Casio Claspad 300 Laboratorios_calculoIII

U n i v e r s i d a d D i e g o P o r t a l e s • I n s t i t u t o d e C i e n c i a s b á s i c a s • F a c u l t a d d e I n g e n i e r í a •

C L A S S P A D 3 0 0 2 0 0 8

A C T I V I D A D E S D E C Á L C U L O E N V A R I A S

V A R I A B L E S

Mauricio Herrera Rubén Preiss

C l a s s p a d ACTIVIDADES PARA EL ESTUDIANTE Y EL PROFESOR CON CLASSPAD 300.

Operaciones Básicas con Vectores. Planos y Rectas. Funciones Vectoriales y Curvas. Funciones Reales de Varias Variables. Límites y Continuidad. Derivadas Parciales. Extremos Locales. Extremos Condicionados y Multiplicadores de Lagrange.

Integrales Múltiples. Operaciones Diferenciales Vectoriales. Integrales de Línea. Integrales de Superficie. Teoremas de Green, Gauss y Stokes.

c c

CONTENIDO 1.0ACTIVIDADES DEL ESTUDIANTE.

2.0ACTIVIDADES DEL PROFESOR.

3.0EJEMPLOS RESUELTOS.

4.0EJEMPLOS DE EVALUACIONES.

Rubén Preiss Jefe de Proyecto:

“Matemática Experimental con Tecnología”

Universidad Diego Portales Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Matemática

con tecnología.

1

Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Asignatura: Cálculo III Instituto de Ciencias Básicas

Laboratorio N° 1, Geometría Vectorial. Operaciones Básicas con vectores.

Introducción. En este laboratorio estudiamos las operaciones básicas con vectores. Los vectores, a diferencia de las magnitudes escalares que requieren de un solo número para su completa definición, son magnitudes que para su determinación necesitan de un módulo, una dirección y un sentido. Ejemplos de vectores lo constituyen: la fuerza, la aceleración, el momento lineal, etc. Ejemplos de escalares pueden ser, la temperatura, el valor de la UF, la energía, etc. Las magnitudes vectoriales no son exclusivas de 2ℜ y 3ℜ , sino que pueden generalizarse a nℜ y a otros espacios vectoriales como los estudiados en álgebra lineal.

Ejemplos Resueltos: 1. Dados los vectores ( )3, 2, 1a = − , ˆˆ ˆ3 4 5b i j k= − − , ˆˆ ˆc i j k= − + , determine

a. a b+

b. 3 2a c⋅ − ⋅

c. a b⋅

d. c b×

e. El ángulo entre los vectores a y c

f. El vector unitario a

g. c

h. Descomponga el vector b en la forma b b b⊥= + donde b es el componente

del vector b paralelo al vector a y b⊥ es el componente perpendicular a a .

Solución Primeramente definimos los vectores, como se muestra en la figura 1. En esta misma figura se dan las soluciones a los ejercicios (a) - (d).

Las soluciones a los ejercicios (e) - (g) se muestran en la figura 2.

2

Para resolver el ejercicio (h) y que este nos sirva para futuras operaciones con vectores, vamos a definir una función de usuario, que permita calcular la proyección de un vector sobre otro. Definimos la función “proy(p,q)”, es decir, la proyección del vector p sobre el vector q, empleando los siguientes comandos:

El componente del vector b paralelo al vector a coincide con la proyección del vector b sobre a , es decir, ( )proy ,b b a= . El componente perpendicular se calcula

( )proy ,b b b b b a⊥ = − = − . En la figura 3 resolvemos este ejercicio.

Nota: Operaciones básicas con vectores

a b⋅ ≡ “dotP(a,b)”

c b× ≡ “crossP(c,d)”

( ),a b ≡ “angle(a,b)”

a ≡ “unitV(a)”

c ≡ “norm(c)”

2. La calculadora permite la representación geométrica de vectores en 2ℜ utilizando segmentos orientados. La longitud del segmento indica el

módulo, la dirección del segmento es la correspondiente del vector y la flecha indica el sentido. Construya, empleando la calculadora, la suma y la resta de los vectores ( )2,3r = y ( )4,1s = mediante la regla del paralelogramo.

Solución En el menú “Geometría” abra un archivo nuevo, coloque los ejes coordenados y dibuje dos vectores que partan del origen y que aproximadamente tengan las componentes de los vectores r y s de nuestro ejercicio (figura 4). Para construir

Figura 1 Figura 2

Define library\proy(p,q) = dotP(p,q)/dotP(q,q)×q

Figura 3

3

exactamente estos vectores marcamos primero el extremo del vector r y apretamos en último icono de la barra de herramientas. Deberá obtenerse una situación similar a la dada en la figura 5. Modificamos las coordenadas del extremo colocando las correctas (figura 6). De manera análoga procedemos con el otro vector (figura 7)

Ahora trasladamos de manera paralela ambos vectores para construir el paralelogramo (figuras 8 -10)

El vector suma coincide con la diagonal principal del paralelogramo trazado. En figura 11 se muestra que el vector ( )6, 4r s+ = . La resta de los vectores coincide con la diagonal secundaria del paralelogramo. La figura 12 muestra que

( )2, 2s r− = −

Figura 4 Figura 5 Figura 6


4

3. Defina una función de usuario “mixto” que permita calcular el producto mixto

de tres vectores. Teniendo en cuenta que el valor numérico (positivo) del producto mixto de tres vectores coincide con el volumen del paralelepípedo formado por estos vectores, emplee la función “mixto” para hallar el volumen del prisma obtenido cortando a la mitad el paralelepípedo formado por los vectores ( )1,0, 1a = − , ( )2, 2,3b = − − , ( )1,1,0c =

Solución: En la ventana “Main” escribimos:

La figura 13 muestra la definición de la función de usuario “mixto” y el cálculo del producto mixto de los vectores arriba definidos. De la figura 13 podemos deducir que el volumen del prisma

pedido es Pr32ismaV =

Define library\mixto(a,b,c) = dotP(a,crossP(b,c))

Figura 13


5

Laboratorio N° 1, Geometría Vectorial. Operaciones Básicas con vectores.

Actividades del profesor: 1. Emplee la función “mixto” definida en la pregunta 2 para mostrar con un ejemplo

arbitrario la siguiente propiedad del producto mixto: ( ) ( ) ( )a b c b c a c a b⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

Solución En la calculadora escribimos: y obtenemos 0. De igual modo:

2. Muestre que el producto vectorial triple satisface la siguiente identidad: ( ) ( ) ( )a b c b a c c a b× × = ⋅ − ⋅ Los cálculos se muestran en la figura 15.

4. El triángulo mostrado en la figura adjunta está formado por los vectores a , b y c .

a. Demuestre ( ) 22 2c c c c c≡ ⋅ = ≡

a

b

c

α

β

γ

simplify(mixto(a,b,c)-mixto(c,a,b))

simplify(mixto(a,b,c)-mixto(b,c,a))

Figura 14


6

b. Muestre, con ayuda de la calculadora que el producto punto entre dos vectores puede definirse de dos maneras distintas, pero equivalentes.

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b⋅ = + + , o de otra manera cosa b a b γ⋅ = , donde γ es el ángulo

entre los vectores a y b .

c. Empleando la relación ( ) ( )c c b a b a⋅ = − ⋅ − obtenga la ley de los cosenos.

d. Empleando la relación ( )b a c a a× = + × obtenga la ley de los senos.

Solución a. La solución se muestra en la figura 16. b. Definimos la función de usuario “Ppunto”

Y comparamos los resultados de las operaciones “DotP(a,b)” que utiliza la primera definición del producto punto con “Ppunto(a,b)” que emplea la segunda de las definiciones. La comparación se muestra en la figura 17.

c. Resolución manual

( ) ( ) 2 22 2 cosc c b a b a b b a a a b b a ab γ⋅ = − ⋅ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = + −

donde a a= , b b= y γ es el ángulo entre los vectores.

d. Resolución manual

( )b a c a a c a a a× = + × = × + × c a= × . Tomando el módulo. Tenemos:

sen senb a b a c a c aγ β× = ⋅ = × = ⋅

Dividimos por abc y obtenemos sen sen c b

γ β=

5. Dado el vector 1 2 3ˆˆ ˆa a i a j a k= + + , muestre que el vector unitario a se escribe en

la forma ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆˆ cos cos cosa i j kα β γ= + + . Donde α , β y γ son los ángulos que forma la dirección del vector a con los ejes coordenados X, Y, y Z respectivamente. A los componentes del vector unitario se les denomina por esta razón, “cosenos directores”.

a. Muestre que ( ) ( ) ( )2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + =

Define library\Ppunto(p,q)=norm(p)× norm(q)×cos(angle(p,q))

7

Solución La solución se muestra en las figuras 19 y 20.

6. En los ejercicios anteriores, seguramente ha podido apreciar que a cada vector a de 3ℜ se le asocia un trío de números ( )1 2 3, ,a a a , que denominamos componentes.

Nada nos impide generalizar este hecho al espacio nℜ , es decir a cada vector a le asociamos una n-pla ( )1 2 3, , , na a a a… . Observe, haciendo los siguientes ejercicios que las operaciones básicas (salvo el producto vectorial) entre vectores, en su calculadora, continúan funcionando.

Dados los vectores ( )1,0, 1, 2, 4= −a , ( )1,1,1,3,3=b , ( )2, 1, 3, 4,0= − − −c , determine:

a. +a b

b. 3 2⋅ − ⋅a c

c. a (Observe el cambio de notación para el módulo)

d. ⋅a b e. El ángulo entre los vectores a y c

f. La proyección del vector a sobre el vector c .

Solución Las soluciones se muestran en las figuras 21 y 22.


Figura 22

8

Ejemplos de Quiz 1. Variante 1 a. Definimos los puntos [ ]2,3,1 A− ⇒ , [ ]3, 4, 2 B− − ⇒ , [ ]0, 3, 2 C− ⇒ . Construimos

los vectores AB , AC y calculamos la norma del producto vectorial AB AC× . El área buscada es la mitad del valor del módulo del producto vectorial indicado (ver la figura 1) b. Para calcular la altura debemos tener en cuenta que ProyABh AC AC= − . En la figura 1 se muestran los cálculos correspondientes.

Variante 2 a. Definimos los vectores (ver figura 2). Para hallar la relación entre h y g tal que el

vector gu hv+ sea ortogonal a w , escribimos:

a. El producto mixto permite calcular el volumen pedido. b. La diagonal principal está dada por vector u v+ , mientras que la diagonal

secundaria es u v− . Para calcular el ángulo empleamos la función “angle” como se muestra en la figura 2.

Variante 3 a. Definimos los vectores y calculamos la proyección del vector u sobre v mediante

la función de usuario “proy”. (figura 3) b. Para calcular el ángulo empleamos la función “angle” c. Para hallar la relación entre h y g tal que el vector gu hv+ sea ortogonal a w ,

escribimos:

solve(DotP(g×u+h×v,w)=0,h)

solve(DotP(g×u+h×v,w)=0,h)


9


Laboratorio N° 2, Geometría Vectorial. Planos y Rectas. Introducción. En este laboratorio estudiamos los elementos geométricos básicos en el espacio 3ℜ . Ellos son los planos, las rectas y los puntos. Empleamos las operaciones vectoriales para determinar las ecuaciones de planos y rectas así como la distancia de un punto a un plano.

Ejemplos Resueltos: 7. Determine si los siguientes cuatro puntos ( )1 1,1, 1P − , ( )2 2,1,0P , ( )3 0,1, 2P − ,

( )4 1,0, 1P − − se encuentran sobre un plano. Si es así, encuentre la ecuación del plano que los contiene.

Solución: Construimos los vectores:

( )1 2 1,0,1PP≡ =a ; ( )1 3 1,0, 1PP≡ = − −b ; ( )1 4 2, 1,0PP≡ = − −c . Se observa claramente

que los vectores 1 2PP y 1 3PP son proporcionales 1 2 1 3PP PP= − . Esto indica que los puntos

1P , 2P y 3P se encuentran sobre una misma recta.

Los cuatro puntos pertenecerán al plano que contiene a los vectores 1 2PP y 1 4PP . Para

construir la ecuación de este plano calculamos el vector normal 1 2 1 4N PP PP= × y consideramos la ecuación vectorial del plano

( ) ( )1 0 1, 2, 1 1, 0, 1N PP x y z⋅ = ⇒ − − ⋅ − − − = 2 0x y z− − =

8. Para determinar la ecuación de un plano se necesitan tres puntos que no se encuentren sobre una misma recta. Confeccione un programa que permita encontrar la ecuación de un plano que pase por tres puntos no colineales. Utilice el programa para hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos ( )1 0, 2, 1P − ,

( )2 2,1,0P y ( )3 4,5, 2P − .

Figura 1

10

Solución El programa se denomina “Plano3Pt” y se muestra en la figura 2. Empleamos ahora este programa para hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos dados. Al ejecutar el programa introducimos el primer punto como de indica en la figura 3. Los otros puntos se introducen de manera análoga. En la figura 4 se muestra la ecuación buscada.

9. Obtenga las ecuaciones de dos planos que pasen por un mismo punto de la recta 1 1 2

3 2 4x y z+ − −

= = y que sean perpendiculares al plano 2 3 4 0x y z+ − + = .

Solución. Podemos elegir un punto arbitrario de la recta, por ejemplo ( )1,1, 2P − . El plano que buscamos tiene la ecuación general 0Ax By Cz D+ + + = . El punto P debe pertenecer al plano buscado por tanto se satisface la condición: 2 0A B C D− + + + = . Por otro lado el plano buscado es perpendicular a 2 3 4 0x y z+ − + = , por lo que debe satisfacerse una segunda condición para los coeficientes A, B, C y D: 2 3 0A B C+ − = . En la figura 6 se resuelve el sistema formado por estas dos condiciones respecto a las variables A y B. Tomamos valores arbitrarios para los coeficientes C y D:

0, 3 1, 2C D A B= = ⇒ = = − 3, 0 5, 1C D A B= = ⇒ = = −

De donde obtenemos los planos: 2 3 0x y− + = y 5 3 0x y z− + =


Figura 6

11

10. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto ( )2, 2, 3P − y contenga la

recta obtenida por la intersección de los planos 3 2 0x y z+ − − = y 2 4 1 0x y z+ + − = .

a. Determine la distancia del punto ( )1 1,1,1P al plano obtenido.

Solución Primeramente buscamos la ecuación de la recta - intersección de los dos planos (figura 7)

Tomando la variable z como independiente tenemos la ecuación paramétrica de la recta:

1 5

1 14x ty tz t

= += − −=

De acuerdo a esta ecuación, la recta pasa por el punto ( )0 1, 1,0P − y posee el vector

director ( )5, 14,1= −a . Construimos ahora el vector

( )0 1,3, 3P P≡ = −b . Los vectores a y b deben estar sobre el plano buscado, por tanto para construir su vector normal podemos calcular el producto cruz ( )39,16, 29= × =N a b (figura 8). La figura 9 muestra el cálculo de la ecuación del plano buscado.

( ) ( ) ( )39 2 16 2 29 3 0x y z− + − + + = O de manera simplificada (figura 10) 39 16 29 23 0x y z+ + − =


Figura 10

12

Para determinar la distancia del punto ( )1 1,1,1P al plano encontrado utilizamos la fórmula:

( ) 1 1 1

2 2 2,

Ax By Cz Dd P

A B C

+ + +Π =

+ +

El cálculo se muestra en la figura 11.

Figura 11

13

Laboratorio N° 2, Geometría Vectorial. Planos y Rectas.

Actividades del profesor: 3. Los puntos ( )1 1,1, 1P − , ( )2 2,1,0P , ( )3 0,1, 2P − se encuentran sobre una misma

recta, al aplicar el programa “Plano3Pt” se obtiene “ 0 0= ”. Modifique el programa de modo tal que identifique si los puntos introducidos se encuentran o no sobre una misma recta y solamente en caso de que no lo estén, determine la ecuación del plano correspondiente.

Solución El programa “Plano3Pt” modificado se muestra en la figura 1

4. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )2, 1,3P − y es paralela a la recta que pasa por los puntos ( )1, 4, 6Q − y

( )2, 1,5R − − .

Solución La solución se muestra en la figura 2.

5. Dado el plano: :Π 2 3 2 0x y z− + − + = a. Determine la ecuación de la recta perpendicular al plano Π que pasa por el

punto ( )0 1,0, 1P − . b. Determine la distancia del punto 0P al plano Π . c. Determine la intersección del plano Π con los

ejes coordenados.

Solución a) La solución se muestra en la figura 3(a). b) La solución se muestra en la figura 3(b). c) De acuerdo a la figura 4 los puntos de intersección del plano con

Figura 1 Figura 3 (a) y (b)

Figura 2

Figura 4

14

los ejes coordenados son ( )1,0,0 con el eje X, 20, ,03

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

con el eje Y, ( )0,0, 2 con

el eje Z. 6. Demuestre que los tres planos de ecuaciones respectivas, 1 : 7 2 2 5 0x y zΠ − − − = ,

2 : 3 2 3 10 0x y zΠ + − − = y 3 : 7 2 5 16 0x y zΠ + − − = contienen a una recta común. Encuentre la ecuación y entregue las coordenadas de dos puntos de esta recta.

Solución Para demostrar que los planos contienen una recta en común hay varias formas equivalentes, por ejemplo: 1) puede mostrarse que los vectores normales son coplanares (empleando la función “mixto”) , 2) formamos la matriz [ ]1 2 3, ,N N N y mostramos que su determinante es nulo (ver figura 5), 3) transformamos la matriz a la forma escalonada por filas y comprobamos que la última fila es nula, por lo tanto su rango es dos (ver figura 6), etc. La ecuación de la recta puede obtenerse resolviendo simultáneamente las ecuaciones de los planos, como el rango es dos una de las variables queda indeterminada, por ejemplo la variable z . De acuerdo a la figura 5 tomando z t= obtenemos la ecuación de la recta que constituye la intersección de los tres planos (ver figura 7) . Tomando dos valores para el parámetro t obtenemos dos puntos de la recta, tal como se muestra en la figura 7.


15

Ejemplos de Quiz 2. Variante 1.

11. Determine si los siguientes cuatro puntos ( )1 2, 1, 4P − , 27 1, , 44 4

P ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )3 3,1, 2P ,

( )4 1, 2, 4P se encuentran sobre un plano. Si es así, encuentre la ecuación del plano que los contiene, de lo contrario calcule el volumen del paralelepípedo que tiene cuatro vértices en estos puntos y determine la distancia del punto 4P al plano que contiene a los puntos 1P , 2P y 3P .

Variante 2.

12. Determine si los siguientes cuatro puntos ( )1 1,0, 2P , 23 , 4, 22

P ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )3 1,3, 4P − ,

( )4 1, 2, 4P se encuentran sobre un plano. Si es así, encuentre la ecuación del plano que los contiene, de lo contrario calcule el volumen del paralelepípedo que tiene cuatro vértices en estos puntos y determine la distancia del punto 4P al plano que contiene a los puntos 1P , 2P y 3P .

Variante 3.

13. Determine si los siguientes cuatro puntos 181, , 23

P ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )2 4,8,8P , ( )3 15,30,30P ,

43 , 4,32

P ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

se encuentran sobre un plano. Si es así, encuentre la ecuación del

plano que los contiene, de lo contrario calcule el volumen del paralelepípedo que tiene cuatro vértices en estos puntos y determine la distancia del punto 4P al plano que contiene a los puntos 1P , 2P y 3P .

16

Pauta Variante 1. La figura 1 muestra que los vectores formados con estos puntos son coplanares, por tanto los cuatro puntos se encuentran sobre un mismo plano. Utilizamos ahora tres de estos puntos para encontrar la ecuación del plano con ayuda del programa “Plano3pt”, por ejemplo tomando los puntos 1P , 2P y 3P obtenemos la ecuación del plano mostrada en la figura 2

Variante 2 La figura 3 muestra que los vectores formados por estos puntos no son coplanares y forman un paralelepípedo cuyo volumen es numéricamente igual al producto mixto, es decir 17. Para determinar la ecuación del plano con ayuda del programa “Plano3pt”, tomamos los puntos 1P , 2P y 3P obtenemos la ecuación del plano mostrada en la figura 4. Con esta ecuación calculamos su distancia al punto 4P , como se muestra en la figura 5.

Figura 1 Figura 2


17

Variante 3 La figura 6 muestra que los vectores formados por estos puntos son coplanares, por tanto los cuatro puntos se encuentran sobre un mismo plano. Utilizamos ahora tres de estos puntos para encontrar la ecuación del plano con ayuda del programa “Plano3pt”, por ejemplo tomando los puntos 1P , 2P y 3P obtenemos la ecuación del plano mostrada en la figura 7

Figura 6 Figura 7

18


Laboratorio N° 3, Funciones vectoriales, Cuvas. Introducción. En la primera parte de este laboratorio vamos a estudiar algunos aspectos de funciones vectoriales de una variable, en particular las funciones 3:[ , ]f a b → ℜ cuyas gráficas definen curvas en el espacio. Trataremos las nociones de longitud de arco, derivada e integración de funciones vectoriales, fundamentalmente aplicados a los conceptos de posición, velocidad y aceleración de una partícula que se mueve en el espacio describiendo una curva. En la segunda parte estudiamos los conceptos de vector tangente, normal y binormal, curvatura, torsión, radio de curvatura, planos tangente, rectificador y osculador, rectas tangente, binormal y normal principal a una curva en un punto dado. Los cálculos para determinar algunos de estos elementos suelen ser laboriosos y por esta razón el objetivo principal del trabajo con la calculadora será el de facilitar el cálculo de la manera más efectiva posible.

Ejemplos Resueltos:

1. Calcule la longitud de arco de una curva de 2ℜ dada por 23y x= para [ ]1, 4x ∈ .

Solución Cuando la curva está dada en la forma ( )y f x= para [ ],x a b∈ la longitud de arco se determina mediante la fórmula:

( ) ( ) 2

1b

a

df xl C dx

dx⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Sin embargo, la calculadora tiene incorporado la función “arcLen” que realiza la misma operación. En la figura 1 se muestran los cálculos hechos empleando la fórmula anterior y la función “arcLen” incorporada.

2. Construya una función de usuario que permita calcular la longitud de arco de una curva C de 3ℜ dada en forma paramétrica.

a. Utilice la función de usuario construida para calcular las longitudes de arco de las curvas:


19

i- ( )21, ,r t t= [ ]0, 2t ∈ ; ii- ( )lny x= [ ]1,3x ∈

Solución Para determinar la longitud de una curva C de 3ℜ dada en forma paramétrica

( ) ( ) ( ) ( )( ), ,r t x t y t z t= con [ ],t a b∈ empleamos la fórmula:

( )2 2 2b

a

dx dy dzl C dtdt dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

La función de usuario, que denominamos “Long”, queda definida de la manera siguiente:

Aquí “C” es la curva que deberá estar definida en la forma:

( ) ( ) ( ){ }, ,x t y t z t C⇒ Observe que hemos usado llaves en lugar de paréntesis cuadrados. “ t ” indica el parámetro, “p” y “q” son los extremos inicial y final del intervalo de variación del parámetro t , es decir [ ],t p q∈

La figura 2 muestra los cálculos hechos para la curva ( )21, ,r t t= con [ ]0, 2t ∈ .

Para calcular la longitud de la curva ( )lny x= con [ ]1,3x ∈ , podemos usar la función “arcLen” dada más arriba, sin embargo podemos emplear la función “Long” si escribimos la curva en la forma ( ) ( ), ln ,0r x x x= con [ ]1,3x ∈ . Es decir, aquí el parámetro es la variable x . La figura 3 muestra en cálculo por ambas vías. 3. Una partícula se mueve en el espacio describiendo una

curva definida por la función ( ) ( ) ( )3 ˆˆ ˆln 2 lntr t t i e j t t k= + + , a medida que

transcurre el tiempo t en segundos. a. Calcule la velocidad de la partícula cuando 1[ ]t s= . b. Calcule la aceleración para 2[ ]t s= .

Solución Construimos la curva en la forma ( ) ( ){ }3ln 2 , , lntt e t t a⇒ . La figura 4 muestra los

cálculos hechos para la velocidad ( ) ( )31

1 1,3 ,1t

v r e=

′= = y la aceleración

( ) 62

1 12 ,9 ,4 2t

a r e=

⎛ ⎞′′= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

4. Una partícula se mueve en el espacio describiendo cierta curva. En cada instante de

tiempo su velocidad está dada por la función ( ) ( )2 32 ,3 ,4v t t t t= cms

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

con

[ ]0,10t ∈

Define library\Long(C,t,p,q) [ ] [ ] [ ]2 2 21 2 3q

p

dC dC dCdt

dt dt dt⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

Figura 4

20

a. Determine la aceleración de la partícula cuando 4[ ]t s= b. Si la partícula al inicio de su movimiento se encontraba en el origen de

coordenadas, determine su posición cuando 3[ ]t s= . c. Calcule el camino recorrido por la partícula desde que partió hasta que 2[ ]t s=

Solución a. La aceleración se determina derivando la velocidad (figura 5)

b. Para calcular la posición debemos emplear la fórmula:

( ) ( ) ( )0

0

t

t

r t r t v t dt− = ∫ , donde 0t es el valor inicial del tiempo. En este caso la

partícula se hallaba en el origen de coordenadas al inicio del movimiento, por tanto ( ) ( )0 0,0,0r t = La figura 6 muestra los cálculos.

c. Para calcular el camino recorrido debemos hallar la longitud de arco de la curva descrita en el intervalo [ ]0, 2t ∈ . El cálculo se muestra en la figura 7.

5. Confeccione un programa para calcular la curvatura de una curva dada en forma paramétrica.

a. Utilice el programa para calcular la curvatura de la curva 2 3 ˆˆ ˆr ti t j t k= + + .

Solución. La figura 8 muestra el programa “Curv_t” creado para calcular la curvatura de una curva dada en forma paramétrica ( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆr t x t i y t j z t k= + + .

Al inicio se requiere que se introduzcan los componentes de la curva, es decir ( )x t , ( )y t ,

( )z t . Se emplea la siguiente fórmula para determinar la curvatura

2

2

3

dr d rdt dt

kdrdt

×=

Aplicamos el programa para calcular la curvatura de 2 3 ˆˆ ˆr ti t j t k= + + . Como se muestra en las figuras 9 y 10


21

6. Construya un programa para calcular la torsión de una curva dada en forma paramétrica.

a. Utilice el programa para calcular la torsión de la hélice circular ( ) ( ) ˆˆ ˆcos senr t i t j tk= + + .

b. Con ayuda del programa para calcular la torsión, demuestre que la curva ( ) ( )2 2 21 3 2 ,2 2 ,1r t t t t t= + + − − es plana. Es decir, está contenida en un plano.

Solución. El programa que denominamos “Tors_t” (figura 11) permite calcular la torsión de curvas dadas de manera paramétrica ( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆr t x t i y t j z t k= + + , mediante el uso de la fórmula:

2 3

2 3

22

2

dr d r d rdt dt dt

dr d rdt dt

τ⋅ ×

= ±

×

Donde el signo positivo se toma cuando el vector ˆdB

ds posee el mismo sentido del vector

N y el signo negativo en caso contrario. Aquí B es el vector binormal unitario, s es la longitud de arco de la curva y N es el vector normal unitario. En la figura 4 se muestra este programa. Observe que se empleó la función de usuario “mixto”, que permite determinar el producto mixto de vectores.

a. Aplicamos el programa para calcular la torsión de la hélice circular ( ) ( ) ˆˆ ˆcos senr t i t j tk= + + , ver las figuras 12 y 13.


22

b. Para demostrar que la curva ( ) ( )2 2 21 3 2 ,2 2 ,1r t t t t t= + + − − es plana, basta con encontrar que la torsión de esta curva es nula, es decir 0τ = . Para ello introducimos los componentes de la curva en el programa “Tors_t” como se muestra en la figura 14 y calculamos la torsión como se muestra en la figura 15.

7. Para calcular los vectores tangente, binormal y normal podemos emplear las siguientes relaciones:

drTdt

= vector tangente.

2

2

dr d rBdt dt

= × vector binormal.

N B T= × vector normal. Los correspondientes vectores unitarios se calculan de la manera usual:

ˆ TTT

= ; ˆ BBB

= ; ˆ NNN

=



23

a. Emplee las relaciones anteriores para construir un programa que permita hallar los vectores tangente unitario, binormal unitario y normal unitario de una curva dada en forma paramétrica.

b. Con ayuda del programa calcule los vectores T , B y N para la curva ( ) ( )( )1 cos ,sen ,r t t t= − .

Solución El programa “TBN_t” mostrado en la figura 16 permite calcular los vectores tangente unitario, binormal unitario y normal unitario de una curva dada en forma paramétrica. Primero se introducen los componentes de la curva, como se muestra en la figura 17.

Debido a que en ocasiones los vectores pueden tener expresiones largas, los resultados se muestran por separado. El comando “PrintNatural” detiene la ejecución del programa y muestra un vector. Para obtener el próximo se oprime en “aceptar” (ver figuras 18 y 19).


24

Laboratorio N° 3, Funciones vectoriales, Curvas.

Actividades del profesor.

1. Calcule la longitud de arco de las curvas siguientes en el intervalo indicado del parámetro:

a. ( ) ( ) ( )( )cos , sen ,r t t t t t t= , 0,2

t π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

b. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ), ln sec tan , ln secr t t t t t= + , 0,4

t π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Solución Para calcular la longitud de las curvas empleamos la función de usuario “Long”. Los resultados para ambas curvas se muestran en la figura 1.

2. Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria definida por la hélice circular

( ) ( ) ( )( )3cos ,3 sen , 2r t t t t= . Determine el ángulo que se forma entre la aceleración y la velocidad en cada instante de tiempo.

Solución La solución se muestra en la figura 2. Note que definimos la curva empleando una lista, es decir usando llaves “{}”, pero para poder emplear la función “angle” debemos convertir las listas en vectores. 3. Una partícula se desplaza con aceleración constante ( ), ,x y za a a a= , si su velocidad

y posición inicial están dadas por ( ) ( ) ( )( )0 0 0, ,o x y zv v v v= y ( )0 0 0 0, ,r x y z= respectivamente. Determine los vectores velocidad y posición de la partícula en cada instante de tiempo.



25

4. Demuestre que si un punto se mueve por una parábola 2xy

a= , con 0z = de tal

forma que la primera componente de la velocidad se mantiene constante, es decir dxdt

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

constante, entonces la aceleración también se conservará constante.

Solución La solución se muestra en la figura 4

5. Demuestre que las rectas poseen curvatura y torsión nulas.

Solución Empleamos los programas “Curv_t” y “Tors_t” para calcular la curvatura y la torsión respectivamente de las rectas dadas en forma paramétrica, es decir, escribimos

( ) 0 1x t x k t= + ( ) 0 2y t y k t= + ( ) 0 3z t z k t= + . Los resultados se muestran en las figuras 5 y 6. Observe que la torsión dada por el programa es indefinida. La razón para ello es que

usamos la fórmula

2 3

2 3

22

2

dr d r d rdt dt dt

dr d rdt dt

τ⋅ ×

= ±

×

para hallar la torsión y en el caso de las rectas

tenemos que el denominador se anula. Una manera de resolver el problema es acudir a la definición básica de la torsión. Por definición la torsión es la derivada del vector binormal

B respecto a la longitud de arco s , es decir , ˆdB

dsτ = ± , pero para el caso de las rectas el

vector binormal es nulo y por tanto la torsión es también nula.

6. Demuestre que para la curva ( ) 2 32, ,3

r t t t t⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

se cumple

( )22

2

1 2k

tτ= =

+.Solución

El resultado para la curvatura, al aplicar el programa “Curv_t”, no queda suficientemente simplificado (figura 7), por esta razón llevamos el valor de K al menú principal para continuar simplificándolo tal como se muestra en la figura 8. Para el caso de la torsión el


26

resultado se muestra en la figura 9 y salvo una pequeña transformación vemos claramente que coincide con el resultado encontrado para la curvatura.

7. Los planos normales, rectificador y osculador a una curva en un punto dado

( )0 0 0, ,x y z de una curva C están dadas por las ecuaciones:

( )

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )0 0 0

0 0 0 0 0 0 0, ,0x y z

x y zP P T T x x T y y T z z⋅ = − + − + − =

( )

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )0 0 0

0 0 0 0 0 0 0, ,0x y z

x y zP P N N x x N y y N z z⋅ = − + − + − =

( )

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )0 0 0

0 0 0 0 0 0 0, ,0x y z

x y zP P B B x x B y y B z z⋅ = − + − + − =

Donde ( )0 0 0, ,x y z

T , ( )0 0 0, ,x y z

N y ( )0 0 0, ,x y z

B son los vectores tangente, normal y binormal

respectivamente, evaluados en el punto ( )0 0 0, ,x y z de la curva. a. Construya un programa que permita hallar las ecuaciones de los planos anteriores,

dada una curva en forma paramétrica y un punto de dicha curva. b. Utilice el programa para determinar las ecuaciones de los planos normales,

rectificador y osculador a la curva ( ) ( ), , 2t tr t e e t−= en el punto dado por 0t = .


SetReal DelVar a,b,c,f,g,T,G,C,B,N,C0,p,x,y,z Input a,"x(t)" Input b,"y(t)" Input c,"z(t)" Input p, "Valor de t" {a,b,c} ⇒ C trn(listToMat(C|t=p))⇒ C0 diff(C,t)⇒ f diff(C,t,2) ⇒ g [f[1],f[2],f[3]]⇒ T [g[1],g[2],g[3]]⇒ G crossP(T,G) ⇒ B crossP(B,T) ⇒ N PrintNatural expand(dotP(T|t=p,[x,y,z]-C0))=0,"Plano Normal" PrintNatural expand(dotP(N|t=p,[x,y,z]-C0))=0,"Plano Rectificador" PrintNatural expand(dotP(B|t=p,[x,y,z]-C0))=0,"Plano Osculador"

27

Solución a. El programa “Planos_t” se muestra en el recuadro: b. La aplicación del programa “Planos_t” a la curva ( ) ( ), , 2t tr t e e t−= se muestra

en las figuras 10-12.

8. Las rectas tangente, binormal y normal principal a una curva en un punto dado

( )0 0 0, ,x y z de una curva C están definidas respectivamente por las ecuaciones:

[ ] [ ] [ ]0 0 0

0 0 0x y z

x x y y z zT T T− − −

= = ; [ ] [ ] [ ]0 0 0

0 0 0x y z

x x y y z zB B B− − −

= = ; [ ] [ ] [ ]0 0 0

0 0 0x y z

x x y y z zN N N− − −

= =

a. Modifique el programa de la pregunta anterior para encontrar las ecuaciones de

estas rectas, dada una curva en forma paramétrica y un punto de dicha curva. b. Halle las ecuaciones de la recta tangente, la binormal y normal principal de la curva

( )4 3 2

, ,4 3 2t t tr t

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ en el punto con 1t = .

En el recuadro, más abajo, se muestra el programa “Rectas_t”. Las figuras 13-15

muestran la aplicación del programa “Rectas_t” a la curva ( )4 3 2

, ,4 3 2t t tr t

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ en el

punto dado por 0t =

Note que las rectas tangente, binormal y normal principal quedan guardadas en las variables “rt”, “rb” y “rn” para futuras manipulaciones.



28

SetReal DelVar a,b,c,f,g,T,T0,G,C,B,B0,N,N0,C0,plocal h1,h2,h3 Input a,"x(t)" Input b,"y(t)" Input c,"z(t)" Input p, "Valor de t" {a,b,c}⇒ C C|t=p⇒ C0 diff(C,t)⇒ f diff(C,t,2)⇒ g [f[1],f[2],f[3]]⇒ T [g[1],g[2],g[3]]⇒ G crossP(T,G)⇒ B crossP(B,T)⇒ N matToList(trn(T|t=p),1)⇒ T0 matToList(trn(B|t=p),1)⇒ B0 matToList(trn(N|t=p),1)⇒ N0 C0+T0× t⇒ h1 C0+B0× t⇒ h2 C0+N0× t⇒ h3 {x=h1[1],y=h1[2],z=h1[3]}⇒ rt {x=h2[1],y=h2[2],z=h2[3]}⇒ rb {x=h3[1],y=h3[2],z=h3[3]}⇒ rn PrintNatural rt,"Recta Tangente" PrintNatural rb,"Recta Binormal" PrintNatural rn,"Recta Normal"

29

Ejemplos de Quiz 3. Variante 1. Dada la curva:

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆsen cost t tr t e i e t j e t k= + + Determine: a. Los vectores velocidad y aceleración además del ángulo que se forma entre ellos. b. La longitud de la curva para [ ]0,1t ∈ c. La ecuación del plano osculador para el punto con 0t = .

Variante 2

Determine las ecuaciones del plano osculador, de la recta normal principal y de la binormal a la recta definida por las relaciones 2y x= , 2x z= en el punto ( )1,1,1 .

Sugerencia: Considere y como parámetro y defina la curva parametrizada ( )r t con y t≡ Variante 3

Calcule la curvatura y la torsión de la curva definida por 2 2x y= , 3 6x z= en un punto arbitrario y demuestre que son iguales. Sugerencia: Considere x como parámetro y defina la curva parametrizada ( )r t con x t≡

Pauta Variante 1 a. La figura 1 muestra los cálculos para determinar el ángulo entre la velocidad y la

aceleración. b. La figura 2 muestra los cálculos para determinar la longitud de la curva en el

intervalo dado. c. Para determinar la ecuación del plano osculador empleamos el programa

“Planos_t”. El resultado se muestra en la figura 3.


30

Variante 2 Tomamos y t≡ y escribimos la curva en la forma ( ) 2 4 ˆˆ ˆr t t i tj t k= + + Para encontrar la ecuación del plano osculador empleamos el programa “Planos_t” con

1t = . El resultado se muestra en la figura 4. Para determinar las rectas binormal y normal principal, empleamos el programa “Rectas_t” como se muestra en las figuras 5 y 6.

Variante 3

Tomamos x t≡ y escribimos la curva en la forma ( )2 3

ˆˆ ˆ2 6t tr t ti j k= + + . Para calcular la

curvatura y la torsión empleamos los programas “Curv_t” y “Tors_t” respectivamente. Las figuras 7 y 8 muestran los resultados.


Figura 7 Figura 8

31


Laboratorio N° 4, Funciones Reales de varias variables. Introducción. En este laboratorio graficaremos funciones de variable real, estudiaremos sus curvas de nivel y sus dominios de definición.

Ejercicios Resueltos: 1. Grafique el paraboloide 2 2z x y= + y el cono elíptico 2 2 23z x y= + a. Determine sus curvas de nivel y grafíquelas.

Solución. Para el paraboloide 2 2z x y= + . Escribimos la ecuación en el editor de funciones 3D (figura 1). En la figura 2 se obtiene la gráfica. Para que aparezcan los ejes coordenados, una vez graficada la superficie, oprimimos la tecla “=”. Si volvemos a oprimir esta tecla, obtenemos los ejes en forma de caja (figura 3).

Las curvas de nivel se obtienen tomando valores constantes para z, es decir las curvas están definidas por la ecuación z c= , donde c es una constante arbitraria positiva. Una visualización desde “arriba” de la gráfica (figura 4) sugiere que las curvas de nivel son circunferencias.


32

Las curvas de nivel son circunferencias de radio c cuyas ecuaciones están dadas por:

( )22 2x y c+ = . Para graficar las curvas de nivel de una manera efectiva, vamos a

emplear la siguiente parametrización de la circunferencia: ( )( )

cos

sen

x c t

y c t

=

=

La figura 5 muestra las curvas de nivel para 1,4c = . En la figura 6 se grafican más curvas para 1,4,9,16c = .

Para el cono elíptico 2 2 23z x y= + La representación gráfica 3D en la calculadora tiene varias limitaciones, en particular solo es posible graficar una sola función y esta debe estar dada de manera explícita. Es decir, solo se grafican funciones dadas en la forma ( ),z f x y= . En el caso del cono debemos

despejar la variable z para obtener 2 23z x y= ± + . El signo positivo indica la parte superior del cono mientras que el negativo su parte inferior. Vamos a representar solamente su parte superior. En el editor de funciones escribimos 2 23z x y= + (figura 7). En la figura 8 se muestra la gráfica de la parte superior del cono elíptico. Una “visualización z” en el menú “Zoom” (figura 9) permite sugerir que las curvas de nivel son elipses. Efectivamente, tomando z c= tenemos:

2 22 2 2

223 1

3

x yc x yc c

= + ⇒ + =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


33

Para graficar las curvas de nivel tomamos la siguiente parametrización de las elipses:

( )

( )

cos

sen3

x c tcy t

= ⋅

= ⋅

La figura 10 muestra las curvas de nivel para 1,2c = , mientras que la figura 11 muestra las curvas de nivel para 1,2,3,4,5,6c = .

2. Grafique y determine el dominio de las siguientes funciones:

a. z x y= +

b. ( )2 2ln 9 9z x y= − −



34

Solución La figura 12 muestra la gráfica de la función z x y= + . Su dominio está definido por la condición 0x y+ ≥ . O de otra manera, y x≥ − . Esta desigualdad se representa en la figura 13.

La figura 14 muestra la grafica de la función ( )2 2ln 9 9z x y= − − . El dominio está

definido por la condición 2 29 9 0x y− − > , o escrito de otra manera 2

2 2 229 9 1

3xx y y+ < ⇒ + < , es decir el dominio lo constituye el interior de una elipse con

semieje mayor 3 y semieje menor 1. Para representar el dominio despejamos la variable y , 2 2

2 21 13 3x xy− − < < − . La figura 15 muestra el dominio para esta función.


35

Laboratorio N° 4, Funciones Reales de varias variables.

Actividades del profesor. 1- Grafique el paraboloide hiperbólico 2 2z x y= − y el hiperboloide de una sola hoja

2 2 2 1x y z+ − = c. Determine sus curvas de nivel y grafíquelas.

Solución: La gráfica del hiperboloide se muestra en la figura 1, la figura 2 muestra una visualización con z constante y la figura 3 las curvas de nivel. Para graficar las curvas de nivel tomamos las siguientes parametrizaciones de la curva 2 2c x y= − dada por:

( )( )

cosh

sinh

x c t

y c t

=

= ,

( )( )

cosh

sinh

x c t

y c t

= −

= cuando c es positiva;

( )( )

sinh

cosh

x c t

y c t

=

=,

( )( )

sinh

cosh

x c t

y c t

=

= − cuando c es negativa y y x= , y x= − cuando 0c = . Para graficar

simultáneamente para varios valores de c podemos escribir una lista, por ejemplo en la figura 3 en lugar de c escribimos { }2, 4,8 en las parametrizaciones.


36

2- Grafique y determine el dominio de las siguientes funciones: a. 2 24 1z x y= − + −

b. 2 2

14

zx y

=− −

Solución a. La gráfica de la función 2 24 1z x y= − + − se muestra en la figura 4.

Para encontrar el dominio debemos resolver 2 4 0x − ≥ ∧ 21 0y− ≥ . En las figuras 5 y 6 se muestra el dominio de definición achurado. La unión de las dos franjas es el dominio buscado. (La calculadora no permite achurar franjas separadas al mismo tiempo). La visualización z en el menú 3D permite ver el dominio claramente (figura 7).

b. La gráfica de la función 2 2

14

zx y

=− −

se muestra en la figura 8. Para determinar el

dominio debemos tener en cuenta que 2 2 2 24 0 4x y x y− − > ⇒ + < . La figura 9 muestra el dominio.



37

3- Determine y grafique las curvas de nivel de las funciones a. z x y= +

b. yzx

=

c. 1z x y= − −

Solución a. Las curvas de nivel para la función z x y= + están dadas por las rectas y c x= − . La figura 10 muestra las curvas de nivel para { }2, 1,0,1, 2c = − −

b. Las curvas de nivel para la función yzx

= están dadas por las parábolas y c x= , con

0x > . Las curvas de nivel para { }3, 2, 1,1, 2,3c = − − − se muestran en la figura 11.

c. La función 1z x y= − − se muestra en la figura 12. Las curvas de nivel son cuadrados obtenidos tomando las rectas:

1 0 0y x c y x= − − + ≥ ≥

1 0 0y x c y x= − + ≥ <

1 0 0y x c y x= + − < ≥

1 0 0y x c y x= − + − < < .

En la figura 13 se muestran las ecuaciones de estas rectas para { }2, 1,0c = − − En la figura 14 se muestran el gráfico. En la figura 15 se toma la “visulaización z” dada por la calculadora en el menú 3D para tener una idea más clara de las curvas de nivel.


38

Notas:

La calculadora tiene dificultades para graficar tomando c como una lista, por ejemplo definiendo { }2, 1,0 c− − ⇒ y tomando restricciones al mismo tiempo. Es

decir no grafica correctamente algo como esto: { }1 2, 1,0 1 0 0y x x y= − − − − + ≥ ≥ , lo que sería de gran utilidad para simplificar la figura 13.

La calculadora tiene dificultades para achurar una región que tiene varias partes. Por ejemplo las figuras 5 y 6 tienen que mostrarse las regiones achuradas por separado.

Para graficar las curvas de nivel 2 2c x y= − , podría despejarse las y y graficar 21y x c= − , 22y x c= − − en lugar de utilizar una parametrización de las curvas

empleando funciones hiperbólicas. Sin embargo al seguir este camino las ramas 1y e 2y nunca se tocan y la gráfica queda partida, además surgen complicaciones adicionales sin explicaciones evidentes. Como consejo, es muy conveniente parametrizar cuando se pueda o sea relativamente fácil.


39

Ejemplo de Quiz 4. Variante 1

1. Dada la función real ( ) ( )2 2, lnf x y x y= + : a. Determine el dominio y dibújelo con ayuda de la calculadora. b. Determine y dibuje las curvas de nivel.

Solución a. Aunque no se pide la gráfica (figura 1), es conveniente tenerla para analizar el dominio. La función ( ),f x y está definida siempre que el logaritmo posea argumento

estrictamente positivo. Por tanto 2 2 0x y+ > , pero esto siempre se obtiene para todo ( ),x y salvo ( )0,0 , por tanto el dominio está dado por ( ) ( ){ }2Dom , 0,0f x y = ℜ − . La figura 2 muestra el dominio (visualización z con la calculadora).

b. Para determinar las curvas de nivel tomamos z c= con 0c ≥ ⇒ 2 2 cx y e+ = , es

decir las curvas de nivel son circunferencias centradas en el origen con radio ce . En la figura 3 se muestra una familia de estas curvas para { }0, ln 4, ln 9, ln16c =

Variante 2 1.

a. Dada la función 1zy x

=−

determine y grafique su dominio con ayuda de la

calculadora. b. Determine y grafique las curvas e nivel de la función ( )2lnz x y= +

Solución.

a. La gráfica de la función se muestra en la figura 4. La figura 5 (viszualización z ) nos da una idea del dominio de definición de la función ( ),f x y


40

Para hallar el dominio tenemos que resolver las inecuaciones 0 0y x x− > ∧ ≥ . Es decir y x> , por tanto el dominio está dado por:

( ) ( ){ }2Dom , , , 0f x y x y y x x= ∈ℜ > ∧ ≥ La figura 6 muestra este dominio.

b. Las curvas de nivel de la función ( )2lnz x y= + se obtiene tomando z c= con

c ∈ℜ . Esto implica 2 2c cx y e y e x+ = ⇒ = − . La figura 7 muestra las curvas de nivel para { }2, 1,0,1,2c = − −


Figura 7

41

Variante 3 1. a. Dada la función ( )sinz y x= determine y grafique su dominio con ayuda de la calculadora.

b. Determine y grafique las curvas de nivel de la función 2 2

2xzx y

=+

Solución Graficamos la función para tener una idea más clara de su dominio, la figura 8 muestra la gráfica. Las figuras 9 y 10 nos ayudan aún más en la determinación del dominio.

Para determinar el dominio tenemos la inecuación ( )sin 0y x ≥ esto implica resolver los

casos 0

sin 0y

x≥⎧

⎨ ≥⎩ ∨

0sin 0y

x≤⎧

⎨ ≤⎩

Para el primer caso tenemos: 0y ≥ ∧ 2 2k x kπ π π≤ ≤ + , con k ∈ Para el segundo caso tenemos 0y ≤ ∧ ( )2 2 1k x kπ π π+ ≤ ≤ ⋅ + con k ∈ . El dominio es la unión de estas dos soluciones.

c. Las curvas de nivel de la función 2 2

2xzx y

=+

se obtienen tomando z c= , con

c ∈ℜ . Cuando 0c = , tenemos 0x = y la curva de nivel esta formada por el eje Y.

Cuando 0c ≠ tenemos las circunferencias 2

22

1 1x yc c

⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

con centro en

1 ,0c

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

y radio 1c

.


42

Para graficar de manera más cómoda la familia de curvas de nivel, tomamos la siguiente

parametrización ( )1 cos 1x tc

= − , 1 siny tc

= . Con { }3, 2, 1,1, 2,3c = − − − . La figura 11

muestra las curvas de nivel.

Figura 11

43


Laboratorio N° 5, Límites y continuidad de una función real en varias variables.

Introducción. La notación

( ) ( )( )

, ,lim ,

x y a bf x y L

→= indica que la función ( ),f x y tiende a L , cuando

( ),x y tiende a ( ),a b . Para ser rigurosos debemos precisar lo que significa matemáticamente la palabra “tiende”, para ello se utiliza el concepto de distancia. La distancia en ℜ se mide a partir del módulo, mientras que en 2ℜ a partir de la norma. Decimos que L es el límite de la función ( ),f x y , cuando ( ),x y tiende a ( ),a b , si para

0ε∀ > existe un número 0δ > tal que ( ),f x y L ε− < siempre que ( ) ( ), ,x y a b δ− <

y ( ),x y se encuentre en el dominio de definición de ( ),f x y . Aquí es una norma en

el espacio 2ℜ , en particular ( ) ( ) ( ) ( )2 2, ,x y a b x a y b δ− = − + − < .

Una función ( ),f x y es continua en ( ),a b si ( ) ( )

( ) ( ), ,lim , ,

x y a bf x y f a b

→= . Una manera útil

para estudiar numéricamente los límites y en particular la continuidad es el hecho de que una función ( ),f x y es continua en ( ),a b si para cualquier sucesión convergente

( ) ( ), ,n nn

x y a b→∞

→ se cumple ( ) ( )lim , ,n nnf x y f a b

→∞= .

Ejemplos Resueltos:

1. Dados los límites

i. ( ) ( )

2 2

2 2, 0,0lim

x y

x yx y→

−+

ii. ( ) ( )

2

2 2, 0,0lim

x y

x yx y→ +

a. Obtenga evidencias numéricas de que el límite (i) no existe, mientras que el límite (ii) si existe.

b. Demuestre matemáticamente estas afirmaciones.

Solución a.

Consideremos las sucesiones ( ) 1, ,2 2n n n n

kx y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, con 1,3,5k = . Estas sucesiones

convergen a ( )0,0 , cuando n → ∞ . Vamos a estudiar la convergencia de la sucesión

( )2 2

2 2, n nn n

n n

x yf x yx y

−=

+ cuando n tiende a infinito. En el menú “main” definimos la

función ( ),f x y (figura 1) y en el menú “Secuencia” definimos las sucesiones para cada

44

valor de k , como se muestra en la figura 1. Los resultados, con al menos tres cifras decimales de exactitud, se muestran en las figuras 2 y 3.

Claramente las sucesiones convergen a distintos límites en dependencia del valor de

k y este hecho es una evidencia clara de que el límite (i) no existe. Para el segundo límite empleamos las mismas sucesiones, solo que redefinimos la función. Los resultados entre 85n = y 100n = se muestran en la figura 4 y 5.

Se observa claramente que, independiente del valor de k , las sucesiones convergen a cero. Sin embargo esta no es una evidencia concluyente, porque no sabemos si para otras sucesiones del tipo ( ), 0n n n

x y→∞→ la convergencia a cero se mantendrá. La figura 6 muestra

los cálculos para el caso de las sucesiones ( ) 1 1, ,2 2n n n nx y

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠; ( )

21 1, ,2n n nx y

n⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Estos resultados sugieren que el límite (ii) existe y es cero, pero no lo demuestran. Para hacerlo debemos recurrir a una demostración formal. b.



45

Para demostrar matemáticamente que el límite ( ) ( )

2 2

2 2, 0,0lim

x y

x yx y→

−+

no existe,

consideremos la sustitución y k x= ⋅ ⇒2 2 2 2

2 2 2 20

1lim1x

x k x kx k x k→

− −=

+ +. El límite depende

de k y por tanto no existe. (Geométricamente, indica que el valor del límite depende de la dirección de convergencia a ( )0,0 ).

Demostremos la existencia del límite ( ) ( )

2

2 2, 0,0lim

x y

x yx y→ +

, empleando el lenguaje

“ε δ− ”. Sabemos que 2 2 2x y y yδ δ δ+ < ⇒ < ⇒ < . Por otro lado

2

2 2

x y yx y

<+

, ya que 2

2 2 1xx y

<+

. Por tanto, 2

2 2 0x y yx y

δ− < <+

, tomando δ ε=

tenemos 2

2 2 0x yx y

ε− <+

. Queda demostrado así que el límite ( ) ( )

2

2 2, 0,0lim

x y

x yx y→ +

existe

y es igual a cero.

2. Use coordenadas polares para calcular el límite ( ) ( )

( )2 2

2 2, 0,0

senlim

x y

x yx y→

+

+.

a. Grafique la función y confirme el valor hallado. b. ¿La función es continua en ( )0,0 ?.

Solución Empleamos coordenadas polares cosx r θ= , siny r θ= , de este modo tenemos

( )2 2 2 2 2 2cos sinx y r rθ θ+ = + = y el límite puede escribirse en la forma ( )2

20

senlimr

rr→

.

Este es un límite en una sola variable y puede resolverse empleando la calculadora como se muestra en la figura 7, donde también se ha construido la gráfica de la función. b. Claramente la función no es continua en el punto ( )0,0 , porque este punto no pertenece al dominio de definición como se muestra en la figura 8.

Figura 7 Figura 8

46

Laboratorio N° 5, Límites y continuidad de una función real en varias variables.

Actividades del profesor. 1. Use una tabla de valores numéricos de la función ( ),f x y cerca del origen de

coordenadas para hacer una conjetura respecto a los límites:

a. ( ) ( )

2 3 3 2

, 0,0

5lim2x y

x y x yxy→

+ −−

b. ( ) ( ) 2 2, 0,0

2lim2x y

xyx y→ +

Explique por qué su conjetura debe ser correcta.

Solución

a. Consideremos las sucesiones ( ) 1, ,2 2n n n n

kx y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, con 10,23k = . Estas

sucesiones convergen a ( )0,0 , cuando n → ∞ (ver figura 1). Vamos a estudiar la

convergencia de la sucesión ( )2 3 3 2 5,

2n n n n

n nn n

x y x yf x yx y

+ −=

− cuando n tiende a infinito. En

el menú “main” definimos la función ( ),f x y escribiendo:

En el menú “Secuencia” definimos las sucesiones para cada valor de k . En la figura 1, se toma 10k = y se muestran los últimos 5 valores de 100 términos de la sucesión

( ) 1 10, ,2 2n n n nx y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. Observe la tendencia a ( )0,0 . Los resultados para la sucesión

( ),n nf x y con 10k = y 23k = se muestran en las figuras 2 y 3.

Define ( )2 3 3 2 5,

2x y x yf x y

xy+ −

=−


47

Se establece una tendencia clara ( ), 2.5n nf x y ⇒ − . Para estar algo más seguro

empleemos otras sucesiones por ejemplo ( ) 3

1 1, , ln 12n n nx y

n⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

y comprobamos

nuevamente la misma tendencia.

Por tanto la conjetura que podríamos hacer es que el límite

( ) ( )

2 3 3 2

, 0,0

5lim 2.52x y

x y x yxy→

+ −= −

−.

Esta conjetura es correcta ya que la función ( )2 3 3 2 5,

2x y x yf x y

xy+ −

=−

es continua

en su dominio y está definida en el punto ( )0,0 , por tanto basta reemplazar este punto

en la función, es decir, en este caso tenemos ( ) ( )

( ) ( ), 0,0

5lim , 0,02x y

f x y f→

= = −

b. a. Consideremos las sucesiones ( ) 1, ,2 2n n n n

kx y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, con 5,7k = . Estas

sucesiones convergen a ( )0,0 , cuando n → ∞ . Estudiamos la convergencia de la sucesión

( ) 2 2

2,2

n nn n

n n

x yf x yx y

=+

cuando n tiende a infinito. En el menú “main” definimos la

función ( ),f x y escribiendo:

Los resultados para la sucesión ( ),n nf x y con 5k = y 7k = se muestran en las figuras 6 y 7.

Figura 4 Figura 5

Define ( ) 2 2

2,2

xyf x yx y

=+

48

Las figuras muestran claramente que para valores diferentes de k se obtienen

diferentes límites y por tanto podemos asegurar que el límite no existe.

2. Use coordenadas esféricas para resolver el límite ( ) ( ) 2 2 2, , 0,0,0

limx y z

xyzx y z→ + +

Solución

Escribimos en la calculadora

Resultado es un poco extraño, sin embargo lo importante es que el límite queda en la forma

( )0

lim ,r

r f φ θ→

× . La función ( ),f φ θ es continua y acotada para cualquier valor de los

ángulos, por tanto tenemos ( )0

lim , 0r

r f φ θ→

× = .

3. Determine si las siguientes funciones son continuas o no en ( )0,0 . Justifique su respuesta. En caso de discontinuidad vea si es posible repararla.

a. ( )2 2

2 2, x yf x yx y

−=

+

b. ( ) 2 2, 1f x y x y= + +

Solución

a. La figura 8 muestra la grafica de la función ( )2 2

2 2, x yf x yx y

−=

+. El punto ( )0,0 no

pertenece al dominio de definición de la función, como se observa más claramente en la figura 9 (visualización z), por tanto la función ( ),f x y no puede ser continua en este punto. Para establecer si es reparable o no, comprobamos la existencia del

Figura 6 Figura 7

simplify( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 cos sin sin sin cosxyz x r y r rx y z

φ θ φ θ θ= × × = × × ×+ +

)

Figura 8

49

límite. Para calcular el límite usaremos coordenadas polares. La figura 10 muestra los cálculos. El límite depende del ángulo θ , es decir de la dirección de convergencia y por tanto no existe y es imposible reparar la discontinuidad.

b. La gráfica de la función ( ) 2 2, 1f x y x y= + + se muestra en la figura 11.

El dominio de esta función es todo el plano 2ℜ , como se muestra en la figura 12 (visualización z), por lo que la función es continua en el punto ( )0,0 .

4. Use coordenadas polares para resolver los límites siguientes. Grafique y confirme si las funciones cuyos límites fueron calculados son continuas o no en ( )0,0 .

a. ( ) ( )

3 3

2 2, 0,0lim

x y

x yx y→

++

b. ( ) ( )

( ) ( )2 2 2 2

, 0,0lim ln

x yx y x y

→+ +

Solución

a. La solución se muestra en la figura 13. El resultado de reemplazar cosx r θ= , siny r θ= se guarda en la variable “h” para calcular posteriormente el límite.

b. Debemos reemplazar 2 2x y+ por 2r La solución se muestra en la figura 14.


Figura 12

50

Note que la calculadora no resuelve correctamente el límite, a menos que apliquemos la regla de L`Hopital.

Figura 13 Figura 14

51


a. Emplee coordenadas polares para calcular el límite ( ) ( )

( )2 2

, 0,0

1lim sinx y

x yxy→

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

b. Obtenga evidencias numéricas de que el límite ( ) ( ) 2 2, 0,0

4lim3 3x y

xyx y→

−+

no existe.

Solución a. Escribimos en la calculadora

El resultado se muestra en la figura 1. Después calculamos el límite cuando r tiende a cero de la expresión obtenida. Vemos, partir de la figura 1 que el límite es 0 independiente del valor del ángulo θ .

b. En “Main” definimos la función ( ) 2 2

4,3 3

xyf x yx y−

=+

, escribiendo:

Consideremos las sucesiones convergentes a ( )0,0 dadas por ( ) 1, ,2 2n n n n

kx y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, con

3,5k = y estudiamos la convergencia de la sucesión ( ),n nf x y cuando n tiende a infinito. Vemos, a partir de las figuras 2 y 3, que la función converge a diferentes límites en dependencia del valor de k y por tanto el límite no puede existir.

simplify( ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21sin cos sinx y x y r x r y rxy

θ θ⎛ ⎞

+ + = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

)

Define ( ) 2 2

4,3 3

xyf x yx y−

=+


52

Variante 2.

a. Demuestre, con ayuda de la calculadora que la función ( ) 2 2

2, xyf x yx y

=−

posee

una discontinuidad irreparable en ( )0,0 .

b. Halle evidencias numéricas de que el límite ( ) ( ), 0,0

limx y

xx y→ +

no existe.

Solución

a. La función ( ) 2 2

2, xyf x yx y

=−

posee una discontinuidad en ( )0,0 ya que este

punto no pertenece a su dominio de definición (este hecho puede apoyarse gráficamente). Mostramos ahora que el límite no existe. Podemos hacerlo con una tabla de valores numéricos o empleando coordenadas polares .En “Main” definimos:

Tomamos el límite ( ) ( )( )

0lim cos , sinr

f r rθ θ→

. El resultado se muestra en la figura

4. El límite es igual a ( )tan 2θ y por tanto depende del ángulo θ , es decir no puede existir.

La función ( ) 2 2

2, xyf x yx y

=−

posee entonces una discontinuidad en ( )0,0 y el límite no

existe en este punto, por lo que esta discontinuidad es irreparable.

b. Consideremos las sucesiones convergentes a ( )0,0 dadas por ( ) 1, ,2 2n n n n

kx y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, con

7,9k = y estudiamos la convergencia de la sucesión ( ), nn n

n n

xf x yx y

=+

cuando n tiende

a infinito. Vemos, a partir de las figuras 5 y 6, que la función converge a diferentes límites en dependencia del valor de k y por tanto el límite no puede existir.

Define ( ) 2 2

2, xyf x yx y

=−


53

Variante 3.

a. Determine el valor de A para que la siguiente función sea continua en (0,0).

2 2

2 2 si ( , ) (0,0) ( , )

si ( , ) (0,0)

x y x yf x y x y

A x y

⎧≠⎪= +⎨

⎪ =⎩

b. Encuentre evidencias numéricas de que el límite 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x yx y→

++

no existe.

Solución

a. Calculamos el límite ( ) ( )

2 2

2 2, 0,0lim

x y

x yx y→ +

empleando coordenadas polares (ver figura

7). El resultado es 0 y por tanto debemos tomar 0A = para que la función ( ),f x y sea continua en ( )0,0 .

b. Consideremos las sucesiones convergentes a ( )0,0 dadas por ( ) 1 11, ,2 2n n n nx y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ y

( ) 1 13, ,2 2n n n nx y ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠estudiamos la convergencia de la sucesión ( )

2

2 2, n nn n

n n

x yf x yx y

+=

+

cuando n tiende a infinito. Vemos, a partir de las figuras 8 y 9, que la función converge a diferentes límites ( ∞ y −∞ ) en dependencia de la sucesión empleada y por tanto el límite no existe.


54


Laboratorio N° 6, Funciones de varias variables, Derivadas. Introducción.

En este laboratorio vamos a estudiar la diferenciabilidad de las funciones vectoriales y algunas de las propiedades más importantes de las derivadas.

Decimos que la función vectorial : n mf U ⊂ ℜ → ℜ es diferenciable en 0r U∈ si existen las derivadas parciales en 0r y se cumple:

( ) ( ) ( )( )

0

0 0 0

0

lim 0r r

f r f r Df r r rr r→

− − −=

−

Donde ( )Df r se denomina “matriz de derivadas parciales” y cuyos elementos son las

derivadas parciales i

j

fdx∂ con 1i m= … y 1j n= … . En la práctica para demostrar que una

función vectorial es diferenciable en un punto dado basta con comprobar que posee derivadas parciales continuas en dicho punto.

Ejercicios Resueltos: 1. Dada la función 2 2:f ℜ → ℜ definida por ( )2,x yf e y y x+= + calcule ( ),Df x y

a. Evalúe la matriz de derivadas parciales en el punto ( )1,1 .

Solución Para resolver este ejercicio vamos a definir una función de usuario, que permite encontrar la matriz de derivadas parciales para funciones 2: mf ℜ → ℜ . Denominamos la función de usuario por “Df2_m” y está definida de la manera siguiente:

Define library\Df2_m(a,b,c)=listToMat(diff(a,b),diff(a,c))


55

Aquí “a” representa la función vectorial, “b” es la primera variable y “c” la segunda variable. En la figura 1 se muestra la aplicación esta función a f arriba definida. La figura 2 muestra la evaluación de la matriz de derivadas parciales en el punto ( )1,1 , ( )1,1Df .

2. Dadas las funciones f , g y fhg

= (con 0g ≠ ) se cumple que

2

Df g g DfDhg

⋅ − ⋅= . Verifique esta propiedad de la derivada en el caso que

2 2f x y= + y 2 1g x= + . En las figuras 3 y 4 se muestran los cálculos correspondientes. En este caso las funciones son del tipo 2:f ℜ → ℜ y para poder emplear la función de usuario “Df2_m” escribimos la función entre llaves.

3. Sea : n mg ℜ → ℜ y : m sf ℜ → ℜ , supongamos que la función compuesta

: n sf g ℜ → ℜ está definida, que g es diferenciable en 0nr ∈ℜ y f es

diferenciable en ( )0 0mg g r= ∈ℜ , entonces se cumple la siguiente propiedad

denominada regla de la cadena ( )( ) ( ) ( )0 0 0D f g r Df g Dg r= .

a. Verifique la regla de la cadena para el caso de una función 2 2:g ℜ → ℜ definida por ( ) ( )2 2, ,g x y x y y= , la función 2:f ℜ → ℜ definida por

( ) 2 2,f u v u v= + y la función compuesta 2:f g ℜ → ℜ .

Solución: Los cálculos para verificar la regla de la cadena se muestran en la figura 5. El procedimiento empleado se indica a continuación:

Definimos las funciones vectoriales:

Figura 4

{ }2 2,x y y g⇒

{ }2 2,u v f⇒

Figura 5

56

Calculamos la derivada ( )D f g mediante el empleo de la función de usuario

“Df2_m” de la manera siguiente:

El resultado es ( )( ) 3 2 4 3, 4 , 2 4D f g x y x y x y y⎡ ⎤= +⎣ ⎦

Calculamos por separado las matrices ( )[1], [2]Df g g y ( ),Dg x y mediante los comandos:

Los resultados son guardados en las variables 2 21 2 ,2D x y y⎡ ⎤= ⎣ ⎦ y 22

20 2xy x

Dy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Finalmente calculamos el producto matricial

22 2 3 2 4 32

1 2 2 , 2 4 , 2 40 2xy x

D D x y y x y x y yy

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = = +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

4. Determine la derivada parcial ( )( )1,0f Ts

∂∂

dadas las funciones vectoriales

( ) ( ), cos senf u v u v= y ( ) ( )( )2 2, cos , ln 1T s t t s s= +

Solución Empleamos la regla de la cadena para calcular ( )( )1,0D f T el primer componente de

la matriz obtenida es justamente ( )( )1,0f Ts

∂∂

. Los resultados se muestran en las

figuras 6 y 7 Definimos las funciones vectoriales:

Calculamos ( )Df T y ( )( ),D T s t Calculamos el producto ( ) ( )( ),Df T D T s t⋅

Df2_m(f|u=g[1]|v=g[2],x,y)

Df2_m(f,u,v)|u=g[1]|v=g[2]⇒ D1

Df2_m(g,x,y)⇒ D2

( ){ }cos senu v f⇒

( ){ }2 2cos , ln 1t s s T+ ⇒

Df2_m(f,u,v)|u=T[1]|v=T[2]⇒ D1

Df2_m(T,s,t)⇒ D2 Figura 6

57

( ) ( )ln 2cos 1 cos

21 2 ,0

2D D

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

El primer componente de esta matriz es ( )( )1,0f Ts

∂∂

:

( )( )( ) ( )ln 2

cos 1 cos2

1,02

f Ts

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦=

∂

5. Construya una función de usuario para calcular la derivada implícita de una función en la forma ( ), 0F x y =

a. Utilice la función para calcular las derivadas dydx

y dxdy

si ( ) ( ), 0 cos 0xyF x y y e xy= ⇒ − + =

Solución:

La figura 8 muestra los cálculos y resultados para dydx

y dxdy

respectivamente. Nota: Observe que la función de usuario “DerImpl” también se puede emplear para

calcular las derivadas parciales zx

∂∂

y zy

∂∂

de la función ( ),z z x y= dada de manera

implícita ( ), , 0F x y z = . La figura 9 muestra un ejemplo. En general la función puede

emplearse para el caso de funciones ( )1 2, , , 0nF x x x z =… para calcular las derivadas i

zx

∂∂

,

con 1,2i n= … y ( )1 2, , , nz z x x x= … .

Figura 7

Define library\DerImpl(p,q,r)=-((diff(p,r))/(diff(p,q)))

Figura 8

Figura 10 Figura 11Figura 9

58

6. Utilice la función de usuario “DerImpl” para demostrar que si

( ), , 0F x y z = entonces se cumple 1z x yx y z

∂ ∂ ∂⋅ ⋅ = −

∂ ∂ ∂.

Solución En la figura 10 se muestran los cálculos correspondientes.

7. Dadas las relaciones ( ), , , 0F x y u v = y ( ), , , 0G x y u v = determine las derivadas

parciales ux

∂∂

, uy

∂∂

, vx

∂∂

y vy

∂∂

.

Solución Las fórmulas para calcular estas derivadas son las siguientes:

v x

v x

u v

u v

F FG GuF FxG G

∂=

∂,

v y

v y

u v

u v

F FG GuF FyG G

∂=

∂,

u x

u x

u v

u v

F FG GvF FxG G

∂=

∂,

u y

u y

u v

u v

F FG GvF FyG G

∂=

∂

Con la calculadora definimos

Y aplicamos las fórmulas:

8. Aplique las fórmulas anteriores para calcular la derivada uy

∂∂

, si

( ) 2 2 2 2, , , 0F x y u v u uv v x y xy= − − + + − = y ( ) 2 2, , , 0G x y u v uv x y= − + = .

Solución En la figura 11 se muestra el resultado de los cálculos.

9. Calcule el determinante del Jacobiano de transformación:

a. De las coordenadas cartesianas a polares. b. De las coordenadas cartesianas a cilíndricas. c. De las coordenadas cartesianas a esféricas.

Solución.

{F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)}⇒ m

( )( )( )( )

det Df2_m , ,det Df2_m , ,

m v xux m u v

∂=

∂( )( )( )( )


m v yuy m u v

∂=

∂

( )( )( )( )


m u xvx m u v

∂=

∂( )( )( )( )


m u yvy m u v

∂=

∂

DerImpl(F(x,y,z),z,x) ⋅ DerImpl(F(x,y,z),x,y) ⋅ DerImpl(F(x,y,z),y,z)

59

a. Dada la transformación cossen

x ry r

θθ

=⎧⎨ =⎩

, el determinante del jacobiano se calcula

como se indica en la figura 12 aplicando el comando.

b. Para resolver este ejercicio introducimos una nueva función de usuario que

denominamos “Df3_m” dada por:

Las transformaciones son cossen

x ry rz z

θθ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

. En la figura 13 mostramos los resultados del

calculo para este caso.

c. Las transformaciones son ( )( )

( )

cos sen

sen sen

cos

x r

y r

z r

ϕ θ

ϕ θ

θ

= ⋅⎧⎪

= ⋅⎨⎪ =⎩

. En la figura 14 se muestran los

cálculos correspondientes.

simplify(det(Df2_m(m,r,θ )))

Figura 12

Define library\Df3_m(a,b,c,e)=listToMat(diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e))

simplify(det(Df3_m(m,r,θ ,z)))

Figura 13 Figura 14

simplify(det(Df3_m(m,r,θ ,ϕ )))

( ) ( ) ( ){ }cos sen , sen sen , cosr r r mϕ θ ϕ θ θ⋅ ⋅ ⇒

{ }cos , sen ,r r z mθ θ ⇒

60

Laboratorio N° 6, Funciones de varias variables, Derivadas.


1. La función de usuario “Df3_m” calcula la matriz de derivadas parciales de funciones 3: mf ℜ → ℜ .

b. Aplique la función de usuario “Df3_m” a la función vectorial ( ),x zf ze ye= − .

c. Considere el caso particular de la función 3:f ℜ → ℜ . Demuestre que

( ), ,Df x y z es una matriz 1 3× que coincide con el gradiente f∇ .

Solución 1. Las soluciones para (a) y (b) se muestran en la figura 1.

2. Dadas las funciones ( ) ( )2 2, 1,g x y x y= + y ( ) ( )2, , ,f u v u v u v= + calcule la

derivada ( )( )1,1D f g empleando la regla de la cadena.

Solución La solución se muestra en la figura 2

3. Sean ( ) ( )( )2 2, tan 1 ,vf u v u e u v= − − − y ( ) ( ), ,x yg x y e x y−= − . Calcule f g y

( )D f g .

Solución La solución se muestra en la figura 3, en particular ( )D f g está dado por la matriz:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2

2 2

tan 1 tan 1

2 2 2 2 2 2

x y x y x y x y

x y x y

e e e eD f g

x y e x y e

− − − −

− −

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟=⎜ ⎟− + + − −⎝ ⎠


61

4. Suponga que la temperatura en cada punto de una región del espacio este dada por

la función ( ) 2 2 2, ,T x y z x y z= + + . Sea una partícula que viaja por la hélice

circular ( ) ( ) ( )( )cos ,sen ,r t t t t= y sea ( )T t su temperatura en el tiempo t .

Determine ( )T t′ .

Solución: La solución se muestra en la figura 4.

5.

a. Demuestre que la derivada direccional de la función 2yz

x= sobre cualquier

punto de la elipse 2 2 22x y c+ = , tomada en la dirección de la normal a esta curva, es igual a cero.

b. Demuestre que la función 2

22x

y yz e F ye⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

satisface la ecuación:

( )2 2 z zx y xy xyzx y

∂ ∂− + =

∂ ∂.

Solución Podemos definir una función de usuario para calcular las derivadas direccionales. Para el caso de funciones de dos variables definimos la función “Ddirec” del siguiente modo:

La función “Ddirec” requiere de una función “a” de dos variables “b” y “c”, del vector “d” a lo largo de cuya dirección se calcula la derivada y el punto “e” donde se evalúa la derivada.

Define library\Ddirec(a,b,c,d,e)=dotP([diff(a,b),diff(a,c)],unitV(d))|b=e[1,1]|c=e[1,2]


62

a. La dirección normal de la elipse 2 2 22x y c+ = se determina calculando el gradiente de la función ( ) 2 2, 2f x y x y= + . Para calcular gradientes de funciones de dos variables podemos definir otra función de usuario:

La solución se muestra en la figura 5.

b. Escribimos en la calculadora las siguientes operaciones, que también se muestran en la figura 6.

La última expresión es justamente zxy .

Define library\grad2(a,b,c)=[diff(a,b),diff(a,c)]

( )2 2 yx y e− × diff(F(u),u)×diff(2

22xyye ,x) a⇒

xy × ( ye × F(u)+ ye × diff(F(u),u) ×diff(2

22xyye ,y)) b⇒

simplify(a+b)

ye × F(u) x y× ×

63


1. a. La ecuación de Dieterici del estado de un gas está dada por:

( )a

RVTP V b e RT− = Donde a , b y R son constantes. Considere el volumen V como una función de

la temperatura T y la presión P y calcule VP

∂∂

. Sugerencia: Para simplificar la

respuesta final haga el reemplazo ( )

aRVT RTe

P V b=

− y simplifique.

b. Dadas las funciones ( ) 2 2,f u v u v= + y ( ) ( ), ,x y xyg x y e e− −= i. Halle f g j. Halle ( )D f g

k. Halle ( ) ( )0,0f gx

∂∂

Solución a. Definimos la función ( ), ,F P T V y escribimos el comando:

La solución se muestra en la figura 1.

b. Las soluciones para i-k se muestran en la figura 2.

simplify(DerImpl(F,V,P) |( )

aRVT RTe

P V b=

− )

Figura 1 Figura 2

64

Nota: Para calcular ( )D f g escribimos la función en la forma ( ){ },f u v F⇒ y la

función { },x y xye e g− − ⇒ . Aplicamos la función de usuario “Df2_m” y el resultado lo guardamos en la variable “res”.

Variante 2 1. a. La ecuación de Van der Waals del estado de un gas está dada por:

( )2

aP V b RTV

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Donde a , b y R son constantes. Considere el volumen V como una función de

la temperatura T y la presión P y calcule VT

∂∂

.

b. Dadas las funciones: ( ) ( )2 2, , ,f u v t u v t uvt= − + y ( ) ( )2, 2 , 2 ,g x y x y x y yx= − +

i. Halle f g ii. Halle ( )D f g

iii. Halle ( ) [ ]1,1f gx

∂∂

Solución a. La solución se muestra en la figura 3


Figura 3 Figura 4

65

Variante 3

a. La ecuación de un proceso adiabático para un gas de Van der Waals está dada por:

( )2

aP V b cV

γ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Donde a , b c y γ son constantes. Considere el volumen V como una función de

la presión P y calcule dVdP

.

b. Dadas las funciones: ( ) ( )2 2, , ,f u v s u v s u v s= − − − y ( ) ( ), , ,x yg x y e e xy=

iv. Halle f g v. Halle ( )D f g

vi. Halle ( ) [ ]1,1f gx

∂∂

Solución a. La solución se muestra en la figura 5


Figura 5 Figura 6

66


Laboratorio N° 7, Extremos de funciones reales en varias variables.

Introducción. En este laboratorio estudiaremos los extremos locales de las funciones reales de varias variables. Si el punto 0r es un extremo local, entonces ( )0 0Df r = . Los puntos que anulan la primera derivada de f se denominan puntos críticos, por tanto los extremos locales deben buscarse entre los puntos críticos. Para determinar los tipos de extremos locales vamos a emplear el concepto de hessiano.

Dada una función : nf ℜ → ℜ que tiene derivadas parciales de segundo orden 0

2

i j r

fx x

⎛ ⎞∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

para , 1, ,i j n= … en 0r el hessiano de la función f en 0r está dado por la forma cuadrática

( )0

2

0, 1

12

n

i ji j i j r

fHf r h hx x=

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∑h . Esta forma permite clasificar los extremos locales de la

función f . La matriz cuyos elementos son las derivadas parciales de segundo orden, se denomina matriz hessiana. Si el hessiano es definido positivo en el punto crítico 0r entonces este punto es un mínimo local y si es definido negativo es un máximo local. Si el hessiano es nulo en 0r , entonces usando el hessiano no es posible obtener información sobre este punto. Los puntos críticos que no son extremos locales se denominan puntos silla.

Ejercicios Resueltos

1. Construya una función de usuario que permita calcular la matriz hessiana para una función 2:f ℜ → ℜ , es decir, una función real de dos variables.

a. Utilice la función de usuario creada para calcular el hessiano de la función 2 2z x y= + en el punto ( )0,0 .

Solución

La figura 1 muestra los cálculos hechos para construir el hessiano de la función 2 2z x y= + . Primeramente se define la función de usuario “Hess” que permite calcular

la matriz hessiana para cualquier función 2:f ℜ → ℜ .

Define library\Hess(a,b,c)=listToMat(diff({diff(a,b),diff(a,c)},b),diff({diff(a,b),diff(a,c)},c))

67

En el caso particular de la función 2 2z x y= + el hessiano es constante y positivo para cualquier punto (ver figura 1). Por esta razón no evaluamos el punto ( )0,0 .

2. Construya un programa que permita clasificar los extremos locales de una función

2:f ℜ → ℜ . a. Utilice el programa para clasificar los extremos locales de la función

3 23 15 12z x xy x y= + − − .

Solución.

En el recuadro se muestra el programa “ExtrFxy”, que permite identificar si un extremo local de una función es un máximo, un mínimo o un punto silla. El programa requiere que se introduzcan la función

( ),f x y y el punto extremo local que debe clasificarse. Para determinar los extremos locales debemos calcular las primeras derivadas parciales, igualarlas a cero y resolver las ecuaciones así obtenidas. La figura 2 muestra una manera de resolver dichas ecuaciones para la función 3 23 15 12z x xy x y= + − − . De esta manera obtenemos los siguientes extremos locales: ( )1 1, 2P , ( )2 2,1P , ( )3 1, 2P − − y ( )4 2, 1P − − . Para clasificarlos emplearemos el programa “ExtFxy”. La figura 3 muestra que al ejecutar el programa debemos ingresar la función. En la figura 4 se muestra la manera en que debe introducirse el punto, empleando una llave en lugar de un paréntesis.

Figura 1

Delvar F,P,S InputFunc F(x,y),"f(x,y)" Input P,"{punto}" Hess(F(x,y),x,y)|x=P[1]|y=P[2]⇒ S If det(S)=0 Then Print "Sin Informacion" Else If S[1,1]>0 and det(S)>0 Then Print "Minimo" Else If S[1,1]<0 and det(S)>0 Then Print "Maximo" Else Print "Punto Silla" IfEnd IfEnd IfEnd

Figura 2 Figura 3

Programa “ExtFxy”

68

.

El resultado se muestra en la figura 5. Después de aplicar el programa a cada punto obtenemos la siguiente clasificación:

( )1 1, 2P ⇒ Punto Silla

( )2 2,1P ⇒ Punto Mínimo Local

( )3 1, 2P − − ⇒ Punto Silla

( )4 2, 1P − − ⇒ Punto Máximo Local.

3. En muchas aplicaciones, es necesario determinar los extremos locales de una función cuadrática de n variables. Una manera compacta de escribir estas funciones es empleando las matrices.

1

2

n

xx

X

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

11 12 1

12 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

1

2

n

qq

Q

q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Donde X es el vector formado por las variables de la función, A es una matriz simétrica y Q una matriz columna arbitraria. Definimos la función cuadrática en la forma: T Tf X AX Q X= + . Para encontrar sus puntos críticos debemos calcular la derivada Df e igualar a cero. a. Calcule Df para el caso particular de tres variables y compruebe que

2 T TDf X A Q= + . (Esta relación se cumple en general). b. Defina una función de usuario que permita calcular el Hessiano ( )H f para

una función de tres variables y con ayuda de esta función compruebe que el ( ) 2H f A= .

c. Resuelva manualmente la ecuación matricial 2 0T TX A Q+ =

Figura 4 Figura 5

69

Solución Definimos las matrices, tal como se muestra en la figura 6 y construimos la función

T Tf X AX Q X= + , aplicando el comando:

Después calculamos la matriz de derivadas parciales Df empleando la función de usuario “Df3_m” y comparamos el resultado con 2 T TX A Q+ tal como se muestra en la figura 7.

b. La función de usuario “Hess3” para calcular la matriz hessiana de una función

3:f ℜ → ℜ se puede definir de la siguiente manera:

Aplicamos la función de usuario “Hess3” a la función f (escribimos Fu[1], porque la habíamos escrito entre llaves). Comparamos los resultados y encontramos claramente que ( ) 2H f A= .

c. 2 02

TT T T QX A Q X A+ = ⇒ = −

Tomando la transpuesta de ambas partes y teniendo en cuenta que A es simétrica

( TA A= ) tenemos 112

X A Q−= −

Define library\Hess3(a,b,c,s)=listToMat(diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,s)},b),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,s)},c),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,s)},s))

matToList(simplify(trn(X)×A×X+trn(Q) ×X),1)⇒ Fu


70

Laboratorio N° 7, Extremos de funciones reales en varias variables.


1. Determine los extremos locales y clasifíquelos, empleando el programa “ExtFxy” , para las funciones:

a. ( ) 2 2,f x y x y xy= + −

b. ( ) 2 21, x yf x y e + −=

Solución: a. Encontramos primeramente el punto crítico, tal como se muestra en la figura 1.

Aplicamos el programa “ExtFxy”. El resultado se muestra en la figura 2.

La función ( ) 2 2,f x y x y xy= + − es cuadrática para ella podemos aplicar también el programa “ExtCuadr” (dado en la respuesta a la pregunta 5). En este caso tenemos:

112

1 12

A

⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

; 00

Q ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

xX

y⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

El resultado se muestra en las figuras 3 y 4

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

71

b. De la figura 5 podemos ver que el punto crítico es ( )0,0 La figura 6 muestra el resultado de aplicar el programa “ExtFxy”.

2. Utilice la función de usuario “Hess3” para calcular el hessiano de las siguientes

funciones, en el punto indicado:

i. ( ), ,f x y z xyz= , ( )0 1,1,1P

ii. ( ) 2 2 2, ,f x y z x y z= + + , ( )0 1, 1,0P −

Solución Las soluciones para (i) y (ii) se muestran en las figuras 7 y 8 respectivamente.

3. Emplee el programa listado a continuación (¡que utiliza la función “Hess3”¡ ) para

clasificar los extremos locales de las siguientes funciones: i. ( ) 2 2 2, ,f x y z x y z= + +

ii. ( ), ,f x y z xyz x y z= − − − a. Explique cuales fueron las condiciones utilizadas en el programa “ExtFxyz” para

clasificar los extremos locales de la función.

Figura 5 Figura 6

Figura 8Figura 7

72

Solución (i) La función ( ) 2 2 2, ,f x y z x y z= + + posee un

punto crítico en ( )0,0,0 . El resultado de aplicar el programa “ExtFxyz” se muestra en la figura 9.

(ii) A partir de la figura 10, vemos que la función ( ), ,f x y z xyz x y z= − − − tiene dos puntos

críticos en los puntos ( )1,1,1 y ( )1, 1, 1− − −

El resultado de aplicar el programa “ExtFxyz” se muestra en las figuras 11 y 12 respectivamente.

DelVar F,P,S,a,b,c InputFunc F(x,y,z),"f(x,y,z)" Input P,"{punto}" Hess3(F(x,y,z),x,y,z)|x=P[1]|y=P[2]|z=P[3]⇒ SS[1,1]⇒ a det(subMat(S,1,1,2,2))⇒ b det(S) ⇒ c If a=0 and b=0 and c=0 Then Print "Sin Informacion" Else If a>0 and b>0 and c>0 Then Print "Minimo" Else If a<0 and b>0 and c<0 Then Print "Maximo" Else Print "Punto Silla" IfEnd IfEnd IfEnd

Programa “ExtFxyz”

Figura 9

73

a. Para la explicación sobre el programa se recomienda el libro “Cálculo Vectorial, Marsden – Tromba”, sección 4.2 “Extremos de funciones con valores reales” (particularmente el teorema 4, página 253 en la tercera edición).

4. Construya una función de usuario “Hess4” para calcular la matriz hessiana de una función 4:f ℜ → ℜ .

Solución

Definimos la función de usuario “Hess4” mediante:

5. Construya un programa que permita encontrar y clasificar los puntos críticos para funciones cuadráticas con un número arbitrario de variables.

a. Aplique el programa para el caso en que: 1 2 02 1 10 1 0

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

; x

X yz

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; 11

0Q

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b. Usando el programa determine el punto crítico de la función 2 2 2f x xy y x y= + + − − y clasifíquelo.

Define library\Hess4(a,b,c,e,f)=listToMat(diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e),diff(a,f)},b),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e),diff(a,f)},c),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e),diff(a,f)},e),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e),diff(a,f)},f))


74

Solución En el recuadro, más abajo muestra el programa “ExtCuadr” que permite encontrar y clasificar los puntos críticos de una función cuadrática en la forma T Tf X AX Q X= + . El programa requiere la definición de las matrices A , X y Q y devuelve el punto crítico indicando su tipo. a. Las figuras 13 y 14 muestran la solución.

Figura 13 Figura 14

75

DelVar Qq,Ma,Xx,T,k,s,l,T1,j,pp,tt Input Ma,"matriz simétrica A" Input Xx,"Vector columna X" Input Qq,"Vector columna Q" matToList(1/2×Ma^(-1) ×Qq,1)⇒ sol{}⇒ T For 1⇒ k To dim(sol) det(subMat(Ma,1,1,k,k)) ⇒ pp augment(T,{pp}) ⇒ T Next {}⇒ T1 For 1⇒ l To dim(sol) det(subMat(-Ma,1,1,l,l)) ⇒ tt augment(T1,{tt}) ⇒ T1 Next For 1⇒ j To dim(sol) If T[j]>0 Then Skip Else Break IfEnd Next If j=dim(sol) Then PrintNatural sol,"Mínimo" GoTo h Else For 1⇒ s To dim(sol) If T1[s]>0 Then Skip Else Break IfEnd Next IfEnd If s=dim(sol) Then PrintNatural sol,"Máximo" Else If k ≠ 0 or s ≠ 0 Then PrintNatural sol,"Punto Silla" Else Print "Sin información" IfEnd IfEnd Lbl h

Programa “ExtCuadr”

76

b. Construimos las matrices correspondientes. Debemos tener especial cuidado con la matriz A , ya que para que el programa funcione correctamente A debe ser simétrica. En este ejercicio en particular podríamos construir la matriz en la forma:

1 10 1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, sin embargo esta matriz no es simétrica1. La matriz correcta es:

112

1 12

A

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Las figuras 15 y 16 muestran la solución del ejercicio.

Actividades adicionales.

6. Perfeccione el programa “ExtCuadr” para permitir incluir matrices no simétricas. Deberá agregar en este caso una línea para construir la matriz simétrica

correspondiente en la forma ( ) ( )12

S TA A A= + .

7. *Construya un programa para calcular la matriz hessiana de cualquier orden, es decir para funciones : nf ℜ → ℜ .

8. Construya un programa para clasificar los extremos locales de funciones de cuatro variables ( ), , ,f x y z t .

9. *Construya un programa que permita clasificar los extremos de funciones reales con cualquier número de variables.

1 El programa puede mejorarse permitiendo incluir matrices no simétricas. En este caso

debemos agregar una línea que construya la matriz simétrica en la forma ( ) ( )12

S TA A A= +

Figura 15 Figura 16

77

Ejemplos de Quiz 7 Variante 1. 10. Encuentre y clasifique, con ayuda de la calculadora, los extremos locales para las

siguientes funciones:

a. ( ) 1 1,f x y xyx y

= + +

b. ( ) 2 2 2, , 2 2F x y z x y z xy x y= + + + + +

Solución.

a. De las figuras 1 y 2 se obtiene que la función ( ) 1 1,f x y xyx y

= + + posee un punto

crítico en ( )1,1 , para identificar el tipo de punto aplicamos el programa “ExtrFxy”. La figura 3 indica que el punto es un mínimo.

b. Construimos las matrices A , Q y X (figura 4 y 5) y empleamos el programa “ExtrCuadr” para encontrar el punto crítico y clasificarlo (figura 6).



78

Variante 2

1. Encuentre y clasifique, con ayuda de la calculadora, los extremos locales para las siguientes funciones:

a. ( ) ( )( ), 1f x y x y xy= − −

b. ( ) 2 2 2, , 3 4 2 3F x y z x y z xy zx x y z= − + − + + − + +

Solución

a. De acuerdo a la figura 7 tenemos 2 puntos críticos ( )1 1, 1P − − , ( )2 1,1P . Aplicando el programa “ExtrFxy”, tenemos que:

( )1 1, 1P − − ⇒ Punto Silla

( )2 1,1P ⇒ Punto Silla


Figura 7

Figura 10 Figura 9Figura 8

79

Variante 3

1. Encuentre y clasifique, con ayuda de la calculadora, los extremos locales para las siguientes funciones:

a. ( ) ( ), sinf x y x y= con [ ],x π π∈ − ; [ ],y π π∈ −

b. ( ) 2 2 2, , 2 3 3 4F x y z x y z xy zy x y z= − + − + − + −

Solución a. De acuerdo a la figura 11 tenemos infinitos puntos críticos dados por ( )0,kπ con

k ∈ . En el intervalo indicado, tenemos los puntos ( )0,0 , ( )0, π± . Aplicando en programa “ExtrFxy” tenemos:

( )0,0 ⇒ Punto silla

( )0, π− ⇒ Punto silla

( )0,π ⇒ Punto silla


Figura 11


80


Laboratorio N° 8, Extremos condicionados, Multiplicadores de Lagrange.

Introducción. En este laboratorio estudiaremos los extremos condicionados de las funciones reales de varias variables. Dadas las funciones : nf ℜ → ℜ y : ng ℜ → ℜ , el punto 0r donde la función f , restringida al conjunto nivel g c= , toma un valor máximo o mínimo se denomina extremo condicionado. Si 0r es un extremo condicionado y ( )0 0g r∇ ≠ ,

entonces existe un número real λ tal que ( ) ( )0 0f r g rλ∇ = ∇ . El número λ se denomina multiplicador de Lagrange. Este hecho permite construir una función auxiliar F f gλ= − entre cuyos puntos críticos (los puntos 0r , tales que ( )0 0F r∇ = ) podemos encontrar los extremos condicionados de f . Para determinar el tipo de extremo condicionado podemos ayudarnos en primer lugar con consideraciones geométricas, por ejemplo si el conjunto nivel g c= es una superficie acotada entonces la función f restringida a dicha superficie debe tener un valor máximo y uno mínimo. Si los puntos críticos de la función auxiliar F son dos, entonces uno debe ser un máximo y el otro mínimo. Reemplazando en la función f podremos saber cuál es cuál. En general, podemos emplear el hessiano de la función auxiliar F , pero en este caso los criterios cambian. En particular para una función

2:f ℜ → ℜ , denotando por ( )( )0H F r la matriz hessiana, si ( )( )0det 0H F r⎡ ⎤ >⎣ ⎦

entonces 0r es máximo condicionado, si ( )( )0det 0H F r⎡ ⎤ <⎣ ⎦ , 0r es un mínimo

condicionado y si ( )( )0det 0H F r⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , no hay información sobre el tipo de punto.

Ejercicios Resueltos

1. Determine los extremos condicionados de la función ( ) 2,f x y x y= dada la

condición ( ) 2 2, 2 6g x y x y= + = .

a. Verifique ( ) ( )0 0f r g rλ∇ = ∇ en los extremos condicionados.

b. Represente las curvas de nivel ( ),f x y c= , la curva constricción ( ), 6g x y = . Trace una recta que tenga la dirección del gradiente y que pase por uno de los extremos condicionados 0r . Compruebe que dicha recta es perpendicular tanto a la curva de nivel ( )

0,

rf x y f= como a la constricción ( ), 6g x y = .

81

Solución Construimos la función auxiliar ( ) ( ) ( )( ), , , ,F x y f x y g x y cλ λ= − − :

( ) ( )2 2 2, , 2 6F x y x y x yλ λ= − + −

Resolvemos la ecuación 0F∇ = , es decir, debemos igualar a cero las derivadas parciales. Los cálculos se muestran en la figura 1. Tenemos las siguientes relaciones entre las variables

2x y= ± , yλ = , 2 1 0y − = . De donde obtenemos los puntos: ( )1 2,1 ; 1P λ = ; ( )2 2,1 ; 1P λ− = ; ( )3 2, 1 ; 1P λ− = − ; ( )4 2, 1 ; 1P λ− − = − .

Note que para resolver la ecuación “ec1” hemos supuesto 0x ≠ . Otra solución posible de esta ecuación es 0x = , lo que implica de acuerdo a la ecuación “ec2”, que 0y = o 0λ = . Pero 0y = no puede ser ya que en este caso 0g = , lo que contradice la ecuación “ec3”. Si

0λ = y 0x = , de la ecuación “ec3” obtenemos 3y = ± . Tenemos los puntos:

( )5 0, 3 ; 0P λ= = ; ( )6 0, 3 ; 0P λ= − = .

El conjunto nivel (curva de nivel) 2 22 6x y+ = constituye una curva cerrada, por tanto la función f alcanza su valor máximo y mínimo. Evaluamos los puntos en la función (figura 2) y comprobamos que los puntos ( )1 2,1P y ( )2 2,1P − son máximos

condicionados, mientras que ( )3 2, 1P − y ( )4 2, 1P − − son mínimos condicionados. En los

puntos ( )5 0, 3P = y ( )6 0, 3P = − la función se anula.

a. Para calcular el gradiente podemos emplear la función de usuario “Df2_m” como se muestra en la figura 3. Vemos por ejemplo que:

( ) ( ) [ ] [ ]1 1 4, 4 1 4,4f P g Pλ∇ = ∇ ⇒ = ⋅

( ) ( ) [ ] [ ]3 3 4, 4 1 4, 4f P g Pλ∇ = ∇ ⇒ − = − ⋅ −

b. Las figuras 4 muestran las curvas de nivel de 22

cx y c yx

= ⇒ = para 2, 4, 5c = ± ± ± .

También se grafica la elipse ( )

2 22 2

2

6 cos2 6 1

3 3 sen 6

x tx yx yy t

⎧ =⎪+ = ⇒ + = ⇒ ⎨=⎪⎩


82

Buscamos la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )1 2,1P en la dirección del

vector gradiente en ese punto 2 41 4

x ty t

= +⎧⎨ = +⎩

o eliminando en parámetro t , 1y x= − .

2. Construya un programa para aplicar el criterio del hessiano a la función auxiliar

F f gλ= − en la clasificación de los extremos condicionados de una función 2:f ℜ → ℜ

b. Compruebe su programa aplicándolo a la función de la pregunta anterior.

Solución. En el recuadro se muestra el programa “ExtConxy”, que permite clasificar los extremos condicionados de una función. El programa requiere que se introduzcan la función auxiliar

( ),F x y f gλ= − (figura 6) el valor del multiplicador de Lagrange y el punto extremo que deben escribirse entre llaves (figura 7).

Figura 4 Figura 5


83

El resultado se muestra en la figura 8. Después de aplicar el programa a cada punto obtenemos la siguiente clasificación: ( )2,1± ⇒ Máximos condicionados

( )2, 1± − ⇒ Mínimos condicionados

3. Calcule la distancia máxima al origen de coordenadas de un punto que se encuentra

sobre la curva 3 3 6 0x y xy+ − = .

Solución

La distancia de un punto ( ),P x y al origen de coordenadas se calcula mediante la función

( ) 2 2,d x y x y= + . Debemos encontrar el máximo de esta función con la condición de

que ( ),P x y se encuentre sobre la curva dada. Es fácil darse cuenta que el máximo

condicionado de la función ( ) 2 2,f x y x y= + coincide con el máximo condicionado de la

función ( ),d x y . El empleo de la función ( ),f x y simplifica los cálculos, por lo que vamos a utilizar la siguiente función auxiliar:

( ) ( )2 2 3 3, , 6F x y x y x y xyλ λ= + − + − .

Programa “ExtConxy”

Delvar F,P,S,a InputFunc F( λ ,x,y),"f- λ g" Input P,"{ λ ,x,y}" Hess3(F( λ ,x,y), λ ,x,y)| λ =P[1]|x=P[2]|y=P[3]⇒ Sdet(S) ⇒ a If a=0 Then Print "Sin Informacion" Else If a<0 Then Print "Minimo" Else Print "Maximo" IfEnd IfEnd


84

Para hallar los puntos críticos de la función F tomamos sus derivadas parciales y las igualamos a cero: 0; 0; 0x yF F Fλ= = = . De las dos primeras ecuaciones despejamos el valor de λ (figura 9), eliminamos la variable λ igualando ambas expresiones (“s1” y “s2” en la figura 9) y obtenemos la relación: (ver figura 10).

( )( )2 2 0x y xy x y− + + = ( )* Una solución esta dada por x y= . Reemplazamos ahora x y= en la tercera ecuación y encontramos los valores para x (figura 10). Los puntos críticos hallados son ( )1 0,0P y

( )2 3,3P . Es evidente, por consideraciones geométricas, que el punto ( )1 0,0P es un

mínimo. De la relación ( )* vemos que otra posibilidad de solución es cuando 2 2 0xy x y+ + = . Despejamos x en función de y y reemplazamos en la tercera ecuación.

La figura 11 muestra que las soluciones son complejas o nulas. {y=-1.703194113-1.265004358 i , y=-1.703194113+1.265004358 i , y=-1.296805887-2.997055166 i , y=-1.296805887+2.997055166 i , y=0} Todos estos valores pueden desecharse ya que solo nos interesan las soluciones reales, además el caso 0y = ya fue considerado. Finalmente, a partir de consideraciones geométricas, podemos afirmar que el punto ( )3,3 corresponde al máximo condicionado buscado. Para asegurarnos de esto, primeramente graficamos la curva 3 3 6 0x y xy+ − = . Esta curva recibe el nombre de “Folio de Descartes” y la mejor manera de graficarla en la calculadora es empleando la

parametrización: 2

3 3

6 6; 1 1

t tx yt t

= =+ +

(ver figura 12). En la figura 13 se calcula la distancia

del punto ( )2 1,1P al origen de coordenadas.

4. Halle el mínimo de la función ( ) 2 2 2 2, , , 2f x y z t x y z t= + + + con las condiciones

3 2x y z t+ − + = y 2 2 4x y z t− + + = .

Solución: Construimos la función auxiliar: ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 2 1 2, , , , , 2 3 2 2 2 4F x y z t x y z t x y z t x y z tλ λ λ λ= + + + − + − + − − − + + −


85

Note que en este ejercicio se emplean dos multiplicadores de lagrange debido a la existencia de dos condiciones. Es fácil percatarse que las ecuaciones obtenidas al igualar las derivadas parciales de la función auxiliar a cero son lineales. Por esta razón, resolvemos las ecuaciones empleando un sistema de ecuaciones lineales tal como se muestra en la figura 14. Por comodidad los multiplicadores 1λ y 2λ se reemplazaron por a y b respectivamente.

La solución:

Para hallar el valor mínimo de la función reemplazamos los valores hallados en ( ) 2 2 2 2, , , 2f x y z t x y z t= + + +

5. Construya un programa para aplicar el criterio del hessiano a la función auxiliar

F f gλ= − en la clasificación de los extremos condicionados de una función 3:f ℜ → ℜ .

c. Utilice el programa para estudiar los extremos de la función ( ), ,f x y z xyz= sobre la superficie unitaria 2 2 2 1x y z+ + = .

Solución El recuadro muestra el programa requerido:

solve({diff(m,x)=0,diff(m,y)=0,diff(m,z)=0,diff(m,t)=0,diff(m,a)=0,diff(m,b)=0},{x,y,z,t,a,b}) s⇒

{x=67/69, y=2/23, z=14/69, t=67/69, a=26/69, b=18/23}

2 2 2 22x y z t+ + + |s[1]|s[2]|s[3]|s[4] 134/69

Delvar F,P,S,a,b InputFunc F( λ ,x,y,z),"F( λ ,x,y,z)" Input P,"{ λ ,x,y,z}" Hess4(F( λ ,x,y,z), λ ,x,y,z)| λ =P[1]|x=P[2]|y=P[3]|z=P[4]⇒ Sdet(subMat(S,1,1,3,3))⇒ a det(S) ⇒ b If a=0 and b=0 Then Print "Sin Informacion" Else If a<0 and b<0 Then PrintNatural {P[2],P[3],P[4]}, "Minimo" Else If a>0 and b<0 Then PrintNatural {P[2],P[3],P[4]}, "Maximo" Else PrintNatural {P[2],P[3],P[4]}, "Punto Silla" IfEnd IfEnd IfEnd Programa “ECondXYZ”

86

Laboratorio N° 8, Extremos condicionados, Multiplicadores de Lagrange.


11. Compruebe, empleando el programa “ExtConxy”, que el punto ( )2 3,3P del ejercicio resuelto 3 es un máximo condicionado. (El valor del multiplicador de Lagrange se muestra en la figura 10 del laboratorio 8).

Solución La solución se muestra en las figuras 1 – 3:

12. Determine la distancia mínima de la hipérbola 2 28 7 225x xy y+ + = al origen de

coordenadas.

Solución


Figura 4 Figura 5

87

De acuerdo a las figuras 4 y 5 tenemos los puntos críticos:

( )11, , , 5, 2 59

P x yλ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )21, , , 5, 2 59

P x yλ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Para encontrar el máximo

aplicamos el programa “ExtConxy”. Los resultados se muestran en las figuras 6 - 9. (Desechamos los valores complejos.

Los puntos 1P y 2P poseen la misma distancia al origen de coordenadas tal como se ilustra en la figura 10.

Figura 6 Figura 7

Figura 8 Figura 9

Figura 10

88

13. Determine el volumen de la mayor caja rectangular que es posible construir en el

primer octante con tres caras en los planos coordenados y un vértice en el plano 2 3 6x y z+ + = .

Solución. De acuerdo a los cálculos dados en las figuras 11 – 13 tenemos un punto crítico dado por

( ) 2 2, , , , 2,1,3 3

P x y zλ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, para comprobar que es el máximo buscado empleamos el

programa “ECondXYZ” tal como se muestra en la figura 14.

14. Halle el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que puede ser inscrito en el

elipsoide 2 2 2

19 16 36x y z

+ + = .

Solución De las figuras 15 – 18 tenemos que el punto crítico está dado por:


Figura 14

89

( ) 4 3, , , 12 3, 3, , 2 33

P x y zλ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

La figura 19 muestra la aplicación de programa “ECondXYZ”, que indica que el punto hallado es un máximo.

El volumen buscado debe ser 8 veces el producto xyz . Es decir el volumen del

paralelepípedo inscrito en el elipsoide es: 4 38 3 2 3 64 33

× × × = .

15. Halle el mínimo de la función ( ) 2 2 2 2, , ,f x y z t x y z t= + + + , con las condiciones:

2 1x y z t+ + + = y 2 3 3x y z t− + + = .


Figura 18 Figura 19

90

Solución Los cálculos se muestran en la figura 20. La solución esta dada por:

17 22 4 21 18 26, , , , ,41 41 41 41 41 41

x y z t a b⎧ ⎫= = − = = = − =⎨ ⎬⎩ ⎭

Donde a y b son los multiplicadores de Lagrange.

Actividades adicionales.

16. *Construya un programa para aplicar el criterio del hessiano a funciones con cualquier número de variables : nf ℜ → ℜ y con una sola condición g c= .

17. Construya un programa que calcule y clasifique el punto crítico de funciones cuadráticas con n variables ( )1 2, , nf x x x… , considerando l condiciones lineales

( )1 1 2, , ng x x x… , ( ) ( )2 1 2 1 2, , , , , ,n l ng x x x g x x x… … .

Figura 20

91

Ejemplo de Quiz 8. Variante 1.

2. El plano 6 4 3z x y= − − , corta al cilindro 2 2 1x y+ = formando una curva cerrada. Encuentre, con ayuda de la calculadora, los puntos máximo y mínimo de esta curva.

Solución

De acuerdo a las figuras 1 – 3 tenemos los puntos críticos ( )15 4 3, , , ,2 5 5

P x yλ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

y

( )25 4 3, , , ,2 5 5

P x yλ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Para clasificarlos empleamos el programa “ExtConxy”. Los

resultados se muestran en las figuras 4 - 7.


Figura 4 Figura 5

92

Variante 2

1. Determine y clasifique, con ayuda de la calculadora, los extremos de la función: a. ( ), 2f x y x y= + con la condición 2 2 5x y+ = .

Solución a. De acuerdo a las figuras 8 – 10 tenemos los puntos críticos

( )11, , , 1, 22

P x yλ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

y ( )21, , ,1, 22

P x yλ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Para clasificarlos

empleamos el programa “ExtConxy”. Los resultados se muestran en las figuras 11 - 14.

Figura 6 Figura 7


93

Variante 3.

1. Determine y clasifique el (los) extremo(s) de la función ( ) 2 2,f x y x y= + , con la

condición 12 3x y

+ = .

Solución

De acuerdo a las figura 15 tenemos un punto crítico ( ) 72 18 12, , , ,13 13 13

P x yλ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y

( )21, , ,1, 22

P x yλ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Este punto, por consideraciones geométricas, debe ser un mínimo,

hecho que podemos comprobar empleando el programa “ExtConxy”. Los resultados se muestran en las figuras 16 y 17.

Figura 11 Figura 12

Figura 13 Figura 14


94


Laboratorio N° 9, Integrales Multiples. Introducción. En este laboratorio estudiamos las integrales dobles y triples. Para calcular integrales dobles sobre una región D , estas se transforman en integrales iteradas teniendo en cuenta la

forma de la región y buscando siempre la simplicidad de los cálculos. Por ejemplo, dada una región de integración D de la forma indicada en la figura (i) tenemos:

( ) ( )( )

( )2

1

, ,p xb

D a p x

f x y dxdy f x y dy dx⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫ ∫ ∫ .

En cambio, si la región está dada en la forma indicada en la figura (ii) tenemos:

( ) ( )( )

( )2

1

, ,q yd

D c q y

f x y dxdy f x y dx dy⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫ ∫ ∫ .

De manera similar, dada una región R de 3ℜ la integral triple puede calcularse transformándola a integrales iteradas, por ejemplo:

( ) ( )( )

( )

( )

( )2 2

1 1

,

,

, , , ,y x z x yb

R a y x z x y

f x y z dxdydz f x y z dzdydx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Otras elecciones de los límites de integración también son posibles, de acuerdo a la región R . En las integrales dobles, dado el cambio de variables ( ),x u vα= , ( ),y u vβ= , la región de integración D se transforma en una nueva región G y la integral se calcula mediante la fórmula:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

,, , , ,

,D G

x yf x y dxdy f u v u v dudv

u vα β

∂=

∂∫∫ ∫∫

Para las integrales triples, dado el cambio de variables ( ), ,x u v sα= , ( ), ,y u v sβ= ,

( ), ,z u v sγ= , la región R se transforma en una nueva región R′ y la integral se calcula mediante la fórmula:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

, ,, , , , , , , , , ,

, ,R R

x y zf x y z dxdydz f u v s u v s u v s dudvds

u v sα β γ

′

∂=

∂∫∫∫ ∫∫∫

En estas fórmulas ( )( )

,,

x yu v

∂∂

y ( )( )

, ,, ,

x y zu v s

∂∂

son los determinantes de los jacobianos de

transformación.

D

( )1y p x=

( )2y p x=

a b

D( )1x q y=( )2x q y=

c

d

( )i

( )ii

95

Ejemplos Resueltos: 1. Construya una función de usuario para calcular integrales dobles.

a. Empleando la función de usuario calcule la integral 2 2

2 2

0 0

a a x

x y dydx−

+∫ ∫ con 0a > ,

pasando previamente a coordenadas polares.

Solución. La función de usuario “”DobleInt” definida a continuación permite calcular integrales dobles:

a. Para graficar el dominio de integración con ayuda de la calculadora tomamos un valor particular para a , por ejemplo 1a = . La figura 1 muestra el dominio de integración. A partir de la gráfica podemos determinar que en coordenadas polares ( ),r θ los límites de

integración corresponden a 0 r a≤ ≤ y 02πθ≤ ≤ . Por tanto, empleando coordenadas

polares cosx r θ= , siny r θ= , la integral se transforma de la siguiente manera 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0

a a x a

x y dydx r drd

π−

+ = θ∫ ∫ ∫ ∫ . Las figuras 2 y 3 muestran el cálculo de esta integral

empleando la función de usuario “DobleInt”.

2. Calcule la integral doble ( )2

D

xy y dxdy−∫∫ donde D es un triángulo cuyos vértices están

en los puntos ( )0,0O , ( )4,1A y ( )1,1B .

Figura 1

Define library\DobleInt(a,e,b,p,c)=∫((∫(a,e,b[1],b[2])),p,c[1],c[2])

Figura 3 Figura 2

96

Solución

El lado OA del triángulo define la recta 4xy = , el lado OB define la recta y x= , mientras

que el lado AB define la recta 1y = . La región de integración está graficada en la figura 3. Observe que si integramos primero por la variable y y después por la variable x debemos dividir la región de integración en dos partes. La primera esta representada en la figura 4 y

está dada por los límites de integración 0 1x≤ ≤ , 4x y x≤ ≤ . La segunda región se grafica

en la figura 5 y esta definida por los límites 1 4x≤ ≤ , 14x y≤ ≤ . En cambio si integramos

por x primero y después por y podemos integrar por toda la región, definida en este caso por 0 1y≤ ≤ , 4y x y≤ ≤ . Las figura 6 y 7 muestran los cálculos por ambas vías usando la función de usuario “DobleInt”.

Primeramente definimos todos los intervalos y la función (figura 6), después escribimos las integrales dobles, empleando la función de usuario más arriba definida (figura 7). Debemos escribir en la calculadora: Observe que el resultado es el mismo por ambas vías. Note además el orden correcto en que deben escribirse los intervalos en la función de usuario “DobleInt”.


DobleInt(f,y,h2,x,h1)+DobleInt(f,y,h4,x,h3)

DobleInt(f,x,h5,y,h1)

Figura 7

97

3. Halle el área limitada por la elipse ( ) ( )2 22 3 3 4 1 100x y x y− + + + − = .

Solución Para calcular el área de la elipse introducimos nuevas variables 2 3u x y= − + y

3 4 1v x y= + − . Expresamos las variables ( ),x y en función de las variables ( ),u v . La

figura 8 muestra como hacerlo con la calculadora. Tenemos así que 2 1 15 5

x u v= + − ,

3 1 110 10

y u v= − + + . Con el empleo de este cambio de variables la elipse ,x yE :

( ) ( )2 22 3 3 4 1 100x y x y− + + + − = dada en el plano XY se transforma en la circunferencia

,u vC : 2 2 210u v+ = en el plano UV. Para calcular el área de la circunferencia podemos emplear coordenadas polares, es decir cosu r θ= , sinv r θ= . Este último cambio de variable permite transformar la circunferencia ,u vC en el rectángulo

{ }, : 0 10,0 2rR rθ θ π≤ ≤ ≤ ≤ . Teniendo en cuenta la fórmula para la transformación de coordenadas en las integrales dobles tenemos:

( )( )

( )( )

( )( )

, , ,

, , ,, , ,

x y u v rE C R

x y x y u vA dxdy dudv drd

u v u v rθ

θθ

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂∫∫ ∫∫ ∫∫ .

Esta última integral doble puede calcularse fácilmente. La figura 9 muestra los cálculos hechos con la función de usuario “DobleInt”.

Para calcular el jacobiano ( )( )

,,

x yu v

∂∂

se definió la función:

y utilizamos la función de usuario “Df2_m”. El jacobiano ( )( )

,,

u vr θ

∂∂

de transformación a

coordenadas polares ya lo hemos calculado con anterioridad y es igual r .

{getRight(s[1]),getRight(s[2])}⇒ f


98

4. Halle el volumen del sólido limitado por el paraboloide elíptico 2 22 1z x y= + + , el plano 1x y+ = y los planos coordenados.

Solución La calculadora no permite graficar dos superficies simultáneamente, sin embargo en muchas ocasiones necesitamos solamente conocer las “tapas” inferior y superior de un sólido, así como la proyección sobre el plano coordenado XY. Este ejercicio en particular ilustra este hecho. El plano 1x y+ = no contiene la variable z , por tanto es infinito en la dirección del eje Z , por lo que no puede constituir la tapa superior o inferior del sólido. La tapa superior está dada por el paraboloide elíptico 2 22 1z x y= + + (ver figura 10), mientras que la tapa inferior está dada por el plano coordenado XY, es decir el plano cuya ecuación es 0z = . La figura 11 muestra la región de integración definida por 0 1y x≤ ≤ − , 0 1x≤ ≤

La figura 12 muestra los cálculos del volumen en el que se empleó la fórmula

( ) ( )2 1, ,D

V z x y z x y dxdy= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫ .

5. Determine el volumen del elipsoide 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + =

Solución Definimos primeramente una función de usuario que permita calcular integrales triples.

Para calcular el volumen del elipsoide empleamos la fórmula

, ,

Volx y zE

dxdydz= ∫∫∫ e

introducimos la siguiente transformación de coordenadas cos sinx a r φ θ= ⋅ , sin siny b r φ θ= ⋅ y cosz c r θ= ⋅ . Por medio de esta transformación el elipsoide

, ,x y zE :2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = en el espacio XYZ se transforma en el paralelepípedo , ,rP φ θ :


Define library\TripInt(a,e,b,p,c,q,s)=∫(∫((∫(a,e,b[1],b[2])),p,c[1],c[2]),q,s1],s[2])

99

{ }0 1,0 2 ,0r φ π θ π≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ en el espacio rφθ . Usando estas nuevas coordenadas el

volumen se calcula mediante ( )( )

, , , ,

, ,Vol

, ,x y z rE P

x y zdxdydz drd d

rφ θ

θ φθ φ

∂= =

∂∫∫∫ ∫∫∫ . Para calcular el

jacobino empleamos la función de usuario “Df3_m”. La figura 13 muestra los cálculos del jacobiano y la definición de los intervalos de integración. El jacobiano así calculado se le asigna a la variable “J” mediante:

La figura 14 muestra el resultado buscado.

Figura 14

Simplify(det(Df3_m(f,r,θ ,φ )))⇒ J

100

Laboratorio N° 9, Integrales Multiples.

Actividades del profesor. 1. Halle las coordenadas del centroide de la figura plana limitada por las parábolas

2 4 4y x= + y 2 2 4y x= − + .

Solución Para calcular las coordenadas del centro de gravedad de una figura empleamos las fórmulas:

D

D

xdxdyx

dxdy=

∫∫

∫∫, D

D

ydxdyy

dxdy=

∫∫

∫∫.

La figura 1 muestra la región de integración. Por simetría respecto al eje X tenemos que 0y = , por tanto solo debemos calcular x . Los límites de integración se toman de la

manera siguiente 2 24 44 2

y yx− −≤ ≤ , 2 2y− ≤ ≤ . El cálculo se muestra en la figura 2. Las

coordenadas del centroide son ( ) 2, ,05

x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2. Calcular la integral triple ( )31V

dxdydzx y z+ + +∫∫∫ , donde V es el sólido limitado por los

planos coordenados y el plano 1x y z+ + = .

Solución La figura 3 muestra el plano 1x y z+ + = . La región de integración es mostrada en la figura 4 y la figura 5 muestra el cálculo de la integral triple.


101

3. Halle el volumen del sólido limitado por las superficies 2 2 2

2 2 2 2x y za b c

+ + = y

2 2 2

2 2 2 0x y za b c

+ − = con 0z ≥ .

Solución

Las figuras 6 y 7 muestran la parte superior del elipsoide 2 2 2

2 2 2 2x y za b c

+ + = y el cono

elíptico 2 2 2

2 2 2 0x y za b c

+ − = respectivamente, para 3a = , 2b = y 5c = . A partir de estas

gráficas se establece que el elipsoide constituye la tapa superior y el cono es la tapa inferior

del sólido. Ambas superficies se cortan formando la elipse 2 2

2 2 1x ya b

+ = , cuando z c= . Por

tanto debemos calcular la integral doble ,

2 2 2 2

2 2 2 22x yE

x y x yc c dxdya b a b

⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫ , donde

,x yE es la región interior a la elipse 2 2

2 2 1x ya b

+ = . Utilizamos la transformación de

coordenadas cosx a r θ= ⋅ , siny b θ= ⋅ . Empleando las coordenadas ( ),r θ , la elipse ,x yE

en el plano XY se transforma en el rectángulo { }, : 0 1,0 2rR rθ θ π≤ ≤ ≤ ≤ en el plano rθ .


102

En la figura 8 se muestra el reemplazo de las nuevas coordenadas en las funciones bajo la integral, la definición de los intervalos de integración para las variables y el cálculo del jacobiano de la transformación. En la figura 9 se muestra el cálculo de la integral pedida.

4. Sea ( ) ( )1 2 312

2 2 2 2

10 2

y y

y y

I x y dxdy x y dxdy−

− −

= + + +∫ ∫ ∫ ∫

a. Grafique la región de integración de I b. Calcule la integral I empleando el cambio de coordenadas u x y= + , v x y= −

Solución a. La región de integración se muestra en la figura 10. Después de la transformación

en el “plano UV ” la región toma la forma indicada en la figura 11. En la figura 12 se indican los cálculos del jacobiano de transformación y en las figuras 13,14 se muestran los cálculos de la integral empleando la función de usuario “DobleInt”



103

Figura 13 Figura 14

104

Ejemplo de Quiz 9. Variante 1.

1. Dada la región sólida R que está limitada por la superficie ( ) 2

, xf x y e−= y los planos 0z = , 0y = , y x= , 1x = .

a. Dibuje, con ayuda de su calculadora, la proyección de la región R sobre el plano 0z = y determine de esta manera los límites de integración.

Nota: Debe anotar claramente las desigualdades que empleó para construir el gráfico solicitado. b. Utilice integrales dobles para calcular el volumen de la región R . (Recomendación:

Emplee la función de usuario “DobleInt”)

Solución La tapa superior de la región R está dada por la función ( ) 2

, xf x y e−= y la tapa inferior está definida por el plano 0z = . Podemos emplear una integral doble para calcular el volumen. El dominio de integración está representado en la figura 1.

Para resolver la integral empleamos la función de usuario “DobleInt”. Los cálculos se muestran en la figura 2

Figura 1 Figura 2

105

Variante 2.

1. Dada la función ( ), ,f x y z xyz= en el dominio V limitado por los planos 0x = , 0y = , 0z = , 1x y z+ + = .

a. Dibuje, con ayuda de su calculadora, la proyección de la región V sobre el plano 0z = .

Nota: Debe anotar claramente las desigualdades que empleó para construir el gráfico solicitado. b. Calcule la integral triple ( ), ,

V

f x y z dxdydz∫∫∫ , para la función ( ), ,f x y z y la región

V definidas en la pregunta. (Recomendación: Con ayuda del gráfico del punto (a) determine los límites de integración, luego emplee la función de usuario “TripInt”)

Solución a. La proyección de la región V sobre el plano 0z = se muestra en la figura

3. b. Para resolver la integral empleamos la función de usuario “TripInt”. Los

cálculos se muestran en la figura 4

Figura 3 Figura 4

106

Variante 3 1. Dado el sólido R limitado por el paraboloide elíptico 2 22 1z x y= + + , el plano

1x y+ = y los planos coordenados 0x = , 0y = , 0z = a. Dibuje, con ayuda de su calculadora, la proyección del sólido R sobre el

plano 0z = y determine de esta manera los límites de integración. Nota: Debe anotar claramente las desigualdades que empleó para construir el gráfico solicitado.

b. Utilice integrales dobles para calcular el volumen de la región R . (Recomendación: Emplee la función de usuario “DobleInt”)

Solución a. La proyección del sólido R sobre el plano 0z = se muestra en la figura 5. b. Para resolver la integral empleamos la función de usuario “DobleInt”. Los

cálculos se muestran en la figura 6

Figura 5 Figura 6

107


Laboratorio N° 10, Operaciones diferenciales. Gradiente, divergencia y rotacional.

Introducción. El gradiente es una operación que se aplica sobre una función real : nf ℜ → ℜ y su resultado es una función vectorial (campo vectorial) cuyos componentes son las derivadas parciales de la función f . En particular para funciones 3:f ℜ → ℜ tenemos que:

( ) ( ), , grad , ,f f ff x y z fx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ ⋅ ≡ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

La divergencia es una operación que se aplica sobre una función vectorial : n nF ℜ → ℜ y su resultado es una función real formada por la suma de las derivadas parciales:

( )1

ni

i i

FF div Fdx=

∂∇ ⋅ ≡ = ∑ .

El rotacional es una operación que se aplica sobre una función vectorial y el resultado es otra función vectorial. En particular, para funciones 3 3:F ℜ → ℜ tenemos:

( ) 3 32 1 2 1

1 2 3

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆrot

i j kF FF F F FF F i j k

x y z y z z x x yF F F

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∇× ≡ = = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Las funciones vectoriales F , tales que 0F∇× = se denominan campos potenciales o conservativos. Como se verá en el ejercicio resuelto (3a), deberá existir una función real f , que habitualmente se le denomina potencial escalar, tal que F f= ∇ . Un campo de divergencia nula se denomina campo solenoidal.

Ejemplos Resueltos: 1. Defina funciones de usuario para calcular las operaciones diferenciales básicas, es

decir para el gradiente, la divergencia y el rotacional.

Solución. Denominamos “grad” a la función de usuario que permite calcular el gradiente de funciones 3:f ℜ → ℜ : Debemos hacer notar que el gradiente, también puede calcularse usando la función de usuario “Df3_m” aplicada sobre funciones definidas en la forma “{f} m⇒ ”, es decir, suponiendo que las funciones reales (campos escalares) son funciones vectoriales con un solo componente y escribiendo el comando “Df3_m( m ,x,y,z)” Denominamos “div” a la función de usuario que calcula la divergencia de una función vectorial:

Define library\grad(a,b,c,e)=[diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e)]

108

Otra manera de calcular la divergencia es tomando la traza de la matriz de derivadas parciales, es decir aplicando el comando “traza(Df3_m(F,x,y,z))”. Recuerde que la traza es una función de usuario que se define de la siguiente manera:

Denominamos “rot” a la función de usuario que calcula el rotacional de una función vectorial:

2. Empleando las funciones de usuario arriba definidas calcule la divergencia y el

rotacional de las siguientes funciones vectoriales: a. ( ), ,F xy yz zx=

b. ( ) ( ) ˆˆ ˆsen cosx xF e y i e y j zk= + +

Solución a. Los cálculos se muestran en la figura 1 b. Los cálculos se muestran en la figura 2

3. Con ayuda de la calculadora demuestre que:

a. ( ) 0f∇× ∇ = , el rotacional del gradiente es cero

b. ( ) 0F∇ ⋅ ∇× = , la divergencia del rotacional es cero.

Solución a. Al aplicar la función de usuario “grad” sobre la función general ( ), ,f x y z

se obtiene un vector en la forma ( ) ( ) ( ), , , , , ,, ,

f x y z f x y z f x y zx y z

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

.

Por otro lado la función de usuario “rot” se aplica sobre una lista por lo que primeramente debemos convertir este vector a una lista mediante el siguiente comando:

Define library\div(a,b,c,e)=diff(a[1],b)+diff(a[2],c)+diff(a[3],e)

Define library\traza(a)=sum(matToList(trn(diag(a)),1))

Define library\rot(a,b,c,e)=[diff(a[3],c)-diff(a[2],e),diff(a[1],e)-diff(a[3],b),diff(a[2],b)-diff(a[1],c)]


109

Aplicamos ahora la función “rot” sobre la lista “m”. El resultado se muestra en la figura 3. Resumimos aquí los resultados obtenidos:

( ) ( ) ( )1

, , , , , , , 0rot m x y z f x y z f x y zz y y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + =⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2

, , , , , , , 0rot m x y z f x y z f x y zz x x z

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )3

, , , , , , , 0rot m x y z f x y z f x y zy x x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + =⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vemos que cada componente esta compuesto por la resta de las derivadas cruzadas, como estas derivadas son iguales cada componente se anula.

b. Definimos un campo vectorial general:

Calculamos su rotacional, lo escribimos como una lista y la almacenamos en “m”

Aplicamos la función de usuario “div” sobre “m” (ver figura 4) y obtenemos el siguiente resultado:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, , , , , , ,

, , , ,

, , , , 0

div m x y z P x y z P x y zz y y z

Q x y z Q x y zz x x z

R x y z R x y zy x x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En esta expresión se observa claramente que las derivadas cruzadas de una misma función aparecen con distintos signos y por lo tanto se cancelan.

matToList(trn(grad(f(x,y,z),x,y,z)),1)⇒ m

{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}⇒ F

matToList(trn(rot(F,x,y,z)),1)⇒ m

110

4. Cree un programa que permita determinar si un campo vectorial es conservativo o

no y en caso de que sea conservativo calcule el potencial escalar correspondiente. a. Utilice el programa creado para encontrar el potencial escalar del campo:

( )( ) ( ) ˆˆ ˆcos cosF yi z yz x j y yz k= + + +

Solución En el recuadro se muestra en programa “Pot_f” que permite calcular el potencial escalar (salvo constante numérica) en caso de que la función vectorial sea un campo conservativo. a. La utilización del programa “Pot_f” para determinar el potencial escalar del campo:

( )( ) ( ) ˆˆ ˆcos cosF yi z yz x j y yz k= + + + Se muestra en las figuras 5 y 6

5. Construya una función de usuario para calcular factores de escala de coordenadas curvilíneas. a. Utilice la función de usuario para calcular los factores de escala de las coordenadas i. Cilíndricas. ii. Esféricas.

DelVar F,h,g,C Input F, "{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}" If (norm(rot(F,x,y,z)) 11 12 1310 10 10x y z= = = )=0Then (F[1],x)∫ ⇒ h

(simplify(F[2]-diff(h,y)),y)∫ ⇒ g

(simplify(F[3]-diff(h,z)-diff(g,z)),z)∫ ⇒ C PrintNatural h+g+C, “El potencial es:” Else Print "No es conservativo" IfEnd

Programa “Pot_f”


111

Solución Los factores de escala correspondientes a las coordenadas curvilíneas ( )1 2 3, ,u u u se

denotan por 1h , 2h y 3h respectivamente y se calculan mediante las fórmulas ii

rhu

∂=

∂,

con 1,2,3i = . Definimos función de usuario “FactEsc”: a-i La figura 7 muestra el cálculo de los factores de escala para las coordenadas cilíndricas ( ), ,r zθ .

a-ii Para calcular los factores de escala para las coordenadas esféricas ( ), ,r θ φ construimos la función: { }cos sin , sin sin , cosr r r mφ θ φ θ θ ⇒ La figura 8 muestra el cálculo para los correspondientes factores de escala. Hacemos notar que los factores de escala calculados son esencialmente correctos. Sin embargo, el factor hφ puede simplificarse aún más y quedar en la forma senh rφ θ= 6. Construya una función de usuario para calcular el gradiente en coordenadas curvilíneas.

Solución: La fórmula del gradiente en coordenadas curvilíneas:

1 2 31 1 2 2 3 3

1 1 1ˆ ˆ ˆf f ff e e eh du h du h du

∂ ∂ ∂∇ = + + , donde 1h , 2h y 3h son los factores de escala

correspondientes a las coordenadas ( )1 2 3, ,u u u 1e , 2e y 3e son los vectores unitarios correspondientes. La función de usurario “gradCurv” permite calcular el gradiente en coordenadas curvilíneas. Para poder utilizarlo es necesario calcular antes los factores de escala.

Un ejemplo de aplicación de este gradiente para coordenadas esféricas está dado en la figura 9.

Define library\FactEsc(a,b)=√(simplify(dotP(listToMat(diff(a,b)),listToMat(diff(a,b)))))

Figura 7 Figura 8

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )1 1 1Define library\gradCurv(a,b,c,e,f)= diff , , diff , , diff ,1 2 3

a b a c a ef f f

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Figura 9

112

Laboratorio N° 10, Operaciones diferenciales. Gradiente, divergencia y rotacional.

Actividades del profesor: 1. Determine cuáles de las siguientes funciones vectoriales constituyen campos conservativos o solenoidales. En caso de que sean conservativos determine el potencial escalar.

a. ˆˆ ˆF yzi xzj xyk= + + b. ( )2 2 ˆˆ ˆ2 2F xyi x yz j y k= + + +

Solución a. El campo ˆˆ ˆF yzi xzj xyk= + + es conservativo y solenoidal (ver figura 1). El

potencial se halla con ayuda del programa ““Pot_f””. El cálculo se muestra en la figura 2

b. El campo ( )2 2 ˆˆ ˆ2 2F xyi x yz j y k= + + + es conservativo, pero no solenoidal (ver figura 3). El potencial se muestra en la figura 4.

2. Con ayuda de la calculadora demuestre que 2n nr nr r−∇ = , donde 2 2 2r x y z= + + y

ˆˆ ˆr xi yj zk= + + .

Solución La solución se muestra en la figura 5. Note que transformamos el resultado de aplicar el gradiente a una lista. El objetivo de esto es poder manipular el resultado de una manera más eficiente. Al dividir la lista por 2nn r −× obtenemos el vector r , con esto queda demostrado que 2n nr nr r−∇ = .

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

113

3. Halle el ángulo que se forma entre las superficies 2 2 2 9x y z+ + = y 2 2 3z x y= + − en el punto ( )2, 1, 2− . Indicación: El gradiente f∇ es perpendicular a la superficie dada de manera implícita

por ( ), ,f x y z c= .

Solución Escribimos (figura 6) grad(F,x,y,z)|x=P[1]|y=P[2]|z=P[3]⇒ a grad(G,x,y,z)|x=P[1]|y=P[2]|z=P[3] ⇒ b Y después calculamos el ángulo entre los vectores a y b . El resultado en grados, que no se alcanza a ver en la figura, es: 54.41469755º 4. Sea A un cuerpo rígido que rota alrededor del eje Z. La rotación puede describirse mediante el vector velocidad angular kω ω= . El vector velocidad lineal en un punto dado por el vector posición ( ), ,r x y z= se calcula mediante v rω= × . Con ayuda de la calculadora demuestre: a. ˆ ˆv yi xjω ω= − + b. 2v ω∇× =

Solución La solución se muestra en la figura 7. Note que debemos transformar el vector v en una lista antes de aplicar la función de usuario “rot”. 5. Con ayuda de la calculadora verifique las siguientes identidades: a. 3r∇ = b. 2 3 12r r∇ = c. 0r∇× =

d. ( )( ) 2ln rrr

∇ =

En todos los casos ˆˆ ˆr xi yj zk= + + y 2 2 2r x y z= + + .


114

Solución Las soluciones se muestran en las figuras La función de usuario “laplac” permite calcular el laplaciano ( ) ( )2 , , , ,f x y z f x y z∇ ≡ Δ En coordenadas cartesianas.

Ejercicios adicionales. 6. Una manera distinta de encontrar el potencial escalar de un campo vectorial conservativo

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )( ), , 1 , , , 2 , , , 3 , ,F x y z F x y z F x y z F x y z= esta dada por la fórmula:

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )0 0 0

, , 1 ,0,0 2 , ,0 3 , ,yx z

f x y z F t dt F x t dt F x y t dt= + +∫ ∫ ∫

Utilice está fórmula para construir un programa alternativo a “Pot_f” que permita calcular el potencial escalar de un campo conservativo. 7. Construya funciones de usuario para calcular la divergencia, el rotacional y el laplaciano en coordenadas curvilíneas.

Define library\laplac(a,b,c,d)=diff(a,b,2)+diff(a,c,2)+diff(a,d,2)

Figura 8 Figura 9

115

Pauta de Quiz 10. Variante 1. 1. Determine si la siguiente función vectorial constituye un campo conservativo o solenoidal. En caso de que sea conservativa determine el potencial escalar.

kzyx

zjzyx

yizyx

xF 222222222ˆˆ

+++

+++

++=

Solución Es conservativo, pero no solenoidal (figura 1). El potencial se muestra en la figura 2.

Variante 2 1. Determine si la siguiente función vectorial constituye un campo conservativo o solenoidal. En caso de que sea conservativa determine el potencial escalar.

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆF y z i x z j x y k= + + + + +

Solución El campo ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆF y z i x z j x y k= + + + + + es conservativo y solenoidal (ver figura 1). El potencial se halla con ayuda del programa ““Pot_f””. El cálculo se muestra en la figura 2

Figura 2Figura 1

Figura 1 Figura 2

116

Variante 3 1. Determine si la siguiente función vectorial constituye un campo conservativo o solenoidal. En caso de que sea conservativa determine el potencial escalar.

ˆˆ ˆxz xz xzF yze i e j xye k= + +

Solución. a. Es conservativo, pero no solenoidal (figura 1). El potencial se muestra en la figura 2.

Figura 1 Figura 2

117


Laboratorio N° 11, Integrales de línea. Introducción. Las integrales de línea pueden ser de dos tipos: I tipo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2, , , ,

C

f x y z ds f x y z x t y t z t dtβ

α

′ ′ ′= + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

II tipo. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , ,

C

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dtβ

α

+ + =

⎡ ⎤′ ′ ′= + +⎣ ⎦

∫

∫

Donde la curva C está dada de forma paramétrica, ( ) ( ) ( ){ }, , ,C x t y t z t t= α ≤ ≤ β Las siguientes proposiciones son equivalentes en regiones simplemente conexas del plano.

F es conservativo.

C

Fdr∫ es independiente de la trayectoria.

0C

Fdr =∫ en una trayectoria cerrada.

Las derivadas parciales cruzadas de F son iguales.

Ejemplos Resueltos: 1. Construya una función de usuario para calcular integrales de línea de II tipo en el

plano. a. Utilice la función hallada para calcular el trabajo realizado por el campo de

fuerza F al trasladar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un camino compuesto de un tramo horizontal seguido de uno vertical y b) un camino compuesto por un tramo vertical seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado.

( )2

22ˆ ˆ( , ) ; (1,1) ; (4, 2)y yF x y i j A Bxx

QP

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución La función de usuario “LineInt” permite calcular las integrales de línea de II tipo en el plano.

Define library\LineInt(a,b,c)=

((a[1]|x=b[1]|y=b[2]) diff(b[1],t)+(a[2]|x=b[1]|y=b[2]) diff(b[2],t),t,c[1],c[2])× ×∫

118

a. Si llamamos C a la curva indicada, la podemos subdividir en las curvas C1 y C2

mostradas en la figura. En tal caso tendremos ∫∫∫ +=21

CCC

Calculado ambas integrales por separado tendremos (escogiendo parametrizaciones simples):

1

1, 0 3

1x t

C ty

= +⎧= ≤ ≤⎨ =⎩

2

4,0 3

1x

C ty t

=⎧≤ ≤⎨ = −⎩

La figura 1 muestra los cálculos hechos para calcular ambos integrales de línea empleando el comando: Con lo que resulta 0

CPdx Qdy+ =∫ .

b) Llamando C* a este nuevo camino, vemos que lo podemos separar en dos tramos C3 y C4. Tendremos entonces, igual que en el caso anterior, que

∫∫∫ +=43

* CCC

Realizando parametrizaciones parecidas a las ejecutadas en

el punto anterior, llegamos a lo siguiente:

3

1,0 3

1x

C ty t

=⎧= ≤ ≤⎨ = −⎩

4

1, 0 3

2x t

C ty

= +⎧= ≤ ≤⎨ = −⎩

La figura 2 muestra los cálculos correspondientes.

Con lo que resulta *

0C

Pdx Qdy+ =∫

Por ambas vías obtenemos el mismo resultado. Esto es lógico, ya que se cumple:

x

y

(1;1)

C1

(4;-2)

C2

LineInt(F,C1,h)+LineInt(F,C2,h)

x

(1;1) C3

(4;-2)

C4

LineInt(F,C3,h)+LineInt(F,C4,h)

Figura 1 Figura 2

119

xQ

xy

yP

∂∂

==∂∂

2

2

Las derivadas cruzadas son iguales, excepto cuando x = 0, pero esto último no ocurre dentro de un dominio simplemente conexo que abarca a ambos caminos analizados. Por lo tanto, las integrales sobre ambos caminos deben ser iguales.

2. Dado el campo de fuerzas ( ) ( ) ( )2 ˆˆ ˆ, , 4 cos 2z zF x y z xe i y j x e z k= + + +

a) Determine el potencial escalar ( ), ,f x y z tal que f F∇ = .

b) Halle el trabajo que realiza la fuerza F cuando transporta una partícula desde el punto

( ) ( )2 2 2 32 2 2 2, , al 0, ,0 siguiendo el camino más corto sobre la esfera

23222 =++ zyx .

Solución Para determinar el potencial escalar empleamos el programa “Pot_f”. El resultado se muestra en la figura 3

Podemos ahora calcular el trabajo igualándolo a la diferencia de valores del potencial escalar entre sus extremos final e inicial. Definimos la función potencial escalar en la forma:

Evaluamos en los puntos: final ( )320, ,0 e inicial ( )2 2 2

2 2 2, , y

calculamos la diferencia como se muestra en la figura 4.

3 1 1 12 2 2 2(0, ,0) ( , , ) 0,94072 2,9278

1,987W f f C C= − = + − −

= −

DelVar F, h, g, C Input F, "{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}" If (norm(rot(F,x,y,z)) 11 12 1310 10 10x y z= = = )=0 Then (F[1],x)∫ ⇒ h



Figura 3

Define ( )2 212( , , ) 2 sinzf x y z x e y z C= + + +

Figura 4

120

x

y

(-1,0)

C1

(1, 0)

C2

3. Dado el campo vectorial 2 2

ˆ ˆ( , ) yi xjF x y

x y− +

=+

a) Probar que xQ

yP

∂∂

=∂∂

b) Calcule 1C

Fdr∫ y 2C

Fdr∫ , donde C1 y C2 son las mitades superior e inferior de la

circunferencia 2 2 1x y+ = desde (1,0) a (-1,0). ¿Cómo se explica que la integral dependa del camino en vista del resultado de (a)?

Solución En la figura 5 se muestra que las derivadas cruzadas son iguales. Para calcular las integrales de líneas tomamos las siguientes parametrizaciones para las curvas C1 y C2

⎩⎨⎧

≤≤==

t0 , sencos

1 πtytx

C

2

cos , de 0 a

senx t

Cy t

π=⎧

−⎨ =⎩

La figura 5 muestra que 1C

Fdr π=∫ , mientras que

2C

Fdr π= −∫ .

La explicación para esta dependencia de la integral de línea respecto al camino elegido para la integración radica en que cualquier región que abarque ambos caminos no puede ser simplemente conexa. Debe excluirse alguna subregión que incluya el (0, 0), porque no pertenece al dominio de definición de ( ),F x y

Figura 5

121

Laboratorio N° 11, Integrales de línea.

Actividades del profesor. 3. Una partícula se mueve en el plano XY siguiendo una trayectoria C entre los

puntos ( )0, 2A y ( )5,1B , debido a la acción de la fuerza:

( )( )2

22

2 ˆ ˆ3 2 ln 1 21

xyF i y x jx

⎛ ⎞= + + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

a. Demuestre que el trabajo hecho no depende de la trayectoria elegida entre los puntos dados.

b. Calcule el trabajo realizado por la fuerza.

Solución

a. Mostramos que el campo ( )( )2

22

2 ˆ ˆ3 2 ln 1 21

xyF i y x jx

⎛ ⎞= + + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠

es

conservativo y hallamos el potencial escalar (figuras 1 y 2). b. Calculamos la integral reemplazando los puntos A y B en el potencial

escalar . Escribimos:

El resultado se muestra en la figura 3.

4. Cree la función de usuario “LineInt3” que permita calcular las integrales de líneas de II tipo para funciones vectoriales 3 3:F ℜ → ℜ .

a. Empleando la función de usuario “LineInt3” calcule el trabajo realizado para desplazar una partícula en un campo de fuerzas dado por

kxjzixyF 10ˆ5ˆ3 +−= a lo largo de la curva ( )2 2 3 ˆˆ ˆ1 2r t i t j t k= + + + desde t = 0 hasta t = 2.

Solución Definimos la función “LineInt3” en la forma:

simplify(p|x=B[1]|y=B[2]-p|x=A[1]|y=A[2])


[ ] [ ][ ]

Define library\LineInt3(a,b,c)=

((a[1]|x=b[1]|y=b[2] z=b 3 ) diff(b[1],t)+(a[2]|x=b[1]|y=b[2] z=b 3 )

diff(b[2],t)+(a[2]|x=b[1]|y=b[2] z=b 3 ) diff(b[3],t),t,c[1],c[2])

×

× ×∫

122

a. La solución se muestra en la figura 5

5. De una interpretación geométrica a la integral de línea de tipo I dada por

( ),C

f x y ds∫ .

a. Calcule la integral 2 2

311C

dsx y

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∫ , donde C es la elipse definida por la

ecuación 2

2 14x y+ = .

Solución La integral de línea de tipo I puede interpretarse como el área lateral de una superficie cilíndrica cuyo borde esta dado por la cuva C y cuya altura está definida por la función

( ),f x y .

a. Para este y futuros cálculos de la integral de línea de primer tipo definimos la función de usuario:

a. Para calcular la integral pedida podemos parametrizar la elipse mediante 2cosx t= , siny t= Donde 0 2t π≤ ≤ . La figura 6 muestra los cálculos.

Figura 5

2 2c[2]

c[1]

b[1] b[2]Define library\LineIntI(a,b,c)= a x=b[1] y=b[2] tt t

d d dd d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞× +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

Figura 6

123

6. Construya un programa que permita calcular integrales de línea del I o II tipo, dada la función, la curva en forma paramétrica y el intervalo de variación del parámetro.

Solución

DelVar C, k1, k2,k3,k4, f Input p, "1 si I tipo, 2 si II tipo" If p=1 Then Input f, "f(x,y,z)" Input C, "{x(t),y(t),y(t)}" Input h, "Intervalo en la forma { α ,β }"

(simplify((diff(C[1],t))^2+(diff(C[2],t))^2+(diff(C[3],t))^2))⇒ k1 f|x=C[1]|y=C[2]|z=C[3] ⇒ k2

(k2 k1,t,h[1],h[2])×∫ ⇒ res PrintNatural res, "Resultado" Else Input f, "{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}" Input C, "{x(t),y(t),y(t)}" Input h, "Intervalo en la forma { α ,β }" (f[1]|x=C[1]|y=C[2]|z=C[3])×diff(C[1],t) ⇒ k1 (f[2]|x=C[1]|y=C[2]|z=C[3])× diff(C[2],t) ⇒ k2 (f[3]|x=C[1]|y=C[2]|z=C[3])×diff(C[3],t) ⇒ k3 simplify(k1+k2+k3)⇒ k4

(k4,t,h[1],h[2])∫ ⇒ res PrintNatural res, "Resultado" IfEnd

124


a. Con ayuda de la calculadora calcule el trabajo realizado por la fuerza ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆf y z i z x j x y k= − + − + − al trasladar una partícula a lo largo de la primera

vuelta de la hélice circular 2cosx t= , 2siny t= , 3z t= .

b. Con ayuda de la calculadora calcule la integral 2 2 4C

dsx y+ +

∫ , donde C es el

segmento de recta que une los puntos ( )0,0A , ( )1, 2B .

Solución

a. La solución se muestra en la figura 1 b. La recta que une los dos puntos es 2y x= . Podemos emplear la x como

parámetro con 0 1x≤ ≤ . La solución se muestra en la figura 2. Variante 2

a. Con ayuda de la calculadora calcule el trabajo realizado por la fuerza ( ) ( )4 3 2 2 4ˆ ˆ4 6 5f x xy i x y y j= + + − al trasladar una partícula a lo largo de la elipse

22 1

6x y+ = .

b. Con ayuda de la calculadora calcule la integral 2

C

y ds∫ donde C es el primer arco de

la cicloide ( )2 sinx t t= − , ( )2 1 cosy t= − .

Solución a. Parametrizamos la elipse mediante 6 cosx t= , siny t= con 0 2t π≤ ≤ . Los

cálculos se muestran en la figura 3. El resultado es 0. En la misma figura se

Figura 1 Figura 2

125

demuestra que el campo es conservativo y por tanto el trabajo realizado a lo largo de una curva cerrada tiene que ser nulo.

b. La solución se muestra en la figura 4.

Variante 3 a. Con ayuda de la calculadora calcule el trabajo realizado por la fuerza

( ) ( )2 4ˆ ˆ2 4f x xy i xy y j= + + − al trasladar una partícula a lo largo de la elipse 2 2

19 25x y

+ = .

b. Con ayuda de la calculadora calcule la integral 2 22C

y z ds+∫ , donde C es la curva

obtenida de cortar la esfera 2 2 2 1x y z+ + = con el plano x y= .

Solución

a. Parametrizamos la elipse mediante 3cosx t= , 5siny t= con 0 2t π≤ ≤ . Los cálculos se muestran en la figura 5.

b. Reemplazamos x y= en la ecuación de la esfera 2 2 2 1x y z+ + = para obtener 2 22 1y z+ = . Esto permite simplificar la integral 2 22

C

y z ds+∫ a C

ds∫ donde C es

la la elipse definida por la ecuación 2 22 1y z+ = . Podemos parametrizar esta curva

tomado 2 cos2

y t= , sinz t= . En la figura 6 se muestran los cálculos.

Figura 3 Figura 4

126

Figura 5 Figura 6

127


Laboratorio Nº 12, Integrales de superficie. Introducción. Las integrales de superficie pueden ser de dos tipos: I Tipo:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2

,

, , ,, , , , , , ,

, , , u vS G

x y y z x zf x y z ds f x u v y u v z u v dA

u v u v u v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂

= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫∫ ∫∫ II Tipo: ˆ

S

Fnds∫∫ Esta integral permite introducir el concepto de flujo.

El flujo Φ del campo vectorial F a través de la superficie S está definido por la integral de superficie de segundo tipo

S

F ndsΦ = ⋅∫∫ . Si la superficie S se da en forma paramétrica

podemos calcular esta integral transformándola en una integral doble sobre la región G de variación de los parámetros u y v , mediante la fórmula: ( ) ( ) ,, ,u v u v

S G

F nds F r u v r u v dAΦ = ⋅ = ⋅ ×⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫ ∫∫

El vector ( ) ( ), ,u vn r u v r u v= × es normal a la superficie S . Puede mostrarse (ver ejercicio 2 de problemas propuestos) que el vector normal también puede escribirse en la forma:

( )( )

( )( )

( )( )

, , , ˆˆ ˆ, , ,

y z z x x yn i j k

u v u v u v∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

Ejemplos Resueltos: 1. Construya un programa para calcular el área de una superficie parametrizada en la

forma ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ, , ,r x u v i y u v j z u v k= + + , con a u b≤ ≤ y c v d≤ ≤ . a. Utilice el programa para calcular el área de la superficie de la esfera dada por la

ecuación 2 2 2 1x y z+ + = .

Solución Para calcular el área de una superficie parametrizada con los parámetros u y v vamos a emplear la fórmula:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2, , ,, , ,u v

D D

x y y z x zA S r r dudv dudv

u v u v u v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂

= × = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫∫ ∫∫

El recuadro muestra el programa “AreaS_uv”

128



a. Para el caso de la esfera escribimos la superficie en la forma:

Donde 0 2u π≤ ≤ y 0 v π≤ ≤ . El empleo del programa y los resultados se muestran en las figuras 1-4.

DelVar F, H, h SetDecimal Input F, "{x(u,v),y(u,v),z(u,v)}" Input ru,"Rango de u {a,b}" Input rv,"Rango de v {c,d}" simplify((det(Df2_m({F[1],F[2]},u,v)))^2+(det(Df2_m({F[2],F[3]},u,v)))^2+(det(Df2_m({F[1],F[3]},u,v)))^2)⇒ H simplify(∫ (∫ ( H ,u,ru[1],ru[2]),v,rv[1],rv[2]))⇒ h PrintNatural h, "El Area es:"

{cos(u)sin(v),sin(u)sin(v),cos(v)}⇒ m

129

2. Construya una función de usuario que permita calcular el vector normal a una superficie dada en forma paramétrica ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ, , ,r x u v i y u v j z u v k= + + .

a. Calcule el vector normal al cilindro 2 2 4x y+ = en el punto ( )2,0,1 .

Solución: La función de usuario “VectN” que permite calcular el vector normal a una superficie dada en forma paramétrica es:

a. Para el caso del cilindro, los cálculos se muestran en la figura 5. La evaluación del vector normal debe realizarse en el punto ( )2,0,1 esto corresponde a 0u = y 1v = . 3. Construya una función de usuario que permita calcular el flujo de un campo

vectorial a través de una superficie dada en forma paramétrica. a. Calcule el flujo del campo vectorial ˆˆ ˆ18 12 3F zi j yk= − + a través de la parte del

plano 2 3 6 12x y z+ + = situada en el primer octante.

Solución: Recordemos primeramente la definición de la función de usuario “DobleInt” para calcular integrales dobles:

Con ayuda de “DobleInt” definimos la siguiente función que permite calcular el flujo de un vector a través de una superficie:

Para aplicar la función de usuario “Flujo” escribimos el campo vectorial en la forma: { }18 , 12,3z y m− ⇒ La superficie es el plano 2 3 6 12x y z+ + = y podemos elegir como parámetros las variables x e y para parametrizar esta superficie, es decir escribimos el plano en la

forma ( ) ˆˆ ˆ, 23 2x yr x y xi yj k⎛ ⎞= + + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠. En la calculadora escribimos

, , 23 2x yx y S⎧ ⎫− − ⇒⎨ ⎬

⎩ ⎭

Para determinar la región de integración consideramos la proyección del plano 2 3 6 12x y z+ + = sobre el plano coordenado XY en el primer cuadrante. Es decir

tomamos 0z = , lo que implica 2 43

y x= − + . La figura 6 muestra la gráfica

correspondiente, de la cual obtenemos los intervalos de integración 20 43

y x≤ ≤ − +

Define library\VectN(a,u,v)=[det(Df2_m({a[2],a[3]},u,v)),det(Df2_m({a[3],a[1]},u,v)),det(Df2_m({a[1],a[2]},u,v))]

Define library\Flujo(a,s,u,c,v,p)=DobleInt(dotP(VectN(s,u,v),trn(listToMat(a)))|x=s[1]|y=s[2]|z=s[3],u,c,v,p)


130

Figura 7

y 0 6x≤ ≤ . En la calculadora escribimos estos intervalos en la forma: 20, 4 13

x h⎧ ⎫− + ⇒⎨ ⎬⎩ ⎭

y { }0,6 2h⇒ Finalmente empleamos la función de usuario

“Flujo”. Los cálculos se muestran en la figura 7.

Una observación final que es importante destacar es que en este ejercicio consideramos como sentido positivo de la normal la dirección que apunta del plano 2 3 6 12x y z+ + = hacia el plano coordenado XY. Una elección opuesta, trae consigo un cambio de signo en el resultado final del flujo.

Campo vectorial

Superficie parametrizada

Flujo(m,S,y,h1,x,h2)

Parámetro 1

Intervalo del parámetro 1

Parámetro 2


131

Laboratorio Nº 12, Integrales de superficie.


1. Utilice la función de usuario “VectN” para calcular el vector normal a la superficie toroidal dada en forma paramétrica por las ecuaciones:

( )( )1 2cos cos

1 2cos sen2sen

x

yz

φ θ

φ θφ

= +⎧⎪

= +⎨⎪ =⎩

En el punto definido por 4πφ = ,

4πθ =


2. Dada una superficie en forma paramétrica ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= el vector normal unitario a dicha superficie se calcula mediante la fórmula

ˆ u v

u v

r rnr r

×=

×. Demuestre, con ayuda de la calculadora, que usando el jacobiano el

vector normal unitario se puede expresar en la forma:

( )( )

( )( )

( )( )

, , ,1 ˆˆ ˆˆ, , ,u v

y z z x x yn i j k

r r u v u v u v⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟× ∂ ∂ ∂⎝ ⎠.

Indicaciones: Defina la función vectorial ( ) ( ) ( ){ }, , , , ,x u v y u v z u v r⇒ calcule el producto cruz de los vectores “ru” y “rv” definidos por “listToMat(diff(r,u))⇒ ru” y “listToMat(diff(r,u))⇒ ru” y compare los componentes del vector obtenido con los

jacobianos. El jacobiano ( )( )

,,

y zu v

∂∂

, por ejemplo puede calcularse usando

“det(Df2_m({y(u,v),z(u,v)},u,v))”.

Figura 1

132

Solución La solución se muestra en las figuras 2 – 4.

3. La “cinta de Möbius” puede parametrizarse mediante:

( )

( )

sen cos2

sen sen2

cos2

x a s

y a s

z s

⎧ ⎛ θ ⎞⎛ ⎞= + ⋅ θ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ θ ⎞⎪ ⎛ ⎞= + ⋅ θ⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎪⎪ θ⎛ ⎞=⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎩

, 0 2

h s h≤ θ ≤ π

− ≤ ≤

Calcule el vector normal en los puntos dados por ( )0, 1sθ = = − y ( )2 , 1sθ π= =

Solución La figura 5 muestra la solución

4. El elemento de superficie, para una superficie dada en forma paramétrica ( ),r u v ,

esta dado por ( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2, , ,, , ,

x y y z x zds dudv

u v u v u v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂

= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. Con ayuda de la

calculadora calcule el elemento de superficie cuando los parámetros u , y v son x e y respectivamente.


Figura 4

133

Solución La solución se muestra en la figura 5. El resultado que no se alcanza a ver correctamente es:

5. Calcule la integral de superficie 2

S

z ds∫∫ , donde S es la superficie lateral del cilindro

2 2 4x y+ = entre los planos 0z = y 3z x= + .

Solución Construimos, para incluir futuros cálculos similares, un programa que permita calcular las integrales de superficie de primer tipo. En el recuadro se muestra el programa “IntSupT1” Empleamos coordenadas cilíndricas. La superficie S está definida por

2r = , 2cosx θ= , 2siny θ= , z z= . Donde 0 2θ π≤ ≤ y 0 2 2cosz θ≤ ≤ + . Los cálculos, empleando el programa “IntSupT1” se muestran en las figuras 6 – 10.

( ) ( )2 2. .

1z x y z x y

ds dxdyx y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Figura 5


Figura 9 Figura 10

DelVar f,S,hu,hv,n,G,u,v Input f,"Función" Input S, "Parámetros u,v;{x(u,v),y(u,v),z(u,v)}"Input hu,"Rango de u {a,b}" Input hv, "Rango de v {c,d}" MatToList(trn(VectN(S,u,v)),1)⇒ n simplify(îP((n[1])^2+(n[2])^2+(n[3])^2)) ⇒ H simplify(f|x=S[1]|y=S[2]|z=S[3]) ⇒ G DobleInt(H×G,u,hu,v,hv) ⇒ res PrintNatural res,"Integral de superficie:"

134

Ejercicicios adicionales.

6. Suponiendo que G es la proyección de la superficie S sobre el plano coordenado

XY. Demuestre que ˆ ˆˆˆS G

dxdyFnds Fnn k

=⋅∫∫ ∫∫ . Donde la segunda de las integrales es

doble. 7. Construya un programa que calcule las integrales de superficies mediante la fórmula

dada en el ejercicio anterior. a. Utilice el programa creado para calcular la integral ˆ

S

Fnds∫∫ , donde

2 ˆˆ ˆ 3F zi xj y zk= + − y S es la superficie del cilindro 2 2 16x y+ = , situada en el primer octante entre 0z = y 5z = .

135

Ejemplo de Quiz 12 Variante 1.

1. Calcule la integral 2

S

x ds∫∫ , donde S es la superficie del cono 2 2 2z x y= + cortada

por los planos 1z = y 2z = .

Solución. Usamos coordenadas cilíndricas. Tenemos en este caso cosx u v= , siny u v= , z u= , donde 1 2u≤ ≤ , 0 2v π≤ ≤ . Los cálculos con ayuda del programa “IntSupT1” se muestran en las figuras 1 – 5.

Figura 2 Figura 1

Figura 4 Figura 5

136

Variante 2.

1. Calcule la integral ( )2 2 22S

x y z ds+ −∫∫ , donde S es la superficie de la esfera

2 2 2 1x y z+ + = .

Solución Primeramente simplificamos la función bajo la integral conociendo que sobre la esfera se cumple 2 2 21x y z+ = − . La integral a resolver es ( )21 3

S

z ds−∫∫ . Empleamos coordenadas

esféricas ( ) ( )cos sinx u v= , ( ) ( )sin siny u v= , ( )cosz v= , donde 0 2u π≤ ≤ , 0 v π≤ ≤ . Los cálculos con ayuda del programa “IntSupT1” se muestran en las figuras 6 – 10.


Figura 9 Figura 10

137

Variante 3

1. Calcule la integral S

xzds∫∫ , donde S es la parte del cilindro 2 2 1x y+ = cortado por

los planos 0z = , 2z x= + .

Solución Usamos coordenadas cilíndricas cosx v= , siny v= , z u= , con 0 cos 2u v≤ ≤ + , 0 2v π≤ ≤ . Los cálculos con ayuda del programa “IntSupT1” se muestran en las figuras 11 – 15.


Figura 14 Figura 15

138


Laboratorio N° 13, Teoremas de Green, Gauss y Stokes. Introducción. Teorema de Green. Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente y sea ( ),F P Q= un campo vectorial cuyos componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C.

Entonces D C C

Q P dA Fdr Pdx Qdyx y

⎛ ⎞∂ ∂− = = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫ ∫ ∫ .

Teorema de Gauss. Sea V una región simple, sólida cuya superficie frontera S tiene una orientación positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyos componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a V. Entonces: ˆ div

S V

FndS F dV=∫∫ ∫∫∫

Teorema de Stokes. Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en 3ℜ que contiene a S. Entonces: ˆ rot

C SFdr FndS=∫ ∫∫ .

Ejemplos Resueltos: 1. Empleando el Teorema de Green determine el área de la región limitada por la

hipocicloide dada en forma paramétrica ( ) ( ) ( )3 3ˆ ˆcos senr t t i t j= + , 0 ≤ t ≤ 2π

Solución El área de una región D se

calcula tomando ∫∫=D

dAA 1 . El

teorema de Green nos permite transformar esta integral doble en una integral de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Para aplicar el teorema de Green debemos encontrar las funciones P, Q /

1=∂∂

−∂∂

yP

xQ . Un par de funciones sencillas que cumplen

esta condición son P = 0, Q = x. La figura 1 muestra los cálculos hechos con la función de usuario “LineInt”

De esta manera contamos con una nueva herramienta para calcular el área de una región encerrada por una curva

y

x 1

1

-1

-1

Figura 1

139

2. Evaluar, empleando el teorema de Green, la integral

4

C

x dx xydy+∫ , donde C es la curva triangular que une

los puntos (0,0), (0,1) y (1,0), orientada positivamente.

Solución La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos

4( , ) 0PP x y xy

∂= ⇒ =

∂ y ( , ) QQ x y xy y

x∂

= ⇒ =∂

Por tanto

debemos calcular la integral doble: 1 14

0 0

x

C D

Q Px dx xydy dA ydydxx y

−⎛ ⎞∂ ∂+ = − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫ ∫ ∫

Recordamos que la función de usuario “”DobleInt” permite calcular integrales dobles:

La figura 2 muestra el cálculo de la integral doble empleando esta función de usuario. Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que calcular 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones.

3. Emplee el Teorema de la Divergencia para evaluar la integral ˆG

F ndS∂

⋅∫∫ .

Donde ( ) ( ) ( )2 2 2 ˆˆ ˆz x yF x ye i y ze j z xe k= + + + + + y G es la región sólida al

interior del cilindro 2 2 1x y+ = entre los planos 0z = y 2z x= + .

Solución Recordamos primeramente la definición de la función de usuario “TripInt” que permite calcular integrales triples.

Escribimos el campo vectorial F en la calculadora en la forma: { }2 2 2, ,z x yx ye y ze z xe m+ + + ⇒

x

y

1

1

y = 1 - x


Figura 2


140

Empleamos coordenadas cilíndricas ( ), ,r zθ para la solución de la integral triple. Los límites de integración son: Para z , ( )0 2 cosz r θ≤ ≤ + × usando la calculadora escribimos ( ){ }0, 2 cos 1r hθ+ × ⇒ .

Para r , 0 1r≤ ≤ usando la calculadora escribimos { }0,1 2h⇒

Para θ , 0 2θ π≤ ≤ usando la calculadora escribimos { }0, 2 3hπ ⇒ Recordamos además que el Jacobiano de transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas es igual a “ r ” y que la divergencia en la calculadora podemos hallarla con la función de usuario “div”. El comando para hallar la integral triple buscada es:

Los resultados del cálculo se muestran en la figura 3

4. Compruebe el Teorema de Stokes, calculando la integral C

v dr⋅∫ , donde

2 3 ˆˆ ˆv x y i j zk= + + , C es el borde de la superficie definida por el hemisferio superior de la esfera 2 2 2 1x y z+ + = .

Solución Debemos calcular las integrales de línea

C

v dr⋅∫ y de superficie ( )ˆS

rot v nds∫∫ y

comprobar que son iguales. La segunda de las integrales es el flujo del rotacional del campo vectorial v , por lo que vamos a emplear la función de usuario “Flujo” para calcularlo. Al calcular el rotacional se obtiene un vector, pero la función de usuario requiere de una lista, por tanto escribimos:

{ }2 3 ,1,x y z m⇒ matToList(trn(rot(m,x,y,z)),1)⇒ F

Podemos emplear coordenadas esféricas para parametrizar la superficie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }cos sin ,sin sin ,cos Sφ θ φ θ θ ⇒ Los intervalos de integración para los parámetros θ y φ se definen respectivamente por:

0, 12

hπ⎧ ⎫ ⇒⎨ ⎬⎩ ⎭

{ }0, 2 2hπ ⇒ Los cálculos en la calculadora se muestran en la figura 4

TripInt(r× (div(m,x,y,z))|x=r×cos(θ )|y=r×sin(θ ),z,h1,r,h2,θ ,h3)

Figura 3

Figura 4

141

Para resolver la integral de línea vemos que la curva C, que constituye el borde de la semiesfera es una circunferencia sobre el plano coordenado XY. Esta curva podemos parametrizarla mediante

( ) ( ){ }cos ,sint t C⇒ Nota: Para emplear la función de usuario “LineInt” siempre debemos nombrar “t” al parámetro.

El campo vectorial sobre el borde se simplifica porque 0z = y por tanto podemos escribir:

{ }2 3,1x y m⇒ . Observe que la tercera componente se anula, por lo que esencialmente sobre el borde es bidimensional.

El intervalo de variación del parámetro t es: { }0, 2 hπ ⇒

Vamos a emplear la función de usuario “LineInt” para calcular la integral de línea. La figura 5 muestra los cálculos, demostrando la igualdad de ambas integrales, con lo cual se comprueba la veracidad del teorema de Stokes en este ejemplo.

Figura 5

142

Laboratorio N° 13, Teoremas de Green, Gauss y Stokes.

Actividades del profesor. 1. Emplee el teorema de Green para calcular el área encerrada por la elipse

= + x2

ay2

b 1 .Sugerencia: Utilice el campo vectorial ,2 2y xF ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

Solución

Tenemos 12 2C D D

y x Q Pdx dy dA dA Ax y

⎛ ⎞∂ ∂− + = − = =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫ ∫∫ .

Parametrizamos la elipse C mediante cosx a t= , siny b t= La figura 1 muestra los cálculos con el empleo

de la función de usuario “LineInt”.

2. Verifique el teorema de Gauss (Teorema de la divergencia)

mediante el cálculo directo de las integrales de superficie y triple:

( )ˆ divS V

A ndS A dV⋅ =∫∫ ∫∫∫

Donde ˆˆ ˆ2 3 ;A xi yj zk= − + y el volumen V está acotado por el cilindro x2 + y2 =1 y los planos z = 1, z = x – 2. S es la superficie lateral del cilindro más las tapas definidas por los planos y n es el vector normal a la superficie S.

Solución Calculamos primeramente la integral triple. La figura 2 muestra los cálculos. La divergencia del campo A es nula y por tanto la integral triple es cero.

Las figuras 3 y 4 muestran los cálculos del flujo del campo A a través de la superficie S del cilindro y las tapas:

Figura 1


143

1S ( )1z = con la parametrización ( ) ( ){ } 1cos , sin ,1r r Sθ θ× × ⇒ , 0 1r≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ .

2S ( )2z x= + con la parametrización ( ) ( ) ( ){ } 2cos , sin , cos 2r r r Sθ θ θ× × × + ⇒ , 0 1r≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ . Note, primeramente el orden de integración y en segundo lugar los signos correctos para garantizar que el vector normal se toma hacia fuera de la superficie. La suma de los flujos obtenidos para cada superficie es cero.

3. Compruebe el teorema de Stokes para 2 ˆˆ ˆF xzi yj x yk= − + , siendo S , la

superficie de la región limitada por 0x = , 0y = , 0z = , 2 2 8x y z+ + = .

Solución Primeramente calculamos el flujo del rotacional del campo vectorial F para ello tomamos las variables x e y como parámetros. En la figura 7 se muestran los cálculos. Note que debemos integrar primero por y y después por x esto causa que el vector normal en la función de usuario “Flujo” no tenga la dirección positiva, esta es la razón del signo menos en el cálculo de la integral de superficie (ver figura 8).

Para la segunda parte del Teorema de Stokes debemos considerar las siguientes tres curvas para calcular la integral de línea:

{ }1 : ,8 2 ,0C t t− × , donde t va desde 4t = , hasta 0t = .

{ }2 : 0,8 2 ,C t t− × , donde t va desde 0t = , hasta 4t = .

{ }3 : ,0, 4C t t− , donde t va desde 0t = , hasra 4t = . Los cálculos de muestran en la figura 9.


Figura 8

144

4. Aplicación al concepto de circulación de un campo. Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluido ( ) ( ) ( )( )1 2 3, , tan ,3 , tanzF x y z x x e z−= a lo

largo de la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 =1, con 0z > .

Solución La circulación de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y una hélice ubicada en ese punto límite no rotará. La circulación se calcula mediante la integral de línea

C

Fdr∫ , sin embargo vemos que el campo

vectorial F posee una ley bastante compleja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la circulación como integral de línea puede resultar engorroso. Aplicamos el teorema de

Stokes, ˆ rot C S

Fdr FndS=∫ ∫∫ donde S es la superficie achurada de la figura, que podemos parametrizar tomando:

( )( )

2

cos0 1

( , ) sin , 0 2

4

x rr

r r y r

z r

θθ θ

θ π

⎧ =⎪ ≤ ≤

=⎨ ≤ ≤⎪= −⎩

.

La figura 10 muestra los cálculos hechos con la calculadora.

Figura 9

X

Y

Z

1 2

2

C

Figura 10

145

Ejercicios adicionales.

5. Ley de Gauss. Demostrar, con ayuda de la calculadora (empleando la función “Flujo”) el siguiente resultado, de importancia trascendente en electromagnetismo. Sea V una región simple sólida en 3ℜ y S su frontera. Sea también ( ), ,r x y z= el

vector posición. Entonces si ( )0,0,0 S∉ , tenemos:

3

4 si (0,0,0)ˆ

0 si (0,0,0)S

Vr n dsVr

π ∈⎧⋅ = ⎨ ∉⎩

∫∫

RECOMENDACIÓN. Notar que si el origen pertenece a V no podemos aplicar el teorema de la divergencia, pues el campo vectorial no es suave allí. Aplicar el teorema de la divergencia a toda la región salvo una pequeña bola de radio ε centrada en el origen, y luego calcular el flujo sobre la frontera de esta última.

6. Si integramos el campo de velocidades de un fluido sobre una superficie obtenemos el caudal que atraviesa la misma. Sea un líquido sometido a un campo de velocidades dado por ( ) ( ) ( )1 2 3 2 ˆˆ ˆ, , tan ln 1v x y z z y i z x j zk−= + + + , que incluye en su formulación todos los efectos debidos a rozamientos, viscosidad y demás factores disipativos. Con ayuda de la calculadora halle el caudal del líquido que atraviesa un filtro de forma paraboloidal dado por la ecuación 2 2 1x y z+ = − y que está por encima del plano 1z = . Tomar el filtro orientado hacia arriba.

146

Ejemplo de Quiz 13. Variante 1. Emplee el teorema de Stokes para calcular la integral

CFdr∫ donde

( ) ˆˆ ˆsin cosx xF e yi e y z j yk= + − + y C es el borde de la superficie definida por la parte

del cono 2 2 2z x y= + con 1 2z≤ ≤ .

Solución Debemos calcular el flujo de la rotacional del campo vectorial F , es decir la integral

ˆ rot S

FndS∫∫ . Los cálculos se muestran en la figura 1.

Variante 2. Verifique el Teorema de Stokes para el campo vectorial ˆˆ ˆF zi xj yk= + + , si S es la parte del paraboloide 2 21z x y= − − para el cual 0z > y ˆˆ 0n k⋅ > .

Solución Calculamos primeramente la integral de línea

CFdr∫ . La curva C es la circunferencia

2 2 1x y+ = . Los cálculos se muestran en la figura 2. Para calcular la integral de superficie ˆ rot

SFndS∫∫ parametrizamos la superficie del paraboloide mediante

{ }2cos , sin ,1u v u v u S− ⇒ , con 0 1u≤ ≤ , 0 2v π≤ ≤ . Los cálculos se muestran en la figura 3.

Figura 1

147

Variante 3. Verifique el Teorema de Stokes para el campo vectorial ˆF yzi= − , si S es la parte de la esfera 2 2 2 4x y z+ + = , que está fuera del cilindro 2 2 1x y+ = con el vector normal apuntando hacia fuera.

Solución Calculamos primeramente la integral de línea

CFdr∫ . El borde C de la superficie está

formado por dos circunferencias 2 2 1x y+ = con 3z = ± . Estas circunferencias son las curvas formadas por la intersección del cilindro con la esfera. Teniendo en cuenta que

2 2 1x y+ = , tenemos 2 2 2 2 24 1 4 3 3x y z z z z+ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ± . Parametrizamos estas curvas mediante:

{ } 1cos ,sin , 3t t C⇒ , con 0 2t π≤ ≤

{ } 2cos ,sin , 3t t C− ⇒ , con 0 2t π≤ ≤ Los cálculos se muestran en la figura 4. Para calcular la integral de superficie ˆ rot

SFndS∫∫ , parametrizamos la superficie usando

coordenadas esféricas. En este caso tenemos:

33 2cos 3 cos2 6

z u u u π= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Por tanto la superficie queda definida mediante: { }2cos sin , 2sin sin , 2cosv u v u u S⇒

con 0 2v π≤ ≤ , 6 6

uπ π− ≤ ≤ . Los cálculos se muestran en la figura 5.

Figura 2 Figura 3

148

Figura 4 Figura 5

149

Funciones de usuario para Cálculo III. D

La función de usuario por “Df2_m” permite encontrar la matriz de derivadas parciales para funciones 2: mf ℜ → ℜ .

La función vectorial “a” debe definirse con el uso de llaves: {f1,f2,…fm} a⇒ , las variables son dadas por las letras “b”y “c”. * Definida en el laboratorio 6.

La función de usuario “Df3_m” calcula la matriz de derivadas parciales de

funciones 3: mf ℜ → ℜ La función vectorial “a” debe definirse con el uso de llaves: {f1,f2,…fm} a⇒ , las variables son dadas por las letras “b”, “c” y “e”.

* Definida en el laboratorio 6. La función de usuario “DerImpl” permite calcular la derivada implícita de una

función en la forma ( ), 0F x y =

“p” es la función ( ),F x y , “q” y “r” son las variables. * Definida en el laboratorio 6

Para calcular derivadas direccionales definimos la función “Ddirec” que requiere de una función “a” de dos variables “b” y “c”, del vector “d” a lo largo de cuya dirección se calcula la derivada y el punto “e” donde se evalúa la derivada.

El vector debe definirse en la forma [ ]1, 2d d d⇒ y el punto se define en la forma

[ ]1, 2e e e⇒ *Definida en las actividades del profesor correspondiente al laboratorio 6.

La función de usuario “”DobleInt” definida a continuación permite calcular

integrales dobles:

* Definida en el laboratorio 9.

Define library\Df3_m(a,b,c,e)=listToMat(diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e))

Define library\DerImpl(p,q,r)=-((diff(p,r))/(diff(p,q)))

Define library\Ddirec(a,b,c,d,e)=dotP([diff(a,b),diff(a,c)],unitV(d))|b=e[1,1]|c=e[1,2]

Define library\Df2_m(a,b,c)=listToMat(diff(a,b),diff(a,c))


150

Denominamos “div” a la función de usuario que calcula la divergencia de una función vectorial:


F

Los factores de escala correspondientes a las coordenadas curvilíneas ( )1 2 3, ,u u u se denotan por 1h , 2h y 3h respectivamente y se calculan mediante las fórmulas

ii

rhu

∂=

∂, con 1,2,3i = . Para calcularlos usamos la función de usuario “FactEsc”:


La función de usuario “Flujo” permite calcular el flujo de un vector a través de una superficie:

* Definida en el laboratorio 12. G

Denominamos “grad” a la función de usuario que permite calcular el gradiente de funciones 3:f ℜ → ℜ :

* Definida en el laboratorio 10

Define library\div(a,b,c,e)=diff(a[1],b)+diff(a[2],c)+diff(a[3],e)

Define library\Flujo(a,s,u,c,v,p)=DobleInt(dotP(VectN(s,u,v),trn(listToMat(a)))|x=s[1]|y=s[2]|z=s[3],u,c,v,p)

Campo vectorial

Superficie parametrizada

Flujo(m,S,y,h1,x,h2)

Parámetro 1


Parámetro 2


Define library\FactEsc(a,b)=√(simplify(dotP(listToMat(diff(a,b)),listToMat(diff(a,b)))))

Define library\grad(a,b,c,e)=[diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e)]

151

Para calcular gradientes de funciones de dos variables “a” con las variables “b” y “c”

*Definida en las actividades del profesor correspondiente al laboratorio 6.

La función de usurario “gradCurv” permite calcular el gradiente en coordenadas curvilíneas. Para poder utilizarlo es necesario calcular antes los factores de escala.

* Definida en el laboratorio 10. H

La función de usuario “Hess” permite calcular la matriz hessiana para una función 2:f ℜ → ℜ .

La función de usuario “Hess3” permite calcular la matriz hessiana de una

función 3:f ℜ → ℜ :

* “Hess” y “Hess3” están definidas en el laboratorio 7.

La función de usuario “Hess4” permite calcular la matriz hessiana de una

función 4:f ℜ → ℜ .

* “Hess4” está definida en actividades del profesor del laboratorio 7.

L La longitud de una curva dada en forma paramétrica se determina mediante la

función “Long”, definida de la manera siguiente:

Define library\grad2(a,b,c)=[diff(a,b),diff(a,c)]

Define library\Long(C,t,p,q) [ ] [ ] [ ]2 2 21 2 3q

p

dC dC dCdt

dt dt dt⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

Define library\Hess(a,b,c)=listToMat(diff({diff(a,b),diff(a,c)},b),diff({diff(a,b),diff(a,c)},c))

Define library\Hess3(a,b,c,s)=listToMat(diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,s)},b),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,s)},c),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,s)},s))

Define library\Hess4(a,b,c,e,f)=listToMat(diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e),diff(a,f)},b),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e),diff(a,f)},c),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e),diff(a,f)},e),diff({diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e),diff(a,f)},f))

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )1 1 1Define library\gradCurv(a,b,c,e,f)= diff , , diff , , diff ,1 2 3

a b a c a ef f f

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

152

Aquí “C” es la curva que deberá estar dada en la forma ( ) ( ) ( ){ }, ,x t y t z t C⇒ Observe que hemos usado llaves en lugar de paréntesis cuadrados. “ t ” indica el parámetro, “p” y “q” son los extremos inicial y final del intervalo de variación del parámetro t , es decir [ ],t p q∈ . * Definida en el laboratorio 3.

La función de usuario “laplac” permite calcular el laplaciano

( ) ( )2 , , , ,f x y z f x y z∇ ≡ Δ en coordenadas cartesianas.

*Definida en actividades del profesor del laboratorio 10

La función de usuario “LineInt” permite calcular las integrales de línea de II tipo en el plano.


La función de usuario “LineInt3” permite calcular las integrales de líneas de II tipo para funciones vectoriales 3 3:F ℜ → ℜ .

* Definida en actividades del profesor del laboratorio 11.

La función de usuario “LineIntI” permite calcular integrales de línea de tipo I.

* Definida en actividades del profesor del laboratorio 11. M

Para el cálculo del producto mixto de los vectores a, b, c


Define library\mixto(a,b,c) = dotP(a,crossP(b,c))

Define library\laplac(a,b,c,d)=diff(a,b,2)+diff(a,c,2)+diff(a,d,2)

Define library\LineInt(a,b,c)=

((a[1]|x=b[1]|y=b[2]) diff(b[1],t)+(a[2]|x=b[1]|y=b[2]) diff(b[2],t),t,c[1],c[2])× ×∫

[ ] [ ][ ]

Define library\LineInt3(a,b,c)=

((a[1]|x=b[1]|y=b[2] z=b 3 ) diff(b[1],t)+(a[2]|x=b[1]|y=b[2] z=b 3 )

diff(b[2],t)+(a[2]|x=b[1]|y=b[2] z=b 3 ) diff(b[3],t),t,c[1],c[2])

×

× ×∫

2 2c[2]

c[1]

b[1] b[2]Define library\LineIntI(a,b,c)= a x=b[1] y=b[2] tt t

d d dd d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞× +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

153

P

La proyección del vector p sobre el vector q, se calcula mediante la función “proy(p,q)”:


R

Denominamos “rot” a la función de usuario que calcula el rotacional de una función vectorial:

* Definida en el laboratorio 10. T

La traza es una función de usuario que se define de la siguiente manera:


La función de usuario “TripInt” que permita calcular integrales triples.

• Definida en el laboratorio 9.

V La función de usuario “VectN” que permite calcular el vector normal a una

superficie dada en forma paramétrica es:


Define library\proy(p,q) = dotP(p,q)/dotP(q,q)×q


Define library\traza(a)=sum(matToList(trn(diag(a)),1))

Define library\rot(a,b,c,e)=[diff(a[3],c)-diff(a[2],e),diff(a[1],e)-diff(a[3],b),diff(a[2],b)-diff(a[1],c)]

Define library\VectN(a,u,v)=[det(Df2_m({a[2],a[3]},u,v)),det(Df2_m({a[3],a[1]},u,v)),det(Df2_m({a[1],a[2]},u,v))]

154

Programas de ClassPad300 para Cálculo III. A El programa “AreaS_uv” para calcular el área de una superficie parametrizada en la forma

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ, , ,r x u v i y u v j z u v k= + + , con a u b≤ ≤ y c v d≤ ≤ .

* Construido en el laboratorio 12 C

El programa “Curv_t” creado para calcular la curvatura de una curva dada en forma paramétrica: ( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆr t x t i y t j z t k= + + Mediante la fórmula:

2

2

3

dr d rdt dt

kdrdt

×=

* Construido en el laboratorio 3.

DelVar a,b,c,f,g,K,F,G,C Input a,"x(t)" Input b,"y(t)" Input c,"z(t)" {a,b,c}⇒ C diff(C,t)⇒ f diff(C,t,2) ⇒ g [f[1],f[2],f[3]] ⇒ F [g[1],g[2],g[3]] ⇒ G simplify(norm(crossP(F,G))/(norm(F))^3) ⇒ KPrintNatural K, "Curvatura"

DelVar F, H, h SetDecimal Input F, "{x(u,v),y(u,v),z(u,v)}" Input ru,"Rango de u {a,b}" Input rv,"Rango de v {c,d}" simplify((det(Df2_m({F[1],F[2]},u,v)))^2+(det(Df2_m({F[2],F[3]},u,v)))^2+(det(Df2_m({F[1],F[3]},u,v)))^2)⇒ H simplify(∫ (∫ ( H ,u,ru[1],ru[2]),v,rv[1],rv[2]))⇒ h PrintNatural h, "El Area es:"

155

E El programa “ExtCuadr” permite encontrar y clasificar los puntos críticos de una función cuadrática en la forma

T Tf X AX Q X= + . El programa requiere la definición de las matrices A , X y Q y devuelve el punto crítico indicando su tipo. * Construido en actividades del profesor del laboratorio 7

DelVar Qq,Ma,Xx,T,k,s,l,T1,j,pp,tt Input Ma,"matriz simétrica A" Input Xx,"Vector columna X" Input Qq,"Vector columna Q" matToList(1/2×Ma^(-1) ×Qq,1)⇒ sol{}⇒ T For 1⇒ k To dim(sol) det(subMat(Ma,1,1,k,k)) ⇒ pp augment(T,{pp}) ⇒ T Next {}⇒ T1 For 1⇒ l To dim(sol) det(subMat(-Ma,1,1,l,l)) ⇒ tt augment(T1,{tt}) ⇒ T1 Next For 1⇒ j To dim(sol) If T[j]>0 Then Skip Else Break IfEnd Next If j=dim(sol) Then PrintNatural sol,"Mínimo" GoTo h Else For 1⇒ s To dim(sol) If T1[s]>0 Then Skip Else Break IfEnd Next IfEnd If s=dim(sol) Then PrintNatural sol,"Máximo" Else If k ≠ 0 or s ≠ 0 Then PrintNatural sol,"Punto Silla" Else Print "Sin información" IfEnd IfEnd Lbl h

156

El programa “ExtrFxy”, permite identificar si un extremo local de una función de dos variables es un máximo, un mínimo o un punto silla. El programa requiere que se introduzcan la función

( ),f x y y el punto extremo local que debe clasificarse. * Construido en el laboratorio 7

El programa “ExtrFxyz”, permite identificar si un extremo local de una función de tres variables es un máximo, un mínimo o un punto silla. El programa requiere que se introduzcan la función ( ), ,f x y z y el punto extremo local que debe clasificarse. * Construido en actividades del profesor del laboratorio 7

Delvar F,P,S InputFunc F(x,y),"f(x,y)" Input P,"{punto}" Hess(F(x,y),x,y)|x=P[1]|y=P[2]⇒ SIf det(S)=0 Then Print "Sin Informacion" Else If S[1,1]>0 and det(S)>0 Then Print "Minimo" Else If S[1,1]<0 and det(S)>0 Then Print "Maximo" Else Print "Punto Silla" IfEnd IfEnd IfEnd

DelVar F,P,S,a,b,c InputFunc F(x,y,z),"f(x,y,z)" Input P,"{punto}" Hess3(F(x,y,z),x,y,z)|x=P[1]|y=P[2]|z=P[3]⇒ SS[1,1]⇒ a det(subMat(S,1,1,2,2))⇒ b det(S) ⇒ c If a=0 and b=0 and c=0 Then Print "Sin Informacion" Else If a>0 and b>0 and c>0 Then Print "Minimo" Else If a<0 and b>0 and c<0 Then Print "Maximo" Else Print "Punto Silla" IfEnd IfEnd IfEnd

157

El programa “ExtConxy” permite clasificar los extremos condicionados de una función. El programa requiere que se introduzcan la función auxiliar

( ),F x y f gλ= − , el valor del multiplicador de Lagrange y el punto extremo que deben escribirse entre llaves. * Construido en el laboratorio 8

El programa “ECondXYZ” aplica el criterio del hessiano a la función auxiliar F f gλ= − en la clasificación de los extremos condicionados de una función 3:f ℜ → ℜ . * Construido en el laboratorio 8

L El programa “LineInt” permite calcular integrales de línea del I o II tipo, dada la función, la curva en forma paramétrica y el intervalo de variación del parámetro.

Delvar F,P,S,a InputFunc F( λ ,x,y),"f- λ g" Input P,"{ λ ,x,y}" Hess3(F( λ ,x,y), λ ,x,y)| λ =P[1]|x=P[2]|y=P[3]⇒ Sdet(S) ⇒ a If a=0 Then Print "Sin Informacion" Else If a<0 Then Print "Minimo" Else Print "Maximo" IfEnd IfEnd

Delvar F,P,S,a,b InputFunc F( λ ,x,y,z),"F( λ ,x,y,z)" Input P,"{ λ ,x,y,z}" Hess4(F( λ ,x,y,z), λ ,x,y,z)| λ =P[1]|x=P[2]|y=P[3]|z=P[4]⇒ Sdet(subMat(S,1,1,3,3))⇒ a det(S) ⇒ b If a=0 and b=0 Then Print "Sin Informacion" Else If a<0 and b<0 Then PrintNatural {P[2],P[3],P[4]}, "Minimo" Else If a>0 and b<0 Then PrintNatural {P[2],P[3],P[4]}, "Maximo" Else PrintNatural {P[2],P[3],P[4]}, "Punto Silla" IfEnd IfEnd IfEnd

158

* Construido en actividades del profesor del laboratorio 11. P

El programa “Plano3Pt” identifica si los puntos introducidos se encuentran o no sobre una misma recta y solamente en caso de que no lo estén, determina la ecuación del plano que pasa por los tres puntos. * Construido en actividades del profesor laboratorio 2

El programa “Planos_t” permite hallar las ecuaciones de los planos normales, rectificador y osculador a una curva dada en forma paramétrica en un punto dado ( )0 0 0, ,x y z de dicha curva.

DelVar a,b,c Input a,"Punto1 [x1,y1,z1]" Input b,"Punto2 [x2,y2,z2]" Input c,"Punto3 [x3,y3,z3]" If norm(crossP(b-a,c-a))=0 Then Print "Puntos no válidos" Else PrintNatural expand(dotP([x,y,z]-a,crossP(b-a,c-a)))=0IfEnd

DelVar C, k1, k2, f Input p, "1 si I tipo, 2 si II tipo" If p=1 Then Input f, "f(x,y,z)" Input C, "{x(t),y(t),y(t)}" Input h, "Intervalo en la forma { α ,β }"

(simplify((diff(C[1],t))^2+(diff(C[2],t))^2+(diff(C[3],t))^2))⇒ k1f|x=C[1]|y=C[2]|z=C[3] ⇒ k2

(k2 k1,t,h[1],h[2])×∫ ⇒ res PrintNatural res, "Resultado" Else Input f, "{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}" Input C, "{x(t),y(t),y(t)}" Input h, "Intervalo en la forma { α ,β }" (f[1]|x=C[1]|y=C[2]|z=C[3])×diff(C[1],t) ⇒ k1 (f[2]|x=C[1]|y=C[2]|z=C[3])× diff(C[2],t) ⇒ k2 (f[3]|x=C[1]|y=C[2]|z=C[3])×diff(C[3],t) ⇒ k3 simplify(k1+k2+k3)⇒ k4

(k4,t,h[1],h[2])∫ ⇒ res PrintNatural res, "Resultado" IfEnd

159

* Construido en actividades del profesor del laboratorio 3. El programa “Pot_f” permite calcular el potencial escalar (salvo constante numérica) en caso de que la función vectorial sea un campo conservativo.

* Construido en el laboratorio 10

DelVar a,b,c,f,g,T,G,C,B,N,C0,p,x,y,z Input a,"x(t)" Input b,"y(t)" Input c,"z(t)" Input p, "Valor de t" {a,b,c}⇒ C trn(listToMat(C|t=p))⇒ C0 diff(C,t)⇒ f diff(C,t,2)⇒ g [f[1],f[2],f[3]]⇒ T [g[1],g[2],g[3]]⇒ G crossP(T,G)⇒ B crossP(B,T)⇒ N PrintNatural expand(dotP(T|t=p,[x,y,z]-C0))=0,"Plano Normal" PrintNatural expand(dotP(N|t=p,[x,y,z]-C0))=0,"Plano Rectificador" PrintNatural expand(dotP(B|t=p,[x,y,z]-C0))=0,"Plano Osculador"

DelVar F,h,g,C Input F, "{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}" If (norm(rot(F,x,y,z)) 11 12 1310 10 10x y z= = = )=0Then (F[1],x)∫ ⇒ h



160

R

El programa “Rectas_t” permite hallar las rectas tangente, binormal y normal principal a una curva C dada en forma paramétrica en un punto dado ( )0 0 0, ,x y z mediante las ecuaciones:

[ ] [ ] [ ]0 0 0

0 0 0x y z

x x y y z zT T T− − −

= = ;

[ ] [ ] [ ]0 0 0

0 0 0x y z

x x y y z zB B B− − −

= = ;

[ ] [ ] [ ]0 0 0

0 0 0x y z

x x y y z zN N N− − −

= =

* Construido en actividades del profesor del laboratorio 3.

T El programa “TBN_t” permite calcular los vectores tangente unitario, binormal unitario y normal unitario de una curva dada en forma paramétrica. *Construido en el laboratorio 3.

DelVar a,b,c,f,g,T,G,C,B Input a,"x(t)" Input b,"y(t)" Input c,"z(t)" {a,b,c} ⇒ C diff(C,t) ⇒ f diff(C,t,2) ⇒ g [f[1],f[2],f[3]] ⇒ T [g[1],g[2],g[3]] ⇒ G crossP(T,G) ⇒ B crossP(B,T) ⇒ N PrintNatural unitV(T),"T" PrintNatural unitV(B),"B" PrintNatural unitV(N),"N"

DelVar a,b,c,f,g,T,T0,G,C,B,B0,N,N0,C0,plocal h1,h2,h3 Input a,"x(t)" Input b,"y(t)" Input c,"z(t)" Input p, "Valor de t" {a,b,c}⇒ C C|t=p⇒ C0 diff(C,t)⇒ f diff(C,t,2)⇒ g [f[1],f[2],f[3]]⇒ T [g[1],g[2],g[3]]⇒ G crossP(T,G)⇒ B crossP(B,T)⇒ N matToList(trn(T|t=p),1)⇒ T0 matToList(trn(B|t=p),1)⇒ B0 matToList(trn(N|t=p),1)⇒ N0 C0+T0× t⇒ h1 C0+B0× t⇒ h2 C0+N0× t⇒ h3 {x=h1[1],y=h1[2],z=h1[3]}⇒ rt {x=h2[1],y=h2[2],z=h2[3]}⇒ rb {x=h3[1],y=h3[2],z=h3[3]}⇒ rn PrintNatural rt,"Recta Tangente" PrintNatural rb,"Recta Binormal" PrintNatural rn,"Recta Normal"

161

El programa “Tors_t” permite calcular la torsión de curvas dadas de manera paramétrica

( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆr t x t i y t j z t k= + + , mediante el uso de la fórmula:

2 3

2 3

22

2

dr d r d rdt dt dt

dr d rdt dt

τ⋅ ×

= ±

×

*Construido en el laboratorio 3.

DelVar a,b,c,f,g,K,F,G,C Input a,"x(t)" Input b,"y(t)" Input c,"z(t)" {a,b,c} ⇒ C diff(C,t) ⇒ f diff(C,t,2) ⇒ g diff(C,t,3) ⇒ h [f[1],f[2],f[3]] ⇒ F [g[1],g[2],g[3]] ⇒ G [h[1],h[2],h[3]] ⇒ H simplify(mixto(F,G,H)/norm(crossP(F,G))^2) ⇒ torsPrintNatural tors,"Torsión"

Documents

Casio Claspad 300 Laboratorios_calculoIII