CAP. 4 Resposta Livre de Sistemas Mecânicos Com 1 GDL

7/25/2019 CAP. 4 Resposta Livre de Sistemas Mecnicos Com 1 GDL

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CAPTULO4Resposta livre de sistemas

mecnicos com 1 GDL

4.1 INTRODUO4.2 RESPOSTA LIVRE SEM AMORTECIMENTO4.3 RESPOSTA LIVRE COM AMORTECIMENTO

VISCOSO4.4 RESPOSTA LIVRE COM AMORTECIMENTO

DE COULOMB (OU CONSTANTE)4.5 RESPOSTA LIVRE COM AMORTECIMENTO

ESTRUTURAL (OU HISTERTICO)4.6 COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO

VISCOSO EQUIVALENTE

4.7 SUMRIO

4.1 INTRODUO

Resposta livre (ou natural) ocorre quando o movimento se deveapenas aplicao de condies iniciais, ou seja, a um deslocamento

inicial e/ou a uma velocidade inicial. Neste ltimo caso, a velocidadeinicial pode ser dada atravs da aplicao de um impulso, porexemplo. Alm disso, no h excitao externa aps iniciado omovimento.

Neste captulo estudaremos a resposta livre de sistemasmecnicos com um grau de liberdade (1 GDL). Iniciaremos como caso sem amortecimento, seguido do amortecimento viscoso,o mais importante do ponto de vista prtico, devido grande


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148 4 Resposta livre de sistemas mecnicos com 1 GDL

frequncia com que ocorre. Tambm abordaremos o amortecimento deCoulomb e o amortecimento histertico (ou estrutural).

4.2 RESPOSTA LIVRE SEM AMORTECIMENTO

No sistema sem amortecimento no existe (ou desprezvel) adissipao de energia durante o movimento, o que faz com que a respostalivre seja um movimento oscilatrio (ou vibrao). Teoricamente, aamplitude da vibrao permanece indefinidamente constante.

4.2.1 Sistemas translacionais

A fig. 4.2.1 ilustra o modelo padro de um sistema translacionalcom 1 GDL, sem amortecimento.

Figura 4.2.1Sistema massa/mola (m - k)com 1 GDL

Modelo matemtico

Para o sistema translacional completo, o modelo matemtico

dado pela EDOL.. .

( ) ( ) ( ) ( )m x t c x t kx t f t + + = (4.2.1)

Como no existe amortecimento, c= 0; alm disso, por se tratar deresposta livre, no existe foramento, logof(t) = 0 e o modelo matemticoreduz-se a

..

( ) ( ) 0m x t kx t + = (4.2.2)


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4 Resposta livre de sistemas mecnicos com 1 GDL 149

Resposta livre

obtida pela soluo da EDOL (4.2.2), dada por:

tx

txtx nn

on

sencos)( 0 += (4.2.3)

em que definimos afrequncia angular naturalem rad/s como

n

k

m = (4.2.4)

e em que as condies iniciais que causam a resposta livre so:

o deslocamento inicial x(0)= x0 e/ou

a velocidade inicial 0

..

)0( xx =

.Atravs de manipulaes algbricas e trigonomtricas, a eq. (4.2.3)

pode ser colocada sob outras duas formas:

Forma cossenoidal da eq.(4.2.3)

)cos()( 00 f = tXtx n (4.2.5)

em que a amplitudee o ngulo de fase inicialso dados, respectivamente,

por2

0

.

200

+=n

xxX

(4.2.6)

=0

0

.

0 arctgx

x

nf (4.2.7)

Forma senoidal da eq. (4.2.3)

dada por

0 0( ) sen( )

nx t X t f= + (4.2.8)

em que a amplitude dada tambm pela eq. (4.2.6) e o ngulo de faseinicial por


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=

0

.

00 arctg

x

xnf (4.2.9)

A fig. 4.2.2 ilustra as duas formas para os mesmos dados. Notemosque a diferena reside no ngulo de fase inicial, sendo a amplitude amesma para as duas formas.

Figura 4.2.2Formas cossenoidal e senoidal, eqs. (4.2.5) e (4.2.8),

respectivamente

O:

1. Conforme vimos anteriormente, para um sistema vertical na posio de equi-lbrio esttico temos

mg = kest (4.2.10)

Substituindo a eq. (4.2.10) na eq. (4.2.4), chegamos a

st

n

g

d = (4.2.11)

2. Tambm podemos usar a eq. (4.2.10) para obter:

Frequncia natural em Hz:

st

nn

g

m

kf

d

2

1

2

1

2=== (4.2.12)

Perodo Natural em s:

gk

m

f

st

nnn

d

22

21==== (4.2.13)


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Deslocamento instantneo:na forma cossenoidal, dado por

)cos()( 00 f = tXtx n (4.2.14)

Velocidade instantnea: derivando a eq. (4.2.14) em relao aotempo obtemos

)(sen)( 00

.

f = tXtx nn

ou

)2

cos()( 00

. f += tXtx nn (4.2.15)

Acelerao instantnea: derivando a eq. (4.2.15) em relao ao

tempo chegamos a

)cos()( 02

0

..

f = tXtxnn

ou

)cos()( 02

0

..

f += tXtxnn

(4.2.16)

Comparando as eqs. (4.2.14), (4.2.15) e (4.2.16), conclumos que,em relao ao deslocamento, a velocidade e a acelerao esto avanadas

de /2 e rad, respectivamente, conforme ilustra a fig. 4.2.3.

Figura 4.2.3Deslocamento, velocidade e acelerao em funo do tempo


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4.2.2 Sistemas torcionais

Neste caso, o movimento do corpo rgido consta de uma rotaoem torno de um eixo, sendo a coordenada generalizada um ngulo (t).A causa do movimento um deslocamento angular inicial e/ou uma

velocidade angular inicial. O momento restaurador fornecido pelaenergia potencial elstica armazenada em uma mola de toro. O modelotorcional com 1 GDL, sem amortecimento, mostrado na fig. 4.2.4.

Figura 4.2.4Sistema torcional com 1 GDL,sem amortecimento

Modelo matemtico

O modelo matemtico para o sistema torcional mais completo

dado por.. .

( ) ( ) ( ) ( )C t tJ t c t k t M tq q q+ + = (4.2.17)

Quando a resposta livre e o sistema no tem amortecimento, omodelo matemtico simplifica para

..

( ) ( ) 0C tJ t k tq q+ = (4.2.18)

em que a rigidez da mola torcional dada por:

l

IGMk t

t

0==q

(4.2.19)

O momento de inrcia polar da seo reta, I0, depende da formada seo. Por exemplo, no caso de um eixo cilndrico macio, que omais utilizado, I0, vale

23

4

0

dI

= (4.2.20)


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Para outras sees retas tambm muito utilizadas, consultar o cap. 2.

Comparando a eq. (4.2.18) com o modelo matemtico do sistematranslacional, dado pela eq. (4.2.2), verificamos que, matematicamente,

constituem a mesma EDOL. Logo, podemos aproveitar todos osdesenvolvimentos j feitos para o sistema translacional, simplesmentefazendo as adaptaes seguintes:

Sistema translacional Sistema torcional

Massa m Momento de inrcia de massa JCRigidez k Rigidez ktDeslocamento translacional x (t) Deslocamento angular (t)

Velocidade translacional x.(t) Velocidade angular

.(t)

Acelerao translacional x(t) Acelerao angular (t)

Resposta livre

Aps consideradas as adaptaes anteriormente, ser dada por:

tttn

n

n

qqq sencos)(

0

0

+=

(4.2.21)

em que definimos afrequncia angular naturalem [rad/s] como

C

tn

J

k= (4.2.22)

Forma cossenoidal da eq. (4.2.21)

)cos()( 00 fq = tt n (4.2.23)

em que a amplitudee o ngulo de fase inicialso dados, respectivamente,

por2

0

.

200

+=n

qq (4.2.24)

=0

0

.

0 arctgq

qf

n

(4.2.25)


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Forma senoidal da eq. (4.2.21)

)(sen)( 00 fq += tt n (4.2.26)

A amplitude tambm dada pela eq. (4.2.24), enquanto que ongulo de fase inicial representado por

=

0

.

00 arctg

q

qf

n (4.2.27)

A frequncia natural em Hz e o perodo natural tambm so obtidospor adaptao:

C

tnn

J

k

f

2

1

2 == (4.2.28)

t

C

nnn

k

J

f

2

21=== (4.2.29)

4.2.3 Aplicao: sistemas pendulares

Pndulos so sistemas oscilatrios nos quais a fora restauradoraque mantm o movimento devida gravidade e no ao de umamola deformada. Os trs tipos mais comuns de pndulos so o simples,o composto (ou fsico) e o filar. Os dois ltimos tm uma aplicaoprtica importantssima em Engenharia, pois atravs deles podemosdeterminar momentos de inrcia de peas de geometria complicada, oque seria praticamente impossvel de se obter com os mtodos analticostradicionais da Mecnica.

Pndulo simples

Consta de uma massa pontual msuspensa verticalmente por umfio inextensvel de comprimento l. Uma aplicao bastante familiardo pndulo simples o antigo relgio de parede. Conforme deduzidono PR3.2.7, o modelo matemticodo pndulo simples para pequenasoscilaes representado pela EDOL


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..

( ) ( ) 0g

t tl

q q+ = (4.2.30)

Afrequncia naturaldo sistema, em rad/s, dada por

lg

n= (4.2.31)

e, em Hz, por

l

gfn

2

1= (4.2.32)

Operodo natural, em s, vale

g

l

n

2=

(4.2.33)

Pndulo composto

Neste caso, a massa m est distribuda ao longo do corpo. NoPR3.2.10 foi deduzido o seu modelo matemtico:

..

( ) ( ) 0o

mglt t

Jqq + = (4.2.34)

em que l a distncia entre o centro de massa do pndulo e o centro derotao eJo o momento de inrcia do pndulo em relao ao centro derotao.

Afrequncia naturaldo pndulo composto dada por

J

mgl

on= (4.2.35)

ou, em Hz, por

J

mglf

on 2

1= (4.2.36)

e operodo naturalpor

mgl

Jon 2= (4.2.37)


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Aplicao importante:determinao do momento de inrcia demassa de um corpo de geometria complicada, em relao ao seu centrode gravidade.

Pndulo filar

No pndulo filar o corpo rgido oscila conforme ilustrado nocaptulo 3. No PR3.2.11 foi obtido o modelo matemticopara pequenasoscilaes como sendo

04

2

=+ qqhJ

Dgm

C

(4.2.38)

em que h o comprimento dos fios, D a distncia entre os mesmos,m a massa do pndulo e JC o momento de inrcia do pndulo emrelao ao eixo vertical de rotao. Da equao citada podemos obter,respectivamente, afrequncia angular natural, afrequncia naturale operodo naturaldo pndulo:

hJ

Dgm

C4

2

n= (4.2.39)

hJ

Dgm

fC

n42

1 2

= (4.2.40)

Dgm

hJCn 2

42 = (4.2.41)

Aplicao importante: adeterminao de momentos de inrciade peas de geometrias complicadas, mas que tenham simetria axial. Apartir da eq. (4.2.41) obtemos a expresso

hf

DgmJ

n

C 22

2

61 = (4.2.42)

a qual nos permite calcular o momento de inrcia do pndulo bifilarem relao ao seu eixo de rotao. Os parmetros m, De hpodem sermedidos, ao passo que fnpode ser determinada experimentalmente,pondo-se o pndulo a oscilar, analogamente ao que foi feito com opndulo composto.


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4.2.4 Mtodo de Rayleigh

Serve para determinar a frequncia natural de um sistema, apre-sentando a vantagem de dispensar a deduo do modelo matemtico.O mtodo baseia-se no Princpio da conservao da energia:

ECmax= EPmax (4.2.43)

em que ECMax a mxima energia cintica e EPmax a mxima energiapotencial.

A eq. (4.2.43) constitui o Mtodo de Rayleigh para sistemas com1 GDL, o qual permite obter diretamente a frequncia natural do sistema.

Ele particularmente til nos casos em que a deduo do modelomatemtico complicada.

PROBLEMASRESOLVIDOSREFERENTESAOITEM4.2

PR4.2.1 Deduzir a eq. (4.2.3).

S

Modelo matemtico:..

( ) ( ) 0m x t kx t + = .

Aplicando a transformao de Laplace e isolando a transformada de x(t):

( )

.2

00

.2

00

.

00 2 2

.

002 2

( ) ( ) 0

( )

( )

1( )

m s x s sx x k x s

ms k x s msx m x

ms mx s x x

ms k ms k

sx s x xk k

s sm m

+ =

+ = +

= ++ +

= ++ +

Usando a definio de frequncia angular natural, eq. (4.2.4):.

00 2 2 2 2

1( )

n n

sx s x x

s s = +

+ +.

00 2 2 2 2

( ) n

nn n

s xx s x

s s

= +

+ +


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Fazendo a transformao inversa chegamos finalmente a

tx

txtx nn

on

sencos)( 0 +=

PR4.2.2 Deduzir a expresso para a forma cossenoidal da resposta livre,eq. (4.2.5), bem como as expresses para a amplitude (eq. (4.2.6)) e parao ngulo de fase (eq. (4.2.7)).

S

Resposta livre:

0( ) cos seno

n nn

xx t x t t

= + (a)

Da Trigonometria:

000000

000

sensencoscos)cos(

sensencoscos)cos(

fff

fff

tXtXtX

ttt

nnn

nnn

+=

+=

Comparando esta ltima equao com a eq. (a), podemos concluir queo seu membro da esquerda corresponde resposta livre x(t), isto :

)cos()( 00 f = tXtx n

desde que tenhamos

0 0 0cosx X f= (b)

0 0= seno

n

xX f

(c)

Obteno da amplitude: elevando ao quadrado e somando as eqs. (b) e(c) e isolandoX0:

2

0.

200

+=

n

xxX

Obteno do ngulo de fase: dividindo a eq. (c) pela eq. (b), chegamos a

=0

0

.

0 arctgx

x

nf


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PR4.2.3 Deduzir a expresso para a forma senoidal da resposta livre,eq. (4.2.8), bem como as expresses para a amplitude (eq. (4.2.6)) e parao ngulo de fase (eq. (4.2.9)).

S

Resposta livre: dada por.

0( ) cos seno

n nn

xx t x t t

= + (a)

Da Trigonometria:

000000

000

sencoscossen)(sen

sencoscossen)(sen

fff

fff

tXtXtX

ttt

nnn

nnn

+=+

+=+

Comparando esta ltima equao com a eq. (a), podemos concluir que oseu membro da esquerda corresponde resposta livre x(t), isto :

)(sen)( 00 f += tXtx n

desde que tenhamos

0 0 0senx X f= (b).

0 0= coso

n

xX f

(c)

Obteno da amplitude: elevando ao quadrado e somando as eqs. (b) e(c) e isolandoX0:

2

02

00

+=

n

xxX

Obteno do ngulo de fase: dividindo a eq. (b) pela eq. (c), chegamos a

=

0

0

0 arctg

x

xn

f

PR4.2.4 Reservatrio de gua. Dado um reservatrio de abastecimentode gua com os dados a seguir determinar, desprezando a massa da coluna:

1. Frequncia natural da vibrao horizontal Hz.

2. Perodo natural.

3. Forma senoidal da resposta livre, para um deslocamento inicial de0,03 m para a direita e velocidade inicial nula.


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4. Mximos valores da velocidade e da acelerao.

Dados:

Reservatrio: altura = 90 m; peso do reservatrio c/gua = 280000 N.

Coluna: concreto (E= 2,76 109Pa); seo reta tubular (dext= 3 m, dint= 2,5 m).

S

1. Determinao da frequncia natural

N/m17,12338

09

46

)5,23(0162,73

33

449

3 =

== kl

IEk

zH31,0

18,9/02800017,12338

21

21 === nn f

mkf

2. Determinao do perodo natural

s76,71

==n

nf

3. Determinao da resposta livre

)2(sen)(sen)( 0000 ff +=+= tfXtXtx nn

rad

20arctgarctg

m30,0030,0

0

0

0

0

22

2

02

00

f

=

=

=

=+=

+=

x

x

x

xxX

nn

n

m)2817,0(sen30,0)(

)2

2(sen30,0)2(sen)(0n0

f

+=

+=+=

ttx

tftXtxn

4. Determinao da mxima velocidade e da mxima acelerao

Da eq. (4.2.15): s/m5420,0)718,0()30,0(0

=== nxam

Xx

Da eq. (4.2.16): 2220

s/m20,0)718,0()30,0( === nxam

Xx


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PR4.2.5 Calcular a frequncia natural do sistema do PR4.2.4, conside-rando a massa da coluna.

Dado: massa especfica do concreto = 2500 kg/m3.

S

Do PR4.2.4: k= 23381,71 N/m.

Considerando a massa da mola, devemos usar no lugar de m a meq,conforme estudado no captulo 2. Assim, neste caso:

gk401080052094

)5,23(

3

1

18,9

280000

3

1 22=+=+=

colunaqe

mmm

zH680,040108

17,18332

2

1

2

1

=== nqe

n fm

kf

PR4.2.6 Identificao de material. Este problema mostra uma maneirasimples de identificar o material de uma barra metlica a partir daobteno experimental do mdulo de Young. Uma barra de materialdesconhecido tem comprimento le seo reta retangular com largurab e altura h. A barra posta na situao de engastamento em uma

extremidade e livre na outra, na qual fixada uma massa m. O sistema posto em vibrao livre e a sua frequncia natural transversal obtida,experimentalmente, como sendo fn. Deduzir uma expresso para omdulo de Young Ee assim possibilitar a identificao do material dabarra atravs de consulta a uma tabela de dados no SI.

S

Barra engastada e livre:3

3

l

IEk=

2nn mk

mk ==

21

3hbI=

Logo:

3

322

3

32

3

3

3

32 614

421

3

hb

lfm

hb

lmE

l

hbE

l

hbEm nn

n

====


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PR4.2.7 Sistema de polias.Determinar a frequncia natural do sistemade polias mostrado na figura. Assumir que no haja atrito entre cabo epolias e que as massas das polias e do cabo sejam desconsideradas emcomparao com a massa m.

Figura PR4.2.7Sistema de polias.

S

Idealizando o sistema como tendo um grau de liberdade, a frequncianatural pode ser obtida usando o conceito de rigidez equivalente. Comono h atrito entre polias e cabo e as polias no possuem massa, a tensona corda constante e igual ao peso Pda massa m. Ento, a fora queatua na polia 1, puxando-a para cima 2Pe a fora que atua na polia 2,

puxando-a para baixo tambm 2P. O centro da polia 1 se desloca2P/k1para cima, e o centro da polia 2 se desloca 2P/k2para baixo. Odeslocamento total da massa m

+=

21

222

k

P

k

Px

Rigidez equivalente do sistema:

)(444

1

222

21

21

2121

kk

kk

kkk

P

k

P

P

x

P

kqe +=+=

+

==

Logo:

mkk

kk

m

kk

kk

m

kqe

n)(4

)(4

21

2121

21

+=

+==


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PR4.2.8 Momento de inrcia de um conjunto roda + pneu. A figuramostra um dispositivo projetado para determinar o momento de inrciado conjunto roda + pneu. O dispositivo consiste de um cabo de ao(G= 78,6 109Pa) de dimetro de 2,54 mm, comprimento de 2 m e de uma

plataforma qual so fixados a roda e o pneu. O cabo de ao suspensopor sua extremidade superior e posto a oscilar em torno do eixo verticaldo cabo. Com apenas a plataforma, o perodo da oscilao de 3 s. Como conjunto montado, o perodo da oscilao de 18 s. Determinar omomento de inrcia do conjunto roda + pneu.

Figura PR4.2.8

S

Determinao da rigidez toro:

( )

dar/m.N6061,0

2

23

45200,0016,87

l

4

9

0 =

==

IGk

t

Obteno da expresso para oJCa partir da eq. (4.2.29):2

22

==

ntC

t

Cn kJ

k

J

Determinao do momento de inrcia da plataforma:

22

kg.m0366,02

31606,0)plataforma( =

=

CJ

Determinao do momento de inrcia do conjunto plataforma + roda +pneu:

2

2

m.gk813,12

816061,0)pneurodaplataformaconjunto( =

=++

C

J

Determinao do momento de inrcia da roda + pneu:

JC(roda + pneu) = 1,318 0,0366 = 1,2814 kg.m2


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PR4.2.9 Uma serra para cortar tubulaes em um processo de produocontnua consiste de um disco grande de raio r e massa M, podendogirar em torno do centro Oligado a uma barraleve, de comprimento l, em cuja extremidade

montado um motor de massa m contendoum disco de corte, conforme ilustra a figura. Osistema pode oscilar no plano em torno do pontoO. Determinar o perodo natural considerandopequenas oscilaes.

Figura PR4.2.9

S

Modelagem matemtica:

( ).. ..

221( )sen2

O OM J mg l r Mr m l rq q q = + = + +

Supondo pequenas oscilaes:

( )( )

.. ..22

22

1 ( )( ) 0 0

12

2

mg l r Mr m l r mg l r

Mr m l r

q q q q +

+ + + + = + = + +

Frequncia angular natural:

( )222

1)(

rlmrM

rlgmn

+++=

Perodo natural:

( )

)(

2

1

22

22

rlgm

rlmrM

n

n +

++==

PR4.2.10 Determinao do momento de inrcia deuma biela em relao ao seu centro de gravidade C.Tal determinao essencial para o estudo dinmico domecanismo biela/manivela de um motor de combustointerna.

Figura PR4.2.10


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S

Trata-se de um pndulo composto. A partir da equao da frequncianatural do pndulo composto, dada pela eq. (4.2.36), podemos obter

f

lgmJ

n

O 224=

Aplicando o Teorema de Steiner:JC= Jo ml2, logo:

2

224lm

f

lgmJ

n

C =

Na prtica, m, l e fn so obtidos experimentalmente. A massa m simplesmente medida em uma balana, e a distncia l obtida aps a

localizao do centro de gravidade C, conforme ensinamentos de FsicaExperimental elementar. Finalmente, a frequncia natural fnpode serobtida pondo-se o corpo para oscilar e medindo-se o tempo que o mesmoleva para executar certo nmero de oscilaes. Com estes dados, entramosna equao citada e obtemos o momento de inrciaJC.

PR 4.2.11 Suspenso automotiva independente. A figura mostra asuspenso independente de uma das rodas dianteiras de um automvel,em que l1= 0,5 m e l2 =0,7 m. A mola helicoidal tem rigidez 30000 N/me o peso distribudo roda vale 3200 N. Determinar a frequncia naturalda suspenso para o movimento vertical da roda, em Hz.

Figura PR4.2.11

S

Seja o ngulo de rotao do brao inferior.


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Clculo da energia cintica mxima:

( )

( )

22. .2

rodamax 2

2.2 2 2

max

1 1 1 32000,7

2 2 2 9,81

79, 92 79, 92 79, 92n n

EC m x m l

EC

q

q q q

= = =

= = =

2

adorx ( )27,0 q

2

q

Clculo da energia potencial mxima:

( ) 222 05735,0000032

1

2

1qq ===

alomxam xkPE

Aplicando o mtodo de Rayleigh:

222 057329,97 qq == nxamxam

PECE

zH90,12

s/dar58,6 ===

n

nn flogo,

PR4.2.12 Manmetro em U. Um manmetro de rea da seo retaAcontm mercrio de massa m, peso especfico e comprimento dolquido l, conforme figura. Ele deve medir a presso de um lquido emuma tubulao industrial, o qual deslocado por uma bomba rotativa quegira a 600 RPM. A fim de evitar o fenmeno da ressonncia, a frequncia

da oscilao do mercrio, no interior do manmetro, deve ser maior doque trs vezes a frequncia de oscilao exercida pela presso do lquido.Aplicando o mtodo de Rayleigh, determinar o comprimento mnimo lque deve assumir a coluna de mercrio.

Figura PR4.2.12

S

Clculo da energia cintica mxima:

222

2

1

2

1

2

1xamxamxamxam

xg

lAx

g

WxmCE

g===


21/30


Clculo da variao da energia potencial gravitacional mxima:

2

22 xam

xam

xam

xam

xamxam xA

xxA

xxAGPE ggg =

=

Aplicando o mtodo de Rayleigh:

2

22

2

1xam

xamn

xamxam x

g

xlPECE ==

l

gn

22 =

Frequncia da flutuao da presso do lquido:

s/dar01s/dar

06

2003

== x

presso

Para evitar ressonncia:

2)274,01(

2

3

012

3

gl

l

gpresson

>

> ll

PR4.2.13 Centro de percusso de um pndulo composto. Conformej vimos, a frequncia natural de um pndulo composto dada por

J

mgl

on= . Seja

m

Jr oC = o raio de girao do pndulo em torno de O

e seja Po denominado centro de per-cusso, para o qual a frequncia natu-ral do pndulo composto igual deum pndulo simples de massa m ecomprimento lP.

Figura PR4.2.13


22/30


1. Mostrar que a frequncia natural do pndulo composto menor doque a de um pndulo simples de mesmo comprimento l;

2. Obter uma expresso para lPem termos de le rC ;

3. Mostrar que se o pndulo composto for suspenso no ponto Pao

invs de O, a sua frequncia natural no sofre alterao.

S

1. Frequncia natural do pndulo composto:

22

PPO

nl

lg

lm

lgm

J

lgmcomposto

===

Frequncia natural do pndulo simples:

l

gsimplesn =

Combinando ambas as equaes, obtemos:

simplescomposto n

P

nl

l=

Tendo em vista que l< lP, conclumos que

simplescomposto nn

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CAP. 4 Resposta Livre de Sistemas Mecânicos Com 1 GDL