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電路學

第五章

交流電路

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直流與交流的差異直流電流只往單一方向來傳送。一個穩態或理想條件下的直流，其電壓或電流在理論上不隨時間來改變，如圖5-1所示。但在某些應用裡需要用到如圖5-2所示的波形，此一波形稱為脈波直流，當使用到此一波形時在某一時段裡，電源供應器，提供了一個從零往最大值來增加的電壓，到達最大值之後，又往零來減少。減少到零後又再度往最大值來增加，如此反覆來進行，雖然其值一直在改變，但其電流的流向不變，只在單一方向來流動，一般的電池充電器就是以此一方式來工作。

圖5-1 穩態直流圖 5-2 脈波直流

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直流與交流的差異

交流電是一種大小及方向均隨時間來變的電，在某一瞬間裡因電壓的關係，電流往某一方向來流動，而在另一瞬間電壓的極性改變，而使電流往相反的方向來流動，如圖5-3(a)所示，而圖5-3(b)為常用的交流電波形，圖5-3(c)及(d)表示電流流向隨電壓極性來改變的關係。

圖5-3 交流

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交流波形

交流波形一般可分為六種，分別為弦波(圖5-4(a))、方波[圖5-4(b)]、脈波(圖5-4(c))、三角波(圖5-4(d))、鋸齒波(圖5-4(e))以及不規則波(圖5-4(f))。

圖5-4 各種交流波形

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弦波弦波是最常用的交流波形，一般發電機所產生的波形即為正弦波，圖5-5所示即為正弦波的完整表示法。

圖5-5 正弦波

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弦波

正弦波若以數學式來表示，可表示為：

(5-1)

i(t)表示在某一時間t裡正弦波之大小。IP表示正弦波的峰值，亦即最大值。ω表示正弦波變化的角頻率，f表示正弦波變化的頻率。T表示正弦波的週期， θ表示相角。

)tT2sin(I

)ft2sin(I)tsin(I)t(i

P

PP

θ+π

=

θ+π=θ+ω=

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弦波

幅度所指為正弦波在某一瞬間裡的大小，圖5-6所示為幅度隨時間變化的情形，在此一圖上是以向量的方式來表示幅度，其中幅度的長度表示電流或電壓的大小，而向量箭頭所指的方向即表示電壓之極性或電流的流向。

圖5-6 正弦波之幅度

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弦波最大的幅度稱為峰值，正弦波有兩個峰值，其中一個為正峰值，另一為負峰值，而正峰值與負峰值的差值稱為峰至峰值 Ip-p，如圖5-7所示。圖5-7(a)所示為一個幅度為10A的正弦電流，而其峰至峰值Ip-p＝20A。圖5-7(b)所示為一個幅度為Vp＝9V的正弦電壓波形，其峰至峰值Vp-p＝18V。

圖5-7 峰至峰值(a)Ip＝10A，Ip-p＝20A及(b)Vp＝9V，Vp-p＝18V之正弦波

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弦波

當直流電流I流過電阻R時，會依P＝I2R之速率來發熱而消耗能量，若一交流電流i(t)流經電阻R，則每一瞬間之i(t)均在電阻R內以p(t)＝i2(t)R之方式來消耗功率。在交流電一週期T內，電阻所消耗之總能量為：

(5-2)

則此電流i(t)流經電阻R在T秒內平均消耗之功率為：

(5-3)

]J[Rdt)t(i)t(wT

o

2∫=

]W[R]dt)t(iT1[Rdt)t(i

T1P

T

0

2T

0

2ave ∫∫ ==

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弦波

若有某一直流電流I於T秒內在電阻R中所消耗的功率恰等於(5-3)式，則此一直流電流I就稱為是交流電流i(t)之有效值Ieff

(5-4)

或

(5-5)

]W[R]dt)t(iT1[RIRIP

T

o

2eff

22ave ∫===

]A[之平均值(t)idt)t(iT1I 2

T

0

2eff == ∫

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弦波

交流電i(t)之有效值是經由三個步驟所計算得到，首先將瞬間值i(t)加以平方，然後取其平均值，最後再開根號。因此依其運算過程來命名，有效值又稱為根均方(rms)值，對正弦波而言其有效值或rms值是等於峰值的0.707倍，亦即

Vrms＝0.707Vp[V] (5-6)或

Vp＝1.414Vrms＝Vrms[V] (5-7)如圖5-8所示。除非有特別註明，否則一般交流電壓或電流均以rms值來表示。例如一般家用的110V所指即為rms值，其瞬間最大幅度為110V×1.414＝155.54V，在考慮用電器具之耐壓時，即以此一最大幅度為準。

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弦波

圖5-8 有效值與峰值的關係

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弦波

平均值是指交流波形曲線所包含的面積除以其所經過的時間亦即週期所得到的值。對一完整的正弦波而言，它包含有正半週及負半週兩部分，這兩部分完全相等，但符號相反，如果在計算平均值時採用一週期的話，則其平均值必定為零，所以一般以半週來加以考慮。對一完美的正弦波而言，其平均值與峰值的關係為：

Vave＝0.637Vp (5-8)

圖5-9 平均值與峰值的關係

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弦波

在一般應用裡很少使用到平均值，但任何一波形其有效值與平均值之比稱為波形因數(FF)，亦即

(5-9)

對一完美的正弦波而言FF＝1.11。直流電其有效值與平均值相等，所以FF＝1。由此可知，當波形平坦時，其FF＝1，當波形變為尖凸時其FF會增大，波形愈尖凸，FF就愈大。此一FF值是專門用來判斷一波形是否為完美的正弦波。

平均值

有效值=FF

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例5-1

若有一大小為120V的交流電，其為正弦波，試求其Vp，Vp-p及Vave。[解]：因Vrms＝120V，所以

Vp ＝1.414×120V＝169.68[V]Vp-p＝2Vp＝2×169.68V＝339.36[V]Vave＝0.637Vp＝0.637×169.68V＝108.09[V]

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弦波

所謂週期是指一正弦波形完成一週所需要的時間，通常以秒(s)為單位，並以T來表示。正弦波形的一週是指由零開始增加到最大值，再降為零，然後再往反方向最大值來變化，到達負最大後再降為零，即完成一週的工作。

圖5-10 頻率與週期

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弦波

頻率是指週期性波動在單位時間裡重覆的次數，以f來表示，其單位為赫(Hz)，1Hz等於每秒一週，頻率與週期成倒數關係。所謂角頻率ω是以每秒弧度(rad/s)來表示的頻率關係，它與頻率f的關係為ω＝2πf，而它與週期的關係為ωT＝2π，。例如一般家用電力系統其電壓為110V，頻率為60Hz，意指每秒鐘電器插座端的電壓變化60週，每一週的週期為

]ms[67.16Hz601T ==

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弦波

圖5-11 110V，60Hz交流電源

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例5-2

若有一正弦波完成2週需要25ms，則在1秒裡它共有幾週？

[解]：完成2週需要25ms，亦即每週需要12.5ms，因此每秒的週數或頻率為：

]Hz[80ms5.12

1T1f ===

20

例5-3

試求下列各頻率之週期：(a)100MHz，(b)每5秒40週，(c)500KHz[解]：(a)

(b)40週/5s＝8週/s＝8Hz(c)

]ns[1MHz1001T ==

]s[2KHz5001T μ==

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弦波直流與交流最大的不同是交流電裡存在有相角的關係，所謂相角是指兩個具有相同頻率之正弦波其間的角度關係。以圖5-12的波形來加以說明，圖5-12(a)所示為兩個具有相同頻率但幅度不一樣的正弦波，其中A的正走向零點出現在0°，其正峰值是在90°，其負走向零點在180°，負峰值在270°，整個週波是在360°完成。而B的各走向及峰值出現的角度與A完全相同，因此A及B兩者稱為同相。但在圖5-12(b)裡B相對於A向右移了90°，因此這兩波形稱為異相。此一90°的相移或相角表示A領先B 90°或B落後或滯後A 90°。通常領先或落後的關係是以正斜率部分來比較。由圖5-12(b)可知，A的正峰值出現比B的正峰值出現早，因此可以說是A領先B或B落後A。

圖5-12 (a)同相，(b)異相

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例5-4

圖5-13(a)及(b)裡兩波形的相關係為何？[解]：在圖5-13(a)裡兩波形相差90°，其中B的正峰值較A的正峰值早90°出現，因此B領先A 90°或A滯後B 90°。在圖5-13(b)裡兩波形相差45°，其中A的正峰值先出現，因此A領先B 45°或B滯後A 45°。

圖5-13 例5-4之圖

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方波方波是一週期波，其正及負峰值存在的時間長度一樣，而兩者是交互出現，如圖5-14所示。對一方波而言，其峰值、有效值及平均值三者是相等。方波的一週包含有兩個部分，其中一個是峰值為正的正脈波，而另一個是峰值為負的負脈波，對一完美的方波而言，其正脈波寬與負脈波寬為相等。在正弦波裡所存在的各參數同時也存在於方波，例如以圖5-14的方波為例，其峰值為Vp＝10V，峰至峰值為Vp-p＝20V＝2Vp，其頻率為1KHz，而週期為T＝1/f＝1ms，也就是指正脈波寬及負脈波寬均為(1ms/2)＝0.5ms。

圖5-14 方波

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方波

工作週期是一個只存在於方波及脈波裡的參數，在正弦波裡並不需要考慮工作週期。所謂工作週期是指脈波寬度與週期之比，一般是以百分數來表示，亦即

(5-10)

對完美方波(圖5-14所示者)而言，工作週期必定為50%，若工作週期少於50%，則它就被歸納為後述的脈波類。

%100(%) ×=週期

脈波寬度工作週期

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方波對一完美方波而言，其峰值、平均值及有效值是相等，但此一關係只出現在如圖5-14所示的方波，也就是正負兩半週是相對於零點來變化，而且是以半週來考慮平均值的情形。實際上對一方波而言，其平均值可以用下式來計算：

平均值＝基線＋(工作週期×峰至峰值) (5-11)所謂基線是指方波存在的最小值，以圖5-14的方波為例，其基線為－10V。若利用(5-11)式來計算圖5-14方波的平均值，則

Vave＝基線＋(工作週期×峰至峰值)＝－10V＋(50%×20V)＝－10V＋10V＝0[V]

亦即是指相對於零點來變化的完美方波其平均值為零

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方波

方波不一定是相對於零點來變化，如圖5-15所示方波是由2V變化到18V，亦即是指其基線是在2V的位置，而其Vp-p＝16V，因此對此一波形而言，其平均值為：

Vave＝基線＋(工作週期×峰至峰值)＝2V＋(0.5×16V)＝10[V]

圖5-15 不相對於零點來變化的方波

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方波

理想方波，是指當它由正峰值轉變到負峰值或者由負峰值轉變到正峰值，都是在瞬間進行而沒有任何延誤。

圖5-16 理想方波變化

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方波

實際上當方波由負峰值轉變到正峰值，亦即作正邊緣或領先緣的變化工作時，不可能在瞬間裡完成，而是必須要經過一段所謂的上升時間(TR)才可能完成。相同地，當它由正峰值轉變到負峰值，亦即作負邊緣或拖曳緣的變化工作時，也需要經過一段所謂的下降時間(TF)才能完成。上升時間是指由全幅度10%上升至90%所需要的時間；而下降時間是指由全幅度90%下降到10%所需要的時間。 圖5-17 上升及下降時間的定義

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方波

對實際方波而言，很難以確定它的寬度，因此必須訂出一寬度測量的標準，通常是以全幅度50%的寬度視為是方波的寬度。

圖5-18 方波之寬度

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脈波

脈波亦稱為矩形波，與方波很相似，它也是一種在兩個固定值之間作交換的週期波。唯一不同的地方是，在脈波裡這兩個固定值所存在的時間不一定是相等，如圖5-19所示。在圖5-19(a)裡正值所存在的時間較負值所存在的時間為短，它稱為正脈波。而圖5 -19(b)則相反，其負值所存在的時間較短，它稱為負脈波。

圖5-19 (a)正脈波，(b)負脈波

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脈波某些在正弦波及方波所用到的參數在脈波裡必須要修改，例如正弦波及方波裡的頻率，對脈波而言必須改稱為脈波重覆頻率(PRF)，在正弦波及方波裡頻率的倒數為週期，但在脈波裡，脈波重覆頻率的倒數稱為脈波重覆時間(PRT)。以圖5-20的脈波為例，它是一個頻率為1KHz，脈波寬度為1μs而幅度為5V的脈波，頻率為1KHz則表示此一脈波每1ms(1/1000Hz)重覆一次，也就是兩個領先緣之間相隔1ms或可說其PRT=1ms，在此一例子裡其脈寬只有1μs，也就是指兩脈波相隔了999μs，在此段時間裡沒有任何訊號的存在。

圖5-20 脈波的PRT

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脈波

脈波的工作週期之定義與方波相同，也就是脈波寬度與脈波重覆時間，PRT，之比。對圖5-20的例子而言，

也就是指脈波只佔了整個週期的0.1%。

脈波平均值的計算與方波者相似，對圖5-20而言，Vave＝基線＋(工作週期×峰至峰值)

＝0V＋(0.001×5V)＝0V＋5mV＝5[mV]

%1.0%100ms1

s1%100(%) =×μ=×=脈波重覆時間

脈波寬度工作週期

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例5-5

有一脈波，其峰值為20kV，脈波寬度為1μs，基線電壓為0V，PRF=3300脈波/秒，試求其工作週期及平均值。[解]：

因

所以

Vave＝基線＋(工作週期×峰至峰值)＝0＋(0.33%×20kV)＝66[V]

%100PRT

×=脈波寬度

工作週期

]s[303/3300

1PRF

1PRT μ===秒脈波

%33.0%100)103.3(%100s303

s1 3 =××=×μ

μ= −工作週期

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三角波

三角波是由兩個時間變化率相似的斜坡所合成，但一個往正方向來變，而另一個則往負方向來變。

三角波的頻率、週期之定義與正弦波及方波者相似，但對三角波而言，其平均值為峰值的50.5%，而有效值為峰值的62.4%。

圖5-21 三角波

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鋸齒波

鋸齒波與三角波很相似，但它其中的一個斜坡之斜率為無限大。

圖5-22 鋸齒波(a)正斜坡，(b)負斜坡

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其他波形

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交流運算之數學關係正弦波的變化過程可用一長度固定之旋轉向量在縱軸之投影來表示。

圖5-24 正弦波與旋轉向量之關係

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相量

如圖5-24所示，長度H的半徑以一定的速率(即正弦波的角頻率)反時針轉動，它在各位置的垂直分量恰巧等於正弦波在該位置之幅度，此H可代表一正弦波電壓或電流之峰值。此一表示正弦波之旋轉向量稱為相量，相量常以位置在t=0時之旋轉向量表示，此向量與水平軸之夾角即為該正弦波的相角。若角度由水平軸反時針方向起算得到，則相角為正值，否則為負值。相量具有空間向量之性質，可用於相同頻率正弦波之加減；在交流電路中，相量之大小通常代表該正弦波之有效值。

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相量

v(t)＝50cos(ωt+60°)[V] (5-12)的正弦波，若以相量方式來表示，則可以表示為

(5-13)在此一表示法裡並不存在有頻率的項目，因此在利用此一表示法時，頻率必須要另外說明。

(5-13)式的表示方法是一種所謂的複數表示法，複數是一個包括有兩個部分的數，其中一部分稱為實部，而另一部分稱為虛部。

]V[6050V o∠=

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複數

一般常用的數例如5、2.3或π等，稱為是實數，任何實數其平方根必定為正實數，但有某些數其平方根卻為負實數，此類數即稱為虛數，通常一虛數是以j的符號來表示，其中 。因為j2＝－1，故1/j＝－j。任何一複數均可表示為：

Z＝x＋jy其中x表示Z的實數部並以Re(Z)來表示，而jy表示Z的虛數部，並以Im(Z)來表示，因此一複數也可以表示為：

Z＝Re(Z)＋Im(Z)

1j −=

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複數

相對於任何一複數均有一共軛存在，對

Z＝x＋jy的複數而言，它的共軛為

Z*＝x－jy當兩複數互為共軛時，它們的實部與虛部的絕對值是相等，但虛數的符號是相反。

任何一複數與其共軛的乘積必定為一實數，例如將Z與Z*相乘可得：

通常ZZ*是以 來表示，它代表Z的絕對平方值，因此的絕對值為 。

22222222

222*

yxy)1(xyjx

yjjxyjxyx)jyx)(jyx(

+=−−=−=

−−+=−+=ZZ

2ZZ 22 yx +

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複數

任何一複數都可用複數平面上的任何一點來表示。複數平面實際上就是一個如圖5-25所示的x-y平面，但其水平軸，亦即一般所謂的x軸是以Re(Z)來表示其座標；而垂直軸，亦即一般所謂的y軸是以Im(Z)來表示其座標。

圖5-25 複數平面

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複數任一複數是以存在於複數平面上的一個點來表示，此一代表複數的點其座標的表示方式有三種，分別為：(1)直角座標表示法：Z＝x+jy (5-18)(2)極坐標表示法：Z＝r(cosθ+jsinθ) (5-19)(3)指數表示法：Z＝re jθ＝r (5-20)其中x及y分別表示該點的水平軸(實數軸)及垂直軸(虛數軸)的坐標，而r表示複數的絕對值，它可表示為：

(5-21)θ表示複數相量與實數軸之間的夾角，大小可表示為：

θ=tan－1(y/x)同時由(5-18)、(5-19)及(5-20)式的關係可知：

x＝rcosθ及y＝rsinθ複數雖然有各種不同的表示方法，但它們之間可以互換

θ∠

22 yxr +=

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複數

複數可以進行加減乘除等不同的運算，但必須要遵守一些規則，通常在進行加減運算時是採用直角座標型式，將其實數部分及其虛數部分分開處理。

在進行乘及除的運算時也可以利用直角座標型式來進行但比較麻煩，若採用指數型式就簡單多，如在相乘時

或

相除時

或

在相乘時絕對值相乘而角度相加，在相除時絕對值相除而角度相減。

)(j21

j2

j121

2121 err)er)(er())(( θ+θθθ ==ZZ21212211 rr)r)(r( θ+θ∠=θ∠θ∠

)(j

1

2j

1

j2

1

2 122

2

err

erer θ−θ

θ

θ

==ZZ

121

2

11

22

rr

rr

θ−θ∠=θ∠θ∠

45

複數

當一正弦波其表示式為v(t)＝Vocos(ωt+θ)時，則其相量表示法可寫為V=Voejθ。相反的假如一相量為已知時，將此一相量與ejωt相乘然後取其實數部分即可得正弦波的表示式。也就是指當Voejθ已知時，可進行以下之運算工作：

Re(Voejθejωt)＝Re(Voej(ωt+θ))＝Re{Vo[cos(ωt+θ)+jsin(ωt+θ)]}＝Vocos(ωt+θ)

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正弦波型式任何一正弦訊號都可以用兩種方式中的任何一種來表示，時域型式→v(t)＝Vocos(ωt+θ)以示波器來觀察相量型式或頻域型式→ V(ω)＝Voejθ以頻譜分析儀來觀察在交流電路裡，使用相量的主要原因是使計算處理的過程簡單化，因為相量的運算只需要用到簡單的加減乘除，若以時域型式來加以運算，則必須要使用到較為複雜的三角函數轉換關係，

圖5-26 1KHz正弦波的波形(a)時域，(b)頻域

47

例5-6

今有兩交流電源其值分別為：v1(t)＝15cos(377t＋45°)[V]及v2(t)＝15cos(377t＋15°)[V]若兩者串聯在一起，則總電壓為多少？[解]：首先考慮時域的解法，展開這兩電壓可得：v1(t)＝15cos(377t+45°)V

＝[15cos45°cos377t－15sin45°sin377t][V]v2(t)＝15cos(377t+15°)V

＝[15cos15°cos377t－15sin15°sin377t][V]將兩者相加，可得vT(t)＝v1(t)＋v2(t)＝15(1.673cos377t－0.966sin377t)

＝15[1.932cos(377t＋30°)][V]＝29.98cos(377t＋30°)[V]

48

例5-6(續)

若以相量方式來處理，則其過程會簡化得多，首先將兩電壓寫成為相量型式

V1=15ej4.5=14.49＋j3.88[V]V2=15ej1.5=10.61＋j10.61[V]

然後使兩者相加，可得

VT＝V1＋V2＝25.10＋j14.49＝29.98ej30[V]再將它轉變回時域可得

vT(t)＝29.98cos(377t＋30°)[V]

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阻抗

在直流電路裡當有一電壓跨於電阻器的兩端時，將產生一流過電阻器的電流，此一電壓與電流的比值稱為電阻。此一關係也存在於交流電路裡，也就是指任何一電路元件當有一交流電壓跨於其間時，將會產生一交流電流。如同直流的情形一樣，此一交流電壓與交流電流也存在有一比例關係，但因交流電壓及交流電流都具有複數的形態，因此它們的比值也是以複數的形態存在。此一以複數形態來存在的比值稱為複數電阻，但一般稱之為阻抗)。因此對任何一電路而言，其阻抗，Z，被定義為跨於此一電路的相量電壓(V)與流過於其間的相量電流I之比值，亦即

(5-26)][Ω=IVZ

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阻抗

交流有兩種表示法，分別是時域表示法以及頻域或相量表示法。對時域表示法而言，設其電壓及電流分別為：

v(t)＝Vpsin(ωt＋α)[V] 及 i(t)＝Ipsin(ωt＋β)[A]其相對應的相量可以表示為：

V＝Vp∠α[V] 及 I＝Ip∠β[A]由(5-26)式的關係可得：

(5-27)

其中⎜Z⎜＝Vp/Ip為阻抗的絕對值，而θ為阻抗的相角。在此要特別強調的是，阻抗是一個由兩個複數V及I的比值而得到的複數，不是一個相量，其性質與Vp∠α及Ip∠β不同，其並不代表相對的正弦時域函數，但電壓Vp∠α及電流Ip∠β則分別代表相對的正弦時域函數。

][ZZIV

IVZ

p

p Ωθ∠=β−α∠=β∠α∠

==

51

阻抗

阻抗一詞可以說是電阻與電抗之組合，也就是指阻抗是由實數的交流電阻R(ω)以及虛數的電抗X(ω)所組成，即

Z(ω)＝R(ω)＋jX(ω)[Ω] (5-28)阻抗及電抗如同電阻一樣單位為歐姆[Ω]。電抗是儲能元件受頻率影響所形成類似電阻的電路元件。電感器所形成的電抗稱為感抗，電容器所形成的電抗稱為容抗。

52

阻抗

阻抗的大小及相角可以表示為：

其中R＝⎜Z⎜=cosθ[Ω]及X＝⎜Z⎜＝sinθ[Ω]

圖5-27阻抗相圖

][XRZ 22 Ω+=RXtan 1−=θ

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阻抗

對電阻而言，其i-v關係為v=iR，若寫成相量則V=IR，因此電阻所對應的阻抗為：ZR＝R[Ω] 對電容而言其i-v關係為：

由相量的運算可知dV/dt＝jωV，因此I=jωCV[A] 因此電容器的阻抗可以表示為：

其中容抗XC為

]A[dtdvC

dtdqi ==

][jX90C

1Cj

Cj1

IV

CC Ω=−∠ω=

ω−

=ω

== oZ

][C

1XC Ωω−=

54

阻抗

對電感器而言，其i-v關係為：

由相量的運算可知di/dt＝jωI，因此 V＝jωLI[V]因此電感器的阻抗可以表示為：

(5-41)

其感抗為：

XL＝ωL[Ω] (5-42)

]V[dtdiLv =

][jX90LLj LL Ω=∠ω=ω==o

IVZ

55

阻抗

對電阻器而言其角度為零，且與頻率無關。

對純電容器而言，其相角為－90°相角，說明了在電容器裡電壓落後電流90°。電容器的阻抗隨著頻率來變，在直流時電容器的阻抗為無限大，亦即在直流時電容器被視為是開路，此一阻抗隨著頻率的增加而減少，當頻率為無限大時，電容器的阻抗將變為零，就是指在高頻時電容器近似為短路。

純電感器的阻抗與純電容器者相反，其相角為90°，就是說在電感器裡電壓領先電流90°。當頻率為零，亦即直流時電感器的阻抗為零，視同為短路，電感器的阻抗隨頻率的增加而上升，當頻率為無限大時，電感器的阻抗為無限大，視同為開路。

56

阻抗

因為R、L及C都是正值，所以感抗是正值，而容抗為負值。

對阻抗Z＝R＋jX而言，X＝0時阻抗是純電阻性；X>0時阻抗是電感性；X

57

阻抗

電阻與電導互為倒數關係，相似的電抗與電納也是互為倒數關係，也就是指容抗的倒數為容納，即

(5-45)

而感抗的倒數為感納，即

(5-46)

雖然在單個元件裡其G、BL及BC可以直接由R、XL及XC來求知，但對導納而言其G及B的值並不是單純由R及X倒數來求得，而必須要經過適當的運算來求知。

]S[CjX1B

CC ω==

]S[Lj

1X1B

LL ω

==

58

阻抗

]S[XR

XjXR

RXRjXR

jXRjXR

jXR1

jXR1jBG1

2222

22

+−

+=

+−

=−−

⋅+

=

+=+==

ZY

]S[XR

RG 22 += ]S[XR

XB 22 +−

=

59

交流電路分析

除了運算方法的差異以外，交流電路分析所用的方法及理論與直流電路完全相似。在直流電路裡所用的只是純數的演算，因此只需考慮其大小而已，但在交流電路裡是採用相量亦即複數的演算法，因此除了大小以外，還必須要考慮其相角關係。

60

交流電路分析

對串聯RL電路而言阻抗可表示為：Z＝R＋jωL=|Z|∠θ[Ω]

其絕對值及相角分別為：

及

因為是串聯，所以V=ZI=(R＋jωL)I＝RI＋jωLI＝VR＋VL[V]當外加電壓加入後，在電路裡產生兩個電壓分量，其一是跨於電阻器兩端的電壓VR，而另一為跨於電感器兩端的電壓VL，兩者之和等於外加電壓V。I表示流過電路的電流，此一電流I與VR同相，但與VL相差90°，且VL領先I，總電壓V將領先I某一角度θ，此一θ角是存在於0°到90°之間，其值是由電阻、電感以及電源的頻率而定。

][)L(R 22 Ωω+=ZRLtan 1 ω=θ −

61

交流電路分析

圖5-29 RL串聯電路阻抗與各分量的關係

圖5-30 RL串聯電路的電流及各電壓之關係

62

交流電路分析

在RL並聯電路，因為電阻器與電感器為並聯且與一電流源並聯，因此可求知各電流量分別為：

此一電路的阻抗為：

其中θ＝tan-1(R/ωL)

RL並聯電路

]A[RVIR = ]A[Lj

VIL ω= ]A)[

Lj1

R1(VIII LR ω+=+=

][)Lj/1()R/1(

1Ωθ∠=

ω+== Z

IVZ

63

交流電路分析

在並聯電路裡跨於每一元件的電壓相等，所以以電壓來作為參考軸，電壓與流過電阻的電流同相，但領先流過電感的電流90°，同時它也領先電路的總電流一θ角。此一總電流等於流過電阻器的電流及流過電感器的電流之相量和。

圖5-32 RL並聯電路之電流-電壓關係

64

交流電路分析

RC串聯電路的阻抗可以表示為：

其中

圖5-33 RC串聯電路

][)C

1(RCj

1R 22 Ωθ∠ω

+=ω

+=Z

)RC1(tan 1

ω−=θ −

65

交流電路分析

RC串聯電路的關係與RL串聯電路者相反，在此一電路裡若以電流來作為參考軸，則總電壓落後電流一θ角。電流與跨於電阻器的電壓是同相，但領先跨於電容器的電壓90°。

圖5-34 RC串聯電路之電流-電壓關係

66

交流電路分析

RC並聯電路的阻抗為

其中θ＝tan-1(ωRC)

圖5-35 RC並聯電路

][)C()

R1(

122

Ωθ∠ω+

==IVZ

67

交流電路分析

RC並聯電路的電流-電壓關係如圖5-36所示，其中電流I領先電壓V一θ角。

圖5-36 RC並聯電路的電流-電壓關係

68

交流電路分析

RLC串聯電路的阻抗可以表示為：

圖5-37 RLC串聯電路

][)C

1L(jRCj

1LjR Ωθ∠=ω

−ω+=ω

+ω+= ZZ

][)C

1L(R 22 Ωω

−ω+=ZR

C1Ltan 1 ω−ω=θ −

69

交流電路分析

RLC串聯電路的阻抗包含有兩個成分，分別由電感器及電容器所產生，因此其電流-電壓關係是隨著這兩成份的大小來變，若ωL＞1/ωC則表示電感性大於電容性，此時整體電抗是電感性，因此總電壓會領先電流一θ角。

圖5-38 當ωL＞1/ωC時RLC串聯電路的電流-電壓關係

70

交流電路分析

若ωL＜1/ωC時，則表示電路為電容性，此時總電壓會落後電流一θ角。

圖5-39 當ωL＜1/ωC時RLC串聯電路的電流-電壓關係

71

交流電路分析

在RLC串聯電路裡當各元件值均為固定，但外加電壓的頻率為可變時，電抗將隨著頻率來變化，在低頻部分容抗較感抗為大，此時電路屬於電容性。隨著頻率的增加容抗會減少，但感抗會增加，到達某一特定頻率時，容抗與感抗相等，此時阻抗將變成為純電阻性，當此情形發生時，電路稱之諧振。當頻率高於諧振頻率時，感抗將大於容抗使電路轉變為電感性。使諧振發生的頻率稱為是諧振頻率，此一頻率可以表示為：

或]s/rad[LC1

o =ω ]Hz[LC21fo π

=

72

交流電路分析

並聯RLC諧振電路的導納可以表示為：

此一電路的諧振頻率與串聯RLC電路相似。

圖5-40 並聯RLC諧振電路

]S)[L

1C(jGLj

1CjGω

−ω+=ω

+ω+=Y

73

例5-7

有一負載跨於其上的電壓為10cos(120πt＋12°)V及流過其間的電流為2.5cos(120πt－37°)A，試求此一負載的電抗為多少？

[解]：由正弦波與相量的轉變關係可知負載電壓及負載電流可以分別表示為：

因此負載的阻抗為：

故電抗為3.02Ω並具有電感性。

]V[375.21210 oo −∠=∠= IV 及

][02.3j62.2][494375.2

1210Ω+=Ω∠=

−∠∠

== oo

o

IVZ

74

例5-8

有一RC串聯電路其電阻為10Ω，電容為0.01μF，試求在何頻率下流過此一電路的電流與跨於其間的電壓之相差為12.5°？[解]：對一RC電路而言，其電流與電壓間之相差為：

因此

故

o5.12RC1tan 1 =

ω−=θ −

o5.12tanRC1

=ω

]s/rad[1051.45.12tan1010

1 78 ×=××

=ω− o

75

例5-9

有一RLC串聯電路，其中R=10Ω，L=2μH及C=10nF，試求此一電路的諧振頻率為多少？

[解]：

及

sec]/rad[10071.7nF10H2

1LC1 6

o ×=×μ==ω

]kHz[11252

sec/rad10071.72

f6

oo =π

×=

πω

=

76

例5-10

當一個50Ω的電阻器與一個470μF的電容器作並聯組合時，在ω=377rad/s時，此一組合的阻抗為多少？[解]：當R與C並聯時，其阻抗為：

因此當ω=377rad/s時，

][CRj1

RZ Ωω+

=

][57.75629.05.781

443j50)86.8j1)(86.8j1(

)86.8j1(5086.8j1

50)F470)(50)(s/rad377(j1

50Z

Ω−=+−

=−+

−=

+=

μΩ+=

77

例5-11

今有一RLC串聯電路，其電路元件參數為R＝3Ω，ωL＝6Ω，1/ωC＝2Ω，所用的電源為V＝10∠0o，試求電流I及跨於每一元件的電壓。

[解]：此一電路的阻抗為：Z＝R＋j[ωL－(1/ωC)]＝3＋j[6－2]＝(3＋j4)[Ω]＝5∠53.1o[Ω]流過電路的電流為：

跨於各元件的電壓為：

VR＝IR＝(2∠－53.1o)(3)=6∠－53.1o[V]VL＝IZL＝(2∠－53.1o)(6∠90o)＝12∠36.9o[V]VC＝IZC＝(2∠－53.1o)(2∠－90o)＝4∠－143.1o[V]

]A[1.5321.535

010ZVI oo

o

−∠=∠∠

==

78

串並聯電路(例5-11)

試求流於圖5-41電路裡的is。

圖5-41 [解] ：此一電路的工作頻率為：ω=100 rad/s，電源的相角為0°，因此

電源可表示為Vs=10V，在此一頻率之下電容器的阻抗為：

][100j10100100

1Cj

1)(Z 6C Ω−=××=

ω=ω −

79

串並聯電路(例5-11續)

因此電路可以改用圖5-42的相量表示法來表示。

圖5-42 以相量來表示的電路首先求Z2及Z3的並聯值可得：

][80j4057.266.223

90102100j200102j

o

o4

4

32

3232

Ω−=−∠−∠×

=

−×−

=+

=ZZ

ZZZZ

80

串並聯電路(例5-11續)

因此電路的總阻抗為

由此可知電流Is為：

若以正弦方式來表示即為：

is(t)＝0.083cos(100t＋41.6°)[A]

][80j9080j4050)( 321 Ω−=−+=+= ZZZZ

]A[6.41083.06.41120

01080j90

10 oo

o

S ∠=−∠∠

=−

=I

81

節點電壓分析法(例5-13)

試求圖5-43電路a點的節點電壓v(t)。

圖5-43 例5-13的電路[解]：由圖上可知此一電路的工作頻率為：ω=6 rad/s。因此(1/3)H電感及(1/6)F電容所對應的感抗及容抗分別為j2Ω及－j1Ω，因此圖5-43的電路可以改用圖5-4的相量表示法來表示。

82

節點電壓分析法(例5-13續)

圖5-44 以相量來表示的電路對a點應用KCL可得：I1＋I2＋I3＝0其中

]A[2j

04VIo

1

∠−= ]A[

1jVI2 −

= ]A[2VI3 =

83

節點電壓分析法(例5-13續)

因此

(1－2＋j1)V＝4

因此a點的節點電壓v(t)v(t)＝2.83sin(6t－135o)[V]

02V

1jV

2j04V o

=+−

+∠−

]V[13583.213524

1j14V o

o−∠=

∠=

+−=

84

節點電壓分析法(例5-14)

試以節點電壓法來求流過圖5-45電路bd分支的電流。

圖5-45 例5-14的電路[解]：首先要求知電路所有的獨立節點，由圖可知電路共有兩節點，但其中d點為接地點，因此只需考慮b點。對b點使用KCL可得：

0IIII 321b =++=∑

85

節點電壓分析法(例5-14續)

其中

因此

]A[Z

VVZ

VVI

]A[ZV

Z0V

ZVVI

]A[Z

VVZ

VVI

bc

2b

bc

cb3

bd

b

bd

b

bd

db2

ab

1b

ab

ab1

−=

−=

=−

=−

=

−=

−=

bc

2

ab

1

bcbdabb

bc

2b

bd

b

ab

1b

ZV

ZV)

Z1

Z1

Z1(V

0Z

VVZV

ZVV

+=++

=−

++−

86

節點電壓分析法(例5-14續)

將各參數代入可得

因此流過bd分支的電流為

]V[1j16010

1j1010)

1j11

2j11

1j11(V

oo

b −−∠

++∠

=−

++

++

]V[4526010

452010)]

21j

21()

52j

51()

21j

21[(V

o

o

o

o

b −∠−∠

+∠∠

=++−+−

]V[6.118.104.18263.1

3065.13V oo

o

b −∠=−∠−∠

=

]A[7582.45.635

6.118.10I oo

o

b −∠=∠−∠

=

87

網目電流分析法(例5-15)

試求圖5-46電路的電流i1(t)及i2(t)。

圖5-46 例5-15的電路[解]：電路電源的角頻率為ω＝2rad/s，因此電路裡各個電感器及電容器所對應的感抗及容抗分別為

L1＝1H所對應的感抗為XL1＝ωL1＝2×1＝2[Ω]L2＝(1/2)H所對應的感抗為XL2＝ωL1＝2×(1/2)＝1[Ω]C1＝(1/4)F所對應的容抗為

][2)

41(2

1C1X

11C Ω=

×=

ω=

88

網目電流分析法(例5-15續)

因此所得到的相量電路如圖5-47所示。

圖5-47 以相量來表示的電路

對兩迴路使用KVL可得：(4＋j2)I1－I2＝18∠0o

－I1＋(2－j1)I2＝0

89

網目電流分析法(例5-15續)

利用克拉瑪(Cramer)法則，可得：

由此可知電路的電流i1(t)及i2(t)分別為：i1(t)＝4.47sin(2t－26.6o)[A]及i2(t)＝2sin2t[A]

]A[6.2647.4

)1j2(11)2j4(

)1j2(01018

I o

o

1 −∠=

−−−+−−∠

=

]A[02

)1j2(11)2j4(

01018)2j4(

I o

o

2 ∠=

−−−+

−∠+

=

90

網目電流分析法(例5-16)試以網目電流分析法來求圖5-48電路的輸出電壓Vo。

圖5-48 例5-16的電路

[解]：對兩迴路使用KVL可得：I1－(1－j)I2＝10∠20o

－(1－j)I1＋(2＋j)I2＝0

91

網目電流分析法(例5-16續)

利用克拉瑪法則，可得：

電路的輸出電壓為：

]A[3.8192.3

)j2()j1()j1(1

0)j1(20101

I o

o

2 −∠=

+−−−−

−−∠

=

]V[3.8196.1)21()A3.8192.3(V ooo −∠=Ω×−∠=

92

戴維寧及諾類等效(例5-17)

試求圖5-49電路由ZL往左方看入的戴維寧效電路。

圖5-49 例5-17的電路[解]：首先求戴維寧等效阻抗，也就是使電源為零來求在

ab兩點左方之等效阻抗。

93

戴維寧及諾類等效(例5-17續)

由圖上可知當電源為零(也就是電壓源短路)時，由ab兩點往左邊看入時，Z1及Z2為並聯，因此戴維寧等效阻抗可表示為：

將ZL移走來求ab兩端的開路電壓即可得其戴維寧等效電源，由分壓法則可得：

][176.1j71.4425

500j200020j520j5

20j5)20j)(5(

20j5)20j)(5(

21T

Ω+=+

=−−

×+

=

+== ZZZ

]V[147.10688.25j2.103425

11000j44000)20j5)(20j5()20j5)(2200j(

11020j5

20j

o

S21

2T

∠=+=

+=

−+−

=

×+

=+

= VZZ

ZV

94

戴維寧及諾類等效(例5-17續)

可得圖5-49由ZL往左方看入的戴維寧等效電路，如圖5-50所示。

圖5-50 戴維寧等效電路

95

戴維寧及諾類等效(例5-18)試求圖5-51電路由ab端看入的戴維寧等效。

圖5-51 例5-18的電路

[解]：在本電路裡有一相依電壓源10IX，此一電壓源跨於5Ω電阻器及－j5電容器之上，因此由ab端看入的戴維寧等效電壓為：

]V[45I25I105j5

5jV oXXTh −∠=×−−

=

96

戴維寧及諾類等效(例5-18續)而 j50IX＋10IX=200－40IX因此

將IX代入VTh可得：而戴維寧等效阻抗可由圖5-52來求知，由圖上可知當電源為零(也就電流源為開路及電壓源短路)時，由ab兩點往左邊看入時，5Ω及－j5Ω為並聯，因此戴維寧等效阻抗可表示為：

ZTh＝5⎢⎢(－j5)＝2.5－j2.5[Ω]

圖5-52 求戴維寧等效阻抗的電路

]A[45221j1

4I oX ∠=+=

]V[9020V oTh −∠=

97

重疊原理(例5-19)

試以重疊原理來求圖5-53電路的電流i(t)。

圖5-53 例5-19的電路[解]：圖5-53所對應的相量電路如圖5-54所示。

圖5-54 圖5-53所對應的相量電路

98

重疊原理(例5-19續)首先將10∠0oV電壓源視為零也就是將它短路，得電路如圖5-55所示。

圖5-55 將10∠0o電壓源視為零所得到的電路在圖5-55電路裡，由20∠0oV電源端看入的阻抗為：

因此由20∠0oV電壓源所產生的電流I1為：

][10558j4

)8j4(55)2j4(10j

)2j4(10j5Z1 Ω=+−−

+=++−+−

+=

]A[0210

020I oo

1 ∠=∠

=

99

重疊原理(例5-19續)

再將20∠0o電壓源視為零，也就是將它短路，此時電路如圖5-56所示。

圖5-56 將10∠0o電壓源視為零所得到的電路在圖5-56電路裡，由10∠0oV電源端看入的阻抗為：

因此由10∠0oV電壓源所產生的電流I3為：

][82j1

10j2j410j5

)5(10j2j4Z2 Ω=−−+=

−−

++=

]A[025.18

010I oo

3 ∠=∠

=

100

重疊原理(例5-19續)

由分流法則可得：

在上式中取負號是因為I2假設的方向與I3相反。因此總電流為：

因此 i(t)＝1.12sin(2t＋26.6o)[A]

]A[4.15325025.1

10j510jI

10j510jI oo'22 ∠=∠×−

=−−

−=

]A[6.2612.14.1532502III ooo21 ∠=∠+∠=+=

101

交流功率

在直流電路裡只有電阻的存在，當電流流過其間時，它會消耗功率。但在交流電路裡除了電阻以外，還有電抗的存在，電抗通常是由儲能元件所形成，在阻抗裡它是一虛數項，此一虛數項所代表的意義是指這些元件在電路裡並不是真正的消耗功率。因此在討論交流電路的功率時首先要知道有多少功率是真正被消耗掉，而又有多少並不是真正被消耗。對一以正弦波來激發的線性交流電路而言，所有的電壓及電流均為具有相同頻率的正弦波，而所差者是幅度及相角，這些電流及電壓一般可以表示為：

v(t)=Vp cos(ωt+θV)＝Vcos(ωt+θV)[V] (5-70)i(t)=Ip cos(ωt+θI) ＝Vcos(ωt+θI) [A] (5-71)

其中Vp及Ip表示正弦電壓及電流的峰值，V及I表示正弦電壓及電流的有效值，而θV及θi分別表示它們的相角。

102

交流功率當電路裡存在有電流及電壓時，它必定會產生功率，此一功率p(t)可以表示為

其中θ=θV－θI表示電壓與電流之間的相角差。假若在考慮電路的工作時以電流來作為參考軸，則θI=0，此時p(t)式可以改寫為：

]W)[t2cos(2IVcos

2IV

)t2cos(2IVcos

2IV

)tcos()tcos(IV)t(i)t(v)t(p

IPPPP

IVPPPP

IVPP

θ+θ+ω+θ=

θ+θ+ω+θ=

θ+ωθ+ω==

]W)[t2cos(2IVcos

2IV)t(i)t(v)t(p PPPP θ+ω+θ==

103

交流功率

若以有效值來表示，則p(t)=VIcosθ+VIcos(2ωt+θ)[W]

=P(1+cos2ωt)+Qsin2ωt[W]此一功率稱為瞬間功率。瞬間功率包含兩部分。其中第一項，即VIcosθ與時間無關，保持為一定值，此一部分稱為平均功率，第二項VIcos(2ωt+θ)，隨時間作正弦變化，但它的頻率為電源頻率的兩倍。其中

P=VIcosθ[W] Q=VIsinθ[VAR]

若對p(t)式取其平均值，可發現其結果將等於P，此一P即前述的平均功率，同時它也等於電路實際所消耗的功率，此一功率也稱為是實功率，一般消費者就是依據此一功率來支付電費，其單位如直流功率一樣為瓦(W)。

104

交流功率

實功率與電壓電流乘積的比值為相角的餘弦，此一相角的餘弦稱為功率因數(PF)，即

一交流電路其功率因數等於實功率被有效電流及有效電壓的乘積來除所得到的結果，此一有效電流及有效電壓的乘積稱為視功率，以S來表示，其單位為伏安(VA)。當電流與電壓同相，亦即θ＝0°時，視功率等於實功率，同時功率因數為1。當電流與電壓不同相，亦即θ≠0°時功率因數少於1，亦即實功率少於視功率。當θ＝±90°時，將無任何平均功率傳送到負載。

SP

VIPcosPF ==θ=

105

交流功率

Q稱為無功功率，其單位為乏(VAR) 。無功功率在θ＝0°時並不存在，但在θ＝±90°時其值為最大。

在一電路裡若視功率S為一定，當θ＝0°時，所有視功率全部轉變為實功率，無功功率為零，但隨著θ角度絕對值的增加，實功率將隨之減少，而無功功率將增加，到θ＝±90°時實功率完全不存在，所有視功率將全部轉變為無功功率。

對一電阻器而言，因其電流與電壓是同相，所以其實功率與視功率相等，且PF=1。

106

交流功率

對一理想電感器而言，其電流與電壓可分別表示為iL(t)=Ipsinωt[A]

因此其瞬間功率為

電感器的平均功率為零，也就是指對一理想電感器而言，它並不產生損失，它在某一瞬間由電源裡接收能量，在下一瞬間裡它將全部還回給電源。對一60Hz的電源而言，能量將以脈衝的方式每秒120次在電感器裡進出，因為此一原因而使某些如變壓器或馬達等重電設備存在有120Hz的哼聲。

]V[tcosLIdtdiL)t(v pLL ωω==

]W)[t2sin(LI21tsintcosLI)t(v)t(i)t(p 2p

2pLLL ωω=ωωω==

107

交流功率

電感器是以電磁感應來產生工作，因此當加入電源後，它將會把所得到的能量轉變為磁能而加以儲存。電感器所儲存的磁能大小為

若所加入的電源為正弦波，則瞬間儲存能量可以表示為

圖5-57所示為電感器在正弦輸入時所儲存的能量與功率對時間的關係。

]J[(t)Li21)t(w 2pm =

( ) [ ] ]J[t2cos14

LItcosL

21)t(w

2p2

pm I ω+=ω=

108

交流功率

圖5-57 電感器所儲存的能量與功率對時間的關係

109

交流功率

由圖5-57上可發現電感器所儲存的能量為非負值且具有脈衝形式，其頻率為交流電源頻率的兩倍。當儲存的能量增加時，進入電感器的功率為正，在此一時段裡電感器視同為負載，而由交流電源處吸收能量；但是當儲存能量減少時，進入電感器的功率為負，亦即表示此時電感器視同為一電源，將能量還給交流電源。在電感器裡最大的儲存能量為：

而平均儲存能量為最大儲存能量的一半，即

其中I為流過電感器的有效電流值。

]J[LILI21W 22pmp ==

]J[LI21W 2m =

110

交流功率(例5-20)

一個理想的0.1H電感器當加入30Hz的交流電壓時，它的平均儲存能量為5J，試求加於電感器的最大功率為多少？

[解]：流入電感器的有效電流值為

因此最大功率為：

]Α[101.052

LW2I m =×==

]W[1885)10(1.0302LILI

P 222p

max =×××π=ω=2ω

=

111

交流功率電容器如同電感器一樣，也是一種儲能元件，但電容器所儲存的是電能。對一理想電容器而言，其電壓及電流可分別表示為

vc(t)=Vpcosωt[V]

因此其瞬間功率為：

如同理想電感器一樣，其平均功率為零，不產生損失，能量是在電容器與交流電源之間作往返工作，其波形變化也是與理想電感器者相同，所儲存的能量為非負值且具有脈衝形式，其頻率為交流電源頻率的兩倍。

]A[tsinCVdt

dVC)t(i pCC ωω−==

]W[t2sin2

CV)tsinCV)(tcosV()t(i)t(v)t(p2P

PPCCC ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω−=ωω−ω==

112

交流功率當儲存的能量增加時，進入電容器的功率為正，在此一時段裡電容器視同負載，而由交流電源處吸取能量。但是當儲存能量減少時，進入電容器的功率為負，亦即表示此時電容器視同為一電源，將能量還給交流電源。電容器所儲存的電能可表示為：

若所加入的電源為正弦型式，則其瞬間儲存能量為：

其最大儲存能量為：

而平均儲存能量為最大儲存能量的一半，即

其中V為跨於電容器的有效電壓值。

]J)[t(CV21)t(w 2ce =

[ ] [ ] ]J[t2cos14

CVtcosVC

21)t(w

2p2

pe ω+=ω=

]J[CVCV21W 22pep ==

]J[CV21W 2e =

113

交流功率(例5-21)

一個120μF的電容器在60Hz交流電源的作用下，平均儲存了14J的能量，試求其最大電流為多少？[解]：電容器的有效電壓值為：

因此有效電流為：

故其最大電流為：

]V[48310120142

CW2V 6

e =××

==−

]A[9.2148310120120CVXVI 6

C

=×××π=ω== −

]A[9.3029.21I2Ip =×==

114

表5-1 電阻器、電感器及電容器的功率及能量關係

負無功功率

VIsin(−90°)=－ωCV200－90o電容器

正無功功率

VIsin90°=ωLI200＋90o電感器

只有實功率

0I2R10o電阻器

說明QPPFθ元件

115

例5-22

試求圖5-58RL串聯電路的功率因數、平均功率、無功功率以及最大儲存能量。

圖5-58 例5-22的電路

[解]：圖5-58電路的阻抗為][4.561.181.15j1004.0120j10 o Ω∠=+=×π+=Z

116

例5-22(續)

流於電路裡的電流為：

功率因數為：PF＝cosθ＝cos56.4°＝0.553

平均功率為：P＝VI cosθ＝120×6.63×0.553＝440[W]

無功功率為：Q＝VI sinθ＝120×6.63×sin(56.4°)＝663[VA]

最大儲存的能量為Wmp＝LI2＝0.04×(6.63)2＝1.76[J]

]A[4.5663.64.561.18

0120 oo

o

−∠=∠∠

==ZVI

117

複功率

在前面功率是以時域的正弦波形式來表示，但也可以用頻域的相量形式來表示。由前面的討論可知送到負載的平均功率可以表示為：

圖5-59所示為一RL串聯電路的I-V相量關係圖。由此圖上可發現式中的⎜I⎜cosθ項表示I相量投影在V相量上的成份，也就是指此一項目表示電流與電壓同相的部分，由此可知實功率或平均功率是由電壓以及與電壓同相的電流兩者的乘積來求知。

]W[coscos2IVP PP θ=θ= IV

圖5-59 表示電流同相及異相成份的相量圖

118

複功率

由圖5-59可知除了與電壓同相的成份以外，電流還存在有與電壓異相的成份，此一成份可以表示為⎜I⎜sinθ，此一異相成份與電壓的乘積即為無功功率，亦即

Q＝|V||I|sinθ[VAR]P與Q的複數和稱為複功率，此一複功率可以

表示為：S＝VI*＝P＋jQ[VA]

其中S表示單位為伏安的複數功率。在S裡電流採用共軛項的主要原因，是消除存在於電流及電壓的相角，而只考慮負載的相角，亦即電流與電壓之間的相角差。

119

複功率

此點可由下面來說明，設：V＝|V|∠θV[V] 及 Z＝|Z|∠θ[Ω]

其中θV表示電壓的相角，假設它並不等於零，因此

若取其共軛可得I*＝|I|∠(－θV＋θ)[A]因此可得複功率為：S＝VI*=(|V|∠θV)(|I|∠(－θV＋θ))＝|V||I|∠θ＝|V||I|(cosθ＋jsinθ)[VA]

由此可知利用共軛的主要原因，就是使複功率不受電流及電壓相角的影響，而只是負載阻抗相角的函數。

]A)[( V θ−θ∠== IZVI

120

複功率複功率就是前述的視功率。視功率與實功率及無功功率三者構成了所謂功率三角的關係，如圖5-60所示。 經由功率三角就可以求得各功率之間的關係為：

在Q裡電流滯後取＋，此一情形也可以說電路的負載為電感性。若電流領先取Q取－值，此一情形也可以說電路的負載為電容性。

]VA[QPS 22 +=

22 QPP

SPPF

+==

]VAR[)PF(1SQ 2−±=

圖5-60 功率三角

121

例5-23有一以230V來工作的馬達其機械輸出功率為3馬力(hp)。馬達的輸入電流、電壓及功率分別為226V、15.6A及2920W。試求其功率因數及無功功率，並繪出其相關的相圖。假設電流為滯後。[解]：輸送至馬達的視功率為：

S＝VI＝226×15.6＝3530[VA]功率因數為

其相對應的相角為：θ＝cos-1(0.828)＝34.10其無功功率為：

所對應的相圖如圖5-61所示。

828.035302920

SPPF ===

]VAR[1980)2920()3530(PSQ 2222 =−=−+=

122

例5-23續

圖5-61 例5-23的相圖

123

例5-24

對Z＝10∠15oΩ的阻抗加入V＝50∠0oV的電壓時。求其複功率、視功率、實功率、無功功率及功率因數為多少？[解]：流過此一阻抗的電流為：

其複功率為：S＝VI*＝(50∠0o)(5∠15o)＝250∠15o[VA]

視功率、實功率、無功功率分別為：S＝250[VA]

P＝Scosθ＝(250)(cos15o)＝250×(0.966)＝241.5[W]Q＝Ssinθ＝(250)(sin15o)＝250×(0.259)＝64.7[VAR]相角為15o，因此功率因數為PF＝cos15o＝0.966

]A[1551510050

ZVI oo

o

−∠=∠∠

==

124

複功率

如前所述，交流功率包含了實功率及無功功率兩部分，在電力公司的立場而言，比較注重在無功功率的部分。因為發電機所供應的功率為視功率，此一視功率為實功率及無功功率之和，如果某一用戶其負載的功率因數太小，則其在相同的視功率條件之下所得到的實功率將變小。也就是指它所付出的費用與它所得到的實功率不成比例，因此當某一用電戶其功率因數過小時，則必須要加以修正，以使它能在相同的視功率條件之下得到更多的實功率。通常一般大電力用戶其負載為電感性，因此可採用與負載並聯電容器的方式來修正其功率因數，如圖5-62所示。

125

複功率

圖5-62 (a)以並聯電容器的方式來修正功率因數。(b)以電容器的領先電流來抵消電感性負載的滯後電流，

以使輸入電流減少但不改變其實功率。

126

複功率

圖5-62(a)所示為電路的安排方法，而圖5-62(b)所示為整個系統的相圖，當電容器不存在時，負載電流Iload存在有相當大的異相部分。當電容器存在時，電容器的電流IC為一領先電壓的電流，此一電流與滯後於電壓的電感性電流相差180°，因此它可抵消部分電感性電流，也就是減少了異相部分，而使實功率不變但減少輸入電流，也就是減少了電費的支出。

127

例5-25有一460V，60Hz的負載，在滯後功率因數為0.75的條件之下消耗12kW的功率，試求必須加入多大的電容器來使其功率因數修正為0.9？[解]：負載電流的有效值為：

其相角為θ＝cos-1(0.75)＝41.4°若以電壓作為參考軸，則電流為： Iload=34.8∠－41.1o=(26.1－j23)[A]並聯電容器的加入只改變異相部分但不改變其同相部分。對一0.9的滯後功率因數而言，所對應的相角為：θ’＝cos-1(0.9)＝−25.9°因此異相電流成份必須為：23.0－IC＝26.1tan25.9°＝12.6所以IC＝10.4[A]而所對應的電容器之大小為：

]A[8.3475.0460

12000PFV

PIload =×=

×=

]F[8.59460602

4.10V

IC C μ=××π

=ω

=

128

最大功率轉移

對直流電路而言，某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時，可得到最大的功率轉移的現象。但對交流電路而言，因有相角的存在，因此在考量最大功率轉移時，除了要考慮絕對值的相等以外，還必須考慮相角的影響。對圖5-63的電路而言，欲使ZL得到最大功率轉移所需要的條件為：

⎜ZL⎜＝⎜ZTh⎜ 及 θL＝－θTh由上述的關係可知

由此可知對交流電路而言，欲使ZL得到最大功率轉移，則其阻抗必須與電源內阻抗的共軛值相等。採用共軛值主要的目的是消除無功功率的影響，因為最大功率轉移是考慮實功率的轉移。

][ZZ *ThL Ω=

129

最大功率轉移

圖5-63 最大功率轉移

130

最大功率轉移

因為是共軛相等，所以當內阻抗是電感性，則負載必須是大小相等的電容性阻抗，反之亦然，其結果如圖5-64所示。

圖5-64 最大功率轉移的阻抗關係

131

最大功率轉移

由圖5-64的關係可知RL＝RTh[Ω] ， XLL＝XCTh[Ω] ， XCL＝XLTh[Ω]

其中XLL及 XCL分別表示電感性電納負載及電容性電納負載，而XLTh及 XCTh分別表示電感性內電納及電容性內電納。圖5-64電路的總阻抗為：

Z＝(RTh＋jXTh)＋(RL－jXL)＝(RTh＋RL)＋j(XTh－XL)在最大功率轉移時RTh＝RL及XTh＝XL，因此

Z＝2RTh＝2RL[Ω] 此時流過負載的電流為：

傳送到負載的最大功率可以表示為：

]A[R2V

ZVI

Th

ThThL ==

]W[R4VR

R2VRIRIP

Th

2Th

Th

2

Th

ThTh

2LL

2Lmax =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡===

132

例5-26

在圖5-65的電路裡，求能提供最大功率的ZL值，並求此一最大功率。

圖5-65 例5-26的電路[解]：由ZL看入電路所得到的戴維寧等效阻抗為：

][93.0j42.326.1555.326.1561.4553.879.161

12j4424j160

)10j(2)10j(2

4j2)4j(2Z

o

o

o

Th

Ω−=−∠=

−∠−∠

=−−

=−+−

++

=

133

例5-26(續)

而戴維寧等效電壓為：

欲得到最大功率，則ZL必須等於

流過與此一電路相對應的戴維寧等效電路的電流為：

因此最大功率為：

Pmax=⎜I⎜2R＝(6.54)2×3.42＝146.28[W]

]V[57.2674.440504j2

4jV ooTh ∠=∠×+=

][93.0j42.3ZZ *ThL Ω+==

]A[54.642.342.3

74.44I =+

=

134

例5-27

欲使圖5-66的電路得到最大功率傳輸時，負載ZL應為多少？同時此一最大功率為多少？

圖5-66 例5-27的電路

135

例5-27(續)

由ZL看入電路所得到的戴維寧等效阻抗為：

而戴維寧等效電壓為： VTh＝120∠0o[V]欲得到最大功率傳輸時，則

RL＝470.58[Ω]，X＝XC＝117.68[Ω]，ZL＝470.58Ω－j117.68[Ω]

而最大功率為：

][68.117j58.47004.1407.4852000j500

)902000)(0500(Z

o

oo

Th

Ω+=∠=

+∠∠

=

]W[65.758.4704

)120(R4VP

2

Th

2Th

max =×==