Sveuilite u ZagrebuPrirodoslovno-matematiki fakultetMatematiki odsjek

Seminar 2 Odabrane teme iz geometrijeCassinijevi ovali i Bernoullijeva lemniskataMarija Laa, Ivana Peran, Danijela Protega

Zagreb, oujak 2015.

Sadraj

1. Uvod32. Cassinijevi ovali52.1. Osobitosti forme52.2. Nain konstrukcije83. Bernoullijeva lemniskata93.1. Svojstva93.2. Konstrukcija124. Zakljuak135. Literatura14

1. Uvod

Cassinijevi ovali i Bernoullijeva lemniskata jedne su od najpoznatijih algebarskih krivulja 4.reda. Openito, red ravninske algebarske krivulje jednak je broju njezinih sjecita s bilo kojim pravcem njezine ravnine, no opirnije o tome emo pisati u nastavku.Bernoullijeva lemniskata je zapravo poseban sluaj Cassinijevih ovala, no ispoetka se nije znala poveznica izmeu te dvije krivulje. Naime, lemniskatu je prvi opisao Jacob Bernoulli, 1694. godine, kao modifikaciju elipse. Elipsa je je geometrijsko mjesto toaka za koje je zbroj udaljenosti od dvije fiksirane toke konstantan. Za razliku od nje, lemniskata je geometrijsko mjesto toaka za koje je produkt udaljenosti od dviju fiksiranih toaka stalan. S istom tom definicijomGiovanni Domenico Cassini opisao je, 1680. godine, Cassinijeve ovale. Bernoulli je ovu krivulju nazvao lemniscus, to je latinski naziv za "ukrasnu traku". Jacob Bernoulli bio je poznati vicarski astronom i matematiar. Njegov najvei doprinos bio je na podruju matematike, a njegov doktorat Ars Conjectandi, u slobodnom prijevodu Umjetnost pretpostavke, bio je prijelomna toka u razvoju teorije vjerojatnosti. Pouavao je kao sveuilini profesor u Baselu. Jedno od njegovih najvanijih otkria je jednadba lemniskate koju prvi puta susreemo u djeluActa eruditorum iz 1694. godine.

Slika 1.1. Jacob Bernoulli Slika 1.2. Naslovna stranica djela Ars ConjectandiFrancuski astronom, matematiar i astrolog talijanskog podrijetla, Giovani Domenico Cassini je jo u svojoj mladosti bio oaran zvijezdama i kao posljedica njegovo prvo zanimanje bilo je ponajvie vezano uz astrologiju. Kasnije se u ivotu usredotoio gotovo iskljuivo na astronomiju, za razliku od Bernoullija koji je svoj ivot posvetio prvenstveno radu na podruju matematike. Cassini je otkrio etiri Saturnova mjeseca i tamnu liniju du cijelog Saturnova prstena, nazvanu "Cassinijeva pukotina". Bio je profesor na Bolonjskom sveuilitu i ravnatelj Parike zvjezdarnice. Zajedno sa svojim kolegom, istovremenim promatranjem Marsa sa dva razliita, dovoljno udaljena mjesta, odredio je njegovu udaljenost. Time su po prvi put izmjerene stvarne veliine Suneva sustava. Cassini je bio prvi znanstvenik koji je napravio uspjena mjerenja zemljopisne duine, koristivi pomrine Jupiterovih satelita kao sat.

Slika 1.3. G.D. Cassini Slika 1.4. Cassinijev krater na Mjesecu

U nastavku emo predstaviti osnovna svojstva Cassinijevih ovala i Bernoullijeve lemniskate, te se upoznati sa nainom konstrukcije i njihovom primjenom.

2. Cassinijevi ovali2.1. Osobitosti forme

Cassinijevi ovali su familija krivulja 4. reda, takoer poznati kao Cassinijeve elipse. Oni su zapravo poseban sluaj Persejevih krivulja, kada je c=0, gdje c predstavlja konstantu. Persejeve krivulje su geometrijsko mjesto toaka M za koje vrijedi,gdje su c i c1 su konstante, F i F1 fiksne toke, i O je polovite duine .Kada je c=0, tada vrijedi Prema tome, Cassinijevi ovali su geometrijsko mjesto toaka za koje je produkt udaljenosti od dvije vrste toke konstantan.Neka dvije fiksirane toke F i F1 (fokusi ovala) lee na apscisnoj osi i imaju koordinate (-c,0) i (c,0), a konstantna vrijednost produkta je i neka iznosi a2. Tada jednadba koja odreuje Cassinijeve ovale ima zapis

Poslije sreivanja jednadbe dobivamo (i)Kada zapiemo dobivenu jednadbu u polarnim koordinatama dobivamo. (ii)Osim to iz jednadbe (i) uoavamo da su Cassinijevi ovali algebarske krivulje 4. reda, takoer vidimo da su one simetrine s obzirom na koordinatne osi.

Slika 2.1.1. Neki od Cassinijevih ovala

Razlikujemo tri osnovna oblika ovala, ovisno o odnosu parametara a i c:1. U ovom sluaju u jednadbi (ii) od dva znaka ispred unutarnjeg korijena treba uvaiti samo plus, jer za negativnu vrijednost korijena odgovarajui poprima imaginarnu vrijednost. Kada vrijednosti kuta variraju u intervalu od 0 do , radijvetkor poprima vrijednosti do . Lako je izraunati da pri promjeni od 0 do derivacija ostaje negativna, odnosno, e monotono padati unutar gore navedenih granica. Tada je krivulja zatvorena i simetrina s obzirom na koordinatne osi.Slika 2.1.2. Cassinijev oval kada vrijedi nejednakost a>c

1. Kada parametri a i c imaju jednake vrijednosti jednadba Cassinijevih ovala u polarnim koordinatama (ii) izgleda ovako:

i u tom sluaju opisuje Bernoullijevu lemniskatu.Slika 2.1.3. Cassinijev oval kada vrijedi jednakost a=c

1. Tijekom opisivanja sluaja gdje je vrijednost parametra a manja od vrijednosti parametra c iskoristit emo jednakost radi lakeg zapisivanja jednadbe (ii). Sada e ona glasiti. (iii)Uoavamo da, zbog , vrijedi 1, odnosno, . Slika 2.1.4. Cassinijev oval kada vrijedi nejednakost a