CAPÍTULO 4 Resposta livre de sistemas mecânicos com 1 GDL. 4... · 150 4 Resposta livre de sistemas mecânicos com 1 GDL 0. 0 0 arctg x ωnx f (4.2.9) A ig. 4.2.2 ilustra as duas

CAPÍTULO 4

Resposta livre de sistemasmecânicos com 1 GDL

4.1 INTRODUÇÃO4.2 RESPOSTA LIVRE SEM AMORTECIMENTO 4.3 RESPOSTA LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO4.4 RESPOSTA LIVRE COM AMORTECIMENTO DE COULOMB (OU CONSTANTE)4.5 RESPOSTA LIVRE COM AMORTECIMENTO ESTRUTURAL (OU HISTERÉTICO)4.6 COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO VISCOSO EQUIVALENTE4.7 SUMÁRIO

4.1 INTRODUÇÃO

Resposta livre (ou natural) ocorre quando o movimento se deve apenas à aplicação de condições iniciais, ou seja, a um deslocamento inicial e/ou a uma velocidade inicial. Neste último caso, a velocidade inicial pode ser dada através da aplicação de um impulso, por exemplo. Além disso, não há excitação externa após iniciado o movimento.

Neste capítulo estudaremos a resposta livre de sistemas mecânicos com um grau de liberdade (1 GDL). Iniciaremos com o caso sem amortecimento, seguido do amortecimento viscoso, o mais importante do ponto de vista prático, devido à grande

148 4 Resposta livre de sistemas mecânicos com 1 GDL

frequência com que ocorre. Também abordaremos o amortecimento de Coulomb e o amortecimento histerético (ou estrutural).

4.2 RESPOSTA LIVRE SEM AMORTECIMENTO

No sistema sem amortecimento não existe (ou é desprezível) a dissipação de energia durante o movimento, o que faz com que a resposta livre seja um movimento oscilatório (ou vibração). Teoricamente, a amplitude da vibração permanece indeinidamente constante.

4.2.1 Sistemas translacionais

A ig. 4.2.1 ilustra o modelo padrão de um sistema translacional com 1 GDL, sem amortecimento.

Figura 4.2.1 Sistema massa/mola (m - k) com 1 GDL

Modelo matemático

Para o sistema translacional completo, o modelo matemático é dado pela EDOL

.. .

( ) ( ) ( ) ( )m x t c x t kx t f t+ + = (4.2.1)

Como não existe amortecimento, c = 0; além disso, por se tratar de resposta livre, não existe forçamento, logo f(t) = 0 e o modelo matemático reduz-se a

..

( ) ( ) 0m x t kx t+ = (4.2.2)

4 Resposta livre de sistemas mecânicos com 1 GDL 149

Resposta livre

É obtida pela solução da EDOL (4.2.2), dada por:

tx

txtx nn

o

n ωωω sencos)(

.

0 += (4.2.3)

em que deinimos a frequência angular natural em rad/s como

n

k

mω = (4.2.4)

e em que as condições iniciais que causam a resposta livre são:

• o deslocamento inicial x(0) = x0 e/ou

• a velocidade inicial 0

..

)0( xx = .

Através de manipulações algébricas e trigonométricas, a eq. (4.2.3) pode ser colocada sob outras duas formas:

Formacossenoidaldaeq. (4.2.3)

)cos()( 00 fω −= tXtx n (4.2.5)

em que a amplitude e o ângulo de fase inicial são dados, respectivamente, por

2

0

.

200

+=n

xxX ω (4.2.6)

=0

0

.

0 arctgx

x

nωf (4.2.7)

Formasenoidaldaeq.(4.2.3)

É dada por

0 0( ) sen( )nx t X tω f= + (4.2.8)

em que a amplitude é dada também pela eq. (4.2.6) e o ângulo de fase inicial por


=

0

.

00 arctg

x

xnωf (4.2.9)

A ig. 4.2.2 ilustra as duas formas para os mesmos dados. Notemos que a diferença reside no ângulo de fase inicial, sendo a amplitude a mesma para as duas formas.

Figura 4.2.2 Formas cossenoidal e senoidal, eqs. (4.2.5) e (4.2.8), respectivamente

Observações:

1. Conforme vimos anteriormente, para um sistema vertical na posição de equi- líbrio estático temos

mg = kδest (4.2.10)

Substituindo a eq. (4.2.10) na eq. (4.2.4), chegamos a

st

n

g

dω = (4.2.11)

2. Também podemos usar a eq. (4.2.10) para obter:

•FrequêncianaturalemHz:

st

nn

g

m

kf dπππ

ω2

1

2

1

2=== (4.2.12)

•PeríodoNaturalems:

gk

m

f

st

nnn

dππωπτ 22

21 ==== (4.2.13)


Deslocamento instantâneo: na forma cossenoidal, é dado por

)cos()( 00 fω −= tXtx n (4.2.14)

Velocidade instantânea: derivando a eq. (4.2.14) em relação ao tempo obtemos

)(sen)( 00

. fωω −−= tXtx nn

ou

)2

cos()( 00

. πfωω +−= tXtx nn (4.2.15)

Aceleração instantânea:derivando a eq. (4.2.15) em relação ao tempo chegamos a

)cos()( 02

0

.. fωω −−= tXtx nn

ou

)cos()( 02

0

.. πfωω +−= tXtx nn (4.2.16)

Comparando as eqs. (4.2.14), (4.2.15) e (4.2.16), concluímos que, em relação ao deslocamento, a velocidade e a aceleração estão avançadas de π/2 e π rad, respectivamente, conforme ilustra a ig. 4.2.3.

Figura 4.2.3 Deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo


4.2.2 Sistemas torcionais

Neste caso, o movimento do corpo rígido consta de uma rotação em torno de um eixo, sendo a coordenada generalizada um ângulo θ(t). A causa do movimento é um deslocamento angular inicial e/ou uma velocidade angular inicial. O momento restaurador é fornecido pela energia potencial elástica armazenada em uma mola de torção. O modelo torcional com 1 GDL, sem amortecimento, é mostrado na ig. 4.2.4.

Figura 4.2.4 Sistema torcional com 1 GDL, sem amortecimento

Modelo matemático

O modelo matemático para o sistema torcional mais completo é dado por

.. .

( ) ( ) ( ) ( )C t tJ t c t k t M tq q q+ + = (4.2.17)

Quando a resposta é livre e o sistema não tem amortecimento, o modelo matemático simpliica para

..

( ) ( ) 0C tJ t k tq q+ = (4.2.18)

em que a rigidez da mola torcional é dada por:

l

IGMk t

t

0== q (4.2.19)

O momento de inércia polar da seção reta, I0, depende da forma da seção. Por exemplo, no caso de um eixo cilíndrico maciço, que é o mais utilizado, I0, vale

23

4

0

dI

π= (4.2.20)


Para outras seções retas também muito utilizadas, consultar o cap. 2.

Comparando a eq. (4.2.18) com o modelo matemático do sistema translacional, dado pela eq. (4.2.2), veriicamos que, matematicamente, constituem a mesma EDOL. Logo, podemos aproveitar todos os desenvolvimentos já feitos para o sistema translacional, simplesmente fazendo as adaptações seguintes:

Sistema translacional Sistema torcional

Massa m Momento de inércia de massa JC

Rigidez k Rigidez kt

Deslocamento translacional x (t) Deslocamento angular θ (t)

Velocidade translacional x. (t) Velocidade angular θ

. (t)

Aceleração translacional x (t) Aceleração angular θ (t)

Resposta livre

Após consideradas as adaptações anteriormente, será dada por:

tttn

n

nωω

qωqq sencos)(0

0

+=

(4.2.21)

em que deinimos a frequência angular natural em [rad/s] como

C

tn

J

k=ω (4.2.22)

Formacossenoidaldaeq.(4.2.21)

)cos()( 00 fωq −Θ= tt n (4.2.23)

em que a amplitude e o ângulo de fase inicial são dados, respectivamente, por

2

0

.

200

+=Θnω

qq (4.2.24)

=0

0

.

0 arctg qωqfn

(4.2.25)


Formasenoidaldaeq.(4.2.21)

)(sen)( 00 fωq +Θ= tt n (4.2.26)

A amplitude também é dada pela eq. (4.2.24), enquanto que o ângulo de fase inicial é representado por

=

0

.

00 arctg

qqωf n (4.2.27)

A frequência natural em Hz e o período natural também são obtidos por adaptação:

C

tnn

J

kf ππ

ω2

1

2== (4.2.28)

t

C

nnn

k

J

fπω

πτ 221 === (4.2.29)

4.2.3 Aplicação: sistemas pendulares

Pêndulos são sistemas oscilatórios nos quais a força restauradora que mantém o movimento é devida à gravidade e não à ação de uma mola deformada. Os três tipos mais comuns de pêndulos são o simples, o composto (ou físico) e o ilar. Os dois últimos têm uma aplicação prática importantíssima em Engenharia, pois através deles podemos determinar momentos de inércia de peças de geometria complicada, o que seria praticamente impossível de se obter com os métodos analíticos tradicionais da Mecânica.

Pêndulo simples

Consta de uma massa pontual m suspensa verticalmente por um io inextensível de comprimento l. Uma aplicação bastante familiar do pêndulo simples é o antigo relógio de parede. Conforme deduzido no PR3.2.7, o modelo matemático do pêndulo simples para pequenas oscilações é representado pela EDOL


..

( ) ( ) 0g

t tl

q q+ = (4.2.30)

A frequência natural do sistema, em rad/s, é dada por

l

gn =ω (4.2.31)

e, em Hz, por

l

gf n π2

1= (4.2.32)

O período natural, em s, vale

g

ln πτ 2= (4.2.33)

Pêndulo composto

Neste caso, a massa m está distribuída ao longo do corpo. No PR3.2.10 foi deduzido o seu modelo matemático:

..

( ) ( ) 0o

mglt t

Jqq + = (4.2.34)

em que l é a distância entre o centro de massa do pêndulo e o centro de rotação e Jo é o momento de inércia do pêndulo em relação ao centro de rotação.

A frequência natural do pêndulo composto é dada por

J

mgl

on =ω (4.2.35)

ou, em Hz, por

J

mglf

on π2

1= (4.2.36)

e o período natural por

mgl

J on πτ 2= (4.2.37)


Aplicaçãoimportante: determinação do momento de inércia de massa de um corpo de geometria complicada, em relação ao seu centro de gravidade.

Pêndulo ilar

No pêndulo ilar o corpo rígido oscila conforme ilustrado no capítulo 3. No PR3.2.11 foi obtido o modelo matemático para pequenas oscilações como sendo

04

2 =+ qqhJ

Dgm

C

(4.2.38)

em que h é o comprimento dos ios, D é a distância entre os mesmos, m é a massa do pêndulo e JC é o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo vertical de rotação. Da equação citada podemos obter, respectivamente, a frequência angular natural, a frequência natural e o período natural do pêndulo:

hJ

Dgm

C4

2

n =ω (4.2.39)

hJ

Dgmf

Cn

42

1 2

π= (4.2.40)

Dgm

hJ C

n 2

42 πτ = (4.2.41)

Aplicação importante:a determinação de momentos de inércia de peças de geometrias complicadas, mas que tenham simetria axial. A partir da eq. (4.2.41) obtemos a expressão

hf

DgmJ

n

C 22

2

61 π= (4.2.42)

a qual nos permite calcular o momento de inércia do pêndulo biilar em relação ao seu eixo de rotação. Os parâmetros m, D e h podem ser medidos, ao passo que fn pode ser determinada experimentalmente, pondo-se o pêndulo a oscilar, analogamente ao que foi feito com o pêndulo composto.


4.2.4 Método de Rayleigh

Serve para determinar a frequência natural de um sistema, apresentando a vantagem de dispensar a dedução do modelo matemático. O método baseia-se no Princípio da conservação da energia:

ECmax = EPmax (4.2.43)

em que ECMax é a máxima energia cinética e EPmax é a máxima energia potencial.

A eq. (4.2.43) constitui o Método de Rayleigh para sistemas com 1 GDL, o qual permite obter diretamente a frequência natural do sistema. Ele é particularmente útil nos casos em que a dedução do modelo matemático é complicada.

PROBLEMAS RESOLVIDOS REFERENTES AO ITEM 4.2

► PR4.2.1 Deduzir a eq. (4.2.3).

Solução

Modelo matemático: ..

( ) ( ) 0m x t kx t+ = .

Aplicando a transformação de Laplace e isolando a transformada de x(t):

( ).

200

.2

00

.

00 2 2

.

002 2

( ) ( ) 0

( )

( )

1( )

m s x s sx x k x s

ms k x s msx m x

ms mx s x x

ms k ms k

sx s x x

k ks s

m m

− − + = + = += ++ += +

+ +Usando a deinição de frequência angular natural, eq. (4.2.4):

.

00 2 2 2 2

1( )

n n

sx s x x

s sω ω= ++ +.

0

0 2 2 2 2( ) n

nn n

s xx s x

s s

ωωω ω= ++ +


Fazendo a transformação inversa chegamos inalmente a

tx

txtx nn

o

n ωωω sencos)(

.

0 +=

► PR4.2.2 Deduzir a expressão para a forma cossenoidal da resposta livre, eq. (4.2.5), bem como as expressões para a amplitude (eq. (4.2.6)) e para o ângulo de fase (eq. (4.2.7)).

Solução

Resposta livre: .

0( ) cos seno

n nn

xx t x t tω ωω= + (a)

Da Trigonometria:

000000

000

sensencoscos)cos(

sensencoscos)cos(

fωfωfωfωfωfω

tXtXtX

ttt

nnn

nnn

+=−+=−

Comparando esta última equação com a eq. (a), podemos concluir que o seu membro da esquerda corresponde à resposta livre x(t), isto é:

)cos()( 00 fω −= tXtx n

desde que tenhamos

0 0 0cosx X f= (b).

0 0= seno

n

xX fω (c)

Obtenção da amplitude: elevando ao quadrado e somando as eqs. (b) e (c) e isolando X0:

2

0

.

200

+=n

xxX ω

Obtenção do ângulo de fase: dividindo a eq. (c) pela eq. (b), chegamos a

=0

0

.

0 arctgx

x

nωf


► PR4.2.3 Deduzir a expressão para a forma senoidal da resposta livre, eq. (4.2.8), bem como as expressões para a amplitude (eq. (4.2.6)) e para o ângulo de fase (eq. (4.2.9)).

Solução

Resposta livre: é dada por.

0( ) cos seno

n nn

xx t x t tω ωω= + (a)

Da Trigonometria:

000000

000

sencoscossen)(sen

sencoscossen)(sen

fωfωfωfωfωfω

tXtXtX

ttt

nnn

nnn

+=++=+

Comparando esta última equação com a eq. (a), podemos concluir que o seu membro da esquerda corresponde à resposta livre x(t), isto é:

)(sen)( 00 fω += tXtx n

desde que tenhamos

0 0 0senx X f= (b).

0 0= coso

n

xX fω (c)

Obtenção da amplitude: elevando ao quadrado e somando as eqs. (b) e (c) e isolando X0:

2

02

00

+=

n

xxX ω

Obtenção do ângulo de fase: dividindo a eq. (b) pela eq. (c), chegamos a

=

0

0

0arctg

x

xn

ωf

► PR4.2.4 Reservatório de água. Dado um reservatório de abastecimento de água com os dados a seguir determinar, desprezando a massa da coluna:

1. Frequência natural da vibração horizontal Hz.

2. Período natural.

3. Forma senoidal da resposta livre, para um deslocamento inicial de 0,03 m para a direita e velocidade inicial nula.


4. Máximos valores da velocidade e da aceleração.

Dados:

Reservatório: altura = 90 m; peso do reservatório c/água = 280000 N.

Coluna: concreto (E = 2,76 ×109 Pa); seção reta tubular (dext = 3 m, dint = 2,5 m).

Solução

1. Determinação da frequência natural

N/m 17,12338

09

46

)5,23(0162,73

33

449

3=⇒

−×××== k

l

IEk

π

zH 31,0

18,9/028000

17,12338

2

1

2

1 =⇒==nn

fm

kf ππ

2. Determinação do período natural

s76,71 ==

n

nf

τ

3. Determinação da resposta livre

)2(sen)(sen)( 0000 fπfω +=+= tfXtXtx nn

rad

20arctg arctg

m 30,0 030,0

0

0

0

0

22

2

02

00

πωωfω

=

=

=

=+=

+=x

x

x

xxX

nn

n

m )2

817,0(sen30,0)(

)2

2(sen30,0)2(sen)(0n0

πππfπ

+=+=+=

ttx

tftXtxn

4. Determinação da máxima velocidade e da máxima aceleração

Da eq. (4.2.15): s/m 5420,0)718,0()30,0(0

===nxam

Xx ω

Da eq. (4.2.16): 222

0s/m 20,0)718,0()30,0( ===

nxamXx ω


► PR4.2.5 Calcular a frequência natural do sistema do PR4.2.4, considerando a massa da coluna.

Dado: massa especíica do concreto = 2500 kg/m3.

Solução

Do PR4.2.4: k = 23381,71 N/m.

Considerando a massa da mola, devemos usar no lugar de m a meq, conforme estudado no capítulo 2. Assim, neste caso:

gk401080052094

)5,2–3(

3

1

18,9

280000

3

1 22 =×××+=+= πcolunaqe

mmm

zH 680,040108

17,18332

2

1

2

1 =⇒==n

qe

nf

m

kf ππ

► PR4.2.6 Identiicação de material. Este problema mostra uma maneira simples de identiicar o material de uma barra metálica a partir da obtenção experimental do módulo de Young. Uma barra de material desconhecido tem comprimento l e seção reta retangular com largura b e altura h. A barra é posta na situação de engastamento em uma extremidade e livre na outra, na qual é ixada uma massa m. O sistema é posto em vibração livre e a sua frequência natural transversal é obtida, experimentalmente, como sendo fn. Deduzir uma expressão para o módulo de Young E e assim possibilitar a identiicação do material da barra através de consulta a uma tabela de dados no SI.

Solução

Barra engastada e livre: 3

3

l

IEk =

2nn mk

m

k ωω =⇒=

21

3hbI =Logo:

3

322

3

32

3

3

3

32 614

421

3

hb

lfm

hb

lmE

l

hbE

l

hbEm nn

n

πωω ==⇒==


► PR4.2.7 Sistema de polias. Determinar a frequência natural do sistema de polias mostrado na igura. Assumir que não haja atrito entre cabo e polias e que as massas das polias e do cabo sejam desconsideradas em comparação com a massa m.

Figura PR4.2.7 Sistema de polias.

Solução

Idealizando o sistema como tendo um grau de liberdade, a frequência natural pode ser obtida usando o conceito de rigidez equivalente. Como não há atrito entre polias e cabo e as polias não possuem massa, a tensão na corda é constante e igual ao peso P da massa m. Então, a força que atua na polia 1, puxando-a para cima é 2P e a força que atua na polia 2, puxando-a para baixo também é 2P. O centro da polia 1 se desloca 2P/k1 para cima, e o centro da polia 2 se desloca 2P/k2 para baixo. O deslocamento total da massa m é

+=21

222

k

P

k

Px

Rigidez equivalente do sistema:

)(444

1

222

21

21

2121

kk

kk

kkk

P

k

P

P

x

Pk

qe +=+=

+

==

Logo:

mkk

kk

m

kk

kk

m

kqe

n)(4

)(4

21

2121

21

+=+==ω


► PR4.2.8 Momento de inércia de um conjunto roda + pneu. A igura mostra um dispositivo projetado para determinar o momento de inércia do conjunto roda + pneu. O dispositivo consiste de um cabo de aço (G = 78,6 ×109 Pa) de diâmetro de 2,54 mm, comprimento de 2 m e de uma plataforma à qual são ixados a roda e o pneu. O cabo de aço é suspenso por sua extremidade superior e posto a oscilar em torno do eixo vertical do cabo. Com apenas a plataforma, o período da oscilação é de 3 s. Com o conjunto montado, o período da oscilação é de 18 s. Determinar o momento de inércia do conjunto roda + pneu.

Figura PR4.2.8

Solução

Determinação da rigidez à torção:

( )dar/m.N 6061,0

2

23

45200,0016,87

l

4

9

0 =××

==π

IGk

t

Obtenção da expressão para o JC a partir da eq. (4.2.29):2

22

=⇒= πτπτ n

tCt

Cn kJ

k

J

Determinação do momento de inércia da plataforma:

22

kg.m 0366,02

31606,0)plataforma( =

= πCJ

Determinação do momento de inércia do conjunto plataforma + roda + pneu:

2

2

m.gk 813,12

816061,0)pneurodaplataforma conjunto( =

=++ πC

J

Determinação do momento de inércia da roda + pneu:

JC (roda + pneu) = 1,318 – 0,0366 = 1,2814 kg.m2


► PR4.2.9 Uma serra para cortar tubulações em um processo de produção contínua consiste de um disco grande de raio r e massa M, podendo girar em torno do centro O ligado a uma barra leve, de comprimento l, em cuja extremidade é montado um motor de massa m contendo um disco de corte, conforme ilustra a igura. O sistema pode oscilar no plano em torno do ponto O. Determinar o período natural considerando pequenas oscilações.

Figura PR4.2.9

Solução

Modelagem matemática:

( ).. ..221

( )sen2

O OM J mg l r Mr m l rq q q = ⇒ − + = + + Supondo pequenas oscilações:

( ) ( ).. ..

22

22

1 ( )( ) 0 0

12

2

mg l rMr m l r mg l r

Mr m l r

q q q q+ + + + + = ⇒ + = + +Frequência angular natural:

( )22

2

1

)(

rlmrM

rlgmn ++

+=ω

Período natural:

( ))(

2

1

22

22

rlgm

rlmrM

n

n +++== πω

πτ

► PR4.2.10 Determinação do momento de inércia de uma biela em relação ao seu centro de gravidade C. Tal determinação é essencial para o estudo dinâmico do mecanismo biela/manivela de um motor de combustão interna.

Figura PR4.2.10


Solução

Trata-se de um pêndulo composto. A partir da equação da frequência natural do pêndulo composto, dada pela eq. (4.2.36), podemos obter

f

lgmJ

n

O 224π=Aplicando o Teorema de Steiner: JC = Jo – ml2, logo:

2

224lm

f

lgmJ

n

C −= πNa prática, m, l e fn são obtidos experimentalmente. A massa m é simplesmente medida em uma balança, e a distância l é obtida após a localização do centro de gravidade C, conforme ensinamentos de Física Experimental elementar. Finalmente, a frequência natural fn pode ser obtida pondo-se o corpo para oscilar e medindo-se o tempo que o mesmo leva para executar certo número de oscilações. Com estes dados, entramos na equação citada e obtemos o momento de inércia JC.

► PR 4.2.11 Suspensão automotiva independente. A igura mostra a suspensão independente de uma das rodas dianteiras de um automóvel, em que l1 = 0,5 m e l2 = 0,7 m. A mola helicoidal tem rigidez 30000 N/m e o peso distribuído à roda vale 3200 N. Determinar a frequência natural da suspensão para o movimento vertical da roda, em Hz.

Figura PR4.2.11

Solução

Seja θ o ângulo de rotação do braço inferior.


Cálculo da energia cinética máxima:

( )( )

22. .2

rodamax 2

2.2 2 2

max

1 1 1 32000, 7

2 2 2 9,81

79, 92 79, 92 79, 92n n

EC m x m l

EC

qq ω q ω q

= = = = = =

2

adorx ( )27,0 q

2qCálculo da energia potencial máxima:

( ) 222 05735,0000032

1

2

1 qq ===alomxam

xkPE

Aplicando o método de Rayleigh:

222 057329,97 qqω =⇒=nxamxam

PECE

zH 90,12

s/dar 58,6 === πωω n

nnflogo ,

► PR4.2.12 Manômetro em U. Um manômetro de área da seção reta A contém mercúrio de massa m, peso especíico e comprimento do líquido l, conforme igura. Ele deve medir a pressão de um líquido em uma tubulação industrial, o qual é deslocado por uma bomba rotativa que gira a 600 RPM. A im de evitar o fenômeno da ressonância, a frequência da oscilação do mercúrio, no interior do manômetro, deve ser maior do que três vezes a frequência de oscilação exercida pela pressão do líquido. Aplicando o método de Rayleigh, determinar o comprimento mínimo l que deve assumir a coluna de mercúrio.

Figura PR4.2.12

Solução

Cálculo da energia cinética máxima:

222

2

1

2

1

2

1xamxamxamxam

xg

lAx

g

WxmCE

g===


Cálculo da variação da energia potencial gravitacional máxima:

2

22xam

xam

xam

xam

xamxamxA

xxA

xxAGPE ggg =

−−=

Aplicando o método de Rayleigh:

2

22

2

1xam

xamn

xamxamx

g

xlPECE =⇒= ω

l

gn

22 =ωFrequência da lutuação da pressão do líquido:

s/dar 01s/dar 06

2003 ππω == x

pressão

Para evitar ressonância:

2)274,01(

2

3

012

3

gl

l

gpressão

n>⇒<⇒< πωω

Logo, o comprimento mínimo do tubo do manômetro deve ser

m 971,066,901

18,92 >⇒×> ll

► PR4.2.13 Centro de percussão de um pêndulo composto. Conforme já vimos, a frequência natural de um pêndulo composto é dada por

J

mgl

on =ω . Seja

m

Jr oC = o raio de giração do pêndulo em torno de O

e seja P o denominado centro de per- cussão, para o qual a frequência natural do pêndulo composto é igual à de um pêndulo simples de massa m e comprimento lP.

Figura PR4.2.13


1. Mostrar que a frequência natural do pêndulo composto é menor do que a de um pêndulo simples de mesmo comprimento l;

2. Obter uma expressão para lP em termos de l e rC ;

3. Mostrar que se o pêndulo composto for suspenso no ponto P ao invés de O, a sua frequência natural não sofre alteração.

Solução

1. Frequência natural do pêndulo composto:

22

PPO

nl

lg

lm

lgm

J

lgmcomposto

===ω Frequência natural do pêndulo simples:

l

gsimplesn =ω

Combinando ambas as equações, obtemos:

ωωsimplescomposto n

P

nl

l= Tendo em vista que l < lP , concluímos que

ωωsimplescomposto nn <

2. Da condição de ponto de percussão:

PO

nl

g

J

mgl ==ω (a)

Como

2

CrmJ

m

Jr

O

O

C=⇒=

Substituindo na eq. (a), obtemos

l

rl CP

2=3. Nesse caso, o centro de oscilação passa a ser P e o centro de percus- são passa a ser O. Logo, a frequência natural passa a ser

PP

P

o

Pn

l

g

lm

lgm

J

lgm ===2ω

que é igual à de um pêndulo simples de massa m e comprimento lP .


► PR4.2.14 Uma máquina rotativa de massa 200 kg está ixada na extremidade livre de uma viga de aço (E = 2,07 × 1011 Pa), engastada e livre, cujo comprimento é 2 m. Observa-se que a máquina vibra intensamente quando opera na sua frequência natural, igual a 20 Hz. Desprezando a massa da viga, determinar:

1. Rigidez da viga;

2. Momento de inércia da seção reta da viga.

Solução

1. Determinação da rigidez da viga:

Trata-se de uma situação de ressonância, em que ω = ωn = 2πfn = 2π × 20 = 126,66 rad/s. Podemos obter a rigidez a partir da deinição de frequência natural:

2 2200 125,66 3158288,18 N/mn n

kk m

mω ω= ⇒ = = × =

2. Determinação do momento de inércia da seção reta da viga:

Para uma viga engastada e livre temos

3 35 4

3 11

3 3158288,18 24,07 10 m

3 3 2,07 10

EI klk I

l E

−×= ⇒ = = = ×× ×

► PR4.2.15 A igura ilustra uma esfera de massa m e raio r que rola sem deslizar sobre uma superfície esférica de raio R. Determinar a frequência natural do sistema.

Figura PR4.2.15

Solução

Dedução do modelo matemático usando o mé- todo de energia: de acordo com a igura ao lado, sejam θ o ângulo que a reta OC faz com a vertical (coordenada generalizada) e ϕ o ângulo que descreve o rolamento da esfera sobre a superfície esférica.


Energia cinética: 22 2 2. . . .

2 2 21 1 1 1 2 1 7

2 2 2 2 5 2 5C CEC mv J m r mr mrf f f f = + = + =

Equação de restrição:

. .

( )R r

r R rr

f q f q−= − ⇒ =Logo:

2 2 22. . .2 2 2

2

1 7 1 7 ( ) 1 7( )

2 5 2 5 2 5

R rEC mr mr m R r

rf q q−= = = −

Variação da energia potencial:

( )( ) ( ) cos ( ) 1 cosEP mg R r mg R r mg R rq qD = − − − = − −Tendo em vista que

2

1 cos2

qq− ≈ ,

logo2

( )2

EP mg R rqD = −

Aplicando o método de energia:

( ) ( ) 0d d

EC EPdt dt

+ D =.

. ..21 7 2

( ) 2 ( ) 02 5 2

m R r mg R rq qq q− + − =

Simpliicando:

.. ..7 5( ) 0 0

5 7( )

gR r g

R rq q q q− + = ⇒ + =−

é o modelo matemático para o sistema.

Determinação da frequência natural:

2 5 5

7( ) 7( )n n

g g

R r R rω ω= ⇒ =− −

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– t


PROBLEMAS PROPOSTOS REFERENTES AO ITEM 4.2

► PP4.2.1 A torre de resfriamento de uma unidade de condicionamento de ar pesa 8900 N e deve ser montada sobre 4 molas de ar. Calcular a rigidez que deve ter cada mola de tal modo que a frequência natural da unidade seja 7,5 rad/s.

Resp.:

k = 12758 N/m

► PP4.2.2 O cilindro do servomecanismo da igura possui um pistão de 0,3 kg de massa, associado a uma mola helicoidal cujo diâmetro do arame é 1 mm, diâmetro da espira 10 mm, apresentando 10 espiras ativas com módulo de elasticidade transversal de 1,05 × 1011 Pa. Determinar a frequência natural da vibração do pistão.

Figura PP4.2.2

Resp.:

fn =10,53 Hz

► PP4.2.3 A im de evitar a transmissão de vibrações para a vizinhança, uma máquina está montada sobre almofadas de borracha. Quando da montagem, veriicou-se que os isoladores deformaram 5 mm devido ao peso próprio da máquina. Achar a frequência natural do sistema.

Resp.:

fn = 7,05 Hz

► PP4.2.4 Um disco circular de raio R tem um furo de raio r a uma dis- tância r’ do seu centro. O disco está livre para girar no plano vertical em


torno de um eixo perpendicular ao plano do disco e passando pelo seu centro. Determinar a frequência natural de oscilação do disco. Considerar que as massas são proporcionais aos quadrados dos raios.

Fig. PP4.2.4

Resp.:

−

−

=

5,0'

5,0

'24

2

r

r

r

Rr

rgn

ω

► PP4.2.5 O esticador mostrado na igura é usado para manter a correia pré-tensionada. A correia possui área da seção reta A = 500 mm2, comprimento total 2 m, E = 3 × 106 N/m2, l = 0,8 m. O mecanismo atuador possui l1 = l2 = 0,20 m, m = 3 kg, M = 5 kg, k = 1000 N/m. Determinar a frequência natural da vibração do braço do atuador em torno do seu pivô.

Figura PP4.2.5

Resp.:

fn = 1,02734 Hz

► PP4.2.6 A igura mostra um sistema composto por uma mola e três polias consideradas sem atrito e com massas desprezíveis. Achar a frequência natural da vibração da massa m para pequenas oscilações.

Resp.:

m

kn 8=ω

Figura PP4.2.6


► PP4.2.7 Uma máquina pesando 9810 N está sendo descida verticalmente por um guincho a uma velocidade uniforme de 2 m/s através de um cabo de aço (E = 2,07 × 1011 Pa, diâmetro 0,01 m). O guincho é subitamente freado no momento em que o comprimento do cabo é de 20 m. Achar o período e a amplitude da vibração subsequente.

Resp.:

τn = 0,22 s A = 70,148 mm

► PP4.2.8 Uma massa m é ixada a uma corda que é submetida a uma tração T, conforme ilustra a igura. Considerando que a tração permanece inalterada quando a massa é deslo- cada perpendicularmente à corda, pedem-se:

1. Modelo matemático para pequenas vibrações transversais;

2. Frequência natural da vibração. Figura PP4.2.8

Resp.:

1. ( )

0=++ xba

baTxm

2. ( )mab

baTn

+=ω

► PP4.2.9 Um acrobata de 70 kg de massa caminha sobre um cabo de aço esticado de 10 m de comprimento. A frequência natural da vibração vertical do acrobata, quando ele se encontra exatamente no centro do vão, é de 1,6 Hz. Determinar a força de tração no cabo.

Resp.:

17686,4 N

► PP4.2.10 Um homem de 72 kg de massa salta de uma ponte considerada rígida. Ele está preso pela cintura à extremidade de um cabo elástico de 40 m de comprimento e rigidez 1800 N/m, estando a outra extremidade do cabo presa à ponte. Desconsiderando a resistência do ar, calcular a


frequência natural e a amplitude do movimento vibratório do saltador em torno de sua posição de equilíbrio estático.

Resp.:

ωn = 5 rad/s; X0 = 5,63 m

► PP4.2.11 A igura mostra um fardo que deve ser suspenso por um guindaste e cuja capacidade máxima é de 9810 N. Determinar o diâme- tro dos cabos de aço (E = 2,07 × 1011 Pa), de tal maneira que a frequência natural de vibração vertical do fardo seja igual a 10 Hz.

Figura PP4.2.11

Resp.:

d = 3,81 mm

► PP4.2.12 A igura mostra uma viga biapoiada, uniforme, com módulo de Young E, momento de inércia de área da seção reta I e massa m. No centro do vão está colocada uma massa M. Calcular o efeito da massa da viga na frequência natural do sistema.

Figura PP4.2.12

Sugestão: usar

( )( ) ( )

2 2 2

2 2

para 06

( )

2 para 6

Pbxl x b x a

EIly x

Pb l xlx x a a x l

EIl

− − ≤ ≤= − − − ≤ ≤conforme a igura:


Resp.:

mMmqe

53

71+=

► PP4.2.13 Determinação da posição do centro de gravidade de um carro. Um carro é suspenso como um pêndulo, usando-se quatro cabos de aço ixados às extremidades dos eixos traseiro e dianteiro, conforme ilustra a igura. Quando posto a oscilar como um pêndulo composto no plano vertical, veriica-se que, com l = 4 m, o período de oscilação é de 4 s e que com l = 2 m, o período cai para 3 s. Calcular a distância vertical h, que posiciona o centro de gravidade do carro em relação aos eixos.

Figura PP4.2.13

Resp.:

h = 0,252 m

► PP4.2.14 Determinar a frequência natural do sistema do problema PP4.2.8, usando o método de Rayleigh.

Resp.:

( )mab

baTn

+=ω


► PP4.2.15 Ao prisma retangular de madeira da igura, de massa especíica ρm, é dado um deslocamento inicial no interior de um recipiente com óleo de massa especíica ρo, fazendo com que o prisma entre em oscilação vertical. Determinar a frequência natural do sistema usando o método de Rayleigh. Haverá mudança na frequência natural se o prisma for substituído por um cilindro de raio r, de mesmas altura e massa especíica?

Figura PP4.2.15

Resp.:

h

g

m

on ρ

ρω = ; não haverá mudança na frequência natural.

► PP4.2.16 Determinar a frequência natural do sistema da igura usando o método de Rayleigh.

Figura PP4.2.16

Resp.:

2

261

rmJ

rk

O

n +=ω

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CAPÍTULO 4 Resposta livre de sistemas mecânicos com 1 GDL. 4... · 150 4 Resposta livre de sistemas mecânicos com 1 GDL 0. 0 0 arctg x ωnx f (4.2.9) A ig. 4.2.2 ilustra as duas