 5.2.1 Formas de obtener la PSD y el BIS 81 5.2.2 Optimización de cáculos 85 5.3 Estimación de periodograma y biperiodograma 88 5.4 Uso de ventanas 91 5.5 Ejemplos de procesamiento 96 5.6 Uso del BIS modificado 101 Conclusiones 103 6. Experimentación y análisis de resultados 105 6.1 Condiciones de experimentación 105

iv

6.1.1 Material usado para la experimentación 105 6.1.2 Condiciones del banco de pruebas 109 6.1.3 Colocación de los sensores 111 Posición de los sensores respecto a los nodos 111 Posición de los sensores respecto a la longitud de la viga 112 Posición de los sensores respecto a la sensibilidad 113 6.1.4 Clasificación de las experimentaciones 114 6.1.5 Esquema general de la experimentación 116 6.2 Análisis de datos 117 6.2.1 Clasificación de los datos adquiridos 117 6.2.2 Resultados de las experimentaciones 120 Conclusiones 141 7. Verificación de resultados obtenidos 143 7.1 Simulación en elemento finito 143

7.1.1 Elemento finito tipo viga 144 7.1.2 Elemento finito tipo isotrópico 148 7.1.3 Elemento finito tipo ladrillo 152

7.2 Uso de los iMEM’s en el análisis de vibraciones 157

7.2.1 Características 158 7.2.2 Condiciones de operación 158 7.2.3 Condiciones reales 160 7.2.4 Calibración 163 7.2.5 Mediciones 165

Conclusiones 170 8. Conclusiones 171 8.1 Aportaciones 172 8.2 Recomendaciones a futuros trabajos 173 Referencias 175

v

Anexos 181 Anexo I 183 Anexo II 185 Anexo III 187 Anexo IV 193

vii

Lista de símbolos

Amp = amplitud [m] A = área transversal [m2] A = operador constante a encontrar B = operador constante a encontrar Bi = bicoherencia Bix = bicoherencia de x BIS = biespectro BISmd = biespectro modificado BISx = biespectro de x BISℜ x = biespectro de la reigón x BISxxx = biespectro cruzado C = constante de amortiguamiento [N.s/m] C = operador constante a encontrar

nxc = cumulante de x de orden n Cox = coherencia de x

xxcov = covarianza

cox = correlación de x cumx = cumulante de x D = operador constante a encontrar difBIS = diferencia del biespectro E = módulo de Young [N/m2] f = frecuencia [Hz] fun(t) = función en el tiempo funO(t) = función original en el tiempo fc = frecuencia de corte [Hz] f0 = frecuencia original (ciclos por unidades de tiempo) [Hz] fnat = frecuencia natural de vibración [Hz] fs = frecuencia de muestreo [Hz] F0 = magnitud de la fuerza aplicada [N] FunO = función original en la frecuencia G = modulo del esfuerzo cortante [N/m2] Gxx = razón de cambio de la media cuadrada i = variable entre 0 ... ∞ I = momento de inercia [m4] IT = región interior del triangulo Ix = vector real aleatorio

( )ωxI = periodograma de x

( )21 ,ωωxI = biperiodograma de x

( )ωxIw = periodograma con ventana

viii

( )21 ,ωωxIw = biperiodograma con ventana

k = variable, conjunto de puntos K = constante de rigidez [N/m]

( )vK = función generadora de cumulantes L = longitud [m] LM = longitud de la muestra m = masa [Kg] m = variable entre 0 ... ∞

nxm = momento de x de orden n

M = conjunto de muestras M(x,t) = momento flexionante

( )vM x = función generadora de momentos

n = variable, conjunto de datos N = N muestras OT = región fuera del triangulo Pn = partición n P(x) = función de distribución acumulada de probabilidad PSD = función de densidad espectral PSDx = función de densidad espectral de x PSDxy, PSDxx, PSDyx, PSDyy = PSD cruzado ℜ = región

xxR = correlación (autocorrelación)

Sn,x = espectro de x de orden n t = variable en el tiempo [s] T = periodo [s] T = tensión, fuerza axial [N] TRI = triespectro TRIx = triespectro de x U = desbalanceo de masa por la excentricidad v = numero real V = fuerza cortante [N] w =variable aleatoria wD = ventana daniel wTH = ventana Tukey-Hamming wH = ventana von Hann (Hanning) wBP = ventana Bartlett- Priestley wP = ventana Parzen wB = ventana Blackmann wK = ventana Kaiser w(t) = ventana espectral en tiempo W(ω) = ventana espectral en frecuencia x = desplazamiento en dirección del eje x [m] xi = secuencias discreta de datos x(t) = variable, proceso o señal en el tiempo t

( )ωX = variable, proceso o señal en la frecuencia

ix

X* = variable x en frecuencia conjugada y = desplazamiento en dirección del eje y [m] y = variable aleatoria z = variable %Δf = porcentaje de variación de la frecuencia

Símbolos griegos α = variable de deflexión [m] β = velocidad angular [rad/s] λ = constante lambda λn = constante lambda n δ = función delta

fΔ = espaciamiento en frecuencia xΔ = incremento de x [m]

μ = media (momento de primer orden) μ = masa por unidad de longitud [Kg]

xμ = valor medio de x

( )x2μ =valor cuadrático medio τ = variable de desplazamiento en el tiempo θ = defasamiento lineal con respecto al origen ϕ = fase del BIS φ = fase de un proceso o señal

2xψ = valor cuadrático medio

σx2 = varianza

ρ = densidad del material [Kg/m3] ρ(x) = función de densidad de probabilidad del proceso aleatorio

ξ = variable

ζ = factor de amortiguamiento π = constante pi φn(x )= deflexión lateral de x [rad] Φx(ω) = función de densidad ℘ = conjunto de particiones ℘q = conjunto de particiones de orden q ω = variable de frecuencia [rad/s] ωn = variable de frecuencia n [rad/s] ω = frecuencia angular [rad/s] ωnat = frecuencia angular natural [rad/s]

nnatω = frecuencia natural angular n [rad/s]

γ = constante de proporcionalidad γ3x = skewness

x

γ4x = kurtosis Operadores d = operador de derivada ∂ = operador de derivada parcial E[] = esperanza matemática (valor esperado) Y = operador de transformada de fourier

nl = logaritmo natural L(α) = operador lineal de la función α(t)

xi

Lista de figuras

Capítulo 2 Figura 2.1 Clasificación de datos Figura 2.2 Colección de datos aleatorios Figura 2.3 Simetrías del cumulante de tercer orden

Capítulo 3 Figura 3.1 Simetrías del BIS Figura 3.2 Región no redundante del BIS Figura 3.3 Región IT y OT Figura 3.4 Regiones del BIS discreto Figura 3.5 Acoplamiento de fase. (a) Señal independiente y (b) Señal de fase

dependiente

Capítulo 4 Figura 4.1 Señal periódica Figura 4.2 Modelo de vibración masa y resorte Figura 4.3 Modelo con amortiguamiento viscoso Figura 4.4 Diagrama de cuerpo libre de una viga Figura 4.5 Viga en cantiliver Figura 4.6 Gráfica de la ecuación coshλ cosλ + 1 = 0 Figura 4.7 Ejemplo de viga Figura 4.8 Modos de vibración del ejemplo de viga Figura 4.9 Primeros siete modos de vibración. Capítulo 5 Figura 5.1 Señal x(t) y cumulante de 2do orden c2x(t). Figura 5.2 Señal x(t) y cumulante de 2do orden c2x(t). Figura 5.3 Señales x(t), m2x(t) y c2x(t). Figura 5.4 Gráficas del momento (a) y cumulante (b) de tercer orden de x. Figura 5.5 Gráfica de x(t), m2x(t) y c2x(t). Figura 5.6 Comparación entre: (a) m3x(t) y (b) c3x(t). Figura 5.7 Vista de planta de: (a) m3x(t) y (b) c3x(t). Figura 5.8 Señal aleatoria uniforme x(t) y señal aleatoria Gaussiana y(t). Figura 5.9 Comparación entre m2x(t) y c2x(t).

xii

Figura 5.10 Comparación entre m2y(t) y c2y(t). Figura 5.11 Gráfica de psdx(f). Figura 5.12 Gráfica de psdy(f). Figura 5.13 Momento de 3er orden (a) y cumulante de 3er orden de x(t). Figura 5.14 Momento de 3er orden (a) y cumulante de 3er orden de y(t). Figura 5.15 Biespectro de x(t), bisx. Figura 5.16 Biespectro de y(t), bisy. Figura 5.17 Comparación de los tres métodos de obtención del PSD para x(t). Figura 5.18 Comparación de los tres métodos de obtención del PSD para y(t). Figura 5.19 Comparación de los tres métodos de obtención del BIS para x(t). Figura 5.20 Comparación de los tres métodos de obtención del BIS para y(t). Figura 5.21 Acercamiento de bis0x (a) y bis2x (b) Figura 5.22 Vista superior del momento (a) y cumulante (b) de 3er orden de x Figura 5.23 Comparación del cumulante (a) con el cumulante optimizado (b) Figura 5.24 Biespectro (a) y biespectro en la región no redundante (b) Figura 5.25 Periodograma de x con dos particiones Figura 5.26 Periodograma de x sin particiones Figura 5.27 Biperiodograma de x con dos particiones Figura 5.28 Biperiodograma de x sin particiones Figura 5.29 Periodograma con ventana Daniel de x sin particiones Figura 5.30 Periodograma con ventana Parzen de x sin particiones Figura 5.31 Periodograma con ventana Tukey-Hamming de x sin particiones Figura 5.32 Periodograma con ventana Kaiser de x sin particiones Figura 5.33 Biperiodograma con ventana Daniel de x sin particiones Figura 5.34 Biperiodograma con ventana Parzen de x sin particiones Figura 5.35 Biperiodograma con ventana Tukey-Hamming de x sin particiones Figura 5.36 Biperiodograma con ventana Kaiser de x sin particiones Figura 5.37 Gráfica de la intensidad de las manchas solares Figura 5.38 Periodograma de las manchas solares con ventana Daniel Figura 5.39 Periodograma de las manchas solares con ventana Blackmann Figura 5.40 Biperiodograma de las manchas solares con ventana Daniel Figura 5.41 Gráfica de la migración del lince canadiense Figura 5.42 Periodograma de la migración del lince canadiense con ventana

Tukey-Hamming Figura 5.43 Biperiodograma de la migración del lince canadiense con ventana

Kaiser Figura 5.44 Vista de planta del Biperiodograma de la migración del lince

canadiense con ventana Kaiser Figura 5.45 Biperiodograma de las manchas solares con ventana Daniel Figura 5.46 Biespectro modificado de las manchas solares

Capítulo 6 Figura 6.1 Viga de las experimentaciones Figura 6.2 Características de la fractura

xiii

Figura 6.3 Viga de longitud normalizada y ubicación de los nodos Figura 6.4 Posición de los acelerómetros Figura 6.5 Esquema general de experimentación Figura 6.6 Caso V530NHG, corrimiento de las frecuencias naturales Figura 6.7 Caso V870NHRM, corrimiento de las frecuencias naturales Figura 6.8 Ubicación de las fracturas en la viga de longitud normalizada para el

caso V530NHG (a) y el caso V870NHRM (b). Figura 6.9 Vista de planta del BIS para: caso V530NHG sin fractura (a) y con

fractura (b), y caso V870NHRM sin fractura (c) y con fractura (d). Figura 6.10 Variación de la magnitud del acoplamiento de BIS para el caso

V530NHG. Donde el acoplamiento sin fractura (391.9, 391.9) es (a) y el acoplamiento con fractura (393.9, 393.9) es (b)

Figura 6.11 Biespectro del caso V530NHG sin fractura (a1) y con fractura (a2), y del caso V870NHRM sin fractura (b1) y con fractura (b2)

Figura 6.12 Biespectro de planta para el caso V870NHRM sin fractura Figura 6.13 Biespectro de planta para el caso V870NHRM con fractura Figura 6.14 Fase del BIS del caso V530NHG. (a) sin fractura y (b) con fractura Figura 6.15 PSD y BIS de la viga de 600mm usando el excitador:

viga sin fractura (a) y con fractura (b) Figura 6.16 Biespectro del acelerómetro tres (a) y biespectro modificado (b), caso

V530NHGM sin fractura Figura 6.17 Biespectro del acelerómetro tres (a) y biespectro modificado (b), caso

V530NHGM con fractura Figura 6.18 Región diagonal Figura 6.19 BISxxy del acelerómetro tres del caso V530NHG Figura 6.20 BISxyy del acelerómetro tres del caso V530NHG Figura 6.21 Corrimiento de los acoplamientos. (a) 3ra fnat : 392Hz sin fractua y

394Hz con fractura (b) 2da fnat : 134Hz con fractura y 140Hz sin fractura

Capítulo 7 Figura 7.1 Viga de 870mm Figura 7.2 Editor de vigas con sus principales valores Figura 7.3 Modelo discreto de la viga en elemento finito Figura 7.4 Acercamiento del mallado de la fractura Figura 7.5 Modelo discreto en elemento finito de la viga sin fractura Figura 7.6 Modelo discreto en elemento finito de la viga con fractura Figura 7.7 Ejes de medición del ADXL210E desde una vista superior. Figura 7.8 Vista inferior del ADXL210E y sus terminales. Figura 7.9 Período de trabajo. Figura 7.10 Capacitores de filtro para designar el ancho de banda. Figura 7.11 Circuito básico de funcionamiento del ADXL210E Figura 7.12 Salida Xout del acelerómetro Figura 7.13 Salidas Xout y Yout Figura 7.14 Pistas de la tarjeta: (a) superior, (b) inferior

xiv

Figura 7.15 Componentes de la tarjeta. Figura 7.16 Rango de operación del eje paralelo al eje de acción de la gravedad.

(a) rango normal, (b) rango actual. Figura 7.17 Circuito de filtrado Figura 7.18 Colocación del sensor respecto a la gravedad Figura 7.19 Variación del ancho del pulso debido a la gravedad. (a) condición

normal de operación, (b) gravedad actuando en contra, (c) gravedad actuando a favor del eje de medición.

Figura 7.20 Colocación de la placa en la viga Figura 7.21 Frecuencias naturales de la viga de 870mm Figura 7.22 Comparación de la 4ta y 5ta frecuencia natural Figura 7.23 La 1ra frecuencia torsional Figura 7.24 Eje x y y del iMEM Figura 7.25 Frecuencias con excitación horizontal.

Lista de fotografías

Capítulo 6 Fotografía 6.1 Analizador de espectros y cumputadora Fotografía 6.2 Martillo de impacto Fotografía 6.3 Excitador electromecánico Fotografía 6.4 Acondicionadores de señal Fotografía 6.5 Banco de pruebas Fotografía 6.6 Fijación de la viga: (a) vista superior, (b) vista frontal Fotografía 6.7 Viga instrumentada Fotografía 6.8 Banco de la experimentación y sistema de adquisición de datos

Capítulo 7 Fotografía 7.1 Tarjeta del iMEM. (a) Tarjeta original, (b) Tarjeta instrumentada. Fotografía 7.2 Placa con cubierta aislante.

xv

Lista de tablas

Capítulo 3 Tabla 3.1 Ventanas espectrales usadas en el procesamiento digital de datos

Capítulo 4 Tabla 4.1 Casos de vibración dependientes de ζ [15]. Tabla 4.2. Casos particulares de la ecuación de onda [19]. Tabla 4.3. Modos de vibración en una viga cantiliver (longitud normalizada) [19]. Tabla 4.4. Modos de vibración, para una viga de longitud normalizada. Capítulo 6 Tabla 6.1 Características de los acelerómetros Tabla 6.2 Características del sensor de fuerza Tabla 6.3 Posición normalizada de los nodos de los primeros siete modos de

vibración Tabla 6.4 Resumen de experimentaciones Tabla 6.5 Resumen de los resultados del procesamiento de los datos

experimentales Tabla 6.6 Biespectro modificado de los datos experimentales Tabla 6.7 Biespectro cruzado para el acelerómetro tres de los datos experimentales Tabla 6.8 Diferencias de los biespectros de los datos experimentales

Capítulo 7 Tabla 7.1 Frecuencias del elemento finito tipo viga Tabla 7.2 Formas de las frecuencias naturales tipo viga Tabla 7.3 Comparación de frecuencias naturales Tabla 7.4 Frecuencias naturales elemento finito 2D sin fractura Tabla 7.5 Frecuencias naturales del elemento finito tipo 2D sin fractura. Tabla 7.6 Frecuencias naturales de la viga de elemento finito 2D con fractura Tabla 7.7 Formas de frecuencias naturales del elemento finito en 2D Tabla 7.8 Frecuencias naturales del elemento finito tipo 2D. Tabla 7.9 Formas de frecuencias naturales para el elemento finito tipo ladrillo 3D

sin fractura. Tabla 7.10 Formas de frecuencias naturales del elemento finito tipo ladrillo 3D

con fractura

xvi

Tabla 7.11 Frecuencias naturales del elemento finito tipo ladrillo Tabla 7.12 Porcentajes de variación de las frecuencias obtenidas en elemento finito

tipo ladrillo 3D Tabla 7. 13 Frecuencias y variaciones reales Tabla 7. 14 Comparación de las frecuencias naturales obtenidas de los diferentes

modelos de elemento finito Tabla 7.15 Descripción de las terminales del ADXL210E Tabla 7.16 Frecuencias naturales de la viga de 870mm obtenidas con los iMEM's.

Capítulo 8 Tabla 8.1 Comparación de frecuencias obtenidas por varios métodos para una viga de 870mm

1

1. Introducción El procesamiento digital de señales provenientes de diversos procesos ha mostrado ser una buena alternativa comparado con el procesamiento analógico. Entre otros aspectos por los que se tienen esta preferencia se encuentran la modularidad en la programación de funciones, versatilidad en la creación y modificación de algoritmos, adaptación a diferentes plataformas de procesamiento y soporte tecnológico avanzado de arquitecturas basado en microprocesadores. No obstante sus ventajas, también existen limitaciones en el procesamiento digital de señales comparadas con su contraparte, el procesamiento por hardware. La principal desventaja es el tiempo de procesamiento requerido en aplicaciones de tiempo real. Sin embargo, los avances en microelectrónica hacen al procesamiento digital una alternativa cada vez más usada con una tendencia generalizada de sustituir el procesamiento analógico por uno digital en diferentes procesos físicos. El estudio de estos algoritmos y técnicas de procesamiento digital se ha venido desarrollado durante muchos años y sigue desarrollándose de una manera importante; su desarrollo tiene la finalidad de hacer cada vez mejor procesamiento de las señales. Tal es el caso de las estadísticas de alto orden conocidas como poliespectro. Su estudio data desde hace tres décadas y son capaces de revelar más información como la periodicidad de los fenómenos, por ejemplo, los períodos de las manchas solares que se ha demostrado ocurren cada once años [16]. Un ejemplo o caso particular del poliespectro es el biespectro, con el cual Raghuveer y Nikias [35] han demostrado que se puede detectar acoplamientos cuadráticos. Además el poliespectro puede discriminar las no linealidades, lo cual se ha demostrado en estudios como el de las mareas oceánicas [8]. Las estadísticas de alto orden (HOS - Higher Order Statistics) usan los cumulantes, que son los momentos acumulados de un proceso aleatorio. Los cumulantes son

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ciegos a todos los tipos de procesos Gaussianos [36]. A la Transformada de Fourier de las estadísticas de alto orden (HOS) se les conoce como poliespectro, el cual contiene información en amplitud y fase [35]. El poliespectro se puede aplicar para detectar procesos no Gaussianos, ya que los cumulantes de estos procesos son idénticos a cero. Los cumulantes son usados para las mediciones de ruido blanco y de color, además, pueden discriminar las no linealidades. Este hecho, mas la ventaja de que las HOS proporcionan información en amplitud y fase, son de gran utilidad para el procesamiento de señales. El poliespectro que es la transformada de Fourier de estadísticas de “n” orden, se convierte en funciones particulares dependientes de “n”. Un caso particular es la Función de Densidad Espectral de Potencia (PSD), que es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación y es esencialmente, aquella que es presentada en las estadísticas de segundo orden [41]. La PSD es la función más usada en el procesamiento de las señales, suprime el ruido aditivo y elimina la información de fase. Un caso especial del espectro de alto orden es el Biespectro (BIS), que es por definición, la transformada de Fourier bidimensional de estadísticas de tercer orden y contiene la información de fase de las señales [41]. La versatilidad de aplicación de los mismos es muy amplia y depende de la habilidad e ingenio de los desarrolladores para su uso. Su aplicación abarca el procesamiento de voz, imágenes, datos, estudio de fenómenos físicos, sonar, radar, identificación de sistemas, etc. El requisito indispensable para hacer este tipo de procesamientos son las computadoras, sistemas de procesamiento que van desde microcontroladores, microprocesadores, hasta DSP's capaces de procesar las secuencias de números (señales digitales) obtenidas de un proceso o fenómeno. Un fenómeno físico sumamente interesante son las vibraciones mecánicas, tanto en estructuras como en maquinaria. Se conoce que el 80% de los problemas de la maquinaria son atribuidos al desbalance, desalineamiento, y la resonancia estructural. Ambas, el desbalanceo y desalineamiento, generan fuerzas que provocan respuestas vibratorias dañinas al equipo. Las estructuras normalmente son excitados por estas fuerzas, causando niveles de amplitud de vibración amplificados, que podrían llevar a la destrucción de la misma [30]. Todas las estructuras presentan sus propios modos naturales de vibración, sin olvidar las imperfecciones que éstas puedan presentar como las fracturas. Las fracturas son causadas principalmente por fatiga, efectos mecánicos externos, e internos debido a su manufactura. Cuando no se detectan a tiempo, estas fracturas crecen y ocasionan la fractura en el elemento mecánico [65]. De aquí la importancia de detectarlas y caracterizarlas. Los cambios en los niveles de vibración son indicadores valiosos del estado general de la estructura y la maquinaria, el monitoreo de las condiciones de ambas da la información para decidir si necesita reparación, mantenimiento o cambio

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definitivo. De esta manera el monitoreo de la vibración está dedicado a observar la integridad mecánica de la estructura o de la maquinaria y su meta principal es reducir los costos de tiempos muertos, mantenimiento, reparación y accidentes. Las señales de vibración obtenidas de las estructuras, en algunos casos, revelan la presencia de fallas (grietas o fisuras) en la misma. Pero estas señales pueden revelar aun más información dependiendo del análisis al que sean sometidas. La aplicación de técnicas y algoritmos avanzados como el poliespectro en dichas señales de vibración se justifica para obtener más información de las mismas, que ayude a su interpretación y así poder detectar y corregir los problemas de grietas y fisuras en estructuras.

1.1 Descripción del Problema El monitoreo de las señales de vibración es necesario en el ramo industrial ya que éstas son la causa de la mayoría de fallas en las estructuras y máquinas. Estas fallas se transforman en pérdidas directas para la empresa, ya sea por reparación, tiempos muertos, reposición de equipo y maquinaria, y accidentes.

El problema se ha tratado de solucionar mediante diversos sistemas de monitoreo. Uno de los principales es el análisis de las señales de vibración de la maquinaria, equipos o estructuras. En los sistemas actuales de monitoreo la técnica más usada para el análisis de las señales de vibración es la función de densidad espectral (PSD).

Actualmente en el mercado existen diferentes tipos de equipos para el análisis de vibraciones; aparatos comerciales y sistemas de procesamiento no comerciales. Ellos pueden dar resultados numéricos, gráficos (en algunos casos), y en línea. Las opciones son amplias pero tienen la inconveniencia de que son equipos cerrados y a la mayoría no se les puede modificar ni el software (funciones programadas) ni los sensores (acondicionadores), según necesidades de usuario. Las funciones de cada equipo varía según sus especificaciones y sobre todo en su precio. Los factores más comunes en contra de estos equipos son :

- Alto costo - Software propietario (no corren bajo plataformas comerciales) - Cerrados (no versátiles) - Acotación de funciones (y de posibles análisis) - Análisis simple de señales

Estos sistemas han mostrado sus ventajas y sus alcances en el diagnóstico preventivo y correctivo de las estructuras y máquinas. Sin embargo, la creación de nuevos sistemas de monitoreo basados en técnicas de procesamiento más eficaces es necesaria con el fin de obtener mejores resultados. La industria requiere de sistemas modernos de monitoreo de vibraciones para

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solucionar sus problemas con las estructuras y máquinas rotatorias. La utilización de técnicas poliespectrales ha emergido en otras aplicaciones donde ha mostrado tener buenos resultados. Surge entonces la idea de aprovechar las ventajas del análisis poliespectral para el estudio de vibraciones en sistemas mecánicos. Una forma de realizar nuevos estudios es basarse en elementos estructurales simples como las vigas y extrapolar los análisis y resultados a sistemas más complejos. Las vigas tienen modelos que describen su comportamiento, pero para una viga fracturada no existen en general modelos precisos. De ahí la necesidad de usar algoritmos de procesamiento avanzados.

1.2 Objetivo Análisis de las señales de vibración de una viga en cantiliver, a través del procesamiento digital, para detectar la presencia de fracturas.

1.3 Aportación Se crearán herramientas de procesamiento digital para señales de vibración en estructuras mecánicas con posible presencia de fracturas, estas herramientas serán la función de densidad espectral (PSD) y el biespectro (BIS), siendo el uso del BIS una función poco explotada en el análisis de vibraciones que proporciona la magnitud y fase de las señales, mientras que la PSD solo proporciona la información en magnitud. El sistema será abierto y adaptable al procesamiento de diferentes señales. Con las herramientas programadas se espera encontrar parámetros que ayuden a detectar la presencia de fracturas en vigas en cantiliver.

1.4 Antecedentes Dentro del cenidet se han tratado temas sobre procesamiento digital de señales y análisis de las señales de vibración de vigas para los Departamentos de Ingeniería Electrónica y Mecánica. En el estudio de las vigas se han realizado trabajos de tesis seriados. Primero se hizo el análisis de vibraciones libres y forzadas por medio de métodos analíticos así como numéricos empleando el método de elemento finito [54]. El principal objetivo fue el análisis del problema de impacto mediante el uso de un sistema de múltiples grados de libertad. Como resultados se elaboró un banco experimental de

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vibraciones para pruebas de impacto en vigas con vibración; se diseñó y construyó un sensor que permite medir la fuerza de impacto; se realizaron las primeras lecturas en el banco experimental de vibraciones con el analizador Hewlett Packard en combinación con extensometría; se desarrolló un programa computacional basado en el método de elemento finito; y se compararon los resultados de la fuerza de impacto experimentales con los teóricos obteniendo una aproximación aceptable (5%-11% de variación) en este tipo de experimentos. Debido a que los resultados experimentales obtenidos concordaron adecuadamente con los propuestos por el modelo matemático y el programa de cómputo, validando ambos, en consecuencia se creó una base para el desarrollo de estudios posteriores más complejos. Para realizar las pruebas de vibraciones forzadas bajo los efectos del amortiguamiento se adaptó al banco experimental un sistema de amortiguamiento y un sistema de excitación en el estudio [14], debido a una de las maneras de evitar la resonancia es el amortiguamiento. Se diseñó un sistema de amortiguamiento por fricción seca con lo que se estudia la influencia de la fricción como forma de amortiguamiento en sistemas vibratorios. El sistema de amortiguamiento es capaz de proporcionar una fuerza normal a un costado de la viga experimental, con tres diferentes tipos de contacto: lineal, superficial y puntual. Además, este sistema cuenta con un sensor de fuerza el cual transmite la señal del valor sensado y la de excitación al sistema de adquisición de datos, permitiendo que se puedan leer los parámetros de excitación y amortiguamiento simultáneamente. En general las señales obtenidas fueron semejantes a las esperadas y los valores de los distintos parámetros leídos fueron congruentes. En el trabajo [65] el objetivo fue encontrar parámetros indicativos de la presencia de grietas en vigas con vibraciones transversales. Se analizó la deflexión a lo largo de la viga mediante el conocimiento de los modos de vibración, así como las frecuencias naturales que pueden dar información referente a la existencia y magnitud de grietas, además de un análisis de la viga con grieta en un programa de elemento finito (Algor). Los resultados obtenidos mostraron que los efectos de inercia de rotación y de deformación de cortante proporcionan cambios significativos en las frecuencias naturales y modos de vibración cuando la longitud en las vigas es menor de 500mm, cuando la longitud es mayor no influyen de manera considerable. Para el estudio [5] se planteó el desarrollo de un método experimental que permitiera conocer la existencia de la fractura en dispositivos o elementos mecánicos que están en operación en su sistema mediante la aplicación de vibraciones forzadas o aprovechando la propia vibración a la que se encontrara sometido. La experimentación fue la principal meta del trabajo por lo que se rediseñó el banco experimental, en los resultados de la experimentación se encontró que en general si es posible detectar la existencia de fracturas en una viga voladiza. Dentro del análisis de los resultados se encontró que se tienen que tomar en cuenta los cambios que se presentan tanto en las frecuencias naturales como en

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los desplazamientos de los modos de vibración. Para establecer claramente la presencia de fractura debido a las señales obtenidas se deben presentar indicativos claros en cuanto al desplazamiento y cambio de frecuencias. El trabajo [62] es una tesis dedicada al procesamiento de las señales de vibración. En este trabajo se implementó un módulo de análisis de vibraciones hardware-software basado en un DSP. Se hace un análisis de la señal de vibración, obtenida mediante sensores y una etapa de acondicionamiento, mediante un filtrado síncrono que consiste en tomar la señal de vibración junto con otra señal de referencia. Eliminando el ruido de ambas señales, se obtiene la información de amplitud, frecuencia y defasamiento de la señal de vibración respecto a la señal de referencia. El análisis de la señal de vibración se hace mediante un sistema abierto para los usuarios, pero de una manera simple. Se presentan unos ejemplos donde se utiliza la información procesada para balancear una máquina rotatoria reduciendo considerablemente la vibración.

1.5 Estado del arte Dentro de las investigaciones que se han desarrollado actualmente en relación al tema de tesis se encuentran trabajos diversos, algunos especializados en su ramo de estudio y otros con convergencia para el desarrollo de sistemas de monitoreo. En las investigaciones con respecto al análisis de señales mediante técnicas avanzadas de procesamiento se presentan los siguientes trabajos, por mencionar algunos. Las estadísticas de alto orden (HOS - Higher Order Statistics) se han desarrollado y se ha probado su potencial en diversos ramos [36], e. g. , codificación , ecualización adaptiva. Estas técnicas tienen un valor agregado al tratar procesos no gaussianos siendo las señales más comunes en la realidad. Se ha aplicado exitosamente el biespectro en diferentes campos como en la detección de periodicidades [16] y no linealidades [8]. También en el modelado de sistemas como el caso de [21], donde se busca el modelado de un sistema no lineal de un proceso de neutralización de pH usando HOS, el biespectro de la salida se usa para seleccionar las diferentes estructuras de modelos dinámicos lineales en cascada a bloque. Otro ejemplo, en el que se usa la propiedad ciego a ruido del biespectro, es el reconocimiento de voz [38]. Se usa el biespectro (BIS) y triespectro (TRI), por su inmunidad a ruido; presentando claras ventajas cuando el SNR decrece abajo de 20dB. En el caso particular de la recuperación de la fase de fenómenos se encuentra el trabajo [61]. En la recepción de señales π/4 DQPSK (conmutación diferencial de fase en cuadratura)se presenta distorsión en magnitud y fase. El problema de la magnitud se puede solucionar con un sistema automático de control de ganancia y

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en la fase se usa conocimiento de diferencia instantánea de fase pero no satisface la condición de fase mínima por los cambios bruscos. Esto se resuelve con el BIS, pues los cumulantes restauran la información de la fase. Dentro de los estudios relacionados con las vigas que presentan fractura, a través de trabajos de tesis seriados (dentro del cenidet) se ha revisado ampliamente los modelos de la viga con y sin fractura, los métodos de detección y localización de la fractura, y los efectos de las fracturas en el comportamiento de la viga. Se presenta una secuencia y panorama de trabajos, basado en las investigaciones de las tesis, para asentar las bases y comprender la dirección y meta de la propuesta de investigación. El análisis y el estudio de las vigas (cantiliver) sometidas a vibración puede hallarse en muy diversos libros de texto mencionados en [65] y [5]; el estudio especializado y de investigación se puede encontrar en los diferentes trabajos de publicaciones. Un estudio detallado del movimiento recto de la viga se enfocó a encontrar las frecuencias y modos de vibración de manera teórica sin considerar el amortiguamiento, por lo que presenta poca utilidad real [5]. Al igual que el estudio anterior, se han usado métodos numéricos para el análisis estático y dinámico de la viga (cantiliver) con una fractura en su parte media y se encontró que la fractura causó un incremento en la deflexión estática y una reducción en su primera frecuencia natural, y que los cambios dependen no solo de la profundidad de la fractura sino también de la fracción de volumen y ángulo de posición de las fibras internas de la viga [65]. Mediante el método de Rayleigh-Ritz se han determinado las frecuencias naturales y los modos de vibración de una viga simplemente apoyada con fracturas en su sección transversal dando como resultado dos funciones para la deflexión transversal de la viga (derecha e izquierda) [65]. En [14] y [5] se presentaron los estudios para vigas de sección cuadrada constante basados en el elemento finito (FEM - Finite Element Method), con el objetivo de describir con precisión el comportamiento de la viga debido a sus condiciones para determinar cargas críticas, modos de vibración y frecuencias naturales. Se analizó el modelo de una viga fracturada con FEM introduciendo la vibración de forma senoidal y se establecieron los efectos de la localización y tamaño de las fracturas sobre el comportamiento dinámico con lo que se obtuvo una ecuación de movimiento, la cual fue resuelta numéricamente encontrando una relación entre profundidad y localización de la fractura así como las amplitudes de vibración con los que fue posible localizar la fractura por medio de la deflexión en la viga [65]. Las fracturas pueden cambiar las frecuencias y modos de vibración, los cuales son útiles para determinar el tamaño y posición de la fractura debido a los cambios significativos del 1er y 3er modo de vibración [5]. Se propusieron modelos de elemento finito de una viga fracturada y sin fractura, con la comparación de ambos se estableció un método basado en la relación de la fractura con la pareja de eigenvalores y eigenvectores de la viga [65]. Otros trabajos han derivado métodos para la detección de fracturas, en [65] se menciona que se midió la vibración de la viga cantiliver fracturada en su sección transversal, los resultados fueron analizados para relacionar los modos de vibración con la posición y profundidad de

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la fractura y un método fue desarrollado; también menciona que un método experimental y numérico se usó para el análisis del efecto de dos fracturas sobre las frecuencias naturales en una viga cantiliver, con lo que se obtuvo una relación entre la posición, la magnitud de la fractura y la primera frecuencia de la viga concluyendo que la fractura de mayor profundidad tiene mayor efecto y que su posición relativa afecta significativamente el cambio de las frecuencias naturales. Se presentó un método para determinar la localización y tamaño de las fracturas en una viga apoyada basado en la diferencia de mínimos cuadrados de valores medios y se separaron las vibraciones en longitudinales (modelo de 2do orden) y flexionantes (modelo de 4to orden) [5]. También se desarrolló un método que aproxima una ecuación algebraica relacionando las frecuencias naturales y las características de la fractura para después usarlo inversamente en la identificación y localización de una fractura a partir de la medición de sus frecuencias naturales, concluyendo que la única información requerida para la identificación precisa de las fracturas es la variación de las primeras frecuencias naturales [65]. Por último en los trabajos de monitoreo de las señales de vibraciones y su análisis se encontró que el uso de la transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform) como herramienta de análisis de las señales de vibración es la más usada, sin embargo, presenta deficiencias por su naturaleza [20]. La FFT es para procesos o fenómenos estacionarios, mientras que las señales de vibración son no estacionarias. Se puede usar la transformada rápida de Fourier para eventos transitorios (STFT, Short Time Fourier Transform), pero se obtiene información con limitada precisión, la cual está determinada por el tamaño de la ventana. Es decir, existe un derramamiento espectral inherente a la ventana de las secuencias finitas de datos, el cual se disminuye usando diferentes tipos de ventanas espectrales pero a costa de disminuir la resolución. Para esto se usa los Wavelets, que en tiempos largos estudia la información en bajas frecuencias y en tiempos cortos estudia a las altas frecuencias. Los wavelets dan ventaja en el estudio de fallas durante los transitorios [20]. Otras de las maneras en que los sistemas expertos detectan nueva información en las señales de vibración es observando el espectro del espectro [67]. A este proceso se le llama análisis cepstrum. En las vibraciones existen una serie de armónicos, separadas en grupos de frecuencias. Con el cepstrum se extrae la periodicidad del espectro, el cual reconoce picos en la señal de vibración correspondientes a los armónicos que pueden ser identificados con una serie de reglas y pueden ser comparados con otros comportamientos. El uso de métodos de elasticidad compleja, respuesta al impulso, y técnicas de análisis de elemento finito quita los requerimientos de datos de falla previos por la predicción del comportamiento de la maquinaria o estructuras bajo ciertas condiciones de operación [3]. Mientras que estas técnicas son válidas, son específicas para determinado diseño de maquinaria o estructura. Recientes trabajos basados en ANN (Artificial Neural Networks) se usan para diagnosticar la maquinaria (CM, Condition Monitoring) [3]. Con estas técnicas se

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han demostrado logros en la identificación de fallas incipientes en máquinas inductivas. Un prerrequisito para su operación es a priori obtener datos de la falla. Claramente esto impide una práctica operación de estos métodos, y en dado caso, es inusual tener datos de fallas comprensivos. Los sistemas modernos tratan de que el sistema experto de monitoreo por si solo identifique las fallas y decida la solución mediante el mantenimiento predictivo (PdM) [23]. Se ha usado IA (Inteligencia Artificial) y ANN para respaldar al sistema experto como su base de conocimiento y reconocimiento. Sin embargo, la IA tiene un número finito de reglas por lo que no se usa para aplicaciones dinámicas que requieren capacidad de aprendizaje continua. Para solucionar esto se usó el reconocimiento estadístico de patrón que crea reglas de conocimiento de una manera dinámica, pero requiere de grandes habilidades para actualizar el sistema. La ANN ha solucionado este problema, pero requiere igualmente grandes habilidades computacionales pero, sobre todo, un gran número de muestras lo que se traduce en un largo tiempo de aprendizaje. Estos sistemas se siguen desarrollando actualmente para simplificarse. El uso de las HOS para el monitoreo de fallas, con fines de detección, clasificación y diagnóstico está emergiendo [11]. Se basa en el análisis de señales de vibración, dejando atrás el uso de la PSD, usando el TOH (Third-Order Spectra) para obtener la información de la señal en magnitud y fase. Se presenta un aprovechamiento y uso de modelado paramétrico y no paramétrico. Siendo una investigación de la aplicación de la herramienta en el campo de las señales de vibración, los resultados son muy promisorios en el estudio y análisis de las señales y enfatiza que las HOS comprueban dar nuevas alternativas para la detección e identificación de fallas. De hecho, ya existen trabajos donde usa el BIS para detectar fallas, análisis de vibraciones, análisis de señales bajo el agua, procesamiento de voz, caos y monitoreo de estado de maquinaria (CM) [51]. Es bien conocido que las fallas de fatiga son asociadas a no linealidades, las técnicas de las HOS se desarrollaron para el estudio de señales transitorias, suprimir ruido gaussiano y detectar no linealidades [51]. Las señales de vibración son señales no gaussianas, de esta manera las HOS pueden ser usadas para extraer la información de señales y sistemas que no se puede obtener con estadísticas convencionales como la PSD. Incluso se hizo un análisis de los resultados de diversas herramientas para pruebas experimentales de fallas de fatiga en una viga [50]. Se usa un acelerómetro para medir las vibraciones y se estima la PSD, respuesta frecuencial, bicoherencia y el BIS para ser comparadas y discutidas. Por la naturaleza no lineal de las vibraciones, el análisis frecuencial no da buenos resultados, consecuentemente las HOS obtienen mejores resultados. Aunque con la PSD se obtienen buenos resultados de análisis, es limitado en comparación con el BIS o la bicoherencia. Con las últimas se puede detectar la presencia de daño estructural y no son afectadas por los factores ambientales.

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1.6 Estructuración de la tesis El trabajo se divide en ocho capítulos, siendo siete pertenecientes a la investigación y desarrollo del tema. En los capítulos se presenta la información progresivamente, empezando por el estudio teórico, pasando a la programación y experimentación, y posteriormente el análisis, comprobación y conclusiones. En el capítulo dos tiene el objetivo de introducir a los lectores en el tema de los datos aleatorios, presentando su clasificación y propiedades estadísticas. Además de introducirles al estudio de las estadísticas de alto orden. Para el capítulo tres se estudia la representación espectral de las estadísticas de alto orden (poliespectro), siendo el poliespectro la herramienta principal dentro de la investigación. Las funciones que se estudian son la función de densidad espectral y el biespectro, además, sus estimados y algunas modificaciones de las mismas. Dentro del capítulo cuatro se hace un breve análisis y resumen de la teoría de vibraciones en las vigas en cantiliver. Se estudian las frecuencias naturales y los modos de vibración de la viga en cantiliver. La programación de las rutinas de procesamiento se estudia en el capítulo cinco. Se comprueban las propiedades teóricas y se validan las herramientas con casos de estudio. El trabajo de experimentación y análisis se encuentra en el capítulo seis. En este capítulo se plantean las condiciones de experimentación y la clasificación de las experimentaciones. Los datos obtenidos de las experimentaciones se procesan y analizan para encontrar parámetros que ayuden a detectar la presencia de fracturas en las vigas cantiliver. El capítulo siete se dedica a la simulación de una viga en elemento finito, así como para el estudio y uso de los acelerómetros tipo iMEM’s con el fin de validar los resultados obtenidos en las experimentaciones. Por último, en el capítulo ocho se encuentran las conclusiones del trabajo así como las aportaciones del mismos y las recomendaciones para trabajos futuros.

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2. Base teórica Habiendo definido en el capítulo anterior los objetivos del trabajo de tesis, resulta indispensable familiarizarse con los conceptos fundamentales con los que se trabajará a lo largo de este trabajo. Una de las formas más comunes de analizar un sistema es mediante la aplicación de una señal de excitación, la adquisición de la señal de salida resultante y el procesamiento de las señales en el dominio del tiempo y/o de la frecuencia. Resulta conveniente presentar aquí todos aquellos conceptos que permitan el análisis de sistemas o estructuras de vibración a partir del procesamiento de las señales correspondientes.

2.1 Procesos aleatorios: panorama general Un papel muy importante en el estudio y clasificación de los diferentes datos que constituyen las señales, lo forman las herramientas de procesamiento de las señales de vibración. En esta sección se presentan las descripciones básicas y las propiedades de los datos, así como su clasificación para poder tener un entendimiento físico del fenómeno que ellos representan. Las funciones estadísticas fundamentales son definidas a continuación.

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2.1.1 Clasificación de señales Un fenómeno físico de interés en ingeniería es normalmente medido en términos de amplitud contra el tiempo, refiriéndose como un registro en el tiempo. A estos registros de n muestras por simplicidad se les conoce como datos. Cualquier dato observado de un fenómeno puede ser clasificado como determinístico y no determinístico, los cuales se definen como [4]: Determinístico : aquel que puede ser descrito por una relación matemática explicita. No-Determinístico : no puede ser descrito por relaciones matemáticas

explícitas. De manera que para los datos determinísticos, teniendo su relación matemática, es posible conocer un valor en cualquier tiempo. En cambio con los datos no-determinísticos no hay manera de predecir el valor exacto en un instante específico de tiempo. Los datos no-determinísticos son de carácter aleatorio, conocidos también como datos aleatorios, y pueden ser descritos en términos de postulados, relaciones de probabilidad, y medias estadísticas. Se dice que la clasificación de datos determinísticos y aleatorios es una descripción única; pero se ha reconocido recientemente otra clasificación donde los datos aparentemente aleatorios son controlados por un proceso determinístico, y se les conoce como caóticos [34]. En la práctica, ningún dato físico es completamente determinístico y ningún dato puede ser totalmente aleatorio [4]. Los datos determinísticos y aleatorios a su vez se dividen en diferentes subgrupos que han sido estudiados ampliamente en [4]. Un panorama general se muestra en la Figura 2.1, algunos de estos subgrupos serán brevemente estudiados en las secciones posteriores, sobre todo los que se refieren al estudio de esta tesis.

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Figura 2.1 Clasificación de datos 2.1.2 Proceso determinístico Un proceso determinístico es aquel que sus datos tienen un comportamiento determinístico. Los datos determinísticos pueden categorizarse como periódicos o no periódicos. Los datos periódicos consisten de una forma básica de dimensión finita, que es reproducida infinitamente. Para una señal

( ) ( )θπ += tfAtx 02sen (2.1)

donde:

A = amplitud f0 = frecuencia (ciclos por unidades de tiempo) θ = defasamiento lineal con respecto al origen x(t) = valor instantáneo en el tiempo t

El intervalo requerido para una fluctuación completa o ciclo se le llama período T. El período está ligado a la frecuencia como:

T = 1 / f0 (2.2) Generalmente para una función x(t) que repite sus valores a lo largo del tiempo por una constante T se llama función periódica.

x(t) = x(t + nΤ); n = 1,2,3,… (2.3)

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2.1.3 Procesos aleatorios - datos aleatorios Para un fenómeno aleatorio se define su función como una muestra en tiempo finito, y es su representación en un período de tiempo. El conjunto de todas las muestras o colección, es un proceso aleatorio. El proceso aleatorio hipotéticamente puede ser descrito en cualquier instante de tiempo si la media de la colección de valores lo describe. El proceso aleatorio puede ser categorizado como estacionario o no. Los procesos aleatorios estacionarios pueden ser ergódicos o no. Los procesos no estacionarios pueden ser categorizados en términos de sus propiedades no estacionarias específicas. Proceso estacionario Sea un proceso aleatorio con valor medio (primer momento) en cualquier instante de tiempo t1 en la colección de datos de la Figura 2.2 dado como [4]:

∑=

∞→=

N

kkNx tx

Nt

111 )(1lim)(μ (2.4)

y con una correlación (auto correlación) dada por:

( ) ∑=

∞→+=+

N

kkkNxx txtx

NttR

11111 )()(1lim, ττ (2.5)

Entonces, el proceso aleatorio {x(t)} es estacionario bajo las siguientes condiciones.

1 Si μx(t1) y Rxx(t1,t1+τ) varían, mientras t1 varía, ( ){ }tx es no estacionario.

2 Si μx(t1) y Rxx(t1,t1+τ) no varían mientras t1 varía; el proceso es estacionario en un sentido amplio. Para este proceso el valor medio es una constante, μx(t1) = μx , y la función de auto correlación depende solo del desplazamientoτ, Rxx(t1,t1+τ) = Rxx(τ).

3 Para una colección infinita de momentos de alto orden (ver sección 2.3) y de

momentos acoplados del proceso aleatorio {x(t)}; si todos ellos son invariantes en el tiempo entonces ( ){ }tx es fuertemente estacionario o estacionario en un sentido estricto.

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Figura 2.2 Colección de datos aleatorios

Proceso ergódico Un proceso ergódico se define como sigue [4]. Para la k-ésima función muestra de {x(t)}, su valor medio y la correlación están dados por:

( )∫∞→=

T

kTx dttxT

k0

1lim)(μ (2.6)

( ) ( ) ( )∫ +=∞→

T

kkTxx dttxtxT

kR0

1lim, ττ (2.7)

Si {x(t)} es estacionario y μx(k) y Rxx(τ,k) no difieren cuando se calculan para diferentes funciones muestra, el proceso aleatorio se dice que es ergódico, esto es:

μx(k) = μx y Rxx (τ, k ) = Rxx(τ )

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Solo un proceso estacionario puede ser ergódico, pero un proceso estacionario no necesariamente es ergódico. Para procesos ergódicos todas sus propiedades pueden ser descritas por medias de tiempo de una función muestra. 2.1.4 Análisis de datos aleatorios Aunque no pueden escribirse ecuaciones matemáticas explicitas para las historias de tiempo producidas por un proceso aleatorio, relaciones de entrada-salida bien definidas existen y son fundamentales para una amplia gama de aplicaciones. Para estos datos o procesos, procedimientos estadísticos deben de ser usados para obtener propiedades y comportamientos estadísticos. Las propiedades estadísticas básicas de importancia para la descripción de una muestra aleatoria estacionaria definidas por Bendant y Piersol son [4]: -Media y media cuadrada

valor medio μx : representa la tendencia central de una colección de datos. varianza σx

2 : es la media de los cuadrados de la desviación de el valor medio de una colección de datos medida. μx

2 + σx2 = ψx

2 representa una medida de la combinación de la tendencia central y la dispersión

-Funciones de densidad de probabilidad P(x): representa la razón de cambio de probabilidad -Funciones de autocorrelación

Rxx(τ) : medida de las propiedades de relación de tiempo en los datos, separados por un intervalo.

-Funciones de densidad autoespectral ( o función de densidad espectral, PSD) Gxx( f ) : son cantidades medidas en la práctica directamente con procedimientos de filtrado que representa la razón de cambio de la media cuadrada con la frecuencia entre (-∞,∞).

Para pares de muestras aleatorias de dos procesos estacionarios aleatorios diferentes; las propiedades estadísticas acopladas de importancia son: -funciones de densidad de probabilidad acoplada -funciones de correlación cruzada -funciones de densidad espectral cruzada -funciones de respuesta a la frecuencia -funciones de coherencia

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Las primeras tres funciones miden las propiedades fundamentales en amplitud, tiempo y frecuencia. Con la función de respuesta a la frecuencia se pueden tratar problemas relacionados con entrada/salida. Con la función de coherencia se mide la exactitud del modelo de entrada/salida. Las aplicaciones comunes de las funciones de densidad de probabilidad y distribución son: -Evaluación de la normalidad -Detección de errores en adquisición de datos -Indicación de los efectos no lineales -Análisis de valores extremos Las aplicaciones principales de las mediciones de correlación son -Detección de periodicidades -Predicción de señales en ruido -Medición de retrasos en tiempo -Localización de fuentes de disturbio -Identificación de rutas de propagación y velocidades Las aplicaciones típicas de las funciones de densidad espectral son: -Determinación de las propiedades del sistema a partir de los datos de

entrada/salida -Predicción de los datos de salida a través de los datos de entrada y las

propiedades del sistema. -Identificación de los datos de entrada a través de los datos de salida y

las propiedades del sistema. -Especificaciones de los datos dinámicos para programas de prueba. -Identificación de fuentes de energía y ruido -Filtrado y producción lineal óptimo.

2.2 Propiedades estadísticas En la sección anterior se definieron las clasificaciones de los datos aleatorios, en términos de propiedades estadísticas que serán explicadas a continuación. Estas propiedades son fundamentales para analizar datos y procesos aleatorios, pues mediante ellas éstos pueden ser descritos. Además serán la base para el desarrollo y estudio de las estadísticas de alto orden en la sección 2.3.

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2.2.1 Propiedades estadísticas de las variables aleatorias Básicamente son dos propiedades fundamentales; el valor esperado (E[]), y el momento (μ). Valor esperado

El símbolo E es usado como operador en las variables aleatorias. Es llamado esperanza, valor esperado, o valor promedio. La expresión E[f(x)] es usada para denotar el valor esperado de una función f( ) aplicado a los valores que toma la variable aleatoria x [27] [46]. Se define como [4]:

( )[ ] ( )∫∞

∞−

= dxxxkxE ρ (2.8)

donde ρ (x) es la función de densidad de probabilidad del proceso aleatorio. Momentos El n-ésimo momento de la variable aleatoria x con densidad de probabilidad ρ(x) es definido como:

( ) [ ] ( )∫∞

∞−

Δ

== dxxxxEx nnn ρμ (2.9)

El primer momento es llamado media:

( ) [ ] ( ) xdxxxxEx μρμ === ∫∞

∞−

(2.10)

el segundo valor se llama valor cuadrático medio y es

( ) [ ] ( )∫∞

∞−

=== 2222 xdxxxxEx ψρμ (2.11)

La varianza es una relación entre la media y el valor cuadrático medio de la forma [52]:

222xxx μψσ −= (2.12)

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( )[ ][ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] 22

222

22

22

22

22

2 2

2 2

μ

μμ

μμ

μμ

μμ

μσ

−=

+−=

+−=

+−=

+−=

−=

xExE

xExEExExE

xxE

xEx

Para una secuencia discreta de datos xi, su momento se puede expresar como

( )∑−

=

=1

0

N

iiix xx ρμ (2.14)

para los N datos, la probabilidad de cada dato individual es 1/N, entonces

∑−

=

=1

0

1 N

iix x

Nμ (2.15)

Los momentos de primer orden son simplemente escalares (o vectores) dependiendo de la función. Los momentos de alto orden tienen forma y propiedades matriciales [27]. Funciones de distribución y densidad de probabilidad Sea x(k) la variable aleatoria de interés. La función de distribución acumulada de probabilidad P(x) se define como la probabilidad que es asignada al conjunto de puntos de k que satisface la desigualdad deseada x(k) ≤ x [52].

P(x) = Prob [x(k) ≤ x ] (2.16) De la ecuación 2.16 se puede ver claramente que: P(a) ≤ P(b) si a ≤ b P(-∞) = 0 P(∞) = 1 Si la variable aleatoria se asume en un rango contínuo, entonces la función de densidad de probabilidad ρ(x) puede ser definida como la relación diferencial [52]:

( ) ( )[ ]⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ΔΔ+<<

=→Δ x

xxkxxProbimxx 0lρ (2.17)

esto da

(2.13)

20

( ) ( )∫∞

∞−

=≥ 1;0 dxxx ρρ

2.2.2 Propiedades estadísticas de los procesos aleatorios Un proceso aleatorio tiene tres funciones principales usadas para su análisis y caracterización; la media, la correlación y la covarianza. Media Sea x(t) un vector de un proceso aleatorio de N datos, su media se define como [4]:

[ ] ( ) xdxxtxtxE μρ == ∫∞

∞−

)()( (2.19)

Correlación La correlación de un vector de valores x(t) de un proceso aleatorio es definida como [4]:

( ) ( ) ( )[ ]2121 , txtxEttRxx = (2.20)

donde

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )21212121 , tdxtdxtxtxtxtxtxtxE ∫∫∞

∞−

∞

∞−

= ρ (2.21)

y ρ[x(t1), x(t2)] es la función de densidad de probabilidad conjunta de x(t1) y x(t2). Covarianza La covarianza de x(t) se define como [4]:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2121

21212121

21212121

221121

,cov

txEtxEtxtxEtxEtxEtxEtxEtxEtxEtxtxE

txEtxEtxtxEtxEtxtxtxEtxEtxtxEtxEttxx

−=+−−=

+−−=−−=

(2.18)

(2.22)

21

en el caso que t1 = t2 = t , covxx(t,t) representa la varianza de {x(t)}

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )tttxEtt xxxx22,cov σμ =−= (2.23)

Para valores arbitrarios de μx, la función de covarianza se relaciona con la función de correlación por la función.

( ) 2)(cov xxxxx R μττ −= (2.24) Cuando el proceso {x(t)}, tiene media cero, su correlación y covarianza son iguales [4] [27]. Los valores de la media y covarianza son los mismos para todos los valores de t, esto quiere decir que son independientes de las transiciones en el tiempo. Cuando todas las distribuciones de probabilidad son independientes de las relaciones en el tiempo, el proceso aleatorio es estacionario.

2.3 Estadísticas de alto orden Como se planteó anteriormente, los procesos o datos aleatorios a pesar de no tener un modelo exacto que los describan, es posible estudiar dichos procesos conociendo sus propiedades estadísticas. Las estadísticas hasta ahora descritas pueden describir bien los procesos, sin embargo, puede obtenerse aun más información acerca de ellos con estadísticas de orden superior. A estas estadísticas se les conoce como estadísticas de alto orden (HOS, Higher Order Statistics). 2.3.1 Momentos de orden n Pueden definirse dos funciones que permitan calcular los momentos de una variable aleatoria, estas son la función característica y la función generadora de momentos [46]. Función característica La función característica de una variable aleatoria x se define como [44]

( ) [ ]xjx eE ωω =Φ (2.25)

22

Es una función del numero real -∞ < ω < ∞. Si la ecuación 2.25 se escribe en términos de la función de densidad, Φx(ω) es la transformada de Fourier de fx(x)

( ) ∫∞

∞−

−=Φ dxexf xjxx

ωω )( (2.26)

por este hecho, si Φx(ω) es conocida, fx(x) puede ser conocida por la transformada inversa de Fourier

( ) ( )∫∞

∞−

Φ= ωωπ

ω dexf xjxx 2

1 (2.27)

por una diferenciación de Φx(ω), n veces con respecto a ω y haciendo ω = 0 en la derivada, se puede mostrar que el n-ésimo momento de x está dado por

( ) ( )0=

Φ−=

ωω

ωμ n

xn

nn d

dj

(2.28) La mayor ventaja de usar Φx(ω) para encontrar los momentos es que Φx(ω) siempre existe [46]. Entonces los momentos pueden ser encontrados si Φx(ω) es conocida. Los momentos de alto orden son una generalización natural de las correlaciones [60]. Función generadora de momentos Un promedio estadístico relacionado fuertemente con la función característica es la función generadora de momentos, definida como

( ) [ ]vxx eEvM = (2.29)

donde v es un número real de -∞ < v < ∞ . Así, Mx(v) está dado por

( ) ( ) dxexfvM vxxx ∫

∞

∞−

= (2.30)

La mayor ventaja de la función generadora de momentos se deriva de su habilidad de dar momentos [46]. Los momentos se relacionan con Mx(v) por la expresión

( )0=

=v

nx

n

n dvvMd

μ (2.31)

Su desventaja principal, a diferencia de la función característica, es que ésta puede

23

no existir para todas las variables aleatorias. De hecho Mx(v) existe solo si todos los momentos existen [46]. Una propiedad importante de la función generadora de momentos es que la función generadora de momentos de la suma de variables aleatorias independientes es justamente el producto de las funciones individuales generadoras de momentos [52].

( ) ( )[ ][ ][ ] [ ]

( ) ( )vMvMeEeE

eeE

eEvM

yx

vyvx

vyvx

yxvyx

==

=

= ++

2.3.2 Cumulantes Las estadísticas de alto orden, en particular los cumulantes, proporcionan información de alto orden de los datos o señales [25]. Los cumulantes dan la cantidad de correlación de alto orden y la medida de la desviación de la gaussianidad de un proceso [37]. Ya que los momentos son la generalización de las correlaciones, los cumulantes son las combinaciones no lineales específicas de estos momentos [60]. Sean v = col ( v1, v2, ....., vk ) y x = col ( x0, x1, ...., xk-1 ), colecciones de variables aleatorias. El cumulante de k-ésimo orden de esas variables aleatorias es definido como los coeficientes de ( v1, v2, ....., vk ) en la expansión de la serie de Taylor de la función generadora de cumulantes [47].

( ) { }xvjeEvK ′= ln (2.33) El cumulante del k-ésimo orden de esta manera se define en términos de los momentos acoplados de orden mayor a k [37]. De tal forma que los cumulantes pueden relacionarse con los momentos, esto es una herramienta útil para encontrarlos. Relación entre momentos y cumulantes Los cumulantes pueden ser encontrados de los momentos y viceversa. Sea x = ( x1, x2, ......, xk )T un vector real aleatorio y Ix = { 1, 2 , ... , k }. Para cada subconjunto de Ix, I = { i1, i2,.....im }, el vector xI = ( xi,....., xim )T y

μx( I ) = E [ xi1 ; xi2 ..... ; xim ], cumx ( I ) = cum [ xi1 , …., xim ]

(2.32)

24

los cumulantes y momentos respectivamente de las variables aleatorias [25] . La partición de Ix es una colección de conjuntos no intersectados, no vacíos de I, cuya unión forma Ix. Por ejemplo el conjunto de particiones correspondientes a k = 3 consta de las particiones { (1,2,3)}, {(1), (2,3)}, {(2),(1,3)}, {(3),(1,2)}, {(1),(2),(3) } representando a cada conjunto de particiones como ℘. ℘q será el conjunto de particiones de Ix de orden q . Así ℘1 será la partición sencilla de {(1, 2, 3)}, ℘2 constara de tres particiones P1 : { (1),(2,3)}, P2 : {(2),(1,3)}, P3 : {(3),(1,2)} mientras que ℘3 consistirá de la partición individual de {(1),(2),(3)}. Así el cumulante de orden k es obtenido de los momentos de orden menores a k [37], por la fórmula

[ ] ( ) ( ) ( )∑ Π∑℘∈ ∈=

− −−==qP

xPI

k

q

qk ImqxxxcumI !11,,)(c

1

121x L (2.34)

e inversamente los momentos pueden ser obtenidos de los cumulantes por la fórmula

( ) [ ] ( )∑ ∑ Π= ℘∈ ∈

==k

qx

P PIkx IcumxxxEIm

q121 ,, L (2.35)

Usando estas ecuaciones se calculan los cumulantes de 1, 2, 3 y 4 orden. Para el cumulante de primer orden: Sea I = {1} y k = 1 ℘ = {1}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }10 !01 xEImImIc xxx ==−= ∑ (2.36)

El cumulante de segundo orden es: I = {1, 2} y k = 2 ℘ = {(1,2)}, {(1), (2)}

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

{ } { } { }2121

2

1

12

11

!11

2

xExExxE

ImIm

ImqIc

xI

x

q Px

PI

qx

q

−=

−+=

−−=

Π

∑ ∑ Π

℘∈

= ℘∈ ∈

−

(2.37)

25

Para el cumulante de tercer orden: I = {1, 2, 3} y k = 3 ℘ = { (1,2,3)}, {(1), (2,3)}, {(2),(1,3)}, {(3),(1,2)}, {(1),(2),(3) }

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ } { } { } { } { } { } { }[ ] { } { } { }321213312321321

2

3

1

13

2

!21

!)1(1

32 2

xExExExxExExxExExxExExxxE

ImImIm

ImqIc

xIP

xI

x

Px

PIq

qx

q

+++−=

−+−=

−−=

Π∑ Π

∑ Π∑

℘∈℘∈ ℘∈

℘∈ ∈=

−

{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }321213312321321 2,,,,, xExExExxExExxExExxExExxxE +−−−= (2.38)

El cumulante de cuarto orden es: I = {1, 2, 3, 4} y k = 4 ℘ = {(1,2,3,4)}, {(1),(2,3,4)}, {(2),(1,3,4)}, {(3),(1,2,4)}, {(4),(1,2,3)} {(1,2),(3,4)}, {(1,3),(2,4)}, {(1,4),(2,3)}, {(1),(2,3),(4)}, {(2),(1,3),(4)} {(3),(1,2),(4)}, {(2),(1,4),(3)}, {(1),(2,4),(3)}, {(1),(3,4),(2)}, {(1),(2),(3),(4)}

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ImImImIm

ImqIc

xI

xP IP

xI

x

q Px

PI

qx

q

q

Π∑ Π∑ Π

∑ ∑ Π

℘∈℘∈ ℘∈℘∈ ℘∈

= ℘∈ ∈

−

−++−=

−−=

43 32

!312

!11

3

4

1

14

{ } { } { } { }[ { } { } { }{ } { } { } { } { } { } { } { }]

{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }[{ } { } { } { } { } { }] { } { } { } { }[ ]432114231432

2413421343124321

2341423143213214

42,13431243214321

6,,,,,,2

,,,,,,,,,,,,,,,,

xExExExExExxExExExxExExExxExExExxExExExxExExExxExE

xxExxExxExxExxExxExxxExExxxExExxxExExxxExExxxxE

−++++++

++++

++−=

(2.39) Igualmente calculando momentos a través de los cumulantes. El momento de primer orden es:

( ) ( )

( ) ( )1

1

1

xcIc

IcumIm

x

q Px

Ix

==

= ∑∑Π= ℘∈ ℘∈ (2.40)

26

El momento de segundo orden es:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )2121

2

12

2

xcxcxxc

IcumIc

IcumIm

xI

x

q Px

Ix

+=

+=

=

Π

∑∑Π

℘∈

= ℘∈ ℘∈

(2.41)

Para el momento de tercer orden se tiene:

( ) ( )

( ) ( ) ( )IcIcIc

IcumIm

xIP

xI

x

q Px

Ix

Π∑ Π

∑∑Π

℘∈℘∈ ℘∈

= ℘∈ ℘∈

++=

=

32 2

3

13

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )321213312321321 ,,,,, xcxcxcxxcxcxxcxcxxcxcxxxc ++++= (2.42) El momento de cuarto orden entonces será:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )IcIcIcIc

IcumIm

xIP

xIP

xI

x

q Px

Ix

Π∑ Π∑ Π

∑∑Π

℘∈℘∈ ℘∈℘∈ ℘∈

= ℘∈ ℘∈

+++=

=

43 32 2

4

14

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]( ) ( ) ( ) ( )4321

142314323412

421343124321

324142314321

3214421343124321

4321

,,,

,,, ,,,,,,

,,,,,,,, ,,,

xcxcxcxcxcxxcxcxcxxcxcxcxxcxc

xcxxcxcxcxxcxcxcxxcxcxxcxxcxxcxxcxxcxxc

xxxcxcxxxcxcxxxcxcxxxcxcxxxxc

+++++

++++++

++++=

(2.43)

Una propiedad importante y muy usada en la mayoría de los trabajos de estadísticas de alto orden para variables aleatorias de media cero, gaussianos, es que los cumulantes de segundo y tercer orden son idénticos a los momentos de su orden respectivo

( ) ( ) { }21212212 xxExxmxxc xx == (2.44) ( ) ( ) { }32132133213 xxxExxxmxxxc xx == (2.45)

En un caso particular, para un proceso aleatorio estacionario de media cero, las variables aleatorias x(t), x(t+τ1) ..., x (t+τk-1) dependen o están en función de τ1, τ2, .....,τk-1, entonces se podrá escribir como

( ) ( ) ( ) ( ){ }τττ +== txtxEmc xx 22 (2.46)

27

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }21213213 ,, ττττττ ++== txtxtxEmc xx (2.47) Los cumulantes de alto orden son invariantes al corrimiento de la media [60]. Para estos procesos, el cumulante de primer orden es la media, c1x = E{x(t)}, y el cumulante de segundo orden es la covarianza. Los cumulantes con retraso cero tienen nombres especiales: c2x(0) es la varianza σx

2; c3x(0,0) y c4x(0,0,0) se conocen como γ3x y γ4x, valores que normalizados son la asimetría (skewness) y la curtosis. Si el proceso está sistemáticamente distribuido la asimetría es cero, pero no viceversa. Y si el proceso tiene una distribución gaussiana la curtosis es cero pero no viceversa [60] [37], siendo el cumulante de cuarto orden para una muestra de media cero:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }213312

3213213214

,,

τττττττττττττττ

+++−+++−+++−+++=

txtxEtxtxEtxtxEtxtxEtxtxEtxtxEtxtxtxtxEc x

(2.48) Sin embargo, no todos los procesos son gaussianos, de hecho la mayoría de los procesos reales no lo son. Por lo cual definir de esta manera a los cumulantes puede resultar práctico a la hora de su desarrollo computacional pero no se obtendría toda la información generada por los procesos o fenómenos que se desean investigar. Los cumulantes, entonces, de un proceso aleatorio de segundo y tercer orden serían

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }τττ +−+= txEtxEtxtxEc x2 (2.49)

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]122121

2121213

2,

ττττττττττττ

++++++++−+++++=

txtxEtxEtxtxEtxEtxtxEtxEtxEtxEtxEtxtxtxEc x

(2.50) y el de cuarto

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }321

132231

321213

312321

213312

321213

312321

3213213214

6 22 22 22

,,

τττττττττττττττττττττ

ττττττττττττττττττ

τττττττττ

+++−++++++++++++++++++++++++

+++−+++−+++−+++−+++−+++−

+++−+++=

txEtxEtxEtxEtxtxEtxEtxEtxtxEtxEtxEtxtxEtxEtxEtxtxEtxEtxEtxtxEtxEtxEtxtxEtxEtxE

txtxEtxtxEtxtxEtxtxEtxtxEtxtxEtxtxtxEtxEtxtxtxEtxEtxtxtxEtxE

txtxtxEtxEtxtxtxtxEc x

(2.51)

28

Para aprovechar la propiedad de los cumulantes de ser invariantes a los corrimientos de la media; y no hacer todos los cálculos que computacionalmente representarán un tiempo grande de cálculo, a los procesos de media no cero, se les convierte en procesos de media cero restándoles su media, y así se puede aplicar las definiciones más sencillas de los cumulantes [60]. Propiedades de los cumulantes Los cumulantes de un proceso estacionario tienen muchas simetrías demostradas por Brillinger y Rosemblat [7], algunas de ellas son para cumulantes de segundo, tercero y cuarto orden:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )kmklkclmkcmklcmlkc

klkcklclkckckc

xxxx

xxx

xx

−−−===−−==

−=

,,,,,,,,,,,

4444

333

22

donde la región fundamental no es el plano k-l entero. Por ejemplo para c2x(k), la región k ≥ 0 especifica a c2x(k) en todo momento; para c3x(k,l) la región es 0 ≤ l ≤ k ≤ ∞ (Figura 2.3) dando seis simetrías, y para c4x(k,l,m) es el cono 0 ≤ m ≤ l ≤ k ≤ ∞ [60]. Conociendo el cumulante en una región, puede conocerse el cumulante en todas las regiones. Es importante notar que las simetrías no se conservan para los procesos no estacionarios.

n : número de datos

Figura 2.3 Simetrías del cumulante de tercer orden Las propiedades importantes de los cumulantes son [37]:

• Si λi , i = 1, …, k son constantes y xi, i = 1,…,k variables aleatorias

( ) ( )ki

k

ikk xxcumxxcum ,, 1

111 KK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= Π

=

λλλ

29

• Los cumulantes son simétricos en sus argumentos

( ) ( )kiik xxcumxxcum ,,

11 KK =

donde (i1, ... , ik) es una permutación de (1, ..., k)

• Los cumulantes son aditivos en sus argumentos

( ) ( ) ( )kkk zzycumzzxcumzzyxcum ,,,,,,,, 1010100 KKK +=+

• Si α es constante, entonces

( ) ( )kk zzcumzzzcum ,,,, 121 KK =+α

• Si las variables aleatorias {xi} y {yi} son independientes y i = 1 , .... k entonces

( ) ( ) ( )kkkk yycumxxcumyxyxcum ,,,,,, 1111 KKK +=++

• Si un subconjunto de k variables aleatorias {xi} son independientes del resto, entonces

( ) 0,1 =kxxcum K Los cumulantes de un proceso aleatorio independiente idénticamente distribuido son funciones delta, esto es, si w(t) es un proceso independiente idénticamente distribuido entonces ck,w(τ1, τ2, ..., τ k-1 ) = γ k,w δτ1,....,τk-1 , donde γ k,w es el cumulante de k orden de la variable aleatoria w. Para profundizar más en el tema, los trabajos [60] [37] [7] [59][43] contienen desarrollos detallados sobre momentos y cumulantes de alto orden.

Conclusiones De acuerdo a lo presentado en este capítulo, se puede determinar fácilmente que las estadísticas de alto orden son más robustas que las estadísticas convencionales, por lo cual se están empleando cada vez más en los estudios de fenómenos o sistemas. Su ventaja principal es dar más información de un proceso usando la misma secuencia de datos. El uso de los cumulantes da ventajas sobre el uso de los momentos por sus características de simetría, inmunidad al ruido y su uso como operador lineal. Este tipo de estadísticas son las que se emplearán en el desarrollo de las herramientas de procesamiento de los siguientes capítulos.

31

3. Poliespectro En el capítulo anterior se presentaron las propiedades fundamentales de los procesos aleatorios y las herramientas usadas para describirlos y estudiarlos. Las estadísticas de alto orden (HOS) presentaron propiedades adicionales a las estadísticas convencionales en el estudio de los procesos aleatorios. Sin embargo, una herramienta fundamental para el estudio de dichos procesos es obtener sus componentes frecuenciales y armónicas para ver la aportación que tiene cada uno de estos al proceso o fenómeno. A la representación en frecuencia de las HOS se le conoce como espectro de alto orden o simplemente poliespectro. El poliespectro, a diferencia de las representaciones espectrales convencionales revela más información como presencia de armónicos y acoplamientos frecuenciales, lo que lo vuelve una herramienta más amplia para el estudio de procesos o fenómenos. En este capítulo se estudia el poliespectro y sus propiedades, herramienta que es la base de estudio en esta tesis.

3.1 Poliespectro de orden n Sea {xt} un proceso aleatorio estacionario real con E[xt

n]<∞. Para la existencia del espectro de alto orden, se necesita asumir la existencia de los momentos de alto

32

orden [59]. Si cn,x(τ1, ... ,τn-1) es el cumulante de orden n del conjunto de variables aleatorias {x(t'),x(t',τ1), ... , x(t',τn-1)}, el espectro de alto orden o poliespectro de orden n se define como la transformada de Fourier (Y ) de dimensión n-1 de los cumulantes de orden n.

[ ]xn

nxn cS ,

1, Y

−

= (3.1)

Esto es

( ) ( )( )

dxecS

n

iiij

nxnnxn⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

− −−−

∑=

−

=∫ ∫1

111,11, ,,,,

τωπ

π

π

π

ττωω KLK (3.2)

de manera discreta

( ) ( )( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−

∞

−∞=

∞

−∞=−

∑=

−

=

−

∑∑1

1

11

11,11, ,,,,

n

iii

n

j

nxnnxn ecSτω

ττ

ττωω KLK

(3.3) Una descripción matemática más detallada puede encontrarse en [7] [59] y [37].

3.1.1 Uso de cumulantes en lugar de momentos El poliespectro de orden n puede ser definido en términos de los cumulantes o momentos de orden n [59]. Entonces la pregunta es ¿Porqué definir el poliespectro de orden n en términos de los cumulantes y no de los momentos de orden n?. La razón se da por su propio peso, de acuerdo a la sección 2.3 los cumulantes presentan propiedades estadísticas más completas que los momentos; de hecho se considera a la función de cumulante como un operador lineal. Derivado de estas propiedades se generan propiedades importantes que resaltan los beneficios de definir el poliespectro en términos de cumulantes. Una lista de estos beneficios descritos en [37] [43] [44] se presenta a continuación.

1) La función de covarianza del ruido blanco es una función impulso y su espectro es plano.

2) El cumulante de alto orden del ruido blanco son funciones multidimensionales de impulsos y su poliespectro es plano multidimensionalmente.

3) El cumulante es una función simétrica y multilineal en sus argumentos. 4) El cumulante de dos procesos aleatorios estadísticamente independientes, es

igual a la suma de los cumulantes individuales, mientras que para los momentos no es igual. El cumulante, entonces, puede usarse como operador.

5) Si x(k) es un proceso aleatorio Gaussiano estacionario, todos sus momentos de orden n, para n ≥ 3 , no dan ninguna información adicional perteneciente

33

al proceso. La función espectral del cumulante muestra esto explícitamente, pues para n ≥ 3 es cero en un proceso Gaussiano.

6) Si las variables aleatorias {x1,..... xn} se pueden dividir en grupos que sean estadísticamente independientes, sus cumulantes de orden n son idénticos a cero, lo que da al espectro del cumulante el grado de herramienta para medir la dependencia estadística.

7) Los requerimientos de ergodicidad se encuentran más fácilmente con los cumulantes que con los momentos.

8) En general la transformada de Fourier de cum[x( t ), x( t + τ1 ),....., x( t + τn-1 )] es una función natural, por el contrario, la transformada de Fourier de E[ x( t ), x( t + t1 ),....., x( t + tn-1 ) ] no lo es.

3.1.2 Casos particulares El poliespectro, tiene casos particulares que han sido estudiados ampliamente en muchas publicaciones. Tal es el caso de la función de densidad espectral (PSD), el biespectro (BIS) y el triespectro (TRI). Entre estas tres funciones la PSD es la más estudiada y es la herramienta mas utilizada en el campo de análisis de señales. De acuerdo a la ecuación (3.3) : Si n = 2

( ) ( ) ( )11

1

1,21,2τω

τ

τω jxx ecS −

∞

−∞=∑= (3.4)

es conocido como función de densidad espectral o simplemente PSD. Para hacer una clara diferenciación entre las funciones, la PSD se denotará como:

( ) ( ) ( )ωτ

τ

τω jxx ecPSD −

∞

−∞=∑= ,2 (3.5)

si n = 3

( ) ( ) ( )2211

21

21,321,3 ,, τωτω

ττ

ττωω +−∞

−∞=

∞

−∞=∑∑= j

xx ecS (3.6)

esta función es conocida como el biespectro o simplemente BIS, igualmente se definirá como :

( ) ( ) ( )2211

21

21,321 ,, τωτω

ττ

ττωω +−∞

−∞=

∞

−∞=∑∑= j

xx ecBIS (3.7)

34

si n = 4

( ) ( ) ( )332211

321

321,4321,4 ,,,, τωτωτω

τττ

τττωωω ++−∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=∑∑∑= j

xx ecS (3.8)

esta función es conocida como el triespectro o simplemente TRI

( ) ( ) ( )332211

321

321,4321 ,,,, τωτωτω

τττ

τττωωω ++−∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=∑∑∑= j

xx ecTRI (3.9)

3.2 La función de densidad espectral Como se había mencionado anteriormente, la función de densidad espectral (PSD) es la herramienta más usada actualmente para el análisis de las señales en frecuencia. La PSD mide la potencia promedio de una señal contra la frecuencia, además es bien conocido que muestra las periodicidades de los procesos o sistemas [64], [37]. De acuerdo a la definición de la PSD (3.5) y retomando la definición del cumulante de segundo orden, substrayendo la media del proceso para su simplificación en (2.46) y para un proceso estacionario, su PSD se definirá como

( ) ( ) ( )ωτ

τ

τω jx ecPSD −

∞

−∞=∑= ,2

(3.10) donde c2,x(τ) = E{x(t)x(t+τ)}. Acotando a las N muestras entonces se tiene

( ) ( ) Nmj

x

N

memcPSD

ωω

−−

=∑= ,2

1

0 (3.11)

( ) ( ) ( ) NmjN

i

N

memixix

NPSD

ωω

−−

=

−

=

+= ∑∑1

0

1

0

1 (3.12)

( ) ( ) ( )kXkXN

kPSD ∗=1

(3.13)

( ) ( ) ( ) 21 kXNkPSD = (3.14)

35

el desarrollo completo puede verse en [53]. Este resultado muestra que el PSD siempre es positivo y es un número real (una magnitud). Nótese que aunque X(k) es una función compleja, la PSD(k) es una función real. Algunas propiedades importantes son [46]:

1) La PSD es positiva, PSDx(ω) ≥ 0. 2) La PSD es simétrica, PSDx(-ω) =PSDx(ω), si x(t) es real. 3) La PSD siempre es real. 4) La PSD de la derivada de x(t) es ω2 veces la PSD de x(t); PSDx'(ω) =ω2PSDx(ω). 5) Para un proceso estacionario : PSDx(ω) = Y [Rxx(τ)] y Rxx(τ) = Y -1[PSDx(ω)].

Una propiedad adicional es que el área bajo la curva de la PSD, representa el valor cuadrático medio del proceso (teorema de Parseval) [40].

[ ] ( )∫∞

∞−

= ωω dPSDxE x2 (3.15)

3.3 El biespectro El biespectro (BIS) es la función a la que se le dedicará mayor énfasis, pues es la herramienta base de la investigación. Muchos estudios han dedicado su estudio a esta función, acerca de sus propiedades y aplicaciones. Entre los más importantes se encuentran [37] [43] [59] [7] [42] [48]y [60]. El biespectro, en términos de estudio de aplicación se encuentra en una etapa madura, actualmente se aplica exitosamente en diferentes campos de investigación como detección de periodicidades [16] y no linealidades [8]; en modelado de sistemas [21]; reconocimiento de voz [38]; recuperación de fase de una señal [61]; procesamiento de imágenes, radar, sonar e identificación de sistemas [37]; y además en el estudio de señales de vibración [51]. Existen varias formas para calcular el BIS, se clasifican básicamente en métodos paramétricos y no paramétricos. La forma paramétrica se basa en ecuaciones o modelos del tipo MA (Moving Averange), AR (Auto Regresive) y ARMA (Auto Regresive Moving Averange) que describan adecuadamente al proceso a estudiar. La forma no paramétrica o directa se basa en funciones estadísticas aplicadas a los datos muestreados. El método que se usará en el trabajo será el no paramétrica. El problema principal del cálculo del BIS se da cuando se tiene una muestra finita de datos (obtenidos de una medición) [43]. Sin importar cual haya sido la forma de

36

cálculo escogida, el cálculo del BIS siempre es a partir de secuencias finitas de datos. En [48] se describe como Huber et al resumieron los tres métodos más importantes para la estimación del BIS a partir de secuencias finitas de datos. Estos son:

- Promediado sobre muestras sucesivas - Promediado en el dominio del tiempo - Demodulación compleja y promediado en el tiempo

Como se presentó en la sección 3.1.2, el Biespectro es un caso particular del poliespectro y por definición es la transformada de Fourier bidimensional de estadísticas de tercer orden, definiéndose específicamente en cumulantes, y contiene la información de amplitud y fase de las señales [46]. De acuerdo a la definición del BIS (3.7) y retomando la definición del cumulante de tercer orden, substrayendo la media del proceso para su simplificación (2.47) y para un proceso estacionario, el BIS se definirá como:

( ) ( ) ( )2211

21

21,321 ,, τωτω

ττ

ττωω +−∞

−∞=

∞

−∞=∑∑= j

xx ecBIS (3.16)

donde c3,x(τ1,τ2) = E{x(t)x(t+τ1)x(t+τ2). Acotando a las N muestras entonces

( ) ( )∑∑−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=

=1

0,3

1

021

21

,,N

m

Nmn

j

x

N

nx emncBIS

ωω

ωω (3.17)

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=

−

=

++=1

0

1

0

1

021

211, N

i

Nmn

jN

m

N

nx emixnixix

NBIS

ωω

ωω (3.18)

( ) ( ) ( ) ( )212121 , ωωωωγωω += ∗XXXBISx (3.19)

donde γ es una constante de proporcionalidad, del cual su magnitud será

( ) ( )2121 ,, ωωωω BISBIS = (3.20)

y la fase será

( ) ( ) ( ) ( )212121 , ωωφωφωφωωϕ +−+= (3.21) Este resultado indica que el biespectro tiene magnitud y fase, la cual no se encontraba con la PSD. Esta es una de las razones por las que el uso de esta herramienta se hace más interesante que las herramientas convencionales pues se obtiene más información del mismo proceso, además de otras propiedades que se

37

describen en las siguientes secciones.

3.3.1 Importancia del uso del biespectro Existen muchas razones que motivan al uso de la función BIS en el estudio de señales. Una de ellas, mencionada anteriormente, es la estimación de la fase de las señales [43] [37]. Otra razón de su uso es la detección de Gaussianidad de las señales a pesar de sus alteraciones [43]. En la detección y caracterización de las propiedades no lineales de mecanismos (procesos) que generan series (datos) [43], el BIS se emplea como una prueba de Gaussianidad y linealidad [47]. Además, el biespectro es la forma más simple de análisis espectral de alto orden que se puede hacer de un proceso [59].

3.3.2 Propiedades del biespectro El BIS tiene muchas propiedades importantes, algunas como las mencionadas en la sección anterior (3.3.1), demuestran la potencialidad de la herramienta; y otras ayudan a la simplificación del proceso de cálculo. El BIS representa la contribución del producto medio de tres componentes de Fourier, donde una frecuencia es igual a la suma de las otras dos [43]. Esto se pude ver en la ecuación (3.19). El biespectro tiene simetrías, las cuales pueden usarse para conocer una región y al conocer una región se conocen las demás. Las propiedades que se derivan de la definición del BIS y de las propiedades de los cumulantes de 3er orden [43]: i. BIS( ω1, ω2 ) es generalmente complejo; tiene magnitud y fase ( ) ( ) ( )21 ,

2121 ,, ωωρωωωω BjeBISBIS −=

ii. BIS( ω1, ω2 ) es doblemente periódico; con periodo 2π

( ) ( )πωπωωω 2,1, 2121 ++= BISBIS .

iii. El biespectro tiene doce simetrías (ver Figura 3.1), las cuales son [22]:

38

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )2112

1211

22110

2129

1218

2117

2116

1215

2124

2213

122

211

1261

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

ωωωω

ωωωωωω

ωωωωωω

ωωωωωω

ωωωωωω

ωωωω

−−=−−=

−+=+−=−+=+−=

−−=−−=

−−=−−=

==

====

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

ℜℜℜ

BBISBBISBBISBBISBBISBBISBBISBBISBBISBBISBBISBBIS

BISBISBIS KK

donde BISℜx : BIS de la región x

Figura 3.1 Simetrías del BIS

Así conociendo el BIS en la región triangular ω2 ≥ 0 , ω1 ≥ ω2 , ω1 + ω2 ≤ π es suficiente para hacer una completa descripción (Figura 3.2). A esta región se le conoce también como IT (Inner Triangle). Conociendo una de las doce regiones, para un proceso de banda limitada, se puede obtener las once regiones restantes y ahorrar cada uno de los demás cálculos.

39

Figura 3.2 Región no redundante del BIS

Sin embargo, en un proceso digital (muestreado) depende de la frecuencia de corte fC. Donde la fC estará dada por:

2S

Cf

f = (3.22)

donde : fC: frecuencia de corte fS : frecuencia de muestreo

y su espaciamiento en frecuencia por:

M

S

Lf

f =Δ (3.23)

donde : fS : frecuencia de muestreo LM : longitud de la muestra

Así como se establece la región IT como área no redundante, en los procesos muestreados también existe la región OT (Outer Triangle), y la presencia de la región OT está determinada por la frecuencia de muestreo (Figura 3.3). De esta forma para un proceso estacionario, sea B su ancho de banda, si fS=2B implica que OT≠0 debido al traslape (no igual al conocido); y por otra parte, para un proceso estacionario o no, muestreado a fS=3B siempre es 0 la región OT [12].

Figura 3.3 Región IT y OT

40

De esta manera la nueva región triangular IT+OT será f2 ≥ 0, f1 ≥ f2, f2+2f1 ≤ fC. Con esta nueva región se pueden obtener igualmente las once regiones restantes que para una secuencia finita de datos provenientes del muestreo de un proceso son como se muestra en la Figura 3.4 [22]. En este trabajo esta será la región a considerar en los análisis.

donde : LM : Longitud de la muestra

m : vector dato de f1 n : vector dato de f2

Figura 3.4 Regiones del BIS discreto El BIS tiene las siguientes propiedades adicionales, [43]. 1. Proceso Gaussiano: si {x(k)} es un proceso Gaussiano estacionario de

media cero, su momento de 3er orden R(m,n) = 0 para todo (m,n) y de esta forma su biespectro BIS(ω1,ω2) es cero.

2. Corrimiento de fase lineal: dado {x(k)} con PSD, PSDx(ω), y BIS,

BIS(ω1,ω2); el proceso y(k) = x(k-N), donde N es una constante integral, tiene sus espectros PSDy(ω) = PSDx(ω) y BISy (ω1,ω2) = BISx(ω1,ω2). Los momentos de segundo y tercer orden suprimen la información lineal de fase, pero la PSD suprime toda la información de fase.

3. Ruido blanco no Gaussiano: si {ω(k)} es un proceso estacionario no

Gaussiano con E{ω(k)}=0, E{ω(k)ω(k+τ)}= Q⋅ δ(τ), E{ω(k)ω(k+τ)ω(k+ρ)}=β⋅δ(τ,ρ); su PSD y BIS son ambos planos.

PSD(ω) = Q y BIS(ω1,ω2) = β. 4. Acoplamiento de fase cuadrático: en la práctica se presentan situaciones

donde existe interacción de dos componentes armónicos de un proceso y su contribución al mismo, sea aumentando o disminuyendo la potencia. Esta acoplamiento se puede investigar con el BIS.

41

Por ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )3322111 ϕλϕλϕλ +++++= kCoskCoskCoskx y ( ) ( ) ( ) ( )( )213221111 ϕϕλϕλϕλ ++++++= kCoskCoskCoskx

donde λ3 = λ1 + λ2, i.e., (λ1, λ2, λ3) son armónicos relacionados y ϕ1, ϕ2 y ϕ3 son variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas entre [0,2π]. Es aparente que λ3 en x1 es independiente porque ϕ3 es independiente, mientras que λ3 en x11 es el resultado del acoplamiento de fase entre λ1 y λ2.

Se puede identificar fácilmente que x1(k) y x11(k) tienen la misma PSD, PSDx1(ω) = PSDx11(ω), consisten en impulsos en λ1, λ2 y λ3 (Figura 3.5 (a)). Pero en el BIS el BISx1(k) es idéntico a cero, mientras que el BISx11(k) muestra un impulso en la región triangular ω1 ≥ 0 , ω1 ≥ ω2 , ω1 + ω2 ≤ π . El impulso es localizado en ω1 = λ1, ω2 = λ2 si λ1 ≥ λ2 (Figura 3.5 (b) ).

(a) (b)

Figura 3.5 Acoplamiento de fase. (a) Señal independiente y (b) Señal de fase dependiente

Así se muestra la propiedad del acoplamiento cuadrático de fase.

5. Índice de bicoherencia: se le han encontrado muchas aplicaciones.

42

Combinando dos entidades completamente diferentes BIS y PSD, se defina la función de la bicoherencia.

( ) ( )( ) ( ) ( )2121

2121

,,ωωωω

ωωωω+

=Δ

PSDPSDPSDBISBi

Con la bicoherencia se puede encontrar el grado en que se acoplan las fases en casos donde se detectan picos armónicos dentro del BIS.

3.4 Periodograma y biperiodograma Existen varios problemas en la estimación del espectro de una señal, sin embargo, son dos las dificultades principales [29] . La primera es que el grupo de datos con el que se trabaja nunca son ilimitados y, en la mayoría de los casos, son muy pequeños. La segunda se debe a que los datos normalmente se encuentran corrompidos por ruido o contaminados por una señal de interferencia. En algunas ocasiones la estimación se puede facilitar teniendo un conocimiento a priori del proceso que genera los datos. Pero en la mayoría de los procesos reales esto no es posible y mucho menos cuando no se tiene un modelo preciso del proceso a investigar, como en el caso de esta tesis. Para remediar estos problemas mediante métodos no paramétricos se han desarrollado técnicas conocidas como periodograma y biperiodograma capaces de minimizar estas dificultades. Estos métodos se basan en la idea de estimar las secuencias de correlación de los procesos aleatorios de un grupo de datos medidos, sacar su transformada de Fourier y obtener el estimado de su espectro [37]. Aquí se examinarán modificaciones al periodograma, como el uso de ventanas para mejorar sus propiedades estadísticas (sección 3.5). 3.4.1 Periodograma La PSD de un proceso aleatorio estacionario es la transformada de Fourier de los cumulantes de 2° orden, definido en (3.3). Para un número finito de datos la PSD se define como:

( ) ( ) ( ) NmjN

i

N

mx emixix

NPSD

ωω

−−

=

−

=

+= ∑∑1

0

1

0

1 (3.24)

43

El objetivo del periodograma es hacer un promedio de los datos estimados y de hecho la definición anterior (3.24) se define como periodograma, donde se hace un promedio de los datos obtenidos. Además del periodograma existe el periodograma promedio o promediado donde a partir de diferentes muestras se obtiene el periodograma y se promedia en tiempo o en frecuencia. El periodograma promedio se define entonces como:

( ) ( )ωωlx

M

lx PSD

MI ∑

=

=1

1 (3.25)

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−−

=

−

==∑∑∑ N

mj

ll

N

i

N

m

M

lx emixix

NMI

ωω

1

0

1

01

11 (3.26)

que es el periodograma promedio, de promedios en frecuencia, para las Μ conjuntos de muestras. Las muestras usadas pueden ser conjuntos de datos obtenidos del mismo proceso (en las mismas condiciones y considerando que es un proceso estacionario) en diferentes instantes de tiempo o segmentos de igual longitud de una muestra de datos obtenidos de una sola adquisición [57]. Para el estudio de esta tesis el periodograma promedio será simplemente periodograma y el periodograma definido en (3.24) será un caso particular del periodograma promedio (3.26) cuando no existan divisiones del segmento de datos adquiridos. Un estudio completo del periodograma y la forman en que se segmentan las muestras puede encontrarse en [29] [53] [57]. 3.4.2 Biperiodograma El BIS para un segmento de datos se define como:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=

−

=

++=1

0

1

0

1

021

211, N

i

Nmn

jN

m

N

nx emixnixix

NBIS

ωω

ωω (3.27)

Al igual que el periodograma se definirá directamente el biperiodograma como:

( ) ( )211

21 ,1, ωωωω x

M

lx BIS

MI ∑

=

= (3.28)

44

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=

−

=

−

==∑∑∑∑ N

mnj

lll

N

i

N

m

N

n

M

lx emixnixix

NMI

211

0

1

0

1

0121

11,ωω

ωω (3.29)

que será un biperiodograma promediado en frecuencia, para las Μ conjuntos de muestras. Y de igual forma, la definición del BIS en (3.27) de un segmento de datos, será un caso particular de (3.29). El biperiodograma también es conocido como periodograma de tercer orden, ver Subba Rao [59]. Para el estudio de esta tesis, estas definiciones son con las que se trabajará. Para ver los pasos o recetas para encontrar el biespectro de una serie de datos o diferentes tipos de promedio para el periodograma y biperiodograma se recomienda ver los trabajos de [43] [44].

3.5 Ventanas Aunque el periodograma y el biperiodograma son estimados asintóticamente imparciales, no son estimados consistentes del PSDx(ω) y BISx(ω1,ω2) [59] [44]. La inconsistencia se debe principalmente a que la varianza es proporcional al tamaño de la muestra. Una proposición obvia es dividir la muestra N en J submuestras de longitud L menores, estimar la PSD o el BIS de cada submuestra y promediar los resultados, razón por la que se usa el periodograma y biperiodograma. Así la varianza del promediado es proporcional a L/J. Su principal desventaja es que su resolución en frecuencia se reduce de 1/N a 1/L [63]. Conforme el número de datos N se hace más grande, el estimado es mejor, y se reducen las apariciones de frecuencias no propias del proceso o fenómeno agregadas por el algoritmo de la transformada de Fourier (FFT). Pero N nunca es lo suficientemente grande para reducir el derrame espectral (spectral leakage) [58]; las componentes no periódicas de fun(t) sobre el intervalo NT aparecen para sobreponerse en porciones del espectro adyacentes al valor espectral correcto. Es el resultado discreto de la truncación [58]. Para obtener un estimado consistente de PSDx(ω) y BISx(ω1,ω2), se suaviza el periodograma y biperiodograma mediante una función de peso, w(τ), que es conocida como ventana espectral. De hecho la truncación o porción de datos muestreados, es una ventana del tipo rectangular wR(t). Una manera de reducir ese derramamiento es simplemente

45

redondear las esquinas afiladas de wR(t). El procesamiento es multiplicar la función original fun0(t) por la ventana w(t) antes de la FFT [32],

( ) ( ) ( )twtftf unun ⋅= 0 (3.30) en el dominio de la frecuencia el producto se convierte en una convolución,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωθθωθπ

ωπ

πWFdWFF ununun ∗=−= ∫− 002

1 (3.31)

Existen muchas formas de ventanas, las cuales han sido estudiadas y propuestas por muchos autores. Cada una de las ventanas tienen sus propias características por lo que la decisión de cuál ventana usar dependerá del desarrollador y de su aplicación. En la Tabla 3.1, se presentan las ecuaciones de las ventanas espectrales más importantes usadas en el procesamiento digital de señales. Para profundizar en el desarrollo de cada una de las ventanas se recomiendan los trabajos de [2] [29] [59]. Todas estas ventanas son funciones de una sola variable unidimensional, lo que significa que pueden aplicarse directamente para el periodograma. Pero para el biperiodograma se necesitan ventanas bidimensionales, y para ello lo único que hay que hacer es convertir las ventanas de una sola variable a dos, para todos los casos de la Tabla 3.1, i.e. w(n) → w(n,m) ∀ n, m. Por lo tanto el periodograma con ventana se define como:

( ) ( )∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

M

lxx A

wcM

Iwl

1,2

1 ττω Y (3.32)

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∑∑∑

−

=

−

=

−

=

1

0

1

01

11 N

m

N

i

Nmj

ll

M

lx e

Amwmixix

NMIw

ωω (3.33)

mientras que el biperiodograma es

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ∑

= AAwc

MIw

lx

M

lx

2121,3

121 ,,1,

ττττωω

2Y (3.34)

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++= ∑∑∑∑

−

=

−

=

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

=

1

0

1

0

1

0121

21

,11,N

n

N

m

N

i

Nmn

j

ll

M

lx e

Am

Anwmixnixix

NMIw

ωω

ωω (3.35)

46

Tabla 3.1 Ventanas espectrales usadas en el procesamiento digital de datos Ventana espectral Ecuación

Daniel ( ) ( )⎩⎨⎧=

ππ

nnSennwD

Tukey-Hamming ( ) ( )⎩⎨⎧ ≤+

= valorotro para0146.054.0 nnCos

nwTHπ

von Hann (Hanning) ( ) ( )⎩⎨⎧ ≤+


nwHπ

Bartlett- Priestley ( )( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧ −= nCos

nnSen

nnwBP π

ππ

π 2

3

Parzen ( )( ) ( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>≤<−

≤+−

=1,0

15.0,125.0,661

3

32

nnn

nnnnwP

Blackmann ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧ ≤+−

= valorotro para, 0 5.0,408.025.042.0 nnCosnCos

nwBππ

Kaiser ( )

[ ]{ }( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

otro para0

5.0,21

0

212

0

nI

nI

nwk β

β

donde I0(x) es una función de Bessel de orden cero modificada del primer tipo y puede ser evaluada para cualquier grado de exactitud

( )2

10 2!

11⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∑

=

kL

k

xk

xI

empíricamente L<25.

47

siendo w(m/A) y w(n/m,m/A) la ventana que se haya escogido (donde A es un factor de la ventana dependiente de N). A debe ser escogida tal que N→∞ y A→∞ pero con la restricción de que A/N→0. En términos prácticos A es el factor que controla el ancho de la ventana [44].

3.6 Coherencia y bicoherencia Aunque la PSD y el BIS, o sus estimados, periodograma y biperiodograma, son las herramientas de análisis de las señales para estudiar el contenido frecuencial y otras propiedades, en muchas ocasiones se usan de manera normalizada. A la PSD y al BIS normalizados se les conoce como coherencia y bicoherencia. La razón principal de esta normalización es comparar los picos frecuenciales resultantes con respecto a una magnitud unitaria, de los datos o procesos a estudiar. Por otro lado, estas funciones pueden tener otras utilidades. En el caso de la coherencia, se vuelve una medida de linealidad del sistema donde la salida del sistema se relaciona linealmente con la entrada [50]. Una de las razones para normalizar el biespectro es el hecho de que éste tiene una varianza que es proporcional al triple producto de la potencia espectral, resultando en que las propiedades de segundo orden de la señal dominen y por lo tanto puede existir una interpretación errónea del BIS [50]. La ventaja de la normalización es hacer la varianza aproximadamente plana a través de todas las frecuencias. La coherencia se define como:

( ))()(

)(fPSDfPSD

fPSDfCo

yyxx

xyxy =

(3.36) donde la PSDxx es la PSD cruzada del vector x, PSDxy es la PSD cruzada del vector x y el vector y, y PSDyy es la PSD cruzada de el vector y; y la bicoherencia se define como:

( )( )2121

21

,)()(

,)(

ffPSDfPSDfPSD

ffBISfBi

zzyyxx

xyzxyz = (3.37)

donde el BISxyz es el BIS cruzado de los vectores x, y y z. Es importante señalar que estas funciones se definen para dos o tres mediciones, por lo que hacer estos estimados de una sola señal carece de sentido. Para las

48

mediciones de una sola muestra la coherencia y bicoherencia se podrán calcular dividiendo el estimado de la PSD y el BIS entre su máximo valor

( ) ( )( )[ ]ω

ωω

x

xx IMax

ICo =

(3.38)

( ) ( )( )[ ]21

21

,,

ωωωω

ωx

xx IMax

IBi =

(3.39)

3.7 Biespectro cruzado En la sección anterior se definió la Bicoherencia a partir del BISxyz (3.37), al cual se le conoce como biespectro cruzado. El biespectro cruzado es la transformada de Fourier bidimensional del cumulante cruzado de tercer orden de tres señales o secuencias de datos. A los cumulantes y momentos se les definió y usó para una sola secuencia de datos (2.49, 2.50 y 2.51). La forma más general de estas estadísticas son los cumulantes y momentos de n orden de n secuencias de datos (2.37, 2.38 y 2.39). Así para diferentes secuencias de datos, asumiendo que son estacionarios, los cumulantes cruzados de segundo y tercer orden son:

( ) ( ) { } { } { }yExExyEcc xyx −== ττ2 (3.40)

( ) ( ) { } { } { } { } { } { } { }[ ]{ } { } { }zEyExE

xyEzExzEyEyzExExyxEcc xyzx

2 ,, 21213

+

++−== ττττ (3.41)

Al igual que los de solo una secuencia o vector de datos, si se hacen de media cero, para cada una de las secuencias su simplificación será:

( ) { } ( ) ( ){ }τττ +== tytxExyEcxy 21 , (3.42)

( ) { } ( ) ( ) ( ){ }2121 , ττττ ++== tztytxExyxEcxyz (3.43) La principal razón de hacer uso de estadísticas de cualquier orden de diferentes secuencias de datos es obtener información de la relación que existe entre esas secuencias. El BISxyz entonces es:

49

( ) ( ) ( )2211

21

2121 ,, τωτω

ττ

ττωω +−∞

−∞=

∞

−∞=∑∑= j

xyzxyz ecBIS (3.44)

de manera discreta:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=

−

=

++=1

0

1

0

1

021

211, N

i

Nmn

jN

m

N

nxyz emizniyix

NBIS

ωω

ωω (3.45)

( ) ( ) ( ) ( )212121 , ωωωωγωω += ∗ZYXBIS xyz (3.46)

donde γ es una constante de proporcionalidad. De tal forma que el BIS (3.4 y 3.7) es una forma particular de (3.22 y 3.23), donde x=y=z.

3.8 Biespectro modificado Una de las razones principales por las que es alentador el uso del BIS en lugar de la PSD es la presencia de fase, como se puede ver en la sección 3.3. Al calcular el BIS se obtiene un número complejo del cual es posible obtener su magnitud y fase. El estudio de ambas informaciones ha servido para diferentes análisis como en reconstrucción de señales a través de la fase del BIS [45], estimar la fase de señales moduladas en presencia de ruido [61], o construir (reconstruir) la fase de una señal muestreada por medio de la fase del BIS [18]. De hecho se han estudiado y desarrollado formas de asociar la magnitud del BIS y su fase, y se han creado métodos para asociarlos. Tal es el caso de [56] donde se desarrolló el BPI (Bispectral Phase Index) usando la fase del BIS. Al investigar las no linealidades de las señales provenientes de los latidos del corazón, se desarrolló una prueba al BIS y se aceptaba su magnitud solo si la bi-fase (fase de la bicoherencia) era menor a un nivel de umbral predefinido. También en [24] se desarrolla un nuevo detector QPC (Quadratic Phase Coupling) para determinar si las señales son producidas por fuentes no lineales; este método se basa en la bi-fase. El detector QPC es mejorado creando una serie de pasos para su identificación donde primero se examina la magnitud de la bicoherencia y después la bi-fase, creando una región de aceptación para el detector QPC. En [3] se propone una forma sencilla pero útil para hacer esta relación de magnitud y fase del BIS. A su relación le llamaron biespectro realzado, en este trabajo se

50

llamará simplemente BIS modificado (BISmd), modificado por su fase. El BISmd es una función real y se define como:

( ) ( ) ( )π

ωωπωωωω 21

2121

,,,

BISBISBISmd

∠−×=

(3.47) para un rango de fase de -π a π. Así a la magnitud del BIS se le multiplica por una máscara normalizada debido a su propia fase. La función de esta máscara se basa en las propiedades fundamentales del BIS. Como se vio en la sección 3.3, la fase del BIS está definida por:

( ) ( ) ( ) ( )212121 , ωωφωφωφωωϕ +−+= (3.48) y si

( ) ( ) ( ) ( )212121 0, ωφωφωωφωωϕ +=+∴= (3.49) es decir, alguna forma de acoplamiento de fase ha ocurrido si ϕ(ω1,ω2) = 0 [56]. De tal forma que si la fase del BIS es cero, el valor de la máscara será

10=

−π

π

dejando el valor de la magnitud del BIS idéntico. Pero si es diferente de cero, el valor de la máscara siempre será menor a uno,

( )1

,0 21 ≤

∠−≤

πωωπ BIS

variando la magnitud del BIS, donde, en lugar de resaltar la información debida al acoplamiento de fase, se atenúa la información que no resulta de ningún acoplamiento de fase y haciendo cero a la información que tiene fases independientes.

Conclusiones La representación en frecuencia de las estadísticas de alto orden, poliespectro, presenta nueva información comparada con aquella obtenida de los métodos convencionales, como el PSD. En particular el BIS, la forma más sencilla del

51

poliespectro, ayuda a identificar las no linealidades de un sistema o proceso a través de acoplamientos cuadráticos entre sus componentes en frecuencia, y muestra inmunidad al ruido. Por ser el BIS un número complejo, se obtiene de él magnitud y fase que pueden ser estudiados en el análisis de sistemas, otorgando más información que el PSD. A pesar de que el cálculo del BIS requiere muchas operaciones, pude hacerse uso de sus simetrías para ahorrar cálculos y obtener solo la parte del BIS necesaria para estudiar las secuencias de datos. El uso del periodograma y biperiodograma con ventanas ayuda a reducir el ruido que puedan contener las secuencias de datos, mejora las propiedades estadísticas del PSD y BIS, y reduce el derrame espectral de los cálculos. Nuevos trabajos como el biespectro modificado pueden ayudar en el estudio de sistemas o procesos, sobre todo en los casos que se pretenda investigar los acoplamientos cuadráticos de fase.

53

4. Análisis de vibraciones En este capítulo se presentan bases teóricas de vibraciones de vigas en cantiliver, sus frecuencias naturales y los modos de vibración, lo cual ayudará a hacer una adecuada interpretación de los resultados de las experimentaciones. Las vigas son elementos estructurales base de varios estudios con los cuales se forman estructuras mas complejas. Un ejemplo son los álabes de turbinas.

4.1 Vibraciones mecánicas A continuación se presentan los conceptos básicos relacionados con el tema, los cuales son fundamentales para el estudio de las vibraciones y sus respectivas señales de vibración. Las vibraciones son oscilaciones periódicas o no periódicas que afectan a estructuras, máquinas o sistemas mecánicos. Estas vibraciones se deben a factores externos o por el propio trabajo de las máquinas. La frecuencia de vibración de las estructuras y máquinas depende de la excitación, pero estos sistemas tienen frecuencias naturales particulares que dependen de sus propiedades estructurales. Las vibraciones forzadas pueden excitar el sistema y cuando la respuesta de excitación iguala a la respuesta natural se produce la resonancia [28]. Debido a la resonancia en algunos casos las estructuras pueden fracturarse o colapsarse y las máquinas rotatorias destruirse.

54

Una señal periódica, como las vibraciones, se muestra en la Figura 4.1 [19] y se define en las ecuaciones 4.1 y 4.2.

Figura 4.1 Movimiento periódico.

;...,2,1;)()( =+= nnTtxtx (4.1)

donde : T

f 1= (4.2)

f : frecuencia

T : período

Por otro lado, para una estructura mecánica su frecuencia natural de vibración esta definida como [19].

πω2

natnatf = (4.3)

y

mK

nat =ω (4.4)

donde

fnat : frecuencia natural de vibración ωnat : frecuencia angular natural de vibración m : masa del sistema K : rigidez del sistema

Un modelo común de vibración es el que se presenta en la Figura 4.2, modelo masa y resorte y se describe por la ecuación 4.5 [49]:

T 2T t

x(t)

55

0=+ Kxxm && (4.5)

donde: m : masa K : constante de rigidez x : desplazamiento x&& : aceleración

Un modelo más complejo de un sistema es el que se presenta en la Figura 4.3. En este caso es un modelo con amortiguamiento viscoso que esta definido por la ecuación 4.6.

0=++ KxxCxm &&& (4.6)

donde:

C : constante de amortiguamiento x& : velocidad

Con el factor de amortiguamiento natm

Cω

ζ2

= y frecuencia natural angular

mK

nat =ω , su ecuación de movimiento se puede rescribir como [19]:

02 2 =++ xxx natnat ωζω &&& (4.7)

Figura 4.3 Modelo con amortiguamiento viscoso

Figura 4.2 Modelo de vibración masa y resorte

56

donde: ζ : factor de amortiguamiento ωnat : frecuencia angular natural

Dependiendo del valor de ζ, se dan tres diferentes tipos de comportamientos los cuales se describen en la tabla 4.1. Tabla 4.1 Casos de vibración dependientes de ζ [15].

Casos Ejemplos gráficos

1=ζ Amortiguamiento crítico

1<ζ Sub amortiguado

1>ζ Sobre amortiguado

Para el sistema amortiguado de la ecuación 4.6 su vibración forzada (armónica) se define como [19] :

( )tsenFKxxCxm ω0=++ &&& (4.8) donde: Fo : magnitud de la fuerza aplicada

57

4.2 Modelo matemático de una viga en cantiliver

4.2.1 Vibración lateral Sea la viga de la Figura 4.4, aplicando la ecuación de Euler-Bernoulli en la dirección y, la fuerza Fy se define como sigue [28]:

Figura 4.4 Diagrama de cuerpo libre de una viga

dxx

yEIx

dxx

MFy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂−

= 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ty

xyEI

x ∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

− μ

μEIc

ty

cxy

=∂∂

=∂∂

− ;12

2

24

4

(4.9)

donde : ( ) 2

2

,x

yEItxM∂∂

= , y x

txMtxV∂

∂=

),(),(

V : fuerza cortante M : momento flexionante E : mòdulo de Young I : momento de inercia y : desplazamiento vertical c : constante de amortiguamiento x : desplazamiento horizontal

μ : masa por unidad de longitud

dxxVVdx

xVVFy ∂

∂−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−=

58

A la ecuación 4.9 se le conoce como “ecuación de onda” y tiene una solución que satisface a todas las condiciones de frontera [28].

α(x,0)=αo(x) (4.10)

y

)(0 xVot t =

∂∂

=α

(4.11)

La ecuación de onda se modela para diferentes materiales y tipos de vibraciones ya que ésta tiene siempre el mismo comportamiento. Por tal motivo se generaliza la ecuación para diferentes valores de la constante de amortiguamiento c y de desplazamiento y por los valores que se encuentra en la Tabla 4.2 para obtener el modelo adecuado que se desee satisfaciendo la ecuación [28].

2

2

21)(

tcL

∂

∂=

αα (4.12)

Una vez que se sustituye la deflexión lateral α y la constante de amortiguamiento c en la ecuación 4.12 por las variables adecuadas al problema en cuestión, es necesario determinar las condiciones de frontera del caso a resolver para poder encontrar la solución. Tabla 4.2. Casos particulares [19]. Caso c α L(α)

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μT

y 2

2

xy

∂∂

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρE

u 2

2

xu

∂∂

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μEI

y 2

4

yy

∂∂

−

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρG

θ 2

2

x∂∂ θ

Vibraciones Laterales cuerda tensa.

Vibraciones Longitudinales de una barra.

Vibraciones Laterales de vigas.

Vibración Torsional de Una barra.

donde: T = tensión, fuerza axial

ρ = densidad del material G = modulo del esfuerzo cortante θ = ángulo de rotación α = deflexión lateral

59

4.2.2 Modelo de la viga en cantiliver El modelo matemático Euler-Bernoulli de una viga cantiliver, puede obtenerse sustituyendo las condiciones de frontera adecuadas para el tercer caso de la Tabla 4.2. En la Figura 4.5 se presenta un esquema de la viga en cantiliver.

Figura 4.5 Viga en cantiliver

La ecuación diferencial de vibraciones laterales se define como [15]:

02

2

4

4

=∂∂

+∂∂

tym

xyEI (4.13)

Una propuesta de solución de 4.13 es la presentada en la ecuación 4.14.

y(x,t)=φ n(x)ejωnt (4.14) Sustituyendo la ecuación 4.14 en 4.13 se tiene:

2

2244

4

4

donde 0)()(

cEIA

xdx

xd

t

nnnn

n ωωρβφβ

φ===− (4.15)

Se definen las condiciones iniciales como:

(extremo empotrado) x=0: φ = 0 ⇒ 0=dxdφ

(4.16)

(extremo libre) x=L: M = 0 ⇒

0

0

3

3

2

2

=

=

dxddxd

φ

φ

(4.17)

V = 0

60

tomando la transformada de Laplace y resolviendo por sustitución se tiene

φn(x)=esx ; β4=s4 ⇒ s = ββ j±± , La ecuación de desplazamiento de la viga es entonces [15]:

φn(x) = Acosh(βx) + Bsenh(βx) + Ccos(βx) + Dsen(βx) (4.18)

donde: A,B,C,D = operadores constantes a encontrar β = velocidad angular

φn(x) = deflexión lateral de x con las condiciones de frontera A = -C y B = -D la ecuación 4.18 se convierte en:

φn(x)=C[cos(βx)-cosh(βx)]+D[sen(βx)-senh(βx)] (4.19)

Reduciendo la ecuación 4.19 se puede llegar a la expresión :

cosh(λ) cos(λ) + 1 = 0 (4.20)

donde : λ=βL Los valores de λ que las satisfacen ayudan a calcular las frecuencias naturales.

...,2,1;)( 42 == n

ALEI

nn ρλω (4.21)

Como β corresponde a λn, se escribe como βn y así la ecuación 4.19 se puede expresar en términos de Dn :

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=nnnsenhnsenDnCn

λλλλ

coshcos (4.22)

dando como resultado

φn(x)=Dn[sen(βx)-senh(βx)] + Dn ( ) ( )( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

nnnsennsenh

λλλλ

coscosh[cosh(βx)-cos(βx)] (4.23)

La variable multiplicadora desconocida Dn simplemente escala el modo. Una normalización es haciendo Dn =1. En esta forma se pueden obtener los modos de vibración de una viga.

61

4.2.3 Modos de vibración Las vigas al ser sistemas continuos, tienen n modos de vibración. Sin embargo, al igual que las frecuencias de vibración los primeros son los más importantes. En la Tabla 4.3, Se presentan un ejemplo de los tres primeros nodos de vibración de una viga cantiliver. Tabla 4.3. Modos de vibración en una viga cantiliver (longitud normalizada) [19]. Viga Modos naturales de vibración λ (λ)2 Ecuación para λ

1.875 3.52 4.694 22.03 f(λ) = 1 + cosh(λ) cos(λ) = 0 7.855 61.70

Valores de λ

Los valores que satisfacen a la ecuación 4.20 pueden encontrarse al graficarse. La intersección de la función con el eje x da los valores de λ . Graficando la función hasta λ=8 se ven tres cruces por cero correspondientes a los tres primeros coeficientes (λ) como se presenta en la Figura 4.6. Se pueden encontrar, entonces, los primeros valores que satisfacen la ecuación:

λ1 = 1.875, λ2 = 4.694, λ3 = 7.854, λ4 = 10.995, λ5 = 14.137, λ6 = 17.278, λ7 = 20.420

1er modo

2do modo

3er modo

62

Figura 4.6 Gráfica de la ecuación coshλ cosλ + 1 = 0

Frecuencias naturales Cada modo de vibración corresponde a una frecuencia natural, dando como resultado las frecuencias naturales del sistema. Por tanto, los valores anteriores de λ se pueden sustituir en (4.21), tal y como se muestra a continuación:

...,2,1;42 == n

ALEI

nnatn ρλω (4.24)

donde A : área transversal I : momento de inercia L : longitud ρ : masa longitudinal λn : constante lambda n E : módulo de Young

nnatω : frecuencia natural angular n y con las relaciones (4.2), (4.3) y (4.4), se puede obtener las frecuencias naturales de una viga cantiliver. Con los valores de λ y las frecuencias naturales (fnat) obtenidas, se puede encontrar los modos de vibración de cualquier viga, sustituyéndolos en (4.23). En la Figura 4.7 se presenta ejemplo de una viga de 870mm de longitud, área transversal de 504.19mm2, densidad del material ρ = 7800 Kg/m3 y un módulo de

f(λ)

λ

63

Young Ε = 200 x 109 N/m2. Esta viga tiene las características de la viga que se usará en las experimentaciones (ver sección 6.1.1), solo que en las experimentaciones se variará la longitud de la misma. Para esta viga en Matlab se programó la ecuación 4.21 para encontrar sus frecuencias naturales, y en Mathematica se programó la ecuación 4.23 de desplazamiento de la viga. En esta forma se obtuvieron las primeras cuatro frecuencias naturales y sus respectivos modos de vibración.

Figura 4.7 Ejemplo de viga Las frecuencias naturales para la viga son los siguientes :

f1 = 8.68 Hz f2 = 54.40 Hz f3 = 152.32 Hz f4 = 298.49 Hz

Sus respectivos modos de vibración se muestran en la Figura 4.8,

Figura 4.8 Modos de vibración del ejemplo de viga

x

φn(x)

64

donde cada curva los modos de vibración de la viga del primero al cuarto de la siguiente manera:

1ro corresponde al primer modo de vibración 2do corresponde al segundo modo de vibración 3ro corresponde al tercer modo de vibración 4to corresponde al cuarto modo de vibración

Debido a que en este trabajo se considera hasta la séptima frecuencia natural, los valores de los coeficientes de λ, sus modos de vibración y respectivos nodos se presentan en la Tabla 4.4, los cuales fueron obtenidos con ayuda de los programas del Anexo II. Los nodos de los modos de vibración (nab), se presentan en la tabla 4.4 y pueden identificarse con los subíndices a y b que indican el modo al que pertenecen (a) y el número de nodo de ese modo (b). Como se puede ver en la Taba 4.4, el modo n de vibración debido a la frecuencia fn, tiene n-1 nodos. Una frecuencia natural mayor tiene un mayor número de nodos y por tanto mayor número de valles y crestas donde tenga su mayor efecto.

Por ejemplo, para los primeros siete modos de vibración su comportamiento a lo largo de una viga de longitud normalizada es el que se muestra en la Figura 4.9.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2

-1

1

2

Figura 4.9 Primeros siete modos de vibración. De acuerdo a la Figura 4.9, se puede observar que solo con estos modos se obtiene un variado y representativo comportamiento de las vibraciones de la viga para su estudio.

φn(x)

x

65

Tabla 4.4. Modos de vibración, para una viga de longitud normalizada.

1

2

3

4

5

6

7

66

Conclusiones Conocer los conceptos básicos de vibraciones, así como con los modelos de comportamiento de las vibraciones laterales en una viga en cantiliver, apoyarán al estudio e interpretación de resultados del procesamiento de las señales de vibración con el PSD y BIS, además de identificar las variables involucradas en las vibraciones para realizar correctamente los experimentos. Los parámetros más importantes en el estudio de las señales de vibración son las frecuencias naturales y los modos de vibración de un sistema. Se hicieron dos programas en diferentes plataformas los cuales es posible modificar para encontrar fácilmente las frecuencias naturales y modos de vibración de una viga en cantiliver. Estos programas se usarán para calcular los mismos datos para las vigas a usarse en la experimentación.

67

5. Simulaciones El cálculo de la PSD y el BIS en diferentes plataformas como C, MatLab, etc..., se basan en métodos paramétricos o no paramétricos mediante momentos, cumulantes o de forma directa. Algunos de estos programas son de uso exclusivo de sus desarrolladores y otros, como el Higher-Order Spectral Analysis Toolbox de MatLab (HOSA) están disponibles al público. Algunos otros programas para el cálculo de espectros de alto orden están muy orientados a la aplicación para la que fueron desarrollados. Por lo anterior, es necesario desarrollar los propios algoritmos para llevar a cabo la presente investigación. Como ya se ha mencionado anteriormente, el BIS es la herramienta principal de estudio de esta tesis. En el Capítulo 2 se presentaron las bases del estudio (estadísticas de alto orden) y en el Capítulo 3 se presentó su representación en la frecuencia (poliespectro). En ese último capítulo se desglosó cada una de las definiciones de la PSD y del BIS discretos con la intención de dejar en claro la forma en que pueden ser calculados a partir de secuencias finitas de datos. El objetivo principal de este capítulo es la simulación y validación de las herramientas a usar en este trabajo.

5.1 Estimación de momentos y cumulantes

El objetivo es probar las rutinas programadas que estiman las medidas estadísticas importantes a usarse; medias, corrimientos, momentos y cumulantes.

68

De acuerdo a las fórmulas estadísticas para secuencias finitas de datos provenientes de un proceso estacionario definidas en la sección 2.3.2, los momentos μ, y cumulantes c, de segundo y tercer orden son:

( ) ( ) ( ){ }ττμ += txtxEx2 (5.1)

( ) ( ) ( ) ( ){ }21213 , ττττμ ++= txtxtxEx (5.2)

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }τττ +−+= txEtxEtxtxEc x2 (5.3)

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]122121

2121213

2,


++++++++−+++++=


(5.4)

donde el valor esperado de una señal discreta es igual a su media.

[ ] ∑−

=

==1

0

1 N

iix x

NxE μ (5.5)

Para una secuencia de números, las funciones creadas para calcular los momentos y cumulantes son : x=[1,4,5]; secuencia de números t=1:3; vector de tiempo m2x=mom2(x); momento 2do orden c2x=cumu2o(x); cumulante 2do orden m3x=mom3(x); momento 3er orden c3x=cumu3r(x); cumulante 3er orden Las funciones que calculan los cumulantes (cumu2o() y cumu3r()) y momentos (mom2() y mom3()) se encuentran en el Manual de funciones de esta tesis, en el Anexo IV. Los resultados de estas funciones para la secuencia anterior de números, x, son : m2x = [14.0000 9.6667 9.6667] c2x = [2.8889 -1.4444 -1.4444] m3x = 63.3333 36.3333 40.3333 36.3333 40.3333 20.0000 40.3333 20.0000 36.3333

69

c3x = -2.5926 -0.7037 3.2963 -0.7037 3.2963 -2.5926 3.2963 -2.5926 -0.7037 Para comprobar los resultados se hacen las operaciones manualmente para obtener algunos de los valores de los momentos y cumulantes.

( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( ) 6666.94514513122

14541310

2

2222

=⋅+⋅+⋅=+=

=++==

txtxE

txtxE

x

x

μ

μ

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 3333.63541310,0 333

3 =++== txtxtxExμ

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( ) 3333.4015544131111,1 222

3 =⋅+⋅+⋅=++= txtxtxExμ

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) 8888.254191541

310 2222

2 =++−++=−= txEtxEtxtxEc x

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4445.154191451451

31222 2

2 −=++−⋅+⋅+⋅=+−+= txEtxEtxtxEc x

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( )( ) 5926.254154131541

272541

31

20,0

2223333

3

−=++++−+++++=

++−+=


( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2962.3

15544121549

10541272155441

31

111111 112111,1

2223222

3

=

⋅+⋅+⋅+++−+++⋅+⋅+⋅=

++++++++−+++++=


Comparando los resultados de las funciones y los obtenidos manualmente, se puede observar que son iguales, y así se validan las funciones que calculan los momentos y cumulantes.

70

5.1.1 Caso de señal senoidal Un ejemplo de un proceso paramétrico es una señal senoidal definida como: x(t) = Asen(ωt) donde A es la amplitud y ω es la frecuencia en rad/seg (ω = 2πf). Su cumulante de segundo orden se obtiene aplicando la ecuación 5.3, donde así: c2x(t)= A2/2 cos(ωt) simulando para c2x(t) se obtiene :

t=0:32; vector de tiempo f=(1/16); frecuencia x=sin(2*pi*f*t); señal senoidal c2x=cumu2o(x); cumulante 2do orden

los resultados se presentan en la Figura 5.1.

Figura 5.1 Señal x(t) y cumulante de 2do orden c2x(t)

Para x=3sin(ωt) , su cumulante entonces será c2x=32/2 cos(ωt), y simulando para x(t) y c2x(t) se obtienen los resultados de la Figura 5.2.

71

t=0:32; vector de tiempo f=(1/16); frecuencia x=3*sin(2*pi*f*t); señal senoidal c2x=cumu2o(x); cumulante 2do orden

Figura 5.2 Señal x(t) y cumulante de 2do orden c2x(t)

Con estas simulaciones queda demostrado que la secuencia funciona correctamente.

5.1.2 Diferencias entre momentos y cumulantes Una pregunta natural en la estimación de estas funciones estadísticas es si se deben emplear momentos o cumulantes. La razón principal en el manejo de cumulantes es que éstos son funciones que se constituyen por la combinación de momentos. De aquí el nombre de cumulantes. Para encontrar gráficamente las diferencias entre momentos y cumulantes, se simula una señal seno y se obtienen los respectivos momentos de segundo y tercer orden, así como los cumulantes de segundo y tercer orden.

72

Para x=sin(ωt) : t=0:16; vector de tiempo f=(1/16); frecuencia x=sin(2*pi*f*t); señal senoidal m2x=mom2(x); momento de 2do orden m3x=mom3(x); momento de 3er orden c2x=cumu2o(x); cumulante de 2do orden c3x=cumu3r(x); cumulante de 3er orden

Los resultados de las simulaciones son los que se muestran en la figura 5.3

Figura 5.3 Señales x(t), m2x(t) y c2x(t)

Se observa que para esta señal los momentos y los cumulantes son iguales debido a que su media es cero. El momento y cumulante de tercer orden son los que se muestran en la Figura 5.4, donde se observa de igual forma que el momento y cumulante de 3er orden son iguales.

73

(a) (b)

Figura 5.4 Gráficas del momento m3x(t) (a) y cumulante c3x(t) (b) de tercer orden de x

Considérese ahora una señal aleatoria x(t), los momentos y cumulantes de 2do y 3er orden se calculan según: t=0:49; vector de tiempo N=length(t); tamaño de muestra x=rand(1,N); variable aleatoria m2x=mom2(x); momento de 2do orden de y c2x=cumu2o(x); cumulante de 2do orden de x m3x=mom3(x); momento de 3er orden de x c3x=cumu3r(x); cumulante de 3er orden de x La Figura 5.5 muestra el momento y cumulante de 2do orden, junto a la señal x(t), de donde se ve que el cumulante y momento de segundo orden son diferentes. Sin embargo, ambos tienen la misma forma y se puede observar que los cumulantes actúan como filtro de una señal de offset, debido a la resta de una constante.

74

Figura 5.5 Gráfica de x(t), m2x(t) y c2x(t)

La comparación entre el momento y cumulante de 3er orden para la misma señal se muestra en la Figura 5.6, además de una vista de planta en la Figura 5.7.

(a) (b)

Figura 5.6 Comparación entre: (a) m3x(t) y (b) c3x(t)

75

(a) (b)

Figura 5.7 Vista de planta de: (a) m3x(t) y (b) c3x(t)

De las gráficas 5.6 y 5.7 se ve que el momento y el cumulante no son iguales y además hay una clara diferencia de magnitud y forma. El cumulante es mucho más pequeño en amplitud. En este caso la diferencia no es solo una constante y el filtrado que realiza el cumulante de tercer orden tiene implicaciones de acoplamientos cuadráticos tal y como se ve en su definición.

5.2 Estimación de la PSD y el BIS Sean dos señales aleatorias; una con una función de densidad de probabilidad Gaussiana, y(t), y otra con una función de densidad de probabilidad uniforme, x(t), como se muestra en la Figura 5.8. Usando Matlab se tiene: t=0:49; vector de tiempo N=length(t); tamaño de muestra x=rand(1,N); variable aleatoria uniforme y=randn(1,N); variable aleatoria Gaussiana La media de las señales es : mean(x)=0.5013 , mean(y)=0.0602 como se puede ver, para la señal Gaussiana y(t) su media se aproxima a cero.

76

Figura 5.8 Señal aleatoria uniforme x(t) y señal aleatoria Gaussiana y(t)

Debido a que la señal Gaussiana no fue de media cero, dado el error del algoritmo generador de Matlab, se fuerza la señal y(t) a media cero quitándole el offset. El objetivo es estudiar el comportamiento de ambas señales y ver las diferencias entre dos señales, una Gaussiana de media cero y otra de media no cero. Así se define y como : y=y-mean(y); y se calculan los momentos y cumulantes : m2x=mom2(x); momento de 2do orden de x m2y=mom2(y); momento de 2do orden de y c2y=cumu2o(y); cumulante de 2do orden de y c2x=cumu2o(x); cumulante de 2do orden de x m3x=mom3(x); momento de 3er orden de x m3y=mom3(y); momento de 3er orden de y c3x=cumu3r(x); cumulante de 3er orden de x c3y=cumu3r(y); cumulante de 3er orden de y los momentos y cumulantes de segundo orden para x(t) y y(t) se muestran en las Figuras 5.9 y 5.10 respectivamente.

77

Figura 5.9 Comparación entre m2x(t) y c2x(t)

Figura 5.10 Comparación entre m2y(t) y c2y(t)

Se puede observar para y(t) que cuando los procesos son de media cero, los momentos son iguales a los cumulantes. Tomando la transformada de Fourier de los cumulantes de x y y, se obtiene la PSD

78

de cada uno, respectivamente. psdx=fft(c2x); PSD de x psdy=fft(c2y); PSD de y Los resultados se presentan en las figuras 5.11 y 5.12, respectivamente.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

A

f Figura 5.11 Gráfica de psdx(f)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

1

2

3

4

5

6

A

f Figura 5.12 Gráfica de psdy(f)

Los momentos y cumulantes de tercer orden son los que se muestran en las Figuras 5.13 y 5.14.

79

(a) (b)

Figura 5.13 Momento m3x(t) (a) y cumulante c3x(t) de 3er orden de x(t)

(a) (b)

Figura 5.14 Momento m3y(t) (a) y cumulante c3y(t) de 3er orden de y(t) Los momentos y cumulantes de 3er orden son iguales para procesos Gaussianos. Tomando la transformada de Fourier bidimensional para calcular el BIS se obtiene:

bisx=fft2(c3x); BIS de x bisy=fft2(c3y); BIS de y

80

las correspondientes gráficas se presentan en las figuras 5.15 y 5.16, siendo el BIS calculado a través de los cumulantes de las señales.

Figura 5.15 Biespectro de x(t), bisx

Figura 5.16 Biespectro de y(t), bisy

El contenido frecuencial de los biespectros muestra los acoplamientos de sus diferentes frecuencias, esto se estudiará detalladamente en la sección 5.5.

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5.2.1 Formas de obtener la PSD y el BIS Existen tres métodos para obtener la PSD y el BIS desde una secuencia de datos. El objetivo de esta sección es presentar las diferencias entre estos métodos. Definiendo psd0 a la obtenida directamente de la Y (transformada de Fourier) de la señal, psd1 a la que se obtiene de la Y de los momentos y psd2 a la que se obtiene de la Y de los cumulantes.

psd0x = γ Y [x] Y *[x] ; psd1x = Y [m2x] ; psd1x = Y [c2x] Para las variables aleatorias x(t) y y(t) de los ejemplos anteriores, las PSD son: N=length(x); psd0x=1/N * fft(x) .* conj(fft(x)); psd1x=fft(m2x); psd2x=fft(c2x); psd0y=1/N * fft(y) .* conj(fft(y)); psd1y=fft(m2y); psd2y=fft(c2y); los resultados son presentados en las Figuras 5.17 y 5.18:

(a) (b) (c)

Figura 5.17 Comparación de los tres métodos de obtención de la PSD para x(t) (a) psd0x, (b) psd1x, y (c) psd2x

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(a) (b) (c)

Figura 5.18 Comparación de los tres métodos de obtención de la PSD para y(t) (a) psd0y, (b) psd1y, y (c) psd2y

De los resultados se puede ver que la PSD es la misma, tiene el mismo comportamiento y que solo en el caso de x (proceso aleatorio de media no cero), presenta un pico grande en su inicio derivado de su valor medio. Con base a la teoría y los resultados obtenidos, la PSD de un proceso Gaussiano o de media cero es la misma indistintamente el método que se haya elegido. La PSD obtenida directamente de la Y de la señal es igual a la PSD obtenida desde la Y de los momentos. Definiendo bis0 al obtenido directamente de la Y de la señal, bis1 al que se obtiene de la Y de los momentos y bis2 al que se obtiene de la Y de los cumulantes,

bis0x = γ Y [t1] Y [t2] Y *[t1+t2] ; bis1x = Y [m3x] ; bis1x = Y [c3x] igualmente se calculan para las variables aleatorias x y y: bis0x=bie(x); bis1x=fft2(m3x); bis2x=fft2(c3x); bis0y=bie(y); bis1y=fft2(m3y); bis2y=fft2(c3y); los resultados son presentados en las Figuras 5.19 y 5.20.

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(a) (b) (c)

Figura 5.19 Comparación de los tres métodos de obtención del BIS para x(t) (a) bis0x, (b) bis1x, y (c) bis2x

(a) (b) (c)

Figura 5.20 Comparación de los tres métodos de obtención del BIS para y(t) (a) bis0y, (b) bis1y, y (c) bis2y

Al igual que en la PSD, el bis0x y bis1x de la señal aleatoria de media no cero, existe un pico muy grande debido a la señal de baja frecuencia (valor medio). Haciendo un acercamiento para ambos casos en la Figura 5.21 para verificar si cierta región del bis0x y bis1x corresponde o es igual a la del bis2x , se encuentra:

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(a) (b)

Figura 5.21 Acercamiento de bis0x (a) y bis2x (b)

se puede ver que además del pico debido a la señal de offset, la gráfica muestra que no solo la magnitud es diferente, sino también la forma. Existen varias conclusiones de estos resultados que avalan lo que se esperaba de acuerdo a la teoría. Primero, el BIS obtenido directamente de la Y de la señal es igual al BIS obtenido desde la Y de los momentos :

bis0 = bis1, para x y y

Segundo, que el BIS obtenido de la Y de los cumulantes no es igual a los obtenidos desde la Y de la señal o de los momentos :

bis2 ≠ bis1, para x y y Tercero, la excepción es cuando se calculan para procesos Gaussianos o de media cero y así :

bis0 = bis1 = bis2, para procesos de media cero Como se puede ver, el estimado del BIS proveniente de los cumulantes es invariante a cualquier proceso (actuando como filtro), dando información relevante del proceso. Por tal motivo y por otros explicados en las secciones 2.3.2 y 3.1.1 de la tesis, es conveniente definir el BIS desde los cumulantes. La función bie() se encuentra en el Manual de funciones (Anexo IV) y los valores del los vectores x y y se pueden encontrar en el Anexo I.

85

5.2.2 Optimización de los cálculos El cálculo de los cumulantes y su espectro es un proceso largo, y si además se hace para secuencias largas el mismo proceso se hace más tardado y su tiempo de cálculo crece geométricamente (caso de los de 3er orden). El objetivo es tratar de hacer optimizaciones de cálculo de los cumulantes y su espectro usando sus simetrías. En los momentos como en los cumulantes existen simetrías que ayudan a reducir el número de operaciones. De acuerdo a la teoría se puede hacer el cálculo de la mitad de ellos y formar el resto con los datos ya obtenidos. Esta simetría se puede observar en las figuras 5.13 y 5.14 para mometos y cumulantes. Por ejemplo, para el caso de la señal senoidal, una vista superior se muestra en la Figura 5.22.

(a) (b)

Figura 5.22 Vista superior del momento m3x (a) y cumulante c3x (b) de 3er orden de x

Se puede ver que una mitad de estos datos se refleja en la otra. En realidad, en el plano que se observa, solo se pueden ver dos de las seis regiones de simetría con las que se cuentan (ver sección 2.3.2). La función de interés son los cumulantes de 3er orden y se calcularán solo para la región 0 ≤ l ≤ k, donde k y l son variables de tiempo. Para el programa de cumulantes de 3er orden antes usado (cumu3r()), se hacen las modificaciones de rango de operación y se crea el programa de cálculo de cumulante de 3er orden optimizado cumu3rop(). Para el mismo ejemplo de la señal senoidal, se calculan la matriz de cumulantes y

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la matriz optimizada y se comparan en la Figura 5.23.

t=0:16; vector de tiempo f=(1/16); frecuencia x=sin(2*pi*f*t); señal senoidal N=length(t); longitud de la muestra c3x=cumu3r(x); cumulante de 3er orden c3xop=cumu3rop(x); cumulante de 3er orden optimizado

(a) (b)

Figura 5.23 Comparación del cumulante c3x (a) con el cumulante optimizado c3xop (b) de tercer orden

Se puede ver que la versión óptima o reducida tiene solo la mitad de los datos y que la otra mitad es exactamente igual. Para poder obtener la matriz completa de cumulantes desde los obtenidos óptimamente solo hace falta reflejar la matriz de

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esta forma : c3x = c3xop+transpose((ones(N,N)-eye(N,N)).*c3xop); Por otro lado, en el dominio de la frecuencia el BIS presenta 12 simetrías (ver sección 3.3.2). Estas se pueden aprovechar para calcular solo una pequeña parte del BIS. Para la misma señal se calcula el BIS y el BIS de la región reducida u optimizada. Nótese que el BIS de la región optimizada da la información necesaria para estudiar una señal, pues lo demás es información redundante. Calculando ambos para la misma señal anterior, los resultados se presentan en la Figura 5.24. bisx=fft2(c3x); BIS de x bisxop=bsop(c3x); BIS optimizado de x

(a) (b)

Figura 5.24 Biespectro bisx (a) y biespectro en la región no redundante bisxop (b)

De la Figura 5.24 (b) se puede ver que solo se presenta una parte del biespectro (que es representativa) y contiene la información necesaria para su análisis. La forma de calcularlo es haciendo uso de la formula del BIS desde sus cumulantes y para la región w1≥ 0 , w1 ≥ w2 , 2w1 + w2 ≤ π, mediante la función desarrollada bsop(). No obstante, esta no es la manera más adecuada para calcular el BIS. Las sumas y multiplicaciones acumuladas dentro del programa hacen del algoritmo un proceso lento, así que lo ideal es usar la propia herramienta del sistema (fft2) que es un algoritmo rápido y recortar la parte de interés. Para esto se usa un programa de recorte biop() para obtener solo la parte necesaria. bisx2=biop(c3x); Este programa se aprovechará para hacer los estudios de las diferentes señales en

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capítulos posteriores. Si el hecho se haber optimizado los cálculos de los cumulantes y BIS, calculando solo la región no redundante, ahorra tiempo computacional, aun así estas rutinas son muy lentas. Las rutinas se basan en la definición general de cumulantes (5.3 y 5.4). Una manera práctica de simplificar el cálculo de los cumulantes es forzar las secuencias de datos de forma que tengan media cero. De esta forma los cumulantes serán iguales a los momentos (ver sección 2.3.2), dando como resultado expresiones sencillas.

( ) ( ) ( ) ( ){ }τττ +== txtxEmc xx 22 (5.5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }21212213 ,, ττττττ ++== txtxtxEmc xx (5.6) Para ahorrar ese tiempo computacional se optimizan las rutinas creadas anteriormente y se crean nuevas rutinas que son más rápidas. Los programas que se usarán en el procesamiento de las señales de vibración serán cumu2() y cumu3() para ahorrar tiempo de cálculo computacional, estos programas dan los mismos resultados que los antes estudiados.

5.3 Estimación del periodograma y biperiodograma La forma de estimar la PSD y el BIS que se propusieron, son las formas directas de cálculo. En procesamientos reales se usan los estimados llamados periodograma y biperiodograma. Estos estimados se basan en las definiciones de la PSD y el BIS para secuencias finitas de datos haciendo primero particiones de los datos, después el cálculo de la PSD y el BIS, y finalmente tomando promedios, ya sea en tiempo o en frecuencia, de las PSD y los BIS calculados. Los programas de estos estimados pueden encontrarse en el Manual de funciones (las funciones son peri() y biperi() ). Uno de los problemas que presentan estos estimados es que para una secuencia finita de datos, el número de particiones que se decida hacer de la misma repercutirá en la resolución de la PSD o el BIS. Esto quiere decir que a menor número de particiones existe más resolución y a mayor número de particiones existe menos resolución de los estimados (ver sección 3.5). Así mismo, para menos particiones el tiempo de cómputo es mayor y con más particiones el tiempo de cómputo es menor. El usuario debe de elegir cual es la mejor opción para su conveniencia y aplicación. Como ejemplo se puede usar la variable aleatoria x usada en los análisis anteriores. Se obtiene su periodograma y biperiodograma para diferentes particiones.

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El periodograma con dos particiones de la variable aleatoria x se muestra en la Figura 5.25.

periodog=peri(x,2);

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25A

f

Figura 5.25 Periodograma de x con dos particiones En contraste, la Figura 5.26 muestra el periodograma sin particiones de x. periodog=peri(x,1);

Figura 5.26 Periodograma de x sin particiones El biperiodograma con dos particiones de la variable aleatoria x se presenta en la Figura 5.27.

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biperiodog=biperi(x,2);

Figura 5.27 Biperiodograma de x con dos particiones

Mientras que el biperiodograma sin particiones de x se muestra en la Figura 5.28. biperiodog=biperi(x,1);

Figura 5.28 Biperiodograma de x sin particiones

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Con este ejemplo se puede ver que al hacer particiones se puede perder resolución, tanto en la PSD como en el BIS, pero esto no quiere decir que sea un resultado incorrecto. El número de segmentaciones de las muestras de datos por hacerse dependerá de la aplicación, es decir, si es necesario hacer un análisis entre frecuencias muy cercanas, la segmentación no es una opción. En cambio si las frecuencias a estudiarse no son cercanas, la segmentación actuará como un filtro y borrará picos innecesarios en el estudio, haciendo el estimado más suave y más fácil de interpretar. Los programas peri() y biperi() tampoco son la mejor manera de calcular el periodograma y biperiodograma. Las secuencias per() y biper() usan los cumulantes optimizados haciéndolas más eficientes. El objetivo de estos programas es usar las herramientas básicas como son los cumulantes. Pero puede reducirse aún más el tiempo de cálculo si se hace de media cero a las señales a procesar, y obtener su BIS o biperiodograma de forma directa. Ya se ha demostrado que solo en estos casos (procesos Gaussianos o de media cero), el BIS de forma directa es igual al obtenido a través de los cumulantes. Los programas que se usarán en el procesamiento de las señales de vibración serán pe() y bi() para ahorrar tiempo de cálculo computacional.

5.4 Uso de ventanas Debido a que los estimados tanto de la PSD y del BIS no son totalmente correctos (sección 3.5), se usan funciones de peso para corregir los problemas asociados a los procesos de cálculo. Estas funciones son llamadas ventanas y su principal objetivo es eliminar el derramamiento espectral generado por la truncación de la serie datos y las frecuencias adicionales producidas por el propio algoritmo de FFT. El objetivo principal de las ventanas es mejorar las propiedades estadísticas de los estimados. Existen muchos tipos de ventanas en la literatura, en las funciones creadas para la herramienta de esta tesis se programaron las más populares: Daniel, Parzen, von Hann, Blackman, Kaiser, Tukey-Hamming, y Bartlett-Priestley. Las funciones pueden encontrarse en el Manual de las funciones (ver las funciones perw() y biperw() ). Como ejemplo, sea la misma serie de datos aleatorios x a la que se le aplica el periodograma y biperiodograma con diferentes ventanas del mismo ancho, M=50, y se observan sus diferencias. El periodograma de la variable x con ventana Daniel sin particiones se muestra en la Figura 5.29. periodogw=perw(x,1,'d',50);

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Figura 5.29 Periodograma con ventana Daniel de x sin particiones

El periodograma con ventana Parzen de la variable x sin particiones se muestra en la Figura 5.30. periodogw=perw(x,1,'p',50);

Figura 5.30 Periodograma con ventana Parzen de x sin particiones

El periodograma de x con ventana Tukey-Hamming sin particiones se muestra en la Figura 5.31.

periodogw=perw(x,1,'t',50);

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Figura 5.31 Periodograma con ventana Tukey-Hamming de x sin particiones

En la Figura 5.32 se muestra periodograma con ventana Kaiser de x sin particiones se muestra. periodogw=perw(x,1,'k',50);

Figura 5.32 Periodograma con ventana Kaiser de x sin particiones

Los biperiodogramas de la variable x con ventana Daniel y Parzen sin particiones se presentan en las Figuras 5.33 y 5.34 respectivamente. biperiodogw=biperw(x,1,'d',50);

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Figura 5.33 Biperiodograma con ventana Daniel de x sin particiones

biperiodogw=biperw(x,1,'p',50);

Figura 5.34 Biperiodograma con ventana Parzen de x sin particiones

El biperiodograma con ventana Tukey-Hamming y ventana Kaiser de x se muestran en las Figuras 5.35 y 5.36 respectivamente. biperiodogw=biperw(x,1,'t',50);

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Figura 5.35 Biperiodograma con ventana Tukey-Hamming de x sin particiones

biperiodogw=biperw(x,1,'k',50);

Figura 5.36 Biperiodograma con ventana Kaiser de x sin particiones

Se puede ver claramente como cada una de las ventanas tiene un diferente comportamiento, algunas disminuyeron la magnitud ya sea de la PSD o del BIS,

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otras discriminaron algunos picos muy cercanos y otras suavizaron más el estimado. La elección de la ventana con la que se debe trabajar una serie de datos se basará en las propiedades de las mismas como tamaño de rizo en la banda de paso, tamaño de rizo en la banda de rechazo y tamaño de la banda de transición. El ancho de la ventana se escoge a base de prueba y error. La rutina de biperiodograma con ventana biperw() se usa para ejemplificar el procesamiento con el uso de los cumulantes. Para ahorrar tiempo de cálculo, se usará para el análisis de las señales de vibración la rutina biw() que estima el biperiodograma con ventana en forma directa.

5.5 Ejemplos de procesamiento En el tema del estudio de las herramientas espectrales PSD y BIS existen casos abordados que son clásicos en el estudio de las mismas, estos son las manchas solares y la migración del lince canadiense. Estos casos se analizan con las herramientas aquí programadas para comparar los resultados obtenidos con los de otros autores. Manchas solares : estos datos se muestran en la Figura 5.37 y se encuentran en el Anexo I, son mediciones anuales de intensidad solar de 1700 a 1955 [59].

Figura 5.37 Gráfica de la intensidad de las manchas solares El periodograma de estos datos sin segmentación y ventana Daniel de ancho 80 es

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el que se muestra en la Figura 5.38. psd=perw(sunspot,1,'d',80);

Figura 5.38 Periodograma de las manchas solares con ventana Daniel

Se observa un máximo en 0.0859 f en la Figura 5.38 (sus unidades de frecuencia son 1/años). Este dato indica una periodicidad de 11.6414 años y en 0.0156 f dando otra periodicidad de 63.954 años. El periodograma de estos datos con dos particiones y ventana Blackmann de ancho 120 es el de la Figura 5.39. psd=perw(sunspot,2,'m',120);

Figura 5.39 Periodograma de las manchas solares con ventana Blackmann

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Para la Figura 5.39 se observa un máximo en 0.0938 f, este dato indica una periodicidad de 10.661 años. En la literatura se establece una periodicidad de 11 años, con estos resultados se puede ver que la herramienta funciona correctamente y que el tipo de ventana, así como su ancho, y número de particiones repercutirán directamente en los resultados obtenidos. También puede verse de los resultados que existen otros tipos de picos que podrían marcar diferentes periodicidades. Aplicando el biperiodograma sin particiones y ventana Daniel de ancho 80 se tiene la gráfica de la Figura 5.40. bis=biperw(sunspot,1,'d',80);

Figura 5.40 Biperiodograma de las manchas solares con ventana Daniel

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El resultado de la Figura 5.40 muestra un acoplamiento entre las frecuencias f1=0.0937 f y f2=0.0156 f. La frecuencia f1 da una periodicidad de 10.6755 y f2 una periodicidad de 64.1041, periodicidades que se encontraron con la PSD, con la misma ventana, mismo ancho y mismas particiones. El acoplamiento revela una no linealidad del sistema acoplando ambas frecuencias. Otro acoplamiento importante se da en la frecuencia f1=f2=0.0859 f dando una periodicidad de 11.6418 años, este acoplamiento es del tipo cuadrático lo cual indica que prevalece la periodicidad de 11 años. Lince canadiense: los datos que se muestran en la Figura 5.41 se encuentran en el Anexo I, son mediciones anuales de la migración del lince de 1821 a 1934 [59].

Figura 5.41 Gráfica de la migración del lince canadiense El periodograma de estos datos sin segmentación y ventana Tukey-Hamming de ancho 80 es el que se presenta en la Figura 5.42. psd=perw(lynx,1,'t',80); Se observa un máximo en 0.1052 f (sus unidades de frecuencia son 1/años), este dato indica una periodicidad de 9.5057 años. En la literatura se establece una periodicidad de 9.63 años, con estos resultados se consolida el funcionamiento de la herramienta.

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Figura 5.42 Periodograma de la migración del lince canadiense

con ventana Tukey-Hamming

Aplicando el biperiodograma con dos particiones y ventana Kaiser de ancho 120 se tienen las gráficas de las Figuras 5.43 y 5.44. bis=biperw(lynx,2,'k',120);

Figura 5.43 Biperiodograma de la migración del lince canadiense

con ventana Kaiser

101

Figura 5.44 Vista de planta del Biperiodograma de la migración del lince

canadiense con ventana Kaiser

Aquí se muestra un acoplamiento muy fuerte de las frecuencias f1=0.105 f y f2=0.105 f, lo que muestra un acoplamiento cuadrático entre las dos frecuencias correspondientes a 9.5238 años. Y solo esta es la información más importante para estos datos.

5.6 Uso del BIS modificado Como se ha mencionado anteriormente (sección 3.8), existe una forma novedosa de relacionar la magnitud y fase del BIS con el objetivo de hacer resaltar los acoplamientos de fase. La función de BISmd se programó, bmodif(), para ayudar a la investigación. Un ejemplo se presenta a continuación. Usando los datos de las manchas solares, se calcula el BIS con dos particiones, ventana Kaiser y un ancho de 40, los resultados se muestran en la Figura 5.45. bis=biperw(sunspot,2,'k',40);

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Figura 5.45 Biperiodograma de las manchas solares con ventana Daniel

Por otro lado, calculando el BISmd se obtiene la gráfica de la Figura 5.46. bism=bmodif(bis);

Figura 5.46 Biespectro modificado de las manchas solares

El comportamiento del BIS es parecido al calculado anteriormente, los picos importantes persisten solo que ahora es más suave la superficie del BIS, originado por la partición y el ancho de ventana. Con el BISmd se obtiene casi el mismo resultado en forma, la variación de la modificación prácticamente no afecta la magnitud del pico (acoplamiento) principal, pero si disminuye el segundo pico de importancia lo que indica que solo el primero tiene acoplamiento de fase cuadrático.

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Conclusiones Con los resultados obtenidos a través de las simulaciones se validan las funciones programadas, que fue el objetivo principal de este capítulo. La programación de las herramientas ayudó a entender mejor cada una de las funciones; cómo trabajan, cuáles son sus ventajas y desventajas, y experimentar el compromiso computacional que requiere cada una de las herramientas. También se pudieron comprobar sus propiedades estudiadas en los capítulos 2 y 3 de esta tesis. Los resultados revelaron que el uso del BIS en el procesamiento de señales da más información acerca del fenómeno comparado con los métodos convencionales como la PSD. Se demostró porqué es mejor definir el BIS a partir de los cumulantes de una señal, en vez de sus momentos o directamente con la transformada de Fourier de la señal. Una vez estudiado y entendido las ventajas de usar cumulantes, se aprovecha su equivalencia para procesos o señales de media cero con la finalidad de reducir el tiempo computacional de cálculo originado por el BIS. Por lo que se usará el método directo de cálculo del BIS, haciendo a las señales de media cero, que es equivalente al BIS obtenido a partir de los cumulantes. El desarrollo de los ejemplos de procesamiento para casos de estudio clásicos, dio las bases del análisis que se aplicará para el diagnóstico de la señales de vibración provenientes de las vigas en cantiliver. El manual de las rutinas de procesamiento programadas se encuentran en el Anexo IV, y los programas en el CD de esta tesis.

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6. Experimentación

y análisis de resultados El objetivo principal de la investigación es aplicar las rutinas de procesamiento, usadas en el capítulo 5, en el análisis de las señales de vibración con el fin de detectar la existencia de fallas en las vigas. Para ello, se realizaron experimentaciones en el Laboratorio de Diseño Mecánico del cenidet, usando los recursos y materiales con los que cuenta el mismo. Se hicieron diferentes pruebas a una viga cantiliver tomando en cuenta variables como tamaño de viga, forma de excitación, colocación de los sensores, y resolución en frecuencia de las señales. Las condiciones de experimentación se presentan primero y después el análisis de datos.

6.1 Condiciones de experimentación

6.1.1 Material usado para la experimentación En el Laboratorio de Diseño Mecánico se cuenta con el equipo necesario para la adquisición y procesamiento de señales de provenientes de sensores de aceleración (acelerómetros) y de fuerza, así como los dispositivos necesarios para producir la excitación deseada a la experimentación.

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Se usaron dos vigas en las experimentaciones, las cuales cuentan con las siguientes características (ver Figura 6.1): Material Acero 1018 Modulo de Elasticidad 200GPa Masa 4.29kg

Figura 6.1 Viga de las experimentaciones

Una de las vigas cuenta con una fractura, las características de la misma se pueden observar en la Figura 6.2 (vista lateral).

Figura 6.2 Características de la fractura

Dentro de la experimentación se usaron tres acelerómetros piezoeléctricos de la marca Kistler, sus características principales se muestran en la Tabla 6.1. Tabla 6.1 Características de los acelerómetros

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Continuación Tabla 6.1 Características de los acelerómetros

Para la adquisición de señales se usó un analizador de espectros, el HP 3566A. Este analizador sirve para adquirir las señales en el dominio del tiempo y mostrarlas en la frecuencia. El analizador HP 3566A consiste de un mainframe HP 35650 A, éste a su vez consta de un módulo de procesamiento de señal HP-IB/Signal Processor module, un módulo de entradas de ocho canales, y un módulo fuente. El módulo de procesamiento de señal sirve para dos propósitos: es el enlace entre la computadora y los instrumentos de medición, y facilita el procesamiento de las señales a altas velocidades, como FFT y ventanas. Tiene la capacidad de guardar los datos adquiridos para su procesamiento posterior. El módulo de entradas hace la adquisición de las señales de 0 a 128kHz, y tiene un rango dinámico de 72dB. Tiene ocho canales los cuales usan el mismo span de frecuencia aunque operen independientemente. El módulo fuente tiene la capacidad de generar señales aleatorias, tipo burst, senoidales y funciones de escalón. También puede generar señales de calibración. Una computadora se usa como enlace entre el usuario y el analizador. Esta computadora cuenta con el software donde se puede elegir las funciones que realizará el analizador. Puede hacer estimación de PSD, respuesta en frecuencia, Octane, Time/linear spectrum, correlación, histograma, orbita, y análisis espectral RPM. Los modos de desplegado de los datos pueden ser tiempo real, tiempo imaginario, frecuencia, cascada (waterfall), y espectograma. Este software comercial no cuenta con la función BIS. Una foto del analizador y la computadora se muestra en la Fotografía 6.1.

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Fotografía 6.1 Analizador de espectros y cumputadora

Para excitar las vigas se usa un martillo de impacto (ver Fotografía 6.2) y un excitador electromecánico (ver Fotografía 6.3). El martillo proporciona un impulso de excitación para la viga y excita un rango de frecuencias dependiendo de la rigidez de la punta de golpeo. Además, cuenta con diferentes puntas de golpeo para excitar diferentes frecuencias.

Fotografía 6.2 Martillo de impacto

El excitador electromecánico (shaker) se utiliza para producir una excitación forzada. La excitación producida por el excitador tiene una frecuencia constante (ajustable) y fuerza constante (ajustable). El excitador actuará sobre el extremo libre de la viga. El propio analizador HP 3566A es el generador de la señal de excitación, producida mediante su módulo fuente.

Fotografía 6.3 Excitador electromecánico

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Junto con el excitador electromecánico se usó un sensor de fuerza para observar la fuerza aplicada. Este sensor puede medir fuerzas dinámicas a tensión y a compresión. Sus características se presentan en la Tabla 6.2. Tabla 6.2 Características del sensor de fuerza

Para el acondicionamiento de las señales de vibración se usaron amplificadores de señal (ver Fotografía 6.4), los cuales se encargan de eliminar el ruido que se haya generado en las señales de vibración y la amplifican para que pueda ser adquirida por analizador de espectros.

Fotografía 6.4 Acondicionadores de señal

6.1.2 Condiciones del banco de pruebas Para iniciar la experimentación fue necesario acondicionar un banco de pruebas dentro del laboratorio al cual se le acondicionó una base para el excitador electromecánico. El banco de pruebas se muestra en la Fotografía 6.5. En este banco, una máquina fresadora sirve como masa de la experimentación donde se sujetará la viga. Además de dar el soporte necesario para la experimentación, ofrece otro tipo de ventajas que facilitan y ayudan a realizar los diferentes tipos de experimentos. Una de esas ventajas son los canales con los que cuenta la mesa de trabajo, donde es posible hacer el empotramiento de la viga sin ninguna complicación y tener la

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posibilidad de moverla a lo largo de los canales para conveniencia de la experimentación. La mesa de trabajo, como en la mayoría de estas máquinas, está dotada de movimiento por medio de palancas, las cuales se pueden aprovecha para las experimentaciones. Para este banco se fijó una base para el excitador electromecánico con el cual se pudiera excitar las vigas.

Fotografía 6.5 Banco de pruebas

La fijación de la viga a la base (fresadora), se logró con cuatro sujetadores atornillados a los canales de la mesa y dos placas haciendo función de un empotramiento (Fotografía 6.6). El momento aplicado a los tornillos fue de 60Nm de apriete, fuerza lograda y calibrada con el torquímetro, haciendo así una presión necesaria para la fijación de la viga.

(a) (b)

Fotografía 6.6 Fijación de la viga: (a) vista superior, (b) vista frontal

111

6.1.3 Colocación de los sensores La colocación de los sensores es de vital importancia, ya que su posición es una variable que trascenderá en los resultados obtenidos a través de las experimentaciones. Para este trabajo se consideraron dos tipos de colocación, una con respecto a los nodos de los modos de vibración y otra con respecto a las dimensiones de la viga, además de la colocación con respecto a la sensibilidad de los sensores. Posición de los sensores respecto a los nodos Para ubicar los sensores respecto a los nodos de los modos de vibración es necesario saber donde se encuentran dichos nodos. De acuerdo al capitulo 4, se conocen los nodos de los primeros siete modos de vibración. Para construir un croquis de posibles puntos de colocación de los sensores con respecto a estos nodos se muestra la Figura 6.3 considerando una viga de longitud normalizada a la unidad, es decir, adimensional para así obtener las posiciones para cualquier longitud de viga.

n : modo de vibración

Figura 6.3 Viga de longitud normalizada y ubicación de los nodos La Figura 6.3 muestra la viga de longitud unitaria y por debajo una regla que marca los lugares donde se encuentran cada uno de los nodos a los cuales se les relaciona con su modo de vibración que se encuentra dentro de los círculos. En el capítulo 4 se obtuvieron los nodos de los primeros siete modos de vibración los cuales se muestran en la Tabla 4.3, un resumen de la posición de los nodos de los modos de vibración se presenta en la Tabla 6.3.

112

Tabla 6.3 Posición normalizada de los nodos de los primeros siete modos de vibración

Modo de vibración

Nodo

Posición (normalizada)

1ro - - 2do n21 0.783445 3er n31

n32 0.503548 0.867678

4to

n41 n42 n43

0.358383 0.644088 0.905564

5to

n51 n52 n53 n54

0.278752 0.499915 0.723224 0.926547

6to

n61 n62 n63 n64 n65

0.228068 0.409058 0.590876 0.773545 0.939902

7mo

n71 n72 n73 n74 n75 n76

0.192980 0.346124 0.500001 0.653813 0.808382 0.949146

De a la Figura 6.3, se puede entonces seleccionar la posición de los sensores según sea la conveniencia. Por ejemplo, para tratar de que cada sensor detecte un modo en especial se debe colocar en su cresta o valle pues es ahí donde tendrá el mayor movimiento (amplitud), y por el contrario si no se desea ver un modo en específico bastaría con ponerlo en uno de sus posible nodos. De esa forma un sensor difícilmente detectará todas las frecuencias, pues en su posición seguramente habrá un nodo o uno muy cercano, y a la vez estará en una cresta o valle de otro modo debido a que existen n modos de vibración. Posición de los sensores respecto a la longitud de la viga Otra posibilidad para colocar los sensores es respecto a la longitud de la viga. Este tipo de colocación se basa en designar una posición de un sensor como un porcentaje de la longitud de la viga y conservar ese porcentaje para las diferentes longitudes de las vigas debido a las diferentes experimentaciones. El objetivo principal es poder hacer un estudio comparativo de las diferentes experimentaciones. A esta posición de los sensores se le denomina posición en

113

forma normalizada. Posición de los sensores con respecto a la sensibilidad La sensibilidad de los sensores afecta directamente a las mediciones que se realizan en una experimentación. Los resultados de los datos (señales de vibraciones) están ligados a esta sensibilidad y directamente con su posición. Un sensor de muy pocas g's (9.81m/s2) es muy sensible y uno de muchas g's es menos sensible. Así en una experimentación, el sensor más sensible será colocado donde se requiera hacer una medición más exacta y el de menos sensibilidad en una posición donde se registre solo el fenómeno. Como se vio anteriormente, se cuenta con tres sensores diferentes para la experimentación, es decir, de diferente sensibilidad. Las sensibilidades de los sensores son de los rangos 10g, 50g y 500g. Para el caso de este trabajo el sensor de 10g será colocado en el punto más cercano a el empotramiento, el de 50g en el punto intermedio escogido y el de 500g en la punto más extremo escogido respecto al empotramiento, esto debido a que conforme se acerca al empotramiento existe menor movimiento y conforme se aleja del empotramiento existe mayor movimiento. Los sensores en esta posición darán los mejores resultados y se evitará el exceder el rango de operación de los sensores de mayor sensibilidad. En la Fotografía 6.7 se muestra una viga instrumentada para su experimentación.

Fotografía 6.7 Viga instrumentada

(a1)

(a2)

(a3)

114

6.1.4 Clasificación de las experimentaciones Para este trabajo se realizaron diferentes tipos de experimentaciones, las cuales pueden ser clasificadas para el mejor entendimiento de los resultados. La primera forma de clasificar las experimentaciones es la longitud de las vigas. La longitud de las vigas se varía para estudiar el comportamiento del experimento en diferentes longitudes y poder validar los resultados obtenidos. Otra clasificación es el tipo de excitación. Básicamente son dos tipos de excitación usadas, el martillo y el excitador electromecánico. La excitación con el martillo puede subdividirse en otras clasificaciones debido a los aditamentos usados con el mismo. Por ejemplo, las puntas usadas en el martillo para golpear a la viga funcionan como filtros para la excitación de las frecuencias debido a su rigidez. Así básicamente se cuentan con cuatro puntas diferentes las cuales son punta roja, verde, blanca y metálica; aumentando su rigidez respectivamente. Además, se puede usar una masa adicional en el martillo para golpear la viga y así poder excitar otras frecuencias más (las bajas sobre todo). Para el excitador también existen subclasificaciones las cuales dependerán de la frecuencia de excitación. Con los diferentes tipos de excitación, se estudian los diferentes tipos de comportamientos. La condición de fractura es también una clasificación. Los experimentos son repetidos en las mismas condiciones para vigas con y sin fractura con el objeto de tener datos de comparación para realizar el estudio. El último tipo de clasificación para este trabajo es el tipo de colocación de los sensores. El tipo puede ser en puntos no específicos, tomados así para ubicarlos en posiciones respecto a los nodos, y su colocación de forma normalizada, es decir, puestos en puntos que guarden relación para las diferentes longitudes de las vigas. Una clasificación importante que desafortunadamente no fue posible explotar es la de la profundidad de la fractura y su colocación. La profundidad de la fractura ya está determinada y no es posible variarla, la única forma de hacerlo es teniendo más vigas y cada una de ellas con fracturas de diferentes profundidades. La posición de la fractura se varía (aparentemente) a medida que se varía la longitud de una viga, sin embargo, al estar a una distancia predeterminada de uno de sus dos extremos no es posible hacer una repetición de un fenómeno en términos proporcionales. Como se puede observar, el número de experimentaciones que pueden realizarse es grande si se combinan cada una de estas variables. Un resumen de las experimentaciones se muestran en la Tabla 6.4. La colocación de los sensores es la principal clasificación, de ahí se da la longitud de la viga que es la base de la experimentación. Aunque se varía la longitud de la viga, la posición de los acelerómetros es de forma adimensional. A cada viga se le puede relacionar con el tipo de excitación usada y la existencia de fractura o no.

115

Tabla 6.4 Resumen de experimentaciones

donde : La longitud de la viga se encuentra en milímetros [mm] HR = Martillo y punta roja HG = Martillo y punta verde HRM = Martillo, punta roja y masa adicional HGM = Martillo, punta verde y masa adicional SHK = Excitador electromecánico (shaker)

La posición de los sensores en forma normalizada (adimensional) se toma con respecto a la base de la viga. Las distancias de los acelerómetros (dax), que se muestran en la Figura 6.4, son porcentajes de la longitud de la viga. Los porcentajes son da1 = 34.48%, da2 = 71.26% y da3 =88.5%. Las vigas pueden tener una longitud de 530, 600 y 870mm.

Figura 6.4 Posición de los acelerómetros La posición de la fractura para cada caso se puede obtener simplemente restando 270mm a la longitud total de la viga L.

116

6.1.5 Esquema general de la experimentación De acuerdo al material mencionado y las condiciones de experimentación, se presenta un esquema general de la experimentación en la Figura 6.5.

Figura 6.5 Esquema general de experimentación

El objetivo de este diagrama es dar un panorama general al lector de las condiciones de la experimentación, así como una guía de la relación que existe entre los diferentes dispositivos usados. Una foto del banco de experimentación y el sistema de adquisición de datos se muestra en la Fotografía 6.8.

Fotografía 6.8 Banco de la experimentación y sistema de adquisición de datos

117

6.2 Análisis de datos

6.2.1 Clasificación de los datos adquiridos Cada experimentación se realizó y se almacenó como mínimo en cinco ocasiones, para tener una muestra de la respuesta de la viga. Los datos están agrupados en carpetas conforme a la longitud de la viga y cada uno de los datos tiene un nombre de identificación. El nombre de identificación contiene la longitud de la viga, señalización si los sensores fueron colocados en forma normalizada (la ausencia de esta señalización es lo contrario), tipo de excitación y su respetiva característica, y por último el número del dato. Por ejemplo para el dato 530NHGMF01.MAT su especificación es :

así para algunos casos : 530NHGM01.MAT : Dato 01 de la viga sin fractura de 530mm, normalizada, excitada con martillo con punta verde y masa adicional. 1000HW10.MAT: Dato 10 de la viga sin fractura de 1000mm, excitada con martillo con punta blanca.

118

600NS100F05.MAT: Dato 05 de la viga con fractura de 600mm, normalizada, excitada con shaker a 100Hz. Dentro de estos datos existen muchas variables generadas por el propio analizador HP, los datos de importancia son : c1: señal del acelerómetro uno c2: señal del acelerómetro dos c4: señal del acelerómetro tres c5: señal del sensor de fuerza del martillo Para poder procesar los datos primero fue necesario obtener un promedio en el tiempo de los diferentes datos. Para esto solo se usan tres muestras significativas, por lo cual se pudo escoger entre los mejores datos, observando su comportamiento tanto en el tiempo como en frecuencia, para sacar su promedio y obtener un conjunto de datos representativos del fenómeno. Una vez obtenidas estas muestras, se procesan obteniendo su PSD y BIS, en algunos casos también sus BISxyz (BIS cruzados) y Bismd (BIS modificado). Estos datos se guardan en archivos que representan a una viga (con y sin fractura), y se especifica su tipo de excitación. Por ejemplo para una muestra de datos procesados, el archivo que se almacena se llama V530NHGM.MAT, su especificación es:

Dentro de estos datos se encuentra un conjunto de variables que representan los datos promediados, su procesamiento PSD y BIS, en algunos casos también BISxyz y BISmd, y los vectores de tiempo y frecuencia. Estas variables tiene las siguientes designaciones:

119

de ese dato se obtiene

vector de tiempo : t

vector de frecuencia : f Por ejemplo, algunos de los datos procesados de V530NHGM.MAT son: V530NHGM : Viga de 530mm con acelerómetros ubicados de forma normalizada,

excitada con martillo, punta verde y masa adicional. d12 : datos del acelerómetro dos, caso sin fractura. d23 : datos del acelerómetro tres, caso con fractura. psd12 : PSD del los datos del acelerómetro dos, caso sin fractura. psd23 : PSD del los datos del acelerómetro tres, caso con fractura. bis12 : BIS del los datos del acelerómetro dos, caso sin fractura. bis23 : BIS del los datos del acelerómetro tres, caso con fractura. bismd12 : BIS modificado de los datos del acelerómetro dos, caso sin fractura. bisxyz1_xxy : BIS cruzado del acelerómetro uno, forma xxy.

120

6.2.2 Resultados de las experimentaciones Una vez especificados los datos a través de la nomenclatura presentada, se procesan con las rutinas creadas en Matalb para este trabajo. El análisis de los resultados obtenidos es el que a continuación se presenta. Para hacer el procesamiento de los datos, es necesario especificar que el tiempo de muestreo del analizador HP es de 0.4883x10-3seg. Por lo tanto, su espaciamiento en frecuencia estará en función de la longitud de los datos obtenidos tal y como se especificó en el capítulo 3, sección 3.3.2. Las primeras experimentaciones fueron aquellas en las cuales se colocó a los sensores en posiciones respecto a los nodos, estos datos cuentan con un espaciamiento mínimo de frecuencia de 8Hz. El espaciamiento (resolución) en frecuencia no es adecuado, pues es necesario que el espaciamiento registre claramente los detalles del comportamiento de cada una de las frecuencias naturales de la viga (mayor resolución). Con estas experimentaciones se pudo observar que las diferencias en las magnitudes de las distintas frecuencias de la PSD están en función de la colocación de los sensores en la viga y la excitación. Si un sensor se encuentra en una cresta o valle de un modo, este modo tendrá una amplitud grande, pero si está en un nodo, este modo tendrá una magnitud muy pequeña o nula. Por esta razón para algunas frecuencias sus picos son muy grandes y para otros pequeños. Además, la fuerza de la excitación puede producir el aumento de determinados modos, y está directamente en función de las puntas usadas y la masa de golpeo. La masa agregada excita las bajas frecuencias, la punta roja es suave y filtra el golpe excitando frecuencias bajas, la punta verde es poco suave y excita a las bajas y medianas frecuencias, mientras que la blanca excita las altas frecuencias, la metálica excita las muy altas. Para mejorar la resolución de los datos se programaron nuevas experimentaciones donde los sensores fueron ubicados en forma normalizada y la resolución espectral fue aumentada para obtener mejores resultados. Estas experimentaciones se resumen en la Tabla 6.4. Un estudio detallado se presenta en la Tabla 6.5. Posteriormente se analizan los resultados obtenidos. Tabla 6.5 Resumen de los resultados del procesamiento de los datos

experimentales

121

donde:

dxy = dato del caso de viga (x) del acelerómetro número y. f = frecuencia obtenida experimentalmente [Hz]

f1 = frecuencia 1 del BIS [Hz] f2 = frecuencia 2 del BIS [Hz]

Amplitud = amplitud del pico de frecuencia [adimensional] fase = fase del acoplamiento de f1 y f2 [rad]

0

0%f

fff

−=Δ = porcentaje de variación

La continuación de la Tabla 6.5 se puede ver en el Anexo III y la completa en el CD de la tesis. De acuerdo a los resultados de la Tabla 6.5, se encontró que la magnitud de los picos no puede ser una referencia de comparación para evaluar los resultados obtenidos, ya que dependen no solo de la posición respecto a la viga sino también de la fuerza de excitación. Con el martillo no es posible tener un golpe exactamente igual a otro; aunque se acerque en su magnitud su contenido espectral es diferente. Con la resolución en frecuencia de 1Hz, se determinaron con precisión las frecuencias naturales de las vigas y se encontraron diferencias entre los resultados obtenidos de las vigas con y sin fractura. Estudiando casos particulares, se pueden observar estas diferencias a continuación. Para los datos V530NHG, viga normalizada de 530mm de longitud y excitada con martillo y punta verde, las gráficas del PSD con y sin fractura del acelerómetro tres muestran el corrimiento de las frecuencias naturales hacia la izquierda debido a la fractura, como se en la Figura 6.6. El corrimiento de la frecuencia natural (fnat) de 391.51Hz a 393.1Hz es un caso en particular de todas las experimentaciones realizadas. Es la única frecuencia que se recorre hacia el lado derecho del plano. Las demás frecuencias de la misma experimentación se recorren hacia la izquierda, lo que afirma que los corrimientos de las frecuencias se dan hacia esa dirección. En todas las experimentaciones las frecuencias se recorren a la izquierda sin importar el tipo de excitación e incluso la colocación de los sensores. Estos corrimientos en Hertz indican el desplazamiento de las frecuencias naturales del sistema debido a la fractura, es decir, al cambio de rigidez del sistema. La manera en que pueden ser estudiados estos corrimientos de los datos con y sin fractura es a través de porcentajes.

Continuación Tabla 6.5 Resumen de los resultados del procesamiento de los datos experimentales

122

donde : fnat = frecuencia natural

Figura 6.6 Caso V530NHG, corrimiento de las frecuencias naturales

Sacando la cantidad de variación individual de cada corrimiento se pueden estudiar tanto individual como grupalmente. La forma de obtenerlo es restarle a la frecuencia natural original, la nueva frecuencia obtenida con la fractura y dividirlo entre la original :

0

0%f

fff

−=Δ (6.1)

donde: %Δf : porcentaje de variación de la frecuencia

fo : frecuencia original (sin fractura) f : frecuencia medida (con fractura)

123

Los porcentajes de variación para el caso V530NHG son :

2da fnat : 4.54%, 3ra fnat : 0.4%, y 4ta fnat : 4.29% Obteniendo los porcentajes de variación de cada frecuencia se puede ver que la fractura no afecta de la misma forma a las diferentes frecuencias naturales, pero si a cada frecuencia natural en un porcentaje que es repetitivo para los diferentes tipos de excitación como se puede observar en la Tabla 6.5. Otro caso V870NHRM, viga normalizada de 870mm excitada con martillo y punta roja y masa adicional, las gráficas del PSD con y sin fractura del acelerómetro tres muestran el corrimiento de las frecuencias naturales hacia la izquierda debido a la fractura, como se muestra en la Figura 6.7.

Figura 6.7 Caso V870NHRM, corrimiento de las frecuencias naturales

124

Los porcentajes de variación para este caso son :

2da fnat : 2.9%, 3ra fnat : 4.1%, 4ta fnat : 1%, 5ta fnat : 0.6%, 6ta fnat : 3.1%, y 7ma fnat :1.6%.

Igualmente, se puede observar que la fractura no afecta de la misma forma a las diferentes frecuencias naturales, pero si cada frecuencia natural presenta un porcentaje que es repetitivo para los diferentes tipos de excitación como puede observarse en la Tabla 6.5. Observando los porcentajes de variación de cada frecuencia y su comportamiento a lo largo de la viga se puede observar que las frecuencias que menos varían son aquellas en las que uno de sus nodos se encuentra cercano o muy cercano a la fractura. Si se ubica la fractura en la viga de longitud normalizada de la Figura 6.4 es posible observar lo que está ocurriendo. Para ambos casos se muestra la localización de la fractura en una viga de longitud normalizada en la Figura 6.8.

Figura 6.8 Ubicación de las fracturas en la viga de longitud normalizada para el caso V530NHG (a) y el caso V870NHRM (b).

Las posiciones de las fracturas (en forma adimensional) muestran los nodos más cercanos. Para el caso V530NHG los nodos más cercanos pertenecen a la tercera, quinta y séptima frecuencias naturales (ver Figura 6.8). Para este caso es la tercera frecuencia natural la que tiene menor porcentaje de variación. Para el caso V870NHRM, es el quinto modo de vibración, además también se puede observar

(a)

(b)

125

que a medida que se alejan los nodos de las frecuencias naturales aumenta su variación. El porcentaje de variación es sensitivo al más pequeño cambio de distancia de los nodos respecto a la frecuencia. Esto se observa claramente para el caso V870NHRM donde se encuentran tres modos involucrados, uno de los nodos del cuarto, quinto y séptimo modo, respectivamente, está muy cerca de la fractura. La diferencia son de micrómetros y sin embargo el porcentaje alcanza a diferenciar las separaciones de estos nodos con la fractura. Tanto en la Figura 6.4 como en la Figura 6.8 las posiciones de los nodos son aproximadas, incluso los nodos involucrados del cuarto y el séptimo modo están en la misma posición. Si se obtienen las posiciones más precisas de la Tabla 6.3 , la ubicación de los nodos relacionados son el segundo nodo del cuarto modo (n42=0.644088), tercer nodo del quinto modo (n53=0,723224) y el cuarto nodo del séptimo modo (n74=0.653813), la diferencia será entonces :

nodo del ubicaciónfractura lade ubicación −=Δx (6.2)

045562.0644088.068965.01 =−=Δx

033574.0723224.068965.02 =−=Δx

035837.0653813.068965.03 =−=Δx

donde : Δx = distancia absoluta entre la fractura y el nodo

siendo Δx2 la más pequeña, la que pertenece al nodo del quinto modo. De aquí que con estos porcentajes de variación, es decir, los corrimientos de las frecuencias naturales pueden ayudar a obtener la posible ubicación de las fracturas. La razón que puede justificar el comportamiento de la frecuencia de 391.51Hz a 393.1Hz en el caso V530NHG (único corrimiento a la derecha) es que uno de los nodos de esa frecuencia natural se encuentra muy cercano a la fractura; prácticamente en la fractura. No es posible saber exactamente donde se ubica dicho nodo porque, tal y como se mencionó anteriormente, la fractura cambia la rigidez del sistema y es la causa del desplazamiento de las frecuencias naturales. Este desplazamiento de la frecuencia también afecta a su modo de vibración, es decir, a su desplazamiento. Por tanto los nodos de las frecuencias naturales de una viga con fractura también se desplazarán como las frecuencias y se ubicarán en una nueva posición. Para los mismos casos de las vigas V530NHG y V870NHRM se analiza el BIS. La comparación de los picos de las magnitudes del BIS en los casos con fractura y sin fractura muestran diferencias tal y como se observa en la Tabla 6.5. Específicamente para el acelerómetro tres en la Figura 6.9, se pueden observar más acoplamientos en el caso sin fractura que en el caso con fractura.

126

Figura 6.9 Vista de planta del BIS para: caso V530NHG sin fractura (a) y con fractura (b),

y caso V870NHRM sin fractura (c) y con fractura (d).

La variación frecuencial del BIS no es un indicador que pueda ayudar a determinar explícitamente la presencia de las fracturas. En otros casos en contraste, el contenido de acoplamientos de la magnitud del BIS con fractura contiene más picos (acoplamientos) o el mismo número, y no varían en forma común. La magnitud de los acoplamientos de frecuencias específicas, varía en los datos con y sin fractura como se ve en la Figura 6.10. Con estas variaciones no se puede determinar explícitamente la presencia o la magnitud de la fractura. La magnitud de los picos de acoplamientos del BIS está en relación directa con las magnitudes de los picos de las frecuencias de la PSD de la misma señal y, como se explicó anteriormente, las variaciones en las magnitudes de la PSD están en función de la colocación de los sensores en la viga y la excitación.

127

Figura 6.10 Variación de la magnitud del acoplamiento de BIS para el caso

V530NHG. Donde el acoplamiento sin fractura (391.9, 391.9) es (a) y el acoplamiento con fractura (393.9, 393.9) es (b)

Las magnitudes de los picos importantes en la magnitud del BIS dan la información de los acoplamientos que existen entre las frecuencias de las vigas. Si una frecuencia tiene una magnitud grande (observada desde el PSD), ésta tendrá picos de acoplamiento grandes. Magnitudes pequeñas tendrán acoplamientos pequeños. Observando los acoplamientos para determinar cuales de ellos dominan en los diferentes casos, en la Figura 6.11 se puede observar que la magnitud de los acoplamientos varía para cada sensor, mostrando un comportamiento no común para cada experimentación y tampoco muestra tendencias de aumento o decremento de los mismos a causa de la presencia de la fractura. Por lo tanto las magnitudes de los picos de acoplamiento en el BIS, en este trabajo, no pueden ser tomados en cuenta para determinar la presencia explícita de fractura o indicaciones de posición o tamaño de la misma.

f1

f1

f1

f1

f2

f2

f2

f2

|BIS|

|BIS|

128

Figura 6.11 Biespectro del caso V530NHG sin fractura (a1) y con fractura (a2),

y del caso V870NHRM sin fractura (b1) y con fractura (b2) Lo que si es importante de estos resultados es el análisis los acoplamientos que surgen entre las diferentes frecuencias y en algunos casos las descomposiciones de las mismas en otras. Por ejemplo, para el caso V870NHRM los acoplamientos de importancia se dan entre las diferentes frecuencias naturales de la viga y algunos son descomposiciones de las mismas frecuencias naturales (ver Figura 6.12). Del BIS de la Figura 6.12, se observan tres tipos de acoplamientos importantes; los que se dan entre diferentes frecuencias naturales del sistema, los que una frecuencia natural se acopla consigo misma (cuadrático), y los que una frecuencia natural se descompone en dos diferentes frecuencias que sumadas dan el valor de esa frecuencia natural.

f1

f1

f1

f1

f2 f2

f2 f2

|BIS| |BIS|

|BIS| |BIS|

129

(146,146) : 146+146=292 → 4ta fnat (148, 144) : 148+144=292 → 4ta fnat (148, 148) : 148 cuadrático → 3ra fnat (292, 148) : acoplamiento entre la 4ta y 3ra fnat (292, 190) : 292+190=482 → 5ta fnat (292, 292) : 292 cuadrático → 4ta fnat (426, 292) : 426+292=718 → 6ta fnat (482, 292) : acoplamiento entre la 5ta y 4ta fnat (482, 482) : 482 cuadrático → 5ta fnat (718, 292) : acoplamiento entre la 6ta y 4ta fnat

Figura 6.12 Biespectro de planta para el caso V870NHRM sin fractura

Estos acoplamientos dan información de cuales frecuencias son las que se acoplan entre sí para diferentes sistemas, diferentes vigas, dando información sobre su comportamiento dinámico. El comportamiento en general de estos acoplamientos no muestra patrones de reconocimiento para la posible detección de fracturas, pues las variaciones de estos para los casos con y sin fractura depende de las frecuencias naturales del sistema en particular. Por ejemplo, para el mismo caso el BIS de la viga con fractura es el que se muestra en la Figura 6.13. En el BIS de la viga con fractura se puede observar menos acoplamientos que en el caso sin fractura. Pero para otros casos se presentan los mismos acoplamientos, mientras que en otros más.

f1

f2

130

(144, 144) : 144 cuadrático → 3ra fnat (288,190) : 288+190=478 → 5ta fnat (288, 288) : 288 cuadrático → 4ta fnat

Figura 6.13 Biespectro de planta para el caso V870NHRM con fractura Cabe señalar que esta información de acoplamientos entre pares de frecuencias obtenidos con el BIS, no se puede obtener con el PSD. La información generada por estos acoplamientos requiere más estudios. La fase el BIS es una información adicional que aporta el uso de esta herramienta. Estudiando las diferentas fases del BIS obtenido se encontró que no es posible usar la información de la fase para su estudio. La fase del BIS de las señales de vibración muestra patrones que varían para cada acelerómetro, para cada experimentación y para la condición de fractura o no. Las variaciones la fase del BIS se pudieron comprender debido a su comportamiento complejo y no muestra tendencias para los diferentes casos. Por ejemplo, para el caso V530NHG la fase del BIS forma triángulos aleatorios, como la de todos los casos, de diferentes magnitudes para los diferentes sensores y también son diferentes esas magnitudes con la presencia de fractura o no (ver Figura 6.14). Si se desea hacer un análisis respecto a los acoplamientos cuadráticos de fase, regiones donde la magnitud de la fase es cero, los resultados indican que estos acoplamientos varían en forma aleatoria para los diferentes casos, siendo imposible detectar la presencia de fracturas mediante los acoplamientos cuadráticos de fase. En un estudio particular, si se obtiene la fase del los picos (acoplamientos) importantes de la magnitud del BIS (ver Tabla 6.5), se muestra que la fase varía en forma no común. Algunas veces se disminuye la fase, otras aumenta y en otras ocasiones cambia de signo. Por lo que tratar de estudiar la fase solo para los puntos importantes de la magnitud no da información trascendente para este estudio.

f1

f2

131

Figura 6.14 Fase del BIS del caso V530NHG. (a) sin fractura y (b) con fractura

Dentro de las experimentaciones también se usó el excitador electromecánico, el cual puede proporcionar una fuerza constante de excitación. Con el excitador se hizo oscilar a la viga en diferentes frecuencias para estudiar su comportamiento. Los resultados no dieron nueva información del sistema con la cual se pudieran detectar fracturas. En general en las experimentaciones, como ocurre en la teoría, la viga vibra a la frecuencia de excitación y no se presenta ninguna otra frecuencia, tampoco existen variación de la magnitud o corrimiento de la frecuencia como se ve en la Figura 6.15. El uso del BIS en el procesamiento de las señales de vibración da resultados que necesitan ser estudiados detalladamente, la intención de poder obtener resultados solo de las señales de vibración de la viga fracturada que revelaran la presencia de las fracturas no fue posible. En los análisis siempre se requiere de información a priori, ya sea de datos de experimentaciones iniciales, datos de modelos teóricos o numéricos.

f1f1f1

f1 f1 f1

f2f2f2

f2f2f2

132

Figura 6.15 PSD y BIS de la viga de 600mm usando el excitador:

viga sin fractura (a) y con fractura (b) De este hecho surge la idea de hacer un estudio del BIS relacionando los datos obtenidos de las vigas íntegras y de las fracturadas, además de usar una modificación del BIS para resaltar la información de la fase. Para estos nuevos estudios solo se requiere la información obtenida de las experimentaciones anteriores. Primero con los biespectros obtenidos se obtuvieron los biespectros modificados (BISmd). El BISmd es una herramienta ayuda a estudiar, cuando es necesario, el acoplamiento de fase de las dos frecuencias del BIS. Aplicando el BISmd a los BIS obtenidos anteriormente, se obtienen los resultados que se muestran en la Tabla 6.6. En algunos casos el BISmd no varió respecto al BIS excepto por la magnitud de los picos existentes (ver Figura 6.16), en otros resaltó más algunos picos de unos acoplamientos y disminuyó algunos (ver Figura 6.17), pero no dio información adicional al estudio y tampoco ayudó a formar parámetros para la detección de fracturas.

f2

f2

f1

f1

f

f

|PSD|

|PSD|

133

Tabla 6.6 Biespectro modificado de los datos experimentales

donde:

f1 = frecuencia 1 del BISmd [Hz] f2 = frecuencia 2 del BISmd [Hz]

Amplitud = amplitud del acoplamiento de f1 y f2 [adimensional]

La continuación de la Tabla 6.6 se puede ver en el Anexo III y la completa en el CD de la tesis.

Figura 6.16 Biespectro del acelerómetro tres (a) y biespectro modificado (b), caso

V530NHGM sin fractura

f1

f1

f2

f2

134

Figura 6.17 Biespectro del acelerómetro tres (a) y biespectro modificado (b), caso

V530NHGM con fractura Seguidamente, para relacionar los datos de las vigas con y sin fractura se usa la función del BIS cruzado (BISxyz). Como en general el BISxyz se define como BISxyz(), siendo x, y y z los vectores de datos, para este estudio solo se utilizan dos vectores de datos, los de vigas con y sin fractura. Para distinguir los datos se define a x como el vector de datos de la viga sin fractura y y el de la viga con fractura. Las posibilidades son : BISxyy, BISxyx, BISxxy, BISyyx, BISyxy y BISyxx. Los vectores de datos de vibración de las vigas con y sin fractura se relacionan en el BISxyz para obtener las variaciones y relaciones entre ellos. Para poder relacionarlos de forma correcta es necesario que la excitación sea la misma para ambos casos y que los sensores tengan las mismas características. Como esto no es posible, lo que se hace es normalizar los datos en el tiempo obtenidos por los sensores, así la máxima amplitud en el tiempo de los datos será uno. Debido a que el acelerómetro tres es el que mejor muestra el contenido frecuencial de las experimentaciones, un resumen de los resultados solo para el acelerómetro tres se muestra en la Tabla 6.7.

f2

f2

f1

f1

135

Tabla 6.7 Biespectro cruzado para el acelerómetro tres de los datos experimentales

donde: f1 = frecuencia 1 del BISxyz [Hz] f2 = frecuencia 2 del BISxyz [Hz]

Amplitud = amplitud del acoplamiento de f1 y f2

La continuación de la Tabla 6.7 se puede ver en el Anexo III y la completa en el CD de la tesis. Observando los resultados de la Tabla 6.5, el comportamiento en general del BISxyz no es común para las diferentes experimentaciones. Las formas del BISxyz, producto de las amplitudes de los acoplamientos, varían aleatoriamente por lo que no se puede hacer uso de ellas para su estudio. Sin embargo, pueden hacerse estudios particulares de los diferentes acoplamientos surgidos entre las frecuencias. La región que interesa del BISxyz será solo la franja diagonal donde surgen los acoplamientos cuadráticos (ver Figura 6.18).

Figura 6.18 Región diagonal

136

La principal razón por la que se estudia solo esta región radica en la información que dan los diferentes tipos de acoplamientos. Como se explicó anteriormente, son tres tipos de acoplamientos los que nos dan la información del comportamiento de las vigas. Para todos ellos no fue posible hacer uso de su magnitud; tampoco se ha podido explicar porqué se asocian diferentes frecuencias naturales de la viga o porqué algunas se descomponen en otras. Así solo queda estudiar las frecuencias naturales del sistema solas, que en el BIS se encuentran asociadas consigo mismas (o acoplamiento cuadrático), que se encuentran solo en la región diagonal. Por ejemplo para el caso V530NHG, el BISxxy tiene acoplamientos solo entre las frecuencias del vector x (ver Figura 6.19), mientras que para el BISxyy los acoplamientos se dan entre las diferentes frecuencias naturales de los vectores x y y (ver Figura 6.20).

Acoplamientos . (392, 392) : cuadrático de 392 → 3ra fnat

(140, 140) : cuadrático de 140 → 2da fnat

Figura 6.19 BISxxy del acelerómetro tres del caso V530NHG

Acoplamientos . (394, 392) : cuadrático entre la 3ra fnat de x y y

(134, 140) : cuadrático entre la 2da fnat de y y x

Figura 6.20 BISxyy del acelerómetro tres del caso V530NHG

f2

f1

f2

f1

137

Con estos resultados se puede observar que las frecuencias naturales de los diferentes casos se acoplan entre sí, siendo posible identificar las frecuencias naturales de los casos con y sin fractura. Para los resultados de los BISxyz se obtiene que : BISxxy : dominan las frecuencias del vector x, produciendo acoplamientos cuadráticos solo entre sus frecuencias. BISyyx : dominan las frecuencias del vector y, produciendo acoplamientos cuadráticos solo entre sus frecuencias. BISxyy, y BISxyx : Acoplan las frecuencias de ambos vectores produciendo acoplamientos cuadráticos, entre las originales (sin fractura) y las desplazadas (con fractura), de las frecuencias naturales. Para estos dos casos en el eje de frecuencias f1 se encuentran las frecuencias de la viga fracturada y en el eje f2 las frecuencias de la viga sin fractura. BISyxy y BISyxx : Acoplan las frecuencias de ambos vectores produciendo acoplamientos cuadráticos, entre las originales (sin fractura) y las desplazadas (con fractura), de las frecuencias naturales. Para estos dos casos en el eje de frecuencias f1 se encuentran las frecuencias de la viga sin fractura y en el eje f2 las frecuencias de la viga con fractura. Es así que con el uso del BISxyz, si se puede detectar la presencia de las fracturas, además, estos acoplamientos indican directamente las diferentes frecuencias (los desplazamientos) de las experimentaciones encontrados con el PSD. Esto muestra explícitamente que los desplazamientos ocurren debido a la presencia de la fractura, Otra forma de relacionar los datos de los casos con y sin fractura es obteniendo su BIS, restarlos y obtener su diferencia. Esta relación es muy sencilla pero en concepto se trata de comparar los resultados de ambos BIS. Si no existiera ninguna fractura el resultado de la resta se aproximaría a cero, lo que indicaría que no existen diferencias en las experimentaciones. Por el contrario, si no resulta en cero, indicará que existen variaciones entre las experimentaciones. La forma de calcular la diferencia es la siguiente:

baBISBIS

dif 0BIS −= (6.3)

donde:

( )( )0BISmaxmax=a

( )( )BISmaxmax=b

difBIS : diferencia del biespectro

BISo : Biespectro original (sin fractura) BIS : Biespectro medido (con fractura)

Los resultados que arrojan estas diferencias revelan que existen picos, por lo tanto son diferentes de cero (ver Tabla 6.8), estos resultados se esperaban pues se

138

comparan los datos con y sin fractura. Tabla 6.8 Diferencias de los biespectros de los datos experimentales

donde:

f1 = frecuencia 1 de la diferencia [Hz] f2 = frecuencia 2 de la diferencia [Hz]

Amplitud = amplitud del acoplamiento de f1 y f2 [adimensional] fase = fase del acoplamiento de f1 y f2 [Hz]

La continuación de la Tabla 6.8 se puede ver en el Anexo III y la completa en el CD de la tesis. A pesar de haber normalizado el BIS, las magnitudes no pueden ser una característica comparativa; pero pueden analizarse los resultados en particular. Al igual que en el BISxyz, la región de interés será la diagonal de la Figura 6.18, pues en ella se encontrarán las frecuencias naturales de cada viga. Por ejemplo, para el caso V530NHG se pueden encontrar la frecuencias naturales de la viga a lo largo de la diagonal, pero no se encuentran solas, se encuentran pares de acoplamientos cuadráticos como se ve en la Figura 6.21. Unos acoplamientos pertenecen a los datos originales (sin fractura) y otros a los medidos (con fractura). Estas diferencias indican el desplazamiento de las frecuencias. A media que los picos estén más retirados, más desplazamiento habrá ocurrido, y viceversa.

139

(a) (b)

Figura 6.21 Corrimiento de los acoplamientos. (a) 3ra fnat : 392Hz sin fractua y 394Hz con fractura (b) 2da fnat : 134Hz con fractura y 140Hz sin fractura

De acuerdo al procesamiento de los datos de las experimentaciones, se obtienen las siguientes conclusiones: - Las diferencias en las magnitudes de las distintas frecuencias de la PSD están en función de la colocación de los sensores en la viga y la excitación. - El acelerómetro tres muestra un mayor contenido frecuencial en comparación con los otros (ver Tabla 6.5). Su posición, que es la más lejana al empotramiento, le permite registrar mejor los movimientos debido a las vibraciones. - La diferencia entre las frecuencias naturales calculadas teóricamente y las obtenidas experimentalmente es de 2.4%. - Las magnitudes del PSD y BIS en estas experimentaciones no proporcionan información que ayude a determinar la presencia de fracturas en las vigas, para ello es necesario un excitador capaz de golpear a la viga a una fuerza determinada. - Los resultados del excitador no proporcionaron información valiosa al estudio a pesar de poder excitar a la viga a una frecuencia y magnitud constante. - Tomando como referencia las frecuencias obtenidas de las vigas sin fractura, su comparación con los resultados de las vigas con fractura muestran que existen corrimientos en la frecuencia en estos datos. Los corrimientos en general son hacia la izquierda del plano, esto debido a la disminución de la rigidez del sistema y por tanto disminución del valor de las frecuencias naturales. Con esto se puede detectar explícitamente la fractura. - El comportamiento de la primera frecuencia natural es errático. A pesar de ser la frecuencia que da la información más general del comportamiento del sistema por

f1 f1

f2 f2

140

ser la más baja, sus variaciones porcentuales no obedecen el comportamiento de las demás; razón por lo que el estudio de su comportamiento es omitido en este trabajo, para la formulación de los patrones que ayuden a la identificación de las fracturas. La ausencia de nodos, puede ser la razón de que su comportamiento no sea del todo parecido al de las demás. - Los corrimientos medidos en forma porcentual muestran que la fractura se relaciona directamente con los nodos de las frecuencias naturales. A medida que un nodo de una frecuencia natural se aleja de la fractura, el porcentaje de desplazamiento es mayor; y a medida que se acerca un nodo a la fractura, la frecuencia natural presenta menores variaciones o es cero. - Los picos mostrados por el BIS son debidos a los acoplamientos entre las diferentes frecuencias naturales del sistema (la viga), y en algunos casos es la descomposición de una frecuencia natural en particular en otras. La razón por la que algunas frecuencias naturales se descomponen en ciertas frecuencias en particular no se ha podido explicar claramente. - La variación en el contenido frecuencial (acoplamientos) del BIS y la forma en que se acoplan las diferentes frecuencias naturales, no ayudó a formar patrones de reconocimiento para la detección de fracturas de manera explícita en este trabajo. Sin embargo requiere más estudio. - Las variaciones de la fase del BIS y los acoplamientos cuadráticos de fase no muestran un comportamiento común. La forma en que varían muestra patrones que no ha sido posible explicar. - Los análisis de PSD y BIS requieren información a priori de las condiciones iniciales, es decir, tener un historial de datos, los cuales puedan ser comparados. - El uso del BIS modificado en este trabajo no dio nuevos resultados para el estudio y no ayudó a formar parámetros para detectar las fracturas. -En el estudio particular, solo la franja diagonal correspondiente a los acoplamientos cuadráticos, del BIS cruzado ayudó a identificar los acoplamientos entre las frecuencias de los casos con y sin fractura. Dos formas son las que muestran en f1 las frecuencias de los datos con fractura (xyy y xyx), dos formas muestran en f1 las frecuencias de los datos sin fractura y en dos formas prevalecen los datos de un vector (x en xxy y y en yyx). Con esto se puede detectar explícitamente la fractura y los corrimientos de las frecuencias naturales. - Igualmente, el estudio particular de la diferencia propuesta ayuda a identificar las frecuencias naturales de cada caso, viga con y sin fractura, y sus desplazamientos.

141

Conclusiones En base a este capítulo, tanto de la experimentación como del procesamiento y análisis de resultados, se pueden dar las siguientes conclusiones. En las experimentaciones existen muchas variables implicadas que afectan directamente los resultados. La clasificación de cada una de ellas es vital para el análisis de resultados. Una de las variables que afecta más a los resultados del estudio es la posición de los acelerómetros. Para determinar la posición de los acelerómetros es necesario establecer primero las necesidades del estudio, entidades a comparar o estudiar de los diferentes casos de experimentación. La excitación de la viga es la segunda variable más importante. Una variación en la excitación, un golpe doble, irregular o en distinto sitio, puede cambiar radicalmente los resultados del procesamiento. EL uso del PSD y BIS en el análisis de las señales de vibración de una viga en cantiliver ha mostrado las ventajas y desventajas de cada uno. Por ejemplo, con el PSD es muy sencillo encontrar los corrimientos de frecuencia debido a la presencia de la fractura, el BIS los detecta pero comparando su proceso de cálculo con el PSD tiene desventaja. En cambio, el BIS a diferencia del PSD mostró acoplamientos entre diferentes frecuencias dando información adicional del proceso, motivo principal por el cual fue propuesto el uso de esta herramienta. Los corrimientos de frecuencia de las señales de vibración detectados por el PSD, BIS cruzado y la diferencia del BIS sirvieron para detectar la presencia de fractura. Con estos corrimientos fue posible relacionar los nodos de las diferentes frecuencias naturales con la fractura, dando parámetros de su posible ubicación.

143

7. Verificación de

resultados obtenidos El objetivo principal de este capítulo es validar los resultados obtenidos en el capítulo 6. Para ello se hacen simulaciones en elemento finito de un caso de estudio y sus resultados se comparan con los obtenidos experimentalmente. Además, se presenta el uso de acelerómetros micro-electromecánicos integrados (iMEM’s) para el estudio. Se estudia el comportamiento de los iMEM’s y se obtienen las frecuencias naturales longitudinales y torsionales de las vigas que no fue posible obtener con los acelerómetros piezoeléctricos usados en las experimentaciones del capítulo 6.

7.1 Simulación en elemento finito Como parte del estudio dentro de este trabajo de tesis se llevó a cabo la simulación de un caso de experimentación para corroborar los resultados obtenidos experimentalmente. Las simulaciones se hicieron en un programa comercial de simulación de elemento finito (Algor). Primeramente se elaboró una simulación de la viga experimental usando el elemento finito tipo viga (beam). Posteriormente se procedió a elaborar una simulación usando elemento finito tipo isotrópico de dos dimensiones (2D), para la viga con y sin fractura. Finalmente se realizó la simulación en tres dimensiones (3D) de la viga con un elemento finito tipo ladrillo (brick), el cual también se

144

simuló con y sin fractura. Todas las simulaciones se llevaron acabo utilizando el caso de la viga experimental de 870mm de longitud (caso V870NHRM), la cual se muestra en la Figura 7.1.

Figura 7.1 Viga de 870mm 7.1.1 Elemento finito tipo viga Para este caso se uso el elemento finito tipo viga (beam). La viga se dibujó en el paquete Superdraw, el cual esta incluido en el software de Algor, como una línea de 870mm y se le dio sus primeras características, las cuales fueron el sistema de unidades a utilizar, Sistema Internacional (SI). Se definió la vista predefinida YZ-derecha, la cual se usa para posteriormente dibujar el elemento finito tipo viga, además, se dividió la línea en 20 elementos. Este modelo discreto de la viga creado, con el nombre de beamelement.esd, se guarda para posteriormente transferir el mismo al editor de objetos de elemento finito en Algor. Con el modelo discreto de la viga en elemento finito se procedió a fijar el mismo en un extremo agregándole condiciones de frontera. En este caso se fijó en un extremo para simular el empotramiento de la viga en cantiliver. Se seleccionó el tipo de análisis a realizar, el cual fue formas modales lineales y frecuencias naturales (Linear Mode Shapes and Natural Frequencies). Los principales parámetros de la simulación fueron el número de frecuencias o modos a calcular en el modelo y para este caso se seleccionaron diez. Se define el tipo de elemento finito viga, se calculan y capturan sus propiedades en el editor de vigas (beam editor), como se muestra en la Figura 7.2. Estas propiedades están definidas como:

hb A ⋅= (7.1)

1.177A S , S a3a2 = (7.2)

( ) ( ) ( )3

44

1 12121.3

1 J hbhb

hb

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= (7.3)

12hb I

3

2 = (7.4)

145

12bh I

3

3 = (7.5)

( )2b

I S 22 = (7.6)

( )2h

I S 33 = (7.7)

donde :

A = Sección de área cruzada Sa2 , Sa3 = áreas de corte en las direcciones z y x. J1 = constante torsional I2 = momento de inercia respecto del eje z. I3 = momento de inercia respecto del eje x. S2 = modulo seccional respecto del eje z. S3 = modulo seccional respecto del eje x. h = altura de la viga b = base de la viga

Figura 7.2 Editor de vigas con sus principales valores

Después de salvar las propiedades capturadas en el editor de vigas se definió el tipo de material, que de acuerdo a las vigas experimentales es acero (4130). Una vez salvado el modelo se lleva acabo la simulación, la cual se despliega en Superview. Los resultados de las frecuencias naturales y sus formas obtenidas de la simulación se muestran en la Tabla 7.1 y en la Tabla 7.2 respectivamente.

146

Tabla 7.1. Frecuencias del elemento finito tipo viga

Frecuencia natural

Frecuencias naturales elemento finito tipo

viga [Hz] 1ª 8.98 2ª 56.00 3ª 69.22 4ª 156.08 5ª 304.26 6ª 420.29 7ª 500.09 8ª 742.29 9ª 1029.21 10ª 1124.91

Tabla 7.2. Formas de las frecuencias naturales tipo viga

Frecuencia naturales de las viga con elemento finito tipo beam (viga)

1ª 8.98Hz

2ª 56.00Hz

3ª 69.22Hz

4ª 156.08Hz

5ª 304.26Hz

6ª 420.29Hz

147

7ª 500.09Hz

8ª 742.29Hz

9ª 1029.21Hz

10ª 1124.91Hz

De acuerdo a los resultados obtenidos de las Tablas 7.1 y 7.2, con el elemento finito tipo viga solamente se obtienen las frecuencias laterales y las longitudinales. Si se comparan las frecuencias laterales con las obtenidas experimentalmente y teóricamente, Tabla 7.3, se puede observar variaciones cuantitativas pero los valores corresponden cualitativamente. De la simulación, las frecuencias naturales 1ª, 2ª, 4ª, 5ª, 7ª, 8ª y 9ª obtenidas del elemento finito pertenecen a las frecuencias laterales 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª y 7ª. Las frecuencias naturales 3ª, 6ª y 10ª pertenecen a las frecuencias naturales longitudinales 1ª, 2ª y 3ª.

Tabla 7.3 Comparación de frecuencias naturales

Frecuencias naturales


elemento finito tipo viga [Hz]

Frecuencias naturales teóricas

[Hz]


experimentales [Hz]

1ª lateral 8.98 8.7 7.9 2ª lateral 56.00 54.4 52.99 3ª longitudinal 69.22 - - 4ª lateral 156.08 152.3 148.88 5ª lateral 304.26 298.5 291.91 6ª longitudinal 420.29 - - 7ª lateral 500.09 493.4 481.90 8ª lateral 742.29 737.1 717.95 9ª lateral 1029.21 1029.5 1002.9 10ª longitudinal 1124.91 - -

Nota: el símbolo “ – ” indica que esas frecuencias no se determinaron.

Continuación Tabla 7.2. Formas de las frecuencias naturales tipo viga

148

7.1.2 Elemento finito tipo isotrópico El segundo elemento finito usado fue el tipo isotrópico 2D. Se hicieron modelos estructurales con y sin fractura. Su forma básica fue un rectángulo con origen en (0, 0, 0) y extremo opuesto en (0, 0.87, 0.0082), donde (x, y, z) son las coordenadas usadas. El rectángulo creado, que representa a la viga, fue mallado automáticamente y se dividió en 400 x 4 elementos (longitud x ancho), Figura 7.3. El modelo estructural se salvó como viga4002d.esx para pasarlo a el editor de objetos de elemento finito de Algor.

Figura 7.3 Modelo discreto de la viga en elemento finito El modelo se fijó en un extremo agregándole condiciones de frontera. El tipo de análisis es el mismo que en el elemento finito tipo viga. En el análisis se tomaron en cuenta sus principales parámetros como el número de frecuencias o modos a calcular, en este caso diez. Se definió el tipo de elemento finito isotrópico 2D, al cual solamente hay que agregarle el ancho del elemento finito que fue 0.0635m. Por último se selecciona el tipo de material que en este caso es acero (4130). Con el modelo completo, de nombre viga4002d.esx, se llevó acabo la simulación y sus resultados se muestran a continuación en la Tabla 7.4 y en la Tabla 7.5.

Tabla 7.4 Frecuencias naturales elemento finito 2D sin fractura

Frecuencias

naturales

Frecuencias naturales elemento

finito tipo 2D [Hz]

1ª 8.99 2ª 56.37 3ª 157.75 4ª 308.83 5ª 509.89 6ª 760.53 7ª 1060.32 8ª 1408.76 9ª 1477.79 10ª 1805.25

Acercamiento de la malla

149

Tabla 7.5. Frecuencias naturales del elemento finito tipo 2D sin fractura.

Frecuencia naturales de elemento finito tipo 2D sin fractura

1ª 8.99Hz

2ª 56.37Hz

3ª 157.75Hz

4ª 308.83Hz

5ª 509.89Hz

6ª 760.53Hz

7ª 1060.32Hz

8ª 1408.76Hz

9ª 1477.79Hz

10ª 1805.25Hz

De la misma manera en que se llevó acabo el modelo sin fractura, se construyó el elemento estructural de la viga con fractura. Pero en la región donde se ubica la fractura ya no se usa mallado automático. Es necesario un mallado más fino y construir manualmente la fractura, es decir, mallar alrededor del hueco generado por la fractura. En la Figura 7.4 se muestra acercamiento al mallado de la fractura.

150

Figura 7.4 Acercamiento del mallado de la fractura Una vez que el mallado de la fractura no tenia errores, se salvó el modelo como vigafrac4002d.esx. Con el modelo en elemento finito se utilizaron las mismas características que en el modelo sin fractura y los resultados se muestran en la Tabla 7.6 y la Tabla 7.7.

Tabla 7.6 Frecuencias naturales de la viga de elemento finito 2D con fractura

Frecuencias

naturales

Frecuencias naturales elemento

finito tipo 2D [Hz]

1ª 8.98 2ª 55.32 3ª 152.60 4ª 306.60 5ª 506.96 6ª 740.20 7ª 1048.65 8ª 1405.87 9ª 1469.76 10ª 1764.32

Tabla 7.7 Formas de frecuencias naturales del elemento finito en 2D

Frecuencia naturales de la viga de elemento finito tipo 2-D con fractura

1ª 8.98Hz

2ª 55.32Hz

0.3 mm

3mm

151

3ª 152.60Hz

4ª 306.60Hz

5ª 506.96Hz

6ª 740.20Hz

7ª 1048.65Hz

8ª 1405.87Hz

9ª 1469.76Hz

10ª 1764.32Hz

De acuerdo a los resultados se puede observar de las Tablas 7.5 y 7.7 que las frecuencias obtenidas por este modelo son solo las frecuencias naturales laterales, frecuencias que se obtuvieron con el elemento finito tipo viga y su comportamiento es equivalente. Comparando las frecuencias de la viga con y sin fractura, Tabla 7.8, las frecuencias de la viga fracturada se recorren hacia la izquierda, es decir, disminuyen su valor en Hertz. Estos resultados también se encontraron en las experimentaciones, por lo que ambos casos se justifican.

Tabla 7.8 Frecuencias naturales del elemento finito tipo 2D

Frecuencias

naturales


2D sin fractura (Hz).

Frecuencias naturaleselemento finito tipo

2D con fractura (Hz)

1ª 8.99 8.98 2ª 56.37 55.32 3ª 157.75 152.60 4ª 308.83 306.60

Continuación Tabla 7.7 Formas de frecuencias naturales del elemento finito en 2D

152

5ª 509.89 506.96 6ª 760.53 740.20 7ª 1060.32 1048.65 8ª 1408.76 1405.87 9ª 1477.79 1469.76 10ª 1805.25 1764.32

7.1.3 Elemento finito tipo ladrillo A partir del modelo en 2D se creó el nuevo modelo estructural en 3D. Los modelos originales con y sin fractura creados en 2D dentro de Superdraw se seleccionaron y se copiaron uniendo los elementos de un punto a otro para que formen un solo bloque. Para este caso el punto de origen fue (0, 0, 0) y el lugar final de su desplazamiento fue (0.0635, 0, 0) dando como resultado la viga en 3D. Se salvaron los modelos y se exportaron al editor de objetos de elemento finito de Algor. Ambas vigas en 3D se muestran en la Figura 7.5 y 7.6.

Figura 7.5 Modelo discreto en elemento finito de la viga sin fractura

Con el modelo en el editor de elemento finito se seleccionó el tipo de análisis formas modales lineales y frecuencias naturales (Linear Mode Shapes and Natural Frequencies). El análisis se realizó tomando en cuenta sus principales parámetros como el número de frecuencias o modos, en este caso diez. Se selecciono el tipo de elemento finito ladrillo isotrópico y se seleccionó el material acero (4130).

Continuación Tabla 7.8 Frecuencias naturales del elemento finito tipo 2D

153

Figura 7.6 Modelo discreto en elemento finito de la viga con fractura

Teniendo definidas todas las propiedades de los modelos se simula para ambos casos. Los resultados se muestran en las Tablas 7.9, 7.10 y 7.11. Tabla 7.9 Formas de frecuencias naturales para el elemento finito

tipo ladrillo 3D sin fractura. Modos de vibración de la viga en 3D con elemento finito tipo Brick (ladrillo) sin fractura.

9.03Hz (1) 56.62Hz (2)

154

69.48Hz (3) 158.49Hz (4)

228.97Hz (5) 310.51Hz (6)

425.13Hz (7) 513.21Hz (8)

688.79Hz (9) 766.47Hz (10) Tabla 7.10 Formas de frecuencias naturales del elemento finito

tipo ladrillo 3D con fractura

Modos de vibración de la viga en 3D con elemento finito tipo Brick (ladrillo) con fractura

9.02Hz (1) 55.65Hz (2)

Continuación Tabla 7.9 Formas de frecuencias naturales para el elemento finito tipo ladrillo 3D sin fractura.

155

69.44Hz (3) 152.74Hz (4)

228.73Hz (5) 308.48Hz (6)

421.21Hz (7) 510.30Hz (8)

685.16Hz (9) 747.34Hz (10)

Tabla 7.11 Frecuencias naturales del elemento finito tipo ladrillo

Frecuencias

naturales


ladrillo 3D sin fractura

[Hz]


ladrillo 3D con fractura

[Hz] 1ª lateral 9.03 9.02 2ª lateral 56.62 55.65 1ª longitudinal 69.48 69.44 3ª lateral 158.49 153.74 1ª torsional 228.97 228.73 4ª lateral 310.51 308.48 2ª longitudinal 425.13 421.21

Continuación Tabla 7.10 Formas de frecuencias naturales del elemento finito tipo ladrillo 3D con fractura

156

5ª lateral 513.21 510.39 2ª torsional 688.79 685.16 6ª lateral 766.47 747.34

De acuerdo a estos resultados, el análisis en 3D es el más completo ya que con éste es posible obtener las frecuencias naturales laterales, longitudinales y torsionales. Los resultados tanto de las frecuencias naturales laterales corresponden a los obtenidos en los modelos de elemento finito tipo viga y 2D, a las frecuencias obtenidas teóricamente y a las frecuencias obtenidas experimentalmente. Las frecuencias longitudinales obtenidas con el modo lineal y tridimensional son iguales. Las frecuencias naturales torsionales no se habían encontrado anteriormente. Los desplazamientos de las frecuencias naturales hacia la izquierda que fueron encontrados experimentalmente, se encontraron con los modelos en elemento finito justificando así los resultados obtenidos. Si para las frecuencias laterales obtenidas del modelo de 3D en elemento finito se obtienen las variaciones porcentuales de cada frecuencia, los porcentajes de variación son cualitativamente iguales a los obtenidos experimentalmente, como se ve en la Tabla 7.12. Tabla 7.12 Porcentajes de variación de las frecuencias obtenidas en elemento finito

tipo ladrillo 3D

Frecuencias

naturales


ladrillo 3D sin fractura (f0)

[Hz]


ladrillo 3D con fractura (f)

[Hz]

% de variación

0

0%f

fff

−=Δ

2ª lateral 56.62 55.65 1.71 3ª lateral 158.49 153.74 2.99 4ª lateral 310.51 308.48 0.65 5ª lateral 513.21 510.39 0.54 6ª lateral 766.47 747.34 2.49

donde : %Δf : porcentaje de variación de la frecuencia

fo : frecuencia original registrada f : frecuencia medida

Las variaciones porcentuales de las frecuencias laterales confirman las conclusiones presentadas en las experimentaciones, las cuales se encuentran en la Tabla 7.13. Las variaciones de las frecuencias naturales laterales dependen de la posición de sus respectivos nodos con la fractura. Al igual que en el capítulo 6, sección 6.2.2, no se hace el análisis de la primera frecuencia natural debido que tiene un comportamiento errático. Una comparación de las frecuencias naturales obtenidas por los diferentes modelos de elemento finito se muestra en la Tabla 7.14.

Continuación Tabla 7.11 Frecuencias naturales del elemento finito tipo ladrillo

157

Tabla 7. 13 Frecuencias y variaciones reales

Tabla 7. 14 Comparación de las frecuencias naturales obtenidas de los diferentes modelos de elemento finito



viga [Hz]

Frecuencias naturales elemento finito tipo isotrópico 2D [Hz]

Frecuencias naturales elemento finito tipo ladrillo 3D [Hz]

1ª lateral 8.98 8.99 9.03 2ª lateral 56.00 56.37 56.62 1ª longitudinal 69.22 - 69.48 3ª lateral 156.08 157.75 158.49 1ª torsional - - 228.97 4ª lateral 304.26 308.83 310.51 2ª longitudinal 420.29 - 425.13 5ª lateral 500.09 509.89 513.213 2ª torsional - - 688.79 6ª lateral 742.29 760.53 766.4705

Nota: el símbolo “ – ” indica que esas frecuencias no determinaron.

7.2 Uso de los iMEM’s en el análisis de vibraciones

Para el desarrollo del trabajo de tesis se consiguieron acelerómetros tipo iMEM’s de Analog Devices. Dos acelerómetros tipo ADXL210 y cuatro tipo ADXL202. Los modelos de ADXL202 no es recomendable usarlos para este trabajo ya que es muy pequeño su rango de operación y se puede exceder fácilmente (± 2g). Los acelerómetros usados son del tipo ADXL210 (± 10g), su hoja de datos se encuentra en el CD de esta tesis.

158

7.2.1 Características Sensor de aceleración de 2 ejes en un solo circuito integrado. Sensibilidad : ± 10g. Salidas digitales. Resolución de 2mg a 60Hz. Interfase directa vía el ciclo de trabajo de la salida. Ultra pequeño: 5mm x 5mm x 2mm. Ancho de banda ajustable con capacitores. Alimentación de 3V a 5.25V. Tolerancia de 1000g de choque. Bajo consumo de potencia < 0.6mA. Peso : < 1.0 gramos

7.2.2 Condiciones de operación El ADXL210E es un acelerómetro de 2 ejes, en las direcciones que se muestra en la Figura 7.7. Tiene un rango de escala de ± 10g, y puede ser usado para medir tanto aceleración dinámica como vibración y aceleración estática como gravedad.

Figura 7.7 Ejes de medición del ADXL210E desde una vista superior.

Físicamente el ADXL210E cuenta con ocho terminales como se ve en la Figura 7.8, las cuales se describen el la Tabla 7.15.

Figura 7.8 Vista inferior del ADXL210E y sus terminales.

159

Tabla 7.15 Descripción de las terminales del ADXL210E

Las salidas son por naturaleza digitales aunque pueden ser convertidas a analógicas. El ciclo de trabajo (CT) de las salidas es proporcional a la aceleración, y el período de trabajo se ajusta de 0.5ms a 10ms por medio de un solo resistor (Rset), ver Figura 7.9, en la terminal T2.

T2 : Período de trabajo

T1 : Ancho del pulso Ciclo de trabajo (CT) : Razón T1/T2

Figura 7.9 Período de trabajo. La variación de la resistencia cambia el valor de T2, el período de trabajo de ambos canales, obteniendo su valor por medio de la expresión:

( ) ( )ΩΩ

=M

RsT SET

1252 (7.8)

con un rango de operación de 0.5ms a 10ms. El valor nominal del CT es de 50% para 0g. Con estas variables, la aceleración se puede obtener por la siguiente expresión:

( )04.0

5.02

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=TT

gA (7.9)

donde a cada variación del CT se le convierte a g’s, debido a que por cada g, varía 4% el CT.

160

El ancho de banda del acelerómetro se puede ajustar por medio de los capacitores Cx y Cy en las terminales XFilt y YFilt (ver Figura 7.10).

Figura 7.10 Capacitores de filtro para designar el ancho de banda.

El ancho de banda deseado puede ser calculado mediante la expresión:

( )yxdB C

FF,

35μ

=− (7.10)

para cada uno de los canales de salida, donde C(x,y) > 1000pF. Una salida analógica se puede obtener filtrando el ciclo de trabajo de las salidas Xout y Yout mediante un circuito RC simple.

7.2.3 Condiciones reales Se construyó una tarjeta para el ADXL210E con los elementos mínimos necesarios para su funcionamiento. El circuito básico para el acelerómetro de la tarjeta se muestra en la Figura 7.11.

Figura 7.11 Circuito básico de funcionamiento del ADXL210E

El circuito se designó para que el ADXL210E operara a la frecuencia máxima de período de trabajo (0.5ms), por medio de Rset = 64.4kΩ. El ancho de banda para cada canal se designó de 500Hz con C(x, y) = 0.01μF. Y se usó un capacitor de 0.1μF

161

para disminuir las variaciones de alimentación al acelerómetro. La señal de salida del acelerómetro Xout (Figura 7.12) muestra el tren de pulsos generado, alcanzando 1.9997kHz y un ciclo de trabajo de 48.1% cuando no hay ninguna acción en el eje.

Figura 7.12 Salida Xout del acelerómetro Ambas salidas, Xout y Yout, se muestran en la Figura 7.13. Ambas señales tienen la misma frecuencia y el mismo inicio de pulso variando así solo el ancho de cada pulso positivo según sea la acción de aceleración en cada eje.

Figura 7.13 Salidas Xout y Yout Las medidas de la tarjeta del acelerómetro son de 22mm x 29mm, las pistas se muestran en la Figura 7.14 y los componentes se distribuyen en la placa como se

162

muestra en la Figura 7.15.

(a) (b)

Figura 7.14 Pistas de la tarjeta: (a) superior, (b) inferior

Vcc : Alimentación 5V. Gnd : Tierra Yout : Salida digital del eje y Xout : Salida digital del eje x C : Capacitor de filtrado de la alimentación Cx : Capacitor para designar el ancho de banda del eje x Cy : Capacitor para designar el ancho de banda del eje y RSET : Resistencia reguladora del período de trabajo

Figura 7.15 Componentes de la tarjeta.

La tarjeta que se construyó se planeó con la finalidad de tener las dimensiones más pequeñas y con funcionalidad pues se le agregó una terminal de cuatro líneas que puede ser conectada a un cable, también de cuatro líneas, para proporcionarle la alimentación necesaria y las salidas del propio acelerómetro. Una foto de la tarjeta terminada se muestra en la Fotografía 7.1.

(a) (b)

Fotografía 7.1 Tarjeta del iMEM. (a) Tarjeta original, (b) Tarjeta instrumentada.

Las salidas proporcionadas por la tarjeta son digitales. Es un tren de pulsos cuyo ancho de pulso variará de acuerdo a la aceleración medida. Por tener un eje en

163

dirección paralela a la acción de la gravedad el rango de operación en ese eje se desplaza una g reduciendo el rango positivo de medición (Figura 7.16), sin embargo no afecta a las necesidades de medición para este trabajo.

(a) (b)

Figura 7.16 Rango de operación del eje paralelo al eje de acción de la gravedad. (a) rango normal, (b) rango actual.

Las señales de salida de la tarjeta fueron adquiridas con el mismo equipo usado en la experimentación; el analizador de espectros. Para ello fue necesario que las señales de salida de la tarjeta fueran filtradas, convertidas a señales analógicas, y se verificó que los rangos de la señal analógica producida entrara en los rangos permisibles de los canales de adquisición del analizador de espectros. El circuito usado para filtrar las señales de salida de la tarjeta es un filtro simple RC y la salida del circuito es conectada directamente al canal de adquisición del analizador de espectros (Figura 7.17).

Rfltr = 120kΩ Cfltr = 0.3μF

Figura 7.17 Circuito de filtrado

7.2.4 Calibración Las salidas Xout y Yout se calibraron con la aceleración estática, gravedad. Cada eje fue colocado hacia o en contra la acción de la gravedad, como se muestra en la Figura 7.18, para comparar la variación del ciclo de trabajo con la de las especificaciones.

164

Figura 7.18 Colocación del sensor respecto a la gravedad

Los resultados demostraron el buen funcionamiento del acelerómetro, disminuyendo el ancho del pulso (T1) cuando el eje de medición se encontraba paralelo a la acción de la gravedad y aumentando en ancho del pulso cuando el eje de medición se encontraba en posición opuesta a la acción de la gravedad como se ve en la Figura 7.19.

Figura 7.19 Variación del ancho del pulso debido a la gravedad. (a) condición normal de operación, (b) gravedad actuando en contra, (c) gravedad actuando a favor del eje de medición

165

El porcentaje de variación por cada g fue de 4.2%, lo cual indica que el circuito funciona correctamente y que el 0.2% de diferencia puede ser ocasionado por errores tanto de medición como de colocación del eje de medición del acelerómetro con respecto al eje de acción de la gravedad.

7.2.5 Mediciones A la placa del acelerómetro se le cubrió con material aislante para que al colocarla en la viga no existiera la posibilidad de provocar un corto circuito, tal y como se muestra en la Fotografía 7.2.

Fotografía 7.2 Placa con cubierta aislante.

El sensor fue colocado en una viga para comparar su funcionalidad con respecto a los acelerómetros usados normalmente (piezoeléctricos). El lugar de la colocación fue en un costado de la viga debido a las dimensiones de la placa y a la ubicación de los ejes de medición del acelerómetro (Figura 7.20).

Figura 7.20 Colocación de la placa en la viga

Un acelerómetro piezoeléctrico de la misma sensibilidad (10g) fue colocado junto con el acelerómetro tipo iMEM, a diferentes distancias debido a que las cintas adhesivas usadas para la fijación de la placa no permitían poner el acelerómetro piezoeléctrico en el mismo lugar. Las distancias fueron: 300mm para el piezoeléctrico y 350mm para el iMEM, medidas desde el empotramiento.

166

Se usó una viga con longitud de 870mm, la viga fue excitada con el martillo como se realizó normalmente en las experimentaciones del trabajo (golpeo vertical) y se adquirieron las señales de ambos acelerómetros. Los resultados, en el eje x, muestran que los acelerómetros reproducen las mismas frecuencias naturales (fnat), más otras diferentes por parte del iMEM (Figura 7.21).

donde: fnat = frecuencia natural

Figura 7.21 Frecuencias naturales de la viga de 870mm

Una aproximación en la Figura 7.22 muestra la diferencia de magnitudes de las frecuencias debido a la diferente colocación, pero el valor de las frecuencias naturales es el mismo. En todas las experimentaciones con los sensores piezoeléctricos, los datos obtenidos en su contenido frecuencial muestran solo las vibraciones laterales debido a su eje de medición y su colocación en la viga. El eje de medición que se comparó en ambos acelerómetros es el mismo en consecuencia deben tener el mismo contenido frecuencial, sin embargo, en la colocación del iMEM están influyendo no solo las frecuencias naturales laterales, sino también las torsionales.

167

Figura 7.22 Comparación de la 4ta y 5ta frecuencia natural

De tal forma que la nueva frecuencia mostrada por el iMEM pertenecen a las vibraciones torsionales, correspondiendo a las obtenidas en las simulaciones en elemento finito, como se vio anteriormente en la Tabla 7.11. La frecuencia adicional mostrada es de 222Hz correspondiente a la primera frecuencia natural torsional de la viga (Figura 7.23).

Figura 7.23 La 1ra frecuencia torsional

168

Con estos resultados se puede validar el funcionamiento correcto tanto del circuito como del mismo acelerómetro iMEM. El iMEM además del eje x tiene el eje y, ventaja sobre los piezoeléctricos usados. Los resultados de la misma experimentación en el eje y muestran el mismo contenido frecuencial que el del eje x (Figura 7.24).

Figura 7.24 Frecuencias naturales de los ejes x y y del iMEM

De acuerdo a la figura anterior ambas señales tienen el mismo contenido frecuencial y excepto por las magnitudes de algunas frecuencias naturales son idénticas. Teniendo el mismo contenido frecuencial ambas señales, indican la presencia de las frecuencias laterales y una torsional, lo que significa que por la forma de golpeo prácticamente no se excita a las vibraciones longitudinales. Excitando la viga con el martillo, golpeando a la viga en el extremo libre de forma horizontal (en el eje de acción de y) se obtienen las primeras vibraciones longitudinales de la viga, la Figura 7.25 muestra los resultados de ambos ejes.

169

donde: Lat = lateral

Tor = torsional Long = longitudinal fnat = frecuencia natural

Figura 7.25 Frecuencias con excitación horizontal. Con este tipo de excitación fue posible encontrar las frecuencias naturales longitudinales y además se excitaron algunas laterales y la primera torsional. Las frecuencias longitudinales obtenidas corresponden a las obtenidas en las simulaciones hechas con elemento finito, Tabla 7.11. La Tabla 7.16 muestra las frecuencias naturales obtenidas con los acelerómetros iMEM's.

170

Tabla 7.16 Frecuencias naturales de la viga de 870mm obtenidas con los iMEM's.

Conclusiones Con las simulaciones en elemento finito se validaron los resultados de las experimentaciones. Las simulaciones en elemento finito mostraron los corrimientos hacia la izquierda de las frecuencias naturales para el caso de la viga con fractura. Los porcentajes de variación de los corrimientos de las simulaciones con elemento finito son cualitativamente iguales a las de las experimentaciones. Los resultados obtenidos con los acelerómetros tipo iMEM's demuestran que tienen la misma capacidad que los piezoeléctricos y sus ventajas radican en ser biaxiales, posibilidad de analizar dos ejes de vibración, y su bajo costo, en comparación con los piezoeléctricos. Estos dispositivos pueden ser usados en los futuros trabajos de adquisición y análisis de vibraciones u otras aplicaciones que se les quiera dar.

171

8. Conclusiones La aplicación de nuevas herramientas de procesamiento en el campo del análisis de vibraciones y el estudio detallado de las ya usadas aportan información que anteriormente no se encontraba o simplemente no había sido observada. La información y conocimiento generado en el trabajo es nuevo en el campo de análisis de vibraciones para vigas en cantiliver, teniendo la ventaja de ser reproducible tanto teórica como experimentalmente, y no solo servir para condiciones determinadas de experimentación o modelo. En el estudio se comprobaron los resultados de las experimentaciones junto a los modelos creados en elemento finito (ver Tabla 8.1). Se verificó que en general si es posible detectar la presencia de las fracturas en las vigas cantiliver a través de los corrimientos de las frecuencias naturales de sus señales de vibración. Además, se comprobó que los corrimientos de las frecuencias naturales son diferentes entre si, y que están directamente relacionados con la posición de la fractura y los nodos de dichas frecuencias naturales, con lo que es posible obtener la información de la posible ubicación de las fracturas. El uso de la PSD mostró tener la información necesaria para deducir lo anterior, la presencia de fracturas, y por ende los corrimientos de cada una de las frecuencias naturales. El uso del BIS arrojó más información que la obtenida con la PSD. Además de la información obtenida con la PSD, como las frecuencias naturales y sus corrimientos, con el BIS se encontraron las magnitudes de los acoplamientos que existen entre las diferentes frecuencias naturales. Son tres diferentes tipos de acoplamientos; los que se dan entre las mismas frecuencias naturales (cuadráticos), los que se dan entre diferentes frecuencias naturales, y los acoplamientos entre frecuencias que sumadas dan una frecuencia natural. Esta información pertenece al

172

comportamiento dinámico de la estructura requiriendo un estudio más profundo en trabajos posteriores. Aunque la nueva información generada (obtenida tanto en magnitud y fase con el BIS) no se ha entendido por completo, no se descarta que contenga la información necesaria para formar parámetros que ayuden a detectar y ubicar a las fracturas. Se deja un antecedente para futuras investigaciones sobre diagnóstico y detección de fracturas o para estudio del comportamiento dinámico de las vigas. Las frecuencias naturales encontradas con los diferentes métodos son muy parecidas, como se muestra en la Tabla 8.1. Las diferencias son cuantitativas pero cualitativamente tienen el mismo comportamiento, de esta forma las variaciones porcentuales de los corrimientos fueron las mismas tanto en la experimentación como en la simulación. Tabla 8.1 Comparación de frecuencias obtenidas por varios métodos para una viga de 870mm

Nota: el símbolo “ – ” indica que esas frecuencias no se determinaron.

8.1 Aportaciones

• Se programaron rutinas de procesamiento digital en la plataforma comercial Matlab para señales de vibración en estructuras mecánicas con posible detección de la presencia de fracturas.

• Las rutinas programadas tienen las características de ser abiertas al usuario

173

ya que pueden ser modificadas con la posibilidad de agregarle o quitarle funciones.

• Con estas herramientas se tiene un sistema abierto de monitoreo de señales

de vibraciones, pues los futuros usuarios podrán adaptarlo al estudio de señales de vibración provenientes de otros equipos, máquinas rotatorias, estructuras, etc., e incluso al estudio de temas no afines.

• Con los resultados obtenidos y el análisis efectuado, se ha obtenido una

primera metodología para detectar la presencia de fracturas en vigas cantiliver, ya sea con la PSD o el BIS.

• Se encontró una forma de relacionar los corrimientos de las frecuencias

naturales con los nodos de los modos de vibración, ayudando a obtener la posible ubicación de la fractura.

• Se crearon modelos en elemento finito de la viga con y sin fractura que

pueden ser usados y modificados para estudios posteriores.

• Se hizo un primer estudio y se usó sensores de vibraciones tipo iMEM's. Se construyó e instrumentó una tarjeta para el iMEM. Además se calibró y se usó adquirir las señales de vibración. Estos sensores presentan importantes ventajas sobre los piezoeléctricos convencionales como son bajo costo, fácil calibración, biaxiales y digitalización de las señales sensadas.

• Se deja una base a estudios posteriores sobre procesamiento digital usando

herramientas poliespectrales.

8.2 Recomendaciones a futuros trabajos Con el BIS se encontraron los acoplamientos de las diferentes frecuencias naturales de las señales de vibración con y sin fractura. Esta información requiere de un planteamiento de las estrategias de estudio de vibraciones en vigas cantiliver donde no solo se consideren los componentes armónicos asociados, sino también el efecto de los acoplamientos entre dichos componentes espectrales en la dinámica de la viga. Un procedimiento de estudio sería el analizar las señales de vibración y sus acoplamientos solo y exclusivamente para el caso de vigas sin fractura con el fin de comprender el significado de esta nueva información. Una segunda etapa sería el estudio de cómo se modifica esta información poliespectral cuando se presenta la fractura. Para este trabajo de investigación se desarrolló una serie de experimentos

174

buscando tener consistencia en la información proporcionada por las herramientas poliespectrales en cuanto a la dinámica de la estructura se refiere. Sin embargo, se observó que el efecto de todas las variables involucradas en la experimentación hacía muy complicado el estudio del efecto aislado de cada variable sobre la dinámica de la estructura. Por ello, se sugiere como trabajo futuro desarrollar experimentaciones sistematizadas con :

• vigas de la misma longitud y misma geometría de la fractura, variando solo la posición de la fractura,

• vigas de la misma longitud, fractura en la misma posición y variando la profundidad de la fractura y/o su espesor,

• variar el tipo de fractura: diagonal, transversal, irregular, • vigas con múltiples fracturas.

Los resultados de las experimentaciones y simulaciones que se realizaron en este trabajo mostraron que las variaciones (corrimientos) de las frecuencias naturales se relacionan directamente con la posición de la fractura y los nodos de los modos de vibración. Es necesario encontrar una relación de esta información con las características de la viga, de manera que sea posible ubicar exactamente la fractura con un porcentaje de error permitido. Para ello se debe realizar un estudio matemático o numérico detallado de dicha información. El uso de los iMEM’s mostró tener ventajas sobre el uso de los piezoeléctricos, por lo que es muy recomendable preparar las futuras investigaciones con dichos dispositivos, lo cual podrá servir para analizar las frecuencias naturales laterales, torsionales y longitudinales. El uso del BIS en el estudio puede extenderse a diferentes métodos para la estimación del mismo. En el estudio se usó un método no paramétrico, además de algunas modificaciones del mismo, con el cual se estudia detalladamente a las frecuencias naturales y sus acoplamientos. Adicionalmente, es posible aplicar métodos paramétricos donde los resultados ya no serán el estudio de acoplamientos de frecuencias naturales, sino de una región espectral que representará el comportamiento del sistema. Las variaciones de la misma pueda dar la información necesaria para detectar la fractura, ubicarla y determinar su magnitud. Este tipo de estudio abriría la posibilidad de usar métodos de identificación de sistemas, control, sistemas inteligentes o redes neuronales para caracterizar cada uno de los comportamientos y además de crear nuevos modelos representativos de la viga y fracturas.

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DQPSK Signals Under Flat Fading", ISPACS99 Phuket, Tailandia, 1999. [62] Tellez, Adriana del Carmen. "Desarrollo de algoritmos basados en DSP para

el procesamiento de señales de vibración", Tesis de Maestría en Ingeniería Electrónica, cenidet, 1998.

[63] Thomson, D. J. "Multi-Window Bispectrum Estimates", Proc. IEEE

Workshop on Higher-Order Spectral Analisys, 1989. [64] Toledo, E. ; Pinhas, I. ; Aravot, D. ; Akselrod, S. "Bispectrum and

Bicoherence for the Investigation of Very High Frecuency Peaks in Heart Rate Variability", Proceedings of the IEEE, Computers in Cardiology, No. 28, 2001.

[65] Vázquez, Jaime. "Detección Teórica de Grietas en Vigas con Vibración

Transversal", Tesis de Maestría en Ingeniería Mecánica, cenidet, México, 1998.

[66] Vibro-Meter SA, "Vibration and performance monitoring unite to reveal

more", 1998, http://www.coxmoor.com/images/pdfs/vibrationperformance.pdf [67] White, Glenn. "Cepstrum Analysis", 1998, http://www.predict-dli.com/Articles/cepstrum.html

Anexos

183

Anexo I Vectores resultantes de las variables aleatorias x(t) y y(t), creados en Matlab (ver sección 5.2). Variable aleatoria x(t) con función de densidad de probabilidad uniforme: x =[0.6154 0.7919 0.9218 0.7382 0.1763 0.4057 0.9355 0.9169 0.4103 0.8936 0.0579 0.3529 0.8132 0.0099 0.1389 0.2028 0.1987 0.6038 0.2722 0.1988 0.0153 0.7468 0.4451 0.9318 0.4660 0.4186 0.8462 0.5252 0.2026 0.6721 0.8381 0.0196 0.6813 0.3795 0.8318 0.5028 0.7095 0.4289 0.3046 0.1897 0.1934 0.6822 0.3028 0.5417 0.1509 0.6979 0.3784 0.8600 0.8537 0.5936]; Variable aleatoria y(t) con función de densidad de probabilidad Gaussiana : y =[ -0.1867 0.7258 -0.5883 2.1832 -0.1364 0.1139 1.0668 0.0593 -0.0956 -0.8323 0.2944 -1.3362 0.7143 1.6236 -0.6918 0.8580 1.2540 -1.5937 -1.4410 0.5711 -0.3999 0.6900 0.8156 0.7119 1.2902 0.6686 1.1908 -1.2025 -0.0198 -0.1567 -1.6041 0.2573 -1.0565 1.4151 -0.8051 0.5287 0.2193 -0.9219 -2.1707 -0.0592 -1.0106 0.6145 0.5077 1.6924 0.5913 -0.6436 0.3803 -1.0091 -0.0195 -0.0482]; Datos de los ejemplos de procesamiento (ver sección 5.5). Mediciones anuales de la intensidad de las manchas solares de 1700 a 1955. sunspot=[5 11 16 23 36 58 29 20 10 8 3 0 0 2 11 27 47 63 60 39 28 26 22 11 21 40 78 122 103 73 47 35 11 5 16 34 70 81 111 101 73 40 20 16 5 11 22 40 60 80.9 83.4 47.7 47.8 30.7 12.2 9.6 10.2 32.4 47.6 54 62.9 85.9 61.2 45.1 36.4 20.9 11.4 37.8 69.8 106.1 100.8 81.6 66.5 34.8 30.6 7 19.8 92.5 154.4 125.9 84.8 68.1 38.5 22.8 10.2 24.1 82.9 132 130.9 118.1 89.9 66.6 60 46.9 41 21.3 16 6.4 4.1 6.8 14.5 34 45 43.1 47.5 42.2 28.1 10.1 8.1 2.5 0 1.4 5 12.2 13.9 35.4 45.8 41.1 30.1 23.9 15.6 6.6 4 1.8 8.5 16.6 36.3 49.6 64.2 67 70.9 47.8 27.5 8.5 13.2 56.9 121.5 138.3 103.2 85.7 64.6 36.7 24.2 10.7 15 40.1 61.5 98.5 124.7 96.3 66.6 64.5 54.1 39 20.6 6.7 4.3 22.7 54.8 93.8 95.8 77.2 59.1 44 47 30.5 16.3 7.3 37.6 74 139 111.2 101.6 66.2 44.7 17 11.3 12.4 3.4 6 32.3 54.3 59.7 63.7 63.5 52.2 25.4 13.1 6.8 6.3 7.1 35.6 73 85.1 78 64 41.8 26.2 26.7 12.1 9.5 2.7 5 24.4 42 63.5 53.8 62 48.5 43.9 18.6 5.7 3.6 1.4 9.6 47.4 57.1 103.9 80.6 63.6 37.6 26.1 14.2 5.8 16.7 44.3 63.9 69 77.8 64.9 35.7 21.2 11.1 5.7 8.7 36.1 79.7 111.4 109.6 88.8 67.8 47.5 30.6 16.3 9.6 33.2 92.6 151.6 136.3 134.7 83.9 69.4 31.5 13.9 4.4 38];

184

Mediciones anuales de la migración del lince canadiense de 1821 a 1934. lynx=[269 321 585 871 1475 2821 3928 5943 4950 2577 523 98 184 279 409 2285 2685 3409 1824 409 151 45 68 213 546 1033 2129 2536 957 361 377 225 360 731 1638 2725 2871 2119 684 299 236 245 552 1623 3311 6721 4245 687 255 473 353 784 1594 1676 2251 1426 756 299 201 229 469 736 2042 2811 4431 2511 389 73 39 49 59 188 377 1292 4031 3495 587 105 153 387 758 1307 3465 6991 6313 3794 1836 345 382 808 1388 2713 3800 3091 2985 3790 674 81 80 108 229 399 1132 2432 3574 2935 1537 529 485 662 1000 1590 2657 3396];

185

Anexo II Programa en MatLab para calcular las frecuencias naturales de una viga en cantiliver.

%-----------------------------------------------% % % % Programa : freqn % % % % Calculo de las freq nat laterales % % de una viga en cantiliver % % % %-----------------------------------------------% b=input('Base : '); % Introdocir las h=input('Altura : '); % variables necesarias. L=input('Longitud : '); E=2.06e11; % Modulo de Young I=b*h*h*h/12; % Calculo de mom de inercia. p=7850; % Masa longitudinal A=b*h; % Area seccion transversal l(1)=1.875404; % Valores de lambda l(2)=4.694091; l(3)=7.854757; l(4)=10.99554; l(5)=14.137168; l(6)=17.27876; l(7)=20.4204; s=sqrt(E*I/(p*A*L*L*L*L)); % Calculo de las % frecuencias naturales for i=1:7 % angulares. wn(i)=(l(i)^2)*s; end fn = wn/(2*pi); % Frec. Naturales. [fn]

En el programa anterior se piden las características de la viga como son su espesor, ancho y longitud. El módulo de Young y la masa longitudinal pueden ser modificados directamente en el programa. Programa en Mathematica para calcular las frecuencias naturales de una viga y sus modos de vibración.

186

Nombre del Programa : Modos_de_Vib.nb

Este programa también calcula las frecuencias naturales de la viga en cuestión, pero su uso principal es obtener los desplazamientos de los primeros siete modos de vibración. El área transversal, la longitud de la viga, su momento de inercia y la masa longitudinal son las variables que se deben modificar para calcular los desplazamientos de la viga deseada. Para graficar los modos deseados solo es necesario borrar los que no se quieran ver en la función Plot.

187

Anexo III Resumen de los resultados del procesamiento de los datos experimentales

donde :

dxy = dato del caso de viga (x) del acelerómetro número y. f = frecuencia obtenida experimentalmente [Hz]

Amplitud = amplitud del pico de frecuencia [adimensional]

0

0%f

fff

−=Δ = porcentaje de variación

Nota : La Tabla 6.5 completa se puede ver en el CD de la tesis.

Tabla 6.5 PSD de viga de longitud 530mm con y sin fractura, con sensores en ubicación normalizada, excitada con martillo y punta verde.

188

donde: dxy = dato del caso de viga (x) del acelerómetro número y.

f1 = frecuencia 1 del BIS [Hz] f2 = frecuencia 2 del BIS [Hz]

Amplitud = amplitud del pico de frecuencia [adimensional] fase = fase del acoplamiento de f1 y f2 [rad]


Tabla 6.5 BIS de viga de longitud 530mm con y sin fractura, con sensores en ubicación normalizada excitada con martillo y punta verde.

189

donde: dxy = dato del caso de viga (x) del acelerómetro número y.

BISmd = biespectro modificado f1 = frecuencia 1 del BISmd [Hz] f2 = frecuencia 2 del BISmd [Hz]

Amplitud = amplitud del acoplamiento de f1 y f2 [adimensional] Nota : La Tabla 6.6 completa se puede ver en el CD de la tesis.

Tabla 6.6 BISmd de viga de longitud 530mm con y sin fractura, con sensores en ubicación normalizada, excitada con martillo y punta verde.

190

donde: f1 = frecuencia 1 del BISxyz [Hz]

f2 = frecuencia 2 del BISxyz [Hz] Amplitud = amplitud del acoplamiento de f1 y f2 [adimensional] fase = fase del acoplamiento de f1 y f2 [rad]


Tabla 6.7 Biespectro cruzado (BISxyz ) de viga de longitud 530mm con y sin fractura, con sensores en ubicación normalizad, excitada con martillo y punta verde.

191

donde:

difBIS = diferencia del BIS f1 = frecuencia 1 de la diferencia [Hz]

f2 = frecuencia 2 de la diferencia [Hz] Amplitud = amplitud del acoplamiento de f1 y f2 [adimensional] fase = fase del acoplamiento de f1 y f2 [rad]


Tabla 6.8 Diferencia de BIS (difBIS ) de viga de longitud 530mm con y sin fractura, con sensores en ubicación normalizada, excitada con martillo y punta verde.

193

Anexo IV

Manual de funciones

de la tesis:

"Procesamiento digital de señales de vibración con fines de diagnóstico"

Jaime F. Aviles V. Julio Rodríguez N.

Guía de usuarios. Funciones para MatLab.

194

Manual de funciones de la tesis : "Procesamiento digital de señales de vibración con fines de diagnóstico". Suplemento de la tesis para los lectores y usuarios que utilicen las funciones creadas para la investigación y comprensión de la misma. Este documento no pretende ser una guía teórica de las estadísticas de alto orden o del poliespectro. La tesis, para le que fue creado este manual, debe ser la base de estudio y las funciones de esta manual serán solo las herramientas de trabajo. Agosto 2003

195

Índice

Especificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 bie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 biop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 biper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 biperi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 biperw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 biperzxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 biw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 bixyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 bmodif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 bsop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 corri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 cumu2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 cumu2o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 cumu2xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 cumu3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 cumu3r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 cumu3rop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 cumu3xyz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 mom2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 mom3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 pe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 per. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 peri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 perw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 perxy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 pew . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 pexy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Ventanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

196

Especificaciones

Las funciones de este manual fueron creadas en el MatLab v.5.3. Pueden ser usadas en versiones más avanzadas e incluso en versiones anteriores, gracias a que usan solo comandos básicos de programación en MatLab. Para usar las funciones deben estar en la carpeta de trabajo de MatLab: c:\matlabrxx\work Es preferible copiar todas las funciones ya que algunas de ellas usan otras de esas mismas funciones creadas. Las funciones que se recomiendan para el procesamiento de datos son : En el dominio de la frecuencia : pe() para obtener el periodograma de una señal, pew() para obtener el periodograma con ventana de una señal, pexy() para obtener el periodograma cruzado de 2 señales, bi() para obtener el biperiodograma de una señal, biw() para obtener el biperiodograma con ventana de una señal, bixyz() para obtener el biperiodograma cruzado de 2 ó 3 señales. En el dominio del tiempo : mom2() para obtener el momento de 2do orden de una señal, mom3() para obtener el momento de 3er orden de una señal, cumu2() para obtener el cumulante de 2do orden de una señal, cumu3() para obtener el cumulante de 3er orden de una señal, cumu2xy() para obtener el cumulante cruzado de 2do orden de una señal, cumu3xyz() para obtener el cumulante cruzado de 3er orden de una señal. En el caso de usar una rutina que tenga ventana si no se pone adecuadamente el método, no se calculará la ventana y será una ventana rectangular. Para calcular la PSD y BIS de una señal se debe usar simplemente pe() y bi() sin hacer particiones.

197

bi( ) Propósito : Función del biperiodograma optimizado. bi(x,n) calcula el biperiodograma del vector x haciendo n particiones. Se obtiene solo la región no redundante del biperiodograma. El método usado es el directo y se promedia en frecuencia. Sintaxis : bis=bi(x,n); donde x : es el vector de datos n : es una constante Descripción : Al vector de datos x se le quita su media. Se hacen n particiones del vector x sin agregar ceros. A cada partición se le quita la media y se obtiene su transformada de Fourier. Con los vectores de X en el dominio de la frecuencia se obtiene el producto triple para obtener el BIS de cada partición de acuerdo a la siguiente expresión:

( ) ( ) ( ) ( )212121, ωωωωγωω += ∗XXXBIS x A los BIS obtenidos se les divide entre la longitud de la muestra y se les promedia en frecuencia para obtener el biperiodograma resultante.

198

bie( ) Propósito : Función del BIS completo. bie(x) calcula el BIS del vector x del primer cuadrante del plano f1-f2. El método usado es el directo. Sintaxis : bis=bie(x); donde x : es el vector de datos Descripción : Del vector de datos x se obtiene el BIS en la región f1>0, f2>0, sin hacer al vector de datos de media cero. Se obtiene la transformada de Fourier del vector x para obtener su forma en el dominio de la frecuencia X. Con el vector de X en el dominio de la frecuencia se obtiene el producto triple para obtener el BIS de acuerdo a la siguiente expresión:

( ) ( ) ( ) ( )212121, ωωωωγωω += ∗XXXBIS x A los BIS obtenido se le normaliza dividiendolo entre la longitud de la muestra.

199

biop( ) Propósito : Función del BIS para la región no redundante. biop(x) calcula el BIS del vector x solo en la región no redundante. El BIS se obtiene a través de la matriz de cumulantes de tercer orden. Sintaxis : bis=biop(x); donde x : es la matriz de cumulantes de tercer orden Descripción : De la matriz de cumulantes de tercer orden se obtiene su transformada de Fourier bidimensional con lo que se obtiene el BIS completo. Después al BIS se le recorta dejando solo la región no redundante que se encuentra en :

f2 ≥ 0, f1 ≥ f2, f2+2f1 ≤ fC siendo fc la frecuencia de corte.

200

biper( ) Propósito : Función del biperiodograma. biper(x,n) calcula el biperiodograma del vector x haciendo n particiones. Se obtiene solo la región no redundante del biperiodograma. El biperiodograma se obtiene de los cumulantes y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

bis=biper(x,n);

donde

x : es el vector de datos n : es una constante

Descripción : Del vector de datos x se hacen n particiones sin agregar ceros. De cada partición se obtiene su matriz de cumulantes de tercer orden. A las matrices de cumulantes se les saca su transformada de Fourier bidimensional

( ) ( ) ( )2211

21

21,321 ,, τωτω

ττ

ττωω +−∞

−∞=

∞

−∞=∑∑= j

xx ecBIS

y solo se obtiene la parte no redundante. A los BIS obtenidos se les promedia en frecuencia para obtener el biperiodograma.

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=

−

=

−

==∑∑∑∑ N

mnj

lll

N

i

N

m

N

n

M

lx emixnixix

NMI

211

0

1

0

1

0121

11,ωω

ωω

Rutinas usadas:

cumu3() Para obtener los cumulantes de 3er orden de las particiones.

biop() Para obtener el BIS de cada partición en la región no redundante.

201

biperi( ) Propósito : Función del biperiodograma. biperi(x,n) calcula el biperiodograma del vector x haciendo n particiones. Se obtiene solo la región no redundante del biperiodograma. El biperiodograma se obtiene de los cumulantes usando su definición completa y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

bis=biperi(x,n);

donde

x : es el vector de datos n : es una constante

Descripción : Del vector de datos x se hacen n particiones sin agregar ceros. De cada partición se obtiene su matriz de cumulantes de tercer orden. A las matrices de cumulantes se les saca su transformada de Fourier bidimensional

( ) ( ) ( )2211

21

21,321 ,, τωτω

ττ

ττωω +−∞

−∞=

∞

−∞=∑∑= j

xx ecBIS


( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=

−

=

−

==∑∑∑∑ N

mnj

lll

N

i

N

m

N

n

M

lx emixnixix

NMI

211

0

1

0

1

0121

11,ωω

ωω

Rutinas usadas:

cumu3r() Para obtener los cumulantes de 3er orden de las particiones.


202

biperw( ) Propósito : Función del biperiodograma con ventanas. biperw(x,n,'met',A) calcula el biperiodograma del vector x haciendo n particiones, con una ventana de ancho A. Se obtiene solo la región no redundante del biperiodograma. El biperiodograma se obtiene de los cumulantes y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

bisw=biperw(x,n,'met',A);

donde

x : es el vector de datos n : es una constante met : es la opción (método) de la ventana a aplicar. opciones : d = Daniel p = Parzen k = Kaiser t = Tukey-Hamming A: el ancho de la ventana

Descripción : Del vector de datos x se hacen n particiones sin agregar ceros. Se calcula la ventana correspondiente, para la longitud de las particiones, de ancho A. De cada partición se obtiene su matriz de cumulantes de tercer orden. A las matrices de cumulantes se les multiplica por la ventana calculada y al producto se le saca su transformada de Fourier bidimensional

( ) ( ) ( )2211

21

2121,321 ,,, τωτω

ττ

ττττωω +−

∞

−∞=

∞

−∞=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ∑∑ j

xx eAA

wcBISw


203

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ∑

= AAwc

MIw

lx

M

lx

2121,3

121 ,,1,

ττττωω

2Y

Las definiciones de las ventanas pueden verse en la página 232. Rutinas usadas:

cumu3() Para obtener los cumulantes de 3er orden de las particiones.


204

biperxyz( ) Propósito : Función del biperiodograma cruzado. biperxyz(x,y,z,n) calcula el biperiodograma cruzado de los vectores x, y, y z haciendo n particiones. El BIS se obtiene a través de la transformada de Fourier bidimensional de las matrices de cumulantes cruzados de tercer orden, y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

bisxyz=biperxyz(x,y,z,n);

donde

x : vector de datos y : vector de datos z : vector de datos

n : una constante Descripción : De los vectores de datos x, y, y z se hacen n particiones sin agregar ceros. De cada partición de cada vector de datos se obtiene la matriz de cumulantes de tercer orden. A las matrices de cumulantes se le saca su transformada de Fourier bidimensional

( ) ( ) ( )2211

21

2121 ,, τωτω

ττ

ττωω +−∞

−∞=

∞

−∞=∑∑= j

xyzxyz ecBIS

A los BISxyz obtenidos se les promedia en frecuencia para obtener el biperiodograma cruzado.

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=

−

=

−

==∑∑∑∑ N

mnj

lll

N

i

N

m

N

n

M

lxyz emizniyix

NMI

211

0

1

0

1

0121

11,ωω

ωω

Para obtener las diferentes formas de cruzar los vectores de datos solo es necesario cambiar el orden de la entrada de los vectores,

205

e.g.

bisyzx=biperxyz(y,z,x,n); bisxyx=biperxyz(x,y,x,n); bisxxx=biperxyz(x,x,x,n);

Para el caso bisxxx = bis3x puede usarse cualquier función de : bi(), biper(), biperi() o bie(), obteniendo los mismos resultados. Rutinas usadas:

cumu3xyz() Para obtener los cumulantes de 3er orden cruzados de las particiones.

206

biw( ) Propósito : Función del biperiodograma con ventanas. biw(x,n,'met',A) calcula el biperiodograma del vector x haciendo n particiones, con una ventana de ancho A. Se obtiene solo la región no redundante del biperiodograma. El biperiodograma se obtiene por el método directo y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

bisw=biw(x,n,'met',A);

donde

x : es el vector de datos n : es una constante met : es la opción (método) de la ventana a aplicar. opciones : d = Daniel p = Parzen h = von Hann m = Blackman k = Kaiser t = Tukey-Hamming b = Bartlett-Priestley A: el ancho de la ventana

Descripción : Al vector de datos x se le quita su media. Se hacen n particiones del vector x sin agregar ceros. A cada partición se le quita la media. Se calcula la ventana correspondiente, para la longitud de las particiones, de ancho A. Con la ventana se hace el producto de la misma con las particiones y se obtiene su transformada de Fourier.

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

MwxXw ττω Y

Con los vectores de Xw en el dominio de la frecuencia se obtiene el producto triple

207

para obtener el BIS de cada partición de acuerdo a la siguiente expresión:

( ) ( ) ( ) ( )212121, ωωωωγωω += ∗XXXBIS x A los BIS obtenidos se les divide entre la longitud de la muestra y se les promedia en frecuencia para obtener el biperiodograma resultante.

Las definiciones de las ventanas pueden verse en la página 232.

208

bixyz( ) Propósito : Función del biperiodograma cruzado. bixyz(x,y,z,n) calcula el biperiodograma cruzado de los vectores x, y, y z haciendo n particiones. El BIS se obtiene por el método directo y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

bisxyz=bixyz(x,y,z,n);

donde

x : vector de datos y : vector de datos z : vector de datos

n : una constante Descripción : De los vectores de datos x, y, y z se les quita su media. Se hacen n particiones de los vectores sin agregar ceros. A cada partición se le quita la media y se obtiene su transformada de Fourier. Con los vectores de X, Y, y Z en el dominio de la frecuencia se obtiene el producto triple para obtener el BISxyz de cada partición de acuerdo a la siguiente expresión:

( ) ( ) ( ) ( )212121, ωωωωγωω += ∗ZYXBIS xyz A los BIS obtenidos se les divide entre la longitud de la muestra y se les promedia en frecuencia para obtener el biperiodograma resultante.

Para obtener las diferentes formas de cruzar los vectores de datos solo es necesario cambiar el orden de la entrada de los vectores, e.g.

bisyzx=bixyz(y,z,x,n); bisxyx=bixyz(x,y,x,n);

209

bisxxx=bixyz(x,x,x,n);

Para el caso bisxxx = bis3x puede usarse cualquier función de : bi(), biper(), biperi() o bie(), obteniendo los mismos resultados.

210

bmodif( ) Propósito : Función del BIS modificado. bmodif(x) calcula el biespectro modificado de la matriz x, siendo x una matriz de BIS. Sintaxis : bismod=bmodif(x); donde x : es la matriz de BIS Descripción : De la matriz de BIS se obtiene su fase y la longitud de la misma. Se calcula la máscara de modificación para resaltar la información de la fase y se multiplica por el BIS.

( ) ( ) ( )π

ωωπωωωω 21

2121

,,,

BISBISBISmd

∠−×=

Los valores de la mascara varían de 0 a 1.

211

bsop( ) Propósito : Función del BIS para la región no redundante. bsop(x) calcula la transformada de Fourier bidimensional de la matriz de cumulantes x, obteniendo el BIS en la región no redundante. Sintaxis : bis=bsop(x); donde x : es la matriz de cumulantes de tercer orden Descripción : De la matriz de cumulantes de tercer orden se obtiene su transformada de Fourier bidimensional en forma manual

( ) ( )∑∑−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=

=1

0,3

1

021

21

,,N

m

Nmnj

x

N

nx emncBIS

ωω

ωω

para la región no redundante:

f2 ≥ 0, f1 ≥ f2, f2+2f1 ≤ fC siendo fc la frecuencia de corte.

212

corri( ) Propósito : Función de corrimiento. corri(x,td) corre la señal o secuencia x en td espacios. Sintaxis : xc=corri(x,td); donde x : es el vector de datos td : es una constante Descripción : Al vector de datos x se le recorre en td espacios, la forma del corrimiento es circular. Por ser corrimiento circular, su máximo corrimiento real es la longitud del vector de datos menos uno.

213

cumu2( ) Propósito : Función del cumulante de segundo orden. cumu2(x) calcula el cumulante de segundo orden del vector x. La forma de obtener el cumulante es la manera rápida, haciendo al vector x de media cero. Sintaxis : c2x=cumu2(x); donde x : es el vector de datos Descripción : Al vector de datos x se le quita la media. Se calcula el cumulante mediante el producto doble de datos.

( ) ( ) ( ) ( ){ }τττ +== txtxEmc xx 22 siendo el esperado E[] la media, que para secuencias de datos se define como:

[ ] ∑=

==n

iix x

nxE

1

1μ

Rutinas usadas:

corri() Para correr el vector de datos y poder calcular el cumulante.

214

cumu2o( ) Propósito : Función del cumulante de segundo orden. cumu2o(x) calcula el cumulante de segundo orden del vector x. La forma de obtener el cumulante es mediante su definición. Sintaxis : c2x=cumu2o(x); donde x : es el vector de datos Descripción : Del vector de datos x se calcula el cumulante mediante su definición completa.

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }τττ +−+= txEtxEtxtxEc x2 siendo el esperado E[] la media, que para secuencias de datos se define como:

[ ] ∑=

==n

iix x

nxE

1

1μ

Rutinas usadas:


215

cumu2xy( ) Propósito : Función del cumulante de segundo orden cruzado. cumu2xy(x,y) calcula el cumulante cruzado de segundo orden de los vectores x y y. La forma de obtener el cumulante es la manera rápida, haciendo los vectores de media cero. Sintaxis : c2xy=cum2xy(x,y); donde x : vector de datos y : vector de datos Descripción : A los vectores de datos x y y se les quita la media. Se calcula el cumulante mediante el producto doble de ambos datos.

( ) { } ( ) ( ){ }τττ +== tytxExyEcxy 21,

siendo el esperado E[] la media, que para secuencias de datos se define como:

[ ] ∑=

==n

iix x

nxE

1

1μ

Rutinas usadas:


216

cumu3( ) Propósito : Función del cumulante de tercer orden. cumu3(x) calcula el cumulante de tercer orden del vector x de manera optimizada. La forma de obtener el cumulante es la manera rápida, haciendo al vector x de media cero. Sintaxis : c3x=cumu3(x); donde x : es el vector de datos Descripción : Al vector de datos x se le quita la media. Se calcula el cumulante mediante el producto triple de datos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }21213213 ,, ττττττ ++== txtxtxEmc xx solo en la región :

n ≥ 0, m ≥ n siendo el esperado E[] la media, que para secuencias de datos se define como:

[ ] ∑=

==n

iix x

nxE

1

1μ

Rutinas usadas:


217

cumu3r( ) Propósito : Función del cumulante de tercer orden. cumu3r(x) calcula el cumulante de tercer orden del vector x. La forma de obtener el cumulante es mediante su definición. Sintaxis : c3x=cumu3r(x); donde x : es el vector de datos Descripción : Del vector de datos x se calcula el cumulante mediante su definición completa.

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]122121

2121213

2,


++++++++−+++++=


siendo el esperado E[] la media, que para secuencias de datos se define como:

[ ] ∑=

==n

iix x

nxE

1

1μ

Rutinas usadas:


218

cumu3rop( ) Propósito : Función del cumulante de tercer orden. cumu3rop(x) calcula el cumulante de tercer orden del vector x de forma optimizada. La forma de obtener el cumulante es mediante su definición. Sintaxis : c3x=cumu3rop(x); donde x : es el vector de datos Descripción : Del vector de datos x se calcula el cumulante mediante su definición completa.

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ }[ ]122121

2121213

2,


++++++++−+++++=


para la región :

n ≥ 0, m ≥ n siendo el esperado E[] la media, que para secuencias de datos se define como:

[ ] ∑=

==n

iix x

nxE

1

1μ

Rutinas usadas:


219

cumu3xyz( ) Propósito : Función del cumulante de tercer orden cruzado. cumu3xyz(x,y,z) calcula el cumulante de tercer orden de los vectores x, y y z. La forma de obtener el cumulante es la manera rápida, haciendo los vectores de media cero. Sintaxis : c3xyz=cum3xyz(x,y,z); donde x : vector de datos y : vector de datos z : vector de datos Descripción : A los vectores de datos x, y y z se les quita la media. Se calcula el cumulante mediante el producto triple de los datos.

( ) { } ( ) ( ) ( ){ }2121, ττττ ++== tztytxExyxEcxyz siendo el esperado E[] la media, que para secuencias de datos se define como:

[ ] ∑=

==n

iix x

nxE

1

1μ

Rutinas usadas:


220

mom2( ) Propósito : Función del momento de segundo orden. mom2(x) calcula el momento de segundo orden del vector x. La forma de obtener el momento es mediante su definición. Sintaxis : m2x=mom2(x); donde x : es el vector de datos Descripción : Del vector de datos x se calcula el momento mediante el producto doble de datos.

( ) ( ) ( ){ }ττ += txtxEm x2 siendo el esperado E[] la media, que para secuencias de datos se define como:

[ ] ∑=

==n

iix x

nxE

1

1μ

Rutinas usadas:


221

mom3( ) Propósito : Función del momento de tercer orden. mom3(x) calcula el momento de tercer orden del vector x. La forma de obtener el momento es mediante su definición. Sintaxis : m3x=mom3(x); donde x : es el vector de datos Descripción : Del vector de datos x se calcula el momento mediante el producto triple de datos.

( ) ( ) ( ) ( ){ }21213 , ττττ ++= txtxtxEm x siendo el esperado E[] la media, que para secuencias de datos se define como:

[ ] ∑=

==n

iix x

nxE

1

1μ

Rutinas usadas:


222

pe( ) Propósito : Función del periodograma optimizado. pe(x) calcula el periodograma del vector x haciendo n particiones. Se obtiene solo la región no redundante de la PSD. El método usado es el directo. Sintaxis : psd=pe(x,n); donde x : es el vector de datos n : es una constante Descripción : Al vector de datos x se le quita su media. Se hacen n particiones del vector x sin agregar ceros. A cada partición se le quita la media y se obtiene su transformada de Fourier. Con los vectores de X en el dominio de la frecuencia se obtiene el producto doble para obtener la PSD de acuerdo a la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )kXkXN

kPSD ∗=1

A las PSD obtenidos se les divide entre la longitud de la muestra, se les promedia en frecuencia y se deja solo la mitad de los datos que es la región no redundante.

223

per( ) Propósito : Función del periodograma . per(x,n) calcula el periodograma del vector x haciendo n particiones. El periodograma se obtiene de los cumulantes y se promedia en frecuencia. Sintaxis : psd=per(x,n); donde x : es el vector de datos n : es una constante Descripción : Del vector de datos x se hacen n particiones sin agregar ceros. De cada partición se obtienen sus cumulantes de segundo orden. A los vectores de cumulantes se les saca su transformada de Fourier

( ) ( ) ( )ωτ

τ

τω jx ecPSD −

∞

−∞=∑= ,2

A las PSD obtenidos se les promedia en frecuencia para obtener el periodograma.

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−−

=

−

==∑∑∑ N

mj

ll

N

i

N

m

M

lx emixix

NMI

ωω

1

0

1

01

11

Rutinas usadas:

cumu2() Para obtener los cumulantes 2do orden de las particiones.

224

peri( ) Propósito : Función del periodograma . peri(x,n) calcula el periodograma del vector x haciendo n particiones. El periodograma se obtiene de los cumulantes obtenidos de su definición completa y se promedia en frecuencia. Sintaxis : psd=peri(x,n); donde x : es el vector de datos n : es una constante Descripción : Del vector de datos x se hacen n particiones sin agregar ceros. De cada partición se obtienen sus cumulantes de segundo orden. A los vectores de cumulantes se les saca su transformada de Fourier

( ) ( ) ( )ωτ

τ

τω jx ecPSD −

∞

−∞=∑= ,2


( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−−

=

−

==∑∑∑ N

mj

ll

N

i

N

m

M

lx emixix

NMI

ωω

1

0

1

01

11

Rutinas usadas:

cumu2o() Para obtener los cumulantes 2do orden de las particiones desde su definición.

225

perw( ) Propósito : Función del periodograma con ventanas. perw(x,n,'met',A) calcula el periodograma del vector x haciendo n particiones, con una ventana de ancho A. El periodograma se obtiene de los cumulantes y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

psdw=perw(x,n,'met',A);

donde


Descripción : Del vector de datos x se hacen n particiones sin agregar ceros. Se calcula la ventana correspondiente, para la longitud de las particiones, de ancho A. De cada partición se obtiene su cumulante de segudo orden. A los vectores de cumulantes se les multiplica por la ventana calculada y al producto se le saca su transformada de Fourier

( ) ( ) ( )ωτ

τ

ττω jxx e

AwcPSDw −

∞

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ∑ ,2


226

( ) ( )∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

M

lxx A

wcFM

Iwl

1,2

1 ττω

Las definiciones de las ventanas pueden verse en la página 232. Rutinas usadas:

cumu2() Para obtener los cumulantes 2do orden de las particiones.

227

perxy( ) Propósito : Función del periodograma cruzado. perxy(x,y,n) calcula el periodograma cruzado de los vectores x y y haciendo n particiones. El periodograma se obtiene por medio de los cumulantes cruzados de segundo orden y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

psdxy=perxy(x,y,n);

donde

x : vector de datos y : vector de datos

n : una constante Descripción : Para los vectores de datos x y y, se hacen n particiones sin agregar ceros. De cada partición se calcula el cumulante cruzado de segundo orden y se obtiene su transformada de Fourier.

( ) ( ) ( )ωτ

τ

τω jxyxy ecPSD −

∞

−∞=∑=

A las PSD obtenidos se les promedia en frecuencia para obtener el periodograma cruzado.

( ) ( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

−

=

−

==∑∑∑ N

mjll

N

i

N

m

M

lxy emiyix

NMI ωω

1

1

01

11

Para el caso del periodograma cruzado el intercambio del orden de los vectores de datos no resulta en diferentes PSD cruzadas, psdxy=psdyx. Para el caso psdxx = psd2x puede usarse cualquier función de : pe(), per(), o peri(), obteniendo los mismos resultados.

228

Rutinas usadas:

cumu2xy() Para obtener los cumulantes de 2do orden cruzados de las particiones.

229

pew( ) Propósito : Función del periodograma con ventanas. pew(x,n,'met',A) calcula el periodograma del vector x haciendo n particiones, con una ventana de ancho A. Se obtiene solo la región no redundante del periodograma. El periodograma se obtiene por el método directo y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

psd=pew(x,n,'met',A);

donde


Descripción : Al vector de datos x se le quita su media. Se hacen n particiones del vector x sin agregar ceros. A cada partición se le quita la media. Se calcula la ventana correspondiente, para la longitud de las particiones, de ancho A. Con la ventana se hace el producto de la misma con las particiones y se obtiene su transformada de Fourier.

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

AwxXw ττω Y

Con los vectores de Xw en el dominio de la frecuencia se obtiene el producto

230

doble para obtener la PSD de cada partición de acuerdo a la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )kXkXN

kPSD ∗=1

A las PSD obtenidos se les divide entre la longitud de la muestra y se les promedia en frecuencia para obtener el periodograma resultante.

Las definiciones de las ventanas pueden verse en la página 232.

231

pexy( ) Propósito : Función del periodograma cruzado. pexy(x,y,n) calcula el periodograma cruzado de los vectores x y y haciendo n particiones. La PSD se obtiene por el método directo y se promedia en frecuencia. Sintaxis :

psdxy=pexy(x,y,n);

donde

x : vector de datos y : vector de datos n : una constante Descripción : A los vectores de datos x y y se les quita su media. Se hacen n particiones de los vectores sin agregar ceros. A cada partición se le quita la media y se obtiene su transformada de Fourier. Con los vectores de X y Y en el dominio de la frecuencia se obtiene el producto doble para obtener la PSDxy de cada partición de acuerdo a la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )ωωγω ∗= YXPSDxy A las PSD obtenidos se les divide entre la longitud de la muestra y se les promedia en frecuencia para obtener el periodograma resultante.

Para el caso del periodograma cruzado el intercambio del orden de los vectores de datos no resulta en diferentes PSD cruzadas, psdxy=psdyx. Para el caso psdxx = psd2x puede usarse cualquier función de : pe(), per(), o peri(), obteniendo los mismos resultados.

232

Ventanas Las ventanas usadas en las rutinas son :

Daniel ( ) ( )

⎩⎨⎧=

ππ

nnSennWD

Tukey-Hamming ( ) ( )

⎩⎨⎧ ≤+


nWTHπ

von Hann (Hanning) ( ) ( )

⎩⎨⎧ ≤+


nWHπ

Bartlett- Priestley ( )

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −= nCos

nnSen

nnWBP π

ππ

π 23

Parzen

( )( ) ( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>≤<−

≤+−

=1,0

15.0,125.0,661

3

32

nnn

nnnnWP

Blackmann ( ) ( ) ( )

⎩⎨⎧ ≤+−

= valorotro para,05.0,408.025.042.0 nnCosnCos

nWBππ

233

Kaiser

( )[ ]{ }( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

otro para0

5.0,21

0

212

0

nI

nI

nWk β

β

donde I0(x) es una función de Bessel de orden cero modificada del primer tipo y puede ser evaluada para cualquier grado de exactitud

Estas ventanas están dadas para calcularse en una dimensión, forma en que se ocupan en las rutinas biw(), pew() y perw(). Para la rutina biperw() se calculan las ventanas en dos dimensiones. Para ello lo único que hay que hacer es pasar las ventanas de una sola variable a dos, i.e. w(n) → w(n,m).

234

Ejemplos En esta sección, se presentan tres ejemplos con el fin de familiarizarse con el uso de las funciones antes presentadas. Las funciones hacen el cálculo en el tiempo o en la frecuencia y el usuario debe analizar e interpretar los resultados. Ejemplo 1. Señal senoidal Sea una señal senoidal con la ecuación x(t) = sen(ωt), se obtienen sus momentos y cumulantes de 2d0 y 3er orden. Se define un vector de tiempo de 0 a 100s con intervalos de 1s, con una frecuencia constante de 0.04Hz.

t=0:100; vector de tiempo f=(1/25); frecuencia x=sin(2*pi*f*t); señal senoidal La señal es la que se muestra en la Figura 1.

0 20 40 60 80 100-1

-0.5

0

0.5

1

t

A

Figura 1 Señal senoidal x

235

Los momentos y cumulantes de 2do y 3er orden se calculan: m2x=mom2(x); momento 2do orden c2x=cumu2(x); cumulante 2do orden m3x=mom3(x); momento 3er orden c3x=cumu3(x); cumulante 3er orden los resultados de las funciones se presentan en las Figuras 2 y 3.

0 50 100-0.5

0

0.5

A

t0 50 100

-0.5

0

0.5

A

t (a) (b)

Figura 2 Momento (a) y cumulante (b) de 2do orden

(a) (b)

Figura 3 Momento (a) y cumulante (b) de 3er orden

236

La PSD y el BIS de la señal se calculan como: psdx=pe(x,1); PSD de x sin particiones bisx=bi(x,1); BIS de x sin particiones los resultados son los que se muestran en la Figura 4, donde se puede apreciar en la PSD una frecuencia de 0.04Hz y en el BIS un acoplamiento cuadrático de esa misma frecuencia.

(a) (b)

Figura 4 PSD (a) y BIS (b) de x Ejemplo 2. Señal aleatoria Sea una señal aleatoria con distribución uniforme y(t), se obtienen sus momentos y cumulantes de 2d0 y 3er orden. Se define un vector de tiempo de 0 a 100s con intervalos de 1s, y se crea la variable aleatoria usando la función de Matlab rand().

t=0:100; vector de tiempo N=length(t); tamaño de muestra y=rand(1,N); variable aleatoria y El resultado se muestra en la Figura 5.

237

Figura 5 Señal aleatoria y

Los momentos y cumulantes de 2do y 3er orden se calculan: m2y=mom2(y); momento 2do orden c2y=cumu2(y); cumulante 2do orden m3y=mom3(y); momento 3er orden c3y=cumu3(y); cumulante 3er orden los resultados de las funciones se presentan en las Figuras 6 y 7.

0 20 40 60 80 1000.26

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

A

t0 20 40 60 80 100

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

A

t (a) (b)


238

(a) (b) Figura 7 Momento (a) y cumulante (b) de 3er orden

La PSD y el BIS de la señal se calculan como: psdy=pe(y,1); PSD de y sin particiones bisy=bi(y,1); BIS de y sin particiones los resultados son los que se muestran en la Figura 8.

(a) (b) Figura 8 PSD (a) y BIS (b) de y

En la PSD se aprecian cinco picos más importantes, sus frecuencias son 0.04, 0.16, 0.28, 0.35 y 0.45Hz; en el BIS se encuentran cinco acoplamientos, de los

239

cuales (0.28, 0.16), (0.28, 0.04 ) y (0.35, 0.16) son acoplamientos entre diferentes frecuencias, (0.28, 0.28) es un acoplamiento cuadrático y (0.24, 0.04) es un acoplamiento entre dos frecuencias cuya suma da una frecuencia (0.28Hz). La frecuencia con una magnitud más grande en la PSD es la de 0.28Hz, esta frecuencia tiene un acoplamiento cuadrático en el BIS. Es importante resaltar que el acoplamiento más importante en le BIS no es el acoplamiento cuadrático como en el ejemplo anterior, para este caso fue el acoplamiento entre dos frecuencias (0.28, 0.16). Para volver a recrear este ejemplo, los datos de la variable aleatoria y son: y = [ 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.7621 0.4565 0.0185 0.8214 0.4447 0.6154 0.7919 0.9218 0.7382 0.1763 0.4057 0.9355 0.9169 0.4103 0.8936 0.0579 0.3529 0.8132 0.0099 0.1389 0.2028 0.1987 0.6038 0.2722 0.1988 0.0153 0.7468 0.4451 0.9318 0.4660 0.4186 0.8462 0.5252 0.2026 0.6721 0.8381 0.0196 0.6813 0.3795 0.8318 0.5028 0.7095 0.4289 0.3046 0.1897 0.1934 0.6822 0.3028 0.5417 0.1509 0.6979 0.3784 0.8600 0.8537 0.5936 0.4966 0.8998 0.8216 0.6449 0.8180 0.6602 0.3420 0.2897 0.3412 0.5341 0.7271 0.3093 0.8385 0.5681 0.3704 0.7027 0.5466 0.4449 0.6946 0.6213 0.7948 0.9568 0.5226 0.8801 0.1730 0.9797 0.2714 0.2523 0.8757 0.7373 0.1365 0.0118 0.8939 0.1991 0.2987 0.6614 0.2844 0.4692 0.0648 0.9883 0.5828 ]; Ejemplo 3. Manchas solares Las manchas solares del Anexo I, son mediciones anuales de intensidad solar de 1700 a 1955. Se define un vector de tiempo de 1700 a 1955 con intervalos de un año, y se definen los valores de las manchas solares.

years=1700:1955; vector de tiempo sunspot=[ 5 11 ... ]; datos de las manchas solares Los datos se muestran en la Figura 9.

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Figura 9 Gráfica de la intensidad solar

Los momentos y cumulantes de 2do y 3er orden se calculan: m2ss=mom2(sunspot); momento 2do orden c2ss=cumu2(sunspot); cumulante 2do orden m3ss=mom3(sunspot); momento 3er orden c3ss=cumu3(sunspot); cumulante 3er orden los resultados de las funciones se presentan en las Figuras 10 y 11.

0 100 2001000

1500

2000

2500

3000

3500

A

t0 100 200

-1000

-500

0

500

1000

1500

A

t (a) (b)


241

(a) (b)

Figura 11 Momento (a) y cumulante (b) de 3er orden

El periodograma con dos particiones y ventana Hanning de ancho 50 se calcula de la siguiente forma: psdss=pew(sunspot,2,’h’,50); periodograma el resultado se presenta en la Figura 12.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

A

f Figura 12 Periodograma con dos particiones y ventana Hanning

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El biperiodograma con dos particiones y ventana Hanning de ancho 50 se calcula de la siguiente forma: bisss=biw(sunspot,2,’h’,50); biperiodograma el resultado se presenta en la Figura 13.

Figura 13 Biperiodograma con dos particiones y ventana Hanning

Los resultados en la PSD indican dos frecuencias principales 0.0077 y 0.1014Hz las cuales corresponden periodicidades de 129.5 y 9.86 años respectivamente. En el BIS se encuentra un acoplamiento principal entre 0.0936 y 0.0078Hz, frecuencias que sumadas dan 0.1014Hz que es la periodicidad de 9.86 años; además de un acoplamiento cuadrático de 0.0077Hz.

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cenidet · 2014-02-14 · 4.2.2 Modelo de la viga en cantiliver 59 4.2.3 Modos de vibración 61 Valores de λ 61 Frecuencias naturales 62 Conclusiones 66 5. Simulaciones 67 5.1 Estimación