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MATEMTICAS CON CALCULADORA GRFICA

Unidades didcticas

MATEMTICAS CON CALCULADORA GRFICA

Unidades didcticas

Coordinacin

Agustn Carrillo de Albornoz Torres

SAEM THALES

Matemticas con calculadora grfica. Unidades didcticas Los autores:

Lus Barrios Calmaestra

Agustn Camacho Snchez

Ana Mara Carrin de la Fuente

Jos Manuel Fernndez Rodrguez

Miguel ngel Fras Gallardo

M. ngeles Guil Arts

Jos Lus Iranzo Acosta

Rafael Ramrez Ucls

Encarnacin Snchez Mingorance

M Teresa Valero Gmez

M. Teresa Valdecantos Dema

Coordinacin:


Diseo de cubierta:

Miguel ngel Cceres

De la presente edicin:

Sociedad Andaluza de Educacin Matemtica THALES. 2007

Editado por:

SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIN MATEMTICA THALES

Facultad de Matemticas. Apartado 1160. 41080-Sevilla

Telfono: 954623658. Fax: 954236378

Correo electrnico: [email protected] Web: http://thales.cica.es

Impresin:

IMPRENTA LUQUE

Polgono Industrial Las Quemadas.

C/ Diego Galvn, 255. 14014 - Crdoba

Telfono: 957764080

ISBN: 978-84-920056-9-7

Depsito Legal: C0-437/2007

NDICE

ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS. UNA APLICACIN

ECONMICA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL

Jos Manuel Fernndez Rodrguez y Jos Lus Iranzo Acosta.....................11

FUNCIONES POLINMICAS Y RACIONALES

Ana Mara Carrin de la Fuente....................................................................59

LA FUNCIN POLINMICA DE SEGUNDO GRADO

Lus Barrios Calmaestra.................................................................................85

ESTADSTICA BIDIMENSIONAL

M. Teresa Valdecantos Dema .....................................................................115

FUNCIONES LINEALES Y CUADRTICAS

Agustn Camacho Snchez, M. ngeles Guil Arts y

M Teresa Valero Gmez ..............................................................................127

LA CALCULADORA GRFICA

Rafael Ramrez Ucls y Encarnacin Snchez Mingorance.......................143

SISTEMAS DE ECUACIONES

Miguel ngel Fras Gallardo .......................................................................159

ACTA DEL JURADO.............................................................................................177

Constituye una gran satisfaccin para la Divisin didctica CASIO, enmarcado en el conjunto de actividades para el uso y difusin de la calculadora en las aulas que mantiene en colaboracin con la SAEM THALES, haber auspiciado el Primer Concurso de Unidades didcticas con calculadora grfica y contribuir as con su grano de arena al desarrollo de la enseanza de una matemtica activa.

Slo nos resta felicitar a los colegas participantes, al jurado del concurso y a los ganadores por el entusiasmo, inters demostrado en la bsqueda de mtodos y soluciones innovadoras y por los conocimientos de los que han hecho gala.

A todos ellos, los agradecimientos de nuestra Divisin

Jordi Baldrich

Coordinador Divisin Didctica CASIO

La utilizacin de las calculadoras como recurso para el rea de Matemticas constituye un tema de debate permanente entre el profesorado, sobre todo en los niveles de Educacin Secundaria y de Bachillerato, con un alto nmero de detractores y quizs, un reducido nmero de entusiastas que da a da intentamos incorporar la calculadora como un recurso ms, convencidos de las posibilidades que ofrecen no slo al alumnado sino tambin al profesorado a la hora de introducir y trabajar determinados contenidos sobre todo aquellos que conllevan representaciones grficas.

En este debate, por desgracia salvo excepciones, apenas se cuenta con el apoyo de la Universidad o mejor expresado, de los profesores ponentes de las pruebas de acceso a la Universidad para las asignaturas de Matemticas II y menos an, de los responsables de las Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.

En cambio, desde la Sociedad Andaluza de Educacin Matemtica, desde hace aos a travs del convenio de colaboracin con CASIO se estn desarrollando distintas iniciativas para promover la incorporacin de las calculadoras al aula y su utilizacin por parte del profesorado. Adems de los cursos de formacin realizados en las distintas provincias y presentaciones sobre las posibilidades que las calculadoras ofrecen, se han convocado varias ediciones del Concurso Calculemos en que se ha contado con la colaboracin con la Consejera de Educacin de la Junta de Andaluca, a travs del cual se ha facilitado, de manera gratuita, a los centros participantes calculadoras ofrecidas desde la Divisin Didctica de CASIO.

Con motivo del XXV aniversario de la SAEM THALES se ha convocado el

concurso sobre unidades didcticas Matemticas con calculadoras grficas de las que en este texto ofrecemos las seleccionadas por el jurado que recibieron sus correspondientes premios y accsit en el acto celebrado el 25 de noviembre de 2006 en el Parlamento de Andaluca.

En el texto se ha respetado al mximo el original presentado por los ganadores y apenas se han retocado aspectos formales, nunca en cuanto a su contenido.

Para terminar, desde la SAEM THALES queremos agradecer la colaboracin y aportacin de CASIO a travs de su Divisin Didctica, a la vez que reconocemos su esfuerzo a pesar de las continuas dificultades que encontramos para conseguir un apoyo oficial o institucional que favorezca el uso de la calculadora en el aula en contra de las recomendaciones que aparecen en los Diseos Curriculares.

Los que creemos en las ventajas del uso de las calculadoras seguiremos defendiendo su uso, convencidos de que es posible ensear otras matemticas o al menos de ensearlas de otra forma con su ayuda.


Secretario General de la SAEM THALES

ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS. UNA APLICACIN ECNOMICA

DE LA FUNCIN EXPONENCIAL

Jos Manuel Fernndez Rodrguez

Jos Lus Iranzo Acosta

INTRODUCCIN

El objetivo de esta unidad es favorecer en el alumnado del primer curso de Bachillerato el desarrollo de las capacidades de integracin de conocimientos, al tener que relacionar conceptos y procedimientos tratados, en este caso, en las reas de Matemticas y Economa, todo ello complementado con el uso de medios tcnicos adecuados que permitan optimizar el rendimiento de nuestros alumnos y alumnas. En esta unidad, el uso de la calculadora grfica ser un recurso didctico fundamental para la creacin de un aprendizaje significativo. El carcter integrador de esta unidad permite que los contenidos tratados tengan una aplicacin directa, haciendo que el alumnado reconozca la utilidad prctica de los conocimientos matemticos adquiridos. Por eso, hemos credo conveniente plantear una unidad coordinada entre las reas de Matemticas y Economa, ya que en esta ltima existen multitud de cuestiones prcticas que pueden tratarse mediante conceptos y procedimientos matemticos, entre ellos, el planteamiento, resolucin y discusin de

12 UNIDADES DIDCTICAS CON CALCULADORA GRFICA

ecuaciones y sistemas. Por otro lado, la valoracin del rigor lgico de un razonamiento, la apreciacin de la utilidad y la potencia que posee el lenguaje matemtico y la claridad en la exposicin del proceso seguido, junto con la presentacin de resultados, son actitudes propiamente matemticas que deben valorarse en cualquier ciencia.

En el campo de la Economa, se ha producido un proceso de especializacin que obliga, hoy en da, a referirse a un Sistema de Ciencias Econmicas, que comprende un variado conjunto de disciplinas ms que a una Ciencia Econmica nica. La Economa se ha convertido ya en un gran autobs en el que viajan muchos pasajeros de inconmensurables intereses y habilidades, con diversidad de disciplinas, stocks de conocimientos, informacin y tcnicas, afirmaba el economista J. A. Schumpeter (18831950). Detrs de esta afirmacin se esconde una realidad irrefutable: la Economa se ha servido de muchas disciplinas cientficas para llevar a cabo sus avances, siendo las Matemticas una ayuda fundamental proporcionando tcnicas y herramientas variadas para poder comprobar y contrastar las diversas hiptesis que se han ido planteando en el campo de la Economa y de la Administracin de Empresas. El propio J. A. Schumpeter asevera que la Sociologa, la Teora Econmica, la Historia Econmica y la Estadstica forman los pilares fundamentales del Anlisis Econmico.

Esta forma de tratamiento intregrador y globalizador de los contenidos de la unidad puede tener a priori dos efectos negativos sobre su desarrollo. Por un lado, el hbito del alumnado a trabajar los problemas de forma aislada y, por otro el aumento del tiempo de clculo que se puede producir en algunas actividades. Desde este punto de vista, el uso de la calculadora grfica est ms que justificado ya que supone una herramienta fundamental a la hora de agilizar clculos, representaciones grficas, facilitar interpretaciones y dotar de autonoma al alumnado. Se trata de trabajar desde tres puntos de vista:

Utilizando los mtodos tradicionales de resolucin. Apoyando visualmente los conceptos, con la ayuda de las representaciones

grficas correspondientes.

Utilizando directamente la opcin de lgebra de la calculadora Classpad 300.

A pesar de todo lo dicho y del convencimiento de su utilidad, el uso de la calculadora grfica debe estar restringido por un criterio bsico, esta herramienta nunca puede mermar el conocimiento por parte de los alumnos y alumnas de los contenidos que se les pretenda ensear.

ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS 13

CONSIDERACIONES SOBRE EL DISEO DE ESTA UNIDAD Y SU APLICABILIDAD

El carcter integrador de la unidad que se propone en este trabajo supone que el profesorado de Matemticas y de Economa del primer curso de Bachillerato debe trabajar en estrecha relacin. As, la parte de presentacin y clculo de ecuaciones e inecuaciones mediante el empleo de calculadora grfica corresponder al rea de Matemticas, mientras que la aplicacin prctica, tambin utilizando la calculadora grfica, utilizando datos ofrecidos por el Instituto Nacional de Estadstica (INE) del Producto Interior Bruto (PIB) y de poblacin, va a corresponder al rea de Economa.

Esta unidad se ha diseado para ser desarrollada siguiendo la misma secuenciacin con la que aqu se expone, lo que no quiere decir que sea rgida y que no pueda ser susceptible de modificacin y/o mejora. Otro aspecto que se ha tenido en cuenta en el diseo de la unidad ha sido la disponibilidad de recursos materiales a la hora de llevarla al la prctica, se ha procurado ofrecer un material que se adapte a distintas situaciones:

Por un lado se puede utilizar como apoyo a la explicacin por parte del profesor de los contenidos de la unidad utilizando como material adicional un proyector de transparencias y un RM ClassPad Set.

Por otro lado el material que se presenta puede transferirse a la calculadora del alumno para que disponga de un refuerzo a los contenidos tratados y una gua de cmo resolver ste tipo de ejercicios con su calculadora.

Adems si se dispone de un aula de ordenadores puede emplearse el software ClassPad Manager

Teniendo en cuenta lo anterior, en las sesiones (correspondientes al rea de Matemticas) dedicadas a repaso y/o resolucin de ejercicios, ya que la variedad de ejercicios disponibles, la incertidumbre sobre los recursos tcnicos disponibles y la conveniencia o no de su uso en este tipo de sesiones de lo que se debe hacer, hemos optado slo por dar algunas indicaciones nada pretenciosas, de lo que se debe hacer.

La unidad se ha construido pensando en un grupo de primer curso del Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y Bachillerato Tecnolgico con alumnos y alumnas que cursen como optativa de libre eleccin la asignatura de Economa. Aunque somos conscientes de que esta situacin es poco habitual permitira al profesorado de cada rea ocuparse de los contenidos que le correspondan.

Si no es posible la situacin anterior se podran tomar dos caminos alternativos no excluyentes entre s:


El primero consistira en adaptar la unidad para el alumnado del Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales que tiene como asignaturas optativas de modalidad Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I y Economa. Con esto se conseguira que todos los alumnos que cursen Economa puedan completar la unidad.

El segundo camino llevara al profesorado de Matemticas a incluir una actividad, consensuada con el profesorado de Economa, sobre la aplicabilidad econmica de la ecuacin exponencial utilizando los datos que aqu se aportan, para que todos los alumnos toquen todos los contenidos de la unidad.

UBICACIN EN LA PROGRAMACIN DE LAS ASIGNATURAS DE MATEMTICAS Y ECONOMA

En el Decreto 208/2002, de 23 de julio, por el que se modifica el Decreto 126/1994, de 7 de junio, por el que se establecen las enseanzas correspondientes al Bachillerato en Andaluca hemos identificado los objetivos y contenidos que van a ser objeto de investigacin en el aula. Estos elementos bsicos de la programacin han sido objeto de adaptacin al nivel de desarrollo psicopedaggico del alumnado.


OBJETIVOS

REA DE MATEMTICAS REA DE ECONOMA 1. Dominar el manejo de las fracciones algebraicas y sus operaciones. 2. Resolver con destreza ecuaciones de distintos tipos y aplicarlas a la resolucin de problemas. 3. Resolver con destreza sistemas de ecuaciones. 4. Interpretar y resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

1. Analizar cmo se distribuye la renta en los distintos sistemas econmicos y el sentido de las polticas redistributivas. 2. Conocer y comprender los rasgos estructurales y coyunturales caractersticos de la situacin y perspectivas de la economa espaola y, dentro de sta, la andaluza. 3. Interpretar y evaluar crticamente los distintos mensajes, datos e informaciones que aparecen en los diversos medios de comunicacin social sobre desajustes econmicos de la actualidad referidos al mbito regional y nacional.

CONTENIDOS CONCEPTUALES

REA DE MATEMTICAS REA DE ECONOMA 1. Polinomios. Factorizacin. 2. Fracciones algebraicas. 3. Ecuaciones:

3.1. Polinmicas. 3.2. Con radicales. 3.3. Con denominadores literales. 3.4. Exponenciales. 3.5. Logartmicas.

4. Sistemas de ecuaciones. 5. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

1. Indicadores econmicos: Producto Interior Bruto y Producto Interior Bruto per cpita. 2. Distribucin de la renta. 3. Clculo e interpretacin de indicadores econmicos bsicos. 4. El crecimiento econmico y los rasgos bsicos determinantes del desarrollo. 5. Anlisis comparativo de los distintos niveles de desarrollo entre regiones y pases.


CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

REA DE MATEMTICAS REA DE ECONOMA 1. Factorizacin de un polinomio a partir de sus races enteras. 2. Operaciones con fracciones algebraicas. Simplificacin. 3. Resolucin de ecuaciones polinmicas de segundo grado, bicuadradas y de grado n con n-2 races enteras. 4. Resolucin de ecuaciones con radicales. 5. Resolucin de ecuaciones con denominadores literales. 6. Resolucin aproximada de ecuaciones. 7. Resolucin de ecuaciones exponenciales. 8. Resolucin de sistemas de ecuaciones de cualquier tipo que pueda desembocar en ecuaciones de las nombradas. 10. Resolucin de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones. 11. Interpretacin grfica de la resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. 12. Interpretacin grfica de la resolucin de inecuaciones y sistemas de inecuaciones. 13. Traduccin al lenguaje algebraico de problemas dados mediante enunciado y resolucin de los mismos. 14. Utilizacin del lenguaje algebraico para resolver e interpretar problemas planteados en otras reas. 15. Utilizacin de la calculadora grfica para factorizar un polinomio, operar con fracciones algebraicas, resolver ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ambos tipos.

1. Anlisis de la composicin y valoracin de las principales macromagnitudes. 2. Seguimiento peridico de los indicadores de coyuntura de la economa espaola, andaluza y del resto de regiones espaolas empleando distintas fuentes estadsticas institucionales pblicas o privadas. 3. Elaboracin de grficos que muestren la evolucin de las principales magnitudes econmicas en los ltimos aos, tanto a nivel nacional como autonmico. 4. Realizacin de comparaciones de la distribucin personal de la renta mediante el empleo del PIB per cpita de las regiones espaolas.


CONTENIDOS ACTITUDINALES

REA DE MATEMTICAS REA DE ECONOMA 1. Hbito de contrastar el resultado final de un problema con el enunciado para determinar lo razonable o no del resultado obtenido. 2. Inters por la comprensin del proceso seguido y de los resultados obtenidos en problemas algebraicos. 3. Valoracin por la precisin en los clculos realizados en problemas algebraicos. 4. Sensibilidad y gusto por la presentacin ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos en problemas algebraicos. 5. Apreciacin de la utilidad y la potencia que posee el simbolismo matemtico.

1. Mostrar un inters por la informacin econmica sobre indicadores que permitan analizar la evolucin de un pas o regin. 2. Valoracin crtica del empleo del PIB per cpita como indicador exclusivo para medir el desarrollo econmico. 3. Concienciacin ante la problemtica que plantea la existencia de grandes desigualdades en la distribucin de la renta. 4. Inters por el empleo de bases de datos econmicas ofrecidas por el Instituto Nacional de Estadstica, Banco de Espaa, Ministerio de Trabajo o la bsqueda de informes econmicos realizados por el BBVA o la Caixa.

CRITERIOS DE EVALUACIN

REA DE MATEMTICAS REA DE ECONOMA 1. Domina el manejo de las fracciones algebraicas y sus operaciones. 2. Resuelve con destreza ecuaciones de distintos tipos y las aplica a la resolucin de problemas. 3. Resuelve con destreza sistemas de ecuaciones. 4. Interpreta y resuelve inecuaciones y sistemas de inecuaciones. 5. Utiliza y valora los recursos que tiene a su alcance para la resolucin de problemas.

1. Diferenciar las principales magnitudes macroeconmicas y analizar las relaciones existentes entre ellas, valorando los inconvenientes que presentan como indicadores de la calidad de vida. 2. Identificar los rasgos diferenciadores de la estructura econmica andaluza y su situacin actual, partiendo de los indicadores econmicos bsicos, realizando estudios comparativos con los de otras comunidades y la media nacional.


En cuanto a los contenidos transversales, esta unidad ha tratado de fomentar el desarrollo de los siguientes contenidos:

Desarrollo sostenible: significa que las disparidades regionales, en cuanto a bienestar material, deben de reducirse pero con un modelo de crecimiento econmico respetuoso con el medio ambiente y la sociedad en su conjunto.

Aplicacin de las tecnologas de la informacin y comunicacin: deben emplearse como un instrumento, no como un fin en s mismo, a la hora de resolver las diversas cuestiones que puedan surgir en las materias que son objeto de estudio en la unidad.

Conocimiento de la situacin econmica andaluza, comparativamente, con respecto a otras regiones espaolas y dentro del conjunto nacional.

DESARROLLO DEL CONTENIDO DE LA UNIDAD DIDCTICA. ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

Esta unidad didctica se va a desarrollar en nueve sesiones. La distribucin de las mismas ser la siguiente:

1. Factorizacin de polinomios. Fracciones algebraicas.

2. Ecuaciones de segundo grado, con radicales y con la x en el denominador.

3. Refuerzo y ampliacin.

4. Ecuaciones exponenciales y logartmicas.

5. Sistemas de ecuaciones no lineales, exponenciales y logartmicas.

6. Refuerzo y ampliacin

7. Inecuaciones.

8. Sistemas de inecuaciones.

9. Refuerzo y ampliacin.


1 SESIN

Comenzaremos recordando los conceptos de divisibilidad entre polinomios, polinomio irreducible, descomposicin de un polinomio en polinomios irreducibles, fraccin algebraica y operaciones con fracciones algebraicas. Aunque son conceptos ya conocidos conviene recordar la similitud con los correspondientes en Z.

Actividad 1. Divisibilidad entre polinomios Objetivo: recordar a los alumnos y alumnas algunos ejemplos de divisibilidad entre

polinomios.

Secuencia de pantallas n 1: divisibilidad entre polinomios


Carece de inters en estos niveles que los alumnos y alumnas se detengan a comprobar si un polinomio P(x) es divisible entre otro Q(x) salvo en el caso en el que Q(x) sea de la forma (x-a), ya que recordar la regla de Ruffini y el Teorema del Resto les van a ser de utilidad en el desarrollo de la unidad.

Es conveniente hacer notar a los alumnos y las alumnas que, aunque todo polinomio se pueda factorizar como producto de polinomios irreducibles, no siempre vamos a tener la posibilidad de poderlo hacer. Se repasarn los casos en los que, con las herramientas disponibles podemos y no podemos factorizar un polinomio y el procedimiento a seguir.

Actividad 2. Procedimiento para factorizar un polinomio Objetivo: presentar con un ejemplo el procedimiento para factorizar un polinomio.

Secuencia de pantallas n 2: procedimiento para factorizar un polinomio


A continuacin definiremos fraccin algebraica dando algunos ejemplos.

Iremos recordando el concepto de fracciones equivalentes, cmo se simplifican fracciones, cmo se reducen a comn denominador, cmo se opera con fracciones y utilizaremos estos contenidos ya conocidos por los alumnos para presentar y reforzar los mismos para fracciones algebraicas.

Actividad 3. Fracciones algebraicas Objetivo: presentar a los alumnos y alumnas las fracciones algebraicas y sus

operaciones:

Secuencia de pantallas n 3: fracciones algebraicas


Los alumnos y alumnas realizarn ejercicios similares a los presentados en las actividades anteriores para reforzar los contenidos tratados.

2 SESIN

En esta sesin recordaremos la resolucin de ecuaciones de segundo grado, ecuaciones con radicales y ecuaciones con la x en el denominador.

Los alumnos y alumnas ya han resuelto en cursos anteriores estos tipos de ecuaciones. Se trata de reforzar las tcnicas ya aprendidas, para lo que comenzaremos con varias actividades encaminadas a tal fin. Al final de la sesin se les propondr a los alumnos y alumnas actividades para reforzar los contenidos tratados en la misma.


Actividad 4. Ecuaciones de 2 grado

Objetivo: recordar a los alumnos y alumnas la resolucin de ecuaciones de 2 grado y bicuadradas.

Secuencia de pantallas n 4: ecuaciones de 2 grado


Hasta ahora la aparicin de races de ndice par de nmeros negativos tena un no existe por respuesta. Este puede ser el momento para con los conjuntos de nmeros que conocemos no existe y anunciar la existencia de un conjunto de nmeros en el que las dichas races s van a tener sentido y se van a poder calcular.

Actividad 5. Ecuaciones con radicales

Objetivo: recordar al alumnado la resolucin de ecuaciones con radicales.

Es muy importante que los alumnos y alumnas comprendan que en la resolucin de este tipo de ecuaciones se pueden introducir soluciones falsas y, en consecuencia, la necesidad de comprobar todas las soluciones obtenidas.

Secuencia de pantallas n 5: ecuaciones con radicales


Actividad 6. Ecuaciones con la x en el denominador

Objetivo: recordar a los alumnos y alumnas la resolucin de ecuaciones con la x en el denominador.

En esta actividad se utilizarn los contenidos de fracciones algebraicas como herramienta para resolver este tipo de ecuaciones. Es muy importante que los alumnos y alumnas comprendan que en la resolucin de este tipo de ecuaciones se pueden introducir soluciones falsas y, en consecuencia, la necesidad de comprobar todas las soluciones obtenidas.

Secuencia de pantallas n 6: ecuaciones con la x en el denominador


3 SESIN

Esta sesin se dedicar a la resolucin de las actividades pendientes de resolver de las propuestas en las dos sesiones anteriores. As mismo se debatirn todas aquellas cuestiones que pudiera plantear el alumnado. Hay que tener en cuenta que muchos de los errores que comete el alumnado en la resolucin de estas actividades tienen su origen en cursos pasados. Se debe concienciar al alumnado del valor intrnseco del razonamiento en matemticas as como de la correccin del procedimiento a seguir.


4 SESIN

Esta sesin se dedicar al estudio de las ecuaciones exponenciales y logartmicas y su resolucin. Es importante que los alumnos tengan muy presentes las propiedades de las potencias y de los logaritmos pues su conocimiento determinar el grado de asimilacin de los contenidos de esta sesin. Si es necesario se harn aclaraciones sobre la o las propiedades que se estn utilizando en cada momento.

Actividad 7. Ecuaciones exponenciales y logartmicas Objetivo: que los alumnos y alumnas dominen la resolucin de ecuaciones

exponenciales y logartmicas. Secuencia de pantallas n 7: ecuaciones exponenciales y logartmicas


Al final de la sesin se les propondr a los alumnos y alumnas actividades para reforzar los contenidos tratados en la misma.

5 SESIN

Esta sesin se dedicar a la resolucin de los sistemas de ecuaciones no lineales, exponenciales y logartmicas.

Es importante resaltar la interpretacin geomtrica de un sistema de ecuaciones y que no se vea como algo independiente de la resolucin del sistema, ya que los alumnos y alumnas deben irse acostumbrando a tratar la informacin de la que disponen, no como paquetes aislados, sino de forma integrada para seleccionar la estrategia ms adecuada a cada situacin.

Actividad 8. Sistemas de ecuaciones

Objetivo: que los alumnos y alumnas dominen la resolucin de sistemas de ecuaciones no lineales, exponenciales y logartmicas.


Secuencia de pantallas n 8: ecuaciones exponenciales y logartmicas


6 SESIN

Esta sesin se dedicar a la resolucin de las actividades pendientes de resolver de las propuestas en las sesiones cuarta y quinta. As mismo se debatirn todas aquellas cuestiones que pudiera plantear el alumnado.

Hay que tener en cuenta que el concepto de logaritmo y sus propiedades es muy nuevo para el alumnado, y es fcil que ste presente dificultades en su aplicacin a la resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Se tendrn por tanto que aclarar insistentemente las propiedades que se utilizan en cada momento.

7 SESIN

En esta sesin se van a tratar distintos tipos de inecuaciones tanto lineales como no lineales.

Estos contenidos vienen a reforzar entre otros a los conceptos topolgicos de la recta real que acaban de adquirir los alumnos y alumnas, adems sern de utilidad en el posterior estudio del dominio de definicin de una funcin.

Para algunos contenidos se ofrecen distintos procedimientos de trabajo teniendo en cuenta el bagaje conceptual que ya posee el alumnado.

Tambin se ha incluido el estudio de las inecuaciones de dos variables para su solucin grfica.

Es posible que una sesin se quede corta para tratar los contenidos que se pretenden, si fuera necesario se prolongara su explicacin a la siguiente sesin.


Actividad 9: Inecuaciones

Objetivo: presentar a los alumnos y alumnas las inecuaciones y sus distintos mtodos de solucin.

Secuencia de pantallas n 9: inecuaciones


8 SESIN

En esta sesin se terminarn los contenidos que queden de la sesin anterior y se presentarn los sistemas de inecuaciones. Los sistemas de inecuaciones tendrn solamente solucin grfica, conviene que los alumnos y alumnas resuelvan sistemas de inecuaciones como actividad que integra un gran nmero de contenidos.

Actividad 10. Sistemas de inecuaciones Objetivo: presentar a los alumnos y alumnas los sistemas de inecuaciones y su

solucin grfica.

Secuencia de pantallas n 10: sistemas de inecuaciones


9 SESIN

Esta sesin se dedicar a la resolucin de las actividades pendientes de resolver de las propuestas en las sesiones sptima y octava. As mismo se debatirn todas aquellas cuestiones que pudiera plantear el alumnado. Hay que tener en cuenta que la cantidad de informacin que tiene que utilizar el alumnado es grande y es fcil que sta presente dificultades en su aplicacin. Se tendr insistir en los distintos procedimientos que emplear en cada caso. Si es necesario se utilizar otra sesin ms en realizar actividades para reforzar y/o ampliar los contenidos de la unidad.

DESARROLLO DEL CONTENIDO: APLICACIN ECONMICA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL

Esta parte de la unidad se desarrollar, como se ha venido diciendo anteriormente, por el profesorado de Economa mediante el apoyo del Departamento de Matemticas. Para ello, se ha considerado su estructuracin en 4 sesiones que combinarn explicaciones tericas, consultas en Internet y realizacin de clculos mediante el empleo de la calculadora grfica.

La secuenciacin temporal de la aplicacin econmica de la unidad didctica se har en 4 sesiones de 1 hora dentro del horario escolar del primer curso de Bachillerato en la asignatura de Economa.


Tabla n 1: secuenciacin de actividades en el aula

1 Sesin 2 Sesin - Explicacin de algunos conceptos econmicos bsicos. - Obtencin y comentario de los datos necesarios para construir las funciones exponenciales. - Clculo y representacin grfica del PIB per cpita.

- Explicacin y estimacin de las tasas medias acumulativas regionales y de Espaa. - Empleo de la funcin exponencial para realizar predicciones.

3 Sesin 4 Sesin - Evaluacin de la fiabilidad de las predicciones. - Anlisis econmico del concepto matemtico de lmite: una aplicacin econmica en la funcin exponencial.

- Anlisis de la convergencia econmica. Resolucin de ecuaciones exponenciales. - Conclusiones finales.

1 SESIN

Antes de proceder al desarrollo de las distintas etapas del proceso de investigacin, debemos de explicar brevemente algunos conceptos econmicos bsicos que se van a emplear a lo largo del desarrollo de la actividad.

En primer lugar haremos referencia al concepto de Contabilidad Regional, elaborada por el Instituto Nacional de Estadstica (INE). Se trata de un sistema de indicadores econmicos que registra las distintas actividades econmicas realizadas en las Comunidades Autnomas. Hay que tener en cuenta que el desarrollo de la Macroeconoma (parte de la Teora Econmica que analiza el comportamiento global de una economa mediante el anlisis de un reducido nmero de indicadores econmicos como el producto interior bruto, tasa de paro, tasa de inflacin, tipos de inters, ahorro, etc.) requiere de una fuente estadstica que proporcione datos para el estudio del comportamiento global de la economa de un pas. Los sistemas estadsticos de pases desarrollados han ido perfeccionando sus sistemas de Contabilidad Nacional, de tal forma que, hoy en da, la mayora de los pases ofrecen indicadores econmicos, tanto a nivel nacional, como a nivel regional. En esta lnea el INE, desde el ao 1986, viene ofreciendo informacin econmica de la evolucin econmica a nivel regional.

Otro concepto fundamental es el de Producto Interior Bruto (PIB): valor monetario de todos los bienes y servicios finales producidos en el pas durante un perodo de tiempo determinado, generalmente un ao. De esta definicin podemos hacer las siguientes consideraciones:


a. Supone una valoracin monetaria, por tanto, permite integrar un conjunto heterogneo de bienes y servicios producidos en el pas mediante el empleo de un patrn monetario que permite la homogeneizacin para su agregacin.

b. Slo tiene en cuenta actividades declaradas, esto significa que las actividades ajenas al mercado, bien sean ilegales, bien no se cobre un precio por las mismas (trabajo voluntario, actividad del ama de casa o trueque) quedan excluidas. Realmente hay una infravaloracin del PIB, pensemos en el dinero que produce las actividades de economa sumergida.

c. Hace referencia nicamente al valor de los bienes finales, pues el valor de los bienes intermedios (aquellos elaborados por una empresa que vende a otra empresa para su posterior transformacin en el producto que acabar vendindolo) ya ha sido incluido por la empresa que vende al consumidor final.

d. Mide el valor de lo producido dentro de las fronteras econmicas del pas, con independencia de la nacionalidad del agente productor. Esta diferencia permite distinguir entre magnitudes interiores y nacionales, por tanto, se habla del Producto Interior Bruto (PIB) y del Producto Nacional Bruto (PNB).

e. Hace referencia a lo producido en un perodo determinado, normalmente el ao. Por tanto, no incluye las ventas de productos de segunda mano, ni tampoco los productos fabricados con anterioridad, porque ya se contabilizaron en el PIB del ao en el que fueron elaborados.

f. El PIB puede calcularse a precios de mercado, lo que implica una valoracin de los bienes y servicios al precio de venta que paga el consumidor final (incluye los impuestos indirectos, entre ellos el Impuesto sobre el Valor Aadido, excluyendo las subvenciones que hubiese obtenido la empresa). Precisamente, esta diferencia en la valoracin permite distinguir entre magnitudes a precios de mercado y al coste de los factores (no incluiran los impuestos indirectos repercutidos al consumidor final, pero incluira las subvenciones).

g. El PIB incluye el desgaste de los equipos productivos empleados en la realizacin de los bienes y servicios finales, de ah procede el calificativo de Bruto. Sin embargo, si al PIB le deducimos la amortizacin de los equipos productivos obtendramos una magnitud calificada de Neta, es decir, Producto Interior Neto (PIN).


Finalmente, cabe definir el PIB per cpita como una medida del nivel de crecimiento y, bienestar econmico de los ciudadanos del pas. Este indicador expresa, por persona, cuanto corresponde del valor de la produccin o renta generada en un ao. No puede considerarse como una medida absoluta del bienestar, ya que se trata de un promedio; por otro lado, existe un conjunto mayor de variables que inciden en el bienestar.

Una vez aclarados algunos conceptos bsicos que se van a manejar en el desarrollo de la actividad pasamos a comentar los datos que vamos a manejar. Los datos empleados son series temporales de la Contabilidad Regional de Espaa para el perodo 1996 a 2004 del PIB a precios de mercados (serie deflactada, es decir, se ha eliminado el efecto de la inflacin). Esta serie est disponible por Comunidades, incluyendo las ciudades autnomas de Ceuta y Melilla, junto con el promedio nacional en la pgina web del INE, dentro de datos econmicos (Contabilidad Regional). Adems, se va a utilizar una serie temporal de poblacin para el mismo perodo que el PIB, exceptuando el ao 1997 para el que no existen datos. Estos datos de poblacin por Comunidades tambin se encuentran en la pgina web del INE.

Una advertencia para el alumnado cuando consulte los datos de la tabla que se muestra a continuacin (ver anexo tabla n 1). Al descargar los datos facilitados por el INE se observa que para los aos 2001 a 2004 se incluye una nota adicional sobre el carcter de los datos: Provisional, Avance y Estimacin. Cuando se avisa de que un dato estadstico es provisional (P.R.), significa que dicha cifra est ms fundamentada que una cifra de avance, es decir, se ha dispuesto de ms datos para su obtencin. Sin embargo, todava sern revisadas una vez ms. Un dato avanzado (A) supone que es una estimacin algo ms completa que la primera estimacin (P.E.), aunque est sujeto a modificaciones. Finalmente, una primera estimacin (P.E.) supone la primera valoracin realizada del PIB a precios de mercado, por tanto, ser revisado cuando se dispongan de ms datos para su elaboracin ms detallada.

En la construccin de la ecuacin exponencial vamos a considerar dos variables:

Variable independiente, exgena o explicativa: el tiempo (t), ya que estamos trabajando con una serie temporal del PIB, a precios constantes.

Variable dependiente, endgena o explicada: el PIB per cpita a precios constantes. Para construir esta segunda variable necesitamos dividir el PIB per cpita con la poblacin.

Despus de realizar esta precisin sobre el carcter de las variables con las que vamos a trabajar, vamos a obtener el PIB per cpita de cada CCAA y Espaa para el perodo 1996-2004, excepto para el ao 1997 (recordamos que no existen datos disponibles de poblacin para su clculo).


t

t

PoblacinPIB

capitaperPIB =

Los resultados obtenidos se muestran en la tabla n 3 (ver anexo) la cual recoge el PIB per cpita de cada una de las Comunidades Autnomas, las Ciudades Autnomas de Ceuta y Melilla, junto con Espaa para el perodo 1996-2004. Con los datos del PIB per cpita se ha realizado una representacin grfica para comprobar la evolucin temporal de esta magnitud empleando los resultados obtenidos para Andaluca, Baleares, Catalua y Espaa (ver secuencia de pantallas n 11).

Secuencia de pantallas n11: representacin grfica del PIB per cpita

De la inspeccin visual los alumnos pueden obtener las siguientes conclusiones:

En el ao 2004 existen seis CCAA que se sitan por encima del promedio nacional, adems desde el inicio de la serie histrica siempre se han situado por encima del conjunto del Estado: Madrid, Navarra, Pas Vasco, Catalua, La Rioja y Aragn.

Todas las CCAA registran un proceso de crecimiento durante todo el perodo de tiempo, excepto Baleares con un PIB per cpita para el ao 1998 de 13.644,59 /habitante y que acaba el ao 2004 con un valor de 13.428,04 /habitante.

En ciertas CCAA como son los casos del Pas Vasco, Andaluca y Extremadura ha existido un proceso de crecimiento acelerado.


2 SESIN

Con los datos obtenidos del PIB per cpita vamos a construir funciones exponenciales de cada CCAA y Espaa. La expresin general de la ecuacin exponencial que pretendemos construir es la siguiente:

11 )1(

+= tt tmaPIBpcPIBpc tma = tasa media acumulativa expresada en tanto por uno. PIBpct = PIB per cpita a precios constantes del ao t. PIBpc1 = PIB per cpita a precios constantes del ao 1. t-1 = perodo de tiempo que transcurre desde el ao 1 hasta el ao t.

El planteamiento que hacemos de la evolucin temporal de PIB per cpita es el siguiente: el PIB per cpita presenta variaciones acumulativas (aumentos o descensos) a lo largo del tiempo. Si tenemos una serie temporal de esta variable, no podemos promediar las tasas de crecimiento interanuales para despus calcular la media de dichas tasas considerando que dicho resultado es el crecimiento medio anual para el perodo 1996-04. La hiptesis de crecimiento acumulativo supone que, partiendo de un valor inicial del PIB per cpita (ao 1996) queremos obtener los diferentes valores de dicho PIB per cpita para los siguientes perodos hasta llegar al ao 2004. Al final de cada ao tendremos los siguientes PIB per cpita:

Para el ao 1: PIBpc1 = PIBpc1 (1 + tma)1-1

Para el ao 2: PIBpc2 = PIBpc1 (1 + tma)=PIBpc1 (1 + tma)2-1

Para el ao 3: PIBpc3 = PIBpc2 (1 + tma)=PIBpc1 (1 + tma) (1 + tma)=

= PIBpc1 x (1 + tma)3-1

.............................................................................................................................

Para el ao t:PIBpct = PIBpct-1 (1 + tma)= PIBpc1 (1 + tma) ...(1 + tma) =

= PIBpc1 (1 + tma)t-1

Despejando de la ltima ecuacin, podemos obtener la tasa de crecimiento medio acumulativo de un perodo temporal cualquiera, empleando nicamente el primer y ltimo dato de la serie cronolgica del PIB per cpita.


11 )1(

+= tt tmaPIBpcPIBpc

1PIBpcPIBpctma

PIBpcPIBpctma1 1t

1

t1t

1

t1t ==+

La tasa media acumulativa se interpreta como el crecimiento anual medio que ha experimentado el PIB per cpita durante el perodo 1996-2004. De otra manera, sera que aplicando repetidamente un crecimiento equivalente al estimado con la tma, de forma acumulativa, se obtiene el PIB per cpita del ao 2004 por medio del PIB per cpita del ao 1996. Para demostrar esta afirmacin vamos a realizar el proceso para la C.A. de Andaluca:

=+=+= 1-11t11996 0,030886)(1 x 8.341,73tma)x(1PIBpcpc PIB 8.341,73 /h

/h 8.864,97 0,030886)(1 x 8.341,73tma)x(1PIBpcpc PIB 1-31t11998 =+=+=


/h 9.421,04 0,030886)(1 x 73,341.8)tma1(xPIBpcpc PIB 15-1t12000 =+=+=




/h 10.639,99 0,030886)(1 x 8.341,73tma)x(1PIBpcpc PIB 1-91t12004 =+=+= Los resultados del clculo de las tasas para cada CC.AA. y Espaa se recogen a

continuacin, junto con el proceso realizado para su obtencin mediante el empleo de la calculadora grfica (ver tabla n 2 y secuencia de pantallas n 12).


Tabla n 2: Tasas medias acumulativas y estimacin de los valores de las ecuaciones exponenciales

TMA (%) ECUACIN EXPONENCIAL ANDALUCA 3,0886 PIBt = 8.341,73 x (1+0,030886)t-1

ARAGN 2,1077 PIBt = 12.394,77 x (1+0,021077)t-1

ASTURIAS 2,4193 PIBt = 9.882,37x (1+0,024193)t-1

BALEARES -0,1998 PIBt = 13.644,59 x (1- 0,001998)t-1

CANARIAS 1,5409 PIBt = 10.620,00 x (1+0,015409)t-1

CANTABRIA 2,9364 PIBt = 10.527,77 x (1+0,029364)t-4

CASTILLA Y LEN 2,6748 PIBt = 10.840,73 x (1+0,02674)t-1

CASTILLA LA MANCHA 2,0543 PIBt = 9.378,14 x (1+0,020543)

t-1

CATALUA 1,4430 PIBt = 13.942,04 x (1+0,014430)t-1

VALENCIA 2,1580 PIBt = 10.526,42 x (1+0,021580)t-1

EXTREMADURA 3,6411 PIBt = 7.283,09 x (1+0,036411)t-1

GALICIA 2,8633 PIBt = 9.150,80 x (1+0,028633)t-1

MADRID 2,0139 PIBt = 14.976,62 x (1+0,020139)t-1

MURCIA 2,0554 PIBt = 9.436,73 x (1+0,020554)t-1

NAVARRA 2,1869 PIBt = 14.730,82 x (1+0,021869)t-1

PAS VASCO 3,5992 PIBt = 13.345,31 x (1+0,035992)t-1

LA RIOJA 1,7681 PIBt = 13.007,84 x (1+0,017681)t-1

CEUTA Y MELILLA 2,5510 PIBt = 10.636,66 x (1+0,025510)t-1

ESPAA 2,3022 PIBt = 11.304,86 x (1+0,023022)t-1

Fuente: Elaboracin propia

De las tasas medias acumulativas podemos comentar, por ejemplo, para el valor obtenido de Andaluca, que cada ao, en promedio, desde 1996 a 2004 el PIB per cpita ha crecido en un 3,0886%. Este porcentaje es ms elevado que el promedio nacional lo que supone que la Comunidad andaluza ha ido recortando distancias con la media nacional. Llama la atencin el resultado de Baleares que proporciona una tasa media decreciente de 0,001998% para el ejercicio. En la representacin grfica se observa como esta Comunidad va perdiendo peso, y de situarse por encima del promedio nacional acaba en el ao 2004 por debajo. Por otro lado, con los datos de Andaluca y Baleares se ha procedido a calcular el ritmo de crecimiento del PIB per cpita de ambas Comunidades, dicho crecimiento se expresa en valores absolutos, es decir, se ha obtenido los aumentos (o disminuciones) que se pudieran producir. Al observar los resultados (ver tabla n 5) se concluye que Andaluca para todo el perodo temporal va aumentando su PIB per cpita de forma progresiva, mientras que en el caso de Baleares se produce un retroceso de aproximadamente 25 por ao (1999-2004).


Secuencia de pantallas n 12: clculo de las tasas medias acumulativas

Una aplicacin interesante de la ecuacin exponencial sera la realizacin de predicciones del PIB per cpita, de esta forma los alumnos pueden realizar una aplicacin prctica de la funcin exponencial. Cuando hablamos de prediccin debemos de tener en cuenta que sta puede ser de dos tipos:

Interpolacin: consiste en una prediccin del PIB per cpita cuando el valor de t, es decir, el ao empleado para realizar la prediccin, se encuentra dentro del recorrido de dicha variable. En la unidad didctica, el alumnado har una prediccin para el ao 1997 ya que el INE no


ofrece datos de poblacin homogneos para dicho ao y se haba optado por no calcular el PIB per cpita.

Extrapolacin: supone determinar el valor del PIB per cpita cuando el valor de t se encuentra fuera de su campo de variacin. Aqu, vamos a plantear una extrapolacin del PIB per cpita del ao 2005, para el cual el INE todava no ha ofrecido datos regionales.

Como expusimos al comienzo de la unidad, el objetivo de la misma es el empleo de las nuevas tcnicas de la informacin y comunicacin pero como un instrumento al servicio del alumno y del profesor. Por tanto, en el aula se proceder a la obtencin de los valores pronosticados de forma tradicional, es decir, realizando el clculo habitual.

Ejemplo del clculo para Andaluca:

- Interpolacin (t = 2):

11 )1(

+= tt tmaPIBpcPIBpc = 8.341,73 (1 + 0,030886)2-1 = 8.599,37 /h - Extrapolacin (t = 10):

11 )1(

+= tt tmaPIBpcPIBpc = 8.341,73 (1 + 0,030886)10-1 = 10.968,63 /h Los resultados de las predicciones se recogen en la tabla que se muestra a continuacin, por otro lado se recoge tambin la salida de la calculadora grfica para la obtencin de los pronsticos.


Tabla n 3: Interpolaciones (1997) y extrapolaciones (2005) del PIB per cpita

INTERPOLACIN

AO 1997 (t=2) EXTRAPOLACIN

AO 2005 (t=10) ANDALUCIA 8.599,37 10.968,63 ARAGON 12.656,01 14.954,25 ASTURIAS 10.121,45 12.254,54 BALEARES 13.617,33 13.401,21 CANARIAS 10.783,64 12.186,89 CANTABRIA 10.836,90 13.660,18 CASTILLA Y LEON 11.130,70 13.747,85 CASTILLA-LA MANCHA 9.570,80 11.261,58

CATALUA 14.143,23 15.860,82 VALENCIANA 10.753,57 12.756,48 EXTREMADURA 7.548,28 10.048,57 GALICIA 9.412,81 11.797,82 MADRID 15.278,23 17.920,34 MURCIA 9.630,69 11.333,06 NAVARRA 15.052,96 17.897,13 PAIS VASCO 13.825,63 18.345,74 LA RIOJA 13.237,84 15.230,40 CEUTA Y MELILLA 10.024,26 12.262,30 ESPAA 11.565,13 13.874,94

Fuente: Elaboracin propia.


Secuencia de pantallas n 13: predicciones de Andaluca

3 SESIN

Una cuestin interesante es el estudio de la fiabilidad de las predicciones, sin embargo, como no estamos realizando un anlisis de regresin no es posible obtener una medida cuantitativa de la fiabilidad de la misma. Pero existe otra forma ms intuitiva para valorar la precisin de las predicciones; consiste en realizar una representacin grfica de los valores observados del PIB per cpita y los valores estimados mediante la ecuacin exponencial. El grado de fiabilidad aumentar conforme ms prximos estn los puntos estimados a los valores reales que tenemos disponibles.

Para comprobar la fiabilidad de las predicciones de Andaluca, hemos representado en un diagrama los valores reales y estimados del PIB per cpita, como puede observarse el primer y ltimo valor de la variable dependiente (aos 1996 y 2004) son coincidentes (ver secuencia de pantallas n 14). El grfico indica que no existe una elevada discrepancia entre ambos resultados, (valores observados y estimados del PIB per cpita). Es en el ao 2000 donde se produce la mayor diferencia: 9.907,58 /habitante (observacin) frente a 9.421,04 /habitante (estimacin). Esta forma de estudiar la fiabilidad es bastante intuitiva y simple, a pesar de no poder contar con una medida numrica del grado de fiabilidad o bondad del ajuste. Sin embargo, el alumno puede realizar una actividad de seguimiento peridico del PIB per cpita de Andaluca por medio de la actualizacin de los datos que va proporcionando el INE.


Secuencia de pantallas n 14: grfico para el estudio de la fiabilidad de los resultados de Andaluca.

El anlisis de la fiabilidad se ha realizado tambin para Baleares, ya que se haba obtenido una tasa media acumulativa negativa (ver secuencia de pantalla n 15). La obtencin de los grficos correspondientes de fiabilidad muestra que los valores pronosticados varan de forma importante con respecto a los valores observados. As, los valores observados parecen ajustarse a una funcin polinmica.

Secuencia de pantalla n 15: grfico de fiabilidad de Baleares

El anlisis de los lmites permite determinar si el crecimiento que registra el PIB per cpita es acumulativo, careciendo de un techo (no existira asntota), o en caso contrario, la funcin se colapsa en el infinito tendiendo a un valor determinado. Hemos de decir, que en Economa uno de los objetivos de cualquier Gobierno es la mejora del


bienestar del pas, por tanto, lo ideal es un crecimiento sostenido a lo largo del tiempo del PIB per cpita; o lo que es lo mismo, la funcin exponencial crece indefinidamente. Fcilmente se puede comprobar que la ecuacin explicativa del comportamiento temporal del PIB per cpita debe de tener una base del exponente superior a la unidad (la tma debe ser positiva). Como vemos, esta condicin se cumple en el caso de la C.A. de Andaluca, cuya tma es del 3,0886% anual. Sin embargo, para el caso de Baleares, al tener una tma negativa, tiende a 0 el valor de su PIB per cpita.

Un ejercicio que el alumnado podra realizar consistira en la realizacin de diversas simulaciones del PIB per cpita de Andaluca y Baleares, junto con su representacin. Para ello, podramos proponer unos pocos valores de t, de tal forma, que vean numricamente la tendencia temporal de ambas series siempre que no existieran cambios estructurales en todo el espectro temporal de simulacin. Los resultados de la simulacin se recogen en la tabla n 4 y en la secuencia de pantallas n 16. Es muy interesante cmo la comunidad andaluza sigue un proceso de crecimiento acelerado de su PIB per cpita, mientras que Baleares sufren un progresivo deterioro del PIB per cpita. El anlisis grfico muestra muy claramente la distinta trayectoria que seguiran ambas regiones segn el horizonte temporal de simulacin (ver tabla n 4).

Tabla n 10: simulacin del PIB per cpita

ANDALUCA BALEARES

Aos PIB per cpita (/h) Aos PIB per cpita (/h)

2 (1997) 8.599,37 2 (1997) 13.617,33

11 (2006) 11.307,39 11 (2006) 13.374,41

101 (2097) 174.711,02 101 (2097) 11.171,25


Secuencia de pantallas n 16: simulaciones PIB per cpita Andaluca y Baleares

4 SESIN

La ltima parte de la unidad se va a dedicar a resolver ecuaciones exponenciales pero planteando la hiptesis siguiente: al comparar el PIB per cpita de dos regiones, cunto tiempo necesitar la regin con menor PIB per cpita para alcanzar a la regin con mayor nivel de bienestar? Para poder plantear esta ecuacin deben considerar los siguientes supuestos:

1 Tenemos que considerar dos regiones: una con PIB per cpita inicial menor que la otra.

2 La tma de la regin con menor nivel de bienestar debe ser mayor que la tasa correspondiente de la otra. En el caso de que no se diera esta condicin sera imposible la convergencia en el tiempo.

El plan de trabajo consistir en realizar tres tipos de comparaciones regionales:

- Comparaciones entre algunas CCAA y Espaa:

a) Andaluca Espaa.

8.341,73 (1+0,030886)t-1 = 11.304,86 (1+0,023022)t-1

8.341,73

11.304,86log1,023022 1,030886 log)1t( = = t = 40,69 aos


Secuencia de pantallas n 17: ecuacin Andaluca-Espaa

b) Ceuta-Melilla Espaa.

10.636,66 (1+0,025510)t-1 = 11.304,86 (1+0,014430)t-1 t = 6,61 aos

c) Espaa Catalua.

11.304,86 (1+0,023022)t-1 = 13.942,04 (1+0,014430)t-1 t = 25,86 aos

d) Espaa Madrid.

11.304,86 (1+0,023022)t-1 = 14.976,62 (1+0,020139)t-1 t = 100,66 aos

- Comparaciones entre Andaluca y regiones del entorno prximo:

a) Andaluca-Murcia.

8.341,73 (1+0,030886)t-1 = 9.436,73 (1+0,020554)t-1 t = 13,24 aos

b) Andaluca-Castilla la Mancha.

8.341,73 (1+0,030886)t-1 = 9.378,14 (1+0,020543)t-1 t = 12,61 aos

c) Extremadura-Andaluca.

8.341,73 (1+0,030886)t-1 = 7.283,09 (1+0,036411)t-1 t = 26,39 aos


En este caso, la comunidad extremea tiene un PIB per cpita inicial (ao 1996) inferior al andaluz; si siguiera con un crecimiento medio acumulativo del 3,6411% requerira de 26,39 aos para alcanzar el nivel de la Comunidad de Andaluca.

- Comparaciones entre Andaluca y algunas regiones con los mayores niveles de PIB per cpita del conjunto de Espaa.

a) Andaluca-Catalua.

8.341,73 (1+0,030886)t-1 = 13.942,04 (1+0,014430)t-1 t = 32,92 aos

b) Andaluca-Madrid.

8.341,73 (1+0,030886)t-1 = 14.976,62 (1+0,020139)t-1 t = 56,84 aos

c) Andaluca-Baleares.

8.341,73 (1+0,030886)t-1 = 13.644,59 (1-0,001998)t-1 t = 16,18 aos

CONCLUSIONES FINALES

El PIB per cpita es una variable econmica que puede emplearse para realizar anlisis de la distribucin de la renta y desarrollo econmico. En este ejercicio, el alumnado observa como todas las regiones espaolas, excepto Baleares, han sufrido un proceso de crecimiento acumulativo.

La convergencia econmica regional (aproximacin a los niveles de bienestar) se est produciendo en Espaa a un ritmo distinto, aunque en trminos generales se observa una cierta reduccin de la brecha entre regiones ricas y regiones pobres.

Las Matemticas pueden convertirse en un instrumento til para realizar un anlisis econmico, sin requerir un gran aparato conceptual que haga difcil la comprensin de las tcnicas empleadas.


ANEXO: TABLAS ESTADSTICAS

TABLA N 1

DISTRIBUCIN DEL PIB POR CCAA DURANTE EL PERODO 1996-2004 (Unidad en miles de euros)

1996 1998 1999 2000 2001

(PR)

2002

(PR)

2003

(A) 2004 (P.E.)

ANDALUCA 60.351.336 65.912.323 68.653.512 72.722.170 74.943.775 77.138.176 79.443.742 81.795.188

ARAGN 14.719.360 15.557.159 15.919.242 16.650.777 16.908.555 17.399.360 17.832.074 18.300.861

ASTURIAS 10.750.878 11.463.906 11.516.281 11.966.898 12.172.052 12.369.389 12.590.521 12.847.623

BALEARES 10.375.061 11.290.509 11.833.344 12.155.199 12.358.863 12.481.456 12.608.787 12.824.383

CANARIAS 17.061.390 18.726.696 19.934.933 20.481.330 21.176.722 21.722.510 22.356.817 22.990.221

CANTABRIA 5.552.735 6.042.038 6.311.934 6.623.637 6.861.500 7.025.396 7.152.485 7.362.267

CASTILLA Y LEN 27.193.934 28.376.054 29.441.934 30.539.269 31.108.213 31.762.750 32.527.395 33.392.813

CASTILLA LA MANCHA 16.060.342 17.352.854 17.763.836 18.528.519 19.021.128 19.609.834 19.974.718 20.402.192

CATALUA 84.907.595 90.176.348 94.059.278 97.339.855 99.832.808 101.584.694 103.968.177 106.527.599

VALENCIA 42.203.874 46.904.356 48.951.729 51.514.198 53.044.047 54.330.400 55.424.967 56.732.298

EXTREMADURA 7.794.687 8.449.704 8.908.712 9.399.751 9.562.137 9.885.101 10.140.621 10.425.487

GALICIA 25.097.176 26.712.012 27.881.013 28.706.557 29.274.290 29.941.125 30.631.650 31.552.196

MADRID 75.216.914 83.394.875 87.140.728 91.156.736 94.676.701 96.416.151 99.140.977 101.970.964

MURCIA 10.354.440 11.587.324 12.070.569 12.746.656 13.113.326 13.545.074 13.972.026 14.377.323

NAVARRA 7.668.480 8.340.774 8.650.264 9.133.974 9.356.870 9.621.980 9.906.637 10.241.099

PAS VASCO 27.999.186 30.950.897 32.555.824 33.958.711 34.907.636 35.486.461 36.375.484 37.458.182

LA RIOJA 3.446.311 3.685.406 3.801.040 4.013.355 4.065.839 4.135.824 4.269.123 4.393.252

CEUTA Y MELILLA 1.254.824 1.406.432 1.477.985 1.541.554 1.578.942 1.624.197 1.668.514 1.705.943

ESPAA 448.457.000 507.346.000 529.691.000 544.496.000 556.651.000 570.556.000 585.877.000 507346000

Fuente: Contabilidad Regional del Instituto Nacional de Estadstica (INE). Consulta en la pgina web: vvv.ine.es.


TABLA N 2

DISTRIBUCIN DE LA POBLACIN DE HECHO POR CCAA 1996-2004

1996 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

ANDALUCA 7.234.873 7.236.459 7.305.117 7.340.052 7.403.968 7.478.432 7.606.848 7.687.518

ARAGN 1.187.546 1.183.234 1.186.849 1.189.909 1.199.753 1.217.514 1.230.090 1.249.584

ASTURIAS 1.087.885 1.081.834 1.084.314 1.076.567 1.075.329 1.073.971 1.075.381 1.073.761

BALEARES 760.379 796.483 821.820 845.630 878.627 916.968 947.361 955.045

CANARIAS 1.606.534 1.630.015 1.672.689 1.716.276 1.781.366 1.843.755 1.894.868 1.915.540

CANTABRIA 527.437 527.137 528.478 531.159 537.606 542.275 549.690 554.784

CASTILLA Y LEN 2.508.496 2.484.603 2.488.062 2.479.118 2.479.425 2.480.369 2.487.646 2.493.918

CASTILLA LA MANCHA 1.712.529 1.716.152 1.726.199 1.734.261 1.755.053 1.782.038 1.815.781 1.848.881

CATALUA 6.090.040 6.147.610 6.207.533 6.261.999 6.361.365 6.506.440 6.704.146 6.813.319

VALENCIA 4.009.329 4.023.441 4.066.474 4.120.729 4.202.608 4.326.708 4.470.885 4.543.304

EXTREMADURA 1.070.244 1.069.419 1.073.574 1.069.420 1.073.381 1.073.050 1.073.904 1.075.286

GALICIA 2.742.622 2.724.544 2.730.337 2.731.900 2.732.926 2.737.370 2.751.094 2.750.985

MADRID 5.022.289 5.091.336 5.145.325 5.205.408 5.372.433 5.527.152 5.718.942 5.804.829

MURCIA 1.097.249 1.115.068 1.131.128 1.149.328 1.190.378 1.226.993 1.269.230 1.294.694

NAVARRA 520.574 530.819 538.009 543.757 556.263 569.628 578.210 584.734

PAS VASCO 2.098.055 2.098.628 2.100.441 2.098.596 2.101.478 2.108.281 2.112.204 2.115.279

LA RIOJA 264.941 263.644 265.178 264.178 270.400 281.614 287.390 293.553

CEUTA Y MELILLA 128.372 132.225 130.633 141.504 144.483 145.336 143.394 142.670

ESPAA 39.669.394 39.852.651 40.202.160 40.499.791 41.116.842 41.837.894 42.717.064 43.197.684

Fuente: Datos de poblacin procedentes del Instituto Nacional de Estadstica (INE). Consulta en la pgina web: www.ine.es.


TABLA N 3

DISTRIBUCIN DEL PIB PER CPITA DE LAS CCAA DURANTE EL PERODO 1996-2004

(Euros por habitante)

1996 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

ANDALUCA 8.341,73 9.108,37 9.398,00 9.907,58 10.122,11 10.314,75 10.443,71 10.640,00

ARAGN 12.394,77 13.148,00 13.413,03 13.993,32 14.093,36 14.290,89 14.496,56 14.645,56

ASTURIAS 9.882,37 10.596,73 10.620,80 11.115,79 11.319,37 11.517,43 11.707,96 11.965,07

BALEARES 13.644,59 14.175,46 14.398,95 14.374,13 14.066,11 13.611,66 13.309,38 13.428,04

CANARIAS 10.620,00 11.488,66 11.917,90 11.933,59 11.887,91 11.781,67 11.798,61 12.001,95

CANTABRIA 10.527,77 11.461,99 11.943,61 12.470,16 12.763,06 12.955,41 13.011,85 13.270,51

CASTILLA Y LEN 10.840,73 11.420,76 11.833,28 12.318,60 12.546,54 12.805,66 13.075,57 13.389,70

CASTILLA LA MANCHA 9.378,14 10.111,49 10.290,72 10.683,81 10.837,92 11.004,16 11.000,62 11.034,89

CATALUA 13.942,04 14.668,52 15.152,44 15.544,53 15.693,61 15.612,95 15.508,04 15.635,20

VALENCIA 10.526,42 11.657,77 12.037,88 12.501,23 12.621,70 12.556,98 12.396,87 12.487,01

EXTREMADURA 7.283,09 7.901,21 8.298,18 8.789,58 8.908,43 9.212,15 9.442,76 9.695,55

GALICIA 9.150,80 9.804,21 10.211,56 10.507,91 10.711,70 10.937,92 11.134,35 11.469,42

MADRID 14.976,62 16.379,76 16.935,90 17.511,93 17.622,69 17.444,09 17.335,55 17.566,58

MURCIA 9.436,73 10.391,59 10.671,27 11.090,53 11.016,10 11.039,24 11.008,27 11.104,80

NAVARRA 14.730,82 15.713,03 16.078,29 16.797,90 16.820,95 16.891,69 17.133,29 17.514,12

PAS VASCO 13.345,31 14.748,16 15.499,52 16.181,63 16.610,99 16.831,94 17.221,58 17.708,39

LA RIOJA 13.007,84 13.978,72 14.333,92 15.191,86 15.036,39 14.686,14 14.854,81 14.965,79

CEUTA Y MELILLA 9774,90 10.636,66 11.314,02 10.894,07 10.928,22 11.175,46 11.635,87 11.957,27

ESPAA 11.304,86 12.214,62 12.619,87 13.078,86 13.242,65 13.304,95 13.356,63 13.562,69

Fuente: INE y elaboracin propia.


BIBLIOGRAFA

ARIAS, J. M., MAZA, I. y MERCAD, J. (2002): Matemticas. Ciencias de la Naturaleza y de la Salud-Tecnologa. Casals, Bilbao.

COLERA, J., GARCA, R. y OLIVEIRA, M.J. (2002): Matemticas I. Estella, Anaya.

FERNNDEZ MORALES, A. LACOMBA ARIAS, B. (2003): Tcnicas Estadsticas para el Turismo. gora, Mlaga.

GARCA BARBANCHO, A. (1992): Estadstica Elemental Moderna. Ariel Economa, Madrid.

MARTN-GUZMN, M.P. y MARTN, F.J. (1985): Curso Bsico en Estadstica Econmica. AC, Madrid.

MOCHN MORCILLO, F. (1992): ECONOMA. Teora y Poltica. McGraw-Hill, Madrid.

MOCHN MORCILLO, F. (2000): ECONOMA. McGraw-Hill, Madrid.

ClassPad 300. Gua del usuario.

FUNCIONES POLINMICAS Y RACIONALES

Ana Mara Carrin de la Fuente

INTRODUCCIN

La unidad didctica est pensada para ser llevada a cabo en el nivel de 4 de ESO Opcin B. Los alumnos ya han trabajado el concepto de funcin en cursos anteriores.

OBJETIVOS

Los objetivos son:

Conocer las funciones polinmicas, su dominio, representacin y propiedades bsicas.

Realizar traslaciones verticales y horizontales de funciones cuadrticas. Calcular el dominio y estudiar la tendencia y asntotas de las funciones

racionales.


Conocer la funcin de proporcionalidad inversa, su dominio, representacin y las traslaciones de la misma.

Valorar el uso de la calculadora grfica como herramienta fundamental para el estudio de las funciones.

CONTENIDOS

Los contenidos que se trabajarn son:

Dominio de las funciones polinmicas. La funcin polinmica de segundo grado. Representacin, propiedades. Traslaciones de una parbola. Dominio de las funciones racionales. Tendencia y asntotas. Funcin de proporcionalidad inversa. Traslaciones de las hiprbolas.

Los contenidos sealados se trabajarn tanto a nivel terico, en la pizarra y con lpiz y papel, como a nivel prctico con la calculadora.

El uso de la calculadora ayudar a que los alumnos comprueben resultados y obtengan conclusiones acerca del comportamiento de las funciones.

El alumno ya ha trabajado anteriormente las funciones y sus caractersticas (dominio, recorrido, monotona, mximos y mnimos a nivel grfico y puntos de corte con los ejes a nivel grfico y analtico).

Aunque los alumnos an no conocen el concepto de lmite, se les puede explicar la idea intuitiva y ensearles a resolverlos con la calculadora para la comprobacin del comportamiento de las funciones en el clculo de asntotas.

FUNCIONES POLINOMICAS Y RACIONALES 61

ACTIVIDADES PROPUESTAS

Dominio de funciones polinmicas

1. Recuerda que una funcin polinmica es cualquier funcin cuya expresin algebraica sea un polinomio, es decir:

0111 ....)( axaxaxaxf nnnn ++++=

Dada, por ejemplo, la funcin polinmica 132)( 23 += xxxxf , est definida en ?1=x Y en ?1=x Y en ?

32=x


2. Reflexiona sobre las operaciones que se tienen que realizar al calcular la imagen de cualquier valor de x en una funcin polinmica. Obtienes alguna conclusin? Puedes generalizar este resultado a todas las funciones polinmicas? Cul es el dominio de las funciones polinmicas?

La funcin polinmica de segundo grado. Representacin, propiedades

3. La funcin polinmica de segundo grado ms sencilla es 2xy = . Construye una tabla de valores y representa dicha funcin. Haz un estudio en el que se incluya el dominio, el recorrido, el vrtice, la monotona, los mximos y mnimos, puntos de corte con los ejes, etc.

Comprueba tus resultados representndola con tu calculadora.

4. Repite el mismo ejercicio pero ahora con la funcin 2xy = .


5. Veamos ahora qu ocurre con la familia de funciones 2axy = Realiza en tu cuaderno el estudio de las funciones:

22xy = 23xy = 3

2xy = 2

2xy =

6. Ahora representa con tu calculadora las funciones:

23xy = 25xy = 210xy = 212xy = 22xy = 25xy = 27xy = 212xy =

2

2xy = 4

2xy = 3

2 2xy = 3

5 2xy =

3

2xy = 4

2xy = 6

2xy =

Puedes sacar alguna conclusin acerca del comportamiento de estas funciones segn el valor de a?


7. Para representar una funcin polinmica de segundo grado cbxaxxf ++= 2)( conviene incluir en la tabla de valores la x del vrtice que viene

dada por abx

2= , as como algunos valores a su izquierda y a su derecha.

Representa las funciones:

962 = xxy xxy 63 2 += 742 2 ++= xxy Comprueba el resultado con tu calculadora.


Traslaciones de una parbola

8. Ten presente la grfica de las funciones 2xy = y 2xy = . Representa con tu calculadora las funciones:

42 += xy 32 = xy 12 += xy 32 += xy 52 = xy


Encuentras alguna relacin entre la expresin algebraica y la grfica al compararlas con 2xy = ?

Y si comparas las funciones:

42 += xy 32 = xy 12 += xy 32 += xy 52 = xy con 2xy = ?


Puedes concluir algo sobre las familias de funciones kxy = 2 e kxy = 2 ?

9. Ten presente la grfica de las funciones 2xy = e 2xy = . Representa con tu calculadora las funciones:

( )24+= xy ( )21= xy ( )23+= xy Encuentras alguna relacin entre la expresin algebraica y la grfica al

compararlas con 2xy = ?


Y si comparas las funciones

( )24+= xy ( )21= xy ( )23+= xy con 2xy = ?

Intenta concluir algo sobre las familias de funciones:

( )2kxy = ( )2kxy =

10. Ahora que ya conoces cmo se pueden trasladar vertical y horizontalmente las funciones 2xy = e 2xy = , representa, a partir de ellas, las funciones siguientes:

( ) 24 2 += xy ( ) 31 2 += xy ( ) 32 2 = xy Comprueba los resultados con tu calculadora.


Dominio de las funciones racionales

11. Recuerda que una funcin racional es cualquier funcin cuya expresin

algebraica sea el cociente de dos polinomios, es decir, )()()(

xQxPxf =

Dada, por ejemplo, la funcin racional 31)( +

+=xxxf Est definida en ?1=x

Y en ?3=x Y en ?32=x

12. Reflexiona sobre las operaciones que se tienen que realizar al calcular la imagen de cualquier valor de x en una funcin racional. Fjate bien en el denominador, hay alguna operacin que te d problemas o que no se pueda realizar? Obtienes alguna conclusin? Puedes generalizar este resultado a todas las funciones racionales? Cul es el dominio de las funciones racionales?

13. Calcula para cada una de las siguientes funciones, su dominio. Comprueba el resultado con tu calculadora.

91

2

2

=

xxy

651

2 ++=xx

xy


123

2

2

++= xxxy

xxxy

621

2

2

=

1051++=

xxy

4463

2 ++=xx

xy


Tendencia y asntotas

14. Representa con tu calculadora las funciones del ejercicio anterior. Observas alguna relacin entre los puntos en los que la funcin no est definida y el comportamiento de la funcin en las proximidades de esos puntos?

15. Cuando en las proximidades de un determinado valor ax = la grfica de la funcin se dispara hacia + - , se dice que dicha funcin tiene asntota vertical

ax = . Comprueba que las grficas anteriores tienen asntotas en aquellos valores x que no pertenecen al dominio. Por lo tanto, cmo se obtienen las asntotas verticales?

16. Comprueba con tu calculadora los lmites laterales en dichos valores (por la derecha y por la izquierda).


Para ello: Accedemos, dentro del men principal, a Accin Clculolim, con la ayuda del teclado 2D, abc y mth, introducimos la expresin cuyo lmite queremos calcular, la variable respecto a la que calcularlo , el valor donde calcularlo, 1 si es por la derecha y -1 si es por la izquierda y ejecutamos.

Otra forma de hacerlo sera con la ayuda del teclado 2D, abc y mth, introducimos la expresin y ejecutamos.

Ejemplo

La expresin )1,3,,91lim( 2

2

xxx

dar el lmite de nuestra funcin cuando x se

aproxima a 3 por la derecha.

Y la expresin )1,3,,91lim( 2

2

x

xx

dar el valor del lmite de nuestra funcin

cuando x se aproxima a 3 por la izquierda.


17. Las asntotas horizontales son rectas a las que la funcin se aproxima cuando x x . Calcula dichos lmites para las funciones anteriores:


Observa las grficas que has obtenido anteriormente y trata de buscar una relacin entre las rectas que son asntotas horizontales y dichos lmites. Encuentras alguna relacin con los coeficientes de mayor grado de ambos polinomios y dichas asntotas? Concluye explicando cmo calcular las asntotas horizontales de una funcin racional.

Funcin de proporcionalidad inversa

18. La funcin de proporcionalidad inversa tiene como expresin algebraica

xky = . Halla el dominio, haz una tabla de valores que incluya valores fraccionarios


comprendidos entre 0 y 1 y entre -1 y 0 y representa las funciones: x

y 1= e x

y 1= . Comprueba el resultado con tu calculadora.

19. Representa con tu calculadora las funciones:

x

y 2= x

y 3= x

y21=

Qu relacin encuentras con la grfica de x

y 1= ?

Qu puedes concluir de las grficas de xay = segn vara 0>a ?

Representa con tu calculadora las funciones:

x

y 2= x

y 3= x

y2

1=

Qu relacin encuentras con la grfica de x

y 1= ?

Qu puedes concluir de las grficas dexay = segn vara 0


Traslaciones de las hiprbolas

20. Ten presente la grfica de las funciones x

y 1= y x

y 1= . Representa con tu calculadora las funciones:

41 +=

xy

31 =

xy

11 +=

xy

31 +=

xy

51 =

xy

Encuentras alguna relacin entre la expresin algebraica y la grfica al

compararlas con x

y 1= ?


Y si comparas 41 +=x

y 31 =x

y 11 +=x

y 31 +=x

y

con la funcin x

y 1= ?

Puedes concluir algo sobre las familias de funciones kx

y = 1 e kx

y = 1 ?


21. Ten presente la grfica de las funciones x

y 1= y x

y 1= .

Representa con tu calculadora las funciones:

41+= xy 1

1= xy 3

1+= xy

Encuentras alguna relacin entre la expresin algebraica y la grfica al

compararlas con x

y 1= ?

Y si comparas 4

1+= xy , 1

1= xy e 3

1+= xy con xy

1= ?

Puedes concluir algo sobre las familias de funciones kx

y =1

e kx

y =1

?


22. Ahora que ya conoces cmo se pueden trasladar vertical y horizontalmente las

funciones x

y 1= y x

y 1= , representa, a partir de ellas, las funciones siguientes:

32

1 += xy 111 ++= xy 12

2 = xy

11

1 += xy 321 += xy 13

2 ++= xy

Comprueba el resultado con tu calculadora.


23. Por ltimo, vas a representar funciones de expresin algebraica dcxbaxy +

+=

como traslaciones de xky = . Para ello ser necesario hacer la divisin entre los

polinomios.

Ejemplo

La funcin2

2124

++=++=

xxxy no es ms que una traslacin de la

funcinx

y 2= .


Para realizar esta divisin con tu calculadora debes acceder al men principalAccinTransformacinproFrac( ))2/()4( ++ xx ENTER

Utiliza los resultados anteriores para representar las siguientes funciones como

traslaciones de x

y 1=

142

++=

xxy

243

+=

xxy

462

++=

xxy

Comprueba tus resultados representndola con tu calculadora.


EVALUACIN

Los criterios de evaluacin sern:

Calcula el dominio de las funciones polinmicas y racionales. Representa funciones cuadrticas y de proporcionalidad inversa y conoce

sus propiedades bsicas.

Realiza traslaciones de funciones cuadrticas y racionales sencillas. Utiliza la calculadora grfica para la representacin y el estudio de las

propiedades bsicas de las funciones estudiadas.

Valora la utilidad de la calculadora grfica para el estudio de las funciones. La evaluacin del alumno se realizar en dos partes:

Prueba escrita en la que se incluirn actividades similares a las anteriores, en las que el alumno tendr que poner de manifiesto su destreza con los contenidos trabajados.

Prueba en el aula de informtica en la que el alumno deber resolver una serie de ejercicios que encontrar en un archivo de texto y en el que deber incluir las pantallas capturadas en el simulador de la calculadora en las que se resuelvan los ejercicios propuestos.

LA FUNCIN POLINMICA DE SEGUNDO GRADO

Luis Barrios Calmaestra

INTRODUCCIN

La unidad didctica hace un estudio de la representacin grfica de una funcin polinmica de segundo grado utilizando la calculadora grfica. Todos los ejemplos sobre representacin grfica de parbolas se han realizado con la calculadora grfica Classpad 300.

La unidad est pensada para poderla explicar el profesor utilizando una calculadora proyectable y tambin para que la puedan trabajar los alumnos en caso de disponer de calculadoras suficientes.

En los distintos ejemplos resueltos se ha trabajado en el men principal con la opcin de resolver ecuaciones de segundo grado. Pero sobre todo se ha trabajado de forma casi completa el men de grficos y tablas. As se han construido tablas, se han configurado los valores inicial y final y el incremento o paso. Se han representado los puntos obtenidos en la tabla de forma aislada o continua. Se han representado una o varias funciones utilizando distintos trazos para identificarlas. Se ha utilizado el zoom, se ha configurado la ventana de visualizacin incluyendo los valores necesarios o sencillamente


se ha desplazado la ventana utilizando las flechas. Se han calculado propiedades de las funciones, como mximo o mnimo, puntos de corte con ambos ejes, races y clculo de valores de una variable a partir de la otra.

Despus de haber estudiado esta unidad el alumno o alumna, adems de haber comprendido el tema, habr comprendido tambin este men de la calculadora y ser capaz de manejarlo con cualquier otro tipo de funciones.

Sin embargo, en el desarrollo de la unidad, aparecen insertados distintos grficos capturados de la calculadora en los que se pueden ver las aplicaciones de la calculadora utilizadas, pero no se explica el manejo porque esto aumentara el tamao de la unidad. Se da por supuesto que la explicacin del funcionamiento de la calculadora la va haciendo el profesor segn se van necesitando las distintas aplicaciones.

LA PARBOLA

Una funcin polinmica de segundo grado es una funcin cuya expresin viene definida por un polinomio de segundo grado, es decir, una funcin de la forma:

2f(x) = ax + bx + c con a, b, c R y a 0 Vamos a empezar por la representacin grfica de la funcin polinmica de

segundo grado ms sencilla posible que ser: 2f(x) = x ( a = 1, b = 0, c = 0 ). Para ello construimos una tabla de valores:

Al representar grficamente estos puntos, obtenemos:

LA FUNCIN POLINMICA DE SEGUNDO GRADO 87

Ya se puede intuir la forma de la grfica, pero para representarla con ms exactitud, vamos a calcular algunos puntos intermedios entre los anteriores:

Y ahora si podemos dibujar la grfica de la funcin con algo ms de precisin uniendo los puntos. En la grfica de la derecha se ha ampliado la representacin grfica para verla con ms detalle.


La representacin grfica de esta funcin es una lnea curva llamada parbola.

Se puede observar que la parbola es una curva simtrica respecto de una lnea vertical que llamamos eje.

La interseccin del eje con la parbola es un punto llamado vrtice.

Al representarla grficamente, los alumnos y alumnas suelen cometer algunos de estos errores:

uno es el unir las dos ramas en el vrtice haciendo pico. Otro es prolongar las ramas de la parbola cambiando la curvatura y

dndole forma de campana.

Para corregir el primer error, representamos la funcin en el intervalo [ ]-1,1 y observamos el comportamiento de la curva en el vrtice:


Para corregirles el segundo error, representamos la funcin en el intervalo [ ]-100,100 . (Debido a las imgenes tan grandes que obtenemos, la representacin grfica no puede guardar las proporciones anteriores).


REPRESENTACIN GRFICA DE UNA FUNCIN POLINMICA DE SEGUNDO GRADO.

Una vez que ya tenemos la parbola representada correctamente, vamos a ver un procedimiento que nos permita representar cualquier funcin polinmica de segundo grado.

Parece lgico empezar calculando el vrtice, y a partir de l, construir una tabla de valores con valores para x menores y mayores que el vrtice de la parbola. Vamos a calcular la primera coordenada.

La parbola es una curva simtrica respecto de su eje, por lo que si tenemos dos valores de x que tengan la misma imagen, el punto medio de dichos valores ser la primera coordenada (abscisa) del vrtice. Si lo hacemos de forma general:

A partir de la ecuacin de la parbola 2f(x) = ax + bx + c , vamos a calcular los valores de x que tengan por imagen c

x = 02 2ax + bx + c = c ax + bx = 0 x(ax + b) = 0 b

x = -a

Con la calculadora tambin lo podramos resolver:

Calculamos ahora el punto medio de las dos soluciones y obtenemos la primera coordenada del vrtice de la parbola:


0

b- + 0 bax = = -

2 2a

A partir de la abscisa del vrtice, construimos una tabla de valores dando a x, por ejemplo, tres valores menores y tres valores mayores por lo menos. Representamos estos puntos en unos ejes coordenados y los unimos. Si se necesitan ms, se pueden calcular todos los que consideremos necesarios.

Si estos valores los elegimos consecutivos, podemos comprobar la simetra de la parbola respecto de su eje, pues la tabla de valores saldr tambin simtrica, es decir, valores de x que estn a la misma distancia del vrtice tendrn la misma imagen.

Ejemplo 1

Vamos a representar ahora la funcin 2f(x) = x - 2x - 3.

Calculamos la abscisa del vrtice: 0b -2

x = - = - = 12a 2 1

y construimos una tabla

de valores con el vrtice, tres valores ms pequeos y tres valores mayores. Despus representamos estos puntos y los unimos:

Podemos observar la simetra de la tabla de valores que hemos comentado y de la grfica respecto del vrtice.


Ejemplo 2

Vamos a representar una parbola ms 2f(x) = -x - 4x + 2 .

Calculamos la abscisa del vrtice 0b -4

x = - = - = -22a 2 (-1)

y construimos una

tabla de valores con el vrtice, tres valores ms pequeos y tres valores mayores. A continuacin, representamos los puntos y los unimos:

Podemos observar la simetra de la tabla de valores que hemos comentado.

Ejercicio 1

Representar grficamente las siguientes parbolas:

1. 2f(x) = x - 5x + 6 2. 2f(x) = -x + 4x - 4 3. 2f(x) = -2x - 2x

4. 2f(x) = 3x - 3 5. 2x + 2x +1

f(x) =2

6. 2-x - 4x - 6

f(x) =4


SIGNIFICADO DE LOS COEFICIENTES

SIGNIFICADO DEL COEFICIENTE a

Vamos a representar distintas funciones de la forma 2f(x) = ax . Utiliza la calculadora para representar las siguientes funciones y contesta a las siguientes preguntas:

a) Qu diferencia hay entre el coeficiente positivo y negativo?

b) Qu sucede si aumenta o disminuye el valor de a?

2f(x) = x 2f(x) = 2x 2x

f(x) =2


2f(x) = -x 2f(x) = -3x 2x

f(x) = -4

En primer lugar podemos observar que:

Si a > o la parbola es convexa Si a < 0 la parbola es cncava

En segundo lugar podemos observar que a medida que aumenta el valor absoluto del coeficiente a, la parbola es ms cerrada.

Para verlo con ms claridad vamos a representar en la misma grfica varias parbolas con distintos valores del coeficiente a.

En la siguiente grfica aparecen representadas las funciones:

2x

f(x) =4

2x

f(x) =3

2x

f(x) =2

2f(x) = x

2f(x) = 2x 2f(x) = 3x


En la siguiente grfica aparecen representadas las funciones:

2x

f(x) = -4

2x

f(x) = -3

2x

f(x) = -2

2f(x) = -x

2f(x) = -2x 2f(x) = -3x


SIGNIFICADO DEL COEFICIENTE b

Veamos en primer lugar que sucede si b=0.

Veamos algunos ejemplos. Utiliza la calculadora para representar las funciones siguientes y observa alguna propiedad grfica comn para las tres:

2f(x) = x 2f(x) = 2 - x 2f(x) = x - 3

En estas tres grficas b=0 y la parbola es simtrica respecto al eje de ordenadas.

Al calcular la primera coordenada del vrtice de la parbola:

0b 0

x = - = - = 02a 2 a

lo que significa que el vrtice de la parbola es un punto del eje de ordenadas y, este eje, coincide con el eje de la parbola. De otra forma podramos decir que, en este caso, se trata de una funcin con simetra par.

Si b0, el significado geomtrico de dicho parmetro es ms difcil de observar. Se puede comentar, a partir de la frmula para obtener la abscisa del vrtice que:

0b

x = -2a


si a y b tienen el mismo signo la abscisa del vrtice es negativa el eje de la parbola est situado a la izquierda del eje de ordenadas.

si a y b tienen distinto signo la abscisa del vrtice es positiva el eje de la parbola est situado a la derecha del eje de ordenadas.

Dos ejemplos cuando a y b tiene el mismo signo.

2f(x) = x + 4x 2f(x) = -x - 4x

a>0 , b>0 x0


Por tanto, a partir del signo de la primera coordenada del vrtice y del coeficiente a, podramos deducir el signo del coeficiente b. Sin embargo nicamente insistiremos en que se sepa distinguir si el coeficiente b es igual o distinto a cero.

SIGNIFICADO DEL COEFICIENTE c

Para ver el significado del coeficiente c, representa grficamente las siguientes funciones con distintos valores de c e intenta deducir su significado.

2f(x) = x 2f(x) = x - 6 2f(x) = 3 - x

2f(x) = -x - 2x 2f(x) = -x + x - 2 2f(x) = x + 4x + 4


El coeficiente c es el trmino independiente en la funcin polinmica de segundo grado, por tanto es la imagen de x=0:

f(0) = a02+b0+c = c

Esto quiere decir que la grfica de la funcin corta al eje de ordenadas en el punto (0, c). En particular:

si c=0 la funcin pasa por el punto (0, 0). si c>0 la funcin corta al eje de ordenadas por el semieje positivo. si c


PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Al estudiar el significado del coeficiente c, hemos obtenido el punto de corte con el eje vertical.

Para que la representacin grfica de la funcin se considere completa debern aparecer

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