Capítulo 4 Probabilidad REGLAS DE PROBABILIDAD · 2016-06-16 · (c) Una caja contiene 4 canicas rojas y 3 canicas verdes. Se remueve una primera canica de la caja y no se remplaza

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REGLAS DE PROBABILIDAD

Capítulo 4

Probabilidad


Un evento compuesto es cualquier evento que combina 2 o más eventos simples.

Ejemplo: Al lanzar un dado justo de 6 caras, ¿cuál es

la probabilidad de obtener un 2 o un 5?

Evento Compuesto

Notación

P(A U B) = probabilidad de que , en una sóla repetición de un experimento, ocurre el evento A o el evento B o ambos.


P(𝑨 ∪ 𝑩)

• Un resultado está en el evento “A ∪ B” si el

resultado está en A o en B o en ambos.

• Por ejemplo,

Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}.

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Note que el 4 y 5 no aparecen dos veces.


Dos eventos son disjuntos o

mutuamente excluyentes si no tienen

resultados en común.

Eventos mutuamente excluyentes son

eventos que no pueden ocurrir a la

misma vez.

5-4

Eventos mutuamente excluyentes


5-5

Ejemplo

Se realiza un experimento en el cual el espacio

muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Sea E = {2, 4, 5, 7}, F = { 6, 7, 9, 12} y G = {2, 3, 4}

• ¿Son los eventos E y F mutuamente excluyentes?

• ¿Son los eventos F y G mutuamente excluyentes?


1. Se lanzan dos dados.

A = “La suma de las caras es par.”

B = “La suma de las caras es un número

divisible entre 3”

2. Se tiene una paquete de barajas americanas

( 52 cartas).

A = “sacar una Reina”

B = “sacar una A”

3. Se tiene una paquete de dulces de chocolate

M&M que contiene dulces de color rojo, azul,

amarillo, verde, anaranjado y marrón.

A = “sacar un dulce rojo”

B = “sacar un dulce azul”

5-6

Ejemplo: Indicar si los siguientes eventos son

mutuamente excluyentes o no.


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Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes

Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹).

Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹)

La regla de suma para eventos disyuntos se puede extender para más de dos eventos. En general, si E,F,G … son eventos mutuamente excluyentes, entonces

𝑃 𝐸 ó 𝐹 ó 𝐺 ó … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯ 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 ∪ 𝐺 ∪ … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯


Número de

habitaciones en

una unidad de

vivienda

Probabilidad

Una 0.01

Dos 0.032

Tres 0.093

Cuatro 0.176

Cinco 0.219

Seis 0.189

Siete 0.122

Ocho 0.079

9 o más 0.08

(a) ¿Cuál es la probabilidad de

que una unidad de vivienda

seleccionada al azar tenga dos o tres habitaciones?

P(dos ó tres)

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EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos

El modelo de probabilidad de

la derecha muestra la

distribución del número de

habitaciones en unidades de

vivienda en los Estados Unidos.


(b) ¿Cuál es la

probabilidad de que una

unidad de vivienda

seleccionada al azar

tenga a lo más tres habitaciones?

P(una ó dos ó tres)

5-9

EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)

Número de

habitaciones en

una unidad de

vivienda

Probabilidad

Una 0.01

Dos 0.032

Tres 0.093

Cuatro 0.176

Cinco 0.219

Seis 0.189

Siete 0.122

Ocho 0.079

9 o más 0.08


(c) ¿Cuál es la

probabilidad de que una

unidad de vivienda

seleccionada al azar

tenga al menos siete habitaciones?

P(siete ó ocho ó 9 o más)

=

5-10

EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)

Número de

habitaciones en

una unidad de

vivienda

Probabilidad

Una 0.01

Dos 0.032

Tres 0.093

Cuatro 0.176

Cinco 0.219

Seis 0.189

Siete 0.122

Ocho 0.079

9 o más 0.08


(a) Si una persona es

seleccionada al azar,

encontrar la probabilidad de

elegir a alguien que es del grupo A o B.

5-11

EJEMPLO (continuación)

La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos

y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población.

A = Persona es del grupo A B = Persona es de tipo B.


(b) Si una persona es

seleccionada al azar,

encontrar la probabilidad de

elegir a alguien que es de tipo Rh-.

5-12

EJEMPLO (continuación)

La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos y tipos de Rh

para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población.

E = Persona es de tipo Rh-.


Sea S el espacio muestral de un experimento probabilístico. Sea E un evento. • El complemento de E, que se denota 𝐸𝑐o 𝐸 , es el

evento que contiene todos los resultados del espacio muestral que no están en E.

• El evento 𝐸 ocurre si E no ocurre. • La unión de dos eventos complementarios da el

espacio muestral. • El evento 𝐸 y el evento E son mutuamente

excluyentes.

5-13

Eventos complementarios


Regla de los Complementos

Si E representa un evento y EC representa el complemento de E, entonces

P(E) + P(EC) = 1

P(EC) = 1 – P(E) y

P(E) = 1 – P(EC)

5-14


EJEMPLO Construya el complemento de E

(a) E: “Obtener un múltiplo de 5 al tirar un dado justo

de 6 caras "

(b) E: “Escoger, al azar, una canica azul de una bolsa que

contiene canicas azules, verdes y rojos."

(c) E: “Al girar la ruleta, se detiene en un número par.”

5-15


¿Cuál es la probabilidad

de que la ruleta elija un

color diferente al verde?

Solución:

P(E ) = 1 - P(Ec)

EJEMPLO

5-16

E = Elegir un color diferente al

verde.

Ec = Elegir el color verde.


Según la Asociación Americana de Medicina Veterinaria, el

31.6% de los hogares estadounidenses poseen un perro.

¿Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado al

azar no es propietaria de un perro?

EJEMPLO Ilustrar la Regla del Complemento

5-17

Solución:


Dos eventos E y F son independientes si la

ocurrencia del evento E en un experimento de

probabilidad no afecta a la probabilidad de que

ocurra el evento F.

Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia

del evento E en un experimento de probabilidad

afecta a la probabilidad de que ocurra el evento F.

5-18

Eventos dependientes e independientes


EJEMPLO ¿Independiente o No?

(a) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas y luego se tira un dado.

E: “Elegir un corazón" F: “Tirar un número par"

(b) Se elije un estudiante al azar de cada una de dos secciones de Historia para viajar a Washington, D.C.

E: “Elegir un estudiante de la primera sección." F: " Elegir un estudiante de la segunda sección "

(c) Una caja contiene 4 canicas rojas y 3 canicas verdes. Se remueve una primera canica de la caja y no se remplaza. Se remueve una segunda canica.

E: “Elegir una canica roja la primer vez." F: “Elegir una canica verde la segunda vez."

5-19


5-20

Regla de multiplicación para eventos independientes

Si E y F son eventos independientes, entonces 𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹).

Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹)

La regla de la multiplicación para eventos independientes se puede extender para n eventos. En general, si E,F,G … son eventos independientes, entonces

𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 𝑦 𝐺 𝑦 … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ … 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝐺 ∩ … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ …


Un fabricante de equipo de ejercicio sabe que el 10%

de sus productos son defectuosos. También sabe que,

en realidad, sólo el 30% de sus clientes utilizan el

equipo en el primer año después de su adquisición. Si

hay una garantía de un año sobre el equipo, ¿cuál es

la probabilidad de que un cliente hará un reclamación válida?

EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes

E: Equipo sale defectuoso. F: El equipo se usa durante del año de comprado.

Asumiremos que E y F son independientes.

5-21


La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, que se selecciona al azar, sobreviva el año es de 99.186%, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que dos mujeres de 60 años de edad seleccionadas al azar sobrevivan el año?

EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes

Solución:

5-22


La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, seleccionada al

azar, va a sobrevivir el año es de 99.186%, según el Informe Nacional

de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de

que al menos una de las 500 mujeres de 60 años, seleccionadas al azar, muera en el transcurso del año?

Solución:

EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase “al menos”

5-23


5-24

Regla general de suma

La probabilidad de que ocurra un evento E ó un evento F

𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) – P( E y F)

Note que cuando E y F son mutuamente excluyentes, P( E y F)=0 y tenemos la primera regla de la suma que estudiamos.


5-25

Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado es 2” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E o F)

1. Utiizando la el método clásico de calcular probabilidad

EJEMPLO Illustrar la regla general de la suma

=𝟏𝟑

𝟑𝟔


5-26

Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado muestra 2 puntos” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E ó F) (2) Utilizando la regla general de la suma de probabilidades

EJEMPLO Illustrar la regla general de la suma (cont.)


Una carta es elegida al azar de un juego de

baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y

luego se elige una segunda tarjeta. ¿Cuál es

la probabilidad de elegir una J ó un diamante?

Solución: ¿P(“J” ó “♦” ) ? Los eventos NO son mutuamente excluyentes.

EJEMPLO Computar probabilidades de eventos compuestos

5-27


La probabilidad condicional : • se denota P(F | E) y se lee “la probabilidad

de un evento F dado el evento E”. • Es la probabilidad de que un event F ocurra

dado que el evento E haya ocurrido.

5-28

Probabilidad condicional


EJEMPLO Probabilidad Condicional

Supongamos que se tira un dado de seis caras pero

se nos dice que el resultado será un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4?

5-29



Supongamos que eligen dos canicas de una urna

que contiene canicas 20 canicas verdes y 14 canicas

rojas. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una canica

roja la segunda vez, si la primera vez se eligió una canica verde y no se devolvió?

5-30


• Si E y F son dos eventos

5-31

Regla para eventos dependientes

𝑃 𝐹 𝐸 =𝑁(𝐸𝑦𝐹)

𝑁(𝐸)=

𝑃(𝐸𝑦𝐹)

𝑃(𝐸)

𝑃 𝐸𝑦𝐹 = 𝑃 𝐸 ∗ 𝑃 𝐹 𝐸

• Si E y F son dos eventos dependientes


Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120

son zurdas. Dos personas aleatorias se seleccionan

al azar y sin reemplazo. Encuentre la probabilidad

de que ambas personas sean zurdas.

Solución:

5-32




Una encuesta fue realizada por la Organización “Gallup” en el 2008 en la

que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres

afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los

resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla.

Cree en

Dios

Cree en un espíritu

universal

No cree en Dios ni en un espíritu

universal

Este 204 36 15

Norte Central

212 29 13

Sur 219 26 9

Oeste 152 76 26

5-33

(a) ¿Cuál es la probabilidad

de que un adulto

estadounidense

seleccionado al azar cree

en Dios si vive en el

Este?

𝑷 𝑭 𝑬 =𝑵(𝑬𝒚𝑭)

𝑵(𝑬)=

𝑷(𝑬𝒚𝑭)

𝑷(𝑬)


EJEMPLO Probabilidad Condicional (continuación)

Una encuesta fue realizada por la Organización “Gallup” en el 2008 en la

que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres

afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los

resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla.

Cree en

Dios

Cree en un espíritu

universal

No cree en Dios ni en un espíritu

universal

Este 204 36 15

Norte Central

212 29 13

Sur 219 26 9

Oeste 152 76 26

5-34

b) ¿ Cuál es la probabilidad

de que un adulto

estadounidense seleccionado

al azar viva en el Este si

cree en Dios ?

𝑷 𝑭 𝑬 =𝑵(𝑬𝒚𝑭)

𝑵(𝑬)=

𝑷(𝑬𝒚𝑭)

𝑷(𝑬)


5-35

Un árbol de probabilidades es una

herramienta para determinar la probabilidad

de tomar una serie de decisiones cuando

cada decisión es independiente de la otra.

Al moverse por una misma rama, las

probabilidades se multiplican.

Si se consideran opciones en ramas

diferentes, las probabilidades se suman.

Arboles de probabilidades


Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120 son

zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y

sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de que al

menos una de las dos personas sea zurda. Solución: Usando árbol de probabilidades.



5-37

Tenemos dos urnas A y B. En

la urna A hay 4 bolas azules, 3

rojas y 3 verdes y en la urna B

hay 5 bolas azules, 2 rojas y 3

verdes. Lanzamos una

moneda. Si sale cara acudimos

a la urna A y si sale cruz

acudimos a la urna B.

Construya un árbol de

probabilidades para esta

situación.



5-38

Use el árbol de decisiones

para calcular la probabilidad

de obtener:

a) cara y bola roja

b) bola azul

c) bola no-azul


(cont.)

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