Catatan Kuliah 3

5/11/2018 Catatan Kuliah 3 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/catatan-kuliah-3 1/11

1

Catatan Kuliah 3Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks

Tujuan: Materi ini bertujuan memberikan pemahaman kepada

mahasiswa mengenai definisi matriks dan dasar-dasar

operasi matriks. Setelah pembelajaran ini, mahasiswa

diharapkan mampu memahami dan melakukan berbagai

operasi dasar matriks.

Bacaan: Chiang, A. C. & K. Wainwright [ACKW] Fundamental Methods of

Mathematical Economics, 4th edition, McGraw-Hill, Inc. 2005, Bab 4

1. Matriks dan Vektor

Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan, parameter atau variabel tersusun dalam baris

dan kolom sehingga terbentuk segi empat. Susunan ini biasanya diletakkan dalam

tanda kurung ( ) atau kurung siku [ ] . Bilangan, parameter atau variabel yang

berada dalam kurung tersebut merupakan anggota atau elemen dari matriks.

Notasi : huruf besar, misal : A

Contoh matriks A dengan elemenij

a :

ij A a ,1, 2,...,

1, 2,...,

i m

j n

m : jumlah baris

n : jumlah kolom

m n : dimensi matriks

i : baris ke-i

j : kolom ke- j

Contoh :

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

n n

n n

mxn mxn

m m mn m m mn

a a a a a a

a a a a a a A atau A

a a a a a a



2

Matriks A berdimensi 3 3

3 3

6 3 4

3 6 3

2 2 8

A

Vektor

Susunan bilangan yang hanya terdiri dari satu baris (vektor baris) atau satu kolom

(vektor kolom).

Vektor barisn xn aaa A 11211)1(

Vektor kolom

1

21

11

)1(

m

mx

a

a

a

A

Jenis-Jenis Matriks

a. Matriks bujur sangkar

Matriks yang memiliki jumlah baris (m) dan jumlah kolom (n) yang sama.

Misal matriks A berdimensi 2 2 dimana 2m dan 2n

2221

1211

22a

aa A x

b. Matriks diagonal

Matriks A disebut matriks diagonal jika 0ija untuk i j .

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 0

0 2 0

0 0 3

a a a

A a a a

a a a

c. Matriks simetris

Matriks bujur sangkar yang memiliki elemen di bawah diagonal merupakan

cerminan dari elemen di atas diagonal sehingga transpose matriks A ( ' A atau



3

T A ) sama dengan matriks A '

T A A A . Atau dengan kata lain, matriks

A disebut matriks simetris jikaij ji

a a untuk setiap i dan j.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 3 5

3 2 7

5 7 4

a a a

A a a a

a a a

dimana

12 21

13 31

23 32

a a

a a

a a

d. Matriks skalar

Matriks bujur sangkar yang memiliki elemen-elemen nilai yang sama pada

diagonal utamanya.

33

22

11

00

00

00

a

a

a

A dimana 332211aaa

Contoh :

3 0 0

0 3 0 3

0 0 3

e. Matriks Identitas ( I atau I n)

Matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1,

sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol.

2

1 0

0 1 I

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

Sifat-sifat :

AI AI A

T I I

1 I I

f. Matriks Nol

Matriks yang seluruh elemen-elemennya terdiri dari bilangan nol.



4

2 2

0 00

0 0,

3 1

0

0 0

0

g.

Matriks segitigaMatriks dimana nilai semua elemen di atas diagonal utama atau di bawah

diagonal utama bernilai nol.

Matriks segitiga atas :

33

2322

131211

00

0

a

aa

aaa

A

Matriks segitiga bawah :

233231

2221

11

0

00

aaa

aa

a

A

h. Matriks Idempoten

Matriks bujur sangkar A disebut matriks idempoten jika memenuhi aturan

AA A.

Contoh :

0, 4 0, 8

0, 3 0, 6 A

0, 4 0,8 0, 4 0,8 0, 4 0,8

0,3 0, 6 0,3 0, 6 0,3 0, 6 AA A

i. Matriks Partisi

Suatu matriks yang dibagi menjadi dua atau lebih submatriks. Pembagiannya

dapat dilakukan menurut baris dan (atau) kolom. Matriks partisi ini ditandai

dengan garis horizontal dan (atau) garis vertikal secara terputus-putus.

Kegunaannya adalah untuk memudahkan dalam operasi matriks.

Misal matriks A berukuran m n :

1

2

A A

A, 1 2| A A A , 11 12

21 22

|

|

A A A

A A

j. Matriks Transpose

Matriks yang barisnya saling dipertukarkan menjadi kolom atau sebaliknya

kolom menjadi baris.

Notasi : ' A atauT

A



5

Contoh :3 7

9 2 A maka

3 9

7 2

T A

Sifat-sifat Transpose :

Transpose dari transpose suatu matriks adalah matriks itu sendiri ataumatriks aslinya.

T T

A A

Transpose dari suatu jumlah atau selisih matriks adalah jumlah atau selisih

matriks masing-masing transpose.

Transpose dari suatu hasil kali matriks adalah perkalian dari transpose-

transpose dalam urutan yang terbalik.

T T T AB B A atau

T T T T ABC C B A

2. Operasi Matriks

a. Penjumlahan dan pengurangan matriks

Matriks dapat dijumlah atau dikurang jika memiliki dimensi (ukuran) yang

sama.

m n m n m n A B C

Sifat-sifat penjumlahan (atau pengurangan) :

Komutatif :

Asosiatif : A B C A B C

b. Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan jika hanya jika ukuran kolom suatu matriks samadengan ukuran baris matriks lainnya.

m n p q m q A B C dimana n p

Sifat-sifat :

0 0 A

AI A

Perkalian scalar (k ) : kA Ak

AB BA



6

Asosiatif : AB C A BC

Distributif : A B C AB AC

B C A BA CA

3. Determinan dan Sifat Dasar dari Determinan

Determinan suatu matriks adalah suatu bilangan skalar yang diperoleh melalui

operasi tertentu dari elemen-elemen matriks tersebut. Determinan hanya dapat

diperoleh pada matriks bujur sangkar. Penulisan suatu determinan matriks ditandai

dengan kurung , misalkan determinan matriks A ditulis A .

Metode penghitungan determinan:

a) Determinan tingkat dua (second-order determinant)

2221

1211

aa

aa A

Contoh :

10 4{(10)(5)} {(8)(4)} 18

8 5 A

b) Determinan tingkat 3 (third-order determinant)

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Metode sarrus

| A| =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

aa

aa

aa

= )()( 122133112332132231322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Contoh :

11 12

11 22 12 21

21 22

( ) ( )a a

A a a a aa a



7

2 1 3

4 5 6 (2)(5)(9) (1)(6)(7) (3)(8)(4) (2)(8)(6) (1)(4)(9) (3)(5)(7) 9

7 8 9

A

Metode Laplace expansion

ij

n

i

ij C a A1

dimana :

ij

ji

ij M C )1(

ija : elemen matriks A ke-ij

C ij : co-factor matriks ke-ij M ij : minor matriks ke ij, merupakan nilai submatriks dengan

menghilangkan baris ke-i dan kolom ke- j

Dengan demikian, nilai determinan dari matriks A berdimensi 3x3 :

131312121111 C aC aC a A

131312121111 M a M a M a A

312213322113332112312312322311332211

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aa

aa

aaa

aa

aaa

aa

a A

Sifat-sifat determinan :

1. Pertukaran baris dengan kolom tidak mempengaruhi nilai determinan. Dengan

kata lain, nilai determinan suatu matriks sama dengan nilai determinan

transpose matriks tersebut.

' A A

bcad d b

ca

d c

ba

Contoh: 963

54

65

34

2. Pertukaran dua baris (atau dua kolom) manapun akan mengubah tanda, tetapi

nilai dari determinannya tidak berubah.



8

bcad d c

ba

pertukaran kedua baris menghasilkan :

)( bcad ad cbbad c ,

Contoh:

26

103

752

310

,

pertukaran kolom pertama dengan kolom ketiga menghasilkan:

26

301

257013

3. Perkalian dari satu baris (atau satu kolom) manapun dengan bilangan skalar k

akan mengubah nilai determinan sebesar k kali.

)( bcad k kbckad d c

kbka

Perlu diingat bahwa: Ak kA

Jika mengalikan suatu matriks A dengan bilangan konstan k , maka semua

elemen dalam A dikalikan oleh k . Tetapi, bila mengalikan determinan A

dengan k , hanya satu baris (atau kolom) yang dikalikan oleh k .

kd kc

kbka

d c

bak

d kc

bka

d c

kbka

d c

bak

4. Penambahan (atau pengurangan) dari suatu kelipatan baris atau kolom

manapun, ke baris atau kolom yang lain akan menyebabkan nilai

determinannya tidak berubah.

d c

babcad kacbkbd a

kbd kac

ba)()(

5. Apabila satu baris atau kolom adalah identik atau kelipatan dari baris

atau kolom lainnya, maka nilai determinannya akan menjadi nol



9

02222

ababba

ba

4.

Kombinasi Linier dan RankKombinasi Linier

Suatu vektor W dikatakan sebagai kombinasi linier dari himpunan vektor-vektor

1 2, , ..., nu u u apabila W dapat dinyatakan dalam bentuk :

1 1 2 2

1

...n

i i n n

i

W k u k u k u k u ; ik

Kebebasan Linier (Linearly Independent)

Suatu himpunan vektor-vektor 1 2, , ..., nu u u bebas linier jika dan hanya jika

1 1 2 2

1

... 0n

i i n n

i

k u k u k u k u hanya untuk 1 2... 0nk k k , dimana 0

adalah vektor nol.

Terpaut Linier (Linearly Dependent)Suatu himpunan vektor-vektor 1 2

, , ..., nu u u bebas linier jika dan hanya jika

1 1 2 2

1

... 0n

i i n n

i

k u k u k u k u dengan ik tidak semuanya bernilai nol.

Rank

Rank digunakan untuk menentukan singularitas suatu matriks dan linear

independent pada suatu sistem persamaan linear.

Cara menentukan rank :

a. Determinan

jika nilai determinan suatu matriks tidak sama dengan nol maka matriks

tersebut memilik rank penuh.

b. Operasi baris elementer

Seandainya determinan suatu matriks itu nol, nilai rank masih bisa ditentukan

dengan cara operasi baris elementer. Ketentuan proses operasi baris elementer:



10

Pertukaran antara 2 baris pada matriks

Perkalian atau pembagian dari suatu baris dengan suatu skalar

Penjumlahan dari k kali suatu baris dengan baris yang lain

Contoh :

001

930

151

A

Cara determinan :

1 5 1

0 3 9 42 3

1 0 0

rank

Cara operasi baris elementer :

3.1 1 53.2

2

1 5 1 1 5 1 1 5 1

0 3 9 0 3 9 0 3 9 3

1 0 0 0 5 1 0 0 14

E E rank

Soal :

Apakah matriks A mempunyai full rank? Berapa rank dari matriks A? Lakukan

analisis determinan dan operasi baris elementer.

a) 1220

2420

1201

A

b) 3613

2422

1201

A

c) 121

220

420

201

A



11

Documents

Catatan Kuliah 3